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calcolo infinitesimale e algebra lineare

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M. BRAMANTI C. D. PAGANI S. SALSA
MATEMATICA
CALCOLO INFINITESIMALE
E ALGEBRA LINEARE
seconda edizione
ZANICHELLI
INDICE
PREF'Ml'.:lON~;
CAPITOLO 1.
numeri
l
l. Ins iemi
2 . Som ma torie,
l
progr~ i' me
g comf"trica, formula d i Ncwton
3. I n u meri raz ionali. Cam pi onlinati
4
•
4. I n .uneri reali
lO
5. !-.l assimo C minimo . Bstremo superiore ed est·remo inferiore
6 . Potenze e n u licali. E..'iponenzia li e logar itm i
13
15
7. Insiemi infi niti
18
.s.
20
L'umer i complessi
O. Fuu:<:ioni
.,
32
1. Vettori nel p iano e nello spazio
.35
35
2. Geometr ia allalitica lineare nello s pazio
48
3 . Sp>l:Zi vettoriali
57
4 . l\'la trici c trasformazioni lint'.JU'i
5. S istemi lineari
7l
94
CAPITOLO 2. Elementi di geometria e algebra lineare
6. A utovett o ri ed a utovalori. Dill.gon o,1i7.za.:ionc
CAPITOLO 3 . Successioni e serie
l . S uccessioni
2. Serie numeriche
CAPITOLO 4. Funzio ni di una variabile, limiti e continuità
l. F\ul1.io ui nUUlt' riçbe. GeneTfllit.i1.
109
123
123
1.38
15 1
1[, 1
vi
Indv:I'
~--"
2 _ Liln it i. continu ità, ;L~i ll lot i
3 . Funziun i clprn entad
155
15Q
4 . Fun z io n i com p ostf' e inver"e
17G
5 . F u n zion i co n ti n ue
I S ,'l
o.
189
li c a lcolo d e i limiti
CAPITOLO 5 . Calcolo difTerem-:iale per funzioni di una v ariabile
203
1. Int.rod U7.io nc a l c alcolo di ffere n zia.le
2lJ::S
2_ Derivata d i u n a funzi o n e
206
3. RCfZplc di calcolo d e Ee d e rivale
2 17
4. Il t eor ema d e l va lo r medio e If-'
~ll e
GonS<-'2JIf'I1ZC
22(i
5 . Derivat.a seconda
2 ,1 5
6 . S t u d io d el gr afico d i u n a fUrJzi{HlI"
7 . C alco lo di ffc rcllz ia ie e a p prossim a zion i
8 . S er ie d i T ay-Ior , scli c d i p o t e nz e, esp mlen ziale com p lesso
CAPITOLO 6. Calcolo integrale per funzioni di una variabile
1. In troduz io n e 01 c alcolo in tegra1('
2_ L'integrale come limite di somme
~,
250
256
272
279
279
280
3 . P roprietà dell ' integ rale
28 4
4 . Il t eorenla fondamen ta.le d e l calco lo inf,('gralf'
28 0
5.
~ic to dj e LcIuent.ar i per la r icer r..-<'l d i u n a p rim it iva. Caleolo di integ rali
indefinit i e dcliu iti
28R
G. Alcu n e a p p li{:a:7.io n i fisieh e e g eom e t rkh f'
296
7 . F \ m ziou i integrab i li, integra li g e n e r a lizzat i
299
8 . Fu nzio n i in t e gntl i
30 8
9 . Omvoluz io n e e sistem i fi." ici linea r i
3H
l O. A p pen d ice : R icerc a d el le pri m it ive per alcune d al'''si d i funz ioni
317
CAPITOLO 7 . Equazioni differe nziali
329
1. ~Iodc lli d ifferenz iali
329
2 . Equazioni d e l p r im o o rd ine
:\31
3 _ Equazioni li near i d e l Hecondo o n l ille
34 4
4 . Cenni alle equa.:lio n i linea ri di or d in e n a coefikie llt i c{)I';tan t i
366
CAPITOLO B. Equazion i alle differenze
371
1. E-q ua :t.ioni a lle d iffere nze li n f'a r i ( p Timo o rdille )
37 1
2 . EqUli 7.io n i a lle d iffere Ilze li n f'a r i ( secondo o r d ine)
3 75
::I . Equazioni n o n li n ear i dci p r im o o rdi ne
380
-_. -
v II
-
CAPITOLO 9 . Calcolo inf ini tesimale per te c urve
1. Gh Dgget ll d fO l caJçolo lnJir utt'slIllll lc in più \'.:Lria,blli
C l1r ... ~ Ild pia.J:m ()
nf'l1o t;pa.zio com,: fuu.:iolii vet.tori àli di 'wl.[iabil~ re:\l~
2 . Limiti (; coutinuitil per
fUli,l1oIli yc ttori~li
387
d i variabile rc aL~
3. Arco di curva co n tinlla, regolaro!
4. Lunghezza d i
U ll <U(~)
392
399
eli cu rva
5, I megr aLi di iinca :di pnma specie)
40 2
CAPITOLO 10. Calco lo diffe re nziale per fun zio ni r COl li di più ....ariabili
J . GrH-lic.:i e ills if'tIl i d i Ii\'ello
2. Luniti c conti nui t à p f'C fun7ion i di p iù
vari ~\hili
t'
segno
4 . Derivate par.-;iali. piallo ttiugentt'!, d iffc rcn:o:ial..
5. Derivale successive e aJ..lp ros:;ima zioni successh'f'
6 . Ottimiz.74Z-ionc l. E stremi liheri
8. Q t t irn iz_7.1iz ione
implicit allLellt~
n. Estremi
422
4:l7
44.2
459
1. Funzioni d i p iù variabili a v<l.101; vcttorialL J;l;cncra.1ità
t! (b tf~rf'n7.iabìli tà
41 6
'155
vincolati
CAPITOLO 11. C a lc.olo diffe re nziale per fun '!:ioni di più variabili a
va lori vettariali
2 . LiIrn li, cuIltillui r_à
ja.c-Obiana
407
407
.12
3. Topologia, fUllz10ni (;olltinl1<" , in,,sif'lIL€' d i definiziolle
7. F\m zioni dcnn it0
:\ 9 0
[)er fu nzioJll
469
469
f : !Il" - Dl'''. l\"l a.trice
475
:1. Su perfici regolari paramcui""atc
1 78
4. ·]'ra...;for mazirmì Tf'golari di coor d: n ate
"8 7
493
5. Ca.mpi ve ttoriali
CAPITOLO 12. C al cola integra le per fun z ioni di più va ri a bili
511
l. lntcgra7.ionc Illu ltipl s.\ in fR ' c m?
511
2 . Intet,'Ta.le eli supt'rficie d i
5 40
llll/\
fll n :<;;onc c ont inua
3. F1US5o di un c ampo vct-toriale a t.tra.verso u n a sup erficie. Teoremi d eUa
d ivergenza e del fOlore
CAPITOLO 13. S erie di p o te n ze e s erie di Fo urie r
513
1. Serie di fU Ilzion i e <'"Oll'"erg:enz.a. totale
559
559
2. Serie di p o t enze
ti61
3. Sf'rit' t rigo llo mr.t.r ichf! e
~r.rjc
di Fouri e r
568
VII'
IndLl;(;
CAPITOLO 14. TrasfOl"mata di laplace e trasformata di Fourier
1. Trasformata di Laplace. Definizione ed e:;empi
593
593
2. Proprietà della trasformata di Laplace
50{;
3. Trasformazione inversa di Laplace
603
4. Applicazioni alle equazioni differenziali. FUnzione di trasferimento di
un sistema
5. Trasformata di Fourier
6. Proprietà della t rasformazione di Fourier
7. Una applicazione: studio di un circuito RC
605
607
610
614
APPENDICE A . Formule utili
617
L Costanti matematiche
617
2. Funzioni trigonometriche
61 7
3. Funzioni iperboliche
620
4. Derivate elementari
5. Regole di derivazione
621
6. Sviluppi di Mac Laurin delle principali funzioni
622
7. Tabella di primitive
8. Geometria lineare nel piano
623
624
9. Rette e p iani nello spazio
625
lO. Coniche
626
11. Trasformazioni di coordinate
627
12. Superfici
628
621
APPENDICE B. Grafici
629
INDICE ANA LITICO
637
PREFAZIONE
Il "nuovo cmiinamento" degll studl universitari, basato sul modello di una laurea
triennale seguita da un biennio specialistico, ha profondamente mutato le esigenze
e le rorotteristiche dell'in.segnamento deUa matematica "di base". Questo libro,
nato quattro anni fa sull'uryenza di rispondere tempestivamente alle mutate esigeme, viene om riproposto , m questa seconda edizione, cercando di fare tesoro
delle espenenze accumulate in questi anni di intensa spenmentazione.
Dal punto di vista dei contenuh, nella stesura del presente tcsw abbiamo
fissato alcuni obiettiui che ci sembrano irrinunciabili, o per lo meno mollo importanti, sWuppando gli aryomenti in funzione di questi:
- tllinguaggio e i concetti fondamentali dell 'algebra lineare;
- la conoscenza del linguaggio del caicolo differenziale e mtegrale (in una o più
dimens ioni);
l'utilizzo del calcolo differenziale per problemi di ottirnizzanone;
l'utilizzo del calcolo integrale in semplici problemi di geometria e meccanica;
la conoscenza di semplici modelli matematici basati su equazioni differenziali
ordinarie;
i teoremi di Gau.ss e Stokes;
le sene di Fotirier.
Questi argomenti costituiscono l'ossatura del testo, cornspondente ai capitoli 2--7
e g-13. 1 capitoli 8 e 14 contengono cenni, rispettivamente, a semplici I1l()(Ùlli
discreti (equazioni alle d1JJerenze) e alle trasformate di Laplace e di Fourier. Tali
argomenti difficilmente trotltm.lnno posto nell'insegnamento dei m oduli di base,
ma possono costituire un utile nferimento per lo studentc nel prn:lI;guimento dei
propri studi.
Ci sembra impoTtante anche illu.strare i critcri d1dathC1 che hanno ispirato il
testo.
1. Anzitutto, introdurre ti mmimo di astrazione necessaria per raggiungere l'obiettivo a. conoscere, comprendere e saper utuuzare i contcnuh a. cui sopra, con
particolare riguardo agI! aspetti. eJJettUJamente utiluzatl neglt altn corsi della umrea di base del nuovo ordmamento.
,X,--~r
c"c'c
fazi",,,"~_____ _____________
o ~ "_'~' _ oTM
7 -_'
--
--
2. AJa n tenerc tm t:quilibrio t m 8ùdetitilà ( chiarezza: "T h-ings o'h ould be mo,l"
as simple as fJO$.'ìib le, but 1/n l any si.mpl fT '· (Lin,sl cin). L 'tx:ce ~ jù.'(j ln t'l.'ità OHum
le idee. fA giuslifimri one delrùultalo . la dinwstmzion f: , quando non richiul/J. u n
appam to fo rmale troppo pesante, é quindi n on sia incmnpah bi,ù: con la sinteticità,
re n d e più consape1Joli dei nessi ,; lJu'Ciò aiut a (l f:1J1/l p TCwl n lO.
3 . •Hotl vaziun f. 1n U1to s tudio im pegnativo COf!lt f} u d lo de ll a ma l,ematica, la m oti vazioTl t gioca un 1'11010 fo ndamentale. D 'a ltro ro nIo, lo studente ch E affronto un
(;()J"80 di matem ati ca di base, di solito sta illizùmdo lo studi o di u na dis ciplinu
tecnico-.<cienf'ijica, che costituis ce i[ suo irdp.TCssc principalI'. P erciò si è cefu l t o
di prcse ntare ogn i nu ovo cona :Uo attm vcrso esempi 1-mUi du lie applicazioni più
C/Yrmmi e di 8vi/1JPl'are fu, leori a accvmpa!lf!andola co ,~lante mente con rife rimen ti
a proble m i tra tti dalle t'arie sr:Ù;/lU , evùicnziando Ol'e possibile il ruolo dello stro nl(~ rl t o 71w.f,ématir:o nella moocllizza zione sòentifi ca.
4.
N essuna scpamzion e 1m "teor ia " e ('llratica" , Non e:>i~ te Sf~lJf<n: semm s aper
fa re , c 1!icet! ers a. Es em pi, esellizi f; fl. pplicazioni sono uMt(mt cm entc altern ati
(l ila preserl tazione toor-ica.
5. AfOOulur-ità. I c(Jf'Si di mat em ati ca di brue ,~ o no vari0 m ente oryan! zw ti n ei vari
cor s i dl studio c nelle ttaric sedi, f son o più brevi dci ro f\~ i tra dizion ali. Ill~J,.i­
tabilm ente ogni docen te dovrà scegliere qu uli part'i. del testo svolgere ~: quali no.
n ei propri corsi . Si è cercat.o di m ant.;;nere la 17UlS$itn a modularità e i ndiptndellza possibile, cvm patibilmen te con la st1'1Jtlmu logi m del disCIJrso m atematico .
Ad esempio, i capitoli Bulle equazioni differenziali t s ulle Berie di Founa sona
indilJCf1denli dal calcolo dijJefYmzi ale in piuvarùtblli (in quanto uf-ilizz ano solo la
definizion e di funzion e di più var iabili, data gi à n el l'rimo C(t1!il % ) ; nel ('llp it O[O
sul calcolo integrale in una v ariabile, il tcore m a f ondam entale del calcolo integrale
è introdott o e d im osfrul{l m olto presto, senza f u:r e rif erimento al collcd l_o di funzion e integrale, In ogni capitolo la m a{erùl è sta ta of:qanizw t a mQ.qf1Lppando i
con cetti ir1-intmciabi.l-i in alcun i paragmfi. Tutto questo d01:rdìoc rcn dcrt agevole
per il docente, e quin di f!t'r lo studente, un u ti{i=o parziale dci libro ,
In questa seconda edi zionc, la parte di algebm lirIClLT'C è s tata sensibilment.e
G,/,fI -
pIra t a, e. ma!lgi of-m ent e integrato rAln il resto dc/ libro, uttlizzlITuiont eBpliàtaTfl en tc
il linguaggio e gli ,~t rume n ti ndla prcsentazion;: di quegli argome nti di calcolo infi nitesimde che più n E truggon o bt m:ficio: f; quazioni differtnziali lineari , ottimi zzazione in più. 'v ariabili, s erie (li Fou ricr. l'1.'umerosi alt ri interventi 8 111 t e.~ l o sono
stati motivati anch;: dalle osservazioni e da i .m gyeri m enti di colleghi e studen ti
che iTl questi anni han/w utilizzato ii libro, t che qui d,~,~id e ri (l.m (! f-f 719fUZirlrt .
S ettembn: 2004
Gli A utori
1
1.
I nume n
INSIEMI
Quando:;i dice: l' in>:>icrnc dci punti di un piallo, J ' j n~iem(' degli i:::cr itt i a un 'uni\-crsità., l'insiem e rlpJ le s t elle dì una gaJassia ... t u t t.i t:oHl p r enùo no il significato
rli qu €!S1:c fra::;i; la nozione di inSIeme è ge nerahllelll~ 1\.c;..':;llnta come pri m iti va (cioè
Ilon r idudbilc a concet.ti p iil d em el!ta ri). Useremo co me ~ i rlQnim i le csp rc:e:t>icmi:
collezione, c1a.%e, aggregato. famigLi a .
lll di çh~re rno gli insiemi solit ament e COIL
le lette re maiusco le A , B, X ,.
e (..-.:.J 1l le ttere min uscole a, b, .1: , •• _ gli clementi ch e
fanno p<"lrtc di questi in siemi. P er indieare cbe 1'eJt:!fll<i!nt.o (1. apparti"w, all' ins iem e
A scr iveremo
a E
.
A
Q uan d o si vuole indicar !! u n insieme spcòlÌC'.ll.ndouò:l ;.(Ii elementi,
dicati t ra O· Ad esem pio, scriviamo :
A.
CCC
qu~1: i
son o in-
{a, b,c}
per llIdicar e che l'insieme A co nsist.e e:òa ttamClltc d t!glì elementi (1, b, c.
D ue insiemi A e B SUl lO uguali se t' solo ~ h a.nno g li stl;':).~i t' 1~m~Tlt i ; :-;crivcreTTlo
Si di('R. invece che B è u n so ttolTlBiem e di ./ i. (oppure [) è contenuto in A) se ogn i
filfimcnw d i H è UI! elerm::nt o di A : ~c rivCIerno
B ç A
oppure
A 2 B
S i Iloti ch e la relazio ne p recedente Ilon t'sclude ch c sia .4 - B. Serivcr em o
B C A
~
oppure
A ::l B
. pm k _he elemen to d i A non è clcmen\.O d i H ; dire m o in tal
sottOni.'lÙ, m tc. ]Hl J] I1"LO
C3.'lO du~
il è u u
di A.
R isulta comodo r:oTlsiderare, tra i vari insiemi, IUlcÌle uu ins ieme privo d i
de m enti : l' in.-;ù:ml'! vJ)oto, ch e I:!; indica col s imhoLo (!)
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
2
Cap\l.o/lJ
1. I "'Hl"'"
@
N>- 0Ii_ 07""7_ ~
Le re lazioni d i inclusione ç , :J godono delle segllt'nt i proprictà(l) :
riHe:;siva
A C ,\
ant,i ~ i IrlI!\t't. rica
A
~1J
e
B
trun ~j r. iva
A "- il
e
R
=
C
" =
C
A
A~
B
A "C
Defiuiamo ora le o pI'Orazion i infliemis"tiche fondament.al i. Esse sono illustrate qui
sotto, in maniera intuit iva, per mez:w dei co s iddet.ti diagtnmm i di Verm .
i ncl u.~; "n,,:
un io".,: A u il
lJ :.:: A
u
- - - -._ - -
d iflere "74 .4 \ il
Figuri! l
L ' un ione d i due i nsiemi A, B è un insielne, i nd icato COli A U il,
costituito da tu t ti quegli elemen ti che apparte ngono ad a l meno uno dei due iIlsi emi
A oppure B .
• Un ione
• I ntcl'sezione. L 'i nterbezione d i due i nsiemi A , B è un insieme indicato con A fl B,
costitu it o dagli clementi c he appartengono siR. ad A che a B .
Se accade ch e A n B = l\, cioè i due insiemi non hanno elementi in comune,
cssi s i d iranno disgiunti.
• DifJcI't:!nza . La d ifferenza di B da. A è un insieme, indicato con A \ B , cu;titu ito
dag! i etement i d i A che non appartengono a B .
• Compl(!mentazione . Accade spcs~o , nel co rso d i un ' argoment azione, che tutti
g li insiemi d i cui ~ i tratta s ian o sottoinsiemi d i un det,erminilLo insieme Cl, detto
(l ; n s imbolo -=> sig nifi ca "implica".
(0. 8><-()il-O,,"C''''' ''C· >, _ _ _ _ __
ilt.'à cme I),mb'icntc. La fa mig lia di tutti questi :;otl.oinsiemi di lJ , prop ri c impr o p r i,
prende il n o m e d i i rl.8ieme ddle pm·ti di U c si ind ic a con .::7-'{U). Se A E ç;i'(U), s i
defini;;.ce a llora il complt!rnentare di A r is p e tto a [i, i lldica.t.o con Cr.:A, ( o semplicenlellt-C CA. se 1':'l.Illbientc è chia r o dal contesto) , !'insieme formato dagli element. i
d i U che non a p par tcngDHo ad A, ov'v ero si definisce Cu A = U \ A .
• P rod ofto eartcsiano . D ati due insiemi non ncccs s a riament.e d i st int. i A c D,
pos.sia.mo con !:;iderare un n uovo in sieme costituito da t utte le cO!Jpie ordi.nate (a , b )
con a ::: A e h E n . Esso prende i l nome di pro(lotto carles iano di ,4 p er B c s i
indica c o l simbolo A x 13.
COIls idereH~ mo o r a gli i nsienli numerici, cioè insiemi d i og:get,t i mat enl a tici
(rwmc n) sui q u a l i è possibi le Cl:'icguire le o p erazioni a lge briche element.ari (s o IIlJJla
c prodotto) e le operazio n i inverse ( d ifferenza c d ivisi o ne ).
indicherem o con l'\ l'insieme dei nUT/t e1'1: naturali
N := {O, 1,2-, . . . ,n, . . . }
COli
7l l ' ins iem e dci n '/ulten relativi
.lE: = { . .
con
U TI
, - 3, - 2 ,-1 ,O,L2 , 3 , . . . }
~ l'ins ie m e de i num_é ri. t'azionali , o SCiia delle frazion i , avent i per n umeratore
i n t-ero q ualsiasi , c per denom i n a tore u n intero d iverso da zero:
<Q = {:
:m,nE 7Z., n op O}
:-{ella s c ri ttura p r ecedente , i l !'limb o lo : !io; legge "ta l e che". A I p o sto dc i due p unti
.':ii usa spe:o.qO la b arra ver t icale 1_ È chiaro che 1i\ è u n sot.toinsieme proprio di .lE
e q UCl:'ito è un ~;ot t. oi!lt-> i eme proprio d i (ij : IN C 7l. C CQ. L a r agio ne fondament.a.le
per ampliare l' insielllC numerico fino a Q è dovuta a lla necessi t.i\. d i poter eseguire
"senza r e:;tri zion i" le operazioni algebriche elementa.ri .
.:..; e l par agrafo 3 d iremo qualcosa di p i ù sul le p r oprie t à. dell 'insielne CQ . Infi [le,
indichereIllo con IR l'i Ti s ielne de i numer-t fY'Ali, che introdu rremo nel paragrafo 1 ,
e con <r: l' insi eme dci nUTTtt:ri comJ!ù; .~si, che i nt r o d u rremo n el par ag r afo 8. C'.rOlnc
s i vedrà , <Q C IR C C.
Un tipo di insieme con cui si h a spesso a c he fare i n Inat.e m a t iea è il prodotto
Cfl.r lcfl i.ano di :2 o p i ù im,ienIi n umerici , cvc ntun.b:nente uguali t r.'l. lo ro . A d esem pio:
ili x JR ( che:;i a b brevia con IFf.l ) denota l'i nsieme de lle coppie ordinate d i numeri
rea li; analogalnentc , ll{" d enota l'i ns ie m e d elle :n- uplc o rdi na.le di numeri reali,
c ioè l'i llsieme i c ui e lementi sono gli oggetti d el t ipo (.1:r, 3~·2, . . . ,Xn) COII :1:; E IR.
Un mod o t ipico in cui, a par t i re da un insieme X g ià no t o, s i defln isce un opport uno sot t oimo;ienl e , è sel ezionare quegli e lcnlenti dcll'i nsi.e m e X che soddisfano
Ulla cer t.a proprietà. P. A d esen lp io:
A = {n E 7L
"Il-
è divb i b i le per 2}
indica l'in:;ie mc d e gli interi pari. In generale, la st,r u ltura log ica. delhl de filli;.l_ioue è:
A = {x EX:valeP(x)}
d ove P (:<I è u n a propr ietà c he ha s eIlSO (ed è v e ra. o fahm) per ogni elem ento
di X .
T
•
Capitolo 1. l
2.
nume.";
SOMMATORIE, PROGRESSIONE GEOMETRICA.
FORMULA 01 NEWTQN
2 . 1.
Il simbolo di sommatoria
Definizione 2 .1 -
~!
----_.
Siano
Ql , a~ . .
• fIn,
TI nume11 reali. La loro somma
può indican: in !01.,'HI co rl1]!ll tta coi sirnholo di fl o mutatoria :
, __ l
che .~i legg e:
sommatoria.
"somw ator ia. lJCf" i da 1
(J.
n (li
ai " .
Il simbolo i si dic.e indice d i
Il simb o lo di sommator ia è d u nq ue una pura e semp lice s t enog rafia, che t.nttavia r isul ta molto u tile q u and o i l e r m ini tL, sono definiti espl ici t.a ment.e in fU II Z-io l iC
dell'indice i, ad esempio :
L"
i2
=
32
+ 42
-,- 52
+ . .. + n 2
; = :j
Per lL'lare a~il m€I1 t.e il simbolo d i flo mmatoria occorre c a p ire bene l'ut iliz2.Q d ell' indice di sommator ia . Allzii-ntto , l'indice d i wmmat.ori a è un 1.ndi ce rrmto . Que sto vuoI dire che se -j s i sostituisce con j, k o qu a l unque alt ro ind ice ( in t ut.te le
sue occor re nze) il senso dell'espr essio ne n on cam bi a:
"
"
I nvece .
"
'"
L>2
-=F L: e
1= 1
;= 1
i n q uant o i due s im b oli i ndicano hl I:H JUlma, risp ettivl:ìrnen tc . d ci primi n o p pure
d e i prim i rn quad rat i: se n i- m il risu lt at-O sarà d i\'Cfso.
L e seguenti propr it' tà for mali delle sommatorie sono fa.cihncnt.c comp rensihili
se ::ii pens a a {:ib che esse affer mano i n t ennini d i SOllllnc scritte per esteso .
Propos izione 2.2 -
( P roprielà fo r mali delle sornrnatorie )
1. P rodotto per una (;()d ante :
2 . Sornmatoria con t ermine cost(lnf t~:
L
c=-
(: . 1'1 -
c · (uu mero di add f'.ndi della SOllllliaj_o ria )
k ... l
,'I. Somma di
S01funatOr7f! :
L" a, I::" b,. - L" ("",. + bI.)
k ,... L
k= 1
1<=1
,,+m
L
T
a,
k - n+l
5 . Ttu.sl«z1one di lndlCt:
6'. RifiesslO1w di indtci:
L"
a ... _
k+ J
k- ]
LfI. dimos t razione di quest.e p rop rif' tà è un eserciz io di tnt.;;er i-ÒOT1(:!: ba.<:òtll., (~Ioe,
scrivere per esteso cose. ind ica. ciascuna. sommatoria. ed eseguire evenLtlfl.lment<::l
qU6 lche p assaggio p. l ern~ntl.\.rc .
.<
prog,·e.~.~iont~
.qunnetrica. Si dico:: che TI termi n i ;;ono iu / J7Y>il rapporto tra ogni t~ rmin e (a par tire dal sec:ondo) (' il
prec~-!ente è c ost antI'! . Tale ooStallte Hl d ice nlfrione della p rogressio ne. Se il primo
ter mine è a e la ragione è Ci, i t ermini slIc(;f5sivl saranno (1(1, /lq2, w/" l'! co"ì via.
• Somma di una
gressione .q(": .Omctrù;(! se
Propos izione 2. 3 - P cr la. somma dci p:-illli termini d eUfI. progrp.5sionp geomctrica
di ragione Il (l'' a. = 1), Yl\lc la formula :
(2. 1j
(purché q
-l I , se
q = 1 lA. $ommatoria s(:rittll \l'aIe n
+
Dim m.trazione. I-' n>viamo l'identità "dIa forma ('qu i' ·lI.le mw
l.' - 'l)
L
K _ f·
q'O
1, ovvia mente) .
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
6
(9
Capitolo l . 1 71um"ri
M_08_(J 7 ..... 7 _/I.
I nfatt i , a p p lieand o le proprietà de ll" HO UiIl. a.t Ol-ie l , E. , 4 (,", proposlLionc 2 .2) si 1m :
.
"
L:.>k _qL:.>k =
(l - q)I.>/ =
.0. = 0
fl
,.,
,, _
l
" . " H" . " .
=L.., q - L-q
k= O
= l -I- {L - q . -
k-U
=
0=1
(~
L.., q . + q .. ~ ,)
~~1
2.2.
= L..,q -L.., "
k_O
l - q .. "'
=
o
k= l
Fattoriale di n
L' n 'espressione di u ::;o frequen te in Analisi è il fat toriale d i n . Con ciò ~ i i ntend e
il prodot.to dei p r imi tl inte ri : s i indica co n n ! (e s i legge "n fat.toriale" )
n ! = 1 · 2·3· ... · (n - 1) . n
Si p one, per d ellni:t.iou€, 01 = 1. 11 nu mero
d i fi . E cco i p rimi valor i
n
O
l
2
:l
,,!
1
l
2
6
,I
ì
1
--
5
i
6
120 \ 720
24
n~
cresce molto rapidamente al crescere
7
8
5040
40320
, 9
i .162 R80
lO
36'28800
,I
Alcune propriet.à. d el fattori tlle, d i verifica immediata., sono :
n ~= n ( n - l ) !
nl
- -- = n(n - 1) (n - 2) _.. (n
(n - k ) !
seO<k<n
-
L'ul timo pro dotto !;Crit to è il prodotto di k f attori, pat'terulo
P er esempio ,
~-
<Ùl
k
+
l)
n e decrescendo .
100 1
' = 100 ·99 ' 98 . 97 . 96
95!
S i n oti che una ca lcola t rice ta..<;cabile riesce a calcolare 100·99·\]8 97 ·96 senza problemi, ma segnala "errore" no n appena s i d igita 100! Convien e sewp re sem plificare
i l più possibile le espressioni che co'nttmgo no il fa tt oria le , prim a d i calcolarle .
Una p rima a p plicazione dcI fattoriale si ha nel p roblelna ~egue nte: in q u anti
m od i è p ossibile o rdin a re n oggetti d istinti?
P er esem pio, !:le a bbiamo t re oggetti : a , b, c, q uest i pOS&()[l f) essere ordinat i
in 3! = 6 modi :
abc , a cb, bac, bea , cab , ("ba
-
Ogn uno d i q uesti o rdi namenti si chia.ma permutaziorle (o S O.~litT.v:ione) d egli n
oggetti. Si o t. tie n e facilm ente che il numero delle p erm utazioni d i Tt OMetti d istinti è n!
B asta infatti p e nsare di rea li7.:6are una permut azion e collocando gli n oggetti
i n n scat ole numerate da 1 a tI. La prima scatola si p uò r iempire in n m odi.
7
Rie mpit.a la primFl S(',a t.ola, si può rie mpire la scconda in ( n~ 1) m od i con i re!ìtanti
oggetti. Ox;ì i l co mplesso delltò! prime due sca.tole s i può rh:mpirc in n ( H - 1. ) moùi..
n cornplffiSO delle prime tre sca tole ~ i può rie m pi re in n(n - l )(n - 2 ) modi e così
v ia. fino a riempire t·u t t c le scatole.
2.3.
Coefficienti binomiali e formula di Newton
Sviluppando la pot enza
rl - ~ i tIL a
d i 1m binomio ( fl + b) s i t r o va
(a..;... li)"' = (a...;.. b)(a -'- b ) ... (a
+ b)
=
L"
C",kakbn - k
le -. 0
c{J~ffù:ùmti binomiali e i n te rvengono in molte q uestioni
non solo di Analisi. ma anche d i Probabil itÀ., S t atis tica. ete . E&!i si indica.no col
s imbolo G) (.si le/.W,:a: n s u k )j i'J p uò dimost;r~\re che h a n:o.o l'cspressiollfl segue nte:
J numeri Cn,k sono d et ti
k
(")
c ... .\; =
=
n' k )!
k !(u
P er q uanto osservat o p oco sopra , si può scrivere am.:h e:
n) ~
(k
n
(n - 1) (n - 2) . .. (n - k + 1)
k!
espressione che è più tnA.llf!ggevole per il cako lo effe ui vo.
L<l fonnu la d i N e wto n si ~c rive dunque:
~ t (~) a'b" -,l
!(a + W
l
I
k=<l
(2 .2)
Valgono a nche le :scgucnt.i prop rietà. d i faci le verifica.:
.
(2.3)
Que:;t' u ltima. relazion e pe r mette d i calco hl.rc i nume ri G) per m ezzo d el cosidd etto tda-ngolo di Tartagli a; in cima al tri::mgolo si p one il nu mero (~) = 1 ( per
defi. nhdonc)j a i lati tii pongo no i numeri (~) = ( ~) = 1 p e r ogn i n è: l ~ allo r a., per
O < k < n, il numero (~) vie ne ~ ri t to al}'il1 crocio della n-esima riga e d ella k.·
esima t:olonna c risult a somma d ei due numeri che s i trovano nella r iga preced ente,
ljueUa sulla s tessa colonna e quello ~-ulLa co lonna preced e nte.
p<tten z-a
n
~ O
l
coefficient i
1
1
2
3
1
4
1
5
1
2
3
4
5
1
3
1
[,~ ~ ,:g
5
. ..... .... .
1
8
o
t:!:'Illldo il t~iang,)I " di T a r taglia scr i".,~ " .,.;plidt.!u lI (: m, ,~
(1
Vlmo.stnlT~
+ alI;
le .~"f}ltenfl lde>UttlÌ, .•f ruUa"du le p.'Qp71etd d."Uf JOmmafQ1'"'ic C I .!"'.JQ9ertmen t i
forn iti:
o
,
L
S UY9eT"imento: calcola.re 2
i.
~ iolle di indici.
,_ I
o
..
n
". 1
i_ l
L i+L
i e;.egl"~,,d,) nd ln. Ii.t":on da sommat<Jria 1\IIa TiRe.:.-
.,
L C2k + 1)
=
.'
n?
>-"
SU9gerimento: Mrul tare il risu ltato .lcll'esercirio prf!'(,"':!dc nw.
t k2
o
SIJ.99':1-tTIl""to: 2:::"'0 (k + , ) ,l .,.,
f) ' lth.m part~ " L~={j(k+ 1)' ':"'"
es p ressioni
G
1:::. .
n (n~ 1~(2n+ I l
=
0 ( k:'
L::: k
3
-+- 3k"
z=:_,
+ 3k·1 l) z: L:- L },,; J + 3
+ (n. + l )l , D al cOllfronto
=- L ~ ~I k'l
k~ -;- ..
tra le dU I:
Calcolare ~pli<:i(ltl u cl ' t.() l" M!gueau' somma. "*":ru pli fì c ll,,u d() opportu n arne"w:
o
CfJcolruc èSp licitalll e l'l~ le segu ""nti somme, sfrutamd o la formula pe r Ulla p rogressi one
gN:lmc l ric a:
3.
I NUMERI RAZIONALI. CAMPI ORDINATI
Richi amiamo qui sotto le proprietà ( ben note) d ci numeri r87.iO ll a li; indichiamo
con Q , b , c ... genf'rid lIumerì razionali .
• RI' È definita in Q un 'opcro.ziollc (detta addlzionc o somma) che Itale seguenti
pro prictàPl:
1 . v' «, ba
+b=
b + a ( p ro p rietà commu t.a t iva)
::1) n 3imbo lo V 5i lt"'ggl.': per 09)'\'i ; il Nim bolo '3 ( u s al O p iil iLvanti) SI k 'Ue: esiste.
'i, 3 so n", ch iam.!\.ti , in logica. q'llaTllifi.Mori .
r <h, ~ si m bo li
_ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ S- T >!u me" "<.Iz1cmaJi. Campi Ordino ti
2. Va, b, c (a..;... b) -1 (: =
(J
+ Cb + cJ
9
(pr o prif!l,à associl\t.iva)
3 . Esiste un clerl1t:!llt.o (element o J)elltro della Roouna, detto zero e indicat.o
(:OIl O) 1.al~ c h e 'Va , a ..L. O ~ a
4. V u , f'siste lUI elcnlCnt() (1'111\'or;;o di II riEpctto alla 8olIuna., detto DI'posto
di a c indicato COli - a ) t-aie che a + (- a ) = Q.
• fl.1 . È definita in <Q un'operazione (detta moltipltaulOne; o prodotto ) ç he ha te
segu enti proprietà:
L 'V Cl , b ([. h.,.,., b· (I (proprietà Gornmul.ath-a).
2. V a ,b.c (o -o ) . c = a· (b · c) (proprietà i\.,'>SOciat iva).
3 . Esiste un element.o (e.lemento neut.ro del prodotto, detto 1l'nita e indicut(1
(:on 1) tale ch!:' Va, a· 1 = a.
4. Va te- a, esilSte un elemento {l'in"t'r$O di a rispetto a l prodot to, detto
red1Jroco di a e i l ld ica.t.o con ~ oppure a - l ) tale che a - a -- I = 1 .
Le operazioni di som ma c prodotto 8On o legate d a lla l:iCguente p ro prie t.à:
;,. 'ti a , b, c (a + b) . r. = a . c - b . c (proprietà distributiva).
e~J.,çujr~ f;euz a restrizioni le qunto r*ra;.':ion i fondamentA.ti : a.ddizione c molti plicazion e (so p ra deflllit e ), SotlrA.zio nc (ponen do (1 - I, = Q. ~ ( --b») e d ivisione (ponendo ( l : b = ab- 1 purch é sia
b,. O).
L a poosi hilità d i e~gu i re agevolmente queste operazioni ( problema d i f!nOl'rne
importanza pra.t.i(~a) d ip ende però in larga mis ura dalla fuppresentaziQ1It:. Sl:~lta
p er ind ividuare i numeri natural i.
Dalle proprietà H l e R '2 discende la possibilit à d i
(. fO
• Rappnscntaziu7II:' decimale. La rappretifc'IILazione decimale è Bota a tlll.ti. Per
mezw d i essa ogni llllllu::ro razionale è IInh'ocamcnoo ind ividuato da un allineament.o d ecimale, lirnitato (C'ioè con un mUTlf!ro fill it o d i cifre dop o la v irgo la ) o
illimitato periodko(3); e vicever5a, o~ni aHinCU1flf!nto di questo t ipo rapprese n t a.
un nlmH~ro razio nale.
P er e::;clIIpio,
249
16
.....,. 15 ,5625
350
21
-
16,666 .
- 16,6
Un'a lt ra rapp resen tazione, ora di tipo geomet r iCI) , di ~ sì può ottenere asoociando a Oh'lli numero razionale un punto cleJla
rettu eucl idea. ;\ un pUlit.O d i qlH'!RLa, scelto a rbi trariatnc nte , si (I.'ls.od a O e a 1I1l
altro, distinto dal primo , s i associa l, individuando cosi il segment o orien t a t o 0 1
• Rappn senta.z:ionc gf'.Qmetrica..
(3iLo student E' rieocd c rà ç h e n OIl è possib ile , divid en do dUIl interi. ot\.cne:re u n ",llineampnto
decimai" c on pe r iodo 9 . T u t.T.avia è =nven i(,nLe (l,ln rnettNe a n c h e tal i alline amenti . con ho
l;o l1v(:m:ioll e ch" l' alline.\ n1fll'lt o immilato o(). 0:1 n~ . ' . 0.\:999 ' .. •:0" Ok lo 9, "ielle identifkato
c o n l"a.U; r",,,ment,, lirnitll.t,.") (l O, O'I~\~ . __ (o" :.- 1)_ CosI 0,9 i~ identifica\:.0 col'l (.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
10
!ÀJp1Lolo 1_ l numen
che costituisce l'unità d i misura. A questo punto si ha una corrispondenza biunivoca t ra i numeri r azio nali e quei punti P della. retta che sono cstremi dei segm enti
orientati OP commens urabili (nel senso classico della geometria elementare, cioè
che hanno un multiplo com une) con 0 1.
-
,
- 3/ 2
,
•
-,
•
•
o
•
•
'l'
,
•
3
Per descrivere compiut.amente la struttura dell'insieme CQ osserviamo anche che
esso è un In.ri~e ordinato; cioè che, presi due q u alsiasi numeri razionali
a, b, è sempre possibile confront.arli per mezzo della re lazione :S: (m.inore o ugurue
di ... i analogamente con la relazione ?:: maggiore o uguale di ... ). la quale è
una relazione d'ordme in quanto verifica le t,re proprietà seguenti:
riflessiva :
Va
a :5 a
antisimmet-rica : V a, b
sea$b
e
b :5: a
allora
a = b
transitiva. :
sea::;b e
b$ c
allora
a :5 c
'1:/ a , b, c
Mettiamo in evidenza la proprie t à d i ordin a men to dei numeri razion ali :
. ~ . È definita in <Q una relazione d 'ordine :5, com patibile con la strut.tura
algebrica., cioè:
1. Va , b,c
sea :5 ballora a+c:5b+c
2. Va , b, c con c > O se a:5 b allora ne :5 be
Thtt.e le regole ben nole del calcolo algebrico der ivano dalle proprietà Rio R'l , ~ '
Un insieme con tali proprietà si dice campo ontmato . Un insieme con le proprietà
R 1 , R 2 s i d ice campo.
4.
I NUMERI REALI
La st.ruttura di campo ordinato dei razionali assolve alla maggior parte degli
scopi pratici del calcolo, n el senso che si può espr im ere con un numero raziooa1e
la misura di ogni grandezza con sufficiente precisione. Thttavia è noto che ci sono
grandezze che non SODO commensurabili tra lo ro: l'esempio classico è dato dalla
diagonale e dal Ialo di un quadrat.o. Con riferimento o.lla figura 2 , se il Jato misura
l , l'ascissa d che misura la d iago nale non è un nwncro razionale.
La dim06trazione è elementare e la riportiamo come esempio di dim06trazione
per assurdo . TI procedimento è il seguente: si vuoi dim06trare che il numero d
t.aJe che cP = 2 non è razionale; si assume che lo sia e si arriva a una palese
contraddizione; s i conclude che d non può CS$Cre razionale.
Sia d = ': con m e n primi tra loro (cioè privi d i fattori comuni) e cP =;;; = 2.
Allora TT1 2 = 2n2 ; dunque m 2 è pari e perciò auche 'I7l è pari. Sia TT1 = 2k ( k intero),
m 2 = 4~; dovrà essere 4k'l = 2n 2 , cioè n 2 = 2k'l; dunq ue n 2 è pari c perciò anche
n è pari. I due interi m e n sono entrambi pari , in contraddiz.ione con l'ipotesi
che siano primi tra loro.
4 _ fRame.... r'Oll.
11
I/D
o
d
Dunque il punto d sulla retta non è il rappresentante di alcun numero razionale.
Ciò significa che, dopo aver "'occupato" i punti della. retta con i numeri razionali, su di essa rimangono ancora dei posti vuoti. Sorge spontanea la domanda.:
è possibile ampliare l' insieme dei razionali in modo da avere ancora un campo
ordinato, i cui elementi (numeri) siano in corrispondenza btunivoca con i punti
della retta euclidea?
D'altronde, l'idea dell'ampliamento si presenta spontanea anche considerando
la rappresentazione dci razionali oome allineamenti decimali periodici: è possibile
strutturare come campo ordinat.o l'insieme di tuttI gli allineamenti decimali? La
risposta è positiva.
Definiamo numero reale un qualsiasi allineament.o decimale (periodico o non) con
segno; l'insieme di tali allineamenti sarà indicato con IR.; CQ è un sottoinsieme
p roprio di 1Ft. l numeri reali Don razionali si dicono numen. uTunonalì.
Sull 'insieme m. si estendono le operazioni di somma e prodotto con le proprietà Rl e R1. e l'ordinamento oon le proprietà R3 sopra riportate.
Valore assoluto. D isuguaglianza triangolare
Si dice tlalo~ assoluto del nWllero reale a (o modulo di o) il numero non negativo
così definito:
lal- {
se
se
a
-a
02:0
0<0
(4.1 )
Dalla definizione di valore assoluto segue immediatamente che:
'<102:0:
l:rl:5a
-o:$x:5 o
~
(4.2)
Dalla (4.2) segue l'importante dl$Uguaglianza tn.angolare:
Vx,lI
e IR. :
lx+yl :$Ixl+ IlIl
(4.3)
Infatti , basta scrivere le relazioni:
~l xl
:$ x
:5 Ixl
-1.1 <. < 1.1
e
quindi sommare membro a membro, ottenendo
-(lxl + 1"1) :S
x
+ y :S Ixl + 1.1
da cui, per la. (4.2), segue la (4.3).
La disuguaglianza t.riangolare è spesso usat.a nella forma segueute:
lo~ bI
:$10 ~ cl + Ib- cl
Va,b,c E
IR
(4.4)
12
Capitolo 1 f numcri
c - b. Se invece, sempre nella (4 .3 ) , s i
B a.., t.a por re nell a (4 .3) x = a - c e y
p one x = a - b e y = b si ott ien e
la! :::; la - bi + Ibl cioè
ial - Ibl :S: la"- b ;
Ibl - lal
Analogamente, scambi a ndo a co n b otteniamo:
ricordando la ( 4.2 ),
:a -
S
b: e dunque,
]Ial - Ibll :S: ia - bi
( 4.5)
L'espression e la - bi rappresenta geornctric. arnente la d isutilza
gemn etria elementar e) dci d ue punti Q _ e !J sulla ret ta.
La (4.3) p uò facilmente est e nde rsi a l caso di n addendi:
( fIf~1
senso dellil.
( 4.6)
.'
Valgono anch e le seguenti p roprietà immediat.e dci moduli :
l-al ~ lal
(4.7 )
Intervalli
Dati due numeri r eali a, b, si chiawa intt:11)ullo (1i
i n s icllli:
f'~5tnmi
a e /,
Illl0
dei seguent.i
[a, b[ , insieme d ei llu Hleri reali x , a :; x < b
[a , bl,
x , a <
"
(a , hl
"
(a , b) ,
"
"
I
<
"
,
"
I
,
a< x < b
"
"
I
,
a < x < b
Come si può n ot,are la p a r entesi quadra (t.onda ) in corrispondem:a d i uno dei due
estremi indica che quest 'ultimo è incluso (escluso) n ell 'intep.'Ullo .
Gli intervalli indicati sopra !:Iono limitati; s i ch iaman o in1.ervaHi (illimitat i)
anch e le semirette, p e r ese mpio:
( - 00, b) , insieme dei numeri reali x, x < b
[a,+=) ,
"
"
x, x?,a
o J intera retta IR = (- = , + :X) ) .
c
-{
="".... '"' ~ .. '"
'"""=.~""""'''''''''''.c,._-=-·.~ •..,._
i", _ oc )
13
2'Jel seguito c i capit cr?l. d i con~iderar-e il prodot t.o ca.rtesiano d i d \le (o p iù) im.ervalli, cui s i p uò dare il s ig ni fi ca to geom etrico d i r~U an g()lo ( in due d im e ns ioni) o
p.'U"a llelepipedo (in t.re d i.m e nsioni).
E$E' mpio
4. 1.
Sia A = [O, Il, D = [1, 2 ); la figura 3 ill,,~tra g li insie m i A x
2
.
<;(lIt A
anch~
,
.
I
n. H
x A , .4 x A indiç" t o
,
.'l '" B
1
,
Fi,u.a J
5.
MASSIMO E MINIMQ .
ESTREMO SUPERIORE ED ESTREMO INFERIORE
Il nUOVQ campo ordinato IR C().'>l cost rui to, o ltre a Jle proprietà Rh R"l ' R3 g ià pos!'>edule d a l c a mpo d l:li razion ali, presenta u na nuova p ro p rietà che è d i im!lort a n z a
rondamentale per tutto il successivo sviluppo d e ll ' Analisi. Per illus t rar e questa
prop riet à. dobbiamo introdurre un nuovo concet l o.
Con s ideriamo u n insie m e n umerico E . T a.le insi~ H1 e si dice limitato se esisto n o
d ue numeri, tn ~ .\1 , tali ch e o gni el~ment n x E b' ;!od d isfa. le disugu aglianzp.
m~x :$ ;'vf
Si d ir à limitato 811periormente St' , per ogn i e lfl lnCn t o x E E, ris.ulta. x ~ lvl e
limitato inferiorment e se rL..u lta x '2': m.
Introduc iamo o ra. il COnCE!tlO di e lemento ma.ssimo (minimo) di u n insieme.
Di re mo che Ull e lerut:lnto
i)
xE
xè
mass imo peT E se:
E
ii) x:::; X
VxEE
A naloga definizionc per illlLiuilll.o L È evid e nte l~hc, affinché 11 m assimo (minimo)
esist a, l'insieIllc dcve es!'if'.r~ s u peTÌorm ente (in ferio rmen te) lim itat o .
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
14
Cap d oto l. I nurnen
@
S!J.-08-CITII4T 8
Esempi 5.1.
r
Insieme E
M~
Min
I)
IN
non, esiste
O
Il)
Numeri pari relativi
flon esiste
non esiste
l
non esiste
•
. ..
m)
I
{1.~,~, ... -n
IV)
{nEE'I: n-l}
n +1
non esfste
-1
V)
3
{XEIR:x ?27}
non esiste
3
VI)
{XE !ll;x2::0,x <2}
non esllite
}
2
.
O
Si osserva, dagli esempi precedenti, che spesso, pur essendo l'insieme E limitato,
esso n on possiede massimo o m inimo.
Introducia.mo allora un concetto, fondament a le per l'Analisi matematica, che
è sostit.utivo del concetto di massimo o minimo: quello di estremo superiore (sup)
ed estremo inferiore (inr) .
Sia E
ç
Un numero k E IR (non necessaria.mente E E) è un maggiomnte
(min omnte) di E se succede che k ;::: x (k :5 x) V x E E. Un insieme superiormente
(inferiormente) limitato ha molti maggiorant i (minoranti). Allora. chiameremo
estremo superiore (inferiore) di E, c lo indicheremo con sup E ( inf E) il minimo
( massimo) dei ma~.-jora.nti ( minoranti) di E (se esiste) .
IR.
È evidente che, se l'insieme possiede massimo ( minimo), questo coincide con l'es tremo superiore ( inferiore) .
Riprendiamo gli esempi precedenti per vedere se, dove Don esiste il massimo
o il minimo, esiste però il sup o l'inf. Negli esempi I, II, V la risposta è negativa
per l'evidente ragione che gli insiemi ivi considerati non sono convenientemente
limitati. Nell'esempio III è facile vedere che l'inf è O ( il quale non è minimo poiché
O non fa parte dell' insieme) e nell'esempio IV il sup è L Coru>ideriamo l'esempio
VI; si intuisce che il sup dovrebbe essere un numero il cui quadrato è 2 ; ma in
~ un tale numero non esist e ; esiste però in ffi.: ..;2. Questa circostanza non è
casuale, ma illustra precisament.e la differenza tra l'insieme IQ dei numeri razionali
e l 'insieme lR dei numeri reali. Enunciamo questa proprietà nella forma:
• ~ . Ogni insieme E C lR non vuoto e limitato superiormente ( inferionnente)
possiede estremo super iore (inferiore) .
Possiamo enunciare la proprietà R4 in una forma equivalente.
@
88.03--0 n47. 8
6. Potenze e radu:all. E8pOnennali e loyantml
'"
Sia {A , B} una partizione di IR (cioè A e B sono insiemi non vuoti e disgiunti la
cui unione è IR); essa si chiama sezione se: Va E A e'V b E B risulta a < b. Allora
s i dimostra che:
• R~ . Per ogni se-.t.ione {A , B} di IR esiste un unico nume ro reale s (detto elemento
separatore) tale che
'VaE A ,VbE B
(tale elemento scparatore a ltro non è che sup A = inf B ).
Nella presentazione assiom atica dei numeri reali , la proprietà R4 prende il
nome di assioma dl Dedekmd (o di completezza o dt connnuità) o a nche proprietà
dell 'estremo superiore. Pensando alla rappresentazione geometrica d e i nume r i
sulla retta, osserviamo che l'assioma di Dedekind è l'analogo del postulato dl
contmm.tà della retta in Euclide.
6.
POTENZE E RADICALI . ESPONENZIALI E LOGARITMI
In conseguenza della proprietà ~ possiamo eseguire, nel campo reale, operazioni
c he sono solo occasionalmente possibili nel campo razionale, come l'estrazione di
radice o l'elevamento a potenza.
6.1.
Radici n-esime aritmetiche
T e orema 6 .1 - Sia y E rn., y > O e n intero
POSttivo x tale che x" = y .
~
1. Esiste un unico numero reale
Tale numero si chiama radice n-esima antmet.,:ca dl y e si indica. con uno dei
simboli v'fi oppure yl/".
fo.r[ostriamo , con un esempio, come si può costruire la rappresentazione d ecimale della radice n -esima. Cerchiamo l'allineamento decimale di \1'2; questo
numero, non essendo razionale, sarà rappresentato da un allineame nto infinito
(non periodico). Si procede così: si costruisce una classe di numeri razionali della
forma
0 < ao ,
ao, al
ao , al G2
<lo,
al
a2 a3
con la regola che: ognuno di questi numeri è il più grande tra quelli con lo stesso
nllmp.ro di decimali dopo la virgola il cui quadrato è minore dì 2 :
l
1,4
1,4 l
22 = 4
( 1,5)2 = 2,25
( 1,4 )2 = 1,96
(1
,42 )2 = 2,0164
(l ,4 1):l = 1,9881
................................. ·
,'"6,-_ ,Cé"""PC,_t,o~to'-"C·_I,-,n"uC,"nO'CnC·_ _ _ _ _ _ _ _ _ _•_ _ _ _ _ _ _ _ _ ___
,Q
"<'-"".~_<)<l _{j ..
!;,,'T_,,
Questo insieme d i nmneri (ch iamiamolo E_ ) è linlitato 5upel"iormcnte (ognuno
è < '2 ); per la proprietà Rt esso possiede C&trclIlO superiore: il numero ..j2 si
definisce precisamente come sup E_.
S i sflIcbbe potuto andle costrui re u na classe di mun eri E-t- CUffie la precedente
con la regola che ognuno di e&"l i sia il più piccolo tra quelli con lo s tesso nunlero
di decirnali dopo l a v irgola il cui quadrato è > 2; avremmo ot.t enuto
2
1,4"2
1,5
Questo insieme E_ è limit.a to infer iormente (ogni elemento è> 1), perciò p ossiede
estremo inferiore; si dimostra che lnf E-t- = ~upE_ . r numeri della cla...'<Sc E_
approssiman o v'2 per difetto, quelli della classe E-t- per eccesso.
6.2.
Potenze ed esponenziali
L ' estrazione di radice n--e~inHl è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza
int.era. Si può estendere l'opera:òone di elevamento a· pot.enza per ogni c::.-poneme
razionale se la base è positiva (utilizzando il teorema precedente) !J(lllendo
::;e
r =
m
n
a> O:
(si assume: m ed n primi fra loro, m E Z, n positivo) .
Se infine l'esponente è reale b = bo , b1b.t . . . bn . .. il numero
individuato dalla clas::;e di numeri
(l b
(a > O) sarà
in un modo s imile a quello del caso della radice .
Se la base a è llegatiw1. l'o penJ.zion e di e1vament o a poten za. ab è definita ::;010
i n certi casi: se l'esponente b è intero, oppure razionale n / 11l purché flO"rl Ria. Il
d i::; pari ed 11t pari. Infatti: s i pone a '·In> = ~ e inoltre, ~e c < U e m. dispari, s i
definisce y'C = - ~/- c . Per esempio:
v ·_ 8
( _2 )3 / 4 -_ .4/
. I.t! ne·l campo
nOIt ei>!t;
l ,
rea~_
Quando s i dice "non esiste i n IR" s i intende che n o n è possibile definire t-ale
operazione in modo da mantenere valide le usuali regole di calcolo. Quak.osa di
più sull 'argoment.o sarà dett.o nel p aragrafo 8, parla n d o dei numcri complessi.
le espressioni (lb, quando sono studiat.e con ba..-;e fL Yl'l.riabi le ed esponéllte b
fisso Bi chiamano potenzG, quand o la. bus,", è fi=a e l'eti p OIllo'Ilt.e vH.r iabilc si chiarn{l' lO
esponenziali _ Le lo ro proprictà princip<lli Rono:
6 _ Potc;,.;:;e e
sian o a , b reRLi
p m~i t. ivi ,
''/Jd~cali .
Esponcnrioli c logaritf7l1
17
c, d rC'ali qua bia.<;i
l '' = l
Va-=fO;
E,
(1"'> 0
E,
(ab)~
a<::SlstlaSlcc>O
Ve:
=
'rtr.:
be"
(le .
(o" )" = ab,
::le
Es
6.3 .
c
~ a~
< d
§: ad se a ~ 1
-;- a'
O < a::;b
$ /)~
\>'c>O
Logaritmi
Consideriamo l'equazione
a-"
=
a>O
y
Anzitut.to, :'le f1 = 1, e!lS8 è soddisfatta solo se y = l (e in tal ca&l ogn i n umer o
rell.le x è soluzione) . S ia dunque a -I- 1. Se y ~ O essa n o n ha alcu na soluzione
(cfr . Ed . 11 segueut·e teorema. ci dice che essa. hu una sola soluzione per ogni
N > O.
Teorema 6 .2 - Sia
(l'" = y.
rl
>
0 , u #- l . Y >
Q.
Esiste 1m umco numero reale x tale che
T a le numero prende il nome di loyuritmo iu baRe a · di y e si indica. col s imbolo
log.. y. L e VTopriet6 dei 10 garitIIlÌ , che si d educono d a. quelle degli etipon enz iali ,
.
!!OliO:
.
stano x, y, a reali pos Itivi. a
t
1
L,
log" xy = log" x
L,
x
log.. - = loga x - log.. y
y
L,
log" x<'
log" x
lo&,.
= o:
l
= ~""--
10g b X =
log", a
log.,x
10g" b
+ 10g" y
:z;
'rIae IR
= - log l.
..
'if ù
( x-l-l)
X
> 0, b"-l-
l
Ne l p<l.ragrafo 9 introdurremo iL concetto di !u1'<z ·i.one; n el capit.olo -1 yedremo poi
ch e le oper ft.2.ioni so p ra defi n it e C:OlL'len tono di in trodurre tre impor t.ant i da.'_si di
funzion i: le potenze" ~Ii e$pon enziali e i logan"t mi.
I
I
I
I
I
I
18
I
I
1_ I numeri
(9
U_0B-07M7_S
Esel'"dzi
o
Scrivere la rapp resenta zione decim a le delle seguent i frm, ioni:
7
o
107
l
12 5
12 1
2 49
Rappresentar e come frazioni i seguenti n umer i raz)on a lì
8.9:1
7.5463
(J.82H
2.317
S ia cc E IR. Qmù e d i qucste r e laz ioni è vera?
il
Gt
S ia a
> 0,
ti:
cF
..,;x:; =
x
l. Quale d i
,f:;5
ii )
=
±x
,,/xi = [x l
iii )
<lu~t" rela.z ion i è vera?
ii ) log" ,,? = 2 1og"
'>!x EIR., x ol() :
Vx E II1, Il E IR, xy > O i ii ) ]og.,(xy )
G)
I
I
I
I
I
I
Capit%
=
10g .. x
+ log" Il
iv) log,, (xy) = log"
.'
Ix l +
!xl
!oga fy ;
Usando u n a normale calcola t rice t ascabi l" <"J cola re
( q'2
+ 100000 -
100000 )3
e s piegare il ris u ltato.
G
Qua le, d ci wguen t i im;;" mi , ha. come m in i m o
il
ii )
i ii)
:n
{ x E !Il : [x ] ( parte intera d i zj
{:I+~
n
=
3}
= 1, 2,3, ... }
{ x E 1R: x 3 2': 27}
Det erm in are estre m o 6upe riu re ed estre mo in fe rio re d c i flegmmt i i nsie m i, pred53n dn
vo lta "" s i t ra tta di massimo o minim o:
i)
iii)
7.
r-
I
,,+ 1
{x E
n ElI, }
n :xlx! < .:I? } U [-
l, l )
ii)
(O)
iv)
{x E IR : Z:S x~ < 4)
INSIEMI INFINITI
A bbiamo introdot.t.o fi nora quat.tro insiem i numerici notevo li: N , Z, ~ ,IR. Chip.diamo ci : quanti sono g l i elementi di ciascuno di questi insiemi?
Intuitivamente, la r ispo:-;ta sembra ovvia: cia."lcuno di questi ins iemi ha infiniti
elementi; tutta.v ia i numeri raziona l i sono p iù n umerosi d ei numeri interi , perché
Z C <Q , c per lo stesso motivo i numcri r eali sono di p iù dci numeri razionali .
Queste rispost e apron o però \III problema : come possi amo a ffer mare, al tempo
s t esso, clIC d ue i n sit:rni sono entrambi i ufini t i , ma u no è più numeroso d ell'alt ro',
7. In...i"mi infir. i"
,.
C,)m'è p0S8ibi le , in gen e r a le, cOn fl"ontl:l.re la munero s ità d egli ins iem i inJì.ni t i? A d
esempiu, cl sono pi ù punti i n una sfera o in UII piano? (In q uesto caso, nessuno
dci due insiemi è contenuto n ell' altTo).
Per dAI senso a. qUE!!>ve domande , prima anco ra. ehe ?€r sapervi rispundere ,
occorre definirE! l-:Q.1Xl. si intenda per uguale nume ro::.ità d i d u e in s iemi. Astraendo
dal l'esper ienza del contan:~. g li e lementi d i un i n..<;ieme finit o , s i è giu nti a id e n t ifica re
l' idea di uguale n u m e rosita con quella d i corrisponden:ro biunitJOca.
Due insie m i A , B !:ii d icon o di ugu ale carom alità, o poter•.w (te rmin i che traduco no ,'id ea intllit i\'8 di numero.,.ità) se pot>SOliO essere mes.."li i n <.:o rrisponde n 7-a
biuni voca t ra loro, cioè se esiste una lcgge che associa. a d og n i e le m e nto d i A
uno c un so lo e len lento di H , e v iceversa.. Si o:;.servi, ad esernpio, la seguen te
corr i.'S p ondcnza t·ra gli insiemi ~ e .I!\-:
>'
IN
O
~ O
~l
- l
~ 2
2
~ 3
-2
~4
n ......---. 2n-
-n
<--->
2 r,
Come si ve de , la legge ora de!Ì. lLita realizza. una corrispoll dcnza bi univoca tra Z.
e N . Q u indi, anche se d al punto di vii>ta d ell' i nclus ione lI.. ha '"'più elt! m en ti" d i
N ( nel sen~ che ha. tut,ti gli elementi d i IN p i ù a lt r i), g li i n s ie m i h anno 1& stessa
car dinalità. (s i d ice anche e he sono equipotenti). ln questo senso, qui ndi, vanno
p e n!'8. ti corne 1.I.gualT1H~nte numerosi.
In generale , s i d ice nurnembile u n insieme che h a. la stessa cardina lit à di
IN. Ad esempio , 7L. è nume ra.b ile . Si p u ò d i mostr are ch e anch e <Il è Ilumera.bile.
Il t ermin e nume r a \.lile ind ica che g ii e lemcIlt i dcll' ins ielnc s i p o sson o enume r are ,
ossia d isporre in un elen co nu m erato (p ost o 1 , p osto 2, posto 3 , . . . ).
A ver scoperto c.he d ue d iversi insiemi infiu iti, uno propr iamente conten u to
nell ' altro, hanno la s t essa cardinalità, potr ebbe fa r pf!nsar e ch e questo s ia ve ro
p e r tutti gli i n siem i infini t i. Ciò Ilon è ve ro : ad esemp io, s i d i mostr a che m. non
è nume1nbilc. P o ich6 D'l non p uò essere m esso i n corr i!'ipond e n za. biu n ivoca con
nt. ma p uò esser m es."lO in cor rispondenza. hiw!i ....Ocfl. con UII !'Ottoin s ieme p ro p r io
di IR ( N ~1:esso! ), d icituno che [\l h a canlinalita minore d i IR.. E cco q u i ndi com 'è
possib ile d ar senso al con fronto tra la "nume r osità" d i d ue insiem i i nfiniti.
L a cardinalità dì m. p rende il nume d i potenza del contInuo . O g n i in tervallo
(a, b) di IR ha. questa st-CS5a card i nalit.à; lo s t esso \<l.le per il piano, p er lo s paz io
t. rid inwl!sionale, <l per i loro SOtt oi nsie m i '"'cont inui" : a d esempio, un p iano e una
s fe r a h a n n o ent rambi In potenza del cont inuo.
A bbiamo incontr ato fin q ui due livelli gera.rc h ici di infinito: la pote nza d e l
nu merabile e quella d el cont inuo. Non:;i deve cr <ldere che esistan o solo queste due;
20
Capitolo 1. I mmul'i
a d esempio, r im;;ie me di tutti i sot-toinsicmi di IR è ancora più numc[O&J d i IR;
aru.i con questo proccdi!nento si può sempre c()!jtruirc un in::;iemc più nu!ncro~ d i
un insieme dato _ Perciò i liv"clli gerarchici delle cA.rdina.lità infinite 80110 anch'essi
infiniti.
m
a.
Trovare u n n lOdo esplici t o ptl r enumerar e i « .."innali .
Suggerimerdo ; se T -= 1n/n è razionale positivo, l7l-, n prim i fra loro, definiamo ullezz'l
di r il n umero intero -In + n _ Possiamo n ume rare i razionali c Olllinciando eOIl q Llclli di
a ltezza l , poi 2 , 3, e co",; vi ... _. _
NUMERI COMPLESSI
Ci sono r a gioni. principalmente di natura a lgebrica, ch e ci spingono ad ampliare
u l teriorment.e i l catnpo numer ico; si tratta, in sost.an za, di definire in tutta la s ua
ge n erali tà, l'operazione d i clcvanlcnto a p otenza ab (e la ~u a "inversa") , opera.aione
che, nel campo reale, io definit.a per oglli espor lente b solo se a. io positivo, e , se a
è negativo, soltanto per a lcun i esponenti ( interi o r azion ali ~ con Ti dispari ) .
In questo paragrafo int r oduciamo quindi il campo dei numer j complessi c
defini1l.tllo su di e&3i le opera;r;ioni algebriche e lem entari e la radice n - esima.. DefinirenlO in seguito (cap . <>, par. 8) l'operazione di c1evuTne nto a potenza. qual unque,
cosÌ come i logar it.mi e gl i e~ponenziaJj Tlel t:arnpo complesso. !\-folte applicazioni
che lo studente potrà incontrare nel corso de i suoi s tudi r ic.hiedOllo l'uso di que;;t i
stru nlenri.
Definizione di a:; e struttUf"a di campo
A bbiam o indicato con IR 2 ( abbre viaz_ione di 1R x IR) l 'j nsieme delle cop pie ordinate
(a,b) d i nu meri real i. S u que;;te d e finia m o dircttamcnt-e le operaz ioni d i somllla e
prodot to con le seguenti rego l",:
8,1.
(a , /;)
+
(a, h) . (C, d)
O~«ervia mo
+ d)
bd, ad + be)
(c,d) : = (u ---,- c,/;
:=
( tIC -
(8. 1 )
(0.2 )
che, V (a, I)):
(a . b)
+ ( 0, 0 )
~
(0,0) + (a,b)
~
(a,b)
dunque l a coppia (O , O) è elemento ncut7·o per la som m a,
(a . b) · ( 1,0)
~
( l ,O)· (a , b)
~
(a , b)
dunque la coppia (1 , O) è demento n eutr'o per il prodot to.
(a,b )
+
(- a, -h )
~
(O, O)
dunque ( --11 , - ò) è l'opposto di (a, b) .
Se
(a.b)
-=/=-
(0,0)
dunque 1/:1. Goppia (a/(a"1 --l. b 2 ) , _ b/(a 2
+
b2 ») è
ill'fY;iproco
d i (n, b ).
@
iI~0 7""''''_ 8
8 _ NumlT,; r:omp lessi
21
Le propr ietà Il l , R'2 (vcdi par. 3) sono veri Gente p er la ~CJfnm a e il prodotto così
d efiniti c perciù l'insieme lH.~ (:o~ì >;truttur a t o è un campo , che chi ameremo cantlXJ
de i nu-rn-e7-l co'11lplesRt e in d icheremo eon <1:,
Osserviamo o r a che II: eontif'.ne il sotto insieme CC o delle c.oppic rll'!l 1.ip o (a. U);
esso t- l UI ,wtf,ocampo d i C, poi ché somma e. prodl..1t.to d i coppie d i que.sto ti po ~)IJ O
UT1C.: ora coppie d ello st-t"Sso t ipo; infa tti si h a :
( a , O)
+ (b,O)
= (a
+
b. O)
(a,O ) ' (/,,0) ~ (a b,O)
ln o lt re <Co può es..o;ere o rd ina t o ponendo (0_, O) < (b , O) ~ u < b. Se aUora mettiamo
in co rrispondenza biunivoca ['i nsieme dei Ilumeri rea.li lR. c o n ([:0, lH)nendo
(a,O ) _
a
p ossìau\o irfen fi.jìcan: i 1I11Hl!:!ri r eali a con i Hu mer i comp les...;;;i del tipo (a. , O) .
In questo senso il campo d.ei n u meri comple ssi ~ è u n a mpli allltmto di quello
d ei numeri r",al i IR.
Consideriamo o ra il n UUiero (0 , 1 ) . E s.."O ha. la Ringo lare prop ricta che:
(O, l ) , (0 , 1) = (- l , O)
cioè il .~uo quadrato eoinddf: cul numero r-e.alc ·- l ! Per questa ragio ne la. r::oppia
(0,1) merita d i e sser e ind icat a con un simbolo s p eciiÙe: la indicheremo co n "i" e
la ch ia m e reln o llnità imm.agirwria .
• Fo r-ma algebrica dei numeri complessi. A quest o punto conviene scmplitìcare
la notazione. O~ rv i fl.JU() che, &"' scr iviam o ~mplice Tn ent e a invece d i (n. . O) ccc.
abbia.mo
(o.,h) = (a, O) + (0 ,1) · (b ,O) = a+ib
C on ques t a. not.azio ne le regole (8. 1) e (8.2) Ra n o le o r dinarie regole del calco lo
letter a le , ove s.i t e n ga con t o che i 2 = - I :
(a+ib)+{c+id)
=
(a +t:) + i(b + d )
(a ·, i b) · ( r:: + id)
=
(a e - W) + i(ad
+
be)
LCI. scrittura
z = a.
+ i l!
(8.3 )
l' det.ta f077na algebrica dei numer i com pl~si; a si c hiama [/GITe reale d i z e si
indica con Re(z), b s i ch iama parte im.maginaria e s ì indica co n l m (z) .
• Piano com_plesso. I n \III p iano car-tesia no, rap pr~ntialno i n u rue ri oonl p lessi
(J + ib come punl i di coordina te (a , b):
cçço una ~plice e com o da im magine
geornetrica d el campo f:o mp[es::;o. 11\ quest.o c o n t esto , i.1 piano viene detto pi uno
w mplesso o p itln o di Gauss; g l i ass i x , y si dico ll o al/se reale e asse i1 ,~m(lg inar i o :
i punti suJ1'ij.'j~ rflfl.le sono i numeri real i, i punti $ull ' a,..,...se imm agi n ario son o i
numeri imma.ginari puri (c ioè del tipo il)) .
La SOlnlna d i d u ~ l\\llllt!ri c o mplessi è il numer o c o mplesso ch e h a per coordinate lo. <;omma d elle coordinaLe: il s igTd6 ca to gflOmet rico di questo fa t to è che il
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
22
Capitolo l . I numeri
t.
Figu~ ..
4
punto 2 + t si costruisce
gramma" (vedi fig. 1).
il
partire dai punti z, t in base alla " rego la dci parallelo-
Ab biamo visto che et soddisfa gli assiomi d i campo; non soddisfa però quelli di
campo ordinato , ovvero non è possibile d efinire u n a relazione":; tra i numeri compiessi, in modo che valgano le proprie tà elencate nel paragrafo 3 (in particolare,
la R.~ ) . Infatti si può dimost rare che da quelle proprietà. segue che il quadruto di
un numero quooia.si non è mai negat~1Jo , € d 'alt ra parte, .~e u.n nmfl.(;1'() P. posi ti't'o
iJ SIlO opposto è negativo. Ora, in C si ha:
e = lc{' = - l
Abbiamo quindi due quadrati che sono l'uno l'opp osto dd l'altro . .:'-fessuno dci due
però p uò e!:'>sere negativo (perché sono quadrat.i) , e quest o è assurdo (perché tra
a e - a uno dev'essere negativo, se a of O) . Concludiamo che ([: non è un campo
ordinato.
8.2.
Coniugilto e modulo
Il numero complesso a - ib si dice il complesso coniugato di z =
con z. Evidentemente si ha:
z+i
Z -
=
2a
=
(l
+ ib e
si indica
2Rc(z )
2 = 2bi- = 2i lm(z)
L ' operazione d i coniugio ha le seguenti elementari proprietà rispetto alla somma
e al prodotto:
,::5)
8. ,".'..1I1m
;;'~_ 0 5 _ 0 7S4"_ ;J
comf' l ~ ,~.~i
23
O sscrv ia n,o o ra che
zz '""'"' (a +ib )(a - ib)
=
0
2
-l? 2 O
S i chiama modulo di z = a + ib il numero reale no n negativo -/a 2 ; Ir , che si
ind ica con ,zl. S e z = a è reale, iì suo rIlodulo si chiama valo re aS80Lu to e si indica
sempre con la :, come detto nel para/-',Tafo 4. Valgono le seguenti proprietà:
a)
Iz· ?
U
izl =
b)
ìzl =
ii i
c)
1Re(z)1 ::; Izi
e
O ~ z
=
! Imez) ! ::; Izj
cl )
O
Izl ::; ! Re (z) i + IIlll(z)!
(d isuguagliall7;a triangolare)
e)
(8.4)
(8 .5)
Le proprietà a )' b ), c) si verificano immediat.amentc_ Proviamo li), e) .
Esse sono equivalenti alla seguente:
P onendo
21
=
a
+
ib, q =
C
-l-
id ot.tf'niamo:
Con calcoli elelnenl.ari qlle~;t.a dopp ia d isuguagli al lza. si riduce a
che è equivalente alla seguente:
Elewl.ndo a l quadrato ent.rambi i memb r i si arriva a :
ovvero a
che è vera per ogni a, b, c, d E IR.
Geometricamente, Iz; rapp re~enta l a dist.a nzll del punto (o numero complesso)
:: dall'origine; Z l - z ... 1 rappresenta la d i~tanza dei due punti 2:1 c 2:~ ; le disuguaglianze (8 .4) e (8 .5) t raducon o il noto t.eorema· sullt' lunghezze de i lati di un
t r iangolo (vedi fig . 5).
24
Capiwlo 1. J nm7l"-n
,-:.,
,,
-kf~:::::~'G"!'7" -'--_
Utilizzando i ooucetti o ra lntrodo u .i, pOS5.iamo rappreselltarf' in forma alge bricA.
.a+ il)
Il rapporto d i due numen COmplf'B51 - --d bast a mo l~ i J.ll icare numcratore e rlenominat ore per r. - id ; abbiamo:
c+,
+ il>
(o. ..... tb)(c - id)
c + id =
lc + idl1
a
Vediamo come si può risolvere un'equazione nel campo complesso, quando q1lesta
coinvolge l'incognita z = x + iy Rm;he at.traverso Rez, 1m z, "i, I:.::).
Esempio
8.1.
Poniamo z =
:&
+ ìy, CO"
;1:.11 inco gn ile rr.ali, e t ra.<>çri vii\mo l'tXl uazionc a q uegto m odo
z , = (x
+ i1l) :I = x? -li..;.. 'li1."
i lll1z= i 1l
2% = 2(x - iy) = 2x (X2 _ y'2
-I- 2i",V) ~
2 1~
(i li) -I (2x - 2iy) = O
O r a. , un numero complesso è zpTf).se e solo se la s ua. parte ro!a1e e parte immaginaria !!OIlO
1..ero. Pe rci o rue ttia ' lIo in evid'!lLLa III. parte rea le e la parte immaginaria cl..! pr in,,, me mbro
00 uguagliamo ennamh(l '" u :ro:
( X2 _II~
-+
2.1:) + i(2rrJ +II- 2y) =
O
x~ - y~ + 2x=O
{ 2xy - y=O
Si è cooì t rasfo rmata l'oqun:.:io ne ; u una in!XJg ll ita comple5~ a in \I n 5i ~t"ma d i duo:: c'l u ll.2iu ni
in due incagnite reali. R.iso lviamo il si~tcma. La seomda (,qu fI:Lione d à ·
y=o o x = :il
25
Per !J = O la prima
~,qua;r.ione
di \'ellta
che dà
:L'
Per '"
.r = -2
O
=
~ la pr ima .X}uaziOl1(' d i~'enta
=
,
- .11
5
+"1
=
[)
c.he. h a sohILioni
,,15
y = ± -
Quind i
It~
2
soluziolli "0"0:
z = (J
l
z = ", 2
_.,15
"21-' - 2-
z =
l
2
"/ 5
- ,-2
L'equa:zion", ha 4 soluzioni .
Il metodo lli,çlo i n quest 'es em pio (passare alla parte reale e immagi naria dell 'equazio ne ) è applicabile in linea di principio a d ogni eq1lazimu: in <C. In pratica ,
un gene ri co s ist.ema di due eCl u az io n i in due incognite è quasi sem pre im;olubile
per via. a lgebrica . Perciò p rima di mettersi su q uest.a straria è bene osservare se
n o n cc ne sia. lllla più semplice.
8.3_ Forma trigonometrica
Come è noto dalla Geometria , i punti del piano possono essere individua t i, oltre
che dalle loro coordinate car t ~iall e, a n che dalle coordinate polari: p (raggio polare, cioè dL~ta.nza del punto dall'origine) c () (angolo po lare, cioè l'a.n golo che la.
retta congiungente il punto CDII l'o r igin e forma Gon l' ru:;se delle ascisse positive.
misurat.o in seuso ant.io rario) . È c h iar o che u na coppia p , (J , con p > 0 , i ndi vidua
un b-eh d etermi nato punto d ci piano ; in vece un punto de l piano inJivid ua u nivocamente l a CDordi nata (J, ma l'angolo
misurato in rad ianti, è determ inato solo
a meno di multipli d i 271".
e,
b
" - ib
'"'
.''''. () =
arg (z)
a
Figura li
D ato un numero cOIllple&io z, il suo modulo Izi coincide col raggio polare de l
p Ulit o che n e è l'iun nagine s ul piano comp lCSbO. C h ialnialllo argoruf:n {.o d i z , e lo
indich eremo Hm arg( z), u no qualsiw;i degli angoli (J relativi al punto z. I n Qu e sto
Hlo(lo r tLrgOlnento d i Z !lon è ben de t e r m inat.o . Spesso questa inde t prminatezza
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
2.
C ap ito lo J.
(ntl.lfI<!';
nf)1l porta alcun inconvenien te. A lt.re volte i n v~e è prefcribilc 3-'<SegWtre un ben
determinato argomellto a un numero com plesso. C iò p uò a t t e n e rsi ill infin iti mO<li ,
fksando un q n akiasi i n tervallo, di ampie zza. 211' , ent ro il q uale far ·...a.rinrc l'a.n golo
8 . G li intervalli più comunemente usati a ques t o scopo sono [0 , 211') e (- 1i ~ 1I" 1;
allora l'argomento di z viene det t o aryomento princIpale .
Per esempio. il n u mero - i ha come argom ento -1rj2 oppu re 3r./ 2 o ppure
qualunque a ltro ,,"alore della f or llla - 11"/2 + 2kr. con k E 7L . II suo argomento
principale sarà 371/ 2 se si Motta la cOllvem:ìonc che () E :0, 27T) , - 7f j 2 con ItI.
cOIlvenzione che 8 E (-';'i. ;r1. I nume ri reali p osi ti vi hanno a rgomento princ ipale
O e quelli negativi 11' con t:nt r ambe le conve nzioni. P er il n umero O l'arg oment.o
non viene defi nit o .
Dato il n ume ro z = a + ib, dalla trigonometria ricaviamo i.mmcdiatament.e lc
r elazioni t ra le coord inA tc cartesiane a, b c Qu e lle polari p, {}:
a =pcosO
CO!!icchoi il
nllnl f! T U
(S.6)
b = psin 9
f:nm plP.AAO z p uò an che scri \'ersi nella. fo rma
! z~ p(C080 +isin9) 1
(8. 7)
c he è detta fOTma trigonumetrica d ci numeri comples.."ìi.
Le relazioni inve rse d i (8.6) son o :
I
Ip =
V (l'2
. O= - - b -- .,
va'2 + b2 J
+ b'l
(8.8)
Sin
Esempio
8.2. ;'X:riviamo in rnr m a trigollometrica il n um.,r{) complesso:
,J:i + i
A b bilUllO P =
v',,2 + iP ;::: V3"+1 =
2;
v'3+i =2(-': +i~) =2(C08i+\Sin%)
Formule di De Molvre
La forma trigo nometrica. è comoda per esprimere p rodotti e quoz-icnt.i di n u m eri
com plessi. Se abbia.mo infat t i
otteniamo
Z IZ2
=
P I P".1 {
= Plf>-.1{
Se
Z'l =t=-
COSO, COS 92 - s i n 0 1 s in 92 + 'i (sin 9 1 cos 8 2 + cos 0 1 sin 0 2 )}
COS(OI
+ 0'2 ) +
-i sin(Ol
+ 0 2)}
0, abbiamo
Pl
f"}.
cosO,
cos O,
+ i s inOI
+ i sin 8 2
_
(B. 9)
8 . N1l.fn ...n
complessi
27
~-I(Jlt.iplicalldo
(COS02V
+
nllIneratore e rlenOlninatore per cos O2 - i sin O'l e t enendo conto che
(8in02) 2 = l abbiamo:
~ (cos 0 1 +i sin Bd( cos O;.;: - ù ;in O2 )
= P l { COS(Ol ·-B;2 ) -;.-i s in(O} - B2 )} (tUO)
Pz
f'2
Pert.ant.o il mudulo del prodot. t.o e del quoziente di due numeri comp lessi è .
rispet t ivamente, il prodot.t.o e il q uoziente dci morlnli; l'arg-mnento è , r ispetti\na.nIente , lo. SOln ma e lo. differenLa d~li argo m enti:
Z}
=
::2
IZI . z:;: 1 IZI I . !z21
!zl!z:;:1 Iz,I/I ,~1
(8 11)
La (8.9 ) si generalizza a l caso di un n umero qua biasi d i fat t.ori
21 ;:.} . . .
+ B"l ~ . . . +0,, ) + i
z." = P1P2 · · . Pn {cos{B }
s in(Ot .,. O2 +
21,22, .
. .. + O,,) }
, Z" .
(8 .12)
Se poi i fattori sono tut. t.i u guali, oU.eniamo la formula (detta di D e 1.-1oivre) :
Izn
pn( cos(nO)
=
+i
sin (nO))
l
(8 .1 3)
Le r elazioni (8.9), (8.10), (8.13) vanno sot.to il nome d i teorema di D e }'loi nc.
Vediamone a lcune applicazioni.
Esempi
6.1. Scrivere in fornIa algebrica ( 1 +i) 7.
Det ermin ia mo modu lo e argomento di (1 + i ) e p o i applichia.mo la formu la di D e Moivre.
aIg (J+ i ) =~
Il ..... il = v'2
4
Quin di
1(1 + i)'1=
(l
8.4.
(../2) T =
8v'2"
7
>l.rg (1 +i)7 = - "
"
.' )
~('
--r=' - 1--=
v'2.,/2
+ 1\. , =
8v 2
= b - 8i
RJbol vcrc l'C4,,,,,,,ione
z~ -
Izi =
O
Sostit uir e z = x + iy e separare parte reale e parw im n lagin aria è po:s..sib ile, ma. port a a
calcoli a lgebrici un p o' pesanti. Se r isc.ri,'ifHoo l' equazione nell a. forma
z
,
=
'z l
pCl:5si amo iflv,x~ Hotare che ambo i membr i s i f:>i prilllo no faeilmeJll e se >'Ii pone z = p(cosO
i si" O), ovvero se s i nsa la forma trù;orwmdrù:a . Infatti:
Z3
=
(co.s30
p3
+ isin 30 )
:z i .=...
+
p
c ' ·equa.ziòne è soddisfatta ..... , " =10 se i d u e membri hanno moduli uguali e argoment.; c h e
differiscono pt'r m u ltipli di 21\, ovvero (il ]o;(.'(:olldo me mbro h a argoment o U):
{
,=
P
38 = 2iPI"
l'
con k
(O
:il
,.
Capitolo 1, ! n 'lTIu~""-_ _ _ ___ ._ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ ,0"'c"~ '~,,,,'~'"~'~'~'::"~
"
L.L pr im a cq u a z io nt: dà. Il :..o O e p = l (atten z io ne: p dC\I "!.'ls" re ;;:: O J>CTclu.\ è il mod a ]"
del n lLIller o complesso: po. in:iò p = -1 n on è a.ccett abile ); la sccond ~ dà: () ""' ~. S i t rova
pertnuto:
210.1<
_. 2k".
~ = c.()~ 3 ->- , s"' ""3 j H..'T k = 0.1 . 2
I::::splicitamente:
z.=o
l
vr:i
2
2
z = --- +i -
z = l
l
2
::: = -- -
_,,13
2
1 - '-
Le fo rmule d i Dc 1·Io ivre perme t t o no d i d a J:"e uTl ' inte Tpn~t aziolle ge.(m u; t1"ica al
pr"Odot-to d i: n-ume6 (;OmpleIfIfJ. S ia z , p e r c:omìnd a re , un numero eom plc:...."O di
modulo 1, quindi dci ti po (cos O + i_sin O). Allo r n, moltiplicare un llU l1ltl r o per =
sigTli fic a ;;QJ!1man:' () a l 1>\10 a rgomento , cioè esegui re una n,f.uzione di (ulgo lo O. Se
z ha modulo p anzicbé 1. o lt re ad e...~gui r c una rotazion e si esegue u n a dtlataziortt:
di coefficie nte p. A d esempio:
m o ltip licar e p er 1 sign ifica ct;eglluc una rotazione d i ~;
molt-ip licarc p er - 1 s ig n ifica eseguire U ll!j. rotazione d i ;or;
m o lt.i p licare per ( l + i) slglli fica eseguire u nA. dilatazione d i n~Hì dc ntc
une. T')t az;iooe di 7r/ 4 .
8.4 .
Radici n-eslm e
Dato un Tlurnero
It) se ris u lta .z n =
çom pl e~
w, dircnlo che z P, una. radi ce
n - t:~,-i-rfw
(coml,Zessa) di
W.
T eorema 8.1 - Sia W E CC, w f- 0 , e
ITldici n -c.sime complesse ZQ, ZlJ .
Z k = Pk { COS Ok .:.. i sìn (h..) abbimrlO
IFl.tem 2: l . Rsistono preci.9amcnt c
di w ; posto tc = r (c osy;t f- isin:p) e
n
11.
p, =
r 1/ n
6, -
'{J
':j
k = O, l ,
+ 2br
n
(8. 14 )
OimO$tralione . I n u n h'r i %1: sono c .... id"'nt"mcntc r<l., lici di w, come risulta calc olan d o :;;'
m t:diante 1.1. form ula di De M oi v re_ M ostriamo c he 0 011 ....e ne so no a lt re. Infatti, perçh é u n
nume ro R (cos ~ + ;sin tp) sia radice n -eHim a. di w, dO\'Tebbe ri s ul t are
n" = r
e
R =r 1j "
~l";'
c
=-
<P
+ 2 h Tr
con
h E Z
vJ = <I'/n .... 2h~ / "
D and o a h I val ori 0 , 1, .. , . 11 - l tro .... iamo appu n t o i numeri :th_ Dando 3 h llli q lJ(& l~i,~ì
<lItro valo re l, d,V(,r~o dai p recedenti , que,--t~~ può scriversi nell a forma il = k + m'l (m e: Z è
il 'ill<., .. ienfe e II: è il r est o de ll Clo divi... ione d i h per n ) pt.:r cui sarebbe
r.p
2kir
,;; = _ + __ + 2m ~
n
"
(: ritrm-erem mo a ncora gli Io.ll.'SSi Z I< precooen tl .
=
(J~
+ 2H111"
o
G0 ... ~
0€<-· 0 7 ~ <Io T_ 5
=~~--------- , -
__ _ _- '"" .."" ',""'"
" ,,,.,,,'
""O""np~'~,>"",i _
_ ,2",
9
Per le radici COl nplt:"- lise s i u sa pll r UOppo li l la not.<~zjone u n p o ' [un bigua , l a. stess a
i n u s o per ind i ca re la rad ice a r it met.ic I\.: s i indica cioè co n -v'Z o Zl/ ... l'-in s icInc d e lle
n r adici c:omplp$ s e d i z , C iò può CH :' (U € c onfusione q UR.nd o z è rea le . l nfat-ti il
s in1b olo
,,'4 , inteso
COITlC r adi c e a r i t nlct ica d i 4 , P 2; in r,roso ro m", rad icp <.:or n plcss ll.
di 4 è l'i nsie m e dei d u e num eri +2
I:'
- 2.
E sempio
8 .5 . Le t. re n l.d ici cub iche d i - 1 sono i. n umer i
z~ d..Jla fo rm a: COE.O k + i s in Ok con 8" = "i:l -'2 h / 3, k = 0, l , 2 . Es p licitam en t e a b biH Ifio;
l
""
2_(l --r ."I3i)
z,
-1
"'
~(1
2
- v'3i)
Figu ra 7
L a dis pos i zione d elle radici c ubiehe dell'esem pio prccL>dcntc nel pia no d i Galls.<.;
non è cas u a le . Infet-t t i S€ ili = r( co s :p -t- i sin 'P) le r ad ici n - esime :<:0, :<:1, . . . , Z n _ l d ì
w si tra v allO Il.i ver tici d el poligo no regolare di n lati in sc.rit t o n ella c ircon fe renza
d i centro O e raggio r 1i '< , con il ver t ice 2"0 p o s t o n el pun to d i argOlllcnto O = <p/n.
"
,
Fig u r a a
:-.rella figura 8 so no r a p p r esentat.e le r adic i &est e di i
ZQ,Zl , . . .
,Z~.
Esempio
a.6. C alcolar e C'l·" i. Il ' ''' mero ( 1 -;- i) ha. nlO dulo .j2 e a r gOIH" nto 1</ 4 . L e rad ici q ui n t e
sara n no qui n di:
"I
''Fi(
,,' 2 COS ('+~b)
4 ;;
+ i sin
co n k
G li an g ol i t.rova t.; n on s o n o notevoli . n la volend o s i
a p pros8iIllato, U53 11d" """ calco'3tr ic e .
p OS.-,OIlO
=
0, 1,2. 3 . 1
c alco lare "cni e c ose n i in Tl lodo
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
3D
Capd"w 1_ l
nt<mt:1~
@
• Equazioni di sec.onao grado. Un'equazioulè di
~econdo
8S_0"-O.,. ~ .. 7 Il
grado
2
tlz +bz+c = O
con coefficienti a , b, c E 0.:', si r isolve con II:L "solita" form u la
- b± -!b'l 4ac
2a
a patto d i i ntendere la radice q u adr ata in senso comples.<;o. Il segno ± davanti
a l simb olo d i rad ice è in realtà superflno , perché il s im b olo stesoo .;: nel call1 po
com p lesso d enota d '1f t : m/men , u no o p posto d e ll'altro.
Ese mpio
z" 1 2ù --
8.7.
z = - i±
= - t ±
y'.-I - .J:li
h
= - i .::t:
v3i
/2
=
O
(C03 ~1r+ iSin~1r)
..
(cosi + i sin i) = ± V; -.- i ( - 1 ± '~)
Il teor ema 8 . 1 ci d ice che u n p o linomio d el t ipo z" + ti (con a comp lesso) ha in
CC esattamente n radici: nel cam po rcale invece l'equazion e xn + a = O può a vere
due , una , o nelsuna rad ice (esempi : x~ - l = 0 , x J - 1 = 0 , X2 + l = O); ora
s appiam o c h e t a le equazione h a sempre TI radici in
ma solo occasionalment e
u n a o due d i esse ~t an no in ili.
Il risul t ato è d i portata b en più generale , come affcrma. il tieguente teorem a ,
d i c ui n on riportiamo la d im ost.razionc.
cr:,
Teorema 8 .2 ( teorema fon d amentale dell'algebra) della forma
Un'equazione poliflOmiale
((L,,-=I=-O)
con coefficienti complessi qualsiasi ha precisamente n radici in IV , se ogrmna di
esse viene contata con la S1W multt:plù:Uà ( 4) .
Esercizi
CC)
Sc~ivere
in for m a a lgeb rica ( z
=
(2+ 1)(1- i )
3
2i
a
+ i II , '-', Il c:
l
JR) i &'gu cnti n u meri com ple»..'!i :
(v'3+ t v'2)3
..j2 - -..I3i
Se P ( z) è un polillomio in z di grado -n e Zo ulla sua radice, s i dice che zo è di mo lte plic it à
k (k in tero, 2': 1 ) se vale la for m u la P ( z) = ( z - 4J)~Q(z ) , doye Q è u n po linomio tale che
Q (zo) 'i= O.
(4 )
9 . F,mno ni
fii
C alco lar .. morlulo e argoment o d ei segue"t i nmner i com l-'lessi;
-3i ; - 5:
G
..
Calcola.r .. mod u lo e a rgomento dei n umeri:
l
+ ,./:1
l
4D
- V3 +
l + i
l - i
i
1+
j
v'3 +
;
D isegwuc !lcl pia!lo comp lffiSO il lu ogo d ei p unt i z t a li che;
i)
iii )
1m
,
=-1
~
Gi)
Ve rificar<; (:he , 'I;;; E C:
Iz! 2: Re (z )
et
Ser i"" r " i n forma a lgeb r Ì(:a a
l - tv'3
1
( 'l :::., ,' .)'
+i
izl 2:
1m (z)
+ ib
i numeri
(1 +
i/"
Iz: < iRo'
(1 - i)"
( z )1
+ ilm (z)1
( l -'- 'v'3)" - (1- tV:l) "
$
Calcolare le ra dici ~~te d i -1 "rappres€T1tarie slIl pi ano di Gatms_
e
Risolver e l€ e q u a z io ni
...)
(z - 2 )'l =-i
b)
2-~- ( 4+ i )z+4+2 i = n
et
Bsp~im"rc cos0(} come co mbi nazi one lineare d i poteIlze di
e
Eaprimere (sin O) 4 ",'me combi mlZ ion" lineare d i t erm in i del ti p o sin( M) e cos( kO) .
",,,, (j
e s inO.
f.D
Calcolare le seguent i r&iiei n ·esime nel <èfl.l"(JpO compl c..~Sil . Quando l'.a q;omento di
è Un valore n o tevole, riscriver ... in forma. algebrica le radid ( ad esempio: 2 (COlI i + i s in i
,;3 + i ).
. .re---
,,,.~
G
- l
D isegn ar€ nel p iano c u mplesso i segtl€nti insiem i:
A =
{z : l < lzl < 2 : ~ < argz < i}
D"ltonnina re tutt" le soluz-i<mi dell"
fll) z'
G>
z~+2iz - 3=0
tli)
G)
€E)
iz2 + ( 1+ i ) . :: +1 = 0
El)
z~+z = O
,l--tez -
Z2
"quazioni nei campo m m p/<'Sso:
ED
+ 2.:: +3 = 0
2
= Izl
s~uenti
+
l
H ={ iz: zEA }
+ 3;':'" ( Re z ) (i + ( lm z )" )
jz" = :z
z
m +
G) (z:f
e
z6
2z" - 3 = [)
=
l'''·
2 1Z12 = z"
~O
:fZ
)=
,3"2,-__~CC,"",p'"t~"_t""c'C,_J~nc"c'c"='c"c'---------------,------____________________ G)~8~U 754T- R
9.
FUNZIONI
Il concet to di funz-ione è centrale in fn a t€lna ti ca. ed est.rcn1arnentc generale . A r riviarrloci a t tra.verso alcuni eselUPi.
Se s i la'lcia cadere u n oggetto pesante d a u n 'altezza h . lo spazio per co rso
dall 'ogget.to vru:ia col t emp o ~condo la formu La
o,,(t )
l
-qt'2
=
(g accclera...io nc d i gnwit.à )
2'
Cioè a t ,,·ie lle (j..<;.q("Jdato s(t); in s imboli :
1-
>------>
$(t) = spazio perconiO a l tempo t.
Fig ura 9
Se un c a pit a le unitario v iene i nvc5t~o per un anno al l.asso mensil e i, il
capitale finale d ipende da i secondo Li formula
(1+ 1!2) "
,
k(i) =
C ioè:
i
La potenza
r
>------->
k(i)
=
capit ale alla fine dell'anno
di u n a lente d ipend e dalla lunghezza focale
f
l:iccondo la for mula
1
P ~ 7
(se
f è
misurat.a in metri , P è Ctipn,ssa in diott r ie ). Cioè:
pot enza della lente
Figura lO
-- f ---'
I n ciascuno degli esempi precedenti, a un numero reale (ingresso) vie ne associat.o
unilJor_;amente un a l tro n u m ero reale ( u s<:ita). È p ro prio L' u n ivoci t à. della corrispondenza a caratteriz.zar e u n a funzio ne. In gene rale, g li ingressi amm i ~i bj[i per
una da ta co r risponden z-a sono sogget.ti a restr Llioni natu rali, le gate a lla n at ura
!;te&;<J, de lla corris p o nden:-O;l:l.
Nel pri mo esempio il IlUlTlerO reale ''-':li p a r te n:-O;il" ha i l signi fiC<1.t o di te m po:
inlluaginando d i lasciar cad ere l'o ggett o a un t empo inizia le t = O è e yidentc c h e
c i s i dovrà limitare a tempi t ~ Q.
9_ Fu nzioni
Nel seeondo e:>em pio. t'lviden tcmt::nte dov r à e~erc O < i- '.S 1. l n llne, nel terzo
est!Olpio, dal significatO di f. deve essere 1 ? 0 , rnentn:! la formula impone u lt eriormente f > o.
L'insiemI'" dp; V~t.1ori "'di partenza" alIlTnis",ibili p l:!r u na data funzione pr".,de
il nome cl i dominio.
Spesso si U.-.a.110 le locuzjotli vuric.bilc indipenden /,t: per indicare u n ing l"es~
generico e "'uriabile d,pe1(d{!nle per indicare J"u:>cil.a..
I pr().1:;tiimi esempi sono di t.ip o un po' diverso:
Consideria.rnv una sharra metallica sot.t ile d ì ln ngho:::zza L; possiamo r-"pp resentarla con l' int.ervallo [O , L ]. L a tempcratu rt:l T nel punto x delltt !:'barra
;i ll' is t.a nt e t, ~ t'Sprell8a da nn n u me ru che dipende dalla /:oppia di nu mer i
(x , t ), secondo u na. certA legge. In s imbo li :
(x, t ) ...... T (x,t).
Questa volta J 'tngn~.'I ...o n on è un Ilumero, ma piut t o sto una coppia. ordinata. d i
numer i (x, t ), mentre l' uscit.a è a.ncora un numer o . D'altro cant-O, ~ x E ~O . L ]
e t ? O, la coppia. (x, t ) è un elemento dell'insif!me .4 = [O, L J x [O, -00). Si
può ancora d ire, quindi , che ad ogni e lemento d i un certo ir'-S'leme A v ie ne
ru;~ciato univoea.mente un eleHlento di un altro insieme B (qui B = IR ).
Se A è l'in siem e d egli student-i di un certo corso c B è l'insieme dei loro n o m i,
lo. eo rrispondcn~ ch e MRQt:ia ad og ni studentI:: il t'; u o nome è univoca ( meJlt.re
il viceversa n o n è n eee;t:;aria ment e vero : pot re bbe ro e>::;er d d u e s tudenti con
lo s tf'_';SO nome). In questo ca'iO né A né B .sono insiemi n u mer ici, c tntt l'l.via
risulta ben definita una corrispondenza u ni voca tnt questi d u e ilLsierni.
Si arri'l.7\ co.si al concetto generale di funzione-:
D ~ti d ue insietni A. B qual!,i3.Si, una. f unzione f di dominio A a t;alon m 13 (o
a nche "d i codominio l)"' ) è una qua lsiasi legge ch e ad ogui elemento di A. W:lsoeia
UIlO t' u.~ ~lo d emen to di R . Scriveremo:
f : .A. ·- ... B
(che s i le-,me ;;1 den nita d a A
<l
B ") . Sc ri vcre mo
J ' x ~ J (x)
(ch e si legge "f llSsocia f (x) ad x") per in dif':lU"e co m e la fu nzio ne J agisce sugli
1?1t!IlJeHti. Il !;imbol0 f(x) indica il valor e che la fum:io ne f ll.%OCia a d x, e non va
confuso col simbolo 1, ch e denota la fUllz ione Sles..cm.
A d esemp io, per la. funzione k sopra. definit a si a vrebl>td:
k::O,J ' ....... ]R
k : i ---.. (l .... li )
2
S i u,.,a anche la
s(~rirtura
1/
=
l (:.·")
l'l
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
34
CI/mIo/I) 1. J
Tl\jm(;n
per indicare che la variabile y è funzione di X, ossia che y è il .-a/ore che f associa. all'ingresso x. Di nuovo, la proprietà caratl.erisl,ica di I, affinché la si possa
chiamare funzione, è J'tm ivoc:ità. della corrispondenza: a.qsegnato l'elemento di
"ingresw" a E A, l'elemento di "uscita'! b = f (a) dev'es~ere univOC8.mente determinato.
Si può pensare il. una funzione come a. lilla scatola neTa che a ogni i ngr~
ammissihile x a&IOcia un 'tmtca usci ~a J(x):
, -- - input
- _ir
~
I-
..
1
1
,
-
-
--
Il,)
QUtput
FiCura Il
L' u ~cit a corri8pondentc a x
bi chiama immagine di X; l'insieme delh: !x)i)..,ibili uscite
si chiama immagine di D tramite f e si indica con il simbolo f(D) o lmj..-si noti
che nella scrittura f: A --+ B, il codominio n può el!i::iere più grande dell'immagine
! (A) (ossia in generale è 1(..1 ) ç 8) . Ad esempio, se 1 ha V'alori reali, soutamentl'
si scrive f ; A - IR. senza precisare quale sia l'effettiva immagine di f.
Alcune classi di funzioni di cui ci occuperemo in qUel>to COn>O sono le seguenti:
_. le funziuni f ; IN ..... IR, che si dicono SUCCf..~.çìon i: te stud ieremo nel capitolo
3, para.grnfo l ;
- le fuu zioni f : IR -oR (funzioni reali di variabile reale), di cui ci occuperemo
a. part.ire da.I ca.pitolo 4;
le funzioni f ; 1R." -+ (t'" di tiro lineare, ùette andlC tTUsJ()rmaziolli lineari:
le studieremo capitolo 2;
- le funzioni f : IR" -4 IR'" (non necessariamente lineari), di cui ci occuperemo
a partire da.l capitolo 9.
Infine, lIello studio del calcolo differenziale e jnt.egrah~: inçontreremo anche alcuni
esempi di fuuz ioni definite tra insiemi che, a loro volta, hanno per elenlp.nti altre
fun zioni. Come:si vede, il concetto di funzwne (come q1lello di insieme, introdotto
nel paragrafo 1) fa attualmente »1Ute dci linguaMio di base della matematica, che
unifica tra loro concetti e oggetti molto diversi.
2
1.
Elementi di geometria
e algebra lineare
VETTORI NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Il con cetto d i vettore, fonùament a le sia in matematic a ch e nelle a pplicazioni (fi s ic he ccc .), può esser e introd otto a vari l ivell i di a..'ltraz ionc . I n q u est a sezione
ci occuperemo d i vettori nel piano e nello spazio: i n q u esto contesto, è poosibile
d are u na d e fi n i7.ione gcoln et-rica e lementare di vettore; molte grandezze fis ic h e
(come velocità, acceler azio n e , forza .. . )!;i r appre!òcn tan o in quest o m odo. I n seguito (par. 3) vedrem o come la nozione di vettore si p o ssa gen e ralizzar e i n t.er mini
a.':!tratti , otten e n do u n concetto p iù fless ibi le . c he r i~uH.a rnolt o u tile p er l'algeb ra,
il calcolo in fin it.esimalc c Le loro ap plicazion i.
1.1.
Operazioni fondamentali sui vettori
Un vettore n e l p ia n o o nello s p azio è in d ividu n.to assegn a ndo:
a) u n n umero r eale
sità;
UOII
negat ivo che l-'S primc la sua lun.q lu:zulo modulo o i nten -
b) una direzione , i ndividuata da u n a retta (rett e para lle le in d iv id u a n o la stessa
d irezion e ) ;
c) un
ver.~o .
GeOlnetricanlente, possi a lno pensare ai vet t ori CO IlIC a segmenti oriental.i, con la
precl!::ìa zionc che duc segme n ti orient.ati che p ossano attenersi l'uno d all'alt ro per
traslazion e sono lo Bl.e.~so ~)ett(jre.
Se nello spazio è fissat o u n s istema. d i ri fer imento cartesiano d i cui O è l'o rigine, pos.siamo a nche veder~ i vet tori come frecu uscenti d a O (fig. 1).
A "
p
o --~_
A'
Figura l
Vetto ,i com., fr"cc" u,""e ,ni do> O .
pun ti di"e"" d e llo spazio.
0:4.., PQ
ra p p,,,s..ntano lo s t es.-.o ""tto<" o>pp lic .. to in du e
36
Capitolo 2. Elementi di qE.O'!ldria e algd"u IÙH!llrr
L I:I direzione cd il ve r so del vettori> !'ono allora
(jll f!ll i
i n d icati clalla ffec eia <:o r-
rispondente ment re il su o m o dulo coincide con la h1l1~he"'7.a della freccia . P er
indh:lI.re un vet.to re pot.remo usare \1na lettera in grassetto (come v , w , elc .) oppure il simbolo DA S(' A è la. p um.(\ d e lla freccia. Si diC<' a nch e che (M t! il vetto re
p osb>: ìo ne dci punt o A.
Natu ralmente si p u ò pensru"c un ·...etto re come frC"C cia usc.cntc da UII q ua lsiasi
alt.ro punto d ello (>pazio. Due !)unt-i fiss a ti P (' Q, nell'ordine , in ò iv iduano un
,ret.tore con d irezione coincidente con quella della. retta passante per P e Q, con
verso da F il. Q e con modul u pari alla lunghezza d el Regmf'llto PQ. Il vettore
indiv iduat.o dai due Jlllnt.i P c Q co ìneid ~ ('.01 vettore rap presentato dalla fr eccia
DA che si o t tiene tranLando parallelrunent.e il se~ mf! llto PQ fino Il. far coincid ere
p con O c Q con ,;\ ( .... fig. 1); per il vettore così rappr~enta(.() si può a n che
usa.re il sim b o lo PQ. Sottoti Jleiamo per ò che ()-À e PQ sono due r apprc!:ìent fl.zi on i
(geom et r iche) dive.nse dello s t.C$SQ vdtore v , una volta appli.cato in 0 , un' tl.ltrt\.
a pplicato in P .
n m odu lo di un vet.t ore v sarà. indicato con Iv l. Il ,rettore d i JOlxlu l0 O si
c hilirna vettore nullo e sarù indicato con O.
S u i vett o r i si p O!:ìSOIlO definire "\-arie operazioni. Comin ciamo a introourrc le
due fondament.ali: la !'iOlnnla di vt!ttori e il p rodor.to di un vet.tore p er u no scalt\.re .
• Somma di vettori. D a ti due ve\.tori v = DA e w = OB. La loro s omma è definit a
al :'leguente modo: si applica w in A , cioè si tlcri vp. w ::- .A.C con C oppor\.uno;
Ne segu e che v + w s i p uò ottt:l1 er t'! ~nn la b eli nota regola del
a l\ora v + w =
paralLelogrrullma: il vett.o re v + w è la diagonale del p arrulclogramma cost. ruito
::,u v e w , n el m odo indicaoo in figura..
Si noti che il segmento o rip.nt.ato assodato a v ..L. w è contenulo n el piano dei
scgmeIlti orientati associfl.ti fI. v C w .
OC.
A
•
o """"'=------c,c+ccw~----:.
c
, .
•
B
L a SOmma è un 'ol)e ra.zionc associati1Ja
(u
+ v) +
w =
u - (v I w )
p er cui si può scri vere 5elll p!ic:eme[)te u -:- v + w ,
fl
(;ommu tatit!a
u +v=-v -l u
I llo ltre, p o iché il vet.tore nutkl h<'\ lunghczz3 zew, s i hll:
per o)Z;l1i " ettore v
@
66 _0';_07 547'_ .,
________________ ,Ic,--,Vettor"- nel plano c nello "pa:rio
37
Si indicll.. con -v i l vettore o p posto a v. avente :';Lessa lungheLzu e d irezione !IlU
verso opposto . E vident.enlent.e
y
+
(- v ) = O
La somma v -+- ( -w) si scrive sem plicemente y - w . definendo in t.al nl000 la
differenza lffl.. due vet.tori (lìgura 3) _
_ _ _ _ _ -lL-_ __
-w
Figura 3
w
D i ff" f"nz~ t ...... Hto<i
L e pro prietà d ella SOlllnla d i vet.tori appena enun ciate p o~sono e&:;erc dinlOstrate
geometricamente, in ha..,e alla definizio ne di som ma.
Per esempio. la proprietà commut.a t iv·d. dipende dal fatto c h e in u n p a rallelogramma i lati opposti ~ono u)!;uali e paralieli. Da qli~s to i nfatt i diseende che
(v. fig. 2 ) v = 3A =
w = UB =
perciò
Be,
AC,
= OA+AC
v + -..v
= OC ; w-,- v =
OB+BC -
oc
e quindi v + w = w ----'--- v .
C o n un ragionrullcnto geomet rico analogo (Ina un po' più co mplesso) si può
di.wostrarp la proprietà associativa . I.e p ropriet.à del vetto re nullo e dell'opposto
sono poi i mmediate .
• A1oltiplirnzi()ne d i un uetton~ ]JeT /J.1tO sr.<J.lure. Se v è u n vettore e t è uno M:alare
(cioè -un numero reale) il prod o tta di t per v indi cat-o con tv, è definito come i l
vettore che h a lunghezza I t ~ . ~v:, ht! la di re;donc d i velo ~ t.csso verso se t > 0,
verso Op pOflto S€ t < O.
- 2v
Figura 4
Moltip l iC~2.i on"
3v
"
di v
p~r
3 e l'e, - 2 _
La molt.ipl icazione di u n ycttole pelOuno
~calare
soddisfa le seg"uenti proprietà:
v =v
t(v
(,'I
,~, (t v )
(.~t) v
+ w)
I v - tw
--+-- t )v
IjV
+ f.v
Di. n uovo, quest-e proprietà hanno una diolostra.z.io n f' gconlct r ica . P er cseulpio,
{wr provare la t.erza, si consideri la fìgura 5 : i tri a ngoli OA_B , GCV sono "imiti,
p er i l Tl-'OrenHl_di T ale t e , pcrclll'~ Ali e C lJ sono paralleli ( rappresen t ando i vett.ori
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
38
Capitolo 2. EI~m, entl d i geomet.'i<I e algeb.u li'H:um
e tw) . N e seg ue da: OD: OB = DC: QA = t . M a. OD = t v ___ t w ,
perciò tv + t w = t ( v + w ).
'W
OB =
V -I- W ,
~D
o
Figur.>.5 L .
propriet~ l
A
tv
C
( v _ w ) = tv ..;.. l w
• Verson. Un vet tor e d i mod u lo uIli tario si chia o )t\ versore.
Dato un vdto re v (non nullo), indichia.mo con
v
,,'ers (v ) = -,-I
,v
il vc n;ore o t wnuw d a v d ivid endolo per il ~uo m odu lo, ossia. co[ne si usa di re ,
nonnalizzandolo.
È utile ora pa SSAIe dal punto d i vist;a d ella geometria. elem entare (sint e licn),
che abbiamo adot t ato tiri qui , a q u elto d e lla geomet rlH. analit ica, rn:sia introdu rre
un sistema d i ri feri ment.o cart.esialIQ. Q Uel:ito r ender à. possibili calcoli analit ici coi
vettori e costituirà. il punt o di parten za per le generalizzazioni che sarann o svilupp a t e in seg u ito ( p ar . 3). P er maggior g raduali t à , conside reremo scpara tameme il
Ca&> d ei vettori n~l piano e nello s p 8:r.io.
VeNori ne' piano
Se introducia m o un si::ltetn&. d i riferiment o car tesia no ortogonale nel piano, questo
s i può identi tìcare con l'insieme IR 2 d elle coppie ordinate d i numeri reali. D~to u n
pun to A = (x , y ), ad esso c asso cia.t o i l vettore v =OA; viceversa , ad ogn i vett o re
v è 1;L<;.'>Ociata un 'unica freccia che h a con le primo estre mo l'origine e come ~ndo
u n p unt o A = (x ,y). In questo m odo è pOtiSibile id e ntmcA.re il punto d i coord in ate
A = (x , y ) con il vettore p O:: ì i7iou e OA. Potremo allortL &:riyere
v = (x,
y)
invece d i
v = OA
c i numeri x e y si d icol1o componenti s calari d i v . Si noti che
Ivl =
lu nghezza d i
o:A =
";x2 + y'J.
(Teorema d ì Pitagol'a) . Due punti P = (a, b) c Q = (c,d), nell'ord ine, individuano
il vettore di compommti l'lca.lari x = c ~ a , y = d ~ bi c ioè:
PQ ~ (e --a , d - b)
. - - - - - - - Q ( c,d)
P (o.,b)
PO e DA
Figura (, Le f'ecce
y = d - b.
A
l aF>pr"".mt ano lo ste:o~o v ettore. le c u i COm p<l nent; $Ca l",,;
s<)1\O
X.::= C - GI.
1. V" twn; "el
Se eon:òideriamo d u e vetto ri
che ( figura 7)
U
=
(Xl, Yl) e v
=
pi a n o
e nello
spO-ztO
39
(L2 , Y2 ) s i ver ifica immcdi a tamcnt-e
U ±V = (X l ±XZ , Yl± Y Z)
e c h e , se t E III
H
,
•
'
1
"
~
x,
'"
j
" ' .
'::r~
",
"
I
L,
Fig ura 7 S omma e p.-odotto p<! r u n o !>ç;l14l r .. , compooe n t ., p er c om JKln ..... t e.
Le formule precedenti 80no fo nda mentali in quanto permettono d i esegu ire le
operazio n i s u i vetto r i per via a nalitica , sen za necess it à d i costruzioni geomet riche.
I vettor i i = (1 , O) e j = ( 0 , 1 ) ~ono d ire tti come g li assi coordina ti, h anno
hmg h ezza Ii i = 1 = UI (sono versori ) e sono o rtogonali tra l OTO . I nol tre ogni a ltro
v cttore v = (x, y) si può e~primere nella forma
v= x i +yj
i e j
::;j
d icono verso n fo n dame n t ali nel p iano .
Esempio
1.1. U ll a m oton ave deve attra~-ersa.re un fiume per portarsi da u na località A a d u lla località.
E , opposta, a d istanza. d , su ll'altr a ~po nda. La moton a ve svi lu p pa. u na velocità (scah.r", ) d ì
li k m jh e la corre n te s i muove ad u na. ve loci tà (scalare) w .
IlO Qua.le d irez ione s i deve m u overe la. IIlot o nave per r aggiunge re B n el p iù breve t emp o
possib ile'!
Scegliam o il r iferimento cartesiano come indicato in figura , ne l q uale A è l'orig in e .
,
B
"dociu. ùdla
d
w
•
F igura 8 Iv ! = ".
l-wl
w.
A. = O
COUente
40
o
Capitolo 2_ Elementi d i gwmdria e algGI>ra lin eaa:
8;;·"H_O"~47_ ~
PflT raggiungere lo scopo oceorre sce.gliet-e t'angolo lì i n m o d o tH k ehe l i -= V - v.; p u n ti m,Ila
direzione positiva d"ll'a,s."" y .
I l vetture u rappre:;ellta la w;oloGit à effett iva del la moto""-",, nella d irezione AB _Ora, si ha:
v = t!sin/.li-+ l' COSOj
w=- w i,
A ffi flChé u pnntj ne ll a direzione dcll'a.'<.,«, y , occorre dunque che la p rima "ornpOTlcat e \i i u si
alln ulli ; c ioè deve CBSere
t:s;ne=u.;
d a c ui
ossia
Pe r a.empio , se
tlJ
= :1 km / h e
(I =
20 k rn/ h s i trova
tI =
w
are"in -
e=
"
arcs i n ~~ "><
(l . li'>
[<I"L
Vettori nello spazio tridimensionale
Se introduciamo Ull sistema di riferimento cartesian o ortogonale nello spazio tridimensionale, con origine nel punto O d i rifcrimento ,qucsto si può identificare con
)'illilicme nfl delle terne ordinale (x,y,z) d i numeri reali.
Di solito s i sceglie una terna di assi ortogonali con una o 7'Ìen l, aziuflP- destr oTl;a.
Con ciò si. intende che se indice e med io della mano dest ra puntano rispe t.tivamente
nel verso positivo degli assi x e y . il poBice punta nel verso positivo dell ' asse z.
"
,
,
,
- -- -- -- -- _--:.~..' p ' = (a ,b,O)
a
Figura 9
p = (a ,b,e)
S is tem a di r iferimen to d .... t ror50 in lR~
(a,b ,e) e Q _ (a',I/.c') s i esten de
La formula della distanza tra due p lw ti P
subito dal caso bidimensionale:
PQ
=
r---.c-~--=-=----'--=
J(a
- a'p + (b - b'P + (c - e')2
In fatti ]5Q è la diagonale del parallelcpi pedo i ndicato in figura lO .
/I ;\
/1
: '
[
'~
P={ a , /J, c)
Q = (a ', h'.c')
'
"
,
,
l..
".~--:_-\r!
R = (a' , h, c ' )
S=(n.,b,,;')
-
R
Figura lO Di s t .. rlZa l ,a dlJ e
Q
~lJnti
n .. llo
5~a2io _
Per il t eo(cm" dj Pitagora, si ha:
SQ2- =
!ife +
RQ2 =
= (a _ 11')2 +
e
--
PQ =
!
2
2
VSQ
+ SP
Ch _
&')2
=
-= ..j( a. a' )2 I (b - I>')~ .... (c -
c'p
1 . Vettori ncl l,iallo {" ndlo 5piU io
41
~
Il vett o r e v = PQ ha componenti sca la ri x = (a - a' )' y = (b - Il) . z = (r." - c')
e c o incide con il ve t t o r e
"L'cUo re ptJ8i2ion e d d pu nto A = ( x, y , z) . S i può
sc r ivere allo ra v = (x, y , z ) invece di v = OA .
o_l
~
La l u ng hezza d i v c oincid e con la lu n g h ezza d i
Iv l = v'x? + y 2 +
"]">Q , o ss ia
Z2
I ve ttori i = ( l, D,O) , j = (0 ,1, 0 ), k = (0 , 0 , 1 ) sono vers o ri, mutuamentc ortog a n a li, dir e tti n e l verso p os it ivo d e i t re assi, ris p e t tiva ment e . O g n i a ltro ve t.t ore
v = (x , y , z) si p uò scri ye re n el la fo rma
v =x i +y j +z k
( 1. 1)
Lj , k s i dicon o tJc r,~ ori j ond nm p11.tali n e llo ~ p a7.i n . Lp npe rA.Zi o ni rli ,o;o TlIlll.a d i. ve t t.or i e prodo tto p er u n o scal a r e si p o ssono e s eg u ire cOlnp a n c n t.e p er eoul ponente ,
c aln e nel caso p i ano :
Combinazioni lineari di vettori. Vettori linearmente Indipendenti
Conside ria mo k vetto ri
Il vett ore
,V k
V 1 ,' "
( nel pi.ano o nello spazio ) c k sca la r i.
0 1, . .
, a l.; .
(1.2)
s i chiama combinazione lineare d ei vettori v } , . . . ,
VI.;
c on coefficie nti a ( , .
Definizione 1.1 - I ve.tto ri. v" V2 .
, V k si d icon o lin e a rme n t.e di pendenti se
( almeno) uno di e RR i si p uò esp r i m e re co m e c o mbin a z·ion e lineare d e gl i a lt r i; in
caso cOlltnl1-lo si d icono l inea r m e nte i ndi p end e n ti .
Equiva lenterIlente , vI , V2,. .
implica
lenza.)
0 1
= a:,] =
.. . =
Q k
=
,Vk sono in d ipenden ti se
O. (Il let to r e è invitato a d i mostrare t a le equ iva-
;'>le i cas o p a rt.ic o lare di 2 v p.tt.o r i
per qualc h e sca l are a, s i ha
v
] )
v [ =
V 2,
essi s ono li nca n n ente
dipc ndf~ nti :; C ,
0 'V2
cioè, tie UIlO è un multiplo d ell' altro . Geometricamente, c ii'! s igni fi c a che !iOIIO
p a r a lleli , o ( pensa n d o i v ettori s pin :a ti dall'ori.gine dci sistcma d i r ife r im e Ilto) s i
trovano SllU rl S f.f':BSQ retta .
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
42
Capitolo 2 . E l" ment-i d i g emn t'-trio c algebnl lineare
v, =
.7
3" 1
"
(1))
(" )
Figu~a
@il8_Cl8--O'/'.547 _;;
"
11 ( a ) Vetto< i li n e a r m ente d ipel1 d enti; ( I» vettor i ' nd ipend.",t;'
N el caso d i tre vet t ori v I , V 2 , V~'" d i cui p e r eseul pio V2 c V J indipendent i, d i re
che V1 è combinazione li.n t:are d i V 2 e v J s ignifica geomet ricamente che v } gia ce
nel p iano individuat o da V2 c V J (quand o i 3 vettori sia no spiccati dallo stesso
punto ) . Infatti, i n tal C1)..<;() V1 è la diagonale d el pll.rallelograuHna che Ìla per lati
d ue mult ipli d i V2 , V3 , quindi g iace nel piano individuato d a V2, V3 (v . fig . 12)
O~V2
.'
i - --- - - - - -- --
",
F;gu~iI
12 Ve ttori linearme nte di p .. ndenti
Per p_"lcm pio , nel p iano, i ve t t o r i i = ( 1,0) c j
d ent i, come pure, nello spazio , i vcttori
i= ( 1,0 ,0)
j
~
(O, L O)
(0, 1) sono linea rmente indi pen -
k
~
(0,0 , l )
(L 3)
L a (1.1 ) i ndica che ogni a ltro vettore v dello spazio p u ò essere ffip res,.<:,o co m e
co m b inazione linea re d ci vettori ( 1.3) .
In realtà, data u na qualu n que te rnf'. di vettor i nello s pazio linea rmente indipen d e nti, V I, V 2, V 3 . ed u n quart o vct.t o re v, s i può sempre scrivere
( L4)
con o p port uni scalari (l' l , 02 , 03 Analoganlfm te, data una q ualunque c oppia di ve t t ori nel p iano linearmente
i ndi pend e nti , VI , v2 , ogni al tro vettore v p uò scriversi COllie combi nazione lin e a r e
dei primi:
p er o ppo rt uni ~al ari (:t I , 0"2_
D i m ostriamo p er c::;.empio Quest'ultima affe rmazione. S ian o VI = OA. V2 =
OB, v = DC (v. fig. 13) . Trac eia ndo da C le re tte paralle le ad OA e OB ,
r isul tano indiv iduat i su tali ret.t~ due vetto ri, rispettivame nt e p am.lleli a V1 , V2 ,
1ft eui HOlllma. d à v (pp[ la. regola. del p a rallelogramm a ) . I\.1a e&.-.endo paralleli a
~
~
@
J . V~ttorì
~~.(""'OT~4 T_8
"eI p iano e fielio
.~".,.%io
43
Vi , v :,> ta.li ",et.t.o ri sono d el ti po 0: 1 Vl ,0:2V 2, per opport uni t'll, 02· D unque !l.bbia.tllo
pro\'llt.Q ch e per o p p ortuni a l, O"~ si ha v = O l V I +0"7 V2·
-+_----" C
A
Figu ra Il
Si Ia...<:.eia a llo student e pt:r eser cizio la. d imostrazion e dell 'a.naloga. proprie t A. nello
spazio.
Da q u~te considerazioni ~uc che n ello spazio non vi pDS.\K)no es::>ere più di
t. re veu'ori linearm ent.e in di p t:nden t i. Ana.logamente, n el pia.no, non p iù d i d ue.
1.2.
Prodotto s calare e v e ttoriale
• P rodotto scala7Y!. D a ti due vet t o ri v e -w nel p ia.n o o n ello spazio , il 10 ro prodotto
1IC".aluN! o in tenlO, d e notato con v · w o co n (v , w ), è u..%eh'THlt o , per defin iz ione,
dalla formula seguent.e :
Iv.w-
lvi'I-wI' cosa l
( 1.5)
dovc o è l'ango lo c he el';~ i fo rmano (O ~ () :s r. ). Si n o t i c he il prodotto sca la r e di
2 vet.tori è l UI n u m ero rcnle ( non un ...rett ore) .
Il p ro d ot-to eost d efi nilo è commutativo:
( 1.6)
v ·w=w · Y
ed è distributivo ris p e ttn a lla som ma:
u · (v
+ w)
= u ·v
+
( 1.7)
U · w
lnolt.rc, per ogni t- E !H_, s i lia
( J.8)
(t v ) · w = t (v . w )
Si not.i poi chc
y . v = Ivf
c che
E'~ perpend icolare a
w
~esolosc
v ·w
01
Tut t e queste propri~tà seguono dalla d cfirl izio n e ( 1.5) (il le ttor e r ifletta s u l perch 6) .
44
Capitolo
2.
E lem e nti diq=mefria e
a,,',q"','"' ,", ,""""'o"e.'ccc'_________.'::<J"'''.',.,c.oo,' ""C"'"'"''.''
• P roiezioni. La. p r o iezione d i un vettor e v su una retta r , o rienta La., s ì chi::uua
compon ente v etto-riate d i v rispetto all ' ru;::;e T ed è data dal vettore :
(v· r ) r
dove r è i l v ersore lungo la [ erta.
--- -- - >
c
Fig .. ~ .. 14 Proi e zione d i v n , II.. retta r .
Infatti, v· r = lv i - ir l cosa = ivl L'osn e q u indi Iv· r : dii. la lungh ezza del vettore
proiezione; il segno di v - r (> O ~ o < ~, < O se Q > ,lf) determina. il verso.
Nel piano , i yersori L j sono ortogo n l1.li c quind i i . j = O. In termini di
r:o mponcnti, dati due vet,to ri nel piano
si ha, usando le proprietà ( 1. 6 )- ( l. R) d el prodotto .s<'_ularc:
v-w
(x1 i -;--x".d) ( y1 i-:.- y-:J ) =
X IyI i · i + x i ]J2 i . j + X2 Yt i · j
+ X 2Y2j
.
j =
XlVI
+ X2Y2
da cui l' importante formu la:
( 1.9 )
(pTOdot.to scalare nel piano)
che d à il prodotto scalare in Lcrrnini di componenti.
Nello spazio, i vcn;.ori i , j , k de lla base cano nica in IR J
oTtagonali. C o n un calcolo perfcttalllcntc a n a logo , Be v = Xl i
Yl i + y:J + Y3 k , s i trova la formula
0011 0
m ut.ua nlCntc
w =
+ x :J + ;J:3k,
( prodotto scalare nello spazio)
(1. 10)
L e forrnu le ( 1.9 )- ( 1.10) risul t ano m o lto cOITlo de per il ndcolo e ffet tivo del prodotto
s c a.l.are d i due vetto r i d i c ui si conoscono le con1ponc nt.i, in quanto n on richied ono
il c alcolo esplicit.o dell'ul!)?;olo formato dai vettori.
Esempio
1.2. LavonJ di ·u na forza .. 1113"1.'01"0 COITl p;u t o da una forza c~tant.e F c h e ~p05ta illiuo punlo
di a pplicazione IIlUgO u n segm.ento da /\. fl [J è defin it o come il p r o d otlo de lla lu ngh ezza del
,","gTUento AB per la lunghe""a ,iel la componente (vettoriale) di F lungo la retta AR. I n alt_1"Ì
term ini , int rodoHo il v e t t ore spostame nto>;; = AB, il lavoro L è dat.Q d alla formul a
L-
=
F·s = jF
Is l -colia
dove , l: è l' ang o lo tra la d irezione d i F e quella de lla r"tra AB. Si noti c h e il lavoro è n u tlo
se F è orto~unale a ll a retta AH.
@
65_ 08 _(\'l'~47_S
l. Fe ltori nel pialLO c nello spazio
45
• P17JdoUo vettoriale nel lo .~7)(lzi.o l7'i-dimol.Sionale. Da.ti due vettori v e -w. il
loro prodotto twUorialc, denota to eO Il v 1\ w (si legge v FtttO" Vo') , è il vetl.OH'
cara.t terizzat o dalle seguenti proprietà:
] ) la !ungheu.1:;I di v /\ w è u.s.."'ep;na ta dalla fonnula
[V!' wl -
v ~ · 1""1sin o:
d ove u è l'angolo format o d ai due vettori (O
2) v /\ -w è perpendicolar e al piano di v c w;
~
o-
(1. 1l )
-s:
71");
3 ) v , ,"v e v ,". ,"v , nell 'ordine, fo rmano una te,n a d estr o r sa d i ' ·"ettori.
"
Figura 15 Prodotto \lettori .. le_
TI prodotto vei.t-o r ialc c o sÌ defillito è anticommtda-ti"Vo
v / , w = --w /\ v
e di-stri b'Utt'!-'o rispetto a lla s omma
.<
u /\( v--'--w )
u l\ v+u l\ w
I nolt re, per ogni I E IR
(f. v )/\ -w= t( v l\ w- )
Si noti p oi c he
v /, v = O
(essendo
O"
= U)
c che
r<
iV
èpar alleloa
w
seeso lose
~~-----
v /\ w_O
Tutte le p r oprietà d el p rodotto vctroriale s opr a enunciate seguono dallo. deAni" ione: a tit o lo d 'csercLzio , il lettore è in vitato a ver ificare qUf'sti fat t i.
La fo r IIlula ( 1.11) in dica c he la bmghe:zza di v i\ -w è uguale all'a-rea del poraHelo.f f'unlma c05tnlitu
.'>lI-
v e-w.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
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I
I
I
46
C apit o lo 2 . Elem e nt; di geo metria e al.qebra lineare
~
@M-0lI_n""4T_8
. . . . .. . ..
~- Figura 16 l ',Ir" " d"r p" r" ll<:Iog,,, m ma cos t ru il O s u v .. w è ;v l'
wi - sin et =
Iv
il,
w l_
Esempio
1.3. J vettori d ella ba.se c anonica
pertanto s i ha:
p€l"
IR J , i , j, k for m ano lI na tern a ortogon a l" d e 3tr ors i\."
; ;\ ;= 0
j /\ j
=
k l\ k=O
()
(L12 )
j /\ k=i
k li i = j
Le ( 1.12) c le proprietà del prodotto vctto ria le permettono di scrive re il prod otto
vcttoriale di due vettori
in termi ni delle lo r o component.i. Infat t i si h a
v A w = (xl i + x:J + X3r ) /\ (y1 i + y:J + Y3 k ) =
= XI Yl i 1\ i + xIV,li I\ j + XI Y3 i 1\ k+
+ x2vd 1\ i + X2V;J /l. j + X2y:J 1\ k+
+ X 3y Lk 1\ i + Xa1h k 1\ j + x .3y., k 1\ k =
= ( X2 Y3 - xJY2 ) i
+
{X 3ih - Xl'.fl3 )j
+ ( X 1Y2
- X2 Y l )k
da cui l 'importante for mula.
Iv 1\ w
= ( X2Y3 - X3Y2)i
+
(xaV I - X I Y3 )j
+ (X IY2 -
x2ud k !
(1.13 )
Nel paragrafo 4.3 vedr emo come questa form ula si possa r is crivere in m odo p iù
si ntet ico e faci le da ricordare, usand o la nozione di delenn inante di una matrice .
Esempi
Momentr} di una f orza rnpetto ad un pUlito.
S ia F una fo rza =n punto di applic azione A. Il m o ment o di F
d ive rso da A è d efinito dal v et t<Jn:
1.4.
rL~pctt{)
ad un p unto O
M=r A F
d ove r =
OA.
1.5.
Forza in un Cl1Irlpo elettro .nagnetico .
A s segml..l:e un oom pl) di f orze s ig n ifica assegn<>re in ogni p u nto d ello s].Jaz Ìo fis ico U ll
ve t tore [(lI=< (che può variare d a p u nto a pu n to). I n un VOI n t. o fi t;5ilt o , p",rciÒ. un campo no n
è altro che un w. t tor e. (II concet t o d i c ampo vet.to~ì ale sarà r ipreso llel c.."lpito lo 11 ) . Con
q"es t a p remessa, sì cons id"ri ques to eseITlp Ìo fiflic o.
La forza eserc it ata s u Ulla cariC3 deltrica E. da un cam po e lc t tri<:o E i , d at a da F, = eE. Se
la carica e s i muuve c o n velocit à v in \In c a m p o m a gneti co H è s QAAett a ad una fo rza par i a
F ....
=
=(v A H )
o
(e
=
velocità d e ll a luce)
47
1. Vé /.tori ncl piano e nel/v spazio
La forza tota.le cb e agisce s\llIa carica" in moto con velocità v in "" campo elettromagnet;"o
" pertanto
F
=.F ~
-'--F ",
=
c
eE-t - (v" H ì
c
• P rodotto misto nello spazio t1'idin~ef!sionale. Se u , ve'W sono tre veu.ori nello
spaz.io tridime nsion ale il l o ro prodotto m i8l o è definito dal nume ro r e a le
u· (v /l. w )
La p a r entesi è in rea ltà s uperfl ua, in quanto ( u · v) /I. w non. ha senso . Si può perciò
scrivere selupl icernente u · v 1\ w . 1 '[08f.reremo n el paragra fo 4 .3 ch e il prodotto
m isto non varia p e rnlllt ando ciclicamente i tre vettori u , ve w:
u · v l\ w = w · u l\ v= v 'w /\ u
Geometr icamen t.e il v alore assoluto del prodotto mù:;to nl]Jl)·H,'.5enta il 'v olume del
pamllelepipedo costruito sui ve.ttori v , w e u
v f-. w
.
, -----~
•
Fogura 17 lu , (v f-. w ll = \lolum " 0..1 pil ril ll"l" p;pwo
Infatt i si ha:
volume = a ltezza· area di base
1\ wl, mentre l'al tezza Il è uguale
nente di. u nella. cii.rezione di. v f\ "W , perpend ico la re
u p. v 1\ w è acuto, s i ha h = luicosB mentre se O è
D unque: vo lum e p a r allele pi p edo = lu · v f\ wl = iv
L'arca d i base è Iv
<l.lla l unghe/.7-a della compot ra
ottuso si ha Il = -lui cosO.
/I. wl ' !ull cosO I
alla ba.<;e. Se l'a n golo
e
Se i l p rodotto misto è_nullo a llora u è per pend icolare a v 1\ w e pertanto g iace nel
piano i ndiviùuato d a v e w . Il vice versa è ovvio. Conclusione:
u . v i\ w _ O
se e solo se
li, V ,
w
sono conl plana ri
ossia u , v , w sono Iine a n nente dipcndenr.i .
QUf'$ t.o fatto ci forn isce un me t odo anali tico per verificar e se :3 vettor i d e llo spazio
~ i ano indi.pendel!ti oppure no , Jnediante u n calc:nlo pliraillentc llleccanico. I n fatti ,
siano:
Allora, s frutt ando le ( 1. 13) e ( 1.10 ), a bbiamo:
u· v 1\
'iV
=
Hl (X i Y:j -
:C:-Iy:.d --f
li:.!
(X~Yl - X 1Y :I )
+
H3
( X lY:! - X2YI )
48
C rLpit olo 2 . Ekm e nh di geomet1'i4 e algebra linear·cf' _ _ _ _ __
e dunque i 3 vettori ~on (J indipendenti ><e e solo se l' ultima er:;pressione scritta ~
diver sa da zero.
