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Identità ed Equazioni

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Identità ed Equazioni
Prof. Perugini
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Indice
– Introduzione
– Identità
– Equazione
– Primo principio di equivalenza
– Secondo principio di equivalenza
– Risoluzione di una equazione
– Discussione
– Verifica
– Applicazione delle equazioni
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Cosa vedremo
Uguaglianza tra espressioni algebriche di cui almeno una letterale
Espressione algebrica: espressione matematica che presenta numeri
sia positivi che negativi
L’espressione algebrica nella quale alcuni numeri sono rappresentati da
lettere viene definita espressione letterale
espressione algebrica = espressione
1° membro
2° membro
algebrica
Almeno una delle due espressioni comprende anche lettere
Esempi:
4x + 7 = 3 - x
3y = 2y
+y
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Perché le lettere?
Se volessimo risolvere il seguente indovinello.
Quale numero manca dove c’è il quadratino?
–2=4
Il quadratino serve per indicare che lì ci va il numero mancante che
permette di rendere vera l’uguaglianza.
In matematica, però, non si usano le caselle vuote ma le lettere. (di solito la
x ma anche la y o la z e altre lettere).
Perché si usano le lettere?
x–2=4
– Perché è più facile scrivere "x " che disegnare la
casella vuota
– Perché se ci sono più caselle vuote che
rappresentano numeri differenti non potremmo
indicarle con la stessa casella vuota e mentre si
possono usare lettere diverse
La lettera, in questo caso la x, significa "qui c’è un numero che ancora non
sappiamo qual è". Questo numero sconosciuto e quindi la x prende il
nome di INCOGNITA
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Identità
L’identità è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una
letterale, sempre vera. L’uguaglianza non dipende dal valore assegnato alla
lettera
3x =
+x
2x
3· 1 = 2 · 1
+1
3· 2 = 2 · 2
+2
3· 3 = 2 · 3
3·+3
(-1) = 2 · (-
x=1
x=2
x=3
x=-1
3=3
6=6
9=9
-3=-3
1) -1
Qualunque sia il valore della lettera x avremo sempre un’uguaglianza
Le identità si usano per:
- Esprimere delle proprietà o delle regole
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
a+b=b+a
(proprietà commutativa)
(sviluppo di un quadrato)
- Trasformare e/o semplificare le espressioni algebriche
Perimetro rettangolo = b +b + h + h = 2b + 2h
6
L’identità è come una bilancia inizialmente in equilibrio
sulla quale vengono poggiati, su entrambi i patti, lo
stesso peso
Se aggiungiamo lo stesso peso su entrambi i piatti
della bilancia questa continuerà a rimanere in
equilibrio indipendentemente dal peso presente nei
sacchi
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Equazione
Un’equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui
almeno una letterale, verificata solo per particolari valori assegnati alle
lettere presenti
3x = 2x
+2 x = 1
x=2
x=3
x=-1
3· 1 = 2 · 1
+2
3· 2 = 2 · 2
+2
3· 3 = 2 · 3
3·+2
(-1) = 2 · (-1)
3≠4
6=6
9≠8
-3≠0
+2
Solo per un valore della lettera x l’uguaglianza risulta verificata
Le equazioni si usano per:
Esprimere in termini matematici regole, leggi, fenomeni,
problemi, teorie, ecc., e sono delle condizioni che le variabili in
gioco devono soddisfare
8
Le lettere che compaiono si dicono incognite
In una equazione si distinguono:
Il primo membro
Il secondo membro
Un segno di uguaglianza che separa il primo ed il secondo membro
incognita
segno di uguaglianza
x + 2 == 6
1° membro 2° membro
9
Un’equazione si può rappresentare con una bilancia a due bracci
inizialmente equilibrio sui cui piatti vengono posti pesi differenti
(nel nostro caso mele ed un sacco da 1 kg)
1 kg
Ci sarà solo un unico e solo valore del numero di mele che
riporterà in equilibrio le braccia della bilancia-
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In una equazione non tutti i valori numerici dell’incognita rendono
vera l’uguaglianza. Per un valore l’uguaglianza è vera (il primo
membro è uguale, ha lo stesso valore numerico, del secondo
membro) per altri l’uguaglianza non è vera (come prima solo un
determinato numero di mele riportava in equilibrio i piatti).
