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Trasformatore.Esercizi

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Esercizio 1
Determinare la rete equivalente di un trasformatore trifase con le seguenti caratteristiche: potenza
nominale 800 kVA, frequenza nominale 50 Hz, rapporto di trasformazione a vuoto
20000
, potenza
400
assorbita nella prova a vuoto eseguita a tensione nominale 3200 W, corrente del primario nella prova a
vuoto 0,17 A, tensione di alimentazione del primario nella prova in corto circuito Vcc% = 4,5%,
potenza assorbita in corto circuito 7500 W. Calcolare inoltre il rendimento convenzionale del
trasformatore.
Svolgimento proposto:
La rete equivalente semplificata della macchina monofase, con il secondario riportato a primario, è la
seguente:
Z cc
Z0
V1n
τ V2
Per determinare la rete equivalente si devono calcolare le due impedenze equivalenti Z 0 e Z cc .
Dalla prova a vuoto, tenendo conto che il trasformatore in esame è trifase, si ricava:
cosψ 10 =
P0
3 ⋅ V1 n ⋅ I 10
V1 n
Z0 =
3 ⋅ I 10
=
=
3200
= 0.54
3 ⋅ 20000 ⋅ 0.17
20000
= 67.92 kΩ
3 ⋅ 0.17
da cui:
R0 = Z 0 cosψ 10 = 36.68 kΩ
X 0 = Z 0 senψ 10 = 57.17 kΩ
Dalla prova in corto circuito si ha:
Vcc =
4.5
⋅ 20000 = 900 V
100
I cc = I 1n =
P1 n
3 ⋅ V1 n
800000
= 23.1 A
3 ⋅ 20000
=
per cui
cosψ cc =
Pcc
3 ⋅ Vcc ⋅ I cc
Vcc
Z cc =
3 ⋅ I cc
=
=
7500
= 0.21
3 ⋅ 900 ⋅ 23.1
900
= 22.49 Ω
3 ⋅ 23.1
da cui
Rcc = Z cc cosψ cc = 4.72 Ω
X cc = Z cc senψ cc = 22.39 Ω
il rendimento convenzionale sarà
ηc =
Pn
800000
=
= 0.987
Pn + P0 + Pcc 800000 + 3200 + 7500
Esercizio 2
Dato il trasformatore dell’esercizio 1, calcolare le perdite negli avvolgimenti (tramite la Rcc) quando la
corrente nel primario è pari all’80% della corrente nominale
Svolgimento proposto:
Dal valore I1n dell’esercizio 1 si ricava la nuova corrente al primario:
I = 0.80 ⋅ I1n = 0.85 ⋅ 23.1 = 18.48 A
Considerando il valore Rcc dell’esercizio 1, la potenza persa negli avvolgimenti, essendo il
trasformatore trifase, non è altro che
Pavv = 3 ⋅ Rcc ⋅ I 2 = 3 ⋅ 4.72 ⋅ (18.48) 2 = 4.84 kW
Esercizio 3
Calcolare la caduta di tensione da vuoto a carico del trasformatore dell’esercizio 1, considerando un
fattore di potenza del carico pari a 0,8 e una corrente assorbita dal carico I12 (secondario riportato al
primario) pari all’80% della corrente nominale
Svolgimento proposto:
Riportando tutto al primario, la rete equivalente del trasformatore è:
Z 1cc
I10
V1
I12
Z0
Dall’esercizio 1, si ha:
V1 = 20000 V
