diversità in ricezione

Concetto di diversità
su canali radio
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1
Concetto di diversità su canali radio
Se il ricevitore è in grado di discriminare più repliche del segnale
trasmesso e fare una media (pesata) di queste (cosidetto combining),
la probabilità di “deep fades” diminuisce e con essa la probabilità di
errore, a parità di potenza trasmessa o di SNR. Alternativamente, si
possono ottenere le stesse prestazioni in termini di BER diminuendo la
potenza trasmessa o lavorando a SNR minore.
Questa tecnica è chiamata diversità e può notevolmente migliorare le
prestazioni dei sistemi che lavorano su canali caratterizzati da fading
per cammini multipli.
Grossolanamente: se posso trasmettere lo stesso simbolo su L canali
indipendenti caratterizzati dalla stessa Pe ≤ 1
allora la probabilità di errore sul simbolo sarà:
PeL < Pe
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Concetto di diversità su canali radio
Vari tipi di diversità disponibili in canali radio:
Diversità temporale: lo stesso segnale è trasmesso in instanti di
tempo diversi, separati da un intervallo maggiore del tempo del
coerenza del canale.
Tecniche di diversità temporale: codifica di canale con interleaving!!!!
h (t )
tempo
No interleaving
Codeword
x0
Codeword
x1
Codeword
x2
Codeword
x3
Interleaving
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio di diversità temporale nel GSM
Global System for Mobile (GSM) è uno standard per comunicazioni digitali
cellulari sviluppato in Europa negli anni 80’.
E’ un sistema FDD (Frequency Division Duplex) e usa due bande di 25MHz,
una per l’uplink (mobile to base station) e una per il downlink (base station to
mobile).
Le bande sono ulteriormente suddivise in sottocanali di 200kHz e ogni canale è
condiviso da 8 utenti in modalità TDMA
I dati degli utenti vengono mandati su time slots di 577microseconds e i time
slots degli 8 utenti formano una trama di 4.615ms
La voce, l’applicazione principale del GSM, è codificata da un codificatore
vocale in trame di 20ms
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio di diversità temporale nel GSM
I bits in ogni trama vocale sono codificati da un codice convoluzionale di rate ½
e il numero di bit codificati per trama vocale è 456.
Per avere un guadagno di diversità temporale, questi bit codificati vengono
“interlacciati” (interleaved) su 8 time slots consecutivi assegnati allo specifico
utente: il bit 0, 8, ….., 448, vengono messi nel primo time slot, i bit 1, 9, ….,
449 nel secondo time slots ect.
Poiché i time slot sono separati da un intervallo pari alla lunghezza della trama
4,615ms per ogni utente, l’interleaving introdurrà un ritardo di
approssimativamente 40ms, che è tollerabile per un’applicazione vocale
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio di diversità temporale nel GSM
Il massimo guadagno di diversità ottenibile è 8, ma il guadagno effettivo
dipende dal canale, in particolare, da quanto il canale “varia nel tempo” (ossia,
è selettivo nel tempo) e questo dipende principalmente dalla velocità ν del
terminale mobile.
Se n è la velocità del terminale, il massimo Doppler spread sarà:
Ds=2fcν/c
e il tempo do coerenza approssimativamente: 1/4Ds
Perché si abbia il massimo guadagno di diversità nello schema descritto del
GSM, il canale deve variare su ogni trama e quindi il tempo di coerenza dovrà
essere approssimativamente di 5ms (4.615ms è la durata di una trama e
anche la distanza tra due time slots consecutivi). Se fc=900MHz, allora ν dovrà
essere ALMENO 30km/h.
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio di diversità temporale nel GSM
Per i “pedoni”, che hanno una velocità media di 3km/h, il guadagno di diversità
temporale è molto PICCOLO
In tal caso il GSM va nella modalità “frequency hopping” dove trame consecutive
saltano (hop in inglese) da un canale di 200kHz all’altro……cosi cercando di
ottenere un guadagno di diversità in frequenza. Se il delay spread è di 1µs, la
banda di coerenza è circa 500kHz e la banda totale assegnata all’uplink o
downlink, su cui si puo’ fare “hopping”, è 25MHz >> 500kHz
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Concetto di diversità su canali radio
Vari tipi di diversità disponibili in canali radio:
Diversità in frequenza: il segnale è trasmesso in sottobande di
frequenza diverse, larghe almeno quanto la banda di coerenza del
canale.
Tecniche di diversità in frequenza: ricevitore RAKE, OFDM,
equalizzazione
Efficace in canali selettivi in frequenza (alto delay spread!) che sono
sempre più comuni nei futuri sistemi di comunicazione per le elevate
data rate coinvolte. Per questo motivo queste tecniche (si pensi
all’OFDM), hanno assunto grande importanza di recente
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Concetto di diversità su canali radio
Diversità di polarizzazione: si usano due antenne con differenti
polarizzazioni per trasmettere e/o ricevere
Diversità spaziale: antenne multiple, spaziate tra loro in modo che il
guadagno di canale su ogni antenna sia indipendente (distanza di
coerenza), vengono usate per trasmettere e/o ricevere.
Nota: la separazione tra gli elementi d’antenna perché il canale tra due diverse
coppie di antenne di possa considerare “indipendente” dipende dalla frequenza
della portante ma anche dalle caratteristiche propagative dell’ambiente
circostante. Per un terminale mobile posto ad altezza uomo e con molti
“scatterers” attorno, tale distanze deve essere di mezza lunghezza d’onda. Per le
stazioni base, poste su alte torri, la separazione spaziale degli elementi d’antenna
deve essere maggioree pari a diverse decine di lunghezze d’onda.
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Le diverse antenne del ricevitore (opportunamente spaziate), ricevono delle
repliche indipendenti del segnale trasmesso. Il ricevitore le “rifasa” e combina in
modo opportuno (coherent combining).
α1
A1e jθ1 s (t ) + n1 (t )
α i = a i e − jθ
i
α2
A2 e jθ 2 s (t ) + n2 (t )
combiner
.
.
.
αM
Schema di un generico
combinatore lineare
AM e jθ M s (t ) + nM (t )
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Con antenne multiple in ricezione, opportunamente spaziate, è
possibile ottenere due tipi di guadagno:
1- Guadagno di array definito come l’aumento del valore medio
del SNR combinato rispetto alla media dell’SNR sul singolo ramo:
G array =
γΣ
γi
Questo guadagno deriva dalla combinazione COERENTE di più
segnali e si ha anche se non è presente multipath!
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
1- Guadagno d’array
Indichiamo con M il numero di antenne in ricezione.
Caso di non presenza di fading: Ai = E S dove E S è l’energia oer
simbolo del segnale trasmesso. Assumendo la stessa densità spettrale
di potenza di rumore N 0 / 2 su ogni ramo, allora su ogni ramo di
ricezione osservo lo stesso SNR
γ i = γ = ES / N 0
Scegliendo a i = a (stesso peso a tutti rami), l’SNR totale:
2