x=1→1+2≠6
x=2→2+2≠6
Esempio
X+2=6
x=3→3+2≠6
x = 4 → 4 + 2 = 6 L’uguaglianza è VERA
x=5→2+2≠6
Il valore numerico che rende vera l’uguaglianza si dice soluzione
La soluzione dell’equazione
X+2=6
X=4
è
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Due equazioni si definiscono equivalenti quando hanno la stessa
soluzione
soluzione
dimostrazione
4x – 3 = 9
X=3
4· 3 – 3 = 9
12 – 3 = 9
9=9
3x – 2 = 7
X=3
3· 3 – 2 = 7
9– 2 = 7
7=7
l’uguaglianza è soddisfatta
Da questa considerazione derivano due principi fondamentali per la
risoluzione delle equazioni.
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Primo principio di equivalenza
Primo caso – Bilance alle quali si aggiungono gli stessi pesi su entrambi i piatti
Si aggiungono
5 mele
8 mele
1 sacco + 2 mele
13 mele
Se si aggiunge un peso ad
uno dei due piatti per
mantenere l’equilibrio si
deve aggiungere un peso
uguale anche sull’altro
1 sacco + 7 mele
piatto
Secondo caso – Bilance alle quali si sottraggono gli stessi pesi su entrambi i pi
Si
tolgono 2
mele
8 mele
1 sacco + 2 mele
6 mele
1 sacco
Se si sottrae un peso ad
uno dei due piatti, per
mantenere l’equilibrio si
deve sottrarre un peso
uguale anche sull’altro
piatto
Addizionando o sottraendo a entrambi i membri di una equazione la
stessa quantità (cioè lo stesso numero) si ottiene una equazione
equivalente a quella di partenza cioè un’equazione che ha la stessa
soluzione, lo stesso valore dell’incognita x
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Secondo principio di equivalenz
Primo caso – Bilance alle quali si moltiplicano i pesi su entrambi i piatti
Si
raddoppia
8 mele
1 sacco + 2 mele
Se si moltiplica un peso ad
uno dei due piatti per
mantenere l’equilibrio si
deve moltiplicare per lo
stesso valore il peso
16 mele 2 sacco + 4 mele presente anche sull’altro
piatto
Secondo caso – Bilance alle quali si dividono i pesi su entrambi i piatti
Se si divide un peso ad
uno dei due piatti per
mantenere l’equilibrio si
deve dividere per lo
stesso valore il peso
presente anche sull’altro
8 mele
1 sacco + 2 mele
4 mele
½ sacco e 1 mela
piatto
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per la
stessa quantità (cioè per lo stesso numero) si ottiene una equazione
equivalente a quella di partenza cioè un’equazione che ha la stessa
soluzione, lo stesso valore dell’incognita x
Si
dimezza
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Risoluzione di una equazione
Scopo della risoluzione di una equazione è determinare il valore della
lettera affinché l’uguaglianza risulti vera
Grazie al primo e al secondo principio di equivalenza si lavora
sull’equazione fino a ridurla in forma normale:
Forma normale: rappresenta
l’equazione più semplice nella
Coefficiente della x
Termine noto
ax = b
quale sono presenti un solo
termine al primo membro (di
solito quello con la x) ed un
solo termine al secondo
Esempi:
6x = 12
membro (di solito quello senza
la x)
Questo tipo di equazione è quella più semplice perché sono
presenti solo due termini, uno a destra e uno a sinistra del segno
dell’uguale, inoltre è anche quella più facile da risolvere.
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Vediamo come si arriva alla forma normale.