E s empio
1.6. Verificare se i v.,n ori (L 2. 3) , {O. 2, 2 ) . ( 2 . 1, 2) sono indipenden t i opp\lre
liaillo:
(0, 2 , 2)-
( 1, 2 . 3) _~,
[ 2, 1,2)
~
2 (3 - 2 - 1 - 2 ) +2(1 · 1 -
=
2 · ·1 +2 - ( - J ) = 2 #,0.
IlO.
Calco-
2-~) =
I vettori "")IlO perciò indipendenti..
2.
GEOMETRIA ANALITICA LINEARE NELLO SPAZIO
1<I cdiante il ca.lcolo vet.torialp i ntrodotto nei paragrafi p recedenti è facile scri\:çrc,
in un dat o sistema. di rifcrilllcnto. vari ti pi d i equazioni per r ette e piani.
Equazione della retta
Una retta nello spazio è indhriduaf.a da:
a)
b)
c)
un pUllt.Q e un vettore direzionale, opp llre
due punti, oppure
due piani non paralleli d i cui è intersezione .
Conlinci<'l.mo col punto a ) . Consideria mo un punto P o cc- {Xo, Yo, z o) cd un vettore
v = ( a , b, c) non IlUllo; ci proponialno rli scrivere l'equazione della retta p<l.~ .~rJ_nf. ~
per Po , pa rallela a v.
,
p -
oi>
y
Figura 18
DaH<'l figuro. si vede che un gener ico punto P = ( :r, y, z}, corrente ~mlla ret.t.a, ;;i
trova aggiungendo al vettor e posizione P o =
un opportuno mult.iplo t-v d i v_
Abhiamo quindi per il v etto re posizion e p = or dci generico punto sulla rett.a.:
M
~
I p - po+tv
t
E In.:
(2. 1 )
2. Geometrio anal-it-1ca li n ea,-r nello
.~1H1Zio
40
che p rende il lI o rne d i equaZIone parurrwtrirx.I l ;etl-oTia l e della ret t.a ; t è lilla "coo rdirl!:Lta" su lla retta, c o rris p ondente alla »celta di "'0 COlll C origine. L e equazioni
parameiriche scall2 ri s i r icavano dalla (2 .1 ) seri \'Cndo c o n lponent_€ p er componente:
X
:rn
-+
ta
t E IR
-y
!lo - tb
z = z,J +tc
{
Il significat o delle e q uazioni
par anlet-rica vet10ria le ( 2.1 )
punto (x , y, z ) si rnuove ~ll l la
Se a. of- 0, b -=I=- 0, (; -#- 0, ~i
=
=
( 2.2 )
p urametriche ( 2.2) (o aH<'l.logallle nte dell'equazione
è il seguente: a l variarc del p aruTnetro t in IR, il
retta, d e;;cri-v endo tale linea .
può elim in a re il p ara.metro t nelle ( 2.2) ottenendo
y - '!lo
b
----
L'
(l
Xu
=
~
t
1I ' '!lo =
b
= t
c
~~
I
(2.3)
c he sono le equa_ZWTLt ca-rlesian e d e ll<'l. r etta.
Se uno o d ue tra i p a rametri a, ò , c è nullo, occorre modifica r e la ( 2.3) . Per
esempio se a = O, b -=I=- 0 , c -=I=- O si t roverebb e
x = Xu
y - '!lo
---b
Z -
20
c
N el caso in c u i a + b"l .. c~ = L cioè ncl caso iII (:ui v è un l/erson-:, i n u meri u, h, c
prendono il nOlIle di c-08cni dindtori della. 1'ctta, in quanto ra.ppresenta.no i coseni
degli angol i l'he la rett<l. fornl a c:on dasc ullo de~li a.<;si coordina ti.
2
v =
(a , b,<.:),
a = cosn
IJ = COi>.t'J
,
Figura 19
Nel ca..."'-O b )
!;}
vuole s c ri vere l' equaz ione d ella retta p assante per i punli
e
R iconduciamotj a l c aso a.) o;ecglicndo uno dei d ue punti , per csernpio P o , e il
vettore direzional e
I
I
I
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I
I
I
I
I
I
I
I
50
C a.pitolo 2 . E k men t.i di gev mdria e il lye brn lin eare
@
""- ()"-O T~47_ B
Le equazioni parametriche della r etta risultano allora
• Condizioni di parullelùlln o e urt()gonalità t_m d'Lf~ r-ette. Due rette sono parallele
se i loro vettori d irezionali sono paralleli (0ti8ia linearmente dipendent i ) . Precifla.mente , le due rette
x
{
x = Xo +-ta
{
V = Vo + tb
z = zo +ic
=
Xl
+
ta '
Y=YI+tb'
z= zl+ ic'
e
,>
::;OliO parallele se esiste un numero.\.
i-
U t ale che
I(a ' .." c' l ~ >(G, b, cl I
L e due rette SOIiO ortogon ali se lo sono i loro vettori direzio nali e cioè se
I(a', b' , c' ) · (a , b, c ) -
au' + bb'
+ cc' =
O
I
Si noti che non è necf'_<;.<;ario che le d ue rette siallo incidenti (cioè s i intersechi no
in un punto).
Esempio
2.1. S i \'og lia c a lcolare l'equ azione de lla ret ta pasga llt <.J p",r i due p UJlti Po = (:i, -1, 1) ,
P t = (4 , 2, - :1) . Con", vd tor c direzio n a le si può prend ere v = ?oPi = ( l , :~ , -4) .
L 'equazione J>ani.llH~ tT;<;.a veH oria le è dunque
(x , 11 , z )
(3, - 1, 1)
=
+ t(l , 3 . -4)
Le equazion i sc.1.lari SO nO
x~3+t
{
Infi ne, quelle eaTt e s;ane
y=-1+3t
z = I - 1.t
t E IR
fAln O
x-3
y+ l
= 3
l
z - 1
Qu,:sta retta è p ar alleh alla retta
x = 2 +4t
{
1I=1 +12t
z
=
-16t
-4
t E lR
Q
~!<-OS-D7 r.47_B
2 . Geomet7ia an ali tica li neare n.ell(J .«patio
i n quanto l4, 12 , - 16)
=
51
4(1 , 3, -4 ) , e or t ogonale alla retta
x ~ 2 - 2'
{
in q ll a nto ( -2, 2,1) · ( 1 , 3 , - 4 )
=
y
2t
=
::-=3-lt
-2 + 6 - 4
=
O.
P rinla. di vedere come si t:;crive l'equazio ne d i una retta come iuten;czione di due
piani (punto cL vediamo come s i scrive l'equazione di un plano.
Equazione del piano
Ln p iano P. inrlividuato da:
a ) un p u nto e un vettore ortogonale a l piano stesso , oppure
b ) t re punt i, oppure
c ) due rett.e incidenti
Cominciamo col caso a ) . Consideriamo un punto P o = (xo , YD, zo) ed un
vetto re n = (a , b, c ) non nullo; ci proponiamo di determinare l'equazione del
p iano p assante per Fu e o r t ogonale a n.
n
,
x
Fig-u~a
2()
Dalla figura si vede che se P = (x , Y, z ) è il generico punto del p iano, a llora il
vett ore
è parallel o al piano e quindi perpend icolare a n . Si ottiene allor a
l ' equlLZione vet.toriale:
FbP
(2 .4)
L ' equazione cartesiana del piallO s i ottiene passando dai vettori alle c o ordinate,
cio è :
a (x - 1.'0)
+ b( y
- YO) + c(z - zo) = O
ossi a
ax+by+cz
d
(2.5 )
dove
d = n· P o = = 0
+ by u +
cZo
CapitQ/" 2 . Ei"mcn ti di g,,,,mefria e alg clJra lincnre
52
Facciamo qualche o ~r"'-ludone sulla ( 2.5).
1. Se a 2 + b2 + c? = 1, cioè n è un versa re, a, b, c sono detti coseni direttori d el
piano.
2. Se d
=
O, il piano passa per l'origine (O, 0 , 0).
3. Se uno dei coefficienti a, b, o c è n ullo, il piano è parallelo ad uno degli
assi coordinati. P er esempio se c = O il piano è paralldo a ll'B.<;Se z, ossia
perpendicolare a l piano (x, y) (figura 2 1a) .
Si noti che l'equazione ax + by = d, che nel p iano rappresenta una retta, nello
s pazio rapp,esen t.a un piano perpendicolare al piano x , y.
Analoghe considerazioni valgono nei casi a = O oppure b = O.
4. Se d ue dei coefficienti sono nulli, allora il piano è parallelo a d uno dei piani
coordi nati. Per esempio, se a = c = O, il piano ha equazio ne z = k cd è
p arallelo al piano x,y (figura 21b).
5. Se d #- 0, s i può dividere la (2.5) per d, ottenendo l'equazione del piano nella
farnIa
x
y
z
- --l- - + - = l
(2.6)
CI" • j3
ì
In tal caso
0: ,
B , ì r appresentano le i nt crcctte d el pialla con gli assi coordinati
(figura 21c) .
,
.
, ,
--------1,
L../ _----'---'_7
I
I
... - I
/
a ) aI+boJ=d
/
,
b l ;,
= k
Nel caso b ) si vuole scrivere l'equazione del piano passante per i punti
Po
= (.TO . Yo, Zo )
P er ricondu rcÌ al caso a) individuiamo un vettore ortogonale al p iano.
r
.
=-7
~
vettOfl v = POP I = (Xl - Xo. Yl - Yo. Zl - zo) e w = PoJ-'z = (xz - XO, Y2
Yu, zz-zo) sono paralleli al piano e perciò il loro prodott.o veti.oriale sarà. o rtogonale
al piano stesso. Poniamo
n=v!\w
Sceglie ndo poi, per esempio, Po, l'equazione dci piano è
n .r:P =O
2 . Geomt:lria analitù:a lineare ndlo .9pazio
.:\'"el caso c , per sGriv c re l'equa zio n e del pia n o corl!.en t e n t c le d ue rette p = l'o +
tv , P = P o + t w , incident i in P o ma d i:;t,intc (v , w in d ipendent i), è tiufficiilnte
a p p l icar e il rag io n ,: u nento del easo h , o t tenendo l'equazione:
P oP . (V l\ W' ) =0 .
• Pamlleli.'.mo e ortOflona1.ità. t ra due p iani. Due pia.lIi s o no p aralleli se lo SOIlO i
lo ro vet t ori orto gonali. Prt!Cisam ente , p iani
a' ;r.~·
(,1x+by+cz =d
J/y + (";';:
=
d'
sono p arallel i se esil:ltc .À -=I O t ale che
(CI. b,e) = .>. (u', b' , e')
Sono o rtagon ali se lo sono ì lo ro vettor i no r m ali:
(a , b,c)· (a.', b', e') = a a'
+ bb' +
cc' = O
E 5empio
Si voglia calcolare l'eq uazione del piano p ass'u,te per ; t,.., p""h A = ( 1,0, - 1), B =
(:.l , l ,O), C = (0 ,1 , -2). Pe r usare le. fann ula (1. 17) oc.corro, i!Ldi ~' i"lJ ar e 11" V"U.(>T;j nor ma le
al piano. Poidu" i vet tori v _ AB = ( l . l , l ), "" = AC _ (- l , l , - 1) sono p ar a Ueh al pie no,
il loro prod o tto ve ttoria le f'lnn \ o rtogonale a l piano !'t.c!;so. S cegliamo perc iò
2 .2 .
= - 21 + 2k
n = v 1\ w
A b b i a mo q uilldi, Sf:<;g l i end o Po
=
DA
= ( l, O, - 1 ):
- 2 (k - 1) + 2(z+ 1) - O
- x+z+2 = O
''*.
• R etta
intt!r.~ e zi on e
di
dt~e
piani. Sian o
a ;t·+ !Jy +cz = d
a'x
+
f/y ...j... c'z = d '
le equazio n i di d ue piani non p a ralleli.
E-ssi si in tcrseçano lungo una retta r a ppresentata dal sistema
ax+by+cz=d
{ a' x + b'y + éz = d'
en vd·t o r e
d i r ezio nale d ell a ret ta de've esser '::! o r togo nale ad entrambi
n = (fl.,b, c,)
e
n ' = (1I:,b' , é )
Si p u ò perc iò Rceglicl'fl come vetlore d irez iOIlI'I.It! d ell A. !"ctt n
v = n 1\ n ' = (bé - l/c.a'e: ·- Il e', CI.b' - a 'b)
....c ct o ri
I
I
1
1
1
I
1
1
1
1
I.
I
I
I
54
Cap.f.tolil 2 . Elementi di gcomdria e olget....a
iÙ"'<n"l<
In alternativa, s i possono scr ivere le equazioni parametriche della retta col seguente procedimento: s i considera i l ::;ist ema. di 2 equazioni nelle 3 incognite x , y, z,
che definisce la retta: se in tale flist cma s i riescono ad esprime re due varia bili i n
funzione delb, terloa, s i p uò a:;SUJIH~re la terza va riab ile come paramet ro.
Esempio
2 .3.
Scrivia mo \" C(luazio ni p anunetr iche della rell a illtersc:i. ione dei piani :
x+y + z
=
l; x - 2y -z = 2.
Dal s i6tema:
X + Y+Z =l
{ x -2 y -z= 2
ricav ia m o:
X';"V = l - Z
{
e q uind i, r isolvendo in x , y ris petto
da c lIi , ponendo z
= i
x -21/ =2 +z
il.
z:
o Ueniamo ]" eq u azioni p ar aulctr iche dciI<> rett a :
lt
x ~
j -
y
- 3 -
=
,
,3 t
{
z = l
• D istanza di un punto da un pian o . Si voglia calcola re la distanza b di un punto
P 1 = ( Xl 'Yl:2l) d al piallO p a.ssa nte p er P (J = (xo , Yo , zo) ortogonale a.l vettore
n = (a , b, c). Dalla figu ra si vede chc J è la l unghezza del6Cgmenro P 2P L, uguale
alla lunghe7.7..a della p roiezionc d i P OP j lungo l a direzione n .
Figura 22
~ 6o;...08_0T54T_ S
2 . Geometria. analitica lin"tlrr. ndla spazi o
Se si introduce il verwre N =
!
_ / 2LCl · 2
V
" + u -re
55
(a.b
c) la lunghezzCl dell<'!. proiezione è
- "
-~
il modulo dd prodo t-to scalare tra N cd il vettore POP ) _ Cioè:
Q=
iN. p~ ! =
~la",(",x",_":
x''''')'-+7b'''(Y~''=c-"Y'''~)''j+~c"(z::,,_---,=z,,,,),,1
'./(~~
ossia. ricordando che abbiamo posto d = aIo
laI! + byl +
../a2 + b2
--;. b2
+
I.nJo +
CZ)
+
+ (:2
-
C 2(J :
di
(2.7 )
c2
Esercizi
o
Com; iò,,",uc i scgu<o'nti !';rup pi di vcuori " d ire, per ognuno, se i v e ttori che lo COITlpongnn o 1';""0 li nearment~, ind ipen denti. In caso nega.tivo, . ",,»rime re UnO di questi come
combinazione lineare d egli " Itri due .
a)
( LO )
(O , l)
( l , -1 )
h)
(2 ,-5 ,1)
(2, - ~,O)
(O, - 5 , l)
c)
( l, l,l )
(2,-1 , 4)
(4 , -1,6)
e
D a.t-i i vet.t.ori ( l, l, . - ) e (0, 2, l ) verificare ~ il vettore (l: L l ) si può o ttenere come c ombinazione lineare di ess i .
.,
Dat i i ve ~t-ori:
u= -i +2k
v=2i+ :~j-k
calcolare
o
o
li '
v,
li
1\
v , j.
U
t\
v, vers(u " v ) .
(',alcolare il vol ume del parallelf'p ipedo costTuiw s u i v. ,Uo ri i
+
k_
( 2 , 4,-~2 )
Dati i vettori :
ca.lcolare: il v€Ho[(~ v
vctto,.., 2v - :!w .
+
W"
=
( -2,0. 1)
w- ; it vett-Ore :2v - 3w; il modulo d e l vettore v
+
w; il versare d .. l
NOTITla.li 7.T.are i seguenti vettori del piano o cl"'lo spaz_io:
(:i , 4)
o
( 1 , 4 ,2)
(1 , 2, -1 )
v = (1, 2,:»
o
j , i, j
'n-a i se)"';uenti vettod, in<lividuare eventuali (:oppie di ve tt or i paralle li o p erl'cndi<:ola ri:
(2, - l, 1)
o
4_
( -1, 3 , 2)
(2,v2 ,- h)
D;mostrare la p roprietà associa t i",.. d ella somma di vetto_ri ~lel piallO, c o n lln raJl:.'oIla mento geo m et.r ico ba_",,~t{} sulla d<Jflniziol1e di SO!llIna. c le proprJeta del parallclogcaIlllIll,
Capitolo 2. E lcml'Onti di 9('.ametc"c="_e=ca=l"g=ec'c,c"c=h='='Mcco~
-'[email protected],<=" ""'"~",,'"""'o'.'"'C'"'
56
o
D3ti i w ,ll-ori :
v_i+-2j+3k
V'f
=
- 2 ; -.- k
calco la re il prodotto scalare v - w. Qual è l'angolo fo rmato t.ra i du e vet_t o ri? Calcolare poi
i l prodotto ....-d l orirue v /\ w e il prodotto m isto (i + j } - V i\ w .
CJi)
Seri""", l' '''''luazione paralnc Lr ica v eHori"k, e le equ iw.ioni parametriche !'>Calari, deUe
seguenti rette:
a ) La rdta TI passante per i punti (1 ,3, 2 ) e (O, 4, 1 )
b ) La retta T", !)a..~~an tk' per il puuto (1, 3 , 2) c iWCIlt.e la d i.fl'7. ione del vettore v = i - :lk.
ç ) La. retts l'J illtersezione dei p ian i x -lo- 3y - 2z = l e 2x - y + z = O.
d) La rel la [".j passante p " r ( 2 , l , O) e parallela. alla reUa r,_
G
Scrivere l' eQu31l ione <:"arte;iana dei seo:;u c n t.i p iani:
a) lI piano;or, pa..'<:Sante per (1,2 , - I) c ortogonale a l vettore i - 2j_
b) Il p iaao"-2 passante per i p uati (1, 2 , - l ) , (l), 1, 2 ), ( O, 0 , l).
<: )11 pia.no "3 cOllt.€nente le 2 reU""
x = 1 ."
,.
;
{
11 = :It
,
z =2- t
r~3-2"
y= :i + ll
z=1 -'- 2u
d) Il p iano x ... p ru..'<;.'-mte per (l , O, - 1) c parallelo a l piano 11"1 .
CD
Stabilire Quale t r a i scg""nt i p unti ha distanza m i niITla dal p iano d i ""q uHzioIlC
x - '2 y-t-3z=1
A
Gl
=
(0 .0,0); B = ( 1, l, 1); C = (2 , 1, - 1).
"\d p iano
xl)
scrivere l' equazione
i) dell'a.'l'le del ~egrn.mto(:) a ven te p er ,!!';tn' mi i p u n t i p, (O, 2) (' J-'~( I , l)
ii) della retta per pendicola re all'as."IC trovato e passante per l'origi ne
i ii) dd la rett a paral!ela a ll 'as:se trovat.o.' passante per P 1 •
Scri\"ere l'equa:doae della [ e tt a Jell o spazio O,,~. ~
i) c ongi ungente i punti ( n , O, O) c (L -1 , l )
ii) congi ungcn t.c i l'u nti (2 , O, -1) e ( 3, - 5 , 2)
iii ) P&~nte per il punto (1 - 2,3) c p arallela alla retta d i "<Ju a;o;ione; x = y = z
iv) paS!)3nte per il 1'''"1.<) (3. -1, - 1) e p" Tf><.mdico lare a l piano di c<Jua:>: ione x + y -I z
.,
=
2.
m
Scri" ere, in forma ca.-l(~ ia.nil , [' eq u az ione de l p iano
i) determinato d a i p unt i CO , 0, O), (1, l , 1), (3, - 2, - 1)
ii ) p a.c,sante per il lJlJato (2, l , 3 ) e parallelo a l piano determinat o in i)
(l) Ricordi;uno che 1'a.'I.~ d i "" ''l'S!Ile nto è h . r e ila perpendiço lar e "l segmento e passaJJte l><lr
il suo panto medio.
@M- 0&-07 " 47 _5
57
fl!)
Sia P" = ( - 1,4,2) . !::icriw,re in forma ra r te"iam. l 'eq uaziollc della retta passante per Pc
e paraliela alla retta
{
~ : ~fh
a;
=
3t
Stabi lire se le due rette
T I:
{
X ~ l."
y = 3 - t
:;:
~
- I
sonO inc ident i . I n caso a.ffermativo calcolare Le coordinate del l',, nto d i
I.ra C-'<.' .,,_
al)
inl~rH"zione
e l'an ,.;olo
Sia r la retta di equaziO!Je
4,r = 2y - 1 = -21:
D ctermirm n ,
i) il pi an" c he conti" n e T e il punto P 7.'" (1,0, 2)
ii ) il pi1l.no cile coatle ne " e d ., o rt ogonale al p iano x
€I)
+
2z = O.
S<-.rive n , la eo" di z;oue di p a rallelismo e di p erpendicolarità tra La retta
x = xCl+at
{
ed il p ialla , Ii
Y
=
l;' -t- bi
z = zo+c:l
'~q l! a;o;i()J)"
a'x --+ l/y + (:z = d'
3.
94='AZI VETTORIALI
I n q u est o paragrafo in iziamo lo studio dei pri mi clementi d i algebra lineare, che
prosegu i remo n ei paragrah 4-6. Si t r atta d i una d if'ciplin a che vi ene u tilizzata
s ia in a ltri Tam j J€ila mateIlltltica (geometria , a nalisi, calcolo numerico
) ehe
n elle discip linc a p plicative vere e p rop rie . Qui sottolineeremo s o pra.ttu tto quei
c OTlcet.t i che saranno direttame nte coin vo lti n ello sviluppo d ci c a.pitoli ~ucccs5ivi ,
in particolare: le e quflzioni d ifferenzi a li ( cap. 7), il c alcolo d ifferenziale per le
fu n zioni di più ,/aria b ili (capp. 10-11 ), le serie di Fouri er (ca p . 13) . L'idea centrale
di q uesto eap itolo, c ome si vedrà, è quella d i linearità .
G c ncrali zzand o v i a vi a l a nozione elementare di veUore n e l piano e n ello spazio, d lC è :òtat·a introd otta nel paragr8.fo l, introdurreIllo a.nzitutto (par. 3) la.
noz-ionc d i .~pazio I;ctlor-Ùlle astratto, id e a centrale in mat-ematica, che p ermette
di ùe~cri vere u ni tariarncnte molte s itll azioni div-erse, e d e finiremo le trasfo r mazioni li neari t ra spazi ,,·ettoriali. S tudieremo qu ind.i i l calcolo matrù:iale ( par. 4 ),
st nnuento basilare p er lo .studio di qUelte trasfo rmçl.zion i. Infine applich eremo
ques ti concetti allo s tud io dei si5tt:mi line.aTi ( par. .5) e a l problema della diago nali zzazione di u na tm.~fo17na.zione (p ar . 6) . C onle s i v edrà ~ubito, n ello s t u d io
58
Cap it o lo 2 _ Ele menti di gtXrln.ct7-i1.1 e a lge bra lineare
@
8S-tlll_(lT" 4 T_ B
dell'algebra li neare è s pesso present e , ed è utile ricercare, una certa in t.uizione di
tipo geollletrico.
3.1.
Vettori n-dimensionali: lo spazio
~n.
Spazi vettoriali astratti
Nel paragrafo 1 abbianlO v isto come i vett ori nel p ia n o e nello spazio si pos:;;ano
ident_ificare, previa la scelta d i un sistema d i riferimento carte::;iano, con coppi e
o tcrne ord inate d i numeri real i, rispet t ivamente. Una vol t.a fatta q u esta ident i ficazione, è p ossibile eseguire le opera zioni fondamentali sui vett ori (somma e
prodotto per lino scalare) operando d iret tament e Iò U q u este coppie (o te r ne) :
(v j, v~d
+
( UJ, U 2 )
=
(Vi -'--
Ul , V2
+ U2)
Questi fatti suggeriscono la po&<;ibilità di c o n s iderare n-uple ordi n a t e di Tlumeri
r eal i come vettori di u no spazio a s tratto a n d imensioni.
Lo spazio" n
Consideriamo dunque l'insieme lR" d i tut te le n-uple ol"dinat e d i n u meri real i:
( Ricordiamo che i l s i mbolo IRn è una a h brevi azio ne ò e l prodott o cartcbiano IR x
lR x .. . x IR n volt e .) Pot remo ind icare un elemellt.o di In.n co n x , y , . . . (o '!. , y , . .. ) .
Se, per el:Iernpio , x = ( Xl, X2 , . . . , I n), d iremo che x . 8O no l e com ponenti del
vett ore x . È possi b ile defi nire in rno d o natura le la somma d i due vettori e la
m o ltiplicazione per uno sealare:
>..(XI,X2 , . . . ,Xn) = (>..X l, >..X2, . . . , >"x ,,)
Si n o t i il diverso punto di v is t a c h e s tiamo ado t t ando, r ispet to al paragrafo l : lì,
dopo aver defini t o la :,Jomrna di due vett ori n el p iauo per v i a geo m etrica ( "re gola
del parallel o g ramma"), s i di rno stra tJa che l a somma s i poteva calcolare, r a pprcsent.and o i vettori come coppie o r d inate di numeri reali, sommando c o mponente
per componente. Qui invece, n o n essendo v isua l izzabil i i vettori n-dimensionali
(quando n > 3 ), l'analoga formula della !:iOrn l Ua component.e per componente è
la d efi n izione stessa di s omma d i due n -u p le . P ossia mo anche dire che j vet t ori
n -di mensionali son o ent.i a l ge b ric i, che però condivi dono molte proprict.à d egli
enti geometr ici e lementari st u dia ti nel pi.ano e Ilello ~pazio . Pertant o, ne llo s t udio di .IR n , la te rminologia e le int.u iz ioni geo metriche legate allo spazio ordinario
risultano spesso utili.
L e operazioll i di somma di due vettori e d i prodotto p er u n o scala.re godo no
delle ste~ proprietà formali c he abbiamo evidenziat o n e l paragr afo 1, come s i
verifica immediata men t e in ba..<;e alla delìnizionc:
'@"'""""~'~'"c'~'~'~'~'c~''-_________________~ _____ ""' S, "pa",'"; •.", tt oriali
59
• Proprietà della so.,-nma.
- proprietà a.-.sociativa:
(u+v ) -t-w
u+ (v+w )
- proprietà commutativa.:
esist.e un vettore O t.ale che:
v+o=v
per ogni vettore v esiste un vettore - v t ale che
v+ ( -v) =O .
Precisamente: il vet tore nullo è O =
v = (X l, X2 ,"
, In ) è il vettore -v =
(O, O, .
, O), e l'oppost.o del \>--etture
( - X ) , - X <l '. "
, - Xn ) .
• Proprietà del prodotto per uno scalare:
l ·v = v
!j
(iv)
=
(.8t) v
t(v +w ) = tv ..:.-tw
(s+t)v = sv+tv
L ' insi eme dei vettori del p iano c dello spaz io po5.<;ono essere iden tificati , rispettivamente , con 1R2 e IR?
Spazi vettoriafi astraHi
G eneralizzando anco ra , si può dare una definiz ione astratta di spazio vettoriale,
che si rivela utile in matem a t ica perché consente di tra ttare uni tariamente 11101te
s ituazion i diverse:
Definizione 3 _1 - Si dice spaz io vcttoriale su un c..ampo numerico IK (che per noi
sani IR (} IV) u n i n sieme V di elemen ti a p riori generici, per i Quali sono defin ite:
un 'operazione di somma che a.~.~oc ia uri ogni coppia di dement i di V un altTv
(unico ) elem ento di V ,un'operazione di prvdotto che a.%oci a wl ogni coppia formata da u n elemento
di l-T e da un numero appartenente a IK u n altro ( un ico) eleme nto di V.
LfO opnuzioni d i somma e prodotto cosi defiuite de vono possedere tutte le pro-
p7'1ettl
~op'm
elencate. Gli elementi di F si chiamano vettori, gli elementi di IK si
chiamano tiCala.rì.
Naturalmente, l' insicme de i vett ori nel piano, l' insieme dei vettor i nello spu7.io, lo spazio fin, sono eselnpi di sp8.2i vettoriali sul campo IR.. L 'esempio più
nat-urale d i spazio ve ttorial e s u l campo
invcl:e , è lo spazio (C" delle n - u plc ord inate d i numeri complessi : due n - uple di lIumcri complessi si possono SOlTlITlare tra
loro r:omponentc per componente: u n u n -up1a f'i i può moltiplicare per un n umpr o
conlplcs..."O.
a::,
60
Capitolo 2. E le menti di -'}oonlf fria
r: rJ.lg~ bT(l
linulTl':
P er semplicità, n el segu i t o ci ri fcrirenlo, sal vo i-Lvvi so cont rar io , a ~ pa:z. i vet.to ri a li
su ffi.. V i sono spaz i ve t.tori a l i di nat u r a molto d ivef&> da IR" o Q:Tt , c o me già
most r a il prossimo esempio .
~ E~mp;o
tI
V
3.1 . S ia
l ' insieme , lei polin omi in ll n ,. vari abi le _ Q u es t o ins ieme, munito (Idl ' usua.le
ope r azio n e di SOm ma d i p o linom i e dell 'usuale opelazio"" d i prodotto pe r lln uumero re al e ,
so d d isfa t u tte le prop riet à ric h ieste: è "!lO spazio vettariale.
C o me si ve d e. i M lUi d cIJtcm.i SOIlO ben di versi dai vettori n d p iano o 1",lIn " p<lJio
( per esempio, nOn si p.l"lrla di "direzione" e "V'T~<O" d i Un polino mio l ); t uttav ia., le propr;et"
algebr ic he che rigu ard a.no le due operazio n i ;;pecifieat." >;on o le !ite_'<Se.
S i n oti che i n uno sp<l'l:io vetf.oriale "astratt o" uon sono de fin ite i n gener ale t utte
le o p e r a zion i ch e p ossiamo fare t r a due vettori d el pian o o d e llo spazio (colIle il
p rodot to scalar e e il prodotto vcttori a l e ), ma solo la SOIl l ma d i v e ttori e il prodotto
di u n vettor e per uno scalare.
Defi nizione 3.2 - S i (/, V mw spazi o liett0r7_alc f; F 1 tm sottoinsieme. dI: V . Se.
VI, rTtunito del le 8tessc operazioni defi-rtite in V, risulta o;,çert: a-nch 'esso uno
:,' pnzi o vcttonale, diremo che VI è 1m sottospazio vett.oriale (o pi-ù bn~ v e m ente un
sottosp az io) d i V .
• C rit erio di riconosci mento d ci sottOS]I(tZl. P e r verificare che Ull sottoinsie m e
VI d i u n o spazio vei.tori a le V è 1m sO'ttospazio non è llecessario v e r ifica.re c h e
le o p e r azio ni abbiano le p roprietà richieste (associa tiva .. . ) : se q uetit.e prop r ietà
v a l g o n o i n t utto V', a n luggior rag io n e varranno i n V'l ' Invece , occorre ver ificar c
che eseguendo tali operazioni su e lcn l c n ti di \<'1 non s i esce da Vl , ovvero che:
si h a ehe
per ogni
Esempio
3 .2. S ia V lo spazio veUor iale dei palinaro i di una variab ile, consid"rato fwW"sc m pio p reced en t e, c !Sia VI l'in.sieme d ei po Linorn i di BTado ::; 2 (com preso il po!illo m io id enticam ent e
.. ullo ) . P o ich4 la comb inazione Iin",are d i 2 polinorni d i g rado ::; 2 ha anCOri!. grado ::; 2 , V[
risuLta un sottot;p.az io vetto r iale di V _
Indipendenza lineare, base e dimensione
In u n o spazio vettor ia le qualunq ue si p uò defin ir e la nozione d i Ci.1TI,biIlUZione
lineare di v ettori, e quella. d i indipend enza li n t~(L Tf! , In m o do del tu tto an a l ogo a
quan to vis t o per i vettori n el p ia n o o nello spazio.
S i d ic e combina..z,ione li neare d i 11- vettori V I, V Z , .
, V n o gni vettore del t-ipo
con a i E IR . Si d ice che n ve ttori VI, V;t , . . . , V" sono li n earmellt e di pen dent.i se
esiste u na l oro combillazion e li nea re , a coefficienti non tutt i. n u lli, che dà il vcttore
nullo: viceversa, s i dice che son o indi pendenti se l'ide n t ità
im plica o ,: = O per i
1, 2 ,. ,
,n.
S_ Spazi 1wttoriali
Definizione 3.3 - Sia V lino
. e " lali clu::
.~lJILzi(J
L.ct-tor-illle, e SUIJpOnlll11w che
c .~iSt(1TW
TI
61
~Jettori
l ) e !, e 2, .
,e" ,'WTW li nf-Il l~fl ~: nft in di pendenti;
2 ) ogni altro t 'cttore d i \-T può scrivf;THi come combin azione lineare di quesii,
ossia: pf-:T ogni v E:: F f-sù;tOTlO Tì coefficienti reali lI]. ('~2, . . , 1,'" tali che
v =-
L"
-t'i O i
';~ l
A llo ra
ne
,~i
dice clu: e l, e2, .
,e"
c,nlit~liscollo
una b ase d i Ve Chf: li" ha d irneJlsio-
11 .
Si dimost.ra che, 5(' ~T ha una b ase d i n vettori, o g n i altra ha."l€ d i V h a n vett.or i_
Può accadere, però (com e si vedrà dagli ('_.;;empi) c h e no n esista alcun n per
cui -V b a. u na b ase d i n vettori; in lR] caso si dice c he V h a dimensione infinita .
Quindi : o V h a d-i mcnsione infinita, o ppure la s u a dimensione è un n u mero TI
!lnivocmn ente det-enni nato .
La scompos izio ne di un vet tore v come (:Oln binaz-ion e lineare d ei vettori di
u na b aslò è unica. In fatt i &!
"
v = L
l 'ie i
c
v
>= 1
n
s i h a, sottraendo , O =
e i,
Vi
=
t U;
l:: (t'; -
-. = 1
per o!--("n i i = 1 , 2 ,. ,
W;) Ci
c he implica , per l'ind ipf'Il de nzu dci vettori
,11.
, v" si chia.luano componenti scalari d i v r ispett o alla
I coeffic ienti ~' l , V2, .
ba;;e el , e 2, .. . , e ,.,. Se la b ase s i ritiene tllisat.a si può ind iyiduare il venore v
scr ivendo
V, )
V2
o
v
V
=
.
(
-u.,
C h iame remo il prim o vet.t.ore riga e il secon do v ettore colO llna. :\"aturalm ente,
crunbiando la b ase, çarnbi.uno le com ponenti.
EsemJ)i
3 .3 . In ll-{2 13 c opp ia i : ~ C04;t>l isce una ba.sI< ,ie tl a canonù;u _ Ana.logamente la !,<;rnil i,j , k
è la b&~" callo!lica dI Hl . P iì, in gen<"f a.l<o', i n m:' con~ider i arno la n - u p l" d i vett ori:
(l,o,o_
, O)
(O, l , O.
c " = (O,O,O. ,
,l)
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
62
Copitolo 2. E lementi di gunn.etTio. " a lgebra linea",
(9
che c-Ostih,is(:oll o la ba ...e canonica _ I n par t i",,"'re, dato x = (x l , :1-' 2, .
B8_u S- Q7" 47_a
, x •• ) , s i ha:
+ x"e"
I n IR" . sa lvo caso coIltr a r io, si scq;;lie la b ...."" .:anoni=.
3 .4. Sia V l' insieme dei polin om i in una ~'ariabi le. d i grad o < 2 5 1 v e nfica ",,, h.to c he è lin o
spazio vettoria le (v.esempio 3 _2) _ Ino ltre, poi<:J,é il gçne rico polinomio d i grado :'S 2 " j p uò
sc rivere nella forma:
p= ax~ + bx+c
wn
a , b , cElR
ne segu e che i tre po lillomi
C3 =
1
d", flO llO evidenteme nte indi poldenli , cos t ituiscono una base d i V : pert anto V ha dim ens ione tre .
1 .5. Sia V [' insiem e d i tutti i pu lin o m i in lllla >'ariabile. Come g ià (lSS.~ n;at o, V è Ulit'J 51),3210
vet t or iale. C i si convin ce faò lmcllte, tuttavia , che no n es is t e Il n Il1UllC rO fin i to di polin om i
t.IlI" "h.. ogni poli no m io ~i a combinazione li n eare di qU'2st i. Infatt i l' idea n aturale sarebbe d i
.~ <:. 'S l i ere come base i polinomi:
1,x, :r? , x 3, .
il p rohlelIla è : ,joV<J fermart;i? Q llal uU<j lJe num ero fin ito d i <jut.'OSt i polinomi noi sceglifuno ,
c i t;arà f'lCmpre un p o linom io che non è comb inazione lineare d i 'I uCf>ti, Dunque V è uno
spazio vett.oriale d i dim en3ione ~Tlfini ta .
m a
• Sottospazi e loro dimensione. Se V è uno s p azio v-cttori alc di d imensione n
e VI \H1 sotto.'lp azio vettoriale di V , sarà dimF1 < d im V (t.ranne iL cru:;o h a n ale
V, ~ V ).
E5cmpi
3.6.
Il vef.tow " lil lo O di IR" costit uisce da solo un sott 05pa z io di d imensione 7-eH'.
3.7. Se in IH..~ (sp=io vettoriale d i dimens ione Z) con sideriamo un a rdt a pa..'<5ant., per l 'origine (ossia l 'insiclIle dei vettori d i t i po t v con v fl....""t o e t varia b ile in lR ) , ol ten iamo un
sott ospazio vett.o riale di d imcnsione 1, I nvec~' , ,,"a rettll non p assante per l'o r igin e {os.~i" n n
i n s ie m e d i ~·"ttori del t ipo t v + u con v , u fissati e t var iabi le in Hl, è u n wHoins ie m e d i
n 2 Ul l!. " 011 un f;( ,ttospazia . A nalogamente , in IR" , rett e e p ia n i passanti p er l' o r igine sono
tioHoopazi d i d imcw;;one 1, 2 , r ì.~p", U i vamente.
S ia.no V un o ~pa:z io vet toriale e VI, V~ ,.
. Vk v e t tori d i V . L 'ins ieme S di tutt e le
, Vl' eostit uisce un 50ttO:Sp<L7.io d i 'V , che ti i "hiama
p ossibil i combin a.:.<; 'mi lin ear i di V I, V~ , .
so tt ospazio genem to dai vet t or i v"v~ , . . , V k . In sinlboli
3.8.
s~
{v
•
, v=
~ nJvJ ' Cfj
"j = l
E IR , j
1, 2 , ,
Si seri"" a nc h e, t a lvolta' 51 = {"VI, ,, ~ , . . . '''k }. Se i ~'ett<Jri Vl , V2 ,
a li ora a::>!>tit. uiocollo una ba.s<l per 8 , che h a perciò dimensio ne k .
Lasdamo al le ttore la verifica di quest-e aff"rmaziOlli.
. .
, Vk
sono indipe n denti ,
,@"c,o,c~,c,·"c,co,'c'_"~
_________________~ _____'C
3.
Spazi vetto.C'Ci="cl,c_~"=3
3,11 . Sia V lo spazio ' -"tt or iale d e i polinomi i n ulla vadab ile rea l", e \":. lo s p azio de i polinomi
d i grado::; Tt . Abb iamo visto ( e sem p i" 3 .5) et", V h a d im ens io ne i n rm ita; Vn , invece, e Hll
~o~tosp1\7jo vettori«l" di V, d i diTTIensio n e fini ta: p recisament e , dim":. = Il + l (lo ~t11deIJ te
verifichi questa afTerrna:z_ io n e) .
3.2.
Prodotto scalare in IR n
Torniamo o ra ad occup arci Rp ecificamente d ello bpa z;io IR" . T ra i vet.tor i d el
pi a no e dello ~pa:i: io, a.bbiamo v isto c h e so no defini l e , o l tre alle d ue o p e r azioni
caratteristiche d i ogni spazio vettor ialc, a ltre due operazio n i: il prodot t o scalare c,
per vettori d ello s p azio, anche il p rod otto vettoria le . l'lil ent. re il prodot-lo vet.toria le
è u n 'operazione tipica d i IR3 , il prodotto sc.ala1'e può essere d e finito a n che in IR.":
(X l ,X2 ,· ·· , x,, ) . (Yl, Y2 ,'"
,Yn) =
L"
X,Yi
i= l
Questo prodotto scalar e h a le s t esse proprietà formali c h e a vcva nel caso di
IR~ o IR 3 , come s i verifica faci lmente i n base alla. defini:;o;Ìon c :
i)
ii )
u· (v
+ w)
= u· v
+
u· w
(3 .1 )
iii)
(tv) . w = t (v · w )
iv )
v . v = L v;2':O p crogni v, e v·v= Q ~ v =O
"
i= l
I n a n a logia u q u ant.o accade n el p iano o nello s p azio, si d irà ch e in IFe' :
due vettori u, v sono ortagonali se u · v = O;
due vettori
li,
v son o pn.mHdi se u =
),V
p er qualche), E ili.
D efiniamo modulo o norma d i ali vettore v illlumero [v i =
Teorema 3 .4 -
n
..;v-:v = ( E~~l
,
vf
r
modulo di un vettore soddisfa le. pT"Oprietà seguen t.i:
positi1.Jità:
Iv: :2:
Oe
Iv l =
O ç,;.
v
= Q
omogenòtà :
di.'iuguyuaglianza lr"ÙJ.1IgoluT"f' :
Iv + wl < Ivl + Iwl
d isuyuaglianza di Caud.y-8chwartz :
!II' vi :$ :ul lv l
("~2)
64
Capitoln 2 . r;It<Tlle nti di qevrrwtria. .., dg'!!"." lineare
Go)
1i~ _ Ll~_ 0 7M "'_~
Dimostrazione. Le p ri me d \le p ropt"ict-à SOIIO im m ed iate . P .. r provare l,. ( 3 .:», cons id er ia m o
il v e t.tore U + t v . con t CO IR q u a l u n q ue. Per le p,"opr ietà d e l pn l'{lotto s calare si h a :
O:::; (u + t v ) · ( u - t.v )
=
u ·
ti
+ 'l t u
·v
+
t.2 v · v
R ieordando ch e u · u, u· v , v · v son o tr e <x>sta n ti , m e llt n , t è genel'ico. s i può r ikgge re la
p recede nf-fl d isu g ug u a ::>;li a lJ 7'<1 di"" "do ch e il ui n onl io di ,>ecomI" gra do in t IlOn ,. ma;' ne g a tivo .
Ci i) ò p ossi bile s o lo ~e i l 5\l0 d iscr i m ina n t e n o n è p o~ itivo , O\'V e ro :>c
( u - V) 2 - ( u · u )( v - v ) S O
cio{,
:U · v i ::; v'(u . u)(v · v ) = lu i - iv l
dlP i, la ( 3 .3 ) .
L a ( 3 .2 ) seglI{' dalle rdazi' Jn ;:
lu + vl
2
= ( u + v J ' (u + v ) = u· u --'- 2( u- v ) +v - v ::S;
d a cui la ( 3 .2 ). ( L 'ultim a d isugu a gli a n za scr itt a " an 'applica z ione della (3 _3) . )
[
L a nozione d i m od ulo c om;e nt e d i d efinire la. d istanz a tra due vctt.()r i:
d ( y , w ) = iv -
wl
L e pro prict à de lla d istanza cosÌ defin ita son o:
a ) d ( y , w ) -=.:: O e d ( v , w ) = O:,;c c solo se v = w ( posith-ilà e n n nullamcnto) .
b ) d ( y , w ) = d ( w , v ) (simm Etria) .
c ) d(v , w ) :::; d (v , u )
+ d(u , w )
(disu gtwgli anza tr ian g ulu re ).
Tali pro prict-à se guono illlmcdia t a mente d a lle pro p r iet.à d el mod u lo .
3.3.
Spazi vettoriali con pfodotto scalare
C o mpiamo o r a u n a ltro sa lto d i astrazio n e , c c onsideriamo la p oss i b ilità d i in t-rod u rre , in c ert i f'- p azi vet.toriali di versi da lR" . u n'op craz io n e ch e g o d a d e lle st es::;c
proprie t à for m a li d e l prod o tto scalare.
Definizione 3.5 - S ia F u n o s pazio "l} eu'07ia le ;11I- IR., E sup ponia m o che ~in d efi nita
un'opf: 7Uzio n c che ad ogni cop pia di vetto-n ti , v E ~T a.~8odfl !L'ilO scalare u . v , in
modo che s ian o sOll disfa ttf~ {e 4 prop ndà (3 .1 ). Diremo al/o m che l'o pem.:zi OTle
è un p rodotto sca la re , o p rod o tto interno.. in \ l", E che V è uno spa z io yctt oria le
con p r odotto !:icala re . D II#:! 'I)#:!Uo ri u, v E V s i d itnn llQ ortogonuli se l i ' V = O. Si
defin i s ce nlOd u lo (o n o rnl a ) d el v€t_tore v il 1Hl1n ~ TO:
S i d cfi nisc.c la d istanza t r a d u e vetto ri al m odo
s egu ~ nt~:
d ( u , v ) = lu - v !
·'i. Spazi tlf tt<n-;'"l i
65
Si noti che la ddiniz ione d i modulo ha senso per la ( 3.1), iv), che garantisce che
COllt~ Lnuu. a. v'<:l lerp. Ll Teorema .3 A (con la ~tessa
d imos t-razione) : in a ltre parole, dagl i assiomi di prodotto scalare discendono le
p r oprietà del modulo enu nci<'Lt.e dal Teorema 3 .4 . Analoganwllt e , d alle proprietà
dei m od u lo dis('Cndono le p ropriet à della dis tanza a ), h ) , c ) richianw.t.e in prece-
il rad icando l lo n s ia negat. ivo_
de nza.
Esempio
3.10. In IR J si con sideri l'op eraziorw così detinita:
(t', , P z , "'3 )
(u
l , U 'Z, tLJ) = 21 '] Ui
+
>.:zuz ----.--- 31'"u~
Si verifi ca facilmcnt" elw gli >L'lHiomi di p rodotto Hca lare sono soddisfatti. Questo d à quindi
ad IH,3 una strunura di spazio vd.toriale con prodotto sc:ai1...e, di\'ersa da q uel la '"eudidNI."
che abbiamo considerato in precedcnz-a_ Ri~pdto a que;ta "tr a ttura . si 1m, per ~empio :
1(-"'1, -.,,~, 1-'3)1 =
-/2t1 + "L"~ + 3-.,',i
• S1JGzio ortogonalE_ Se V è Ull O spazio vett o r iale con p rorl or.to int..,rno e V;' è lI n
sott.a.:;pazio d i V, uefilliamo
V"l--'-- = {v E
V: v
u = O 'r!
li E
Vd
-V/
è l' insieme dci vettori che sono ort.o ~onali a tutt i i 'v ettori d i
-V1 . S i verifica facilnlCnte che tale in:,;ieme è un :::oHospc'l.z-io di V , c he prende i l
nome di spazio oTtogonale a VI '
In a ltre parole,
Esempio
.•
3 . 11. In IR 3 si c onsideri u n piano pa.....·.xHlt e per l'migine (~()ttn'; pazio d i dimelL~iof1c 2 ) , sia esso
V, _ A ll o ra v,--L è il .'lol-lospa:do \lIlid imensionale iaùiv iduato d ,d Ia retta pa..,sant. , l"'r l'origine
" perpendic ola re a l piano . sia esso V 2 : V2 = V,L. Si not i ch e vale anche la relazi,,"c redproca:
V"L = Vl .
Basi ortonormafi
Consideriamo uno Rpll.zio , 'ettor iale di dinwIlsionc fin ita, dotato di prodotto sc&.lare . Fissat.a una base CI,CZ , . ' , C,--, calcoliaiTIo il jlrodott-o &calare di dtle \Cetto ri
li
v
Applicando le pTopr ietA. del prodotto scalare SI ha:
2:=: u,v_i c ; '. j ._~
Cj
66
Gupitolo 2 .
E~m cnti
di
.ql!.(,}7nd ;-ja " ~,I.,",,,'"ro=-"",nO,=a,~
,,--_______-,@,,,-,,.~,,,~,,,,,
,,,,,,"",.
È s uffk:ipnte quindi conoscere g li n 2 p rodotti !lCa.l.ari e i . e j per p o t e r calcola.re il
prodotto !;c;ala rc d i due vettori qualsjruò i. TI calcolo risulta partico larment.e comod o
q u and o gli 11 vettori <.Iella h ase risultano ortonm'Tnali, ossia:
l ) sono a d u e a d u e ortog onali: e • . e ; = O per i. t jj
2 ) ogni vettOre ha modulo unitario: le /
2
= e , . e, = l per i
= l , .... n.
Una tale ba...o:,e si d ice base orl.ononnalt>., e gioca. u n f uolo Fondamentwe nello :::,t ud io
degli s pazi con prodotto scala.re. In tal caso infa tti s i ottiene:
oV'ver a: il p rodotto 8calare si o t. t iene dalle componfmtì dci due vettori con la s t.essa.
for mula che vale nel caso del prodotte scalare euclideo in IR" . In particolare, per
."
u = v si ha:
lu !2 = u · i l =
"
L
u~
; =1
ovvero anche il m odulo d i un vettore s ì calcola mediante le sue componenti con
la st essa formula che vale nel caso eu clideo. L' I,ll ti ma propriet.à s i può anche
esprimere cosÌ : se V I , V ;!,''' ' V " s ono vett-ùrì a d u e 8 , due ort ogonali (d i modulo
qualsia8i) s i h a:
ch~
è una sor ta d i T eorema d i P itagora iII versione a.<;trat t.a.
Per esempio, in 1R" la base canonica. e a nche una b ase ortollormalc, r is petto
a l prodotto scalare euclideo. Nello studio d elle .!Ierie di l<buner (cap. 13) s i vedrà.
comc la nozione w.."tnittl:i di o r tog o n a lità !Sia estremamente utile n ello s tud io d i
certi procedimenti d i a p p rossimazione delle funzioni.
S i p u ò dimos'tra rc ch e uno s p azio vet torift.le d i dimensione fi n it a , dotat o di p rodotto scalare, h a sel7ll"'e Ulla base ort onormale:
T e orema 3 . 6 (Procedimento di ort ononn a lizzazione di Gram-Sclunid t ) - Sia V
uno s pazio v cUoriale dr dimemiollc finita, 11 , d otolo di prodottu interno. A llora:
1. V ha una ba.se ortunonllaki
2. In particolare, se VI è un sottospazio di V dl dimensi one m. < n, S1 può
costruire una base ortononnale: di V del tipo
i lnimi 1n vetto7; U ) , U:.z , .
ultimi n - m 1lettori 1t ....... ) , U:;>,
dOl!e
,U"TJt
, Ur.
sono una bllSe orlonorrnale di V1 e gli
sono una /mse orton&nnale d1' V 1.1. .
l llv~e di pn",ente.re la diIll05traz Ì(me del teorema. in !\.Strano, il lust ria..no 1m un e>«lmplo
n umer i",> il procedime n to di OrlonQrn m.liz2 a2ion e.
/1 . Spazi v",Uoriali
@88_08_0 71' 4 7_t<
Com;;dc ciamo, in IR 3
,
67
i d, ,,, \'ettori ind ipendenti:
>.'2 = (0 , 1 , - 1)
( l,O , -1 )
3
l kt.to V" il soi. t c..;pazio ve ll o riale di IR g ene rat.o da l' " 1>:;" (che, co me fii "·eri fica, non è altro
che il piano passant" per l'origine di c q " a7.ioue X-.,- y+z = O), p roponiamoci di cos t ru ire un a
ba---e or t ono r male d i V , H 'iSi .... d i Ol"tonorma liZ7,are la ba."e 1,'1 , 1-'2. I p,.",,>;; sono i ;';<o'guent i '
v,
L
No rnlalizziamo
1,'1 ,
=
d nfin.,ndo:
li,
2-
Cakoli~!no
la enmpo nen t.,' di
V2
."
11.'] !
nella di ,Pozione d i UI, da.ta da :
:l . Sottraiamo a l'.., la Hla componente nella direzio n e di "1, ottenendo così Il n """ t tor,,
ort og()Ilnlc a t i ] "d,,, in"i"m", a d "sso gene nl. V;
'-'} - ('-'2' 1.I.l } "- \ = (O, l , -1 ) - -
('.0 - ~)
2'
,
2
1 . !'\ormal izziarno que:;t' ul t imo vetto re , definen do:
(- l,l, - j) ~
v'~; 1+ !
(2(_ ' l _1 ) ~ ( __
l
fi. __
,)
\,3
2"
.,f6 ' V"3 '
2
v'fi
u.
\I \cUore ver ifich i che " 1,
costituiscono e lTettivam"nLe u na b ase ortonormale d i V.
Se o r a v o less imo costr uir<' ( n }me afferm a il pu n t o 2 del teoremo.) Ull a b ase ortollon nale di
c he abbia come p ri mi due clemen t i li l , U", dovr€,ffilllo it encre il procedimen t o come ,,*,glle:
rre
5 . Scegli alno Un vettore di IR? in dipendente dfl.
'-'3
6 , Sottra ia,no H
v" la
.~lla
=-
-Uj ,
U2, per "",e mpio
( O,U, l )
proiez ion e su V , osHia calcoliamo:
./ \ = 1-''-' - ( (V.l ' U.)U, + (V3 - U.) ll 2} =
(0,0,1) - { =
~ (~ , o, - :'2)
l
v'6
(-;.,ft.-;. ) }
( ~ , ~ ,D
Il lettore \'erilÌclti "h., 11" ;, ortogonale a u" U2 ed h,,- , ,,adulo Ul1 ita.rio , perciò >L l, '-'2,113 sono
una ba.~c o rtononllale di 1Jl3 . i c u; primi due e lement i sono una b ase ortono rma le di V .
L'e~ist enz a di una nozione di o rtogo na Lità e la con os(:enz,a di u na ba se o r t.o--nonna]e gioca un ruolo impo r tant.c Ln probicmi di a,ppros8imazionc. S i cOIlsid eri
il seguent.e problema geomet rico:
assegnalo, nello spazio l-1'itli:rncnsionale. un pwno Jr pa.<;sant~ per l 'oriyinf: c
p'unto P esterno ad esso, trovuTf' il punto di 1r c he. ha di.Htanza mini'lna da p,
un
68
CD
CapitAli" 2 . Elementi , di grometn'a e algebra Ii""art<
S"_ ("'_O'7~ . T_ ri
Chiaramente il p u n to di rniniIna d istanza è la proiezione ortogonale di P .nl
(v. fig . 23).
7r .
Figl>ra 23 Punto d i m ini ma distanza da un p iano_
Analogamente, supponiamo c h e \<T sia uno s p az-io v€ttoriale dotato di prodotto
scalare , ~Tl un sottospazio di V e v un e lemento di V che non appartiene a Vt _
Qual è l'elemento di {--; che alJpm8.simll meglio v, ossia che ha d istanza minima
da v'! S a rà, in analogia all'esempio trid imens ionale , la proiezione o rtogonale d i v
su V j , pur di d~finire o pportlllll'lrnen te qu~t.o conce tto.
Teorema 3.7 (Proie7 ione ed elemento di minima distanza) ~ Sia \..T uno spazio
dotato di prodotto scalare, V I un sottospazio di. V d i dimensione jinitft c v un
elemento di V
clu: non ap]JaI'tù:ne (l v 1 _ Allora eSfstoH() e ,~uno univocamente
determinati due vettori li , w , tali che:
v
=
u +
,
w E V-"-
w
Il vettore l i si dir'à pmiezione urtogonale di v su VI E, tra tutti i vettori di VI, è
quello di minima distanza da v.
. e ". dl V , tale che i
primi , ,. vet.t.ori sono u na base orton ormale di V 1 e gli ultimi n - n l oono ""a base ortonormak
di V,..l.. Seriviarno u come combi n az ione lineare dei vettori d i questa b ase, e pon iamo:
Dimostrazione. P .,.r i.l teolcl n a :I.G • .,"".<.te "Wl ba... c O ll< tl'Unl 'l1lc e" " 2 , .
"
U '""
L
c,e; =
L
y,
Ci e ,
+
L
c, c , ~ u
+w
.= 1
Per come sono d efiniti Il E Vi. e w E V,-. lvlostriamo d ,e ti è l' e lemcllt o di Vl di minima
dista nz a. d a t ! . In fatti , s ia Ul un a ltr o e leme n t o di Vi. S i loa :
v - u. = w , disc (v , lO) = Iwl
t' -
Poieh" ( ti - u ,) E V, e ", E
Vi'· ,
U l .= W
+
(u - ut)
per il T •.-'(m;m3 d i Pitag<Jra
dllIlqUC
<l iste"." .) ?dist( v , u)
o
:i . Spal;; n:ttoriali
69
Si n o t. i che p er cosr.r uire a p arti re da v l'elemento d i VI c h e meglio approssim a v.
basta C.()Tws ccn; una base orton onnuh: d i F , . I nfat t i dana di mostrazione lcggiarll u
c h e:
m
:L (v· e , l e ,
;= 1
3.12. In n :l , ddprm ; na re il P UIl t o de! p iano x+z = [) c he h a min imad h;tanz.a da l i = (1 2, :1) .
P o iché .x ..,. z = O è u n p iano p as~m n l e pe'f \ 'o rig ine , s i può vedere COme sotrospazio
vello rial .. <ii IR_.J , e hiarniamo lo V , _ S i ve rifica c he u lla b ase OTt.onormale d i VI è;
v,
n pu n to
3.4.
~
( -'
.0.--'-)
V2
v'2 ' . ,,/2
=
(O, l ,O)
d i Vi che h a m inima dista"z a d a u i:, la p To it,z ione di u su V"
cioè;
Il concetta di linearità
N el capitolo l a bbiam o i llt ru dotto il concctto g enerale d i funz iDne tra d u e ins iemi ,
come legge che associa univo camente ad tHI dato "ingresso" una cert.a " u scita" .
C i occupiuu lo ora d el caso in c u i g li insiem i in quest iol\e siano 2 ~paz i vettoriali
V i, 1/2 ; una funzione f d i dominio 'V j e codomi nio V 2
<
I:Vl -
V:.!
sarà dun que una legge che ad o gni vettor e d i VI a&,>o cia uno e u n 001 vettor c d i
F :.J. Tra. q uest-e funzion i , partico lare i mportanza han no quelle che g odon o di ulla
speciale pro prietà, d etta linearità.:
.<
Definizione 3.8 - S i ano VI, V 2 due spazi ve ttor i ali su lJ. n campo lK ( che TJt:"r noi
pulr'à fOsserc IR o ~ ) e sia f : VI --t V 2 . Si dirà che f è U TIU fu nzione linea re s~
per ogni u: E IK e TleT' oyni V t, V2 E V I si ha:
i. f (v } + V2 ) = f (VI) + f (V'l ) ( addit-jvità) ;
i i. f(o. V l ) = of (v d
(o m ogen eità) .
L e i, ii si possono riassume re n ell 'u ni_ca formu la
f ( o.J V 1+ a 2 v2) = o.}f( v d~o.2f( V 2 )
ptT o gni n t, O;:.JEIK
V l,V2 EVl
S inflnùn: spesso usati di fu nzione lineare sono trasfo rmazi one linea r e , operat ore
li neare .
3.13. S ia f: In. --+!H. Se f è lineare ~ì h a; J (x ) = J(x · J ) = 7f(1 )
D unqn<, le uniche fu m' ion i Ii n e ar ; da 111 a IR ~",o dcI tipo f ( x) -= o ::: .
ax pnr
H
~ 1( 1 )-
70
Capitow 2. Blemr.nti d. geometria .. alg"bcm",ICm
""~e~"-_ _ __ _ _ _ --,0,
,!.!...,.,",.~,,,,.,.,."~,
3.14. S ia l '" lo sp!I.2.Ìo dei \'.d,wri tridimension ali;
volta. per t Ulte, e definia m o:
,,<>n~id. :riam o
u n vettore u E V ,
fi e.~at"
u na
f: V ...... IR
j : vl-> u · ..·
(la funz ione Ol.';,,,,ocil'l. ad ogni vettore v il suo prodot to scala re col vel l.o~c U fissato). Da! lo!
pro p rietà del p~odotl o seaJa.re segue ~mbito che J è li n eare, infatti:
f( OV l
+ ,'3vl ) =
U , (O'VI
+ ,8 V2 ) =
Oli ' V.
+ {Ju
· V:r = a! ( v I)
+ {3 f
( V2 )
Il concetto d i linearità è cent ra.lc in matematicA. e n clle sue applicazioni . Nel
p rossimo p aragrafo 4 vedremo che il calcolo matriciale permette d i d escri vere
complctam.ente le tra." Ijormonolli linenri inI
,~lJ(tzi
'/p I.I M'udi d i dimeTl.!'ion .>fin i lrL
Ved remo invece nel seguito del corso clIC molt i coDC<'tti chiave d el calcolo i116·
lIitesimale (come q u elli d i bmite, 11erivata, iJ~tt:y7ul~), corr L<;pondono a opportuni
operat ori lineari tm $pari tlt:ttor1ali di dimensione infimta ("spazi d i funz fon i").
"-1olti p ro b lemi fisici si possono descrivere co n modelli m atematici d i tipo
li n eare. P er dare un 'idea e lementare del tiign ifica to dì que~t.a a ffermazione , f.acc iamo un esempio specifico. La tempera turA. rti un oggetto trid imensionale privo
d i sorgeuti interne d i ca.lore, in condizion i di equilibrio t ermico , può essere de t erminata a partire dalla tem peratura della sua s upe rficie €flterna, che Ì!. a contatto
con l'ambiente. Tempera.t.ura all' jnterno c t emperatura al bordo sono cspreb."òe da
funzioni. La leggc che associa a l "dat o'" ( temperat.urA. a l b ordo) la "soluzione"
(tem p eratu ra a ll'in terno) è una trasformazio ne lineare tra d ue opportuni spazi d i
funzioni.
La linearità ha alloro ii seguente .significato [1IIi('1): la .somma di d ue cause
provoca la somma dci du e effeiti.
P e r esempio, se raddop piamo il valore della t em peratura al bord o in ogni
pu ulo, raddoppierà esa.tt a.m ent e la le mpera.tura all'i nterno, in O},'lli punto. ~a­
tural,uente non accade così »E'l'ogni re.nono",,,,..), ma ",...,10, appunto , per q \ IPlii r.hp
sono ben descri t ti d a mode lli d i ti p o lineare.
ESCfuzi
G
[n 1R4 , si consideri n'J i seguenti gru ppi di vettori, e per ognuno di essi 0:;; . 1i<:11 BI:!
sono Enl'-armente ind ip.: ndc IlL i. I" caso n egat,iv'J, scrivere espli<:it",mente uno di \.'8Si come
combinazione line!LTc degli altri.
a . ( 1, 2 ,0, 0 )
(- 1, 2, 0 ,0)
(0, 0 , 1,1)
(0 , 4, 2, 2)
( 1, 0.0, 0 )
b . (1, 1,1, 1)
(1. 1,1. 0)
(1, 1, 0 , 0 )
c . ( 1,2,3,0)
(2.1 ,0. 2)
(3,1 , 4, 5 )
(1 , 0 , 0 , 0)
(0 ,1, 0 .0)
e
Per q uali val.,,; del pan metro reale t il veltore w = (2. t , O, 1) di IR:' appartiene al
generato ,la u = ( 1,0, 0 , l ) e v = (0, l, O, I)'r Caleo!..,.., la dimen,sione dello
sp=io generato d i u , v , w a l Vilriare d i t.
sot~l'a.zjo
m
Verificar... che il seguente ~prorloUo scalar,," in lR~ sodrliBfo. effett ivamente gli assiomi
d'i"."ooot l.o scala.rc :
:0"c,-,""'C~"""C'c'='c'c"'--_________________"c-C",f"""'",."",C"- .'·=~·~f"rrnIIZionl line~ri ___7,-,1
Rispetto a questa
di spaz io veUorial e "oa pro d otto in t .. rI1o, cis ponùere a lle seg",,,,,t;
strUU-llCiL
d o mande:
a . I ~'ettor ; ( 1 , 0) " (O, l ) sono oTtago n a li:
b . Quant o vale i(1, 1) l'?
c- Determ in a r e una base orl.on ormale in !H."'.
E!)
S i consideri lo s p azio ve ttorialc V d ei polinomi p (.r) (i n una variab ile, a coefficienti
real i), d i grado :S 3.
a) Verificare che i E.e!';u ent i vCHori costituisnmo Ulla baH~ di V:
e3 = 2x~ -t 1
e .. = ;r-,- 2
e4=x!l-tX-l-l
b ) Esprimere x, J.;"', ",:l come c omb i naz io ne lineare dei \'ettori della b ase .
c) D ire qu"li dci seguenti sotto i n~ iemi di
<:ostitu i5<:"ono un sottospazio vcttori ... le e , in caso
a.ffermativo, q ual è la dimens io no d d so t.!.o" pazio·
1) L ' ins ieme dei polinom i di V eon t.crmine n o t~) nullo .
2 ) L ' insieme dei po li llo m i di .... CQll t.crmim~ n oto posit iv o
3) L ' iasicme dei polillomi di V di grado dispari
4} L ' i nsicme dei pol illomi di V per i quali la som.ma dei coefficient i è nulla .
,.?
E%)
4.
4.1.
Stabilire qu ali d e llc scgllrmti funzioni
a . f : (x , y ) ...... (x y , x+y )
b . f (x,y) ...... (x - y , x+y-;- l )
c. f
(x ,y) ...... ( 2", - y,x +3y)
f :
5'(1
--+
{lR~ ",mo l ineari:
MATRICI E TRASFORMAZIONI LINEARI
l'algebra delle matrici
Si può di r e, infornJal m entf!, che una matrice è unti. tabella
sono eselnpi:
Q
doppia entrata. Ne
la tavola. pitagorica
l'o r a rio ferr oviario
le tabelle d e lle distan:le chilometriche.
E ancora tabelle d e l t.i Jlo 8eguente :
i
o,)
c)
(-:- ,
i
- 1
- l
-l
1
,
1
-D
(7 O O 5)
11)
d)
C;
2
6
"7 4)
8
(~)
Possiamo dare l a 8eguentc detìnizionc.
Si di ce matrice d i tipo Cm, n ) su UH in s iemI-' numerico A , u n insicnle d i in . n
numeri appartenenti ad A, disposti in un,,- tabclh di fll r ighe (Iil1~ o rizzont.a.li )
cd n colonne ( linee verticali) .
Ca p it olo 2. E lementi li.. geomdri. a " algeb ra lin.-.an,
72
La matrice 0.) è d i ti po ( 4 . 4 ) s u ~, la b) d i tip o ( 2,4 ) s u l'\, la c) dì tipo (1,4) s u
IN" , l a d) d i tipo ( 3 , l ) s u IR. Salvo a vv iso contr a rio, cons id erere m o mat rici su IR .
La generica ma t r ice A d i t ipo (m, -n) s i può scrive re ne lla fann a
S i noti i l s ignificato del d oppi o i n dice: a i) s i d ice "eleme n t o d i posto 1-, :i n j i l
p rimo d e i due ind ici ( qual unque sia lfi le tt-era con c ui l o d enotiam o!) rap pres e n t a il numero della r iga, il second o ind ice il n umero della co lonna . J d ue indici
COSt.itll iscono 'll. i ndi UllU scort_8 d i "conrd i n il.t-"''' rlcll'", If'ITH"nt o n e lla t a bella.
S c r i vere mo s int etica m e nt e A = (aii) . B = (b iJ ) indicando a p a rte i l tipo di
matrice o il campo d i variabili t à- d e g li i n dici : i = 1, .. . , m : j = L . . . , n.
Se m = H, come n el ca.."lo della a), la matrice ~ i dice quadfTJ.ta d i ordi ne m.
Due matric i dello stesso t.ipo (m , n) si d i~ o no ug uali se sono ugua li i r is pettivi
ele menti: in si mboli , se
allora
i =l, . .
,t11
)= 1, _
,n
Due filat rici dello s tesso ti po s i p ossono <so m nwre o t t enend o una nuova n Ul.trice
a ncora dello stess o ti po; se:
. nl_;
l,.
k = 1. . . .
, Tl
s i definisce
A
+B
=
P e r e::;empio
C <===>
a ik
+ b'k =
l
Cik
=
l .. . . , m :
11 -179 ) + (4-7 -1081 323) = (1128
- 5
l
76
k = 1. .. . , n
20)
23
Con le m at.r ici si pos.'KJno e ffe tt.uare a ltre o p e razioni. Per esempio s i può molti plicare una. matrice per u n n umero:
3
-1
O
C ioè, se t, è un numero e A
=
l) (3
5
3
=
O
O
9
-3
O
3)
l~
(aH,) . a llora
t A = (tO- ik )
Si verifi ca faci lmente ch e, con q1.le;t.e d efi nizio ni, l'ill!:iÌeme 1\1 (m , n) d i t utte le
matrici su IR di tipo (t71 , n) P. u no s p az-io v ettoriale _ In p arth;o}ar e, l'ele m en to O
è la mat rice c h e ha t u t ti gli cleme nti nulli, e la matr ice o p p os ta d i A, - -A, è la
m a trice che ha per ele menti gli o ppo ~ ti d eg li e1e llle nti di. A.
o
~ S- Oil_O TMT_8
73
La d imensione d e llo spazio vettorinle è n· 1H C IR b a se c anonica è costituita dalle
matrici n x In aventi tutt i gli elementi nulli, tranne u uo uguale ad L
In particolare:
lv/ (1, n ) s i idellti6ca con IR." , pensa t o come s p azio di veLtori fi ga:
AI (n , l) s i identific a C0n ili". pensato c ome s pazio di n:'t.t0ri colonna .
I vctto r i di JRn ::;ono q llind i p art.icolari matrici.
Le righe d i u n a (nat.rice A d i ti P0 (Tn, n ) posso no esse re vis t.e come t;etton
7"igo. di ili n, c ioè
i
=
1,2, .. .
, 771
c viceversa le colonne p os .."ono es..<;.ere yiste COllie vefuJr7. colonn(, d i ]R." ', cioè
a,.i )
.
.
Q2j
al =
(
"-,
qui ndi la m a tri ce A può anche essere s c r it t a nei modi seguent.i:
A~
( :: )
~ (a' la'I "la")
a,,,
Possia n l o definire ancbe un prodotto tra matrici ; non per ogni coppia di n latrici ,
p erò , r.o m e s i ved e nella segue n t e d efi n iziolle.
Dat.e d ue matrici A = «(J.jk) e B = ( bi< ~) di t.ipo (m,n ) e (n, p ), ris pettiyam e nte,
indicheremo c on A · Bo, più semplicement.e. con AB, la lUat rke C d i tipo (711,p)
il cui e lement.o r":'J è il pro d o tto sca lare della i - esi ma r iga di A e de lla j - C$i ma
colofl.Qa d i B (le qu a li sono entrambe vctt.ori n - d i mensionali) . In .si mholi
n
Cij
=
a , ·b)
=
Ui kbk}, dove 1 = 1, 2 , . .. , m e j = 1,2, .. . p
L
k= 1
Per eoempio
(!
D
(-~
2
5
A
-
_(-13 5822)
-3 1
c
B
i nfatti
Cll
= 1 · 1+2 ·( - 7) ...,-3 · 0= ··13
l · 3+ 2 ·8 + 3· l = 22
-4 . 1 + 5 . ( - 7 ) + 6 . O = -3 1
C2 \
=
=
C22
= 4 · 3+ 5 ·8
(:12
+
6 ·1 =:;;8
74
Capitolo 2. Elementi di geometria e algebra lineare
Due matrici A e B tali che il numero delle colonne della prima coincide col numero
di righe della seconda si dicono conformabili. Quindi il prodotto definito sopra si
può effettuare solo tra matric i conformabili; si chiruna. anche prodotto " righe per
colonn e" perché l'element.o Ci.; è ottenu to facendo il prodott.o scalare del vettore
riga.-i per il vettore colonna.-j .
Se A è una matrice (m, n) e B una matrice (n,p), con m -1= p, è definito
il prodotto A . B ma non il prodotto B . A . per cui, in generale, non ha senso
c hiedersi se il pro dotto tra due matrici sia commutativo.
Se però A e B sono quadrate dello stesso ordine, entrambi i prodotti
A ·B
e
B ·A
sono b e n definiti , ma non sono in generale uguali, come mostra il seguente esempio:
A ~
A ·B =
quindi in generale
(~
(~
D
B~
n
B · A=
(~
n
....
(~ ~)
A · B # B·A
Si è quindi costr etti, qualora si voglia moltiplicare una matrice quadrata A per
una dello stesso ordine B , a s p ecificare se la moltiplicazione avviene a destra (cioè
A · B ) oppure a sinistra (cioè B · A ).
Il prodott.o righe per colonne è però associativo. Più precisamente, date tre
matrici
A di tipo (m,n)
B di tipo (n ,p)
C di tipo (p , T)
i due prodotti
A · (B · C )
e
(A · B ) . C
sono ben definiti ed uguali , come si verifica dalla definizione. PotrenlO quindi
scrivere A . B . C senza alcuna parentesi.
Per le matrici vale anche la proprietà distributiv a:
A (B + C) = AB + AC
quando ciò ha senso, ovvero se A è di tipo (n, m) e B , C sono di ti po (m, T).
Analogamente (B + C ) A = BA + CA se B , C sono di tipo (n,m) e A è di tipo
(m, r).
È importante notare che tra le matrici quadrate di ordine n ne esiste una,
che indichiamo con I n, tale che per ogni altra matrice A dello stesso ordine si ha:
A · l n= I n· A
4. Matrici e trnsfonnazioni lineari
7.
Tale matrice si chiama matrice identità ed ha la forma
o o
1
O
O
O
(4.1 )
Si chiama matrice trasposta di una matrice A di tipo (m, n) e la si indica. con il
simbolo A T , la. matrice d i tipo (n , m) che si ottiene da A scambiando le righe con
le colonne. Per esempio
A
~
(
10
4
7
- 5
In simboli, se A = ( a;;j ), A
seguente proprietà.:
T
avrà a j ; come elemento di posto ij. Si osservi la
( AB )T = B
T
AT
se A è di tipo (n, m) e B di tipo (m, r).
Se A = A T (ed allora deve essere m = n), A di dice simmetrica.
Ciò significa che per ogni coppia di indici i,j, risulta a ij = aj;, ovvero la matrice è
una tabella s immetrica rispetto alla diagonale principale (cioè la diagon"ale che
attraversa la matrice quadrata dall'angolo in alto a sinistra. a quello in basso a
destra).
E se m pio
2
4 .1.
O
3
è una mat.rice siInmetrica.
Una matrice quadrata si dice triangolare alta (o bassa) se a l di sotto (o al di sopra)
della diagonale principale ha. solo elementi nulli; si dice diagonale se al di fuori
della diagonale principale ha solo elementi nulli. Quindi una matrice triangolare
alta e bassa è diagonale.
Esempi
4 .2 .
Le mat.rici
3
1
O
(~
O
O
1
1
- 1
O
sono, rispettivamenl.e, triangolare alta, triangolare bassa, diagonale.
Capitolo 2_ Elem enti- di
76
gCOrflt<."",""-,,,-",,,,'f"'"'"ro,, .l•n""••"~,-__________,@"".,",~,..o~,~,•••" ,~,
4.3. Rala;;iani nel pù..w
• Con side ri amo la seguente figura , nella quale 'Hl punto P di coord inat.' (:r. .V) è rUùt a t()
fltt orno all ' origine d i "" ango lo <-l colloca ndosi lleL punto r ' di coo n iinat.e (:r',y' ). \ 'cdiamo
q uali HOn" le relazioni t ra le coordi nat e {li P € p'
(a
>
0,
--_.- ~ p
Figura 2 4
D alle n ote relazio ni trigono metr iò'" s i 1la:
x = pcosp ,
x' "'-- pcos ( n
!J = psin ,3
+- .8),
y'
(Jsin(o:
+ /.}j
dove p ind ica la lunghezza d i OP c d i OP'. P oiché
f' cm (a
psin ( n
+ J) -= pC05 ac.os B + 13 ) = fJ sinacos{j +
psin Cl sin
{J '"" x
c os (~ - ysin Cl
pC08G:sin /3 = x s ill n +y C05 CI
si ha :
;r. ' = xn.>ba - lI;;iIl n
{
y' = xsino
(--1.2)
+ yCOSQ
Introducendo i vd.tori colollna (:) e (~~ ) e la matrice di tipo ( 2 , 2 )
A" =
(~::
-Sina)
(4 .:1)
cO-s o-
h 1,4.2 ) s i può scrivere ne l modo 5eguente'
n)
- cosn
,i"
('y",' )
C o n cl usione:
tul
t)
Pcr trovare il pu n lo r:omsl'0n(lr<rote ai p unto d i cooniina t" ( x , y ) dopo una rotazione di
an.qolo <1 , con centro ndl'o"gine, è sufjicv-nte moltiphca1'c lL .~i"i~lro. il t~ttore co lomw
per la maln:ce A", daMI dalla (4_3 )
P og;ia.mo vedere la rotazione di un aIlg;olo. <-le co me una. tr asfor maz ione d el p ian o. in sé.
ossia come tra>;for mazione L- : IR 2 ~ IR' _ S i ver in"a facilm"nt.e ( p er cselupio ia l>"-~,, a li ..
( 4 .2)) cbe tale trasformazione è linean,. Ahl> ia!llo. vist o inoltre cl", questa tr"sformazione
lineare.s i r€"al izza m e<Jian te moltiplicazione per un 'opportuna. matrice _
È a ltn:si ch iaro ch e og ll i matTi C"" ,lella for ma
,~ 8"_08_".,..,.4 " .~
cOn a ,' ] + b 2 -= l ~ u ni ~'o"anlCIltc associata ad una nUl.tr ice d i rota:ziolle A." "he si ot.tie l1 e
l'isoh·cnJo il s iHt Cllla
co,., n =
(I ,
sill Lì
li
=
Qu indi ogn i luat.ri<.:t! d i quesLo tipo rappr",~enta una ,·ot<,.z.'one , nd >"eTL'W a p pt!na s p iegHI.o . ,>;"
eO lL dudiamo ch" " r)(J ,~ .,,: !rile ide"tif;':lln~ ""(I "n-t'l cla.s.~e di hU8fornl'1Z10rà. lù' rarj <id T,iano
(lc rotazioni) cori una o::rln da..sse di l1wt,'i.:::i ( 2, 2} . Come vedremo nel pro.."'t'<iIH" paragrafo.
questa a ITcnuazione può e"~el"€ ampi a mente g~neralizzata..
.
• Vediamo o r a. ';0"''' si realiz:<.a l"a p plicazioll" ",,,ccess;va di :2 rotaz~oni. Suppo niamo che il
p lluto P di ,-,,,ordina t e x " 'Y venga t rasformato da lwa rot az io ne rap presenta ta d a lla luatTice
A " data dalla ( 4 .3) nel p u nto P' di coord inate cr' l ' !I ' COln" abb iam o app€lla visto si ha:
Se ora a l punto p' a.ppli chiaTno " Ha r"t<lzinne ,l i ango lo
coordinate :;;", y" s i I.ro'-'«no con la [onnula
.(3 ,
otterrelno un p llIlto p" le cu i
('"") (='"
y"
=
sin .:'3
P o iché il prodotto righe per
colonIl~'
è fL'<.<;(){;;ativo si pu ò scrivere
cioè: se ad A " è a..<;sociata In rota" ioTl" di un ""14010 0; . e ad A p è a.'",soe;a.ta la rotaz iune
di un ango lo ./3, alla ",atrice A,~ Aa risult a ll..'",SOCiata la rotaz ione di un angolo n + /~ , I n
a ltre parole, In =fflpu.~i"ione di due rotazioni (openw.ione di ca.rattere geome t rico) s i efleU:u.v.
':l,n In moltj plicazione pe> ' A,(j A ", (operazione di c a rattere a lgd:>rico) . Si osservi che. corne
è cv idcatc dal sip;nifica to gcorrwtri ~o dell 'operazione, il prodot.t,o A;~ A ", P"T q1Je;<;ta cl a...<",~ d i
ma t ricI- è comm.utat1uO.
Esercizi
e
"
'
Dimost rart' espliçi ta mente le .~cg"eIl!.i prop r ietà d dlc operazio ni su ma t rici:
A (B C)
A (B
+
C)
=
(AB) C
~
AB
+
AC
Sugge7~ rr1f,nto .
Rag ionare pu n: p er si m p licità !:oa luatric i q ua dr ate . di o rdine 'It. Posto
A = (Uij) , ecc , occorre ca.lcolarc scparata.me" t.c l'e lemen to di posto i j d el !" mat rice a pri m o
e a secondo mmnhro di dascuna identità, e w~rifica. rc che sono uguali .
e
Stabilir" p cr ciascuna delle seguenti affermaz ioai se € v(!ra. (forncudone la. dimostrazione)
oppure fal~a (fo rnendo ll n contreo.em pio) '
a.. Il prodotto di
b. Il prodotto eli
c Il pro doLl.o di
" Il prodotto di
d ue
due
duc
due
matr ici
matr ici
Tmltrici
lIlatriei
(11, rlo ) diab'On ali è dia,gomlk
('n, n) trian gol<ui a lte " triangolare allO
(n . n) tr ianB"lari è tr iangol a re
VL. nj "j rnmetrid,.~ è s immet rico
Scrivere la m atrice che rappresent a, nel p iano, la rota7.io!le di:
b. T.
c,
78
Capitolo 2. E lern", ,,ti d i 9"omefriu e algebra li1teare
4.2.
Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari
Abbiamo vist-O, nell'esempio 4.3 , ch~ la matrice quadrat a An di ordine 2 realizza
Ulla ro tazioIle de l piano ( a tt.orn o a Ll'origine) d ì un angol o ( l , nel senso che, preso
il vettore colonna ('IO), il vet.tore trasformato
,
~ An (x)
(or')
y'
y
si ottiene [notando il primo di un angolo Cl attorno all'origine ( nel senso posit i vo) .
In gen erale una mat rice A , quadrata di ord ine n, trasforma un vet.tore di IRTI
i n un altro vettore di lR" rne.:::!iantc il prodo tto f ighe per colo nne (se pensiamo
sempre i vettori come colonne ): x E IRn è tr~ fo rmato nel vettore Ax E IR" .
Analogamente, u na matrice A di ti po (m,Il) trasforma un veLtare x E IR n
nel vettore Ax E IR"' .
Inolt re, questa trasfo rmazio ne
L : IRn _ IR,n
L: x ........ Ax
è lineare. Si "erifica subito, infa t ti , dalla d e finizione di prodotto righe per colonne,
che per ogni x , y E IR n , J.. E IR,
A (x
+y)
=
Ax
+ Ay
A (>.. x ) = J..Ax
Infine, considerazioni analoghe valgono se al C..aJUpo reale sostituiamo il campo
complesso CC : una matrice d i tipo (nl,11) a elementi complessi realiz.za una trasformazioue lineare di CC" in !Dm.
Il prossimo l mportl:l.nte teorema afferma, in sostanza, che tutte le tT"l2Sj01"TTWz ioni lineari da IR." a .lRtn (o da q;n a CI:: m ) sono di questo tipo; anzi, tutte le
trasformazioni li neari t.ra due s pazi vettoriali qualsia..<;i , d i dimensione fi nit a , s i
pos.'SOno rappresentl:l.re a questo rrwdo. nel ~em;o ora p recisato :
Teorema di rappresentazione - S iano V"n, \I""",. due spazi veUoriali .su.i campo IK
( che pnò esser·c IR o CC) di dimen.<;io ne n."m , rispettiv amente., e sia L : V n _ V rn
una trasfonnazione lin eare. Fiss a te due basi lil , U 2 , .. • ' U n e V I, V2 , .. . , V,.,. 1n
V n C V m, rispettivamente. esi ste un 'unica matrice A di tipo Cm , n) a elem en ti in
n< che ruppresenta L nel .scn .so che,. se x = I I U l + XZU2 + . .. + x ... u ... e C(x) =
y,Vl + lh,v2 + . .. + y"v n , a llo ro
Si n o ti che, qualunque s ia lo spazio vettorialc V'l d i dimensione 1"1 sul campo
una base nello spRzio, ogIli vettore è ind ividuato dalla 1l-upla delle sue
componenti rispetto a qnHit.a base, cioè da un c lemento d i IK" . Il t.co reJna afferma
quindi l'esistenza di una matrice dw rap)lreSCJltH. la t rasformazione lineare, nel
n<, fissata
CD 88_ 08_0'rS 4T_ E
4. !.tatrici
c trasfo r rrw.zioni /;ncan
70
senso che, fissata u na base nello spazio d i partenza cd una nello s p azio d i a rrivo, il
vettore delle component.i di L ( x ) si ottie ne molti p licando la matr ice per il vettore
d elle componenti di x.
Nel ;;eguit.o, per n on appesantire il linguaggio, par lererIlo d i mat.r ici a e lementi
reali c di trasforllluzion i lincari di JR" in JR"'. TUtto quanto d iremo, p erò, varrà
p ari pari sostituen rio <C ad]R. A m bieIltare la teoria in IV" anziché in m,n diventerà
importante q u ando par leremo d i diagonal"izzazio nc ( p aragrafo 6).
Dimostrazione. usend<l CeUl) E
",~,
si può scrivere
C(u)) =
fl ll V l --- _ . .
+ « ... IV",
Analogame nte, abbiamo
per opportuni coefficienti a ,j
E Il-L
P onia m o ora
A = (aij )
e sia x
= Xl ll l
+
X2 U 2
i = 1, 2 , .
j = 1, 2, .
,1n
.n
+ .. . +x" u " .
S i ha, per la linear ità .-li L e le equazioni preced enti:
C( x )
~ c(
t
L,U,)
=
j = 1
..
...
..
X; E~ij V;
L xj L (Uj)
L
j - l
j ~l
i_ l
=
L
L
j - l
;= 1
UiJXj V,
~ t (t o"x,)v .
•_ 1
j _ 1
S i \'\:d l: g Hindi çhe le compo nenti t;coJari di C{x ) ris petto a lLa base VI,
dalla formula
y. =
L
;_1
i
U ' iXj
=
V~ ,
_ ' . , V",
son o d tlw
1, Z, . _. ,l'n
c h e, raggrupp ate in forma m atri c ia le. danno
( ~: ) ~A( ~: )
y=
:1:"
La rn<-uriçe A rap present a dunqlle C. n~, 1 s enso pn ,cisato nell'enunciato del t eorema. Tale
m atrice è u nica., co me conseglle tlza del faLto ch., o!;.ni v<,Uore L (U,). 1 = L 2, . _ ,n si può
e5primere i n un u uico modo cOllie comb in azione Lineare dei vetto ri v l, VC2 , .
E s empi
4.4.
Le trasform<IJ. ioni Iin" ari C da IR a IR si PO&.<;OflO 5Cri vere come
.c (x)
( l." matrice A è d i t ipo (l, l ).)
=
n:r;
, V",.
D
80
4.5 . I... , lra_~ fo r ma;7 i o n i linear i d a IR 1 in U{. in riferimento alla b>L~e CanOI);"", s i p o sso" "
:<;cr; yere nella fOTluu
C (x , y) _ ax
4.1i.
L e t rasfor maz ion i lin eari da
+ by
a . bE:IR
In? a li-t? rappresenta t e da matric i de l t ip o
(" -b)
I,
(1
(".orr i~ p "n dono-,
geomet ricament.e, a ll e rot.o-omotetie nel p iano . 03S ia a.lla
rn l.m: im,,, di angolo 8 e u na diia t m, ione d i coefficiente >.., c o n
"in
(j
co m p()~ i " iolle
d i u na
b
--0-0
À
Infatti , <.:Or! q uest e ll{lt.a7jon i , la matri ce <.i i Ti scr ive nella for ma:
-sino)
co;;. (j
' .' . c o me ' -;s t o n ell ' esempio 4--3 , l'u ltilna rnat rioe &<:"r itta rap present a u n a ro t az iomo' di a ngo lo
0 , mf,n tre il prod o tl.o per lo »calare>. ral'pn""'" nta u n a di latazione d i coefficient e )., .
Osservazioni sul teorema di rappresentazione
L TI teorema dì rapprese ntazione chiarisce il motivo per eui il prodotto di mat rici
è sta to uefiIlit.o p roprio in quel modo ( "rig he per co lonne" ) . lnfa l t,i, è q uello
il tipo di p r odotto ada tto a. r a ppresent.are le t-rasforfnaz ioni lineari.
2. L'osservH.zione p receden t e è anche alla. bu...'<e de ll' u t ilità. del calco lo mat. ridale
nella fisica. ~ e ll o stud io della fisica clclnen tare, si illcontm.no g ra ndezzc scalari (conle la nla.<;~a di un punto mat.er ia l e ) e grandezze vettoriali (come la ve.locit à d i Ult punt.o mate ri ale) . Ora, alcune importanti leggi ftl;;iche affermano
che un a certa g randezza \'cttoriale d i pende da un' altra grandczza vettoriale,
secon d o Ulla legge li n e a re. In q ues t o caso, lo. d ipend e llza è espressa , ml'l.temali ea.melJ t e , d a l lR odotto per una nlat.rice. Un eserllpio import anrc di q uest.o
genere, preso d a lla meccanica, è i l seguente:
Esempio
4.7. kIa tric e d 'iru~'-zia _ C o ns ide ri amo u n corpo ri g ido libero di ruot a re at.tonJO al [lroprio
cent ro di massa , che su p ponia",o p osto nell ' ori)';ine. L a g r and"7.òa cinc mat ic a r ilevant e è il
vettore t!doci tà angolaH , w. ch" ha il s ig n ificato cinematico ~egll( '''te : in og n i is t ante il p u nlo
dd co rp o c h e ~i t rova nella p o s iz ione r h a v e lo cit à
v =w l\ r .
La. gralHk zz a d inamica rilevante è invece il vet tor e mom ento d ell" quantità di moto L , che
per esemp io ~i ma n tie n e c ost a n t e se il corpo non è 5Ogget t o a forze ( "mo t o per in erzia » ) _ T r a
que.~ te due gran d " z7.'" s i di m ostra e:-;;st"rc u na rd a7 io ne linear e . Ciò Sig Il ifica.:.;ile esi"!.,, U""
rnatri<.:e (3, 3 ), ch e ind ichiamo CO" J, tale che
L
=
.Jw_
Q u esta mat rice. !i&icamente, dipe n d<o> da c o me la ln;~sa ,id c:nrp o r igido è d i,,- tTibu ita ri~pell o
a l cent ro d i ma.~s a., ..,d i, detta "mat Tice d i i nerzia~ ; s i d imostra an che ,.be J . , " immetrica.
P iù preCL..'<al ucllte, l'ul'S:cHo r ilc vant<o> dal jJunt o di vi" l a h."ico è la tn." 'Io n n a.zi one l:i n eare
ch e B&socia L ad w _ -Q uesta s i r a p presenta con u ll a n ,at rice 1111 1l volt a fì"""" t o '- ID si.~ t."rna
(9
4 ,Hatriri
88·()!l_OT:\ 4 T_~
t . t"f"a~f,)r"m azioni
li"ca ri
81
d i ri fe r ime" t o ; n 1H.:l . cambian J o ii ,.;is te ma d i ri feriment o. cambia la m atrice !tIa n OI! la
trasfor m a :;, io ne li.neare c h e C&'<a rappresellta. In fisicH u n a trasformazione lin e are lra due
spazi vettoriali v ien" d.,u" I.e.nsono. Perdè) in q u esto cas o si p <\.rl a anche di tc,,;soore d'i71rrzi(1.
Il tem;o re d 'i ne rz ia rapprCl«mt a lIlla ,~ araUer ist i ca in Uin 5e<:a dd corpo rigido, indipenden t e
dal ", .. u 'o't ato di !ltOlO , che d<:t.ermin a la. relazione esiste n te tra ve loc ità an~ola rc c m Ollwnto
d e lle> q"an tità di mot o ,
V"" lifl.!Ilo qu ind i che acc ant.o ali ", graml'_"...,e fis id ,e scala. r! o vet-lo riali, v i sono anche
grandezze fisiche. matnctali ( o m eglio t <onso7-i ali, o.ssia l' ap ~~re>;t,ntat(' da trasfor m a z ioni line a ri
t ea spazi ve ttor iali ) ,
S iano o ra L I : ffin ------t JR'" f' &2 : 1Ft'" _ m." due tra.'lfo rm<'t7.ioni linear i, rappresentate r ispetti'Falne nte d a una matrice A, d i tipo (nl, n ), c da. u lla m atr ice B ,
d i t.ipo (.s,m ), ottenu te fissa.ndo una volta p er t_u t te u n a hase in JR" , ITl"' , IFt' (è
Ilf'<::ps.'lario che la base considera t a in 1Ft'" s ia la s tessa per L l c L 2 ). Con s ideria m o
la trasformazione compos ta., L 2 ç L l , co::;Ì d efinita:
o LI :
IRn
( L2 c L d: x
>----->
L
2
----->
JR."
L'l ( LIX).
In a l tre paro le , la trasforrnazionc composta è qUf'lla c he si o t t iene fac e ndo a gire le
d ue t ra.'lformazioni una d o po l'altra, ossia applicand o la seconda al ri::;ultat.o dell a
pr ima(".l l .
È inunediat.o v crificare ch c L 2 o L 1 è a llch'essa una t. r asformazione li neare ;
p er il Teo rema di rappresent.aziollf' , f'sistf'rà u na m a t r ice C. d i t.i po ( s, n ) che
rapprese nta t ale trasformazione rispetto a lle s tesse ba.':ii. C h i è questa matrice C '!
Scmplieelllcnt c ,
C=BA
o s...,i a. la matrice rfl.ppresent.a t iva di L 2 o L l è il prodotto rig he per colonnf' dellc
m a trici B , A che r appr csentano L 2 , L J, rispettivament e . Que;to risultat o è a nzi il
motivo p rinc ipale p er cui è naturale definire il prodotto d i matrici propr io i n quel
rn o d (j·- ~ eOJllp licat o" . L a. 'v er ifica di questo ffl.tto è imlnediata: scrivendo il vettore
x come n - upla rispetto alla base fissa ta, si h a che
L 2 (L , x )
= B· (Ax) = (BA ) x
ossia BA rappresenta L 2 o LI '
Il d iscorso vale inalterato se a n zicl,é IR", Irt=, IR~ si con s ideran o t re s pazi
-v ett oriali ljualsia.«i di d irl1cllsioni, r ispett iva m e nte, n , 111, s ,
4.3.
Determinante
uno d ei co ncetti ce n trali associat i ad una mat.rice (quad r at.a) è quello di determ.i nfInte, lfl. cui definiziollp g P ll f' ! ' H I f' , t. uf.r.llvi a., !lon P f' lellle ntare .
D'alt r a par t e , noi ::.iam o inte res sati s opratt ut t o a l calcolo dei d eterminanti . Perciò ,
ado f.l .ando liTi attR.ggial ncnto "r icorsivo ", d efin irelno csplicita lllCllte il deterlllin alltc per matrici d i ord ine 11 = 1 e -n = 2 , i n dica ndo p o i Ct)In e s i otteng a il
(2)QUOo't'to è un ca,;,o p a ,-t.icolan , di <.: ompos izione di fUllz ion i, co ncett o cl", ù iSC\l te""n,o n e l
capitolo ,1.
82
Cap itolo 2 . E lemen ti di geometria c al9",bnI
lin ea'~
@
88-0<;_ II T""7_ 8
det erminante d ì una matrice di ordine n una volta spiegato co me esso si ottenga
per una ll1utricc d i o rd ine n - L
Per n = 1, cioè per un a mat rice cost it uiLa dal 8<:.) )0 elemento all , il d e ter m inante è , per defini zio n e, l'elcnlcnto st esso.
Per n = 2 , cioè per una mat rice quad rata di ordine 2 , del ti po,
il deter minante, indicat o c on dc! M , oppure con IM I, è assegn~ t o dalla formu la
! dctM
=
a l I 'a 22 -
.~
0-12
Per esempio i l det erminante della rnatrict'
M~
-3
)
-4
( 2'
è uguale a l . ( -4 ) - 2 ( - 3 ) = 2 .
S ia data o ra la. matrice q u adr ata. d i o rdine n.
au
a :l\
A=
.
(
a" l
C onviene intro durre alc une definizioni.
l ) S i chiama minore complementare di u n elemento ai] c lo s i indica con Al i j ..
-il determinante della. mat rice ottenu ta can celland o la riga i e la colonna j
dalla matrice A.
2 ) Si chiama com pleme nto algebrico di un elemento CI , j il n u m ero
A ij =
(_ l )i~j
M ij
:'\ otiam o che
( _l )i+j
( _l )i+j
l
-1
~e
i+j
se
i
+j
è pari
è dispari
Per esempio, s ia:
A~ (J
Co n~id eri ar no releJ[u~nto a l ::! =
; =!)
O
(4.4)
4
-1. Si h[\.:
18
'@"-'~
::::-'~~="="""=-='
_____ _________--,-". ,\fo.!rid e tras/ Qnnazirmi lir."<ln
.3
3) Si chiama deter m inante della. matrice quad rata A tu somma dei prodott'i
degli d ementi di tma qualunquf: lirlea (riga o colonrw ) pror i loro complem enti
algebrici In f ormule, per og11i k, 15_ k :$ ~', Ili hl): j ì.'lsando la riga k ,
Il d eter mi nant.e v iene cos1 definito in modo iwrat ivu: in fatt i la (4 .5) assegna
il dete rminante di Illla mf'l.trice ti x n , po ..'ltQ che !ii sappia calcolare il d cterm inant.e de lle mfl.t rid (n - l ) x (n - 1) (ricorclarc ICi u efiniziolle di complem ento
a.Igehrieo)_ La definizione precedente Ìlft sen so in v irtù del seguente :
Teorema d i la piace - Il ,'i,uLt uto r:h~ !Ii ottiene ccUcofando ti determinante di una
ma trice come nella (4.5) non dipende dal la particolare riga o colonna scelta.
P er esemp io, calco liamo il d cte rm..lnant.e della matrice A in ( 4A ) scegliendo
la te rza. riga:
-II
-
.., -+-
;)
4 ')' 84
:
I1 le.ttore è invitat o e. a:Lk:olare lo :;tesso de term in a m,e ~eegliendo, per esem pio, la
p rim a culonna: troverà. lo "tesso risultato.
Sì voglia. ora calcolare il de'terminante della m a t r ice seguente :
A --
(~2
O
2
3
2
5
O
3
- l
-2
Applieallrlo il teorema, considera.ndo la p ri m a r.olonna. si h a :
dt:t A = l 'i
2
O
i- I
5
3
- 2
J'
! :2
O - O· ; O
I
l- l
3
3
- 2
4
O
1
I
+2·
2
2
'- 1
3
5
-,
4'
12
11' - O · .2
1
;0
3
4
5
l
3
O
=
3
11_
2 _I 3 41
'}
l
- 2 1 -1 - 15 41 1=
=
(j
+3--- 2{l4 - 22 + l7 } = 27
8'
Cap itolo 2 . E lementi di geomd.ri" e a!g<,ònl liw",-""
Teorema 4.1 (Propr ietà elementari de l d e terminante) - Sia A l l nQ ma,idee ( n, n) .
a. Se A h a una riga o una (:()lonna di zeri , det A = O.
b. Scambiando d u e. righe o due colon n e , il d.e lerrn inrnlfe ("ambia di segno.
c . Se A ha du e 7-ighe o due co /orme u guali, d et A = O.
d. Il aelenninanle è una funz ione linemv. d i ciascuno. sua r"iga (o colonna) , ossta
(esemplifican do sulla prima riga)
di
d2
( gli 8..; sono i vetto ri riga r:he costitui.'icono la matrice)
e. Se ad una riga (colonna) st aggiu nge tlfW qualunqu e com llirwzione lineare
delle altre righe (colon ne), il d.e t erminante non r:amlJia.
f. Se le righe (colonne) di A sono 'vettor'': linearmen te dipendenti, det A = O.
g . det ( >'A) = X' det A.
h. Se A è triangolare (in particolare, s e è d i agon ale) d et A = a l I· a22 .
. Cl"" .
Dimostrazione.
a . Gast a c alcolace det A con la (4.1) sc€gliclldo "ome riga k: la riga di zn; .
b . DimO'lt.riamolo r ie orsi \'ame n te . P er le m a t rici di ordine 2 s i ver ifica subi t o . P er IlO
ma.trici li ; ord ine 3: sca.mbiamo tra loro 2 r igh<J, e calcolia m o il deicrm ina ntoo C"" la ( 4.5)
scegliendo COllIe riga k que lla che non ,~ sta ta mo"ma.. A llora i ::1 m i n ori co m ple m entari
risultano di s egno cam b iat o. p€rdu:\ n c lle :'1 m atrid (2,2 j corrispo ndenti BOllO s t a t.c
s cambiate le righe. D u nq ue il S<Jgno doel determimmt.e e camb iato. Srru ttando ora il
risultato pcr le m a tr ici (3 ,3) s i di mostra analoga ment.e quel lo per le (4 , 4) , e c osì v ia.
e. S cam bian do t r a loro le d ue ri ghe u gu a.li il .~"gno d",J d eterm iant" deve {'ambi,u" , P ' T
b ; d 'altro canto la. matr ice non è cambia t a., dun q ue il deternlina.Il!.e è lo st.esso, ossia
det A = ~liet A , da cui det A = Q.
d I. Calco liamo il determi nan t.e in base a lla ( 4. 5), mediante l a p r ima riga. ponendo
I n m odo analogo 5; , ·crifica. d 2 .
85
e . In di cando le righe d e lla IfHl.t.r i ce C011 i "d.t o ri a l, a " . .
.,
), ,~ a2 --.;-- .\38.:01
, s " " i ha :
+
per il p unto d
p erch é t utti ~li ad d€'ndi tran n e il primo sono d e termin a n ti di m at r ici <Xln due righ e
ugual i, e qui nd i s i an n ulla n o, l'l' T il pun t o c.
f . S e le r ig he 50 110 vett.ori line arm cn t." d i p e n den t i. un a d i esse" c o mbin a z io ne li neare d el le
a l tre: >c;upp onj,.mo pt'T "~m pi o che la p rima riga sia COIllhiua z io n e lineare d elle a ltre,
{,,>si a :
+
A
),3 8 3
a,
+ _. . >' .. 8
" )
."
A llora, per i I ['unt.o ti,
pO'c il p unto c , p e rch é ogn " n« d elle m a trici scritte ha du e rig h e uguali .
g . Si ">pplica
7l
v olte l a propri e tà d 2 :
.Iet (ÀA ) = dd
(
Àa,)
~ ~.2
À'
n
>." d e1. A
h . Supponi am o p er e s em pio .:h e A sia t ri angolare alta, e c a tentiamo d et A nle di ante la
(4 .5 ), su lla p r i m a colo n na. A ll ora d et A = a •• A ll . ~I a a ndle 1ft UI ...trice d i cui A " è il
dete r m ina nt-e è tria n go lare alLa , p t'r<:iò cn.lcolan d o A ]l allo stesso modo , ricorsivam c nte
si g iunge a ll a te:;;.
D
Esempio
4 .8 . .,,,,Iostria mo Gome il T eo rcIIl a pre ceden te p0S.:3 a essere talvolta u t il i:.ozalo p er sem plifica r e
il c a lco lo di u n detenni na .,t.",. S i v uo le calcolare:
I:
,
2
:1
-l
l
- 2
86
L n Hlo,nen t o d i oss<o r vfU: io n e mostr a "h" ...., si sott_f se n a l\ a pr iII"~ r igH. il d oppio d e lla SoE"Conda ,
si ottiene 11ml r iga con due ;.oeri, m olto com o da l't'< il calco lo del det erm inant. .. _ PeT il punt o
e del Teo rem a , qu eH 'o JfflraZ;ofl" Ilon allna il determinante. Perciò s i ha.:
2
1
1
3
2
1
:O
- .')
l
:>
O
l
4.
- 1
- '}
4
- 1
- 2
5 ( - 2 - 4 ) = - :\0 .
Un 'altra importan t e propriet.à del determin ante, la cui dimcv.'It:razionc è Jlerò meno
clClllCntar e, è la segu ent e , che ci lim it.iamo ad enunciar e:
Teo rema di Binet - Se A e B sono matrici quadrate ddlo steSSO ordine.
dct AB = d ct A · det B .
• Rcyoia di Sarru.<i lwr i det ermi.nanti d el terzo ordine Calcoliamo il det.ermin a nte
deHa ma t r ice
Illcdian te il teorema di La.place, !::ìvi luppando secon do gli elementi della p r im a riga.
Si t rova
det M =
U 22
al i :'. U22
:an
(raggruppando i tcrnl in i c o n ::;egn o
=
al ) il22 f.!-33
-
0.11
a. 2 .~
i
U32,I
"+"
+ fl· 12 a 2.~ a
fl :l2 -
e quelli c on segno " - " )
lI
a l2 0. 21
+
fl 13 a21 (1..3 2 -
fl 13 Q.22 fl31 -
(~ .~3
Quest.a sonlma p u ò essere ott.enllta col segue n t e procedi lncnt o , not.o come regola
di S(l,1'F11 S.
Si accosta a destra di ~1 la priIna e l a secon da colonna:
S i s o mmano i p r odohj degli c1cnlenti di ciascu n a d iagonale co n trassegna ta col
p rodotti deglL e lelnent i di ciascun a d iagonale COllsegno "+" e s i sott.raggo n o
trussegna ta col segno
"
4.9 .
Si vog lia calcolare il d e t,>uu inan te della matrice
-I
4
- 2
4 _ ,"[alrici
U!l-an do la regola d i
·-i__ .>l-_
2 ---:-.....
Sarru~
-::-~
<!
trasfo rmazioni li'lellri
.T
>Ii ha.:
- , 1. ~
.::.-.:-«:~s: -
~ -i -
4
1- - - ~2 - ~.:.-..:....:t0~_
=
detM = 16 +0+ (- 12) -1 2 - 0+8 =0.
,
Prodotto vettoria/e e prodotto misto. Significato geometrico del determlm.nte
Il p rodotto vctto rialc dei dne vett ori di
m3
a,sSt'gn alo d a lla fo rmula ( 1.1:1) s i può riscrivere nel modo ::oeguente:
v /\ w =
Iy,
X;lo
X2
YJ
I·
1 - ', Xl
iYl
X31' " +
Y3
I
Xl
X"1
Yl
Y2
I
k
(4 .6 )
La ( 4.6) s i può o tt.enerf.! svi luppando sim b o licamente secondo la. prim a riga il
determ inate indica oo sot t o :
k
v I\ w =
Se
r~
= Y3
=
O, la (4 .6) si riduce
il.
VI\-w= I"'
wl . (x,
y,
e quindi
Iv A
=
·(le t.
I
Yl
::) 1
R icorùa.ndo il significato del modulo del pro dot.t o vct.toria le (par. 1.'2 , fig . 16 ) si
(:tJtllcide con L'rLT"ea del paro.ll~loIl'2
gJ'a.mma c08truit o sui vettori pillni (Xl , X2), '(Yl , y-.).
Poiché l'area del p a n:l.l1elogramma è nulla se e solo se i d ue vettori che lo
gen erano sono paralleli, si ha anche:
ricava
(:he
il modulo d el d e terminante
IXYIl
:1':21
e
il determinan te 2 x 2 nullo se f solo se lp. sue righe (o colonnp.) sono due veUori
lXlralldi , cioè linearmente dipendenti
Se o ra u = (Zl, 22, z", ) è un terzo \'etwre, dalla. (4 .6) ricaviaIllo lo. segllenr,e for mula
per i l prodotto mist o u ' v 1\ w :
u ' v /\ w = zl
x,
I
Y2
x, I
Y3 .
-
Z2
1x,
, YI
z,
x,
z, I
x,
y,
y,
(1.7)
Ricordando il significato geomHr ico dci prod{ltto m i!:!t.o (par. 1.2, fig , 15 ) si ricava
c h e il modulo· de~ ddf:17, ~inrmt F.. (4.7) mTJpn~<> ent a il twlume del pamlldep ipedo
('..o_~tT-l1 i~o :nà 1Jd tod u , v f ; w .
88
Cap itolo 2 . Elemen ti di ycomr;tri-o- " dqe/rm [intenT'( '
@M _(»! _O,. .. 4T_ S
Poiché, lì. sua volta, il 'v olullle de l parallclcpip edo è nullo se c s o lo s e i tre vetto ri
c he lo genera no sono c:onl p lanari, s i ha anc h e:
il de t en n inan te 3 x 3 è n u llo se t~ ,w lo se le
complanari, cioè linearmente d ip endenti .
l~ll e
righe (o colon ne) s ono 3
t-'t;;ttori
O tteniamo q u in di, nel c aso p articolare n = 2 , 3 , un com odo cri terio di d i pelHle nza
o indipend enza lineare, mediante il nllcolo del determ ina nte.
La formula (4 .7) permette anch e di d im o!:itrarc facil mente ht proprie t à d i
inva7'l;anza ciclica d el prodotto m is"to :
u-v /\ w = w- u A v = v 'v,' !\ U
I nfat.t.i , ricorda n d o che il ~gno d el deter minan t e u u n bia. scambiando 2 righe d ella
rn at rice, s i ha p er esenlpio:
ti
v
w
v
ti
ti
w
V
c h e d imostra llì. pri ma uguaglianza. (analogamente si prova l'a l tra) .
4.4.
Caratteristica di una matrice
Abbia m o vist.o c h e , se le righe (colon ne) d i A sono 'v ett.ori linearmente dipendenti,
a llora det. A = O (Teorerna 4.1 p a~ . 8 4 ) . I noltr e , abbial no dimostra to che .se
n = 2 o 3 , vale anch e il yicxversa (pe r il signi fi cato geomet.r ico d e l dehor m i nant e ):
i l det.ermin8.nte s i annu lla se e s o lo se le righe della rnat.r ice sono linearmente
di pend enti. Questo risulta1.o è va lido i n realtà per n qualsiasi, e p uò essere anzi
u l t eriormente gen e r alizzato allo s t.udio d i un qualsiasi numero r di ·...eUo ri d i ID"
(con r ~ n ):
Teorema 4.2 - Siano al. a 2, .
, a r T vetlo1'"i. riga di IR" (T < 71) ,. e 8ia A la matrice (r . n ) d te ha per r"igl,e que8ti t'ettmi. A llmu i '/}ettmi a1 , a 2, .. . , a ,. 1j()Tl (J
linf'Arm cn te dipendent i se e solo s e ogni matri.c-e (1'. T) estm.tta da A hu determinante. n u llo; sono in dipendenti s e e 8olo se Esi ste almeno u n a matrice (r , r )
e.'Jtrutta da A ; CQTl det e f"minante di'v ers o d a zero. Ino ltre.- n l Jd t ori di IR" son o
li nf".i117nen f. e dipendenti (indipendenti) 8e e solo SI-! la matric.e (n , n) che s i ottiene
accostandoli h a d P.terminant.c uguale a zero (di !Jerso da zcro j.
O lnet.tia.rno la dimostrazio ne d i q u esto tcor cnla, un po" l a.b or i O~8 . Compl etiamo il q u adro della situRz·iolle riconhmdo che r vet t ori di IR" con r > TI sono
sempre l inearment e d ipendenti.
IotroduciaJuo a quest o punt.o il concetto d i 1'a ngo o r:fL1Tl tte ri.s t iea d i un a mat.rice .
Dat.i Ulla nlatrice A d ì rn righe e n colonne ( con rn no n neccssariaInente u g n a le
a n) e u n intero k ~ m i n (1n . n), s i dice minore d i o rdine 1.: est.ru tto dalla mutrir;e
A , i l dete rm in ante di u rla· quaL~iasi matrice di ordine k otten uta con gli clernenii
comuni (L k righe e k t:o!o nne di A .
~.
Matrici" tro...junna.zi(}ni li"':LI1,
89
Si definisce camtlerù;tÙ;Q. o IYHi.gO di A l'intero l' ? O t(ll~: che: esiste un mmorc
est1"O.tto da A di orri·i.ne 1" non nullo e ogni miflore e.~tratt () dfl A di m'dme 7" + 1
è: nullo.
D a l teorema 1 .2 segut:: subit o che
Il rango di una matrice ropl'l"eSenta il massimo numt:ro di righe
lineanTlcnte indipendcntt.
P er la determinl\Zione
(L~l
Q
d i r.olo,me
ra n go risulta u t.ilp. la seguente proposizion e.
Proposizione 4.3 (di Kn:lIl€l:kcr ) - Condizlone 1'l. cr:l~ ssaTW t; 8 1tffici.(;1i l ~; affi1iché
una matrir..e abbia n:tngo k è che Ui'isla un m i nore di O1-dine k diverso df.J. .U~ 1r)
e ~.ano nulli tutti t mmoTi dl ordine k + l otten'uti da. quello orland% con 'una
lfUalun que altm riga o co lonna .
Esempio
4. 10 ..A.pplicbiamo il m etodo ind icato nella prol'OIl il:ioru:I 4.:.1 alla
,
A =
(~ ,
O
J1lu.t~ict':
3
3
(;
Considerialllo u na. mEl trke e"t ratta da A di ordill n l (.011 ,l,;tenui,,,.,,te di,·tJrSQ da l:eTO, si"
A· = (1)
"Orli .. "I0~ tale ma.trice, in tutti i m odi possib ili, finché si n tt.eng>:t lilla IIHI.t.rke del
ordine co n determin a.nte non ntillo'
A -- = ( ;
.,
~)
~:condo
d ClA-- = - 4 .
rupet e ndo il ragionamemo, "orlando'" cioè in t lltti i m(ll ii p06.Sibili la A-- ,
(~ ,O
2
Ai" =
si
()ttt,~no ctl1l"
tt.... ..
2
O
4
matrici i c ui dctt::rm iuanlì sono n,,!Il. Il rang(' i, dunque :.1 in H.:c(mLo con i l
cma preç"dclltc .
P e r la determinazione dci r ango di A seguendo lo. defiuizionc avremmo dov uto
calcolare quattro de t enuinant.i d el terzo ord in e. mentr e col metodo della. [email protected] 4.3 i determina.nti 3 x 3 da calcolaTe s i son o ridotti a due.
Quanto più grandi SOIlO le dimensioni della matrice tanto più evide nti r isultano l vantaggi d el met.odo indicato nf':lIa propoobdone.
4 .5 .
Matrice inversa
S e a è un n1.lTllp.ro non nullo , esi:,"te un unico n u m e ro a ' l = l (il Tedpro("(J d i a)
"
t.ale chc
(4 .8)
00
Cap ito lo 2 . E I"menli di y wme lria e aC"Ce~'",""~I"in"",n"n
'è________'@"'""&"""~,,,",".",::,,
~,
Se A è u n a matrice q u a dra t a (n,n), chiameremo tIlo.trice inversrl d i A la mat rice
(se esis t e ) A - - 1 t a le che
A_A- 1 =A-1·A=I ...
(4 .9 )
{d ove I n è la mat r ice idenc.ità ( 4 . 1)), i n perfetta analogia co n la (4 .8) . La condi zion e che garantisce l'esistenza d ella m a trice inver sa, a n a log a alla co n d izione
a -F O per l'esistenza del r ec iproco di u n numero , è che sia d et A f O. 11 seguente
t eor e ma p recisa q uesta affernla~i one, e in d ica un modo per calcolare A - I:
Teorema 4 .4 - C ondizione necessar ia e suffici ente affinché esista la mah'ice trlversa A- I è che A Hia non sin go la r e , cioè che d et A i= O. ( n tal caso 1m[e la
Jo-rmula:
An
l
det A
A-,
C"
.4:
21
A
A ',n
n )'
An
•.
(4.10)
A nn
A n ' An'
do ve T indica "trasposto" e gli A ii sono i complementi algebrici degli elementi aii
d ella matrice A . I nfin e, d et( A - 1) = d;;tA.
,
Esempi
4 . 11. Us iamo la fo r m u la ( 4 .10) per calco lare [' inversa d ella m atrice
A= (g -~ ~)
Essendo t r iangolare, det A = 1 - ( - l ) . '] = - 2
! -l
A"
A"
I
=
-I~
I
A"
O
~I =
-- 2.
3 ~ _ - 4.
2 : -
,
1, -;
;1=
A- l =
9.
~
-']
-#
O: q ui nd i A- l es iste. OSlSe rv iamo o ra c he:
3:
A12= -I ~ 21= o,
A '3
=
16 ~ i = 2,
.·h~
= lo:1, ~I =
A .n
=
A:n =
An =-I ~) "3 ~I ~ - o.•
gr (g
( -2 O2
-1
- 4
9
"
2
- l
O
i l)
lo -11O
O
il
jo
-W2)
- 3 ' '1.
1/2
4. 12. Scri y iarno la mat r ice in vensa d e lla gener ic a ITla t ri ce d i onli ac 2:
nell' ipot.eo-;i d.rt. A = ad - be
#
O. S i ha:
(:1::
:~~~ ) (.~b
=
-;.c)
~O
21~-1
-l
@
4.
88 · 0II- "T~4T-g
.Ilfatrici e trasfo::nazivn' lineari
91
e q Uilldi
A- 1 =
A l italo d'e«erc izio, s i
f'>;<'gu;lI1o
(<I- c a-b)
l
adbc
i pr o d o l ti AA _
I
" A
-1
A , con t ro llando che
si tro~-a
4 .13. Sia
- Sino:)
C050
la matr ice c h e rappresen!.a la rotazione di a.n g o lo (> nel p ia.no _ 5<:rivia.mo la sua rnatric<3
i nven;a. In b ase a l calcolo fatt o nelr.~mp i o precedente, s i h ..\ :
A
co
,=
l
C052 (>
+ sin~ o·
=0
( - sin o
sino)
cos <->
che possiamo r iS(,r i....-ere nel la fo r ma :
A -l
=
a
(COS( - O)
sin ( - n)
I n a ltre parole , A ;;! rappresen ta la N)t<v.ion(, d i a.n golo - o nel p iano ossi ... , proprio la trasf01Tnurione inversa d i q uella d i parte n za.
Dimos trazione del Teorema 4.4 - P rodarno prima che se esiste la ma.trice inversa
d i A . allora necessariament.e det A t=- O. I nfatti , poiché A · A -- 1 = I n, det, (A
A - 1) = det l ,. = L P er il T eorema di Di net. si ha quindi:
det A . d e t ( A
l
_1)
(4 . 11 )
e q uesto implica det A -=I=- o.
Vkeverna, supponiamo che s i a det A t=- O e p roviam o c h e la matrice defi n ita
dalla ( 4. 10) è effettivamente la mal.rlce inversa. Calcoliamo, p e r esempio , il prodotto A . A --) e verifichiam o che si ottiene la 'm atrice identi tà. (Ana logaIllente s i
calco la A - l . A .)
L 'elem ento di posto Id nella matrÌl::e A · A - 1 è, i n base alla ( 4 .10) :
n
bI<>
= L a.\;j.
l
det A A,j
] = 1
=
l
det A .
?=
n
UkJ A iJ
1= \
Ora: se k = i, la ~onnnat-oria 5CTitta vale det. A , per la definizio ne di det.erm inante
(4.5 ), e qu indi b h = l; se invece k -=I=- i, most riamo c h e tale ~omm a vale O. Infatti :
s ia A ' la matr ice otten ut.a da A r impLazzand o la riga i con una cop ia dell a r iga k.
Alt.erare la riga i_ non alt,era i numeri A ;J, . . . A i .,. Si vede a llora che l'espressione
UUAil
+
Qk2Ai2
+ .. . + UJ;-nAin
n on è a l tro ehe det A', per definizione d i determinant.e . },'la A ' ha due r ighe uguali,
quincii il :,;uo ù e t.crminant e è nullo (Teorema 4 .1 c ). Abbia.rno qui n di p rO YFlto d lC
Capi/vlo 2. l!:lr.menti di yeQmt<trin. cc alyd,!" lmearl!
9'
l'clemento d i po~to k1 n clht matrice A . A - l wtlc ; l se k
A · A _ t = I n . I nfine, dfl,Lla (4. 11 ) s i r kava
i, O se k ;J:. t.. Perciò
l
det (A -'l = - -
del. A
c q u est o COrIl l, lt:t a la dimost razione. In ba..<:.e a l teo rtllUa p r ecedent.e, una m atrice
Hon .c:;ingola rc . cio.! con det erminante diverso da zero, viene a nche detta. inVC1"tibile.
Vale anche l a s<.>glle nt.€:
Proposizione ( Prodotto d i ma.trici inverti bili)
Se A , D .';otW due 'ma tn:d quadrate n on sin golari, ancht;: il rJ1vdoti.o AB è n on singolare, e t.!ale:
( AB )-l = E -l. A - I
Dimostrazione. P "r il Teorema di Binet, se det A
#:- O e dc!. B -F O :ioi h a,
det ( AB ) = de t A - d et B ,#0
Quind i AB è non >l' ugo la Te . !'\ot ilpno che:
A n o. log.'l.mcnte si v,'rifì c a. c h e ( AB )·
m atn (:(, i " v e n;.'!. d i AB.
Esercizi
fIi)
(B-' A -
' ) = I , ou u q Uf' t<ffet tivamen tc B -· 1 . A
t
è la
D
>
,
Sianu :
A_(2 1)
-
Calcola re: A
tI>
+n,
O
~·1
A B . BA, B ''' , A -I (&e- esist e ' ),
Siano
A
Calcola re A " {cioè A , A · , . . A 7. volt.e) pe r ogni ,u t e ro Il . Lo
~t.,.t'!:<O
per n ".
~
Sia \/ = Af (n , n) lo spazio vetl.oriale d e lle ," .. t rici qu adrate di o r dine u . Stabilire q ut'li
V" (:OHi tu isc.;ono u n ",,-,ltOHpl:l.'Zio \"ettori ...h. di V :
a ) L ' insieme d elle matrici di \ f si rnmetrich<OL
dei 5eF;Uenti sottoin"iem i di
b) L'insieme delle matrici di V t liangolari a lte_
L ' im, iemc d elle m atrici d i V tri;mgolari.
I.'insieme dell e m atrici di V diagon ali.
L ' insieme d e lle lII&uici di V avent. i tutt i g li e ltmltm l i sulla di agonale prin ci pale u g ulÙi a U.
L ' in.sieme d elle mat ric i di V a\'enti tu tti gli d~Ul"l1li ~ulla d iago n a le p rindpaltl u g uoJi a lg) l ' ins ie m e delle m a t,rid ch V aventi determinante divr ,r ~o d,t ?..ero.
N(' i c asi in elli ~ i è ri"'J>{),;to aft",rma t ivamcnte a ll a <.lomc. u ua., d('te rm ill are l", d im(:wlio n e
del s<,t.tospazio . ( S(, lI on pj rie>;c:t~ a r ispondere n el CIIJW d i TI g .. nerico, S\lppùrrc Ti = :1 e
r agionare in q !lesto caso).
e)
d}
e)
C)
4- ,Ha l7iei e tra.sfmm uzi on i linmri
El)
Date le matrici
[)
1
(, -1)
B =
3
93
2
O
O
- 2
ealn,l,ne, dopo aver vel'ificat-o c h e l' operazio ne è betl d e finita, (u t i \iz,",and o eve n tua l mente
ancl ,e un s oftwan' o ppo r tuno Iwr ,,,,,,,,m pio. ],.[a.tla b)
( AD )"
G
( AB)- l
D ifIl()slt'are il teor e ma di Bi llet per le u w,lr ici 2 x 2, o ssi a : dett e
A ~ ( ~ ~)
B
~
f)
, "
(,
yerific a re che det (AB) _ det (A ) ùe L ( D ), Gl.lcolando n 'plidtamcnt e a.mb o i m t:mhri d ell'u g , m g li""za .
E!)
S cr iver",. la , ,,a tri,,,, iIlve..,.,a d i
( ~ -"2
- 1
M=
o
S ia
Calcolare dt'~
(A :l)
G
Calcolar", il dete rm i n a nte delle s~' g\lent i matric i. Q u a n d o qU(~<;to "w m p li fica i calco li,
ll t,ilò .7.arc qualcu n a d e ll e pr opTie tà eSprc,;'H, d a l T eor elna "'. l i nvece d i a pp\kn re direttan,n,u"
la d e finizione.
2
2
1
2
1
3
f.I)
'Ctilizz-a ndo il " ign ifkat o g eo metrico dci det e rm i uante di un a ln atrice:
a ) Calcola re u A v con
u= 2 i - 3j ---'- k
v=i+ 2 j- · k
b) Calcolare l'a.re a del palallelogramma generat.o dai v"U.ori u , v .
c) Cakola l e ii. volume de l para llelepipedo generato da i vcttori u. v, w , Con
w = i- j
e u, v con>!' nd
m
p u,, ~o >c .
Scr iver e l a mau i" <3 i nversa d i ciasn, n a delle s eguc n ti ma t r ici:
o o
O
z
1
o
n o
.,
El!)
Capitolo 2 . Elementi dl geometria e (llgcb r"Q lineare
811_fl H_Il T .. 47 · S
Del erm inare il rango delle seguen t.i I1tatrici ,
3
fi
o
2
o
o
2
I
O
O
2
I
O
- l
O
O
2
G)
Siano u= ( l ,LO) , v =(O,l, O), w
p iedo generato da ti , v , \N .
5.
@
(0,0, - 1), Calcolare il voln"", . Ie.! parall r.!c l,i-
SISTEMI LIN EARI
5 .1.
Generalità. M etodo di Cra m e r
Applich iamo i concett i introdotti nel pa.ragrafo 4 allo studio dei sisteIlli lineari.
P er' sist-ema linear e s'intet!4e un si.sl.emlt d~ f:rl1l1lZioni algebriche d i..p rimo
,qtv.do.
Il numero delle equazio ni e quello dcUe incognite pORWllO ...oriare. P e r eRe mpio:
2x + Y - 3:;:...;.. 4 1L' = - 1
{
{
-
2 equazion i, 4 i ncognite
Y + 7z - 6 w = O
:1; -
7x - 2y + z = 8
0 , i x - 3y + 4 z =
3 equazioni ,
~ incognÌt,e
v'2
(5. 1)
X-i-Y+z = O
3 equnzion i, 2 incognite
x -y=l
7x + 2y = O
{
8::r +y= I
Generalmente s i scrivono a l p r imo membro dt:lJlequaziollt' le incognit e, m oltiplicate per i loro coeffic ienti: 11 secondo Illembro i t .. rrnini noti: se questi sono tutti
nulli , il sistenla ~i dice omogeneo.
In questo paragrafo ci occuperemo d i s itit emi nei quali il nume ro d elle equazioni u guaglia quello delle incognite. Per questi s istemi i coefficienti d e lle incognite
si possono ordinare in una lnatricc quadra.ta.
Per il sistema. (5.1 ) la matrice dci coefficienti io la seguente:
(
coefficienti di
7 -2 1)
0 , Il
- 3
l
4
,
j
j
l
x
y
z
-+
coefficienti delle incognit e nella l a eq.
coefficienti ùeUe incogn ite nella 2 a €<l.
coefficienti delle incognite nclla 3" €q .
Dat o un s istem a cii n equazion i in n in cognite (ch e chiameremo an che "sistenut..
n x n "), i l nost ro scopo è quello d i dett'rrninare le eventu ali soluzioni.
Per soluzione si intt:nde
a lle incognit e, soddisfino
f.Lnfl
n -upla di nume " che, sostituiti ordinatamente
Rirnl!ltuT~eamentc
tlstte le cquo;;;;ioni del sist ema.
9.
P er e;em p io la cop pia di nu m e r i x = l c Y = - 2 è SOlU2-i9 l1e d e l siHt.ema l'lf!gue nte:
{
2 X - 3 V =8
x + 7 y = -1 .1
(5 .2)
Una domand a natu rale lòl q u c:slo punto è la scgut:!rlle:
" Un sist ema lineare d i n ~i tlazi oni cd n in cogn it.e h a semp re sol u zioni? Ed
eventuahnent.e, quante?"
Q u alch e sempbce ~mpio indica che vi sono t re po~sib iht à.
E se mpi
ax = b
Se
(l ""
Se a
Se a
5.2 .
=
=
(5 .3)
O la. (5.3 ) IUl llllCtl.ll u n'unica solu7j one d a t a da x = ~ _
O " b 0/= n, la (5 .3 ) non a m me U o: alc U Il 8. whu:io ne.
O c b = 0 , Qualunque x è ~(Jlu;,::iolle d e lla (5.3).
C'.on.sideriarn o il >'!isLcma di '2 equazio ni in '2 incognitI::;
2:.:+311= l
{ x - 2y= 2
Dt<.!l .. seconda e qu37.innc r ica\liamo
3:
ill tun"iont' d i 'II e la. sos tit uiamo "d I" p r ima. Oneniamo:
x =2y+2
{ 2 (2Y -'-2 )+:\V = l
Ri.o~olviamo
la oc><;o"da rispetto ad y " ",>stitu ia m Q il
~'<llore
fie li"" pri m I'!.:
A b biamo u ovato un' u n ica tili luzione: la cop p ia ( ~, - ~) . D ir e mo pertanto clte il fUst.cffia è
d ct en ninaw _
5.3.
x --"- 2y = 3
{
(S.4 )
x---t-2 y=5
E'l.i d " .. t..emente il sist e flu\ (S A ) Ìl 'impossibile; n On eSiste c i(,.{, alcu na. co ppia di numeri c h e
>'Iudd isfi simu ltaneam e n te le 2 eq ua.zioni in q ua n t o la somn u\ d i x ., 2" non p u Ò esse re ~ i mul­
taneam ente 3 c 5.
~
..
3 X+ 2 Y =1
{ 6x+4 y= 2
(5.5)
Q u .!1ila volta!! i ,,·ooe c he l~ ~ono1a. equazione è s t a ta ottemlt,. Illol ti p Lica.n d o ~r 2 i fllt<lI1 hri
della prima. Ne segue d le u.n a. d e lle d ue equ az ioni i l in u tile. O\ ...."e~() il sistema è equivalente
ad u n a sola d i ess<: , per _ mpio la pri ma.. P o iché d a lla p rima r icavia mo ti = ~ - ~ :r , n e
segue c h e il sistema ba li: Infinite solu" io n i
H -H
(lleT x reale q u a lull QU. :). Dire m o iII q uesto C"8-<;<) (:h.: il loi~ t e mfl. .: ù.d,,{ermi.!tatQ (auche se l:..
locuzio ne è al q ua nt o Im propr ia, potendoH i sempre (i l:\r f!. llrLB fo.-mllw. p.'r le "ol\lzioni ).
Conclu~ioIl e :
esist ono
,~is te mi
de terminati,
indet~ '''lI in llti,
impoM,ibib.
••
La matI"ice A dei coefficienti è
aH
(l:;n
A=
.
(
an'
Uni
int roducendo i vettori {:olanna.:
x
~ (~J
(d elle incognite) c b
~ (t: )
(5.8)
(dei t e rm ini n ot i),
b"
il sistema (fl.7 ) si può porre nella. fo rma matr it:iule seguente:
(5.9)
Ax =b
P er risolvere il si!:ìt ema ricorriamo all'ana.logia con l'tlqu azione scalare,..ax = b
dell'esempio 5.1. Abbiamo visto che , se a #- 0, l 'unic a. soluzione è x = ~.
L 'anal.cgo della wndinone a i: O è ora det A i= O. IlI fatti, p e r il t eorema sulla ma·
t rice inversa, se del A #:- O t:sb't e A - ); IIlo lti plicando a. " in i5tra per A -I e ntramb i
i membri d i ( 5.9) s i trovo.
A - 1(A x ) = A - l , b
Utilizzando la p ropr ietÀ. Msociativa pe r il prudotto tra. ma t rici, si ricava:
( A.A-1 ) x = A - 1b
ed infine, poiché A . A - I = l .. e I n. . x = x , :si o ttiene la formula M!guente, per il
vettore soluzione del s ist em a.:
(5.10)
Si osserva che , svilupp ando i calcali in dicuti dalla (5.10), le compOn en t i x,
(i = 1, 2 , ... ,n) d i x s i o ttengono dalla fo rm ula seguente:
Xi
=
IE d
JA I
(5.11)
dove a numerat o re compare il d e terminante della matrice E , ehe si ottie ne d alla
mat.rice A sostituendo, alla co lonna i-esima, la colonna dei termini no ti b :
B, =
(
an
a"
Q -12
b,
an
I>,
a,o )
a."
"o,
bo
aon
a~
. Tco ,onllA
>-e,"ma
In fa tt i: ricordando l'espress ione (4.1 0) della lIIatrice in\·e rsa. si h a:
come s i vede calcolando il c1e l.t!rmina nt e d i B i rispetto alla i-esilna coll)nna.
5.
Si.~t"rr11
lin eari
99
Abbi.anìo così di lliostra t.o un prim o iIT1 [lortantc risult.at o :
Teorema di Cramer -
Con sideria m o il sislc1na d i n eqv.(lzzoni in n incognite
Ax=b
( con A matrice (n , n) , bE IR" Q{jHfOgnat o c x E IR" incognito). Se dctA #- O, il
sistema è determin ato. ossia h a una e 1l1W .wla solu zione, a.ssegnata dalla (5 .11)
( o equivalentemente dalla (5. 10 » .
etnPiO
5.6.
Consid eriamo iLs ist ema:
2X+ y+3z = 12
4y - z = - 7
{ 5",
+8z = 34
41
O
-1
")
8
Poiché IA I = -1 , il sistema amlllct,t,e .'jolu7.iofl(: un ica.; dal hL (5. 11) abbiamo:
x
-
-
12
1
- 7
34
4
-
1!
12
-7
io
3
2
z = -
O
-1
5
O
l
~~
:U
;5
~ 2
8!
O
,2
y =
31
-
- 1
"
Sistemi omogenei di n equazioni ;n n incognite
Int.erpret.iamo ora il Teorema d i C r a mer per i ~istcm i omog~np.Ì:
Ax =0 .
•
In questo caso, se det A 0/ O, l'unica soluzione è x = O. ( Infatti, A- l. O = O).
V icevers1ì., supponiamo ch~ sia det A = O. Ciò significa , per il Teorem a
4 .2, che le colOllnp di A , aj , 8.2 , . . . , a " sono vettori linearmen te di pendent i, ossia
eSlstono n u meri
Xl,X2 , .·
n o n tutti nulli, tali che
, X n ,
Ilal
+ :&2 a 2 + . . . +
Dunque , detto x il vett ore (Xl,
X2 , . . . •
, )
.lX>.t
(
"n
xna"
X n ), si lUi
= O.
Capitolo 2. Elcmmtt di
HHl
c alge/n-o lmeare
g('~,metria
ossia: il ::;istcmt1 Ax = O in q uesto caso a mmette a.lmeno u na l;oh lzionc x Ilo n
b anale (ossia una so lu:t:io nt' x ;I; O) . Si liu ti , tra lt.ro canto, c h e se Ax = O, s i ha
anche. p er ogn i ), E ili,
A (.h ) = >"Ax = O
perciò in que:>to caso ItOl sol u:.don i del
mcndo, Rubiamo dimostrato il:
~ i $tern6
omogeneo
~no
infin ite.
