capitolo G1

Sintesi numerata della teoria del capitolo G1
Enti primitivi
il punto, la retta, la linea, il piano.
Definizione 1
Una figura geometrica è un insieme di punti
Definizione 2
Una dimostrazione è una sequenza di deduzioni che parte da quello che si suppone vero (ipotesi)
e arriva a quello che si vuole dimostrare (tesi)
Definizione 3
Un teorema è un enunciato di cui si fa vedere la veridicità mediante una dimostrazione.
Postulato 1 - Postulati di di appartenenza
1. Il piano è un insieme di punti. Le rette sono sottoinsiemi del piano;
2. A una retta appartengono almeno due punti distinti;
3. Nel piano esistono almeno tre punti che non appartengono alla stessa retta;
4. Due punti distinti appartengono entrambi a una e una sola retta.
Postulato 2 - Postulati d’ordine
1. Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B oppure B precede A;
2. Se A precede B e B precede C, allora A precede C;
3. Preso un punto A su una retta, c’è almeno un punto che precede A e uno che segue A;
4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c’è almeno un punto A della retta
che segue B e precede C
Definizione 4
Su una retta orientata consideriamo un punto P: chiamiamo semiretta di origine P l’insieme del
punto P e di tutti i punti che lo precedono, oppure l’insieme del punto P e di tutti i punti che lo
seguono.
Definizione 5
Su una retta orientata consideriamo i punti A e B, con A che precede B.
Il segmento di estremi A e B è l’insieme dei punti A e B e dei punti della retta che seguono A e
precedono B.
a) I punti compresi fra A e B sono detti punti interni del segmento
b) Un segmento è detto nullo se i suoi estremi coincidono, cioè è formato da un punto solo;
c) Due segmenti sono consecutivi se hanno in comune un solo estremo;
d) Due segmenti sono detti adiacenti se sono consecutivi e sulla stessa retta
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Postulato 3 - Partizione del piano mediante una retta
Una retta di un piano divide i punti del piano che non le appartengono in due insiemi distinti,
in modo che, se due punti appartengono allo stesso insieme, allora il segmento di cui sono estremi è
contenuto nell’insieme e non interseca la retta; se appartengono ad insiemi diversi, allora il segmento
interseca la retta.
Definizione 6
Considera una retta r di un piano, un semipiano di origine la retta r è l’insieme dei punti di r
e di uno dei due insiemi in cui il piano è diviso da r.
Definizione 7
Una figura è convessa se, presi due suoi punti qualsiasi, questi sono sempre estremi di un segmento
tutto contenuto nella figura.
In caso contrario è concava.
Definizione 8
In un piano consideriamo le semirette a e b con la stessa origine V .
Un angolo di vertice V e lati a e b è l’insieme dei punti delle semirette a e b e di una delle due parti
in cui esse dividono il piano
a) Un angolo è convesso se forma una figura convessa;
b) Un angolo è concavo se forma una figura concava;
c) Se i lati coincidono in una sola semiretta, chiamiamo angolo nullo l’angolo di cui fanno parte
soltano i punti della semiretta;
d) Se i lati coincidono in una sola semiretta, chiamiamo angolo giro l’angolo che ha per lati la
semiretta e fanno parte tutti i punti del piano;
e) Un angolo piatto è un angolo i cui lati sono semirette opposte;
f) Due angoli sono consecutivi se hanno in comune solo il vertice e uno dei due lati;
g) Due angolo sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non in comune sono semirette opposte;
h) Due angoli convessi sono opposti al vertice se i lati di uno sono le semirette opposte dei lati
dell’altro.
Postulato 4
1. La congruenza tra figure è una relazione di equivalenza;
2. Sono congruenti fra loro: due rette, due semirette, due semipiani.
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Definizione 9 - Tipi di linea
a) Ogni linea che non è una retta o una semiretta o un segmento viene detta linea curva;
b) Viene detto arco un tratto di curva compreso fra due suoi punti e i due punti sono detti estremi;
c) Una linea viene detta chiusa se gli estremi coincidono, altrimenti viene detta aperta;
d) Una linea viene detta intrecciata se interseca se stessa almeno una volta, altrimenti viene detta
non intrecciata
e) Una linea chiusa non intrecciata divide il piano in due insiemi: l’insieme dei punti interni e
l’insieme dei punti esterni alla linea.
