SPAZI DI PROBABILITÀ Definizioni • Fenomeno: un qualunque accadimento che porta ad un certo risultato, appartenente ad un determinato insieme. Il fenomeno si dice deterministico se il risultato può essere previsto o calcolato (determinato) con esattezza prima dell’effettuazione del fenomeno. Un fenomeno si dice casuale (o aleatorio) se non è possibile prevedere il risultato • Evento: sottoinsieme di Ω (insieme di tutti i possibili risultati di un fenomeno). In altre parole, un evento è un insieme di possibili risultati di un fenomeno aleatorio • Valutazione di probabilità: funzione P che associa ad ogni evento E un numero tanto più grande quanto più si ritiene che tale evento possa accadere • Famiglia coerente di eventi: collezione A di sottoinsiemi di Ω tali che: • ∅, Ω ∈ A • • EC ∈ A ⇔ E ∈ A • ∀E1 , E2 ,… ∈ A ∪ Ei ∈ A ∧ ∩ Ei ∈ A ∞ ∞ i =1 i =1 Spazio di probabilità: terna ( Ω, A , P ) , dove Ω è un insieme, A è una famiglia coerente di eventi e P una probabilità su A . • Probabilità uniforme: A P ( A) = Ω con A evento e Ω è un insieme finito ed i risultati sono tutti equiprobabili Proprietà • ∞ P ( B ) = P ( B ∩ Ai ) con ∀i ≠ j , Ai ∩ A j = ∅ ∧ ∪ Ai = Ω P ( ∪ Ai ) = 1 − P ( ∩ AiC ) con ∀i ≠ j , Ai ∩ A j = ∅ ∧ ∪ Ai = Ω i =1 • • P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) Teoremi • Probabilità condizionale: P( A ∩ B) P ( B | A) = P ( A) • Formula delle probabilità totali: n P ( B ) = P ( B | Ai ) ⋅ P ( Ai ) i =1 con ∀i ≠ j , Ai ∩ A j = ∅ ∧ ∪ Ai = Ω • Formula di Bayes: P ( B | A) ⋅ P ( A) P ( A | B) = P( B) • Probabilità composta di eventi indipendenti: P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