R iassu·
Teorema 5 .1 - Il sisf_f'ma vmng f:nco di n elJllfl zirm i in n incogmte
•
Ax = O
ha soLo La .soluzione banale (x = O ) se e solo .se d et: A #- O; ha almeno mlfl
soluzione non banale (e in qw;.:;to MU ne ha infinite) se e solo u! d et A = O.
Cosa 8u cccdc invece a l Si::itt:m a non omogeneo quando del A = O';' A questo
rispondere mo completamente nel parag rafo 5.3 çul Teorema d i Roudlé-Capelli .
Possiamo fin d'or a fare per ò la :>egucntc ORser vazione .
Sup pollialUO che Xo sia una soluzio ne dci s istema omogeneo, o::;:; ia. AXo = 0, t::: Xl
sia una soluzione del sis~rna no n omogeneo, AXI = b. Allora A.nd l€ X:o + X l è
soluzioue d e l s i.c;tema non o mogeneo, infatti:
A (XI -r Xo) = AXI
+ A Xo = b + 0 = b
Se d e tA = O ::;appiam o che il sisi.e rna omogeneo h a sell lprc infin ite soluzioni. ~ tJ
conclu difl.m o che:
Se det A = O e il sistc.ma n on omoge.neo Ax = b ha u na soluzione, alluro. n e
ha. i·, .,finlte. l n altre parole, quando d et A = 0 , per il .,;l.lJtema 'IOn omog eneo 1.'icne
necessaria.mente a cadcf'f! O l'f! .~i.~ tctua Q l'lmicità della solu.zio ne; il s istema e
impossibile o indetennmato . Ved remo in seguito r:Oflle si pu ò p revedere se accad e
l'una l'altra cosa.
°
5.2.
Immag ine e nucleo di una trasformazione lineare da IRn a IR m
Per affron t a r e lo studio dci sii. t emi linear i d i n equazioni in ", incognite è ut ile
p ri ma studia re qualche altra prop riet à d d le t ra.::;formazio [) i lineari .
Se C. è lineare da IR" a IR·.. , s i dl l ama immaginc (3) di C. l'insieme dei vett o ri
di IR.'" c he sono i trasformati d i qualche veCLore Iii IR n . T a.le insieme s i indica. con
Im(C)
Se Y E Im(C) d eve essere y = C (x ) p er q\ti'Llehe x E ffi n .
L e propriet à p rincip a li d ell'immagine sono cspr~ d al geguent c:
(3) È "Il caso par t icolare della. deti n i", ione di im m agine di una fl..lW:;01ll1 q llAisjasi, data nel
capitolo 1 , paragrafo 9.
5 _ Sis t emi lineu,":
@N!_I)i!._O,. ",4 ,._5
101
Teorema 5.2
1) L 'insi emE Im{L ) è un sottospaz-io Fe ttori()Ù: d i. JR"'.
2 ) F i.88ate le ù(J_<; i in ID " t: IR 'T]., sia A 1HW m atri.ce di tipo
L . A llom
I dirn Im (.C)
- rango d i A
(7H,
n ) che 7up pTCsenta
I
Dimostrazione. L a p ropr;p-t à l ) segue bllbito dalla hn earità d i L : Se y,
n,p E IR, si h a
=
L(x,), Y2
=
C (X 2)
C
n yl
+
,'1Y2 = nC( x !) --+- tJC( X2) = C ( n:x,
-+
8 x ~)
e p erciò anche a-Yl + /3y~ E I m(C ) esse"d" il trasformato del vettore QX l + ;Jx~. li criterio
d i riconoscimento d ei sottoRpa.zi vet tori ali illlpJi ",~ ora che Jm ( C ) i, un 8Ottilllpa zio di ffi"' .
P er la 2 ), osser..-iaulo eh", dall a d imostr a:oione del t.<~orema d i r apprese llt a7. io ne , si ved ..
, C( u ,, ). Le co lon ne della m atrice A fIoonu le
e h ... Im{L) è g.; m,rato dai vettor i L( Ut), .
eomponcltti sealari degli C ( u ;). rispetto alla b,,_"'iC Vl ,V2 ,.
, v'" in IR""' . Se r t ra ques te
colonne sono in dipen d e n ti i c on ispond "n ti ve ttori e (U j) SOIlO indipen den t i e ViceWln'-a. Da
dò segue su b it~, da, r = d im I m(L) .
D
Da qUf'-,>to tcorCllla seh'Ue sub i t o che lt: matri ci chempp rescntll.no (rispetto a
bas i di'vc rs e) la 8tes.so lra-sfortnazione lineare hanno lo stes80 ra-ngo .
Il n ucleo d i un'applio:.:azio nc line a r e L !:òi indica con il s imbolo K e r ( .c) {41 e d è
l'i n s ieme dei vetto ri di IR" t.:he h ann o COlne i mmagi ne il vettore nullo d i lll "'. In
simboli
Ker(L: ) = {x E 1R" iL (x ) = O E IR"' }
A nche Kcr (L ) è uno '.:lpazio vettoria le ( lasciamo l a facile verific a a l lettore). Vale
l' irn portante formu la che leg a l e dimens ion i di i unnagine e n u cleo per u na g enerica
tra...., formazio ne lineare L:
(5 .1 2)
Dimostifazione. Poniamo k = di", Ker(L) e scegliamo una b ase Wl , W2 , ... , Wl<- p " r il n u cleo.
Aggiullg ialllo a q Ue:'ita base altri n - k v«H o ri li nearmen te. indipendent_i U l< ~ l , .
, u" in modo
c he
form in o un a ha..">C p er IIl" . Se x è un g enerico vettore d i JR" si p uò perciò M:rivere
x=cq w ,+ ·
Esse ndoL(w,) =O, Vj = 1,2, . .
C (x ) =
, k,~ib a:
et",
_,.c ( U ~+ I )
+ .. . + o"L( u ,.. )
per cu i l 'in~i"me de i vettori V"+l ~ C( u~ +!) .
v " = CC u ,. ) risulta un s istema di generatori
di I rn(L) " qu in d i dimlm (L) .'S T I - k _ Facciamo vedere ehe, in realtà, i vetto ri Vk.Ll,_
, Vfi
801 10 itluip endent i , P('l' c u i d im I m ( L) = n - k e la formula (5_12) è rl irno!;t1'3ta. Se fo~!"ero
linearme nte di p.,,,d enLi >oli avrebbe
O = 1'1,,+ ] Vk ~ l + - - - + .3 " v "
= /h ~ l L ( u ~
I ,)
+ . .. ---'- {Jfi C ( Un)
nucleo, noc.ciolo_
= L (8,,+ ) ll~ + I
+ --- + /3" u ,,)
.02
Capitolo E. E lernt!nti di qwmr:fT"ia e a lyelYm l ineare
@1<&-08_0754 '1'_II
cun qualche;J; d iverso da "eTO. C i,"} im plicherebbe che il veUom nOn nullo Jk . , U k ~ l .; _ . , . 1[3" u " E Ker (L ) : m a allora questo vettore,.;; p()trebbe M'r ivere come comhinm7,ione lineare dei
'\Vi , fl.l:!flurdo p ercl,é i Wl e gli lI , o;()UO tra loro i ndipendent.i.
O
Esempio
5.7. Sia L la trasformaz ione linea re da
fl('nt ata dalla mat ri ce
n 3 jn n 3 dI<!.
~
A
(-i
-I
- I
"
2
r i.'lpdto a lle ha.';; canonich{'. è rapp re-
n
Il mngo di A è r = 2 . e:N;endo la te rza colonna ( o riga) ':!omma d elle due precwlen ti e
l-i
D unque
di m Im(C ) = :'.
d irn Ker(L) = n - T= 1
P (,r determi nare !'immagiuc di C, calcoliamo
A
(~; )
X3
P oid.é il:! = '/12
(-i
-1
+ 11' , I ",(e)
-I
3
2
O) (",)
l
l
X;z
X3
coincid e "'.0\ p iano di eqtlmdonc
Yl+)h. - Y3 =O
De tto altrimenti: il gene rico elemento d i I m( C) è del tipo:
y,
(
"'
)
111 -,- 1/2
pertanto una base d i Im ( C ) è cos t ituita dai 2 vcHo ri
P er dete rminare il nucleo o<;çorre r isolvere il "i",tem a u m ogeneo
Dal 'laale abbiamo omesso la tnza equaz ione, in qu anto d ipendente dalle p rime due.
trova subi to
per cu i i l g ene rico vettore del n u clf'<.J è della forma).. ( _
~)
, ).. real e .
Si
____csc. 8i., lcrni lmeo.ri
103
Trasformazioni iniettive e suriettive
Se I m ( L ) = lR"", si dice che .c è suneUi lUl .
Ciò s ig nifica c he l' e q uazione L (x) = b ha alrn eno u na soluzio ne x , comunq ue
s i assegni il termine n o to b .
Se K er{L ) = {O}, si di ce c he L è inictti1!a .
Ciò sign ific a e h e l'equazione L ( x ) = O ha solo la sol u zione nulla . Per la
linea rità di L, quest o è eq u ivalente ad aITernul.rc cbe l'equazione L ( x) = b ha al
più u na soluzione x , c'OnlllIlque ~i assegni il term ine no t o b. (Infat t i, &:! Xl,X2
sono d ue sol uz ioni d i C (x ) = b , p er li llearità C (Xl - X2 ) = b - b = O, dunq ue
Xl =
X2 ).
Se L è inie ttiva e s urict tiv-a, ~ i dice che L è bii dtiva; la co rrispondenza s t a bilita da 12 è biunivoca. I n t a l c a.so l'equazione L ( x ) = b ha u na c una sola
io'o l u zione x , co rnunque s i assegn i il terlllinc not o b.
Interessan te è il ca.50 in cui n = lH . In tal CR.<;O la (5 .12) i m p lica
I dim
Ker(L) = O ~ dim Im (.c) = n
I
e perciò, p er trasformazioni lineari .c d a IR,n a ili" , iniettività equ.ivale a s·urielti"tità
(e qu in di bi univoci t.i't.) .
Det.to Il.ltriment.L se L è una t rasfonnazione da ffin a 1R" , per l'equazione
L (x ) = b si p uò a ffermare che c'è ~.sist e nza di soluzioIle (per o~ni b ) se e solo se
c'è u.nicità di soluzione (p er o gni b) .
Sempre d a lla (5.12) , infi ne , s i legge c h e se n t=- fU la trasfo n n a:l.ionc li neiU"e L
non ptH! essere biun ivor:n .
Eset-cizi
tJ!)
•
S ia C : ]R3 -
1ft" l" trasforIua:.<iollc liw' ''Te Ta p pre;€ntat a n ella base (:anoni ca d a
A~( ;
-1
o
l
- 1
De t erm in are Ker (C ) . lIn(e) , le loro d i men~iolL i .' una lo,"" base.
CI)
S ia
e : IR.3
-.o !l{2
I... t ras formazi o n e linearc ra ppreN.',ntata nella base canon ica da
2
O
Dete rm inar" Kcr (.c), I m ( C ), l.~ loro di m .msion i e una loro b 35e.
G
S i consideri la base di lR.2
e,
( 1.2 ); e:.l = ( 2 ,O)
e sia C : IR~ _.~ lH. 2 cosÌ Jcfinita:
.c(oel
+ t }e2 )
=
( 20
+ .d )e,
- [Je2
a) Scrivere la l!tu trice che rapprf'&enr a C risp"tt<l u lla ha...«e e"e2 ·
b ) Snive re la matrice che rapp rc",,"nta e r ispe tto aHa b'L'ie canon ica.
c) Deter m in are Kn (C), lm ( C ) . le lor o d im ensioni e lilla loro b ase.
C apit.olo 2 _ ~k",e;r;.f': d. gcometria e al.gcbrCi linea.,..,
104
G
S ia L : !H,l
matr ice A ,
--+
@ ......... 08 · {I'l'5 _H_ 8
1It"' la tr:l.3fo rlna",;on t' line a re n.ppre"elltata nella b ase canon ica dalla
A
~
(
- 1
3
2
-1
Determinare K "r( L) , I m(L } , I" loro dlluensioni e \l]m loro h"..';,,-
(ti
Si cOIl&ideri la trasformazio ne line&r l' L rappresentata dall a m a trice
()
P e r quali va lo ri <i d p,ar""'''trQ n ,
Per quali dim Kcr ( L ) = 17
et)
S ia
f ; rn.3
--+
m. 3
,,€ inicLtiva?
-1
()
O
2
P cr quali è Eur icniva'? Per qual i è hi uni v'<:lC,,1
la t-rasform=ione lineare defin ita dalle relu" ioni:
f(" ,)= e,
- e~
f(e?) =c l
- e~ - e:j
J (<':3)
=
e2 -
€3
dove "l, e~, " .l SOnO la b'L<;'~ L'anon iCi< i l! IR3 . Dire se f è in iettiva, se (, Sll riett i '\~,,"_ ~"è 1,;univo<:<,I.
Determinare d iml m(f ) c il Tango d ella m atrice che rappresenta f.
5.3.
Sistemi generali. Teorema di Rouché-Capelli
Consid e riamo ora i l s istema
{
a ll I)
+ a 12X.., -'- .
+a.lnX n
an
+ a-n ~C2
+a2n:C n
I i
= b)
= ~
a~:,x,
t~o~t i t uito
da Tn· equazion i in n incognite, (m , n q u a lsia.'i i). Sia A la matrice
Cm, n ) de i coefficienti del sistema. P ens<:Lndo d i fissaTe in IR n e IR'" le ri"pettive
bas i canoniche , sia L lR" --+ IR""' la t.ra."formazione linea re rappresentata da A.
li sisteHIU lineare può dunque riscri versi nella forma
L (x )
= b
o anche
Ax=b
<.:on x E IRTI) b E ili"'. R isol ve re il s istelTlll ~ i g ll i fiea trovare quali vetto ri x E: IR"
h anno come Ìln map;ille tlttraverso L il vetto r e b E IR"'. Vale in proposit o il
seguente r i\;ultato:
Teorema di Rouché- Capelli - Sia A la mat1""icc dei cot:ffìcicnli dP-! $islcma. (5 . 13 )
e B = (A:b) l a 1Im/ricf'_ c.{Jlflpleta, ottenuta ()f'lundo la matri.,.e A con la colon/1ft
dci termini noti. A llora il s istern/1 ha soluzioni se c s olo se la matf'icc A e la
rTtutrice B hanno lo ste$$o fungo .
es' 88~07~'''7_ S
5 Si.stemi lineari
105
Dimostrazione_ P er q Uil nto prem <'!'<so alr emmci uo del teon " na , il ~iHC(lj"" risolubiie Se "
solo se lo f'l m{L) . Ind ican do eon 8 1, a 2 . ' , 3 " le col, mne di A e con e J i vettori della ba5€"
canonica d i IR" , .si ha
Ae) =
""
c ioè le colonac (Id la Illa!.rice A so no i t.ra." ror"",ti dei v.:Hon dd la ba.<;c (~ ,"\O n i c a in JH.". Di
';( )f]wguenza, o~ni e lement o d i IlIl(L ) è combi naz ione lin ear" delle colon ne di A . perci,,; p",r
og n i ,,-e U o re x = L :r }e j E IR" s i h a
Ax= L
ol'j AeJ =- L
orj a" .
Dunque il SL'lt.c ma è soluhile ' se e solo se b è combinaz.i,me lin..,am , Iel!e co lonne di A, ossia.
ricordan do che dim Im ( L ) = rango d i A , se e so lo f.e
r"-"go di ( A lb ) ~ rarrgo di A.
D
Osse rviamo che, !:oe il s istema ~ olTl o ~eneo ( b = O) , la oond iòOIll:' rango di A =
rango d i B è semp re sodd isfatta. I n qUCfltO Ul.SO l'insieme delle solu z.io ni del
s ifltema f> lo spazio Ker( L ). Per la (5 .12) ,
dim Ker (l,)
+ d illl J m
(L ) = n .
Inoltre dim Im ( L ) =r<l.ngo d i A. P erciò se rango di A =
T
d i rn K er ( L ) = n - r.
Le s ol l,zioni del s i s tema omogeneo for mano uno spazio 1Jt-:tfor ia le d i dimensiune
1'1- 1-. Si dice anche che il sistema ha. ~:x:/.. -r soluzioni , per indicare che le soluzioni
sono infinite e d ipendono da n - T parametri (,rbitTar';.
Suppon iUlIlo ora che il sisterna non o illogcneo sia risol ub ile , ovvero supponiaIllo
s ia. soddisfatta l'ipotesi rle l Teorellla di ROllché--Capelli. e ch iediamoei : quante
sono le 5ue soluzio ni'!
Se il si.~ tt:"lna (5. 13) ammeUt! una solnzione Xl, le soluzioni de l
sistr:ma sono tu tte e sole le n -1l1Jlr ti€! tipo
Teore7na 5.3 -
Xl +-'4.)
al variare d i X o in K er( L ) (o ssi a al tHl.r-iare di X r, tra le soluzioni dd sitellw
omo.q eneo) . P ertanto il sistt:1T1-a nOTI omogeneo ha =,n ,.- solv-z'ioni, do ve r =rar,go
di A .
Dimostnt,ione. Se L (Xl ) = b c
L ( Xl
+
X ('
x ,,)
E Kel ( L ),
=
I . ( XI)
+
L (x,, )
"--=
b
+O=
b,
perciò ogr,i r<-upla del t i p o X I -+- X() è s o lm<Ì" u{, d d sistema..
\,";ççvcrba. sia X2 una 50lu:t..io u e dd ~is t.< · m a, " dE' fi n ia ..'" x ,) = Xz - x: . H.i;'lJh.a
I , ( x c-) = L (X2 -X l) = L1xl ) - L (:x t)
0"7
b - b
=
O,
pe rciò Xc E':K~, r t L ) . Dunque x~ = x , + XI) con Xo to Ker{L ì , O!'Sia ogn i sol uzione de l s istema
si p uò ~"r i v"rc a qlU,.~t" m o do . P "i"h" x " d i pen d e da n - l' pll r a lnetr; arhitr ari " X I è
fi"s al. o, ,,"che la generica solllzione del si.3 1~~ llJa "O" omogelleo d i p "",Je d a II - ]' pa ramet ri
arb i trar i.
D
C api tolo 2 . E leu um h d i 9"" m~t ri a " alge bra lin('.o.re
106
Abbiamo fin q u i chiar it o le cond.izion i ch e per me t.t.o n o fi i decidere se il ~is t.flnta è
risolubile o n o , c in cas o a ffc rmat i'o'o a bbiam o "contato" le soluzioni. JJJus t r iAmo
o r a il m e todo con {'.u i s i p Ol'lson o e ffet t iv a m e n t.e deternl iuare.
S upp o n endo ve rificata l 'i p<ltesi
r a ugo di ( A lb ) = I"ti.ugo <.l i A = r
si può segui re il seguente s chema 1isolut ivo:
l. S i i501a un m ino re di o r cl ine T estratto dall a. m at rice A , non s ingolare.
2 . Dci s is tema si c on sider/Ulo solo le r eq (l~i on i corrispondenti alle r r ighe
d e l minore; le a lt re tn .- r equazioni vengono c limillate : infatti, quest e sono
auto maticamente sodd isfa tte quand o lo sono le p r i m e r .
3. A primo lllcmbro si m a nte ngono le T in cognite i c u i c o efficient i costitu iscono le
r c o lonne d e l rni non~j i t e rrn ini cont.enenti le a lt re n -r incogn it e si t rasporta n o
al seco ndo nlembro.
4 . S i o ttiene u n si$t ema d i r equazion i ed 1" in cogn i t e, a l qua.le s i p \lb a.J,?plie are
il m etodo di C r amer (o q Ufllunq u c altro met.odo si conosca).
5 . Le soluzion i t rova t e di p e ndo no d a lle n - r in cogn it e p o rta.te a secoudo mem b r o, che possono a.ss w ncr e valo ri ar bitra ri.
S i noti c he l'un ico caso in eu i il s istema è d etermi n a t o è q uand o r = n (si rico rd i
c h e n è il numero d i in cogn ite che c o m paiol lo n el sistema, mentre T, r a n go della
matrice, uguaglia il nllm ero di incogn it e chc si r icsconCl a r icavar e ) . S e r < n ,
se Il s is t.em.a è risolubile è semp re indetermina.to, con oc,, - r soluz ioni . f' o t ia.m o
a n c h e che nella. teoria. ef;po st a in questo p a r a g r a fo rientra in par ticolfLI"e il caso dei
sistem i non omogen ei di n equazioni in I l in cog ni l e , con d eterminante n ullo. c a..:;o
e h e e ra s tato lasc ia to in sospeso ilei parag r a fo 5 . 1.
E 5e m p i
5.8.
Cons ideri a m<l il ,",u,te ma d i q u a.ttro equazioni in tre in cognite:
{
. ~ Zy + 3, - 1
", - 21.).: =0
2 x + 8 y ::::: l O.: :: 3
2.1' +
. 2.: _ 1
Sì h a
C " -~ )
B~
2
-2
A _
2
2
lO
O
2
(5.1 4 )
o ,D
2
- 2
8
2
3
-l
10
O
[II ent r ambe le rn a tr içi la terz a r ig a s i o tt ie n e rnQltiplicand. ) la prim a p er 3 e ronra.endo Itl.
seconda. rnen t.re la quarta rigu ~ la 50fTllna d e lle p ri m e due . Q u ind i !"«ngo <Ii A .:5 2, r a n go
B
~
2.
E s!!cndo
det
(~
') =-'I:;é. O
-- 2
il ran go d i A e d i B è 2 . I n I:ml!e al teorelu a d i R.o uché-Cnpe lli il s is t e ma è
u c t ennin are le so lu z ioni usiam o la p rOCL.-d u l a ind k11.LU so J.lra .
riS<..~lu bile.
Pcr
'0
"-0>.0'""0':'""', '"':.:."',''--_________________________ ,5',-"S",""k:'""è'Cc""c'c,o...
a n,' _
1
h;.." liamo i] m inor"
~i
_
107
_; l "nrrisponde n te alle p,.irne due righe c d"" c o lonne d ì A .
2 . F.l irn i n ia m o la t..crza e la qU:arta ùol.u 3zione del sistenl8.
:~ . Portiam o a secondo m e mbro i term iai c onlenenti z.
4 . Si ottiene il s ;st€ma di d"" "q n azion i in due inco g nite;
X+2y : 1 - 3z
{ x - 2y _ z
Sot.tracndo la
;;<","',,, ... equazione dalla
prima, si ottiene;
X l-2 V = 1 - :IZ
{
4y=I - 4 z
, X = l - 3z - 2( 1-/ , ) = l - z
da cui li =
In concl usione le soluz ioni sono assegn."l.te da lla for mula
h
1-4
1 -
.:r = l - z
y ~
4",
-4-
(;on z arbitrario. Detto al t r ime n t i , le soluzio ni -suno tutti i vettori del tip o
(l - z, 1 ~4Z , z)
con z arbitr1J.r;o
ar bitrario; z .
5 .9 .
Il1 lfIWHl
reale .
Le HO!llz ion i s o n o :x: l
,
ovvero dipendono da un parametro
5<; a l ve ttore colo n n a
b~m
d" ' , i,tema (5,14 ) =""uiam o il v""o'e
il
r ~~ng()
di A è 2 il rango de ll a
B~
è 3. essendo il Iuinore
nuOva
(D
il , i,,,,, na di vent. im po"ibile , In""',;, m nn ',e
matrice comp leta
2
- 2
-1
H
lO
O
2
(A D O
2
11
- 2
3
diven;o d a zero _
~I
- 4
Esercizi
CIi>
R isol.<ere i s is t emi
i)
6x - 2y ~ - 2" {
--Ox
+
St = 7
3y ";'- 3 " -+ 12t = 1.1
ii)
3
D
Capitola 2, F.lemenh di gr.<'>metria c (ll'l~,.bc"c"cc'cmcoo=c~'--_______-,@~'<-:'c'o",'c"c'c'='o.c''''.,
108
CI)
A! variare dci
l >ar am~ui r~QIi
<l,l> (::aleol are il fall)!;\) della seguem.p matrice:
I,
a
b
'1\"0\ '1<1"<.': poi tu t-u' le soLu zioni d.tI "j,..lt~llll!.:
.y~r -+~ 4.11
~,
{
= 0
y+~=l
2~=
-
2
CI)
Discutere, al v ariaTI: deL parametro reale a. la ri~h.lbil i th () lII" no de l ","guente Ri,:; t clna,
c q ua n do è po&'ibi le fu.o!verlo :
: 2
a.x-T-'JY
{
CI!>
2 :r
+ '}!I
= 1
Stabili n~ per q uali valuri cli k. il sistema
x+y+z. ,...., k:
;z: -'- !l ~ z. =l
{
kx ~ y+
z = ··· 1
ammette un' unica 6Ql u;f,;ollc, e detenninada.
G>
DiSoGutere J' e5i~t (m~.a di soluzioni ,Ici sistema lineare m nngpneo di 3 '''Ill&zion i in 4
incognit.c x, y, z , t
hx - hy+t =O
:r - 2y - z=O
{
y + h"..!..t =0
~
Per q u a li ",,!.l o Ti ,Id parlllme tl'O h
f;
invertibile la matrk~
h
l
Oaloolare A
noto b ·'
"
" quando esiste Qua nte soluzioni hl\ il sistema Ax = b , al va riare dci tCllnine
Nei prollsimi dII'; '!SC~%1 .'i1 r.unsidennw SIStemi IlnQ? ' ·1 ,.~l Ulmpu
po.rometri oompk.~.S1. J.,a toona fi.! qui .~",,-i./uppo.tlJ si ilpp llca maUeruta.
e
r.nT1lpl,c~J<o,
contenenti
T rovare, v·)' <:(llll plesso, tuttO:' le SOll1~,;oni dei segll+:nti " iSl tm; (o ln og"nei):
il
'x-
{
Ày -
y "" O
.::=- 0
:1'-),., =0
{
.7'
ii)
r
+
,
z= O
... O
2y - À" z= 0
+
).3 y
x .....
y
. 2z - O
y
~O
2.1":
Y ,
y+)," ~
iii>
{
:~
-
_
z= O
6.
A " t ot,ettn r' ed rJ.utotJal<lri_ {) ia.gon"lùzazione
109
~
Di~ lJkT" . a l v1uiaTc dc! paramp tro compl".~.~o À . la ris o l"hiliti. dei ;.isl~' mi se!!;llent i e
C"3k"hue esp l icita" ",,,\.<; le solu z ioni , q u [tnc1 o esist o no_
{
J;
.j-y+
ÀX
x
6.
6.1.
+
,
~ O
1. "- = À
,\z
= O
>x
{ix
2y
~
,
~ O
{,
2I
- ,, = 1
:1:
I-À3 ~ y + z)
~
-1
+ )'?JJ
-
, '"" 0
+
y - l..<= O
-
"
~O
AUTOVETTORI ED AUTOVALORI. DIAGONAlIZZAZIONE
Miltric.i di.agonalizzabUi
Consider ;a u lO UTla trasfonnazione C da IRT< in sé. La r app r esentazione di L per
mf'ZZO di u na ma trice A ( ili q uesto caso quadr a ta di o r di l le :11) di pend e dalla Rce lta
della base i n lI{". È. chiaro che se si polessf' &ceglicr{:' una. base r ispetto alla quale
L fos."t' Hl.ppn~fient ata d a llna nlatricc di fornI[\. speciale, per esell1pio diag()Jlale, si
avrebbe un indubb io vantaggio , ahneno sul piano dell 'e;ee u"iolle dci calcoli.
S u pponiarno, p er eseln p io , che un1l. t ra.<;fonnazione L 1R3 ---4 1R 3 , r ispetto ad
una opportuna base, si possa rapprL'5entare wediante la ma t rice diago nale
o
C,
A
=
dò significa che la t r m;fornlaz ione y
c,
U
O
(
=
O
L {x) ris p e t to a questa bll..' w s i SCTlve così.:
{ ~: ~~~:~
Y :j = C3 X .3
Si t rat.t.a di u n'espressi one particolarmente semp lice, i n cui o gni variabi le Yi d ip ende so lo dalla variabil e Xi, anziché da tutte c tre ( " sepa-razione d i variabili" ) .
s ip; nifica che abhia mo scclt.o un opportuno sistellla d i r iferime ut~) in IR:~ ( non necessarialnentc o r t ogonal e), rLo;petto al quale la trasfonnazionc
l'lgisce c o me una d ilatazione d i un cert.o coefficient.€ C ,; s u ciascun l'l...'lse. R isJ)€t.t.o
a ques t.a base i calcoli risul tano più sempli ci , e le p roprietà d ella t.rasfornlazione
appaiono in Illodo p iù t r a.'lparente . DirenJO in questo CIl..<>O che la lrvsfoI-rrul zione
Ceo~c tricarnente,
ha. forma. d i ago n a le
COlll i nci a lllo a csmninare corne calnbia la ra p prf'sentazione di L cam biando
la base in IRT>.
, e ". Scegl ia.rno
.supponiaillo che lI{" s ia riferito (:I.lla ba.<:e canon ir:a e 1 , e 2
n
l
2
o ra n vett.ori l inearrnel lt.e indipf'nd ent i e , e , .
, e ed 8SSU luianloli COll1e n uova
base . La matrice
S = ( e- 1.le-2 1.
le" )
,e" r appre se nta , Ile lh hase ea.ottenut-a a.ccost.1:\.ndo i vettori (c o lonna) e 1 , e2 , .
bas
e a ll 'altra. InfitUi, come s i
nOlll c(\.. la tra.sfornluzione c he fa passare da lllla
verifieu subit.o:
Se'
,
1, 2 .
,11-
110
Capit olo 2 . b'lementl d'i geom etri a e ulgebm imeare
Poiché i vetto r i è l 8<) n o ind ipendenti , dct S o:F 0 , q u ind i S è iuv ertibile,
p.
possia mo
anch e !'lcrivcre:
Se q u in d i u n ve t tore d i 1R" ha, risp etto a lla b ase c ano n ica, le coorùi u t<t e x =
(Xl , X'J, . . .• I,, ), l u~ l lll. n u ova base avrà coordi na t.t:l X: = (Xl, X:,>, __. ,x n ) d a t e ÙI:i
x=
Allo r a , se y
=
S -J x
A x n e ll a b ase canonica, risulta
y = S - ly
= S-IAx
= S - l ASx
e p f!rciò la trasformazione C , nella nuova ua.-::.e è l'a.ppresen t tlta dalla matrice
À=S -l AS
(6. 1)
S i d ice che d ue mat rici A , À lega.t.e dalla. relazione (6. 1) (con S ov,...i amente ~a.tricc
in vertibilc) son o equi.1Ullcnt i, O simili.
Quanto d e t to, inolt re , si p u ò r ipetere p ari pari per malrid a elementi COfll-
plcssi, vi'ite come tms fo nraA.Z..ion i d i C " in sé. D iaUlo om. un(}. d efiniz ione generale:
D e finizione - D iremo che urta matrice quadmta A a elementi in lK « lQ1IC
IR. o CV) è d iagonalizzab ile (.'tU n< ) se
A
=
n<
è
S - IA S
d ove A , S sono opportune m atrid a elementi in D< , A diago n ale e S non .'Jingolare.
La matrice S s i dice m atrice d i pas&l.ggio.
In quest o caso esiste una b ase di
II{R in c u i la t ra.c;for m azio ne ch e r ispet t o a lla
base canonic a s i rapp resentava con la m a tr k:e A , si r a ppresenta inveçc con Wla
m atric:e d iagonale. N e lla. nuova base, q u ind i , la trasfor m azione è p ilì semplice da
studiare, in q uanto ha fo r ma d iagonale.
Il problcllla c h e ci ponia.mo è quind i: d ata una mat.rice, decidere !:;e essa
è d iagonalizzahile, e i n caso affern lativo determi nare la matrice d iagon ale e la.
matrice d i passaggio. Questo pro b lema è lcg(ito l'>d un a ltro, che ora. intro du rremo,
quello della ricerca di al,tovalori e autov ettori della m a t r ice.
N o t iamo esplic it a.mente quanto !:;€gue: po ic h é i numeri reali so no p art icolari
nume r i comp lessi, una matrice (n, n) a dem ent i real i può ...-eders i sia. com e u n a
trasforma7.ione lin ea.re di n " in ~ che come tr3>!ifo rmazio ne lineare d i le" in sé;
in c ntranlbi i casi ci s i può ch iedere se la matrice A è diagonalizzabile. Ora,
può a.ccadere, come vedremo, che A sia. d ia gonalizzab ile su C ma non s u IR. P e r
u n a m a trice a e lemen ti reali , dunque, le due nozioni di d iago nalizzabilità vanno
d istinte.
6 .2 .
Autovalori ed autovettori di una matrice
Ch iediamoci ::;e esist ono ....e tto ri (non n u lli) d i JF( " ch e venp;ono t-n u,forr nA.ti da A
in vetto ri p aralleli. Se v E IK" è 1Jn t.a le \re t t o re , dovr à ris~ ltare
Av
~
>.V
(6.2 )
,0""","· ~,,,,·"","'"'"'c·o
"
_________ "G~,
A"toV<"ttori ed aut.ova/ori. IJiaqona/;zzazion€
111
per q u a k:hc À E IK_ In a l tre parole , ci stiamo chiedendu se esisto no particolari
vettol-t sui quali ht trasformazione ag isce come se fo sse d i t.ipo diagonale. In
C'tl CfI.'''O, preso un qualsiasi vcUo re iv parallelo a v ( t E nq si avrà anche , per
linearità:
A (tv) = tAv = (0. ) v
e quindi , in quest.o caso, pOSSÌruI10 affen nare che l a direzione di n<" i ndividuala
dal vet.tore v è trasfonnata in se stessa .
Scrivendo I nv al posto di v pos>iam o rberivere l'equazione ( 6.2) nella fo r ma
( A - ..\I 71 )v = O
In questa equazione i l vettore v (come lo scalare .A) è incognit o : le c omponenti
del vettore soddisfano perciò un s istema lineare omogeneo n x n . Sappiamo che,
p en.:hé esistano vettori v ( non nulli) che risolvono la (6 .2), dovrà ~s.-;e.re
D ( À)
~
!A - .\In l
~
O
(6.3)
P er esempio, per n = 2,
IUn -
.\
a:a
L'equfl.7.ione (6 .3) è un 'equazione a.1g~hrica in ,x , di grado H, detta equazione carot t er ù;tica. della matrice A j il p o li nornio D (.\) è detto poli-nomio cd mttcristico della
matrice A . QUeb"'t.o polinornio dipend e solo dalla trasformazione lineare, e non dal
riferimento in cui quest a è degc ritt.a_; i n a ltri t ermini, non varia se si sostituisce
alla mat r icc A un' altra matricc ad es.."lR equivalente. Infatti si può scrive r e
S- l AS _ .\1 = S- I (A - \I)S
e qui ndi, usando le proprietà d el d etermin a n te:
IS- ' AS - .\I!
~
IS- ' (A - \I ) S!
~ I ~ II A -
),Il iS I
~ D ( À)
Chiamerelno atltovalore della mat rice A (o della trasfor mazione dle la matrice A
rappresenta) qualsiasi numero). E C sodd i sfi l'equazi one caratteristica; chiam en
rClllO autovettore (corri::lpondente all'autovalore À) ogni vettore v t=- O Cv E IK )
che r isolva l'equ azione ( 6 .2).
:\:ot.iamo ljllbito che, Incutre un autovettore C<Jrrisp onde selnp re ad un unico aut ovalore ( pen;hé l 'identità Av = .\V de tennin a univocarnente À) , ad un autovalore corrispondono sempre infinit.i a.ut ovet tori, in qua.nto se Av = .xv , è a n che
A ( cv ) = .\ ( cv), come già osservato, c qui n di t.utti i ve ttori cv paralleli a v sono
pure autovetto ri relativ i a À .
Si o sse r v i c he , se la mat rice A è reale , il polinomio caratterist ico è a coefficient.i
reali p er cu i gli au t ovalori Sor lO rcali oppure a. coppie cOlnplessi coniugati. Gli
a.uto vet.t o ri possono e~ere bCClti i n Illo clo che agli autoval o ri real i corrisponda.no
autovettori reali e ad a utovalori compl essi coniuga.ti corrispondano a u tovettori
complessi coniugati .
Capitow 2 . E lcrn""ti di [J<èomdl'ia e " lgellm lin €u._r,,,
r. __________-'«)
,,' ~""-";;- o.,.r. 4 7-b
112
Esempi
6.1.
Trovare autovalo ri e au t ovettori della matrice
C alcoliamo
_ .\
l
i
det{ A - .\iJ ) ~
1
e al çola urlo il detcrrn i nan t." ,\a lla
:~ ..
G Li autovillori ( valor i d i
À
l -() .\ I
ri)!;3
(>. -,- l ) -I- ( l - À) ( - .\ ~- ),2 --
=
1)
\ ) (), 2 - .\ - ']) = ( l - >. ) (.\ -
(l -
=
Gli autovd.t-o ri çorrispon dent i
.\ = 1 t... k " is t "ma di\'t~nta
~i troVaJ10
2
r i;,oh e lldo il s istema omogeneo CA - \ 1 3 ) x
- x+y~x ~O
:I;
{
='
1)(.\ - 2)
che a n TlU ll aIlO il , lctermin ant e d i A - .\.h ì "OIl O
>":) =
c p,~rciò abbiruno
i
l
l - .\
O
=
[)
,~i" {
=
D, Se
1/+Z - 0
:r = (J
X -;- O
solu'",io n i d a t e d a
{
" ~ O
?J = - c
z = t:
COI! C p a rametro arbi trario_ QU {";t.~; SolU7ion i r appresellUUlo "",' v<>t_t ori, tutti paralle li t-nl di
lo ro. Uno q uals i= i d i eb~i s i o th:rril dan d o a c u n panico lar" VaIOTf' , p er esem p io c = 1 _ Il
vettore (
~~)
è jwrc iò '1Il auto,'ettor c della luatri ce A corrispondenti; «Il 'a u tovalor" L.
S e ..\ = - l , iL s is t ema diventa
x + y+z =o
{
x
+ 2y
x
+
=
cioè
O
--- !:
{, -,
y
~
~
2z --'- O
<
qu indi le s oluzion i son o del t ipo
{
e s i hanno anCOr il
S e ..\
=
2 , il
='
~iHema
x ~ C
y =- j
~ ~
z =
au t ovettori parallel i tr a lo ro ; UIlO di
es&~ è ( per c =
d iw'Illa.
- 2X>Y+'
x ~ y = O
{
:J; ~z= O
=
()
y _ X
o<.<.ia
{ z = x
2) (
-~) .
__--'ve·c. A uu.I1.'''uo'''''- ed Qllfoualol"i. Diagon{JjlZzaziQne
11 3
q ui"d i l ... ilolu2ion' <;Q" o del tipo
r
y ="
{
e si han ""
6 .2 .
anco~a
:r; l
~ ,
;::=c
'\1 , t<)\-"e ltol" paralldi tr a lo ro; li lla
di et-...i è ( per c =- l)
(i)
Trovare a l \t ov... l o ri ~ aUtovettori d e ll a matric~
A~
Si ha
d et ( A
,
.=
-À2)
(
I-A
O
- l
- Àl
- 1
, )
O
I .,-+
",.).
.
1 _ 0= À =± ~
(JlI lIl o \'alo n c<,m p l. :s-:i l:uni llSfll i) Questo spingI' n vedere A e.ome t ra:;for",a>:;(Inl:! lineare di
Ch2 in sé. G li all t ovettori cor n s\)ondenti a >.. = ; 51 trovano ri!'lOlvend o il sis tcm;j."
ciIX:
-i:l."+Y = ()
{ . :r:- iy ~ O
Si hanno du nq ue
di essi ...
tipo (
(!).
-i~)'
al
~li ~'>C )
'>1
:li = i.x
( i~ ) ' al
vllriare d i " E <L In p a rticolare , uno
Con calcoli Bllalo g h i !:lì vede c h e g li ilu((",ettorì n J a U"j a >.. = -i aooo d d
~-.lT-;aT': d , f: E
t'.-I!lSUHlO "'"1.>l l ori '" E
•
6 .3 .
aulo\'ettori dd l ipo
0 ........
m? trui
C1:
In part.i,:oJare. uno di """"i è (
_ ~) _ In quc..~to ca.."O
non
che A v = ).v_
Condizioni di d iago nalizzabilità
La. relaz-io ne tra il j)wblp,ma dell a di a gonalizzabil ità di u na m atrice
ricerca dei suoi a u tovalori c aut ovet.t o ri è cspre!;5a d a l seguent.e:
f!
quello dell o.
T eQt"ema 6.1 - La .,.,tatri c~ A è diagonalizzabUe ~u IK s e e solo s e IK" pt)iMi.uie Ufl a
di rwlovt;Uori dI A . I n tal- ca/w, detti h l, h ..h . ' , h " gli a-utQvettori di tale
base, c "\1 , ),2 , . _. ,..\" gl'i o-ut_Qvalori corri.çpond enti (),. E IK, non Ilcc€:ssali.ftmente
oo.,e
distinti), rù,ulta
A --= S AS d011!':
A = dia;; ( -\], ...\ ~, . .. ,..\,,) e S
=
1
(h l 1h z! .. ;h .. ).
Oiru ost~azione . S u pponi >lfll() d1<~ A ~i a d i a~onalì7l" flbile >:1\1 IK, o .... ~ i a va lga A = 5 :\ 5 - ' , ..,,,n
5 , A lTI aLrici a elemen t I itl lK , S rHm ,,;; n Rul are e ;\ diagofl ::. le. P erciò AS = S . \ . C h iall1a,\òo
). 1 , )."" . . . • )." gl i e lelllò:lnr i <"iella dillf',' }f1afe d i 1\ , f'. h l,
h " il> <-,olonne di 5 . 1'~'q ue.7.io nc
":l ....,
".
Capitolo 2 . E lementi d.i (;=mdria " algebra li""are
@&l.-08_07:\ 47_ 8
AS = S/\ si ri~;cri"-e Ah, = '\; h ; (i = 1,2, _. ,n). Questo prova che gli h i SOno ant~lvcttor i
i .\, ,.OIlO g l i aut..ovalori CQnifil,o",knti . Poiché S è u na m atrke non singolare, i vettori h i
sono indipendenti, e quind i sono e ffettiva.mente un",- b &ie d i I{n di au t ovettori.
Viceversa, supponiamo ora ch e esista un a. base di IK" di aut ovetto ri di A , h l, h ~ , . .. , h ", e
siano A" ).2, . .. ,), .. gl i aut.ovai<,ri <:orri,;ponck nti . Defi n endo IO" matrici A = d iag(.\l, '\2, __ o, À,, )
eS = ( h 1 Ih z l . .. : h n ). le relaz ioni Ah, = )" h i (i = 1,2 . .. . • 71) !Si r;5Crivo tlo AS = SA, c ioè
A = SAS- 1 ( l' invertib ilità di S segue d all 'ipote"i di i ndipendenza clei vettori h ;), perciò A
è diagona lizzabile.
Si no ti in particolare che una condiziollt> "cc,,~·.• arif1 ( ma n on sufficienteì affinGh":: una
matr ice n ,aie sia d iagonalizUlb ile su n=t è e h.; i suoi autovalori siano real i. '
i....
€
Esempio
6.3.
Studiam o la di ..goIlalizzabi lità o meno della matrice :
A=
(~ ~)
P".. quanto v isoo, i p ass i da seguire SO nO i segu enti:
l. D et€rnli nia mo g li a u\.Qv;" lo ri risolvcll<lo l ' equazione caratterist ica;
l
' I() A
2 _l
À
I=
(l - >.) (2 - À )
=
O ~ À = l , >. = 2 .
2 . Determiniamo gli auoovetto ri relati vi agli autovAl ori trovati. Ciò signHk.a r;soh 'ere, per
ciascun autova lore, il sistem a omogneo:
1(
(J
l ) (X)~ll
À
2 - >.
11
Per À = l:
{ y=o
y ~ O
p e ..ciò gli autovdt.ori "0[10 (x, O) ; uno di essi è (l , D).
P".. ..\ = 2 :
-x +y = o
{ 0=0
perciò gli a.u tovettori sono (x,x) ; uno di ess i è (l , l ).
3 . Osserviamo ora che i due aut(wcttQri ( L O), ( l , 1) sono indipendenti, pere:i':) SOIlO una
baH> di R? Pertanto A è d iago nali z:<abi le, con
:)
calcolan do anche
si può scriyere la relazione A = SA5- 1 .
Abbiamo così dia gonalizzato la matrice A.
(s) ~~· (c"o'~O'"',
_ ______ _ --'6è._A"'."t•• v,.<t~t~o~nèé<~dc.~.~"~,~.~'~oén,'-,v.""ag""o"noo"'";z=,~=~'.~n~<~,__,-,1,,,5
L 'i p o t esi de l t eor ema p r llcedent.e non è sempre d i ver ifica agevole , specia lmente se
le dimens io n i della m atrice non sono piccole . Vediamo quindi di comprendere più
in dettaglio q uali so no le s it U1!.zioni in cu i una m at.rice è o n on è d iagonaliu.ab ile.
D ium o anzil.utto q u alch e dennizione.
Si d ice che un au tovalore Ào ha m olteplic.ito algebrica T1l se Ào è una radice
d el (lolinom.io car atteri stico D (À) d i molteplici tà m , cioè se D (À ) è d iv isibilp. per
n
n +!.
(À ma non p e r (>. Siano À 1 ,À 2 ! • • . • À It ( k :5 n) gl i auto",nlo ri d i!';tinti <.Ii A ( n'ali o cOnlple&!i),
di molt.e plicità m l ,nt2 , ... ,m". rispettivamente. P t:r il Teorema fondament.a le
. .\o r
dell'alg eb ra ,
..\or
2:: ~1 mi - n.
L'insieme degli u.utovettori corrispondent i a ll 'auto valore ÀJ non è a lt ro che
U nucleo della. tra..'l formazione A - Àj !' Pil\ precisamente, poiehe ~r definizione
g li aut.ovet tori devono essere n o n nulli, d icialflo che l'insieme degl i auto ....ettori
corrispondenti all'a\ ltovalore À;. co n l'aggiunta d el vt:tw re 0 , coincide co n il nucleo
d eUa t,rasformazio n e A - .\; 1 . Questo spazio vetto ri aIe viene det to tl1ttOJlpazio
a.ssociato tlll'a u tova..\ore ). j, e la sua d irnem; iolle d j il d et t a Tnoltcplicità geometrica
di d j.
Valgono i tieguenti fa tti, che flon d im ostriam o :
Teo...ema 6 _2
a. A u l.ot'cltori relatiVI ad autovalori dis t inti sono liruw.rmen te indiperule1lti.
b. La m olteplicità .4eomr!t.ri.c;a di un (l.1~t ovalO H! non s upero la sua moltepltc,tà
a lgl:!brica: d j ::; 1n,.
Un 8 u t oyalore ),; d i ùke regolare se d j = m j .
Se un autova.lore è semp lice, cioè ha m olteplic it à
a lg ebrica l , anc h e d J d ov rà
essere uguale a l , pè1T,iò un aut ovalore semplice i! .~empre regolare. La distilll'J one
tra a u tovalo r i r ego lari o men o ha quindi senso p e r g li a uto ...-alo ri di moltep licitit.
a lgp.brica > 1.
Arriviamo così a l 6E'guenLc:
Teorema 6.3 - La matrice A Il elt!fnenti iTl lK i! diagonalizzabile su lK se e !Jnlo se
i RtiOi outovo[m'i sono tutti regolari. (Se.n< = IR. : "se e solo se i suoi auto1!alori
sono t lJ tti reali e reqolari ") .
Dimostrazione _ I nfatt i >;oe le. matr i<:e è diagoo ali7.7. >'I.b ile. IK " ha U Tl a h;u;e d i autow:tt.ori d i
A . Ora, se .\" '>' ~, .. , .\It sono gli au to ....a lori d istinti di A ("., IK = !R rf!ali percbé A
è diagon a.l i""ahilc ) , ciascun 6u tosp azio forn i."òCc d] Ml~lV(!ttori indipendenti t.rtl. loro ( pe r
d efin i7.ione di molte plicità !:"c<l no etrica) , e in dipende nt.i da q uelli deg li altri autO!;pa:zi ( p tlT il
t<:1u rcm a precedent e, p u ntu 11.), Il nume1"Q t o tale d i a ut.ovettorì in dipendenti è Q ~ti ndi
E;=I
D 'altro canto d j :5. mi c
Tn J = n; per dò l'u n ica p 05..;ibili tà p",r a..... ere n .. u (ov·ettor i
re"li "i ndi pendenti è che s ia d) = mj per Ol';ni j, qui n rli g li e.u tovalori sono regolati.
V ice .....,r,;", SUPpOTl iamo ore. ch" g li a.ul o ....a lori .\ ), À-:z , •. ,>.. ~ si ano t. utti r':goltui , q u indi
ogn i "ulospazio fo r nisce m ; a Utovettori in di pen d "'nti tra loro (c indipelld ... nti da. q uelli ehlg li
a lt ri a utospazi). In conclu tlio m" il n\lITl eNl l o t a.lc di autovcl luri indi pendenti è 2::;_ 1 m j = n,
du nque 1K" ,'" una base d i >:Lutovetto l'Ì di A.
O
,
Capitolo 2. E lementi di gromfOt,-ia " a/g ,, /'m ImetH'' '
116
Dal teorem a pTtX,edcnte seh'"Ue in p a rticolare che Si'- una filatri ce reale ha tuUi
yli autavalo rt rea li " .~emplt ci, è dùtyonaltzz abile su lR ; ~t; ha t-utti gli (lUto lialof'l
s emplici (ma n 0 1/ t utti reaH) è diagonalizz ablle .ilt <C. I nfatti gli a l1lova lori l:iemplici
sono a u t omaticamente regolar i.
E se m p i
6 .4 .
Si ....
A . _ (._~~)
e
d, ;",di~rnoci
se la matrice è d iagonalizzabile.
L 'cqua:t.imle c ara.tt""'J"i" t i(:a è:
),2 ~ l = 0 , ), = =1
qui n di non esistolto autovalori relli i. Pertanto A Ii OTI è di agonaliz" ... bile s u ]R. D'ah_m canto
gli auto ....a lori. io <1:, ...ono sem p lici, Qu ainrli la m atr ice è diagon aliu..\hilo su C.
6.5.
S ia
A- (.1 \)
-
Equa z iOl Lt\
1
c~r l:'t t e ri!ltiu',:
(>. - l) ~ = O =>
Cercando gli
alJto~-,-·ttori
À
= l autovalon.' doppio .
s i tWVI\;
p e_rt anlo l' e.utQl;pazio rela tiv o a ;. _
m a t r ic e n on è J iagonal i"'",abile.
6 .6.
O
l h a d im ensione l ,
l' au t o ,·~,I<lrl:l
non è regolar.:, .: la
S ia
O
2
U
Eql1 azion~
c aratter l.st ka:
(2 - ..\)~ (1 -- ..\) - 0 ,
pe rciò ), = 1 Il u tovalore 5emplke (q uindi r ego la re ), ), _ 2 'llltovalor e dop pi o. L 'autosp azio
rel a t ivo a ), _ 2 ~i determin a risolvendo il sistema:
O
O
O
che d à z =- O; perciò l'autosplL7io (:onsiste d c i ,'e ttori (:r.,y.O). e h a q u indi dimcw!ione 2.
À = 2 è rcgoh:u-e, e la. m at ric,~ è: dj,o.gonaliz« a bih'.
P e!" diag una. Ii:'<7,arla effCtt,vH u ' '':nt" , o ccorre calcolare anc he 1\[1 >lutovcttoTe re lat ivo D
À = 1_ S i trova, per esem pio, (-:1,0, l ). Quind i "i p uò porre A = SAS ·1 "'on:
(g
O
A =
2
U
D Cf
S ~
l
O
U
~)
Si noti dI" le u ltime due colonne della mat_dcv S
a ll' a u t o va lo n: ;. = 2.
S
0>0110 Una
•
~
(~
O
U
1
D
b..."" dell ' aut.u.~p.a.z.j o relat i\'O
• Osserva;;ionc. ;-"-cl caso d i autovalo r i Ilo n regolari Ilon l' po:;;;;ibile j,ro vare una
ma.tric e equivalente a q Uf' l b data, dle s i u. d iagoualc , È tu ttavia p os8ibiìc ridu rre
la nlatrice a.d una filrma "cano n ica" pi I') SCIlI plicc , d et.ta to nno di J onlo.n. n l a la
d isc\ls.<.ionc d i que:<to fatt.o ci p o rterebbe troppo lontano.
Matrici reali simmetriche
Una classe p articolare d i mat rici rp a l i che, COllie vedr emo, ris u l tano sempre diagonaliZ1.a hilL è quella d elle rn atrici si7n-rnr.triche. P er discut ere q u est o risultat.o
d o b bifuno però prilna introdurre un 'a ltra classe di TIl atrici che g I0cailo u n ruol o
in l p ortulIte in quest;o problcilla, q uella delle matrià or togonali.
Definizione 6.4 -
ossia se A è una
Una matrir:e A ,-ea./e di tipo (n, n ) .' fi dice orlofjonolr::
A . A T =A T· Ao-~I
~n ().tri Ci:!
8C:
non singo /u n'! la cui in v er$u coinci de co n la trasposta.
Ricordiamo che l a t. r aspo~ta A l ' di u na mll.tricc A è quella che ~i ot,tiene
scamb iando le righe co n l e eol olllle. P erciò se A = (a ij) , A T -= (aji)' I noltre , se
A, B SUllO d ue ma t r ici (n. n ). vale la pro prietà ( AB )T = B T A J'.
Teorema 6.5 ( P ropr ietà delle m a trici ortogonr.di )
a. A è una matdcc ortogonale d i tipo (n , n), se e solo St: le 8tH' righc Bono un a
base ortononnale di IRn , e lo SI.t:MiO vale ptT lf~ ('.alunne .
b . Il deienll:i.nunle di lt n a matrice ortogonalf. vale l o -1.
c. Il prodotto di du e matrici oTtagonali I; ortoga1wlL
d . La t.rusfor-r{~ (J.zione lineare rapprf'$cllta ta d a un a m atri ce ortogonale COllser'vu
il modulo dci 1}CUon: IAxl = Ix pcr ogn i. x E IR" , t: COnSC1'1Hl il loro p r'odotto
scalare: Ax· A y = x · y .
Dimostrazione.
a, Po n iam o
a, )
A
=
.~~
(
a"
La relaz.ione A . A
T
--o
I rià , ragio!l;l Il d o ""gli e le m enti :
se i = j
se i
O;O.S ia
.
. a j
-
{
1
O
,e
""
# j
= j
"j
il che significa cbe i vettori riga d i A sono o rto Jl o rmali (e quindi
i n tHH "ero n) . •' - n a lo)o'.;a rrH=·nte. p one ndo
;;<." ,0
una. b ase ,
~n <io
Cap'itolo 2. Elementi d i geometria e algebra lineare
118
la relazione A
T .
@
88-08-07447_8
A = I dà
~ . a.~ =
•
L=:
ak;al<j
__ {Ol
•• •
sei=j
se i # j
c quindi a.nche le colonne di A sono orl.onorrnali. Ilipercorrendo i passaggi all'inverso,
si vede che se, viceversa, le righe (rispettivamente, le colonne) di A sono una base
ort;onormale di IR" , allora A . A T = I (rispcttiva.mente, A T . A = I ) .
b. Dalla relazione A T . A = I , per il teorema di Sinet si ha
det ( A
T
)
-det( A ) = l.
Ricordando che del. (A T) = det ( A ) s i ha det 2 (A) = l, det ( A ) = ± l.
c. Siano A , B ortogonali.
T
T
(AB ). ( AB )T = (AB ). (B T A ) = A (BS ) A T = A1nAT = AA T = In _
Analogamente s i prova che ( AB )T . ( AB ) = In , perciò AB è ortogonale.
d. Con le not.azioni del prodotto righe per co lonne, il prodotto scalare x· y è x _, quello
dei trasformati è
( AX)T . ( Ay) = x T A T Ay = xT l ny = x T y
quindi il peodoto scalare si conserva; in pa.rticolare allora si conserva il modu lo dei
vettori,
o
Se n = 2,3, la trasformazione lineare rappresentata da una matrice ortogonale
è una rotazione ( del p iano o d e llo spazio, rispettivamente), eventualInente accompagnata da una riAessione rispetto a una retta (nel piano) o un piano (nello
spazio). Infatti, la conservazione del prodotto scalare in questo caso ha il significato geometrico di conseruazione degli angoli. Se n è generico, possiamo pensare
ancora alle trasfor mazioni ortogonali come a "rotazioni in IRn " •
Possiamo ora enunciare l'importante
Teorema 6.6 - Sia A una matrice reale e simmetrica. Allora A è diagonali=abile,
con una matrice di passaggio ortogonale, ossia:
A =
M.a.M T
con f!. diagonale e M ortogonale. In particolare, ciò significa che IRn possiede
una base ortonormale di autovettori di A.
Nel capitolo lO, paragrafo 6.2, vedremo un'altra applicazione di questi risultati
allo studio delle forme quadmtiche, argomento che a sua volta sarà u tilizzato nei
problemi di ottimizzazione in più variabili (cap. 10, par. 6.3).
Esempi
6 .7 . A titolo d 'esempio, dimootriamo il teorema per
di tipo (2,2) è
A~ (~ ~)
n = 2. La generica. matrice simmetrica
6.
@88-08-07""7-8
A utovettori ed autovalori. Diagonalizzazione
119
I suoi autovalori sono dat.i da:
, ~ ,("___+-,c,,-l-=±~";"-'(""-'+;;2c"l_'c::..:4,,(::cac=-=--""'~l
(a
+ c) ±
v(a
c)2
+ 4b2
2
Come si vede, il discriminante è sempre 2:': O, il che implica a.ut.ovalori reali. In particolare, il
discriminante si annulla se e so lo se
a=ceb=O
ossia S(l c solo se A è già un matrice diagonale. A Itr imenti si hanno 2 autovalori reali e
distinti, q uind i semplici, quindi regolari , e perciò la. mat.rice è diagonalizzabile.
Mostriamo che è possibile diagonalizzarla con una matrice ortogonale. Siano)q,)." i
due autovalori, e V I, v" due autovettori corrispondenti, rispett.ivruncnte. Mostriamo che VI
e V" sono ortogonali. Infatti :
D'altro canto la simmetria della matrice A implica che
VI .
( Av,,) =
VI .
( Av,, ) = v,, · (Avd , infatti:
""
""
,,"
L:>:
L a..:;~ = L vi LU1it4 = L ~ La;.v: = v,, ·(Av d
.=1
1=1
'_1
J='
;=1
'_ 1
Ne segue che )., VI . v" = ).,2VI . V" , ed essendo ).1 #- ).~ dev'essere VI . V2 = o. Bast.a ora
normalizzare i due autovettori per averne due ortonormali; la matrice che ha questi come
righe è quind i una matrice ortogonale, che diagonalizza A .
6.8.
D iagonalizziarno la matrice
A=
(~
t)
Gli autovalori sono dati da:
).2_ 2 ).= 0
cioè ). = O, ). = 2. Gli autovettori relativi a ). = O sono dati da x + y = O, cioè sono del tipo
( x , -x) , per esempio (1, -1). Gli autovet.tori re lativi a). = 2 sono dati da. -x + y = 0 , per
esempio (1 , 1). Possiamo quindi scrivere:
Si noti che i due autovettori scelt.i sono ortogonali ma non sono normalizzati, quindi la.
matrice S qui utilizzata nOn è ortogonale. Normalizzando gli autovettod, otteniamo Una
matrice di passaggio ortogonale:
120
c b e in q uesto <:"30 .-a~} pn""' l! t a un a. rotazioll " di ---4 nd piano _ La >;ua
l raSl'osta. p"rciò poss iamo scr iver,,:
iTl,"(T~a
i , ho I11atrk"
),) (0
1
Il
,,/2
6.9 . i.fa.t " :n' d.'lncr"w e assi. pnncip(lli d'ir.rrùa Couo.idcriamo la matrice d ' in e rzia di UIl
corpo rigido. (" , """"'pio 4. 7). f-:"<;s. ,,,d,, una. matri n' reale e simmetrica è "enz 'al t r o diagonaliz za b ile , con nlat r i"o; d i pll..',saggio oetogona l" . C iò s ign ifi ca d", ,,"~i,,t,, una tp rna di ass i
':>lrt6"ian i (ruotata r ispetto agli = i x , y, z o rig inali) r;:;;petto a i quali la matr ice d ' inc!">':;a J è
d ins, mah:. In q"'".;to s;s.em a d i rifer imento , la rela.zione t ra "-"!ocità angolare w ' e m o m ento
della quanti!.;} <Ii moto L' è sempl ice m",n t w
L; =J "w;
c o n 1 -"--1 , 2 , 3
Le d ir ezioni d i quest'i nllOvi a3,S!, oss ia le d irez ioni degli au l.ovettori della matricc . si d icono
ti 'Inerzia; g li autovalori cor r ispondenti ['Ono i Trwm.ent i principali d 'tnerziu_ La
d <o::s<.,rizioJl e d in a m ica de l s is tem a è p iù sem p lic ... se come assi coord in"ti s i scelgono g li a.~ i
pr illdpali d'i,,,,rz ia Se il corpo h a pa rti colru i s immetr ie, q ues ti i'Lssi s i pOSSQn o in d ividuare
con cOll"iJera"ioa i g <<ometric he , senza h i>l<lgn o d i diago ",,,.lizzare (a matTi " ...
(lS" j p rinci~i
Rotazioni dello spazio
Abbiamo v isto che una mat.rice o rtogonale (2,2) o (3, 3) rappresent a b'f'<.1metricamente una rotazione nel piane) o nello spazio . D elle ro t;v,ioni nel p iano abbiamo
g ià detto Jlfdl'escmpio 4.3. Soffermiamoci ora su l caso tridim ensionale . Dal p u nto
d i vista geometril:o , una rotazione nello spazio è d c1enninata da un asse d i r o t a ;done, e da un angolo di ro t azione att.o rrlo a q uest-O asse . P ossiamo per e;;empio
ind i vidua re una rot.azione con un vettore a n , d nve n è un versare che ind i·v idua
\'a;;sc di rotazione e O: l'a ngolo d i rot.azione a ntiorari a rispetto all'a,.<:..",e o rientato
COH I C [ l . Quindi una rotazione è individ uata da 3 p arametri indip e n denti. D'alt ro
canto, d al punto di v is t a algebrico, una rotazione è indiv iduat a d a una ma t rice
(3,3 ) ortogonale . Le eondi;r;ioni d i ortogonal it à (v . teorema fi .r;) implicano ti
relaz ioni indipendenti tra i 9 c:oefiìe ienti della matrice , e qu ind i i parametri indipendent,i chc individmlllo l a matrice sono~. Ch ied iamoci come t' i legge, dalla
mat.rice , l' in fo rmazione geometrica su quale ~i a l' asse e l'angolo di rotazione. A
questo risponde il pro;;.siIJlO:
Teorema di Eulero - l/n a motrice Ivl ortogonale (3, 3) ha sempre un autovalore
'u,gualc ad 1 con un auloJ;etloTY: reale, e due autovalori complessi coniugati di
modulo unitari o, e i « , C- i"', per qualche CL Il versorc n dell 'a1LlmJe ttore reale indirn
l 'asse d i nJtazione, ment.re. il :m l n~en:' (.t i ndi_c.a l 'an.'1olo. L'angolo Q si può anche
calcolaIT di.re!tt).mcnt(; dal/a relazione :
TTl\.1 = l
+ 2cOSQ
d(me Td\tI (tract:ia d i !'vi) indica In $(J1/tma· degli elementi di J\.1
nale prin cipale
po.~l. i
ln/llo. diago -
(c)
____ ~~ _ _ _b_~__
5S-0S_()7,,47 9
_,'_,_,_'_o_'_'?'tto-ri
-,',2"'c'
ed autm'auwi. Diogo·r w.lùuJ,zi or,"c'__
Esempio
6 . 10. I.f, T<>la:l i o ni ,i i "-ngolo n atto r n o agli assi
R r (n ì
~
(~
O
co~
CI"
.sin 0,-
::1:,
y , "' so n o date rispett.ivalll Ell t p da}!" mul r ic i:
o
Si~H )
R~.
( o:)
cosu
COS ù
R . (n ) = ( - s in n '
O
1
, in" )
O
(]
ros '-'
" in Cl
cos o
O
Il le ttore verifid , ; .s' l qll€"ae m a t ric i I" " fferma", ;o Tl i de: T h )r"ma di E ule ro .
c;t)
Calco lare g li auj.ovalori ( rea li o com p less i) (~gli 311 i.o'lie ttor i c orrispon denti I""r l€" ..-.eguent i
m atr ici:
A_ ( 1 -1 ) A_ ( 1 2)
-1
2
- 4
c ~ (,:J - ")
l
2
D ia gonalizzare p o i la m atrice A .
~
T rovare autova lo ri c 3\l\.oveHnr ; delle ~egue nt.i matrici:
i)
(: :)
l
1
1
ii)
L o student<' può iuunaginar.; ( ~; p o i ce rcare d i d imostr a r e ) q u ali sian o gli ". uto\'alor; e i
autovettori ddl a mat.rice n x n c o n tutt i g li ekmcllti u gual i a I .
{'orri~po r"kll t-i
~ Detern,; n ".n: a llt-ova lori e auwvcl1.o ri della f;egu e ll tc luatric<~ ; s'~ " possibile, diagonaliz~
zada.:
A
@
DiH' se le »eguellti m a l rici han n o autovalori regolari o no:
O) B- (2
"
~
-
O
I ).,tenninare i valori del parame tr o k p er i q ua li la Ilk9.tric e :
~
D.nerminare una
Oal<tl
() r!.of!ormale d i a u tove tt ori d d h:\. m a l rice
A
~
o
(
b O2
- l
3
In
Successioni e serle
qUe!';t-O C(lr~
ci occuperemu pre ..-alentemem,e d ci c<ùcolo iufinitcsimale, d isciplinI!. matematica c he a ffon d a le sue radici nella Grecia d ci Hl secolo a .C. ( E ucl id e, Archimed e ), ha. un g rande 5"\-i luppu a partire d a.] Seicento, parallela.me n t e al nascere della scienza m oderna, in particolare ad o per a d i NewtOIl
p. Leibniz, t.ra il 1670 e li 17 10 circa: .... iene Cjl1indi sottop osta. a revisione crit ica e fo nd ata rigoro':lamcnt e nl"ll'Ot1:ocelltO. p rima. da Cauchy, ncl 182 1(l},
p oi da \Vcierst rass e <Il'!. vari a lt ri mat ema.lici (H einc, C antar, Mér R..)', ... )
into rno a l 1870. Le idee c le tecniche di calçol0 p ro prie dì qUeita d isci plina.
fanno oggi part.e del bagR.gEo e!>:senzìale con r: lli scie n za c tecnologia si esprimono
c p r ocedono.
Il fo ndament.o con cettuale ùel calcolo in finitenimaJe ::sta nella n oz io ne d i li·
mite (D 'Ale mbcrt 1765. Cauchy 182 1), che q u in d i p uò A. b uo n diritto coni;idera n!i
lUla pietra m ilia.rf! nella st o ria del pensiero scient ifico. :-':oi int rodurremo questo
com.:etto grooualmentt:!, p r ima. nel caso d iscreto (p a ragra ro l di questo CApit o lo) e
I)oi in q uello continuo. in cui :storicam ente è finto (cap . 4).
Nel contest o d iscret o, il lim it e si può vedere eome un'opcfuzione ch f! , a diifere n :.o;a, d elle o perazioni ~I r.lebri che elementari (somma, p rodotto), viene et:It:!gu it a.
1lon su untl copp i a d i nu m eri ma. su una succeSI.;iOfle d i infiniti n umeri. P er p rima
cosa introdurremo quin<ii il eoncet.t o d i successione.
l.
SUCCESSIONI
1 .1.
Definizione di su ccessione. Definizione di limite
Consideriamo l'insieme !'\ d egli interi n on neg ativi ordin a to sec..."Ondo l'ordine nat.u ra le
IN : 0 , 1, 2 ,3, ... . 11 ,
..
Q uest o è l'es empio canon ico di su c<.-es,..-,ione . Stabiliamo (J f a una legge che assoda ,
a ogIli elemento di IN (o d a lll} certo iut.e ro in p o i) u n numer o (reale):
n
1----+
(1 "
(l)Corso d ì A nalis i per J'&ol() P " lytecflll ique di Parigi .
SU(;(: ".~.~iorti
Cap it o lo 3
124
e
5""«
Ch ianlerenl O 51/Ct:cssionc una t ale corrispondenza.
l'na s UN.'€s.sio nc può dun q llE:: vedersi COlIl €: u na hlJl.l _ioHe
f
N - dR
f
n , _4
(1."
( o eventualme nt.e, f: {n E 1N" :"11 ~ no } ---+ JR, per \111 certo TI;) n ssl:ìto ). Il fatto c he
i l dOlui nio della funzione f sia l'insiem e dei n a tura!L r ende p o ssibile v i:;Wl.l izzarc
la s llco:;essione elJ\lIlIerij.rJ do i s uo i Y<ll ori. nell 'ordi ne in cui f'ss i s i succe d o n o al
crescere d i n (2ì :
, a ro , .. .
Esempio
1.1.
2 0
n
n ?,
n
~
il ?'
,
n 2:
n
~
n 2 2
n
. ~
,
n2:0
,
0 , 1, 4, 9 , 1(;, .
(_ I)"
n
()
n
.~ ~
.~
'.
2- '
l
n
n+
l , - l , l,
2.
-1.1,- L .
v'2, .v2, .;12. _
1
1, 2
. ,
l
3' 4
il
(j
7
ll. -
.~ , 2,
4
-1,1, 4 .. . (successione costa"t,,!
3' 4' 5'
Possian lO rappre.~ntare g r uncunu? nte questa corris pond ellza con
cartesiano di coord.i nat e (n, a,,) (v. fig. 1)
punti d el p iano
•
,
,
j,
•
li ,.
•
,
3
•
•
., "
•
c
•
, ,
•
"
,
- ~-+ -
a)
n -----+ n 2
bl; 71 0-------> (-_ 1)"
Fig ura l
(2)1 pu nt i n i d i bospension;> __ . suitti nella fonnlll a seg,,,," te dopo a" sono fCllld a Jll€ llta l i: s ignific.all o eh., no n st_;a rno c Ofl-;;, !<"-and , , soltanto i p ri m i n t e rm ini Je lla »u eces;; ione (cioè "n
im-,ieme r, ,, i to d i Imaw,.- i) , ma !'inte ra ",ucc e&~ io "e di i nfi lti ti l ermini (in cu i 1t gioca il cno lo di
in d ie", H\u t OJ _
..
125
_------
S o tto li neialllO c h e la o; ucccssi()J!e è Ilo t. a quànd o è no tu la. legge che , dato Fillt e r o
n, d eterrninu il n ume ro Q" "~<;OCi Bt o a q u ell' inte ro. Per ind icar e u na s u ccessione
u s ere mo i s im boli
n
p r ecÌ':ian do [' i nsif'lIle in cIIi
a"
>------->
V<l T\;:i
o ppure
{Q,,}
l'indi ce n ( tutto.N o da un c erto i ntero in p o i ) .
Una s uccf'lO!ìione {a,, } si d irà
limitoto
11rj~: 7'ionncnt c
se e::;ist e u n nun1cro
111
t illc che
u" > m
';In
t a le che
u" < M
'1 n
m.::; a" ::; AI
'/n
lirnito l o sJqJt~ri-0 7'm cnff>
se esist e u n
limitata
::;e esist o no due n u m e ri rn e AI tali che
nUnleIO ~\1
P e r e seln! Jio, la SUCcc5.<;Ìo ne {( - I)" } è lim itata; {n 2 } è limit a t a solo in feriorment e;
la suc cessione { ( - 2 )"} no n ~ l im it.a t- a (n é in fe riormente, n é su p c rionne nte ) .
L 'ope r azione ch e vo ~lianlo d efinire (i l limite) COIL'ieut e di ris ponùe r e in for ma
rigo rosa a lla domand a ; cO'-'l e si co mp~Ttano i numeri {u,, } quando TI diven t a
sempre più 9TlHlIle'?
C o rll inciam o con t' in t,odurre un modo d i d ire m o lto ut ile . Diciamo Ghe :
una sUCCesSi O lH' {!t,.} poss iede (o a c qu is ta) d cfind ilJamcnte u n a c erta. proprie tà se
es iste un i n t.e ro ,Y tale che la pro p,ietù r isult a ver ificatt-t. p e r ogni n ? iV .
Es empòo
1.2.
L a " u cc essione
ln
- lO vn} è dcfi ni t i~aII1C I ILC pO!'it i"-,l; la s uc=ione { ~ } ( n
1. 2 , ... )
è d cfillil.iwLluente minor., d i 10 - H' '<' .
•0
Successioni convergenti
Un f1 s uccessi one {u" r s i di ce COti1!C7:gf'ml p se esi.~tf' un numero l con q uesta proprietà: qualu.nque sia E; > O risulta dejin-i tiH'-mu~t e
:a" -
il <
E
(1.1)
I n a l tre p8,o le: per ogni E > O s i p uò t.rO\'aTe Ull inte r o
d ip end e r à i II genera le da q u eòt o d t a le c he
!a" - li <
c
per ogni
~V
( che n a.t ura lmente
n. 2': N
Se la sueeec;sione {Q~l } è converg ente, a es::;a è asSOciBto p erciò il n ume r o l. S i
Of-;.c ;en., i e hc tale nU Tl u;:'ro è u nico, p o iché, se ve ne fo..",sero d Ite, Il C f.z, associat.i a lla
rnc dcsÌIntt :;ucccssionc, r is u lt e reh be definit. i v~ r nc[lt.e ( applicand o la d i.sugu a g l ian za
triangolare (4 .4 ), c ap . ])
.l! - ('d =
:l l -
fl" -
G"
121< ILl -
an i + la" - l2 1<
2é:
Capito lo S _ S UCCte ssio n i " so-i ..
126
@t<h-<)I;_ClT :i 4'T_>l
ma tale disuguaglianza, pot endo n o i scegliere
é
corne yogliamo. p uò
sll~i~tcre
w lo
se l j = l'} .
II numero l si. chùl1nrJ. li mite d el la successione {a ,..} e si scrive:
lim
n ~_ =
an = l
oppure
~ --+
l
per
n __
ex:;
(si legge, ri~pet h..-"'mente : il limite, p e r n t endente aU 'infillito, di u" è l , oppure:
tende a l per n t en de nte a infin it o) .
Qn
Si not.i che la d is uguaglianza (1. 1 ) corrisponde, più esplicit.amente , alle scguenti d u e :
( 1.2)
! - é<an<l+E:
Rappresen t ando graficamente i punti d ella successione
l
+
IO
I
l- c
•
•
,
O
,
.'
•
•
,
3
-
•
,
,
•
6
-. ,
•
•
•
-
8
n
9
F;g.. ~a 2
la cond izione di cOllvergenza significa che , fis::;ata. una. striscia o rizzon tale [l - E, l + c ]
"comunque st rctt.a" , da un certo indice in poi i p u nti d ella successione n o n escono
più d a q nesta striscia (v. fig . 2 ) . Da q u esta oss e rvazione r isul ta ch ia rament e c he:
ogni successione convergent e è limitata.
E s empi
M = triamo che lim n + 1 = l (cosa che si p uò faci lmente :>O€pettare OEservan do l'ann_no n l
da""m \.<:> della ""ccessione ) . D e lle d ue di5ugu a g lianze
1.3.
n+ l
1 - ",< - - < 1 +6
n- l
quella di sinis t r a è
~em p re
sodd isfatta, mentre quella d i dest ra è soddisfatta per
2H
n > -C
F issato E > O. b asterà scegliere lI! = (2 + E)/E (o uguale al p rimo in t e ro > (2
soddisfare la c o ndi z io ne rich iest a dall a de fini z ione d i limUe ,
1 .4.
P er m ostrare che 2 ' / '-'
--+
1 per n
--+
oc, ~ i stud i<~n() le d isuguaglia n ze
1-E<2'i"' <1-,-E
+ E)/-o )
per
l , Su-cce_5stoni
Q ue lla d i si" is tra è M"mp rc soddisfatta; quella di
di ambo i me m bri, "i sc-rive
"d ~ sod disfatta se n
> l / log:. ( l +e) . S i sceglie
d(·"tr~
127
prend e ndo il logarit mo (in ba!;e 2)
p~!rciò ,..... -'--' . ..
Non risultallo convergen t.l mvece le p rime duc succe:;sion i d.ell'esempio 1. 1.
Esse !'\Ouo p erò m o lto d ivcl"S(: tra loro e conviene intro d u rre defluizio ni c h e ne
mett ano in ri::!aJt.o la d ifferenz.tl.
Successioni dlvergentl, Successlonllrregolsrl
Quand o , al c r escer e d i n, una s uccessione supera. defin iti vamente qu al unq u e 1I 11~
m e ro 1\1 > O fi ssa io, dire m o che di"L'e.rge Cl +00; se in\'ecc sce nde a l di sotto d ì
- ~\1, d irerno che d iverge a - x. (li s iin bolo x s i legge «infinit o".)
Diremo nei due casi, r isp e t tivamente, che +00 e - oc son o i limi t i della
sU(x:es~
siO!le. Quest i si mboli , "';""00 e - 00, nOli f;QnO nUHlerÌ. Se r app regentia nlo i nu meri
n~lì ~u ll u. f etta euclidea., ogni nurn ero corri:ilponde 8. I1n punto c ogn i p ant.o o.
u n numer o. Con i simboli +00 e - 00 conveniluno di ind i<:a.re due "puTlti'"', lino
(+oc ) s ta a llA des t ra di ogni punto d i IR e l'a ltro (-= ) a lla :,.i nistrtL: a questi due
punti non corris ponde però l:I.lcuTl numero (i n a lt.re parole, non possiamo definire
sui sim boli +oc c - .:x; le op€razioni d i somma e prodotto con le p roprietà im liot
COlte in RI c ~ , a n c h e se, COine vedrem o, p o t r e rno fa.r e " pltrzialmente ques t e
oper azioni).
L'i nsieme dei numeri reali lH. con l'aggiu n ta dei due cle m enti ~ ....... = } e { -co }
s arà indicato con :nr
JW ~ IR U{-oo} U
{+=l
P ossiamo rappresent are ",' isiV1\.mente'"' ! 'in ::,iemc JR' mettendo in oorrisponde ll~ a
biunivoca (v. fig . 3) i punti della retta con quelli di una semicir confe renza., p r o iet~
tando q uegti u ltimi dal cent.ro C sulla retta JR.:
-::o;:
• .
A
-- --
~-----~
1' -'
Figura J
c
- -- -- --- - .....:::...--
-----
H
. •
.j.oo
IR
"
A i p un t i A e B non corrisponde S lI JR alcu n punt-o; diremo ch e {- ac} è il corris p ondente d el puut o A e {+:x::} il c.orrisponde nte d i R .
L 'op erazione di limite risu lta completamente s ign ifi r:a t.i ...a se amhienUl.t9. i n
n--t. i ll \'~-:e che in IR; cioè il limite di Ilna s uccessione può csscre un numero re",lc
l o p pure +00 o ppure -OCi le s ucee;..,ion i il c;ui li m it e è un n n rue ro reale si d ieQlIo
12.
rAJn!H!1yent i, quell e il cui limite è += op pure - cc:,:i dico no divergenti. LA. !>u cccs:,:ione Cflnon in \ {n} dt~gli in wrì n at ural i evi d c nttnncnt-c di\-crgt> a --. x: (;OI'iì p ure la
~ìJcccssìon c {:ln}.
Infine ossp-r vian lo 4.:hc ci sono Sll(:("e;.'Sioni dII! non I-j("adon o in lI~un a dl'lk1
clJtegorie p recedenti, cioè non sono con\-ergenti né d i\"l~rgenti: per C'SCmpio la sur:ccs..Gonc {( __ l )" } oppure {(-2}"} (~i Iloti ch", 11.\ prima è limitata c la St::col lda
no). T ali sllccessio n i si diralln o in'CflolaTi () indetcn1lùHlte.. P er ~se l'op erazione
di Iirnit.e n o n è d efin ita. ovvero il lor o limite UO I I ~b,c .
• Insiemi non limitati. E comod o adot t a re la c-ol1vef1 7;ionc inr.rodott;:l per i limit.i
anche per il sup e per l'in f, t:>_;;ten df'ndo la detinizion c d i qlU!l:'t c qua.mit.il nel modo
seguente:
se {'insieme F:
ç 1R. n01l è lim-i_iato
supe,..iormellt~
::-upE = ;-00
(inf E
( inft:1'ior-me1Ite )
or
diT~mo
che
-=:.:.o)
Jn questo modo la p rop r if'ltà R.1 d e i numcri reali può t:!S::Icrc enunciat.a
<.'o~ì :
ogni itMieme E ç 1Ft non ~i'Uoto è dotato di ~,>,lr-emo s'u pcriore e infenore; Imp E
(inf E ) è un Tlu:m e ro s e E è limitato 5upenormentc (ill!P-TiorTnenf.e ), flftdnumf.i è
+00 ( - x-) .
• 171fimitc5imi f: Infin iti. lina succ~iolLt' a" tcndcn te a ~t'ro si dk~ infimte.'Jimll.
A d escmpio , sono infinitesilll€' le SHCCf'l5Sioni {!;}, { * }, ...
Il concetto di infinit csimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale il. uche
per avere u n 'immagine intu 'i tiva corretta 00 efficace d c i concetti dci calcolo illfinitt:!$imale. Vedremo nel capi t olo 4 che il concetto di infi nitcsi mo n el <:-ont.iJtllO (cioè
parlando di funzioni ) sar ò. perfettarrtente analogo. L 'iòf'.8 dùave a CIIi prestaI-e
attenzione Ò! la seguente;
"infinitesimo" non P, lil l " numero _i nfinita.mente piccolo" (concet to pri vo di
non si v uo le che denoti semplieement.e il numero O) m a una Irl~(l1l1.l tà
va,i nfiii e ( succ~s:" i onfl (I, (;Qmc vedremo, fun zione), che (livi.enc indf:fin1 tam ~:nl, e
:;:e () ~O , ~e
piccola.
Analogarn cnt.c, ulla s \lIxession e a n ten d entf'l a ±oc
p io, {n" } , {n ! } SO Il O infiniti,
1.2.
iOii
d ice infinita. Ad esf:!!ll-
Successioni monoton e
t; lIa !>uccession e fan} s i d ir à:
monutona, cre~cente
St:l o" :5
Trtonotonu dccrescente se (I.• , ;:::
0 ,,+1;
fl." _ l;
c;resoentc M! a" < {l" . I ';/n
-itT?::ttarnen te decrescente :se G" > a.,_1 "t ti
.<; t n~ ttfJfflt'.11te-
Per esenl pio, lt1. successione {n ~ } è m onotona slr cttnInentc cresccnte, la :su ccessione {;.} è m onot o na. !'; t.re!'tam cnt~ decrf'_.o,cf'ln te , la succe;:si o n c {( _ I )n-} non
è m o notona: ogni ::lUcce;sionc (".o;;t a.nte è I IICJflotO Ilft (cr escent e o decres<:eIlt.e, Ilon
stret.tamente) _
1 StJ.CCts~w •.,' :'__"',.2 0
Riguardo a l! 'opera z io nt:' d i lim ite, qucstl! !'i ll cces.~ion i hanno u na u)lp o rnmza par t iin fl\tti "'~"'(' non sono m ai irrego lar i: es.--.c !luna cOll"ergell l i o ppun~ d ivergenti
a seconda che :,.ia.no lim itate oppure no. Con più p r ecisione:
c-Ol ar ~ ;
T e orema 1.1 (di csbtenz t1. dclli mitr: per slIr:ccssi()n i m onot.onc ) - l /nG .~ 1u:("~$~ione
{ a .. } c"escente ClTnmlOttc sp.n,prt; limitf; uguale (1 !lu p i a" } : t alt) limite è perciò fin ito
se {a ,,] è Iimita.ta superiormente, aUrirrum-ti è +:x::.
All<.llogo è l'e-.llunciato p e r le <; uC":CCS1:iioni decrescent i. P er esprim ere a nch c
sim bolicamente che i l li m i te c il sup (o t' inf ) di u na successio ne c n~cen l.f' (o
d ec.rescc n tc) si usa la notazione (d i e v id entI:' sign ifica t o):
Un
~ l
o p pu re
a" 1 1
Questo tt!Qrf' rna è lilla consegue nz.~ d ell 'nssi o m ~~ di continu ità ~ d ci numer i r'l~ali
tv. cap. 1, par . 5) e pertnnto va.lf! se l'ambient e c he coru;ideriamCJ ~ IR. Ad esempio,
n on è vero che Ilna suçcessione cr("M:ent.€ c li m itat a di numeri ra:z.ional i a mmette
sempre li m it e r azio nale, cioè in Q.
E ..e.np io
1.5.
g eomdr-ica) S i (:u" 'Iìd e!i la pro gr.:..::;ione gcùme.t.r ica di ragio ne q. {q"} (d,..
2) :
(Su("t:t'...! ~ ione
cap. L
pa ~agrafo
l , q ,q, ,, ':I l . ..
. q" ,
S(" q > 1 In s uccet;Sion l:! è m onotona "«,,.;c:ente, illi m itata superio r mente.
S(" q _ l !f. successiollf' i l (;oHtante. Se () < q < l, la 5u ,:{:e!;E io flf! ~', m~mot o na d~er<;M:t ' n t();
è fad\e n' O"l C.:ll·e c he tende a :t;"ro. Se " è negativu lo. 5u cccs"iOlll" UOU (' pi ù ",,,,,ol ona. Lo
studenle "eri fich i le "eg " ell t-i affcaufi"ion i :
~
q
>
~
q
-
se
<
q <
",,,,
1.3.
l
Iq!
Calcolo dei li miti
E saminia mo o r lì.lc p TO]lrif'cà dell'operazione di lì.rnite rispetto alle ope raz ioni 1.\lg t::briche. Qllando il linlitC esiste finit.o, si d imostra u n rj~ulta t o !>f'n lpl ice e n at urale:
l' o ]>f'razione d i limite CO IlI/ILuta. con le op'::!ra'l.iOlli algcbriçh<!, cioè;
se a" -
a c b.,.,
->
b a llorn
rl"
± b"
a"b"
a.,
bo
l_
..
a"
~
a = /)
~
ab
I
a
b
(b". b '" O)
a"
(IL" , a > O)
i
130
Capitoln 3_
Succ~!Iicm-i
(: .• r. ri"
Inoltr e l'o perazione di limi te mantiene l'ordi name nt.o cioè:
~I'!
a,,_u,b,, __ b
allora
a" ;:::b,,
e
a?: b
In part.icolare , se u" ---t a c Un ;::: O riHIlILa Il > O. Questa affcrm8.7.ionc prende il
nome di teorema della pt:''TTtanenza del segno.
Si n oti che in generfl.le non si può dire d i. p i ù , ossia: B,m:he ~c gli Un sono
strctta m eute p osit.i\'L il loro limi t e a è positivo o nullo, come mostra. il semplice
esempio d i ~ - o.
È u t il<::l anch e la seguent e p roposizione (d ettI'\. teorema del con/nmlo):
se
a ":5 bn. ~c,,
e
a,, -> I, Cn - l
==> b" _ L
Consideriamo ore. il caso in cui i limiti sono + 00 o - oc . Suppo niamo, per esempio,
che u .. __ a e b" _ +:::>0 ; hllora è fa cile (c intuitivo) vedere che ~ + b.. -+00. Abbrevieremo quest,n scrit tura cosÌ: (l. + 00 = +00. Rag ionando in maniera
analoga. pos.<;iamo compend.iar e le regole per il limite della somma (o differenza)
di d u e s uccessioni d e lle quali una. o enlramhe 80n o divergenti co n le scn t:ture
seguenti :
a+ co =
+00
cc =
- 00
+= + 00 =
+00
=
- 00
tl -
- 00 -- 00
,,
Analogam.=!llte per il p rodo tto (o iJ rapporto) abbiam o le regole Regucn ti ; il segno
d i .X' va d e terminato con la, u su a le regolo. dei segni:
" -=a U
a
=
00
(o '" O)
~ =
«(l =/; O)
~ O
Le p r t:eoocnt.i regole prendono ìl n ome d i "a ri t..metiz-zazioDp. parzial~ dci s imbo lo
d i inful ito" .
Lo stud ente nOlcl"à che marlCIUlO le r~ole relat.ive a quaLt ro operaz ioni, e cioè
+00 -
=
.
o· :>O,
U
o
00
(0 S9 _0 ~_ <:'T ,,4 7_ 8
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _,C._"
S,·," " "~","'"'"i""""",
__C',3",,
Q u este espres."ion i :;i cbiam a no forme di i ndecisione, p o iché nessun a rego l a può
es,...,ere st.abilita a priori p er determ inare il r isultato, come \'cdremo n e g li !:'sempi
::;otto iIlui'!trati.
Le r!:'gole sopra e1encat.e (c la man canza d i regole p er le forme d i illdedsio ne)
con fernl ano la. nallu a par t icola re dci " p unti" += c - ex;, c h e non possono esser e
considcnd.i "numeri" poic h é s i comport ano, r ispetto alle o p erazion i di somma c
p rodot t o . in modo n o n soddis fa cente le proprietà R l c R 2 de l c a p it olo l paragrafo 3 .
Esempi
1.6.
App licand o la defin izione s i d imo5lri ell e
~,=
n '" -co
Infatt i .
i>C
,.;criw:ndo
{
O
se
a> O
se
(:r =
se
n
O
< O
et> O, fi~at." .10.1 > O ri5ulta 11'" > 1\1 per n > ,\f 1 !<>; pen:iò n" - +=; se
1)<>
=
Cl
< O,
l/n" ' \, f;; può ap p licare la. rego la ~ = 0 . _
1.1. l. imi t i che,.,i presen t a no n<ll l... fo n na d i ra.pporto di due '*pressioni, ogrnwa costi tlJ it.a
dal!>. <'Icu nma d i pote n ze di n :
n ~12
,.3
- 3n + 7
+ Vn
3,,"
S i mette i11 evid e n za a nume n nore come a den om ina t o re la. potnl=
TI
,,, (1- 3
3' 2
r< '
n 3( I
1.6.
+
l
'/1-" /";;
+
7)
''l '
l
71 ·
1
'l )
- -;:;,.
+=
3
n
n lRggior e
.1
7
+00
+::x;
1 ---+--
l
1+ - -
+co
3
+=
vtnTI - v'n - l , forma di indec is io n e d d tipo + 00 - CX! _
ivlo1t ipli<:ando e d iYidendo per "i n + J ~ -.,Itl=1" " i trova
(vrlTl - ..17l=l) (Vn~- T - .,Iil-=l)
,I n --i- l
1.9.
+
-..tn-=t
P , ,,,,,iamo applicare il segllente crit€r io generale:
n
se
{ a,, } è limitnla e l,.,.
----->
O , " llo ra
a" b"
~
O
l nfatLi, essendo lan l < .".1 ( pe r Ull "erto ,lI> O), rLsultera lanbn l = la" I·l h,.. ; definitivamente
m inor", d i .\lE . e."'5endo 1b,, 1defin it ivamente m inor e d i E.
L imiti d i succe&<;ioni clIP. s i presentano nella forma
a;;."
si trattano più facilmente
c o ns iderando hL suc.("-CS.S iollt-~ dei logaritmi ( p e r fiSS3.r p. le idee , in base lO)
Ing Iù a;';' = b" logH)
IL
n
132
Capitol.o 3.
Sllc..ce8~io,.i ~
5erie
Si m o,;;t,ra che (dr. anchfl più avam .i , a l c api t,(l10 4 paragrafo 3.3 ) ,;e quC"s tn ~ll(:,
.
,
."
. a +=', -'::x::, () e, .
ccs::>io ne COl lverg't' a l , d ·lverge
ln ~ etcrnunata , a S ' IC(:f'~~lOnC n.,".
1
rispettivamente , c onverge a 10 , + cx::, 0, è indetenn inat.a.
Si può così t)!lSCrvnr e c he le cspres"inoi
o'
sono ru treUante fo r m e d i iudecisionc, corrifi p oHd <.'nt.i (pa.<t<:;ltnd o a l (ogiUit.mo) <~lla.
forma di indecis ione O . 00.
1.4.
Il numero e
Una successione dlt' pr~t'llta la for ma d i indccL::;ione l " OQ è la segut:!nte:
Q, ~ (l+~r
Con q ualche calcolo (cfr.
crescente:
gli e serciz.l 9 e l O) si m o:,;trn che essa
t'
lI1onotOlia
e i n o ltre è limita ta:
e perclO e lonvcrgen te. li RI,IO lim ite è un nu mero (ilTlt'/.ionalc) molto imporlant.e
in mat-clnatka, per vU l'ie ragioni che vedrenlo; "'ElSO vicne indicato con In lct.tcrl\ c
(numero di Ncpero ) e la s ua. rapprc:;cntazione deci m ale in izia così :
2;7182R1 8 28 4 ..
QUet:it o nume ro v iene molto Spet:i--"O usat o com e base d ci logari tmi, i q uali, q uando
!': i w:;a q llf'sl.a bare. ve n gono detti nnlu1uli o neperian-i (ual no me del HU'lt e m a l.i<'.o
J o hn )."a picr) e indicati S<'mp l kemente c o l "imbolo log (oppure In) 5en za indie o~
z io llc d ella ba.-.e .
1/ numero di Nepero Il
un problema. .. t;nanziarlo
Supponiamo d i p ossf!df're un <.: upitale ( pt'l' esemp io, 1 milion e di dollar i) t\ d i
i'l'\'@.R!.i dnal ta&;O d i in teresse annuale t (cioè (~Ol l u n a r en d ita di t milioni a ll'all llo) .
SI" l'interesse Vifl nf' paga to annualinenf.e, d opo UII aTlno il capit a le pos.. ,eduto
sar à l .. t . SI" l' interesse viene c a lcolalo mcn.<:;illll e nte avremo :
t
- dopo il p rimo mese un eap ita.le pa.ri al+- 12:
- cl opo il secondo m ese, p ari a l
- dopo il t erzo m e:;e, p ar i a
+
I.
12
'( ] +
+ 12
(1,. 12I )~ Tit
1 (1 ~
.• (1 + 1'2 )'
' ) ' ~ ( 1 ._ . ,'2) ' ,.
12
')
12
- alla. fine dell'an n o avremo u n ca p itale pari u ( 1 +
t
l:.!
li) .
____ _______'C·~·o'· "w"-:.n:·.~5iom:
133
Sf-' l' i ntc r c~e v iell!:' calco lat.o o gn i n - esilIlo d i a lino. uvrf'1l10 alla fine un capit,il c
p an 13
(l ' ~r
P er t = 1 ( rcndit_a dt>I IOO;1,!) o tteniamo esattam ente la fl uccc5."3ione che d E'fin ii:'ce c.
Far te uder e TI a ::x:. ~ignifica c alcolare , 'interesse: d o po fra.z ioni di anno scn1 pre
più p iccole fino ad ar r i ... are a c alcolarlo con c o n t.iTlui t.à. Il capi tale che si ott iene
a lli!. lìne de ll'anno i n quest'ultiruo c"uò o f> e:;;at. tanlc ntc p ari i l t~ .
1 .5.
Confronti e stime asintotiche
A bhi :uno v ist.o che una :,;uc.:.:cs5ione d le t.ende a O è u n infinitcsùno: una su(x:e:;siouf'
c be dive rp;e (Il. ~ .x;. il -.= ) s i d ice infin ito. Quando due su c c ession i s ono cntralllbc
i nfi nil.esiIni o e ntrambe infin iti, è uti le poter sta b ilire un confro n to t r a d i e s s e, pl::'r
capire quale dI' ile due tf'lIda " più rapidanlc nte" a O o all'i n fi ni t.o .
E ~f' nlp i
d i i nfi niti sono le succe:s;;io ni
{lo:; TI }
{ v'n}
~eg,llentì :
{n~}
{2 n
}
E~ f' mpl di infinitl-'Si mi ;;) otteng ono dalle sucecssiunl precedenti c o n ~ ide raIld() I--':l i
c l el11cnti [f'(:iproc i.
Sill.no {a,, } e {b,, } due i.nfi ni ti , COHsidf'rimno il l ilni tc del rappo r l o (1 ,,//).,..; si
hanno quat.t.ro poss ibili Ut.:
o
i)
l finit.o e
<
D iciaulo dle :
i)
{a n }
,
t=- O
Li )
.1: =
i iL)
ine sistente
iv)
un i nfinir.o di online inferim-c a
ii )
fan} ,
iii)
{an} è
iv)
{a n } c {b" } non ."orw con f r o ntabili_
{b" }
{b,,} ;;ono in fi niti d ello 5fe880 ordin e
un infinito di ordine Sv.p tTlorc
" {b n }
Se {a,, } c {b,,} SO [I O d ue infinite s imi (e b" è defin iti vament e .' O) , ancora s i
c onsi der a il lim it e del rapporto a n / b" e , in co rr:- isponden z il- d elle 4 possibilità
iSOpr:-U l'lenen t e , d i r e m o c lic:
,
i)
fan}
ii)
{ a n } c {b,, } s ono i n fi n itesiln i d ello
iii )
fan )
iv)
{a.,J e { b,. } n on sono conftnnf(1b ili.
\lH
i nfinite~ jmo
di ordine superiore a {b" }
è un infinil.esimo di ontine
.~tess o
ordine
Infc rifJ1 l~
a {b,,}
C a pito lo .1 .
134
.'>'" r..ce~·sioni €
s e ....;"
@
~S _ () ~-07 54.,._S
Jvl o streremo più a vanti c b e :
u
V o->O,n> l
n"
lilO -
,, ~:xo
O
a"
Questi limiti desc r ivono la "'velocità" con cu i i loguri tmi (<.:on base> l) , le poten ze,
g l i espon e n z iali (co n b ase> l ) vanno all'cc.: i. logarit.llli vanno piìl len tament.e d i
qua lsiasi pot enza, le p o tenze p iù lentame nte di quals iasi esponenz iale .
Il caso ~ _ l è particolar mente importante : s i usa. d i re. in t al c a..<;o , che le
d u e successioni { ~} e {b ,, } sono asintotiche t' , p er ind icare questa circo s tan za, si
SCrIve
(s i legge:
Il,,
è a8inlo lico a bn ).
Il s im b o l o d i asint otico è molt o utile nel calco lo dci lim it i p er le segue llt i
propriet à ( che si verifi can o in base all a defin iz i one):
Se a" '" b n , le due s u ccessioni h anno lo ~tesso compo r t amento: c onvergo no
a lto stesso lim it.e , o di vergono f!llt rrun bc a +-cx:;, o entr ambe nOli hanno Ii m ile .
S i possono scri ve re cat e n e d i relazioni a..,intotiehe, cioè:
se
Un ~
h"
~.
.. .
'""v
Cn ,
allor a
o ..
·'""v
C"
t: n ' espressior le co mposl.a d a prodo t to o quo:.-;iente d i più fa t tori può esse re
st.imata fat t o re pcr faU o r e :
(Attenzione: lo stes-<".O n on v aù, per le SOlllmc o p er l'esponenzia le ) .
U n tipico nlOdo p er u lo:str u re che a " ""- b" consiste nf!l1o scrivere a n
CDII c:,., --+ 1. Ad esempio:
2n?+3n + l
perché ( 1 + ~
+
~)
---+
__
'_ )
2n 2
<"'.'
2n 2
1.
E c co a lc uni esempi d i cOllie s i a p plicano t·uttc le oss e r vu.:r.ioni prcc~ienti per riso lvere alc une fo rrne di indct enninazione .
Esempi
2 71:1 +4n + l
1.10.
5 (71
+
1 )3
2 n 3 + 4n + l
2n 3
5 (n
1) 3 _~ 5 .. 3
perta nto la s llcct'S5 ione t c n d", a 2 / 5 .
l: l
2
5
«) 89 -0H-1l7C"C','C·O'_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~lc.-"S"""=
='","""i"""""'__ 1 3 5
[: 1
1.11 .
+
2"
2'
pert UIJtd il lim ite .:~
n
2"'
,
2
-i - [,a 5t ilna il J1ume r at o re "'''Sue dal
fatt o che 2"- .' un infinito d i ordi ne
Ml p " ri ore rispetto ad "' :
2"
p er"h" 2':.
----->
O, ( l
+
~'!,)
----->
+
n = 2" ( l -
~) ~ 2"
2"
l.
lim
+= ~;n
1.12.
n __
=
[<x/']
,,0 =
l
d ove si è """") l O i l confront o d i inlì n iti:
Quando &vremo stud ia to un ceno numero di limiti notclJoli p otremo risolvere
In ediant-e stime asi n t otic h e sit ua.z.io ll i piìl comp lesse d i q uest e .
1.6.
Dimos trazione delle proprietà dei limiti
i n q u est.o paragrafo di m ostriam o i principali t eoremi sui li m i \.i d le abbiamo enu nciat o Jlel p aragr a fo 1. 3 . L e d i m ost.razioni s i basano sulla definiz ione d i li m ite,
s u ll' uso d i di81lgurJ.glianze, € sull ' uso di proprietà definitùmmente v ere.
Teorema del confronto
c,.-, _ l=;.-b,, -------->l
Dimost..-azione. Fissiamo
d a cui
é
> 0_ Allo ra ddì"iti,,-ameme si ha.
I - c < U n < I + t: ; l - é < 'On < l +
f:
~egllc
e q uindi , defini tivame n k ,
l - f:<b ,,< l+f:
Dunq ue b"
~
D
l.
TeCM"ema di permane nza del s egno
Dimos traziOfle . Fi",-;ia u lO
é
a" "?: O
> 0_ Allo ..-a de finj t iva m ente Hi h a :
Q - E<a.,<a + e
da cui s.cgue, essendo (In ?: 0 ,
0< a + e: per ogn i
é
> O
Se fosse U < o . per f: abbM ta !1Za p icc olo "arcb b e anche a
apptln a scr itt-o_ Quindi a ?: 0_
~ /O
<
0 , ill cun tra"" t,o con q u a n lO
D
>36
Capito la .'i. Successi()ni e
Se7-1t';
@
Teorema sull'algebra dei limiti
. -.....
P rO'llia11W a d esempio che:
Dimostrazione. F iss iam o "
88 _()./l_(l7 "4.7· 8
> O.
per la d isugu a.glian za t r iango lare (cap . l, (4 .3 ))
la,., (b.-.
<
b)I + :b(a,,- - a) 1
< la" llbn
Il
1+ !bll a., -- " I
Poich é (I.", ~ <l , :a" - " I < -: definit-i vaIIlcn t c; inoltre
b., --+ b, [b" - b' < E dc finiL ivam ente. Q u i n di:
de fini t iv3m ent",. Per l' arbit rar ietà. d i
E
Dimostra.zione. Fis"imno
P o iché b."
--+
IO
--->
t:
d efini li ~-" m en t .. :
poiché
segu e la t. es;.
Teorema sull'aritmetizzazione parziale di
P nwimno ad e.~emp i o che:
Q)1.
!an l < :al +
D
00
80 , b" --. b E
> O. P " idl{' Il- n ---. DO. defi ni t ivament e s i ha
b, d efin i ti v" n w n t e
l'<Ì
ha
Ne segu e c h e d efin it ivamente
I:: I <
P er l' a rbi trarie t à di ". segu e la
c ( :bl +t: ) <
G-
costo
tc~Ì-
D
Esercizi
o
Dare esem pi d i ~i llfi llit i" d i ord ine in feri o re a {logn} e d i ordine sup<,rio r e a {Z" }.
e
e
P ro'Val'e che
D imos l.r a re le proprietJ, d el !';; ",b olo d i ~ cnunci ate ne l p aragrafo 1. 5 , u sando la d efini:.dune d i "asi n tot i(:o" e d i limit c.
lim
n -' 1-"'"
Suggerimento :
(1-
~) - "
.
( n--· I )"
(1 =- -n') " =
e
__ ; r ieondu r si al li m ite che defin isc€ e .
@
o
88--<l~_D 7 54 7_ 8
137
Provare che
lo?;(n+ l) ~ logTl
Calcolare
li m
p er le
"",~ gu e!1t i
Il ,, -.- \
,
s uccess io ni ;
an
o
=
,,"
an =
n'
a" =
Tl.
D a re u na " t.ima H.;;in totic~." de lle .~e gue nti s u cce&s ion i. m ediante una ~ uccessione " più
semplice" :
»3 + 2 n 2 + SI" n
n l - (n - l) t
n 2 log n + u
n + log' n
71. + (n
2 )1
log3n
o
L o s t u d e n te . utilizzan d o ,ma normale calco latrkc t ..."cabi le o un P C . calcoli (I --'---
~) n
T r oyerà, per eselll p io
( 1 --; l/ n)"
2 .71692:N
2 .7HH 4 59
l
Cerch i di spieg ar,,'"
e
I iI.
ragio ne_
U n altro esempio: il li mite
s i presen ta ~ O U.O la fo rm a di indecisio lle ex:;
y ' n 2 + 1 + n tal e li m it" p rçn<j" la fo rma
-- - <Xi.
:\Ioltiplir:''lnd o e d i videndo
l' e~pressi o ne
p er
1
2
.<
Se s i usa "na calcolatr ice p e r 11 cako lo del li m ite >;i o t. tiene ( per e S03mpio)
n ! {-.../n ~
n
( ,/.," +-I
HP
0.'19998 75
0 .5
U,4999875
103
10 7
()
0.5
IO~
O
0.5
n. )n
I
+ n)
0 .499999
Spiegare la r agione ,Id ,Iivcr"'o r iMlltato ,
o
Dimo s t rare d'le la ,>\lGcCbsio n e a"
S ll..q.q erimGut o : per TI 2: 2 s i ha:
=
( 1 ~ ~ ) n è n l on o t on a <:r e s cent.e.
(1 + l / n )n
( l-i ·l/ (n
I ))" - !
= (l
+
l
1/ n2 )" :> l
l /n
( per di mostrare l' u lt in m d is uguag lian7.a , u t. il iz.zare , per il n u ml'rat or e . la cl isug uagliiluza
(i + x )" 2: 1 + n x, ,·alida p e r n in tero e .7 E' lIt, x > -1 ) _
138
Capil o lo S . Su.o.:ession l e s",ri"
fI>
D im ost rare che la ~ u "c";;s i,,nt, cons iderata n ell'esercizio !l Ì' li mitata_
da Il,, > a" l, e ssen do Il, = 2 , >'Iegue n " ::::: 2 \j n 2: L C o nsid erando po i
Il,. = ( 1 --:- *) n+l si mostra., cnn c a lco li s imili a quel li suggeril.i nel prece dente n;crci z io, d ",
Il,,, </),, _1 ; poiché b , =4 eli" > a", r i>, u lta<>n < -1, "v' n ;::: l .
S1.l9g eri~n"71w :
m
Calcolare i li m iti, per n
--+
+=., delle
successioni seguent.i :
/ a 2 +n- n
( 1+ -
lng (n+ l ) - lol/; n
2.
2.1.
,--_.
,
+ 1 - ,.-,. )n
(\/n 4
1 ) .. ,
,,'
SERIE NUMERICHE
Definizione e primi esempi
L 'o perazione d i limite ora. int rodot ta consente d i fa.re mol te alt re opcra:lJoni c he
sono fondamentali per l' Analisi. Per esempio , consente d i est.endere l'€Iement.are
operazione a lgebrica d i somma <'\ un numero infini to di addendi.
L a p ossib ilità d i sommare infini ti numeri, magari t ut ti positivi, c ottenere un
risal tato finito , era qualcosa d i paradossale per gli antichi fi losolì greò : Zenone di
Elea ( illto:rn o a l 400 a..C. ) formulò il celeb:re paradosso eli A chille c la t art aruga.
In una gara d i conia Achille ( A) e la nostra tartaruga (T ) part ono inizia l m ente
( tempu tu ) dalle posi.zioni I O e Xl > :.co r ispettivamente. In un tempo t I, A
rsggiungerà la posizione X l ma, nello stesso tempo, T avrà raggi u nt o u n a p osizione
X z > X l ' Per arriva re a X z, A impiegherà un tempo t"J. , ma in ques to tempo T ~i
sarà spostata in X3 e (:osì via ...
O si. a mmette che la somma d i i nfi n i te ql.l8.nt.ità positive: t o -:- ti + t 2 +
possa da.re un ris u l t a t.o finito, o si d cvc concludere che Achille llon ri uscirà lnai a
raggiungere la tartaruga!
tempo
t·o
'o
+ II
tu +t} + t 2
posizione di A
posi.:.-ione d i T
·(S,"""'"'··OO:~~""'"'"',,"-~"________________________C2C· S.,ri" nl'mmche
,
139
D 'altra parte non è cosÌ paradossale c he una SOlllItla di infiniti addendi pOt:;itivì,
una voh.a che sia ::;tatl:!. ben defini t a, possa dare un risultato finiLo ; convi ncifunocene e o n q uesto semp lice e:seinpio . rmrnagillianlO di TIlisurare u n 'asta lung a 2 m
usando qUetito bizzarro procediment o: div idiamo l'asta a metà e misuriamo il
primo p e zzo : o t te rremo 1; poi dividiamo a m e t à il secondo pf'7.Z0 c m isurianlolle
la prima p arte: otterremo ~: il rimanente pezzo sia d ivi'j() ancora a me t à . .. e
(:08ì da i ndefinitamente.
Otteniamo una s o mma i nfinita
1
l
l
1
2
4
8
2"
1 + -+- + - + .. +
+
la quale , secoudo le aspettative, dovrebbe avere COllIe ris ultato 2.
Vediamo ora d i precisare il discorso fatto con o p portune definizioni .
D ata una sueees:;ione di numeri rcali { un} , chiamiamo serie dei lr.f7Tlini a."
la ;';(;·l'-1..tt ura formale
(2 .1 )
che s i legge "flerie ( ma anche ''somma'') per n da O a =. di a n ". Per dare sign ificato
a quest o simbo lo, che ;ntuitivamente rapp resenta l'opera7.ionc di somma degli
illfi n it i adden d i an , costruiamo anzitutto un'a lt.nl successione , {sn } . ì cui termini
sono così d efiniti:
So = no
SI
flo + n l
(2 .2 )
Il numero '';n "'iene dett o somma parziale (o rido tl.a ) n -esima della serie (2.1) , e la
successione {s,,} ljj dice successione dellé somme pOT·zi.ali della ser ie (2.1 ) . Notare
che le (2 .2) s i possono condensare nell ' unica scritturu sint.el.ica(::I }:
n
L(lk
8 ,. _
p er n= 0, 1,2 •.. .
(2.3)
k =U
(3)Si prest i att.enzi<.mc, ll e lle formule pn.-ced"'nt' . al d,v,'rso ruolo gioonu dal due ind,ci (k e
n) : l' ind ic e rì..<;)lctto a CH! bi HOITl ma (n. n .. ll a ( 2 l), k Il e!!" ( 2 .:!)) è sempre Ufl mdice muto:
ad esempio la (:.:>.3, s i potrebbe scri~'ere anche c.::n;;:
Sn
=
L
j _ O
(1 j
per n
=
O. L 2, .. .
Cap it"lo 3. Su.ccessioni e sr.rie
140
D iremo che la serie (2.1) è convergent e, divt:1yt:nte , in'€golare , se la :;U(:~io ll c
{s,, } delle sue somme ptl!'"liali è convergente, divergente o i'TTC{lolare, risp etth 'llmente. In particolare, se {s,,} è c'()nv~rgeTlt e. R" - 5, d iremo che I> è la .~Qm ma
della serie, c scriveremo:
In questo caso dunque vale la relazione:
•
(2.4 )
li m '
(lle =
lim .i
11 _ += ' L"_"'00 n
,_o
L'ultima formula scritta è interessante perch~ spiega in che m o do il concetto di
serie traduca con precisione l'idca d i "somma d i i nnlli t i a.ddendi" : si cA.kola il
Umile, per n __ 00 , della. .'Iomma finita dei primi n ad dendi .
L'espressio ne "st ud iure il carattere d ell a ~rj('" significa stahilire se la ser ie è
('.onvergente o diverge1lte , o irregolare.
Talvolta, invece d i sommare a panire da 0, si parte da un indice l'l > O; scri·
veremo allora E~_ .. ' o" . Per indicare una serie us~rcmo talvolta anche il simbolo
ain t etico L a". In questo caso sarà chiaro dal contesto a partire !..la quale in dice
.1Iv' occona sommare .
• OS.'!'t:rvazione. Parlfl,re d i una :;cric fJUm(,rico. coinvolge f..cmprc d ue d iverso succession i: la successione {a ,, } d ei termini della sed~ (a., si dice anche "termine
generale della se-.rie") e 1.1\ s llccessione {s ,., } delle sue somme l/arziali . Lo !ltudente
presti bene att enzione. volta per volla, a quale ddle due successioni si r iferiscono le affermazioni ftltt e. Per esempio , abbiamo vist o t:he la serie E o" si dice
convergente se la i'ò llecP.S'!lionc {s .. } è convergente (non se la s uccessione {a.,} è
convergent e!).
Esempi
q"', q E ID..
2.1. (Serie geometrica) Sia a"
CA pitolo l , abbia m o
6"
Se invece q
=
l
#-
+ q + ,/ + .. , . . . q" =
1. utilizzando la formulI' (2.1 ) del
l _
l
q " "f"l
,
l abbinmu s" = n TI. P renrt.""do il limite. per
lim," ~{
"-~
=
St' q
1 _ ,
~
Iq: <
+00
~
,~
non esiste
~
, ~
e pertanto la. se r ie
L '"
,,=0
+00, otteni amo :
1
-,
('OIIV~ Tgc l\ te
•
11 -
(",(In !'>OlUma.
{ d,vHge.'"' +00
lrreg{)lare
l
(1
q) )
se lg·< 1
scq 2!
se q :<:;
-,
2 , Se rie_ l1u1n",'iclu;
2.2.
141
(ScTi" a n nonica) F: la se rie
1
11
1
1- +--- . .. + -+
23
4
n
Dinl os treremo ( nel ("";'11'_ 6 ) che la successione s" delle somme p an:ìali il asintotica a logn
(e p erciò, in p a rt icol,,",' _ t.,."de" +00 ) .
2.3 .
( Serie d i ,Uengoli) f~ la ser ie :
Osservand o che n (,,'.; I )
, - ' - s i r iL..,,;("~ a dare un 'e:opres.-;io ne tW lllf, lice ali" su CCeSf\iOllC S,,:
o,,
.~n =t [~ - k ~ 1]
=
k = 1
[1-~] + [~ - ~]+· " + [~ --n-~-.-fl
(gntzi e al fatt o c he i termini s i se ml' lifkano 2 a 2 )
= 1-
l
Tl -l
l
l hlnque Sn -----> l , ossia lo. ser ie conver ge e ha SOlllma 1.
La seri " di :\.Iengoli (, il più sem plice esempio di ""ne telescopica, che sign ifi c-a qua.nt o
"'CgW,L Il tenuine ge nerale ak ha la fo rma ( bi< - bk + J ) (dove bI< io> un 'alt ra opportun a "ocr,es sione) lo' d i conseguenza, g razie allc e.ancellazioni , si ha
Se il t ermi nc b" -
0, l a ser ie i', conv\o'rgellt e e ha somma bI.
~
Suppouiiim o che la serie
s ign ifica che
.9" ......
s c q uindi
tl n
L
n_'
a" s ia convergente e che s s ia la sua sornrna. C i ò
= (sn -
s " .. d
--->
(8 - .9 )
O
f\' e segue e he :
~
Proposizione 2,1 - Con d izione necessar"ill affinché u na se1--ie
L
a" converga è
che il tennine gP.1leral f: a" tt;; ndll u zeTO _
Come mo!òtr ~ l'e sel ll p io della serie armonica., l a condi zione non è !:iufficient e.
D' a ltro canto, se i l tenni ne general e non t end e a '!:ero , cert.arncnte la sede n o n
~
L
cns ~ non con ve r ge, perché cos ~ ---> 1.
,, =1
N ei pross imi p aragrafi s tlldieremo vari criteri di co-nVérye-nza. che forn iH<.:ono
aleune condizio ni s u fficienti affincllé una serie COll vel'ga; il problema d i calcolarn e
e s plicit.amente la somma , invece, et;ula dai n ostri o biettivi ,
conv e rge . A d cscnlpio
Capi/alo 3 .
142
2.2.
SUfXc~,~;o"i
" se ri,.,
Serie a te ..mini non negativi
P er Ulla s.erie 11. tennini n o n negativi si hanno alcuni semplici criteri sufficienti d i
convergenza. C-omineiarno con l'osservare che la sllcces.sione delle somnle p li,rziali
di lIna t Rl e serie sarà crescente , poiché
Perciò (v . te0rellla 1. J ) esiste
linl
s'O:
n --+-;-cc
tale limite è finito oppu re +oc a
second a che la Sl!I'.-C€ssione {s n} sia limitata o ppu re no.
li m 3" = SUp{8 n }.
n--++oo
I n ogni caso r isu lta:
n(N
Possiamo perciò affermare che:
E Un a t er"'min i n on ncgatù>Ì o è COntJCTgc n te o è diuergente a +O() . E:isa
converge se e Bolo se la successione d elle somme par"ziali n - esime è limitata .
u n a Rerie
• C1"iter1.o del confron to . Siano
tali che
L
L
an e
b•• due serie a t e rmini non TlI.'p;ativi e
definitivamente
Allora valgono le seguenti i mplicazioni
i) L b" con vergente ===? L Q~, convergen te
ii)
L: a n
divergent.e
La serie
L: b"
===?
L: b"
divergente.
v iene detta maggiorante, la
L: 0 ..
minomnte.
E.sempio
2 .4.
L a ""rie
.L-.
n'o , con cr 5 l è diverg"nte .
Infatti l" affennaz ione è vera p€r n = l (,c,,,r;,, armonica) ; pe.r cr
:m.aggiorsnte della fI(,~; e arm o nica , pe~ciò diyerp;e .
• C riterio del confronto asintotic.o . Se le d ue successio n i
{bfi} sono a.sinto tiche,
< l la "eri", data è
la ter m i ni positivi)
{un }
E
a,.,.
~
bn
allora. le corrispondenti serie L r.L:r. C L bfi hanno lo stesso carattere, cioè o sono
entrambe convergent-i o sono entrambe divergent i.
Esempi
2 .5.
L a "",rle
L
n ='
2 . 6,
L a se rie
conve rge.
~ {:(}nverge perd,,~ ~ ,....
-
L
n ~'
,.(n\' ) e lascTie
-
L
,,(n'... q (d i :\1cngo li) converge.
n = l
nlu .:on o: > 2 converge
p OT
il crite rio del <:onfr ont o :
14;J
Abb;arno q uindi stabilito il <:araUere della lIr.rir. a'THQnICG gcne7aliUlltll
(co rrvc rg;ente) ... per
fOrI)ita ne l
O lI' .
et ~
f:
.-,
n'"
per
et
? '2
l (dln'rg"nt.,), Si può dirnot'l tnv" (ulla pr()vl'L di q llebt n ratt o se.rà
6 ) che n!ol; cas i intormed i ( l
t
'Il"
<
O"
('onv"'l"g e se o
< 2)
c'è ancora (:onvergl:J[zll. Hicapitolando:
> l ; diverge
se
L\
11
:5
n = L
2.1 .
La
~ ri l:!
5n t euon
,,-l
J ! 2 nJ
,
'" .
convcrf;,'(!, pereh é :....3 teoo"
..2" .•
!Ooltiplicativa è ininfl uen t e sul c arattere della serie).
(O ...... iamente la CO!:ltante
j\-el capi to lo"; vedr emo c h e lo st.u d io dd li miti note"l."Oli d i ak:un e funzioni elementari forn i!ice strumenli potenti per fare sti me asi.nt.otiche s u l te rmine gl;:n e r a le
di una $€!rie a t ermini positivi. (Si vedano gli esercizi a lla fine d e l cap itolo 4 .)
U n' o.-;.c;cn 'll.z.Ìollp. importa nte r iguarda. la differenza t ra s tabilirE il r.n.mttR1'€
della serie (ad esemp io: cOlwerge oppure n o) e calcolare la ,.,ommfl ddlu lit~TÙ:l (nd
caso co nverga), In gelLem.le, quando affermia.mo in base al ç.ri t.erio del confronto
asin t otico ch e la. serie L: 0" ç.onverge perch é la. se rie L: bn con verge, ciò non sign ifica a ffa t.to che le due serie a bbiano la stes..<>a somma . Intllitiva.mcnt €, ciò è d ov uto
al fatto cbe l'affer mazione fl" ...... b n ci dice che gli addend i d e lle due som m e SOIiO
"siInili" qua.ndo n è h>Tandc; mn. il ...-alore deHa somma della serie di pende da tut ti
gli adde n di, a n che i primi. A d eselllp io, a b biamo visto che
-
~
n= l
l
n(n+l)
~l
,
c
l
l
Il(n+ l )
n'
T u tta .... ia si p uò d imostrare (lo ved remo nel cap . 13, E sempio 3.8) che
Ciò va.le a maggior ragione q uando si a pplica il c r it('rio d e l confro nto per affe rmare
la conve r genza di una se rie.
L'ultimo esempio fat t o è interessftnt-€ a n c be per u n a ltro motivo. L a :,;erie
I:: :Z , con.....e rgcut.e, h a p li!r SOlllma un numero irrazion a le, nonostan te il fa tto ch e
., = 1
o gni te rm in e d ella 6uc~ione delle somme parziali sia rmi'"ioTlale. Ciò ':iign ifi ca C'he
se il n ostro ambiente di lavoro fosse <Q, qucstu seri e 110 B sarebbe convergent e.
I cr iteri d i co m'ergcnza per le serie a termini positivi si bw;a llo tutti sulla pro prietà
dell'estrem o s uperiore, dì cui gode l'ins ieme dei numeri reali .
• C r-iferio della ra di ce. Sia
lim ite
L
D. n
Ulla ser ie
lim
n~ + :>C'
e
M'
l
> l la serie diverge,
eOn cl ll( !<:!T~.
~
V'O"
il
t e r min i no n negativi.
Se esiste il
= l
l < 1 la serit! c o nverge; se l -
l Ilulht.
~j
)JUÒ
Capito lo S. Succes510ni
144
f'
S"T'Ù'
Esempi
2.8 .
S ia data
L
~~ c o n a
.-,
2: O. risu lta , per
.--
i a"
V
tI"
Tl
+:x
---->
a
= n
-o
" per ciò la ser ie d ata. converge .
~
2.9.
Sia data
L
.-,
Calcoliamo
:.-."'u" . con CI E IR.,
(1
>
O; r i>su lt. a
'1"/" : basterà cs\c o lare (cfr. paragrafo 2 .5 )
lirn
,, ~~ =
lim log n 0/" = lirn ~IOgTL = O
n_+",,·
n_ +"" n
e p erc iò
lirn
,,-+""
,.00 / n = 1. Dunque, se Il
< 1 la serie converge. Se
'L
> 1 la serie
di\'er~e . Se
~
a = 1 la serie d iventa
(le
Va Efi{
L
TI '"
e g ià ,,;al'piamo dw P"l" o
< - 1 quest a ,.,.,r;(, è nlnvergente,
p<".r
2: -1 divergente .
• Criterio dd mpporlo. S ia
L
a n una serie a termini positivi. Se esis t e il limite
lim
n-+-.,.-oc
{!..,.
e se l > 1 la serie d iverge, se l < l la serie co nve r ge; se l
concludere.
1 nulla si può
Esempio
2.10. La serie
L
~ è cOllvecgcntc. In fa tti:
n = O
lim
n _+ oo
1/(/1 + l) '
l /n!
lim
n - '+ "-'
l
n
+
l
=
O
P iù ava.nt i nlOstrerC!Ilo c he I" >;umma d i q llelit a 8€ri.., ;, "-
Dimostrazione dei criteri di convergenza per le serle
8
termini positivi
Proviamo ora i crit eri di convergenza che abbiamo enu ncia t.o. COTIlC s i vedrà ,
q u esti son o una con seguen\e:a della regolar it à d elle serie a termini posi t ivi, che a
sua volta !"{ip e nde dal teor e ma 1. 1 (pag. 129), di esist enza dellirn it!c' per suece~sio ll i
nlono tone .
..
,
2 . Serie Tl-wne,,:dlf:
• Dimost1v: zi.011e dci cdterio d el conjn:m t.o (pag. 142).
im piegate ncll'e nunciA.t.l), sia:
,i ..
=-
L
Con le stesse not.t\.zion i
"
' " b.
" ~ L."
al,,;
S•
k-= L
k= l
Poich ~ 0 :-:; a l" :::; bk per ogni k , somm a n d o Tllt:mbro " mC'mbro le disugua gHaTl2e per
k d a 1 a n, s i o ttie ne O < s" :S: s~. S appiamo già che una serie a term in i positivi
è r egu lare , ossia o COIlVcl ' ge o d ive rge (non può oscill a re) . Dunq ue le afferma.ti' m i
i) e ii ) son o log icam Pll te equivalenti, p erciò b asto. dimostra r e lo. secon dB., che è
immedima 'perché:
~
(li re ch e
L
a " di ver ge signifk:a. , p e r definiz.io n e di serie d ivergent.e, d ,e
8", -
+OC.
n~l
D'altro ca n to è s.. :S: s;" p e rc iò, per il crilerio d ci con fro n to per le s llece!iRioni ,
anche s;. --" + 00 , ossia :C:=l b n d ive r g e.
• D imostruzione del criterio del confroni-o a.$int otico (pag. 142) . Di re che
(l •• ' "
Un
per n --- ao s ig n ifica c h e ~ - 1 per n - 00: quest o implic a chc pç r o gni E > U
" iA. dF>fìnitiva mente l - E <.!!:.u.., < 1 + E , ad cst:rnp io (sceg lie ndo E = ~) che sia
"
1
GOl
2
b"
- < o!ìsìa (p o iché p e r ip ot-esi b..
l
2"bn
3
2
< -
> O)
<
3
Un
< -2 bn
defi ni t i '~d1ncn te
P e r il t,eorema d el r:onfro n to , la p r inu\ delle d uc disugu agliaIl;,r;~ irn ~ l ic a ('he se
c onver g e , a n che L: bn con verg e , m e nlre la. second a imp lica che ~ L a n
d h'cr ge, a nch e L:b.. diverge. Q uest o sign ifica a p pu nto che le serie hanno lo stcs:so
caratt e re.
O
L: a....
• Dimos trazio ne del criteriQ della ra di ce (p ag, 11 3), Sup p o n iamo p rima. c h e sia:
~ =l
< 1
P o ic h é ;ya:;; _ l , a UotB. fissB.to comunqu e un E > U, defi nitivamente yIli;:S: l
D'alt ro canto l < 1 , p crciò è anch e l < l - e p e r u n c > O oppo rtu n o.
P e r q u esto f: si ha du n que ch e, definit ivam e n te
~ :5 l
C
+ '2 < (1- E) +
E
2'
+ ~.
= 1
c quind i
Per confront o con la. !;el'ie )l;eornet ric a convergente :C~= l ( 1 - ~ )n, la serie di par~
t e ll zh conve rge .
146
Capitolo 3. Sw::ce.UWI'U
",ene
II:
Se ora, invece, è
1im
n_+oo
~= l
> 1
con un ragionamento simile si deduce che
an >
definitivamente, per un certo
(l + ~r
e > O. Dunque a., -
+00, e la. serie diverge.
O
• Dimostrazione del criterio del rapporto (pag. 144). È simile alla precedente.
Supponiamo prima che sia;
,m
\'
a,,+1
l
--~
,,_+00 Un
< 1
Ragionando come nella dimostrazione precedente, si ha che:
a...+l«1_~)
a.
definitivamente, per qualche e
a .. +l <
(l -
>
~)
2
Q. Ciò implica, ragionando iterativamente, che:
an <
(1 -
~)
. (1 - ~) an~1 < ...
«l-~ral
Per confronto con la serie geometrica convergente E::'1 (1 - ~)" alt la serie di
partenza. converge.
Se ora, invece, è
con un ragionamento sim..ile si deduce che
a"+I>
(1 + ~r
al
definitivamente, per un certo € > O. Dunque a n _ +00, e la serie diverge.
O
Vale la pena. osservare il seguente fatto, che talvolta ci sarà. utile: come s i
vede dalle dimostrazioni appena svolte, sia nel criterio della radice che in quello
del rapporto, se l > 1 non solo la serie non converye ma, addirittura, il tennine
generale della serie tende a +<Xl.
2.3.
Serie a termini di segno variabile
Torniamo allo studio delle serie a termini d i segno qualsiasi. l c riteri visti in
precedenza per le serie a termini positivi possono applicarsi anche a serie con
termini qualsiasi , grazie alla seguente affermazione.
Data la. serie E Un, consideriamo hl. serie dei moduli, E la"l; questa è una.
serie a termini reali non negativi. Si può dimostrare che:
Se la serie
E la" t
è converyente, allora anche la serie
E a"
è converyente.
@
2 . Sene numenchc
88-08-0TII4T_I
147
Come presto vedremo, l'asserto non è invertibilc; cioè può accadere che la serie
1: a" sia convergente, ma non 16 serie L 1a..1. Conviene allora indicare con un
nome apposito la circostanza che sia l'una chc l'altra serie siano convergenti.
Una serie La" si dirà assolutamente convergente se converge la serie L lanl.
Dunquc la. convergenza assoluta implica la convergenza (ordinaria), detta
anche convergenza semplice; il viceversa non è vero.
Esempio
~
2.11. La se r ie
L
(- 1)" Ine>, con
o> l
si ha
è convergente, anzi assolutamente convergente. Infatti
(-1)"1 __1
1
n'"
~
e la. serie
L .:..
"O,
è convergente per '"
>
nOI
L Se '" = 1 nulla, per il m omento, possiamo conclu-
dere circa la convergenza della serie data, poiché la serie dei valori &S5Oluti corrispondente è
lo. serie o.rmonie.. , che è divergente.
~
Most.reremo ora che
L: (-l)" / n
"o.
è convergente, fornendo cosI un esempio di
serie convergente, ma non assolutamente convergent.e .
• Serie a termini di segnQ alteTTIato. Criterio di Leibnu. Consideriamo serie che
si presentano sotto la forma
~
L (- l)na ..
con
a n > O \In
n_O
Per queste serie vale il segucnte criterio di convergenza, detto criterio di Leibnu .
~
Sia data la serie
L (-l )na..,
con a .. > O, '<In E IN. Se
n=O
i) la successione {a,.} è decrescente.
ii) Hm a n = O
n_+oo
allora la. serie è convergente. lnoltre, le somme parziali di indice pari approssimano
la somma per eccesso, quelle di indice dispari per difetto; il resto della serie è
maggiorato, in valore assoluto, dal primo termine trascura.to.
Si noti che la. successione delle somme parziali di una serie a segni alterni ha
la forma:
SI = - al
S2 = - al +a2
SJ =- al+~-a3
...................................
Sn = -al +~ -a3+ ...
+ (_ l )n an
148
dove gli ai sono t u t ti 2:: Q. Se u.llor a la suc('t!ssione a" tende a zero monotonamente, l'l'lnda.rnento di Un C d i Sn è d ci tip o desc ritto dalla figu ra seguente, l':he
sostanziaLment e contiene la di m m;t raz io ne del c r iterio di Lf! ibni-z:
•
0, t'
~ ~ ~,,, , "
"'l
-
,
,
r-
~2
,
.... - - - - .... ~
'
'>:d - -f----,--- ::-,..
,, " ,
,
.!
~
.
~
- -
,
,
,
•
,
I
• I
,
-
,
,
'}34
.'
,,
,
,,,
,
",
... , ....
- --.,.-- - .. - - - -- ---, --1
,.' '
,
,
..
"
,
. .~./ "---"'---.::-....--1.''-, - ---\,
,,
-, - ~ ~ ~ i ~ - - - , - , ~ :'"
"
.
~----'l
"
,
,
,
!'
:)
Figura 4
Esempi
2.12. Applicando il
ctìl.c~io
di Le iòniz osserviamo che le
~rie
.ç-. (- l }'"
L-
"
SOllO entrambe co nv",rgenti (la pr irn" è a.5bOlu tamen l.e t:o n W'rgen te, la se.::oud ... Il O). La prima
serie è rapidlUllente COtlv"rgente. S o mmando infa tti i primi 6 term in i de lla serie
I
l l l l l
1- I...j... - - - + - - _ -:m = 0 .36
:2
r. 24 120
.
RÌ oHitone u n valore per difetto d ella som ma con un e rrore chI': non ~ upera 1 / 6 ! = 1/ 720.
~'lO$tn;remo cile t a le somma il ~.
La. second". serie è lent am ente conn'rgent e; p,~r a~'ere un valore deU~ !;t)mma approssi", ,,to (per ec<:<...~o ) a meno di 1/ 100 bisogna som mare 99 ter m ini! Game V(:dr.!rno, l" ~omm a
dì q uesta serie u log'2; ma la SC,nC no n € adatta al calcol o appr05Sinl11 t o d i q uesto rmm ero .
2.13.
.ç-. ( - l )' ~
n:l+ n
L....
.-,
È una sedc ti segni r..lu!rn i. a., = "(','-. '0 è posi th'o,~ ten de a zero . Dobbiamo ~'"rificare se è
decresc ent e. Q~""'ero:
n
S
-::--::-oi''''-::-?i
(71 1)(n '2)
" - l
n (n + l)
~ia
n1~n~+ n_2
@ .....·<l 8-<l Tr; .. [email protected]
149
vero peT 11 2: 2_ D unque si P\\Ò applinuc il crit(Or iQ di L eibni... e coIldudere che lA.
COTlv,~ r K". V<xiTnIl o cl,,: il r.a.Jcol"
\lU i, s uccessione io mOOQto llQ .
~r ie
~.~
d ;!f",-.,nziale ò dara tlll me todo più rapido l't'T d « ider e
Osscn 'iamo che t ut.t i i criteri ~o p{"a presentat i per le serie a ter min i pO!'òiUvi o d i
segn o a1 te r liO possono c:;.sere a pplicat.i an che se i ter m ini sono definitivamente di
~gno positivo (1 a !r.!'Tllo; infat t.i il carattere d i unA serie (cioè il fa.l l o d i t::!sse rt::!
c o n"t'Tge nt.e, diver gente o irregolare) n o n camb ia. ~~ f;i altera, si 6ggiun gc o si
:3opprim c un nu mero fi uito d i ternlini.
Ese mpi
~
L~
2:. 14.
,,-,
-"-,
Scri .... iarm"
~
l+ (_ I )"'n 2
n'
-. -,
2:: n + l ......n'(- 1)" n 2 = L
;'+ l +
n'
t
" =1
-( - nI- )"
~rché Q" ..... ~: IfI. seconda <':On~·erge per il criterio di Lei bniz ; quindi
di parlenZ<l. t;tm \-crgn. Abbiamo qui n satu un fatto Renera l",
LfI. pri ma ..erie conve rg"
la
~ric
~
»e
L
~ _l
~
ILI< t:O ll ,"c rg~ , e
~
L
bk c onverge, allon_
"' .... 1
c<)me si verifica vedendo la se rie com e lim it e dell a
c a n do il teore",a sul lim ite della somma.
