Formule Alette

Conduzione termica nelle alette
Eq. aletta
d 2θ
− m2θ = 0
2
dx
m2 =
con θ = T ( x) − T∞
hp
kA
1° caso: aletta infinitamente lunga
x
0
condizioni al contorno
- x=0
- x= ∞
θ = θ 0 = T0 − T∞
θ=0
θ = c1 e mx + c 2 e − mx
per la seconda condizione
per la prima
c1=0
c2 = θ 0
θ = θ 0 e − mx
flusso complessivamente scambiato:
dT
= −kAθ 0 (−m) ⎡e − mx ⎤ = kAθ 0 m = θ 0 hpkA
q = −kA
⎢⎣
⎥⎦ x = 0
dx x = 0
oppure
∞
∞
∞
hp
⎡ 1 − mx ⎤
−
mx
q = ∫ hθpdx = ∫ hpθ 0 e
dx =hpθ 0 ⎢− e
=
θ 0 = θ 0 hpkA
⎥
m
⎣ m
⎦0
0
0
2° caso: lunghezza finita, condizione adiabatica all’estremità
x
0
L
condizioni al contorno
dθ
=0
dx x = 0
θ = θ0
- x=0
- x= L
θ = c1 cosh(mx) + c 2 sinh (mx)
dθ
= c1 m sinh (mx) + c 2 m cosh(mx)
dx
dove
cosh(mx) =
e mx + e − mx
2
sinh (mx) =
per la prima condizione
c2=0
per la prima
θ 0 = c1 cosh(mL)
c1 =
e mx − e − mx
2
θ0
cosh(mL)
quindi
θ = θ0
cosh(mx)
cosh(mL)
flusso complessivamente scambiato:
⎞
⎛
sinh (mL)
dT
⎟⎟ = kAθ 0 m
q = −⎜⎜ − kA
= θ 0 hpkA tanh (mL)
dx x = L ⎠
cosh(mL)
⎝
3° caso: lunghezza finita, coeff. di scambio h all’estremità
x
0
h
t
L
condizioni al contorno
⎞
⎛
dθ
⎟ = hAθ(0)
− ⎜⎜ − kA
dx x = 0 ⎟⎠
⎝
θ = θ 0 (da non confondere
- x=0
- x= L
con θ(0) )
θ = c1 cosh(mx) + c 2 sinh (mx)
θ(0) = c1
dθ
dx
prima condizione:
= c1 m sinh (0) + c 2 m cosh(0) = c 2 m
x =0
c 2 = c1
kAc 2 m = hAc1
quindi
θ = c1 cosh(mx) + c1
h
sinh (mx)
km
applicando la condizione in L ottengo
θ 0 = c1 cosh(mL) + c1
c1 =
h
sinh (mL)
km
θ0
h
cosh(mL) +
sinh (mL)
km
e
h
km
c2 =
h
cosh(mL) +
sinh (mL)
km
θ0
in definitiva
h
sinh (mx)
km
θ = θ0
h
cosh(mL) +
sinh (mL)
km
cosh(mx) +
h
cosh (mx)
dθ
km
= θ0 m
h
dx
cosh(mL) +
sinh (mL)
km
sinh (mx) +
h
km
flusso complessivamente scambiato:
h
h
cosh (mL)
sinh (mL) +
cosh (mL)
⎛
⎞
dT
km
km
⎜
⎟
q = −⎜ − kA
= kAθ 0 m
= hpkA
h
h
dx x = L ⎟⎠
⎝
cosh(mL) +
sinh (mL)
cosh(mL) +
sinh (mL)
km
km
sinh (mL) +
invece di usare questa espressione si ottiene una approssimazione accettabile usando
l’espressione vista in precedenza per aletta adiabatica all’estremità ma aumentando la
lunghezza di metà dello spessore:
Lc=L+t/2
q = θ 0 hpkA tanh (mLc )
ht
< .06
k
risultati accurati se
Efficacia di aletta (effectiveness)
rapporto fra flusso termico asportato dall’aletta e flusso che sarebbe scambiato in
assenza di aletta
q
A area della sezione
ε=
hAθ 0
Nel caso di aletta infinitamente lunga, ad esempio, si ha
ε=
θ 0 hpkA
hAθ 0
=
kp
hA
l’aletta non è giustificata se ε < 2 .
Es. consideriamo l’aletta con estremità isolata, si ha:
θ hpkA tanh(mL)
kp
ε= 0
=
tanh(mL)
hAθ 0
hA
siccome per mL=2.3 abbiamo tanh(mL)= 0.98 non ha molto senso estendere la
lunghezza oltre
L= 2.3/m
Efficienza di aletta (efficiency)
più corretta da un punto di vista termodinamico.
rapporto fra flusso termico asportato dall’aletta e flusso che sarebbe scambiato se
l’intera aletta si trovasse alla temperatura uniforme della base
η=
q
hAaletta θ 0
per una aletta a sezione costante isolata all’estremità abbiamo
η=
θ 0 hpkA tanh(mL)
hpLθ 0
=
tanh(mL)
L
h2 p2
hpkA
=
tanh(mL)
mL
tanh(mL)
1
= lim
=1
mL → 0
mL → 0 cosh 2 ( mL)
mL
tanh(mL)
lim
=0
mL → ∞
mL
lim
per questo tipo di aletta, quindi, alette corte sono ben sfruttate (efficienza) ma hanno
scarsi effetti (efficacia).
Se l’aletta non è isolata all’estremità si usa l’espressione approssimata
tanh(mLc )
η=
mLc
si noti che per alette molto larghe (larghezza w) rispetto allo spessore t si ha
p ≅ 2w
A = wt
hp
2h
Lc =
Lc
kA
kt
e chiamando Ap l’area della sezione longitudinale dell’aletta
mLc =
A p = Lc t
abbiamo:
1/ 2
⎛ 2h ⎞
2hLc
⎟ (Lc )3 / 2
Lc = ⎜
mLc ==
⎜k A ⎟
k Ap
p ⎠
⎝
ecco perché l’efficienza di aletta si trova spesso espressa in funzione del gruppo
sopradescritto.
I grafici di h servono a calcolare il flusso asportato e disperso mediante la
q = η = hAaletta θ 0
dove l’area complessiva vale
al. rettangolare
Aaletta = 2wLc
al. triangolare
Aaletta = 2w L2 + (t / 2) 2
al. parabolica
Aaletta = 2.05w L2 + (t / 2) 2
al. a disco
Aaletta = 2r (r22 − r12 )
[
[
]
1/ 2
]
1/ 2
Efficienza globale di alettatura
si riferisce ad un array di alette e l’area di scambio è quella totale, compresa la parte non
alettata.
η tot =
q tot
hAtot θ 0
Atot = Abase non alettata + Aalette
q tot = hθ 0 Abase non alettata + η aletta hθ 0 Aalette
q tot
= Abase non alettata + η aletta Aalette
hθ 0
A
+ η aletta Aalette ( Atot − Aalette ) + η aletta Aalette
= base non alettata
=
Atot
Atot
η tot Atot =
η tot
η tot = 1 −
Aalette
(1 − η aletta )
Atot