Postulato 5 - Partizione del piano mediante una linea chiusa
Una linea che congiunge un punto interno e un punto esterno di una linea chiusa la interseca in
almeno un punto.
Definizione 10
Dati su un piano i punti C e P , la circonferenza di centro C e raggio CP è l’insieme dei punti
del piano che hanno da C distanza uguale a quella di P .
Postulato 6 - Postulato della circonferenza
Presi a piacere, in un piano, un punto e un segmento, esiste una sola circonferenza che ha per centro
quel punto e per raggio quel segmento.
Definizione 11
Una poligonale o spezzata è un insieme di segmenti tale che:
• ogni segmento è consecutivo ma non adiacente al successivo;
• ogni estremo dei segmenti appartiene al massimo a due di essi.
Definizione 12
Un poligono è l’insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti
interni.
a) i segmenti che formano la poligonale sono detti lati e i loro estremi sono detti vertici;
b) In un poligono gli angoli convessi formati dalle semirette di lati consecutivi sono detti angoli
del poligono o angoli interni;
c) In un poligono gli angoli adiacenti agli angoli interni sono detti angoli esterni, a ciascun angolo
interno corrispondono due angoli esterni;
d) In un poligono i segmenti che hanno per estremi sue vertici del poligono che non appartengono
ad uno stesso lato sono detti diagonali del poligono;
e) Un poligono con tutti i lati congruenti è detto equilatero, mentre con tutti gli angoli congruenti
è detto equiangolo
f) Un poligono è regolare se è sia equilatero che equiangolo.
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Postulato 7 - Trasporto di un segmento
• Consideriamo un segmento P Q e una semiretta di origine A
• Sulla semiretta esiste, ed è unico, il punto B appartenente alla semiretta tale che AB ∼
= PQ
Postulato 8 - Trasporto di un angolo
• Consideriamo un angolo α e un semipiano π. Sulla retta che origina il semipiano prendiamo una
semiretta a di origine V
• Nel piano esiste, ed è unico, l’angolo β congruente ad α con vertice V , un lato coincidente con a
e l’altro appartenente al semipiano π.
Postulato 9 - Postulati sulla somma e la differenza di segmenti o angoli congruenti
a) Somme o differenze di segmenti congruenti sono congruenti;
b) Somme o differenze di angoli congruenti sono congruenti.
Definizione 13 - Nuova definizione di angolo
Definizione 14
Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti.
Definizione 15
La bisettrice di un angolo è la semiretta che lo divide in due angoli congruenti.
Postulato 10 - Esistenza ed unicità del punto medio
Dato un segmento qualsiasi, esiste ed è unico il suo punto medio.
Postulato 11 - Esistenza ed unicità della bisettrice
Dato un angolo qualsiasi, esiste ed è unica la sua bisettrice.
Postulato 12 - Postulati sui multipli e sottomultipli di angoli e segmenti
a) Dati due segmenti (o due angoli) non nulli, è sempre possibile trovare un multiplo di uno dei due
che supera l’altro;
b) Esiste, ed è unico, il sottomultiplo di un segmento (o di un angolo) secondo un numero naturale
qualsiasi diverso da zero;
c) Multipli o sottomultipli secondo lo stesso numero di segmenti (o di angoli) congruenti sono
congruenti.
Definizione 16 - Tipi di angolo
a) Un angolo metà di un angolo piatto viene detto retto;
b) Un angolo minore di un angolo retto è detto acuto;
c) Un angolo maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto è detto ottuso.
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Definizione 17 - Tipi di coppie di angoli
a) Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto;
b) Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto;
c) Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro.
Teorema 1
Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti.
Teorema 2
Angoli opposti al vertice sono congruenti.
Definizione 18
La lunghezza di un segmento è la classe di equivalenza, della relazione di congruenza fra segmenti,
a cui appartiene il segmento.
Definizione 19
La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti.
Definizione 20
L’ampiezza di un angolo è la classe di equivalenza della relazione di congruenza fra angoli a cui
appartiene l’angolo.
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