2: ("lo + b~)
eo nv~ r g(l,
/0 ,... 1
eI!CCeS~iI)lle
delle
~mme
pania.\i , e appli-
f:<-l)' [v"' ~,~ - I)"l
2 . 15 .
""'1
Scriv iamo,
L a prima serie conv"rg~: p , :r il c riterio di Leil",!,,; la ~:ond a di~<e rge (ser ie armonic a ), q uindi
s(~ric di partenza cliver~ e. Pi,·, in g enerale;
-
11:1.
se
p': l"
-
L a. conver ge c L bk d iver ge , fl.ll,.ra L (Qk +b.. )
diverRe,
lo ,.,tesso argomento usato lU!IJ'ctlClu pio prccooeot e .
Q uesto {'!;" lIlpio è interessan te a n che per il seguente mot ; yo. S i noli che,
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Dunque la se ri., di paTtp n7.3 è una »erie a segni alterni , e. il ~ uo t..,nn;n e gen(Or fl.lp. t e n de a
zero . Se aifnmas." ilfLO che eSStl cunvt<rg" p er il c rit e r io di L eilmlz , d iremmo il falso ((.bbiamo
\,i~to et", la ""dc divI'trg(1 ). Il pu nto è che non a b biamo veri ficato l'alt.!"a ip o tf'_"i d "l ç r iter io d i
L ei lm iz, o~~ia che v:.. +~-I) " sia m , ... al oRa dec "eSCt~f1t fl. E vjdentclnente, quest : i?Qt~; non io
verifica ta . r:Per ,:sel"çi7.1n lo stucl'~ llte tahuli i primi l O valnri d e lla "" ' (T.,osHione, ,: osscn·j cosa
ac.-:.ode) _
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Esercizi
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secon d a r.i rc onfe l"1:! n z a ins c r lt t'" in q u e s t o triangolo . poi a U C<)rI:!. un t r ia n g olo equilate ro inscr itl.< ,
nella se<.'ond n c ir confere nza , e così v ia. Ca.I ~ ll!.re
la s omma deUc aree d e gli in fi n iti triangoli {".<.mi o t tenuti ( v . fi ç;ur3).
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4
1.
1.1.
Funzioni di una variabile,
limiti e continuità
FUNZIONI NUMERICHE. GENERALITÀ
Funzioni reali di variabile reale. Grafico
Il con cetto di fu nzione è s tato i nt rodot to nel capitolo l , par. 9 . Le f u nz ioni d i
cu i c i occuperemo a p a rtire da questo capitolo, son o le funzioni reali ,ii variabile
1TXIlc, ossia le fu nzio n i p e r cu i sia la variabi le d i "ingresso" che quella d i "u s cita"
SOIlO n u meri reali. L a fu nzion e ha dunq ue per dom inio un sottoi nsienc di IR e p er
codomini o IR l' immagine d i f 8arà a nch'essa un sottoinsiem e di i l:
f : D_ IR conDç IR
f
CI '~
f (x )
Le fn llz ioni p lU eornuni, come vcdrclno, hanno c onl C dOluin io e come immagine
u n i n ter'V/lll o (che even t ualmente è tut.t o 1Ft) o l'tmione di un n u mero fini lo d i
in te rvalli (d r. par. 4 del cap. l ) .
La dipendenza d i ! ( x ) da x s i v i!m alizza CffiCtH;emente d isegn a n do i l grafico
di f , ossia l'i w"ieme d ei p u n ti d el piano di coord inate (x , y ) COTI
Y = I (x )
e x "\nriahile nel d omin io D ( v . fig . la) . P cr le funzion i più com uni , il grafico è
una curva, n e l SCIl...<:a intuiti vo d e l t erm ine.
1
( x , f(x ! )
" ~------Figura l a
G.;>fico d i l"'" fUflz ion" d i do m in io O =
Cl.
,---",:-
~.
bi-
L a p roprietà fondament a le ch c fa d i f u na funzione, ossia il fatto c he ad ogn i
i ngresso x E D f accia l:or rispondcH:' uni' {' !,na 8ula uscit.a I (x ) E IR, ha. a.lIo ra
il seguente s ign ificl;!.t.o geometrico: ogni ret t a parA.lle lA. A.ll'a:;sc delle ordinat e ch e
t aglia "asse delle ascisSE: in un punt.n x d e! rlo nlinio D , interseca il gra.fico di f ilL
un o e u n sol punt.Q . I nfa tt.i. se la retta no n intersecas...;e il grafico significhere bbe
che a ll'ingresso x n o n co r rispo nd e a lcu ml 1 J.~ i t.a , ml'ntre ~ lo interseca.:.:>e in p iù
d i un p unto signifì ch crebbf' ('he all' ingresso x c.orrispo ndono più uscil.e dist i 1! t~,
esdendo quindi l'unhmciLa. d eUa funz.io nc ( v . lìg. l b).
J(:r )?
~. ,
Fi&\lfil lb QUe$t .. Cu rv" no" " il gr.. fi co d i un ..
fu "zi~ :
a ll ' ingresso z qua l.. "'-Cit '" f(z ) eorn sp ond ..1
UU ti reLta parallela all'asse d e lle alj c ì.~.~e
tagli il grafico di f in p iù punti (o in lleSSlln punto).
P e r le funzioni reali di va riabile rcale s i po~ fl O intruduITc a lcune importa nti
nO'.Li.oni, che n o n r;emrre hanno senso per funz ion i di ti po p iù generale.
Si noti ch e, invece, nulla im ped isce che
1.2.
Funzioni limita te
Se il grafico d i una. funzio ne f: D
- III ò c o n tenuto nel scmipiOTlQ infe rio ro,
delimitato da u na rett a [)hrallela all'asse d elle ascisse, per esempio d i equazione
y = ld, la funz io n e si d ice lim itat a .'juperi o"n~nt ~. AnA.lit.icamente signifi cA. che
I (x )
:s Al
xE D
per ogn i
Analogament e, f si d ir à limitata inferiormente se il suu grafico è co ntenuto nel
seruipiano superiore
/ (x ) ~
m
x ED
per ogni
lI na fun zione si d irà limitata se è limit alA. sia in ferio rme nte che s uperior mente.
Il grafic..'O d i una fun done limitat a è conten uto in Ulltl s tr L'jcia o rizzon tale del
p iano xy.
P er e/:lcmpio :
.. x
t-----;.
x J , x E 1Ft, non è limitata né sup e ri()rme n te , n é inferiornLente .
.. x
I------>
x 2 , x E lR., è lim it.ata illfeTiorrru'..llt c ; infu.t.ti
.. x =---- ~.
x
l I ·", .
E
m., è
limit.at.u, poiche l) < ,,~1.2
~
:::;
X2
~ 0 , V x E IR. .
1 , ';. x E IR.
''''''',-_-,153
,@"-O"O'""o"o~""~'o" '~'"',--________________l" ,-,F">'.""",,ioé":--i"
"'0"''''''"''''' '",,_,',0'''''"'0=
...
1
X
I------>
.r 3
1+ x2
n on li m itat a
l;mi~ata
[;," ,t"ta inf.. r ion ".,,,u,
( IL o' ~ "p"rin n "en \ ....
"" i " r"ri<>r"''''' l '')
Figura 2
1.3.
Funzioni simmetriche
I grand di a lcune funz ioni p reselltallO particolari p r oprie tà di siunnetria. Per
esempio vi sono funzion i il c ui grafico è simmetrico rit;petto all ' ~:3 e delle ordinat t:.
Queste flln:doni si ch iamano funz ioni pari, han n o \l n d omi n io s immetrico rispetto
a x = O (ti p icruncnt c un i nt~tvallo d el tipo ( - a, a )) e sono car atte r iz<\i\t e dalla
relazione
f( - x )
~
1(" )
(Ll )
c he espri me l'ug uagl ianza delle o rù inat e corris pondent i ai punti x c - T, simmet. rici
rispetto a x = O.
Funzioni che hanno il g r afico s i mnl N .rico r is p etto all'o rigin e si chiarllanQ d i-~pa ri; a n ch'esse han no dOlu inio silf,n.et r ico ris pe t t o a x = O e sono caratteriZVlt e
dalla relazi one
J( - x )
(1.2)
- / (x )
I (x}
- x
- o
x
o
- /(x)
)(TafiCO di UTili fim~i(jnc
Fig •..,. 3
Per e!;eulp io, la funzio ne :r
o-----------,. X2
è p a ri, rne ntre
:1'
l--------->
x 3 è dispari.
di spari
Capitolo 4. Fhnrioru di una variabile, limiti e colltmultò.
154
1.4.
Funzioni monotone
U na funzione s i dice monotona crescente o non decrescente se per ogni coppia di
punti X l , :1:2 nel dominio di f si ha:
(1.3)
Se nella. ( 1.3) vrue il maggiore a n ziché il maggiore o uguale si dice che f è strettamente crescente.
Se invece nella ( 1.3) si sostituisce ... ~" con .. ::;;" f si dice decrescente o non
crescente; se poi la (1.3) vale con .. <" anziché con "S" f si dirà strettamente
decrescente.
In altri termini : f è c rescente (strettame nte c rescente) se, all'aumentare di x ,
l'ordinata corrispondente sul grafico non diminuisce (aumenta); f è decrescente
(strettamente decrescente) se, all'aumentare di x, l'ordinata corrispondente no n
aumenta (diminuisce).
...
funzione nqn .ucrucenu
(I<i noti il tratto orizzontale)
Fiaura 4
Per esempio, x t - - x 3 è strettamente crescente; la funzione costante x ............. k
(che ha come grafico la retta di equazione y = k) è sia. non decrescente sia non
crescente. Thtte queste fu n zioni (crescenti o decrescenti, strettamente o n o n ) s i
dicono m onotone.
1.5.
Funzioni periodiche
La funzione/: D _ IR è periodica di periodo T, T > 0, se T è il più piccolo
numero reale positivo tale che
f(x
•
+ T) =
I (x)
per ogni
x E D
Ogni intervallo di lunghezza T, contenuto in D , s i chiama intervallo di periodicitd.
Basterà disegnare il grafic,? di I su un qualunque intervallo di periodicità, per
conoscere il grafico di f su tutto il dominio.
Tipici esempi di funzioni p eriodiche sono le funzi oni t rigonometriche x >---> s in x
(T = 27f), x +----------+ eosx (T = 27f), x +----------+ tgx (T = 7f) sulle quali torneremo in un
prossi.mo paragrafo.
@
2. L imiti, coniinuitd, a.nntot1
8&-08-07"<17_8
155
?
,, ,
- 6
I
_
5
1
5
,,
6 '
Figura 5 Funzion e periodiCOI di periodo T = 2.
2.
LIMITI, CONTINUITÀ, ASINTOTI
L 'oper azione di limite si può estendere d alle successioni alle funzioni. Potremo
così precisare il comportamento di una fun zione Quando la variabile dipendente
si m u ove vicino a un determinato p u nto oppu re diventa molto grande (in valore
assoluto).
Per precisare la locuzione "vicino a un pun t o " è comoda la nozione d i intorno .
Un intorno di un punto Xo è un intervallo aperto che contiene xo. Intorni molto
u sati sono del tipo (xo - <S,xo + <S), cen trati cioè in xo. Dire che " x si muove
in un intorno d i x o" significa afferm are c he x E (xo - <S, Xo + <S), dove si pens a
O < <S « 1. Si può parlare anche di intorni di +00 o di -00: sono intervalli della
forma (a , +00) o (-00, b), rispettivamente.
Mediante l 'operazione di limit e int rodurremo in seguito i concetti di derivata,
d i d ifferenziale e di integrale per una funzione reale d i variabile reale.
Consideriamo come caso tipico un intervallo I , u n punto c E I e una funzione
I a valor i reali, definita in I , salvo al più nel p u nto c. L'inter vallo I può essere
limitato o illimit.ato, chiuso o aper to; il p unto c può essere interno all'intervallo
oppure uno dei suoi estremi; può anc he essere + 00 o - 00.
Pren diamo o ra una qualu n que successione di punti X n (n = 1,2, ... ), nell'intervallo I e diversi da c, che tenda a c, per n --> + 00.
In corrispondenza alla s u ccessione di ingressi X n , consideriamo la s uccessione
delle uscite I(x n ).
Se, qualunque sia la successione scelta, si ha che I(x n ) tende al limite f (finito
o infinito) si dice che il limite di fCx) per x che tende a c è l! e si scrive
11~f(x) =
l!
opp ure
ICx)
-->
e
I n altri termini:
Hm f(x) = l! se, per ogni successione {Xn} di punti in I d iversi da c, tale che
,- <
Xn
--.
c si ha fCx .. )
-->
I., per n --. +00.
Notiamo s ubi t.o che se il limite esiste, allora è unico (perché è unico per le
successioni! )
U na funzione che p er x --> Xo tende a. O si d ice infinitesima per x --. xo;
analogamente una fu nzione che tende a ±oo si dice infinita.
Captwlo
156
4- Hm.ztoni
di una 1iariubile." limi ti" c071linu it à
@
8 i1--0,,"OT li4'T-1I
Quando c ed l s o no fin i ti s i può anche prCC i!HUC hl d irezio ne con la q uale ci ~i
avvicina a c (da de~tra o da s i n istra r ispetto a c) e , in corris p onde nza, quella c on
la q uale J (x ) s i avvic in a a l (p e r eccesso, c ioè da sopra, o per d ifetto , c io è da
sotto ) .
P a rleremo a llo ra di limiti de stro o s inist rv ( c scriveremo x ----;. c+, X - > c
ris p e ttiva mente) , per eccessO o per dife tto (e scriveremo ! (x ) _ /.+ , J ( x ) _ f - ,
ris p ettivament e) .
•
lim
" __ I -I-
Figu~iI
! (x) =
,~
+00
~:~
1
L _________
,
li", I ( x) '""""'
l i, ,,
- ,:,o
r - - ~3 -
", _ 1 -
I Cx ) = +=
li m
i ( x ) "-- 1+
,, _ 3~
6
Si può d imostra re ftlCilmellte che
lim [ (x ) =
x- c
t
se c solo se
h m J (x ) = f
,, _ · ~c+
=
1illl f (x )
;,- _
ç -
Se f è definita in (a, b) , il limite p er x _ Il ( rispet t ivam eut e x _ b) è autonm ticamente u n limite d estro (ri;;pett ivument e sinis tro) .
Le figure sott ostanti illustrano a lcu n e ;:situa zion i t ipiche
1
/
J { c ) =[ j '- ' -- - - - - (
l ~ i -7
l in,
f Cz ) = f(c )
.~
I l+ --'''- --
---1-_ , ___
. __
hm J (x ) =
+=
,
,, -----c '
1~
1 ~
T\r F------1im
J (o; ) = 1-
V)
l im
"' - ..C'..
Figur" 7
V I)
lim
[ ( "' ) = 1
, .r
."
[ (xì
= - '-'C
hm J ( x ) = +oc
@
88_ 0 8-_ 0 '7547_~
2. Lim iti • •.nntinui fà, a.,ln toti
157
Il l imi te di u na fun zi o ne p uò anc h e non eRistere; p er esem p Io
liln
z~ - . - "'"
;Hll x
no n
c~ i::;t e
Per vcd e rlo è !;ufficicnte t r ovare rlue buccession i {X k } e {Yk } d ivergenti a +=
tali che sin Xk e s in Yk t e ndano ti. duc limiti di-v ersi. S i può scegl iere X I. -= k"i7 e
1Ik = -i + '2k .. ; i n corrisponden za d i tali s uccessioni si ha sin Tk = O e s in Yk = 1 e
qu in di la defini z ione d i l imit e non è soddi ~ fatHI.!
Analogarne.nte:
1
!im si n x
X ~O
non esiste
Infatti : s ia Xk = 1/( 2kIr ), Yk = l / (-~- + 2hr) . Entramb e l e s uccession i tendono a
O, rna s i n ~ = O, s i n....l.. = 1. Poiché lungo successioni d iverse cbe t e ll(.!ono a O l a
"k
!lk
funzi one ha li m iti d ive rsi, illirnitc d i partcnza n o n esiste .
L a sit uazione è a naloga a ll'esempio precedente , ma quest.a volt.a l a funzione
h a in finitc o scillazioni in uno l'ipazio fini to (perciò n o n è possibi le mat.erialmente
d isegnarne il grafico i n tutto l'intervallo ( 0, 1 ), a d esempio ; s i veda la figura 8 ) .
ù .2
o.,
FIgura (I
Le figure 7. 1 - 7 .V I evidelv.iano e o m p orlfilnent-i diver s i t ra loro .
• ~el C&<;O 7 .1 il valore dci limite l coi ncide col "alore d e lla funzione in x = c . L a
circo stanza merit a Ulla defi n iz ion e :
Se c E (a , b) e Em f (x) = f( c ), s i dù;e che / è cont.inua
In
c.
, ~ c
S e f € conti n ua in tutti i p u n ti d i (a , ,)) di remo selll p licemente che
in (a, b)_
f è continua
• Una funzi one non continua in un p \l n t o c !ò i dioe disCiJ ntinua i n c_ L a fUIIzione
7.II presenta un CIl...'J O tipi c o di discontinuità a s alto , che s i verifica q uan d o i limiti
d t"~~tT'O e sinis f-ro esisto-n o fin iti, rn a d i versi t r a loro _ 11 s tt lt.o f. cost itu ito d all~1.
d ifferenza d ei l imi t i e prccis <'\ tIle ntc: salt o i n c = i l - t'l'
Capi tolo 4. Fttnzitm' di una. ' .' flriabik . limiti
t'_
c(mtinuità
Se u no dci d u e l imiti I I o E'l coinc ide con f(c ) s i d ice che f è continua <la destra
(come in II)) o da sini.~ t nJ., rispettiv'd-mente .
Le fUllzioni che p resent ano d iscontinui tà a s alt o si prestano bene a modellizzarc fenomeni ehe reg is t.ra n o brusch i cambiamenti.
L e fu nzioni continue , d'altro canto , devono la loro importanza al fatto che
lim f (x) = J (.7:o) può essere interpretato dicend o ehe "se x è vicino a x o" allora
X~ "' O
" f (x) è v icino a f(xo)" , o&;ia
piccole \'-ariru-joni di x
I---->
LI_ "f__I------> piccole variazioni d i f (x )
Per cogl ierne la. rilevanza, p e ns iamo al seguente problema: n o to Xo c nota f ,
m ediante u na calcolatrice t a.<;cab ilc , c alco la re f (x u)·
Se Xo è un n unlcro irraz iollale, la cak:olat rice appro.ssim a Xo con Xo +nx ( ~x
è l'errore comme;so n e ll'ap prossim <lzione) € ea.lcol a di eom;eguenza J(xo + ~ x) ,
i'!.pprossimi'!.ndo ult eriormente il rifllIita.to final e .
Se f è conti nua in X o e I ~x l « l (cioè l'errorc assoluto I~x l è m o lto J"iccolo) è
ragione \'ole considerare il risu lt.ato ottenuto c o me una buona i'!.pprossirnazionc d el
risu l ta to finale. 1\.la se f è d isc o nt.inua co me n el c11.<;o 7.lI , i II corrispondenza di uno
sposta.m e nto, anche piccol issimo, a sinist ra di Xo , s i trova u n va lo re f (xo + ~x )
molto diverso da J (x (J) .
lim f( x) = +=. S i dice, in questo caso, che la retta
",-,,+
vertic ale di equazione x = c è asintoto verticale per f (da destra). Analogamente,
nel caso 7 .V si d ice che x = r; è asintot o verticale da s inistra.
•
N el
CllSO
7 .III s i h i'!.
• S i dice i nvece ch e f ha U ll (~~intoto orizzontale di equaz-ionc y = t per x _ +:x.
oppure per x _ - ex; se li.m f(x ) = t oppure Hm J(x ) = i , rispett.i vt-1.Inent.e .
J '~
:>;--++0>0
-- ex>
L a prima ci r costa.nza è i llustr a ta tlclla figuri'!. 7.I V
•
Nel ca.<;o 7.VI,
Hm
"' ~ ~ ()C
J (:!: )
+:x e quind i , a l crescere d i x , l'o rdina ta c o rri-
=
s p ondentp. cresce olt.re ogni quot.a . Può darsi che in una s i t uaz ione come questa
esista una retta di equ azion e y = 1nx + q, rH "" 0, tale che
liIIl
X---->TOC
! f(x ) - (mer + (l )]
•
= 0_
L a (2 .1 ) esprime il fa\.t-O che la d is t anza dci g rafico di
per x - += ( figura 12).
(2_ 1)
f
dalla retta tende a ze ro
Se si verifica ( 2.1 ) si dice che la ret.ta di equazione '!J = mx+ q è asintoto (obliqu o )
per f a ±OG.
La (2 .1 ) è equi valente a llft seguente coppi a di c o ndi zion i:
i)
ii)
Hm
o< --· ±oo
f (x)j x = m ( p e n dcm..a limite del grafieo d i f)
Iim [/ (x ) - rnx] =
" . ±oo
Q
( ordin a t a all 'o rig ine dell'a.<;i nt oto)
·9. AtTutani dunentari
)
L.'!i9
..... Y = lIu: +q
,
r
--''
Fia:ur.9 La retta d i equ:ozio ',,~ " "'" mr
+q
~ asi nt o t o per
J ..
+00 .
3. FUNZIONI ELEMENTARI
EsAminiamo in 'luesto paragrafo alcu ne tra le p iù comuni funz-ioni numerich e,
cv iden ;,-jandone le p ro prietà principali e se6IJ~l a ndoll'" Il!'\O {' int-O"rprp.I.<I? in np. i n
qu ~ch(' contesto a pplicati vo.
Lo fl tudemc conO$Cerà già., probabiLmente, la maggior purte di queste funzioni .
Si t.enga presente che le p ropriet.à che qui richituneremo brevemente ( p roprie tà algebriche e loro utilì7.'l.o, j,trafici,
) devono esstlr e po::!Sedute c.:on padrOU8fl 7.a,
p er poter procedere con efficacia nello studio del calcolo infinitesimale. Lo 5tud ('nte che trovasse di lficoltA, ad e8ernpio, nello ~vo l gcre gli esercizi ri portA.ti a llA.
fin e di qUefjto pa.ra.grafo. è invitat o a dedicare qualche tempo allo ~1: udio di questi
argomenti c1ementari.<l)
3 .1.
Funzioni p o tenza
Ri!lcrviamo la
rlenomiTl~ io nc
d i fu.nzioni pote.nza a. funzioni del tipo seguente:
: I(I) ~ kx" I
(a'" O)
(3.1)
dove k e a sono n umeri rel\li. In generale . queste funzion i sono definite !lolo p e r
3; > O, se ex > O, e per x > 0 , se et < 0_
La (3 . 1) indica. che l'u scita. J(:1;) è proporzionale , secondo la. cu;tante d i proporzionalità k , a x"' . Negli esemp i sot-tost,a.nti us ia m o letter e p iù appro p ri ate alla
~i tn azione , per l'ingrestiO e l'uscita .
• j\1oto rettili1lco uniforme. L a nota legge cine ru(\[.ica
s(t ) = v ·t
(l )Si
rimanda . ad t"!;"mpio, al
L
J
s pazio
t empo
t.slO, :;"'1. Bra!lla.nli,
l'n:C(1/r:uhu. ed. Es<." lapio.
160
Capi tolo 4. l'ùnziou i di. u n a vun :abilc . li m iti " contin uità
e~pr i mc
la prop orzionalit à dello spazio pCITo r.s.o r ispetto al tempo impiegato a
percorrer lo . La. cost ant.e d i prop orzio n alit à è la velocità.
• Cal' fU:ità d i 'Un condensatore . I n un comune condensat o re . la quanti tà d i carica
Q pre;cnt e sulle a rmat.lI l"C e la d ifferenza d i potenziale ~ v'- esif'tent-e tra ques t e
sono legat e dalla. formula
Q =C·.ò.F
L a cos tante d i propor:t:ionalit-à. C è la ca pacità del condcn•..,at-ore.
::\'ci due esempi p recedent i ahbiaIno du n que leggi del t ipo
(o: = l llelia. (3.1))
Il grafico a l variare d i k di
f è
ben no to:
y = kx
.,
le. = t.g 8 = pend enza
su ll 'asse x
Figura lO
• Trasf01'n Hm on i isoterme. In una trasforlllaz io n e a temperatura costant e di una
mol e di un gfl...<; i deale , pression e e vol ume sono l egati dalla l ep;ge
R'1'
P=v
C ioè, p è i nversamcnt.c proporzionale a F second.o l a cost ante RT, dove
R = 1,986 cal j K c T è la. temper ai.ura assoluta.
• Po/.eru:iale elettrico ge nerato da una c(wictl pv.ntifon n e q. Sia q una carica
elettrica concent rat a in un punto Q dello spazio. Se P è un a ltro p unt.o a. d ist.an',';a
r da Q, i l potenziale i n Q prodotto dalla carica I] è dato da
V = h1
r
dove h è una cost untc che d ipende dalle uni tà di misura us a t e .
Ancora, V è i nven;.arnente p ro porziollal e ana dis t aIl7.a tra P c Q.
:-Jci d u e esempi precedenti . a h h i amo le ggi dci tipo "p ropor zionalità i nversa":
:
l; f(x)
k!
,
x _
~ ~
( a = - 1 n e lla (3. 1 )
:i. F unzioni elemerlt<lri
l6l
Al va riare di k (ch e qu i co n s iderialllo > O) si o t tieae una fami g lia d i iperbo li
equ ila tere.
,,
,,
,
____
o
lI~kl
x
>
k,
,,
,,
k
"
- . - - - ---1-
-Fjlu~3
,,
,,
,,
,,
,,
11
Os.-;erVialllO che
Hm
~
:r-±<">Ox
=
0, quinù i li = O è a..">in tot o orizzoll1:alt!, e c he
.
k
111 rJ - =- ±= e q u indi x = O è asintoto vcrtÌ<..:a.lc .
.I:_o r X
• S I,perficlf:! t ! v n lumt! di tHl.a sf era in f unzione. d el ruggio. Per
r , super ficie e vo l u me sono assegnat_i dalle fo rrnule seguenti.:
ulla
sfer a d i raggio
4
li' = _ 'ITr 3
3
C ioè, la. s uperficie il p ropor2io nale al quad n l1..o d el r aggio , mentre il volume è
propt'frzio n a le al SIlO cubo.
A b bia.mo dunque leggi dci tipo
S =
4 "ilT 2
[f (x ) = kx'"
i
(:on
n = 2,1\ = 3
c ui g:rafici a l variare di k so n o rtlppre N:!Jltati q ui di F.eguito:
,
!,
Il - k:!:r ~
y = k:r2
,,
,,
,,
,•
,,,
,
,!
,
,,
,,
,
,
'.,
"
/
/
,
Figuròl 12
Il = kil"
,•
,,
,/
,,
,
,, ,
,,
--
l I - kzl
,,
, 11 =
k,z-l
Si vede c he
~ '1 1
è in tero natUl"ale (e , .sem p re, k
> O)
./ +OC
lim k x '" = + 00
m entre
lim kx" = ./
co:
~-
""
'-....
-00
tiC
n è p;:ui
tiC
n El d is pari
• M oto lungo un piano inclinato. Se una. ~ fcr et. La d'a.cr.iaio rotola !;eIl;f.1\ attrito
lungo un pia no inclinat o d al pun to B a l p u nto .11 come in fi g ura. !:iotto lo. sola
azione d e lla gra.viLà, giunge " I punto A con
\'elo cità data dalla formul a
= V2gh
1.'
(g = acceler azione di gravità ) .
Si tratta d i lilla legge del t ipo
If(x ) ~ kv'X !
(a
=
~ nello. (3 . 1», i cui grafici a l variare
d i k sono Ulust.ra.ti sott.o.
S i vede ch e
Hm
z~+oo
k.Ji =
Figura 1]
+oc .
k,
< k
< k~
Figura 14
• Trasjormazillfli adiabatiche. In una trasforma.-.ione udiahil.tica d i una mole di
u n gas ideale, p ressio ne c voh une sono legati dalla fo rmula
C
1) = \I "'
(c dip<:lldf> dà R e T )
do ve ì = ~ p e r un gas rnonoA.Ì,()mico e ')" =
S i tratt a. di una legge dd ti po
t,
p er u n gas di u t o m icu .
(O' = - ')' n ella (3. 1»
A I varia re d i k. i g rafi ci sono qualitativam cllte ~ mi li a lle ip crb o li della figu rl\ 14
(lim itand osi al primo q uadrante se 'l' è irrazionale o se è una fraz ione rido t ta ai
minim i term ini con deno miu a t o re pari).
Ritornundo a ll'espressione generale f(x ) = k xco
Ca c:
IR, x
~
O) , si può dire che
lc potenzc:
a ) pe.r a g il i Q . sono funzioni (;onllnu f. in l u tto jl lom d om inio; in parlicolare, pe r
ogni Xo nei dominio :
lim x'" = x
"'- 7."
o
$. Am.noni elemento"
b ) Se o: > O. sono !;t·rettamen tc cre;çenti
~
lim
X Ci
~,-+ ~ .
quelli nel primo quad r ante oelln fig u ra 12 se
O < n< l.
(.lo:
=
+=;
lU3
il grafico è !>im ile a
> J , a quelli nella fi gur a 14 se
c ) Se o: < 0 , sono strcttamf:nte decrescenti con g r afico sim ile a quelli d e lla
figu ra. 14, p rimo quad rante. In part ico lare,
liln x" = O e
>l: - ' -00
lim:co. = +oc::
:>o-o·
Ricordiamo ch e l'ope razio ne di elevamento ti p OI.enza è bl"..J1 d efinita per qualunque
se la batlc è p O::; itiva, ma può eS8ere defi n it A. anch e con base negat.iva se
l'C'Sponente è un intero oppure u n razionale (fra.;-:ionc) con den o m inato re di s p a ri .
Ciò sign ifica rhe le funzioni poten z a. p n8so no, in altllni c a "i, essere esteRe a n che
per x < O.
L a fu uzione x"' / " co n n intero d L"lp ari è defin ilA. anche per x < O cd. è pA.ri
se TfI è un intero pari, d ispari IòC m è un inter o dispari. llicapit o liamo i vari casi
possib ili dal punto di vista dei grafici d i q u este fun 'z ioni.
Cominciamo dalle potenze ad ESponente razionale:
~s poncnte
f(x) = :r:,,/n
Tn,n interi ridotti a.i minilni t ermini. L e s it uazio n j qllali t at ivaroellt~ di\'erse,
nel caso in cui l'csponellt e ~ posit-iyo , WllU s<~hcmat. i zza.te d agli esemp i seguenti,
che racco lgono t u tti i casi pOR~ ihili (a parte il ça.'iO bu.n;'l.le J(x ) = x):
CO l l
F lgu~a
15
CapitQjC) . _ Funzioni di uno. variabile, lim'it1 t "" nlinuil.c\
164
Se l'e~poncnte è negativo. le -situazion i qualitR.tivamente divcn>e I)Ono schema tir.zate dagl i esempi seguenti:
\
'~
,
Il
~
:I; - . "
Fig~a
;r - 21>
•
16
P er le funzion i potenza. (~ CS1Xm€'ftle reale (ma n on razionale) la c8.'3istica si semplifica, perché l ex) nOli è definita per x < Q . Le sit,ua:.:ioni possi b ili sono le seguenti:
•
3.5
.•• T'- .
~
" :> l
3 -
,,!
I: ~
(),,~
"
"-,
-,
3.2 .
!f. .l ) ..
J
ro
:t>O n > U
,
!
,
!
I
'J
3
4
Gra d ino di Heaviside ; imllUlso unit a rio (di durata e )
La funzione gradino di Heamnd#'., H :
m.
H (x) = {
~
IR, è a.%egnala dalla fo rmula
x ::: O
x< O
08 !:I!:I -US_O T 5 47_8
3 . .Fu.nzioni e/".mentan
165
È mono t ona no n dP(Tcsr:ent.e con una discontinui tà a salto nel punto x
= 0 , nel
quale t u ttav i a è c o nti n u a dalla destra ( figur a 2 1a ).
L a fUTl:t.ion e di Heavb;ide (o un s u o mult.iplo a H (x)) b en sì p res t a a modelliz_
zare bruschi carn biamenti d i rcg im e in fenomen i evo l utiv i. S i pensi , pcr e5Cm pio ,
fl H (x) com e a un'i n t e n siti'ì l urn i llo "a: fino fI. un determinato istant e (x =
O)
l' intensi tà è. n u lla e ist antancanlent c d iven ta u n it aria.
L'impulso unitario d i durata E (E> O) , I~ : n-t I-------' TR , è dat o da
se
x<O
se
Os x<c
La funzione I" present a due d i5c ont inu it à a
x = e (salt,o = - l / E),
0npure
S fLltO
x ;::O:é:
nei p un ti
=
.7:
O (salto
=
l / e) e
Int erpret.iamo x r.OIlLe tenl po e s u pponimuo di illlpr irnere, a ll'L'itante x = O,
a un oggetto in qui ete una forza di int.ensi t à I,, (x) = ~ per un an:o d i t emp o d i
durata E:. L 'im pulso , dato da intens it.à x tempo = ~ . E , è , cOine si v~de, unitario
ed è rappr esentato d all'area d dl a reg ione ombreggiata in figura 18b .
:h····,
.: .
-
o)
'.'
'J
Figura 18
"l
Gr"di"o d i H" ""isid.! : b ) fun zione impu lso u" it .rio d i
d ur~ t" E .
Si noti come, a l t.e n dere d e lla d u rata E 8 zf' r o , ]'inten s ità. d e lla forza tenda a
+=, ~a.ntenendo l 'impulso costante e u guale a 1. Formalmente , il limite per
E I-------> O di I«x) corrisponde ùunque al conc-ct. t o di irrqru.!t;o unit.ario istantaneo.
L'oggett.o matematit:o me lo modellizza t'i i ch iama di~çI, 7-ibu.zi one (o massa) di Dirne
nell 'o rigine..
La nla&",a di Dir ac non può esser e trattata eome u n a COlnu ue funzione c
pert.a n to evite remo d efi n izi oni precise , !imit andoci a un aspet.to i n t u iti vo. La ::;ua
tratta zione ri g orosa rientra nella tet:wù, delle distribuzi oni, (.) fu nzIon i generali zzate
di Lau re n t Schw an:.
3.3.
Funzioni esponenziali e logaritmiche
Descrh "iamo ora due das::;i ùi funzioni notevoli : le fu nziolli esponenziali ( e l ogarit m iche ) e le f unzio n i cir cola ri o trigo no metriche.
L ' importanza d i q u este du~ d as..">.Ì d i funzioni d eriva d a l far.w che else sono in
un c erto ::;p.nso i p rototi p i uti l i descrivere d u e corri spon denti t:',Tuppi di f~_,llomeni
frequentissirni i n natu ra : i fe n OIne ni di dec.ad iIIle n to (o, al c:ontrario, di crescita)
c i fcno rnenÌ p e riod ici. E sempi di feu Oineni del p rlJl10 ti p o sono : i.l rlecadinl ento
'l
Capitalo 4 _ FUnzioni rl , una ,_'",-i"bile . limiti e cu n tim.n:tà
166
radio i'lttivo, il proce;.-;o di ratIrcddtullf'n t o di IlH corpo, il diflo ndef s i d i un' i nfezione o i l moit i p l iCt3Ts i d i una colonia di b a tteri. E sempi d i fenomen i del secondo
tipo sono: il moto dci p ianet.i. l a propagazione di onde ( meccaniche o elet.trolIlagnetiche) . il mot.o di u n pendolo, cen.i andUlncn'ti d i ~alattic influcnt;ali d i
cara ttere stagionale , ccc. Ora, accad e che spesso le fUl1z ioni ei'poIlen:dali ser vano
a d l-"Scriver e i fenomeni d el p ri mo ti p o ment.re q ud le t rigo nometriche s ia no utili a
d escrive re q ue lli dci secondo tipo . Il motivo profondo di que..st o fa tt.o sarà 1IIf:'_'60
in luce nello st.udio d elle equtì:.' ioni d ifferenzia li (cap. 7 ) .
Se a è un numero real e positivo e di t'er::;o da L la funz ione
f: IR+
!-------->
ili.
si chiama fu n :l ione logaritmo i u base a , nlentre l a fu n :.-_ione
q: IR
0-----------+
g(x ) = a"
IH.-+
s i chiama flll12_ione csponenzialf:: i n oose a,
Le funz ion i .f e .fI sono legat e dalla rela:r. io ne fondamentale
(r > D, a> o,u ;il )l
y = log., x
equ ivale a
.'
(3.2 )
(33)
:l = ali
Pm-i-kolarmentc freq ue n t.e € il c a so i n cui la base a della f UIII;io n€ espon enziale o
logaritmiea sia il numer o e di Nepcro, incont rato nel capi tolo :~ . Ot.tenianlO C001
le funz ion i f'-" e l n x o logx (quando la b ase è e , v iene sotto in tetia) .
Confron t ando invece le funzioni pot.cnz.a (introdotte nel paragrafo 3.1 ) eon II"
funzioni ff>ponenz ia li , notiaIno ch e 18 s t es..-:;a o peHl.Zione a lgebrica di elevamento a
potenza nel campo real e , a h, è alla base della defi ni zio ne d i queste due class i d i
fu n zioni:
- se l'esponente b è fissato e la b ase è variabile a bbia Tllo le funzioni p o t enztl_:
x
tiC
I----->
XO
l a base a è fissata e l'espon ente è va riabi le abbhmo le funzioni
e~poncllzi ali:
x __..., al:
3,1. Se [II I I indica la co ncEn tra,., io ne d i i" n i idrogeno (=- " " mEr o d i moli/cm" :) in uua
soluzione . si definisce COn", miHlnl. de lla :;ua acidità la q u anti t à.
pH
P oiché pc r l'a",,1'''' p ur a 'H~ J
equ i valente a 3ùluziOlw neut ra
b as ica_
=
- IOglO[ H -J- j
10 -' , il corr ispondente p H è p a r i a - log", Hr ~
Se pII > 7 la soluzione i , acida,
:;e
,.
pH <: 7 la. soluzioTlf' <,
3 .2. S,.aricu cli u n condeTlsa.to n ,. I n u n c i rcu ito con capacua " rc";,,tcnza, come q uello
judiçato in lìgu ra 19a, la carica ,, ( ( l '' assegnala dalla formula
,, (t) ~ Q,, - ' i T
ùo"" Q è la carica in i z ia le ( al t.empo t
=
n ) e.,.-
=
Re .
l3 .4)
16 7
Q
c
L
.)
')
Figura 1 9
L.... carica decr el>(,,-' secondo la I~~e esponenziale (3..1 ) c.ome indica.to in figura 2Oh .
L "1 full:.(-ione in (:1.4) 5i p uò scrivere ne lla forma 'l{t) = Q 'L' con il"'" C- II ~ < l.
Hl
Nella t l'l.h c Lla ::;o ttost ttnt.e ::;ono racco ll , ~ le p ri ncipali prop ri~tà delle funz ion i
ot->;ge1.t.o.
f (x ).- l og ;. x
dom in io: (O, ~); im m agir:ie : R ' .'.'"
~D.tinua. in
contiriuid :z't ' (O;~)
<-'- :-. .
- -'..co--
m
.. li
......0+
leg.. x =
_.
',
- __ + 00
,
"
re
.
.
a> l
a < 1.
.,
... . lim a.<Z. = <+~
.. -~""
" .'.
a ;" :1
Hm a"
"' _ _ 00
.
i
lo g "
% •
Y ~ lo&,. 7.
~
'a .<'_: l
~<
0O
+<X>
~
-, '
lA:"·--
u>
"
a.
,.""
a>
- ..
1
<; 1.
l
a < l .-
+ loS p y
Le altre p ropriet à algehriche dei loga ritmi sono St.'ltc richiamat e nel Uipit.olo l. Le
p ro prietà quali lativc dGl le f unziol l i fo% • log.x SOl 10 quelle delJ~ funzioni c sponcnzial i
c log a ritmicllc C0 7< bas .: maggiore di L
«> I
a<1
",
Fig ur" 2Q ;0.) Grafico d i J{,,") - IOIi:"
.l .
b) g r.o fico d i g(r.) -
(l '
168
Capito lo
4. FunL7.nnl d i
.m a Pfl ";" bil" . lmIiti {' conti'luztq
_____ es
8~ _ O~_ 0 7 ,,47
s
I n particolare, la continuit à de lle fllnzioni E'flponc-nziali e logari unkhe :::igIlifica
che:
,e "o >
:se
3.4.
x,
E
.
,lim"'; log", x
O
(l ' ~
l im
lR
;'; -
log"
~
-
fl-x(j
I~
t gx
:1:0
"'0
Funzioni trigonometriche
L e fu nzion i tri gonometriche c1clllen l.ari sono;
x .-------. c as x
X
1---'
sin T
X
( t angen te di x )
( seno d i x)
(coseno d i x )
:1;
.-------.
cotg~'
( l:otangellte d i x)
L a ...·ari a.bile :;: ha. il ,;ignifieuto di misura in radia nti d i un angolo. I significu t i
geometrici de lle quat tro funz ioni sono illustruti nf'lla figura :òott.ostaJJ te .
v
tl = (0, 1)
/
,/
- - "-:7"
-'" '" ,
<X'\ !'. "
,
Il'
:l"
/ ,j"
,/ .
,in x
/
,
,/1......
~
CL
~L
O)
Figura 21 O"fir\ i:> ione d i se no. <;05" "0 e unge":,,
D alla !ì t;:u n l. :;j vede che cos x = a..'lci5....""".... d i [' , si n x = o rdinata di P . tg x
= Lunghezza con segno de l segnlcnto AT , cotg x = lunghezza con segno del segmento 138.
Valgono le relazioni fondalllcnt.8.1i segnenti
-
sin .r
cos J."
t.g x = - - cot.g.r =
_ -,COOC'O·"O'-_______-"'~i,C,C:r
- _
t g :r
~~
~ - ,- ~
La p rima si ricav"':L d n.l fatto che P si trova sulla cin::-.oT.l fe renza d i f'<j IHl.zioTle u 2 +·v 2
1; la seconda segue d alh simi litu d ine d e i trian goìi orQ e OTA : la t.erz,l. seguI'
d alla simil iludi ne dei triangoli OPQ e OB8 .
Nell a seguente tabella sono raggr u p pate le princi pali proprie tà delle funz ioni
.seno. coseno, (·ungente.
<j:)
55"; ~"'J"' 5 <IT.n,--_ _ _ _ _ _ _ __
doi:m.nio,
R;
l- t.
109
dorn.In:lo:_ ~- \ (!
+
..
-coritinue -l .. Il •
" ,'- -~t;';';;';: - n;"~ '''';':;'(0 10 '-
·pe~~ i~ df ~iodo 7'= 2"11" .
: '.: _~ '.rlri(~;;) -~ - -.:.sih'~ ~
:~'~;e.,. di--~~.iodo T """" 11",
" -(f1Hiiion_e :d;.;pari), .
~
.', ~
ii m _tg:.:
"'---':'f±
=1= ~ -'- b" k E d:.
Xl"!
E fi ,
conti;";; ... ~f domln<O
:: ~ iO(:Ù";' -d i periodo T =-. Il:
tg(':"'"3;) ';': .- ;tg~ .
--(fu rizioil.C: d.ia~i)
-
,-'-
I n particolari" se
dominio; lR \ {k1l"};
- --immagloe: iR
.1;,.) ;
òmIMgiIl": : R
. i l'tllllagiIl!':
l)
,., -- -:- -,- -- - - .-'
--
Hm sin :L' =
>:~J:O
lim tg3: = t·gxo,
5('
-'1:-'= 0
Xo
ClOtg( - 2:} "" -
-=''Foo' '
lim cotg::t","" ± oo
.., _ 0 010
Hm cos x =
::;in xu ,
i
rot« ;e
(r"JIÙOne d~l)
,.
-
"
co',; x c.. ="e
:.o: " " 0
IO
".
br. k E Z . li m t:ut;gx = <.:otg:2·o.
"'~"'O
P o iché sin x = cos (x -. ~) ricaviam o eh", si n x si ot.t;iene da cos x C O li uno .,.j(tSOmento di x pt.... i a ~, o~ iu. il gn'lfico di !jin x si ot;t;ieu e da qud lo d i cos x •.ra::;landolo
CI destra di ~.
Si not.j che p~ r tutte e t.. r~ le funzioni n on csistollo _T ·_l-O"<:'
lilll ](x); qllesto. p i il ili
generale, ~ vero p er q u als iasi funzion e per iodk/\ ( no n cost nn t c ) .
~
, _ -".-
,
.. '-
---
=im(,t<'>
i,--"'
..... ~...
,
I
i
!
)
/
L
c
n
j
_ ___ _ _
~
/
/
/
170
3 .5 .
Capitalo
.4 . .fì,mz u mi d i una l'ariabilc, lim -iti (:
(:Qtltmr:itd
Fenomeni vibratorl
Abb inll10 v ist o che le funzion i
in generale le fllllZiu u i
$€ llO
c co!;eno sono period iche di periodo 271". P iù
t
t .....---. u. si Il w t.
i------
bC".os .....t
(3 .5)
dove a , b, w sono numeri rp.a li positivi, sono p er iodiche di period o T = ~ l n fl'ltti,
"
per esem pio
~ in [~(t + ~)]
= sin (wt+2':1") =sinwl
Inoltre, essend o Isinwtl :5 l, I cas",;tl::; l si ha
Le funzioni (3.5) d esc.rjvollo vihr azioni elf!m c ntar i di a mpiezza a c b, rispettiva"
,
.
1
m ente, d L pu ..~azt()nc :..J = T2 ,.. c fre quenza v -_ 'f'
La f UfiZ-ione
!t(t ) = a ~irJ wt + bcoswt
d elòcr ive la sovTapposizionc d eU~ d u e vib r azion i e le m e ntari. Quest.' u lt.i ma è "'LlcaTa
u na vibr azio ne clcme.nta re $ja.iat a rispetto alle p recedenti. Infatt i, posto A =
+ b2 , si può scrivere
va'l
a
!tU ) = A _/ "
s inwt
v a ~ -+- b 2
+
A
b
v'a:::l +b2
coswt
(3.6)
O sserv iamo ora cbp. i nwnori u = aj ~+ ù 2 e fJ = b j v'«2 + b2 sodd isfa n o le
cond izion i
-1 ~.6 :5 1
Esiste qui ndi un unicc, a.n golo 'P tale che
cos.p = o,
Rin <.p = B
cos icché la (3.6) si può riscr ivere nella fonna seguente
h(t )
=
A cos rp s in ,,;t
+ A s in;pcoswt
= A s in e..,t +;.p)
(3. 7)
Dunque h(t ) rappTI'::6en ta l llll'l. .... ibrazione e lement are di a mpie-Lza A , pulsaz io ne
:;~ , Rfasata d i un ango lo -.p.
In sint-esi
a sin ~t
A ""
+ bcos",-,t
va + b
2
2
= A !'iin (wt
+ -.p) I
u = Acos '''' i
'+' ,
{ b = A si rl rp
i
S o tto cond izioni abba':itu.n La generali, un fe nomen o natu rale period ico si potrà
sc ri vere come sovrapposjzion~ d i u n n u m c ro fin it o o infinit o d i vi b r azion i e lementar i di freque nza dive r$8.; ciò conduce al concetto d i serie di Fo urie--l', ovvero a
son u ne d el t ipo
L.
c he t.rA.tlcremo n el capit.o lo 1:1 .
<ln COS
nwt
+ b,.. si n nwt
S. Funzùmi de", en la ri
-
--
----
-------
-~' - ~--~
~
2,.- - ,/,
__-P
W
/
171
-
'~
~
-
/
-
.....
- · 1-- '
Figura 23 La \/ibrOlzio ro e h( t ) = A s in (,., t - ",) .
!l.1:o l t.i plicando una v ibr azio ne elemen tare per pot~n~~ o espone n ziali si possono
mode llizzarc e ffetti d i smorzaTIlento Q d i am plificazione.
Per C5eJn pio, r.onsider iau)() la funz io ne
Il (t ) = tsinwt
essend o -1
< sin:..;t <
(t
~
O)
J , si h a
- ( :S tsinu,.>t ::; t
e q uindi il granco d i h si trova t.ra i grafici d elle rette di equazione y = - t, Y = t-o
:'\ci punti in cui s in w t = 1 , cioè t =
+ k ~':' ( k = 0, 1 , 2 , . _) , il grafico d i h tocca
quello di y = t, me nt re n e i punti in cui s i;;.;t = - 1, cioè t = ~:. +
i l grafico
di h t o eca qUf'llo di y = - L
li grafico d i h è p e rciò il seguente
2:
k::-,
1/ = l
)
,
y =- t
Figura 24 G, .. fic o di h(l) = t~in,d (oscillOlZion i OImp lih ca te) _
Dal grafico s i vede COTIle l a molt-ipli cazione per t ahbia l'effe tto di llna amplifica~ i one della 'I.·i b razione, all 'aUlllentare d i t.
172
C api. tolo
4- Ft.mzion i
di ,ma t-'o rù1.b;/", limiti " con tin u ità
@
e,, _ {J B-O "'!5"T _ ~
A n a l ogament e , la funz ione
k (t) = c-",t s in'.:.d
(o> O)
lllo d clli:u.a u ll a vi b razione 81TIOrzata.
Ricord ando c he e -- a t """"' C~)t è ll n 'cs p oncn z ia l e con b aEe m in o r e di 1 C
e qu indi
~-", t _____ O per t _
+=.), c o nsid era zio ni analoghe a que lle svo lt-e per l a fun z i one
h . indicano che i l ~ r a.fìco d i k è comp reso tra i gra fici d elle funz ion i Yl = e - o / e
Y'J. = - e - "" , come in fig u ra:
,"
~ in
wt
- )
Figura 25 Gra fic:o di k(t ) "-' e -a" ",i n wt (o5<: ,I1 " .. io,,; ~rnor zate)
3.6.
Funzioni ipefboliche
Nelle applica zio n i della nl a t cmat ica sono iInpn rt.f.Lnt i c e rte combi llazioni delle f Ullzioni e " ed c - ::; c he ora d efinia mo:
Sh : ljellO ipcrboli co
Sh x
Ch:
Ch x
iper bolico
C OS<':'1W
T h : tangente iper"bo2ica
2
T b;,: :=
S hx
Chx
Esse son o evidentem cnte d e fi ni t e s u tut t o IR e c ontinuc. Le seguenti pro p rietà
d i s c endo no ill1nl OOi itt amente d alla dcfillizio n e :
Sh ( - x) = - S h x
Ch( - x) =- Chx
Th (- x ) = - Th x
ii )
Sh (O)
=
Sh x :O:;
O
1
"2C'" <
( funz io n e d ispari)
( funz ione pari)
( funzi o ne dispari)
=
C h (O) = l
Th{O )
Ch I
V:1: C .lll
O
S . Funzio ni dnrH '1).W1"""i
( CIlJ:' )~
173
- (S h erf = l
Sh(x+y ) = Shx Cbyi Sh y C hx
C h(J:: ~ y) = C h xCh Y
Th( x
--<-
y)
=
+ Sh Y Shx
T h x + Th y
l +Thx Th y
Sh (2x) = 2 S h x Chx
Ch(2x) = (Chxy"
+
(S h X)2
I granci di qllf'>lte funzioni >lono illus tra ti n('lla fig ura 26.
Ch
I
-, I
Sh
L
La fu nzione Ch x COlnpare nellu soluzion e d i un semplice problema fi::;ico : "trovare
la sagoma l ungo la quale ~ i dispone un h lo pesante . o mogeneo, fis.'lat o peI' le d ue
estrcmit3.. In q u est.e ip o tesi il fi lo d e_'lcriverà, i n un p iano ve r tic a le , il grafico della
fu n z io ne
f(x ) = Chx
(a p atto di scegliere opportunament e il s is \.ema. d i r ifer imento c le uni tà di mi lòUH\
sui due ulò!:'i). Per q uesto Illativo la curva grafico di C h x è a nche det.t_a caten aria .
3.7.
Operazioni sui grafici
C onoscendo il g rafi co d i 1lI1 ~_ fu n zione y = f( x ), mediante sempl ici trasfor mazion i
g eometriche è possibile disegna re il gratico d elle seguenti funzioni:
y,
-
I (x - a)
n E ][t
Y'l
-
k · f ( x)
k E IR
yJ
~
f (kx)
k E
Y-I -
1/(") 1
y~
!(ix :)
-
][t
CapitolQ 4- FUnzi oni di una va_rtulJi.le , limiti " continuità
174
@
'HH>8- 0 7r. " 7- ~
• C onsid eriamo p er esempio f (x ) = l ogx. Allora. VI = f (x - a) = log(x - a) .
Es..<;endo logx d efini t o per x > 0 , log(x - a) ::;arà. d efin ito per :1; - Il > O e cioè
per x> Q. Poich é log;:r; = O, se x = 1 si ha log(x - a) = O p er x - a = 1 e cioè
3:: = a+ 1.
I n al tri ter mini il f{f l1.fico di YI s i ottiene d a q u ello d i y con una tm.slilzione d i
a unità a destra se Il > 0 , a sin istra se Il < Q .
,.,
,, =log (x -I l
y =log (x+2}
Fig,,~..
•
,
21 G ra fici d i :li = lùg (:l: - 1 ) e y = Iog(x
+
2 ).
Il grafico d i Y2 si ottiene d a quello d i
f
m o lti p licand o per k t u tt.c le ordinate
I (x) . I n p ar ticol a re se k = -1 le o r d in ate son o semp l icem e nte cambiare d i
~egno ,
cosicché i l grafico d i V'l. f. simme t r ico , rispetto all' a.sse :1:, a q uello d i f .
P er ese mpio , sia l (x ) = s inx. I grafici d i y = 3 s in x, y = ~ sin x , y = - ~1Il X
sono i segu enti:
t
3-..-
1
y = 3sinx
y =-s;nx
fI, = ~sinx
,,
,,
,
,,
/"-,
,
I
",
-I t
I
F;gur ... 28 G ... l ic::; di 11 = 3 Rin:r, 11 =
! ...In x
e Il = - .. in x .
O sserviamo che ~ k > 1, il grafico s i "stira" nella d irezio ne vertica l e , d ilataIld o
ver so l'al to le o r d in a te p osit.ive c ve rso il basso quelle nega tive. A l c o n t.rario, se
O < k < 1 il g r afico si. con trae, semprc i n d irezio n c v erticale.
_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _c"".-'C
F"n"n""zioni dcn'e"tan'
175
• 11 g r afico di Y3 si ott ien e d a quello di f(x) con un camb iamento d i sca la s u ll' asse
:1.'. Se k > J , k ;c t:rcscc più r a pidam ente di :T e p erciò il b'Tafico d i Y3 tiarà ::;i m ile iL
quello d i f U la con oscillazioni pift rapide, ovvero sarà "co mpre~~" in dirf~zione
orizzont a l e , d i un fatttlre l /k. Analoga uH' n tc s e O < k < l i l g r afico ap p ari r à
"d il a t ato" i n direzione orizzont a le , c o n osci ll azi oni più d o lci.
Ad cseIllj ,io, s i eonfrQntino i g rafici di si nx.~ i Jl2.T : s in ~ s u [0. 211 ]:
,
-- - - - ..... _,
,-
sin
L
sin x / 2
o.,
!;i .. ~.:r
._~ .
,,
Figura 2 9
•
Gra fici di li '-" " in", . 1/ =
~in ~
Per disegna re i l g r afico di y
e 11
~
s in 2:r
= IJCx) 1ricord iamo
se
se
che
f (x) ;::: O
f (x} < O
D unque n el p a.::;~arc dal gra fico d i f iL q uello d i II I i punt.i a o r dinata n 011 nega tiva
rimangoIlo inal terati ment re que lli a o r dinat.a negat.i va vengono tra.sformati n e i
loro s immetric i r ispetto a ll'a.%e x .
Il gra fico di II I si o tt ie ne p erciò da quello d i I " ri b a l t a ndo" sim metTicament.e
r ispetto a ll 'asse d e lle (l..."lCisse la parte del grafico d i f che si t ro ....a n el scmipiano
in fe r iore e lasciando in alterat o il resto . P e r e;;empio, per le funzioni y = x e
y = sinx::;i b a:
~
1 / Y - i ~'
-~
11
. ._---
I
FigtJr3
30
D a l g rafi co d i
f "
q u e llo d i
III ·
=1s in ''' I
176
•
I nfine, per tra.c.c i <'l.n~ i L g r afico d i Ys = / 0:1' 1) , 0S..,,;pn'i o.mo e h e:
lx l = x per x :2': 0, e q \li ndi nel ;::emip iano dest ro i due grafici coincidono:
l - x l = !X), e quindi Ys è lilla. fun zione pari , perciò s immetrica r i!:ipet-to a ll'asse
d elle o r di nat e .
Di consegue n za i l grafico d i ljr; = f( lx l) verrà t,r a c ciata la..""ciando i n a lt erato il
grafico d i f n e l 5elnipiano des tro c ribalt.alld o lo s i lll me r.r icarnent c r iSIIf'!LO all'asse
d elle ordinat e . P er e 8eTn p io , se !J = eX si ha:
,
l
Figum 31
4.
Dii i gr afi co d i li
= ,,'"
;o q,,"' Uo d i li
= ,,' ''' 1_
FUNZIONI COMPOSTE E fNVERSE
4.1.
Funzioni composte
Nel p aragrafo precede nte a bbiamo illus t r at.o come s i può c o stru ire i L g r a fi c o d i Il !
a partire d a quello d i f . L o. funzion e x 1--------+ J (x ) ! è in Tt'al tà "comp os ta" d i d ue
fun z io ni: dato x, s i c a lco la f(x ) ; calco la t o 1(;);), !:òi c a lcola IJ (x} l.
S i t r a t t a d i operare in seri e con d ue scatole nere, la pr ima corris p o ndent e a
I, la seconù a a l 5110 valore assoluto , ::!econ d o lo schc lna s e g uen t e :
x
~- .
,-' ~I,----I
~ I (" ) ~ IL---,--· ,1_
I n gcnc r u lc , d ate due funzi o n i
l'
E ~ IR
g: F .-----' lR
ç P (cioè se p e r ogni x E b si h a che f (x) E F ) :;i può defini r e la fu nzi one
h : E I------> In. composta di f e 9 ( n ell 'ordine), d enotata col simbolo go f, medianl.e
la fo rrn u la
se f (E )
h ( x) = (9
o
1)(:1:)
= y [f(x)]
(4 .1 )
os s ia
P U() accadere che risu lt i no ben d e finite s ia la cOlnp{)~iz i one Y
generale sar à
<>
f che f o
y ; ma in
.~ 88_();l_075 47_ h
{_ F'u,uiont
<:U171pOSt... tè
i nt'er",,,
177
(i l p rodot- to di COlllposizion e n OlI è cmnln ula.ri \"d) L'oper a.zione d i eOlnposizione
si può e~t.e nderc a tre o pi ù fatt ori. Si verifica c he se la conlpo::;izione (1:J 9 ) ç r
esis t e , allora esi.ste anche 10 (g Q r) e sono uguali (proprietà a ssoci.ativa)
(1og)07- = /0(907" )
E!Sempi
4.1.
I: IR o--------> IR, I(J.') = x~ e 09 : lR ,---+ IR, g (:J: ) "-" cosx .
Poic hé 9 (-~ ddin ita su tu t to ffi, h = 9 Co I è ben d",tinita
(-)"2
Si noti che
[ll1dJ(~
k
=
f
<>
I ,~
X2
o-----~
I
I
così-)
MI
IR e vale la fo rmu la
i------+
coS (",2)
y è ben definita ed è data d'l(\f\. for mula
k (x) = (CCl5X)'"
S i o5.~rvi dlC q uest e d ue f \ln zioni sono ben divert<€ tra loro; ad esempio.
ma; negat iva., COS(X2 ) non è p e riodica e ha ~egTlO oscill a n te .
( C08X)2
è pwiodj.-:«.
r;
4 .2 .
,/x_
I; IR I-------> IR , l (x) = (:cr e g ' lIt i ~. IH., g (x) =
Poiché I(:r) > O ptoT OSTI; x in IR, h
J è be n {ldìniLa in In. e s i ha "(x) = ...;e-;.
Alici..., k '--' J o 9 è ben defin it a in lRt- ~ si il a k(;re ) = <,,,/i:.
=" [)
Se u n a funzione f: D
con se t;tessa: la funzione
>-------->
l i è tale che f(D) ç D , allora si può comporre
(4.2)
vien e 'a etta itcrata seconda di J . Ana log'alncntc , J"{3:)
(n volte) si d ice it.erata n -esirna d i J.
4.2.
J [fI·
J(x )[ . . . [
Funzioni invertibili; funzioni inverse
Sup poniamo che f s ia definita su un inte rvallo [
esiste un'unica. uscita J(3.') .
ç IR. Per ogni ingre&."'>O x E I
Se succ.:ede che per ogni uscita y E 1(1) csbte u n soio i n gresso 3 ; E ! tale che
J (::: ) = y, a llora. f l:'i d ice i1werf,ibile e reil.lizza una corrispondenza bi univoca. tra
I cd J (I).
La funzion e che associa a ogni ll~~ ita y E 1 (1) l'u nico i ngresso x E 1 t-ale ehe
J (x ) = y si chiall1a funz i one int'ersa di f e si irldica COl i il s imbo lo i -l.
I n sintesi
" ~ r'(y)
y ~ J(x )
(4 .3 )
equivfl.le a
{ y E J (1)
{ :t: E I
Cap itolo 4. Fun zioni di u rw uariab-ile, limiti e contùmilà
178
La ~C:1I.tola. nera d ì
seguen te
x
f-)
lavora a ri t roso rii:ìpe t t o a quella di
f
J
secondo l o i:ìchema
Parti r e da x e ritornare d o p o un giro in x equivale
a r-llf ex )] = x per og n i x E 1: p a rtire da y c
t amare in y equ iva.le a J[ f - l(y) ] = y , p er ogni
y E f(I).
y
/
La cond izione di invertibi lit à equivale a richiedere che il f:,'Tafico d i f s ia in terseca to
a l massimo in un punto da ogni retta parallela a ll 'asse delle &:;cissc.
b)
Figura 32
iO) Fl.I n zicne non in v .. rt ibile; ;oll'usciu y corri5pondono 3 ingre"", _ b) F unz i<>r>l'! invert ibi le _
La funz-ioll € i n figura 321ì. IlOIl è invertibile in q uanto per il valore di y ind icato
esist ono tre punti X I,X 2' X;; c he hanno immagine y. La funzi one in figur a 32b è
invece invertibile in quant o ogni r etta p arallela all'asse delle ascisse o non interseca
il grafico di f o lo interseca esattamente i.n un p unt.o. O sservi amo che:
f : (a , b) <------lo R è s trettamente monotona a llo r a è ùmerti bile; se inolt.re
contin ua, anc he t -l è continua .
.se
t
è
• Grafico di l- l . Le re la.;r.ioni (4.3) in dican o <.:he se i l pun t o (xo, Yu ) è sul grafic o d i
I tLlIora i l punto ( yo,xo ) sta s u l grafico d i j-l. E ssendo i p unti (x o,Yo) e (1/Q , xo )
s immet.rici rispet to a lla L i ~cttricc d i equazione y = x , s i deduce c he il grafico d i
s i rica va. da q uello d i j per s immetria ris p etto a lla bisettrice y = x.
,-l
(d,c)
f '
,,
"
./
{c,d)
f
( ~ ,a )
Figura 3] Il g ra fico di
f "
d "l1 ~
s u a in .... ersa.
Se è nota l 'esp re&"liollC analitica di j, invertib ile, l'espressione a nalitic a di j_ 1
s i trova cercando d i risolvere ( q uasi sempre però è imp ossib ile!) rispe tto il. :c
179
l'e'l u uz i(lllf'
f (x)
~
y
(T rovare l'ingresso
f
Per esempio, se I (x)
2 x + 3,
pt:T J-l !'espr es.'!ione analit,i ea
r' {
{
c he produce l'uScita 1,1)
è invcft.ib ile su lR c l'eq lla :. dnne 2x
-+- 3 _ y dà
y-3
2
r ' (y ) -
f
X
X~ v'Y
y~O
X ~ ?/fJ
r' { y E IR
f
y=a'"
{ x E IR
f •
:J;
{
= loga Y
y>O
Si COJls id F!l'i anche il prossimo eStòJIl pio : I (x) = 3: + e"' .
Essendo SOrl ll nft. d i d u e funzion i strettamente c r~cn ti in tuti,n IR., f ( x ) è strct.tame ute c rescente e q u i n d i i ll\'~,.tib i l e su t u tto 1Il. Tht.t.avia, ctlrch Cremmo in u t ilmente d i Tu.olver e rispetto a x l'equazio ne x + e" = y . In a l tre parole, /- 1 esist e,
l Ua. non s i sa scri vere esp lidtumenle.
Si n oti c he tutte Ic funz.i oni pote1l2a: Y = :l;". per x> O, w no invertibili c le
funzio ni. inverse x = y l / o. SOIIO a ncora pot enze (con espon ente reciproco di que llo
della. fun zione d tl.ta) . L o s tude n t e c ontrolli que:ì t u affcrrrlll.zionp. s ulla fa.rniglì a d ei
grafici d i xO .
O sserviamo anche c h e le p oten zp. pari : x:2 .. (n = 1,2, .. . ) 7!O n SOno invcrtibili
su tutta la retta, ma solo ~m lla se.D.lirett lL x :::: 0 , lnentre le potenze d isp a ri : X 2 t\ +1
e le p o tenze xJ>i q con q d ispa ri essendo m o notone s t re ttament e c r es(:ent.i sono
invertihili da. -00 a +;:)0 .
4.3.
le funzioni trigonomQtriche inverliQ
Essend() period iche, le funz ioni t rig onomctr ichf! non possono p.s.':;p.re i nver tib ili.
Iufatt-i, per esempio, l'cqua:c:io nf!
Ril.l X
=
Y
h a infìnice 9OIuzion i se -1 :S y :::; l ( l' u!'iCila y COrrltiponùe a i n finiti
n p p u rc n n n h a soluzion i reali se Iyl > 1.
ingT ~ss i )
'8<l
Capitalo.4. Fv:ruion i di una
t;a7'i<..tn:lt:,
limit i r: cO fll i nu ità
P e r: p arlare d i funzioni inverse di Sl;:' no , co...'"<'no c tangente occorrerà rest ri nger$i a
intervalli n ei quali queste funz ioni siano strettAmente mono t onI'! p. I u:!r c iò invertibilL
lJn inte rva llo nel qua le la funz ione seno è invcrti hi lc è [ - ~ , ~] . L a fun zio lll::!
inversa si chiam a arcosen o (a rcsin )
Dunque:
Y = SiU X
{
E
X
[ - 2' '2T<]
~
x = arcsiny
{ y E [- I , l ]
equivale a
Il grafico de U' tu"coscno si o ttiene dall'arco di Sillusoide ristretto a ll'iHtervtù lo
[- ~,
p e r s imme t ri a rispetto alla b it;ct t rice y = x . come lT\OI:\t.rato in figura :14 .
f.
- - - - - - ...;n2
, -,
,
::
j'
,,
"
'_ ... ~ ____ l
,
---- - '2
Figuri! 34 Seno
O! UC<Ken o .
Analogame nte, un intervallo d i mo notonia del coseno è iO,1:"]. nel qmùc dunque
esso è invertibilc. La funzio ne inversa s i chiama. arCOCO.'Hmo (arcos)
P ertant.o:
Y = CO$ X
{
x E [O, rr]
Il grafico dell 'a rcocoseno è illustrat o in figur a. 35.
----
.,.
-,
____ _ _ C(k';'"
Figura 35 CO$<I I"IO ~ ar.:O~l"Io .
InfilLe , oRRerviamo che nell' interva!lo ( - ~ , ~) la tan gente è 5l ret.t.amcnte monoto na
e quind i in\'e r tihilc . La funz ione inveJ"~a ~i ch iamn arcotfJ.lIgf.nt e (Ilrctg ) . Essendo
tim
z ~ ("" / 2 )-
tg :r. =
+00
c
Hm
~~{_"/2)t
la funzione nrcolangcnte ~ defin it a. in (-00.+00) .
tgx = -00
181
D u nque:
Il graficQ d ell'arcotangent e è most.rat.o in fig lll'a 30.
,
1
-'0: :
,
,,
,,
,
, /
,,
_ 11
,,
x
I
, ,, - i-: : .!:,
,,
' . ...L.
_ _ ___ _ tg:r.
ar n g
Z
Figura 36 T angen t <e <e .. ,çou ng~nte .
Per mezzo delle funz ioni trigon o m e triche in ver se, p ossiamo ~priflle[ c le soluzioni
di un'cquF\.Zion c o d isequaz,ion e trigollo m e trica. quandu questa coinvo lge angoli
non n otevoli. Lo Rludentc r ifletta s u i p ross im i esempi:
.
l
l
5
!Klno
1
a r eco !; -
son o
arctg3+br~:c <
- L e solu zio ni d i
cos x
< -
di
+ 2k:r: x
x =
=
so lu ~ ioni
l
4
sono
S lnx
- Le
.
4"
- Le solnzioni di
t.g x ;:: 3
a.r(,~<;lJI -
5
+ 2klT <
X
<
n
2
=
;"I" -
.1.
2k1T
4
<trç.o; m - -t-
1
27l" - a r ecos -
5
+ 2 k~
- k~
(Per s;.onv inCC'niÌ d eJle afTe rmazioni fat te , r agionare :om lla cir co n fe Tt:fiza. trig onomet r ica e s ull ~ defi nizione d elle fun zio n i t r ig o no m etrirhc inver!;e) .
4.4.
L e fun zi o ni iperboliche i nverse
Conside r iamo la. funzio n e y = Sh:c . È defiui t a e s t rettamente c rescente in t.U!'!',O m.,
per ciò è inver t ibile . h l8..<;pettatame nte , la s ua funz io ne in vcr.:;(\ è facUe da se.dve r e
esp licitame nte. infatti , p O ni !lUlO
eY - e- II
x = Sh y = '
2
-
e r isolviamo ri .. petto ad y. l\101tip licand o a m bo i m emb r i p er eli l'eq u a z ione si
può ris c rivero COTI le:
che- è un 'equazio ne di scço n d o g r ado nell' i ncog n i ta eli. Ric aviamo :
e!l = x±yx2 +1
Capito lo 4. Funzioni d i
poiché e li
>
1ttla ....
a ,..;(1bile, li m iti" mntinuith
O, la soluzio ne col s egno -
y = log
Q
~·05· 071147· 1i
....no:!. ;;cartata. Rimane dunque:
(x . . . v 'x? + l)
Questa è l'espression e analitica d e lla fUTl7 ione inversa d i S lI I . che p rende il nome
di settore s eno iperbo Lico , e s i ind ica anche con SettS h .1: . È.' definita per ogni x
reale.
La fu nzione y = Ch x è d cfin it.a in IR , s t rettamente crescente p er x 2::: O,
dccr€SC€llte per x S; O. Perciò nOli P. i nvertibile su tutto IIL La s u a. restrizio ne
a x 2: O però lo è. Vogliil.mo determin are l'espres.siolle analitica d ella funz;i o ne
inversa d i q uesta restrizione.
C o n calcoli analogh i a i precedent.i , scri v iamo
eli + e - V
x = Chy = - - -
2
e r i501viarno rispetto ad y :
,.
Q uesta volta entrambi i n umeri x ± V"J;z
sono positivi; ric o rdi amo per ò che
stiamo rag ionando solo per y 2: O, c h e equivale a scegliere il seg rlO + . Pertanto:
y = log(x
+ v'X2
1)
Que:;t a è l'esp r essionc a n a litka d ella funzione inversa di Ch x, che prende i l nome
d i settorc cos~no ir""!1'IJOlim, e s i i ndi ca am..:be con S ettC h x . S i not.i che è d e fin ila
per 3: 2': 1. S i ()I:;..-..ervi a n ehc che, lnentrc ad esempio l '~quaz ione
S h x = 2 ha l' unica soluzi one
:r =
SeUSh2 = log( 2
+ ../fi)
l'eq u azione
Chx = 3 ha le due ij()l uzioni x = ::::ScttCh3 = ± lo g (3
+ 2v'2)
•
3~
-,
-
,
,
- 1~
2;
- 3t
Figu~a
37 a ) G< ;>f j"o d i
o
·· 2
y
=,
S I. 'c e li
=
2: b ) gra fico d i "!I '-' C h x e 11
=
3.
Le fun zion i i per'h oliche inverse saran no ut.ilizzat e nell' intl".grazi oT/c de lle f unzioni
irmzimwli ( cap. 6) .
. Ese.I'rui'-
o
Determinare l" insieme d i defin iLio n c d elle seguenti fuo7.io"i :
}(x ) = lo g ( 1 - x:l )
h)
G
<: )
a r cs in(:r 2
=
-
2)
U tlli ..:..:an do il g rafi co di f (x) = e~ e i met o d i .Id paragn.fo 4 . d isegn ane i grafic i di
Y4 = lc X - l i
Y3 = f<I - l
V,,~ificar e
o
} ( x)
i risu ltati a l co mputer.
Ctili..:"" a n d" i / g rafico d i f (x) = logx" i me t odi del p aragrafo 4 . d isegnare i grafiei di
"!I2 = 31og.r
113 = log(x -
Y4 = i 10(;
2)
xl
Verificare i r is ul t ati a l compu ter.
o
U na v ib ra.:t.ione e lenlent flre s ia desc r iUa dalla funz io ne
I (x ) =
ACOH
"-'x
A = ampiezza
frequenza
",-'/ 27r =
T tacciare il g rafi co di I per A =- 1, - 1. 3 , - 3 e w = 1.2 , .3.
V is u a li=are a l compu te r l", variazioni ~leJ g rafi co al ';'aria r e d i A e d i
i.} .
e
e
Sia f(x ) = " in;1.'. Trac c iare il grafico e s tudiare , a iu t a!ld osi c o l co mpu t c~ , c o ",,, esso s i
mo d ific h i moltip lic and o f p er x , ~ . eX, e- x.
D d er rn inare dOlui n io e iU""'l&i ne d~Jle seguent i fu nzion i. Nel <:I1S0 in c u i la fuml.iolle
sia i,we rtibile, d e t erm inare la funz ione in versa
a)
1/, = x '
•+ 2
c)
?f: < = x lxl
G
S ia
e
D c tr,rminare l 'espressio ne &.nalitiea ddla f"m" ione com p o sta
l ex ) =
~ . Calcolare la h m7.ioTle (C(m' po<sta I~
I (x )
~{
g (x )
- 1
Disegnare il grafi co di
Q
se x
<
I
=
c. .Q
dove
~ i nx
O
l og.
D ise::o;n are al co rn pu te~ le funz ioni .seguenti
y,
tI>
= Iof·
=
Ixz ] =
parte imer a di
X2
e
1n = (xz ) =
part.e d €'C imruc di x?
D ire se le segue n ti f u nz io"i sono ~ i mmet.richc ( p a ri o d ispari ) :
d ) 2"~
«Il
S t."hili re se le .seguenti funz io ni S'ma periodic h e , e in c aso affermati vo dct.crminarne il
perio d o :
a)
sin2I ~ COS:l:t:
.
)'
b. ) ( 5 1nx
c)
..
(,"OH~ ""X":'"
1)
d ) .•.•·,,(x ' )
. - ) 2~;n"
i) ClI
~ '!:.,'
+
('~ 0"~ ~ ) '
1 84
Capito/Q 4. f\mnom d, una t!(wiab-ile, limiti e l:mlt inu i tU
G
Stabili re CO li mgio namem i elernent3.1i ~ e le seg ue n ti rUlllfioni ~ono mouotone s ul loro
insieme d i d e tinidonc:
il.
6)
l
1
X'"
hl ..,"""
e ) l +,,"'~
T r ac ciare il grafico q u aJitllth"Q d.,! le 5e ~ ucnti f u nzioni pOlenza:
a ) x-?/~
f:n
1:z:-·1 !~x -l- 2
d) z ·
e ) X '!~
ii)
(2:1; - 1)(I
+ 1) ;::
O
ii i)
"
-
T
Ixl
(l-x)
<
-
1-'-7
H.isolve re le seguenti disequazioni:
il
11 <2-x
,11 +x3
li)
fl')
Rh.oLvt!TO:I h! disequa zi on i:
f!)
Ttm.... re le soLuzioni d eH'equ a.2 ione:
l()g ~(1
G,i)
c) X''' /~
Risolvere le ;;o:gu e llt i d i.-;.,qU>lOli o ni :
i)
&
b) X4 /~
> X - 4.
i ii)
v'2x + 1
x~
- 4
+x } = log, (2 - x)
H.i=Iver e le , cg "eIlti discqll>l7. ioni:
i) 2(5In x )2 -t si nx - 3 < D
ii)
(OO!I x )2 + 2cos x - l ~ O
~
Risolve re le sqp.cnti dis.~q ll >L'I',i() ni , "",eguendo IUlc!.e, ()Ve oec"~5!1.r io, \ili n'n front o grafico,
c localizzando i vo:o.\<,ri che no n si p<>o:>!!lo no det.errnirmro e~ e.ttam" nte (~m , pio: soluzio ll i u: :::::
X ::;
5 , COD 3
< '" <
4)
ii )
G>
"
l_ x,, < l
Oire q " Ali SODO il dom inio (~ nmnmgine delle seguenti fum:ioni:
l
f (x ) = '2arç,6;n (:r. ·- l ) : 9( :1:) = 2"
on lo
EDd i CThx.
Sa
,9t.et;.a;o
m e todo usa to per
inn,rti~
>l r çç oo
(2", - l)
I... fu u:àollc Sh r. , M:r ivcrc la fun ",ione io ,-cr-
.s. FUnzioni
5.
cont1flue
1 8llO
FUNZIONI CONTINUE
Come ::!obbia.mo \t i~t o fif'1 paragrafo 3 , le fU llzioni e lementari deIrA.nal b i loal·ematica so no continue nel lor o in s.if'JlU' d i definizione.
Valgono in o ltre le segue uti propr ietà (su cui ritorne remo nel par8gr a fo 6 ì:
Teore ma 5.1 - Sr;;. f e 9 sono continue in xo , allom f Tg , f ·[I
sono corlti n ue in x o .
Ino ltre,
~upponclldo
che l:'S ista 9 o
Teo rema 5.2 - S e. f f conttmw in
c.ompo.~ t({ go f è co1lti nua in L O'
Xo
f
i II UII
p.
t;
f j 9 (se !l Cx o) #- O)
intorno di Xo:
!I è continua in [ (x o), allora la fmu:ione
::\"e l'l eh'l.!e che tutte le fllllz ioni elle si p ossono o ttenere (."on somrnll. prodot t o.
q uoz il\ntc e composizioni da funzioni elem cntari sono contin ue nel loro ins ieme di
dcfi ll i~ i onc . R isulta.no p ert.anto cont.inui:
i p olinomi
le fu n zioni razim lali (rapporli di polin o mi)
funzion i (~omf':
log" ( 1 + (t.g x)"") , ...
Quindi , per e::;t:!n1p io:
Hmo v'sin x = v'sin 7f
,_
=
O
p Oiché, per le flm~ io ni cominuc, se IO è un punto del d o m in io, il limite l'i calcola
scm p lict'rnc nte sosti tllendo T,u n ell'espressione a nalitica della. fu n z.io ne.
5 .1 .
Funzioni continue su un intervallo c hiuso e limitato
fa,bI
L e funzi o ni continue in un inte rvallo [a, bI (per gli estremi, si intenùe continue
da de:;tra i l( (1 e da sinistra in b) hanno important i p ro priet à. L a prima., c.he
c h iamiam o tEorem a degli zel'i, riguarda la riwluzio ne di un'equazione del tipo
I (x )
~
O
(5.1)
Quando J è un polinornio d ì gr ru:lo ::; 4 esistono for mule che fornUicono le sol u:t;ioni
d ella. (5.1) mt'llia.ute r adica.J i. Se p e rò f è un polinomio d i g n'l.d o > 4 o una funzione
p iù l:ompliça.t.a, s a lvo casi particolarmente fort unati, IlOrl esistono furm nlc per le
wluzioni. Goolll.t-t rieame nte, risolvere la (5. 1) signi6ca determi.nare le ascisse dd
pUllti d i intcrsezi.)tlc t.ra il gr t1.tico d i y = [ (x ) e ] 'a..%C delle ascisse. Naturalmente
POSS() Il Q e&<>erci infini t e ::io luzioni , 1m n UHlt"ro finito d i so luzio n i, nessuna soluzione .
O gn i soluzionc si chiama zero d i f .
Capitolo 4 . Funzioni di unil rariabik, [imdi " contin uità
t
Figun 38 L' equ.,zIone I(x )
=
O h" 4 soluziorl i. ossia 1 h a 4 ze ri
Il teorema. degli zeri dà ulcune semplici con dizioni l;Otto le quali esiste
di f e anche un modo pe r calcolarlo,
UllO
Teorema 5.3 (degli zeri.) - Sia:
i) f continua in [a,
ii) fra)
bi
f(b) < O
A llora esiste c E (a. b) tale che i {e ) = Q ,
i è anche tJtrettamente monotona, lo zero è unICO.
Se
Dimostrazione. Costruialno una sU(T<,;;siollc che ten de a uno ",.,ro di
1-
Pon io.mo CI
pWlto med io dell 'intervallo ia,b]_
a
I(e, }
. __ . __ .
fil>}
Figura 39
Se 1(c.I) = O SitHllO fort unati c il t eor",nHl. ç di m oslrato .
Se f«(OI) '" O guardiamo il segno di f (u ) · f (cI ) C procedia mo c ome seg> ' c ;
f(a ) · f (cI ) < ()
"
f(a ) - f (c, ) > O
/'
çOllsider iam n l ' i ntervall o
dove
ll.l
=
G..
d uve
(l I
=
Cl .
[al, bI;
zero
o
,,~ _O ~075"7_6
5 . l'\Jnz;'n'; cunti nue
lS7
t., ~Ul
Ponian,o ora C.. = - -,- , punto medio dell' inteT'lril.llo [al , I, , ], ca\coli&rno ! (C2 ) e procediamo
eOlue p r iIlla'
se ! Cc,,) = O lo zero cercato è c" e il teoTnna i, dimo~t[ato ;
se [(02) cF O gu ardiamo il segn o d i !(al ) ' f (e2 ):
f (a ,) , f (C2 ) < O
'-
/
/
!(a,) · I(c,, ) > O
C-ont inuando in questo modo t roviam o Ulla seq u enza di ini en'alli [a .. , b,, ] con le ""2guen ti
proprietà.:
de':Tc~C!!)
1)
( (a n } cresce e { b.. }
2)
(eiascull int e rvallo è lu ngo la metà del precedellte)
3)
(pe r come &CIno s tati
~celti <1"
c
~
H
()gni
pa..,,"-~.)
Per l", 1) , poss iamo a llora dedurre che le s uccessioni fu,,} e {b,,} h anno limi t e fi n ito, in base
a l tcorefl13 di es iSV)a?a del limi t e delle suee,,~ion i IIlonoton" , .:ioè:
(S i noti chf' le successioni SOllo a "dll' lim ita t e perché contenutI> in la , 1>1 ·)
Dalla 2 ) deduciamo c he 1>" - «" = b2---;." ---+ O "" 71 ---+ +:::::0 e pe rciò I l = l 'l = f .
P.:.- la continuit.à di f , abb iamo a llora. eh"
f(a,,) · J(b,, )
---->
f(I )2
mentre d",lla 3 ) e dal t.eo rem a della permanen?.a dd segno doduciamo J (f )2
J (t) = O e ç".'1ì l i , lo zer o ceTcato.
:s:
O. Deve perciò
'-'>l~.'n!
O
Arrestando il procediment.o indicato n ella di m ostrazione d opo n passi, s i può
as,<;u mere a n o Ù" come V'dlore approssimato dello z.cro t di f , rispettivalnente, per
difetto
per eccesso. L'errore f:ommes::;o è non superiore a ";,,".
Si osservi che, se in [a,b] vi sono più ze ri della fu n ziune j, il procedi mento
illustrat o n on indica q ua.le d i e&;i vCl l ga determin at,o .
°
A ltre proprietà i mport.anti delle fu nzion i continue sono le seguenti.
Teorema 5.4 (di \Veicrslrass) - S'e f è con tin ua su [a, b], allora 1 ha massimo e
minimo assuluti in {a , b]. Cioè esistono in fa,bI due punti Xl , X2 tali che
e
-m = 1 (3.'2) '$ f(x )
pt:r ognI
lviost.riamo che le ip otesi del teo rema d i \Veierstra..%
con i seguenti esempi
~ono
x
E
[a , b~
t utte necessarie,
Esempi
5.1. ! (x ) = CI! in (O, l ) .
La fun zione i~ cont inlla EU llI' i'll.€rvallo li m it ato , ala non "hi"so. La fun"i o ne Ilon h a né
In8..58inlO nO> luinimo ( il suo est rem o ",uperio Te , l. c il b U O estremo infer iore, 0 , non ~OHO
assunti).
Cap i lolo ..;. Funzioni di uno
1 88
l;",~abile,
[,miti ., <:Ol1tinuità
5.2. f ( x ) = .r in lR. L a fu"" ione è con t.i nua su Iln i nt-er .... allu chillS O ma non limit"to. La
funzione llOn ha né Tllassimo né m inim o (non " nemmeno lim itata).
per x C (O, 1)
)'"r;,; = 0. x=1
5.3.
La funz ione è defin i!.a s u un i ntt'rval lo chilLSO e linli i. atu
non h a né 1IlH.~"iJflo né m inimo Ul
sono assu n ti) .
0> 110
iO. 1 j. ma (l On è cont irm<\..
es tre mo super iore, l , " il
~ uo
La fun", ;o""
.»;tremo infer iore, 0, non
o:,
Teorema 5 . 5 (dei valori intermedi) - Se f è contin ua S"U [a ,
allora per ogni
l;alon: À contprcso tra m (; AI, e,<;i~l f; un ingresso:r H l la. b" r:he ha il 'valore >.. come
-uscita (proprietà dei t.lalori intermedi) _
Quest ' ultiIllO teo rema è una semplice conseguenza dd teo rema d i \Veierst.rass
e d el t.eo rema d egli zeri : biu m < À < .11,.[ , f(xz) = In, f (xt} = lyf . A llora la
funzione g(x) = f (x ) - À è cont inua in [:l.!) , x2 1 (supponendo XL < xz) e g(Xl) 0=
[ (xd - À = AI - ,\ > O, g ( x;.l ) = [(xz ) - >.. = m - ). < O. Dal teorema degli zen,
Cbiste l tale che 9 (l) = O e cioè [ (l) = )..
t
~
M
.:;J
b
-. I
. I
.~
~
' _"'---_--:-•
m
I
.)
Figur a 40 a ) L' i m m"~i ,, e di [a, b; è l' interv" lI o [m , Al]. b) Un.~ fu ..... ione c he nO<1 ha la propr ietà dei valori
im .. rmed i, Ogn i valore)" tra 1/, e "In non" un ' usci t~ d i f .
Le p r op rietà dei due tcorclni p recedent i si possono sint etiz:<.&re nell'unico enunciato seguente:
[( [a , bl) = [m , AI] ; doè l'immagine di un intcrvallo [a, I,] è l'intp.r\>""811o d i estremi
m . = m inf e l'v! = max[ (vedi fi g , 4011.) .
~" . b)
fa ,b)
R iguardo a l teorema dei valori iutermedi, si cOllsidp.ri il prossirno semplice
~mpio
5 .4. S ia }(x ) = X2 e cOHs id"rimno f come fUllz.ione definita d all'i ns ieme <Q dei raziom.ui a
(Q stes80 (q uest'l è lecit o p erché il quadrato di lIn r;""ion a lp è un ~a:.:io"a l e) . Allora f ' lO n
6. II calcolo dei lir7llti
l B9
ha lo. proprietà dei l.:al e.".i int e rT1«"li. I nfatti. "d esempio, }(1) = 1,/(2) =- 4. 1n1l 11\"11
u...,mlllc tut.t.; i val ori J"i\7;C>tlali comp re_~i t ra l e 4: p ~ ir e'iempio non a..<;SllUW ma i il ' "<llore 2 ,
o :~. I n altre parole, la pr uprieti. d " i vaIOli ifltern u:di è v e ra. I)er le fun zioni co ntinue gn::u:j..,
alle prvprietà de/l 'in..si or,,~ d rd IHm '!"'" n:nJ.'. Q ucs t i , /tlJzi , >\Ono i m oti...-; pi ù inUin:.ssatlt l l'(, r
l'Anali~i per cui è uti)" aver e come IUlLuicnle di lavoro L ' in~ieme d ei rea.li e n on J"iusi E'mE' dei
r",:r.i"",ùi.
6.
Il CALCOLO DEI LIMITI
E ::Iu ruiniamo ora. più d a
I\)r o calcolo effettivo.
6.1.
vi(~ ill o
le
PH}pri~ l.à
dci li miti e i principal i metodi
p~ r
il
Proprietà fondamentali
Anz.it utto p ossiamo ti nuncia.r:e i tcorcllli sui limil,; di fun2_ioni c:h~ disctilJdono immecl iatarncnt-c dai ("orr isponde nti teorem i sui lim it i di successioni (che ahbia m o
dimost.rato Ilel par. 1.6 del Cf&.p. 3 ) .
D iremo che UJ l a p ro prietà p ( L ) yaIc d ejinfti1Jame71te p er x - Xo ~ p (x ) è ver a.
per ogni x t;uffidentcment e \'icil1o a.rl xo, escluso al p ui LO stesso. Nei p r ossi m i
enunciati IO sarà un punto di IR ·.
_ C onfronto_ Sfl:
i) per:r -----' :1:0 , f(x) -----' l c 9 (x) --. l:
ii) f(x) 5: h (x) 5: 9 (x) defìllit ivaHlen t~ p*"r x ...... X(h
\ nllora a nch e h ( x ) _ l per x _., IO .
L'Ila tipica forma jn cui è ap plicat o il teorema è In :lcguent.e:
se Ih (x)1 5: g( x ) c g(x) _ 0 , allora h( x) _ O
(! h (x) 1 ::::: g(L) è come d ire - 9 (:c ) ::::: h(x) :5 g(x ) , perc iò si applica. H teor em a con
f (x ) ~ - . (x) c I ~ O).
_ P ermmlenza del 'it:.I/'rIO. St:i:
i) pé"i-
2' ------;. X { h f(x ) . .. l :
ii) f(x ) ;?: O d efinitivurnentC' p er x ------.
\ a ll()r<'\ anchc l 2: O.
IO,
_ Permanenza del segTlO (2" forma).
f (x) > O dcfin i tiva.men t ~
pp.r :t: -
Se. per x _
Xo, [ (x)
--- o
l
>
0, allor a
I(} .
Questo in p articolare imp lica la seguent e
_ Proprietà di Pf'1ma nC n za del segno per funziQn.i contmue. Se f è continua in LO
e J ( xo) > 0, allo ra f(x) > O d efiniti vamente pet 7: - . I O (in a ltre p arole: esiste
un in torno di X (J in cui j (x) > 0 ) _
_ A lgebra dò li miti. Se:
per I _ Xo, f Cx ) - II
f(x ) ± 9 (:r;) - li == h ;
f (x).rJ (:.t') ---4 1ll2;
p.
g (:r ) -. il (il, h E .U1.), ....llora per x -----'
f(X )/9 (;:c) ---;. lli' l l ( pllfl.:hé fJ (:1: ) . h
f (X)9(~)
1;2 (putchl! f ( z ),l i > O)
-----4
I=-
O)
IO
si h a:
'"0
Ca piwlo 4. FlI. u ;z;" n i di. u na variabil e, lim. iti e co ntinuità
@
f<s_ (]~_o 7 " .. 7_ 8
~ Ii s t essi r isu lt.at i
che valg ono per i limi t i d -i successioni ( v .
• Aritm el'i zzu zion e parziale d i 00 . Va.lgon o p e r i lim it i di fUIlz ioni
d i "a r it meti zza zi o n c parz iale d i
cap . 3 , par. 1.3):
a±-=
= ± = ;
cc;"
+= + 00 = +=;
a
=
= 0 , ccc .
1-1ostr ia loo s u b ito u l l'a p p li cazione d el t.eorem1t d e l confronto.
Esempio
' ,l
1m
-"
"
I n fatti , p o iché Isi n
" X S lll
~O
= O
;r;
i I :::; 1 , s i 1m
I' x g '' I!
,
11< Ix 'l
-
_
X
d a c ui , p e r il teQTem a del co nfr o n t o, x si n ~
fa ttore s in ci: . d a Flolo . n o n a nlmett.e li m ite .
--'>
.'
O. L a co ncl u sio ne è interessante per c h é il
P iù in genera.le :
';,ll'r't)(1r)Uo di u na f lJ-'rlzione infinitesim a per u n a funzione lim i tata, è infini t csimo.
Q u esto enunc iato è intere~nt e n e l c a...."'O in e u i la fUIlZionc lim i t a t a n o n ha
l in lit-c , co me n eU'csclllpio p r eccdent.€.
D all'algebra d ci li m it i segue imm ediatament e i l t eor ema 5 . 1 sulla c o nti nuità
della s o mma, del p rod ott o, .. . di fu nziuni con t.i nu e.
"Cn' altra o pcrazioue c h e "con serva" i lim iti e l a. c o n t in ui tà è la compo sizi one
d i funz io n i .
• C ambio d i variabik nel calcolo d el limitc . S u p p oni amo c lte f o g ~i a ben d e fin ita
i n un int o rno di 1: 0 (salvo a l p iù Xo s lesso) e c h e per x - x o, g ( x ) ---t t o . A llora
l i m f ( g (x )
:r ---+x o
=
l im I (t )
t ---<to
I n a ltre p a ro le , a l l'inten lO del l im it e s i p uò cambiare variab i le , p one n d o t = 9 ( x)
e fa cendo tendere t a l li mit e d i g( x ) . La p r opr ietà è ve ra p urche g ( x ) -=I- t o
d e fi n i t i va m e n te _
I n f atti, s ia l = li rll t ---< to I (t); se x " ---t Xo (cd è d iver s o d a I O), per l'ip otpsi su 9
ha t:he g( x,, ) ---t t.o cd € di vcrso da to, e du nque , per l 'ipot.csi su f , f (g {x ,, )) - l .
S egue c he l illlx---< XQ f (g (x}) = l .
D a ll::l. p r oprie t à. p r ece de n t e , s c guc subit.o il t eorem a 5 .2 s ulla cOl!tinuità della
funzione c omposia. Il l ustria m o alt.r i utili7.7.i dei t.eoremi p reced enti.
~i
'@"-"O"=4"~=~""'"·"'2~'--
_ _ ___ _ _________ ___ __---'.C"_[/ ca lcolo d ,, '
lirmt l"__-"ège',
Ese mpi
, {+x
c~
l im
6.2.
..-o'"
I nfatti,
[>Cf X
-~
0-+',
~
--+
::!:::::lO" ,
p~r
lo'
--+
O
±= .c" _ { ~ x (rispet-t.ivaIllcnt~) _
x -
lim
6.3.
--+
- l e Sìll X -
0- .
lim
6.4.
.,~ - """
~rché
U: - 2 )
6 .2.
limiti notevoli
---- -2 c x~ -
l
-,= - x,
." m x
%_ 01
perché (x - l )
=
( ~- 2) x·~ = +00
x
-00.
Vedia m o ora le p iù comu ni teeniche d i calcolo dei li m iti. :Molte d i esse. come
si v edrà, sfruttano oltre a i tcorClnl generali s ui lim it.i , alc uni limiti not.evoli ch e
rigu a rdano certe fU II",ioni elemen tari . Ques t i sara n no utili anche ne l calcolo d ifferenziale.
Limiti di polinoml tJ di funzioni razIonali ( rapporlllnt po/lnomf) per x
P cr ca lcolare il li mit e d i un potinom io per x .......
tenTlirie di grado massimo.
Infatti se il polin om io è P (x ) = u-o x"
±oo
=00 basta CRlcolare il lim ite del
+ u )x " -l + ... + a ....
Go
1=
Tutti i t.erm ini d opo 1, i l } p D.fcntcsi graffa, tend ono a zero per x
Hm P (x) = lilJl aox" .
~ ~ ± oo
->
O, s i ha:
---+
±x e q uindi
r ->"" oo
P er esemp io :
_
Hm
r _+ <'>C:
lim (_ 2x 3
4 ~-~
.. X
+ 120)
=
J x :S =
+=
lim _ 2 x 3 = +=
~- -~
S in o ra J ('T) = Pn( X)J Qm (x ) dove P n e Q,.... !:'Ono, r ispet.tivamente , polinom i di
g r ado 11 c m dat i d a :
192
Capil ow
4- I- ù,nzimn di Urta
l.'arWb;l~,
limiti e cullhntntà
P e r c u.lcolare il lim i t e (li Pn(x)/Q .,,(x) per x· ·.... :t-::x:: basta calcolare il limit~, d p,l
rapporto dci monom' di .rJmdo massimo, cioè:
/ 0 "
QOX"
P .. (x)
llin - lirl! Qm (X ) - z -·±oc
box'"
"
"
="":
z _~,""
/",
' ')'
l Jl / a Lt!, n11
p . (x)
Q", ( X )
.: ~::: oc
= liln
UOI" {l
+
m
>"
m <n
/11
= n
tenni"i "he !."rld ouo Il zero }
.:_ ± oo h()o-Z:"'{l + t." r mi ni che
t~ud ollo
a zeco }
Per esempio :
3x J
+
3x J + I
JOx +l
l
lim"'" =;~'+
., __
X2
2 = -00
o
~O
1 _lim
_ =
6.]; 5
+ 7x 2
7x 5
_
4
6
7
Una sltuaziolle simile analog a si ha n el calcolo d el limite per x --.,. O di ceni
quozienti:
EM!mpio
6.5.
lim
"
oo;r
".l
+ 3,ryx+x
È una sorta di "qumient e di PQl ino", i~ (p er la ""riu\, sono potenze a c><pollcnte rll ,.io!l!ùc,
non i"l.(;ro), per x -O, t \ltlA: le potenze scritte t e n dono a zero, e si b a una forma di indctermina:t.ionc [ijl . QllCSl3 vo lta, i. termini prepond e ra nti sono quelli d i el>ponentc mimmo,
1)Cr.:h~ '"
•
o:
Limiti notevoli di seno e coseno
Nel calcolare %_(1
Hm ~
5i p l"C!'rellta la. forma d i indecisionc
Z
g.
Voglia.mo d irn01'itrare
ch~
r:lim s- inxi
j"' _ O
x
~
(G,l)
J
OISjC[ viamo s ubito che , t:S5€nd o sin x e x fumdoni diSpetTi , ~;~ 1 è fu nzione pari e quimji è !'i u fficicnttò calcolar(' lim . 1"", A tale s copo, oHscrvandn la.
o
", - O"
H!,lu ra 41
..:
@
";1i·O~-<lT "" 7_ '"
6.
n
calcolo d"i limiti.
1 03
,1
.-'-. ----"v
T
I~ ,
, '~ ;
HF =
-~::..., -" --:;-j
, "c-;
!
O
5i ~
r
AT = tgz
f A
f{
AJ~
j
= :r
:;i vede che l' arca del triango lo O P A è m inore d i q ue lla d(ll =tto r e ci rr.ola r e O P A ,
A.
sua volta m ino re d i qudla del tria ngo lo O TA. i'\f> segu e
l
l
- . l . s in x $
2
2
l
2
l . tg:.t
os:sia.
<
sin x < x
t~ X
D ividl:'n Jo p er sinx, si ha.
c infine, p a.s.<;.aIldo a.i recip roci,
x
<
l
:,;j
~ in x
<
l
co.<:;
x
o tt ie ne
sinx
cosx<-- < l
x
D a.l teorema d d confr o n to , essen do lim co:; x = 1. s i ded uce la {6 _I ).
"'- ~ O
P ro \·i arno o r a ch e :
I. hm l - C05X ~~1
ì'"
•
(6.2)
"xc'_ _ _--'2. ~
-o
In fat t i
1 -
CORX
"J:~
perché ~ ; ~ "
•
---->
1 c (1
-
x~(1
+ co..u:)
_
(::'
i
ll
X)'
;-,-clc-c~ ~ 1
: COS x)
.7:
+COSX
2
__ 2 .
P ro lungamento pf!J c,(mtir~u i t ti di una junnon('.
I n ha.-.e a l limite (6. 1) d imo-
strato, la fllnz io lle f (x) = Ai~..!, in izialmente nOTI defini t a per x ~ 0 , p uò essere
prolungata per r..onhmlità an che in x = O, poru:m elo
! (x )
~
{
;'~<
s e x '" O
se :/;= o
L a fun zione f così defini t a r isulta co n t in ua. tmchc in x = O.
P i ù in g en era le; se u n a. fu nzio n e f( x ) n o n ~ d efi n ita ili :co ma. I-!sist.e fiuito
lini f(x ) = l
% ~ ."'I)
194
Capito lo .4 _ Funzion i di u na vuriab ;k, limiti e c<:mtin uitti.
Q
U_ 0i\_()T ~4"'_1I
la fu nuo nc può essere prolungata p e r continuità anche in Xc, pone ndo pcr d e finizione f (xo) = I.
Lo studente !;Ì convinca del fatt.o c he se invece la fUI17.ioue f poss iede in Xo
una dis continuità a s alt o , u n &"intoto vert. icale , o c omunque no n am mette lilni te
fini to , n Oli è pos."ibi le r e nderla. t:ontinu u in X(l a lterando ne l a definizione in un
punto solo.
Ogni volt a che una funz ione, inizialment.e non defil1it a in xo , r isult i e&>eTe
prol llngabile co n continui tà in x c , si sottointend e c he la funzione s ia s tat a effettivamente prolungata.
Limite di
(1 + ±)
T
per.1:
~ ± oo e altri limiti notevoli collegati
Già sapViamo (pa r . 1.4 , c ap. 3 ) che
( J+~) n ---->c per 71-+ +=
,.
S i può m ostrare che anche
I (-''
+~~~)'~~
--e--pe-,-x-~-±-oo'I
(6.3 )
Dal lirnit.e ( 6.3) se ne possono dedurre alcuni a l tri .
Passand o ai logari t mi n ella (6.3) , s i ottiene
log(l
+
;):r =x !og (1 +~ )
---->
perché la funzione log x è cont inua.
Se si pone y = ~, x ~ ± oo equiV'd-le a y
nella form a seguente
L
Og
(1y+ y) _1
loge = l
---t
per
x
---+
±oo
U"" c l ' ultimo limite si può scrivere
se
(6.4)
Y ---+0 i
Se poi nella ( 6.4) poniamo y = eX -1 , a llora y - - O equivale a x -O, c sostituendo
s i r icava
log (c"")
o, meglio:
, e'"
(6.5)
Infine, se n ella (6.4 ) poniamo y = (1 +
a llora x ---+ O equivale ad y ---t O. e ::;i ha
lov;( l
Y
+ y)
xl" -
lo g lI + ( 1 + x )" (l + x )'"
1
l, con a esponente reale q ualsia.-;i,
Il
lo g ( l
Cl + :r:)o
l
a IogO + x )
( 1 + x )'"
1
+ xl
-~
l
6 _ Il
-'---~'>0;-1
" fl che
'-. '.6 ...
:0 15: ( ~
1
l ", j -
l
ca ir%~~
dei limiti
I cl ll Ct-! :
, se n~ ( e
J-=-:l
..-J
~m (l + x)"
LL!:~-_"~_~x~'___
(6.6)
Stime asIntotiche
I li m it i «(l , I ) , (6.2) , (6.4), « (L~ ) (6 .6 ) sono esprCS!Si in modo forse p iù signifi cativo
usand o il si m bo lo d i equ h ..., leu 'ut. a.<;iutotica ...... , già int.ro d otto pe r le s uccessio n i.
Si dice che due fu ll:.' inni f , 9 sono as intO 'l ch c per x -------> c se
lim f( ;1; ) = l
g (:c)
z ~"
e s i serive
f ......
9·
H si mbolo d i asintotico god e di t ur.te le p ro pridà enunciate nel paragrafo L.5
del C3pitolo 3 . I limit.i p reced e n t i s i p ossono allora riscrivp.rc co m e segue:
sin :r: ......, X
l - cosx -
l
-x
,
e"'-l -~x
2
( l + x )"' - l
lug( l + x ) ,,-,x
~
o:x
(6 .7)
per x - , O
Le (6. 7) :Ii possono esp rim ere dicendo e.d esem pio c he sin x, 10g( 1 +x) c e"" - I ,
o al primo m 'dine, s i comp o rt a no ('.om e x , per x __ ().
Le- (6.7) p06SOno essere gellcralÌzz1l.t.e. Se e{x ) è ulla funzione che t en de a
ZCrO( 2 ) (cioè è un inftn itelii7ll(), si può scr i ...·e re
in
pTl7I~1l app ,"Os.~ùnaziou e
sin e:(x ) "'" t:{x )
l
1 - cose (x ) "-' 2"" ( x )
e" ( :Z ) ••
l ,....,
Ilo.(! ;(!
,
t: (:c )
E(X )
------->
O
(6.8)
« x )) - « x )
+ e (x » ' -
l -
,,« x) _ _ _ _ -"
Le (6. 8) s i d ed ucono dalle (G.7) con il semp licf'i cambio d i variabile y = E{ x ).
Esempi
lim log( l + 2:z:) = ~
s in 3.7.
3
0 . 6.
, ·· Cl
Il limit e d à una forma d i inde t e-rminazio ne
:\.x, e quind i
[8].
Tb Lt av ia , p e r
2x , s i .. 3:r '"
lo g( I +2x )
:.Ix
2
!Sin 3:l:
..... 3x = "3
(2 ) N o n
h a im pori. anz a a c h.: cosa t e nde x.
2:
.....
0, log ( 1 + 2:z:) .....
10 6
I
= 3
6.7.
tl limi t e d à una for ma di indeterminll"lionc [ ~ l , ' n, ttavia, e J (><-l)2 - 1 '" :'{.r _1)3 T"'r :r ~ l
(la fu n" io n<J dx) .... :\(;1: - 1)2 è ill fi nit esima' ~r ,T. ..... 1) . perciò
( X _ l )2
e3~ ~-' j '
Hm ({!x 1 +2x1 + 1 - x ) =
6.8.
t
I
3
~-1~
3.3
u na fo rma di i nd~l erlllinaz.ione del tipo [+:::0 - 00] . T u t tavia :
({/x' ~ 'x' + l - X) ~ x (,/1- (~ + :') -I)
'
- -x "('
L:i ;;+x3')J -3'
A bb i:u no usato hl 3thna
{/1 + e(x ) - I ~ ~,,(x), con c( x ) ."... (: + ~) .
Concludiam o ques t i esem p i m os trando come k s ti me ru;intotiche (' fI&Sano essere utili
nello stud io di S{,rie a termin i po~ it.ivi :
~
6 ,9.
.
I
L..,.. flS lll
n2
n. = 1
f:.~ una serie a t.ermini po>; itiyì. P o iché
.
l
11 5m ,,2 ~ 11' n2
li:< !!t'rie diverg..', per co nfronto asi n totieo COn Ill.
l
= n
~i~
a nnonica.
A lt r i im portant i limiti r igllarulmo il comportament.o all'in lhlit o di potenze, e::;poncn ziali e logarit m i, analogh i p. quelli va lid i nel caso delle s lIc<:e!;sion i:
Teorema 6 .1 (Ger ar cbia. d egli infiniti) - Crmsideriamo le tre fam i.glie di funzioni:
(loga x)""
b~
(".()T!
cL;3
> O,a, b> 1
Al/om, per" X ---t +00, o./ fruma e uni-nfinito di ordine irlfE';1"iorc rispetto
che le 8t a a '/est ro, Esplict ta17l~ n l_ e:
lim
",-
...
~O
(l
quella
(6 .9)
".,
il che si p uò espnmue a parole dicendo che qualuTllJut: p()t~nza (po.'l iti1:a) di x
p1Y<fl/J.le su qualu"qw~ potenza di logx, e qualunque espollenziale ( bas e> 1) di x
prevale ,m qualunque poten za d i x"
@
',9"'7
"S-0<l_O T:S4T_ ~
Inoltr e p o nend o y
6. Il colcolo d h l-im":'",'--__
=
:i;
nel prim o li mite in (u.9) !:ii trova(:l)
L
= O
lilll yé}( - log y)O
!J - O+
I
(/3 >O. Vo)
(6_10)
Esempio
ti.lO.
lim
li m
r
.0;'-
VI lo J;'; x
11m xr =
= ()-
lim ",,,, 10 8"
=
,,0 -
1-
",-,,+
liln x e l ,'''' =
-" . •0+
[~,
=
1] =
t
r
". = +=.
,-~';~-.o t
Il teorf'ma 6 . 1 p otrà esser e d imost rato pil', avant.i con g li !òt.rumcnti d el ca lcolo
d iffer cnz-iale (cap. 5 , r..ar. 4. 4).
6.3.
Stime asintotiche e grafici
Le st-ime a s into tiche n o n servo n o sol o p er calcola.re li:m iti, ma anche pe r t ,accia n'! ~ grafico qualitati vo d i una funzione n e ll' intorno d i un cer t o p unt.o , o ppurf'
nell'i ntor no di ±:::X::"
Esempio
6 .11. Sia
S i può ragi o ll"re cosÌ: la fu nzione 1:: defi n it a ,. c o ntIn u a.;;u tutto IR; pe r x ~ ± ,")C . f (:T) ~ x'Z
Du nque f(x) -----> + :;.0; in"ltre il >;uo gr afico sarà s imil e , pe, x gra.nd" in valo re as:>oluto, a
q lldlo d i x"L- . L a f unt:i o ne inoltre si annulla. in x = O e , per x - . Il , J{x ) ~- ~'x; du nqu e il
suo gr<ÙÌ.co t'ar» s im il€, in un i ntorno d i x = () , a quello d i
in pa rtiço l" re, avr à. t ang<olnte
~'eri<:ale nell 'origine _ Il p iù semp lice grafieo e om pat_ibile con q uest-<O! i'lfo rmazimlÌ è :
.;yx,
Pl pe rr:hé ci vuole {- )ogy}{! e sarebb e errato scriver" (logy)!}'!
Cap itnw
4. Funzioni di una t;a,..,:nbile, lù"di e: contlnudd
0 .5
-
1.5
- 0 .5
0 .5
L5
Figura 42
Spesso l' andamento di una fU m'; ione n el l' illtorno di un pallto (ad esem pio il fatto (Ci", ab!>;a
tang e n te ,,~ ,rt icale o onz7.(mtalc ) (, pr"vedibile in base a u n 'opportuna st im a nsi nlot ica, che
COll&ent c di t racci,erc il grafico q uali tati\·o di l (nell' intorno dc! punto) per confront o con
q uello di u na. fun z ione nota (ad esem pio, u n a polen:>:a a esponente razi onale) . "-na loghe
s time sono utili per x -----> ±oo_
6.12. UIlO dci probhnn ; fi~;ci a ll '<,r;glne della t""'ria <juanti&t ic a è q ,w llo d cU", r"d io.z io " c
d e l corp o nero. La legge pro po~!.>l "cl l !lOO da P lanck p cr la d istribuziofloo ~pettral" dd la
radiazione enles.5a da un corpo nero è ;
8"hcÀ
5
l
ehclAi<T
Qll; 1 (>') è la densità. di energia raggiante con i,;pofl dente alla lung l'''''?a d 'onda À, quando
la te mperatura de! corpo è T; IL i , la (:()Stante d i P lall ck. k la C06tante di B oltz m ann e c la
velocità della luce. Questa legge è in accordo con i d ati >; I>cr; menta.!i . m en tre la ll'gge che .;;
può dedurre !1f,a ndo la fisica classica (legge di Ra)'l€igh- Jeans ) è
I().. )
=
8:rrkTÀ -
4
che è in accordo coi dat i s perimen tali solo per À g r and" , men t re per À picc(lio è in profondo
disaccordo: tende a +=, Illentr" la curva sperimentale tende a zero '
Studiamo la Cll rwl. d i P lanck con opportune st'm e as i ntotiche.
P er À ---+ +::>0.
hc / ÀkT
8T:hcÀ - ~
e.'=,':"k7
1
8-rrhc>. - 5
= 8-rrkT.\ -4
-hC!ÀkT
ossia sì r itrova la legge d i R.aylei~h-.I"ans , ;Jl pr i ma !l.PP T'0S8irnazione: in parti cola n" la dens ità
d i energia raggiante t"mk a ?..el"O cotne .\ 4.
Per>. -----'O~ ,
8,.,-hc.\ - ."
ehc!).k-r
l
(l'espom,nz iale a. denomi n ato re ten de a infinito più f Hpidfunetlt e di À - ~ H Il UInerato re).
Qui udi la curva di P lanck può C&<;er " i n accordo coi dat i speri"wnt.a.Ii anche p e r .\ piccolo Ce i n effe tti lo è) . Pu ici", la funzione è .;empr.c po.;; t iva, il suo g rafico, in base", 'l ueste
in formazioni, sarà <1,,1 ti po;
,@,<",,",~"'~~"""Oc'"'"~O,
. ',"'",calr..nlo
______________________ é'6C
dei li m ito:
199
1
Figura 43
Crescita di una funzione all'Infinito
Sup poniamo d i voler t r acciare il grafleo d i una funzione f c h e, per x ---t +OC (o
- (0) tende li. += (o - cc ) . Per d escrive re la velocità con cui la funzione tend e
a ll' infinito , sono uti li le ~egucnti nozio ni: d irem o che , per x - +=,
::;opraline a re
f
ha crescita
Hm
li [) ea n~
{
"' ~ + -=
sottoli l lear e
f (X) ~{
x
±oo
m (fini t o e d iverso da O)
U
( A naloghe d efinizion i ::; j d a nno p er x ---> - CG). Solo nel ca.so in cui u na funz ione
ha crescita lineare, è p ossibile che a m metta fI.'lilltoto obliq u o (v. par . 2 , p ag. 155,
per il calcolo di tale a.~ i ntoto) .
E-scmp i d i funzioni con crescita sopralineare per x _ += sono gli espone nziali
a Z c le potenze XO con a > 1; esempi d i funzioni con crescita oottolincarc per
x ----> +oc suno i loga.r itmi log" x e le pot.emo:e x a con O < a < 1.
Es empio
6.13. La fun zione
per x ~ + = è asi n t ot ica a e "'; perta n t o tende a + ex:> "O" crescit a ,,;u!-,ral i neare ; per x -.
è a.s intoti ca a Z:z:; per ta.nto te",!" >l - = li"narmente ; poich{,
lim
la f un" ioHc ha asintot o obl iquo y = 2x
+
[I ( x ) -
2xi ~
l per x
~ -
l .
ex:> _
-
?Co
Capitolo
200
4.
Ftmz1(m i d, Im a v ariabi le , lùnih e
Esercizi
~mltinU!tà
»
~
Sulla defirLihone di lim-ik .
e
Di,oostrare che
fl)
D imostrare che
eX,
p.,r
X --+
±.'X', t ende CL b'c, O (rispettivamente) .
li m
:rsinx
~_+ '.X_
non esiste ( né finito , n é infinito) .
f%)
S ia
f(X) ={~
Dimostrare d ,c
e
f
5e X
iJ razionale
Re X
è irrazional"
è discont in ua in ogn i punto_
Pro~'a rc mediante la defi nì ,.;" ",., d i limi te che
li", log x =
- 00
", _ 0 <-
e
P roYM:e c he la funzion e s in x è continua in tutt o IR.
Suggerimento : pnxxxlc r c coi seguenti pass i:
l . D im ost r a.re che lim", _ o 'Oinx = O, s fru ttando la disugll"-glianz a Isinx l ::S ixl;
2. Dimost r are che lim", _ oco,,;x = l , sfn ,t t a",lo la d isuguaglianza Il - c,..; xl .,; Isin r l;
3. DilIlos t rare da'.lim,, _ osin (x o + hl = sinx(), maggiorand o Is in (cru + h l - s inxo ! usando
le identità trigonornetri<:he.
G
Dimostrare c h e log x è couLinua p"r X > O.
S"ggnimento: è u tile dimostrare per prima cosa che la f Ullz iofl(' log (1 + x) è continua in
x = O, c qnindi j'l'U\'a.re quanto richie5to. calcolando Iim!. _.1} [log (XtI ~ h ) -Iogxo] .
Su i li=i ti note vo li .
hm xsin ~
Sug.9e"timenw: poiché ~:::~ _
lim
" ~- ,",,
l , !Si l'Ili> purre : -:- ~ = l
+ E ( x)
x log ( ~)
~
con 5 ( x) infinit e!Sima; quin di.
lim
I- ' ; "'-'
Suggerimento: dUl/endo calcolare il limite d i una fuazione dc i t iJ--lo j(x)·,,(r) du~ dà Ulla fon na
di illdeterminazio" e del ti po [l <>C,], ri ~crin,da nella form a
j (x) 9( r )
0-=
( , 9,. ,. jl",,! ( "j
e co miIlc iare a c a lcolare il limite dell 'espuncnte (c h" è ora u na fanna di indetermina.zione cld
ti p o [00 . DJ. Per far q u esto, segui r" il !'.ugge rimento dd l'C8<'-rt'i"io p re cffielltc.
6, fl eulcolo dci I1mih
201
Hm
Fo n .ire una s ti rna asint Oll":o.,
I~r x ---> 0 , d elle fUTl7.ioni:
tgx, cotg:r, ar<:t gx, arC6in x.
....... ioo
li m
... _+x
lim xe,!n-:
o-o
lim
.. -+""
tim xr:· in ~
:t' log (~)
., -,
z _ "-:00
-
-
Studiar<! iJ oorottere delle "C9l1cnti serie
1 : C05 (,;\:."~ )
'L...
" l og l ..
""+ ')
4
o-o
Pe r cia..'lcuna dd /" .w'!l"enlì {""Zlom: d.T"(' dove è definito <'! dOlie è continu a; oolcolare 1 lImiti
alla { Hmt uro dell'ùuueme di definuicme (p ur.ti in cui "mi.! deJinita al ercnlu almC'l lte ±oç) ;
déi~inarc lu tti .q /t eVCf~tual1 asintoll (v erticali, m-iu olltali, obliqui) ; u tilizzando oPl'miu ..e
stim e (l...~i" totiche nei punti I>l r.ui la fun zio ne ,0;1 ",.nu lla e /JU'anjimto , p revedere l 'andam ento
della !",uion e nell'intorno di luli T'" "ti.
,
~
:lo' tJ;-..!
~
""' ± ~x
~
~
~, ,, - I
~
~
(iD
».tctg ( ~ : ~)
~
:r arctg
G>
1xe-
-
\P
x~e - Iz i
~
xc - l /," I
(Ii)
<ID
,-
I / .,
?'~1=~~
z· _ 1
.+'
•
>~ + '
~
x e ""i"T')
~
log(3.:;~~ )
~ xlog(h~)
i"'"+,, ~ 1
i-
~
~ln, ;,,1
1"",Iz-.,-1j
' impedcn 7.<' Z di UII c irc uito Clcl u iol R L C: R ( res is t en za. ), L (induttan za.), C (c:ap n.-
cità), è ,Ia.ta da
r
Z{w) =
V!R~ -+- (Li.; - dw)
,.
(", >0).
Studiare, con l'aiuto dd oomputel', come varia Z al ,alia re dl:'i ... a.cametri R , L , C.
5
1.
Ca Icolo differenzia le
per funzioni di una variabile
INTRODUZIONE Al CALCOLO DIFFERENZIALE
In q uesUl i.ntroduz ione voglia.mo far r iflettere l'allie .... o s u alcuni probleml da c ui
il calcolo differen;f,ilÙe è nalo. Porremo quest.i problem i sotto for ma d i domande,
cui non risponde re m o s libiLO. ma nel seguito d e l capitolo. Come si \'ed rfL, 11'1.
ri!'ò Jlosta a questi prQblemi (:Oill'1:olgc lo. nozione di limite, disc\L"lSa iII preçt<d.,mu.
Anzi , ~ì può d ir"" t.:hc :.l u rh.: "lIl~nte la n(Y... i[J ll~ !.lì Ilnlitc ~ia &atu introdotto. p rincip a.lmcllt c per sviluppare le idee d el cakolo d ifferenzia le, che introdurremo in
quest u capito lo, e d el calcolo int egraJe, di cui ci occuperemo Ilf~l cap iwlo 6.
iL
Che cos 'è la reNa tangente In un punto a una cl.lrva?
Auc.he se gcomctricamellte il concet to st"J1lbra. intuitivo , no n è c.osì ovvio qua.le
possa ~re una. d efinizione corretta. Consideria.mo là p iù semplice fìg"Ura ('.u r viliflU. ossia la circonferen'l..&. Co,s·è la t.angellte a una c i rooll f~r enza in un suo punto
P? In ba...«e alla geometria elementare possiamo risponde re:
1) È la rett.a p~at1te per P e pcrpcndicularf! al r a.ggio passante p er P.
Oppure :
2) È l'unica retta pU$1l.ntc per P che non int e rReCa la circon ferenza in altri p u nti.
,1
o
___
/"
/
( ·-2 , - il}
Figur<l 1 Lil re tti! tangenle illi! <: u,,",i y = z3 nel p"nto ( l . l ) è .. = 3..< - 2. eh"
( _. :l. - 8)
t .. gli ~ I ~
.:t'''';1 .,,,<:h e in
204
Capito lo 5 .
Ca lc~} I(J
d iffen=.z1 u k pe r 111>12«mi d i una l 'ur-iobi k
@BS. 0 8-0 7"4T- !!
Queste defini zioni s ì p OSSOHO est endere a curve p i ù generali? La curva 1 certame nt e no: cos 'è il raggio di una parabolll , a d eseUlpio? La (:un'8 2 sembra p i ù
incor aggiant e perché "funziona" anche per le con ic he ( p arabole , ellissi , iperboli ).
1 -1 a già per la c ur va y = x 3 non funz iona: l a retta t angente a queflla c urva i n un
punto generico ( e&;] Ul;O l'or ig ine ) t.agli a la curva anc h p. in un al tro punt o (fig. 1);
viceversa ci sono c urve, COlne y = Ixl che in un pllnto ( l'origi ne) h am lQ i n fini te
rette soddisfacenti que.:>t a defin izi one, ma int u itlYdrnen t.e nessuna d i esse s i p uò
chiamare tange n te (fig. 2).
"1
.-. ..
Figura 2 l ~ f'Jr1zi Of1~ y =
Ix
_- --.-.....
"
.
./"
:0
--
--
_,:;é-:--
h " infin it e rette c he tagl;ano il suo grafico so lo " d r"" ;g ;n" , neSSlma d ; esse
~ "t~ "g"nt,,".
Ci accorgia m o dunque di parl a r c comuncnlCn te d i un og<~et.to geomet.rico ( "retta
tangentc" ) di cui non sappiamo ( ancora) d a re una defin izione p recisa e generale.
I n real tà non c 'è speranza d i defi n ire lil. tangente come la retta che ha "lueno
int ersezio ni delle al t re" con la curva. C i vuole un' idea d iven;.a. G eomet ricamente ,
l a rett a tangent e può essere app ru~iji Hlata dalla r eita che p assa per due punti molto
v icin i post i sulla curva, il primo fissato (il punt o di t.a.n;s"enza) c l'altro "mobile"
( c scelto via ..... ia più v ici no al punt o di t.angenza) . Due punti i nd ividuano ulla
re tta ; p iù i due punti si avvicinano, p iù questa retta si avvicinerà a lla t angente ;
se però partiss imo sub ito dal considerare "d ue p un t i coincidenti"' , a vremmo un
so lo punto , per il q\l ale passano i nfiuit.e ret.t.e, e l a retta che cerchiamo reste reblw
indete.rminata. S i t ratta quindi d i capire cosa accade della r ett a per i due punti
q uando il Recando punto , mobile , si avvi.ci na sempre più a l prim o , senza peTò
coinc idere con eRSO. La. "re Ua limite" - se csiijte - ~ i chiamerà retta t.a ngcnt.e .
Not.iamo che il pro blema della der.e nninazione della t.angent e è i mport.a nt e
nOTI ::;alo da. un punto d i v iHta geolllet; rico , n m iUlche p er un 'i mportante appl icazione: è faci le c o nvincersi (vedi fig. 3 ) d .e un a curva il c ui gTafico s ia " rego la r c" ha
tangcnte orizzontale nei punti d i m a..' ';'jirno e d i In i nimo (cd C"I.·cnt ualnle nte a n che
in a.ltri punt.i) .
200
,
'"
l--,,
o
Figuli! 3
Per ciò , p er cercare i punti d i m assimo e mi nimo d i uno. fum:i<'me, è u ti le sap e r
scrivere a naliticamen t e l'equazio ne della retta tangente a lla c urva in un punto
generico, p er ..'edere poi in quali punti f!E\sa è o ri zzontale. Q ue~ti1. idea si d eve per
p ri mo ~ Fermat, ch e la. elaborò in torno a l 1630 . A d esem pio, lo. meccanica in."lcgna
che un sasso lanciat.o verso l' fl..lto (nel v u o to) con una veloc itit ini"iale t'o, dopo 110
tempo t s i trova a un' altezza
h (t )
l
,
vo t - - 9'
2
'
dove 9 è 1' !l.C(:elerazione d i g ravità, pari iii. 9 ,8 m / 52. P rohlcma: qual è il pUIl t. fl
più a lto ra.ggiunto d al sas.':oO? È il valore m w;Rimo a&<;unt o t\A.lla funzione li (t );
=
cerchiamo dunque il valo r e di t p er cui lo. curva h (i ) ha rett.a t angen t e o r izzontale;
in realtà questa. curva è una pant.b ola, e sen za scomoda r e il calcolo infinìt~i ru a l e
sappiamo ch e ha ,ralore rnas.si.m o per t = ascissa del ·vertice, r:ioè t = lljj!9i perdò
l u Quo t a m~irna raggi u nta è h ('t'o/g ) = ! 1:6Ig. È chiaro però che in problemi p iù
g enerali potre mmo trovare una funz ione h (t ) "qualsia si", e.si p o n e il proble m a. d i
avere un m etodo genemlc per det e rm inar e il p unto in eui la ta n gente è orizzo n t a le,
e p r ilila a n c ora per calcola.re il coeffic ient e a ngo la re d ella retta. t a.nge n te in un
punto qualffiasi.
un p u nto i!:..1,ruf.t.i ....o di que::;ta d iscu ssione C- i l seguent.e: senza il n Licalo infinitenon si potrebbe non solo risolt:en cer ti pro blem i, ma n eppure da ,. 3enso
~i rn 8.lt.e
ad ess i (ad esempio, de fin i re r [email protected] il concetto d i re l.t;a taIlgentc).
Che cos 'è la velocità di un oggetto in moto?
Q uesto è un al t.ro conce t to che sembra ovvio mtl n o n lo è. COIl$id eril;UllO un pun to
mater iale che si m uove d i nIot a van o, e proponialnoci d i cnkolli.re la ,:,ua vcloci t a ,
nota la legge ar.\l.ria dd m o t o (ossia lo s pazio percorso in funzio ne dci t e m p o'.
Nella fis ica galileiana l'unica ....e loòt.i! d i c ui si parla esplicit amente è la vl'! lociM
media. ossia il rapporto tra lo s p azio p ercorso iII un certo intcn'<:lllo d i t.empo e
206
Cupitvlo $. Calcolo dijJl'rrm!"we
pL7-
funzioni d i. urll1 1iflrirÙ/il~
l'intervallo di t elllp o s t.es$U; (llll~f;to concetto è l:iufficiente per d escrivere il m oto
uni fo rme. Ma in fe llomeni com e 13 l:ad lll.a di u n grave, l'oggetto cambia velocità a
ogn i is t alll.~. C he co:::.'è la velocità ist tl.nt anca? Intuitivamf!nte, è la velocit à media
in un int.ervallo d i t e mpo brevi$.<iimo . .M a c ome s i p u ò d e fini r e rigor usamente? E
come si calcola effcnivlUnent e? S i Iloti che la pa.r o la "b revissimo" no n ha alc un
significa le) rigoroso, in mate mat.ica ~ Quello che s i può pensare di fa re. è calC<Jh:lfe
la velocit à media in un inl.crv.ùlo d i tempo lJ/lriabile 6..t , ossia. il rapporto t r a
lo spazio perco rso ncU'int:ervfll lo di Leml)O ~ t c l'illtervallo t::!.t stesso, e cercare
d i capi re il quale valore ::.i av"\'icina questA quantità q uando t::. t diventa sempre
più piccolo (ma. d iverso d !1. zero: se ~t = () il p rocedimento perd e 8ignifica.to,
d andoci un r a p porto 0 / 0 ). L 'introduzio ne cOllsapevole d i questa nozione d i veloci t à i;;tautaneu si. deve a !\"cwt on (inizio 1700), cd ~ uno degli elementi d i novit à
as..">Olllt a della fisiea n ew to ll ialla risj)f't Ul a quella galileiana e pregalilciana. Per
Ne\vto n , come per noi, la ve locità è la derivata rispetto al tempo nella. fu n z io ne
6 (t) = '"!',p a'/,io percor so nel t e mpo t" , o vvero il limite a c u i t e llde i l r a ppo rta tra
la spazio Ù S p er corso in un int.ervallo di tem p o ~t e l'imervallo Al, quan do 6.t
diventa sempre p iù p in.:olo. P rocediamo ancor a di un pas.'>O. Galileo aveva g iÀ.
oSS€l"Vato c h e il concetto di velocità. è sen lp re relativo ad Wl sist ema di riferim ento, e che "quiete" o Mm oto rettilineo unifo rme" possono essere d ue d escri:.dOl1i
dello !'.-tesso fenomeno osservat v da d ue sistem i di riferirnent o diverbi (entrambi
ugualmente "leciti": i cosidd etti sisteml di riferimento inerziali ). Ne segue che
l'effetto di una. forza (o se vogl iamo di u na "causa fisica"') non può e&;ere la velocità. Qual è a llora t.ale effetto? ~cy.{ton ~ il primo ad affer marlo espl icitamente:
t.ale effetto è l' a ccelerazion.e , ovvero la v doc1ta di variazione della t;elocità. Questo
concctto p rf!Sll pp()Il~ ovviamcnt e quello di velocit,à, i stant alLl:~ a, e introduce l'idell
c he il Calicetto mat ematico fi slca.mellLe i ll t erc~~antc s ia lo. de1'ùlota d ella dcri t:ata
del la funrione .'l ( l ), ossia lo. derivata seconda d i $ (t) .
Il oalcolo d i1lerf!nziale. (ovvcro lo studio d eUk. lIiff..ione d i derivata), che è partc dci
calcolo i nfìlli t~i malc, è qu iudi imi<:iJldi b ilmenLC legato alla naticita della sciell:LfL
Illo d efi Lu .
2. DERIVATA 01 UNA FUNZIONE
2.1. Derivata e retta tange nte
R ip rendiamo ora da un punto di \·is1.a qu a ntita.tivo la di!:lt~ussiolle fatta nel para g rafo precroent.e sul concetto di ret-ta tangcnte; Arriver emo co.si alla defin izioru:: di
de-ri-L·ala.
Cartelli s tra dali d el l.i p o
e
indicano la " p e ndenza me<lia- del p ercor so. ~c1 caso indicato la pendenza med iu
del 10 % . Che (."()t)R v u oI d ir.::'! Sign ifica c he il. ogni avanzamento d i 1 km co rrì ~:..ponde
u n innab:am cnto (o 11I L a h husstunento) d i dreo. 100 m = 0, 1 km (fig . 4) .
2_
ncr~ va t(j
di una funzione
207
,
~--~--
B
A
,-
:..----;---;,-
~-
-- -- ---~
,
•
---
100 m
-----------:r'
l km - - - --:-:
F igur a 4
11 10% r.he i ndica la pendenza è il rapporto
-"'.lrÌazione q uo ta
variaz ione percorso '
c h e rap p r elcnta
il tasso di variazioT!.<':! della quota r ispetto a l p ercorso, rel a t iva mente al tratto d i
l k m. Si noti che tas.'lO d i variazione positivo i n d ica (in media !) innal zamento .
mentre ttl.':lSO negativo incliclì. abbassament,o.
,
f(x
+
---------------- --r il ~~
h)
-----
..___------'
I
f(x
+ "ì - !lx)
A < ____ (--..
f(~)
t ---_
-- --------
_l-------
---='---~I .
- - - - hFigura 5
--0.--'----
:c
--
x + h
Se i mmaginiamo il nostro percon;o idealmente d e:;critto dal grafico di Ulla fu n z io ne
y = !(x ) possiam o pem;a re che le coordinat.e dci punti A e R (i n figo G) s iano
ri fl p e t-t- iv1l.mente (x , J{x )) e ( x + h, f (x -+- h)) . A llora avrem o
AC = h
CB = f (x+h) - f(x)
e qui n d i
variazionE! quot a
va ri ll.Zio ne percorso
[(I
+ hl -
f(xl
h
L' u l t imo ra pporto pren de il nome d i m pp01'lo incn;m entalt: d i f relativo all'inlen!allo [x, 'c + h ]. Ceometricamente, ec."':'endo il t r ia n go lo ABe rettangolo , si ha
ch e :
f(x
+ h)h
- J ( I)
--- = tg a =
coefficiente angola re della retta A R
D'a.ltra part e , osservand o l a figura 5 , s i vede ehe l a pendenza media d a A a R non
è un d a t o p r eciso i n quant.o, du rftllt.f' il pen ;orso, nOll06 t a n te la pendellza med in
s ia positivit, vi SOIlO t r at.ti in d iscesa , a pendcn :l.a perciò n egativa.
P er o \"""o i are aLl' inco rrvcnientr2 c raggi u nge r e u n 'adeguat.a p rccisione occorre
consi ( l~nuc t n l tel fti percorso ~el!lpre piìl piccoli , 05si.\ f lH t endere la Innghez7.a
C api tolo 5 . Calco lo
208
diJf!òrcnz~ie p€T fUT.zùmi
di
1~n(1
uariabue
del percorRO 11 zero . Naturalrnente, !lei caso d ella pend enza stradalp. un dato me-dio relat.i vo il. lun ghezze dell 'o r d ine del km pub esser e un'informaziolll;:' sufficiente
all 'automo b ilista, ma vedremo p iù avanti in a ltri e:oempi clic il passaggio a l limi t e
citat.o r is u lterà 11101ul sign ificativo . Ri ton ll'l.ndo a l nos tro eS€Jup io, consideri a mo
i l rapporto :
I (x
+ h ) - i (x )
h
= t.gn
c pa.ssiamo al lim ite ( :;u pponenao che l-~ista ) p e r h ---t U. Che cosa succede geometricament.e? Il p u nto -4 , d i coord ina te (x, 1 (x) ) r i man e fisso, mentre il pu nto
B . di coordinate (:;: + h, f (x ~ h» s i muove ve rso A , mant.enendosi sul grafico d i
i
(fig .
fil·
,
11 = f (cx-}
f (::: )
,
,
r- -,
' '"',~c.- - - - - - - -
; - ~h------
Figura 6
Contemp o raneamente la retta. A li varia la s ua p endenza &s.*st f\.ud osi s u u n a
po.sizion e limit e . "\e scatu riscono i seguenti fo n ùamental i con cet t i:
la retta liulite p rend e i l nome di n~tta tungente al g rafico d i f nel punto d i ascissa x;
la sua pendenza (o i l :;uo coejJiciente angolare) è data da tgw (fig. 6 ) e prende il
n o m e d i de rt1wta prima d i f nel p unto x .