V2 = 400 V
R1cc = 4.72 Ω
X 1cc = 22.39 Ω
I n = 23.1 A
mentre
I 12 = 0.8 ⋅ I n = 0.8 ⋅ 23.1 = 18.48 A
La caduta di tensione da vuoto a carico viene calcolata con:
∆V % =
( R1 cc ⋅ cosψ c + X 1cc sen ψ c ) ⋅ I 12
⋅ 100
V10
ed essendo dai dati cosψ c = 0.8 si ha:
∆V % =
(3.72 + 13.43) ⋅ 18.48
⋅ 100 = 1.6%
20000
τ V2
Per verificare il risultato, riportiamo tutto il sistema al secondario:
Z 2cc
I20
V1
τ
I2
Z0
τ2
V2
In questo caso si ha:
Z 2 cc =
Z1 cc
τ2
e quindi
R2cc =
R1cc 4.72
=
= 1.89 mΩ
τ2
50 2
X 2 cc =
X 1cc 22.39
=
= 8.96 mΩ
τ2
50 2
mentre
I 2 = τ ⋅ I 12 = 50 ⋅ 18.48 = 924
La caduta di tensione è così:
( R2 cc ⋅ cosψ c + X 2cc senψ c ) ⋅ I 2
(1.51 ⋅10 −3 + 5.38 ⋅ 10 −3 ) ⋅ 924
∆V % =
⋅ 100 =
⋅ 100 = 1.6%
V20
400
Esercizio 4
Calcolare la e disegnare la curva di rendimento del trasformatore dell’esercizio 1, considerando un
fattore di potenza del carico pari a 1 e una corrente assorbita dal carico I12 (secondario riportato al
primario) pari al 120%,100%, 80%, 60%, 40% e 20% della corrente nominale
Svolgimento proposto:
Riportando tutto al primario, la rete equivalente del trasformatore è:
Z 1cc
I12
I10
V1
η=
Z0
Pu
Pu + Pavv + Pmagn
dove:
Pu = 3 ⋅ V1n ⋅ I 12 ⋅ cos ϕ
Pavv ≅ 3 ⋅ Rcc ⋅ I 122
Pmagn ≅ P0
Dall’esercizio 1 si ha che Rcc = 4,74 Ω, mentre P0 = 3200 W.
Ponendo cosφ = 1 e I12 = 120% I1n = 27.72 A, si ha:
Pu = 3 ⋅ 20000 ⋅ 27.72 = 960221 W
Pavv ≅ 3 ⋅ 4.74 ⋅ (27.72) 2 = 10880 W
Pmagn ≅ 3200 W
η=
Pu
Pu + Pavv + Pmagn
= 0.9855
Ponendo cosφ = 1 e I12 = I1n = 23.1 A, si ha:
Pu = 3 ⋅ 20000 ⋅ 23.1 = 800 kW
Pavv ≅ 3 ⋅ 4.74 ⋅ (21.3) 2 = 7587 W
Pmagn ≅ 3200 W
η=
Pu
Pu + Pavv + Pmagn
= 0.9867
Zc
Ponendo cosφ = 1 e I12 = 80% I1n = 18.48 A, si ha:
Pu = 3 ⋅ 20000 ⋅ 18.48 = 639408 W
Pavv ≅ 3 ⋅ 4.74 ⋅ (18.48) 2 = 4836 W
Pmagn ≅ 3200 W
η=
Pu
Pu + Pavv + Pmagn
= 0.9876
Ponendo cosφ = 1 e I12 = 60% I1n = 13.86 A, si ha:
Pu = 3 ⋅ 20000 ⋅ 13.86 = 479556 W
Pavv ≅ 3 ⋅ 4.74 ⋅ (13.86) 2 = 2720 W
Pmagn ≅ 3200 W
η=
Pu
Pu + Pavv + Pmagn
= 0.9878
Ponendo cosφ = 1 e I12 = 40% I1n = 9.24 A, si ha:
Pu = 3 ⋅ 20000 ⋅ 9.24 = 320074 W
Pavv ≅ 3 ⋅ 4.74 ⋅ (9.24) 2 = 1209 W
Pmagn ≅ 3200 W
η=
Pu
Pu + Pavv + Pmagn
= 0.9864
Ponendo cosφ = 1 e I12 = 20% I1n = 4.62 A, si ha:
Pu = 3 ⋅ 20000 ⋅ 4.62 = 160037 W
Pavv ≅ 3 ⋅ 4.74 ⋅ (4.62) 2 = 456 W
Pmagn ≅ 3200 W
η=
Pu
Pu + Pavv + Pmagn
= 0.9777
La curva disegnata diviene così:
η
rendimento
0.99
0.988
0.986
0.984
0.982
0.98
0.978
0.976
0.974
0.972
20
40
60
80
I 12 /I 1n %
100
120
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