 ∑ a i Ai 
2
E
(
)
Ma
γ Σ =  i =1 M  = S
= ME S / N 0 = M γ
2
N 0 Ma
N 0 ∑ a i2
M
M-volte
maggiore
dell’SNR
sul singolo
ramo
i =1
Con M antenne in ricezione, il massimo guadagno di array è M
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Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Guadagno di array e guadagno di diversità
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Esempio introduttivo: diversità in ricezione
2- Guadagno di diversità che deriva dal fatto che l’SNR all’uscita del
combinatore ha una distribuzione statistica più “favorevole” rispetto al
caso di un singolo cammino e questo di traduce in una pendenza delle
curve di BER rispetto all’SNR maggiore del caso in cui non ci sia un
guadagno di diversità.
Senza guadagno di diversità, tipicamente la BER decresce molto
lentamente al crescere dell’SNR, con una velocità di 1/SNR. Per
esempio:
schema
BER per alti SNR
BPSK coerente
1/4SNR
QPSK coerente
1/2SNR
16QAM coerente
5/2SNR
Questo guadagno richiede che sia presente multipath e che i cammini
tra il trasmettitore e le diverse antenne in ricezione possano considerarsi
indipendenti.
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Denotiamo con γ Σ il rapporto segnale rumore all’uscita del combinatore il
ricezione
Espressione
generica della
probabilità d’errore
media in presenza
di diversità
Pe =
∫
∞
0
p e (γ ) p γ Σ ( γ ) d γ
p e (γ )
È la probabilità d’errore in funzione
dell’SNR istantaneo per lo specifico
schema di modulazione.
Es. BPSK p e (γ ) = Q ( 2γ )
p γ Σ (γ )
È la funzione densità di probabilità
relativa alla distribuzione statistica
del SNR dopo la combinazione
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Richiami:
Pγ Σ (γ ) = p (γ Σ ≤ λ )
È la funzione di distribuzione cumulativa (CDF, Cumulative Distribution
Function) del rapporto segnale rumore all’uscita del combinatore in
ricezione, che abbiamo denotato con γ Σ .
La CDF è legata alla funzione di densità di probabilità dalla seguente
relazione:
p γ Σ (γ ) =
dPγ Σ (γ )
dγ
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Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Per alcuni schemi di diversità la probabilità d’errore media ha, per alti
valori di SNR, un’espressione del tipo:
Pe = c γ
−d
La costante c è relativa allo specifico schema di modulazione e
codifica e γ è l’SNR medio per ramo.