I n gen cral e, abbia m o la seguent e defin izionc.
Sia j
(a , b)
---->
1ft;
J
si d ice dc nt'abile i n
Xo
E (a: b)
tiC
lim Il:J:1!+ ''t·[(zo) esist e
h~ O
'
fini to . Tale lim ite p renrle i l nome d i de ri.~ 'a ta pT"i.mn (o semplicemente deri1)alfL)
d i I in xo e s i in dica c o n uno d ei simboli segu ent i:
di
1'(.TO)
,.
)fil
h ~O
l
D f ( xo )
i( x o + h ) - I(x!} )
h
=
i '( I O)
'
La rett a d i equazione:
Iy
o..::
J(xo ) + !, (xo)(x .- IO ) I
:;i chiaIlla ~tla I. fm g enlc al grafico d i f n~l punto ( Xn, f('l:o» .
(2 . 1 )
@
;;!:' - OS ·O r ,,4 r_ ~
2. Derivata di una funzione
Se I è de ri vabile in og n i p u nto di ( o" b) è defi n i ta la fum:ione
der iv(l t(! di I , d a t a da
J'
209
(D,h) - _ IR,
x >----> j' (x )
l n q u e!'> t.o caso possiamo anche chiederci se la fu n z ione J' (x ) s ia a sua vol ta
d e rivabile (i n u n punto o in tu tto l' intervallo) : in C&-;o affermati vo , e h iamcrcnl o
derivato. Sfmnda d i f la deri va t a d ì f' e la indiehercmo l'on uno d ei simb o li
a'f
d,r21:r~.ro
f '"" T O )
Vedr emo più a va!!ti qual è il s ig nifi cato geometrico e l' u tilizzo dclllì. deriva t a se-cOllda. I n modo del t utto analogo s i defi n irà la dEriva ta di o r dine n, o der-illata
n - (·.~jrn a , indicata con i s i mboli:
d
n
f
dx"
2 . 2.
D n f(xo )
IX=:.<D
Altre interpretazioni della deri\lata
La defi nizion e di d erivata come l imite d e l rap porto increnlCnt a le ind ica c h e essa
deve t'o m;id erarsi COllIe tasso d i variazio n e p unt. u a le o ist1U1t aneo , anziché medi o .
Questo IIlodo d i vedere è part.icolarmen tc fr u ttuo 50 in molte ~it uaz ion i con c r ete come i n d icat.o q u i d i segu ito .
Un oggetto è in In oto l ungo u na tra iettoria rettil i nea t :Q Tl legge oraria s = s(t) ,
O. L a fU llzione t I-----> s {t) in d ica lo s p a :ò o percor so al t emp o t. A liura
t::::
ds
= veloci t à d ell'oggetto
di
-
Analogamente, la velocità is t an t anea di variazione d ella 'lelocità v (t) d ell'o ggetto , rap p resen t.a ( per definizio ne !) l 'aceeleraz.ion e is t.an ta nea dell' oggetto
~ t es::;o:
dI}
-d = accelerazione d el l'oggetto
t
Poiché a sua vol t a
ti
era. la. d erivata della fu n z ione s(t ). bi o t.t-icne che
a ccelerazione =
:!:..
dt
(d,)
~ "'dt :
dt
EtTO un primo cscnl p io d i inter pre tazione (Iella d eri'lat a seco n da d i una fUllz io n e .
Se sull'oggetto agisce u na forza I = f ( s , s'), la ~p('"..onda legge della dinam ieA s i
p uò 8cri vere nella fornla.
T11 S"
d o ve
In
è la m assa del l'oggetto.
= I(s , s ' )
Gapdolo S. Calcolo dlUerenzr.ale per funnom dt una vanabUe
210
Un pendolo oscilla in un piano verticale attorno a un
asse, formando con questo un angolo () = 8(t), come
in figura . I n questo caso
dO
.
dt = velocità angolare del p e ndolo
In un filo percorso da. corrente sia q = q(t ) la qUaIItità di carica che attraversa una sezione dci filo nell' istante t . Si ha:
9(t)
d
q.
. ~ d.
- = ln LenslttL l corrente
dt
Se c = c(p) indica il costo di produzione di una quantità p (di un determinato
bene), il rapporto tra c(p + ò.p) - c(P) e 6.p indica la variazione del costo
proveniente da una variazione (media) unitaria della produzio ne e I?..,ende il
nome d i costo f1larymale medto. P assando al limite per C::..p _ O si ottiene il
costo marginale; cioè, in questo caso
dc = costo m argina
. l c d ·l p ro d UZlonc
·
dp
Invitiamo il lettore ad allu ngare la lista delle possibili int erpretazioni della derivala
con altri esempi (accelerazione angolare, dens ità. di massa, ... ).
Deriva te di funzioni e le mentari
2.3.
La tabella seguent e contiene le derivate delle principali funzioni e le m entari.
=
L ç
l'
f
(coota.Ltte)
2. x
3 . :z:2
4.
.!.
5.
Vi
f
O
Il. e"
1
12 . log:z:
2.
1
-.'
x
l
2~ (per:z:
>
O)
ax""-l
6.:Z:" (o: E: n ,x> O)
14 . log" :z: (a > 0, a '" 1)
l
-:z: log
-~
15.8h
Chz
16 . Chx
Shx
1
V l ...::z::J
17. arcsinx
8. cosx
_ si n :z:
18. arceos:z:
lO. cotgx
-(1
+ CO t~ x)
l
(cosx)2
l
= --.-Slll~ X
"
a" tog a
=x
l+tg2:r=
,
13, a" (a. > O)
7. smx
9. t,x
l'
e"
19. 8.fctgx
l
v'l
l
x'
1, +X2
2. DenvaLa d, una funnone
2"
La 1 è immediata; 2 , 3,4, 5 sono casi particolari di 6, chc abbiamo scritto esplicitamente perché si incontrano così frequentemente che meritano di essere ricordate.
Proviamo ad esempio la:
If(x) ~ x' , l'(x) ~ 2x I
3.
Si ha:
I(x
+ h) - I(x)
-
+ h)2 _ X2
(x
=2x+h
h
h
che tende a 2x per h _ O; da qui, la formula.
If(x) ~ x"; l'(x) ~ ax" 'I
6.
Sia x > O. Scriviamo:
(x +h )"- xO
=xo
(1
+ !!)"
'"
- l
h
h
dove a bbiamo usato il limit.e notevole ( 1 + é(h)
c(h) = h/x (cfr. la (6.8) del cap. 4 ).
7 , 8.
!/(x)-sinx ,I'Cx)-cosx l
y' -
1 ....., ne (h) per h _ O, con
I/cx) - cosx , l'(x) - - sinxl
Si ha, utilizzando le formule di addizione
sin(x
+ h)
- sin x
h
=
sinxcosh + sin hcosx - sin x
h
sinh
. c_os="hi---=l + --cosx_cosx
Sin x h
h
h~O
dove abbiamo usato i limiti not.evoli 8;~ h _ l e
cosh-l",_~h2 =-~h-O
h
2 h
2
Analogamente si mostra la seconda formula. Omettiamo i dettagli.
If(x) ~ c', nx) ~ e' I
lO.
Si h a:
f(x
+ h)
- f(x)
h
essendo eh;:l _ 1 per h --;. O (limite notevole).
Dalla formula si ricava che la funzione x 0-----0 eX soddisfa l'equazione y'
Il.
[f(X) ~ lo" x ,
f'(x)
~~[
=
y.
212
Capitolo 5. Ca lcolo d i[f"",,,ziale per l"llzioni di Una t'aria /u lo.'
(913&-''''-'' 7''''''-6
Abbiamo:
f(x
+ h)
log(l.' -+- Il)
h
- I (x )
- log ,1 :
log ( l
+ h/x)
Il
1
l
h
l.
x
x Il
d ove abbiamo usato la (ti.8) dci capito lo 4.
Le formule g , l O e 13- 1 9 potr a nno essere d iIllost rutc u tilizzando le r egole che
vedremo nel pros.'li mo p aragrafo .
Le equazioni differenziali soddi sfatte dafle funzioni esponenziali e trigonometriche
Osserviam o un f a t to n otevole che riguarda le funzioni esponenzia li c trig ono m e t riche. La 13 p uò ~s"er e rilet.ta dicendo che le fu n z iOl li f (:J:) = a X soddisfano
l'e.quazione differenziale
l' (x)
~
ki (x)
con k costant.e opportun a . LIl legge esponenziale governa q u i ndi i fenomeni in
cui la velocitii di crescita (o diminuzione) di una grandezza è p roporzionale a lla
gran dezza stesso. Quest:a semplice legge si ritrova in molt.e leggi fisiche e ques t o è
cert.ament.c uno d e i motivi a CHi le fun zioni esp onenz ia li d e 'VollO la lor o i m port.anza.
La 7 e la 8 ci dicollo invece ehe , p osto f (x ) = sin x ,
-d'! (x) = - d
dX2
d.:r
(di)
dx
(x ) = -dd (cosx) = - s in x = - f(x )
J;
Perciò la funz ione s inx (e, co me si vede COli p assaggi a nalog h i, a n che la fUllz io n e
cos :r) soddisfa l'e q u azione differenzi.ale
f"(x)
~
- I (x )
Pertanto le funzioni sinusoida li govern a no i fenoTveui in cui l'accelel'Gzione con
cui varia una grnndezza è uguo.le alla grandezza $tc.<;8a, (:ambiata di segno. Tali
sono ad esempio molt.i fenom eni d i tip o vibratorio.
Non è esagerato d ire che questo è il moùvo fo n dame ntale per cui le funzioni
trigonornetr iche sono così important.i nel calcolo infinitesimalc e nella m a tematica a ppl ic a ta: un nlotivo che apparentemcnte n on ha nulla Il. che vedere con la
trigonometria, da cui quest.e funzioni sono nat e! App rofond iremo q uesti fatti Ilel
capi t o lo 7.
Esempio
2.1 .
Calcoliamo l'eq Ulv.ione della retta tangente a l grafico dell e seguenti fu n.,;ion i
f,(x )=e",
h ( x) = x 3
nei punti di asc iss a x = 2 .
Abbiamo f, (2) = e 2 c
1~{2) =
n~tta
e qu in d i l' equaziom, dd ia
y
=
e"l-
è
11(2)
+ 1 ;(2) (:1'
- 2)
= ,/" + ,? (x -
2i
2 . De'rit", i" ,li una fu n zione
213
T'er 1' " ltra f u n 7ion e :
h i2 )
e qu indi fi(2)
=
=
8,
f~ ( .T ) =
:3x"'
( fo r mula 4 ddl a t a bella con a
=
3)
12: [>crt.anto s i otti""e per la retta taltgente, l'equ a.L.i" "c
Y = 12 ( 2 )
+
f~ ( 2)(:1: -
2) = 8
+
12{.T - 2)
Ri portiamo in figura 7 i grafì ci dellp dne funz ioni, con le rispettive r e tte tangenti
perx = 2 :
'"
,
•
lO:
,
,
W
5
> "
2
:1
-
-
,,
12 ,
"
- 5~
,,
14 '-
,
,,
2
O.:,
15 '
15
,
V i
Figur3' 1
2.4.
Punti angolosi. cuspidi. flessi a tangente verticale
S e u na funzione.f è d erivab ile in un p unto Xo , n e l p unt o d i coordinate (xo, f (xo»
il grafico 1.& lIna r etta tangellte b en d efi n ita. Che CO$il. succed e qua ndo f n on è
<
de rivab ile i n un p unto? Vediamo alcuni esempi.
Punti angolosi
S ia f (x ) = Ix !. E·&-rendo f (x ) = x per x > O e f(x) = - x per x < 0 , s i h a
t'ex) = + 1 se x> U e 1'(:1..') = -1 p e r J; < O, a"vend o-i' il s ign ifica to d i coefficiente
angola r e. Nell'o r ig i ne:1; = 0, occo rre usn.rc la defi nizione . Ora
I (h) - 1(0 )
Ihl
h
h
c qu in d i, ~e h ---;- O... . Il i = h c il l im i te uel rappo rto i nereIIlent.l:\.l e è I. ment re se
h ---+ 0 - . !h l ~ - ·h e i l li mite è - l.
S i conducle c he , Ho n esistendo il li mite d ci rap por t o i.n crerne n t a le, f n.on è
deri va.bile i n x ~ O. D 'altra p ar t e, rko rd a ndo il gr a fico d i f (x) = ·x : s i vede clIC
la t.a n g e nte n ell'origi ne H O ll è bell defini.ta.
Capitolo 5 . C (Ùçolo dtDercnzl u./e per fum:i o nt d i Ima tlariabuc
" t,
I{x l
=
-.:1: ,
O'
Fi&ura 8 La f ,mz ione Il:1 'O(nl è de..ivilb ile in
::t:
= O.
Tuttavia i lim iti de;;t To e s inistro d e l rappo rto incTcm e nla le d i
in (O, O) il g r a fico prP.lienta "u n angolo" .
La cirCf"JSl anzll merita. una defin izione.
Siano
Hm
h_O -
f : (a , b) -
In..
n;t·I.ht 1(%0» )
IO E
a llo ra.
(n , b) . Se esiste fi nito
Ixl esisto n o
finit i e
~
lim
j ("'o +h )- n" ol
11_0+
"
( o ppure
f si dice derivabi le vllllr, destro (o ppure dalla sini~tnl);
.
il limit e si chiama d ~rivata des tro (opp u re simstra) e si in dica con il si mbo lo
f :" (x o) (oppure I~ (x o )).
Xe. 1 caso i n cui f s ia continua e deri vab ile da destra c da sinistra (ma non
d erivabile ) in Xo s i d ice c he I ba un punto angolo.90 i n x = xo. Dunq u e , Ixl ha
un punto angoloso in x = o.
Vale la. pen a r ico rdarc la form u la che esprime !iintctie amentc la d erivaLa dellu
fu nzion e ...-alore olL<isolulo (fu o ri dall'origine) :
Ixl' =
Punti
li
sg n {x) = { 1
- 1
per x
per x
>O
<O
tangente verticale . Cuspidi
Se I è con t inua in un punto .1:0 e
. I (x o + h) - I(xo)
[1m
h
h_ O
= +00
oppure
-
00
f
non è derivabile in Xo ma, geometricamente, il grafico di f ha una ce l t a t angeme ben definit a e p arallela tLlJ'asse delle o r d inatc. Ammetteremo in t B.I c aso lo.
Rc.ri t-t u ra l' (xo) = +00, l'(xo) = -= e p arlO::'.remo di fles~o a t angent~ tJe1·t icale
(fig. 9).
A d esempio, lo. funzi o n c f (x ) '"""
(cfr . fig . 15, p ar . 3. r:~p. 4 ) .
..yx
ha un punto a tangent e verticale in x = O
________________ ,'c'-,D""'"C'",,,ata di
,.
,
.
.. w l fun z ione
o
IO
C'..onsid criamo o r a la. funzione ! (x) = Mil, il
c u i grafico è r ip ortaw a nanco. In qucst.o CASO
si ha J~(O ) = +00, 1:(0) = -00 e si d ice ch e
in x = 0 , f ha una cuspide.
s~
f è
f '-(xo)
s pide.
=
")
continua in x ,) e f~ ( x u)
-':"'::..'0,
= cx:.' si d ice che f ha. in Xo una cu-
o:
Xel rA<;O mi~t.Q in ,ui alla. delle due d erivat.e t!
Fi"u';o lO j{ x ) _~ tfj;i
finit a c l'a ltra infinit a (COT! f <.: o ntinua) si parla
I\nOOra. d i p unto angoloso.
Infine, se la. funziolle c definita solo per x ? :Co f! in t a l punto h a deri vata
(d estra) infinit a , d iremo ~ mpl ice mente che iII l.a1 punto h a tangente IJf!r/.ir.alc ,
~n l!a p arlare né dl cuspide né d ì flesso . A d esempio. la fu nzione.,fii ha un punto
a tangent.e vert.ica)!:: in :t = O.
Continuità e derivablfltà
Se
f
i;
derivabile irl un ptm to
Xo
allom
f
c continua
in :Co-
Ciò 5; vede s c r i\'endo I (xu + h) - ! (Xl) ) = 1i1g~"~ -J( .. 01 . h ; pelS9t1-nd o al limi te per h ..... O
+ h) - 1 (%0)] = ti da cui lim f ( Zfl + Il) = / (xo) che è la cont inu ità di f
,;i r ieava lim [f{.:r.u
"
_ù
h_ O
Come conseguenza., se unA funzione è discontm.1I.a in
in
X o, 1lOn
p uò essere d erivab ile
x o.
V icevcr;;a., se J è con t.inua in I O, n on n CCel'iliA.1 iam ente f è derivabilc in :to
t":On1C mostra l {x) = p' ; ch e è CQut.inua in x = O ma. no n iv i derivabile.
Consideri amo la funzione J perio dica d i period o '1' che coincid e con
tervaHo [--T / 2. T /2J (fi g. I I).
2; Ix l u cll'in-
Capi tolo 5 . Ca/co lo
216
diff~Tellz;,ue
per funz ioni di un" ' -'arta /l ite
,,
,,
,,
,
- T
Figura 11
,
l'
O
5S-0~_ ()7S4"'_,",
,,
,
,,
__.l ___
-,
@
T
2
Dna fu nzione d i q uest o genere modclli zzau.n'onda o sl:'_!!Tl a l e triafl-golm'e d i amp iezza 2: . Questa funzione prl:'sen t.a punti angolosi in 2' =
±T , ±~T ~"Cc_
La s ua d eriva,t;a non è d efinita i n questi punti ed è costante a trotti; precisa1 ' vae
I - T:lA per "2
l' < x < .T C S I' n,p ete con peno
, d lei
' ' t'a
rn ente , va Ie T>A p er O < x < 2
l', con un grafico illustra t o in fi ~ura 12 .
±t,
,
,~
', T
x
2.4 '
1'--
Figura 12
L a d erivat.a del segnale triangolare di am p iezza
chiama onda q-uudra .
r ap prese nta quella che
2{!'
SI
Eserdzi
o
l.,"ti li",z.-1.ndo la definizione di .l",ri,,«t.a: determi n.arc ; 1 componarncllW n e ll' origino, delle
!Seguenti fn az ioni ( tange nte o ri;r-7.ontale, {'u"l' idc, nc..'I.~() il- t angente ver t icale ... ,I :
" '"
Xl / 3
x
3; 2
(Questo <lryomenta 1K:rm ette di oompletare la giw;tificati one del .qra.jico del lE funzion i potEnza
a espon=te 1Utio71ale" noalc , che abl>iamo dc.<n.z!tQ nel cap. 4, par . .'1 .1 ).
e
Sia
f (x) = :" log x , per x > O
Dopo aVer prolungato per contin uità
e
J anche in x
=
0, calcolare la sua derivata destra in O.
S ia
J ( x ) = e - ) /" . p e r x
DDpo a"eT prolunga t o per continui t à (da de:>t ra)
des tra in O.
> O
.r anche in
eT:
=
0, c.alcola,.c la ",ua derivata
:J Regolc: di. <::a1;;olo d ell,· derivate
3.
217
REGOLE DI CALCOLO DELLE DERIVATE
Vf'd ia m o ora la r e lazione tra l'opp.ra:.d o [)(;' d i deri vata e le p ri n c ipi'\.li opera zioni I-tià
n o te s ulle fllIlzion i; in p artico ll:lre mos t rer emo la relluio n e trft:
oper a zio n i algf' briche (±,', /)
derivazione
~ ~ o..lmposiziofl e
in version e
3.1 .
Algebra delle derivate
Teorema 3 .1 - Siano i, 9 : (a., b) - -> ]R. def'i.t)abili in (a, l,) .. {,llom f ± g, f . 9 ,
1 / 9 (q #- O) sono derivabih m (a, b) e v(jlgono le st:guenli f ormttle
1(J± g), ~ J'±q'l
(3.1)
[Q'!I), ~ !,g + l g' i
(3. 2 )
I(J / g)' ~ (f' . 9 -
I . 9') / 9'
!
(3.3)
I n pm·ticolare, dalLrl (3 .2) ,~ i df'.du(""R-
l(k· I l' -
(3 .1)
k (:o stanLc J
k·!'
essendo la deritml u di una costante ugualI-:
zero, c daU ll (3.3) si de.(itta,
Il
1~r
f ~ "
ii
( _gl)' = - g2
(;l.5)
Dimostnu:ione. A tit olo di <"!:-o<,nspiu di m ostria mo la (3 .2): si ha, fis......... tQ x E (a , b)
/(.7; + h)IJ(x. + h) _.. J ( x }g(x} = I ( x + h)g(x
-t
li) - I {x -I h) lJ (x)
+
I (x
-I-
h)g{ x } - I ( x)g ( x)
c quindi
f ( x + h)g(x + h) - f (:I';)g(x) = I (ex -I- h) . g(x
h
+
poiché J (x
+ Il) ~ f(x)
y (x/( X
+
+ h)
- g(x )
h
' h - I (x) ~ 1 (:1';) 9'(1') + l' ( X)9 ( Z )
quand o h -. 0, pb"",,,dQ I co ntinua iu q uanto dcr i ....... b ilp_
Esempi
3.1.
Calcoliamo la velocit..à d i un oAAetto in moto tett.ilineo con 1"SS:I! ur ...... ia. d at a da
:;(t) = voi";"
I
~yt
,
O
Capitolo 5. Calmi" d.iffe":mz:!_~l .. pe'o j"nzinn i d'i una Ilariabde
218
La derivata de ll a funz io n e vo ' è
\I()
mentre q u ella .!i i g t 2 è ~g. 2 L = gt ( U&"Uldo:2 volte
tro ~a
la (J A ». IJAAndo oa la (3.1 ) s i
v (t) = S'(L) ..::. VO ':" g t
3.2.
Calco liam u 11\ velo cit à di >'ll.ri'J "ion e d e l volume d i \lna >;fe ra ri"petto al raggio.
~?TT3 , la velocith n"h i<*o"ta;- (rego la (3 A »
Essendo V (r ) =
3: 7T(3r~) =
V '( r ) =
3.3 .
5uperficìc della sf".... di ragg io T!)
(=
<S". T'
Der i,-... ta della funzione l fl u gcn t e . Poiché t g':l: =
+ (5;n J:) ~
(<:o~:,,) ~
(~•(;"q:)~
cl
d x 19x =
::1. u sando la. formula (3 .3) ~ i trOVf\
l
=
«(:'~:t:)2
= l.
+ (tg:r:)~
A n alogrullenl.C 1;; çalcola la deri vata della funzion e cotnngente.
3.".
St, c = c (p) è il costo d i produzi<lIIc di una
quanti~
p di pr odot to , il Ti:J.pport o
c(p)
P
si chi l\TTl8 costo 71ledio e m ppralent!l. il cos t o d i una h1Utà di prodotto.
Per calcola re la de ri\'a t a dd COl:ot o med io,
d c(p )
dpp
3.2.
u~iamo
la for mula (3.3); si trav...
c'( p ) , p - r:(p )
p'
D e riv a t a di una funzione c omposta
Teorema 3 . 2 ( R egola della cat.ena ) - S ia 9 o f la CQmpo.~ta di d ue funzion i f e
g. Se j è der ivabile ir, un ptJ.nto x e 9 è derivabile in y = ! (x) allora g o ! è
de nt'abile in x e v a le la jormfJla:
r,1(g -o~
/)~'(~x~
) _-9~'(~
/(~
x~))-'~
/'~(x~
)1
D i m 05 trazi om~ ,
Si ha (g o n(:/! + h) - {g o f) (x } = g(l(x + h» - g(l(%» ,
Se poniamo k = f (x
di
(3 .6)
I , h -. O im plica
'"
---+
+ h ) - f(x) , y = I (x ), al lo ra. I(x
O. Con le n uove notcu;ioni,
+ h }) - g(f(x » = g(lI +
g(l(x
+ h.) =
y
+ k. c
per la contin u ità
le) - g{y)
O sserviamo ora cbe la defi nizi one dì de rivat a
' ()
I"
17 (11
gli ·"'" k~~
si p uò
r; ~ riverc,
per k
#O
+ k) k
9(11 )
O,
- g (1{) = g' (II) +~( k )
k
dove t;( k ) indka una q u a ntità. c h e tende a :.oe ro p e r k __ O. M o ltip lica.n <:io
d e ll '''q uazio n e precede nt e ptlr le si tro va
.q (v
9 (11
+ k)
+ k)
!Hn oo
i membr i
- y (y } = g'(y) , le + t" ( k). k
r d aziolle \'8.lidl. anc he per k = O. D unq ue:
9(1 (X
+
h» ) - g(J (x»)
=:
g'(y) . k + ,,( k) · k
D ividend o pcr h . e osse......a.ndo che k / h ~ l ' (x) si ottleu c la (3 .6 ) .
D
o
"~.O~_i___ _ __
_ _ _ _ __
219
L a (3 .6 ) s i cbiaHla Tegola d ella catena; Ut;ando le n ota:.don i (d i Lcibniz) ~ e ~ per
le derinlte d i f e g e p osto w = g (y ), la (3.6 ) acquista una forma più signifkativ8:
!
dm _ dw . dy
dx
dy dx
('.:01111:: !Se r.ly s i 5Clnpli6c0.:5,sc )
(3. 7)
La (3 .7) P.f;pri rnc il fatto ch e il t asso d i va r iazione di w ris p e u.o a x è il prodotto
dei t assi d i variazion e "intermedi" , d i w r isPf!tto a y e d i y r Lc;pett.o a x.
ComFl s uggerisce il u o me d i "r egola della eatenan , la (3 .7) può essere generalizUlta alla com{Josi:..:ione fi i m i numero qua.lsiasi di funzioni , compost.e u na con
l' a ltra . Ad esempio p e r tre runzion i si ha
lJ (g(h (x ) ))ì' ~ /'(9(h(x))) · "'(h(x)) . h'(x)
Per usare que,>1.a. regola , insie me alle altre d ell 'a lgebr a d elle derivate, occorre imp arare a 1led ~ rc una funzio ne co mplicata come co mpOb-lzionc su ccessiva d i funz ioni
p iù ~lOp l i ci . P e r ind iv id u are le comp onent i p uò essere utile immaginare come si
calcola la fumdone composta mediante una ca lcolatrice tascabile:
Esempi
3.5. Si .... oglia d erivare
w (x ) "" (si nz )"
Per o:;aknlnr la, o("o:;orr-e in...::rirc: il v.. lo~ d i :r., ':lÙc:ola re sin I e poi elevare t utt., a l o:;ubo:
Posto
J(x) = sinx, g (S' ) "" ,/
si ha " Il ota
IL'
(x )
=
9
Cf ( x »
. PertD..tll.Q:
w' (x )
=
"Usando la (3. i) "i scriverebbe y = si n x ,
dm = dw . <i!J
<il;
dy dx
3.6.
I)l'x i vata. di !(t )
f (t')
,
=
Asin(wt
lo? r. q uin di
e di
=
g (t ) = Ae- '" C05 (..... t
.'!.cos(wt
+ 'P) . w
+ If)
= Aw r.o!'l(...:' + "c')
7 A{ :t c - o , . cos(..,t -+ <p) + e - ol :t COS{w l. + <p) } =
,,, .. ~ ~ 1. (3. 4)
_
=
3y~ . C05 X _ a(sin xf' . cos x
=
d
A di. sln (.:..:! +;p)
g'(x) -
(~ . 'e ft .. )
+ ~)
ti.'
3(s ill l:) 1 . <:nS x
'o' '''.'' <a
(3. 2)
A { e - ""( -o) . CCl~ (wt ;-;o;)
... - A ('- o' { - " COS(~ ,
+ c·
<" (- si n(!..'! +;0;) . :.;) }
+ \t') ..,. sin (w l + ..,)}
=
220
Capi t Q/o !i. Calcvlo dtjJererui ale lJCT jlmztQ'li di " "'1 1-' {J.nolfilc
3.7. P ossia m o ora comp letare la ,Ii m ostrazio ne delle formule co u tcn \l t e
d er iv-... tc di funzioni de rm,Il UlI i.
(o"')'
r,,~\l ,.
t abel la delte
(,,"1011 ")' =
=
(usando le for mule per la deriva.ìa di e' c per In d er ivat a d e lla fm12:ioue com posta }
= e'" Lo,, ~ . IQl.!;o = a~ l oga
(Iag" xJ-, = ( 'loga
''' ' ) ' =
(us1l..11do le fOrlll\Jle per la derivata di lugx e
p",T
,
la Ollriva t a di kf (x»
x loga
(S h :r.)' =
(e'" -,/-~ )'
=
~ (e'" _
(Ch x)'
( ',,,
+./ " ~ )'
=
4Ce" + (-e-"» = ce"'--C-2>"~--" = Sh x
=
(-e-"' ) = è
~e- ·
-Cb %
( Del'itl<lte d i funzwm cUI hpo f (x )',,(r l ). I p<~ggi per il ".ak.o10 d i ( a Z ) ' ,,; ba:sano su un
·'t ru cco~ di U50 comun e: riscfi~'ere una fWl:.t:io lie J (r)gl ~) co n f {:l:) > O nella for ma !: S eguente:
3.8 .
f (x)!1("') =
e~("')LO'J ( " J
Si è sfru ttata la definizione d i lo g!Uit mo e log A. = A e la p roprie t à dci logftritmi log!f(x )g("' J] =
g(x) log f (x ). A q l"~to m odo s i può calcolare III. d E'ri va l a di Ulla fu mJo!l(: di q uesto tipo:
[J (z) !1(r J]'
l..... Hz»)' = CO,", k>gJ (.,). [9("') 10&/ (:7')]' =
=
le ~ ( " )
=
! (xr*')
[gl (X) lo,; I (x} + g(x ) l' ex>]
f (x)
(X"' )' = ( I!.,lo~",) ' = x" [x logx.l' = x"' [lugx
3.9.
+
lJ
( Valore a.• saluto di una ! .lllzHme). Conside ri amo u na fu n zionE' del tipo:
1/ (%)1
Sappiamo c he il V'òlore a.<"j(llut u h u n il der;,:abile là. d ove il suo ;,u-gomeJltolOl annulla. Tuttavia,
nei pUllt i in cui f ez ) " 0 , In de riva",itllw d i fllnzio nc composta d à:
>O
I(x) < O
P€f I (x)
p€'-1'
In jl;en cr"lt;, d aspettiamo che la fuuzione J(x)[ p res-en ti pu n ti angolosi ne i punti in cu i I{:r )
...i dJ.JlI ulla . •" d esemp io, la funz ione
h a un p ll Uh. angoloso in X = -- l.
.'1. &gol" ti; calcolo d elle den>mu
Le 8Cguenti si tuZ\zioni t'I prr.:;entano di
3.10. (Oet"Hlal_u d i a/erm e /u'U;lOni lvgaritmiche).
CrC<l""nt e:
(1 01; Ixi)' =
~ . ~!;n (x)
221
_
~ (s.""",,,
m odu lo!)
X
i .T _
(log l/ ( x) l)' = l'(x )
f (x )
( per la for mul a precedente e 11;1. de ri ....azion e di fumd otli co mpoo;te) ;
( Iog(r::r: »)' = (l<>gc+ 108X)'
=.!:.x
«(:O IllC
la der;w.ta d i logx! ) :
x + ò/ ))' _ (log(ax + b) - I<Ig(cx + d ))' = ~h - ~
( lo. (u.-:z+,
ax+
cx +d
( nss ia, t alvolta conviene usare le prop ric Là dci lo gari t mi p e r lnl.sfo rrmlrc u na funzi o ne lo g aril mi ca prima d ì calcolarne la der ivala).
Il !>Cgtlellt.~ esempio mette in lu ce le possi b ilità di calcolo c on nesse con la
fOrluul a della catena.
Esempio
3 . 11. Un j;o n tenit o re cilindri.)!) COli r1\ggio di I>AAC R = l Hl e altezza 3 m è pieno d'acq ua..
Da un rubinetto p OlStO in p r(If,i,illl ità d ci Co nd o vengono prele....ati lO litri a l m inut o, (fig. 13 ).
C o n quale veloci tà.l· .... l t.(~"l!fI. llcll 'n.cq ua
decresço::
S ia h l' a ltezza (in dccìmcui ) d d l" "l>lonna O·n.cqua ~ V il 0;"0 voillme (in dm 3 ).
Vogli amo t rovare dh/,h . .snpc.,<lo c h e
dV/ dt = -lO d w:' I min .
,
ciV
dh
dh 'dt
,I\,T
Tt
(~~"nd o V ::"'" l OO7th dm 3 o tte nia.mo aV/ dh =
L=f
lOQ" dm 'l c infine
dh = _ ~ dm I m i n = _ _1_ dm / m ill
ili
l 00~'
l O~
l O lj",in
'"'a ura 13
Derivata logtJritmlca. Elasticità
D ata I
> O. si ch iama dp.riv ata logaritmiCfl d i f la derivata di [og f . In rormule:
I; dcrivut~· to~U[ it..mica <li f
~ ----
"- dd log f(x)
x
=
I/'(L"))
3:
I!
(3.8 )
L a der ivata logaritmic a ha il s ignificato d i ta sso di incremt:nto r elativo d i I r ispetto l\ ;z: .
In caFi COllc r eti t a le t aSSO è ~ pC5S0 più bi g n ifica t i\'o d el tal:!SO assolu to /' . Ad
e;;empio, un in cremento Flnuuo d i capitale di l miliardo su un t.otale di l O hH. un~
222
CQP , ~IQ
5. Calcolo dijfr.re nziale pe r fu nzioni di u n a vnri a bile
Poffet t o b e n diverso d i un i ncremento di l m ilia r d o su 1000 miliardi. Nel pri m o
Ca.50 il 'tasso d i \'ariazioll~ rela t.ivo è l / IO n el Sf\çond o 1/1000, men'trc uguali ::.ono
g li increme nt i a.s~o luti.
Per i motivi sopraesp o s ti , quando inte relò!'5a visualizzare gli incrementi relativ i
:;i rico rre a grafìci in SCilla smnilogari-tmica; s ull ' asse delle a.sci~ si collo c a no i
valo r i d i x , mentre su quello d elle ord in ate quelli d i logJ (x ). A q u esto ti po d i
r a ppresentD.2 ione s i rico rre anche q lland{) f ( x ) c resce così rapida.mellte da richied ere una compr essione t ro p p o elevata d e lla SC'...ala (unit A d i m is ura) s ull'as.se d e Ue
ordina.t e O ili quella delle nscìs.<>e. B asti p e nsare a l grafioo d i f ez ) = c'l- che in
scala semilog a.ritmic-.a coiucidt:! con
l a bisett rice del
1 ~·
quad rante:
los f(.r:) '
f(:z: )
d a f a lo(1,f
bj
a)
Figura 14 a) G'<lfo<:<> di f {:r:: )
-= <!; "'
i n ~ I .. .,~rJTla l~ ; b ) g , .. f ico d i c · i n
'''';11
SC<II.. se rn il og ;ll. it rn i<:<I.
A ltra varia nte p o &;ib ile è quella. d ci grafi ci in ~c:ala logar iu nic:a , i n cui i n vece d i
x su!l'a.<sse delle ascisse si collo ça no i valori d i log x; lo s t cgso ::ii fa c on J su ll 'a sse
delle o r d ina.te .
La p c nden za (iella retta tangente a un grafic o in ::icata lo garitlllica (cioè lA.
derivata d i logf rispetto Il log:,; ) rappr esent.a il t.asso di variazione relativa di f
r is p etto ti. varilUio n i rel Ati ve d i x; questa. q u a ntit.à, p rend c il no m e d i clast1Ci tà d i
f e s i indk l'\ oon E ( x) .
lcg I
Figura 15
tg n
log
= E( :!' )
.7;
P er trovare l'espression e a n a lit ica d i E (x ), o sserv iam o che. p e r il t.CQrcmt\ d i
deriv~ione d e lle fUlIt:ioll i c o mpo s te, ::;i h a , post o IL = log x :
d log- f
d lo g f
du
dx
du
dx
GJ"
" "'""C'CO~" """
',",-_____________________________.,7c
.,Rue,g"g,1,,,d",,,,""~""~w
..ducel"'c,,d"','""c·""~",__~22~
ovver o
l
l'(x )
F:(x ) -
J(X )
.T
da cu i si r icllva
l'LI;)
E{x ) --= x - ' --'
Jlx )
Es empio
3. 12. Se f(x ) = x", x> 0,
.~ _ 1
E
(- x ) = x ~
:t.",
0
I n rea lt à., si può mostrare cl",' &Ono le u n ic he
oSE.ia: le p otenze lk..... n u o elasticità costa.nte.
fun;>; ioni ad aver e questa proprietà.
3.3 .
=
Derivata di funzione inversa
Siallo f : (a , b) ..---> (c , d) , invcrtibile e 9 -=
9 sono legate dalle due identi t à.
g (f(x ))
~
J- l
la sua inversa. R icordiamo che
x
Vx E (fl., b)
!(g(y)) = y
'ty E (c., d)
f
e
c
Se f è derivabile nel plUItu x c f'(x) i=- O allora
vale la jO'1""fnvù,
,I
l
TW
9 y) ~
OSS€rviamo elle, assumendo la derivabil it à dì
x ., dalla regola. della calena:
f
1,
I -l
è derivabile in y
J(x) c
(3.9)
la (:U l) segne subito dall' identi t à 9(f (x ») =
9'(f(:1:) ) ' l' ( x )
=
da. cui , se l'(x) cf- O, I" (3 .9).
1
D
La ( 3.9) ha u n semplice s ignificato geometrico, ricord ando ehe i gra6ci d i f e
9 = j - l sono si.mmet.rici r ispetto a lla bisett.rice y =:r ( 6g. 16) .
Con l a notazion e di Leihnb-: , posto y = ! (x ), x = y(y), ( 3.9) :;, scr ive nell a forma
dr
dy
l
dy
d.T
(' )
Cap iwlo .'i. Ga1.r:olo diJfr.nmz lUl" per /unzim .i di -una l'QT'1 abil"
224
@
i S-U8- 0TII4T..,s
" - hZ!:
_ _ __
Figur. 16 Gli a ngol i
l' ( x ) =
(>
~<"'
<
~
__
L~_
:3 ..ono complementari In +
tg{ -s- - /1) ..".
I gt::t ::.
==
{j
obt = -vb .
,, / 2 ) e qu ind i
Esempi
3.13. D eriyata de ll'n.cotangen lo' , d l:dl 'a.rcooellO C dcll'~ no
Po nia m o 11 = tg x , x = arctg y r.on x E ( - ~ , ~ ), Y E IR.
l
<&
dy
l + (t g :r:F - l+ /?
3.14. Poniamo o rli li;:: sinx, x = (l.rcsiny. CO n
X
E [- ~,i ;, Y EI- I,l J-
(s i nxp = ~:
Poiché per q uei "I\k' ri di x si ha co!sx = ,) 1
cos:r.
3. 15. A n a log amente ,
!'iol
Y =
CO.'
x , x = a rccosy c;)lI;r. E [0,,,.-\, 1/ E [- l ,lJ,
- ..jl7
Sì osservi che le funzion i a r csill :l;, areco.'> :J:, pur ~cndo defini t e e continue in
l- l , l ! , non sono ò erivabi li tlg ti cstremi d e ll 'i ntervallo : precisamente. p resent.ano
i n quest i p unlì tangente ver tic l'Ùe.
E5Crc.zi
In brue alle regole di calcolo delle derit'<lt" c aUa talxlla ddk d l':M1lo.te delle
tari, calçolare la dr-ri!,\(Ita dd[e $cgue'1ti funzioni :
o
O
O
O
+ f:':': + X3 f"J
O
O
!og !x [ ,
:r:logx
4J!)
arctg
eh ( 2sin3x - 4. C06:lz)
CD
c y~
-
3x"
e-""
_
2x- 3
(X2 + 2z - 1)
fut~lC.mi
log3'1:,logl;::1
; an:tg ;,a> O
e;-
elem en -
$ . Regole. d. colCQlo delle dc~t!a te
CD
e
col.g .r . T hx, C o th :l'
SettSh x, SeLtCh:J: ( SUY9C'f'u"7Ic n to:
Il,.... re il teorem a sulla d"rivata del],..
fum',i m ,,, illv,'T>;II )
4
"'+:
<>+
4D
2" 2.... ,,..
G)
log 213.r '
G')
xr ioo< x
Q
log !logxl
225
D illloo trare la regol a d i =Icolo (3.5); d edurre poi la (3.3) d o (:1.2) c (3.':').
SCI11lf~
ED
e
1'€q tw-2ion'-
! (:1')
dell(~
= i>iu x, Xo =
.-.cita t ... 'lJlc.r.le al gro.ftco di y
"i
=
f
(:r.) nd
p U flt O
(zo , f (.:ro ») :
tI)
J (:r: },.,. (x log IxiJ 3 , 2:0
=-)
I
(x) =- 37.~ "'2x+ 1, ::t:1) = 2
o
I
~
I
{x }
ED
I (x ) = e' , Xo
G)
! ( x)...= a~ , Xo = 2
f ( x )"" e-I .."
m
o
Q ua l è il tasso di wl.l"iaO".io ne dc i vol ume di u m .. .q[t,..a r Lsp" U o al >;u o r aggio? E rispetto
=
[email protected], x , 7. 0
=-:
l
(x) = CffllngT.,
.,
X I)
=~;.
= log 2
Xo = -1
;;rr'arcl' d ell a ~;u a !:>uperficie?
flD
I II lU ' Lr iangolo Ì-f;ooscele A DC (v. fi r;ura) il ve rtke C s i muove per pen d i{;ole.rmen t.e wla
b wre A.B iII modo c h e 1'''.H'a del tria u golo crCS<"". a ,,<:I. nn a vclo <:Jt h di 4 cm" Is. L!l b!ll<C AB è
lunga 3 cm. A q uale velocità cresce l'ali.ezza C l1 ? E il la t o CB?
.;' .c
•<
A
H
B
G
Un paralle Jcp ip,;rlo di ba..'lc l m lo< "2 m " a lt ezza 5 m è p ieno d 'acq ua. Da u n r a binetto
pOS lO ir. p n:>s>;im itll dd fondo ve n p;ollo prelevati 20 li tri ".1 miIlm". C o n Quale veluci t à l 'altezza.
dell'acqu a d ecresce?
€E,)
l' n a fun7.iom, .: not a. d al follO g r a fico (v. fig ura}: tr;u:ci",e !;o n buona apPl"CIS'iim azion(' il
.~u o deriva l a .
grafico , Iella
o
,
"'-----'--
o
,
C ap itolo $ . Calcolo ditff)rell~,al" per' fu.nz ioni d, una 'u" 'iabile
226
Calcola~
la. deriJ..'<lta delle 8e<j" ucuti lunrioni, dove eri.9te. S t udiare i p unti d i noti dcrit.-abilitd,
p u nti a ngo lo~' (in qu~to CIJ..'O, calcolare l<l derilmta Je.~frn () sim..s tru),
punti di "uspide, fle#i a tangente t.<e.-ticale, pu nti a !.aflgent e ucrticule, tTncciando un grnfù',.o
locale della f lJ,'UHI1'" i n qu ei pUli ti. Prima d i ~e9IJi'"e Il calcolo ddla dellt."a ta, ce1""Cal"e di
prcl.' frlere quali l aru.nnO j punti ..ti non def'i1.>abllitd, in b~e alla 10"l1a della funzion" .
.~tchilr:nM 81" Il t '"llttu di
O> Ix +3.:&-· 4 1
tD ~/2:r 2 + x l
G 1"'1
e- Ir '
e
e
e
fl)
r!"
2
e ",G
lo~ ( 1
-I-
ti:!;
~)
Ca/min....., f' (O} in ba.~e ull" rfllfinizWll e.
d"riua/.u prima è conti nua in :r "" U.
I (r ) =
{
Calco/a re poi
,. ,
~ sm ~
f'
(x) per .1:
1= U,
e stabili,""" ....: fa
pe.r x > O
pr. rx < O
perx >O
pl:lr:rSO
4.
IL TEOREMA DEL VALOR MEDIO E LE SUE CON SEGUE N ZE
4.1.
Punti stazionari. Massimi e m inimi locali
Uno degli ll~i piI'! proficui del c tllcolo d ifferenzialt:! consiste nella. ricerca. dei m assimi
e m inimi (in b reve, nell ' ottirnizzazione) di una. funzione. E cco a.lcu ni problemi di
ott.imizzazionc in ambiti d ive rsi .
• (Ottic a g eometrica). Le leggi dell a riflession e c della rifr azion e s i P OSfi(lnO
trovar!'! lll,iliuand o il ""princip io di Ferma t"; " il pen.."o rso scelt o " da u n mggio
lu m inoso per collegare d UI:: p Ullt.i A e B è que llo e he richiede il minor t empo
di percorrenza.
• (G eom et r ia elementare). Infic ri vere in un cono circolare rett o di altezza h e
r aggio d i b~ R , un cili n d ro di volume m assimo.
• (E cono m e tria elementar e) . Sia c(p ) il cost o d i proÙuzione. di unu- quantità p di
un certo prodotto. L'eHìcie rl'7.(l. dell a p roduz io ne s i può mìsurarc col rapporto
C~F} = cost o medio per unità. di p rodotto. P e r raggiungere il ma.ssimo d i
efficienza o ccorre d unque minimizzare la funzione c~).
• (Dalla vit.A. comune!) . t: n tubo di lnuglte7.za 4 Hl (sezione p iccola) d eve essere t rasporta t o a tt.r8.verso il çunicolo ro.ffigurat.o in figuro. 17. È possibile il
trwporto:
Torniamo a lla. t-eoria. Rich iamiamo le nozion i d i 1lIf1...<;si m o e m in im o a,.<;soluti (o
g lobali), per una. funz ion e f : [a, b] ---t 1R:
S i dice clt~ M è massimo d i
f
in [a, b] e Xo E [a, b]
f (xQ) = M ;::: f(x),
c punto
di massimo se
p er o g ni :r E [a, bI
4. Il IUlrf'rna del 11n.lor medio" I"
.~"c
consr9u-ellze
227
2".
i
,
I
F igura ] 7
P ~ ue r à
il t ubo lungo 4 m?
A n a loga d efini zione per il m in imo.
m i n imo) e cioè gli estremi locali.
V i sono a ltr i t ipi di estremo ( mR.%imo o
S i dice c he }.1 € massimo lacnll! (o rela.tivo ) per
locale se:
f
c c h e Xo è punto di m (Msi mo
esiste un interval[o (x(} - n, I o + 6) tale. che AI = f(xo) 2: f(x)
I)er ogn i x E (xo - 8, Xo
+ b)
n
la, b]
Analogamen t e p er un ·minimo locAllf..
Not iamo espressament.e che:
• il m in i m o e il masl'j imo g l o bale d i f ( se e;is t ono ) sono unici (n a t u m J rnen te i
punti d i max c m in p OSSOllO t=ere p i ù di uno );
• m assimi e m in imi loc a li possono essere pi tl d i uno. E v ide n tc m e n t.e ogni
estremo g lo bale è a nche locale .
Le s.cgucnti figur e illustra n o varie s ituazion i .
..
/ (0.)
------ --,
,,
- -
~
--
b
F igura 18
0'
o
"
bi
• L a fu m-;io ne in figur a 18 a) presenta :
massimo g lobal e AI = f (x'J) : ;1: 2 unico p u nto di massimo g l obale.
m in imo )!;lo halc·m = f (a ); a unico pun to di m i n i mo globale.
un massimo loca le (no n g lo bale) in x = LO .
228
- d ue m inimi locali (non g lobal i ) in
x = b ( C8t.rf~mO dest ro d i (a, b]) .
:1;
= :t: \ (che è anche un punt.o an:;çolo&» c
• La funzione i n figura 18 b) presenta:
un massimo locale i n x = X o (pu nto di discontinuità a salto).
mini m o g lobale m = J (b) = /(1-'1); b e .l' l sono punti di mini mo g lobak>_
Il ma.ssimo globale d i
f
non esiste (si ha
,
lim_ f (x) = + :x.).
.a
Le figure mostrano che in un punto di est remo ( locale o glolx'l.le) f può non essere
derivabile cd essere perfino disconti n u a. Se però f ; [a. b] _ IR è deTivabile ill un
punto Xo che sia d i ma.'lSinlO o lninimo locale e che sia d iverso da. a e da b, allora
- in x'o la derivata si annulla, ()ij,'jja la t a ngente a l grafico in (x o, f(xo)) è ari7,zont.a.le
(fig. 18) . Predsamente:
Teorema 4.1 (di Fermat) - S i a f : [u,
li: __ IR,
der-ivabilc in x E (a, b) . Se x io;
punto di estremo locale a llora
f'(x )
~
O
Diroostrilziorle. Sia, ad esem pio. x punt.o d i ma.::>: locale. Allora, per z abbastanza y icino a
x , ':i~ ha f(z) ::: 1 (7",) · Perciò;;
z < x
=
f ez) - f (x ) 2: O " q u indi
z .-
;r
J'--(r ) =
lim
~~""' -
fez) - f (·r ) >
z
(abbiamo applicato il teorcmi!. dc lla perman enoo;a d",1 !jCgno, (;ap. 4, par.
z
Essendo
J
>
x
=
fV) - f(:r. ) < ()
z
derjy<~bile
x
-
'"
(i . l
o
-
) . D'altra parte
e q uindi
in x, si ha 1'(x ) = f'-( :c ) = f'...(x ) =0.
D
f' si annulla, si d icono p u n l.i sta.zion ari per f.
Abbiamo appena visto r.he, se x n o n si truva ag"1i estrem i dell 'intervallo nel quale
f è defini ta, a llora
• Punti stazionari.. I punti i n cui
Ix
di cstrclllO locale
V i po&<;ono però essere
funzione J(x) = Xl ha
punto di estremo ( vedi
Si tratta di un punto
vedremo più avanti.
4.2.
~ x
stazionari~
punti stazionari r.he non sono di es tremo. Ad e:;empio la
f'(x) = 3X2 c he si annulla. nell'origine, ma x = O non è
fig . 19).
di flesso ( o d i inne~<;.<;ione ) a tangente orizzonta le come
Teorema del valor medio. Test di monotonia
p~r ragg iunge re lJlla località B, partendo da Hna località A
distant.e 160 km da B , si ilnpieghino 2 h. La. ...·clocit.à media durante il p ercorso è
dunqu e d i 80 km j h. S~ il viaggio non ha 'juhìto inte rruz io ni o altre irregolarit.à ,
certanlente in qualche istante Iit velocità è stata esattamente di 80 kIfl/h.
Supponiamo che
@
88 _ 11H_()T~ 4T_ 8
220
y
x"
li =
o
I
Figura 19 -y = x.l h a un punto di flesso in x = O. staz ionar io _
C ioè, in qualche is t an te:
velocità. media = velocità is t ant anea
È concettualmente questo il conten uto del teorenU:l del w'Ilo r Inedio , che come
vedremo, è denso di conseguenze.
Teorema 4.2 (del valo r medio o d i Lagrange ) - S i (/. f deriv(! b il ~ in
in la, bi (cioè cont.i.nua fino agli estremi d ell' in tervallo) . Allo ra
esi ste
c E (a, b )
Il') - I la )
tale che
b
~
Ca, b)
.1'«)
a
e contin ua
(4.1 )
Il :,;ignificat o geometri co d ci tcorcma è illustrato nella figura seguen te.
n
A
o.
'o
figum 20
. . ~---
(':I /,
Si. ha:
1(') - Ila)
b
a
= pendenza della retta AB
j'ee) = pend em>;u della retta tangent e al g r afico di f nel punto ( c . f (c )) .
La (4 .1) esprime d unque il fa tto che nel punto
Cc, f(c)}
ItL tangente al grafico d i
f
è p ara llela al\ll. retto. AB. In figura 20 csist orlo due di t a li pun ti , di ascissa Cl. C:t.
Capitolo S . C a kolo d iff"-"1""nziaIc pt' 1' fun z ion i d i a n a variabile
230
Dimostrazione del teore.-na del ..,alar medio. O sservi«.fflo c h e la retta A B h a equazion p
f(a ) -'-- f (b) - 1 (a ) (x _ a )
b
a
e com;ider;arno la funzione
w(x)
t.:
=
! (x ) - [ f«z ) -l !(b) - /(a ) (x -
b- a
fac ile ve rificare che: w (a) = w ( b)
Poiché
al]
O. w è cont inu a in [a, hl e .u è d"wi va b il e in (o, bl.
=
=
u , ' (x)
f '(x ) _ l (" ) - f (u)
b
a
la ( 4.1 ) equi val e a di m ostrare che c;;Ìstc c E (a , li) t ale c he w ' (c) = O.
E ssen do W c o ntinua in ~a,
l' Cl' il t eor en18 di \ \'e ierstrass e s istono du e p u nti
ò:.
Xl
C
X :;..
in
[a, bi t a li che
! ( XI ) =
m assimo d i
f(x ,, ) =
m ini m o
•.
f in ['L, bi = Iv!
= fJl
quind i U"(x ) = 0 ,
di f in [a , bI
Se lvI = m aJlon' w(x ) " . ,,-"" tan te , Vx E [a , b] e
Vx E [a,b].
Se II·! > 111-, a lm e no UnO d e i due p u nti Xl , x~ n on;;; trova agl i estre mi dell 'interva llo , essend o
w ( a) = w(l» = O.
Il !.corema. d i Ferma t imp lic a a llora cloe nel pun to di m n.." "im o o min im o c he ri,,; ul ta
i.ntern o (eventu ahnent e en tr ambi) la derivata di w s i a nnull a e il teorema è ('" (lSÌ d imost.rato . D
Esempi
4 . 1. Sia fe z) = X2. Allo ra l' ( x } = 2x e il t. .. orc ma
affe r ma che in ogni intervallo [a , bI esiste 'u! Iltunero C
t ale c he
o
da c u i
(; =
I
_+b
2 - =.
-
,1
. d u:a
. dI. (~ e b
,Tj.ed fa (:ln.trn
I
B
;'
,l'''
!
Cioè: ogni corda A B della p arabo la y = X2 io purall cla
.... ll a. t angente n e l p unto di ascissa u g uak alla m edia aritmetica d e lle ll..'lCi..'<.."iC d i A e B .
o
4.2. S ia f ( x) = ~ . A llo ra f ' {x) = ~ e d a l t eor ema si. d educe !'egist.. m: a d i c E [a./~ tale c h e
l
l
o ,*-ia
"- a
,
l '
da cui
Ic =
vab =
7 11
,l
l
~
3
rw '.dia geometric.a di
(l
c
,, 1
Cioì" o g ni corda A H de ll ' ip er h ole y = ~ è p<~ral­
le la a li", tiulgc n te nel punto di a c,çissa u g u ale a lla
media g eo metr ic a delle asci&-"", d i A e H.
S i noti c he .;;;b :::; '!.~1! c cioè che
m edia l4e(unetrica
<
me
··.C
dCi,-.-.·.
~i,-=
-,C
. 'C
. ic
-·" 1
A
I3
() U.2
"2"'lo:;'
4 . li knretlla d.d va /or medio e le sue C011.SFguolze
~ 9 9 - (}8 - !l T~ 4,'C-~C_ __
231
Rico rdand o il ~ig nifi cato geometrico di derivat a , 51 dedu (~e subito che se una fu ndcrivlIhilc l' c re;centc oppure decrescente in un intervallo ( u, b) la l:;ua d e riVl:it a è 2: O opp ure -:::: O ris pett.i-..'amen t.e .
Infatt. i, collsidertl.t :J f (a , b) ----+ ili e due p tUlti qualunq ue x, z E (a, bì
~i one
crescente
f
è
<==;>
decre;cente
,,0
f (z ) - f(x )
z 3:
Passando a l lim ite peT Z ---+ x, peT il t eorema d ella p erma nenza d el seg no, dalle
d u E' precede nt i relazioni s i ottiene
f
f
j' (x) 2: O
crescente
decresc€ute
VxE (a ,b)
=
f '( x) ..,::; O
Il t eorema del valor medio permette d i invertire le im p liciUioni.
Teorema 4.3 (Test d i mono tonia ) -
S ia
f : (u: b) -------> IR, deri vabile .
..111ora
=
f
Cre8 Ci: flle
f
decre scente
f' (x ) ?: O
J' (x )
"O
Vx E (a , b)
Dimostrazione. S ia, ad pS<'ITlpio. i ' (.r. ) ;:: (J per ogni ex E (a ,b ), e proviamo cbe allora i
è cre5Cent e in ( a,b ). Pren diamo d" n q'Je due punti qualsiasi Xl , X:;. E (n , b) , X I < X2 , e
m o,~ tri=n () d.c- I ( x,) :e::: i (X"1 }' I n fat ti, appli<;ando il teoreITla di L a.grange ad f S\1!l'hltervallo
[Xl, "'zl abbiamo ,;h" es is t" c E (XI,X2 ) tale che
iCx~) .. l (xI ) = j' (c)
Xz
P o iché l' Cc) ? O e ;C2
;"1
Xl
> O. ne "'€gue f (X2 ) - f ( x d ? 0, cioè la. t es i.
D
COl i la. s tcsoa d i mo~t razionc s i vede a.nche che: se l' (x ) = O per ogni x E (a , b),
allora. f è t:ostante i n (a , h). Poiché l'implicazioJle inver&l (se f è cost ante in (a,b)
allora ha derivata nulla) è ovvia, r isul ta. di most ra.ta la seguent.e
Proposizione 4 ,4 (Car a.t_t e r i:L:zazione delle funz ioni a d erivata nulla) - Sia
---+ IR.
A llora
f
(a , b)
!' "'--
O in (a,b)
<=> f
c costrmte
in (a:b)
un erro re da. cvi t_are è usa.re la proposizio ne 4.4 su insiem i più generali degli
in ter valli.
Esempio
4. 3.
C onsider iamo la funzion"
l
f(x ) '--- al'("tgx-l-- an: tg - , p er
X
X
7"
O
232
Capitolo 5. Calcolo differenzia le per funzioni d i unn t '3ri4bitc
e ealcoliamo
f' ( x ) = J
+X2
-1- l 1
~
( - ",\) = 0 l'e" ogni :L- 01 0
"
Si può a p plicare la. proposiz iOl' l' 4 .4 " J e concluder" che ! (, .:astante? 1>1\ r isposta i, n o:
s i p uò solo afflT!U"'.rc che è costa n t" su ci&"-Cuno dei due inte r valli ( U, ....:-cx.;) c ( - 00,0). P er
sapere quanto ..aie , è s u fficiE'llte calcolare f in Un p unto '" comodo " d i ciascun inter vallo, per
'>SC Iup io :
J (I)
=
an;t g 1
+ <.n:tg 1 =
J( - 1) = 8 rc t g( - 1 )
+
;r
or
:lr
2· - = -, : dunque / (x ) = -
4
2
p"r ogni x
>O
arc tg ( - 1) = - ~ ; dunq'w 1 (:1:) = - ~ per ogni x
< ()
Abbiamo dunq ue d im ostrato l' ident ità;
arctg x
8e
+ ardg -xl
x > O
se x
<
O
Ricerca dI massimi e minimi
Suppon iamo di ave re la soli t a funzione f
[a, bI -----+ 1Ft c di yolerne cercare i
llla,ssimi c i minimi.
Se J è dcrivahile s i può procedere nel modo seguente.
Passo 1. S i calcolano f( a ) e f (b).
P asso 2. S i cah.:ola f'(x) e si r isol ve l'equazione
~
J'(x)
O
I n t a l m odo si trovano i punti st.azionari , tra. i q uali vi sono g li event. ual i
pun t. i d i estremo locale , int.erni a (a, b).
Passo 3 . Se non v i sono p unt.i stazionari, f (a) o f( b) sono punti di estremo glo bale.
Se v icevenia x = I O è punto s t azionario, occorre stab ilirne l a natura. A
tale scop o s i p uò :;tudiare i l seguo di l' in u n inl.orno di IO. ricordando
che f' ::2'. () im p l ica f crescente, l' :'S O implica f d ecrescen te. I casi che
s i presentano p iù comunemente sono illustrati qui d i seguito:
J'
+
f
/'
a)
X (I
f'
•
è punto di rnax
J'
+
f
/'
•
+
/'
a) :<:0 è I"mto d i fl "",so
f
bl
•
"
X()
/'
è pu nto d i n ,i "
J'
l' (x ,)
~
O
•
f
h)
+
"
X()
è punto di il""""
Passo 4 . Trovati g li e vent u a l i p u n t. i d i estreJ/lO locale, si calcol a il valore di f i n
que~t i punt i e lo si confrollta con f(n) e f ( b) .
23 3
Vediamo d eg li e!'lelflili numerici
Ese mpi
2
4 .4 . Sia i (I ) -= xe-... con x E [n,2]_
l . 1 (0 ) = O, 1 ( 2 ) = 2e-·
2.
1'( I ) =
e - ,,~
-
+ Xf' -
r~ ( - 2 r ) =
e- .. ~ (l - 2x ::I )
l'(x )= o
Solo
XI)
E ~o ,
=
3 . Studiamo
4.
'2 1e
1 - 2:z:~
=
-=$
x = ± ~
v2
perciò è q UE'Sto [' ""ir a ptlnf.o l'l t a.z iQnario .
il seguO ,Ii /" v icin o ...
Onl
= 0
*
X l)
!'
+
I
/'
=
~:
l
l
,fl
,fl
•,
;;;;
Si dedur..e q u ind i (oh", .1:0 =
-j;
I( -7:;)
è m agg iore "ia d ì 1 (0 ) _ O ch ... d i 1 (2)
~" .. l; l
qu in d i c h e:
=
=-
io! p unt o di massimo localc!.
J(O)
=
O
f( ~)
,
".
è m ini m o g lo bale
è m assimo globale
Si noti che in q u e:.-to caso, il (lH t o c he t'Sista UII fKI!o p unto slI'u :ionario con ordin ata m 3ggi.. ~
d i q uella agli estremi dell 'int er>r.ùlo, perm e tte di t,r arre le stesse conclm;io n i a nche sen:lf\. lo
!,;tudio d e l segno del!!. d e rh"a t a p ri ma.
U~ grafico q ualit!ltivo d i f è il seguente
y •
x
Se volessimo st u ri iare
ma,s,.;im i e ",i nim i locali di f(:L,) 0;11 tutto IR, il ~"gno d ella d erh'al>l.
prima " i direbbe che
x =
l
~
v 2
.
..,
l'unL()
d.
1 IlI>\.SSÌmo locale;
;:t;
=
i:I punto d i m in imo 10""..1<:.
4 . 5. (Figura di dijJraziofit' della luce attrnt!l':rso "na [enditmu) . U n fa.-x-.io di luce che att rav en:.a una p ic cola fenditura la c ui larg h8'7za " dello s t essù o rd i!!c di g:.-andez'l:a d e lla lll u ghez:>:a
d 'o n da. ridia lu ct" p roduce, s u uno uh erlUo su c ui incide , una figura di inter fe renza. L'in ten s ità lum inosa in U n I)UIltO d e llo schermo è d at" dalla fu n z ione:
I = h,
)'
(,,",
,
~
d o ve l o è l' i ntensit à ma.'lsima (che s i o ttie ne n e l p u nto cc ntrale ) e )'.' lngolo ;p è coller;ato
a ll a di fferenz a di fase tra le due o n d e lu m inose c h e passano ai due es t rem i della fend it ura.
Cerchiamo i massimi e m inimi d i l in fu nzio ne di 'i' . Ano; itu tt.o, con viene p orre t = 'P/ 2 C
cercare m assimi e In i nimi della hHl'l: ion(,
J = lo
- -t )'
( ~in
t
( qUffl't o signi fica sem plicem ente "ambiare scala sull 'asse "" ; basterà ri cordare p o i <; h " V = 21).
Il gmfico qual it a t.i vo d i q u esta fu nz ione p uò es~ (,"" t ra.cciato facil m ente, senza calcoli, la
f u n z io n e o,~ , è p ari, vale L in 0 , h a infini t e oscilla>:ion i SHto""'.ate per t ~ 00; di co,.-t<lguc IOza
la. fun zio lOe I
s nlorzate:
= lo
(Oi;<)2
è pari .
nOIl
'o
n "l/;at iva, va le
in O, ed ha illfini t.~ o:'.cillaz ion i
Vediam o Quind i che l h a i nfi nit i punti di mi n imo, nei punt i in c l,i si annu lla , t = kr. (cioè
2kr. ), e infinit i p unti di m a&si mo , d i cui il ma.<;..~ i m o assol uto è p e r t = O (:p = Ò) , c
vale lu. Il p,-o blcma. è deter m i nan', g li a ltri pu n t i di mas~imo relativo . Q u ,"",.t.i s i t m "'ano
riso lvendo l 'equazione
'f' =
dI
di
= 0
ossia
s int
102 - -
t
(tCOé t 2- sint)
I
=
O
[] f atto re s in t s i annulla n ei pu n ti di m ini m o ch e già e"noscianl O: i p unt i d i massimo "uno
dunque le soluzioni d i
t cos t - sin i = {)
eq u azio n e ç h", non può e;;;scre r isolta i n modo esatto. nla ch e s i s t u d ia facilm om t c c o n un
confron to ff'UfiCD: r i&cri tta n ella for ma
t = t.gl
pn,;siamo osservare dal g r"fieo delle funz ioni l , tgt , dove sono e olloca t " 1<3 solu z io n i;
G, ),''-'''"."''",•.,'':"O,.,.",."''--_______.__-'". -'-",,',(''''"~""m""a"d"C,:1 """'",,0," rn",dio
,...... 1..
r,
le .•
e
1.1,",
COfl.'l<:yUCnze
235
···J···i···
I
i,
i,
,
3,,-
Wl
- 20,
Il p rimo punto p o s it i vo d i massimo s i tro ~'a P(){~O pri ma d i ~ 1r; il Becondo p<:>co prima di ~7r,
e <::osì via; pi '~ l ei fii a llunt.ana dall 'o rigine, pi ù ques ti pl! ll li ten dono a rAlincidcn , esatt ame n te
con i valoTi t = ~1i + b r ( q ui ndi 'P = 3:rr --'-- 2k,,- j . l)unque ogn i punto di massimo,;; trova
appross imativament e a metà s t rada tra due rH!Il l i di mi nim o !'lllcce88ivi. 1 valor i de i mas8imi
rel ativi flaranno all'i n circa
t g t si pot rà dare eon i rnet.od i
Una local i"""" ione p i ù precisa delle sol uzi ,mi d dJ 'cqu azion " t
ffip05t i ncl paragrafo 7 .5 .
Successioni monotone
C ome a b b iamo v isto nel capit olo 3 , le f'HCcC8!òiun i monotone hanno i mpor t anti
proprietà. D'alt r o cant.o , non sempre (- fad le dirnry.;trare la monotonia di Ul l a.
succcssione per v ia a lgeb rica. Il calcolo dif{ereJl7-iale ci offre 11II metodo ut.ile.
Esempio
4.6.
S ia
lo ~ n
(I... --'
n
S appi amo che (In ~ O " LI " --> O ( per c onfron to t ra in fi niti ) . Ch ied iamoci se la Hucc" s:;ione è
mOllolona. d"cre:lcente. Pe r ddl ll;z ione, ci ò 1iign ifica cl",
log( 'I"l -+:~
n+ l
< lo )!; "
n
Po ich é a l cre;cere d i Il s i« il uumerat or" che il deuonlinat ore Cr-e:5(:Ofl" . flan è facile pro ...·- are
ql1cs t a d is ugu ag li anzi'- D ' a ltro can to , s ia
f
( x ) = logx
x
p€ rx > O
(Ora la variabile x non" un intero, ma u" llUm€rO r">l.l" I). Calco liamo:
f' ( x ) ~ l - Io$';x :s o
x~
per x
2':
c
Xe S€gl '" che f € dcen,,,ceIlte p e r x 2': c ; di <:on scgu enz>l la successione a"
alm ello per n 2': 3 ( il primo illt e ro > c) .
f (n) è d€Cre""" flte
236
Cap ito lo 5, Calc%
d iffen;;ltzialt; per funzioni di
L' n 'appli<:-..a,.ione p ossih ile di q uesto fatt o
.-ic:
io>
la
~cg uellt ..,_
una ~}U-ri{lhile
,~ &_ "H_07 :S47'· 1I
Si vog lia " tt,di ilTe il c a rat. tere d e lla 6< >-
~ ( - l )" lo~ n
L.-
n
"""
S i t.ratt a di una serie a segni a ltenIi: poid", U n = '\ ," ,; p 0.5 it iva , illfì lli t es i rna "' , per qu ant o
appena dim05trato, m onotona deere."Cent.c, per il criterio d i l ,ei bnitz la "erie cO llvergc . Senza
d i m ol<t ca.c Ìll qualche n~{)do la "'''Hotonia, n on os i 5arebbe l' 0t.u to cOI,el udere ehI.' la ~e ri(~
converge .
11 passa ggi o "dal disc reto al co nti nuo " (c ioè dagli inter i ai real i) è u n m odo p e r
avere a. dis p o sizione g li s tr u m ent.i d ci calcolo d iffe renz i;-Lle . AttE~ nzione a non u s are
illdiscriIninalrun e nt.e q uesto esped iente. S i ragioni sul fatt-O dlc in quest-O m o d o
1: 011. 8i potrebbe :stud ia r e la lf) ouot-onia di successioni CO l n e
n'
2"
4.3.
n2
-t-( -1 )"Jl
n :l
+
l
Soluzione di alcuni problemi di massimo e minimo
Ritorniamo in que!:it o p a rag rafo a i p ro b lclui p o s ti all'i n i zio d e l paragrafo 4.1, p rcsentarrdonc la s o lilz ione .
• Legge della t'ijl,,-ssi01U,. Voglia mo ricm:arc la legge sugli ango li di riflessione
dal principio di Fermat. A tal e scopo conside riamo, in un mezzo omogeneo, un
raggio lUll1i noso ri fìes.50 òa uno s p e cchio curvo. Immagi.niamo che la sez.ione dello
s pecchio c o incid a con il grafico d i una f UlJzione y = 1(2'L deri vabile. Possia m o
seInprc scegliere il s ist e ma d i riferi men to in moòo che il punto di riflessi o ne sia
l'origine ( O, O) e che l 'a.~sc :1.' sia. di retto come la tangent.e a llo s pecchio neH'o rigine.
Di conseguenza. a b biamo
f (O)
~
O
y = f lz )
Con riferi ll1ento alla figura 22 , P è un pUlit.O "sul r a ggio incidente" e Q è l ITI
pllnto "su l r agg io riB e!:iso" . Il punto A è. u n alt;ro p u nto fiullo s p ecchio . Que llo eh e
dobbiamo mO!:i (.rare è che, p o iché il te m po iInpiegii.t.o dal ra[';gio p e r andare da P
a Q è miniulO ( princ ipio d i Fermat ), de ve r ibultare i = 1° .
@
~1i_(J&-() 7 ". r _ 8 _ _ _ _ __
O ra, la -velo cità dell ~1 l uce è COSUtute i n un mezzo olTlOgcneo e non varia d o p o la
r ifle;..sione c, pertant o, m inimizzare il tempo di percorrenza d a P a Q equivale 1'1
m i niminare il per corso 5 = P A --i- ..10_
S iano (x o, li')) le coordinate di p , ( X l, Yl ) quelle di Q e (:1', f (x )) q u elle d i A.
Si ha:
S ( l .' )
0-=
\ /(:r --- x n )Z ----'--- (f ( J.') - Yo)2 + \ /(:r - Xt)2 + (J(:c ) -
L a fUl!z ione S = S(:c) deve avere un nl i nlmo in x =
riHession e c perciò deve esser e S' CO) = o.
Ei:'-Sendo
S' (x) =
S'C O)
~
yd 2
O, asci&..<:.3 de l P\llIto di
(:1: - xn ) + 'f (:!:} - Yo ] ' 1'(,t)
~X O) 2
(l( x) -Y(l)2 -
O equivale a ( r icor dando che f (O) = r (O) = O)
i X2
v
, + y',
1\,[ a
,
V:1''6 + !h~
= PO
e
~ O
- xo
v'x~
+ V'!,
-=-'
sin i
ment r e
~l
1~.2 --->--V..L-I
-
y'1
= s in r- .
Da (4 .2 ) si deduce
s in ì = si n i·
che iIllI) lica ( essendo O < t , i'
<
~). i =
i_
• Leyye d ella rifrazi on e. Q uanùo un raggio luminoso pa'isa d a un me1.7.o olIJogeneo
a un a ltro (ari a _ acqua, ad esempio) la sila velocità .:.:ambia. S u pponi amo che
i ù ue mezzi s i ano sep arat.i d a una s u perficie pialla. e c h e la velocit.à (scala r e ) n ei
due Inez:ò sia l-'1 nel primo e V2 nf'! l secondo .
Nel pasSaTe da u n llleZZO all' altro , u n ntggio hlln inoso e a lnbia d irez-ione d i
propug azione ( viene cioè rifratto ) ma raggi o incidente e raggio r i fratto giaccion o
i n u n p i ano vert icale a lla sllPerlicie d i separ:uione.
F ilj.<;iailio i l sist ema d i r ifer iment o in modo che 1'a.'i..."C x s ia sulla sup erficie ci i
sepa razi o n e e che i l p u n t o d i ri fra.z.ione sia l'or igi ne ( fig . 2 3 ).
S i a P = ( xo , Yo) un p u nto ~u l n :ìggio incident e , Q = ( Xl, yd un punt o :;ul
ruggio r ifratto e A = (x, O) un a ltro punt o :;ull'as.<;e ,r_
I n base al p r i ncipio d i FerrnM., il percorso POQ, 5<:ello dal raggio l u m inoso ,
è q ud lo dH:! mi nj rn i z~.a il tempo d i perçOlTcnza da P a q . Ora, per u n qualunque pc"o, "" PAQ il tempo T ~ T (x ) d ; l",m,mD"" è daw da (tempo ~
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
J2
o
Cap itolo 5. Calco lo difftrcnz iu le. per f 1Hul0ai di u na v a ,i ab i /"
!'-8_08-O 75 .... 7· 8
rnczz" 1
A
Figu~a
,
Q
23
s p azio /velocità)
T (x) =
PA
-
VI
xu F + Y5 + _';
"-,(:,:x-=~x~"~)_'~+~Y,,l
v'ix
AQ
+ -
th
V2
t .'2
e q u indi il principio d i Fe r mat ill1plie a T (O) = O.
P oiché
T ' (x ) ~
___-,~X~-~X~"~~~
x ~ Xl
'(
)"
+ - --r,
=( ;;;
-~;;)",==oo~,
'VI V
x ~ xo
V 2V ~ X ~ Xl
+ Yo
+ Yl
l'equazione 7" ( 0 ) = O equiva.le a
l
O sser....a n do c h e
-~;"P'-2 =
V"o h"r,
~ xo
x,
1
(4.3)
SIn i e -"""" ' -,-, = s i n i' , dalla (1. 3 ) si d e cl uce
";"'~ + !I~
~~~
si n i =
s in f
t 'I
ì
V2
che s i chi a.rr:Ja. l egye d i S n el l. de lla J""i fn>.zio n e .
• lnscrivcrc in u n cono circola re J""etto d i a lt ez:L.ft il e r a g gio di b a..<;e R , un cil i n d ro
d i volume ma.ssi Iuo.
COli ri fer ill1cnto a lla figu ra 2 4 , oc:co rre scegliere e H = x in modo che il vo l u me
---n C H · C D s ia mass im o . P oiché i t[ia ngo Li C A B c
u
DAI< sono sim ili, s i ha DA.. = x , ~ e qu indi C7J =
= R ~ 1)A = R -· ~ x .
Il vol ume d <1. rnassimizza r c è q ui n d i d ato da
--,
V' (.1.' ) = ;r x·
(R ~ ~' X) 2 =
= ,,(~ ) 2x.( h _ xf
A
Figura 2 4
Az:
=
R.
cn
= h.
O< x < h
Si h a V 'ex) = "IT( ·~f [(h - x? _. 2x (h ~ :.r::)] . Ann u lla ndo V '(:r ) ~ i t rova
O = eh ~ :r )' ~ ,2x ( h - x )
= ( h ,- x )( h -- 3.r)
(h
~
.1: ) [h
~
x - 2x ] =
23.
i,
da. cui x =
essendo x = IL corris pondente a nn cono d e ~encrc di volume
o . Poj(~ hé V' (x) > O p e r x < ~, :r = ~ è e fIettÌ\:a m e ntc punto d i massimo,
corrispondente al ".'olum e
• Consideriamo ora il proble ma d ell'efficiem:a. della prod uzione dì un dato bene,
i! c u i cost·Q medio (per u llitù, d i p rodotto) sia c(p )/p. P @,.! ottenere il massimo
d i efficienzn. occorre minimizzar e il cost o m edio e p erciò, suppo nendo la funzio ne
c = c(p) d e ri va bile , dov rà. essere
d c(p)
c'(p) . P - c(P )
-- =
= 0
dp p
P'
Se Pc è punto d i m in im o dovrà quin d i verificarsi che
c' C", ) ~ cCPc)
p,
l
ossia: costo marginale = costo medio
(4.4)
I
c'CPc)
La ( 4.4 ) s i può r i8Cri...e re co me Ilo c (Po ) = l e significa che l' ela.e;ticità di c nel
punto 1'0 è uguale a l .
L a (4.4) ha un' inr,erflSl'lan t e inte rpre t,A~ionc geomctrìca., illust r ata ne Un fig u ra 25:
c " t:{p )
,
0,
Figura 25 tg"" "" ,,'{po}
'="
",
p
c(pO)/p,,)
et:;::}.
Se Po verifica (4.4), la r ett a OQ, di coefficient e angoll;Ll"e
coinl.:idccon la retla
tangente al g r a.fÌ<:o di (! = c(P) nel punw Q , dì coefficif'n t.c ango lare c'(vo).
Queste com;idcrazioni indicano che non :o.en\prc esiste u n p u nto Po che sodùjsfll
(1.4) e che, ~ f'1>is t.c, può uon essere u nico ( vedere figur e 2Ga), h ))_
240
Capdolo S . Calcolo differnruUlle p e.- ! ulI zi cuu di una t'a ria!!ll.:
_ - - - c = r.(p )
- ,-° 1
- -- - -
" = cip )
,.
"
Figura 26 a) No n es05tono punti ad e{utic'ù 1; b) po
II:
P,
,.
b)
PI wno punt i a d e/astic:itio l .
• Consideriamo il problema d e l passaggio di u n t. u b o di lunghe-l.Zu 4 111 , Ulll sezione
trascura.bile, fl.t travcrno il cun icolo iII figura 2 7 e s<.:c g liIl.Tno il riferimento cart esili.no
come in figu ra 27
A
~
(<> ,0)
;--:;.~-"-----~~--I,
: l
P _ (2 .1)'
D = (O. b)
,
Figura 27
Un mi nimo di riflessi one in d ica che il Ptl,s!lAggi o è possibile se lo. lunghezza del
t llbo è minore della mi ninu~ lunghezza dci poss ib ili i>egmenti AP R .
L 'eq uazione d ella ret t a AP è
y~
l
- -(x -a)
2- a
S e a > 2 , la retta interReCa il ~rniasse p osi ti\'(l delle y n el puuto B
La lungnezza del segment o A D , ria. minimizzare, è data a llor a da:
.'
!- (o ) =
V
a2
"-a---,
+ (0::"-
2)
P oiché la rad ice quadra ta è u na funzionI'! crescent e bas terà min im iz:>:ar c il su o
a rgomento
a> 2
@
8!l-03_0T ~47_ S
4 . Il teorema d el '." , Ior TTlnlù) e le
8""
241
CO/l.5l /lgue1l.""
S i ha
T/ ( a) = O p e r (a - 2 )3 '= 2 cioè a =- -Y2 + 2 . che è p n nto d i minimo come f acilmente
si veri fica. La lunghe7.7.a m i nima è qu ind i
Es..<;endo 4 . 16
4.4.
> 4 , il t ubo può p assare.
Il teorema di de l' Hospital
C na notevo le applicazione d el calco lo d ifferenz iale si ha nel calcolo dej limiti c he
si present.ano nelle fo rme d i indecisione [g] e [ ~ J . P recisament.e s i ha:
Teorema 4.5 (di de l ' Hospi tal) - Sia no / , 9 funzioni derivabili m un inler'"l)(lllo
(a,b) con g.!!' f=- O in (a , b) . Se
i)
hm 1(;1:)
x ---+ " I
ii)
Hm
=
=
lilll [I (x)
O
0< 4 " i
f' (x )jg' (x) = L C
m"
"'---+a+
A llom
l illl f Cx)
, ___." i- g(x)
11 t eorema continua a 'Ina.lere ~ a = (anzic hé p er x _ a- ), con b :S +00.
:x;;
=
L
op pure s e s i col1bidera il li rnite per
;1;
-4
b-
Dimostrazione. ;'-;cl calSo f (x ) g (r ) ---+ (l. 1)3 r.,mo p ri ma un 'idea in tu itiva. ( m a no n conclud ent e ) de lla dimostra" ione, e p,o i mostrerem o CO me la s i pOSlO8. ren d ere rigorOEa . S ia x" una
"accessio n e tenden t e ad a-t-; prolungh iamo per con t in uità f E' 9 in (L ponendo f (a ) = g (a ) = O.
A llora
f( x n )
g (x" )
f {x ,,) - f (a )
g(7,,)
g(a) -
(4.5 )
Se a ppli chiamo a f. ,q separatament e il t eom ma di L agrallg;e sull' intervallo [a. , x" ì, otteniamo
c h e l ' ultimo quoz iente scritt o i; uguale a,
f'(t")(x,, - a)
a)
,Q 'U :", )(x n
dove L" , t;' :;ono due pu n t. i op p o rtuni cl!{~ cadon o Il ell' in terv-d.llo (a, In ) . P o içh é q uan d o In ---+ O
anche t" e t;' ~ 0, "',mbl:l. "ragi o nevole" che il limite del quozie n te d i t' l g' s i a nguale al
liIT\;t e dd quoziente //.q , Tu t.t- ;.vi", q Uffito non xi può atkrn >are rigorosament.. , pe rché le
E,uce,,",sioni t", t;' &Ono a pr io ri d iverse lr a loro. P er aggirare il pmblema occorre 1l1odificare
leg;germentc l'argoment.az ione scg;u it.a . R iprendialTlo du n q u e la dimostr az io Jle dalla ( 4 .5\, "
d e fin iamo
lI{x) _ JC :",, )y{ x ) - g i x .,)f{x )
CapitolQ .5. Calcolo d.Dtnm",ial f'. per funzwnI di 1.<na varia bilè
242
"-otiamO ehI': h.(a ) = h ( x,, ) == O. La. fll nzione h sodd isfa le ipot.c.;j del l norema di L agrange
s ull'interva!1o [a ,x.. l, dUIlque el>iHe t" E «(l,x,. ) ll11u che
h'(t.,)
~(_x.2'l: h.(a ) =
=
O
x" - a
I (:t.,),q' (t .. ) - g(x .. )!'(t., ) = O
Dunque p er o!!;ni x .. esiste un p unto t .. E (a, x.,) tale d ,,-,
_
P er n ...... 00, t" __ (1+,
vole~·a.m <J di mostrare
L, che è qUBILLo
D
Come p rima applicazione del teorema <.I i ùe L'H osp ita.l , ùimost riamo il Lcor ema 6 .1 d e l C6pitolo 4 , re la.tivo a lla "gerarch ia. deg li infin iti" n e l ca.lcol0 d ii limi ti.
Sia da calcolare
xo
Hm0::; -c Oxa > O..B> O
.0: ___
Post.o J(x ) = x. g (x ) = e"r'" ('-(
> O)
si h a
J' (x)
"' _+0::; g' (X)
Hm
si ha che
lim
~~ =
"'- .... """ ~- '
f'(x) = l , !I (x ) = '"/e 7 z,
,
11m
,.-- . ... "'"
"fc"'~
@.
I>oiché
~ D
O. Osservando o ra c h e
COll/, =
" ha
~L
"1m
"
= ( '1m
", - --<><.>
P e r prova.re ora che
2;<>
~
z -+oo"
, ..
,,~
"
)0 = 0.
Hm
.,_+ :=
(log.. x t'. _ O
x!J
-
=. log.. :t, x = a l, c l'iconduThi a.1 limit e
dimm;t,rato,
Un'altra 3Pplicazio ne t.ipica del t eorema d i de L'Hospital è il calcolo d i limiti
che co involgono forme d ì indcterminazione no n risolubili mediA.ntc i limiti notevoli
(~sia, al p r im 'ord ine) ,
è suffic ìfmte esegu ire il ca.mbio d i variab ile t
appena
E:rempi
[0]
4.7.
"U ll x - 8in2: = x3
O
'
;r nun è s llfficiell t e a risol vere tale forma dì iudet erminaz.io n(:,
r -{l
La st.ima al prim'ordine sin %
_
in q uanto po rt a n
x -I<in x
x3
= ..!..
%2
(1- 5i1lx Z)
_?
( ac,Q)
( infatt_i la q Ulln titi t ra panm tes i tende a zc~o , per la s t ima aliint o t ìca).
d~:
Il korema di d e L 'Hosl'ilfl.l
'
(x- sinx )'
JIln
.< -0
(X'I)'
J"
=
l-co!';!:
= -l
3z l
6
!tH
r.-o
(per il lim;te notev ole del co:ic m) . Dunqu., anche il li m ite d i ptl-rt.enza vale 1/ 6 .
P e r HRaIe efficacemente il teorema, è u t ile t al volta fare qualch e p~u.ggi o
preli m inare (come u n a st.ima asintot.ica, oppure u n cambio di "'ariabile), in m odo
che la ~ ur:cess iva applicazione del t.eorema semplifichi l'e!lpressiollc, anziché com p lie arla. Talvolt a, i nol tr~, il t eorema va app licato più vulte consecutivamente ,
p e r sciogliere la form A di indeterminazione: in questo caso, comunque, ghi dopo
la prima applicazio ne ci si dovrebbe accorgere che l'or d ine d i infinitcsimo (o d i
in finit o ) a nurncn.ttore () fI. d e nominat o re Di è a b ba.<;''>l\to . Se cosÌ non è, l:òig nific a
(;Ìle non s i ~ta S€gucndo la s trft.d A. giusta p e r calcolare il lim ite!
Esempio
.
... .. • / ,,2
h m - --
4 .8.
z_ O
= [
;J:
01
iiJ
Se a p pl i<:hiruJlo diret tamtl Ol t tl il teorema di de L ' H" .. pi t a l, l" m<press ìm ,,, si com p lica ( p rovare l).
I nvOlo.;e, col cambio d i w.riabile x 'l = l/t ri,.,i ricondUCE! Il
•
J lI l l
.;;
1 _-1" ....,
chE! pçr confronto di
infjul~ j
-,
e
(cioì, p t!r il t.eorema di de 1..' lIo~pital !) tend e a :z.ero .
• teorema di de L 'Ho$pita/: precauzioni Iler l 'uso
- 11 toor ema si usa per quozienti , nOTI per prodott~
- Il t.eorema si U!;a per q uozient i (:he siano cffetti"l.·c forme di indEterminanone!
- .II teorema prescri ve di calcolare il quoziente delle de ri vate , non la de1"iw, ta (Id
qljozùm td
- S e il limit e d i f' 1.1' n o n e~il!' te , n ulla si può alTc rmarc sul limite d i f /.". I n
pa r ticolare, n on è lecito concludeTe che non e,~ ·i Rte nemmeno i l limite di J1g.
Esempio
4 .9 .
Si vogli a c.a.lcola r ...:
lim
"'_ +""
TI
\-~" lorc
x - sinr
lt:~l
.
X
+ s,nx
del limite I>i può Iòl nLilirc im medi at arlU'ntc;
x - sinx
z +sin :z:
z
~
-...".
x
S nppon iaJJw di vuledo ca lcolare o::o[ teor"ma d i cl .. L ' lI o~ri t a\ ,
~
(x ~- !>i n:l,y
,,+, ... (x· s in r )'
.
J) m
~
Ii I"
l - col';Z:
----
"'_+.,.,. 1 +
COSX
2'4
S e conclllflcssimo che il limite d i parten:.:a n on ~istl:!. di r en mlO il ffl.lso (q u d limite val ... I). Il
pu nt-o è ,-,h(, se Hm I); J nO! , (~iste (Jlé finit o né infini t o) , cade ""ti, delle ipo tesi del teorema,
"' ~ ·"'H ~
C iII b'L'1C ad esso no n si p uò :'!Cm plice mcllu, coucludl:! re nuUa .
Esen::izì
Dopo al..~" $tabiliw l 'insieme di d~fini.zione d e lle se!Jtienti funzion i, dl'tr.rminarn., i p1mli d l
m.a.ssimo " .ruuimo e tra=tal-n,e .!'t)mmaritJmenle il grflfiço.
CD
""2,,.
<D
<I>
~e7
x 2 10gx
G)
ftlo~z
x ~- 5x4+5x!l +1
x+ 2
;I; ]
+
l
hublemi di maJ<.'linw e "'muno.
Cna d ina produt.trice di bi r ra desidera m !Dimiz~:u-.., il costO ddJiI lattina. E&"IClldo
di mat~ri ale omogeneo e volu m e fissal O (33 0::1) O(:(;()rrr. m in imi..".are la ~uperficì" totale dd
cilindro fii volume pari 1\ 33 cL Q u ali sono le d im.: IU!loui (a ltez:z a., di a lnetro) delb lattina?
e
6t
Un uo mo dc"e raggiulLg,m ' \.In p unto c h e si t rova s ull 'alt ra spoo.dn di un fiume, 100
metri p iù a valle; il fiu me è [ettili.. ~ " la rgo l O mlltri i l'uo m o p uò cor rere .."Ila sponda del
fiume COli vt!locit ò. v, q ui ndi t u ffars i e attraversare n n u o t o il fiu mll , con velo.:ità in feriore.
pari a DV (Cl < li < l).
Dete rm in are dopo q u a.llti lU.lt. rì d i corsa l' uomo si dcvr. t uff8..i·c. flffil\ c h é s ia m inimo il
tempo imp i llgaW a raggiu ngere la Rl(;ta..
Se l' u omo è un nuotatore p rovett o, li f<.ar Ì:L q ll'.ll:Ii ugu ale a 1: determi nar(, il valol"e esatto
di li pel" il q uale a ll' u omo c o n"\' illne tuffarsi imw t..'C"lintrunente, sem:lj. percorrr.n , neancbe un
m et ro :;una t er ra ferma.
M onoton"J di .•uccessioni.
Si stabilisca /1(, le seguenti llllccessioni .:..., sono monotone (cu:!;(;enti o d.x:"~t!nti) ,
,J"""rneno p e r n ~ 00 oppor tuno:
m
r. 1
~
%-TOO
ID
,,-o
G
hm
., _0
ID
:r;L / ~
lim
lim
.
.
:z2
cD
CClS;J:
:1: 2
-+
hm
C,,2
log(1 _ r. 1)
72 (27
z
I _
sin :! x
x~inx+
"'-' io"'"
n!
2"
211 +4
+
X2 }2
(a rctgz - '"+'
)
2x ,·1
r
.l ' -
S!llX
~
:r~~\
~
:r • • lx~- l
G>
I
X2
si,, :r.
.
"n
-:r log:r
--
245
e
·
~l ll
~
I l, X 'j -_
sin:r;
,
--.
D o po
Il'''''''
pl"olun~!l.to l'eT (:ontinu it.à
f in
.1':
=
0 , ' :.I-\\co la r l:l
!' (O)
f U (0) _ \.::> ug9" ,nmeflfo: :'\d due limi ti c he " i chi.de di c akolare, " utile il t llocemfi di d "
L"11r.",! ,ital).
c:;,
Come l'esercizio p recedente, p .n la funzion"
( ';%117:)' .
~ Il teOl-ema di d~ L ' H os p itai a vu lte p uò prQd\l rre ... il moto p erpduo. Si pro v; a c:l!.leolare
il "'l' guent.c limit-€ (e lernen t a rel) tt.pplican do pi\l volte il lA..'Orem a:
li m
vx2 + l
%
s.
DERIVATA SECONDA
La dC'rh~dta seconda di u n a funzione h a v a r i :=;ignificat.ì geomet.r ici , che ci p e rme t t era nno d i meglio ::-tud itl re le proprietà d e l g rafico d i ll11a. funz ione.
5.1.
Significato geomet rico della derivata seconda
Se la. deri....ata. prima ha com e :sign ifi cato geomet ri co quello di pelltlenzl\ dE'J g r afico,
la d~rivata seconda rappresenta la velocita di vl'l.riazio ne di tale pendenza e pertanto costit.u isce un a misura d d grado di scostameni.l) del grafico dall'andame nto
ret tilineo.
P e r precis are meg lio il concetto, com"iderio.mo la. s it uaz ione illust r ata in figura 28.
"
.•
" =
I (x )
R
L a f unzione f in figura , sodd L<;fa le con dizioni 1 (0 ) = 1'(0 ) = O, 1"(0) ;?: O.
Conside riamo ora lo. fa.miglia d i scmicin.:o n fcrc n7.e con centr o sulra.-;.se y t a ngente al g r afico di f J1ell 'origine.
L'equazione d e lla fam iglia è
y = R - V R "2
X2
c.ome facilmente s i ve r ifica c , per ogni H , )Od ha 1,1 '(0 ) = y(O) = o.
T ra queste se rnic ircon ferenze sclczio n i(l.luo q uell a che non solt.anto ba la s t essa.
tl"m gt~ntf! in x = O m l!l l'\.nche la stessa veloc ità d ì Vl\1'ia z io ne della penclcnzH. i n x = 0_
In altri ter mini, scegliamo R in IllO d o c h e
y"(O )
~
1" (0).
(.5 .1 )
(;opt lolo 5. Calc-Olo d.D en;nz ialt<
2 46
p<'r
fl.mzttn,j dI'Ima varia.ltuc
Si h a.,
-h.
e quin d i y"(O ) =
Se dunq ue vogliamo che sia sodd ir,;faHa la (5 .1 ) o ccorre
scegliere R in modo che
~"(O) ~ ~ .I
(5.2)
La (5.2) esp rime il sigIlificat.o geome t rico della deriva l a sccondn: n ella tiituazion e
descr itta , [" (O) rappr t'sf!nt.a \1 r eciproco del raggio della circon feren za ch e " m eglio
approssima" fi n ::r: = O;
p nmdc il n o m e di ctl.rvat1nU (de l grn.fico) di f in x = O
e R è i l TU9!Jio di curvatum . I n ge ner ale si può m ostrare che la curva t u ra d i J iII
u n p u n to ge ne rico del grafico ~ d ata dalla form u la:
ii
If" (x)1
J
R (, )
(1
+
/ '( X )2)3/2
Esempio
5 .1.
Per u na pano.bola d el tipo y _ u ;,:'l s i ha. y'(x) - 2ax , v"(x-) = 2<1 e qui udi
l
R (x)
S i noti ch e h, . :urvat u ra
5 .2.
~
210.1
=
{l
+ 4(1 "2;r1)3/'2
.
massun ll per r = 0 , c io.n nel vertic e .
D e r ivata seconda, co nca vit à e
co nv es~ tà
ConvessitB Il m onotonia d ella d erIvata pri m a
TI t est d i mOJloton ia , come a bbitlmO v isto, permette di d c t erminare le zone
f cresce (') decr esce m ediant-e il segno d ella d e r ivata p r im a, Se applich iamo
alla funzion e f' (x), p o t re nlO !:ìtlldiar e la m o n o t onia d i f' (x) m e d iante il
della der iva.t a sc<;ond a . S., d unq uc f è una funzionc dcri vabi.lc due vol t e in
avre DlO:
a)
1" -;: :
O in (a, b)
b)
f"
O in (n ,b)
~
f'
ç;. f'
?=>
in cu i
il t €!ìtsegno
(a, b),
crescen t.e in (a. b)
d er:rescent e in (a,b )
Si d ice che J è convessa in (a, b) se sodd is fa 1>1. a) ;
Si dìce c h !:l f è concava in (a, h) se soddisfa la b).
A n zich é J co nvessv, in (a, b) :,-i può dire / concava verso l'alto in (a, h), c i ll v~c
d i con cav"'d. in (n, b) si p uò dl rc concava verso il basso in (n ,h).
Il s ig nific ato geomet r ico della conve:;.."it A o concavità di una funzio ll~ p uò
essere illustralo in diversi modi . Com inciamo a d ()6.'je rvare che !'òe f è COllvessa,
@
;;", · '~'i.- 07o
'.
'" .•, ' -_ _ _ _ _ _. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
5 . Derivala secunda
247
o ssia f' è crescente, a l crescere d i x il coefticient.e angolare rTl de lla ret t a t angente
a l gn\n.cn d i f cre:,:'c-e: ::;e n 1 è p o sitivo , ciò significa c he la t a n gente dive n t a semp re
più r i p ida, come nella fig u ra 29 :
Figu ril 29
.'
:
Se rn < 0 , rn cresce n t e significa che sarà. "seUlprc me n o negativo" ; in gen eral e
dunque una fU Tt7.ione convessa SII u n i Tl t.ervallo ha un grafico d e l tipo in figura 30;
1
Figu~iI
lO
Inentre con r agio n amenti a nalogh i _s i ved e che u n a funzi o ne concava ha un graficu
ùd ~ ip u iu [ j j!,llli'i 3 1.
Fi g ura 3 1
P er eseHlp iu, le fUTlz io ll i t'~pOT\ enziali a'"' sono convesse in t.utto IIl, le fUl lz ioni
logur it miche l og., x sono conca ve i n ( U, ---:-:JC ) se a > l, c o m,"es!;e se O < ( l < 1.
Convessità e reNe tangenti
C n'utile canl t.t.eriz:,u!!>:ione geolllCt rica. della convessità, che p otren w dhnosb n rc in
seguito (par. 7.4) coinvo lg e le r €ttc t.mgenti a l g r afico della funzio ne :
Un afun::ionc .f( x) i; conllt'ssa (oJncava) in (a , b) se e S% He cOTnunqW'; 8i scdg().
un pun l-o IO E ((l,b) si h a che il grafico d~ 1(:1:) s i man tiulC in tutto (a,b) s opra
( sot/.o) il gmfi-co dd la HllU T"CUU ta ngente in ( :1:0 , f ( x o »·
248
Capi tola 5 . Glllcolo dijJernuiale p"r f!<nzion i di una v<'lT'iabik
@8><-<I>o_07!S4T_ S
f·
f(x o); - - - --
! //~~
... /.
/'
Figura 32
Ovvirunc nt.c, il verso d ella eOIl<.,a ,,'ìrà di una funz_io ne può cambiare i se una funz ione
d e r ivab ile d ue vol te in un interva llo [a. cl, è con cava ii i un ve rs o in [a,b] e nel
verso o ppost.o i n [b, cl. il punto b "d i t.ransizione" t ra le due concavità oppost e si
dice punto (li fl esso.
At.travers und o un puuto d i Ilesso, la d erivata seconda di f cambia segno . È
a llora int uiti vo che i n q \lesto p u nto f " si an n u lli. Si p uò infitui dimOf,(.,-are che:
f,
b
punto di
~CSS?_ ~ j"( b)
= OI
L 'i mplicazio ne opposta non è vera, com e mostra. l'esempio 5.4.
'fi'ucciamo la retta t a ngente al grafico d i f (:r ) nel punto d i asc L<;sa b. Se f
è (ad esempio) concava. in [a , b], il g ra fi co d i f sta sotto la retta in [a,b] : d'altra
parte f è c onvessa in [b, c], perciò il suo grafico sta sop ra la retta in [I), c:]. Di conseguenza, 1ld IJ1mto di flesso ilgmfi(,.D di f (.1:) attnwerso.la propria retta tangen te
(fig . 33) ,
f ,
~
I
"
Figura 33
+
b
c
r
Quest o è a nche il lIlo ti vo per cuL estenden do la term inologia preeedent.e, chiamiamo punti di fl c880 Il t(lngolt c v erticale i punti in cui la funz ione h a un comp o rtame nto del t.ipo in figura 3,1:
f •
Figura 34
"'C
4.
5. D el'l'ra ta seconaa,__
come nel Ul::;O d e lla fu n:done <IX. La funzione cambia (;vfl cavità il. d e::;t.ra e s illil;t,ro.
d ci p nnto x = 0 , h 11. feLt a ta n gcnt.e in quel punto e l'a t t r aversa . Parler t:IllO qu i ndi
a n çhc i n q u est o caso d i p u nto di flesso, anc h e::.e in t a le punto non el:!istol"lo l' e f".
E Sfl mp i
5. 2. Sia f (;;c) = Xl. Poiché f' (x) = 3 X 2 ~ 0, la Cuu zione è çreoc.mt e ~u tutto R
Ha
"" punto "t.a;.;on;.riu p E"r x = 0, çhe n OIl sar à. pcrò punto di Il O:1..."""ilI1O o mi nimo, perché. h.
CUIl,.;ione è cn''i~·e "t~. f " (x) = 6x ~ O per ;r. 2:: O. Du n qu c lo. fu nzione è C01lV •.sea I->I:f ;r > Il ,
con"",,,.. per x < O E" ha. un p UnlO <li Resso in :z = Q. n. tange nt e o rizzontale.
5.3. Sia f (x ) = e ~'. Pokhé f' (x ) = - 2l:,,-"~ ~ O P" 'f X :5 U, la fu nz ione cr<:sce P I'T ;r < U,
d ....,cr~e pCT r > O perciò ba un 1'" ,,1.0 di massimu rcl Dtivo in x = o .
l '' (x) = e--"" (4 x 2 - '2) :::- 0 ""r x" 2::! ; :c 2:: ~;:c:S --j.; . La fUllzionc çconve"~l:I. p er
qUCI;ti valori, concava per ~ ~
< or ~ ~2 ha puut i cli
in :r = ± ---4,.
, COlI [C'!t.ta tan g ' :n tll
v~ ~~
+. ,
d i p ... n de Il7,Q.
l' (± ~) =
=1= ,,11.
ne5&'
\ t;
l\
L~
5,4,
Sia f ez )
= z " , Poiche f' (x)
= 42: 3
> O per:t > 0, la funzione è cre;cenl.C per x > 0 ,
dL'CTescellt e per x < Q e Ila. U 1I jl1mt.o d i ~in imo in :z: = Q. l " (x ) = j 2x~ 2: Q l"M.: r ogni x,
q " indi la fu nzi<me è convessa in lutt.o !R- P e r ciò il punto ;r; = O, in c ui f" 'li a nn ulla , tl O'n è
II n l'u n.W d i fle!i5o<}.
Convessita e corde
l;n' a ltra p o ssib ile defin iz ione di com"-e8sità è la seg u e nte :
Dici~mo el le J p. ronllel'il'iU (concav a) per' corde i n (a , /}J se per ogni coppia di p Ullti
Xl ' X2 E [a, b], il segmento che u n isce i du p. pU Il Li (Xl . f (xd )' (X 2' f (X2» s ta t utto
sop ra (~tt o) il g ra.fico di f in [Xt, X2 1 (fig . 35) :
-----_. ~
--"'"t-~ .
F igura 35 Funz io ne con"U1I3 pe r CCN"o".
-----
Capitolo 5 . Calr.n/" d-iI!c rcfizùJ. le 1""". !tonno.,..,' d. i
W IQ
Vo.ria bjj~
@
88· 08 .Q '-S" 7 · 8
Si p uò d im ost rare che:
un a. funzio ne I de r iv'a bile d ue volte in (a,b), è convessa (co ncat'a) pcr co r de!ie
e solo se è cQnt'e5sa ( concfJ t'a) "per tangenti", se c solo se ha derivata seconda
positiva ( ne:ga t.iuu).
In p artico lare. è utile sapere che u na fu nzio n e conves..<;a f;ta sopra le proprie
rette tan genti e contcmporo.neamcn te: sta sotto le p roprie cor d e. Questù p erme tte
di uonclucle r c [email protected]', p r esi d u e p unti q ual::;iasi sul g rafi co di un a funzione conveòsa.,
il grafico tra quei due punti cade t u tto nel triangolo ch .:: h a. per lat i la co rda ch e
li unisce e le re tte I.angen ti al g ra fico nei due p u n ti (fig . 36):
..
Figo.",. 36
Q ucl!"t.a li mi t azio ne può ~re utile, a.d esempio, quando si t.'iò'rca d i localizzare
l'im.e rsczio n e t ra due cu rve (::ii veda l'esercizio 1 0~ ).
6.
STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Il calcolo differenz ia le lOvi luppar,o fin qui c i p c rnlet te o ra d i affro nttire in modo
comple t o un tip ico p ro b lema, quello dì t-racdarc il grafico di u n a fUIlzion e f d i
u na varia.bile. Aneh e be l'R,vvellr.o d e i mezzi f'l cttronici di calcolo ha reso pos::;i bile
la c.ostruz io n e a u tom a tico. d ei gralìci d i funzioni, riteni a mo ugualm ente u t ile c h e lo
studeT!t.e sappia dcstreggiA.r s i n lJiDuallnente in que sto conlp ito, a rmato u n icament.e
di earta e matit a . A q ue:.lo · proposit.o, daremo o r a quald \El rego la gen e rale ~:iU
come p rocede r e , e illust.re r e mo le p iù comu ni s it uazioni che ~i posso D O verifil..:a.rc,
a ttraverso esem pi ed cscrc i:.d .
A.lcuni pass1 Qbbligat'i:
J. D ete r m ina re l'i nsieme lOU cui
f
è d cfi n it.a , OR.<;ia il dominio d i
I , Dom(!).
2. Q u in di, c a lcola.re i lim iti (o limiti d est ri , si n istri) ,,-Ila fro ntiera di t a1e in sieme
(comp re si, c \'en t uiJ.h n e nte , ±x.). I n Qu est a. fase si determin a n o gli even tuali
asintoti o riz:wnt.ali e verticali c alçu ni eventuali p u nti di d iscontinuità .
.'I. Se p e r x ...... ± =
la funzione t e n d e a ± 0Cl, OcçQrfe d \jcdersi ~ la funz io ne
p r esenta. u n a:;iIltoto o bliquo. P ii:! in genera le , può esser e u t ile una stima
asintot-iO:I ch e c i d iCA se la funzione tende a = in m o d o sopr a () ~ott. oli near ('
(e in ts.L ca so cert amente non htl asi nt o lo obliquo ) CI in modo lineare (e in tal
c aso può a vere o n o n i!.ve r @, asinto t o obliq uo) . La sr.i m a asinto tic o.. all'infì Tlito
dà n o rmalmen te a n c.he u ll ' info rma 7.10llC s u Jl ~ conC<~<l.!ita di f a U'lnfinit.o .
4· Calcola re l' ex), Ilei punti in c u i p_'Ìist c. S L udiar~ accurat.amente i p unti in c u i
f è con t in ua m A. non deri vabile e stabilirne la natura ( punt.i angol06i, di flesso
a tangente vertic ale , di cuspide) . In punti ango lo~i o ag li estre mi del d om inio
è ut.i le il ~Icolo <li d e r ivat-e d ~s Lrc o lSinistre che dctenn inano lA. pende-llZa d el
grafico in quci punti .
s.
St udiare quindi il Sf'goo di l' (sul ~uo in..ieHle di d efìnizio ue), p er ottenere
le infon n:uioni sulla mono t o n ia d i f e !iU' su!)l punti di U11.!.1:!~hllU c minimu
re lativi.
V i SOTIO alt.re indagin i d Ie in certi casi p O!iSOH<l esse r e utili:
6 . Os::;enrcLre (qua ndo c·~!) un ·e\'ent ualc simmetria d i
stringere q uin di lo st udio a x ;::-. o.
7. Os~r\'llr e (quand o c 'è!) l'event.uale pcrio dici tà di
f ( pari o
f c
d ispari) e re-
restringere quind i lo
studio a un p e r iodo.
8. Detcrrninare gli zeri d e lla funzi one e studiarne il segno. Si tenga presente
che solo nci ca.9i parti(".o larmente ,'/emplici è pO&òih ile fa re questo a. priori; in
gencr81e. queste inffJrmazio ni si pos:sono ded ur re solo a l t.er m inc dello ~tuùio,
come consegUl'mza del le altre informazion i.
.9. Cnlcolare la deriva ta ~econda e studiun tc il segno, p er d edllrnc informa zio n i
sulla (;om:avi r.i\ e i Ressi di I. Si tellga pr~nte c he in tIlo lt i casi l'esprffi''l io ne
d i f" è t ro ppo comp lessa perch é se ne r i ~scano a d etcnnina r c esattam ente
gli zeri. I n q uest o cu.'SO, il calcolo di f " n o n aggiunge n iente <lo dò ch e Ull
u t ilizzo att.ent o di lim it i, SI.ime asint otiche e de r h~tò'\ p ri m a permett-t: giÀ di
a ffenuare.
Un' u lti m a avvertenza: è u t ile t. racciare il grafico gra d u almente, inserenùo le informazion i via v ia r accolte (evelltul:llmente cor reggendo~i), anzich é raccogliere tutte
le informazinn i e poi fa.re il grafico: i p rogrCSlSi gra d uali a iutano u controllare la.
l:oe renza del p rocf:ld imento e a capir e quali informa zion i è ancorfl. u t ile ra<x:oglier~.
6.1.
Ci a.:;pettiamo: un p tml.o an goloso in x = 0 , lJer la pre>;Cnza dì Ixl; p unli a t.a ngen te ver tjcall!,
dove ,;i IUlDu lla il rad icand o .
[m;;c me d i defìnil'ione: ",2 - 5:1: + 11 <:::: O; (:I: - :.1) (x - 2) ~ O; x :S 2 ; j.' 2:: ~.
lim !(x ) = O
.. ~± .,.,
Pe n :i" y = O è a..~ i nt()l o orizzomale pe r CL - ± oo.
f (:t) :::: O per ogni I . f (x ) = O per x = 2 , 3 .
Per ;r _ 3 - , f ( x ) _ ~-",j%.-:5 - O e h a L!\uge nte \'ertica le in:r - 3.
252
oe
i 'Cx )
=
ha tangent" Yert kale ill .r = 2.
~gn(x ) ';X 2 -
,,--I,," ! ( -
5:r
+6+
,T l
2vx
.-
_
5x ~
fi
(2x - 51)
2~~:,r+{i
{ ~~',='~~ ( b:-l _ 3x +
2\f X2
1)
:;x+ 6
~
x < ()
( Per d e ri,,"...re la fun;r; ione contelle nte il mod,,!o, abb iamo \l~a.to la scr ittura compatta
1.1.: 1' = sgn( x) l',,r .7: '" O; t;(,lo al terITl;llc del calcolo, per render<' più leggib ile ['espress ione
trmn.. ta , l'abbiam o ri"critta csplidlxIllente per x > (J e x < O.
Calcoliamo:
lim
~ - .o -=-
i ' (x) --,-, { -
2~;
1
2v'fi
x = O è punto an g ol' mo pur
pendenze d iverse) .
f' (x) ,;::: Ore
Perx>O
6-,J2
2
~
per O ::S x
per 2
2.29;
6+v2
2
.s 2, f
() +
::S x S
per x?
f
6+0
2
(f non i, derivabile e le tangenti. d a
2X2
~
- I2x ~ 17.s0
.
,
x
e s in istra, hanno
6 - ..j2
2
.
3 _7 , G'J", J I
(",j è decrescell t.e:
2
V2 ' f
( x ) è =mpr.,. cr = cent ,,;
_
,f ( x) e s empre d<'Crescente_
x = ti -=-2 v2 punto di mass imo re lativo. Il massi m o è circa ,\1
P,-"
d~tra
< O, l' (x ) 2': O ",,-, 2",2 _. 3", ~ 1 ?
< O, J ( x) è "empr*" c [ *"sccnt,c.
O. x
'S ~ , x 2:
=
/
(3. 7)
=
0 .027 .
1, quindi:
per x
S i 'fede anche che x = O (in c ui / non € der ivabile ) è p unto di m3...<;&;rno: il ma5&imo
(assoluto ) è Af = V6. Il grafico q ualit3tivo è il segll"nte . Ci Hono anche due punti d i fl($.'io ,
uno in (0,2) c uno in (3 , +=) . S i omette il calcolo d i f " ,
"
! \
-',--·~3
Figura 37
"t;
+;'2 .. --- ---.
- ,-
6 . Studi" dd qrafico di 1m.n junzùme
253
."
6.2.
1(x) = x€ " - '
Insiellle di de fin izione:
1= L
CL
[(x) :::: O p " r x> O
Per
:r
+,
x - - ~ ± -= ,f(x} ----+
_.... 1 "" , x - l
x = l a.s in t.oto vertic ale p e r
P er x
----->
x - 2
± ~"
---+
0+
J "' _
l , J (:r ) ~
l
:c -
X
{
J:".
" erci ò
f (x) - -+ ±= lin earmente .
V ",-ì iamo se e i,
a>;i n totu o b liqu o:
lim :n: €",. +_ ",
[
r _ ±=
3
x+ 2
- l
l
Ora .
---+
:r -
'" -
_ 1 _
l
l
0, perciò
l
,, ~ :>
±'"' '"'' [c 'r-
e =c - o
x
Q uin di la funzione h a a.; ; u t o t o obli, \"o y
,T e
=
+
l
-
~
1
3 e p er T
----+
± xo _
(Si p' "e$ti alte:1Izi one al calca I" dci lunite precedente : se f f; ) ---+ m , il lim.ite di j (x ) - .n:l:ì
è ~'crnprc: una form.a di i-rulctcnninazione [00 - .::c) ; raccO!Jli cT.rlo 'HX, .~i h" TrLX
l
cl", è 01U una fornica d i i-n d!olr'rminazione dd tipo [00' O]; questa 1-'0 ri.solta y"r",nùm.e nte
appli. cando qualche limite not.;"olc oU '('!;pressione t ru :,1, r.oer dom e una .. timo asintotica).
I {;:;;,ì - J,
x _·~
j
l
'
"' +~ (
( X ) = e"' - l
l
+
Lx - 1) - (x.+ 2 })
";~- ---~--è;>-~"
(x
l) ~
,,~-I
__-( x _
l)~ _ 3x)
(x - l )2-'
P e r og ni x --f l 1'(,,;) è d di,. it a.: per x ~ 1-- , l' (x) ---+ 0 - (h:spo ll e r. zio.le v a a 2('rO p i i,
r a p id amente- di (x - I )') 11 g r a fico qui ... li arriva- in x = l c o n tan !l;e n t e o riz>:o n t a le, d a
s in istra .
f'(.l') :::-: Ope l'X ~
e' ~
x
~
5
+ v'2l
2
,=.
-I-
.,f2f
2
::::o: 4,8
pum a d i rni n reI.
5x +l?: O
x
<
x =
5 - .,f2f
2
;, -
v'2l
2
::::o 0, 2
p u nto d i
rn a x r d _
Capitolo .'i. Ccdcolo
2 ••
d.~fft:N:..ziaJ.e ptT
j""zio,,' di
tl11 11
variabile
G~aficu:
li = z e +:'11>
/
/
/
,
/
x
5 + "'-:;1
/
..
/
/
Fisura 38
Esercili
Stud"'rr. /",
_~egue"h
}1.m.rioni, utilizzando i stl..qgerime•• ti f orn i ti, e tracciarne il grafico .
-,_,/X+:l
e
V a:_2
Sl.Jggerimenl-O . Ci a.~ pcttin m o: fI~ a tangente v erti ca le do,'c 0;; annulla il n u.J i" ... ndo, Il.Ilint Oto vertical.. d ove s ì 8.1luull n il dellOlll inatore.
X? --:-- X- 2
2x+ 3
I
i
l
S!.ygerimento. Ci 8.'Ipcttiamo: punti angolosi dm·-e " j anllulla il numc raton' ; asintoto vertica le
dove si "",,,,Ila il denomiTlu t oT(:. Con .... iene st u diare la fum:lon ~ senza mod"l" e poi ...
Nei pUIni 111 c u i lo. fuDziom: rum è d e finit a ma ha limite (d Htòt ro o s inistro) fi<lito , studium
am:ne il limite dell .. derivatB prima, ['<cl' sapere c o n quale pCnd""7.fL la c u rva arr iva ili tali
punti.
X+
' )
nrctg ( --.
x - l
x
4
Sugyerime nto. Quest u è u n tipico l,,*,mpio in <;ui l'*o'quazionc 1 (:IO) = O n on è ri$Ohluile
con l'a...'''l;aggi algebrici: inutile q uindi perder t e m po cerr.lI.ndo di studiare il seguo di I (x}
e le !'i ne in le!"Sezioni con l 'asse x : s arà lo studio complessivo a d arci infonn nzioni IJ r iII;'Jardo. Studia.re in pm l.kotllre il co mportarnc"t<J Ji l(x.) 3.l1'infinit-O e il p unto di disr,otltJ lI\lità c he s i trova: calco lar e >ln d ,e i li miti di f' (x) in talt) pUllto, per tracciare un g ra fico
aecuralo.
o.
Studio del gmJico di ..n a
fun:'="~n"'c, _ _ .2"5.5"
Stu.dinre le sC!Jl", ..1i f unzioni " lr"Ucc,a1T1<' i l grafi= .
fa
ID
~
.r·' - :ix -t 2
:r.
ai)
+ :3
x3 + 1
x + 2
x ' + 2:1: - 3
r.x:r~
xe' /( l - I ' !)
,
~
log ( l
al
\- x +:3
X
logl/3;r.
al
log
tI>
0
y'xi!og :J;1
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1 - !x!e - "
x)
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0
0
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(x
2
+~x
;r. .- l
-4)
, 2 .- -'"-1
~ -"
~
-- t
c~
,
., ~
logx
log :r
.ç'r - 1
Le segu enti funz ioni, tra ite do. moddl, 7'{".lI li, con t engono qualche costant" o pllflm-wtro. Trucdarne il grafi= qlmljtatù;o ,
~
(Cnn", laqistica.) . S i t mee; , al wrriare del param et ro k , il g rafico della curva
N (t)
kNoe'
=
Ck-~,'~""""'-'\c,c"c;,
d ove 1\'0 è una costan t e positiva, (Questa fun:z: ione [appresent a., sotL" o p portu n" ipot es i
e in o p portune unità di m isura , il numero <i i individui d i una dala specie a ll'istant e t, se
al l' is tante O tale numero B "Vo ; la costante k è de t t a copadlà J ell 'am1> i('nt('; questo e:;.empio
sarà r ipreso a l cap. 7 ).
(!)
(Ftmzwllc di 1,<1n9C1.'lr.)_ Si tracci per y > O il grafi c.o della funzione:
L(Yl= m o (Ch
y
Shy
_!)
11
dov"" m -o è una C06tante ]>ositi,·a.. Questa funz ione e n t ra nella d,,,;.cr izione dei flmomen i d i
pola ,i zzuziO'fle magnct-ica per orientamento.
~
Siano "IL'O cost'U:lti po~it i v,, _ "l'rac-.ciare il grafico delle d ue fun ~; ""i ;
(queste fun:z: ioni <-ml·n!.no nella descri:z: io n e <kgli indici di ri fTa", io m, delle onde de tt roma.gnet iche nei dideurici ).
m
(EjJetto VOT'l,kr :rela tiUls tico) Se la so rge n te e i1 ri""v it.ore di un'on da s i allontanano
<:on ..dm:it!. re lat iva v " l' on da i , cme&';,,- (Con fr equ€,n:la I/o. la. frequc ILt.a ricevuta s a r à
v =
l/O
~fc2
l --I ~'Ic
dovI' e è la ve locit.à della luce ( cootant<: p osit iva) . Si t rac ci il grafi<.:o della funcione v = v ("L'i
nel d om in io fisicamente ammissibi le , Iv! < c.
256
C<lpdolo 5_ Calcolo~ d./Jr:rf.miale per fILllziofl i dt 1.m a t.'<l?-j"a=b="='[email protected]
~,,,,",~·=
o"""'1"~!::!
~
(A'190lo di rifrazivm:). Dalla legge dì Snell IId la rifl"uziun.. (cfr. pru-. 4.3) "i r icava cbe
ncl p assaggi.) di un ,-aggio di luce <la un m ezzo a un alt ro, l 'an~olo ff•. di rifrazione dip.mde
dan'angolo O. di i" cid enza in b l'lSe alla legge'
•
r
=
. (SinO,)
ft fC5111
-
,-,-
dove .. =i ndice di rifrazione relat ivo del mezzo 2 rispetto al mez"", l, può ~re maggiore o
lluuore d i l (Ol!. c p<Otiitivu). Stlldiare Questa "unzi.>n~ di 9. e traccian,~ il grafie:t.L disting"" lLdo
i e.......; .. > 1, n < l . L 'angolo 9, è SC'" I' CC compreso in (O, i- ) - (I n uno dci d ue c asi è nece5 s3.ria
una limitazione pi,ì ,.,-t n'lLa c, per augoli di inciden za non anuniH;;ihil i, non $i ha riftuzirrne).
cm>
(Distl'llmzionc spdtra/e della m diaziolle eme ..uII da un corpo nef·o ) . Xell'esempio 6 .1 2
del capitolo 4 s i ,,: H",liat" rnO:Kl. iante stime as int o n ch e la [ u n7j"n",
81fhcÀ .. ~
f(>.) = ehei ",.r
l
(h, c, k cost.an ti pOl!itive; T =tempe:rlLtur a :J.S.'\OluLa , p,,"rlLmetT"Q posit.h..,. À =I un )';h ezza d'oll '"
da). Se ne f:Ompleti ora lo studio ...... !colando la dcriVlltll. p rima e ditnnstra lldo che il punto
di massim o di I e:wJe (a<l ~mpio) n ell' im ervallo ( 5~'~ ' ..~;...) . Ciò signific" ~,he la lunghezza
d 'onda per cui è m as.<; ima la d,m"ità di entlrgia. rtt.ggiante è in versarm:mte propon:ioll nl" ,\11 1:\
tl.'rnJlerat\lf~ MSOluta T (legge d \) 110 spost a fllcu t ,) di \\ l ien).
I n fine , si peul'li ora >. fi~to e s i t_mcci il grafico di ! come funzione di T_
7.
7.1.
CALCOLO DIFFERENZIALE E APPROSSIMAZION I
Diffe renziale e approssimazione lineare. Il si mbolo di "o piccolo"
Un'operazionE'! molto freq uent e sia in m atematica che nelle I:UC app lkAzi o n i è
quella d i linco.rizzazione.
SO/:i"ta.n ziaJment e si tratta di a p prossimare una data qUAntità, che di p ende in
modo I\OIL li neare da u na o p iù variabili, con una che tlipt!ude tla ques t e linearment e.
:':alurwmcnt-e, c ome in tutt i i t ip i d i approssi mazioIle, occorr~ fo r n ir e i n fo r . .
mazio n i ( qll~litat ive o q ualltil,ath"e) sull'€'.Tl"ore tom m cs....",o.
U n esempio elementare di Iineari7.'l.azione consiste nell 'tippros.'lima re l'incremento suhìt(l tla una data funzione f, i n cOIlFegut'0 7.li. di una variaz ione del SI10
a rg orneu to da Xo a Xo + rl:r.;, sostit uendo alla funzione stessa. la re l,l,ft ta n geute n e l
p unto xo .
P recisamente, s ia / : (a,b) - - + IR d~r i\'aù i le in un p Ullt.O X o e dian}(l a J':(I un
in c r eme.nt.o dx (che pens iamo molt.o p iccolo in valore tlSsoluto, ci~ Idx l « l ). In
con:segucnZA , J subisce un i ncre mento
Ai = ! (x o + dx) - ! (xo)
che, i u gcne r lii1e, pensando :(0 fissa t o, non è proJlor~ion ale li dx os,<;ili non è linear e
rispetto a dx .
COllie ind icat o in figuro.. 3 9 , sostj t.u iamo al grafiCO eli J . vi cino a x, lo. r~ltfl
tangente nel punto P = (xo, J (:r:o») .
L ' i n cremento valutat.o lungo la. r etta tangente è pari alla luug utl7:za (COli segno! )
d ci segmento Q R e cioè uguale a tg o: . dx , ovvero CI f'(xu)dx , ri cordand o che
(0
7_ CulcoLo d iff<,-renziale.
66-0S_0 7:i4T_ K
, t
l'
"ppros ., imazionl,·_--,'C5.7,
y = f(:;;)
s
--,-
.~
o
Figura 39
dI =
I.gu
V'"
~f
: dI
--';C
" _--"
Q'--_--'__ __-'---
r
p
~:
"
,h,_
f' (XoJ = tg ( l . T a le incremento, proporzionale Il. dx, p rend.e il nome d i differenziale
1 nel punto Xa e si indica 001 s imbolo df (xo ):
di
Qual è l'errore COHllOe&.<>O tldl 'appross imazione? In a l tri termini, che cosa s i può
d ire sulla differenza tra fj.f e dJ( x oF
Per r i~po ndcre, è sufficiente ricorre r e a lla. definizione d i der ivuta; la for mul a
si può scrivere
f (xv + d;; - f(x o)
= l'C r o) + E((Lr )
dove E(dx) indica u n a quanti t.à e he tende a zero se dr _
per dx ---t O.
Jvl o lti plicand o per dr, d1Ù la. ( 7.1 ) si o ttiene in nm'
fexo
+ dx)
.- 1(:1:0)
=
1'(:1;0) (1:1;
-t-
(7.1 )
O: è c:ioè u n inftnitcsimo
dr' ddr ) .
(7.2)
D alla f7 .2 ), !;i ricava subit.o
!:::. f - df (xo ) = dr - s(d.x)
L a quantità dx · ~ (dx) è una. qua ntità che, d iv isa. per ,11; , tende a zero: Questo s ignifica. che rLT ' r: (dx) è inftnitcsimo di onlin~ ,~tqJedorc nspdto a dx . Introducja.Jtlll
un sinlbol o uti le a i n rlic:;:ue 8intcticanlcntc qucsta c i rcost;anza:
Definizione 7 .1 - Date due fu m :ion\ f ( X),9 (x) , dcfinite in un im o rno di IO, si
dice che
f (x )
= o(g(x ))
(s i legge "fCx ) è o piccolo d i g(:c)")
!(x)
----,-
per x
-----> IO
SP.
---->
U p er :1:
--------> XI)
!l(x)
SP. g( x ) è un infinite,;imo, d iTe che f(r) = o (g(x)) s ign ifica che J(x ) è inn ni tcsi m o
. p er x ----4 O, X ' = () ( X,I,
~ c -l ' '","
d i o rd ine superiore rispetto fì y(x) . Ad esernplO,
u ( :r~ ), ccc.
l •• l'a rticola n'. il :=-i ml)ol" ,,( t ) d Clll .la ~mp l ìc(,Il" ' ll t c u na q ,mnt it.à
iul iuite;i ma.
(7 .3)
:::" j II,, ! =
df (:r",
-
Ll ~ (7.:S) cspr i lll( ~ quella dll" Hl chiama
Si s rrive aud w. t ah·olta .
:::" j ;.:,-
fiI al
(dx ) !wr dr
~ (j
HIl ' a rlWQs.~1J/Ulz,onc
Jlrill1 · n r dm l~.
• LI' n>gole d i c alcolo dci , l iffc rc llziali
!«J/l Ù
d(j·.'I)
oc
Id(~ )
Si Ilot i p oi ciII' 'li.
f -.
{J
\'i,i\J() a
a.na.I.. ),;h!'
di
~j
al prim 'un/me,
XJ
'l q uclk
d . dt!rh--d.Z iulI< ·:
,.
.Qdj -;. Jdy
"di - Idg
I·
9'
d iffo? rt 'll z in lc lo garilllli co d i
f.
Esempio
1. 1.
Con~ iden a l""
v'l + x
! t$)
., a p prossio, ia ,"o al pnm o o r. li..,· f(:z: )
Si IlOti d ... 'lu i .!:Q
=
I (O)..,. ..jI .... X
I.
Cl ,. ' l',i n di X co" ... i<l .. COTI j·jnn.-,, «' n t o dI. l-;""'' '''lldO
f :..II= _.'.
,
-
2,,' 1 I .r
'; 1
1
2
h"
··
,
I
~llx=
I +
(i
,,
:r
~ì
<) (:r:) , v,-r :r - O
,. 'I" ;,,di ritro \'illl" o (". r "p. I. formula (6·71 l '''~ ' 195)
- - - - - - -"l
I l . ~<" - l ~~ , u'
cl pn ,,,, , "rd"l ~
1.2 . Pote nZl/I/.-- d. !I>l d 'I",I" d dlT"iC(J. 1;II ' ;"t...,r.,,:;sam .. , "l'l'li.-:al'.iOlle . Idl:. (1 ...1.) ,; i trnvil nel
c"ln ,1" d cli'appro OK"i m =. O " ~ a l pri,OO OHJ;,,.. .1 .. 1 pote"" i.ù. - creet" d" 'm d;p<>lo d d li i,-n
(" >TI ~ if"r ", ... ,,! o ,..HG. ti te. " '" 41), çr)"~ 'd"rJ ,, mo lIn . l' pok> n.."t it \l i,,, .Ia d ue c ,.. ...! ... - q " " I
("':"K en Uit " - '" <h.l':· rnllH. /I ~ S tC'p' ·lI i' ·"m .. n r ... il .1 1, 1.... 117.11 1 " l' ",." dall'alt" . _
Se l ' i - "Il plJr.l u " . h <' i), II'l u ,. dal l'UlltL' m,'d", O p li J'.~" tI 'N'
da /(. _ J a 3 . ,I
p" ,p n :7. ial. iII /' è w.~")\.". ,~,, d a lla far",,,!;, {' " OPP""l'''",- Imilà d, ",;""ra )
r,
,.', )
V'( /' ]
\-<:>giiam,j ' -"!''' .-.rc Il., ..,,·,,>,, .•1<' 'l'I''' '';' , ,, <S: r t u !'.,.h, ' . "tnO~t' ,L r ' . rn ord,_,,,.:,f.> cos/o ' . /,
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Dal L, ~on 'ma Ji ('"n,,,, iII l rig>-,,,,,,, ,, 't, , ;a , " i 1m
" , ..,,,mutI,, d, d'l'olI) /'
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V I< :lfl".iI.
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T,
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7 3. O.,·,-,u."""'lI del p. ,.. d .. t... Una t"' '';..~ a p u nt if" T" ... " I
,,,...-;jlla, ''l'I ....~: ' a un fi l" .Ii Juughca.I> l I N H o (} ( f) 1'/111I!.olo [oruw\ .. d,,1 fil" ... ", la ,·t>rti c alo; a ll';s t.'l!Jle I, la f"r, ,,
:.t::t>file ,ILi t" ' IlIO u (>[) " ,!i p ' 7.ior>fi'
"""o i> - Il'!I" " O
i v . fig li )
!l '"lno cant, o> q Uei' " f",~.1 deve Il)!;''' ..;liaro:, _ pe .. la
r rmda lel""':" ,1,'lla d j ..,\ ", il ''I . il pro dot. , .. dell.'l. mM."\I, 1>1 "
r a c celrrazi• •,w, pari a II>"}" Si oh ;t',,,, 'l''; nd i l'l"Qu.ll' '01)('
cl,.,
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miti"
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fJ ~'" I" r .
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(l''
=
- 'i(1
I
2/.1 CO« O
4 "'fvr~
260
C apitolo S. Calcolo diffen, nzinll!'- 1"'r funzioni di mia ra ria/)i/e
( Abbiamo sfruttato sinO R: e. al p r im 'ord in e, per O piccolo) .
comp le t a m ente. S i trova (ponendo "," = g/l)
e(l )
g
s,, _ O ~_ 075"' 7 _ fj
Questa. pw' , "-<isere r i3ùlta
Acos (:.;t+Bu}
=
con Bo , li c ostanti da det ermi n a rs i m ed ian te lo,' nmdi z ioni iniz iali del s is tc m a . (L~) stu dentl'
ver ifichi ch e le funzion i (J (I) tr ova te risolvono effettivamen te l'equazione . N d cap it o lo 7 s i
proyer;" che df(,ttiva men t.c non vi sono "lfTe soluz ioni) .
7.4 . En~i(J cinetica c/as;;ir.il e H~ ll1li"islj ca. Nella meccalli c ... class ica , ! '('nergÌa cinetica d i
un punto m a ter ial" di rna.&~a fi l in lnov ilu ento , con velocità scalare t'. è da l a da
E
<
l
=
,
- 7111:
2
L a teoria d e lla rcla tl,-it à m od ifica va r ie defin iz ioni c leggi d e ll a meccanica c\a.ss ica. A n zit.u H o.
\a m ass" 11~ n on è p i ù una <:<.ls l>tn l" , ma dipende d"U" vdocìt à. second o la legge:
~,
Jl - ~
7tl =
dove c i, la 'wi<.x;ità d e lla luce nel vuoto e m o è la "massa a riposo~ della [J>lrt ice lla ( q"" .~ la è
<,..<>S t ant e) ; in st-'çond o l uogo , vale la famosa eq u a2: ione dcll' rmer g ia:
E = TrH?
'energia d OlII ". part icella a r iposo è invece
Eo =
1noC
2
e l'e n e rg ia ci n et ica rc!at iv;";t.i<: a io> p." r defin iz i<')nl' p ari a (E - E'O) , Sostitui amo ad m la s u a
Ch pn'8-~i<.m", e troviamo B ':OmC ("nzione d e lla velocità d e lla particella:
E =
_~m~c~c~'~
V l- ~
Xell'ipot es i ch e la n,[ocità d,~l];.. part icella s ia p iccola rispci_i o >l. q uell a, elevatissima., della
lurR, li /C ti<lrà nlolto p ie<:olo, L i neari ~z i amo a l lo nl. l' espressionc trovata co me f unzione d i
(v/c f' ( mand o la ( T. 5) con o: = - 1/ 2 ):
E = T%c] ' ( 1
=
,
IIl{,C
(~r) - .17 ~moc~ ( 1 + ~~;)
l
-
- Ino "!;
2
,
= &
+
E ,.
dove E 'O è l'e n ergia a riposo della particella., ed 8 , l' energ ia cin e t ica d as"ica. L 'en er.'lia.
cind,cJL rdatit'i.slù:a, che per definiz ione è p,ni a E - J-~ì) , nell 'ap prossi mazione tmlida pe lveWc ità pit:t';ole rispt<Uo " qUd/fl d{!ll(1 /11'" ,-"incide dUl).qu~ (:t'm ren.,-rgia ,ineti= r;lo.5.~ ic<l,
7.2.
