Metodi Matematici per l’Ingegneria Davide Buoso Esercitazione del 08/03/2016 Un po’ di teoria Cominciamo ricordando che un numero complesso z può essere scritto in due modi: • in forma algebrica, con parte reale e parte immaginaria: z = x + iy, ove x e y sono numeri reali. Nel piano di Gauss, la parte reale x rappresenta l’ascissa, mentre la parte immaginaria y rappresenta l’ordinata; • in forma trigonometrica, con modulo e argomento: z = ρ(cos θ + i sin θ), ove ρ è reale positivo e θ è un numero reale. Nel piano di Gauss, il modulo rappresenta la distanza tra z e l’origine (che altri non è che il numero 0), mentre θ rappresenta l’angolo tra l’asse reale e il vettore da 0 a z; ciò è del tutto analogo alle coordinate polari in R2 . Introduciamo a questo punto la formula di Eulero: ea+ib = ea (cos b + i sin b). Osserviamo subito due cose molto importanti: • se z = ea+ib , allora il modulo di z è ea e il suo argomento è b; • abbiamo una definizione delle funzioni trigonometriche in termini dell’esponenziale complesso. Più in generale, possiamo definire le funzioni trigonometriche in C in modo seguente eiz − e−iz eiz + e−iz , sin z = . cos z = 2 2i È chiaro che le funzioni cosı̀ definite sono una generalizzazione delle funzioni trigonometriche classiche definite sui reali. Definiamo qui anche le funzioni iperboliche cosh z = ez + e−z ez − e−z , sinh z = . 2 2 1 Queste funzioni come si vede sono molto simili alle loro cugine trigonometriche. Mentre queste ultime servono a parametrizzare circonferenze ed ellissi, le funzioni iperboliche si possono usare per parametrizzare le iperboli. Di più, cosh è pari (come cos) e sinh è dispari (come sin). Inoltre, soddisfano l’uguaglianza fondamentale (cosh z)2 − (sinh z)2 = 1 ∀z ∈ C. Come funzioni di variabile reale, non sono periodiche a differenza delle funzioni trigonometriche. Notiamo però che cosh x è sempre maggiore o uguale a 1 (con uguaglianza solo per x = 0) e il suo grafico assomiglia ad una parabola con vertice in (0, 1) (ma attenzione! non è una parabola), invece sinh x ha lo stesso segno di x (e sinh 0 = 0), e il suo grafico assomiglia ad una cubica. Osserviamo anche che, analogamente alle funzioni trigonometriche, si possono introdurre anche i corrispettivi iperbolici di tangente, cotangente, secante e cosecante. Concludiamo con le seguenti identità che legano funzioni trigonometriche e funzioni iperboliche: cosh iz = cos z, cos iz = cosh iz, sinh iz = i sin iz, sin iz = i sinh iz. Esercizi Esercizio 1. Scrivere i seguenti numeri complessi in forma trigonometrica: z = 2 + 2i, z = −5 + 3i. Svolgimento. √Cominciamo con z = 2 + 2i. Anzitutto osserviamo che |z| = √ 22 + 22 = 2 2. Ricordando che l’argomento di un numero complesso è l’arcotangente del rapporto tra la sua parte √ immaginaria e quella reale, abbiamo allora θ = arctan 1 = π/4. Quindi z = 2 2(cos π4 + i sin π4 ). Il resto è lasciato come esercizio per casa. 5 Esercizio 2. Scrivere i seguenti numeri complessi in forma algebrica: z = 3e 6 πi , √ π z = 2e 3 i . 5 Svolgimento. Cominciamo con z = 3e 6 π . Abbiamo √ √ 5 5 3 i 3 3 3 z = 3(cos π + i sin π) = 3(− + )=− + i. 6 6 2 2 2 2 Il resto è lasciato come esercizio per casa. Esercizio 3. Risolvere l’equazione iz 2 − 2z̄ − 2 − i = 0. Svolgimento. Poniamo z = x + iy, con x, y ∈ R. L’equazione diventa i(x2 − y 2 + 2ixy) − 2x + 2iy − 2 − i = 0, da cui (−2xy − 2x − 2) + i(x2 − y 2 + 2y − 1) = 0. 2 Ricordiamo che un numero complesso è uguale a zero se e solo se parte reale e parte immaginaria sono ambedue nulle. Quindi xy + x + 1 = 0, x2 − y 2 + 2y − 1 = 0, e risolvendo la seconda equazione per y otteniamo y = 1 ± x. Ora andiamo a sostituire nella prima equazione. • Se y = 1 + x, allora x(1 + x) + x + 1 = 0, da cui otteniamo (x + 1)2 = 0, quindi x = −1. • Se y = 1 − x, allora x(1 − x) + x + 1 = 0, √ da cui otteniamo x − 2x − 1 = 0, quindi x = 1 ± 2. √ √ √ √ Quindi le soluzioni sono z = −1, z = 1 + 2 − i 2, z = 1 − 2 + i 2. 2 Esercizio 4. Risolvere l’equazione z̄ 3 + z 2 = 0. Svolgimento. Abbiamo z̄ 3 = −z 2 , da cui |z|3 = |z|2 , ovvero z = 0 oppure |z| = 1. Ora, se z 6= 0 abbiamo z̄ 5 = −z 2 z̄ 2 = −|z|4 = −1, quindi z 5 = −1. Ricordiamo che −1 = eπi , quindi le soluzioni sono z=e 2k+1 5 πi , per k = 0, . . . , 4. Esercizio 5. Risolvere l’equazione sin z = i. Svolgimento. Ricordiamo che sin z = eiz −e−iz . 2i Quindi l’equazione diventa eiz − e−iz = i, 2i da cui otteniamo e2iz + 2eiz − 1 = 0, ovvero √ eiz = −1 ± 2. Ora poniamo z = x + iy e scriviamo e−y (cos x + i sin x) = −1 ± 3 √ 2. Siccome il membro di destra ha parte immaginaria nulla, deduciamo che pure il membro di sinistra deve avere tale proprietà e quindi x = kπ per k intero. Arriviamo quindi a √ √ e−y = (−1)k ± 2 = ±1 ± 2. Siccome il membro di sinistra è√sempre positivo, gli unici valori accettabili√per il membro di destra sono ±1 + 2, da cui otteniamo che y = − ln((−1)k + 2), quindi √ z = kπ − i ln((−1)k + 2), k ∈ Z. Esercizio 6. Risolvere le seguenti equazioni: z 2 −(2+3i)z+3i = 0, iz 2 +z 2 z̄ = 0, cos z = 2, 2 cosh z + sinh z = 1. Svolgimento. Esercizio per casa. 4