Calcolo Scientifico A.A. 2015/2016 - Progetto II
Consegna entro
18 Maggio 2016
(1a) Si vuole studiare la distribuzione di temperatura in una aletta di raffreddamento per un chip di computer. Possiamo schematizzare l’aletta come un dominio 1D
con asse x orientato dall’attaccatura, dove è fissata la temperatura, verso l’esterno
della aletta stessa (lunghezza L). La distribuzione di temperatura T = T (x) nella
aletta è data dalla legge in Ω = (0, L):
2
d T
− K(T − Te ) = 0
dx2
(1)
T (0) = 40◦ C, dT |
x=L = 0,
dx
dove Te è la temperatura dell’aria esterna e K è una costante che sintetizza diversi
parametri caratteristici della aletta. Si discretizzi tale problema con un metodo
opportuno alle differenze finite e lo si risolva considerando i valori L = 25mm,
K = 4000/m2 . Si studino le prestazioni della aletta al variare della temperatura
esterna. Si conduca una analisi di convergenza del problema, considerando come
esatta la soluzione ottenuta per una suddivisione “molto fine” del dominio Ω.
(1b) Si consideri ora un resistore elettrico schematizzato come un cilindro di raggio
R = 1 mm. Sia r ∈ (0, R) la coordinata radiale del cilindrico e si faccia la ipotesi
di assialsimmetria. L’equazione che regola la temperatura T = T (r) nel resistore è
data dalla legge
2
d T
1 dT
+
+ Q = 0,
dr2
r dr
(2)
(T (R) − Te ) = QR, dT (0) = 0,
dr
dove Q è un termine di sorgente e Te è la temperatura dell’aria esterna. Si discretizzi
tale equazione tramite un metodo opportuno alle differenze finite. Si determini il
profilo di temperatura per Te = 20 C◦ e se ne studi l’andamento al variare di Q. Si
dia una interpretazione delle condizioni al bordo.
(2) Per l’integrazione numerica del problema ai valori iniziali y 0 (t) = f (t, y(t)),
y(t0 ) = y0 , si consieri il seguente metodo di approssimazione ad un passo definito
dall’iterazione (assegnata la suddivisione t0 < t1 < ... < tN = T , uniforme tn+1 =
tn + h, con h passo costante)
yn+1
h
h
= yn + hf tn + , yn + f (tn , yn ) .
2
2
- Dare una interpretazione geometrica o in termini di formula di quadratura del
metodo.
- Implementare in uno script MATLAB il metodo ora descritto con passo costante
h.
- Stimare l’ordine di convergenza del metodo attraverso l’approssimazione di un
problema di cui si conosce la soluzione esatta. Studiare la convergenza del metodo.
- Valutare l’ordine dell’errore locale e confrontare il risultato con gli esperimenti
numerici (grafico dell’errore globale in funzione del parametro h in scala logaritmica).
- Studiare l’assoluta stabilità del metodo attraverso il semplice problema modello
(λ ∈ C),
y 0 (t) = λy(t), y(0) = y0 .
(3) Una tipica reazione enzimatica può essere descritta attraverso lo schema
seguente,
K
1
K2
→
E+S −
←
− C −−→ P + E,
K−1
dove E è un enzima, S il substrato, C un complesso formato da E e da S, P è un
prodotto. Inoltre K1 , K−1 , K2 sono opportune costanti. Indicando con le lettere
minuscole le concentrazioni in gioco, e = [E], s = [S], c = [C], p = [P ], dalla legge
di massa azione abbiamo il seguente sistema di equazioni differenziali,
s0 (t) = −K1 e(t)s(t) + K−1 c(t),
e0 (t) = −K e(t)s(t) + (K + K )c(t),
1
−1
2
0
c (t) = K1 e(t)s(t) − (K−1 + K2 )c(t),
0
p (t) = K2 c(t)
(3a) Verificare che vale la seguente legge di conservazione, de/dt+dc/dt = 0, quindi:
e(t) + c(t) = costante = e(0) + c(0). Supponendo c(0) = 0, e(0) = e0 > 0, ridurre il
sistema originale ad un sistema che contenga solo le variabili: s, c, p.
(3b) Utilizzando la funzione MATLAB ode45 approssimare la soluzione del sistema
ridotto considerando K1 = 0.2, K−1 = 1, K2 = 0.6; e0 = 0.5, 1, 2, 4, 8, mentre le
altre condizioni iniziali sono c(0) = 0, s(0) = 10, p(0) = 0 e t ∈ [0, 100].
(3c) Supponendo di considerare un intervallo di tempo in cui (ipotesi quasi stazionarietà), dc/dt ≈ 0, ridurre ulteriormente il sistema a due sole equazioni nelle
concentrazioni s e p. Approssimare quest’ultimo sistema confrontando i risultati
con quelli del punto precedente utilizzando i medesimi valori per i parametri e di e0 .
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