Limiti notevoli e sviluppi
A b b i a m o yi&t o che il procetiSO di lil leari zza-;-; io ne p ermet t c di a pp ro ss inmrc u na
fun z io n e d e riva bile, localn lc n t e , l n e di a-n t c la l5ua r e tta tangente, ossi a u na fUll z ione li neare _ D ' a ltr o call i,o , anche i "l inl i t i notevo li" a suo tem p o i nco n trati
p e rmett e v a no di scriver c s im i li r isu ltati d i app r oss im ilzi o nc , per certe fU Il:--,ioni
@
8H_ O ~-OT ,,4 "'_8
T
Calcolo d i jJ",'efl,J::ia.Ir; e npTnvssimazioni
261
p ruTicolttri. A d e5eIllpio, per la funz ione y = s i nx , il proces.<;o di lincar izzazio ne ,
in x = O, port a a scrivere
s inx
r
+ o(r)
lnentre a suo t e lllpo a bbiamo vis t o dw
5ill
X "'" X
p er
O
.T ._.~
C hI;:' relazione c 'è tra q uesle d ue affermazioni'! So no in efIett i equivalent.i, come
mos t ra il pro&;i mo fat.t.() ge nerale:
F ale la s~;gur;ntr; ~:ql'l ­
Teorema 7.2 ( R elazione t·r a "o p iccolo'" ed "a:5i ntotico" ) -
valenza:
Per x ~ xo,
f (x )
~
g(x ) se e solo se
f (x )
=
g ( 1.')
+ o (g (x))
Il lett.o r e p er esercizio dimo str i le due i mplic..'l.zioni contenut e nell'a ff e rmazio ne
p recedent e : basta usar e le d efin iz io n i.
Ques to p e rmette di r ileggere i lirn it.i notevoli che a b biamo fin ora e:;pr csso con
st.i me asintotiche, rncdi(Ult e uguaglianze che coinvolgon o "o p iccolo" . A d e'3empio ,
O:
:,emx "-' x, qui ndi si.nI = x
p er x
--->
1 - cosx ""' "2l X2 , qui n d i l - COSI
+ o(x) ;
l 2 +
= "2X
R ifle t tiamo sull' u ltima: l' u g u a glianza 1 - COS X = !x:i
nella forma:
+
o (I ' )
o (x 2 ) Ri p u ò r iscrivere
COSI =
(7.6)
(que~ to è ovv io: a b b iamo spo stat o dei termi n i d a un lllCmbro a un altro di u na
\Ig u a ghanza). Not.i amo, i nvece , che la relazione asintotica l - cosx '" ~X2 n o n
d ice la stessa cosa della r ela:z.io n e cos x ~ ] - }::1?
1n fil.tti , p er I ---> O. l 2
4:1: .~ l , perciò la. ~ ti llla co sx,...., ] - ~x ~ cont iene la ste~a Ìnfo rma;.;ione c h e d ire
senlpliceUlente "cosx --. l ", cd è all. r ettanto vera che la stima CO!:iX ~ 1--'- 40X 13 !
Quest.a osservazio n e Hlostra u n va n t aggio del sinlbolo d i "o p iccolo" ri~p etto ti
q uello di a':ìinto t.ico: un'uguaglianza si può risc rivere i n vari modi, è piil facile d a
usa re :senza e rro r i, ris p etto ad una s t ima asintotica .
P e r ese rc i zio, i l lett o re ri~cr i va med ian t e il simbo lo d i "o picr..olo" i li m i ti
n o te\'oli cÌle ri g u ardan o le funzio n i ,,;1 ..... x, e"' , lo g ( l + 1:) , x"', per x ........ o.
7.3.
Formula di Taylor-Maclaurin con resto secondo Peano
Vogliu rllo ora. gene ra lizzare il proc;edi rnen t.o di "approssi mazione per lincarizzaz io n(:" a q uello d i "approssimazione poli nolnia le ". I n a lt r e parole, ci chiedianlo :
d ata un a fu mdonc, de ri vabile t utt.e le voH.p. r:he Sl:irà necessario, csist.e un polil\Qmio c he. nell ·int.o rno d i un pun t o fissato , tLp prossima la funz io ne m e glio della sua
r e U.a tan gente?
262
Capiwlo 5. Calcolo differenziale per funziom di una variabue
@88-08-071'47_8
L'esempio (7.6) della funzione coseno si può rileggere in tal senso: la funzione
cos x è approssim ata d alla parabola y = l ~ ~X7 m eglio che dalla rett a tangen te
y = 1, per x --+ O: infatti, lo scarto tra la funzione e questo polinornio di secondo
grado è o (x 7 ), cioè tende a zero p iù rap idamente d i X2 (e non solo più rapidamente
d i x).
,
',5
0,5
-,
- 3
-,
O
3
I
-0,5
-,
-1,5
Figu~a 42 La f un zione cosx ~ il ppt'"ossimilta diii polinom;o 11 = I -
!z" m eglio che dali .. rettil 11 = L
vicino ad z = O.
Per semplicità, cominciamo a ragionare n e ll ' int orno del punto
Procediamo in 2 passi:
Xo
=
O.
a. Indiv iduiamo un polinomio "candidato" ad approssimare bene la fun zione,
cercando un polinomio che abbia t utte le derivate fino all'ordine n uguali
a quelle di f (x), nel punto x = O. Affinché q u esto sia sempre p ossib ile, il
grado del polinOIn io dev'essere almeno n. (Infatti, la derivata n~esima d i un
polinomio di g r ado minore di n è id enticamente nulla., q uindi non pot rebbe
essere uguale a I{n) (O), in generale). Facendo i calcoli , si trova. che:
TeOl"ema 7.3 ( P olin omio di MacL a urin ) - D ata una funzione I derivabile n volte
in x = O, esiste uno e un sol polinomio di grado < n , chiamiamolo T n , con la
proprietà che:
T n (O) ~ t (O) , T;, (O) ~
f' (O) , ...
, T~n) (O) ~ t,n) (O)
e questo polinomio, detto polinomio di MacLaurin di I (x) di gmdo n, è:
T ... (x) = 1(0)
_
n
-L;
2
+ xj'(O) + .!.x
1"(0) + -; x3/11/(0) + ... + ...!..-x'" 1("')(0)
2
3.
n!
l (k)(O)
k! X
=
k
k=O
(avendo posto
1(0)
= f).
N otiamo che il p olinomio T" assegnato dal teorema precedente , soli tamente
è proprio di grado n, ma p u ò avere grado minore se I(n ) (O) = O.
@
7. Calcolo dilJerennale e approSSimazioni
1111-08-0 7""'7 Il
263
È interessante osservare la coerenza dimensionale della formula che assegna il
polinomio di MacLaurin: supponiamo che / abbia le dimensioni di una lunghezza
[L1 e x abbia le dimension i di un t.empo [TI. Allora 11'1 = [L ] . [TI-l, [/"] =
[LJ· [T] -2, e in generale [/{k}] = [LI· [T}-k. Quest.o significa che ogni adden do
!(~!(O)xk del polinomio T,., (x) ha la struttura
(costante adimensionale)·(fattore di dimens. [LI·[Tj-kH fattore di dimens. [T]k)
Perciò il polinomio di MacLaurin ha le dimensioni di una lunghezza, esattamente
come la funz ione / che si vuole approssimare.
b. Proviamo ora che il polinomio t rovato approssima bene / (x),
di x = O. Precisamente, vale il:
ID
un intorno
Teorema 7.4 (Formula di MacLaurin all'ordine n , con resto secondo Peano).
Sia / : (a, b) _ Hl. derivabile n volte in O E (a , b). A llora
f(x)=Tn(x)+o(x") perX_O
La fonnula precedente si dice ''formula di MacLaurin di omine n, con resto secondo Peano ".
La formula ha la struttura:
funzio ne da approssimare = polinomio approssimante+errore di approssimrudnnp.
dove l'errore di approssimazione è il termine o (x n ), detto resto secondo Peano.
Per x-O, il resto secondo Peano è tanto più piccolo quanto maggiore è n.
Lo spirito della formula è dunque il seguente: conoscendo un numero abbastanza
alto di derivate di / nel punto x = O, si può approssimare sempre meglio f, in un
intorno di x = O.
Dimostrazione. Proviamo per semplicità il teorema nel caso n = 2 , ossia:
+ ~X7 / " (O) + o (l?)
/ (x) = / (O) + xl' (O)
per x
--+
O
Occorre provare che
/(x)- [/(0) +x/'(O)
+ 4X7/" (O)] =0(X7)
pcrx_O
ossia (per definizione di "o piccolo n ) che:
.
hm
/(x)- [/(0) +x/'(O)
",-o
'"
7
+ 4X7/" (O)]
=0.
Questo limite dà una fonna. di indetermillazione [O/ O), che calcoliamo (:on De L ' H06pital:
r
.,~l),
f' (x ) - 1/' (O) + xi" (O)]
2x
dà ancor a una fonna [O/OJ. Applicando una seconda volta De L ' H06pital
.
hm
._0
f" (x)
-
2
f" (O)
=0,
ot~niarno:
" , 'lripot es i c he l " Cr) siI'. <:onl;" U. ' i l i "
o. Que~t" ~ ! . ......" " a~:{)mlm~n tn p"" ,""",,.~ ro!' r i pl'l utn
''''r " qu a ls ias i: " l'l'l" , ... ,-1 " " ~' oh , il Ii ~ , c ... na r;; [ I. · I · 1I "~l'iral. e ul ' !in ... ". I" il fano ch,'.
l'r<>p:,,, !-Jer ("""'<';' ~ ta(..;. d e f.no :· , J. ' J ' . ~, lo" :/ . •~
I:.r
r" .J "
! ,,' rCIL ""
p r""n 13 t~j (~OI1" l I, ... t e~ i ;; ',<,rIO·'· • I ... J;, .le:: '",;;, , ; ,.,..,,,;:, di
L3 c(''''i''·,I., il) X = O: un;,
. 1" , ,,,~ 1... zion e d,," ""'.•• '''''5<.'.it ir chl ,. ' d, .·1; Iliina~ CL li' .""( ' ; l'' " ..,. i;
.r
• ' ·ìH"f ft?lln. d i 'j" I1Jlm' oll'onlùlr 11.. Tutto Qu e :=; I.() .! is. ·" rso s i pUf' 1 )!,1 'lH' I",'\.lizzarc ad
1111 punto;l':(1 / l) ' dal a una fl l!!/ ;' ''''' d cri\1'J.bil,' /I V, .ll E' ;1\ :I;n, ~i l"Il" <.'Oli-t r uire il
S II \! l.olinomio ;/1 '/(/1.,10:
\
T.,.~ .. 'J' .
~ ! ~;
Cr,,"
~ -~
,
"
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c ",i p u ò d irnos U'are c he va] p 1111 aualogo rii;u lt.fl.l.o di ap p ro:::;.:,;i lll ,tI;ioBt, lo cale:
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Proprfetà del simbolo d i o picc olo
l.'!uaudo s i op"r.\ su ~Vi\Uppl di Taylo r-!\·fad.,;o u .-i ll con resto ~,~ ''' Il do P e.aJlo, ;ld
l'akolare liln i ti, /'1 ~L trova Ad P!'c f,1Li l' - calcoli <'il(' (,h b lv"lgono (} (:r" ).
l 'l''' p r ocetl" ,-" nnn..' tt a rnt:'rll '· ,-. 111<1 ,> compn' Il<l, ·r,· "leu nc propri,- !;, <Id ;::imbolo d i
-',) piccolo" H i< - ,)~- dialno cll ...'
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r-.lllZi<..HH:' oh1):" la pr< )p ri~tit " '!H' ·..."" d aì1.-l. ri..-ii"i.-.i,,, .... D a ' 1', " ,1" ("n Q ~~gll':> IH'
Ad C5C"JJ1pio,
)Wl".I;
_
0,
x't -::
266
Ca p i tu /o 5 . Ca/co lv dijJ"reTlzirJ.u, pa"
J1.I. ...zio ni di
una variabile
alcune propriet à de lla relazio ne di "o piccolo " che p O&<;Qno a p p arire "st rane". Ne
illustrirtmo a.lcune su esem p i che s i i nco nt rano frcquentcmp.nte ;
o (x )- o (x ) = o (x)
o ( _3x 2)
= 0(X2)
(non fa zero!)
- o (x ) =o (x )
( coefficien t i numerici luoltiplicativj
sono irri levanti)
Per x -O , o (x ) + o CX2) = o (x ) (l 'erro re più grosso lano, cioè o Cx ), ingloba quello
p i ù fine ) .
Analogamente s i avrebbe:
Il s imbolo di "o piccolo" s i c ompo r t a al seguente modo con so mme e prodotti
(veri fica.rlo iIl ba..<;e alla definizione):
f · 0(9 )
xo
(x:l)
= o
v (/ -g ), ad esempio:
=
(X3)
0<; )
= o
o ~~2 )
(X2)
= o
(l )
(ricordi amo che 0(1 ) i ndica sempliceulcnt e una fUll:zione che t ende a zero per
x ---t I O , il punt.o considerato) . Ed anche:
o (f) . 0(9)
=
v
Cf · 9),
a d es empio :
o (x ) o (X2 ) = o (x J )
7.4.
Formula di Taylor-Maclaurin con resto secondo Lag,.ange
N ella. for mula. di T aylo r con rest o s e con d o Peano , !'informazione che abbiamo s ull'eerore commesso n ell' approssilnare f col s uo p o li nomio d i Ta.ylor-:r...1acL aurill è
di t.ipo d i namil'-D: a l t enùere a zero dell ' increment.o (x - x o) , s appi a mo che il Test o
tende ti. zero più rapida m ente d i (x _ 'l.:o) n . Q uest a informazione, co me a.bbial no
v ist.o, è utile ad esempio !lei c alcolo d ei li m iti. P er u n valore fissato d cll 'i ncrcrnento (x - I O) , però, la formula d i Tay lor con rest o secondo Peano non d ice I!ulla.
s u ll 'entità dell'errore eommes.<;Q. I n vari e questioni di calcolo approssimat o è essenziale invece sti mare l'erro r e che s i commet te approssimando nnit fUIl'.l!ione col
s uo po linomio di Tayl or-:\-lacLa u rin , quan d o l"incremcnto (x - IO ) h a un ya l o r e
fis ..;at.(J , o un valore che Ilon supera una soglia fissata .
Ad esempio, sappiamo che i l pol inomio d i :\facLaurin al 3" o r dine di e % è
T J (x )
=
1+ x
1
2
1
6
+ _ x 2 + _ x3
Se volessimo u tilizzare questo fatto per calcolare u n yalare app ross i mat o d i
ossia pensa:;simo di approssÌlnarc
e '"·
,;c.
conT·1 ( -' ) =79
.
2
48
conle p o tre mmo stimare a priori (o ssia sellza conosce r e g ià il valore v-ero di
d i quanto s t ia.mo s bagliando ?
fi)
'@'-"~'C""~'~"~'~':'C'"~',,-
____________-,7C. '(C)~aJ.r.(Jl(}
diff"rerlz<' al"
r;
appro"s1.n.:uioni
267
A questo tipo d i problema risponde il pr()~::;hTlo risu ltato, che dà un m o do alternativo di quantificare l'errore d i appros..'lima?ioue COlnmesso:
Teorema 7 .6 (Formul a di Taylor all'o r dine H , con resto secon do Lagran ge). - S ia
J [a, b] - III deriva /de ] l + 1 1Jolte in ia, bI, e s i a Xo E [a , b] . A llom esù,te u n
punto c eo"'~preso tra I O e x tale che
! ( n -d)
Cc) (
'c(~n~T~'~1';)'~
' x - IO
),,+1
(7.7)
.
L a formu la preceden te si du--e ''formula di Taylor (o di AfrlcLaurin se
ordin e n , con resto sewndo Lagrange".
Xo =
O) di
La formula ha la struttur a:
funzione da approssimare = polinomio appro..<;.<;imantC-i-errorc di approssimazione
.
.
.
/(n + J) ( c ) (
cl
cl ave l ,errore cl"l apprOSSimaZIOne
e, l'l termine
(.. + 1)'
x - IO )"H ,et.to
resto
secondo L agmnge .
Per n = O l a formula ( 7.7) c o incide col T eorem a di Lagrange.
Si not i che il punto c d ipende da xo. x e n , ed è compreso tra Xo e x . Se si
riesce a diIlloot.rare che 11(.. +1 ) (t ) ! ::; ~\[ per ogni t compreso tra Xo p. :r , allora la
formul a di Taylor con resto secondo Lagrange dice c h e
, Ix - :to I
( n+ 1.
)
M
nH
eÌle è appunto una stima dell 'errore d i approssinlfizione commesso.
Esempio
7 .7. Tor niamo al problema di a pp ross imare ..,te mediante la for m ula d i T tly lor. Pone ndo.
n ella ( 7 . ì), f ( x ) = ('."",x ù = O, x = ~,n = 3, ottenia.mo:
V« =
Poiché per O C; c
c;:
~ i:, ,,~:::;
ve <
'13
("2I) + e"4 ! ( 2' ) '
.j3 ~ 1) , s i o lti e ne
1<
2
1.;;_ T,. ('-)
v'3 ~O.0045
-2~ ·4!
QUf'-Sto >; ignil1<:<1 che approssimand o
a O. (}(US .
ve Cnn il va lore ~ si COIT""ctle un errorI' non super iore
Dirnost~azione nel teorema 7 .6.
Proviamo)a (7.7) solo n,,) ea.<;O TI. = l. P one ndo p<; r
com ( .. litil. "'o = a , x = /, l'" nllnciato diviene: se f
la, bl ..... lR è derivabile 2 volt" in la, bl,
allora esiste un ['uato c E la, b~ tale che
J (b ) = f {a) -+- f' (a )(b - a ) + ~ f" (c )(b - a ):!.
( 7 .8 )
(l ) Ahbiamo Uf\él.to la disngllaglianz,. ~rossol ana '" <:5 p er non cad"ce i n un circolo vi~im;o:
pcr s t imare il valore di
sembrereh b c necessario sapere g ià. q u ant o vale Ve t i nvece . b'L-;ta
c OnOSCere un valor e che maggiora .,je, e '111=t.O valore è, ad esemp io , v"3.
,le
268
Capito lo 5. C(1/eolo d'i[Jerenziul" JK-T funz ioni di tma variabll e
P o ni amo ! (b) - {! (a) + l' (oltl'
Conside riamo la fUl1zione
- aH
@
88-O&- 0 7t147-"
= k ( b - a ) ~ e c"rchiamo d i deterw inare hl. forma di k .
g(x) = / (b) - j ( x ) - 1' ( x )(b - x ) - k(b -.
'1' ) 2
e applich iamo ad essa. il teorema de! valor medio.
Poiché g( b) = g(<.1) = O (la seconda uguaglianza segue dalla dcfin i"ione d i k) si tl"m'"
c he Io'5iste c E (a ,b) t a le ch e
0 = 9 (h ) - 9 «(1)
b
a
=
y '( c )
"1" y' ( x) = - f'(x) - /,,(x )(b- x ) + l'(x) +2k(b - x ) = (b - x)!2k - /,,(z) ] c q uindi y' (c ) = O
ilnplica, essendo C ic b :
k =~ f"(c)
?
• Formula di TaU !or" e convessità. Con sideriamo la form u la (7. 7) con n = 1:
!(x )
=
f (xo )
+ /, (xo )(x -
TU )
+ ~!" (c)(:r. - xu f
e suppon iam o che in ogni punto di (a,b) si abbia fl/(x) ~ 0 , oV'v ero f sia convessa
in (a , b). A llora si ba ~ f" (c )ex - X U ) 2 ;:::: O e per ciò s i può scrivere , per ogn i copp ia
d i punti xo , x E (a , Il) :
I (x) 2: I( xo)
+ ['(xo)(x - xo )
(7.9 )
La (7 .9) significa geometricamente che il grafico di I (x) si malltielle in t ut. t o «(L, /1 )
sopra il grafico della sua retta tange.nt e in Xo (e questo V'clolc per ogni scelt a del
punt o Xo E (a, b)). Abb iamo dunque dimost.rato ch e se una funz ione è convessa,
è anch e "convessa per t angenti" (vedi par. 5. 2 ).
Se inveee I è concava, ossia l'' (x) :o::; O in tutto (a , b), la disuguaglianza (7 .9 )
vale con ":O::;" anziché 2: : i l grafico di f (x ) si mantiene in tutt.o (a , h) sotto i l grafico
d ella sua retta t.angente i n IO .
7.5.
Risoluzione approssimata di equazioni: il metodo di Newton
Suppon iamo di voler risolvere l'equazione
[ (x )
~
O
che e(}uivale a oereare le inter se~ io ni del grafico di f con l' as.se x , e supponia mo
d i aver accertato (medi a nte conf ronto grafico, ad esempio) l'esistenza d i un' u nica
sohu,ione ;c = a , all' i.nterno d i u o intervallo [a, b]. S i vuole dare una val utazio ne
approssimata di a . Il met odo d i Nev.1:on, che ora illustriamo brevement.e, S€f\<e
proprio a questo ::scopo. L'idea è quell<'\ di costruire un a sllcch"Sione convergente
<'\ d Cl ; questa s uccessione, come si vedr à, è defini ta in ITiodo ncorsi vo , ossia :
si a,<;..<>egna f'-splicitarnente il prirllo tennine Xo;
- s i R;;segn a esplici ta mente la legge con cui calcolare
qualunque sia n.
In qu e ~ to m odo , il tcrnline
X n _'"-l
a pa.rtire da
I,,,
In PU(} essere co,st.ruito a partire da X{J con n i t-erazio n i d el mooesimo algor itm o. li metodo, perciiJ, si p resta lllOItO bene a l calcolo
au t o lliatico.
<:)
HH - 08 _<lT ~4..,._8
2 69
Illu striamo i l Inet odo in riferinlCnt o alla figura 4,1. Partia.mo da XI) ~ a c "Iinearizziamo l'eqU8-7.:ione f(x) = O s ostitue n d o a f la r eUa t angente al suo g rafico
nel punto (a ,f(a)). Tale retta ha equazione
y ~ f (xo )'-
\
1'(:t:oHx -
:l'o)
\
Il = f (r )
Fig ura 44
I nvece d i risol vere f(x ) = O r isolviamo
f(x o)
o ttenend o
,
, Xl
= Xo -
I (xo )
f'(X(I)
+ f'(xo)(:r - x o) =
_
prima
O
appr O&~inlazione
Proced iamo o ra con Xl al post o di Xo "'"" a , sostit uendo
(Xl , f (xd ). A n ziché f (:r ) = O si risohe l \ .'"quaz i.onc
f(x d
+ t' (x] )(x -
xd
I
di u
con la retta tangente i n
= O
ottenendo
seconda
Proseguendo con
X2
COllIe per
Xl
ap p ro..~silnaz ione
di u:
e conli nuando si perviene alla legge di ricorrenza
(7.10)
Nella situazione d escritta in figura, s i vede che
In generale s i può affermare che: se
f (a) . f(b ) < O
i)
ii) 1', f" han no segno costante i n
iii) f (a l . f" {a ) > O.
allora la Stu:(:.':8 si o n e ( 7 _10 ) converye fUi
I
Se f (b)· f" (b)
ad a , p~r eccesso.
>
0 ,
X
n T (Ì.
per di fe tto .
O l a succe:;.'jio m~ (7.10) con
:.0:0
= b ( anziché
X(j
= a) conve r ge
Ca pitolo {,. (,'''/('.I){O d'ii!err:"ziale per fu nzioni d i lAna 1,!( wiabilf'
270
Esempio
7 .8 .
Con..,ideriarn o !\nco re. l'eque.zj(me
J {x ) = e
:E
= ()
1 <0
in
J
-
Abbiamo :
f" (7" ) =
>O
(0 - "
l llOlt.re / (0) = l > () c i (l) < O.
La s u = essione (7.10), è in q uesto
(O, lJ
C350
r ozz O.
•
U8ando una caJcola t ri (..'<:! "i trova
0 .500
Xl
=
7"'2
= 0.5(;f>3 ..
:r"
=
x~
= O.ile 7! .
0 .567 1
Si vede d , C già d opo <1 it<!ra:!; ioni si p uò dire a = 0. 5671 . .. co n e - "'~ -
:2:4 RI
4 .,",'i . 10-
1
•
Apprvs"i17Ul.Zioni al p rim o e al sucmdo o rdine.
C
La vc locit..'\ v(t ) d i \I n cor p o d i massa m du~ {"..ade ne ll'aria è regolat.a da.lla Legge
dovo 9 è l'&ccelera"ion è di g l'avità c 11. un codfì.cit:nte (:h e ~pri me l'at trit o dell'scia, (QUl:!l:it o i':
"'ero ~, s i assume la forza d i att r it o proporzionaLe alla veloc ità). L inearizzando l'espressione.
" i trov i cor,,,, n'Tia la velociti. Il ei primi i"tan ti d i c aduta. (C ioè >'I i approssim i 'Il ( t ) per t ____ O).
L 'approssim azione cosI o t t e n uUt. è per CCCI ~O;O o per d i(':!u o'? Per rì"'pondere. si scri va. o r>..
l'appr(}H!j;m azione al .secon d'ordine (mediante la form ula d ì Tay!or), e s.i cOIlf.o n t illo le due
Cl'Ip ressioni.
G:
(Cfr. l'esercizi o p rClC\Klente}. S e ",i a8sume ill vecP. l a fo rza d i attri t o p roporziona.]e
qtl.arlrato della. velocità, la vO;!locitit. rlei cor po in cadut.fI. ris ult a.;
1I(t) =
/0. ]
V(ffi!i
h ·
con ]0 s tesso s igni fica.to d e i simhol i (il coeffi ciente 11 h a (Jn~ dimensioni diven.e ) . LinclI.rb:7.ando
l'f)Sp ressio"." ",i trov i C<.Hno vf\ l"ia la. V€locità ne i primi istauti d i caduta.
'@
òé"'~C=""""C""',-,",-_______________,7._-,C".,,"=,"I~() differr:nziale e appros.'i im uziorz;
271
~
L ' osc ìJl a:>;io ne di Un " pallin a flB!<at a a ll'est rem ità di una molla e li bera di m uovers i su
una r e t_l a i , d ct;f:ritt a dall a funz ion e:
:r = Ae- kt cos (w t)
con A , k,w costanti po.~ i t ive . Lin<:a ri"'Z311do l'esp ressione, ~i ,q>PCOSSilIl i x(t ) per , ---'> O.
L 'approssim a 7.ione cosÌ o t t.enu ta è per CC{~.<t>.<;O o p"r difet to? P e r rispondere, s i scriva o r a
l'apprt)Ss im"",;" "" al ~-Ond ' () rd ine, e s i co nfronti uo le due espres..sioni.
G
C SHudo la formula di T ay lo r a l m-,r ond'ord in e ç ol resto secondo Lagrange, si dia una
m a r;r;ioraz ione del massimo errore che si commette appros>; imamlo fi i" x <;<>n x , q u ando O <
x:$ ii, e s i p r ecis i se , 'errore commesso è p e r eccesso o p rr d ife tto .
Il TTla.s>s;1Il0 Cc.-OrC r:ommesso è in reah il. P" !.r. = i : s i calcoli q uesto errore. Il risu ltato
è COCTClltC ("..on la stima e ffett.uata"
e
"Csa n do la formula d i T ay lor a l seco n d'ordine col rcs t-a secondo L agm nge , So; dia una
ma~iora:done del m assimo errare che s i com m e t te apprcms imand o ~ COn l+jx, quando
0:$ x:$ ~,e s i p reci;;i ~ l' e rro re commco;so è per ecces:;o o per difetto.
I l m a.ss imo errOre co mmesso è in rerut ll per :t = ~: s i calcoli q USlSt.o errore. Il r isultato
è COCfO'; nte COn la s t im a effettu~tt H.?
cm>
Dimostra.re , sfruttando la dcflui"iolte dei simboli di "o piccolo" e d i ~ asilltOt.iCO", t.utte
le propridà e n u n c iate nel paragn..ro ~ P roprietà d el s imbolo ,Ii o p icco lo" (v . pag . 265-6 ) .
e
Nell 'esempio 4. 5 (di ffraz ione della 1m:.:) at t raV€TiKl una fenditu ra ) abbia m o v isto c he
la r icuGa dei mas simi dd l ·in tp nsi t.a lumin osa ndl a fig u ra. ,l i interf« r! '''z.a per la l'..'e c he
attra vcr"a una fendi tur a porta Il riso lvere l'equazion e t.g t = t . Calcolare co l met odo di
Newton u n vBlore appro&Simato della p ri ma ~,l uz ione positiva di t ale eq u l\.Zione, d . e s i t rova
«(:o me mostra il BTafico) (>0(:0 p r im a di ~11".
(S-ugg'~Tirn"nto : applicare il metodo a lla fnn.,;ione J(t ) = tgt - t s ull ' in t ervallo [~ 1:", ~,, - 0.1],
\l5ando come valore in iz ia le a = ~1f - 0.1. Calcolare Ic it e ra.te COn l'a.iuto d i li" compul.<,r ) .
e.
Calcolare con approssima" io n e l' unica solu z io n e reale dell ' equaz ione;{;2
+
l = .!. . A tal
fin e:
\ 1ostnl l"C che il m e todo d i )Iewl.on è applicabile fi ull ' in tervallo [j, l J; .
b . S crivere c"plici laml~nte I" algorit m o iterativo.
e . l-::Olicolare esp licitamenl e le p r ime ite r azioni , finché le prime d uo: <.:ifre decimali s i
stabilizzano.
3 .
G~ C alco lare con approssi m a" ione l' uuica soluz io ne rea le dell 'equazione log x
.!.. A tal
fine:
a . :\tostrare che il m e t o<lo d i .:\ewl.on il appl icabile ,.;ull'in t erva llo [1, 2] .
b . Scrive re ' ;"J,licitmn cnte l' a lgori tmo it erati vo.
c . Calcolare es plicit[l.m ente le PT im e iteraz ion i, finché l.. prime d ue "ifre d c<:i m ali s i
stabi\izz:ano.
Conve.~.<itd
G
Siano J. 9 du e f un.,; io u i d efi n ite su [ut l.<, R, deriva b ili due volt e . Suppuniamo ebe J
5ia co!>,"",,,,,,,, " 9 co"cava, " 11 t u t l O TR. Ut.ilizzando le proprietà geornctrie"e " ' u m cia.te ucl
pa ragrafo 5.2 p er le fl m z ioni concave e convesse , d irnt::J<;t.rare che f e 9 non po,,<;..,no a vere p iù
di due interee"ioni.
272
Capitolo 5 . C alcolo diff,,-rc .. àale pcr fll1lzionj di ",na , 'orial>ii"
':9
B8-ù6_0T~ 4T_~
Hm
z ~ ,
"'-,
Cl)
+ 2x + 3
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x'" (VX2
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(Vx2+x + f ·-- x)
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Sv i lu p par(> i n ,.c ~i e di T aylor in \Oicinanza di
•
l
10g( 1 -+- COSx)
r
= O all 'ordino .'5 le seguenti f U!l:i.io n i:
X
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c o~x
G
Se p<".r x ---> O (o x ~ 0 = se il caso lo richiede) 1;; ver ifica c h e f(x ) ~ kx" {k "" O. (:I > O),
s i d ice <,he o: è ]'Ordi'lC di infimtesimo di f rispetto all'injilli tesimo campione x .
Ut ili?_<.an d o opportuna ment e gli sviluppi d i Tay Jo r, determ inar e l'ord ine di i n fìlli iesirno
p er x ----> O dcii I' S<:'lgllcn t. i fll ,,~.ioTl i
il
s in x - :c
e
Gli Eov iluppi d i Taylor e il teor e ma d i de L' HOtip ital sono due diversi stru menti per il
calcolo dei limi ti : spesso e ntrambi i nwt.od i Pl.>SSOllO C&'!ere u ti lizzati. P rovare a r ifare g li
"" crciz; ,).4 ,56 , 57 , W , 61 , 62, 63 u tili z zanùo opportunamen te g li svilu ppi d i Tay[or.
C
( Dimostrazione d e ll a for mula d i TayJor ) _ L a (7 _7 ) può ('''-'<ere dimOlltra ta con lo stesso
metodo usat o per dim06tr are la (7.N) . defin iamo:
L [
n
9(x )
=
[(b) _
i
0) _
(I)~~ - x ) _ k (b - x )nH
J
j _ O
con k d c rlIl ito da
[(b) - T n _,,(&)
=
k(b _
(l ) n ~l
a) Verific are che .q{b) = g {a ) _ O.
h) ,\pplie are il teorema d i L~range a g in (a, bI. e mo'SI-rare chc-l' a.ffermaz ione '"es iste c E (<1. b)
talI: ch ... !l ' (e ) = O~ è esattamente la ( 7_7) .
8.
SERIE DI TAYLOR, SERIE DI POTENZE,
ESPONENZIALE COMPLESSO
Riprendiamo ora, per darne una nuova gen eralizzazione, iJl. for m u la di T aylo r con
festo !;ccond o L a grange, ossia la (7.7), che riscriviarno n eUa for ma:
f
n
(x)
=
L
f ( ~ ) (xQ)
k!
k
(x - Xo)
+ E n (X)
1; = 0
Se la funzione .f ha d erivate d i ogni ord in e , s i può scrivere la se1"ie
, -=- - . r 'O-k!( Xo .) (x ~
0.: = 0
xo ) /;
@
88-U/l._O·n.4 T_B
8 _ Serie di Tu y lo r, lIene d i lw tenze, esponf;nz-i ale ,..nu lp less o
273
detta serie d i Ta ylor per la funzi one f (centra t a i n I O) . ?\o n a bbiamo , per il
nlonlcnt n , alcuna g aranzia che l a serie s i a co nvergente e che l a sua 501Ilma s ia
f (:r) · C iò sarà vero , i n un certo punt o :~ E (a , b ), se l'errore E n(:1:) - O per
n - ~=.; infatti ciò e qui val e a dire dlC l a so wma parzi ale n - esima della serie ,
T;' ,>"Oo(3:) , amnlCtte li m ite fin ito e tale limite è precis amente I (:r. ).
.
Se accade che, per ogni x in un inten-'8.llo J, E,,(J: ) - O, d ircillo che f (:c) è
s lJil-up pabilf: in .~ e1"i e d i T a ylor ll eU 'intervallo I .
Ci sonu funzio n i ( infinita ruent e differenz iabili ) che sono sviluppabili in serie
di Tay l or su t ut t a la retla, alt.re c h e lo sono sol o su un intervallo limit ato , a l t.re
per le qua li l' in t eryallo s i ridllee a u n punto so lo (i l p unt.o xo) .
8.1.
Serie di Taylor delle trascendenti elelTlentari
Ci occ upiamo ora principalmente delle tre funzi oni elementari
sin x
che most re remo es.<>ere sviluppabili i n ser ie di Taylor su tut t o HL
Scrivianlo ) 0 svilu p po di ~1f1.CLauri n all'ordi ne n per c "" > con resto secondo
Lagrange: p er ogni intero "Il ed x E lR esis t.e un punto r; , compreso tra O e x , t ale
t:he
Xk
n
L: ~r
eX =
:r.n
+ -, e C
n.
k = O.
F issianlO ora x e faccimno tendere "Il a --+-co. Il p unto c può variar e c o n n ma,
essendo senlpre COTllpreso tra O e ;c, si può c o munqHe afferIllarC che
{'"
e" <
I n ogn i ca:;o, per x fissat o e n _
l
'
+=,
se x
> O
se x
< O
e" si mantiene limitat o, m entre
xn
<
-~O
n'
(c o nfront.o d i in finiti ch e l:ìi dimo s t ra, ad esempio, col criterio d el rapport-o) . l'ie
s e gue quind i:
n
eX =
Xk
(x'
xk
"'""""'_ ~ , , _
n-_~ooL k '
~ kl
lilIl
k_O
·
le - O
per ogni x E ffi
'
Ab biam u qui ndi di mostrato che la ftlIl7.ione eX s i può scrivere COlne somlIl a di una
serie di potenze, la s ua serie di Taylor, convergent.e per ogni x E IR.. I n p a r t.icolare ,
per .1." = l olh~ni amo
Un d i!òc o rso c mn p l e t a lTICnCC analog o si può ripetere p er le funzion i seno e c osen o .
II t.ermin e fC"+ l l (c ) che c o mpare nellf' rispH.t.ive fo r mu le d i r..'[acLaurill. ha la
274
Capi t olo 5 . Calco lo diff,,",nzi.ale TK,r funuon i d i una variabile
:s ].
forma -± cos c o ± s in c, per tant.o ha valo re assoluto
Qup::;ta limi tazione è
q uel cÌle h asta a ripeter e la dimostrazione precedente e con cludere c he
I. slIIx
· = L- ( -l ) ,x""' ) f I
I
(2k
k=O
"
~
COi; X
=
+ 1_ !
L...(-l ) , ( X2 k) ~
'"
k= O
per ogni x E IR.
In ge n era le , s i dice s en c di potenze una serie del t ipo
=
LUk
Xk
1. = 0
con a ", costanti reali (o comp le5!li ) , e x variabile rea le (o complessa ) .
semplice serie di potenze è la serie geometrica, c he converge per Ixl < l:
1
"'
x, --L...
l- x
-
La p iù
k= O
Al t ri s\'iluppi i n serie d i potenze per fUllz ion i notevoli sono i seguenti :
00
"2k+)
Sh ::c =
~ (2~ +
Chx =
"!
2: (~k)
l )!
per ogni x E IR
-
.1;; = 0
~
p er ogni x E IR.
,
lag(1 + x ) = 2..) -l )k+l~
per Ix! < l
k= l
per o:
E IR
(1
+ x )"
~ f (~) x'
per Ix l < l
,~
dove s i è in d icato con (~) = "' ( fi -I ) (a -~! .. ,( <>-It + J ) il coefiìcient e b inomia le k-esimo .
Nel cap itolo 13 riprenderemo lo studio delle serie di potenze, inquadrandol o
n el punto d i vista p iù gen erale dello studio de lle ser ie d i fu nzionì.
8.2.
L'esponenziale complesso
Comincia m o a preci..sare il eon cetto d i serie o lt:nnini co mplessi . Nel capito lo
3, parlando d i serie n Wllcriche , ci 5iamo concent rati sulle serie a termin i reali ;
tuttavia, le nozioni yiste s i es t endono in modo nat.urale a l ca..<;o d i una serie
@
Ni-08 _ Q7 S47_~
275
Infat t i. una serie è d efinit a m edian te la succe!jsio ne delle somme par:.:ia.li .';,. =
n
L
alo ; p er dar senso al concetto d i seric a te rmi ni cOlnplcssi
10 = 0
dire crn;a s i i n ten da p er liInitc di u lla successione
che
s., ---+l
Sn
è s u ffici ente d unq ue
a V'dolo ri complessi. Direr llO
se !Rn - l l - O
(I E <r )
Poiché il m o du lo di un numer o com p le&'m è \in nuwero reale , la nozione d i limite
nel campo complesso è r ic ondotta in questo m o do a quella. d i limite nel campo
rea l e . Per le ~erie a. t ermini colnplf'_<;.<;i s i di mostra che continua a valere il crit eri o
d ella co nvergen za assolu t a :
se l a serie
Ca
",-,.
t;erm ini real i p osi t iv i)
L In,,1 converge,
X>
a llora l a serie
,, = 0
L
a,., ( a
»= 0
ternl ini complessi) con verge.
Questa semplice cond izione per mette d i pro vare la convergenza di u na serie
a ter mini c omple!'lsi appliC-ando alla serie dei moduli i criteri c he conosciruno per
le s erie a termi n i positivi . Applicheremo ora questi fatt.i alla serie esponenzi ale .
L a serie
~
L:
:!" ' la
cui som ma è e Z per ogni :.c E IR, s i chiama serie esponen-
»=0
,liale; per mezzo d i e;..;;.a è pa.'>Sibile defini r e l'espre s.:;i one e Z q uando z = x
un numero complesso. S i (l(:Iserva jnfa t ti c he la serie
~
2..:
"- = 0
-
è. assolutmnente c onvergente per ogni
E I,ll" / n!
Z
+ iy
è
z"
'Il !
E ([; ( infatti l a serie a t.e r mini positivi
è con vergente) e per ciò la. s u a somma è un numero complesso ch e
,,- o
pos..<;iamo indicar e con e Z • Si rli lllo:;tra che q uest.a d efil! izionc è coerente con le
proprietà formali d e ll 'esponenziale ; in partico lare la propriet à
resta valid a . R is u lta allo r a , posto z = x
+ iy ,
dove
~
(iy )"
2..: -=
n1
X>
»=0
CC'
_.
1 -+- l y -
y 2k
y2
. y3
- - -~ "2
31
<)c.
y'"
+ -
4!
y~k+ l
=~( _l ) k ("2k )! + i t ; C-l ) k (2k +l ) ! =cosy+isin y
A nalogamente s i mostra che e - ili = cos y - i s i n y. Ab b iam o così trO"'8.t.o un legame
( nel erunpo comple;;.;;.o) t ra le f UIl:.:io lli trigonometriche (sin, cos ) e l a funz iune
esponenzia le. Le formule segue nt i, dette for-rnu lp. di Hul e.,-'o , sono ,,'alide per ogni
276
Cu piwlu .'i. CalC<Jlo d iffe n :nrin.u, per ftmurmi. di Una ""·""n".""
b'"','_ _ _ [email protected]"C'-'"'~
~"'"""''''e'e'''-'
:r. E IR:
=CUsx + i Sln r
t' i r
cosx=
si n x=
e
U
'
e-'"
-
2i
L a fo r m u lft d i Eu lero e'Y = cm; y + j ~ in y è d t r c m a lrlenr.c u t ile nel c a lcolo co i IIUmcd co m p lessi. E.<;....a perJ'lIt! ttc d i t rasformare la fo r n la trigon o m e trica d e i nume r i
com p lessi nella form a e_çponcruiale, a l m od u scg llf! n t e:
:: = p (r;os O -'-- i sitl8) -= pt~i (J
e
c on p 2: O m o d u lo e
E 1R a r goment o d el lLumc ro comp l~o z. L a fo r ma es pon e n ziale dei n u m e ri c o mpleslSi ser ve a g li 5t cs!ii !'òcv pi della fo n na lrigo nomet.rica,
m a è p iù com p a t ta d a scri vere e p o rta a fo rm u le più fac ili d a ri cordare .
A d esem p io il teor e m a. d i d c ?\l o iv rc sul p rodo t to di n u m e ri complessi in form a.
t.rigo no m ct rka :
P I (c os 0 1 + i s in Od . pz (cO!; B'l
+ i s in e. d
= PI P2(COS(Ol
+ O2 ) + i sinCOl + e~)
è estrem a m e nte n at u r ale in for ma espo n e n z ia le , perc hé form alm en t e f:
CaziOll€ O'vv-j a d e lle p r o p r iet.à d elle p o tenze:
Ple,9 , . p'!.c iO" = P1P2e,(8 1 i 8.. )
IlIl
' a.p p li-
Il logaritmo nsl campo complesso
La funzio n e logar itmo può e!I!:lc re definita nel ca m po com p le!òSO usan do, for maim e ote, la. "'solita" d efinizione: d iciam o c h e
w=lo g z
.:::;.z = ~'v
Dat o z = pei9, cer c hiarllo il suo lo g arit m o w =
3;
+ iy.
Dovrà ~sc r e:
d a cu i d cducia mo
p=e~ ,
{ e t8 = c ' Y,
cioè x = In p
cioè Y = ()
+ 2krr
k E Zl
(si ricord i la perio d ic it.à di c i9 1) t n definit.i\"a., ::.i t, a :
lo g(pe i 8 ) = In p
+ i( O + 2k:'l" )
k E Zl
C iò s ig nifi cA. ch e, nel cam p o cOln p les5o , il log arit m o di U ll numero non è u n ivoclY
me nt.e dele rnlinat.o, ma. o g n i nu merO' (di\'c rso d a. z~ro) h a infin iti logaritmi ( una
~ uccef.o.,,>iolle). S i ehif\ma lIu lo r e pri nci.lJai.f~ (l d IO.f Joritmo q u e llo ch e si o ttiene p e r
k = O c () E [O, 2 7r) .
A d esem pio, calcolia.m O'
log ( l ., i )
277
P o ic hé Il f
il
,\,'2
e arg ( l -+- i)
log ( l + i)
Il logarit.mo princip<tle di (l
-7-
~, ::ii h a:
=
~ l n 2+ i ( ~+ 2k,,)
-'--=
i ) è 1 1n 2
+ i~.
L'elevamento a potenza complessa
Si può o r " dare flc n so , n el C.1.rl1po con l p lesso , anc he alle potell'l.e a csp o n ent,e
q u alsiasi, z'C> , con Cl E CC ( o rea le) . Si noti c h e finora ~apevamo calcolare ~"" solo
con et intero ( e allo r a :;'" era 1lni vo caJne nt c dctcnll inato) o a ~--, Hl/ n r azional e
(JI u~d.iantc est r a zione di Hìd ice n -esim a e allora zo. ind icava "Il numeri) . Ved remo
ora. che in generale s e Cr è compl esso ( o reale 1ua irrazion a le ), z" indicherù infini ti
nu rneri. P on ialno, p er d efini zio n e :
;:;'" =
ca logo<
dove log z indica il logaritmo nel campo c-Omp leEso, defin it o in precedenza ,
C h iameremo valm"c pri ncipa lt: d i z'" q u e llo c he s i ottiene da lo" )0,,.., sceglie ndo
il logari tmo pri nci pale di z . Ad esempio , c alcoliamo :
P oiché i
t:' 'i , log i -'-' i ( ~ +- 2b-) : e
S i osservi che, pe r l'ir razional it.à d i >/ 2 , I numeri 2\,I2k1r no n !;o no m ai multipli
di 2" , p erciò i llUlncri !;critti fiono tu t t i d iversi, a l vari l:l.I'€ d i I..c E ~. Il '...a lore
princip ale di i ,/2 è
rr
cos
Eserdzi
~
_
e,'
,
eOIl
,
l <O' •
co n
, ,
",'1,+ 3 ,
,
con o = x
,
"
@
G
t i sin
v'2
''
@
O
T.
J2
- ;,
con x
co n x
~
x
~
~
X
+ iV.
+
:1":,11 E 1R
i:!l . x . y E IR
" 'y . x . y E lR
+ iy
.,
x ,y E IR
-- 'I." + iy , x ,y E
278
e
Q ...... 001-0 ......
Sia;c E
n.
Calcolare la parte reale del Dumero complesso:
l
( 3 _ 0) "
2+i
G
Sia x E
n.
1'."
C
Calcolare la parte immaginaria del numero complCSSQ:
(5
Ruolvere le 8eguenti
~ona
+ 2i)e - 3S +:l I '"
nel rompo complu8o, ponendo
:?;
_
%
+ iV
e riscriveruro ,n
forrruJ. e$p011enriale ambo , membri dell 'equazione:
<ID
e~ = - 1
e
Calcolare nel caTYlpo complesso i logaritmi dci seguenti numeri:
- 1
2
1
+ i.,/3
e
Caloolare nel campo complesso le seguenti potenze, riscrivendo in forma. aJl':brica il
risultato:
2'
CD>
( 1 _ i)3 / "
(_2)./3
(l
+ i)~+3j
Scrivere pat'te reale e parte immagi naria del valore principale della runzione
I (x) = x ..+· b • per z , a , b E IR
e . Utilizzando opportunamente lo sviluppo in serie di log (l + x), calcolare la scnnma della
~n.
e
Utilizzando opportunamente lo sviluppo in serie di e~ . calcolare la somma della serie
~
(-I)' .
~ 012"
6
1.
Calcolo integrale
per funzioni di una variabile
INTRODUZIONE AL CALCOLO INTEGRALE
Come abbiamo fatto nel capitolo precedente per il calcolo differenziale, introduciamo anche il calcolo in tegrale partendo da alcu ni dei problemi che storicamente
hanno portato alla sua nascita.
Che cosa vuoi dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo?
Questo è il più antico problema di calcolo infinitesimale che sia stato affrontato e
risolto, almen o in qualche caso p articolare.
L'idea elementare di misura d i un 'arca è: fissare un quadrati no unità di
misura e contare quante volte questo può essere riportato n ella figura da misurare.
Per questa via, si r iescono però a misurare solo rettango li e figure scomponibili
in rettangoli . Andando oltre, la geometria elementare postu la che se d u e figure
sono equiscomponibili (cioè posson o essere divise in un numero finito di parti
rispettivamente sovrapponibili), allora sono equivalenti (cioè hanno la stessa area).
Inoltre, si conviene che l' area s ia additiva , cioè se una figura T è u nione di due
(o più) figure TI> T 2 (disgiu nte), l'area di T è la somma. d ell'area di T 1 e di T 2 .
L'utilizzo di questi princìpi permette di calcolare le ar~ di poligoni qualsiasi.
Comunque, per questa via non si arriverà mai a dar senso al concetto di area
del cerchio, per esempio ( né a calcolarla): infatti il cerchio non è scomponi b ile in
un n u mero finito di t r iangoli e/ o rettangoli.
Che cosa vuoi dire misurare la lunghezza di una curva?
Il problema è analogo al precedente: non è p ossibile riportare un segmento unitario su una curva, e dunque "contare quante volte esso è contenuto" . Cos'è dunque
la lunghezza di una curva?
Entrambi questi problemi vengono risolti, nella geometria elementare di Euclide (attorno al 300 a .C.), nel caso particolare del cerchio (area del cerchio,
lunghezza delIa circonferenza), con un ragionament.o che fa ricorso all 'idea di approssimazioni successive, sempre più accurate: si calcola l'area, o il perimetro, dei
poligoni regolari inserit.t i e circoscritti , e ci si chiede cosa accade quando il numero
dei lati cresce indefinitamente. Ecco dunque un' idea di procedimento infin ito e d i
limite, che si innesta nella geometria elem entare come un ' idea nuova..
Capitolo 6. Co.lr.lIW
280
in t'Y':~!:
per funzioni di Urla /..' <l-Mulde
Archimede d i Sir a,(,"Usa (28 7-2 12 a. C. ) applicò ingegnosamente idee simili (il suo
rnt!fodo di eS (l.u ,~tion e) a l calcolo d ell'areo. del seg m ento di p arab o la c ad alcuni
a ltri ca.si specifici. ;\"e l 1600, vari ma.t-emat.ici t roval'OUlI altri m e'tod i p er calcolare
l' arc a sottesA al grafico rli scm plici fun ~ionì: ZOO (o > - 1) (Permat, 1636), l / x
(r..1f'r cat.o r , 1668). Tuttavia, fil !'rOlo con l' invenzione del calcolo infillit~imale (fine
1600-inizio 1700) che med iante il ooncet.to di int.e,qrule, in teso come opport uno
limite di somme, nmne da:t a. una dcfin iz·ionf! abbastanza go:mcralc di are>'!. di u na
figu r a pia na e d i lu nghez:t:a d i una c u rva, c contE'.rH p("Jr ancam ~n te venne fo rnito
W l algoritmo per il ca.lcolo effettivo ut.ilizzabile non solo in ca..:; i molta puriicolari :
il falnOSO ''Teorema fondamentale del calcolo integrale" (v. par. 4, pago 28 G) di
Ne"'Tt.on, L eillll iz, Giovanni Berno ulli, che ricond U::l.<w. t a le pro blema, nIrnt':no in
molt i OI."ì, a u n esercizio di rautine: la r icerca di unu. p r imi tiva (o antider ivata)
<ii una fu nzione.
2.
L'INTEGRALE COME LIMITE DI SOMME
Vediamo, ad C5elu pio, come s i potrebbe calcoltlore "ar ea compresa t.rR ]'a.<;''le
x e l'arco d i parabola y =;1;2 per x E
[0, 1]' u sando idpe gimili a quelle di
Fermat , UIlO dei "p ionieri" <lfll calcolo
integrale.
Si divide "imer"nllo [0. 11 in '11 segm enti uguali di c8tremi x. = ~.
... 1
X;+l = ;---:t
, con 1-. = () , .. . , n - 1 .
,1
I
o
S i Rpprossiml:l l'area. r.erctlta con
la somma delle a.ree d ci r et tangoli
ombreggiati in figura 1.:
x
Figura l
i 2 = (n - l )n(2'11 - 1)
Arca ~ S'" =
6n~
( per l'ultima u guaglianza, V. ~er ciz io 5 , capit olo 1)
A questO p unto si può far t e ndere
'11
a +oc, ottenendo
(n·- l)n(2Il - l )
1
6 n :.J
3
e con cludere così che
Ar"!a =
l
3
La definizione di integr a le cbo:! daremo ~egu e questi stessi pa.51'01.
S ia
f
[a.bJ ----> lH. , cot/lin-ua.
C o nside riamo lA suddivisio ne di [Il, b], individuata dai punt i
a
=:1:0 ,
x ,. =b
2. I, 'jnfug rd e ,-,>I n" lunit,:
d~ J:" "iUW
con
b-a
h~--·
Xi = a+jh ,
n
j = O, . .. , n
e sc!:lgliawo in ciascuno degli n int.ervalli [Xi_l ,Xi:' u n puntO a r bitrar io ( j
1, 2, .. . ,n).
Costruiamo la som ma (d~tta di Cam~hy - Riem a nn):
Ci -
(21)
I(r)
t
I
,
I
--1_
O
,,
,,
,
;
'.
,,,
,
.:- '{
x I; .. a
X,
l
:{) .,I
,, .
" {4
" x,
n
".
""4
= b
"
4.
.~
Figura 2 Una p,)n:icol a re sc.,lu dei p" n ti ~j pl!. n,"" ·1 e TI = 6.
Si riflet t.a su quest.a costruzione . Ad ogni ptu:iSO della co st ruzkme , l'inter ....allo lu., bI
viene diviso in n intervaUini, e in ciascuno di questi ",ien e scplto un punt.o (J '
Si noti che, ad esempio, i punti ,6,f", . ,{6 sedt i 8.1 pa,;so n = 6 (v . figur a 2)
souo in gcn ero.le tutti d iversi d ai p u n ti ç) ,. . , ~4 ~c1t i a l passo n = ·1 . Ad ogni
pasw della costr uzionc, in gcncrflle, tutti gli a.d dendi dt!lla somma 8" cllmb iano,
d ivellta ndo v ia v ia p iù Ilum erosi e pi ù p iccoli in valo r e assoluto .
A quest o punto si p assa a l lirnit.e per n - +00. Vale il seguent.e risulta.to:
T eorema 2 .1 - Per ognifu.n.zioltr.. f : [a , b; _ lR continua, esislt! finito ,,_+<>C
Hm 5,..,.
Tale limit·" è ;.ndipendcnte dallo s celta de? p1J7tti ( j a.d ogrn pas.'w df:.lla costrt.! ;:"ione,
e si chiarna intefJ1"O.lc cii f su la, hl. Si scrive:
1
Ib
,
I
[ (x)"x ~
<>
b - (1"
l
- - ~ [(l',) -I
.'_+OC' n j," ~ )
-...J
J;m
(2.2)
I l simbo lo
[
f(x )dx
s i legge "integrale d~ a a b d i 1(x) in dx" . In es~(), il segno f (una e~sc allungatn)
è u na dcforrnaz·io n(: del :;imbolo d ì oomml:l; la scriu.llra f(x} dx rico r da. il p r o dot t o
282
Capitolo 6. Calcolo integrnle per funzioni di. una variabile
del valore di f (x ) per la lunghezza di un piccolo intervallo sull'asse x. TUtta
la scrittura, quindi, ricorda il procediInento con cui l'integrale è stato definito.
La variabile x si dice variabile d ' integrazione ed è una variabile Tnuta; infatti la
scrittura
f(t) dt ha lo stesso significato di
I(x) cix, esattamente come, ad
J!:
I:;
lO
esempio,
L
lO
aj =
L
an· Ancora, notiamo che l' integrale di una funzione su un
n =l
j=l
intervallo fissato è un numero, non una funzione.
Possiamo esprimere s inteticamen te la definizione data dicendo che l'integrale
è un (particolare) limite di somme, che può avere molte interpretazioni diverse
(geometriche, fisiche ... ). Vediamone qualcuna.
• Interpretazione geometrica (cfr. figura 2). Sia f :::: O. Ogni addendo della (2.1)
rappresenta l 'area d el rettangolo avente come base il segIIlento [Xj-I,Xj] e come
altezza f({ j). La somma S ... rappresenta dunque un 'approssimazione dell'area
della parte di piano compreso tra l'asse x , a:::; x :::; b, e il grafico di f (tra~ezioide
individuato da J).
Passando al liIDite per n --+ +00, si ha
I -1"
Sn
f(x)dx =
area del trapezioide
I
Più precisamente, è l'integrale che costituisce Ulla definizione precisa dell 'area
del trapezioide individuato da una curva y = f(x ), e n o n viceversa. Perciò, è il
calcolo in6nitesimale che permette di dar senso rul ' idea di area di una figura piana
in generale.
Si n oti che, nel caso in cui f canlbia segno, l 'integrale rappresenta una somma
di aree con segno. Nel caso in figura
y
si ha:
y = f ( x)
,T,
o
x
l'
f(x)dx
~
= area (TI ) - area (T2)
+ area
(T3 )
y
Ad esempio, per siInmetria si ha:
(,.
lo
sinxdx=O
Si noti anche il caso elementare: se c è una costante,
re ttangolo di altezza c e base (b - a)) .
,.
I: cdx
x
= c(b - a) (area del
• I nterpretazione cinematica. Supponiamo che un punto materiale si muova lungo
una traiettoria fissata, con velocità v( t ) variabile nel tempo, c chiediamoci quanto
spazio è percorso dal punto nell ' intervallo di tempo [O, TJ. Suddividiamo [O, T ] in
n intervallini [tj-l, t j ] s ufficientemente piccoli da poter pensare che in ciascuno di
essi la velocità vari di poco. Dunque, se { j è un qualsiasi punto di [t j -l . tj ], V({j)
@
2, L'integrule come limite di somme
118-011-07"4.7_8
283
sarà. cir ca uguale alla velocità media del pun to nell 'intervallo di tempo [tj - l , ti];
perciò lo spazio percorso in questo intervallino di tempo sarà. V({j)(tj - tj-d, e
lo spazio totale percorso sarà
n
L
V({j)(t j - t,-l)
j=l
Al crescere di n questa approssimazione dello spazio percorso si fa sempre migliore. Perciò il valore vero dello s p azio percorso è il limite per n _ 00 di questa
espressione, ossia:
Spazio percorso in [O, T] =
l
T
v(t) dt
Lo spazio percorso è l'in tegrale della velocità rispetto a l tempo .
• Interpretazione meccanica. Supponiamo che un sistema fisico caratterizzato
da p r essione (= p) e volume (= V) evolva da uno stato (PA, VA) ad uno stato
(PB, VB) , a tClllperatur a costante. GrafiC8.1llente, nel p iano V , p si ha.:
p
p = p(V)
,
o
Figura 3
In questo caso
area (T ) = lavoro effettuato nella trasformazione
da (PA, VA ) a (PB, VB )
t
p({j)(Vj - VJ-d costituisce il la, =1
voro effettuato in corrispondenza di una variazione d i volume AV = Vj - Vi-l
(dimensionalmente: [v] = (ForzaI· [lunghezzaj-2, [VI = \lllilghezzaj3 e perciò
[p . AVI = [Forl:al . [lunghezza!). Passando al limite per n - +00 si ottiene
l'interpretazione richiesta.
A lla stessa. conclusione si può arrivare con un procedimento, s pesso usato
nelle applicazioni dell 'integrale, come il seguente.
Infatti, ogni addendo della somma Sn =
28 4
6.
Ca pltoto
eulcolo ~ T!te9rflle per fun;; i oni
di anucc"e"n:""""","le'--_____ ,@"""'"W"''c''"'''"'"'C' -,
lu cor ris p o n de nza a lla vildazionc di volume da V a V + dV , con dV IllOltO p iccolo,
si p uò considerare la p r ess ione costant e (= p(V)) e qu indi il lavor o element are dL
e iIe tluato dnr a nte l a has fo rmaziollc è d<ll o da
d L = p ( V)dF
"Sonl man d o tuui i l:untri b uti da VA a V R " e cioè i n tegrando da VA. a VB s i o ttie ne
F
L =
3.
{FI>
J~~",
dL =
f 8
iv",
p( \...· )dV
PRO PRIETÀ DELL ' INTEGRALE
Dir c ttanlcnte dalla definizione s i pos .<;ono d iln ostrlU"e le segllcnt.i proprietà dell'int egrale . Sian o j, g cont.inue i ll ':Cl- . bj
• Lincarità. Se
Cl'.
,:1 sono costanti :
r, [0-/ (:1') + 3 g (x)Jdx =
o-
l,
1"
J(x )dx
+ {j
a
r g( x )dr:
I7.
• Additività Tispetto all 'intervallo di integrazione. Se u ::; r
,lb
f (x )dx =
l""
[
f(x )d:c =
b:
--'-jbf (x)dx
f (x)dx
• Convenzione. S e a. < &, si pone
~
_1"
(3 .1 )
J (.1: )dx
a llora la (3 . 1) vale q u a l uuque sia l 'Or dinamento dci punti n , b.L
• /'.[onoto Tli a (r ispetto aH' integranrla) .
f
f
2: O in [a, b]
--- - :>
2: 9 i n [a . b] ===;.
1°
,
J
f{ .1: )dx 2: ()
f( x )dx ? 1
.
Ca <
li )
9 ( X)dx
•
In parUeolare
(3 .2)
In fa tti , e&<;en do
l
f ::-:: ii i
h
f ( x )d:r;
e -
::-::l
f ::-:: Il
i in
la, bi "i
b
If(x )ld:r.,
ehe insieme equivalg ono a lla (3.2).
c
h a:
1°-
i (x) r1:r <
il:,
U (x )ldx
3. J-'ropndc\ deU ·integrale
Dimos trazione . D im o;;triall.o ad esemp io, In h nearità dcH'imegTft le.
Sia $" Una SOmma di Cauc hy-Ri eman n n-usima rela t iv>o ad (,.!
b
S 'O =
"
:
L [af (~j) + ( ff/ ({;)I
<l.
-è- )
[-, -'-'-• 1=;'«(.'
Facciamo o ra U,ndCI"C
ti >l
285
..... ;3g):
=
l [,- -2-- l
-~ ~ 9{::J)
a
4 (J
-00. 1l Pl·ìm o mClIlbro tend e a ll ora a
1 ~ In:!(x) .- i3g(:r.) ìdx
mGntr.; il second o m emb ro tende a
1&. f(x)d~ + ./..~
j3
n
~pro:s... ionL
Kc sc.;:ue l' uglln.glianza de-lle dtlO:
05»ia la
g{x)dx
D
tesÌ-
Si ri fl etta s u lr ide a. e lementare della d imos trazione prccedente: l' intcgrruc è
t! l' opcro.zionc dì l imit.e è li ne;:u·e:
un limit e di S')1l1nlC; mo. l a SOlTunat.oria è lim'lfU"c
per ciò l'inLcgr a le è un'operazione lineare.
Teore ma della media - S ..IJ
che
f : la, bì _ Hl continua. A tlmu
12-;; t
I (x) d x
~
-, -- I -(1
J:
l'
~
m d: "5 -u, l · _ {1
l'
c E lo , bj t ale
~ I (c ) I
Dimostr.u.tooe _ E>I.~"do I continua in ;a,bl. es>:->!. è dotata di
( = m). Dalla proprie tà di monotonia si ha
m
es~te
I {z)dx
~
D
(3. 3)
m~imo
) l'..
- -I, - a
( = .\1) e m inimo
,\ 1 dx = AI
Q uindi il ~"'llore b~"
1(;1;) d;r. È' compreso t m il m inimu ed il m'L<;simQ cii f . Per la. p ropril:!tÌl
dei valori intermedi dcli ~ f>ull ionì C"Ontinue tale va lo r.; è ug uale a I (c) per (l \talche c ~ [a. Il.. [}
• Valar m&lio, t.'alar e..f}icacc. Chiamiam o:
J'
(II _ l'
l"
-_lb
f (x)d.x =
a ..
l a
Es,:;endo
- l- b - (~
if(x)J'2dx
Co
"'~dlor medio
)'"
J (x) dx """-
"
'
=
lim
di f su la, hl ;,-"""
valor efficace d i f su
1
--$"~",,,
n - '~=b
- a
fim
.-. ~ ----.,.,
h,
la. b) = lE
" ! ((i)
-J ~
Il L..)~ l
si vcdt:!' c:he f--.: e una gcncralizz<\Zione d ell'ord in a ria Inedia Rri t.1l1Cf.iCH. tra Il
nllll l f!ri.
286
Capitolo 6. C"u:olo intf:9T'ule per funzi oni d i t<no variabile
Il valore efficace le; in terviene, ad esempio , nPo ll a teoria d e i c ircu iti elettr ici. Sia
l (t ) = I si nwt, w = ~/' , l'i nte n si t à di u n a corrente s inusoida le. Abbia.mo, prcn d tmdone il valore eflìca.c:e su un perio d o:
2
lE =
~
-rl l{oT I 'I (sinwt)
f' { T
T 10
:1
dt
=
(
•
~ndo (sl1lx )
2
2
11 =
~
e
T
COS 2X)
2
2
2
O (ved i tìgura. 4) s i ha:
Cloe
,
I lE -
Jil
Il -
COI!
'l..JT
,
o
Fia:u ra 4 co:s 2.:..,t .. periodico d i perio do
4.
1 -
=
[! _! COS2wt] dl. ~ l ' {T _lo{T !COS2wtdt}
,.
P oiChé, p er :;immetria, fa cos2wt dl. =
,
2
.'
T
t
se w = ~ .
IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
La d efinizione di integrl:Lle n on si presta in gener ale a.l
SIIO
calco lo efft:ttivo. Uno
d ei metod i più usat.i è quello per vu-ti.aziOne dI una pnmitiva c he q ui illust riamo.
Si dice c h e una. funzione G, deri vabile in [u , b], è una primitiva d i f in [a, bJ se
G' (x) = f (x ), per ogni x E [a, bJ.
Ad esempio, G(x) = XZ è una p rimitiva d i f(x ) = 2x e G (x) = :=;i11 X è u na
prim itiva d i I(x) = COSX,!! U t u tto l'asse re<'llt'!.
Evidentemente se G è \lTla primitiva di I, lo è a n che G + c dovo'! r: è una
costante; d'altra p a rte !>e G 1 e G 2 sono du e p ri mitive d i I ili [a. /.Il a llora G'l G ; = O in [a_, bl ossia (G l - G:t)' = O e quindi G I - G z = cost ante (Il fatt o
che. se una funzio ne ha derì vnta n u lla su u n intervallo, allora è e~t.tLnte , è stat o
d imostrato come conseguen Ui. del t.eorema. dì L o.gr ange. si veda la propO!>izion~
4.4 d el ca p it o lo 5) .
Ne segue che se si conosce una primitwa G di I, tutte le altre. sono della
forma G +c, c E ffi. .
Tutte le funzio ni ~i~ono prim iti va·! Non tutte; s i può mostrare che se
una. fu nzion e p resenta pu nti d i d iscontin u ità 8. sal t o in lUI intcrvall() [u, bI a llora.
non può a vere p rimi t.iva.
Se però f è continuA. in [a.b], proveremo in seguito che essa possiede certamente una primith'R (e qu indi infinite , per quanto d etLo p recoocn t.crnt'n te).
F a tte q ueste impo rttl.tlt.i premesse. enun eiamo ora il ril'i u It.ato che cl permetterà. cii
calcolare em~ttivarueJlte gli integrali.
4- Il
.,rna. fonda"",nlale
(u....
Teorema fondamentale del calcolo integrale - S e f
e una S1).a prim iti1!a su [(-'o b], allora
del calcolo integmle
287
:a ,b; ------" ID. è con tinua, e
G
j ' f(x ) (Lr
G(IJ ) - C (a )
=
a
Per ind icare G ( b) - G(a ) s i usa comunement e il s i mbo lo
[G (x )l:
Ad
e~eHlp io ,
si voglia C"..iLlcola re
1.
,,
o x dr
Poiché ( %J3 ), = x't, G(x)
x:~:l
e, una p ri m iti va di x 2 in
l0 , li ,
percio'
1
3
Si confronti la semp licit à d i qnesto calcolo (:on il proced i rrlent o illustrato in aper tura del capit o l o, per C"..alcolarc questo integrale in base alla definizione.
Si es prime t a lvol ta G.!lestu teurema dicendo che in tegrazione e de riva:z.ione
sono operazion i inverse. E questa u n ' affermazione che non va equivocata: l'integra le è s t a to definito lnooifl..llte UI! opportuno liTnite di somme, che ( a pparentemente! ) non ha n iente a che vede re col eo nee tt.o di d erivata (limit e del rappurt.o
incrementale). T u ttavia, grazie al teore ma p recedente, il calcolo effet.t-ivo d i un
int.egrale è ricondo tto a lla. ricer('.a d i una primi t iva, che è l'operazio ne inver sa d e lla
derivazione. (Un sinonimo d i primi tiva talvol t a usato è antiderivata) .
Dimostra-'lione. S in no a = Xo , Xl, . . . , x~ = b p unti c h e fl uddividono l' int ervallo [a , Il ] in n interva !lin i di llgual3.lllp iezza. A llora, aggiungendo e togliend o C ( Xj) per j = l, 2, . . . ,n - l ",i ha:
G(b) - G(a ) = G ( x,,) - C ( xo) = [G(x,, ) - G(xn _ d ] -/- [G(x,, _ d -
. .. + ;G ( X2 ) =
C (.r , l! -+- [C (X I) - C ( xo) ]
G ( Xn _ ~ )] -/­
=
L ~G (Xj ) - G ( X~ _I )]
j=l
Appli r .hiatT10 ora il teorema di L.agr aug...:: a.ll a flln7. ion« C (x) su cÌ a.'KUnO dell:li intervall i
[x ) _l,xj l . E~i~te aUora{j E (X j_ l, Xj) tale che
G (.~j) - G (xJ , ) = (X ) -
perché per i pote,,;i G è u"a primitiva d i
C (b) - C(,, )
=
x J - ,)G '({j)
f C
=
( Xj -
x ; _ ,)/(!;j)
p e n:i ò G' ({j } = f({j ) . ;'\"e segue che
I )x) -- Xj _ l )!(!;, ) =
S'O
, ~ ,
dove S" è n n a somma n -esim ,,- d i C" uchy-Rienlanll di
possiamo allor,,- far t e nd.,rc "
ti.
f . L ' identi tà scri tta
vale pcr oglli n;
+::x: , trovando
G(h ) - G (a}
=
1·
J ( x ) dx
D
288
Capitolo 6. Calcolo 'integrale per junZlQni d'i una vanabde
@
88-08.-0711 ... 1 -8
N el p r ossimo paragrafo affronte r emo il problema di co me si determina una primitiva di f(x), almeno per certe classi d i funzioni fCx).
Va t enuto presente, comunque, che:
l) A dispetto del fatto che ogni funz io n e continua su [a , b] ha una primitiva,
anche per funzioni contin u e abbastanza semplici succede che tale primitiva n on
s ia esprim ibile come composizione di funzioni e lementari. Ciò significa che in molti
casi non si sa scriver e un'espressione anali tica della primitiva di ICx) utilizzabile
per il c a lcolo effettivo dell 'integrale.
2 ) Anche quando una primitiva di ICx) non è not.a, è possibile calcolare un valore
approssimat.o dell 'integr ale di una funzione continua su un i ntervallo , con i metodi
dell'analisi numerica, di cui qui non c i occup e remo. Tali metodi si basano s ulla
definizione d i integrale come limit e d i somme, e non sul teorema fondamentale d e l
calco lo int egrale. Ecco quindi un caso in cui la "scomoda" d efinizione di int.egr ale
fornisce il modo migliore per calco larlo.
5.
5 . 1.
METOOI ELEMENTARI PER LA RICERCA 01 UNA PRIMITIVA.
CALCOLO 01 INTEGRALI INOEFINITI E OEFINITI
Integrali immediati , per scomposizione. per sostituzione
Come abbiamo v isto, se I è una funz ion e cont i nua e
le primitive di J avranno la forma
C (x )
L ' insieme d i t. utte le primitive di
si indica col simbolo
+c
Cc E
Cè
una sua primitiva, t.u t t e
IR)
J prende il nome di integrale indefinito di
I,
e
J
J(x)dx
L o stesso simbolo si usa talvolta per indicare una particolare primi t.i va di I.
R icordi8.lllo ancora che questo simbo lo ha un significato b en d iverso da quello di
1"
J(x)dx
che ind ica l'in t.egrale di I sull'interva llo [a, bJ, detto anche integrale definito. L'int egrale defi n i to è un numero , l'integ rale indefinito è un in sieme di funzion i (o una
qual u n que d i esse).
C i occu p erem o o ra d ei metodi di integrazione , ossia dei metodi per trovare
u na primit iva d i una funzione dat.a (integrazione indefinita) e quin di per calcolarne il suo integrale definito, mediante il teorema fondamentale d el calcolo integrale. Per non appesant.ire il discorso, in q u esto paragrafo presenteremo le idee
fondamentali su clli si basano lali metodi, e la loro applicazione agli esempi più
elementari , r imandando al paragra.fo lO lo svi lupp o più dettagliato delle tecniche
d i integrazione per certe clas.~i di funzio n i razionali , irrazionali e trigonometriche.
Va tenuto p r esente, comunque, che tali tecniche saranno cffettiV8.lne nte usate nel
seguit o del libro, negli esempi di ap p licaz io n i del calcolo integrale a.lle equazioni
differenziali ordinarie (cap . 7), agli integrali di linea (cap. ge lI ), agli int.egrali
d o p pi e dì s u perficie (cap. 12) , e alle serie di Fourier (cap. 13).
5. Calcolo
@88_08-0'7 .... 7 8
d~
integmb
mdefin~ tt
e defin\ll
289
Leggendo la tabella delle derivate delle funzioni elementari " in senso in verso" , sì
ottiene la p ri ma tabella di primitive:
funzione
.
"
0+1
x
t;;n:t;
#
+ (ig:t;)2
l
.'
loga
l
l
"
(a>O,a#l)
arctgz
+X2
l
arçsiux
x,z
v'l
sin x
Shx
Ch.
tg~
Chx
Shx
l
-coLgx
(sinx)2
primitiva
a'
- l)
-=x
e=x
= l
(a
lQgf:l;l
-
(cos~)2
kx
X"'+I
l
l
funzione
k
x"
.
priITlitiva.
,
Thx
(Ch.x)".!
l
-Coth x
{Sh :1;)2,
.
.
Nella tabella precedente, quella fornita è una delle primitive. Per scrivere l'integrale indefinito , come insieme di tutte le primitive, occorre aggiungere sempre
una costante a r bitraria, ad esempio:
!
.'dx
x'
~ -3 +c
Le regole elementari con cui, a partire d a certi integrali , se ne calcolano alt.ri ,
sono: .....
• Integrazione per scomposizione.
! Iof(xl + iJg(xlJdx ~ a!
f(xldx
+ {3 !
g(xl dx
(5. 1 l
(segue da.lIa. linearità della dcrivnt.o.);
• Integrazione per sostituzione. Sia G una primitiva di f in [a , b], cioè G' (x) = f ( x)
per ogni x E [a , bj. Sia ora x = rp(t ) una funzione deTivabile con continuità su un
intervallo [a,.B1 tale che
a = rp(o:)
e
b = rp(f3)
oppure
a = tp(f3)
e
b = !.p(O:).
Dal teorema di derivazione delle funzioni composte abbiamo:
!!.G(",(t ))
dt
~ G '(",( t )) · ",' ( t l ~ f(", (t))",'(t l
CapitelI) 6 . Calmio l>itr.qmle: per J"nzioni di urla vllrialrile
290
c cioè:
<1> (')
G (x)
prim iti va di
~
GlI,(t ))
primiti va d i
=>
1(",(')) . <p'(t ).
I (x)
Ne segue la fo rmula (d ì mtegrazione per sostituzione)
1/ !Cx )dx ~
(T
/ 1(<p(')14/(t)d'
~ <p(t )) .1
(5 .2)
E facile rico rdare la (5. 2) col segu ente proced im ento form ale :
s i sosti tuiS(.~ x = ;p (t ) nell'integrale a p rimo membro , e si calcola d.x = V;' (t) dt .
Così facendo s i otliene p roprio la (5. 2 ) (si tengo. presente c he questo p assa.ggio
è pur amente formale: il mot.ivo per cui la (5.2 ) è ve ra è sta to spi~ga to in preceden za).
La 'v ersione (5. 2) per l' integrale definito è lo. seguente
[
I (x )dx
~[
a = rp(a)
" 1 (",(' ))'" (')d'
b
~
(5.3 )
",ta)
S ì not i il cambio d egli es tremi d i int.egrazion e nf!gli integra li, (o e
b iati ~ a = ...,( 8 ) c b = r.p(lt )).
fJ
vanno scam-
Esempi
5.1.
J(4X' + ~X +l)d:.r: :;::
(per la (5. 1 )) =
= 4
J
x"tb:+ 5
J
xdx+
J
Idx =
~IJ + ~X2 + ;r +t:
5.2.
P Ollil\ln o c 2 = t ossia :l: = Log t , dx = ~ di .
Si htl. inolt r<i!: x = O ~ t = l ;x = 1 => t = t'; p <i! rciò d alla (5.3 ) abbiamQ:
1"
l
::.-0'-:=
dx =
.,Z+e-"
j It+
' _
-l l -' d i =
,
t
j 1' 1+t
- -l 2 di = [arcl g
tl~ = &.fCl ~"
-
~
4
.
o
5. Calcolo d. in tegra li indefiniti e definiti
~8_ o:M-OT54 7_d
I
5 .3.
lgXdX =
I
I -T,In
II
,
sinx dx = [per la (5 .3 ) :co!Sx = I;-!Sinxd_'"t'
=
291
dt ] =
CO!'lX
=
dt
=
L'esempio pCL'Ced€ntc è anche
part. icolare della
<:a..-;(,
~e~uente
form ula :
f'(x
j(x )l cix = logif(x) 1 + c i'I
.
come !'Ii verifica con la SO/;tituzione I(x) = t
I;
J(x)] '" J' (x )dx
5.4.
+c
- loglt l - c = - log l cosx l
J'Cx )d.x = dt .
+ <:
[f(X)]"' -l
=
Q
<
+
1
u
#- -1
ll a.<;ta porre t = 1 (7-), dt = di ( x) = f'(x)dx ; si ha:
t" + l
- - - +t:
ct.
+
l
Ad esempio:
-1
3
I(
2 -..-x
- " )11:< .......
",,_'1- ,x
,
-__
--.-..-'
f'(z )
f(cr )
_'_ dr - ,~., log (3x + 51 + c
I
s.s.
Jx+5
Il reciproco di u n polinm n io di p rimo grado s i in tegra. m ediant." i\ logari tmo.
5.6.
JX~~ 4 f
=
2)1(X + 2)dX =
(x
J~ [ X~2
l
- - Idx =
x+2
;
=
4 [log Ix - 2 1- log Ix --\- 211 + c
S i osservi c ome l' illtegl"anda, il c 'l i d(~ norn i mltore è prodotto d i due fa tt ori , ,.;ia stat:l !Scomposta.
nelia !'IOmIna di due fratti semplici, che po i ~i i n tegrano i.nm edia t aIllcnte . Il m etodo ha una
portata generale c sarà ill ust r ato nel p a ragrafo lO.
5.7.
-3'
I n generale:
Il
I
- j;"1/3)2
-i!iéC-C~
+1
X
7(
x
1
x 2 + nl
(x)
v'3 arctg v'3
"""3
+c
dx =..!.arctg=-+c
ti
a
conl e 5\ verifica inHn ooiata n tent e (""alcolaI)(lo la d erivata d el >;",condo lI.elub ro_
(5 .4)
5 ,8,
,
,
'l'
-ct
,
-(lo~lll-
=
~.
,
- )
/
9
.
, "1 - - -'- I , t
+ (:
:I.r +
~
"
:-,., ii d <.'n Ol"jua t uf" è "n q a;u lralo pe rfetl .. , COli tl l". ~o,;lil,,,io n ,, CO IlII ' in ' l"' '''' I ' ' ' ~,'rnpj"
' ·'ntt.",I!.r .. lt' .. 1 ri co,,, lu ce ,, n na ",,,Ullla , Ii p..,t,, ·n Zf: {.·,m ""I,oneu t e p, ,,,it;" " " "eg,'l i,'o)
!i .9 .
C"lc oli "mo <>1'" dm'
inre~",l".\li n"l.~vo h
di fUll zlOn '
I.ri ~ o"" , ,, (! t ri o: he:
1 ("lII:l:) ~ d'~l J{ ' <lS :J,;~dX
,
,
2 ; 1-~.7O' '.I .r l
si ba.
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,
~
"
,. C :
5 . 10. S fr u tt au d o il Tl&u lt",.o tl" ll'C""' lII p lO p n ><:e dem.e s i 1" 1&-0" " ('a1cul:\l'c, ad
" imi ;h l"gra]j defill ili;
~'SeJ" piO,
' pros-
\ ,'1 for'lll ,la l'T <><:"ed ' 'u te dle eSI ,r ilnE , I.II:! >1,t' '1ra :. '101,,, ,,.11 cl" , ~i 1 "" ·~ F; !I t"" " ~p ' ·~~O . ,. i c~c: l ,·
da r i, "rdan" i' in t, ·t.;r aJ. ' di (c.osx) :.' l~HIX'~ ~ u "" ,n h ·n'al l. . <icl '' l'') ,O. k il ,.,,]0. l,. mctlà
,h·lI 'a,. r a dci n ,lta .. ,:o lo d, h a."'· IO, k ~ 1 C alt~z Ul I . Q " •.,..ta "" ..,iD6 d ('!It.a" hA "" :'Jguil;,.:l,U'
~;''<)m<:! rico; ~: ùo'~ t ' n'i b !:g'Ha ,' i
•
FigUT;;J
5
l ,,, d" , ' Tt'gi, ,"i d i'~" l;" a l. · h a n " •• la ~, . '~,;a ;,,(!o: '1Ile ;!" mfe n" rt' i> ]·'"l"!,:.r ,, ]o di ',5iu.r/ $11
'1"00'111'1 :<up t'fI " , e è- J· i nl.e~ •. <Ie di k03:rf. p"n' IL e (<"<01; x)~ - l - (" in ,r\~' 0"":11 ""0 d . ·i .:! m·
ilt ' e g t ali \"ai,' , lunq . '~' 1 ~ , p , , ! l", "; ,,,, :\<0< , ,. , " l W' i,)d j, 'j,,', d, ·' !;raS" i d i ~ ... ",x j : , s in "", ' n"
"" 'p;u ~' 1,\ fo ro "" I» />j." .,eralt·
1/1 . ~ j.
• S/lllmdl'i" . I"acch"uo o . " n n -lI"Sf'f\'a zioll" ~ul l' inl('!I/'{de ,11
0;1
(l'inl '}Xl I"< '.\ di.'l"o.r! _"" II/i /fll, n'o/l" .-Ifflll ir:tn. Il ' - "' . j,-'
\' 6(,:
unII f'IIl~I(lnt
v:'_" '[\' :I1' )
l ..
~11"1I1O
11).'.l1 r(· , ;"
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,
. .o...'---C- _. _
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_' _
"
Fi gu, a 6
Peu"audfJ nrn . '!~ral\' l' '}I~J'' a rea I.:Qn
c h .....;c 1 l'o IIn a rlll) ~i"ne ("1. ror.iU lla ~ I!
~I .·gn.,
"o;:t('~,.i
·k . kJ e
Ad .',.;cm p Io:
! ~.
.
-
,
co,.; ,r rlx
1-;7
5,2 .
Se
f
(inu ·grru l. !a. p ari )
9
cos ./" dx
,"f"_' = '2
.2[,; i n :r!n'
sin .r dx
Integrazione per
\.l
2!~
"
~.mo
~arti
d "ri vHhi!i ilL
~a .
bI
:'i i ha
11;;;;1 "
PU-'!H len, \,) l'in (q;rll k in ddin itu di cn! ra m !li i n" " flbn ,-,I m-.... T\·;-It .d o li",
19 "" tru'.-" I...-~ r" rmu ta d i ",tfc!Jrfl:;l ow - pe r 1", r'1i
li f(J:)!I't.r)<I.l·_~_f\x_.)_g(.rj-
.r ( f 9)' dx .
~
I
I
(5.10 )
I
Capiwlo
294
6.
CaVolo ink'lnde 1"-...,. i,muoRi d i una t;ariabile
@88-06-<l'TM 'T-8
---==-----~~~
Usanùo la notazione dillercnzialc, la (5.6) s i p uò scrivere nella forma segucnW
(più !:\in tetiea)
l-L ----
~
dg
fatto,,,
fìnito
Ig
(5 .7)
fa tto r<o
d iff ~"",,~;;< \~
L e (5.7) e (5 .8) hanno u n a vCnl ionc per l' integrale definito :
!. "
'/.'
,
/'
1(x )g'(x) ,h ~ [1(')9(')10 ~ " f'(x)g(x )dx
Nei casi concreti occorre saper scegl iere correttamente il fat.tore fi nit o e quello
di fferenziale.
Esempi
J
5 . 11.
xsinxd.x
Sapp iam o calcolare " ia la d erivata che la p ri mit i ~CI di e n trambe le fu Il2ioni x , sin x; tuttavi a
la soxlla migliore è quella di derivaTe x, il c he semplifica !' integralr>:
l,
,!'"
x s in x
"
=
- I n»; x -
l e-
<Xl'jx)dx = - xcos x
+ sin x + c
L a scelta inv ersa avreb l", por t..'o.to
l
:r Bin xdx =
,> '
=-.
"i n
X -
l .
~ cosx dx
12
-oc
"
p iù complicato dell 'integrale di partenza
Questo semplice esemp io e,mti ene un 'idea molto generale: dovcndo calcolare un integrale
J
x"J( x ) tb: co" J (x)
=
co~:",>:<inx , ez , Shx>C" x
, ex)
si integra !-,cr pari_i, derivando x" (che Bi abb ;u;sa di g rado ) e in k"grando
(che dà una
f\lnzione ~B imile" , sin x, -, n>B x, e~ , C h x , S h x, rispettivamente ).
Per n = 1 questo porta un inl.egra le immediato; per tl > t Bi itera il p roced imento
finché la derivata della p oten za scompare dd tutt o . P er la li ne a rità dd l'i ntegralc indefinit o ,
i l procedimen to permett" d i cakolare un integra Le del tipu
l
P ,,(x) f ( x ) <ix
COn P,,(z) p o lìno rnio d i g«><lo TI," J ( x ) com e ,mpra_
J,,~
5 . 12.
"i n x dx
E ntram~
Le fun7. ioni e"' , s i n x han no d erivata c primit iva all.r"ttant o semplici: la SC"R lt a di
Ce lo è) Proçediamo ad
esempio cOBì:
Qual.., fat.t.ow int.egnu-p e q u a le derivare sembra esser e in d ifferente
l "'
,
e"'sin
XfÙ::
=
e~ s i nx -
le"
cosxdx =
0~
,,,,,",,·~",,,·,,".",".".··,,
_____________ 5, '.c 'Cal c(J lo
d i. in teyro.li ind",jin i ti e dejìn i ti
Applichia m o un ' a.ltra in tegca7.ionc per parti, M"'g licndo
fatta , (~iag' ( I ) = e",/ ( x ) = cosx:
I,
295
g' coeren te m ente alla prima 8C€lta
= ,,"'sinx - {e"'o:>Sx - ! cI ( - Sinx ) dx}
Se ch iamiamo I l' integrale di Imet"n7-a. abbia n lo trovato:
l = c" " i n x - e'" n ;,; x -1
(5.8)
Appar<,,, t.e,,,elit e . la doppia i n l.€gra7 ione per pari i non ha semplificat o n ulla; in pratiça , però,
l'integrale I si o t tie n e ora risolvendo l' ' 'quazione element are (5 .8 ) :
21 = e'" S i II x - ,." eOli x : I
=
~ er (s in x -
cos x )
+c
5.13. C o n lo s t esso metod o dell 'ffiemp io p recedente si calcol ano le seguenti primibvc (s i
h~c i "no i c a lcol i per ",,,,erciz io ) :
J
(ChX )2dx = &CShxC hx
+ "') + c;
/
(Shx)~dx = ~ (ShxChx -
x)
+
C
I n gc" "nJc : dovend o calcolare un integrale del t i po:
/
j(x )9(xl"" <Onn j (x )
~ { ~:,
g(x ) = { : : :
C hx
s i ""l'g uano du" int e~nJ.Lio"i per p."lrti successive; nella prima, la. "",,d t a dell a funzione da
d erivare o da inte grare è indiffe rent e ; nella second a , p e r ò, la st:d t a dev 'essere coerente alla
prima . Dopo du e integr a..: ion i p e r p art i s i t rova u n ' espress ione d e l t ipo l = h (z) - I , da. cui
s i ri <:ava 1 _
f
5.14.
l og x dx
Il logar it m o i , u na funzione elementare d i cui a nco ra non c o nos ciamo la p rimit i"'.... I ntegriamo
per part i, ponend o f ( x ) """' logX. 9 ' (X ) = 1;
j l ogTrl..T = X IOgX -
f X . ~d'I = xlOgX - !
ldX = X JOgX - x+c
Esercizi
o
Si p r est i attenz ione a i pro ssimi int.cgrali: ill q u a li c <u;i ., u t. ile eff.,t.tllar e una bOH t ituz ione?
(5<" non è u t iJ~, . " i può colllllOque sviluppare il cubo e in\.egrare il pol inomio t e rm in .. a t e rm ine )
J
x ( 3x
x
+
,
l) d.l:
Cap it o lo 6. Calcolo int€grale per funzioni di u n .. tu "".(}f)1!e
296
G
f
O
J
O
.f (v'i ~ "!x +2+ :,)dX
O
111
e
!
+ 2x- ~
(X 5 ! 6
--=.
f1j
,
ls i n x ) d .'&
ID 1~ a
"1
T hx ,ix
J
(tg,,:)""!x
Q!)
J
e-
ID
2
ID
Th :rdx
e
') dx
~.
~
xdx
e
dx
XIOg .T
1
1
l
1\- ,
0::";
+
0.r!l
1 )~X2dx
l
x( logx)"' d r
x
--dr
2
_} 1
+r
e - j" ldx
J
(",2
/'"
1
2x si n:r d x
xe
~ 5:r + 4 )e" dx
3r
dr
3
';2 -1-
l
!
l ex +
li,
l
l
,,, ( x +.1 )
l
G>
s ;nxcotixr!.:r.
x ( I +- (log x )l)
.
fD
.'Y
j.
,
~,
o
o
a>
+ 2)dx
I ( t;; nx)2,1"si a2 xdJ:
l .'
l
€E)
1
J
c o t ggx d x
O l(,''"~''
~
- :lx -
1)2
~ 1~
<lx
;L.2
xC05 xdx
e .1
e Je-~"
dI
lo!; cc dx
,,""(s in x )2 dx
dx
J
€D
.
6.
ALCU N E APPLICAZIO N I FI S IC HE E GEO METRICHE
( C05X ) 2dx
~
G
x 3 dx
(eh x) 2(Sh X)2 dr
Oltre u quelle g ià i n con t rate nel para g r afo ] , l'i n t egrale h a numerose a l tre iIn p o r t anti ap pl icaò o ni .
• En ergia. potenziale di t U ttJ j OT"Z a ela.stica. d i richiam _o. L UL'OTO di u n a forza . L'na
particella d i rna-~a AI è soggetta a d unti. fona e lastica d i r ichia mo, i n d irezione
d e ll'a..<ls e x, cioè ad u na fo r za di rettame n te p ro p o rzio nRle allo SpOl::'t ame n to d a
un punto fi &<;o det.erminato (p osizione a r iposo) con verso t.a le da r id urre lo spos talllcnto. Il c aso t.ip ico è quello p ro d otto d a u n tl Illo l!a sogget ta a spost a n l enti
sufficientemente piccol i dalla posi zione u ri po;::o .
S c s i flce lgono le coo rd i Ilate sull 'asse in mo d o ch e la posi zione di ri p o so per
la par ticella corris p o nda ad ~, = O la fOfza a vrà un' i ntensit.à. d ata dall a fornlula
}<' =
- k:;;
(6 .1 )
297
-1
J-f
-r~~t~' \~; . ~C="L
Figura 7 a) Moll a
li
__ .-- _
o)
"poso. b) Lo ~tam"nto
:I:
pro\lOU un:' forZi! F:- - k", _
d ove k > O è u na COM.aotl:!- (det.ta c-Ostantc elasr.iCA) che di p ende dalla molla . L a.
(6 .1) si chiama legge di lIooke. Per cakolare l'enl:!-r g ia. p o t.enziale a.,:,!:!Ociat,!:l alla
fou.a F, c a lcoliamo il h!.\'o ro L che u na f01"2& ,,-pplicat.!:'. , F '"pp. deve COi'lIplC(C per
spostare la m a....... a ,' 1, iniziahnentc a ripn~, in un punto di ascissa :1.: , _ L 'energia
poleuziale t;.U rù data da E l>"'. = -L . In base alla (6. 1 ), la forza ap p licata è funziow'!
ddla posizione ed è in ogni pUlito uguale ed oppost.a. a F:
F app
= -F =
/;: x
Il la,mro elementare dL relativo a uno ~-postamcnto da x Il :r + dx (Iri:rl molt o
p iccolo) n el quale si può considerare F. pp = 1:l.nitante = kx, è dato da dL = k x dx.
Int.cgrando t ra O e
!'i i o ttiene
x,
&=
. fi
~ l lJ Ulf'
E "n< =
l •.
2
-"2 ":X f
l"
o
[' l'I
kxdx=k -Xl
2
o
1 kx}
=-
2
.
P iù in gener1\le, ~f! una. forza agisce lungo una retta, çh e scegliamo come a!lRf!
x, s p o;;l.alldo un pun to materia le da a a b, il luvoro clf! lla forza F {x ) è da\.(l per
defin izione dall'int.f!gralp.:
b
T. =
P (x) dx
l
Nalllraimente , da UII pUlito d i vist.a. lisico, è molto rClitr ir.t.iyo asswnerè che il
m ot.o sì. svolga hmgo una rett.a... Questa è ulla delle mOI.ivazioni c he porteranno a
Fivi luPI?Jln: ulteriorm ente la teoria dell'integra:;,iolle , d efinendo gli inteymlt di lirlea
(cap. 9 e (".ap. 11 ) , m~dianl.E'. i quali si dar à sen~o al concetto di lavoro lungo una
l:un"U. qual~iasj dello .!:;pazlo .
• Lun gh ezza di 1m gmjiCQ. Sia y = f( x) una fu n zione l:ontinua COI! la .!:;ua deriva.ta
prim a J'(x), in un intervallo [u , bI. Vogliamo tro. . . are una formula pcr la hmgh czza
df!1 g m fico di f . A t tLll:! &:opo calcoliamo il cOlltri b u to alla lunghez7.a totale della
park di grafico compresa t ra le ascisse x e x ...... dx. Se dx (> O) è molLO pic.;(:olo. in
t n le intervallo si può cOIl~ idera r e il ~'nLfico COl1\f' ret.ti liTleo e calcolarli l:! la luug hE'zzrl.
di COli il t·eorcrna. di Pitagora.
Con riferi ment.o a lla Fì~ura 8 a un incremento ch; in ascis..<:,.a, corrisponul' un
incremento dy = f' (x) dx in ordi lluta. Av remo al lorn
(6 .2)
Sommando i contriÌ)u t.i di ogni elemento di gn\Ji<;o :;1
1 j l.
•
: lunghezza -
-1-
tTOVa.
I
f'(x }"J dx;
la fo r mula ccrcat a :
(6.' )
Capitolo 6 . Calcvlo integrale 'f",r fun zioni di una vuritlbile
298
,
. ~.
,
.
o:
or.
x+dx
'"
,,
.
ingrandimento <.Id\ 'elffi,oelllO
d i p:lfico t ra ~; '" :J: + dx
x
b
,
: dy
- . _-----
Figura 8
Ecco come il calcolo infinit-csinlalc perwette di r isolvere un a lt.ro proble ma "geometrico" che con metodi elementari non è affrontabile. (Si confront.i con quanto
discusso nel par . l ).
Esempi
6.1. Calcoliamo la lunghezza dell'a.rco di n lrvay =
s i ha:
X3/Z
jle.- x E jO, n J. Essendo y'
9
-x d x =
4
• V()l1.!mc di un solido di rotazione attorno a un asse. ConsideriaIIIQ un
solido ottenuto p<::r r otazione attorno
all'asse x del trapezioide indhriduato
dalla funzione con t inua y = f (x), a '$
~ x :S: b (cEr. fig. 9 ) . Il vol ume si ott iene sommando i cont rib u t i dV dci
vol umi d ei cilindretti aventi altezza
dx e raggio di ba.<;e f (x) . Eti..'->endu
dV = ]T f(2;)2dx, integrando tra Q. e b
si t.rova la formula per il v olume:
y
11 = 1("' )
,,~
rb;
'>.
o
(6 .4)
Figura 9
6.2. Calcoliamo il ....olurne dell 'ellisso ide di ro t a:z ione, c ioè del solido cl", si o t.tiEne fa.cen do
ruota re a.ttorno all 'asse x la parte ;."perio re dell ' ",lIi~"
x'
,
_
+L
-i
a2
b2 ( L '''quazìon", cartesiana de ll a "uperfieìe dell'ell iss oide t rovato è
'l. Funzioni in t"grahi li, iutegmli gene,,~izzat;
@68 _0!:;.{'71i4.'r_8
OvverO un ell issoide con due 5€lnia..<;..«i
.~u
tre uguali tra loro ). III q uesto caso
/
X2
f Cx) = bV 1 - a O
] '
con
x E [- a , a:
e il vo lume del solido è
,
~l
:1;
u'
.,
= 2-:rl? (x -
299
)dx =
2
x' "
'l'
4
2
o = 21rb . - o = - 1!"ab
3a 2 l
3
3
i-:rr",
formula ch e g cne rali,z za in modo n a t ur&.lc "Illella d e L vo lume d eJla sfera,
e ch e a sua
vo lt.a &\lggerisce dO(! il vu lmne ò i un genc ri(~" clli.<;..-;oid e ( n o n di r,,[.aziollt~ ). di I\"miassi a , 1.>, c,
sia voI = 37faoc (come in crIcH i si p uò d imos t rare , CO n metod i diversi) .
Esercizi
Calco la.re il lavoro della. forza F (x) = ~ nello s pos t are un punto da a a h (O < a
fIl)
< b) .
G>
Calcolare il volume del solido cb(~ s i ottie n e facendo r UOk-u-e int.orno a ll 'asse y l' arco d i
parabola y = x" ,x E [0 , 1""] , e chiu dendo la figura ott..,rmta col p ian o y = ).2 . ( A t,tenz ione:
p oiché l' asse ò i w t-azione è l ' ,,-~ Y . o ccorre ve dere la c nrva come fu nz ione x = f( y) ) ,
7.
FUNZIONI INTEGRABILI. INTEGRALI GENERALIZZATI
In molte s itu82ioni concrete (calco lo delle probabilit-à c s t a tistica ne sono f'$of!rnp i)
s i presentano integrali di f unzioni discont inue , i llim it at.e c a n c h e in tegr a li e~tcsi a
intervalli illimitat.i.
7.1.
Integrali di funzioni discontinue
Se una funzio ne f : [a , b] -------- IR presenta un nmnero finito d i sal t i Tlel p u n ti
, 'rk , s i defi n isce l'i nt.egrale di f il! [a, b] in modo naturale:
1'1, '"
l'
" f( x )d x =
1"'
<1.
f (x) dx
+
le,
q
f(x)dx
r'
+ ., ' + ./1"k
f(x )dx
~~
..
/1
~ ~-~~~~---
O I
()
T)
1' }
F ;gu'" 10 I n te~"z ion " di u n~ funz ione co " t , .. d isco"t in u ità ~ s.;o lto _
'-- b
(7.1 )
Capi tolo
300
fio
C"lcdld inlt:ym1e pcr fUlI.noni d. Ima 1":STiabilr.
P er l'in teg rale così d cfinit.o valgo no tutte le proprietà f'lL uncio.lfl n el panl-RTafo 3
(tranne il teorema ddla media che ricb iede la continu ità di
f
~1I
La for mula (7 .1 ) rico nd uce d\lllqne il calcolo dell'intcgr a.Je d i
numero finito di integra li,
r"
ttJ tto [a, 11]) .
f a
q uello di
Illl
f (x )dx
•
su illten-dlli i n c ui la fuuz io ne intcgranda posso. p rolungarsi con cont.inuità. fin o agli
estremi. P er questi integra.li possono e:s.-sere dU!lquc lisati i meto ùi di integra zione
Syil llppa.ti Ile i paragrafi pre<.:edc nr.L
S i n oti che ciò che conla ~ che su ciascun intervalli no (r", r'\: ... l) la funzione
sia continua, c i lim iti a i d lle estremi esi3tano filli t i; no n h a i mport.allza, ill\'e<.:e,
il vruore cffer,tivo d i f n ei
fUllzione int cgranda in un
del calcolo d ell'integrale.
....-iene a lterato togliendogli
lu n ghe?y.8., la s ua area n o n
(Iue t;!'Strcmi. I n altre parole, a tt crl'lre il ,"alme d ellA
Ilu mer o fin ilo d i puut.i è del l utto irrilenmte a i fin i
(S i pensi a l significato geomet.rico: se un rettan golo
un se{,'1nent.o e sostitucndolo con un altro d i d iversa
ca.mbia).
Esempio
7. 1. Le seguent i fuu .. iolli ~n.., integrabili (lo st udente Ili .. ",da cont o in det tagli o .lcI motivo):
' l I
X ' , » ll .- , l ,
",inx
l
a.rctg - , su
•
7 .2 .
[- 2.:~;
e-
l
/
Z
, H l
[O .lJ (ma ImI! ~ \1 [- 1, 0]1)
Integrazione d i fun zioni non limitate
Consideriamo il caso tipico iIlu stra.to in figu rA Il , in cui
lim f (x ) "'" I oc.
___ 6 -
f : [0., b)
~
IR è continua c
~
(Del tutlo tLllalogo è il caso: :I:lim
1 (3;) = -Xt).
___ bP er defluire l'integTale <.li f in [a, bL ndca
e b - e (e > O) e poi si pas!!a al lilllit.e per z -
1.
01
1>
f (:z; )dx =
li m
~-')-
1.
~ m olto scrupli<"e:
O ~ . I n sim bol i. si
s i iIlt.e:;ra trn a
pone
6
,
f(x)dx
(7 .2)
""
Se il limite in ( 7.2) e...i.'1te finito a.llont f :,i dke tntegmblle in lo, o] oppure c he
l'inl%'Ta lc
f ( x )dx è conuctycllte.
Se il limito:! in (7 .2) è +0C oppure - :X;' , l'integrale si dirà dWCT"fj"Jltrc:..
Se il limite non f'!!;ist.c allora l" intcgral ~ /Hm csi-st c.
J:
30 1
,
y _ J(.x)
-J-.-
F; &u~a
11
li ",
f(:%) =
b- ,
-<Xl.
'" ~b -
AualQgl le defin izion i s i
h ~\nno
se f: (a , bl - ID , co n
Hm f( x ) =
.lO -
-u ,-
=00
I
cont.inua c
Si p o ne:
1I 1/0 f (:l:)dx
=
Q
Hm
,,~Ù-
l /:>
f(x) d x
(7.3 )
Q +",
Esempio importante
7 .2 .
Calcolo dell' integr ale
"
.<
/
Casol o
,-1
-'Od",""
r
• I>
= ,. -!ng(b - :rl.i ..
(b
:1:)
-
Ti
l ' (b-=-"T
Q
I
(l
dx
"(le, ="~)"
"
_ 1 ~ Si ha :
Dunq ue
Ca~o
o
i'
1
x)
~ S i Io a :
l - O"
:- lim
~ - {l
,
I-
log!:
c
= -!Ql!;e ..J... )o g (ò - a)
+ log(b - al] =
-'-00
302
Capi tolo 6 . CakAJ/o in/N/mll< per f!lnzion i d i U!la 1i.nia bd"
(0
SS-rnl--07 11 4 7 _1\
Dunq ue
1"
- dx
- -.- -..
a ( b - x )'"
, un
.
~_() ~
-l- [
l - n
-
t;
1-"
+
Cb - a ) 1-·"' 1
J
+=
8ea> l
(b _ <.< )' - "
l
a
be n
{
<
1
R iassumen do ahb iamo:
divergen t e a
+=
~
l
et
<
1
(7.4 )
(b _ a) l ..
1
Q
{ conve r gen te =
a
'"
C n r isu lta t o perfe tt am""t.c a nalogo v:.lc per l'integrale
7.3.
Criteri di integrabilità al finito
S iano 1 , 9;
la, b) ------> lR.,
continue, con
h m f(x ) =
z~b -
lim g ( x ) = +oc
:r--->ò -
l segueIlti criteri permettono di decid ere se un integrale è convergent e o d ive rgente,
senza. calcol arl o :
• Confronto. Se O :$ J (x) ::; g(x)
(a , ti ), Jl.lIora
integrab ile
=
f
illtegra b ile
n o n integrab ile
=
9
non integr abile
9
! f
lfl
I nfatti , p er la p rop rie tà d i monoton ia d ell 'in t egrale , s i ha.:
o < lb - ~
f(x ) dx::::;
"
c
b
-
g(:r )dx
a
c, p a.'lsaIHlo a l li mite per IO
---+ O ~,
• C onfronto asinl-otico. Se
f >
II
l
s i prova l a t esi.
0, 9
> Oc f
integ rabi lc
<=
~
9 p er x
9
---+
b- a llora
intcgrabile 1
Analogh i c ri t e r i valgono se 1,9 ---+ + oc per x ---+ a+ , o se 1, .rJ ---+ - '='.
In q Ul-"St 'ultill lO caso, le d isugu llgl ianl:e d e l cri terio del confro n to (le "..-ano valere
tra i moduli d i f c g.
«)
T FTtnzùmi i nt ('9ul.bili, integrali g=cra.!;;;;zl1ti
S8_0S_0 "' '' 4.7_ 8
303
Esempio
1 .3 .
Consideriamo g li int-<Jgra li
<1x
5x
+4
iI: L .. f u ,,><ion e f (x)
a
+=
per x
--+
l
è continua e positi va in -:0 , II e tend e
\!rl l- "," ì
(1 _ ", ( ! 3{1
~", ) 11<~
1 - _ I noltre I (x ) ~ ~ {l ; }1/ 3 per x -~ 1-, D 'altra parte la funz im'e
~r2 ; 1 l .,l " " è posit iva e in t.cgra bi le (d alla (7.-1) co n
integrab il", in ha."e al confronto a.5i n toti co.
L 'intl'gra!c I, è perciò c o nvergente.
,Q (x)
12
:
O'C
La f unz io ne 1 (,")
--
"~
l
~ ..
_.
--
(-"
Q
= 1/ 3 )-,e q ui n.l i anche J r;'sulta
è continna e neaativa
in
"'
l
l ;(:.-.)
IL. ~I
e tende a _ ~
~
per x --+ 1-'- . Il .segno no n costituis'T un p rob lema in q u a n to possiam o r iferirei a - fCx ) c h e
è positiva,
05Serviamo che --/ ( x) ~ 'l(,,'- 1: e Chl' 9("') = ! ( l'---J) è (pm,it iva) e I1un in tegrab ilc
(sempre dall a (7.4) con n = 1) _ ~e scgue d,., <'Tl ch e - f "d I nOn sono int-egtabili .
L ' int egrale h è pen;iò d ivergentc a -oç,.
Allalogamente a quanto a ccade con i criter i di convergenza per lc serie nllln eriche (v. cap . 3 ) , quand o la convergenza. di un i n tegrale viene st.abilita. m~diante
confrollt~) () COllfr(}llto asint.otico t ra due funz ioni. il valor'e numerico dei d ue i nt eg rali 5.o"'lrà in gencrale diverso.
Una funzione i( x ) p otrebbe eStiere illirnitnJ a p e r x ------+ a sen za avere segno
defini t ivame nte costant.e. Ad esempio,
l
i(x )=
l
r.;::smVX
x
è illimitat.a per x ----' 0- , ma n o n tende a ±=, e il s u o segno è variabile in
ogni int.o rn o d estro di O. Per funzioni di qllest-O t.ipo i c riteri del confron t o e d el
confronto asint o tico non SOltO ap p licabili . Vale invece l' irup licazione seguente :
1~ jJ (x) ldx
Se
Ii i è
1•
=
co nvergen t e
i
intcgrab ile in [a , b] si d ice che
L ' i llt!'~rale
I
-----r=
l
SUl -
"i I
dx
X
converge. p"Tt:hé
I
"
- S Ul
I,IX
e h " ha in tegr n.le convcrg",nt " .
convergent e
è us!Jolutarncnte integ r a bil e -in
Esempio
7.4,
f( x )dx
-l
x
I<
v'X
la, bj,
Capilolo 6 . (:alr.a/<J ia!t;qmle
304
7.4.
Sia
fWlZiolli di una vanabil"
p.";' -
Integrazione su intervalli illimitati
la, -i-::C ) ------.IR. con tin Uli..
f
P oniamo
IJ.
~ '-' l~~\,:, 1~' f(X;~iJ: i
(- 0" f{x)dx
(7,fj )
a '
I
Se il limite in (7. 5 ) esiste fin ito a llora f si diee int egrnbile in [a, + :-x:: ) oppure che
l'in tegrale f<1+:><O f (x )d:r è r:onvergntfe
Se ill imit.e in (ì .5) è += oppure -- cc , l' integrale si d irà diuc-rgenle.
Se i nfine il limite nOI! esiste a llora l' in t egra le n on esisti':.
I
,
11 = f(x }
~ -~~------~-=..
"
w
o
Figura 12 L' jnte i , ,, I,,, su :" , +=)
f : (-
Analoga.mente se
cd infine, se
f
"
d el in;!o CO<n e
li " ,
{ ~. f (:~ }dz.
",, - + ,~ , '
..
cc , bI - _IH. è cOllt inua, si pone
( - = , +=)
------>
IR è continua., si pone
dove ('; è u n punto q ual unq u e.
~cl seguito , per semp lici tà, ci ri feri re mo a ll 'int ervallo [a,
Esempio importante
7.5" C alcolo de ll"i ntcgrale
j
-~'
1
C<iSO
liill
~i h a
j"
l
P o ich é
li",
" _ +0<
log w
=
-I (ix
I
~ dx
_r-
=
fi o !!; x ],"
J:
-Hx:-_ l"i ntegrale è d ive rg e nte
0> 0
=
log'-"
+=).
__ __ _ . _____-'7c. _p"""C'""o'"C0ni i1l-tl:gmbili, integrali !]C1wralizzr1t l
Caso i n
cF
305
l ~ Si h a '
[
,
1- - - ,,,,'
l -
lì'
-
{
<>
-
1)
Dunque
-"-= l
- - d", '--'
[
.,
R iassumend o,
T<>
_
lun
1,
--
\,,-'
'-' _ _ "" l - Q
l _ a
1)
I
u
,- '}+"""
·x·
~f'
l
- l
"
"" "
<
>
- - ----;-cc--:-----:------:~
•
;
l
1
--<tx
x'"
è
+
{ di vergl'nl.e a.
conv ergente
• D ive1!}enZa della seri e armon.ica .
affenna t o che la serie annonica
~.
- ,-'
0-
,e
v -<
ti< '
"
> 1
Nel paragrafo 2 .1 d el capitolo 3 a b b iamo
L'u~) degli int.eg rali g e nerulizza ti pcrmet.te u na rapido. g iustifica zione dell' affer mazione .
Dalla figura 13 è facile convinc.:er~i che fìssa to l'l, intero, vale sempre la disugun.glianza
è d ivergente .
l
- dr <
x
N
-]
l
Ln
(7.7 )
"~ ,
, I
o
Figura 1] L""."" ombr"'8:g i.. t:o" ugual .. a
•.
J,'" :i ,b:: mentre
I" somm .. de lle "' " ,,,. de i , ,,tta ngoli ,,
"&" .. 1"
,,
306
P oiché
Cupi/olt> 6_ C a lOO/Q 1I'Itegmle JU'7 funZ'iorlj. di ""a variabile
ft
~dx = log N _ +ov oe N ----- -:-00, a nche
,
t ;; -
+00 se l'l
---+
+00 ,
n= l
che d imostra Iv. divergeJl'l,a d ella serie a rmon ica .
• Convergenza della serie armonica ge nerali,un/.n per a
2 .2 , cap. ::I) c h e la serie
>
l. Abbiamo ,.. isto (pa r .
converge per (l' > l (e d iverge p er (ì : ; 1). L '8ff~ rmaz ione è ~to.La d imostrata Pf!r
o; > 2 (confronto con la serie d i Mcngoli ). Siamo or a in grado d i dimost.rarla p er
q ualunque a: > l. Il ragionamento è analogo a quello su lla scrie armonica, con
le disugu a glia ll:ie in SCIl.";O invenm. Dalla figura 14 si "'t'dc ch e p e r og ni inl ero IV
'vale la d isuguaglianza
<
-
i
l
N
.'
d.
-
:1: 0
y
Figu ra 14
Poiché per
(~
> l e
}'1i
~
00 l'integn de con verge (per qUl1nt.o già \-is to), anch e
la serie converge (la s uccessione d elle somme parzillli è
Crt'.8CCll t e
e superiormente
lim it.ata).
7 .5 .
Criteri di integrabilìtà all'infinito
Siano 1,9 : la. +00) --IR.. conti n ue.
P er dccjd~ re se un illtt'gralc C convergen t.c o meno, valgollo c ri te r i analogh i
q uelli per l'integrale d i funzio nì illimitato.
1;1.
es> 1'''-U!>_()7 11 4 T _8
7. Funz;oni i ntr-'lfub i li, lnl"!J1"uil _q r:ncralizzat1
307
• Co n fronf o . S e O S f (x) :'S y(x) in [a , +=) a llora.
i n t egrab il e
9
f
=
non int egrabilc
intebrrab ilc
9
non inteh'Tabile
f . . . ., 9
• Confronlo asintotico. Se f > 0 , 9 > O e
II
f
ifltegrabile
+=, allora
per x -
i u t egr a b ilc
9
I
Esempi
7.6.
L ' int tlgnlle
J
+~
.'
f; -
d;;;
è convergente_
Infatt i. s i può !Scriv e re
> l si ha
Ossenria.!110 ora cliC per x
D 'altra part e
x~
Per co nfronto ~ i dcd nce c he anch e I 1+
> x e quindi e - '"
00
< e. - '; _
e - '" dx è convcrg ente.
7 . 7.
h' f (x ) ~ ~ p e r x
----> +00
e Quindi è integrabile «7.6) ,
eOll Cl
= 2 ).
L ' integrale I l è ) >cr!.ant.o ""nvcrgen l-e.
12
:
f (x )
~ ~
pe r x -,
+ .')0 e qu ind i n o n è in t egrabilc « 7_6)
L ' int egrale 12 è pertanto d ivergente a
CUI!
(l
=
1)_
+:x: .
PelOfunz ioni di segno q u a lunq u e s i ha ancora:
.l+"'" If(x) ld:r
Se
li : è
convergellte
i ntegrabi ]C in [a , + =
) si
d ice che
=
f
1-'-=
"
f (x )dx
convergente
è assolutam.ente i ntcgmbilc in [n , +-= ).
Capitolo 6. CalCQlot'ltcgml~ pe r fWlZlon i d" Ulla "aria,'"iI~'_ _ _ _---,0
"<,,"~~.",_
:::::,,C'"
""C'"'
308
Esercizo
-
<
Stabilire q ut<1i dei segue n t.i ill~egr8li esistono (.·"t:n111alment" in ,..m,;.o ge neraliZ2aw)_ I n CIlSO
a.fferma.tivo , ca.1ço hd o qURu d o è ~ibi\e_
G
Q)
l'
X
['
, r'
SIU X
€D
~
1\/'2
e
1
n rc t g
x~;,
o
o
G
d.J:
/2
o
_ ,_ ,, -..fi dr
../x
[~ -
1
-dr
x lo g r
2
l
ti:r;
tD l+":Jo x(logx
):1
rLI;
.2
-l - <h
z lug x
G
1
x (lo g :z,p dx
<li
1
o
[~
o ~ 0" - 2. "in(e-"')dx
El) [
dr
.
l' CI:: 3)
1" -,.-'
El)
G
108 J: fU
[~
r
(l
+ x'ra
dr
[~
o
sin (x :'»ol:c
L 'u ltimo integrale è d etLo jntt'grale di Fresnd , 0:1 i" t<:r vi .. ne in otti ca.
Suggcrimmto: su [O, I] la fuU210llC sln(x') è integrabile. P cr ~tudiare l' in1-egrale su [1 . +001.
valutare l'intE'grale s u !1, a] eseguendo Il)'"i,,,,," la sostitu z ione
= t e p OI II U·inter;raz.iolU' l'IoC r
par t i. (::...sa .!iuccede per (l ..... +oc"!
x,
B.
FUNZIONI INTEGRALI
S ia f una fu nzio ne conti nuA. iII UII intervallo l . Con...,ideriam o !'i ntegrale d i f su
un i nt.er vullo J eonteJlut o in l. Ovviam e n te, a.1 variare d~lI ' i ntcrva.1l0 J "aria il
"-ala re di tale in tegrale. Se J tl l'intcr yallo che ha un estremo Xo fi:,...-<at o una vulta
per t. utt e, e r a ltro estremo x \'lUiahile , \'int.tlgni.le d i f s u tale in tervallo 1xo, x ]
diventa una fl lOzione di x . T ule funz.ionc ~ ì d ice f tJnzione intl:g7'(J le di f, e !òi ind ico.
con :
F {x )
=-i
x
/{t) de
~,
S i no ti c.be lo. variabi le d 'integrazione t (vari abi le m u t a ), ha \111 nome d jvcI"l'!O dalla
variabile x, o:!:>trcm o mobile dell'iuterv--allo di in t egr azionc: infa tti t var ia t r a:<o c x.
_ _ _ _ _______ _ _ _ _ _ _ __ ___:8::.."'~un,zioHi ùt/cgroli
N"on sart. inu t.ile <I q uest-O T)unto r iepilogare i d..iven ;i conccu,i ('he
dott i Il pro posito d ell'integr ale:
• L 'inf-cg1'ale
(d~Jìllit(! )
di
f
~ ll
SOIlO ~r.at i
300
inlro-
(a, b],
è Ull Tl1t7nero . d erlni t o COll Ie opport uno limite di s o mme:
• L a fu.11.ziont:
inte!l1Ulf~
di
I,
l'( x)
J.'., feti
~
dt
è , a pp u nto, una fun:ti one: nd Oh'-lIi x n5...«ocia. il lllUnero ottenu t o c alcolando un
i nt.cgraltl d e finit.o ;
• L' intcg'r ale Indefinito d i j ,
è i nvece l U I s inlbolo c h e d e fl n la un insieme dt funzioni, preciAAmcnLe l'insi('me d i
tutt.e l ~ primitive d i j, os.-;ia delle funz io ni G tali che C '(x) = f(:r.:) p er o gni x.
C o me si vedc, sono tre concet ti hen d iversi, che non ùe\'o no essere confus i.
Le funzi (JUi integrali, d i cui qui ci occup iamo. compo.ioll() in IllOdo natur~le
in varie applicaz.ion i:
• :'\.fea:amca. Lo spazio per corso fino a ll 'it:!tant c t d a una pa.r ticella. (~he I$i muove
di velocità variab ile t:(t ) lun;:.,.-o una t r a iettoria a."scgnata. è la funzione integ ralc
della-velocità:
s(t) =
l'
v(.,) dT
• P mbab1/rtà. La "funziolle d egli error i'·
~ ( :t ) =
l
'T
1
.7
M:-C-"']·dt
-O<)
V 2if
d e scrive qul'll è la. prohabilità che u nti e~ r t3 "variah il e casualI'!" a..,,>sll m a un vo.lorc
~ :r ; la variabile in que8 t.ione descrive a.d (~empio , o;ottO c~ r~ ip o tesi, l'errore
conl m c::;.:,;o ne lla mis u raz.io ne d i ul!a gn \.I1de;>;;!.a fì.:sica . Si noti che p er ogni x quello
che si calcol ... in q Ul::':Sto caso è un integra le gCllcn llizzato, est eso all'inter vallo
illimita t o (--o:),:l:) .
Il g r a fico d e lla funz ion~ inl egraIl da c d e lla funzione in teg rale , rispett.ivalnentt->.
sOfia r ipoTl fl ti nella figur a 15 .
Capitolo 6 . Calcolo tnttgrOle per funnont di una vanabUe
310
---------------- --------
-,
,
2
- 2
- 2
2
Figura 15
• Ottica. Nello studio di certi fe nomeni legat i all'i nterferenza luminosa, compaiono
le funzioni integrali di Fresael:
C(x) =
Cl
1% cos(t2 )dt
dove Cl , C2 sono opportune costanti di naTmalizzazione .
•.,
•8
,
,
- o_s
,
•
•••
•••
•.,
-,
,
,.,
-.,,
,
v-fico di
\
.
,
•
,
•
,
grafico di S(:r:)
si.n( t'l'J
{\
, ~'
,
•
,
••
•••
••
"
,
,
grafioo d i C(z)
Figura 16
Ma le funzioni int.egrali hanno anche una fondamentale importanza matematica,
dovuta al :
Cf)
8. Funzioni mtegro.li
8&-011-071147_11
Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale -
Sia f : I -
311
IR una
funzione definita e continua sull 'intervallo I , e sia
F(x)
~ i' f(t)dt
l,o
la sua funzione integrale, con Xo E I [tSsato.
(quindi anche continua) in tutto I , e
Allora la funzione F è derivabile
F'(x ) = f (x) per ogni x E I
Il teorema ha varie con seguenze:
1 ) Anzitutto, F è derivabile con continuità, perché F' = f e f è continua.
2 ) Se f non è solo continua, ma è derivabile con continuità, allora anchc j-""
è derivabile con contin uità (perché è = f) , perciò F è due volte derivabile
con cont inu ità. Iterando: la funzione integrale ha sempre un grado di regolarità in più rispetto alla funzione in tegranda: sc f è con tinua allora F ha
der ivata contin ua; se f ha derivata contin ua, allora F ha derivata seconda
continua, ecc.
3) Dal teore m a segue in particolare che ogni funzione continua su [ ha ivi una
primitiva: la sua funzione integrale. (Questa affermazion e era stata fatta nel
paragrafo 3 , ma non dimostrata). Possiamo scrivere quindi:
J
f(x)dx
~ l>(t)d' + c
Oimostraxione. Consideriamo il rapporto incrementale di F; per l' addit.ivit.à dell'integrale
rispet.t.o all' intervallo di integrazione, si può scrive re:
r+' f (t )dt - )"'of(t)dt
r
}=
l
' { )"'0
h{F(x
+ h)-F(x)}=h
=
li'
i'H
h {Iraj(t)dt +)'"
j(t)dt -
r
) "'0 j(t )dt}
=
l{'+'
h )",
Usando il teorema dell a media relativamente all'intervallo di estre mi x e x
l
h
dove
F (x
O,
C io ---+ X
ha:
j (t )d t = j(clo)
+ h.
+ h)
- F (x) = j(Ch)
(8. 1)
h
---->
+ h , si
("'+10
I"
Cio è un punto opportuno tra x e x
Abb iamo dunque
Se ora h
j(t )dt
e, usando la continuità di j, s i ha: loHm
f (clo)
_ O
=
f( lolim
Cio) = j(x).
_ O
Dalla (8.1 ) si conclude che il limite dci primo membro esiste e che
F'(x ) = lim F (x
lo_O
che è la tesi.
+ h) -
F (x) = f (x )
h
D
Esempio
e.l.
S ia
F (z) =
,
f~ ~~
'f dI
(S I nOLi " he non si sa lI<.,ri vere esplicit ... m., n!.e un a. primi th,) <:Ii e
integrale nO Il si p uò r iscri\'cm in fo r um più ",ern plic.,). A llonl :
F' ( z )
P a lchi: P '( z )
,
-li ,
e q u ind i l a !ulI:t"one
1
.!
= -----;;==o e . ~
.,; '.2 7C
> O p er o p;ni x. F (z) .: "n' mprc " r ..~"(:e nt e l noltre
2
~
F "( x ) = - ~E_ -- "'Y 2: ()
p CL' :r;
S; O
l'Ilr ciò F (x) ha u n pun to di ties&O per r = O, ed è coucava ve TVI l'alto per or.
,
<
O.
P E'C
:r ..... +nc , F (z) t e nd e all'int egr a le g c.......rali"""to I~:: :.T:ì;c-Ii- d t. " he è finit o. Perciò E'( x }
ha u n as ili lo to ori2:t.ollt...Jtt per z - + 00 (t'i può dimostrare cl"!\' q u estO a.'!i mOl O Ò! li = l).
(n n ne , per come è d efin ila, p ttc z _ - ex: F (z ) - O. Tu tti q Uesli f ...t ti si p<.:I&IDno contro llare
~ 1l1 grafico d i F(x ) riporta t'o in preced e n ."",.
Il teOrema si può anche raffinare, al modo segu ente. Se la funzione int.egmnda f(t )
Ilo n k continua s u t u t to l, ma ha delle d iscontinuit à a s alt o, oppure è illim it a ta
ma il fl UO integrale generillizzato è convergent<:!, si puu d imostr8.re che la fUIl:l i o ne
integrale è a lmeno cuntinua in tutto 1: inoltre , in tlltti i pllnti in cui l' int.egranda
è contill ll1:\, F (x ) è d erivabile, e F'(:1:) = f (x ).
In sostau:.o:a, dove f è discontinua, F è ancora cOn1. Ul 'J<I. , ma non sar à derivabile.
Esempi
8 .2.
Sia J ( t )
=-~gn(t ), e
F (x ) =
l
z
I (t )dl
A llo!"t\.:
r (x)
~ { ~ x > ••/. '" ldt =x
O
... , :r:< 0
lZ
- ldr _ -:r
d un que F ( x ) = Ixi. C onw ~ i vede in figura 17, F f. c ontinua o \-'u u'l ue , ma presenla IIn punto
a t.goloso (q ui,,,li d i no n dero v::.bil it a) esattrun", n te do' -.:! l... ftH"lz.io n e in tegrand a è di.'lco ntint.a .
,
,if----
----11-,
.)
F'"I.I.,. 17 iO } G r"fico d i [Ct ): b ) ~r,.fic o di F(:z) .
b)
9 _ Conv a ltl-Zwnc" ",ùu-m, fi-.ici lineari
6 .3.
Sia j et )
,
v: ' e
=
F(",,) =
r :~! " I
"'"..
./,(J
f Ct idt = 1- 1~ , 3 :
3
2<.
= ;-x "
2~(J2
Come s i W!<,,~ in figura t8, F è cont inua ovunq ue ( perche j , anche se illimi t.ata , è COmu n q ue inte~ahile in ~ ,," S0 gt"wrali u .a t() ). m a pl""€"8ent a un pun to di cuspid e «,l,indi d i nOa
d"rivab ilità ) e s a tt m u ente d ov<, la fUllz iollC iIJ kgranda è discont in u a _
b) -1
Fi8u~a
'J __~
_0.5
18 a) Gra f ico di f(t ) : b) &:r ;lfi co d i F (x}
Eserdzi
G
S i cvnsid erino le funz ion i d i Ftesnel C ( L ) ,S(:r ) d efi nit.e negli ese mpi prc<""le n ti . Calcola.re le loro dedvate prilu a e secon d a , e de t erm in are i loro punt i di m assim o , m inim o e
11 (~~~().
CD
lo"
S ia j et) = Il I, F (x) =
j et) dt . Calco lare esplicit-ament e F(x) e di.':-€gname il g r afico.
Q u a nte vol k la funz ione F è d e r ivab ile "'u t utto Ire
CD
>
r
J(t ) ---" O !w r t :'S O, e s ia F ( x ) = f n f (t)dl. Calcola re
csp licitillJJcnte F C:.:) e tTilr:ciarn.., i l gra fico . F è co nt inua? È d erivflb il c in tutt o IR?
S ia /(t ) = e - t p e r {
(l,
~ SIa l la fum: ione period ica di periodo 2 (cioè l Cx + 2 ) = [ (x ), per o gni x) che as~UJT\e
il valore 1 p er [I :'S x < 1 ed assllme il "3lo re zero per 1 < :" < 2 .
a ) D isegnare il g rafico di [ .
l» Calcolare F (x ) = .I;~ f (t Jdt l'~,r '" :2:: Cl _
<: ) D i;;çguare il grafì t.:o di F pe r ;r 2 0 _
S ia F ,x)
,
F è pari.
G
=
rr. j ( t )dt . Provare elle .oe f è p ari a llonl F è d is p ar i.
.I l'
H!
l è
dis p fu i «llon<
Studiare la seguente [u m-: i r>!le integra le e traccia.r"" un grafico plausi bi le :
r _'f,:1:
, )
.-
-
~
l'
_
_,-; in t d _t
l + t~
'>
S-uggt'ri-rnento: lJ on cercare Ulla pri m it iva dcu.cntare rldl'i nt.egranda: è 'uutik .
3>4
9.
Capitolo 6 . Ca/colo , nlt'gnu« per funzioni di. una variabile
CONVOlUZIONE E SISTEMI FISICI LINEARI
G li integrali estesi ad intervalli illi mitati intervengono nel concet.t.o di convoluzione
fra due funzion i, che gioca un r uol o importa nte nella modP.llizzazione dei cosiddett i
"sistCllli lineari" .
Prccis.o"l.mentc, consid crianlo u n s istmua fisico c h e operi nel modo descri tto dal
diagram luft seguente :
e(t)
--~,
IL
_
_
8_--, - - - - r(t)
e(O cu rrisponde una ri~po.~ta r (t), d ipendente d al l' ingr es.so
mediante una funzion e S caratterizzante il s istema. Si abbia cioè
Cloe a un ingre5s o
,·(t)
~
S [c](t )
Q u i ingre:sso e ris p ostR sono d ue grand ezze variabili nel tempo, c ioè due fu n zioni
cCt ), r (t): S è u n operatore che tra.<;forrna la funz ione e Ct) nella funzione r(t). C iò
signi fica , in particolare, che il valore l'(t ) a u n istant.e part icolare può dipendere
da tutta la funz ione c , c no n solo dal valore e( t ) in quell'istante.
Supponiamo che il s istema ::iia lineare oV'vero che soddisfi il principio di 50vrapposizionc seguente:
la risposta a u n a somma di ing,-esl.; i è 'Uguale (ula $omma delle risposte a ciaSClt1l
ingresso.
P recisamente, se C) (t), C2(t), .. . , e .. {t) i n d icano n ingressi c
cano n Ullleri reali, si ha:
).1, .. .
, >"n
indi-
(9.1 )
Supponiamo ino ltre che il sistema abb ia la segucnte proprietà di invarianza tem porale: se a ll'i!lgres.<;.Q e (t ) :si so::;t"ituisce l'ingre."lSo "ritardato" c (t - h) (h fissato),
si ottiene la ::;t~a risposta dell'ingres.-so e{ t ), con uguale ritardo, cioè rU - h ). In
s imboli:
8 [e(l. - h):
~
S[<l (t - h)
(9.2 )
Sotto q ueste i pote8i, la ris p osta a un qual u n que ingre&;o e(t) può essere deierIllinata med iante u na particolare o p e r azione, d etta cOTlttol'uzionc, c o noscendo l a
risp osta a un i ngre;;.;;o speciale, l'impltbo d" Dirae.
PrOViil.lllO qlle:sta affermaz.ione r i manend o tuttav ia l:l. un livello intu iti vo.
R icordiamo che l'impu lso d i Dirac c oncen trato i n t = 0, e denotat o con J(t)
si p uò <,X-1I15ide ra rc eOme il " li mit.e" per ~T _ O dell'impulso unitario d i du r at.a
ÙT, definito dalla funzione
o<
t <.6..T
altrove
o
li)
liS-08·0,.647 · '
9. çt:lnl.'O/uzWnt:
t:
ristemi J'ù ict
/in"aC",_ --,,',',,6
L' impu lso d i D ir!:l.C conçellt raw iII t· = " de notato con c5(t - r), sarà il
per ~ T - O delrimpulso unitur io [Ll .. (t - T ).
,
/:l.,.. -- •...•••••• • "
... ~ · 0
---+_ _
T"
+
~,.
Figura )9 S i noti eh" I<lo ... (t - ,. ) . /:l-r = I p ..... .,.
< t < ..
~l i m it c'"
L __
+ /:l • .
Sia o ra. e = e (t ) u n ingresso, int.egrabile in ( - 00, +00). P o ssiamo pensare d i
appr ossima re e(t ) con la somma. (genera lm e ute infinita) di impuhri d i durata Cl, .
relativi ad li!! intervallo t empora le (" , + 6, ), ILei modo sp.gtlente ( cfr. fig. 20 ).
,
.
~- -- -------~-~ ~
- --~-~~
. j
Il = c{t )
Figurn 20
Per o gni t tale che k 6 , :::; t :::; (k + l) ~" si può ~rive r e c (t) "'" c(k6:T) =
e(kD..T) Ja,. (t - k~T ) .6"T . Dunque , per oglli t :
=
.~
t~(l ) ~
L
e(k 6T) J~ r(t - kL"1.T )· 6.T
(9.3)
" ~- <X>
(per 0 h'nl \·alore di t uno solo d egli addemjj nella somma (9.3) è diverso d a zer o l)
P e r il p r i.n cipio d i s()" rfl pp~i z i one (9.1) si A.\rr à allora
+~
S'id (t)
::>;;
L
k =- ::x>
e(k.6. T ) Sll~r(t - k6., )! A ,
(9 .4)
Cap it olll 6. Calcol" mtegrale per f"nzi,Q ni di tmo variabile
316
Ponendo h (t ) :..: .S·[b](t) = r isp ost a all'impu lf.lQ di D irac, e ricordando cile, per la
(9 .2 ), si pub a ndlC scrivere S [6(f - r J; = !t(t - ,. ), pa."sando al limite nella (9.4)
per !J.r ~ O si ha:
J
~~
S [P.( t )[
~
(9.6)
C(7)1> (' - T)dT
~ ~
L'integrale nella (9 .5) p rende il n o me di cantiolurionE di e c h c s i indica 001
simbolo (c ... h)(t.).
D unque :
O f;f;ia :
La risposta
un sistema ltnl'.arc ad un qual1mqui! in,qresso e(l ) si ottÙ':ne come
r.onvoltlzione con la rispul>ta aU '\mpt,[I)o di D ,mc.
"i
In generolc, d ate due fu nzion i f e ,q illtegr abi li in Hl si chiama prodo/.lo Ili
convolu.zione, o ::;empliccment-e conuoluzioue di f e 9 la fun:d onc d efinit.a di'lU a
fo rmula segu ente
. (f. g)(") ~
j~ _
+ '~
(!J.G)
/ (")9 (" - y)dy
f + [I 6; legge " f /:am ;nlunone 9" .
F requentemente J e 9 sono nulle per x < O; in questo ea.<;o particolare si ha:
Il simbolo
Cf .
0)(")
~ , { I (y)g(x -
y)dy
infatti :
i~~/(y)g(X -Y)dY ~ l'/(y)g(x- y )dY + i~f(Y)9(X - 9)dY+ l+~/(y)g(x - g)dY
f = O p e r y < O, ed il ter7,o è nullo essendo
m a il 8e<.'Ondo in tegrale è nullo, essendo
g(x - y) = O per x - y < O l:ioè y > x .
• P ropf'ietà della contlOluzione.
f" 9 = 9 * J
(f ~.
g) • h
~
J
4
(il prodotto " *" è cornmu tat..ivo)
( "+ " ~ associativo)
(9'" h)
Cf + g ) ,. h '-'" J .. h + g '" h
(" +'"
è d istri but ivo) .
