Matematica II Bartolini Matematica III Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia 4 pag. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected]) B. DIMOSTRARE B1. Dimostrare che il prodotto di due numeri pari è un numero pari. 𝐻𝑝: 𝑎 = 2ℎ; 𝑏 = 2𝑘① 𝑇𝑠: 𝑎 ∙ 𝑏 = 2 ∙ (… ) =𝑎∙𝑏 = Sostituisco a e b per Hp① = 2ℎ ∙ 2𝑘 = Raccolgo il 2 = 2(ℎ ∙ 𝑘) cvd B2. Dimostrare che il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari. Hp:① a=2h+1 b=2k+1 Ts: a∙b=2(…)+1 Sostituisco a e b per Hp ① 𝑎∙𝑏 = = (2ℎ + 1)(2𝑘 + 1) = = 4ℎ𝑘 + 2ℎ + 2𝑘 + 1 = Raccolgo 2 = 2(2ℎ𝑘 + ℎ + 𝑘) + 1 cvd B3. Dimostrare che il prodotto di un numero pari per un numero dispari è un numero pari. Hp:① a=2h b=2k+1 Ts: a∙b=2(…)+1 Sostituisco a e b per Hp ① 𝑎∙𝑏 = = 2ℎ ∙ (2𝑘 + 1) = = 2[ℎ ∙ (2𝑘 + 1)] Cvd B4. Dimostrare che la somma di due numeri pari è un numero pari Hp:① a=2h b=2k Ts: a+b=2(…) Sostituisco a e b per Hp ① 𝑎+𝑏 = = 2ℎ + 2𝑘 = = 2(ℎ + 𝑘) Cvd Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected]) B5. Dimostrare che la somma di due numeri dispari è un numero pari Hp:① a=2h+1 b=2k+1 Ts: a+b=2(…) Sostituisco a e b per Hp ① 𝑎+𝑏 = = 2ℎ + 1 + 2𝑘 + 1 = = 2ℎ + 2𝑘 + 2 = = 2(ℎ + 𝑘 + 1) Cvd B6. Dimostrare che la somma di un numero pari e di un numero dispari è un numero dispari. Hp:① a=2h b=2k+1 Ts: a+b=2(…)+1 Sostituisco a e b per Hp ① 𝑎+𝑏 = = 2ℎ + 2𝑘 + 1 = = 2(ℎ + 𝑘) + 1 Cvd B7. Dimostrare che se n2 è pari n è pari Hp:① n2=2h Ts:② n=2k Dimostro per contronominale: dalla negazione della Ts devo arrivare alla negazione Hp Nego Ts: supponiamo che n sia dispari 𝑛 = 2𝑘 + 1 𝑛2 = (2𝑘 + 1)2 (2𝑘 + 1)2 = = 4𝑘 2 + 4𝑘 + 1 = = 2(2𝑘 2 + 2𝑘) + 1 cvd (negazione Hp) B8. Dimostrare che se n2 è dispari n è dispari. Hp:① n2=2h+1 Ts:② n=2k +1 Dimostro per contronominale: dalla negazione della Ts devo arrivare alla negazione Hp Nego Ts: supponiamo che n sia pari 𝑛 = 2𝑘 𝑛2 = (2𝑘)2 (2𝑘)2 = = 4𝑘 2 = = 2(2𝑘 2 ) cvd (negazione Hp) Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected]) B9. Dimostrare che se ab = 0 allora uno almeno tra a e b è 0. Hp: a∙b=0 Ts: a=0 b=0 Dimostro per assurdo: Metto insieme Hp e negazione Ts devo arrivare a contraddizione Nego Ts: 𝑎 ≠ 0① Hp: ab=0 ③ 𝑏 ≠0② ab=0 Divido per a 𝑎𝑏 = 0 Divido per b 𝑎𝑏 =0 → 𝑎 𝑎𝑏 =0→ 𝑏 B10. Dimostrare che il numero n (n+1) è pari per ogni n Hp: n n+1 𝑏 = 0 contraddizione② cvd 𝑎 = 0 contraddizione① cvd Ts: n(n+1)=2(…) n: o è pari n=2k o è dispari n=2k+1 Considero n pari n=2k 𝑛(𝑛 + 1) = = 2𝑘(2𝑘 + 1) = Considero n dispari n=2k+1 = 2[𝑘(2𝑘 + 1)]cvd 𝑛(𝑛 + 1) = = (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 2) = = 2[(2𝑘 + 1)(𝑘 + 1)]cvd B11. Dimostrare che il numero n(n+1)(n+2) è multiplo di 3 per ogni n. Hp: ① n(n+1)(n+2) Ts: n(n+1)(n+2)=3(…) n: n=3k ∨ n=3k+1 ∨ n=3k+2 Considero n=3k 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) = = 3𝑘(3𝑘 + 1)(3𝑘 + 2) = = 3[𝑘(3𝑘 + 1)(3𝑘 + 2)]cvd Considero n=3k+1 ①= (3𝑘 + 1)(3𝑘 + 2)(3𝑘 + 3) = = 3[(3𝑘 + 1)(3𝑘 + 2)(𝑘 + 1)]cvd Considero n=3k+2 ① = (3𝑘 + 2)(3𝑘 + 3)(3𝑘 + 4) = = 3[(3𝑘 + 2)(𝑘 + 1)(3𝑘 + 4)]cvd Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected]) B12. Dimostrare che il numero n(n+1)(n+2)(n+3) è multiplo di 4 per ogni n Hp: ① n(n+1)(n+2)(n+3) Ts: (n+1)(n+2)(n+3)=4(…) n: n=4k ∨ n=4k+1 ∨ n=4k+2 ∨ n=4k+3 Considero n=4k n(n+1)(n+2)(n+3) = 4𝑘(4𝑘 + 1)(4𝑘 + 2)(4𝑘 + 3) = = 4[𝑘(4𝑘 + 1)(4𝑘 + 2)(4𝑘 + 3)]cvd Considero n=4k+1 ①= (4𝑘 + 1)(4𝑘 + 2)(4𝑘 + 3)(4𝑘 + 4) = = 4[(4𝑘 + 1)(4𝑘 + 2)(4𝑘 + 3)(𝑘 + 1)]cvd Considero n=4k+2 ① = (4𝑘 + 2)(4𝑘 + 3)(4𝑘 + 4)(4𝑘 + 5) = = 4[(4𝑘 + 2)(4𝑘 + 3)(𝑘 + 1)(4𝑘 + 5)]cvd Considero n=4k+3 ① = (4𝑘 + 3)(4𝑘 + 4)(4𝑘 + 5)(4𝑘 + 6) = = 4[(4𝑘 + 3)(𝑘 + 1)(4𝑘 + 5)(4𝑘 + 6)]cvd B13. Dimostrare che la differenza tra il quadrato del numero (a+1) e il quadrato di a è dispari. Hp: (a+1)2 –a2 Ts: (a+1)2-a2 =2k+1 (𝑎 + 1)2 − 𝑎2 = = 𝑎2 + 2𝑎 + 1 − 𝑎2 = = 2𝑎 + 1 cvd B14. Dimostrare che la somma di un numero n con il suo doppio, il suo triplo e il suo quadruplo è un multiplo di dieci. Hp: n+2n+3n+4n Ts: n+2n+3n+4n=10k 𝑛 + 2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛 = = 10𝑛 cvd Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected])
