ESERCIZI: VETTORI NUMERICI
1.
Stabilire se i seguenti sistemi di vettori numerici sono dipendenti o indipendenti
S1 = {(2, 0), (0, −1), (0, 2), (2, 1)} ⊆ R2 , S2 = {(3, 0, 1), (0, 1, −1), (0, 0, 1)} ⊆ R3 ,
S3 = {(4, 0, 1, 5), (−4, 0, 1, 5)} ⊆ R4 , S4 = {(0, 1, 0), (0, 0, 0), (1, −1, 0)} ⊆ R3 ,
S5 = {(1, 0, −1, 0), (2, 0, −2, 0), (3, 1, 0, 0)} ⊆ R4 .
2.
Determinare la chiusura lineare del sistema di vettori X = {(3, 1, 0), (0, 2, 1)} di R3 e, se possibile, completare
il sistema in una base di tutto lo spazio.
3.
Dimostrare che il seguente sistema di vettori di R4 è indipendente
S = {(−1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2), (0, 1, 1, −1)}
e determinare un vettore di R4 linearmente dipendente da S ed uno linearmente indipendente.
4. Assegnati u = (1, 0, −1), v = (0, 1, −2) e w = (−5, 10, 5) in R3 , stabilire se u ⊥ v, u ⊥ w e v ⊥ w e determinare
i loro moduli.
5.
In R3 , per ciascuno dei seguenti sistemi di vettori S1 = {(1, 0, 1), (0, −1, 0), (0, 1, 1), (0, 2, −2)},
S2 = {(0, 1, 1), (−1, 1, 1)} S3 = {(2, 2, 2), (1, 1, 1)},
S4 = {(2, −2, 1), (4, 4, 1), (0, 0, 1), (1, 1, −1)}, S5 = {(2, 2, 3), (0, 2, 1), (−5, 0, 0)},
S6 = {(1, 0, 0), (1, 1, 2), (−1, 1, 5)}, S7 = {(1, 1, 0), (0, −2, 0), (2, 2, 0), (2, 0, 0), (3, 1, 0)}
stabilire, giustificando le risposte,
i) se è linearmente dipendente o indipendente;
ii) se è un sistema di generatori di R3 ;
iii) se è una base di R3 ;
iv) se è possibile completarlo ad una base di R3 e, in caso affermativo, esibirne una.
6.
Assegnati i vettori di R4 x = (1, 0, 2, 1), y = (2, 1, 0, 0),
• Stabilire se sono dipendenti o indipendenti.
• Determniare un vettore linearmente dipendente da x e da y, ma non proporzionale a nessuno dei due.
• Determinare un vettore z indipendente da x e da y.