Esempi s ign;Jicatlvj
9 . 1.
CQ,wu/.a:i(Jne con l'im,rul.<o wulurio d-i
J'' X>
l, (t)f(x - I ).JL =
11'
C
o
du mta~.
1/.'"
f (x - t)t1 t l"-~= ") ~
'"
f (u)du
cv H~ ~":'i1'l\41 .8
lO. ApPco1dice ; [{u:en:a ddlc prifl'utiIJ'-: per a lcune
[(t)dt =
,,-l 1'+'
,
.
\~. br
medio di
f
"Il
da$S1
dr fu.1<zwni
:,r, .r: + F-]
317
(0.7)
Cont:(!l!aw1,e con l'imp,,l~o di Dirac.
P assan do 0..1. IÌInit" pcr ~ _ O ne lla (9.7) s i 111"1.:
9.2 .
~
(/,
n (x ) -
- (o
~
f)(:r)
e . .. ""mlu il u"ur"lIla della med ia j)cr pi integrali
11+"
l(t)dt = Hm i(e)
lim _.
c-(\ E
eS'lcnd n :r
<
r:
<
:r.
"T" "
ed
c_ <'
+
=
I(x)
1 CO lli in u ll..
Abbiamo du n q ue l'importa •• t,c formul ...,
j"("' - ·- f")-;-(,")---.-;f""(,'C) l
(9.8)
L a {9.S) indica dw l'impulso d i Dir&' opera. come 1'",lo;mento ""nità" per il pro,J('tto di
convo)U7.iOAf:\
Cn'l\pplica:r.ion e concreta dell a convolu zione ai cin;ui t,i e lettrici si t.rova n el
capitolo 7 ,
lO.
APPENDICE: RICERCA DEllE PRIMITIVE PER ALCUNE CLASSI 01
FUNZIONI
10.1.
In tegrazione d e lle fu nzioni raziona li
Dia m o ora un'idea schematica. d i come si calcoli in
~C llfònl.Je
la pri m iti ...~d di una
fun zio n l:! rlt.ZLonale:
J
p.(x) d
Q", (x) x
(abbiaillo inrlicato con p .... Q '" poLinom} di gTl.\ do n,TIl, r ispettivum e nt e ) .
• Auziult,to: 9( il gnu lo dd '/utmt;1ulo1Y-: f: 2: de.lgfU do dEl d~wm ifl. flton~, per prima
cosa 31 esegue lfJ. dittision c d i polinomi; quest o porta !l ri!'>C":rivc r c r inte~l"anda
COInl:! $()rIIU1A di un p o linomio (che si j nt. li'~r él immedial ame nte), più una funzione
ra.:.-.ionalc con lo ~tesso denominatore d i quella di partenza., f'! il nllmeratore d i g rado
infcriortl. (Questo non concludO! il calcolo, nla è un p rimo passo che semplifica le
cose) .
E sempio
:r."+ :z: dx
x'l_:r.I· 1
J
W. l.
La
d ivi~ioTW
c"li poli llomi dà:
x:J
+
x"'" (:t?
+
I
+
1) (:r·- 1) -I (x 1- 1)
Capitolo 6_ CalcolQ intr:gNllr.
318
pL7"
funn()nt
u.
u.na vari.ahlk
qu ind i:
l
x
. ,
d;r. =
X'+X
..,...1:+. 1
2
1
(x- l )dx+
1'"'
X
'.}
.
J.x
r+ 1
In base a questa osserva.ziOILI:: , possiamo d 'o r a in poi supporre clu! il grado d el
numeratore sin. già minore d el grad o del denomina tore (aJt rim e nti ci si rid uce a
que:,,1:o caso mediant e d ivis ione) .
• Se il den ominatore è di primo grado. il 13uO int egra le s i calcola immediatamente,
rnediant.e logaritmo Cv. e.'Sempio 5.5 ) .
• St'. il denominat ore è di secondo .qmdo (e il numcr atore d i grado .$ 1): oceorre
d llitiuguere 3 c$.Si, u tieco nda del segno del discriminant.e del denominatore.
A. Il d en o minatore ha d ue r adici distint e. La. frazione Ri scomponi'-in fr a tti
semplici c s i int.cgra p o i m ediallte SOIn lna di loga ritmi:
Esempio
x+2
2 )(z + 3 ) cix
10.2.
Scriviamo :
x+2
(x
:.t )(x
+ :.1)
"
b
~--+­
x - 2
x+ :i
per op p o rtu ni eoçffi cient i a , b da dct ' :rrni n arsi_ Per dl:! te n ninacl i , 5; esegue In SQ IlUlla a secondo
membro face n d o denomi nato re com U'II~, c "i i,., p()" e chI! la frazion e: trovat a l'ia uguale a q u e lla
a primo membro. Si tn'''R'':
x(a + b) + (3n. - 20)
(x
2)(x + 3)
x +2
(x
2 ) (r
+ 3)
che è "er o se e ':'010 se:
n+ b = l
{ :10-2b = 2
{
n = ~
b = ~
Q uindi l'i nt.egr ale di part-enza. è u g u ale a:
~
!
4
l
( x~ '2 -;- x±"3)dx = slog !:r - 2: + 5 10g lx+ .1 1+C.
1
B. Il denomina tore è un quadrnto perfetto. :\lediant.c sostituzione ( v.
f'~emp i o
5 .8 )
ci ::;i riconduC€ alla somma di p o tenze, c-h~ ~i illwgra im mediataUlcnl~.
n
C.
denominatore non .:,-r. Q.nTlUUa ma-i Cv. ~mpi o 5.7) . VocJjamo
come si p rocf'(le in gCllende in qneslo CD..\jU:
f.U
un esempio
@ 65_ 0!'-" T5"T·~
10_
Ap~"dire;
Hi,a,,,,a deIle pnmittve per <llcttnc
c/.B.~Jli di
bmzioni
319
Esempio
J
10.3.
x
",2
-t 2:1-+4
d1' _
-l
2
J
J
---- "-'+2
-.-----d'l.: -
:r2 + 2x + 4
l
z2+2:r. + 4
d:;:;
Si ~n' j com'è ("Q~tru it." "identità: il p,-i",o n.ddendo dev", a vcr e a n ume,-atOl-" la. derivatll
del d euo,oinatore, in ques to CBSO 2x + 2 : d'alt ro c anto il ".""undo addendo non d"ve con tenere
;z; a u umeratorc: il "true<:o~ è pl:!rdò sc rÌ'l;ere:
l
x = :.! (2x +2)-1
e non, a d ,~sempio, .7: = (2;,: -I- 2 ) - (,,; ---- 2), c he S<lrl:!bbe vl:!m ma inconcludente, in 'lu<lnto [i
,wconr!o integrHI" a ".-rehbe ancora la x a ,,":m.:r!ltorOl:l. Ora l' p.spressione trovat a è ugllale a :
l
( '
c, 108 x +2x 1-4) -
J
(
l
l
·,
t ' X ,dx = -21og(x +2x +4 ) x +) +:
N dJ' u lti n',-, i"lcgralc "'; è U~~l~ lo. formula vÌ.'l w.. l'cr I.... primitivo. di
X --i-- I = t , b
= di.
J
x+ l
r-;arc tg - -
vI3 + ,
vJ
.,l! .. l , pi ù
la _tit; uz:;one
In genera.le, se il denomina to re ha discri minante negativo, ossia è irriducibile, s i
s pezZtl lA. fraz io ne in d ue add e ndi , d i cui u na a Humera tore p r esenta la deriva t a d e l
d jOm omilla t o rp., e p o rta ad un integrale logaritmi CO; l'alt ra. h a nu m eratore costa n te,
e si riport.a a ll'integra.le d i una funzione a rCOt.A.ngente .
• Se il denominatore è un polinumio di grudo ma.ggiore di due. il sempre poss ibile
(teoriCSl.Ulcnt e! ) scom porio in un prodot t.o d i (potenze d i) fattori di primo gr::l.do,
o p p ure di Reco ndo grado irrid ucibili. Fatto quest o, si scompOHfl ISI. frazio n e in fr atti
sem p lici , o. c ui si applicano i di~rsi precedenti. l p r ossimi esempi illwlt-rano solo
alcunI c~..l semplici in 1:lli qU(;!jLu accadl'. So.: il ~n...Jo dci d e nominatu re è. lUolto
maggior e di d ue. . pro cufUN>i un buon w ftwa.re! !
Est!mpi
UI.4 .
O.s:;er ..... i/lmv il denominaLore;
x 3 +Zx·'
+x
+ 2 = :l?(:X-r 2 ) ...... (x
+ 2)
=
(x -t- 2)(;cl_l)
S,-,omp..-.,.r, n il d cnomina t orp.. s i ,;.compone il Qu o z.ìe n te in f ratt.i semplic i ,
2:.t~+3x
(x
+ 2 )(xl
l
--i- 1) =
Il
:;-:+:"2 ..;..
bx+c
Xl
+l
CO" G, /I. C da delel'min an<l ( Il çri t e rio coa cui abbi fIJ ll o l'<:ritto i tlUln "rato ri incognit.i è che i l
grado del flumcrutore "'a mlTlOre di ... TlO del !T'urlo dci Jenomina/Q~) . \1E'u~' "d o a dellomi.
nato n > (."Om unc , si l~o"a :
u
b:z:+c
-- +x'+
-- l
z +2
a (:r'
+
l) + (b;z: ..I... r)(:c + 2 )
( x + 2)(x 'J + I)
2x'+3x- J
(;::+ 2 )(3: 2
+
I)
320
Capit"l" 6 . Calcolo
se c solo
~C:
iri.l~lle.
per funzioni di !tu" v a riaòile
2b --- (;
-=
l
"
a~k2
{
@6S_0<\_(}764 7 _8
{
sistema c h e risolro dà:
:I
9
b ~
a + 2c =-1
5
"5
<
Perciò:
f
•
2;;;
~
:s;3 ___
- ~ __3:.r; -
cix =
l
2xz+x+2
1
j __,_
- ,l:r: .;-
"x+2
~,-, log l x --c-2; + ~
lO
l
"5 1og Ix +
2
+
j
~
"
-::..i!d r -=
>I:r
x2
--'--1
.1: 2
+ 1
-
f -,3.x~ d.x _ ~j ~
,
9
2
lO log('"
l) -
5
x~-';'-l
3
"5 arctgx + C
10.5.
Si scompone:
x + l
x" ( x + :i)
IiX+1J
---~
c
+
:.r, ->
+
",2
a
e si procede al so lit.o m o do. Si not i che
b
)dx
duo! il imm ediato.
10.0.
Il fatt ore (x2 - X
+
I ) è irriducibi le. S i scompon e '
(:I:
+
x' +
l)" (x~
x
ex -,- d
x+
1)
e si i mposta lIn s istema d i q uatt ro equ"z ioni in quattro in cognite c h e risolto dà la scompos izione in fratti toemp lici . S i trovano CùO'>ì due illtej:';l ali di li pi d ", abbiamo già trattato .
• F unzion i razionali d i e"' . Dovelldo in tegrO'lle u na fUIl~.i one razionale d i e Z , si
p o n e e? = t; x = log t ; d,t: = ~ , e ci si r iconduce a una funz ione razio n ale dì t.
Occorre, alla fine , to rna re alla Hlxiu.b ile :1: .
Es empio
_10.7.
,,<'
= t ; or = log t: d:r = _l
.
t
~
CD
1
CD
J
x+ 2
:r~
4.:z: +- :1
e
J
~
[,
x:\+
e
J ::~ ~dI
~
/
! -
r'
d
x
~::r:l dI
l
(x
1
+
I-
,
l) '"
1 - 2x
1,_
l) dx
l)"(x:t
e
- --'".x
Ch x
2
2x7 - l
>lI
27+3
x
l -- <l
dr
10.2.
~
,+,
-
l
(3.7' t 2 )" dI
J
$
X2 ( X
e
-~,l.r.
e 1""2
"
e l' +x+ 2"'
- - dI
G
e J
e 1
2$ - 1
dr
:/.,2 --:.!x+1
x" 2 tt'C
~r
~
l- x
3
X2
f
:lx+l
et x
x2+4x + 4
Integ raz ione delle fu nzio n i t rigo n ome t ric h e
In questo p ar::t.grafo fa r e m o una b reve
funziOI .e t rigo nometTica .
~ allo rA.ruica.
di m eto di per iutegnl.re ull a
• I nle.gm li del tipo:
J
J
,.
f (sin :r) COS:I: dx : si porte
!"inx = t,cnsxdx. = dt
f (cos:r;) !'\in TdJ: : si pone
COSI =
t., - sinx d:r = dt
Ese m pi
l
1 0.8.
.,
'i'
(sin x)3(0:09x)2 ,ix
Si OS3':!TVI. c h e:
(s inx)J;{ ( :();;:c)~ ---' sinx- (M" X)2 - (c=~·)'2
.
1"
= sin x(l--
( C:06 X)1')(C06X) 2
= f (crJ6x )sin x
/~
"in _r { I
,..,.-
I
/.
'1' -( l
, ,
1 (t2 _ t 4 )dt-:
- t ) t dt ...
/
:;2
,
2>1.
+
l
l fiO
322
• [n genera.le; dovc mlo calcol(Ln:
f
( Bill x)"(cos x )"' d,,;
con alrnGno uno degli espone7lti dupm-i , è sempre possibile ri scriver e l 'illt<'gra n da in una ddk
(orme f(,.,in x) <:06 x o I (cos x ) s in x , sfruttand o la. relazion" (sin x ) ~ "i . (C06:r-)~ = L A ques oo
punto l'llll cgnl lc si calc ola .....on la. sostit_u z ion" "in x = t, o CO:<I x = t , ri " pet riv(LIllCnle.
• Se invece ent r ambi gli esponen ti 1>0" 0 pari, si possono u sare le forrnu!t: ~ri gonoUlet..- ichc p l:lr
l'abbassame n to del grado:
-2, ( 1 ....
CO:5
!
.
10. 9.
2 :r; )
(s in:l;)2
'
~(1 - cos2 x )
,
(sin x ) (co.'1:r.) dx
Si ver ifich i che d alle form ule preceden ti segue:
J
(sin X) 2 (COS x)" d r =
~
f
( - (eoo 2 r)3 - (cos 2x )2
+ {:(>s 2r +
l )dx
Ora : gli ad d e n d i cos2x + 1 h anu o integ rale immedia.to; (COfI2 x)~ bi ic t et,:nl C<HIl" v ist( ) in
prcccden2a (attcn7.i one all a presenza d i 2x an ziché x) ; ( c09 2x )3 r-ic lltra nel C:lSO in cui UIIO
d egli espo n en ti è d isp.-'1.ri: Iii ri,;c.;r ive (cos2xi' = coo; 2x(1 - (sin2x) 2) , c t; i inter;ra ponen do
sin 2x = t . Si t ro va ( verificare i cak"li pcr cscrd:d o):
)'
(
)"
,.
'0::;;=
J<
s lnx
cosx
121: +:JSiI12:r. - 3sin 4:[: - sin ux
192
+ç
(o un ... ddl" molte espressio n i trlS;O a " llIelriche
• Integru1i del tipo:
J-= ~n ~
equival~nti
... q u*"", t a!)
•.J-= -~., J*QX.i" ~.
Si p ossono utilizzare le formule di prostaje resi (v . a ppendice A ) , c he r ico nd uCOTlO
alla somm a d i due inleg r i'l.li immediati.
Esempio
10.10.
Appli ('ando ii metodo
"i~to ,
l 'J"
6i verifica che:
cOI>nx sin II ò.:l: = O p e r ogni
1~" ~in nxsin tJlX =
l""
c()ppi,~ di
int.<,:ri n, 1"I'1
O per o g n i co ppie. di int.eri
/1.,
In , "
oF
"1
c.os nx C05 mx = O per ogn i roppi o. di into:-ri n , Tn. " ,; m.
@
I (). A_ppelldlr,.e: /{iu-rr:u dell" p"miti.tle per alcune dalfsl d, fuoZ1o ni
88 _06_U 1' &.1'_8
3 23
Que..-t.i in teSTa i, ""m o im port.lI.nti .. dio st.udio dcll<, ... r<"IW di H n.<ner (v. ca p . 13 ), 3."'>!ic noe
ILO.. si calcolano con le formule d i prostafcresi, fII!l. ~ ti tue ndo nz = t ( !
sfrutt an do la (5.5):
ai seguenti (che
1•'"
(C OS'lX)2
l'·•
dx _
=-,.
(sinn x )2 dx
• Purulnnl razionali d i sjnx, COSI . L ' integr ale d i u na funz ione r azionale di ~i n x ,
p uò sem p re essere rk.ol"ld otto all'iuteb'T8le d i una run~ i one r ru-.ionalc, medi ante la. seguente sost it uzione:
COSX,
x
2
I. = t g -
:c =
2
dx = - -dt
2 an.:t g t
1
+
La sostituzio flp. è utile in fOr-za deHe seguenti ide ntità
CO SX
{
, ;n x
1 __ t 2
1+ t 2
=
t = tg
2t
~
t "2
tri ~onomet ri che;
x
2
~
Questo meto d o p ort6, in gene re, a calcoli laborirn:;i, e V'a n tiliz:ait o perciò solo
q Uruldo n o n sembra esservi una via p iil :>emplice o un buon softw--drc a portata. d i
mano.
Esempio
5i n x--Sc.:os:z:d!l.'
3 --L- 5in 3:
10. 11.
/
L ' integra le si scomp one n eUa so mma di duw
l
si n :r
~
:1 +
/
~jllx
dx -5/
e ' JHX
J
+ &iDX
dx = l, ~ 5h
Il secondo è immediato,
l, = log(3 .... Hi uz ) +c
Il prim o nOli è immedia t.o , lun p uò ''''"'<C~c tratt ato con la
e55ere "tile un'ul t_ima semplificazi one p r eli minare:
1 • ..: /
sin x
3 ... s in x
d:r; = / (l-
:i _
:1 + smor
,...-,..;tit,,~ionc
)U.:r; =:z. - 3("
l.
aX "-'- :r; - :lh
, .~ + s) n:r
C .... lcolia mo ora
Ia =
[
/
:lO
2t
t = t g 2":si n 3:-'-" 1+t2:d.:r =
:!+
l
~.
i"Ti"'"
2dt
hpP" " "" ,,·isl a.
_
1 +f2 ~
'J./
Jt ~
2dt ]
l~('j"
I
+-2t+3
...
dI
Può
dl<'" l' integr"k di una funz ione raz i" lL a l,· di /. S er it t " Lo J>r .. " iti ,·a di '~ " ,·sl" . ' '''<cOrr e r i ron,an '
al la "ariah ik T . l ""koh ( n"im'i ,,,,, "''''ai di rouli, ,,·; d .• "",,,.
I ' )
:! j
_. "
" iII definit. iva s; ha,
1, - 5h =.r
r
:1 l .,
-
Esercizi
r'
cD
.
~
J (Sin.r r '
CD
["
10.3.
:. S lll :<".~
o
Il)
(. r
' I
O
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"
,
cD
( ~ilL :r )- {c"., ::r ) <lx
C
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- ::
2
J;~;Il :c) ~
J
...
~'.,.
( !~
.
" ' " .I
si" 2;r tI.r
" in :tI cos :b-,(r
Integrazione delle funzioni irrazionali
V(x! iam o alcuni Il l( ~ todi d i in l." g,raJ:ioni app licah ili
il.
fllilziolli i ll'a~ iun alì d i l_ip"
llJ()l t.o sempl in' _
• SO ... l/ fll ': WTII fll, i t:ht pfr t ml/u" fun zion i m~ i m" d i di :r (
"",. dd / t
Sf9 !~~.'I ! ;
fllTlzlOni;
S t' l' illtegw.nda (' lIlla funzi otw fa~.itlnaJe d i x " d i lil la :;ola d cll " pn":I" It>lIti r/:id i" i
q uad r ate. si dfett l!;1 U!la >,o>, ti t uzion .. sl?nd fud
.r~ ,
Si pone:
L
(1
" in 1_,!.r
=
(l
("o ,.; IdI
:r ....
,ucosl j
( S" ~i sta c akolandu un intq~ral. , ']p fÌ ll ito ... i :-a d .. n , \~aria 7 . •' 'I ll iud i f : pen 'i , ;
si può tog lif'r, ' il modulo rnett " l ldo il segno npP"ltnno ) L·iIl I, ' ~ r a l , · '.. q u i nd i ri'-<JudoTfo a qll d l" , l i urlt'. fUlV I.,) ... ~",- zi"-) : la l .. ,[ " 11: 1_C"" t . .-\ ~lIa ~- , )ha. questfJ . '
" ' Iapre ric:o JH1IH-il , ile all·int '~_l!:r : ll. ' ,li Ul!3 ~un7 i "I," r"Z; ' >Ilii!P_ 111(' ,j i' l1 :l t' la ;;O>, i) t1\ zi" tlc 19 = 11 {f) Il ll' a ltra y j;\ p l ,' 1 ",, ·mplicc. ~'-' p" ... "ii ,ilt-) .
i
B, ·/a"'! -+- xl
Si pOlle: x = (/ Sh / , ,Ix
-~
,
\ (1 " -' - J"
=
a eh / di;
\ ' u ~ ' l---'---- i ~! ,': " ,
_o aCht
(Si o sseTv i dw ( :h t (- selll prT 1.".-;ltIYo). L ' iIl!.,,:.'.!"al.· è qu i nd i r k " m l"t. ro a II l1.-1I.)
di una fu n zJ( l!w l <t:t.it'lflalc d i :--h I. Cb I. A ~n" volla. questo i· ""'1111' 1'(' ric on dll<"ll ,il... <Ill' illl ('\~ r il l ,- di UI:a fU II':"'lt· r«zi o nòk. IIlt ',lIa l ll<" la !!-O':I ]' \ U :<>Il( ' ,,' _~ u: /
log Il: dt =
;"pp urc. j"il; ~ ..,.!; r ;tl , · ,..i ctllco!a
un ·"lr.ra \'1<1 P ;'I ""llIl...I: ('... ;_
2
C , .....-- .r _,,:· _ ~iIJ .. Ilt'; :r~,, ( ·!t f.a.T =a Sht.lI:
o::.
p,r
~--
V/ a2 « Ch t F
I) = flSh tl
\:-:;e si ::;ta (',lk" I; lI ldo un intt';!,ra!,· d,-' ~ì nilo. ~i " " d ..n o, HlTli;1.
J'.
,.
' 1'1l1ll!i t: p<:'rr" "
:-1 può t o g li"I-" ii Ill u<h:!o !l ldr"nd o lì ::;I:'}:,II" " !'PU:t UIIO '.
L ·II:I'·",I<.I[C::- qU :lld i
r in:..nàotto >~ .. adI ,.) d i una f' l ll / i'HI<. raLi o na:" di SI , r. C ht 'v . .-, ......., H L
chc q uand o ).,) "I \{ottunn o le ).,( ,s t il \I;:ioni B
\";LI"iabilc x O(T" IT~' usare le fun'liml i i J>er\)Cll idw i ll\-l~rse :
O ::;::;f'n i;lIll "
.r __
T
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que~to
-
I! C ht
-=
t _.
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=il-
t
'1
SdlSl
(X)
~
=,
f' ('.
tlt,l rito rna re idI: ,
l)
(, + V'-:;:,-)
~
a:!
• I
p r<'>l'. ;si to, c.., uti le a lt· ·lw Il,-, ta1"C che:
Esempi
P"T siJT\rnct,ria, 'p ..." t ' ah'''- i , '1 1I;\u ." , vo li" q uel!a ,·"" ,pro·...a nel prim.' '1",u1 rant e, ciO{' l'li"
,",-dc .. la..'" con'"' i" " "j{ra("" u ;0 ,', . , (.-I];, f"""I. (olw:
. \ n :1L c:llisse = -(
l..
"
!
Xl
/, \ /1 - ....." d:r
•
O'
r
I .- ~ 'J ~ ,,,!: ,I.;.
L"
I
,,, ' , ' ~ ,,,
-o
( fI.
"ì
, I
l
I
',~
.
,.- .
326
C"J.''Ìtulo 6. Ca k.fJ /u inl.egrnlc per funzioni di una ooriabilc
lO. Il. Ca!ce>lhu no la h Ulg.he=a dell ' arco di para bola y = :r.~ p er x E {O, II I. l':sS<,lldo
l'I; ha:
L =
[:.I X =
=
1'"
';1 +
l
= 2:r,
4x 2d:J: =
~Chtde;
Sh!, dx =
11"
t €
(IL S ettSh2a)]
S." Sh~"
! (Cht)'ld t = {rkon lll.lI do la p ri mith,l}. di (Ch t )2, calcolata Ilell'~rnp io 5. 13 )
o
l [ '
= -
2
- (S htCht
2
C'ome si vede ,
t rovata per la
l
+ t)
Il
B.ndlt~
lunghw;~, a
S",uSh2"
l
= -(2a\.11
4
-t- 40 2
+
Jog (2u
+ ,/1 + 40:'»
in un CI:I.'JO e lement a re co me Quello dell a parabola, l'esprt!S."Iion e
dell'arco ha una cert a complelOsità.. Q\lesto è Ila fatto abbll..!ltanza
g~ .. craJe.
Lo studente p rovi, a ti t olo d'esemp io .
]' arco ,lì e llisseo:
ti.
imp m.ra m il calcolo della lungb ezza de l-
x E [O, Il]
(cioè u n Quartu den'eJli ....~c) . Trovera che , salvo il caso ha" nle a = b (c irconferc ru a!) no n è
possibile d .. tcrminare " .. a p rimiti ,<:!. clelia fun .:io ne in tegra nda con i m etodi [wli .
10.14.
j,
d:r
1
.tI z~ ";x 2
=-
1
[x ....:: Cht; dx = Sht dt ; t = &:tlCh:I: E (SettChV2, Sctl Ch2}1
l
v"i
• lntegrufe di una ftmzi ont: ra zionale di x, x " ,/m l ,x"lI/ m.-.<,
S i pone x = t con
n = minimo comune mult iplo d i 1n l , m2 , . ... Si h a quindi d.x = nt" -L dt , c l;i
ottiene una funzìom'!; rA.zionale d i t. I ntegrar.a questa , ~i tor na a l1l\ ·variabile x.
Tl
• ••
Esempio
10.15
lA fun ""ione in t egn md(l di p e nde d a d ue di verse p o tenze a esponente r azio nale di
Se poniall\o:
3: '
;c: l / ~, ",' / l.
8
t'~H _0 7~ ~ T· t;
J~ . .!\ppemdwz: Rtcen::a
ddte
p1~mit.:~!<,: per alcune
da!Js-1 di
"mzi~1
3 27
oLt.e lli>lUlO un a (""..:ione r~;on3Je d i t, pe~ché 1"-,/ 2 '- t', x l / .,
I -J" "XI"
2;J: l/'~ +3~ =
2t~ +, 3
E~rcizi
x'
I
<Il /
x'
fZi) I
fII /1 e 1'(1 -- x'l»)!~d:c
<Il
,/2 -
:t:~
<P
<ix
e 1,' ~
x
v'3 + X2 cU:
,
x'
fII
l'
x'
~
...rxr=I dx
fZi)
x
~cb:
fII
[
xy' 4 - :r2 d,:r
fZi)
<ix
,.rxr=2 dx
r
J
,Ii + Vi+ldx
{IX
fZi) /
J
dr
.,fi - {IX dr
x(l + Vi") -
t
o
\,/1 +
(~ i (] X )2cos xd:c
I pTOlfsimi e"en:izi mGlstrono e.'!empl di " itt.ano n i in C1Ii, (".(In GIppOrttme in~oni p€T
parti, ci si d co ndtH;e 1)11'ill t~!lle di ..na f unn onc ,-arianale o tlr'la j unziGlTlf'. irrarianate dò
tipI t rattati in p mr.edenza_
e j
(D
l'arc,
e !
CD
xarc.sinxd:c
/, 2 x(Iogx)2 d:z;
g :Z: dx
x arçt,g (x+ l )dx
Eser-cizi supplementari
( n ~ 1)
~ una !:.()rnmiO d i Caur.hy-fllema1'1n per la ftm.:io ne f ( x )
h ) Cakolarc
li m
.. --+"""
S"
= l +l~"! , rd"t iva all'in t en"llo [iJ_ ( .
328
Capitolo 6. Calco lo
Ùltf'.gralf'
per flJ.7lzirm-i di
UfW
o.mriabile
m
S ia f(t) = 'J.t, + a , c~"",t -I- '" sin~·t.
('!;';!eo!are il ,rd.lo ~ m O'dio " i\ valo re effi cace d i /. GellcnLii;>;z;ar" a
I (t)
=
ao
+
L
{(l I< ,».'; k:..lt
+
bi< sin k<.JI.}
k ~l
Gr)
Calcole.r" i ~"gl1<m ti integr a.li indefinit i:
al
d)
G:D
J x,;,x_
J
l
fo ( I
JE -~ (X2
J +
b)
4 dX
e)
J
c"'",in 2xdx
v _
2x 1
l - dx
el
+ xl cl x
-I- x )dx
x
Calcolare i s (~guent-i integrali d e finiti:
a)
1"-
xsin2xdx
cl
j'2
v/ 2:
,
-O.-
1
x
m
dx
h)
[
d)
1'.> v'l + ,/x,u:
l
x (logx-'- l)dx
l
( porre ....h
-,- ,;x =
Calcolare il vo lume dci soli,1i che si ot.kngouo dalla rotazione della
a i du e assi eart..",iani, per O
:r S 1.
G
:s
Calcolare per ag il i
TI
G)
~ atturno
i n t ero p<m iti vo
a" =
D iH<~ u tere
CUr va
t)
"
1
li
x -l
T(x:"-~-I~)'a dx
il carattere dell a gerie
S ia Il = I l (t) "" impulso un itario d i durata l :
h (t) = { ~
seO::;x:51
,,"cx< O oppure:.:>
Calcolm-e
{h
~h )(x )
=
!~<>C
h(y) , ,(x - y)dy
e disegnarne il gnl.fico.
..
~
~:~
7
1.
Equazioni differenziali
MODELLI DIFFERENZIALI
Come abbiamo vis t o nel capitolo 5 , il concett.Q d i de riva ta di una funzione s i prest.a a numcr~ i nterpretazioni fis ic he. R icoràando solo uno de~li esempi fa tti , se
x (t ) ra ppresent a la p06izionc aU' is t allte t di Ulla part.icella r he si muove l u n go ~ma
rett.a, le derivate x ' (t ) e ..:" (t ) r app resentano , rispettivanlcnt c , la veloci t.à c l'accelerazione della particella . l\on c 'è d a stupirsi, allo ra , se la traduzione nlaternatica
di molte leggi che governano fenomen i naì.urali p orti a scrivere equazio ni che coin\·o lgono una fuIt7.ionc incognita e qll8.1cuna delle sue derivate: è quest.o il COJlcet.t.o
di equ az ione differe nziale . NUlHcros issim i modell i m a tematici svi luppat.i negli u ltimi 300 anni dalle scienze a pplicat e (fisica, b iulogia, ecologk'1, econo mia . .. ) s i
formulano per mez:w d i equa"ioni diffp. rem:i flli. S i parla anche, perciò , di modelli
dijje1"cnziali. In mat ema tic a si d isti nguono le equaziuni (IijJcrcnziali uroina1'it; e le
c;f[uazion-i differe n ziali a deri·v ate parzitdi . In ql1c."!t.o capitolo ci occuperemo delle
prime, che anzi d 'ora in poi ch if,l.IllerClllo :;emplicernente "eq,lazioni diffcrenz if,l.li",
mentre d elle bt:X:Ond e da re mo solo qualche idea nel capitolo lO, paragra fo 4 .1.
Si dice equ aziune diiferenziale d i ordine n un 'equazio ne del ti p o:
...
F (t,y , y' , y",.
,y(n )) =0
(l.I)
dove y (t ) è la funzione incognit a , e F è una funzio ne assegnata delle 1l +2 variabil i
t, y , y ' , y" , . , y (n j • a V'alori reali. L ' ordine dell'equazione è l'ordine massimo d i
derÌ\'3zionc c hc vi compare. Si d irà soluzi on e , o ( cu1<!u) integrale, d ella ( L 1) ,
nell ' intervallo I C IR, una funzione y (t) , defin it a almeno i n I e ~l valori reali, per
<.~ui r isulti(l}
F(" ':IJ (t ) . Y' (t),Y" (t ) , .. . ,y(n) (t)) = 0
ViE J
( 1.2 )
Infine. s i dirà integrale generale dell 'eq uazione ( 1.1 ), una fo rmula che assegni .
eventual mente a l variare d i uno o p iù parmllctri i n essa eOTl t. eml1,i, tut.te le soluzioui
dell 'equazione ( 1.1).
(~ ) Si Iloli la diffe ren«" tr a le due scrittun , (1.1 ) e ( 1.2), ITlent.re ( 1. 1) ind ica l'''quazione differenzja le
dUe de ve ancor a eSSere! riso lta la (L 2 ) iml ica l' ident ità eh" hi ottiene Hostilu<,ndo
ad y, 1)' , _
,y/ n , la s uluz;onf> y (t) trova ta e le sue d eri""l'I.te cakulat.e e ffettivalm"'te , dl<' ora.
sono fumoio ni n ote di t .
330
Capitolo 7. EquazIOni d ijJeHònziali
@
88 OS Cl," 4 7_8
11ostriarno un primo esemp io elellle ntarc Ula storicamente significativo d i rllodello
differellz ialc .
• Modello di ,\Jalthus (per la dinamic a delle popola z ioni, 1 798). S i considera una
pop olazione che evolve isolata e i cu i uu ici fattori d i evol u z io ne sono fertili tà e
mortalità. Indiche remo con .N(i) il numero di individui presenti a l tempo t. con
). (ris p ettivarrtent c , f-J.) il numero di n uovi nati (di mo rt.i) per iudi vid uo nell'unità
d i tempo cosicché in u n tempo di d u r ata h i l nUlllero di nuovi fl a ti c d i morti sarà
ris p ettivamente >'hN (I) e phN(t) . Perciò, la variazione dci n u mero d i individui
in un tempo h sarà:
}'r(t + h ) - N (l )
=
>'hI\'(t ) - !lhl.... ( t )
Dividendo ambo i membri della precedente equazione per h a bbiamo
- N (t) ~ () _ ~) N(t.)
(l.3)
h
Assumiamo valida la (1.3) per ogui int.ervaHo di tem pu h; p rendendu il1.imite d i
a llibo i IOewb ri per h _ O abbiamo (ammesso c he la funzion e jV(t) sia derivabile)
N (t
+ h)
I N(t) ~
(A -
~)N(t ) I
( 1.4)
La (1.4 ) è un 'equazione differenz·iale l i neare dci primo o rdine; il numero E = À - /.1.
si c h iama potenziale biologi co. Sc ri vendo la (1.·1) nella forma ti.r IlV = E , si osserva
che il tas.."'lO relativo di crescit.a (o dimi nuz ione) d i }\l è costante.
L a (1 ..4 ) non a mmet te u na sol a so luzione, ma infinite; com e v e d remo, esse
sono tutte della fOrIna
(1.5)
d ove c è una qualsiasi costallt.e reale . Not.ialn o f'_"'lp licitarnente cosa s ign ific a ehe la
(1.5) è s o luzione della (1.1) : se n ella (1.4) sosti t.uiamo n.d iV (t ) la sua espressione
ce..: I , c a iv (t) la sila f'B jlressione cré t (c a lco lata dalla ( 1.4», ott.elliamo un'identità.
Se si cono:;ce i l nUIHero di individui presen l.i i n un dato istante, per esempio,
.N(O) = ~\ro ( condizione iniziale) s i può selezion are, tra le soluzioni ( 1..4 ) , quella
( unica) soddisfa.oente a lla condizione data: ris u lta così
[ N(t.) = Noé' I
(1.0 )
La ( 1.6) è una formula es p licita che ci com;ente di conoscere, in ogni ist.ante t 2: O
(ma anc h e t < O) , il numero di i ndi"\"idui presenti nella popolazione; ci consent.e
a n che di sapere come ::òar à l'evoluzio ne fin ale (t - +=) della p opolazione: essa
t.e nderà all 'est i n zione (N(t ) _ O) se E: < O.. mentre cre5Ccrà f'_sponenz ial m ent.e se
E> O.
~lORt ri amo come sì arriva a d et.erm inare le soluz ioni ( 1.5 ) dc ll 'equazione (1.4) .
Antici p eremo così facendo, in un ca:;u particolare , un ragioll"l.lnent.o che vedremo
più in generale in seguito.
L 't..'qua.zione i l/l..r = E (e<::J.uivalelltc a lla (1 .4 ) nell 'ipntetii iV /:- O) s i p uò r i:;.crivere
!
(log Il'll)
=
:=
I!. Rquuzioni del p 1imo m -d i ne
@&;-" " - 0 70547_8
331
d a cui
log ,NI = f:t
+ Cl
IN(t ) 1= eC] c"t = k"led
con k Z = e C 1 costante posit iva arbitraria., ~ infin ~
""(t ) = ±eé l , cioè i\" (t ) = ced
con c costaIlie arbi traria d ive rs a da zero . Questa soluzione non s i annulla mai
come r ichiesto dal fatto che per dedurla abbiamo diviso pcr N. D 'altro canto ~
l \f {t ) = O abb iamo ancor a. una soluzione d ella (1.4 ); possiamo ritenere, allora, che
nell a ( 1.5) c s ia u na cost ante re a le qualsiasi ( anche nulla).
2.
2.1.
EQUAZIONI DEL PRIMO ORDINE
Generalità
C'Al n s i deriamo ora. equazion i dci tipo :
F (t,y,y') =- O
(2.1 )
Ad esempio , la ricerca delle prim it ive di una fun z ione
risol vere l'eq uazio n e d i fferenziale del primo ordine
f
cont inua su I equivale a
--y '(t) ~J ( tl
c he h a infinite solu z ion i d ci tipo:
y (t l
~
J
f(t l dt + c
c E 1R
A nche l 'equazione (1.4), come a b b iamo detto, ha i n fin ite :,;oluzioni d ipenden ti da
una cost ante arbitraria c . Si d i m ostr a che l'insicm~ delle sol u z i o n i d i u n 'equazione
differenzi ale del primo o rd in e è costit ui t o da una fam i glia di funzi o ni, d i pende n te
d a u n p a r ame t ro c: t!------> <p(t ; c) : lale fam iglia prenùe il nomc d i i n t egrale .generale
del l 'equazione . L a condizione supplement a re
y (t o ) = Yo
(2.2)
perme t te, in ge n erale, d i sele-..do nare un a sol'uzi one particola.re. Il problema di
r isol-..-e r e le cquuz io n i (2 .1 ) , ( 2 .2 ) pren de i l n o m e di proMnn(l d i Cauchy.
Quando l'equ azio ne ( 2. 1) si presenta nella forma
y'( t ) ~ f(l , y (l))
(2 .3)
s i dice che è i n f on n a norma l e. Per equaz ioni di (jucst.o t i po si p u ò a.<;..<; icur are, sott o
larghe ipotesi , c h e il problema di Cauch y (2 .3 ) , ( 2.2) UITIInettc un' u n ica sol ll:zione,
uhneno localment e, cioè per t in un intofll() del p unto t I) in eui è a.<';. ,' egnata la
c ondi z ione inizia l e .
S i n o ti c he le soluzio n i dell'equazione d ifferen:t;iale, e~presse d all ' integrale gene r a le , pot.r e b b ero essere defillite su insiemi diversi a !';econda d el valore della
cost.anle , e tah ·olta su ins iem i più comp licati d i un intervallo (ad e;ernpio: per
Capitalo 7. EquazIOni difJerennali,
332
ogni t #- O). Tutttivia , quando si parla di soluz.io ne di
inte nde sempre una fun ;r.ione che:
Ull
problema di Cau chy, si
a ) è definita su un intcn'allo J , contenente il p unto l o in c u i è as •..eg n a ta la
condizione in iziale :
b) è derivabile ili tutto l , t a nte v o lte q uan te è richiesto dall'equ azione, f! w d d i..;.fa
l'equazione in cutto J .
L ' idea d i soluzione_di lHl pro bl~ma di Cauch-y (:(Irrispon de illfatti a quella di c"'oluzione di u n sistema , soggetto a una certa legge d ifferenziale c a U lla certa cond i;donc iniziale. Qu~ta illt e r preta2ione ha senso solo se la variabi le t vario. con
continuità , cioè in u n mtcrv aUo, a partire dall' istant e iniziale lo_
Qui di seguit.o vedre m o qualche cla.'>Se di equazioni per cui l'integr a le è rica vabile in forma esplicita. P er le. rne.ggior parte d elle cqu&'l.ioni, t.ut.t·av ia , ciò non
è p 05.<;ibile ed allo ra s i può ricorrere a metodi di integrazio ne app r ossimati. d i cui
si Occupa il rulc1JlfJ nt~me7"ico .
Esemp;
2.1.
Il problema di Cam;ny:
{
l\" (t) = 2 N(t )
N(O) = 5
ha un ' u nica 8011Izion c, d at a per qu a.nt o visto in precede nza dII.:;
N (t) = 5e:u per Ol;Ili t E IR.
2 .2 . S i può dimostrare .;he l' integrale generale dell'equazioue
xy' + y =O
è d a.t o dalla famiglia d i iperbo li
<
y = x
(2 4 )
definite pe r :r "" O (".ne queste fu nz io ni risolwl.I1O 1\ ,q ua 'l ioH(' "i verifica immedia t amente; il
punto è provare ch.., llon ce ne SOllO altre) . Suppon.ia mo di vo ler risolvere il problema di
Cauchy:
X1J' + Y=O
{ y(l) = 2
I m p onendo la co nd iz..io ne y( l ) = 2 nclln ( 2 .4 ) si trmn
c= 2
da f.ui
y =
2
.x
O ra , q uesta fuuzion e è la soluzi<." ,,, <..lei problema di C nU(;h)' ;;lJI\ ' intet vallo (O, +e>o) (dI'.!
cOll t ieoe il punto x = 1 in ;:u i i' 11.'òScgnata la con di ~iotle ini7iale ) . Sarebbe un errore "tfermare
che la soluzion<' rI", l problema di C a m oh) è .~ = 2/x p e r ogni x "# o .
eee'
f. Eq~~r.zù!ni del p,'imo on:i,,,n"',--_3 3
2 .2 .
Equazioni a variabili separabili
Sono O:!quazioni del Lipo
~
y'
a (tl b (y )
(2 .5 )
con a(t) eontinu<'I. in I C TR e b(y) cont inua in J C IR.. Osserviamo an zitutto
che I:>C il n umero y è uua soluzion e d ell'equaziùt1fl b(y) = 0, la funzi o ne cost.l'I.llt.e
y (t ) = y è u n a soluzio ne ddl 'o::quazione d ifferen ziale. I nf~tt· i in ta! CabO il secondo
Illembro Ri annulla p fl rc.h6 b (tn = 0 , e il priUlo membro Ri annulla, perché III.
derkata della fu nzion e co stan te è zero. Supponen do illvecc b (y) i=- 0 , lA. ( 2.5 ) s i
può riscrive re nellA. forma
y'
b (y ) =
(.L
(t) .
Cn ' ipotetica so luzione y (t ) 1:òOdd isfa d\lnque !'ident ità
y' (t )
b(y (t » ~ 0(1.) .
P rendendo gli integrali d efi n iti di a m bo i membri I>i
I
.
y'(t)
b(y(t))dt =
J
Qtt i ~me:
a (t)dt +c..
Ora Ilell ' imegrale a. p r imo membro si può fare il c tLlltbin di variab ile y = 1J(t) ; 1111 =
y ' (t)dt ottellend()
J
- <Iy
b(y)
J
a(t ) dt-c
=
(2. 6)
oon c costante arbitrar iA..
La (2 .6 ) a.:;~gna !"integrale generale d ella. (2 .5). C iò sig;n ifica che se B(y) è
un a primiti .....ll di b/Y) e A (t) è u na. primitiva d i a(t ), l'intcgra.1c ge ne ral ~ della (2.5 )
è usscghato implicitamente d a.Il'equazione
B (y)
=
A (t )
-I- C
oon c costan t e a rbitraria.
Infine, se si riClScc a r icav6rt;! esplici t ament.e y dall' u ltima equazione (cioè se
s i sa scrivere la. fU llzi() (le in ....crsa di B , B - 1 ) si o ttiene:
y = n'" (A (t) ..:.. c )
cioe
un'et! pr~s i o lL e
del tipo
y
=
F (t, c)
(in cui la ('{)st.ante arbit.ra ri ll c può compari r!'! in qualsiasi fo r ma, anche non a d d itiva ).
I n p ralka, data un 'eq1.laziom'! a . . .a ri abili &'pa.r abili. non è d etto (:h e si sappÌl:mo
dete r minar e e;pliciti1.l!Ien t c le pri m it ive B(1/), .4 (t ), e anche in ca,<;o p osit ivo non
è det to che si sappia esp r imer e y n ella fo r ma y :""T F (t, C). C iò sarà poss i bil~ ili
cosi particolarmente !lflll lplici .
Rù:urrJ(lrc la (2.6) (. fa cile: hru;; t a l"'llsar(' di seri n'II' y'(r) ':" ~ " , traHalldolo
formalment., ('ome Hil qUOZi' ·ll tt> . tra ... fornl"ft' la ( 2 :,) nelltl
-.II'' .' = a(t )dt
b(y)
che p oi si iIltl'g ra fO/"l na lm{;I!\.(' Ill cl llhro a lIH :rnb ro, arrivando alla (2 .6).
P e r I.>rqUaziOl li a. \'ar i,1hi li !'wpar ubi li va le i l :>" g"ucnk ri ~\l 1I
I di C'sis t "112 <1
della :-oluziulH' d el prohlema di Callf"hy:
ti"
(>
u nici tà
S i c., lIIs ideri il p robJ,-ma d i Cn\lch y :
!l' = . aU )(I(Y)
{
y Uo)
=
Yo
Se la funziOlIl' a(t ) ì· rontilJlH\ in 111 1 into r nu di te l' la fUII" i...ne f' (yl f. d ",ri t-ahi!c
con nm tilluj t ;\ in uu luI·orn" .Ii Yo- a llora il flroblEIII11 (h C<lflchy ha urla e tlll'l sol(l
sol/LZion e, dfJirlita almeno iu tm iuto17l.Q dl
'1).
Esem.,o
yyl= 1
{
L 'eq">'Iziooe si in l f:grl1
Si
,lI (Uj :.... :2
,.... ri w~nd,, :
"",..-r\'i
c h., , ... r og n : ',,'o re , I. r E lH '·~:" t O IL " dllE' MlIH,,;nni Ic .... rTl"' pond,·llti ai dH" segni
alla riul ice ) , .l'''i,,; t,, ~" I" pcr x 2: - c.
Io I1)1o"<,,, d o [a cQ" d i:l;ion c ;,,;>, iale si h a,
t1av~ " I ~
pcrci" ')ç()Orr" 'wcg li~ , n ' Il segn... ~. da"'/u ,l; a lla nu lle" . c l'''n.' (;,. :1.. Si oUi""c t lui ud i
Il - - ,,/'2I -
I.
un ie;, " •• Iu>: io"" . Iel pr"I ,I('ma d i ( :auc h y, dd' nit.1I Iwr x? - 2 .
() "~E'rv ial!l" "h(' iII questo IW,I/ 11("') - ! j y è dnh'abi k (' O li CO lO t.i nuità IIt'T Il t O. rn en tr l:
a rt ) _ I e CO' ,I ;"'11\ (}\' I:"'1u e _ Il l'~)blE'l"a rli CI'l'lI ' I ,~' per 'l ''''HI\. E'(j "''''';O'' f' I,,, . 1" 0 '1'''' " " 8 Cc
u n a ",.I .• I;O III.'; '>IIc p u n l ..·· la cOl1,l izio o e '";zi,.1,, ' 1011 $ia d ,·] tipo
h li,. ui , 1 ·(~q"".'; " IlE' !l1/'
non l'''')
DUlI,!"" il pruhl"ma di ( :auch y
.,!>~n '
"" <ld ,,,,f;o l '" ;U l " t.' p umo.. , .,. p",(.",: (1Iuebt", Il
"lJ' '''' !
{ y(t<;) ,...
I)
=
l
:'\35
nor; :,"' '''''1\ '' a l, '1/1'" .... 'h';:;OI.<-' _ jn altre Sil il H.zir,.. i i" CUI .~''''-' n o l;."- l.- iv"t ..... ; dell . ~ •• '?ma.
ptH • ..!,I>.· c a d . ro ' [" u ni",:.l di l a l" .."II17.i", ... :_~i ,,,,.1,,,,,, Sii ."",. dzi .'1" <" ",ssiv i )
2.4 .
l', 'q ua,,;,,,,.·
~' " da l "
:!f .../ i
!.l'
Le n'\I ' Il
I " !I
~ ~ , ~cno
!I Z
""III,,-ioui _ ., . a ltr(' ""I",tierni ,.. ",,, dnl .· .Ialla [""fl u la
cioè
de"ni l" solo P' " -1 :5. !I -S l , . , t,,· in q'h'sto im'· ..·.. llo ..
e qu""n. t ic-vrdand .. .-] ... aro;;n !l
la ful1~lon e ill,·, · . ~a di y
,,;n I ,
('<-
pr<>("O ~I"r" n " ""
G}
"
"
(,~,
S i i l •• pone '"
'·(>nd i 7.i"r\! ~
in i..: i"I. ' nell" ill t"lI;r al", J;<'1wf >lk:
!I - si n (t
,
J
+ c): 2"
:r +c _-
"
lÌ
c) Si _.!'t ;lui..... ·'· 11 "alor,' trovato di c Il,, lI l nt e~ra l. · g1:!lL(:ral.. e !'i I n''',. oc...i b solu z/L"''! d e l
prol ,I. " " ,,:
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:1
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< t :S V :1
\ ' - r.
< 1:5.
"l'l'Il '"
I. , ... ,-.Iv..: i"",· d ei pn,hl(';"p.a ,h Cauclly d<: \· ·, .... " ·,, , deti .. i." in '1"
p unt" I"i"ial" tn = ,/:r ; m deti" i, i~.,~ l" ".. l" ziotìe , 1.-1 prob l" I"a è:
~1"
in,,,n'l,n,,
COIHt:r,,'Ine il
. (, - t'O)
i
., ..... "m!
2 ,5 ,
( 1:'/U (l2< o,,, IO<l,~ I ,, ''' )
(:'o .."i<l,',i .. " ", )'<>qu a.zi." ,,!l' = "!Ii I - b!l;
Ll' n· I' . ·:1.I _ Il '' !1
i
a.t
n ~t a,. !i
> Il
"'\110 sol'''.i.)u i. J... , " h re so], u .;o ni ..... ... " dall O,b ll" fon " "]"
c3"3"6'-_--'C"'"a"p";"to""'Q'-7o·'-'Eo"''''"a"<c;oC'"'CiCdO'"jJ~,"'O',n""<C'al='_________________"',~
"'''I<- ('''-(}7'... T-8
Poiché
y(l
b
y-t-1 _ l>y
by)
f
"
I
dy
- lo g - -7- y(l- - h!J) l - by
I
le soluzioni sono ua t e da
loa',
Y
<'> ~ l- by
Il -Y by I
'"
11 =
l
I = at+r;
= ("u e
G
co.' tam." arbitr<1r ii'
"
Co =
",c
"'
costante po,.;it.iva
costante a d );traria
bel ,,"_'"
2 .6. Ne ll 'esempio in l rodut tivo a questo capitolo a b b iamo visto il moddlo d i Malth\ls per la
d jmunica di u na pop o lazione ; tale moddlo (, troppo semplkistico e cll ill.rarn""t.c irn;al istico
nella !lHl.ggior a n za d ei '!:-1.si: una p opolaOlioue p iù nurrlPro.'>!< "l'mport.a !l1iaor i ris o rse" c iò
im p lica. u n minore t;l..<;R(' di t:rescita. '\d Hl4[, Verhnlst propose la
( a l posto della ( 1.4)) :
ir (t) = c:l'.' (t)
(l _ l\i~t»)
L a (2.7) è un'eq u azion e logistic.. , con a
N(O) = N u > O è dat a da
E
oc-
e b
(~
~,,!~uellte
legge di e\-OIUZ;OIlC
> 0, k > O)
l / k.
La :;oluòone
(2 .7)
(pOti i ti,,~d.) ta Le che
11 comportamento della :;o!n"ior,€ <LI ...--a ~iare d i l è iIlOll'.t~a.LO in figura l distinguendo i casi
N u ~ k : si vede che N (t) --;o k l' n t --> +c>o; la costan t e k s i chiami' capacità dtll'a:mbie .. te.
Il <:"-'l.() d i Malthus cor risponde a,1 assumere k = 00 .
Le soluzioni N(t) = O e J\ ' ( I.) = k si chiaman o .~oluzio ni di '''Juuibn:o. P o ich é l\T(t) _., k
per ogn i IVo > O (quando t --> +DC ) la soluzione N(l) = k s i dice <l.lo'intoticamente stabile.
o
F ig uril l Solu zion i
2.7.
de l l ' equ~;:: i one
logist i=
p e r dive ry, condizioni ini zia li.
( Caduta di un .'!HJ.ve Ild vuolo e 1wU'ru 'ia).
corpo di rn""" ,," ' "
in cMut a libel'a n el ,,"uoto
TrLy
L o spa;o:io!l percon;o in
vert.Ì("~"tle da u n
"o dd i~ f.. l',,'tu.'. ~i o!lc:
" =
019
con 9 = accelerazione d i g rav it.à = e0.3tante. S i trova sub ilo y '"" ~gt~ ..; ai
+ b.
337
Se il corpo Clld" Ildl'arill (tri t ua:l'ione pii. re."\li;;t;...-Cl).! In re<isWltza il! p r opoc-ziQnale alla ,,':!Iocit ì. ,
il modello s i modifica coà
n~y" = 71!y -
hy'
S i tratt a. di u n 'equaz io ne d, ,1 ~on d n ordine in 11, eh" però s i p uò ri:;.crh"'H' n )me equazion e
d e l pri" "!lrrlin" nella 'o'docità t, = y' ;
,
h
v=g-"t V
Q ue.;ta è \ln" eq uazione a variabili separahi li;
si ha:
T
1) _
l,q- ~ L,I
- ';; log
è
Ulla
~
J
=
t -t-
s·oluzione
cO!!tallt e .
Se
t
.,:,
d'
C
L a prC('.e<!cme eq ua:.o:_ione 5; pUÒ esplici l.uf' in v:
v( t ) = n~q +ke-1:;t
con k cos t a n te arhitrari a (~i fluti .... ILe, per k = 0, s ì ritro va la 50Iu7.; 071<: Cn.,trult C t: = T)'
È interesssntc ooservarc che In questo c aso ll:l \'elocità si sta bi li:r.7. fI mp idamente 6ulla \.le·
tacità lim it I': 'Ili ... = ~ , ment re in assen7..'l dd l 'm ia la velocitil. t t:.-orica ti = gt + a c resce
indell Il jj,a mcut e .
2.3 .
Equazioni lineari del primo ordine
Sono equft2 io n i del t ipo (2.1) con F linea re in y e y', ossia che si pOEsono scrivere
nella fo rmà.
.
Iy '(t ) + a( t )y Ct) ~ ! (t) I
l'O Il
a e / c ontin u e s ull ' illt.ervallo I ;;; IR. S e f = O l'equazione
z'(t)
+ u(t) .t(t )
(2 .8)
;:,i
dice
omogenea.
(2 .9)
= O
P er d:lntro, la (2.8) si dirà (;()ffip{ cta..
D i n l()st.ria m o anzitutt o la seguent·e pro pooizion e fOJldamelltale (che , come vedremo, !;i estenderà t\.He eq ul:Lzioni lineari di ordine qualsiasi):
Teorema 2 .1 - L 'i.ntegrale genero.J.e. tld l 'eqt1ll21·one completa Si ottie.n ò:: aggiungendo
a ll'illt egrale geneTUle dellu omogenea una solu...-ione particolun: ddla completa.
Dimost.ral;orM? Sia infatti y(t) u n a qual u nque soluziolle della (2 .8) Il iJ(t) una solml:ione
particolare, c ioè:
y' + aCt)y -:- f(l.)
il'
+ a{t ) y
zz
J et)
+ a(tHy
- li)
S ottraendo nl<:rn bro a ",cmuro si ha:
(y - y)'
=
u
Perciò hl funzione z (t ) = y(t) -1I(t) ì: ~l u.:.r.ione dell>.\ ('1.9). V i<:t!vet"Sa. ~ia z(t) una qUllhmqut:
so!u,.ion e della ( 2.9 ) e lI(t) u na "...,lll",ione part-k')!;;<T<' della ('l.!'!); p ll r ..omma s i ott i'mfl eh", In
fu nziotlC y(t ) = .,.(t ) ...,... get) ~l ~l>lm:io lle d e ll a (2 8 ).
338
DIlp1 t oIQ 7 . Equazlmn d ifferenziali
@
88-6S· 0 1'lW1' · 1I
Abbiamo cosi <..Iim(7l5t..rato che la AC neric.... ROl ll:<,"nc dell 'cqua..;,o:ìon e co m p1ota si o tti ene l'ilJl rlmt. n d o a.lla. soluzione gen eric8 dell 'eq u a z io ne omOj1;en~, "na soluzione particolare (fi ssata
una vol ta per tutt e) dcll""'lu&2iou e t;ompl€ta_
O
• Soluziune dell'e.qu.a zione umogenea. O ccupiamoci ora d e l1 'equa'Lion e omog~
nca (2.9) . SiA. A ( t ) una primitiva d i a(t ) (cioè A '( t ) = a(t »; molt iplich iam o
ambo i membri della ( 2.9) per eA (t l ; abbiamo
z f( t ) eA (t l
+ a ( t)z ( t)eA(t )
= O
che si p u ò anche scrivere
e cioè
z(t)eA{t l = c
d a c u i , essenùo A Ci-) =
f
•
a ( t )dt,
(2 .10)
L a fo rmula p r ecedent e d ice, in par t icolare , che l' integrale gener a le dell'equ 82ione
o m ogenea ha la fo nna
y = CYo
d o ve Yo è un a part icolare sol u zione dell 'omogenea, c c è llna costant e arùit r a.{"ia. C iò sign ificA ch e l'insieme delle l:loluziu n i d i un'equa.:.r.ione di fferenziale l ineare
omogen ea d el primo o rdin e è u n o spazio v ettoria.le di d ill1ens ione l. Ved remo che
l'insie m e delle F>Qluzio n i delle equ azioni lin e l:i.ri omogenee del secondo o r d ine sarà
u n o spazio .....e t t oria le di dimcm:lÌonc 2 .
• R icerca dI una sQluzione partit:otare del la (2 .8 ). Spesso un ti. soluzione particolar e
$i riesce a FrCoprirc fad lrne n te; rut rinlenti i.1 seguente -metodo, d etto di variazione
della costante, cnW:lcntc comunque di t ro vur ne u na. Questa viene cer cata. d ella
fonn a segu ente :
y(t)
= ç (t)~ - A(I)
dove la funzione c(1.) ( non p iù cos1.ante ~ ) dev e e&$Cr c t r ovata in m odo che g (t) ti ia
l:Ioluzione d e lla (2.8 ) .
Sostitucndo l'cspr e.."lSiolle di ti nella ( 2 .8) s i trova:
e -··' (! }(c'(t) - c(t )a(t»
+ n ( l") G(t) e -A, (t )
cioè
e - A(')c'{t) = J(t )
c'(t )
=
c(t.)
=
J (t ) c A ( . )
.!
f (t ) cA(l} dt
= /(t )
Perciò
y ( t)
=
e- A .(!)
l
f(t ) e A,I )dt
L ' integralI:! gellemie della (2.8 ) sarà quindi dato da.lla fo rmula
!
iy(t) =
d ove .4( t )
=f
ce- A ((. +
C-ACI )
J
I
I(t ) eA (tl dt ;
(2.1 1)
a ( t ) dt.
Nell~
formula p r eced e nte . A ( I.) è una. primit.iva qualsia.c; j di ,,(t), scelt a però
una volta per tutte: in rutre parole , n o n c'è blliog no di aggiungere ad ACt) lo.
costuIIte a rbitraria di integr azione, che figura già nell 'adde ndo ce -ACt) . Si n o ti che
!'integrale genf!rale n o n cambia se, anziché A (t ), sccglies.'3imo un'altra primitiva
d i a ( t ), a d CS('ffipio A (t )...:.... k. I nfatti:
ce
· IA ( t) ... k)
+e
· ; -1 ( 1)+.1.-1
l/ (t) eA(I)+ lcdt =
ce ·- Ire - A ( t )
+
J(t ) c·4.( t )dt =
e-A ( t l e - kek I
= C1C - A(t j + e - A(I)
J
I (t ) eA,(t1dt
co n Cl coot.allte arbitrari a.. Ana logamente, uel calcolar e l'intt::grrue indefinito
f J (t)e'l(t)dt non c'è bLc;ogno d i a ggiungere la costant.e d ' integrazione , in quan to
aggiungendola s i ha
c~ - A(I) +
t' .. A ( l ) [ /
I( t ) eA {t) dt
+ k1 =
+
(c
k ) c -A (t)
+ e-A( ~)
J
jet ) e" ( ( ) rif.
o ttenendo la ::stessa forUlula .
• SO~lu.ione ,id 7Jmblcma di Cuuchy. L a costante c nella ( 2. 11) fm.rà dete r m inat a
da una con dizio ne in izi9-le
y (t. )
~ li<>
Scegliendo la prim itiva A (t ) tate elle A (t o )
della (2.8) ROddisfa ccnte la (2 .1 2 ) fl8.rfl.:
=
(2 .1 2)
O (cioè: A (t)
=
J,,~ a (s)d.'l), l'i Tlt.egrR.le
c,----~--~----------~,---------;
:y(t)
=
ylJe -·4.( 1)
+ C-AffI
10
J(s)eA(" l d s
(2.1.3)
Si osservi il dive r so sign ificat o dell'mtegra le ne'Ila (2. 11 ) e (2 .D ) : nella (2 .11)
Il simbolo J /(t )eA(l!dt d enota una primit iv·a quaL.,iasl di 1(t) ~A(t), nella (2 . 13 )
denota una p rinlit iva b e li p recisfL, le. fu n z io ne integrale con cstre rHO fisso to ed
est r emo varia l·liLe t : 8 è la. "variabile muta" d' integrazione.
Esempi
2 .8.
Si voglia risolvere il problema di C"'lLchy
y
{
,
2y
l
+-X
x'l
y ( - 1)= 2
340
L ' eq uaz ione è de l tipo (2 .8) 1:00 (lez) = ~ e I(x) = ~; il [email protected] a è contiuw) in
( -::c, O) V( O. -1-00); es;endo il p UlIto in izia le "X = - 1 , co,, ~idereremo l"intervallo I = (-00:1, O) .
L a primitivI!. A ( :r-) tale c he A (- l ) = O c
j-", ~dt
A (x) _
0=
'.2 Iogltll~1
= 2 Iogf. - x)
Ap plicando la. ('2. 13) ahbiamo
y( x )
= 2e- 21 " " ;- T) + C -~ lo.(- ~ )
j'-,
-
l
t:
fl
2 i ",, ( - . '
'dt
= -:1:22
+ -X21 (;re + 1 ) -=
I ' ,..-.
3
:t:
;r2-
pc~
.r.
<
O
2.9 . ( Circuiti cun rcs i st'-'lIzQ. c capacit ù. ) La d iffer e rn:a d i pote n zial e t< ~\l \]e facce oppost e di
Il n cond « n satore di capac i ~à C inse r it o in Wl circui t o Òot.at.o di u na. r esiSlI:n7_a R a i cu i capì
sia applicalI!. u na. forza elettr omo t rice costa.nte E è desC f il-la dll.ll'cq ul:\zion e
(:l . H)
CRù+ u-E
Figura 2
La. (2 _14) è una .~q uaz km e lineare a. oocfficie lltl COo' l l1.nt ;; si ON;ervi che una soluzio ne pa rti·
._-"ulan, i.: d .. t ll dall a <-'"alt,-,uu, J-; m enu .:: l'integrale f!;CHl':ra lc dell;,!. omog en cf. : C R i> + v = O è
dat.o da ccx l'( - t / R C}. A llora la '-'Olu z ione della (2 . 14 ), t lÙC che u(O) = 'Uo,;, d ata , la :
u (t )
=
E - ( E - llo)e- t
(2 . 15)
avendo p<oo;t o T = RC. Il t ermin e esponenziale a geC01!<!O membrQ della ( 2. 15) t end e r apidamente a zcro qu and o t -. += II:) perciò rappre5 ent6 un rcgifI"~ troflS1t(!rio del feno m eno
dfficr it to d alla (2 . 14); il sec:o ndo h :rmin e (la COHa nt e El rapprC:SCIlt.>l in \'ecc il regime pe rma =t~
u( t )
---j!:- --- ---- ---------- --- --
E
/
'
!
~:
l
F igu~"
J
o.
Più i n gcncral€, sia 8 u n sis tema fisico che ad u n a soUecitaziOTlt.1 c fi t, erna ( entrata
o ingres.i o) J (t ) reag isce con IJn;';' r ispost a (Mcit l') y(t) l eg:-;.t.tt. ad
y (t)
+
ay ( t )
f(t i
= f (l. )
a c~"tant.c
!J ( t
l
S 0I. -"--
> O
f
dalla relA..dOfl t::
( ~ . LG )
2. E quazuml d el primo ordine
3 41
P ost.o y (O) = yrJ l'u scit.a y( t ) ù e l sist em a è data. dalla fommlRo ( 2 . 13) (con A (l ) _
at ) che !li ~cri"c
y( t ) = yo c-o. t
d ove y oc -
ut -
O p ('r t -
+ e - a'
-00,
I:
l' f(s ) c(J~ds
Yoc " 4'
=
+ F ( t)
perciò il l-cgime pennamentt: ~ dato da
F (t) =
l' f(l:i)e-a (t-~; ds
doè d a lla co nvo luz i oIl~ h ~ f(t ) (vedi cap. 0 , p ar. 9) delin solleci t a z ione €!l t e rnh f
co n lu funzione h(t ) = e -a l ch e cara.tter izza, a ttraver !lO 1ft. cost a n tI'! (l, le p ro prietà
rlsic.h e d ci sist e ma S .
SI;' la sollecit.azionc esterna è di t ipo impub.ivo ( lin impulso di D irac a ll'istttntt!
t o: f ( t ) '"- o(t - t o ) , la ris po::st a sar à:
F (t ) = {
F(<)
~-"(t-tO)
<
~
t
!le
t2:t o
lo
J
,,
Fig u r a
o:
5
'.
.
Eserci.d
.
o
Pe r ci n:<.; una d elle wgu~!Lti '~uazioni diA"cmmdnli del primo ord ine , dire se è a vayia bili
separ!\ b ili , se è lineare ,
(intr ll.mbe le COSO'. o I((:!\suna de lle due.
sç i l
a)
b)
,
1 1/2
y=~
c)
y ' = J:~ 2
di
y (y')'Z
+
Xli'
= O
e
Per o:it\..':'Clln a delle seg uo:'nti equazion i d ifft:rcB:dt:lli d el pcim 'ordi !l<:, <"l ire per quali vn luTi
di '''0 , 110 si p uò atferTJlan~ che il problema di C tl \l(~hy con la e () nd i~iorm ilLÌzi <lle y(xo) = II" na.
cen amente llna " lill a sola ~o )l.l 7,i one _
o)
y' log .r = y'Z
b)
XV _
cl
y' __
+
y'j
a; ~ ~
,
dl
y
,)
11'
il
X!I ' -
~
+
rx (lI ' ~ »
'
~:"ly-=e
"'"' II - 2
,
342
o
Cupitolo 7. E qua.nrmi dljJCT(':11:t:iuli.
Deter minare l 'inl{~g[alc g<:" e ral\:l d"'la sc~uc u tt: equa.T.ion e :
y' + ~" - x .... Q
•
Determinaro:: l ' in t egrale generale della seg ue n t (t oqua z io,w '
y'
e
+
y cot ggx - '.leo.. :r. = O
J)clert n ill l:\.le t ut t e le sol u z io Tli <idI" ,;cguelltc eq uazio ne:
y' = -2x"
-.1'2 - l '
o
D eterm inare t u tte le soluzion i "dia <;cgucn l.C rnIUi:\ZÌo ne:
e" -I- -~y'
o
+ J:
= O,
.'
Risolvere il segu ent e proble m a di Cau<:hy:
,
l
2x
11 = - 1 + x2 Y +x{ J +r2)
{
"
t; 1K.oçi fi.~A n!
o
y(-1) =0
'1ual è il p iù a.m pio in t e rvallo s u cui la soltlzion e è defi n itI\.
Risoh'cre il 5egue n te p roblmn", di Ca.uch y:
y' + 2:ttl = O
{ y( O) =- - 1
e specifica re q ua l
o
Ì;l
il più amp io iu tc:n.'<Lllo :s u cu i la
501u zi otJ<~
, . d e fi nita.
L 'equ a zio ne d e Ull- c adut a d ei g ruvi .:on r"""ìsten za. dell ' aria:
h
,/ = g --t,
'"
è s t ata riso lta (C'.se m p io 2 .7 ) v(l( I ~: n dola come equ8.'l-io m : a. varia bili scparabili; in realtà, q ues t 'cqua.zione è a nc h e line are. L a t;; ri>;olva ora applicandn il pTocedime n to visto I ~ r l' l ~q ue.­
zioni lin eari.
Un a ltro modello per d .....~c r i \-eTc In ('A'ldut.A d.i u n gra ve n e ll'ar ia $ u p p.-me la resiste n za
d c ll'aria p rop or z ionale al q uOO r ta l ') d ella veloc ità :
tlt)
h
v ' = g --v
,
m
'"L,.
Anche in q u esto CI\&:>, la velociti. :si stabiliz zerà r a pidamcnte Su
velocit-il lim ite _ Oopo
aVl'f ri ccnosci',lt o d i d ", ti po d i etl llHz;o ne si trnt.t.>:L, 1fL. s i r isolva , e s i (kt e rmini Lo. veloci t i~
lim ite _
~ Si .. T ( t ) la temperat u ra d i un co rpo ed 6 _ coota n t e la t emperatum nell 'amb ie n t e
e5l" cn o . L a tem peratu ra del COrj>O ",i e v o lver à. 111 ba.;c a ll a legge ;
-1' = k{E - T )
con k > O Coo. t .... llte d i l":ond Llcibilità. R iso]-l.,\)rc t'eq uazione differenzill.le SOlto la n md izione
iniziale T (O) _ To. Cosa s u ccede l'n t"rnpi lun ghi?
©
2'. Equazion i del primo ordin«__~343
S8_0 S- 0 T1'l47_8
m
Con~i dBrialIJ o u n IIluddlo di "i..cuito dettri,,,,) "on re»istenza R e indutL auz3 L cost.an t i
( pObiti .... c ) e una forza e lettromoh"iCt' applicat.a. variabile nel tempu secondo l" lp.gge V(t)
A. sin ...'l CA,!..' costrl.IJ ti p'",itive) , l'i nten."i tà di corrent" I (t ) sorld isfp.rà allora l'equaz ione:
LI '
- RI
=
+ A .. i" wL
R iBolverc l' ''qu.'l.zione e detenninare il l'E'gime p.nITHU",,,t e di ! ( t.) (cioè,
I(t ), L'addendo che n OlI tende a "cro per t --;. -i-x- ) .
(!)
neH'<~(lrc>j>jione
di
Si consideri il prob lema di Cauchy:
Y' =iYY
{
y (tu) = 1/0
a} In ba.'K' al teorema di .'tiiHenza e un icit.à, si dies per qUi'li ....alor i di ~ ,Yo t.ale problema
arnmeU c cert:unen!.c una e lIna Rola Klluzion e.
b) S i determi nino tutte le soLuzion i ddl"'''lU<L7.ion" dilferenziale.
c ) Si determinino t.utte le soluzioni del (.>r<:Jblel!la di Cauchy con cond izio"" iniziale y(O)
n.
G>
S i <:<lIlfiidfTi il prohlema di Calld,y:
yl=t,fii
{ y(t,, ) = yn
al
In b (1.<:;e al t.eorema d i es istenza e nni<:;tà, "i diCi' [>t'l" 'I uali valori d i to, YD t.ale problema
arnrn"t tc certamen te una. e una sola soluzione.
li) Si det.erminino t.utte 1<" s<., hI'7.ion i de ll 'equazione d ifferenzia.le
c) S i mostri che il p ro hl"",a di Cau chy con condizione iniziale y(l)
o ha più di una
soLuzione, e~ib"IlClr) (alme no ) due soluzioni dist.inte.
Cl)
Risolvere il prohlema d i Cauchy;
,(x)
{ y( l ) = 2
e .;p ec ifi care qual è il più a.mpio inte rvallo su cui la soluzione è definita.
e
D et.ermin are l' in tt!gr a le generai<: dell'equa"ioHe:
y' -'- ysinx = sin2x
G)
D eterminare l' integra le genel"ale dell 'eq u azione:
,
TU
= 2/
+
1. pert>O
Q u in di :
a) Determinare l'unica soluzione che "i manl.ie"e limitata per t
-4
O~.
bì Det.mrni nlu" J'unjça sol llz iorm che sodd isfa la. condizione y( l) = O.
4D
In \Ina reazione chimka tra due reagent.i A e il si produce una certa sostanza X.
O"t ta x(l ) la eoncentrazione della sostanz.a. X all 'istante t e a, b le cOllceu traz ioni in iziali d(,i
re<\l';ent i.4 , il , "',I.to opporl.\Im, ipotes i, x(t ) soddisfa 1'<"'lt!>iZ ioll<" ditr,~r"mo;ialc
x' (t )
~
k{o. - x)(b - x)
con k COSU\Hl" p=itiva o pp o rtun a, Inolt n ,. a.ll ' istan tl" t = (I (o,..,~ i a prima. chc la rca;.,: ior",
a.bbia luogo). è x(Oì --, O. Determinare x (t ): "alcolare il valor" limite di x (t ). p"r t .-. +ox:: ,
dist.inguendo i due cas i o. > b, a < b. 'Ih,,~ci are infin<! il grafico di x(t ).
344
Capitolo 7.
Eq"a ~ùmi
rl.i1Jcreru::iali
@l!B-Oi'_OT64 7_8
~ S ia c = c(t ) la con e"" t raz ionc ( in fun " ;,,,,'" dd t eJllpo t ) di nn a 5OSl an7.8 nel ,.,angue di
un pazient.e. Cna dose C05tan te Co v!elle sOlllminlf>t.rata ad o~ni inte r vallo d i j,pmpn T. in
par t icoh:ln~ al t em po t = O. Si st ud i l'andamen to d i c(l ) 5[\1'""do che questa si evolve secondo
la legge;
i:(t) = - kc {t)
k>O
In p artico lan" tracciare il /!,Tafico di c(t) in un ir'tervallo d ,>1 tipo [O. H,TI, m E N . S tm liru-e il
compo r t m u cn to a.~intot. ; e() di ,,('il I ) p e r TU -- . 00 r ,Iimoot rare che E'6 ist e una c onee" t razione
!iII! i te Cc.c .
G>
Si deter minino le Cun e y = !I("' ) tali c h c il
.segrrlento di tangente che uniEce il punto di t aag ' )fI7.a T al p,." t,.o r d i int ersezione con l' a.s.se x
ug llag lia i l 5e~me!lto cll<, llni_~"" il punto di t,~n ­
genza all 'origine.
fIl
U n serbatoio ,li SlI}WrEei" A h a un foro su l
fondo . di supe rficie (~. S i v ,w l.' s f'pere in qlJa nt.o
tempo il .serbatoio, ini" ialm.etl lc pil'no di un liquido, si s'!uot a . Se h( t) è l' a lt<:Ya..a .Id liquido
a ll 'is tante t , s i dimostra che h sod disfa la seguente
TI' = -10
T
/
o
''''luallion" differenlliale:
dh = ~ _ /2::h
dt
A v '
A
doye ,""! è i l pe;o specifico del liquido , (v,;, jj fig . a
fianco)
l ì R isolyere l'eq' li'J.ione d ifferenziale:
2)I mponendo la condizi'JlIe iniziale h (O) = H , d<3-
termilJ8.re il telllpo T H<x:<!.«Sar;o p.;rd Jé il serbatoio
t;i svuoti (<.>&Sia r isul ti h ( t ) ---= DJ ,
3.
EQUAZIONI LINEARI DEL SECONDO ORDINE
Voglia mo ora o ccuparci d i equazioll i differenzial i di ordine s ll perior c a l primo.
C o n centrcremo la nostra a ttcnzione s u una classe p a rt.icolnre d i equazioni , quelle
lineari . Queste equazion i, che compaiono lJella descrizione di molt.i modelli reali,
sono p iil semp lici d a stud iarc .-ii quelle no n lineari e rappresent a no , al m eno talv o l t a , un'm.ile a p pro&;irntl,z;ione a n chc di m odelli non lineari. P iù in part.icolllle, in
questa sezione t ral.teremo con u n c:erto dettagl io le equazioni lineari del sccond'ordjn~. In realtà molte d elle i d ee c he i llmitreremo in q u esto contesto valgon o , pi ù
in generale , per le equu:?iuni di ordin e Il , eorne l:'j vedrà b re vemente nel s uccessivo
paragn.'co 4. Per comprendere il signifì r:ato e l'imp ortanza de ll 'ip otesi d i linearità
d i un 'equ azione differcnziale, è lltile p rcnlCttere qualche ossen.-d,zione sugli s'{J(lzi
di f unzioni (."oinvolt·i.
3 . 1.
Spazi di funzioni
I con cetti di s p azio vcttor iale e tras fo rIllazione lin eare, i utrodott.i nello ~ tudi o
d ell'algebra l inf'are ( cap. 2 , par. 3 ), pen ne t. tollO d i ri leggere aleuni fatt.i del ca lcolo d ifferenziale dll. un punt o di v ist.i!. che ~i r iv<-, Ia molto uti le n e llo stud i o delle
equaz ion i diffe r c uzi13.1i lilleari: il punt.o cli v ista. deg li spazi d i funzioni.
o
0Ii.05 -0 T"4T:_
" _
345
____, __
Sia I un int.e rvallo, c co nsideriamo L'i us ie m e Fl di tutte le fu n z io ni d\:!finitc in 1 ,
a valori r eali. R i.<;ult8ono d efini te le o perfl.:(-io n i nat urali di som m a di due fUllzi o u i
e p rod o tt.o p e r U H O ::.cular t":
(J
+ g ) (x)
~
p,n (x)
~
J (",) ~ y ( x)
>.j ( x)
COli q ues te o pcraz ion j , :F, r b ult-a essere uno spaziu \·el t o riale. L a verificA. d i q lJe s l.o
fatto è immediat a. S p AASO è p iù in t er e.san te consid erare, a llzic-hé l'insiem c di tut t o
le fu m-:ion i p Oti-sibili, l ' in~ iellle ù e lle fu n z ioni COli qUaldlC propriet.à. d i regolarità.
Vediamo a lc uni eAAm p i n o t evoli.
Si ind ica con C (I ) (o anrhe CO (I)) l'in oie m e d i t u t t.e le f\lnzioni continu e
in I . Ovviame n t.e C (I) C :F, . D i p iù , C (I) è un sotto..<ipazio d i :FI , in q u anto
sapp iam o ch e la combina?iOne lineare d i funzion i r.;OHti n uc è una. funzion e continu a
(si rkord i il c riterio di rico nosci m ento dt>.i sot. t.o!; p azi, cit ato n e l c a p . 2 , par. 3 .1) .
S i indica con Cl (I ) l'in:,;iem e dì tu tte le funzion i d eriva'-'ili in 1 , con d e rh-at a
('.()IIt.i nua (2) in I . Notiamo che Cl (I ) C C (I) (hP. Ima funz ione è dcriwl.bile, allol"a
è continu a ); rli p il'l, Cl (I) è u n sot.trnlpazio di C ( I):
se fa, h E Cl ( I) , ogni lor o combinazimlp. linf'..are Àdl + À 2 h è deri va bile; inolu'e
(Àl fI + À2 h )' = À d~ + À'.d ' è continu a ( p er ch é comhin azio ne lin eaN,l d i fu nzio ni
con t inu e ).
11 moth'o per cu i è 1\a1.lIl"l\le considerare lo spaz io Cl ( l) e non, più !;cmpliccmen te,
lo spazio d e lle fu nzio n i d tl riv-abil i in I (~enz a l' ul t.e riore richies ta d i cOliti nui t à
d e lla. d er ivata) è il seguen te: se 1 E Cl (J), a llora. J' E C (I). P'Josiam o a llora
considera r e l'op er a t o re di d~r i "'aZ ione come trasfo r ma:.do ne d ello s p azio ....et.tol"Ìfi.lt'!
C I (I) in C (I ) :
D , C ' (1) - C (I)
D: J .......
f'
D i V IU, per la li n earità. dellA de ri va ta (OSf;ia il fatto che (Àdl + À"l. h )' = À1fl +
À2f2) ..ro:soiam o d ire che l'o perat o re di derivazione è una t.ra.'lformrudone lineare
t ra. gli :;p<v.i vetto r io.(i Cl (I) e C (I ).
Generalizzand o q u est.e co nsi der~"jo n i. d afì n iam o C" (I) )0 "-l)azio delle funzioni d o t ate d i d e ri vata n-csim a (c quin di d i tu t t I:: le d e r ivate di a rei io !::! iTlferio re),
con d er ivata n·csilna conti nua.. Va le . o vvia rn p l11 e, la cat e na d i in clusioni :
c (I)
~
Cl (lì
J
Cl (1) ::l . . . ::> C" (I) ~
r":o tare ch e ciascuna delle inclus.ioni è stret..ta.: esistono fun zioni cont i nue n on
derivabili, funziOl!i d eri vabili una ....o lta. con der ivaLa p r ima co n ti nua, m a n o n
d eriva b ili UUf> volte, e oosl "I.'Ìa . A d f'~mpio la funz ion ~
I(x)
0,=
x .. + 1
{ O
ptlr :c
ptlr
>O
-
:J; ::;
O
(~) A Ue n z;on" a u nu €qui' ·or ll.1"e: se I è der; va b il(), I è cet"t<tn wllte contin ua; t. uttavia
Si~llifica HecessariaIUII! T11 () che l' ~ia " ~ua vo lr a cOl"1 t in u>l. D u n <j u e chieòe r e cI!(~ ~i lL
ciò nun
C C'
f
è q u alc(,sa di pii, ri ~r. : H O a c n i..dclc che &i:J. continu a e d.er ivnuiLe _ S<> f E C· " 6i dice Iln che
ch e f è ·'tle riw,bi lc con continui tà".
346
Capitolo 7. Equazioni dil/eT'f':Rziali
(per n = O, l, 2 , ... ) appartiene allo spazio CR (IR) ma non allo spazio C n + l (IR).
(II lettore verifichi questa affennazione).
L'operatore di derivazione può vedersi come una trasformazione lineare di
C .. + 1 (I) in C" (I) , per ogni n ?::: O.
Analogamente, l'operator e che associa ad una funzione la sua derivata d i
orcline k ?::: l, può vedersi com e operatore lineare da C n + k (I ) a C" (1) , per ogni
n?::: O.
3.2.
Equazioni lineari del second'ordine. Problema di Cauchy
Un'equazione differenziale del second'ordine s i dice lineare se è del tipo
a2
(t) y "
+ al (t) y' + ao (t) y
= 9
(t)
(3.1)
dove i coefficienti a. e il termine noto 9 sono funzioni definite in un certo intervallo
I , e ivi continu e. Se il tenDine noto 9 è identicamente nullo, l'equazione si dice
omogenea; altrimenti si dice completa. Se le funzioni ai sono costanti, l'd!lUazione
si dirà a coefficienti costanti ( notare che il termine noto può invece dipendere da
t ) , in caso contrario si d irà a coefficienti variabili.
Il motivo per cui l'equazione è detta lineare è il seguente. Se indichiamo con
Ly (t) il primo membro dell'equ azione, notiamo che l'operatore
L ,
C' (I)
L, y(t )
~
~
c" (I)
Ly(t)
risulta proprio u n operatore lineare tra quest.i s p azi di funzioni. Infat.ti (il lettore
verifichi queste affermazioni) , nell 'ip otesi di continuità dei coefficienti, se ti E
C 2 (I) si ha che Lu. E CO (I); inoltre, se Yt, Y2 E C 2 (1) e )'1 , À 2 E IR, si ha
L P'lYl
+ À 2 Y2)
= ÀILYl
+
À"lLy"l.
La linearità d i L è un fatto ricco di conseguenze, come vedremo nel pro ssimo
paragrafo. Cominciamo ora a fare alcune considerazio ni sul problema di Cauchy
per queste equazioni.
Esempio
3.1.
La. più semplice equazione dci second o ordine è
y"( t) = O
Essa equivale a: y'(t) = Cl e quindi: y(t) = Clt +C:l con Cl e C:l costanti arbitrarie. Perciò le
sol uzioni di q u esta equazione sono tutti e soli i polinomi di primo grado.
Vedremo che l'integrale generale di una qualsiasi equazione lineare del second'ordine dipende da due parametri arbitrari. Per selezionare una soluzione part.icolare
dovremo allora assegnare due condizioni; se queste sono del tipo
y(to)
{ y'(to)
~ Yo
(3.2)
= YI
il problema corrispondente (3 . 1) +(3.2) prende il nome di problema d i Cauchy .
3. Equazioni lineari del 8ecow:W ordine
347
Nelle applicazioni , l'equazione ( 3.1) descrive l 'evoluzione di un s istema fisico , il
cui stato è individuato dalla funzione y (t) ; il termine noto 9 (t) rappresema le
forze esterne che agiscono sul sistema, i coefficienti a,Ct) descrivono generalmente
proprietà fisiche del sistema stesso.
Esempio
3.2. Un punto materiale di massa Tn, libero di m uoversi su una retta o ri:.t:wntale, è attaccato
a u na molla, che esercita una. forza di richiamo di tipo elastico. Detta y(t) la posizione d el
punto sulla retta ( rispetto alla posizione di riposo), 1/ soddisfa l'equazione
=
ml/"
-ky
con k > O costante di elasticità. L'equazione si può riscrivcre dunque nella forma
y " +w~y
=O
con ,,,, = k l tn , e prenrl ... il nome di ..qua.ril>'U" d ..ll 'oscillato ..... n.rtnoniN>. F: " n 'equazione del
secondo ordine lineare, omogenea, a coefficient i costanti.
Se sul punto agisse una forza esterna (dipendente solo dal tempo) che ne sollecita il
moto, l'equazione si scriverebbe:
11"
+ "/11 = Jet)
(dove! rappresenta la forza per unità di massa) cioè non sarebbe più omogenea.
Se il moto fosse smorzato da una forza d 'attrito proporzionale aUa velocità, l'equazione
sarebbe
1/"
+
hl/'
+ w' y
= O
con h c06tante positiva. Come si vede, tutti questi esempi sono casi particolari dell'equazione (3.1) .
Notiamo anche che, in questi esempi, assegnaTe le condizioni (3.2) significa assegnare la
posizione e la velocità del punto materiale in un istante iniziale l{). Per questo motivo ci si
riferiJ:>Ce spesso alle (3.2) come alle "condizioni iniziali" .
Se il coefficiente a2 (t) nella (3.1 ) non si annulla mai, di videndo per questo si può
riscrivere l'equazione in forma n onnale:
y" +a(t)y'
+ b(t)y ~ j (t)
(3.3)
Vale il seguente risultato generale s ul p roblem a di Cauchy per le equazioni lineari
del BCCond'ordin e in fonna. norma.le:
Teorema 3.1 - Se a , b, l ,sono funzioni continue sull 'intervallo [a ,.B], to E [a,
e Yo , YI E IR., il problema di Cauchy
y" + a(t )y'
y (t o ) = Yo
{
y' (to) = Yl
ha una e una sola soluzione y (t )
E
+ b(t )y
~
.B],
jet )
Cl ({a , P ]).
Come al solito, ta.lc soluzione sarà individuata imponendo le condizioni iniziali
nell'espressione che assegna l ' integrale generale dell'equazione (3.3). Il problema
è quindi capire come si scrive tale integrale generale.
~48
3.3.
C apitolo 7 . .8quazimà difJennziali
La struttura dell'integrale generale
Abb iamo visto che un ' equ azione di fferenziale lineare del second'ord.ine si può scrivere nella. fonna
Ly
= f
dove L Cf2 (1) --+ CO (I) è un o peratore lineare t.ra i due spazi di funzioni. L 'equazione L y = O !òi dice equa z io n e o m o genea as ..<;ociat.a all'equazione complet.a
L U = f. La lincarilà d i L per mette di determinare fac ilmente la str u t t llra dell'in tegrale generale d ell'equazio ne:
Teorema 3.2 (s tr u t tura d ell ' int.egrale generale dell'cqwl.7.i one lineare eom plet.a) a . L'i.nsiem e d e lle soluzioni dell'equazione orrwge"/lea L y = O in un da to intervallo I è. uno spaz·io "t'etlUT'i oJ.e (lw Uospazi.o di C 2 (1 )) .
b. L'integrale generale dell'equazione com]Jlda .<;i ottiene sommando i 'integrale
. gen erale dell 'equazione o rr~ ogenefJ.. e 1Lna soluzione particolare dell 'equazione
OJTnpieta.
Dimostrilzione.
a . S iano y " y2 E C" (l ) SOhl",iolli tldl'eqll>u:io n e omogenea in J, e s iano .\1,.\2 c(}~tanti .
A ll ora:
L
()"'1I1
+
).2Y2) = À , l. y,
+ À~/'!J2
=
O
(il l'cimo passaggio " ,'sue dalla lillear ità d i L , il s\:"o lO do dal fatto clw p er ip otesi LY1 = O
C L yz = O). Perciò anche ).'Y1 + À~y~ risolve 1'(:<l l1.1.:.:ion" f)rnogt' n,,,~, dunque l' insicme
d elle soluzio ni deH'equaz.ione o mogenea è un sott.03p.a z io d i C~ (l) iu part.içolarc è uno
spaz io vet.t.oriale.
b . Sian o Y1 Wla soluz ioac particolare dell 'eq uazion<' corn plHta e y..:l u na gf!nerica. solu zio llc
dell'equazio ne omo ge nea., ossia: LY I = j, Lyr; = O. A lloca p"r linea cit à
L (!!l +Yo) = L m
ossia. VI
+
soluzion~,
+
l.]Al
=
1-:· 0
=
f
VO è sol uzione dc ll 'eq na,done c..Qm p let.a. Viceven;a, t.iC 1/2 è ora una qua ls ias i
d,," ll'equazione c om ple ta (L y" = f) Pf!1" li "",crili> h; h a :
L (1/2 - yJ) =
L y~
- L y,
=
f - f
ossia Jr.: - 1/1 è SOhl7.;OJJe de ll'omogenea, ossia. y., - y, =
deU ·o ,nog enea. D Ull q ue
y2 = y ,
=
Jjf)
O
per \lfH1. certa s o l uz ione Yo
+ y ,)
ossi ,,: la generica sol uzione dell'equa:.: ione eOIIl J.>lct 3. si può scrivere COlne sOlIJma di u na
partic.olare soluz ione Y1 dell'equazione completa ( fissal.a
v o lt.a per t utte) e di un a
.qol uz..ione d ell'equazione omo gen ea. Q uesto pl·O\'a b .
D
""il.
O s...o.;en..-ando la d inlostrazionc d el t eoren1a preoc.-d.ent.e , illetlort" Ilo ti che qUf:'_,;t.a
no n d ipende in alcun ll1odo dal fatto ehe l'equazion e L y = f s ia u n 'e quazione
d ifferenziale (piut.to::;to c he u n'e q uazio ne a lg e hri(:a, o di rut L"O tipo ) , né dall'ordine
2 d ell' eq uazio ne, m a s o lo dal fatto c he s ia un' equazione li near e. Questo risult.a to,
i nfatt.i, s i es te n derà alle e qua zio n i lineari di o r d ine n (vedi par . '1) .
@
88 .0 1'l--<'T "" T,,~~' _
______
~49
NeL s~gui t.o rle l d iq('Ofi;O ~\l ppo rrcmo ~ll1p re c h e l'equAzionc li Ilf'H-r e d e l second'or-
dine sia scrit t.a in fo r ma n o rmale, c ioè (3.3). L'equaziune omogenea a!'>!>Ocial. >'I.
allo ra :
Ly
= y" +a (t)y' + b(t)y =
~
Q.
(3.4)
Un'u lteriore imp o r tante proprietà, che riguar da J"equtlzionc omogenea (3 .1 ), è
c-s pressl.l dal scgu ellte:
Teorema 3.3 - Id) SlHJÒO vdlorialf: (ldle s ol"zionl dl
linearr omo.q f:nca del second'ordine ha dimcns'io1lt: 2.
U1Ù-.lpw.zùJne
differenziale
Esplici tam ente, questo sigll ifìca chc csi::-tollo 2 soluzion i dell"eq u O-zio llt:! o rnogene;'!. in un interv·.al lo l , chia miamole II I (t), 112 (t ), tali c hI":
1. ques te f u nzio n i sono linearment e indipcnd e llt.,i, o!'>sia nOTI sono u n a. nl u lt,ip lA.
d ell'alt.ra (o anche: il quo:.<:ieme !li (t) 11.1"1 (L) non è cost.an tc nell'int.ervallo I );
'J.. ogni a laa soLUZIOne d ell'equazio ne o m ogenea è combi nazione li neare di 'I II (t),
In (t), il chc signmcu ch e l'i lll.egra le g c ner<1-le d ell'equazione omogenea è assegllaLo d alla formula
CJYl
(t)
+
0JY1
(t )
al variare in ogni m o d o dci cocfficicmt.i reali CI,
C1.
O imOl5t razio ne. La dirno!'l t. rn'l.ionc si brum (ot.al'nI:Hlte sul T ",(jr"ma 3 .1 (e;i~te nzn I; u nic itit.
dell8 soluzione d d p~oble m3 di Cauchy per l'equazio n e in fo r ma llornm l,, ).
Siano Y1 ,V1 , r ispett.ivament e , le soluzioni dei prohlemi d i Cauchy nell'inh;rvallo l , con
t I) E I fis.=!.o:
L y< =
{
(J
111 (tv) = l
y; Ci()
O
=
{
LIn ~ O
(t.-J) = O
1I~
y~(to)=l
P roviamo che:
1) Le funzion i Yl , y,. soluzioni , IdI ""luazione omogenen (3.4), sono linearmcut.c indipend,m t i. tnfatti il q uolien te !h (t ) tYl (l) s i ""nulla in l .... t·o; se fos:;c costante in J , ,j'wrebbe
"'AAI'te1t'lentic.!IJllente nu!l,); ma allora"!/2 (L) Nltebh" id enticamente nulla, quindi th (t.;,) = O,
ron tH' l'ipo te;;i y~ (lo) = l.
2 ) O gni altra soluzione d ell'e.quazione omO,ll;cnea il combinazionf; lineare <:Ii \Il ,)I:;! iu I.
Sio. z (t) un a. q \lalsin..'<; i soluzione di [,y ~ O in l , cef chil:\lI1() due COl>tan li Cl , "1 per cui sia.
e
z (1. ) = "Iyl (l) I C2112 (t) p"r o!l;n i t E f.
Sccgli',mdo
C,
= z (to) . (:2
-
(1:I!ll
(C'YI
;:'
(1'0), si ottiene:
+ C2Y:;l) (te)
+ (:>JY1)' (lo)
= C, . l..,.. C?' O .. c ; = z (t,));
=
<Ci ·O ·1 (.'). }
=c, =
z'(t o) .
Pertanto la fun:.t:ione Cl YI (O ... ("J:Y2 ( I) è sol"",;,,"\.: dci probltunli di Ca\lchy
{ !rl~ :
z (to)
li' (tn) = L ' (Lo)
Poiché. d'altro ca n to, ':Illd,,: ;: (1/ risolve , o"vi,u nente, il !ltL'<.!.~'Si/TIn problema" per 1' 1I11icil.;.
del la =IU1,io "c dci pmblema di CauGhy s i h a che Z' (t) -= (Cl !/ l + l.·ltn) (t} per ogn i t G " che
è Quanto h ,levam() <::!inlQE;t rar",
O
Capitolo 7.
350
Rqll~zioni
rlifftTenz'ia li
Esempio
3.3.
L 'equazione
{l.z"
-
z'
: )i
+
az = O
p06Sied c (lo studente v erifichi l' afferITl a".;one l ) le d u e ";olu,,,ioni p:uticolari t,-,
indipende llti .
Allora l' iIltcgnlic g eneral.; ;, da to d a
t" le q u ali son o
Tn base ai d ue t.eorcilli prece d enti, il p rublema della d e termi n azione dell' integrale
generale d i uIl 'equazion e differenziale linea r e completa del second'ordine s i ricondu ~ ai cl ue pa..<;s i seguenti:
l ) de tcrllli narc l'int.egra le gener a le del l'equazione OInogenea; questo a sua
vol ta signific a d eterm infire 2 soluz.ioni Yl Ct ) ,Y'J (t) d ell'equazione omoge n ea, linelì.rmente i nd ipendent.i ;
2 ) d eterminare ulla soluzione p art icola re f} (t) dell 'eq uazione com plc~f:a .
A qucst.o punto l'integr a le genera le dell'equazione co m p leta sarà d a t o da:
ii Ct )
+
CIYl
+ Cz.1h (t )
(t)
a l vtuia re i n ogni m o do d e i coefficienti rea li c;.
D iciamo s ubito c he non csiste alcun mct odo generale p e( riso l vere cffettiva mente questi due problemi, quando i coefficie nti a, b, f s iano funz.ioni eonti nn€
qua lsia.,>i. Vedremo i nvece come risolvere facil nlCnte il p roble ma l ) quando a, b
sono costanti (ved i p a r. 3.4), e co m e risol v ere il problellla 2) qua ndo f € una
fum'.ione di forma particola.re, abbastanza semplice ("'metodo di somiglianza" ),
oppure qua.ndo s i è g ià Ti50lt,O il problema l ) ("metodo di variazione dene costanti" ) ( vedi p ar. 3 .5).
I n fine , p er risolv ere un problema di C a uchy , una. volt.a d et.enuin fl.to l'integrale
ge nera le nella forma precedente, ba..,>teril. illlp orrc le 2 condi zion i iniz iali, ricavare
di consegnenz:<t ii \nd.lorc delle costant.i Cl , C:. , e scrivere la sol uzione corrispondente
a questi valori di C t, C2.
3.4 .
Equazioni omogenee
il
coefficienti costanti
Conside r iaillo l'equ&7.ione o m og e nea
az"(t)
+ bz'( t ) + cz{t)
= O
(a, b , c
costanti )
(3 .5 )
e cerch iamo soluz ion i di ti p o esponenziale: t ...... eri , T E 1".: : dò è suggeri to dal fatto
che , nel caso analogo del pri mo o rdine, gli integrali sono pro prio esponenz iali.
Sost it.uendo nella (3.5 ) z (t ) = c,-t a bbiamo:
cr I ( ar 2
Pereiò , a ffinché l'esponen ziflle
una r a dice del] 'eqlJflz io ne
e
rt
+
bI'
+- c)
= O
s ia soluzione della (3.5), la eos t.<l.n t.e r deve essere
lar
2
+ IJr+c =O ]
detta equ ri.zionc caru ltf:riBt"ica della (3.5 ) .
(3.6)
!l. FJqw1Zwni li ncm'i d~l IIcamJo ordiTI"
351
D ist.in guiarno tre casi.
> 4ac; la ( 3.6) p ~., iede due radic i relÙì e distinte: r L e T 2 . Le funzio ni
(f,) = e rt t e Z2 ( t ) = e"'ll ISOTlO due soluzio ni d istinte c in dipe nde nti della, (3 ,5)
il c u i integrale genera.le si scrive dunque:
1. b2
Zl
(3. 7)
< 4ac: la (3.6) h a due r adici co m plesse cOI'liugat.e: r t = CI' + ip, r2 = o: - i{J
(o , .8 reali); soluzioni ( indipendent i) d ella. (3.5 ) sono p e r cio le fuuzioll i
2. ù2
Zl (t ) = é'·:..-itJ)t = eU1' (<.:os ,8 t + i sio,Bt )
Z2(/.) =
C<<> - ,-!j)1
= eot(cosf3t. - i sin Ot )
Può e5$f!cc deside rabile 8.vere soluzioni reali; ricor dando c he ogni comb iu alineare d i soluzion i d ell 'equazione o m ogenea è s.neor a solu zione della
stesso. equazione, scegliamo, in luogo d i Z1 e Z2, le s o luzio lli ~(Zl + 22) e
:h(Zl - 2'2 ) , cioè
~ione
e O ! cos ;'3t
e O ' sin f3t
l'in tegrale generale della (3 .5) s i può scrivere p e r ciò nella. forma
Iz(t ) =
Un a lt.ro modo,
spcs~o
e al (Cl cos{3t
+ C2 s in .B t) I
utile, di seriver e La (3.8) è il seguente
Iz(t ) ~ e"' AcosCBt + ,,) I
con A.
\{J
(3 .8)
(3 .9)
costanti r eali arbit.rarie (cfr. cap . 4, par . .3.5).
3 . fil = 4ac; la (3 .5) possiede l' u n ica radice (doppia) r = - b/ 2a . Perciò e - /7;1
è una soluzione; pe r t r ovare u na seconda. soluzione usiamo S.noora il m e t odo
della variazio ne delle cost a nti: cerchiamoLa d ella forma
z{l,) = erte(t )
z'(t ) = eN(r
z" ( t ) =
e
rl
(T
con r = - b/ 2a
+ c'(t»
2
+ 2rc'(t) + c"(l»
Sostitue ndo n d la (3.5 ) " b h iaffio
e"! [(ar 2 + br + c)c(t) + (2(lr + IJ)c'(t) -+- cfJ(t.») = O
Poiché T :-: - bj21I cisult!:t ar 2 + br ... c = O C'anche 2ar + b = O; p erciò dov. a
essere c"( t ) = 0 , cioè cCt) = C'l t + Cl. La soluzione gen erale d ella (3 .a ) sarà. a 1l0ni.
!Z{l ) = ", - ';;'I (CL
+ czt)1
(3.10)
Cap1tolo 7 . E qua.z-i<mi dìOeren:ciaJi
352
Esempi
3.4 .
T r ovar() l' int""g n Jc g"nt.'r ale delle segu e n ti et!u!lzlo ni:
z" - ....~;;; = O
i)
r~
_ ....;l =
iii)
z" -2...., z· _""·"l ,, = 0
iii )
r " · -2 .... r + :.? = O
ri~pettivi'l mcllt." ,
L'equazione cara.ttt'ristica è,
i)
~" + :..I 2 Z = O
ii)
--,n ,
O
., p e n:ifl abbia m o le soluzio ni
i)
~ (t) =
cle"" .;. " .... c· ~.,
() nn che
C3
Sh ...,t
+
('4 e h :..Jt
a.vend o uti !i·~z H.t.(l, inv ece dell,) wlUl:io n i e-", c- .... , , le comb inazi oni ~ Ce"'!
ii}
i ii)
3 . .5.
z(t ) = CI
~in
wt -+
+
z(l) = c""(Cl
( '.> . :o~...,t
o anche
± ,, ' <-" ) .
A cos(wt - \p)
C02 t )
Risolvere il prubl,,,na d i Caucby:
y" + '2)1'+3y = 0
{
y(O) = 1
11'(0) = :2
L'eq u rur: ione c aratt eris tica è
r 2
+
2r .... 3 _ O
che h a soluz io n i
" = - 1± iV2
D ue suluzioni
e
l'iD tegral(~
ìndip(":lId~Ilti
d e ll'eq\l<lT.iollt: "m iO dunque
g l:l n erale è
Impo ni amo le co n d iziu ni inizia H.
y ( O)
y'(:;r.) = e .,.,( - C, c~(...I2.l") -
C:/
= C.] = 1
sin( v2x ) - V2Cl " i,, ( V2x )
y'(O) =
- Cl
+
v2C2 =
2
Dunqu<\
e la 801,,;0.1011(: d el p r oblema di Cauchy è:
tf
= " . :>" (c.os( ../2.z:)
+ ~ si'l ( V2:c »
v2
+ v2C7 CO!'I(...I2x»
3. Rqwu ionl jinuni d el ~l'COndQ Qnii'~~ _ _~
305:::
3
3 .5 .
Equa zio ni no n omo gen e e
Ci o ccu piamo o r a d el pr<Jb lc ma d ì dete r mi n a r e UII int-t' p;r a1c particolare dell'fX{ Ua..
z io n e completu , a..% Oci llt ll Il u n ' equ azione l ineare n. c ocffidl'lnt,i CORtu n ti :
all' et ) + ",,' (t)
+ cy (t)
= f (t.)
(a , b, c cosu1nti)
(:1. 11 )
Ill us tr i alllO prima il metodo di somigliauz,U-. che p e r lIn a cer t,FI. c1~se (li casi parlic o la r i pe r m e tte di d et.er m in a re tale integrale particola r e con brevi ca lcoli; vooremo
p o i i l mtltooo di variazione d elle CQstunf.i. chp. p u ò esserti inl piegalo se;mpr(;, ma.
in c..ompcnso p o r ta soLi t a.m e n te li. calcoli p iù p C.'!ian ti ( p erc iò, qua n d o p~ib ile, ~
m eglio a p p licare il p r im o meto du).
Metodo d i s o m /glianza
Q u and o il t e rm ine n o t.e) f ( t ) ha UTL Aspetto particolarme n te semp lice, ;;i può ce rcar e una soluzion e p u re abba."l t a nza sem plice, e .<limile ad f . i u u n senso d le 0 1'8.
p rccll!ercmo .
• j (t) = P.. (t) (poli nomlo d ì grado 1"') , Si cer cA. u n a sol u z,ionf! di ti p o polinomiale:
lJ(t ) = (Jr(t.)
se
b =j:. O
y(t) = tq,Ct )
se
b= O
a:pO
.(t ) ~ t'q, Ct )
se
b= U
a=O
Esempio
3.6 .
TrovarE'
una
solu z,ion<! parti<;" larc dell e equazion i
ii)
y"
+ 2-y'
= L
.0
i) C'.erc hi>1If1U UJl a solm:ione p.:.l.nom iale di l;eCOn do grado: y (t.) = Cl ·~ (; , t -'--'!2t 2 , Illscr(: ru lo
l 'et;pn lssione nell''-'Quazione a b bia m o; 2c:l _ w 2 (,.() - w 2 e l t _ W 2 l:21 2 = l -'-- t 2 da cui.
n gunghaudo i c oefficienti d ei ter m in i di p .. ri I;:r nd o in i , t"Ìci;lv; ru n o
'"
2
~
-'-- w ~
- - w'
--
Cl -
O
ii) C erch iamo ",'COI'a u n a !>ollLzion e p olinom iale d i secondo grado ( il t cnnine no to ò d i
pri m o grad o, 11l8. nell 'O< llla:/; ,Dne m a.nca il wrrn i"t:! ID !I): y(t) ,.. t:l L + C2t 2 ,
A b bi amo: 2"2 + 2c. ':' 1 ~t = t da cui ri c l\~·i " lII o
l
q
= - 4:
• f(t ) = A é t , ). E [: . S i f': f!rca u na !j()lu l.ione del tipo y(t) = eÀ'-(i). S i tr OVi!
(con calcoli si. m ili a q uelli s vo lti p e r l'cquaz:ion t'! o mogenea ):
Il-'"("
"T'
'"('( 2ct>. - b)
+ -r(a" 2 -i- bA -.,.-- ç)
ilast t;:r à t. J"O\lare u n a. quals iasi ")(t ) c h e so d di::.fi la (3. 1 2 ) ,
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J i t.:. le w lmr,i.., .... :Qmp lE'!:ViJ', l'''r li nearil " I ' o vcr<)u}ù la ,.,IlIOl'ionl:l d dl'equ!l.Zìoll<: ... m t e rm ",, :
, ,, ,l'' 2€'" c Ds :h '_
t -'\na l' 'bau H·n t .. , pe r r i~"Iv, ' !'!' r eq ll" " ,<>:1<' r.: m l f:r min" no t o 2,.'- ~ i tl 3x do\-n·",m o pTe nd ,-.
1.. 1" parte im" ",gi rli" in d ,-iL, .• " Iu ~i,) n€ e,,' ''pkssa d "'Il "" Il"'7.ione ' '''' , l t' r m i n<:- " O, .. 2 ..... ·)-3, )),
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356
o
Capitolo 7 . Equazioni d i fJen<nZ"i0oc"_ _ _ _ _ _ _ _ _ __
88_()8_OT~ " T · e
La sol u zio n e complessa;:' q uind i
y =
~ (-6
40
- 2i)(c0.32:r-t i sin2:.:' )
e la soluzione che cer chiam o è la parte immagi nar ia di questa :
y
~ ~~ ( - 2e052x
P er ottenere lo slesso risultato
una. s o l uzi one del tipo
- Gsin 2x )
""",7."-
=
cos'l;!.' -
~ s;n2x
20
usare i nUlner; comp less i. avrelflmo dovuto cercare
C, co~2J.' --c- C2
y =
~)
-
sin 2x
Si o",gervi che, "ncne se il t~;:nn ;ne n oto contiene so lo la funzione SiIl2:r:, in genera le la sol u zione
,-a cercata come cOln b ina."io lu, li nea.re di fu nzi o ni "" no e coseno.
Fa cccc",ion{' a qu es ta regola soLo il ca...'<O in cui nell'equazi o uc differen:dalc Inanelli il
wnllinc in y', CO'B e mostra i l pross i nlo esempio.
3.11.
11"
-I-
3y = x
+
2 cos x
Q lI cst~l t. un'equazi 'me i l cui tenn ine n o to è ~;omlna di un po); n om io e u na funzione
trig ollooletrica. Per li nea ri t à, ;;e s i trova. un a so ln:t.ione y l d i
y" -/ 3y = x
una soluzione Y2 di
y" - 3y = 2co~,,;
e s i SOIT1mano le due funzion i, s i tro,'" ,," a SOJ U:à OllC' dd l '<"'1",,7;o ne di parl"nza _ Per i nletodi
visti in precedenza, cercherenlo !Il nella fornla
Yl = ax+b
(al1:o'-i, F.i vede subito che y l = x j 3 è so l\lzione) , e Y2 nella forma
y~
= (' ,"'" .~.
Si t.rova
e du n que una soluzione deLl'e.::jW17ione di parteaza è,
x
Y = ;j"-co s:r
Metodo di variazione delle costanti
Illustriam o orC\. un nlctodo generale che consente d i d eterIllina r c una bOluziollc partico la re dell'equazio ne completa, qualunque s ia la forma dd termine noto j{t ),
qui ndi unch e quando questo nOI I r iel!t ril. n ei casi speciali trattati nel par agra.fo
precedente . Il n .t'todo è applicabile purc hé si conoscan o già d-uc HollJzioni i nd ipendenti dcll'eq1J.uzione omogenf"./l. Se l'equazione OInogenea è a c o efficienti c o stanti, abbiarno v i s t o un m etodo standa r d p er ott~ nere tali soluzio Ili. SegnalialllO,
coillunque, eh.., il TTlet.o do di va ri a"ione delle cHstanti (co appl ieBbile anche alle equazioni lill€'.8.ri a coefficienti varia_bili_ Il pnnto è ehe, in que&to caso, no n v i sono
illvece metodi gene.n~ li p er d et erm inare Jlle Solilzioni indipendenti d ell 'equazio ne
o mogenea , COll i e già osser v <'\ t:o.
Siflno d unque y,(t),Y'2(t) du~ soluzio n i indipendenti d e ll'equazione omngellea
$Odat_a. L 'idea è cerca n' u na wluzionc p<lrt.ico!are nella forma:
ru:,..
(3.13)
(Si con fronti coLproced imen to seglli t.Q p er risolvcre lc equazioni lineari (jet prim'o r.
dine non orno<~e !lee) .
fticol"dialllo duO! le fu nzion i lIl , Y2 sono note, m e ntre le fllllJ;ioni Cl ' 1:2 SO IIO
incognit e, e vanno d et erminat e in mod o tale .;J ,e li !;oddi!'ifi l'equazione
y"
+ u(t)y' + b(t)y =- f
(3.14)
Qu!:'st'eqllRzione fornirà un a condizione sulle d ue funzio lli Cl , C2' Poiché le funzioni
d a determinar!:' son o d u e, p otremo iInpo ITc una second a t.'u nd izione su Cl, Ol, che
sceglieremo come più ci f.'l cOlHodo . Cominciamo a calcola.r e, dalla (3.13),
impo n iamo come cond izione Su Cl, C'l la seguent.e:
Questa fa :;ì
dlf~
risult i
(3.15)
e d i conseguenza
0:"
" --",---CAY'l+
"
" = C'Yl
ClYl" +C2 •.
!12"
(3.16 )
Sostituendo (3 .15 ) e (3. 16) nd la (3 . 14) ottenia mo:
(c~y;
che !'li p uò
+ c;y; + Ci"lft' + C2y;J + a(cl y i
rist~riyere
CI
(y~
-I.-
~Y-'! ) + b(Cl YI
+ C2Y2)
=
f
come:
+ ay; + byd + c.. (y; + ay; + bY2) +
(C; y~ + (:;y~ ) =
f
che a sua volta, ric.ordando che p er ipo tes i YI, Y2 soddil.fano l 'equazione omogeneu ,
si r id u ce a:
III d efinitiva, siamo arrivati!.\. scri-"'""Cfc il sistema UH ea.re d i d ue equazio n i nelle dUe!
fu nzioni incogn it.e CL' é,! :
C;Yl
{
-" YJ
G:
+ r';!12
= O
., f
~ '~Y2 =
Si p uò d imostrarc cbf', essendo per ipotesi YL, Y2 due soluzioni indi p e ndenti dell'e'l uazione OIl1oge:tlCo. in un intervallo J. il d e t E!nninl\llt c
y,
y~
I
C apitow 7. F-qullz ion.! differenziali
35.
è diverSA:..) da zero in o g n i
Si t r o"-d,:
I)U llto t
E J. P erdi'> il sist.e ma può esser e risolt.o
ili (:~,
(;2 .
y ,[
S i not.i c he il dcno ruinll. t o r e è p roprio il d e terminant.c non nuBo. Ne segu e che,
essend o f continua e Yl , Y:i d e ri vah ili con con t in uit à, le funzioni C 'I , ('-2 w no r:onti·
Du e.
Si possono q u in d i ant id c r ivru:e , ottenendo c , (t ), r'::,j ( t ) che , sost itu ite nella
(3 .13 ), fornisco llo, finalm e nte, un integra le p art ir:olar c d ell'equazione (;()lJl p!e t.a.
P iù precisament e : se determinia m o due particolar i primitive C l (t ) , cdt) ottt.....
n iu.TnQ una soluzione p a rticolare dell'equazione complet.l;I., del t ip o
Sco in vP.r.p. HO!'lt .it. ll i mnn n !"!l", (:l . 1:l) Ip. !Jp.n f'rir. h ,. pri Ol itiv,:! , !:Ionllnando cioè costn nli
arbitra.rie di i n tegrazio n e, ott.tmiamo
y (t ) = (CI (t )
+ kd Y I (t ) + (C2 ( t ) +
= y(t ) + kI Yl(t )
k~)!h ( t ) =
+ k 2 Y2 (t)
ovve r o l'integrale gen erale d e ll'equazione com pleta .
Il pro b lema. di ftc ri vere IHl6 tloluzione dell 'equazione completa è du nque ricondotto a quello d el c alcolo d i due integra.li indèfìniti. (In prat ica, solo in eMi mol t o
semp lici t ali integrl\zioni s i riescono ad eseguire in fo nnl\ esplicit a).
E sem pio
3.12. !::kriviamo una fo rm l1 ll\ cile assegni l ' illt e,..,;J"ale gel lc n l-l j\
2
y" + w y
=
d~lI ' eq U8Z io ...,
I (t )
qualunque s ia il termine not o I (t ).
Sol u".ion i indipcm lcn l i d ~ll'equazionc omogene.t>;
yz =
Yl = j;(,,,wt
Ri~h'i amo
il
~inw t
~i",t.ern <L:
C', e u.'! wt + c~ sin ~Jt = O
{ - wci s in wl + w~ cos .... t = I (t )
,
~
=
-
,=
wt
CI. -Sin
...,·L
.... t
{ w C,, (- Sillwt - -CO!l
. -- · cos w t) = I (t )
Slnwt
{
Cl(t ) =
;,
O
'
ç~
=
c~
= t / (l ) COS:...'t
,
--!; / (t ) s in wt
-··· f (T ) o;i nw.d-r
W
Cl (t ) _
[
• O
' J
- f ( . )e06w.d.r
W
(S;,,;\S_O&C 71;47_ H
-":1-
___________
Equ<1zio n i l'ineari del sec() n do OHlùw
U n a _'Kllll>:ione parti<,'olare de ll'equaziolle comp leta
11(t)
,
1
,=
1[' 1
l I ( T } s in «." dT
-:-
= COI>wt
O
Ì>
d\l n q ue:
+ s in:u t
l'
0
cV
359
-l I( T) COSc..-'T d T =
"-'
l
I( ' )bi n """'t
(]
=
COSWT -
w
Jo ~J(T )sin [,,-,'( t -
coswtt<in w.]d. =
T ) ]d.
.':0.>',
che è l... cO!lvoluziolle de l termi ne no t o I (t ) C<:10 la. fu nzi one
p ensa"uo ent n.mbe le
fun zi o n i ug uali a zer o p er t < (),
L' integ;rale generale del!' equazione eompleta. )", uv v i,..,-n""te la forma
,!J(t)
3.6 .
= y (l) + Cl f'(lSwt + C~ s in",,·t
Vibrazioni meccaniche
• Fwrazioni libere . Un problema di fo ndamentale interesse i n 11eccanica è quello
di cAlcolare il m ovimento dì u n p unt o mat e ria le P soggett.o ad llna fo r za clastica
at.t.rattiva ( cioè a.d una forza centrale proporz..ionale alla d istanza dal cent.ro O
co me , ad esempio , q uella esercit.a t.a da una m o lla ) . Come è noto (o come è
faci le di m ostrare ), se la velocità iniz iale d el pun to è radiale, c io è d iretta c ome
la ret ta OP, i.l movimento s i svolgerà s u qlleRta
retta ; fissata su d i essa l'o rigine (in O) e u n vergo .
det ta y (t) l' ascissa d i P all 'istante t , l'equazione
del moto d el punto f>:
my =
- ky
cioè
.. ,,-', y = O
y+
(3 .17)
a vendo posto u.-' = ..}k /"rn, dove k > O è la costa.nt.e
de lla m olla, m la ll18SSI:l d el punto .
L 'in t e grale generale della (3 .17) è : <;>(/.) = t :l coswt --;- C2 s i nwt (C l,
a rbit rarie ) , che s i p uò anche scrivere nella forma , più signi ficat iva
<p(t)
=
A r.:os(:,,;t
+a)
C2
costanti
(3. 18)
dove .4 e Q' sono costanti arbitrarie che posso n o essere d etf'rminat e asslòguando
la posizione e la velocità i ni7,iali dci p u nto. Questo esegue infinite oscillazioni
di periodo 271"/ :""', di ampiezza .4, meIlW"e a rappresenta la fase iniziale. Il moto è
de t to arrrtonieo; la frequenz a 2"iT/:") è detta fr--equenza ca ratteristica d el! 'oscill1ì.tore.
Si parla, in questo caso, d i os cillazi on i libe re .
• Vibraziuni smorzate. Se, sul punto P , agisce , o lt.re a ll a fOr za e lw;tica, anche
u na res isten za d i t ipo 'viscoso , c ioè p ro p OI""z;iou ale alla velocità (per esempio, la
resisteIlza dell'aria), aJ l o ra l'equ (l.7,ion c del mo t o è: my = - ky - hy, che p uò
f'l (Tivenu:
(3 .19 )
360
C apitol" 7. Equaullm diffcn:nziali
ave ndo p osto J = h / 2m; questo p a r ametro, pO$itivt>, ro.ppresentala rt"_"istcnzu. d el
mezzo a l moto d el p un t o. T" P.(luuzion e ca rat t.~ris t k:1:\ della (~1. 1 9 ): ).2+'215)' + 10.1 2 = O
possiede le d ue r adici
À2
=
-o _ ..;ri6T,---C~Ci.,
Si p r esentano i seguenLi r,r e casi:
i) J > w (resL"lenza elevat.a) . Le rad ici
L'iTlte~ral e
Àl
e ),,2 sono reali negative, ). \
t
'\2'
generale d i (3. 19) è:
(UO)
e oscillatorio. Lo studen t e verifich i If'l I:>eguenti affermazioni.
Si assuma che il punto si trovi ini:.dalmcnt e ii i ii e abbia UHt!. assegnat a velocità iniziale; se tale vdocità è cCllt r i fuga(J ), la y raggiunge (in 'I.'alare a.F>.c:.oluto)
un ma.sgimo c poi decrffiCe tenden do ru;into tic:ame otc o. zero (fig. 6a); se la. velocità inboiale è ccllt.ripctn c g rand e (p r ecisare' q uanto g rande!) il p unto passa una
11 moto non
volta per l'origi ne, p ro cede o lt·rc fi no ad un (.-erto limite e poi inver te il mot o,
tend end o asinto ticat1le nte verso il cent.ro ( fig. Gb); se lu ve locità iniziale ~ nt ri­
peta. e piccola, il punto t e nde asilllotic.amcntc vcrso il (,.entro !;l'!n~ esegu ir e a lc un(\.
osci.llazio nc ( fig. Ge).
e
o
.._-----
o
.-
al
<l
Fia:ura 6 Vibrazion i smon:at<e.
ii ) 6 = w. Allo ra).,1 = .\2 = - 5 < o. L ' integrale generale di (3. 19) è:
~(t) = (Cl
anco r a il muto non è
iii)
n< w
o.w~itlatori o: i l
+ c2 t )e-M
comportame nto è s imi le a quello d ilSCUS:;O in i).
(re:.i.stcll2a rlehole). Abbiamo>.] = - fJ+ù~,
L'int egrrue generale d e lla. (3.19)
~i
(0. 21)
>'2 = - J - ìv,
v =
..;;:JF="'"P.
p uò scrivere nella fo nna:
:p(t ) = A e - 6 t.cos (vt
+ 0.)
(3.22)
con A , a cost.ant.i nrbltrarie. Il punto Ul u b ile esegue Iltfi m l e oscillaz.ioni attorno
al centro, di frequcnzil v ..., ..;w~
/)'1 e di ampi('2za A e- M, l'ampiezza delle o s c illazioni divent.a d unque s e mp re più piccola. col pa.s..c;are dci t.empo e il punt.o temle
M i nt.oticament.e all'orig ine (fig. 7) . Si parlu., in t.al r:1'L<;0, di oscillazioni smoTzate.
s_
Equaz;'()ni li n rnf'i. del secondo orui .. "
361
"
o:
Figu~a
7 Oscill azi on i
~morzat.,.
Riassumendo, l'effetto principale della v iscosità è quello d i smorZfl.re o addiri tt ura
d i eliminare le oscillazioni , e il punto P tende asi ntoticamente alla sua posizione
d i equil ibrio natnrale (il centro O ) .
• Vibmzioni jOl'zlllc . Risonanza. Supponiamo che su l p unt.o P agisca, oltre alla
forza e la.<;tica e alla resistenza viscosa, anche una forza iwpressa dall'esterno (diretta come l' a."me 1}, eO.'licché il moto permane rettil i Ileo) . L'equ azione del moto è
ora non omogen ea: rny = - ky - hi; + F Ci ); pone ndo f (t) = FU ) /m (c adottando
le stesse nota<.iol!i già. introdotte in (3.17) e (3. 19)) j'er.luazione prende la forma:
ii +20.iJ+u/y
=
j(t)
(3.23)
La soluzione generale della (3.23) sarà del tipo:
y (t) = ;.p(t )
+
Ji;(t)
d ove p{t.) P. l'i nt.egrale generil.le dell 'omogenea associata el/'(t) è una soluzion e
partk0iare della (3.23).
C o ns ideriamo u n caso tipico:
f(t) = Bco'j'ft
(3 .21)
(se ì = O la forza impressa è costant.e ; altrLmcnti è armonic a ,
semplice , con frequenza ; f 2'ir).
i) SupponianlO dap p rima che la resistenza sia nulla (o
particolare della (3.23 ) è (yerificare!):
,;,(t)
., B ,
c..-. - ....
{
p eriodica
O) . A llora un integra.le
cos~,f
.
~
CIOè
13 t sin ~,t
2""
(3 .25)
7 = ,,-'
Pertant o, alle oscillazion i li b ere , rappn-'--sent :.ite (b. :p(t) i l! (:1.18 ), s i sovrappongono
delle (J.';dllazlo n i forzate, rappre::;entate da 1;'::(t) i n (3 .25 ), se '1 -=I- u.,' questc sono
di am piez;éa costante pari a B i(w 2 - ;.-2) e b s o l uzione è soyrapposizione d ì due
362
,
"
Fig'''" 8
Ri"'m " n ,,;o
,.
u-;dllaziolli p eriodi,he di p ulsaziolli 7 c (,.,;: ,'ssa può anche 1I0 n css('r" p criod ie a.
TI (, <l~O intl Tf'l:'&lnt\" "i ha qu ando la forz a iI ll prcssa osrilla (XJI I la s tesS;L freq\len7. a
cara tter i:otinl. de]l" n ",·illat o r" (. ~. = - . 'lo a llora 1(> osc i ll al' ioni f"rzate hall ilO un·<lI!lPICI",7,a (tU / M ) che t'i amp li fica col Wrnpo , cH'Scend I) oltre 0/.', 111 limitI'; è q u e.s1.O il
fl.' lIo meTIo della n.-;",wnza ( fig:. 8) .
ii ) Sia ora li > O. A llora un illte gral\- partic ulare della (3 . 2:1) " ;
t:'J (t ) = H(!cosbU - T))
d U\T
(320)
s i è posto
l
/'
-co
\,\: _,~!
" __,_,_._:~_
.
(:~ . 27 )
(si osservi c h e la (:1.26) è (l r<l Iln illl. cgralc parti c o la re della (a .23) qu;Llunql w s ia
il \"<l loTe di I l.
Dalla ,[i "'CU5>ò j"llf' ;;\ 01 1il in iii ) " ,L ppi(,rno c h e rj ll l egra l~, g e n e ra k d e lla OIl H.lg l,nca , <.f(t), t.endl ' ,'s J.}(Uwll )',ia ln l e n t ... a zero p er t - • +QO~ l ",n~iò, do p o UTI t.nLlls itl . rio i!!iz i"le. l a "ituaziOJl(' d i rf'gil l le è d ,,>,critta (lall'inte )!; r:l lc p a rti ('ol.a rct" ( / ) .
D alla ! J ,;2Ii ) riC<t \i;I :l IU pt' Tli i"1 che il Triato il TI':;ir:w i, 1/T,rl(lIlù"O " c on lo s t f'S:;u ]l(7iodo 2,, / : d e lla f<Jl·'la inlpr c ssa, CUl I (Lrnp ù ·;: zu B p n>.,., tuntl' (dipend"lIte da i vari
panllnetri tipI sist " / llR ) f' n ,1] rifanJn di ICI.",,· T r i" p t' l to a lla forza impress..\. È
i u l " T",,,sa.I!I P O5...."'-'e n ·' u·c e Oll ... \"" ri a I"a! /lp iczz;, Bp di q Ueiit' oscill .vi' ''l i fo rzi!'" a l
variare dd la freqll\ 'llza di "<"ci tazio lll.' ~r ( p t 'T valo r i fissati d i..J, 0, B) ; hi sogna st·u di an' c i(:';' la funz i o ll l' p ~~ (J ( -'). S i ()};,""erv<I (" hc. '*' ii <: w/\rl ( Tesi" t " IlZ~J d el ",le )
];, fnn zio!H" p { -: ) l'~ , ' s(' Hta ll lJ 1l1as" l lll n per -.. .- ... .' ..... :! . 25 2 c t ale nUl.l"--" lln O è
A I ' paTe ci, li , ancora i l fenOl] " '!IO d .. lla Tl801 111 I1 ,: fl . H.i."J w l I O alh sit U3Z iOlw des c ri t t oO) >li osserva d ,,, o ra la rJ 1;O!HllI Z a COmpaTi:' Ij1.W ! \{ ! O la rn~qllellza d i
h ·'· l la ziOIH' (' ··"\")(" 1' '' 1
( II '" n o n Il ,l!:l l éd e':! " quella (·;l ra tt cr isl ie[\ ~. " ra!ll p i( ·z za
il! i ) (o
d el l,· osci llazioni f,nza!.1-' ,imane l illli t;\ta. S,· i ll\'ece ,) .> "" ,/ .../'2 la fUll zion l-' l!l-:1 è
d (·(T' '1''-CCnt, · f' non si hlt rison anza ( f i~,:- 9)
(!
-O I
.:
a;
b)
C ond udiamo con la !'egucnt.c osscl vaz io Ilt>. S i cOIl:-.id crì UII (:ircuito dcf.t r k" (;0sti t llita d a lilla r<-,:-.istcnza
u n ' illdutt.an za l • . un condensalo re d i c apaci t à C', a
Cl:i !Cia a p pli('at a HIl<l forza "l cttrùl!lo t rice varia bi le l' ( f ) ( fig . lO) .
La differenza d i potcllzi;Jc a i c a pi del
cOlldensat o re è su lllz iane df'lIa. f;I'gllCn te
n,
!"lP I;\Z IOT W:
eLfi
+ C/( li
+ y
,
V (t )
L
r.. r !l I;.lhIWl lt '· id enti ,-;t a que ll a d el!" \' ibraz i" rl i m c<x" ,niche. l ,o s tllll''' l!c in tc n ,-';.o;.ato
l'Il ÌJ r iveo:lf:n ' t u ttn la d isc u si"iioTle svolt.a lK}j..>1;' (' reinl('rp r elan' i p ara me t ri w ·i t erm ill i adatti al la n WJ\'a s it llaz ionf'.
l
T
Figu,a lO
Esercizi
e
S i ,---",,,,,,ideri r"'I""ZiOlle h " " "re ""''',,;enea Cl """ffie ie .. !.i co~t anli
y" , ';'.(1;/ -
"'1 = o
Si l'l"o..-i et ... " , due ".,(u"ioai y" l):!, che "l.bi"lllO i ("" ,,~al.o a oId-enni n a.-.· "tudi" ,., lo ! ' eq\l,,~. i ,,"e
car att..,TiSli< -" . in cia..~n mo cl .. ; :1 nJ..~i u~
O. " ., - b < II, nOI - b _. {l . sono ..t1'.-t-ti vanU'n t e
i", Ii
i
,>
,,,,,,de,, l
ti)
R ifa .... di e~en-j ? i '"tlntemLl i m'gli , '.~empi :U'-3. 10 u Lili;r.;r.an{!" il u,elo< J" , Ii ,al ·i ,,-;.ionc
. kll., Cù"t;lI!ll . a nzid,.; il :TIE'I ,,,I,, di ;,:.n"l:li"'lZa
,' - 3,;
{
.- .1"
,,{\I l = l
,/ f ll)
2
"
364
e
Capito la T Equ azioni differenzia li
@
H.ìsolvere il segucnw p ~oblema di Caw :hy :
u" +3u' +<1 u = O
{
fI)
u (Q) = o
u ' (O} = l
R isolvere il segu en te prob lema d i Ca""hy:
,," +4u' +4 1< = O
u (O) = 3
{
1./ (0) = 2
G
R is o lvere il seguen t.e prob lema d ì Caucr.y:
U"
{
+
13u' -1 0 4a
=
O
u(O) = O
tI' (Q) = O
È necessario f are calcoli ?
e
Risolvere il seguente p rob lema d i C auclty:
y" - 2y' +4y = O
ED
{
y(O) = 1
11' (0) = 4
y"
+ 3y' + 2y
Si consideri l'equazion e
+ 2t
= t7
a) Det erminare una solllzion~; l mrtic<)lare d i tale equ azi one.
b) Scrivere l' intep;ra Lc general e dell'equazione .
c ) Per t empi Lu nghi, q ual è il regime p ermane n te '!
G
D etermin a re una soluzione p articolare dell ' equazione:
V" - 31/' = C;?
f
El)
+
l
Si cons id eri l'equaz io ne:
y" +3y' +2 y = 2 sin 4x
a) De term inare un a soluzione particolare de ll' eq uazion e _
b) Determ ina re l 'i ntegra.le generale dell' equazione _
c) Il.isolveTc il probl<,ma di Cauchy con le condiz ioni i n izi ali :
y(O)
e
= O.
= ()
S i conside ri 1''''Quazione:
y" - 2 y'
uì
y' (O)
+y
= 2e"
O(},;
3::::
Det ermi n are u na. soluz io ne p artico lare d e !\'eq uazione_
b) Determin are l' int.egrale g enerale f!d J'"quazione.
SB-Oi!_OT"4T II
3. E q uazion i linea ri dd
[email protected] 38_0/H' 7""7_ 8
.~"con do
urdin E
365
,,) R isol vere il problema d i Cauch y c o n le condiz ioni iuiz i,,]i:
y(O) '"" l , V'C O)
Q)
= ()
Oeter m imlT" n n a sol uz ione part icolare d dr "(l uaz io n e :
y"
+ :2 y ' + 3y =
3e _
7 C08
,/2x
m
Determi ' Hue un a so luz ione part icolare dell 'equa zione:
G
D etenninare un a soluzione p artico lare u cll'cq uazione:
CI!)
Determinare l 'integrale generale deU'cquall'io llC
y" +y' - 2y = e '"
G
+
x
Dd." Tmi n a re l' integ rale generale de ll" X(llazion e
y " -i- 2y ' -+- 3y = 2x~ ~- 1
El)
De termi llare l ' inte grale genera le .Idl 'equazioI'"
y" + 9y = t - e'
Eli)
<lO
O~terminartl l'in w g rale gelwr<ll", dell ' equ a z ione
y"
+ !!
=
.L
_ y,
"
+
caB :It
L 'equazione
y"
I
b
x~
y
o
a_, b cost.<ln ti , è "'lO .l"i poch i ese m p i di eq n n:..: io n e linea re ~1 mogenea del secondo oruin e
n c(J.ettic ie nti var iab ili cile s i sappia r isol vere in modo eleme n t are: s i c h iama equ az io ne d i
E u le ro_ C "Tc are due s ol uz ion i indi p cIlfie n t i, de l t ipo
COn
y ~ x "'
e o - E IR <'l a
<'I"t<' T mj " nr~ i.
pe r
.r > O
Con q Ue6to met odo , sc ri ve re !'integrale p;enerille dell' ''quaziollc
y"
4 ,
~y
I
+ x1~ Il -- O
366
4.
Capif.olo
7. EqtluzùJni dijfe ncmzl flli.
@
8S · ()b.07547_S
CENNI ALLE EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE n A COEFFICIENTI
COSTANTI
Le proprietà delle equazioni lineari del ::;econdo ordine a coefficienti costanti s i
gen eralizzano in modo molto n at u rale a lle equazioni d i ordine n . Cons ide riamo
l'equazion e lineare a coefficienti costanti , completa.:
any ( n) ....... a ....
