Matematica II Bartolini Matematica III Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia 4 pag. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected]) B. DIMOSTRARE B1. Dimostrare che il prodotto di due numeri pari è un numero pari. π»π: π = 2β; π = 2πβ ππ : π β π = 2 β (… ) =πβπ = Sostituisco a e b per Hpβ = 2β β 2π = Raccolgo il 2 = 2(β β π) cvd B2. Dimostrare che il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari. Hp:β a=2h+1 b=2k+1 Ts: aβb=2(…)+1 Sostituisco a e b per Hp β πβπ = = (2β + 1)(2π + 1) = = 4βπ + 2β + 2π + 1 = Raccolgo 2 = 2(2βπ + β + π) + 1 cvd B3. Dimostrare che il prodotto di un numero pari per un numero dispari è un numero pari. Hp:β a=2h b=2k+1 Ts: aβb=2(…)+1 Sostituisco a e b per Hp β πβπ = = 2β β (2π + 1) = = 2[β β (2π + 1)] Cvd B4. Dimostrare che la somma di due numeri pari è un numero pari Hp:β a=2h b=2k Ts: a+b=2(…) Sostituisco a e b per Hp β π+π = = 2β + 2π = = 2(β + π) Cvd Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected]) B5. Dimostrare che la somma di due numeri dispari è un numero pari Hp:β a=2h+1 b=2k+1 Ts: a+b=2(…) Sostituisco a e b per Hp β π+π = = 2β + 1 + 2π + 1 = = 2β + 2π + 2 = = 2(β + π + 1) Cvd B6. Dimostrare che la somma di un numero pari e di un numero dispari è un numero dispari. Hp:β a=2h b=2k+1 Ts: a+b=2(…)+1 Sostituisco a e b per Hp β π+π = = 2β + 2π + 1 = = 2(β + π) + 1 Cvd B7. Dimostrare che se n2 è pari n è pari Hp:β n2=2h Ts:β‘ n=2k Dimostro per contronominale: dalla negazione della Ts devo arrivare alla negazione Hp Nego Ts: supponiamo che n sia dispari π = 2π + 1 π2 = (2π + 1)2 (2π + 1)2 = = 4π 2 + 4π + 1 = = 2(2π 2 + 2π) + 1 cvd (negazione Hp) B8. Dimostrare che se n2 è dispari n è dispari. Hp:β n2=2h+1 Ts:β‘ n=2k +1 Dimostro per contronominale: dalla negazione della Ts devo arrivare alla negazione Hp Nego Ts: supponiamo che n sia pari π = 2π π2 = (2π)2 (2π)2 = = 4π 2 = = 2(2π 2 ) cvd (negazione Hp) Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected]) B9. Dimostrare che se ab = 0 allora uno almeno tra a e b è 0. Hp: aβb=0 Ts: a=0 b=0 Dimostro per assurdo: Metto insieme Hp e negazione Ts devo arrivare a contraddizione Nego Ts: π ≠ 0β Hp: ab=0 β’ π ≠0β‘ ab=0 Divido per a ππ = 0 Divido per b ππ =0 → π ππ =0→ π B10. Dimostrare che il numero n (n+1) è pari per ogni n Hp: n n+1 π = 0 contraddizioneβ‘ cvd π = 0 contraddizioneβ cvd Ts: n(n+1)=2(…) n: o è pari n=2k o è dispari n=2k+1 Considero n pariο n=2k π(π + 1) = = 2π(2π + 1) = Considero n dispariο n=2k+1 = 2[π(2π + 1)]cvd π(π + 1) = = (2π + 1)(2π + 2) = = 2[(2π + 1)(π + 1)]cvd B11. Dimostrare che il numero n(n+1)(n+2) è multiplo di 3 per ogni n. Hp: β n(n+1)(n+2) Ts: n(n+1)(n+2)=3(…) n: n=3k ∨ n=3k+1 ∨ n=3k+2 Considero n=3k π(π + 1)(π + 2) = = 3π(3π + 1)(3π + 2) = = 3[π(3π + 1)(3π + 2)]cvd Considero n=3k+1 β = (3π + 1)(3π + 2)(3π + 3) = = 3[(3π + 1)(3π + 2)(π + 1)]cvd Considero n=3k+2 β = (3π + 2)(3π + 3)(3π + 4) = = 3[(3π + 2)(π + 1)(3π + 4)]cvd Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected]) B12. Dimostrare che il numero n(n+1)(n+2)(n+3) è multiplo di 4 per ogni n Hp: β n(n+1)(n+2)(n+3) Ts: (n+1)(n+2)(n+3)=4(…) n: n=4k ∨ n=4k+1 ∨ n=4k+2 ∨ n=4k+3 Considero n=4k n(n+1)(n+2)(n+3) = 4π(4π + 1)(4π + 2)(4π + 3) = = 4[π(4π + 1)(4π + 2)(4π + 3)]cvd Considero n=4k+1 β = (4π + 1)(4π + 2)(4π + 3)(4π + 4) = = 4[(4π + 1)(4π + 2)(4π + 3)(π + 1)]cvd Considero n=4k+2 β = (4π + 2)(4π + 3)(4π + 4)(4π + 5) = = 4[(4π + 2)(4π + 3)(π + 1)(4π + 5)]cvd Considero n=4k+3 β = (4π + 3)(4π + 4)(4π + 5)(4π + 6) = = 4[(4π + 3)(π + 1)(4π + 5)(4π + 6)]cvd B13. Dimostrare che la differenza tra il quadrato del numero (a+1) e il quadrato di a è dispari. Hp: (a+1)2 –a2 Ts: (a+1)2-a2 =2k+1 (π + 1)2 − π2 = = π2 + 2π + 1 − π2 = = 2π + 1 cvd B14. Dimostrare che la somma di un numero n con il suo doppio, il suo triplo e il suo quadruplo è un multiplo di dieci. Hp: n+2n+3n+4n Ts: n+2n+3n+4n=10k π + 2π + 3π + 4π = = 10π cvd Document shared on www.docsity.com Downloaded by: giampaolo-muntoni ([email protected])