Si applicano il primo ed il secondo principio di equivalenza
Esempio
4x – 2 = 3x + 6
4x – 2 + 2 = 3x + 6 + 2
Regola del trasporto
I termini è come se si potessero
4x – 2 + 2 = 3x + 6 + 2 4x – 3x = 3x – 3x + 6 +
spostare da un membro all’atro
cambiando di segno
4x – 3x = 3x – 3x + 6 + 2
(applicazione del primo
principio di equivalenza)
X=8
Cambiamento dei segni
Si possono cambiare tutti i segni
(applicazione del secondo
principio di equivalenza)
– 6x = 12
6x = – 12
x = -- 2
Eliminazione dei denominatori 2 𝑥 = 4
3
6
Si possono eliminare alcuni o
tutti i denominatori presenti
2 (6) 2 𝑥 = 4 (6)
(applicazione del secondo
3
6
principio di equivalenza)
– 6x · (– 1) = 12 · (– 1)
2
4
(6) · 3 𝑥 = 6 · (6)
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ESEMPIO: come si risolve una equazione
5
3 7
𝑥+ =
8
4 2
Si riducono tutti i termini allo stesso denominatore (si trova il mcd: minimo
comun denominatore)
5
6 28
8
𝑥+
8
=
8
Si eliminano i denominatori (applicando il secondo principio di equivalenza)
8 ·
5
8
6
8
𝑥+ 8 · =
24
8
· 8 ·
Si spostano i termini da un membro all’altro (applicando il primo principio di
equivalenza) per avere al primo membro tutti i termini con la x e al secondo
membro tutti i termini senza la x
5 x = 24 – 6
Si sommano i termini simili in entrambi i membri così da avere un solo
termine sia a destra che a sinistra dell’uguale
5 x = 18
Si divide il termine noto per il coefficiente della x (secondo principio di
18
equivalenza)
x=
5
18
Discussione di una equazione
Equazione determinata
a≠0
Ha una sola soluzione
8
b
𝑥
=
x=
9x = 8
a
9
Attenzione!
anche se b = 0 in questa caso è determina
5x = 0
x = 0 0 è una soluzione
ax = b
b=0
Equazione indeterminata
Ha infinite soluzioni
0x = 0
Qualsiasi numero moltiplicato per 0
da come risultato 0
a=0
b≠0
Equazione impossibile
Non ha soluzioni reali
(cioè per quello che possiamo sapere
noi)
0x = 4
Nessun numero moltiplicato per 0
da un numero diverso da 0
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Verifica di una equazione
Per verificare, se una equazione è stata risolta correttamente, e quindi
per controllare se la soluzione è corretta si procede nel seguente modo.
Esempio
6x – 4 = 5 + 3 x
6x – 3x = 5 + 4
3x = 9
x=3
Verifica
6· 3 – 4 = 5 + 3 · 3
18 – 4 = 5 + 9
14 = 14
Nel testo di partenza dell’equazione si sostituisce la
x con il valore ottenuto, con la soluzione. Se dopo
la sostituzione della x con la soluzione trovata e
dopo aver svolto tutte le operazioni presenti nei due
membri si ottiene che l’uguaglianza è verificata, e
quindi ciò che sta a destra dell’uguale è identico a
ciò che sta a sinistra, allora il valore della x trovato
è corretto.
Attenzione! I numeri che si otterranno alla fine della verifica non devono
essere gli stessi della soluzione ma devono invece essere uguali
20
Applicazione delle equazioni
Un problema reale
Sofia ha comprato online 3 cover per il
suo telefono. Il costo della spedizione è
stato di €9 e il costo totale di €45.
Quanto è costata ciascuna cover?
Chiamiamo con x il costo di
una cover e traduciamo il
problema in linguaggio
matematico:
3 volte x più € 9 + uguale a € 45
3 x + 9 = 45
21
Un problema reale
3 x + 9 = 45
Inizio:
3x + 9 = 45
Sottrarre 9 da ambo le parti:
3x + 9 – 9 = 45 – 9
Semplificare:
3x = 36
Dividere per 3 ambo le parti: 3x : 3 = 36 : 3
Semplificare:
X = 12
22
Applicazione delle equazioni
“Pensa un numero,
aggiungi 5
e moltiplica il risultato per 2.
X
X+5
2 · (X + 5)
Che numero hai ottenuto?”
“Ho ottenuto 30”
2 · (X + 5) = 30
2 · X + 2 · 5 = 30
2 X + 10 = 30
2 X = 20
“Allora il numero che hai pensato è 10”
X = 10
23
Applicazione delle equazioni
24
25
Mappa concettuale
26
Fine
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