log Pe (γ ) 

d = −  γ lim ∞
log γ 

è detto ordine di diversità e di fatto indica la pendenza della curva
di BER in funzione dell’SNR.
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Selection Combining: degli M segnali ricevuti, si seleziona il più “forte”.
M
Pγ Σ (γ ) = p (γ Σ < γ ) = p (max[ γ 1 , γ 2 ,......., γ M ] < γ ) = ∏ p (γ i < γ )
i =1
Funzione di distribuzione cumulativa (cdf) di
γΣ
Si assumano M rami scorrelati con fading alla Rayleigh
L’SNR istantaneo sul ramo i è (con stessa potenza di rumore N0 su ogni ramo)
Ai2
γi =
N0
p(γ i ) =
1
γi
e−γ i / γ i
Distribuzione esponenziale
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Selection Combining
P (γ i < γ ) = 1 − e − γ / γ i
γi = γ
E differenziando rispetto a γ si
ottiene la distribuzione di γ Σ
Se l’SNR medio è lo stesso su tutti i rami
[
Pγ Σ (γ ) = 1 − e −γ / γ
]
M
p γ Σ (γ ) =
M
λ
[1 − e ]
− γ / γ M −1
e −γ / γ
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Selection Combining
Guadagno di diversità non è facilmente calcolabile in forma chiusa. Si mostrano
delle curve ottenute con delle simulazioni
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Selection Combining
Guadagno di array
∞
γ Σ = ∫ γ p γ (γ ) d γ = ∫
0
Σ
∞
0
γM
[1 − e −γ / γ ] M −1 e − γ / γ
γ
M
1
i =1 i
Cresce con M, ma NON LINEARMENTE
Il maggiore guadagno si ottiene tra il caso M=1 e M=2
Crescere ulteriormente M non dà una significa crescita di guadagno di array
=γ∑
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Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Linear Combining
α1
A1e jθ1 s (t ) + n1 (t )
α2
A2 e jθ 2 s (t ) + n2 (t )
combiner
.
.
.
αM
AM e jθ M s (t ) + nM (t )
α i = a i e − jθ
i
Schema di un generico
combinatore lineare
2
M


 ∑ a i Ai 
1  i =1

γΣ =
M
N0
2
a
∑ i
i =1
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Maximum Ratio Combining (MRC)
α1
A1e jθ1 s (t ) + n1 (t )
α2
A2 e jθ 2 s (t ) + n2 (t )
combiner
.
.
.
αM
AM e jθ M s (t ) + nM (t )
α i = ai e
− jθ i
ai
vengono scelte per massimizzare γ Σ
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Concetto di diversità su canali radio
Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Maximum Ratio Combining (MRC)
Per trovare I coefficienti ottimi si usa la disugualianza di Cauchy-Schwartz:
2
 M

 ∑ cid i  ≤
 i =1

Se definisco:
M
∑
i =1
ci = a
γ Σ = max
ai
c i2




i
M
∑
d i2
N
0
i =1

ai Ai 

i =1

M
M
∑
d
2
∑
a i2 N 0
L’uguaglianza di ha per ci = di




≤
M
∑
a i2 N 0
i =1




N
M

i =1

∑ Ai2 / N 0 
M
∑ ai2 N 0
i =1
Scegliendo
= Ai /
i
M
M
2


=  ∑ Ai / N 0  = ∑ γ i
 i =1
 i =1
i =1
ai =
ai tale che ci = d i
γΣ =




M
∑
i =1
M

a i Ai 


∑ a i2 N 0
i =1
2
=




M
∑
i =1
M
0
Ai2

/ N0 


∑ Ai2 / N 0
2
=
Ai
N0
M
1 M 2
A
/
N
=
∑ i
∑γi
0
i =1
2 i =1
i =1
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Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Se l’SNR dopo il combinatore si potesse scrivere come:
γ Σ = αγ = ( ∑ l =1 hl )γ
M
2
α è la somma di 2M v.a. Gaussiane reali indipendenti ed ha una
distribuzione Chi-quadro con 2M gradi di libertà la cui densità è data
da:
p γ Σ (γ ) =
1
γ M −1e − γ
( M − 1)!
γ ≥0
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M=1
M=2
M=3
M=4
M=5
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Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Maximum Ratio Combining (MRC)
Come è intuitivo, il criterio MRC dà “maggior peso” ai rami con
maggiore SNR
sul guadagno di diversità
La distribuzione
statistica, per i.i.d
fading alla
Rayleigh è una χ 2
con 2M gradi di
libertà
M
γΣ = ∑γi
sul guadagno d’array
i =1
Somma degli SNR sui
singoli rami
Il guadagno di array
cresce LINEARMENTE
con M
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Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Maximum Ratio Combining (MRC)
La probabilità d’errore media è difficile da calcolare in forma chiusa
Un limite superiore si può ottenere utilizzando:
1) la seguente approssimazione della pe per modulazioni coerenti
p e (γ ) ≈ α M Q ( β M γ )
α M e β M dipendono dal tipo di modulazione e
Dove
approssimazione
Per esempio, per la BPSK α M = 1 e β M
un’approssimazione ,ma espressione esatta
2) Il Chernoff-bound
= 2 e non è
Q ( x) ≤ e
− x2 / 2
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Esempio introduttivo: diversità in ricezione
Maximum Ratio Combining (MRC)
p e (γ Σ ) ≈ α M Q ( β M γ Σ ) ≤ α M e − β M γ Σ / 2
2
Integrando sulla distribuzione χ si ottiene:
M
Pe ≤ α M ∏
i =1
1
1+ βMγ i / 2
Per alti SNR, assumendo
 βMγ 
Pe ≈ α M 

 2 
γi = γ
−M
Lo schema MRC ottiene l’ordine di diversità PIENO (full diversity
order), pari a M
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