+•.•+
UIY' -rauY
_1 Y ( n - 11•
con ai. (i = 0 , 1, 2 , . .. ,n) cost~nti (reali ), Un /:- 0 ,
intervallo I , c l'equa\O ione omogenea a..,-socia ta:
a.,y(n j
+ a ,,_ ly(n -
l) -r . . .
+ OlY' +
f
=
I (X )
(4.1 )
funzione continua in un
UoY = O
(4.2 )
Valgono allora le seguent i p r o prietà:
L 'integr ale g eneral e della (4.1) s i o tt.ie n€ c ome somma d e ll 'integrale gene rale
della (4 .2) e di un integrale partico lare (qualsia:;i) d ella (4 .1 )
L'integrale gen erale della (4.2) si ottiene p r eud elldo tut.te le combhmzio ni
lineari d i n sol uzion i i ndipende n ti della (4.2). Si P\!(\ quindi affermare che
l'ins ieme d elle sol uzioni de lla (4 .2) cost it u isce uno s p azio veUoria le di di m enMo ne H .
P er detenllina re n sol uzioni i ndipendenti della (4 .2 ) si p08!:luno cerc.are, come
per lc equazioni del second o ordine, soluz.ioni d i tipo esponenziale e r x (r E (8 ) .
I n pratica, !'li. p r ocede al m o do seguente :
1. S i consid era l' eqllazione caratter ist.ica associata alla (4.2):
a"r"
+ r1n_ lr,, -1 + .. . + alT + au
= O
(4 .3)
Questa è un'equazione polinonl ia le di ordine TI a coefficienti rcali, che può
avcre r adici rea l i o coppie di radici complesse con iugat.e, cia.'lCu na delle quali
può essere semplice o avere nlOlteplicit..à maggiore d i l.
2. Ogni radi{:e r reale delta (4.3 ), d i molteplicità.9, fornisce le s s oluzion i della
(4.2)
3. Ogni coppia d i r~dici complc!;.Se coni ugate, d ella (4.3 ) , a ± i/J, di molteplicità
.9, fOl"llL-.ce s coppie di sol uz ioni d e lla (4.2 ) :
c"U c o s /3x
xe" " cos .ex
xe"'" s in .(J:r;
Q u esto procedilllellto forn isce sempre n so lu zio n i indipe n dcnti della (4.2) ( pur
di sap er risolver e l'equazione pol i no m iale (4 .3 ) !), e permette qui n di di scriverne l' integrale generale.
Dna yolt.a scritt o l ' il lte~rale generale della (.1 .2 ), una s oluzione particolare
del la ( 4 . 1) può essere deterrninatti () co n il metodo d i som"i.glianzil. adat.tando
al caso p resent e le cons id~ruz io n i l:ivoltc n el paragrafo 3.3, o col mctlHlo di
vanazione dell~ ,xMtrm tl , che nel caso dellc equazioni d i o rdine n e.equistn In
forma. F.egucllte:
1. Si con sidenUlo le n soluzioni ind ipendtmti d ell'equazione omogenea. (4 .2 ) , determina.te nel m odo d e;.cri tto in preccdcnztl,
YI(X ), Y2(X) .... ,y,,(x)
'c si
CcrC3
una soluzion e particolare dello. (4 . 1), d ci tipo seguente:
y (x) = Cl(X) Yl(X)
+ C2(X)YZ(X) + . .. + c,.( X)Yn(X )
(4.4)
d ove c,Cx) sono n funz ioni incognite, da de terminarsi imponendo s u d i esse n.
conriiz ioni u pportune.
2. S i r isolve ora il segue n te sistema line are di
( le derivate delle funz ioni incogn it.e):
d\ Yl
clYl
+ d~y:;: + . .. +
+ c;y; + ... +
11
equazioni nelle n incognite «x)
c'"y" = O
c'"y~ = O
J v(n
- 2) + ( ",
( .. -2 ) + • • • + (;,,,
., y n( » - 2 ) ~ O
<;,
1
"2 Y2
Jy(n-l)+ 1(,,·-1)+
f5.1 U2
l'l_ I
. . .
+C'y( .. - I) ~
n"
f (x)
Il delerminante d i qUP.6lo !'! tst ema s i chiama d eLenninante u,·n:rrtskillTl.O ass0ciato alle n soluzioni y, (x ); !Si d imo:::."t ra chc, poiché per ipotesi queste soluz io n i
sono indipenden ti, il dele rmin a nt.e è d iver!'!o da zero; d i c(m segu~n7..8 il tiist e ma
, .IDeare l \8. sempre un ,
.
' e ("
unW3
!Sol
uZlon
CI' (-2' .. . , C')
n .
3 . Si c a lcola. ora U lla. p ri m itiva. di ciasc una delle n funzi oni c,, (x) soluzione d c i
~i.<;temo. precedent.e , d eterminando coSI 11- fu nzioni c.. (x ) che, sostituite n ella.
(4.1 ), fo rniscon o IlIlA. soluzione particolare della. (4.1).
Noto l' integr ale generale della (4 .2 ) c un integrale particolare d ella (4.1 ),
~i
può ora sc.rivere l'integrale gener ale della (4. 1) .
Tlllro!llema di Cauchy per le equazioni (4 .1) con.sist e nell'imporre oltre a ll 'equazio ne d ifferenz ia le,
J"I
condizioni iniz iali , del ti po
V(xo) ~ ùo
y'(xo} = bi
{
y(n-l)(XlJ) = b l l _ I
dove X o è un pun t o a p part enente all'imer..a llo J in u n in t o rno d el quale il
term ine noto f è delìnit.o e continuo, f! bi (i = O, l , .
, n - l) sono n yalor i
(reali)
aS.':le~nat i .
P er 1"i!;Olvere il pro blelllA di Cauchy una. volta. d eterlHiuato l'ìn t.egrrue geuo::!rale della (4.1) è ~ufficit."nt.e e a lc.olare [e d f"!rivat c fino a ll'o rd ine n - l d ella
!Soluzione g eue.rica (dip end ent.e da n cost wui ru·bit.rario::! Cl, C:l, _ , c .. ), imp orre le condizioni illi;.. iali c r isolverc il :.lst ema lineare di n cquazio n i nd l~
n incogni te CI, C>l,.
. C" che si o t tiell .... 11. q ue:;t.·o modo.
(Il sistema r isulta
Capitolo 7. Equanorti d iJJerenzi ali
368
avere d eterminante di vcr.;o da zero p er l' ipote::-i di i ndipendenza delle n soluzioni dell'equazione omoge n ea: pert anto ha un' un ica SOllll.ionc) . l val o r i delle
costanti così ott enuti determ inano la sol u;:ione d el problcnu:i di Cauchy.
Esempio
4 .1. ( Equazione ridIa trave) . Consi.deriamo una trave a ~zione l-"<:",-tan te , GOmp08ta da 1111
m a teri ale omu geneo , jsutropo c line a r mente elast ico; r"l'pn.-"5€ n t iamo per o>cmplicit à la t r ave
ITl OO iallte un segmento AB suH'asse d e ll~; x (che_ su ppo lli alIl l> essere l'asse baricent rico) . La
tra ve ( v-oo i tigura seguente) è a p poggi ata :.11" .:.stn,mi tà e soggetta a un caric o d istr ibuito q(x)
agent e n el p iano xy . A causa di q uest o car ico , ]'IL.'lSe bar icen t rico AB in iz ialmente rett ilineo.
cam bia forma e diventa Ulla Cu r va y = y(x ). Si p uò d im ostrare che 'l",...,;ta <:\u vH è governat.:'\
dall ' equazione
d'y
- ' El = qLr:)
dI'
'
dove E , detto modulo di Y"u"9 , è una caratteristic a del materiale.
della sezion e .
lo'
I è uml. caratte ristica
" t
I
0T11ITJS'
-~ -
,
-
.
-
B
.4
Xci C a.50 elemen t&l'e in cui il carico è cOEotaute, q(x ) = q. l'E'Quazionc si int egra immed iatam en w :
yx
( ) =
q4
Elx
21 '
+C\X
.~"2
+C2X
+qjX ~Co.j
dove c~ (i = 1, 2 , 3 , 4 ) ~ono c-OHant-i arbitrarie, d a dek .r rn irt ars i imponen do q uattro condiz;;oni
o p po rtune .
S u pponiamo a ni. eh",. 1a trave s ia appoggia t" su un 8uolo da.st ico~ I"equazione d ifferenziale
si modifica allora a l modo !;egu ent"
d'y
dx" El
+ ky
= q (x )
A titulo d'",_~ e mpi o, inte?;riamo l' eqUaz iOll€" p recedente n e l caso p articolare q(x )
(costante) . UniI. J'oluzione particola.re dell·equaz ione com piei" è la CO&tant €"
q
11 = k
n lelltre ]'{''lUil.7.ione o mogenea h a equa;o;io n e caraU-erist. ica
, • + -k
El
~ O
c.b e d ii.
·r =
,(k ('-"'-') ~ .
\I /0:/ . ,/ 2
{ Il~{k(
--l _±l)
~ El
v'2
=
(lii)
' - l +- t')
~I
-
q
@
BB_O!l-{)T"47_ ~
dove
iL'
4 . Cenni a li" cquazioni lineari d i "mine"
{/ :th - L ""1\Ia7io ne
",,,,r Co..,
{l
cu«[Jicieuti C"-OsUtnti
ollloge-nea ha q uindi le quat t ro soluzio n i ind ipendenti
w .!'
" r; " tf"grale gf"'H!rale dell" "luazio nf" cOITlplNa è
e - "'~
s in'....'):
369
8
1.
Equazioni alle differenze
EQUAZIONI AllE DIFFERENZE LINEARI (P RIMO ORDINE)
Co n~idcriamo un sistema fisico S , lineare nel sen so considerato nel paragrafo 9
del cap itolo 6 c cioè del ti)JO
_-,f-,,(",---~ L
con
f
=
sollecitazio ne esterna c y
W·)
+ au(t)
~
=
_
S
_' __
J --,'"(,','--
r isposta, lega te d all'equazione d iffe renziale
J (t)
(a
cost antf! reale
=I- O)
(1.1 )
Supponiamo o ra ch e intc rCSl:li mil:iUHIIC la rii:!p<lsta solo in Ilna serie d i ist o.nt i
to = 0 , t 1 = T , t 1 = 2T, ... ,tic = k1', .
(T = per io d o di rilevamenr.o): come s i
può calcolare la solu zion e 'Y negli ist a nti t ic ?
L ' id e a , molto semplice, è d i "di&:rctizzan:!" l'equaz ione differenziale ap I)rO~
s im ando la d crive.ta y (t ) cc/n il rap porto in r..rement.a\e ~ ( I,"+I~- !i;tk).
Se poniamo 'YIe = y (t ", ), semplifican d o Le n o t mdoni , l'equazione differe n ziale è
così a p pr=ima t a d a un'equazioTlI;: del tipo
c.be si può scrivere n ella. forma.
!Y.<-+l =
ùYk
-+
J., I
(1. 2 )
Ik
a ven d o posto a = l - Cl e
= T fk.
La (1. 2 ), con la condizione in i7.ialc y(O) = 110. costi tuisce una equazwne alle
differe nze li'lcaTe de! p1'imo ordine.
La solu zione è unA successione { yd k:>OO.
Scrivendo la (1.2 ) nella for ma
si vede eb e i1 valore d e Ua.
s uc~,>ione
a l p a.5SQ k...,... 1 (cioè
Yk;
l ) d i.,elld" ciII. q1lt!llo
Capltolo 8. f;lJl"'zlon i
372
al~
diJJel--enu
al passo p rcced e..nt c (cioè Yk) e d aJ l'input este ruo,
lòCCOIH lo
lo $(,: hcma
yO-----:I_____,==9=(=Y_,-,=k=)~__-_-_-_-_~~~'~[===y~'T+_'__~
F igura 1
Si d ice a llo r R che {y ,, } è defir~i t a per r-lcorrenza li p a.rtire da Yo (J la (1. 2 ) s i ch iama
legge d i r'ico rrc n Ul.
T orna ndo tIlla (1.2) si ved e c he se a = O lo. Mluzione è :,;em plic,"rnent c Yk = T 1,, -1 ,
Se a #- 0 , lA. sol m>;ion('; <:i p nò n f'tp.rm i na.re ('On lo st ~o ln l::!tQd o usato per la
equ azioni di fferen ziali linea.ri del prim o o rdine, c ioè trovan do
i) lo. soluzione {lLk} dell'equaz ion e o mogen ea. A,$.soda ta , ossia dell 'equ a zio n e :
(1.3)
ii) u na solu zion e p articola re {PI,J d e ll 'eq u azio n e completa.
A llora lo. soluz io ne ge nera le della. ( 1. 2 ) è osscglla't a d alla form ula
(l A)
• Soluzi.one dell 'o m ogc noo. La soluziOlJe dell'omogenea si t.ra va. facilment.e, o:>scr\'i::I.u d o l.:he
= nl<+l1J.o
e c io è
Uo a r bi r.rario
I
( 1. 5)
S i noti che, se et = 1, la Sllcct',ss ione è costa.nte (= HO) , Re u = -1. essa o scilla t. rtl.
i valori 1J.o e - lL<!. ~el caso la: < 1 s i h a Ulc _ O pt' r le ---; +00, m e ntr e se In! > 1 .
u "" ----+ cc.
L'and a m e nlo d ella succe..;.sione {t/ le } può cs~re "'isu alizzi\to ricu rrendo a diag rommi a !f711dini come quelli delle figu re segu enti : sulla h isct t ,·ic:e s i colku.:ano
i p u nt.i d i coord in ate (Yk' yA.) Olf: ntrt: snllk r fl l t.a. y = o-x l"Ii co llnco.tlo i punti d i
coordi n a t e (Y ,\: , Y/:+l) .
o
1_ Rqunzjvfl-i alk dijJ"renzr; lineari (p.-i.m o ordinej
&<-08_0 7"47_ 8
y = CtT ·
y = z
li
373
t
y = (u:
--------"-f--/
-----:?'.~("o. '" ,)
'':I
~
______ L.J/
u~ [___ _
u~
_______ _
/
", 1--
"
bl
ol
Figura 2 :»
COISO <>
>
t ; " >. ----. -'-00 mo notOl1Olm ente. b ) Caso
(J
<
(>
< l : u",
"
y = x
u
/
O monotonOlm ente
.
y = x
.,
!I - - ' " ''
u)
Figura 3
~
:» C:>so (t < - l ; "k
.. nd .. m " n to osc;lIante .
'l
~ =<.l
ço n Ol nd:>mento osci ll an t " _ b ) Caso - l
<
O<
<
O:
uk ---+
O <:on
• Solu.~ione pat'licola re dcll'eq u azton(; complet a . C i l imitia m o al caso in cui f,. = 3 .
V k, co n f3 costante ree.le. S i può allora pensare d i cercare Olia so luzio ne particola r e
del l'equazione completa
(1 6 )
c he sia anch 'essa cost ante, cioè della for nla
n ella ( 1.6 ) , si rica v a
c = ne. --:da cui , se o:
-=I=-
Pk
= C , V k. S()~t.i tucndo Yk = llk = c
/3
1 , c = ,]/ (1 - a ) . La sol uzione gellerale di ( 1.6 ) i n quet:òt o c.u...'O è
( uo arbitrario .
Sr:egiicn d o p o i li!) = Yo - .8/(1
anche la condizio ne i n izia le Yo.
-
a *. l)1
,
( 17)
a ) si non ). l a soluzio ne d e lla ( 1.6) e he soddisfa
_3~7C4"--__(~:"a,
p~"~olo
8 _ Equazioni alle dijJ"rcnzc
@
l<"_ 0il_"7!14T_~
Nel c a.':òo o- = l , osserviam o che Y"-'-l si ottielle da Yk ag-giungcnrlo 13; ne segue che
una soluzione part.icola re è .sernpli.--:eIlll~nte Pk = kp (infatti lJk Il - Pk = ( k--i- 1).(1 -
k,t3 = P) e cioè una progressione a ritmetica d i ragione /i.
D unque nel ca."Q o: = 1 , la. soluzione generale della (1.6 ) è
IlIl<
110
u
+ k/3
( 1.8)
che soddi8fa anche la condi zione iniziale 1/0 .
In conclusione:
YI.:+L
{
111)
=
0Yk
+ ;3
YIc -
1- 0
U
l- a
assegnato
Si n o t i che, Ilei caso 101 < l, Yk
6
B), + _._6
_ ._ -
~oluz i o,, ~
a_l
Pk =
(1/<1 -
_...c,
Yk=Yo+k,8
~ per k _
+ 00 : la so luzione particolare
ha il 8ign ificato di regime pp-rmanent.e o d i equil-i brio asintoti_camente
8ta bUfò_
Ciò p u ò C8SCTC chiarito geometricament.€ ricorrend o ancora ad un diagrallllna
a. gra.dillo (fig. 4) , osservando c h e , ponendo f(x) = ux -+- ,8 , la ( l.6 ) può essere
scritta nella forma
Com e nd caso dell'equazione omogenea, si può costruire la sequenza d i punti
CYk, yd, sulla b isettrice li = .1 : e ('1Ii< , Yk+l ), sulla retta y = rìX + (3, come indicat o
in lìgura.
n ,,-alore jj = 1~ '" è l' a."lcissl.l. d el punto d i intcrsezione tra. la bisett.r ice "!J = x
e la retta y = f(x ) = ax + ,(3 ed è dunque soluzione dell'equazionc
( 1.9)
Le sol uzioni di (1.9) si chia m ano 1JU.nti fissi di f o anehe punti d i equilibrio:
se , come condizio n c in iz iale per la (1 .6) , si sceglie Y.l = 1:"'", ' "!lA: ntn
. ane seulpre
uguale a Yo .
In figura 4 è illustrat.o l'andamcnto d i due solu zioni della stessa equazione ,
corrispondenti a due cond izioni iniziali "!lo e ilo . S i yede che "!ile -->
qualunque
"
l:,>
sia la condiz ione iniziale: per questo motivo il punto di equilibrio ii =
asintoticdmente stabile.
1:0 si dice
Esempio
1.1.
l!" n e"clllpio di caratterH e<c:unomico, il 71",ddlo ddla ragnatda. I n un lllcr calO di Ull
solo bene, s upp oniamo clIC:
le Qu ant ità di domanda e di offeJ"t.a 5;3no funzioni lineari d el prCZ70
-
l» <luaut it à. offena dipenda dal
d ente.
( )I"(,..';7..0
IleI periDdo di tempo (ad esempio, a n no) prece-
0)
8f1_08-07,,4 7_e-
2. Rquu"ùm i alle d iffur.n= linem" ( sf"-cOTldo ordine)
( li, . .'/, )
( Y2 ' lI~)'A''-o,.f/
\1 = 0 ;1; +#
Fig um
-", - a
4
[n a lt_ri t e r min i, la d ....c;isi o ne s ui liV42J li di pnl<hn io n € d ev., "'<;'~,,r (! p resa con un a nno di an t icipo
a ll 'ofTcr t a eJTdt.iva _
Il m o d d lo mato' mal.i"" dw d ' ",.;rive )' evohl'l.io ne d el m ercat o s i può c os t r uire introdu-
~i~petto
ccnd o ,
D, : q u ant it à d i domand a ( a! t empo t)
O , : q u an t it.à d i offerta
P t : pn~zLo del b e n e .
(t
=
t.€rn p u, in au ni )
L e i potesi assunte implicano le seguen t i CCju a:>; ion i:
D, ~ " - bp,
{
(a , b,c, d
cO!jt a.ll ti posi t ive )
0, = - C+dp' _ l
La cond i-zioTlt, d i '''lui lib rio il,
ord in e
=
0 " p ort a alla segu e n t e eqlHl.zione a.lle d iffercH7-l' del prim o
IJp, +dp ' __l = a+c
ovvero (cambia.ndo t in t --'-- 1) :
P 'H
( _
~)p, +
a
~ r;
La formul a (1.7) d à in questo ra."30
_( - -d)'
Po +
IJ
-
a+c
- - ,l
b ---,--- a !
I. 'andamenlo del p rezzo per t - + 00 d i pende d a n = - ~, anche se, in ogni caso, avre m O una
d in amica alternata, (ss.,,,d o O: < O (fig . 3 ) con u n d iagramma a grad ino a fo rma di spirale
( ragna t ela) .
,
[n p'l Tl icolare , se- d < b , 1', -----" :;~ == p = pre-.... zo di equilibrio .
2.
EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE LINEARI (SECONDO ORDINE)
Nelle equazion i a lle d i fFerenze del p rhno ord ine, il valo r e d ella ~neeess ione solu~_ione
a l pas~() k + 1 (= YI.:+1 ) d ip endc dal valore a l passo precedente (= Yk ).
Più in gencr ale, s i po;..""i(l !lO cOIL<;iderare leggi d i r iCQrrem:a d i ordine n p iù
e leva.t.o . in cui cioè il 'v alore d ella soluzione a l p asso k + n dipen de dai s u o i -"~dlo (i
agli n r~~si p r ecedenti , k + n - L II; + n - 2 , . _. , k + l. k.
376
Capito lo 8 . Equazio7li ,a~I""'c
· "d,'ffi
",,~
cc~'"O'C'_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,(2'"""'"a'a"'""""Co~."'C·:a
La soluzione sarà u n ivocumcnte d e terminata, a,-'ssegnalld o a lloH\ i valori Yo,
YI, ' "
,y., -l·
Qui ci lim iterelllo a considerare leggi d i r icorrenza line a ri del secondo ordine
(n = 2 ) d e l tipo seg uente:
. 1/"-2 = al/Hl ' ,3VI;:.
+ li< I
(2 .1 )
Se f,.. = O V k, l'equazione (2 . 1) si d ice omogenea .
Ques t.e equazio n i alle d iffe re n ze si. ottengOllo , a d eseulpio, qua ndo si disCl"etizza un' eq uazio lle dilfereIl;>;Ìalc d el second 'ordine li near e a coefficienti eo~tanti.
C onsideriamo l'e q uazione:
y"
+ a y' +
by = j (t )
(a, b c nstant.i)
Ponendo, co me visto in p r ecedenza:
si può approssimare:
YI< -I:I -
2Yk t
1+
Yi<
T'
Si ottiene qu indi l'equazione d iscrcr.iz.:z.ata:
1/" + 2 - 21//.;:+1
T'
+ Yk +
a Yk+l - Vi<
T
+ by,
"
ossia
che è pro pri o un 'equazione di tipo ( 2 .1 ) . La soluzione d i (2. 1 ) s i trova a ncora
sfruttando l'analogia con le equ8Y.i oni differeIlzi ali : s e {~'k} è la so luzione d ell'omogenea associata e {P k } è una sol uzione particolare della (2.1) av remo
• Soluzione dcll 'equaz-ùnu; omogenea
U k+ 2
= (rU k~
l
+ /3'111.
(22)
Se d ue succ{'};sioni {Il ,,} , {vd soddisfano la (2 .2) allora anehe {u~ ~ ·v,,} c {cud
( c E IR..) sono soluz ioni della ( 2.2 ) . P er analogia con le equazi.oni d iffer enziali
omogenee del ~cCnl1d 'OI dine è alluU'1 ra gio nevo le CCiTare la ~o luzi o ne geuen:1h: d e lla
COrIna
con c , e
C2
cost an t.1 a rb itr arie .
@
8!!-OS _ 07 ~47_ ~
2 . Rquazi oni a li" differen ze lilleJ:!ri (.w,,"Dndo ordÙlt)
377
La fornlllia per la SOlllZi(lIle n el C&'j() delle equazio ni del primo o rd ine conduc:e poi
u cer care {Uk } e {-Vk} d el t. ipo l"k , r #- Q .
Sost-i t u e llc!o dunque Hl;: = rl,; nella ( 2 .2 ) ~ì ricava
1'.1: --'-2
=
+ /11''''
o1'k+ l
c h e, dopo ave r sClnplific a to per 1'1,;, diventa
I,' ~
Q'
+
"1
(2.3 )
L a ( 2.3 ) ~ i chiama e q u az io ne (;(uutteristica o indiciale.
Dist inglliaIllo tre casi.
I
Se <-<2 --I- 4d > O; la (2.3 ) p o%iede 2 rad ici
generale dcll 'olllogenea è dunque
1'1, 1'2
rea li e distinte.
La s o luzione
(2 .4 )
Se
1(12
i· 4 )
< O
Ila
(2 .3 ) possiede 2 radici colllpies.c,e con iugat.e
TI
= pe;'o, r 2 =
pe- ,(i. La soluz io n e s i p u ò 6crivcre anco ra ncHa forrna (2.4). che fa inte r veni re funzio ni c omp lesse; al tr imenti r icordando che c±': o = cosO ± i ~ i Tl O, s i può modificare
la (2.'1 ) nell a segu e nte formul a
I
ti" =
p" { C l cos kB
+
(;2
s in kO)
I
(2.5 )
che fa int.erveni re 5010 funzioni reali.
Se
l o;:.> + 4p =
41s i ha 1'1
1', reale . Dunque 1t", = rl,; è o;ol uzione . Un'altra
b'''' ; infatti, sostituendo nella ( 2.2 ) si 1:18.:
soluzione è v/: _
(k
= 1'2 =
+- 2 )r h 2 = u {k- + l )r"- l + {jk1'/:
o vver o
(k
che si può
~crivcre
+ 2 )r 2
= u (k
+
1)1' +;3k
;:o
O
nella forma
k(r2 - n1' - /3) + 1'(21" - n )
(per ogni
k)
es::;endo r - UT - {3 = O e r = '!i.
La soluz ione generale è p ertan to
2
l'ti-.--~--rc.c(-c-,ck. -'.--C'-'
)I
( 2.6 )
• S oluziollt lJrJ.r1.icolm'(,; ( nel caso f ", = c:ostant_e ) . COlne ne l caso delle e quazioni del
prilllo ordine ci lirnitianlo al caso il. = ~f, V k, -.' c o sta nte reale. C-ercando a llor a
u n a so luzione p a r t ico lare co s t ante , P i< = c, V k, so:;;tituendo nell'equazion e ( 2.1 )
(con /I, = "1) , si trova per c l'e quazio n e
c = n:c1-{3C +
da c ui , s e ()
+ .(-1
-=/:- 1 , c =
r
f
378
Capitolo 8. Equazi oni w/e diJJf'.rL·",,~,ec·_______________ -,,0,,-"."".=,,:,,",",".",c.""
D ' a ltra parte se Cl' + j3 = 1, allora or = 1 è Ulla soluzione dell 'equazione caratterist ica, alla q uale corrispond e un a soluzione cost a nte d ell'omogenea. O ccorre
dunque provare con al tri t ipi di so luzioni, a d ese m pio Pio = bk (b E JR).
Sostituendo , s i trova per b l'equazione
b{k +2) =o:b(k
+ 1) +
{jbk + / = bk + <lb+ "f
:2-0: .
da cui, se ( t i- 2, b =
Se infine a = 2, ,3 = - L prO'v'ò,nd o con Pio
= 2a(k
+ 1)2
ae + 4ak + 4 11, =
2ak:l
a(k
+ 2)~
.-
=
ak 2 , si ha:
ae + 7
a.e· +~!
+ 4ak + 2a -
d a cui a = ~.
Condusi_one: Una soluzione particolare {p,d è data d a
o
l
l'I;
a
,3
se
a+f3i- l
_ 'Y_ k
2-a
.c 01+/3 = 1,
lk"2
2
.c
o
0;'2
2, j3 = - 1
Si noti che nel caso in cu i ITI I e Ir2 1 sono < l , la soluz.ione dell'omogenea tik -----. O
se k _ +CXI . La solllz ione {P io } rappresen ta in questo caso il T'CgÌ'lne permanente,
essendo ys.; = UI< + PI< -"-' I l I< per k _ +::X'.
~mPiO
La successione di Fibonacci
2.1 . I l Fiboflacci ( Leonardo P isa.no , figlio d i Dor",.cdQ) h a.
definita dall a seg""" "" legge di ri ",:.rren"a del seco n d o ordin"
d at~.
F"n =l , F , =l
il nome alla Huccessione
(k2. 1)
( 2.7)
L a $llCCCssio ne {Fk } interviene in HU1!lcrose q uestioni, ad esempio d i anal is i !lum<òri <:a, m a
il F ibonacci la t<Coprl esaminando il se~llente prob lema di
allt>w,lmento di conigli. (Liber
abaci 1202).
Facciamo le l'li:glll:nti iPOLc:,; i:
i) ogn i coppia di conigli genera Una nuova coppia ogni mese
ii) ogui coppia diventa. fert ile dopo u n mt>_.... ' d i v it a
ii i) i conigli nOn muoiono (durante il periodo di tempo considerato) .
Problema - Quante evpp'ic d i "o H' gli po8.50no C.5Scre prodotte in 1m ann" a pa r1:irc da 'Una
sola coppia f
Ind ichiamo con Fk il n urrtero di cuppie dopo k ITlPsL k>: (l .
A Il 'jni7.io (k = O) avremo Fo = l e, per la ii ), andle F t = 1 .
Al .•"",,,, do me;e avremo un ' a l tra cOJ.>pia e qu ind i P 1 = 1 + l
=
2.
A l terzo ITI __' .solo la. prima coppia i:, in gn ... ln di ge n erarne un'a lt r .. (p.-:f la ii)) t' qu indi
F3 ='2 +1=:~.
Quarto Illc.o;c; la prima e la seConrla copp ia ( d i v{~n t.ilta rertile ) gen t' rano ciasculla ", , 'a lt~a
coppi" , perciò F 4 ~ 2 + 1 ...;... 2 = J + '2
5.
M ese gerterlCCJ (k + 2); le coppie già p resenti e r a n o H ' + l e a qu l:'~~ vanno a gg illll \.<:! le
neonate , pari al num(~r() <..li (;.upp ie e5ist.~mti m 'l rnL"";(, precedcnte, iu gr ado di figli ltr~ .
Dunque:
=
c h':! i: l'eq u azione ( 2. 7 ).
•
coppi«
fer ~; l"
•
1
~
•
•
•
X
6
•?
me;;i
F.
Figura
"
,
2
,
•
(,
3
3
,
,
Dopo " n anno: 233 copp ie ... F"' 1
•
•
l
•
,
6
7
"
"
8
8
c. . "".,
9
10
11
12
89
'"
233
s i ved':! è facile calcolare F" per ogn i k (special m e nt e se, potr k g r ande , :si h a 1111
calcola t.ore! ) . D 'allra part e IQ (2.7 ) e u n a e<lu a...-.ione a ll e d iffert' nze Ii nCM i dcl5eCOnd o o r dme
{"-On eq v a ;done caratlerist;Ol
dw hH. IIQ luz io ni
P c rtallto, (b .lla (2. 4 ) ott.cniam<.l la >reguent" formula d irett-a per F,, :
Capitolo 8 . Equazion i alle diffenmze
3 80
Lmponen rlo le con d izioni in i>:ia li J.ò
=
\ . F, =
l >i i dete-rminallO
e C2:
Cl
Fo
{ F,
_
-
Cl
('-2"')
Sos t it uendo \a prima equ=ione m .,)la
~eco " d".
s i ha:
=
_ 1
C2 -
,j5
('+"')
2
ed infine
~( l + v' ."' )" -t-J
-./5
2
_
( 2 .8)
Si not i che, nella (2 .8) , F" è un inter o nat urale , p er ogni n .
3.
EQUAZIONI NON LINEARI DEL PRIMO ORDINE
I n q u esto paragr afo ci occu p iamo di s u ccessioni p er r icorrenza. d el gcgu e n te tipo:
a8SCgnato
(punto o con diz ione inizia le)
n
2':0
(legge di r icorrenza)
f
L a funzione
f
CQllt inua in
(a . bl]
si chia TTUl. gp-Tl.f'fYJmr.f".
I p u n ti della succession e
So ,
(fn
=
SI =
1(so ),
S2 """ f (." l ) = 1 2 (so) , . . .
,8" =
In(so }, .. .
1 o f o . . . ç. f ) costit.uiSCOllO l' orbita genemta d a so.
T<
"",,l~ e
I punti ± t a.li che
si chiamano punti fiss i o l'u n ti di f:fj ll.ilibri o. Tnfat.ti , se So = :r , allora f" ( su) = i:
per ogni n 2: O c cioè l'orbi ta generata d a i: si r id uce a l solo x.
Geometricamente , i punti fissi d i f SOIlO le a~c i &'le dci p u nt.i di intersezio n e
de l gr~f:ico d i y _ f (x ) co n l a bi f'Ctt ri c~ li - x
L e o rbi te generate dti. f posso no essere visual izz1!.t e eon d i agraullui a grad ino,
come quelli nel paragrafo 1.
:J
F:'ftl azioni non li.n",," dd p ,'i-T7W o n l i;1I'
,
381
y = x
() :
a
Figura 6 o e.d =no p unt i f iss I d i f ·
,
l'~2 '
", )
~- " =
f (x)
Figura 1 And a m e nto a . .. g n .. t .. I;a . .. u omo " I pun t o fisso :t.
Sul grafico d i f si collocano i p u nti (."", f(s,, )) = (s,,, 8 .,+1 ) m entre sulla bi'lct trice
si coll ocano i p unti (s n, s .. ) :
-,
Se Sn ---;. l per
"11
-->
+ oc, allora f è pu nto fisso p er j .
l nfatt.i s i ha, p e r la couti n ui tà d i f. s" = ! ( S,, _ l) --> f(l ): pcrd ò j (l ) = i .
C i oè: se la succession e 8" è c o n vergen te allora cOIlverg'e a u n p unto fisso di f .
J, 8urà vero che Sn --+ il
L a r isposta d i p e n de dalla p endenza de l g rafico d i J , vi cino a d t. I nfatti s i ha:
Se f ha deriva t a con ti nu.a c 1J' (f) 1= ).. < I , all(J1'(J., Sf: S o è abba stanza vicino a f ,
Problema in'olerso -
."In ---->
l,
per
n
-->
Se l è pun t.o
fis.~o
di.
+ oc.
Dimos trazione intuiti..... - Poiché
ICi) = t
8""
- i
si p uò scriv ere
! (s,,) - fU')
=
c , p cr il teo re ma de l valor lTIed io , s i ha
I(.s.,) - fCl )
dove
X
n è u n pllnto oPl'or Lu n o tra f. e
S.,.
=
f '( x., )(s" - l)
Capitolo 8 . Equazioni ol I... diJJeT"lm.ze
3 82
@
88_~-OT~""T S
Dunque, approssiman dq t' ( X.,) con i '( t) = À :
Sn +l
- l = f ' (X" )(II,, - t ) "" >. (",,, - i )
It c rando la (3 .1 ) >;; pu ò >;cr ivere
Il •• -.,- 1 - ( ;0,,)..(.'1 ...
Essendo O <
À
< 1, s i ha)..'"
---->
- t ) "'" ),?(S" _ l - l) "'"
O e q u indi anche
Se, per H O abha,~tanza 'vicino a E, s "
asintoticame nte stabile.
5 .. + 1 ---->
o
•
•
"'"
\ "(51 - so)
e.
o
i, il punto fisso si dice (localment-e)
----->
Si b a dunque:
, If'(E) 1<
=
l
L 'ins ieIlJe d ei pu nti in izial i
di attrazi one di t.
So
f
asin t.o til'Alllente s tabile
le cui o rhite
con\'f~ rgono
•
a f. prende il n o me d i bacino
Esempi
3 .1.
R ipren d iamo la. s uccess ione d i F ibo uacc i
e d iv id iruno e n tramb i i m embri p er Fn-'-l :
·
Se poniamo
Un
=
FfP
'n ' "n sodd isfa ('equaz io ne
l
an _ 1 = 1+-
"o
Go = l
c he è del ti l)Q u ... _ , = I (a,, ) con f \lflZionc g eneratrice J( x) = l +~, x
] p unt i fiss i d i I si t rovan.o d all'equazion e
1
+
> O
=.r
X
oss ia
x7
_
x - l = O
ç he coincid", çon l"""1"azioIlt· caratt€ r is t ica della (2 .7) c ehe h a 801""io oi XI
1+,.,"5. E ss",n do a n > O c i in l cHS ';3 solo il p u nto fi8:lo x~ = H-2,.!S .
Poich é l'(:T) = - ~,
( I"'-l ,;) = H; :;; < l, X 7 è s t abil e _
Dalla fi gura s i vcde c he il bacino d i at.tm",i oue di x~ c o inc ide <.:ou il sem ia.sse posi ti ,·u
d e lle fl...<;c i ..."", _ ] u part icu lare <l." ..... 1-.;1 '..
II'
I
,
,,
y = z
/
\
,
+x
x
Figura
a
R l3oluzione numerica di equazioni (metodo delle approsllim azùmi succes.~ '.'eJOgn i eq uaz ione del t ipo f (x ) = O ~ ì j>ll () ricondurre a tla ri<:crca d i pu n t i fissi per la
funzione g (a:) = 1 (;,; ) - x .
Inratt i ! (x) = O eq u ivale a
3.2.
.'I{ x )
=
x
(3 .2)
P er risolvere la (:}.2) possiamo pcn sar<J d i costruire una. s ucc,<,x"I ione p e r r ic orre nz a cun funz ione generatr ice g, c h e converga alla &:>1"" io"" <:ercat.a . Na tura lment.e, un po' di cautela
andrà usa t a nell a sce lta del p u nto iniz ia le IO . affinché cada llel lHlcino d i ntt ra.zi one d ella
~oluzj one.
Ad csr""l' io , et>l1side ri aJIlo l'eqwu;onc
oss ia
g(x) =
y =
~-
X
co n
g (x) "'-- e "
x
""
~-~~-_.
O
o
Figur a 9
Confront ando; g r anei d i y = e - x e y = x s j vede cll e non vi 5000 so lu;,;;on; ( punt_; fissi di g)
per x < 0, m ent re n e "", iHe uno solo, a , p e r x > O. E.......,.>ndo !I (l ) = ,, _ 1 < l s i 1m O < n < 1.
P oiché g'( x ) = - e - e< doni; esse re I.<l (a )i = c - n < l e per ta n to X = (; è p unt o <i i eQuili urio
stab ile . D all a Jìg u ra si vede c he x = 1 è n el bacino d i aUra:z.Ìollc di (1; _
Ne segue c h e la >iUCCe<810 n e
x(} =J,
<:Ofi,'crl!:e alla sol uzi one cerc ata.
38.
C"pitolv 8. Equ<lnon i .dlr: c1iffli'n'- n ze
U Sfln do un a calcolatriçe si h a.
O.3G78 . .
'l'S = 0 .57%.
-= O.G922 . .
:re.,- = 0.5601 .
;r; L ::-
x~
XJ = 0 .5004 . ..
Otv:minfJlO o:
=
Xli
~
.J:7~
...
= O. c.671 .
0.571 1 ..
:1: .•
= O.60G2 ...
Xg = 0 .56-1./1. .
x~
= O.M u3 .. .
I lO =
O . 56~H.
0.56 . .. , dOPQ S<l!>tan" ia lmen t e 9 it er.a::doni
(l
rr. = 0 .5671 d o po 24.
Esercizi
o
Determinare I"" soluzione delle seguenti equazioni alle differenze del pri mo onh rlll ('
"H.udiarne il limite per n _
a)
o
ti"
+00
+ 2u .. _\
= l .
U()
b)
= l
Uo
=:1
Dd.crITlinare III. "oIU7.io","; dell e seguenti equa.7. ion i a.lle d iffe r e n ze d el second o ordine
n)
lo)
c)
2".
". -
""
-
->
3U .. _
+ Un _ ~
l
~ Z
2 U .. _l
+ 2u .• _~ -
4 U .. _l
+
u" ... , -
l
Uo
"
#-
u , =3
." ." =
3
3
l, la sol ll)',ione delle segue ..
b)
1
a--- l .~
= 2,
'-0-=0,
4u .. _ ~
"
D eterminar e , in fu n z ione del parametro a
d'iffc rcn:r.c c studiarnc il li mite per n _ +:x:.
a)
llo-= 3 ,
!.. equazioni a.lle
l
o
Sia /c.{x ) = n + ..;X. a E IR.
a) A l variare dd parame tro reale a, d etermiua re i punt i n::;~i di f. " !;t udialfl(~ la ijt~bi! i tà .
b ) Di ~cg" aTe. al <XIm put-er tu. d i<lgr:amma a grad in fJ ptlf la s u ccession e defin ita p er r k"ù rrc u"..a
X .. ~ l
a'! va.riare d i
o
=
j,,(x,, )
X(l
= \
Q..
Stud iare il comp. )rtamentu per
TI. . _~
+.:'C
della 3ucccssitmc definit a. per ricorrenza
l
I O _
J)isegnar~,
o
al
çoml'ut~r
il d hlgrarn",H. IL gradino dell a " ' l('"["et;Si Olle.
~tudiMC a l com putet' In s\lçc.".,.,iollc definita cl ...
'1:" H
= f (T .. )
.7:0
_
2
@
3_
BS--{) II_C!7!;47_ 11
EquazùJ1~i
non linean del primo (Jrdin "
385
d ov,.,
2x
f ( x)
o
-=O
{
~
Dopo ave r detennina t o il " \lInerO di s",lu;-io"i dell'çq n az io n'"
2S'U .T =
;r;
appr08sinlarle usando il metodo d elle appros."Ii lllaz ioI1 i sl",,:e ssi"e e il In etod" di l\ ,; ....-tOrI
i ntn-, d otto nel (,ap itolo 5 p aragrafQ 7 .5 _ Confrontare al c.omputer l'effiei""7..'l dei due metodi .
9
l.
Calcolo infinitesimale
per le curve
GLI OGGETTI DEL CALCOLO INFINITESIMALE IN PiÙ VARIABilI.
CURVE NEL PIANO o NELLO SPAZIO COME FUNZIONI VETTQRIALI
DI VARIABILE REALE
:'-;-cl capitolo l,
pa.~ agra fo
9, è sta.ta datti- la d efini zione
gcn ec ~le
di
fv.nz;io n~;
fru
due
insiemi QuaL'Iiasi : ricor d iamo che se A , B sono insiemi , una funzione f : A ----> B
è u na legge che assoda ad oV;ui elemento di A uno e un ~olo e lemento d i 13. Nello
stud io d€i calcolo in fi nitl~imalc , finora ci siamo con centrati s ulle f u nzi oni reali di
va7-ialJi le re.ale , f: IR - IR, per le quali " ingresso" c "uflcita" e r ano numeri real i.
P ossiam o o ra i UlItlag,inarc sit.u azìuoi in cui i d ati d ' ingresso siano p iù d ' u no:
a d un gruppo di 2,3, ,
,n dati v iene a.·".<;ociato univocamente u n numero l'ca le .
P arliamo allora d i fu n.-. iOlli di 2, 3 , . .. • TI- \~d.ri abili.
Ad e!;t:'mpio: il volu me li" occupat.o da un ga:o perfetto è fu n z ione della s ua
pressione P e della sil a t emperat ura T seo:::ondo la nota legge
T
V=kp
(Ii: cost ante posit.i va )
( T, P) ~ V
i"KT'"">;U
usci~,,-
Analoglun e n t.e , ci sono ~ l tuaZ IOl)1 lJl cui a un ingresso (numero re..ale o g r u ppo
di ll u illeri r eali) c orr isponde uni vocamente u n a COPlJia ( o tenta, ecc .) d i numeri
r eali . La fu mdone avrà dunqlle valori vettoriali.
Ad e:;em p io : la !>o,,'lizione d i una partice ll a i n rnovilIlCuto è uui vocamente
ind ividu ata a d ogni h,ta nte t j tale posizione s i può vedere p e rciò come una funzio ne
che tL'3Socia a l n u rnel·O t lo. t cma ordi nata delle coordinate d e l punto:
t ............. (x ,y.z)
i" l'.re5S0
uscita
S i n o t.i i l l inguaggio usat o : !:ii d ice fun zione di una va f""i abiit () fUllziont' di più
uariabili- . una fu n z io ne definita. in IR () in IR" ( n > 1 ), r ispctlivamentc; si d ice
.fv..nzione ( 1 -valori 'r eali () funz i one (1- tJalori tJettor·wli (() p iù s cm p liCCluent e, fu n z iuTu;
m
reale o funzi one "tw ttorialf::) una funzione che ha codomini o II{ o [Ll
(m > 1),
3
rispettivanlcnt-e. Ad escmpio, una fun zione f : Il{ ___ lR è u n a fu n zione 'v etto ri a lc
d i una \'ari ahilc; li no. fUIlzio nc f : JR2 --> IR è una fu n z;ione reale <i i d u(' variab il i .
C a pitolo 9. Calco lQ lIIfinitcsirruUe 1'<''- le
38.
C U1't' e
Le funz io ni li valo ri velt.oriali s i indicano, com e i vetto ri, in g'Ht,S..<;etto .
Chia r iamo anch e una corn..'e.nzione che ;'l(\ottereHlQ in t.u t t.o il segu ito. S(',.r jvcrcmo f : Hl:" -. nt'" p e r indicare cl iC f è uno. funzio lll;' di 11 variabm , a ....a lori
in IR
soloointende n do però ehe f potrebbe essere d efin ita solo su Wl !;(J l toin S'ieme di JR" (noll necessaria men te su Lutto lo spazio ) . Quando vor remo illd ic:a.rc
esattamente il domi n io d i f , lo preciseremo.
11 cakolo infini t eflinl fl-Ie p er fun zioni f ; Hl - IR'" è pil'l facile d i 'l llflilo p er
fUJl zioni f : IR
lR. P er questo m o ti vo (Jl\.r1.ire rno proprio dall'iI!ustl'a re, in
qUel:ito capit o lo, le idee fondamental i d e l ca lco lo d iffere n zjalc (' integra le per le
T
",
T
'
-
funzioui veUoriali di variabile reale , f ; lR _ IR,."', Nei capito ll slJcces,.<;i \·i t ra t.t.f!·
rp.U1O inveee, in modo g rMllale, il calcolo d iffe re n z iale e integra le per le fu nzion i
f : IR" --+ IR, e in finI:' per le fu nzioni f : R " _ ffi:" .
Vedre m o :;ubito che, ilei rA.<:,O t1l = 2 , 3 , le fu nzi oni f : lR --+ lR m b o.n no il
signific a t.o geomet.rico di curve- n el p iano o n e llo s pazio . Pcr questo moti vo , ilei
cor:;o d ci c apitolo, tratteremo esplic itamente il t:a~ In :.= 2 o 3 , ma q ua.nto d etto
varrà in d imensioue q ualunque.
Esempio
1. 1. C.,ns id"riamo un punto materiale che si m uove nello sp~ ìo t.ridi men",ionale lu ngo una
certa traiettoria. Le Suo coord inate (r,y,z ) sarann o fu nz ione d el tClIlj>O t , perciò la s ua
r ~>l; iz ione è specìfieata da \ 111 , 1 rn n:tio nc <id tipo
r : IH. --. IR J
con r = (x, y ,z) e
x
{
~
x (t )
y = y{t)
z = z {t)
.----r
_.-.- ---- -
r it)
~-
~-----"
Fia:ura l
l
Curv~
"
in
n:l ,
Si p u ò Ilsare and:w la notazione "" !Horiale:
r (!)"""- .-.: (t ) i
+ y(t)j
- z (t )k
1. Ctl rt'€ n el P''' no e nello "IJ(J..ziu
389
o a"" h e
r (t)
S €' il
pUlltO
=
(x (t- ) , )J (t ), z(f) )
5i IUUOVe55e nel piano, per rappresentarlle il luoto baste rebbe Ulla funzi one
r :
m
-+
m'"
con r =-= (:r:. y) e
X = x( l )
{ Y ~ y (l)
Se ra.ppresentiamo n e llo spazio la linea p e rcorsa d al punto in t.utto l' inte r vallo di
t e mpo [tI: t 2 ·_.
abbiruno una rapp resentazio ne parziale di q uest a funz ione: i nfatti..
.
q ue_'3talinea ci d ice in quali punt_i Pi\..<;sa l 'oggetto , Tna non in quale istant.c s i tro\'a
i n ciascun pUIlt-Q. Questo perché la traiettoria no n è il grafico della fum:ione (che
d ovrebbe essere u n ogget to nello spazio 1R4 ) ma l' immagine d elli'l funzione (cioè
l'i nsie me d ei ::;uoi valor i) .
Esem~io
1.2 .
La fun;.oione
l" :
lR
-+
In.?
tE lO, T ]
ra ppr<".;cnt a un l'unto che ,;i muove d i rno hJ circolare uniforI""" ",ulla. e ;rcon fere n z a llnitaria
d i centro l'origine : nel p ia n o , comp icu do Ildl' inten'allo di tempo [Cl , T ] u n ro;iro ':ompld .<J _ Si
osservi che la funz ione non si liInita 8 descri"crc la ç;r<;ollferenza, m a 5pecitica. il modo in cu i
il punto m obi le la percorre ,
Spl.'8S0 tut tavia si pre~cinde dall 'interpre t azione dnenIa.t.ic a , e s i usano esprescome "la circonfcrenzll., l'ellisse, ecc. " per ind icare le funzion I, e non solo le
loro immag ini.
Le""'runzio ui r : IR _ IR. 3 (o r IR -----> ffi2) si ch iamano C"urve (o cammini) in IR,3
(o i n IR 2 ) . Quest_a terminologia è lcga ti'l all' illt.el'prctazionc g eom et-rica p iuttOlito
che a quella ciuemat..ica. Si c h iamano anche ct/n'e in fo'nnu p<11'umctrlca: e la
variabile indipend e n t.c si chiama param etro .
Lo studente eOTlOSt'e o ra t·re n\Odi diversi per rap presentare una c urva: le
curve i n fO lT/w plH'amctr i-t:a: le curve c he sono il yrufico di n na funzione di una
variabile, y = g (x ); le curve ( pia ne) in Jonn rl cArtesia-na: o i mpliciuJ, che sono
quelle detinit e da 1ln 'equazio ne J (x.y ) = U, su c ui to,ueremo a d ire qua lcosa nel
cap itolo lO, paragn.\.fo 7.
~.i o ni
Esempio
1.3. L a funt:ione y = ~ p er X E i- l, 1) rapprese nta un a '5",nicirconfere llt: a, COllIe
grafico di funzionc. La s t essa SCfilic irco ll fere n za: in [orma parametrica, a 'lrrebb€' equa7ioni;
t E :- 1,
\1
Capitolo 9 . CaJ.colo in fin lt e..ir,wl e pcr k " un'e
390
o anche
X =
{
COSO
Y = sinO
oE
:0,71]
(S i noti che la curva è specificata q ua.nd o è assegnata la funz ioJlt, e l'in t e rvallo in cu i v a ri a
i l parametro) . S ì U'lS€r v Ì che l' intera e i n :onfert'n7. a avrcbb-e po t utO
in
forma p ararn"t ri('"A'l , fa.-:""do variare O E [0,2,,-', O
fanna
cartesiana, " wd iant(, 1'C<IWl.z iollc x~ + .1/ = 1, lua n on
come grafico di funzione.
'Il
Un esempio dì curva in
In?
è Ìnv€c:e il seguente :
x ~ a=t
1.4.
{
y = asinL
z = bt
t E::
:0, TI
con a , b , T pO!iitivi fi&''>3 ti, rapp rCllcnta un a,-co di .... lica
cilindrica (fig. 2) . Si o::NlCr va ch e al crescere d i t , il p unto
51 muove ltmgo il cilin dro di r a ggio a che ha per ' L'òI« '
l' asse z, l ungo una curva (e lica), c h " ad ogni g iro ;Ilvece
d i chiudersi sa 00 ,;te,,~a pnx:ed" d i un 1'3..<.',0 2T./':
c,
Figora 2
2.
LIMITI E CONTINUITÀ PER FUNZIONI VETTORIALI DI VARIABILE
REALE
Per introdurre le n02.ioni del calcolo i n filli tcsimal e per le curve, il primo passo è
naturalmente definire e btuùiare la noziuue d i IÌlnite in que~to contest o. Con sidcri am.o quindi u na funzio ne
r
• IR'"
I
con I inte r vallo C lR; sia l o E I (oppure s ia t o un estr emo di 1 non appartenente
a J ) e sia. l E lll"'.
Diremo cÌle
,-tiro'" r Ct) = l
,-li m'" Ir (t) - I I = O
(2.1 )
P o iché la funzione t .-> jr (t) - 11 è u na. funzione reale d i variabile reale (il modulo
d i un vetto re è Ull nume ro r eale), la d efini zione precedente r icondu ce la nozione
d i limite per funz ioni a valori vettoriali a quella, già n o t a, d i lim ite per funzioni a
val o ri reali. Geomet ricamel)t.e, la ( 2. 1) 1:ò ign ifica che la distanza. t.ra il punt o r (t)
e il p u n t o l , n ello :spazio 1R"', te.n de a zero per t. ----> to .
Analiticamente , l a ( 2. 1) s ignifica che se {i n } è u lla qualsiasi successione t.cnden te a t o (con t " 1=- t o \fn ), per ogn i IO: > O risu l t a
jr (t .. ) - II <
(Ubbi a : per 09;n i n
fIHI.!;F;i ore
IO:
defiTli ti vamente
di u n opportuno no)·
(2.2)
es; M.- OS-O T.54T_B
,1, A reo
COIl te abbiamo 'v isto negli e~em pj 1. 1-1 .4 ,
r : IR
&'-:.o,;egIl a!e
--->
n'go lar..,
(I.; cnr!}(! (;uTltinua,
391
u na fu n zione a vtl!ori vettoriali
Hl m
è equ iva lent e a.d a..';,,< ;egnare le m. fu nzioni a valori reali
ri :
IR ----. IR, ,i = 1, 2 , .
, rn
d ove
r (t) =
(T t (t )
, T'.!
(t ) , .. . , T", (t ))
Le funz ion i reali Ti si d icono (;mnpone n ti della funz ione vettoriale r .
Vogliamo o ra capir e che relazione c'è tra il li mi t e d i una. funzione vettoriale
e i limiti delle sue componcllt i. Ricordando che il mod u lo d i Ull vet t ore v =
(VI, t~..I, .•• ,v,,, ) è d efinito d a Ivl = V'v? -l- vi + ... + v~ :;i vede s ubi t o che
se Ivl <
E,
allo ra
Iv;! <
o:
(per
i = 1, 2 , .
,m)
e viceye rsa.,
:;e per ogni
D i conseguenza
ò'R
l
= 1,2 , .
,m
ris u lta
IVil <
0:,
allo ra
Iv l <
Evrn
vale la ( 2 .2 ) ne s egue anche
IT\ (tn ) - li ! <
E
(2.3)
defin it iva ment.e
per i = 1,2, ... , m; e se viceversa va le la ( 2 .3) per i = 1,2,.
, Ta, risulta pure
Ir (tn ) - 11 < cost. . E definiti vamente
L<l. conseguenza
è u n fatto semplice m<l. fondamenta le:
la funzioue vctto7'iale r (t) te n de a/limite I, P(;'.T' t - 4 t o , se e s olo se ogni sua componente l -i Ct) fe nde alla corrisponde n te componen te l i del vetto~ limite . Detto
altrimenti : il limit e di una funzione a valori vettoria li si calcola comprHtente per
compon ente . In simboli :
,r",
('»
r] (t), lim
( llim
- lO
t --< to
T2
(t ), ... , l im
t - ,·tcJ
Tm
(t))
(2A)
Ne segue ch e il calcolo dei lim iti pe r fllTl'1,itllli a valori vettori ali non i nt roduce
n uove difficoltà r is p etto a l calcolo dei lim iti per fu nzioni a valori reali.
I noltre, m o lte definizioni e proprie tà ri g uardan ti i limit i d i funzioni vet toriali si possono enunciare e d imostrare in modo perfett a mente analogo a l caso
unid imcnsionale , ad esempio :
il teorema d i unicità delli.mite vale per funzio ni f : IR - 4 IR Tn ;
il tco n:ma ::;1Ll limite dell.(1 somma o del prodotto per 'tlna costante vale per
funzio ni f : IR ---> lRm. ;
la defirà,2:ione d i f 11.tl:àone C'.Ontinu a , iii Illl punto o in un insieme, è analoga al C tLSO u n iòimens ion alc : si d ice che f : IR .---+ IR.'" è continu a in t. o se
lim t_ lo f (t) = f (to) · Per la ( 2.4) , s i ha c he UTUl funzione li. ,-'alori veUoriali ,l,
contirL1J.a !w tè solo se lo ,~()no tu tte [t; SUF- cOlnpo ncnti.
392
3.
Capitolo 9 . Cakt>lo ill.jinitcsl7rwle
pt-'1"
I,, -,,
~C'C~C"C'_ _ _ _ _ _ _ _ _ __
(0
",,-OS-O'r>i4T_S
ARCO DI CURVA CONTINUA , REGOLARE
Abbiamo già (ia t o una definiz io ne d i curva come funz ione f IR _ lR'": possialno
o ra precisare qu~ta defini zione cnn qualche r ichiesta di regolarità. È utile t e ner
prf'_~nte l' in l erprct.''I.;.:ione c inernatic a d.f'lle varie nozioni che introduciam o .
Definizione 3.1 - S ia I un inten' fllloin H-L S i dice arco di curva continua, o
camntino, in IR'" UfLil fUTIZIOTU'- r
I _ IR"', continua ( ovvero tale che le sue
componenti 8ono funzioni con tinue). Se la variabile t s i pensa CQTIle te mpo, un
ItrrJ} di (:11T"UQ è la ltgge 01Yl.T"i.(! tii ltn ]nlnta mobile: {J..~8egn(, la buicftona e il punto
in cui si trova in ogni istante il punto mobile.
il Rostegno della CllH'a è. l'ù-"maginc della ftmuone , cioè l'itlBicme dci punti
di 1Il!n percorsi d al punto mobile (ov'vem , (u lino! gemnetTica, a presc iru{t:H~ dalla
IOJ!le nm cu i è pen;Of\'HL) ,
La curva si dice chiuNl. se r (u ) '-'-' r (b) con J = ~a ,bl (i l punl-o di partenza e di
an'ivo nel moto del punto coincidono),
Esempi
3,1.
L'arco di ellisse
X=2cos t
{
y = ~sint
t
C :0,71"]
è lHI W'ço d i cun:a co n t inua, non chiu.sa.. Se t variasse in [0 ,211 ! a,yremrnQ un'l (,urva d ,i'lHl,
il cui s,o,;tCgIlO è l' int.erel el lisse (fig 3.h).
,
,
,
,
b)
Figura 3 l '"n:o d i eli;""" a) pe r / E [O; rrl "b} p,,' I <= :0.27Cì
3 .2.
Il Folium d i Car tesio,
:r = t (t - ì )
{
V = I(t -1 )(2t - l)
I E ( - = , --'-00 )
è una. CUrva conlin lla. u On chiusa () ì g_ <l a ) s,." con"ideras"iHlO solo l'arco per l E (O, 1; ;':Vl'enUllO
una CnTya d, iusa: infatt i si vede che pe r I = O e p"r t ~ l passa dallo :;l"l!~() p unt o (O , O) .
S. A nu di.
CHrp].
contin,,,,_, regolarI';
393
x
hl
Figu~a
3.3.
4 Il Fol;urn;o ) p '"' l E :- 3,;;1 e b) p'" t E [0,1 -
L~
c'Inaz ioni
x = n.C h t
{
"o" a, f,
>
y = bSh t
tE R
0 , descrivon(J i l mrno di ip .....bolro
x'
x>o
a'
(<in ,,\li r(Jrigine de l nome di fv. nzioni iperbolù ;h c per C h t , S ht) . L 'altro ramo (per- x
descrit-to da
x= - aCht
{ y,,----bSh l
Ognuno dei d ue è un arco di
y
Clln~. co" t.i nuo.
< O) è
t E R
non c h iu so (fi g_ 5) .
1
--1-
-T ~C hl
G ril fi<:o di {
J; = Sh t
t E lR
Gr .. fic:o d i {
r ---=-C ht
y = Sht
t E lJl
Figura 5
3 .4 . G !i (!1'!"rnpi preceden ti sono Cu rve p ialle , ciDè in u=t" _ l ; n t'Hempio di ClHV" i n]R3 è l 'd ica
cilindr ica, già incontra ta n e l paragrafo l (e;emp io 1 .'1 ) :
x = R cQ.5 t
{
R,-, i nt
y
x = pt
t_E [o,b]
con a. h, R , l ' para. metri lì""a ti. S I c h iama nlindrica p er"h.' g iace su l ciJiu dro di "CJua:t.ione
2
?
"}
È. IHI arCO d i curva contin ua. n on c h i u,>,,- _
X +y = R
3.5 .
(9
Capitalo .Il. Calc.n {o i TljiniteS'imalto ptT l e cun'€
394
""'_QS_fl7 r;4 7_11
L a Curva
{: : ~;
tE [O,l]
z = t
3
è Ulla c u rva in 1R , ITl a in n ca \t à giflCC Su u n p iano : il p iano !J = 2x . P erciò
curva pitUla..
fij
p uò c h iamar e
..
Fig,na 6
Su un arco d i curva p a r ameirizzat o esiste u n orientamento o oricntazionc, eIOe
u n verso di p ercorre nza , d ettato dalla parametriz.za:,don e . A d esemp io !'d lis,"Se
X
{
2COSt
=
t c [0 , 2...J
y = 3sin t
è p c r conm. in t;eu :so 8.utio rario ( p er t crescente, il p unt o mobile gira i n t al sen so) .
P er i n d icare l a c u rva di u gua l ::;Otitegn o percor sa in scuso o pposto (ofRIio) d ov reuuno pararuetrizza.rla così
X = 2cos( - t) = 2cost
t E [O, 2;rl
{ y = 3.5in ( - t ) = - 3s int
Vo gliam o o r a generalizzare il concett o di deri vata a u n a fun:.-_ione r : (a, b) -----' ffim .
La definiz ione u suale, co m e lim ite del rapport.o i ncl·cmentale , ha perfetta m cnt.c
ijen so:
l'lIn cc"(t,,,
o-,+~
hé)_
--,r-,(-,to~)
(3 .1 )
h
Si noti c he il r apport o incr emeut ale è il q u ozic nte t ra u n vettore e uno s r-.a.la r e ( il
che ha senso), qu.in d i è u n vett or e; il limite va int eso r ispetto a lla d.ist a n za in JR""' .
R icor dando poi che i limiti d i funzioni a valo ri vett o ria li si fanno compon ente
p e r com pon ent e , vediamo che l'c::sp ressionc precedentc è u guale a :
r
lim r l (to
(
1< -->0
'(t'
.0J
+ h) Il
=
h --> O
TI
(lo) , .. .
,.
• l HI
. h --> O
,·",(10
+ h)
- rm(fo) )
h
Ne eo m.:l udialno c h e
(3 .2)
Ossia , a n c h e la der h ·a ta d i una funz ione a. valori vcttoriali $i fa conlpone n tc per
compon ellte: il vettore deri vat a te "ilvdtorc delle derimlle delle componenti .
S . .,tn::o di t:U nlU t:o'l tinua, . r-9 olare
395
Esempio
1.&.
Per l'el\is'ow r (t) = (2C05t. 3 5in i ), abbiamo:
r '(t)
=
( -2 sillt , 3cost)
.f..1ent re l'osservazione p reced e n t.e è utile per il Galcolo effettivo del vettore derivato,
p er c apire il significato cinematico d el vcttore d erivato è meglio ragionare sul
lim ite del rapporto illl'rementale dei vettor i, anziché s ulle singole component i. Il
vettore r (t o + h ) - r (to) rapp resenta lo spostam ento del p Ullt o mobile dall'istante
t o all 'istant e t o + h . Ne segue c h c il limite d ci rapporto incrcmcntale rappresenta
cincrnaticamentc il 'v ettore velocità istan tlm ea del m o t o , che ris ult a tangente alla
curva (fig. 7) .
,
r( to +
d to)
hl -
r{t.g)
/
y
Figura 1
x.
Si può d efillire a nche la v elocit-à
.~("4lare
, ,(t )
~
ir '(t )1
Il vettore velocità i!ltantanea in d kidua effettivamente UIla di rezione (e q u indi h a
il significato di vet t u re t angen te) solo quando lo suo component i n o n sono t utte
nulle. Questo Illa t iva la prossima f!efi lli7.ione:
Definizione 3.2 - Si dice arco di curva regolare 'W l arro di curva r J --lo IR'"
(con J intervallo in IR]" do ta to per ogni t di vettore t angente non nullo: per ogni
t E I e.~ iste cioè r ' (t ) i' O .
Per le curve r e g olari è ben d efinito il versare t angente,
r'( t)
Ir' (t) 1
t~--
Esempi
3 .1. L 'ell isse r( t ) = (2 c()st, :l s i u t ) , t E [O, b,] è r..go la re , i n fatt i r ' U) = (- 2:>in t. 3co51)
#- (O, O) p er og n i t (5i no ti che quando Ulla co m pon ente s i annull a , l'altra i, dh'cr"", <l a. zero _
I l ver sore tangent.e è :
.~
/i~,-n~::...~;-­
'~ -""""
~
Capi t olo 9. Calco lo i nfinitesinwle per /" curr"
396
3.l! .
L 'ast roide.
x ~ 1,,,,,0)'
{ y = (sin 0 )3
oE
~O. h J
nOn è regolare in q uan to ("'(O) = ( - 3 (COhO) 2sin B,3(si1l8) 2c.osO) 3; annulla per fi
D ifatt i la ""cva in figu ra 8 presen ta delle cuspid i nei punt i corri;;p ondenti:
k~ .
n _~ --
-,
- o~
;
o.d
I
Fig .... a 8
Regole di calcolo delle derivate
Dalla definizio n e (3.1 ) d i d e rivat.a d i una funzion e r : rn.. ----> IR m e dalla p roprietà (3 .2) seguono subit o le con &uete regole di calcolo delle d crh -a t.e d i funziOlli
vctto ria!i:
se
li , V
:
ffi
---->
IR'" s o no d eriva b ili, allora
(u +v)' =u'+v'; (cu)' = cu' ;
se 'P : lR _ lR è u na funz io ne derivabile ,
lu ('P (')))' ~ n ' ('P (t» ",' It);
p er il prodotto scalaTe d i d u e fun ziu[l j 'v ettoriali vale anche la seguellte (ch e
lo titudcnte è invit.ato a ve ri ficar e in base a lla definizione d i prodotto scalar e
in IR"', vedi e a p. 2, par. 3 .2) :
(u· v) ' = u '· v
+u
· v'.
L' u l t ima pro prietà h a un interessante s ignificat.o n el c aso i l = v . Ricor dianlo c h e
lu I" = u· li. Sup poniamo allora che l i IR ---> IR.'" sia u na furaione vetior iale d i
mod u lo c Of>tan te , iu (t) I = c per ogui I.; allora u· l i = c"l , da cui der iv"tl.n d o s i h a :
u '· u
+ u -U'
0-=
2u' .
li
= O
che h a il segu e nt e s ignificato cinematico : se una funzione vcttoriale ha modulo
costa Ttte, r. semlJ1'e o'r logo n ale al suo t;eUo n~ velocità. Ad esempio : se un punto
n lateriale s i muove con velocità d i rllod u l o cost ant e, i vetto ri velocità u e acceler azione u ' sono o r t ogonali ad ogn i istan t e .
q:,. M' - ()~C7"'4.7_3
.1. A.rco d ; <-"Un'a continua ,
re.Q ,-,~.1"
~ .~
•._ _~3",9C'7
Equazioni in forma polare
Cna fOrIna particolare {:he possono a vere l e e q\l az io ni pa.rfu n€t r ichc di una cur va
piana è quella polare_ L 'equazione (singola):
p ~ ! (O)
è una ::;t e n ografia che
SUl.
a indica re {ponend o x = pcosll, li
Il sin
O)
x = f(O ) cosO
{ li = f {O) S iIl B
Esempio
1. 9 .
La spira le d i Arr:hi",,,,l,, 1m equazio n e pobre:
p = AB, l} E [O, -!- ve)
( A c o!4 a n l. e
p rn;it ;,,~d.
fi5."-3ta ). Q ll<"St a eq u a zion e .:qu ivale a lle equ az ioni pa r arne t riche:
7.' =
{
y
=
AO c_os 8
AOsi,, (}
oE
[O, +=-)
Il vett o re t angf,n t-e è r ' (O ) = A (C050 - O~ i nB , b in(j + Ocos (J)
vede calcolando il modul o d.' 1 ",.,ttore :
~,( B )
P,-,,-ciò la Cu r v1'l
Ù
=
[r '(O)[
=
€
n o" s i a nn ,dla. mai,
COnIe
si
A~ > O VO
r"go liln:.
'"
- IO
- l~
-w
- 15
F igura 9 La 5pì ra le dì Arch imede p er 8 E [0,6 ,':.
Coniche in forma polare
Anch e II" coniche ( p arabol e , e llissi, ipf'rb o li) , di c u i g i à a b biamo descritto le e q uazioni paranletriche (eselnpi 3 .1 , 3 .3 ), ammettono u n 'eq \lazio n e i Il fo rmR polu.re.
P e r a r r ivarci, r icordiamo uno de i modi i n cui è p m; ~ i bi le dp. li nire q ueste curve COllH~
oppor t-uni luoghi geonlet.ric i . N el piano x, y, ~ia d la ret t a ver ticale di equ a z.iUl le
:1: = - p , c sia é > O u n nUHle ro fissato . 11 l uogo dei punt i P ( x,y) c h e :;o d disfan o
la condi z ion e
d is t anza di P dall'origin e
;Tif,l~nza d i P dalla re t La-J
l'i d ice n nl";'l di ecCt' 1,fnr , t à .: ,
dinate p o lnri è
d!rettnc{' " c fu oco l'onylne , I '" id)!:; in coor-
OHI
(d isUUlza d i P da l r o ri~ i ne)
f'
(' ( ..-ed i fi g, IO)
(d ist.n.nza d i / ' dalla r eLI,a ti) = 1/ +
ri ~ult8
d a c u i s i ri t:!\vu
,
+-p cosO
]I
(H:O'SO.
po /a n , de lla conH'I/:
l'tQ11 (' ::I Ofl.P.
f ]'
l'
( 3 :1)
1
,.
- p
i
Figura l O O " ['" ' l 'O""" d , comCi
m~'i n tt! fuoc o
e
d " ~I1 " (."
Si vede d IO : 1Ft. (3.3) . , l\'(luuzio l1l' d i
{
,\ d
e5C llI p io ,
ileI easo
E
Ul1'cl l i s:;c
~" ~
<
u ua PilHl bola
,.. p !"
ulJ ' i p (~rb ole
No ; E:
= 1
> 1.
1
> L gl i <l."i n t o ti d (>lI 'i p l' r holc
p .·1i
1'<>110
le
rett~· pa."-.-"8.I1ti
r or igi n~ ('()Il
pcndeuza O {fllf> dn atm1ll/are il .!(\Ilominatton' {l - !"(,lI ~O ì .
P er :: . . O e p =- H /~ :.i: tr o .. -" l t'qu a.doll< · <ldla cir culI[f'fen"a
p=
I nvece. I)('r
~
_
+x.,
SI
R.
t rova
,'
d lP è
h~(l Uaz i ollc
d i Ima retta, (L.. s t.u dentt ' v('riflch i
i]
1)(,"l"n6) .
p ('r
Nl,]I, , l' t,uù io d e! m oto d i \11 . r orpo 50 1-',1-', " t. to a d ~~U . '· a;;: i o ne f!;r: cv il ;v;ion a le {·(' llt.ra le
(:Id ps ('m p io il 1Il 1ll.O cii 111 1 p ia n e t.a intorno al ~o ! " ) . :-;ì a rr iv .. " d im ool ralT , riso}\·" , ,, 1,, le Op~"Jl" \ nIlC equ lI,ziuni diffc r cuziali. che il n lfl'o!'ii 111\1' )\'(" lu n go uua ("un'a
di ('qnaz io ne p " lare d i 1.1 1"" (:1.3), d " I"I li ~ i r iconosce c he l" prbit (> 1"(>1 10 ('lIr\"('
f' OHi dw { ud n L"" ,I!'!i p ilu wLi , clli:>::;i).
4.
LUNGHEZZA 01 UN ARCO 01 CURVA
l :1I p r o blema ' 11,, 11 0 n a t u r al(' d i calc<llo infi ni t cs illlaic è quello d i d efini r(' I..'o.<;.a s i
i ntl:llda per 1 1!!l I~hc.tz a <.Ii \ 111 a r co di curva., e <:ak o lar!a . U n modo n lt. I·" ttnnto
nal ura le d i i!lJpfllo t a re l i prrol ' !emn è 'I m 'l lo d i eO!ls idc r a rc lill a "pezzAt a j!l ~ ri tt a
:,; u ll"a r co di Cll n ' ~l f' caln.Ja rnc la JUIL~ I \f'zza. A p p r~im andll liCmpr c' II I!'J,!.Jio la
c nn'lI ('un ~pf" zzalC \ i a v ia l'i., fini (ci..o'· con un 1)\1I 11(>ro c r e'So ' lI te di !'io:::gm p nt i. d i
IUlighezza scm! Ht) p iù pkl"!JIa.l. s i d ()v fI ·b be o ttenere, co m e li mi t.e, la lung h ezza
(]pll n c u r va s t'. ~"<a .
( 'o ns id crialllo per st'lI' pl iC'it h u n ar("o d i cur\'a p ian a e rep;o h~f('. r :
bi - . 1R2.
P " r 1! wtt e r e i II pratica (ì'l. "<t ·idea. s ud div id irul lO l' inte rvallo in. bi in 11 ink r \'a lli
u g ll.di, m ed ianI (' p u nti lo - rl, I ), t.2 , . . . . I" = b, L' ("o n:,<ideri(l.lIl o i p u n ti o" rr is p o n d ClI l. i !:'ulla c u r v a '
!o,
v(t , j.y(t , »)"
L~l
= 0 . 1. '2" ..
TI
lu nghezza .!t 'lIa spe zzat a (:h c Ilni:;n : q uesti pU liti è
t
)(,,(1 ,) - x(t, ,))'
+ ( y (t , ) ~
y (t._ , ) '
,=1
A I, pl i,>ando ftl k fn n zion i J·(t l. y(t) i ) t ('o r e m a d i J.a ~ ange SII ,,~num) t"-'gli im e rn t ll i n i [t . _L, t,;, . . i t r ova d i" .-:,;i.stono p ll1lt i { i, '1, C Il.. _1 , t ,] t a li c he )'c s p r< 's::;io n e
a pl u ' nfl. licri t la ,. II /!,ua!e a
,"
~
,.--
, [,"
\ ' .:1' ... ,)~ t,
,=1
, ._ Cc
Puk h f. per /I - , ,)0;_ l 'am pwzza degli inICl" \'allill l t ('/Il loi> a. z.ero, s arà { i ~ ,ft e il
li ' III (," d e l l'e:; pn ',.,sio ne a ' 1)('11;1 .scr itta c o in cide C'ol lil n ite dell., N lIll nle d i Cau c hy
d ella fUllz io n c ,;;'1" t ) + 11'(1)'1. L A h llll ~)lf>zz.n <Ì!> lb c u r va ~a r il d unqup lIg\lA.le
all· illl ..grA.le
Si po tH' and ..,~
,I.,· =
\! .l"'(/)~ ..,... y'(t r~ dl
cl w ~i .. h iill Ui.l lU ll yhezza d'U.1H J deTllC ltl rul ·. TI "'\l~1 « i g:n i fi ~~ t o. i '.1!.'.. ~ti v..::, t! 'I II' : ~ 'V ~i
. '
SP' tl" !(
jl t"f('Or""
[ I V un t <, ",,,hi !.' n ell 'i nl "n'l1l1o d ' t ,,'n ,po
, a
I n l u l l " «llll O
d I . S I p uo
Capito/" g. Calcolo l1l}initesimal" per [" Cta-ve
400
ved er e ds al modI) segllf! n t.e: llcll'inter vallll d i tem p o [t, t - dt] il punt.o si
(d:r , d y) d ato appro.,,~iIlU::L t i\'1I.m cnt-p. d a dr. = x'(t ) di , dy =
y'( t) dt ( a bbiamo app r o~ i m&t,o l'incremento d e lla. funzione con il suo differfO..nziale ,
come è lecit o fa r e, a m eno di infinitesimi d i Dr d ille superiore). Lo spaz io percorso
anch ~
sp~ta d i un incremento
è quindi in p r ima
.~p prO!:l!:i i lllw.ion e
j(d ,)'
+ (dy)' ~
ix'(')' + J/(t)'dt
cioe ds .
( Abbiamo applicat.o una version e infinit cs ima.le del Teorema d i P it agora,
a nalogame nte a quant o gi à Yisto ne l c a p itolo 6 , paragrafn G, a p r o posito del calcolo
della lu n ghezza dcI grafico d i u n a fun zio n e) .
Sì n o ti che la qua ntità ....l x'CtY + y'( t )2 fl a n è a lt r o che il modulo dd vettore
veloci tà . Si p u ò a n che f>C1Ù -ere , q ui ndi, p er una ge neri ca c u rva regolare iII IR " ' ,
cis = Ir '(t)ld t = v(t )dt
L =
1~ v(t ) dt
L a formula della hmg he?,L.a è qu ind i u na rifo r m ulaziolle integra le della r elazione
"'spaz io = velocità x t.Clnpo" .
E H mpi
4 . 1.
P " r un arc o di ci rco I.rùn m>:<t
J;
= Rcos O
y =
{
R~ i ,, 1)
è r '(9} = (- R!l in9, Ii cos9), IT'(O). = H, e ds = R d fl ; L = R (D2 - D,).
4 .2.
P er l'a r co di d ica CI lindrica
{
'~
R='
li '" l{"in f
t E [0 , 2"'J
z "'" pt
!:' . ha:
T'(t}
ds;..= yx' (t }2
4.3.
= ( - N s; n t , H c:0!3 t , p)
y'( t )l+.t'(t)2dt = V' H2 -; ,,'1111
L =
l"'"
ds = 2>r.jR2+r?
P er una curva p i.)n "" in for m a. polare
p = / (8)
O V'V<!r<'
r (O) = (1( 19) cos O, 1(6) sinO) "i 1m
r ' (9 ) = (/' (O;
dun q ue
C')I) O -
f( e) ",; n 6,
f' (O) sin O +
/(8 ) cos O)
5 _ Integra.li di l iTl€a ( di p f'i ma spet:te)
A,l ['_~ empio , la l unghe= d d l' ,uço d i spirale d i Archimede l' = () per
L =
f~~
j"
,\/ 1 + 02dll
[f!
=
.
.
tj~ ~tTSt_" .~ =
=
le,
=
~ (2"-v'1 + 4 ,,- 2 + log( 21i + \.11 + 4 ..- 2 »)
(C h t ) 2 di
=
E [O ,21r) è
S ht; dll = C htdr]
=
1
[s..'.t ~ h ·~ ",
(I
401
2" :Sht- C h i
--t-
Parametro arco
La lunghe.Ma d ell'arco di curva T(T ) per T da I-o a t è una fU/lziolle d i t:
Se ::;i è in groo o di c alcolare csp licit.arnente t a lc funzione , e p oi di invertirla , esprimendo t come fu nzione d i s, è possi bile r iparametrizZBrc la curva in fum·jone del
par ametro arco :3 .
A d esempio , p er l'elica cilind rica dell'esempio preceden te è
S i può allora ri pa.ra.rnetrizzar e la. cu r,,'a come
sE [O, 27rVR2 . ]P ]
ed s v iene allora. d etto parametro arco , C iò che h a di speciale questa par a m etrizza\':iolle è e he il parametro s è ("Sattament.e lo spazio p ercorno dal p u n t-O m obi le
dall ' is t ant e O all'ista.nte B .
InoIt.re, se r = r (s ) è una curva parametri zzata m ediant e il par a met.ro a rco ,
il veHore velocità r' (s ) coincide co l vcrsare t.angcnt e t : i nfat-ti, v(",) = L come si
vede d ulie r elazioni:
dr I
d:3 1
I
dr
dt
dt
ds
Idrl
l
dr
----
t;(t) dt
1
v (t )
v (t ) dt = v (t )
=
1
Il vetlo re r ' (s ) contiene infor nl(;l.~i() fli pur a rn ent e geolllet r idw: in fa t ti, nonost.ant e
sia un a "vd oòt.à" , s i t ratta d i un vettore o.di1llen,~· iorwù;.
<02
5.
Capitolo 9. Calcolo infim/e,l lImal" p«T /.,
Cfl rt! C
@
6.6.-08.-<l T54T .8
INTEGRALI 01 LINEA (01 pRIMA SPECIE)
Supponiamo di vo ler calcolare la ma.s.<;a totale d i un fi lo pesante. non omogeneo,
d i cui sia not a la densi t à. lineare . Se il fi lo è rappresentato (:ome c urva p aramct riz7..a.ta rispe tto al p arametro a rco, r = r (s) , S E [O, L ], e p = p(,~) è la d e ns it à lineare, p e r il signitit;ato della funzio ne d en!"ità, se cL., è u n piccolo elemento
d i filo, ] (1, sua massa sa rÀ. am = p ( s ) d~ . Dunque la m assa totale sarà uguale
tùl'im egra le
In pratica è difficile COlH..lSCerC la param e trizzazio llc della curva. mediante il parametro arco. Se r = r (t) . t e: (a: b] è una par a m etrizzazione qualsiasi , l'elemento
di massa. del pezzetto d i fi lo corrispondente a [t, t + dt] sruà
dm ~ p(tllr'(t lldt
-,.,.
e avTcmo
Ai
~[
p(t ll r '( t)ldt
Se la deusitil p fosse espressa in fu n z ione delle variabili carte,<;ia lle (x , y, z ), ossia
fosse una flm zio ne f : m.3 - R , p er calcolare l'integrale di tale de n sit à lungo il
filo dovr e mmo scrive re:
M
~
l
f( r (tll lr'(tll dt
S iamo giun ti cosÌ a m otivare la seguente:
Definizione 5 .1 - Sia r : III , bl - ID'" un arto di curua regolare, di so.<;tegno 'Y,
e sia f una funzione, a t,alari reali, definita in un ins'icme di IR'" contenente 'Y
(in particolare, potrebb~ C8 l!I!T't! defin ita solo stdlu curva ) : f : A C lR'" - o m. con
A :J ')". Si di ce int-egrall! d i linea (di p rim a specie) d i f lungo')' l 'integmle
l! ~ t
d,
f( r (t ll lr '(tl ldt
• Significato gcomctrico de.ll 'mtegralc di linea. rispetto al parametro arco. Se m = 2 ,
f è p OS itiva e cont.inua, e "ì' è pan unet r izzata. col parametro aroo, considerifuno
la super ficie S in lF(l fo rm a t a da.i s egmenti vt! r t.iC61 i che congiungo llo i p u nti d i 'Y
a i punti d e l g r afico di f. L 'i p o t e;i che ì sia p aramct.rizzat a d al panulletro are o
s ignifica, geometricame nt.e , che se svilup piamo in u n p iano x.y la s uperficie S
( facendo coin<.:id ere ~f con l'asse x ) il p aramet. ro <.U'c o ntpp r~nta l'ascissa x. Allora
l ' i otcgra.l~ f'") I ds rappresentA l·/\rea d i quet>ta superficie svil uppa ttt, l:! qui ndi l'area
della s upcrlìc:ie o r iginale ( fig. l I) .
@
SlH)tò-OUi47-"
5. Intq}mJ.i di lin ....tl. (di prima .•pr.rir.)
403
,
figur. 11 l · i n terjlrc.t;lz;on~ geomet rica di
J.., fd.~
coro f (:r; ,y} = - 11 e , ~emjdrconfc.ren,,~ t;omt in
fìgu~...
• Cu1"tle equivale1lti. La lu nghezza dell'arco di curva p~ reors a da un punto Inabile
non d ip ende, nat u ralmellt.~ , ùalla velocità con c ui il punto si muove, n é dal ver so
di p ercorrenza. Come r:;; traduce matematicamen te questa a ffermazione?
Sia r = r (t) , t E [a, bI un arco d i curva re~o I AIe . Supp o niamo di ca.mbiare parawctrizzazione , p o nendo t = tp(r.c ), con y : [c, d ] - [a, b], derivabile e invertibile
(in part.icolare q uindi. -.p sarà monotona, c r escente o d CCTcsccnte). La n uova curva
r = r (tp(tt)), 1.1. E le, di avrs lo ::.1:e>SO sostegn o, allch c se sar à percorna con una. velocità d iversa . Ino lt r e. a seconda che 'P sia crescente o decrescente, la n uova cur"'a
::;arà. percorsa nello stt!:>so Vt:TSO o in verso opposto, rÌ!. petto alla cu rva originaria.
Se tp è cre8Centc, le due paramctr izzaz ioni si d iranno equivalenti. Altrimenti,
la. seconda si dirà c(~mhio di orient(uione ri.~lJetto a lla p rima.
Esempio
x = ncost
{ y =R s illt
5 . 1.
•
t E [O.2,..j
= Rcos(2u)
y= R sin (:.!u)
X
{
sono du e pa.n .. mdci~lGaZLOtli cqU ;"l;I.l"Ilf i d i ulla CÌTco nferen?a. Invece
x=n eoo (- u)
{ y = R_~; fl ( - "ti)
rapprcS{, .. t.a n" catllbio di Drient=ione.
uE[O,2rr]
404
Capitolo 9 . Ca/c,'/o
i"finif(~~im(llc
per le. cun' jfo
Pos.<>ian lO o ra. e nunc iurc un dsult a t o prflt;i so r ig-uarda la lun ghezza di UIl;'!. ç ur vo.:
Proposizione 5 .2 - La ltm.'l hezza di una cu"-v(", c più in gcne"ale, l 'integral e di
linea di f di prima specie [tJ,) ~9 0 '1, È inVC1rùmle JX!f' pfHumetriz zc=ioni equivale llti,
ed anche fH!T c.ambiamcnto di oricniazione $U {_
L a dimostrSi7.ione d i qu est.o ratt.o è una. sem p lice a pplicazione della formula.
di I;umbio d i variahile nell'integrale e d el teorema di d erivaz ione delle funz ioni
compost.c.
ApplicazionI fisiche e geomtltrichfl dell'Integrale di linea dI prima specie
Sia "t una linea ma.teria le no n omoge nea. di d ensità lineare p . Sia r : [a , II] ..--.. ]R3
u na parameLnzz.::U:lOne regolare cii ;. Abb iamo vi st o che la 1I1asS(l totale è d a t.a
da
j. . pds = .1.r. p( r (t) lr '(t )jdt
b
tU
=
Se il corp o è omogeneo (p = costante ) s i ritrova 'm = p ' L(i ).
11 barit:.:entm d i ì il aUo ro. il pu nto 8 = (:E, f), z), con
x = -l 1n
j
x pd ... = - l
m
''l'
Y=~
m j, YP dS
l'
x(t )p (r (t)) lr'( t )\ dt
a
z= -~ jZP dll
rn
"f
Se il corp o è omogen eo ( p =costante ) il b a ric:""ntra si dice c.entroide, e ha C0 0 rd inate;
x =
!!...-j X dr; =
2.. J.b x(t ) I r'(t)~ dt =
m
J.,
..,
a
J:filxb( t)!r '(t)ldt
!r'(t) idt
con a na loghe e,.pn~ssioni per f), E.
11 momento d 'inerzia d1 ~f rispett.o a un Qsse tìssa to, indicato
la d ist a n-z;a d i (:l:, 11, z) da quest 'asse, è
I =
i
,
n ? fJds =
1
R 2 ( r (t » p (r (t )l r '(t)lrlt
Se il corpo è omop;enoo,
Il n lomCllW d 'ill~ r zia ha )(' di m e n s ion i di rnL 2 .
t':O Il
R (x,y.z)
@
91'!-IJ.I!_OT !I _U ·_6
405
Esempi
5 .2. Dek r m ill;fi mo il <:e llt roi d e d i UD3. ""mici rconfcrenza o mogen ea.
P os t.oo :t = RcosO. !I = Rsin6. 9 E [0,-,;-1, d aspett ia rrm p O' r simm e tria c h e sia x __ 0,
ii ;:: (O, R ) . I" qllE'$t <:> ("a >iO ds = Il dO "
i'
. iO"
x:-
-l
1'"
R
c.
Y = lR
5.3.
".~...~
R ccll'i B Rtl(j
~
t·
()
R " in O R dO = -2 R
~
G ;;o.lcoliamo il !w'ment.o < l '; m.: r ~ i a d i unII. d r<,:o"f"r enz" o m o genea elte r u ota 11Ingo UII
c ontenent e UI1 suo d ia lne t ro .
KcI pi ano x , y , sia l'f>&>e il l'as,e di r o t ru ione. De tt a ld la m ru;sa l otlÙt: s ì hll :
J -
2 AIIl
~
lO..,
Ft' cos' 6 HdO = ;l M R'
~
Escrci7i
o
V" ri ficar e c he il P "liu Jn di C n ru.-,,;i o
X = t (t - l )
{ y = t ( t - l )(2i - l )
è
Ulla
t E ( -::>O , +:x:>)
c ur va r eg o lare.
o
Ver ifiCaTe che la sl'i ...nie logarit mir.a, di tXJ.u a z:io ne p olare p = e MJ , O E ( - :xl , +:;:0 ) , è UIL
a rco d I curva r e g o lare. C a k u la re d.!. Espri m e rf: poi O in fu n zio ne del p arame tro ar co $ .
o
Una linea IlVlt tiriale UOIl (>mo genea . , d ispo:s.H. a for m a di _~p;", l" di An;h imed", d i
eq u az io ne p olare p = AD, (1 C [0 , 4:'l La !;1If1. d ,:n.~ jtn li n ,!l).nl è d ""' BY. C a lco lar e la rn>:\SS&.
t <)I.ale dell a lin"" m ateri a le .
O
Calcolare la lu ogheu;.a t otnl(i d d l'astro ule :
•
l)
E [0, 2 ;r)
x ~ ,c~ ,
{
S i vE'l'ifiehi dO(: I... ('11 ""'<'1
o
{o-
t E [O, &.)
Il ,,-- t s int
: ::.; t
t"Cg olar e e
~
ne " ... Ieo li III. lunghe:>.: 7. a..
Calcolare la IUtl~he7J--a d e lla clclo ùl e;
R (t - sin t )
t
R(l - cm. t )
'/1 :;.; aC h (bx ) ,
~ i ~crh a
.r;
E:
(0 , 2 7: 1
C [O. T !
l'inlq,rulc çhe III: a.~~<;6gn o la Illn g hc1.Zòl. Lo si c a lcoli lJoi nel ca:",) IlAr i ico la r e a ""'" 1/ &.
406
o
Capitolo 9. Calcow .nfinituimale per le curve
Determ.inru-c il centroidc dell 'arco di eil18lJe omogeneo
Z = 2C05t
{ y = sint
t E 10,,,.j
Indicare con L la lu nghezza dell 'arco, senza calcolarla.
41)
Det.crminare il momento d 'inerzia dell'arco di parnhola y = x:Z,x E [-l,II, omogenea
dI densità p, che ruota attorno all'asse JI.
~
Sia '1 l'arco di spirnle dj Arc/umede di equazione polare p = A9,8 E [0,4,..-J. Calcolare
l' rntegralc di linea
~
Determinare lo. lunghezza dell' arco di Curv8.l1 = logx, x E (1,2].
ca
Calcolare l 'integrale d i linea
J. xels dove -r è l ' arco di ipcrbole y = !' x
...
E
lì, 2] .
G
A p artire dall'equazione polare della conica (3.3), lo student.e scriva le equazioni pal'amet riche corrispond enti; quindi , eliminando il parametro 0 , ritrovi l'equazione cartesiana
x, +y2 =e- 2 (p+x)2.
Al variare di L, classifichi quindj il tipo di conica, dimostrando l'affermazione (3.4) faLta..
lO
Calcolo differenziale
per fu nzion i rea I i
di più variabili
Cominciamo Ofa il. sviluppare il calcolo infinitesimale per le funzioni reali di più
variabili , ossia f ; ffin
IR. Tutti i concetti nuovi che incontreremo possono
essere illustrati in modo significativo già nel caso n = 2, che inoltre ha il pregio
di consentirci di visualizzare il grafico di f. Perciò, e anche per semplificare le
notazioni , parleremo sempre di funzioni di due v ariabili, f :
IR. Si tratta
però solo di una scelta di linguaggio: tutto ciò che diremo varrà più in generale
per funzioni di n variabili ; negli esempi e negli esercizi tratteremo anche qualche
caso di questo tipo.
..--.j>
ne -
1.
GRAF IC I E INSIEMI DI LIVELLO
llicordiamo che il grafico di una funzione reale di variabile reale, y = f (x ), è
l' insieme dei punti del piano ne, di coordinate (x , f {x» . Analogamente, il grafico
di una funzio n e reale di più variabili reali
f : lR.n
z
~
_
lR
f(x )
(dove ora x indica un elemento di IRn ) è l'insieme dei punti di IRn+l di coor dinate
(x, f(x » . Per n = 2 questo grafico "vive" nello spazio tridimensionale, e può
essere effettivamente visualizzato. Qualche esempio di grafico di funzioni di due
variabili è mostrato nelle figure 2b-5b.
C 'è un altro modo di rappresentare graficamente una funzione z = f (x , y) ,
ed è quello di tracciare le sue lin ee di livello . Si pens i alla superficie grafico di
f come la superficie t.errestre in una regione mont uosa. Le linee di livello sono
allora quelle che si tracciano nelle carte topografiche.
Un grafico a curve di livello è un disegno nel piano in cui si tracciano le linee
lungo le quali f ha valore costante, per un ins ieme sufficientemente fitto di valori
di f (nel caso delle carte topogra1:iche, il valore di f è la quota s ul livello del mare,
e le linee di livello rappresentano ad esempio le quote f = 100 m , f = 150 m ,
f = 200 m, ecc.) .
È chiaro che un grafico a curve di livello (con linee s uffic ientement e fit te)
contiene le ist.ruzioni per cost ruire il grafico di f (sia puc in modo approssimato).
(è) "~-<h-U TIi4T - !;
Capitolo lO , Calco lo d iffer"T<2iak per junzi.oni ""xlii di p ;"ÌI ,.aMab ili
408
L' n a l tro esem pio d i u tilizzo de lle line e di livello , lo vediam o og n i gior no nelle
prevision i d el t empo: il gra fi co d elle linee isobarc, O~Sit1 delle lillt:'!e d i live llo della
funzione dì d ue variab ili " pressioIlf' atmosfe rica 1U~1 punto d i coo r d in a t e (x , y )' al
li Vf'lln c!el m a re (fig. 1 ).
!
./
Fig\1~i'I
/
/
1
lvlaternaticamcnte, qu indi, le line e d i li "" e llo f;ono definite da u n 'equa zio n e d el tip o
! (x , y )
costante
S i noti l:he se le linee d i live llo J {3: , yì __ k s o no tnux iate p er u n i n s ieme di valo r i
k p. q ui ~p fl.z i ati (ad es . k = 0 .1. k = 0 .'2 . k = 0 .3 , . .. ), le linee d i li vello s ara nno
p iù fi t t e là d o v e il g r a fico d ella fun:.do ne è p iìl ri p i d o , e più d ista n ziate la do ve il
grafico d e lla fUII:{,ione è più p ianeggia n te.
Esemp;
Studiamo alcune s e mpli ci f unziOll i di 2 var iabili e mOi;triam o come c o" rag io oam'mt i element ar__ i se Ile l'D!;';;" traccinrc il grafico.
1.1.
La funz io n e
i,' ddinita in lutto il pimH>, i, ~"Jllpre ~ 0, ha lin ee d i livello .r ~ 1J'~ = c- Ad ese mpi ,~ p e r c ~
l, 2, 3, ___ , le li nee di li.ello sono le "irc ont"r"":t..c cen t-~a t e n e ll'orig ine e raggi o 1 , "1/ 2 , ,;3,_..
(vedi fig . 2a). Da q ueste li n ee d i live ll o le ggiamo ch e; la fUIl;,.ioIlC f h a si m met ria radiale
(ossia; la [11"zionO' ba lo "tesso valore uet plJnti che ba.IlllO 1... s t.e&'ili. d istnu ;,.a da1J'OI' i~in,,) " ,
allon t a nandosi dall 'or i ~i Ilc , e cesce s."npH' p iel v€loc-cmp ntc (l e jinee di live llo di ven ta no p il\
dense). 11 grafico della -fu n z ione sar à ql.indi cl .. } ti po in !ign ra 20 ( p ara bolo ide ).
2
l. Grafici
I.'
insiemi di lircllo
409
i, i
»)
Figura 2
1 .2.
1.a fun7. ione
f (x , y) = v;;.~ + !J~
è de llnh a in hlt to il p iano, è s em p re 2: 0, h a linee d i livello ..jX2 T y "" = c . A ,l esemp io ,
P ' :T .., = 1 ,2 , 3 ,.
le l in ee d i livello 5ODO le e i r conf,;r""ze c e n trate n e ll' origine c raggio
1 , 2, :1,. , (fig. :'a) . Anch e que;ta f unzione dunq ue h a simmetria rad iale; a difft"'. renz a della
precedente, tuttavi a , a llontanan do.... ; dall'o rig in e C l~c e a ritmo cOl'l tal!l" ile li",,,,, di livell o
sono equispa .... iate ) , {Oioè Iinearmcn!.(' , S e facc iamo una f.€7~i ()uc verticale del grafico d i f (x, y) .
intersecandolo col pia n o 'II "--- (J , o tT,cn i,,, .. o b curva z = VX2 = ix ;, che h a un punto ango loso
nell 'o ri g in e . L a funz ione z = f ( x, 11) è d Ullque Ull "'<m o (fig . 3b)
CL)
hl
Figllra ]
1.3.
La f" "zione
è defin it a in l utto il riano t'" assume valor i sia p ositiv i d ,c 'legativL [A' M'" li nee di li "dlo
50' W le c un'e x " - y
= C, d,,, rap p r<!S(,n tano, ,w r r: = U le 2 rc[.t<-: 11 -= ±x; per g li alt.ri
valori di c, ip"rb oli equilatere ave n ti l e ret c<! lI -.----o -,,---z come 3.':l i ntoLi , e precit'am"nt", »c c > 0,
i per boli <:",i "ertici sull'a~s<' ''', &e c <: O iperbo Ii co i v ertici ",,,I I'USSt'" y (Iì ~ . 4a ). SI'" "e dOOll'-'.,
che i l grafi co della funz ione ("par abo Ioidn ipe r bo lico") ha. b tipic f'. forma '-~ seIl ... (fig. 'l b) .
Capt Ivi" I O. Calcolo diil"TC7lriale per fun zioni rULli. d i più ~' a1'iabili
410
<9 ""'-06- IJT"" 7
8
·'~
~~~
···-m
rrm
-.1/;ili
ò\ . \
O" ~\\\~
--- ~;/;!
DI I ) \ i \
;I ' I i
i
I
l,
i iii
\ \ \ \
~: ~~
"
0. 5
b)
Figura 4
1.4.
,-
La funzione
f (x ,y) =
è definita. 5010 nel cerchio x"
+ y"1
x,
viI
:$ 1, ed è po~it.iva.. Le s ue curve d i livello 5Ono le curve:
y" = c, Ol3sia x"
+ y"
= I _ c2
S i trat-taquindi d i circonferenze di centro l' ori~lle e raggio v' l - cO! , p urché O:; c ·:; 1 (figu ra
5a). Anche q u esta è dunq ue una funzione radiale, che si annulla sul bordo d d "erc h io su
cui è definit.a c , come segna.lato daHe li nee di livello, è più rip ida a l bordo del cerchio . Il
grafic," .: la superficie di !11m 8eIIlisfera, co,uc si capiscc, d"] r<'Sto, r i"':ri~ ndo l' equa.zione
z =
x'l
y'l nella forma x~ + yZ + z;~ = 1 , z 2': O (fig_ 5b) .
VI
b)
Fig ....... 5
Consi deriamo ora. un a funz.ione d i più d i d ue vari abili : f
JR" _ lR con n > 2.
I n questo caso, p urt r oppo , il " grafico" di f n on s i può disegnare ( perché '"'vive"
i n uno spazio con più di t re dimens ioni) . Questo è il motivo p er cui s p esso
cscmplificheremo concetti generali che riguardano le funzioni di più variabili ne l
(9
Hfl-- llil_ 0 7~4? _ >;
411
J _ G rnfir.i " ITt"i" m i di lim,Ilo
caso n = 2. Si t eng a comunque presente che, n elle applicazioni, le funzioni di
molte va riab ili compaiono frcquentcnlente, e non c'è una ragione particolare per
stu d iare 5010 Quelle di due variabili.
C na (parziale) y j::;ualizzazio ne di una funzione di tre ...".).riabili::;i ha mediant e le
superfici di livello, concet t o a n a logo a quello di linee d i livello, in una d imens ione
i n p il'l.
Esempio
1.5. S ia u ( x ,y,z) [I.t''1 -> IR i l potenziale ele ttrostat ico generato n ello spazio ,la u n certo
sistema d i c.ar i d ,,~ dett riehe. ( I n cOJ!d i7.ion i di equili brio elettrost ati co, il potenziale n on
dipende dal tempo, p erciò è u na f unzio n e de l1,. sol .. tre variabili spaziali). II hJOgo de i punti
d" lIo s p a7.io in cui u(x, 1/, z ) =cost lUlt e è u na. su pe rficie, che s i d ice su.perficie equ ipotenziale .
Ad esem pio . n e l Ca.l;O d el p ot"n .,.ial" genen,to da una sola carica pu ntiforme post a nell 'origi ne
si b a
dove k € un.." cost ante che d ipende d alle u nit à di m isura s celte ; le ""uperfici equ ip o tt,n.,i a li
son o rappresentate da.
cioè
e
S0l10
q u ind i 5upç rfici "f"rich e cent rate n ell' o rigine.
G ener a lizzando l'u ltimo esempio, d iciamo che le supe rfici di livello di una funzio ne
sono d efinite da un 'equazione òel tipo f (x , y, z ) =eostante.
Analogam e nte, per una funzione J
IR n --+ IR (con n qualunque) ~i chiamano insiemi d i livello gli in siemi del t ipo {x E IRn: J (x ) = c}, a l VaritlTe della
oostante c .
J (;1;", y , z)
Esempi
Le sup e rfici di li vello d i / (x , y , z ) = x'l.+ 1/ +z sono r1dÌ-ni t c d all 'eQua.z.ione x'l. + y2 + z =
-;o r:; x ~ - I/ . Q ueste s uperfici sono dunq lle p arabolo idi,
6'TatÌci de lle funzioni g ( x, y) = c _ x2 _ y 2.
l .fi .
OO&t, che si p ui> r is<:ri v .",re eome z
1.7.
N d l'"",-,mpio 1.5 le superfici d i livello e rano ddìnite i mp lic itament e dalr',,<!uazione
X2-+-
y2+Z~ = C.
yf -
1.S. Lt, su p e rfici d i live\ln di / (x ,y, z ) = ( x + y) } + Z2 S(lno «(efillit" da (x +
P er r: = O, ill particol are , la ''sll perfici,,~ <:: in realtà l'unione d e; due pialli Z = ± (x
+
z' = c .
yl·
412
Capi tolCJ lO , Calcolo diffen<! lziale JK r 1-o1l"": o>li reali di p iù >-'aMa bili
8
!!..5_(}/\_()'''41 _B
o
O e llf' h':'gllemi funz ioni rea li d i d ue ...."'ri abBi , hl pro vi a ca ptre e o m'è fat to il g rafico,
s tud iando le lin ce d i live l lo ed event ual rrnmte alnmc ~ez i on i "on pi ani opport uni . Si c on trolli
po i <l uanto prev ist o di~"gnaud() i grafici co l com put"r :
f
~x ,
y ) -1
_
-
f (x, y )
2.
2.1.
=
,,~
(2
x -'-, Y '2 ).• f (x . y ) -_
" in y;
1 ( x, y )
=
si"
X
xV .,
f I_
.c, y •) _
_ e -",'- ,.. ' ,.
",i n y ; j (x, y ) = x
~y'
LIMITI E CONTINUITÀ PER FUNZIONI DI PiÙ VARIABILI
Definizioni e proprietà di limiti e funzioni continue
Anche per le fun zio ni r eali di più variabili si t.ra tta ora di definire e studiare
la nozione d i lim it.e , su cui si busenmno tutti i successivi concet ti df'1 c alco lo
infillite3ima le. S ia d u nque f : ll{' ''' - - t IR. defini t a a lmeno in un int-Orno di Xo E llln.
e s ia L E IR · .
C-orn inciarno col d ire eosa significa che u n a successione {x,;;} d i punti d i IR n
tendc a >Co. Per quanto y ist o nel cap it.o lo 9 p aragr tlfo 2 , questo significa , per
definizion e , che \x,,= - xol _ O per k -..... oco. Diremo allora ehe
lim
f (x )
= L
x~x o
::;e, per ogni successione {Xk } d i pu nt i d i IR," t a le cbe
Xk f= Xo Vk), s i htl che
X i< ---...
X o per
k
--t
CXl (con
li m J (Xk ) = L
k ~ "",
Geomet r icamente, la defi n izio ne s ign i fica chc il valor c d i f (x ) si a vvici na tant.o
quanto voglianlO a l valore L , purché la d ist anza d el punto x dal punto X o s i<l.
piccola q uanto occorre .
D etto in altro m o d o(l ): per ogni f: > O, esist e u n J > O t.ale che 0< !x - xol <
J imp lica Il (x ) - L I < E .
Si r i Bctta subit o sa u n 'import.ante d iffe ren za ehe esisle, a quest o riguar do,
t r a fu nzioni f m. ----;. IRT>l e funzioni f : IRa - .. IR.. Abbi amo v isto che a&:;egTIur e
u na funz ione f : lR --+ lRm. è equiva le n t e a d a.o,;.::;e~;nar e 1 11 fu n zioni li : lEt --+ IR.:
que.sto fat t o sta alla base della possib il it à d i calco lare i limit i d elle fun zio n i a
valori .... e ttoriali "col n p onente per cowponente". h l'\'ece , lilla generica fu nzione
f : IR" - - t IR non è "sco mpoll ibile " i n alcu n modo in n funzion i real i d i v tlriab il e
reale; d i conseguenza. anche il c alc o l o de i l im it.i per fu n zioni di più variabili n o n s i
riduce in modo n a t ura le a l calcolo unidirncnsionalc_ ::'\el pro.ssimo §2.2 ,,-ed remo
più da vicino il t i.p o d i diffico l t a e s itua:t.io ni nuove che s i p osson o creare.
Dal pUlito d i vista forma le , eomU IHiue , la defin izi one d i lim i t.e per fu n zion i
d i più variab ili è s im ile a quell a d ata per fl1Hz.io ni real i d i variabile reale. In
partko lare , m o lt e definiz ioni e p ropriet à ri).\ u 3rdan ti i l imiti d i funzioni d i p iù
( l ) QU(~~ t." d"filltz ion, ' vak per L E If e
5<'"
L =-
*=
" i lllo fi ifìca il> ITl"niera " "f u ral e .
2 , L im iti e oontimàtà per fu~ !!:-i. p illt'''''Ùlbili
41::J
v3.riabili ::;i pos::;ono enunciare e (lin103t rar e i n 1l10do perfettalllente ana lo go a l
C&.."'lO u nidinw ll5ìoIlal;>, ad csenlpio '
il tC01T:ma di unicità del limitf' vale per f~lll l· io n i
il teOl't:n.Q 1j1.l.llintilt: ridia S07n11l.U,
f : lR"
--+
lR :
del prodotto per u na r;m;(u,nte , tld prodotto
f : 1ft " - . lR;
e del quoziente di due funzioni , "'"ale per funzioni
la definiziolle di f unz ione t:rHI.t.i n n a , in u n punt o o in u n insieToe, ò ana~
I{)ga a l caso unid iln ensio n a le: si d ice e h e J ; IR " ......., IR è continua in X(j s e
lim f ( x ) ~. f(xo ).
X~X ()
,
Come conseguenza dci t.coremi sui lim i ti, valgono i t eoremi s u lla conl.irmil.à della
somma, del prodotto e del q uoziente di funz i on i continue ( quando hanno senso;> il
deno m inatore non »i annulla) , e della cmrt]Josiztone di f u nzioni continue (q u ando
ha s e nso ).
Se J è una fu n z ione real e di variabile l eal e , cont,i nua, ris u lt.a cont.i nua anche
se la consideriamo come funz·io llc di più variab ili.
Quest' ultim a affermazione s ignifica ad esempi o , che le fUllz ioni "d i due variab ili"
f (x, y) = sin x
g (3: , y) ""-' s i n y
s o no con t i nue corne funzioni d i due vari abi li , pel c11é t ........ s in t. è lill a fu nzio ne
con tinua d i Ulla variabile .
Le proprietà. o r a enu ncia.Le si p ossono c omb i nare ha loro, perm e ll.endo d i
Illostrare la continu ità di u n g ra n numero di funzio n i, .senza dov er ricor rere a lla
definizione d i continu ità, cioè a l calcolo di lim iti.
Esempio
,<
2. 1.
L a funzione
è eo"bnua in tutto IR'" . I nf"" .t.i: n umeratore " d""om; nato r" sono f un>:;oni continue di ilI!>l
variabile, q u indi anche d, dur,; il denomi natore n On si annulla m ai; '1ui1d ; il quol: i€n te è
continllo.
:'\el segu ito, n<l.t.uralment e , non esplicitere lTIO ogn i \o'olta q u e~t, i ragionaillenti .
QU<l.ndo , applicand o i t eoremi sopra e nnnciati, p o ssiau lo esser e ceni che una fun~
zione è c o n ti nua, per calcolare li m f (x. ) sarà s u fficien t e val utare f( x.o ) . Come
x ·- .xo
nel caso uni dilnellsÌonal e , s arà solo llel caso d i "fonne d i Ìndet.errnin az io ne ~ , c h e
Ol'correr à r a~i() rmre s u l limite in ba.&C alla d e finizion e . P er il t.ipo di a p p licaz ioni a
cui quest o c~rso vuole prepara re, tut.ta'\·ia , c om;lde rc r e l n o n e l seguit o p e rlopiù fll n ~
zio n i d i cui s ia già no ta la e o n ti n u i t.à, (' n ou vi sia q ui ndi il p roblema cii cnko lu re
illimi t.c in b ase a.ll ... definizione.
Capitolo fO. C a lcolo d;ifere n zi(ll~ pe'- fu nzioni reali d i p iù .mriahili
414
2.2.
@i>8.-08..o '7!!>4'7-i<
Calcolo dei limiti in due variabili: analisi delle forme di indeterminazione
Vogliruno qui present are, attraverso e~effl p i, le d ue idee fondamentali per l'analisi
delle forme di indetcrmi nazio ne. Prelnett.iarno Iln 'osserva.r.ione sulla definizione
di limitc. L 'eRsenza della dehIl i:>;ione 1;ta 1lf~1 fatto che ~e
('" .!d
hm
. f (x, y) = L
~ ( X () , 1m !
allora f(x ,y) s i 8.\'vicina indefinit amente a L quando la distanza tra (x, y) e (xo,Yo)
tende a zero, ind ipendentcmente dalla direzione con c \li (x , y ) si avvicina a (x o, Yo ).
Da questo discendono le tecniche illustrate nei due c;;empi seguenti . N el primo fi i
vuoi mostrare c he il limite per (x , y ) ~. (O,O ) di una certa funzi o ne f(x , y ) n on
esiste: è allora sufficiente determinare d u e curve che terminano i n (O, O). l ungo le
quali la funz io ne tende El. due Iirui ti di versi..
A quest,o proposito , premettiamo la seguente d efinizione. Se f (x,y) è una
funzione reale di 2 variab ili., e r (t ) = (x (t ) , y (t ») è mI arco di eurva piana, la
funzione composta
9 (t) ~
f (r (t »
~
f (" (t ), y (t»
si dice restrizione di f alla curva r , ed è , ovv iamente, una funzione reale di
variab ile reale. Il termine r€tit r izione , dH:~ denota questo tipo d i composbdone ,
deri va. d alla. seguent e idea. geometriCA : invece di far variare (x , y) in ogni modo
nel dominio b idimens io nale in eui è definita f , ci res t ringiamo ai punt i del piano
che stanno bu ll'arco di curva (x (t ) , Y (1,»). È chiaro che se l'arco di curva è continuo
e f è continua, anche la s ua restrizione all'arco d i curva sarà l:o ntinuo (continuità
della funz ione compost a). A ttrave r so le rest.rizioni di f a c urve d i verse si può
avere un'idea del comportamento d i f ; le re~rtrizioni sono più facili da s t udiare
p e rché sono funzioni reali d i variabile reale.
Esempio
2.2.
Calcolare
I -IDI
( " . ,, ) ~( O , O )
x
2
xy
+ y .,
,
Il Limi.t.e nOn esiste. Infa tti: la restrizione di f(x , y) a lla rt'tta y = :r: è f (x ,x) = {;;.! = ~ ,
perciò la f unzione c om posta k:nde a ~. Invece, La H :>;t,..i7,ione f(x , y ) a ll a retta y = - x
è J(x , ~ x) = ~:: = -~, perciò la funz ione com posta tende
d iversi, il limite di f uOn efliste.
8.
-1 .
Esst'ndo i d ue li"m;t i
• Idea generale. Se la restrizione d i f (x, y) a due rl iverse curve che t endo n o
a (x o , Yo) tende a due Iimit.i diver~i ,
lim
f (x,y) non esiste. L a stessa
( ~' .11 ) ~ { ~. () , II,, }
condusione vale se la res t.rizione di f ( x, y ) a u.na p a rticolare curva no n aUlInette
limite.
Questo è il metodo comunernente seguito per dirrlOstrure che una funzione
non mnmette li m i.te. Si badi e he, per questa via, non si p u ò invece d i rnootnue
l'esistenza de! limite. Ad e;;.emp io, quetit a non è garantit.a dal fatto che l ungo
q ualsia."i rett.a uscent.e dall'origine f abbia lo !jte!j~ limite, come mostreranno gli
esercizi.
2 . l.imili '" am:ituutd per funzi(ffu dt p,i. variubiJ.i
41.
N el p rossimo esemp io, i nvece, il passaggio alltl (:il ord in a tp. poht.r i m e t te in evide n za.
la di p e ndtlTl7-8 d i f (x, y ) dalla dis tanza t r a (:1: , y ) e (O, O) a t traverso p = ..jx'J. ,. y"Ol.
Esempio
2.3.
Calcolare
lim
{ I ... ) _ (Q.O)
Affermia m o ch e q ut'"Sto li mi te esis t e e "'ale
co ordi nafC~ polari.
=
Si p u ò nllora. &('riv.,,,,, la
2 :z:2y
-","-''-,
z'l -+ !l'l
P e r dim ostrarlo , riscrivit.. m o la
(I .
'lp3 C08~
(}
si n (J
ri'
fun:&in ,,~
in
= 2 p c05~(j,;in 9
",~ior3.2ione ;
h '
I ;r.'l ......' Y21
y
= 2 Plcoc;~OSiIlOj< 2p
-
Poiche lf(:a: , yll è compre... ) lor a. (] e 'l p , la fllllz.loll e è IlIbitrariam«llte \'ici na a zero q ua.ndo p ,
cioè la distanza tra ( x , y ) e (O; O), è sufficientemen te piccolo. Ne segll': c he il li mite di f è 0,
p rop rio p e r definizimw di limite.
Q uest o esempio COlltie ne l'idea di un criterio v alido i n gen craJ.p. llf: r provare
di u n lim it e:
Per dimost1Y1.·re che
l'e.si.~-t.eflza
per
! (x , ") - l
è su.ffidcnte
riu..sciT~
if ( p, O)
(x.y) -
(D, O)
a scrivere una m U!J.I.fionu i o nc d el Hpo
- II"
g(p) _ O
dove
g(p)
pcT
p- O
L'cs!rem:ifl.le è che la fu n z io ne 9 non dipenda da B. P iù in ~en eraJ e , se il punto
(x,1}) tende A. (xo, Yo ), si applica. lo stesso c r iterio con p = ..j
xoP + (y Yo)2,
cioè s i pone
x
X
{
=
Xo
+ pcos 8
y = Yo + p si n (J
Natural men t e, 110n rit•.~circ il dimostrare
most ra che il limite non esiste !
li llA.
m a ggi o r azione de l genere n o n di-
Esercizi
a
P <:r c iasc una delle seguen ti funz.ioni, d ire su q ual.) "nttoin.siem.! del piano ~i può affl':rm!lre
;;r-e la fum:i cme i": <",m t in ua , !!'Rn:r.ll ue<L."'lSità di colcola.re limiti:
"
",'" j "'arct "
,
Q
( I )
J: ~+y 2
x? + 3yx+ 'l
x l + 2;ry ..... !/'l
Si pr.....·j p ui i l ca kol ar~ i li m iti all a fcon t ie ra ùell"i us ìeme di r:ldìm?'.iUllc, d io; ti nguendo i casi
in cui :!ii h" una ..,rr"U iva fonna d i ; n d " t.., rrni., n.;o..i<Jo." , d .. q u e lli i n cui il va),,, ... .....1 li m ic", s ì P \\Ò
calcolaI"(, iII ba:." a.i teoH"ni n o t i.
41 6
Capito lo 10. C<ù'coio dijJen,,,..zia.'c
p<""
ftmz ioni
e~ Dimost.r are che
,
li",
:1:
: "'.v l . ( C·.D;· ,"1'4
re" "
.li
pjll t:u. ...abi /i
(0 "". "~_ 0 7S"T_S
11
+' y"
Ilon l.'Sis~e .
Suggerimrnlo; tnware due semp li,:i nlr'~ y = (/( 3;; Ilmgo le quali la fUllZiorw d i d ue vuriabili
t em i" a limiti di ,·e rsi. r",r x --+ 0, c applicare li criteri o dell'eS<:!m p io 2 .2 . (Ques t o esempio
è inter essa n t..,. pe rché lUIl)!;O o g ni retta tl...--.::-ente dall'or ig ine la funz ione ha lo steS50 limit {\:
qUl.-s!.o p otrebbe indu rre a rit{'rwre e rronea n wnt(, ehe il lilni Lc in due variabi li Hbis t a ).
O.
Di ][l{lS lrare che
non e s iste (voii sU.f';gcr i mcnto ddres<"rcizio prenxlen l e ).
o-
Di l n()str a re che
SUY9«7-/. mcnto: u t ilizzare le coordinaie pola ri , come Jldr.~rn p io 4.4 .
O ..
Dimostrare "h~;
X ~' ..... y~'
lim
(>"",} -
( Ll ." J
x2
+y~
= 0
( ved i s u ggerime n to eser c iz io preceden te ) .
O '"
D imostrare "he
lim
( ... . ~ ) - . ( 2 , 1 )
3.
3.1.
(y - l ) 2 sin ( 7l"X )
-( x
'2 )'
1', '- ,.).,
TOPOLOGIA. FUNZIONI CONTINUE, INSIEME 01 DEFINIZIONE
E SEGNO
Definizioni fondamentali
C o m 'è fatto l'in s ieme d i definizio ne d i una funzione d i due va.riab ili, z = f (x , y)?
Ì'\atu ralment.c d ipende dall a funzio ne, m a nei casi più comun i sari't defini t o da u n
s i.~' tf!mn. di d isequ azi oni, come lll ostra i l pT~<;.imo
Esempi o
3 . 1.
La {" "zione
f ( x, y } -
~ Topc>/oqla, fuI/rioni. ......... nt~nue . msiernc
di defin izione e srogno
417
è d efi nita ueU ' lT!s iemc degli (.r, ,\I) per (!ui si h a:
(radi cllndo uon n" g al ivo)
( .. rgomelll.(> dellogarilnlO positivo)
( d{"llomi n~tnrc di\'e~l da zero )
Formal""llU.c,
ru~j e me
;.-; =
di d efini'tio ne èo q uind i
{(:r..y) E:. IR~ : :c~
y ;;:: 0. 2''';''' Y
> 0,:1.- + y <F l }
Ri m a n e a qWI."ItO punto il problema d i disegn are qucsto insieme (fi g . 6), e di ca pire q u ali
le ~tI~ pr o prie t à ri levanti II I,r lo >'Stlld io di f .
"" >11 0
yt
1I~ 1;1
!
,
l
°1
.'""
l' _. .
.:~: '..
:
.
:.> <~<
, ..
y = - :>:+
li = -
'"
Fig..... 6 L " nstem e E è I.. regi one o mbf"gg ia t,, _
Comp. si vcd.<.· a nche s u un stlTllplice esempio, il tipo di in siemi c he è na.tu ra le
considerare in
è m o lto vado, rispe uo a g li in.'sie wi di dt'fiu izionc delle funzio n i
d i una vari n.bile (che so lita.mente sono un in ter vallo o l'u nio ne di alcuni inte r vall i) .
D 'oJ.tro cant o le propriet.à d i una fUIl /..io ne contin ua. (o p iù regola.re) definit a
su un insie.m e E d ipend ono. come vedremo. <.la ak u n c pT"O])1"letà t opologich e del·
hnsienH'. introdu ciamo qu in d i a llzitu tto q Ue!'ite proprif't à , uella forma in c u i ci
s amnrJa: u tili.
Ife
Definizione 3 .1
L/n
Ùt,';leTn~
E
,z.
E .-;i dù:e. a p e t·to .:le s, può s c rit:c re n ella fo rma
{( :r, y) E 1Il2 : J (x, y) > O}
dove f : D1? - ll-{ è una 11H~:!'i.on c definila e con.tinua in tutto rn?
la scr itturo precedente. ('.D$ì: E = { f > O} .
Un ins i eTrlt: Jj. si d ice c:L iuso se si Pu.ò s crivere nella- forma
Abbnmi~'·lwl()
E ~ {f " O}
(con analogo .. i gnificato del sunbolo) d01;e f : rn.? -.,. ID. i: un o. f1L-1t zione d efinita e
contimsa in tu tt.o lR:2 .
Un H.... iemc aperto che contiulI;: (:J;(h "110 ) si d ice andlC intOrl.lD di ( x o. Yo) .. in
particolare, si dio: i nto rno circo lar e (o sferico) di. m ggio 1" > O <li un punto (xo, tlo)
l 'in.~eTnc;
u ., (x(j , 1/1) = {(x. y) E TR "' : (x -
In base alle
d ~fìni"jo ni dat~
fii di.mostra il
IO)2
+
:;cg u~lltc
(y -
Yofl < 1"2 -,
Ca p itolo lO. Calwlo diffe,.,m'::lalc per i Wlzimd reali d i più variabili
41H
@
88 _0s..oTli4T . ~
Teorema 3 .2 (Propriet à tOI, o logich e degli insiemi a pe rti o chiw;i) _
a ) L'unione e l 'inter,~~zionf di t1n n umero jin ito di insiemi aperti ( o chius i) sono
aperti (o d .iusi, rispettivam ente).
..~'
b ) Un insieme del tipo
U < 01 o {[ l' O} è aperto
un ùI3ieme del tipo
{[ ,; 01
o
{J
~
O}
è
.
~
chi1J.~o
p flrché ! ; lR:2 _ IR sia una fu nzion e d p.finit a e continua. jfl tu tto IR?
c) Il compl emefl t are d,un insieme aperto è chitJ..$o, e 1.'ice1Je1'Sa..
d) Se E è. un insieme aperto, ogni suo pun to (x o. Yo) possiede u n mtorno circ.olare
interamente contenuto in E . In altre parole, ,.;postandosi "di poco " da un
punto ch e a ppartie ne Q. tln ù l$ ie m e aperto, si rimane nell'insieme,
Dimostra:riotle. D iamo solo una tt accia d ella dimOl'ltr a7.ione_
a ) l-'To vi ... m o , a titolo d 'ese mpio, che l' unione di due flp''',rti è u n aperto. S ia/la:
A.
=
{i , > a},
Al = {h > a}, COli
/l, h : 1R"2
----o
R . con ti nue . ~
È fa cile COllvincersi che(2)
A l U A2 == {max (h ,h} > O}.
D 'altro canW , >li d imoo t ra che il m assimo ,Ii d u"! fumd o ni cont inue è contin uo, dunque A l u A z
è apert o .
h) P ro" lamo ad esempio r.he {I < Q} è aper to se I Il continua . I nfa tti se i è eon t.inua,
anche - i lo è, dunq ue { f < O} = {- i > O} è a perto JX'.T detinizione .
c ) Provia llL() ad esemp io c he il com plernr'lltare di un ape rt.o è chiuso. Se { i > O} è l UI
aperto (i co nti n ua), i) s uo complemen tare è {i ::;; O}, c h e è cbiuso per il pu nto od) Sia R = U > O} (con i con tio ua) un insie m e al->(:rt o, e sia (:':0, yo) E E. Dn nq ue
i (xo, yo) > O, e per il teore m a d i pennan euza d e l segno, csifòte u n ir,torno d i (xo , Ilo ) in
c ui i > 0 , ~ ia Cl< i"t" 1m intor llo di ( xo, IlO) che è conte n u t o in F.:.
O
Come risu lt a in particolar e d all'u ltimo punto d e lla d i mostr~ io nc. nel la d efinizio n e
d i illlliemc a.perto (o chiuso) è essenziale che la fu mdoue f che defin isce !'insieme
sia continua. Senza la r ich iesta di continuità di f . in fatti, tpUlbias i in.sie me s i può
rapp r esentare nella fonna U > O}.
Esempio
L'insieme di definizi o ne di
3, 2.
1
,q (x,y) = log(x T Y)
è F = {(.%, 1/) : O < ;,: -t- Il =F l }, J'll':rciò è a p erto ( interse-doDc di d ue aperti) .
L 'insie m e di definizione di
h {z,y )= V X2 - Y+V1
z~
y".l
{(x , ti) ; x·~ - y 2: O e l - x~ - y~ 2: O}, pt'_rciò è c hiuso (in t erscz;()ne d i dut' chiusi) .
L'in" ie m e E ddl " ,*, mpio :1.1 no n è né apcrt.o n é clliu.." '''
L'na c u rva. in fo rma cartesiana, cioè definit.a da f (x, y) = CI è un insie m e chiu so ( ~ i è
cou t in u lI.T). Ad t'~mp io una circo n fe re nza o un a parab ola so n" in!5icm i chiusi .
è G
=
(2)D~~; rl~~ -r~';I~i~~i f" h definit e su uno s tesso ins ienle A C IFe , il simbolo m a>< (h h)
indica la. funzio ne che ad ogni (x, y) e A a.<;sOci ... il m ~iulO t r", i 2 n u m e ri i l (x , y), h ( x ,y).
A nalogamcnte si defin isce la funitiollc mi .. ( ft, h).
.
3. Tupnlngio, funzioni contmu.e, UWlieme di. defim.z.icne
Co .~egnf)
419
Definizione 3 .3 - Se E è u n insieme quamasi, un punto (xQ,J/tl) .'.1· dice punto di
fr o n tiera pl:lr E $C O.lT1Ii suo intornu Ur(xo.Yo) contiene almeno un 1!1mt.o di E e tl1t
p unt o del complementare di E. Si diCI: fr ontiera o b o rdo di E, e si lnrlica con &E,
l'insieme dei p l).nU di f mntiera di E. Si di ce eh iusu1ll di E, e s i indi ca CO TI E ,
o
l 'insiemI; Eu BE. Si dice intern o di E , e
pUTt.icolare. si ha sempre.;
SI
mdicn con E . l'insieme E \ BE. [n
Esempio
3.3.
Sia 1:: Il "cerchio bucato":
E = {(x,y) E lR~ : 0 < X2+y·~ :S: I}
L 'insie m e E UOD. è né
apt~~to
n é ch ilL'IO. Sì h a:
aE= { {:L",y ) E )R.' : X2 + 1/' = I } U {(O,O) }
+ tl s:
E= {(x.y) E rre : ;c"
1}
o
~ _= { (;c,V) E R ":O <:;' +y2 < l }
Si ooti che in <] 1I0.:0<t o caso le iu e lu.:lion i E c E C E BOn o entra mbe s tf1:lth l..
Sia D III circonfere nza { (x,y ) E ID? : X2 + Il = l }. Oglli l' u n to di D è di front ic r <'l ,
o
p e rciò l' in te rno di
J)
è v uoto: D -
0.
S i di mostra facil m ente, iD base a l teorema. 3 .2 , che u n ill.siem e apert~) 1I0 H può
co nt.c nere i punti d el suo bordo, m e ntre u n insieme chiuso certamente li contiene.
(vedi fig. 7).
(.,
(a ) U n ; nsi~m" del tipo 1/(:.:' "l > O) c c n / c;onlin u~; il borde non OI P p;I<"ti""" ,"l1"in~i" m" .
(b) Un in",""me d e l t lp-o j {z, ),I ) 2: O}; il bord e UVI",rticne OIW i " 5~e .
Definizioni equivalenti di insIemI aperti e chiusi
Le pro prietn topologich e degli iIlsie m i aperti e chi u si espresse d a l teorema. 3.2
sono caratterizzanti per quest.i concetll. Q\I~ t. o s ignifica che invoce di d efinire
g li in siemi aperti c ch illsi eomc nella D efinizione 3.1 , si potrebbe procedere così
(o tte nendo una teoria logicamente equivalente):
Definizione 3 .4 - Un insù:~me E C IH.2 si dice apertu s e per tlgni Il"UO plmto (xo, YO)
esiBte. 1m intorno cin;olare U~ (x o, Yn ) contenuto in E. l/n ;nlnf:me F C
81 di ce
(;hi1Jl;O se il $'/.1.0 complementare è apert.o .
ne
Si può di m ostra re c.h e E è aperto (chi utlU, ris petti vamen te) ue.l senoo de lla
d efinizione 3.4 se e solo se lo è n el scnw d~lI1\ d efi llizione 3.1. P pr il t ipo d i
a p plica:dOl li d le ci interessa.no, è natllr alc \l sar~ la. defiui:l·iollc 3. 1. che si hll.."ia sul
m odo i n cui conc reta mente :>,Ono defi niti gli insie.mi ch e inco nt riamo n ello stuùio
d elle funz ioni di p iù V'M inbili.
D e finizione 3 . 5 - Un iltllù:mc 1:J ,~i dice Ii rn itato se ti; conlt n uto in 'Un fXn::h.io
{x 2 + y2 :s; H } . JH!1' H, .~l.J.ffici($nttmcntc gl'amic; ill im itato aUl-imenti.
Con r iferim en to agli insiemi d cll 'e:.emp io :!.2. G' è li mitato . F non è limitato.
P c r convinc.-erSR.lle, disegnare g li in ;:if'mi.
Q C E
di punti
P,
esl~rni
P c
q.
P~.. u;t~
coun~60
( pe.1' tl1'(;hi) se per {J.lJrn roppia
/In arco di curva (:<mt t l'i UO contenuto in F.:. che ha. Pf!'
D e fin iz ione 3 .6 - On insIeme E si dia
Sostanziahnen t.e, quest.o ;,-ign ifica che E (' composto "da un p e7.z.o solo" .
COI! r iferimento a gli i tlsiCln i d ell'e iemp j() 3.2, G C ("(lI m e:o ~o, F non ~ C()JlIlef;RO,
p oit:h é la retta x + y = l lo Bpez7a in d u e p tu-ti "ch e no n comun ical lo t.ra lo r o".
11 sostegno d i u n arco d i curva conti n u O è !ll! i nsicIlòf! GOlln~«o, ovvi amente
(e!lBO s tesso f() r ni~ l'arco c he (;o l1gì u nge due s u oi punti qualsiasi' ) .
3.2 .
Proprietà topologich e delle funzioni continue·
Vediamo o ra alcuu i d ci motivi per cui le nozioni appena introdotle sono utili . An·...:itutto , il teorema <l i \Vei e rsua.:;s ~ui m assimi {' m i n im i d i una funzione wnt.illua,
c h e abbiamo iII(;Ontrato n ello studio del c a lcolo i nfi ni t csimale in urla variAhile, ha.
una n otevole gener<tlizzaz ione alle funzioni d i p iù variab ili :
T e orema 3.7 (di \Veierf;tra.<;!l) - Sia F: C. 1H.~ IIn insicmr: chi,~' o c limi./.a.lo, c.
I: E --l' :m. sia conttrnw. Alioru f amnl-CUc massimo" minimo in L:.
Esempio
L 'l. fllnz..io " .., "(:r , tI) dell'C6<lUl pin :\_2 ha M'm·' a ltnl nlMSlIllO c minimo nel su() in"i"rnc di
definizione G , pcreh.,f G è chiuso e limita\.() " l. c(>Uli uWL in G. Lo stc:>...... Iion si l,ub in,'oce
Il.fftlnmlore, alm eno a priori , per la fun2.i onc 9 ddl'Ci>C mp;cl 3 .2 , che è derìni t a !Su n1ì illbieme
nt c hiuso ne limitaLo.
3 .4 .
Anc_he il t eorellLa d egli zeri per le f unzioni \~oTltj nu(' ha u n' utile estensione a
pit'l variabi li.
T e orema 3.8 ( d egli zel'i) - Sia 1:.: un in!;ù:1m: ( :amie$$O di ne, f: f
E .... ll-t ,~,a
(;{)ntinua _ Se P , Q !;'U1W due punf-i di E tali che f( P ) > O e f( Q) < 0 , allora eSIs te
u.n lu'zo Pl).1tlo n E L Ut l':1li I .si ILunvlla , In l",rt1(.·olan'. lun go ogni an,() (Il (.·~If"l)(t
(:ontinuu (cont,omto in E ) che congiunge P c Q , c'i: fJ!me no "Un punto in ett I f si
annv.lLfl.
I n ques ta versione muli id imensiOrI tlle. !{uind i. il c o n cetto di ùl.<;ieme r., oll'11t:S!;U
:::.i rivela f:'s~erc u n a g l:'l It'rlilizzazionc o p portuna d c I canceLLO ! lIl i d imell~ iotlal c di
tnl f!TVUllo.
Il t eorema ha 1If1'OjpplicaZlollC'- p r a ticu n dlo .~· tudiQ del sC(}no di una jUllnone.
Se f è una funzio ne continua , rlelìni La Sii un dom inio qualu n q u e, l'insiem e degli
zeri di f spezza il dominio in 1I11 certo m l11KrO di insiemi cOllnessi <il1 cui f è
diver::;a. d~t zero) . su Clascu.no dci quali il M;gno di f Il cos tante (se I;ambi<il>se,
a ll ' inte r no d e l eonUf!$!:IU d l!o,,·r .. h b f: es:; ~re u n jl! llltO i n cui la. fllnzione;;i all nu llu).
È sll fTiei ent-c u.llo r a valut.are il 1;1;11,110 di f i n UIL punto solo di ogni eo nm~"so p er
C()ll,OSCere il segno in t. u t ",~ cIH8Lla conlp o neflH',
E se m pio
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yJ ,...., 1
Qu=t,a CUt' Vll s;..ez.z a il pia"o in 'r<' co mpo n ent i (·~ )11Il~. ' , H,o R~ o H ·, ( ,~d j
r~. Sì, .~ 1l u"~ "ulla d e lle quali il ,w'gnu di J ò <'Qstanr,, : ba~I ". '_:aJcoleo r .. f in "" PUlitO I~r
conOE<;et-IIC ti s eg" o il: ' ,ll tla la t... ) tllpOll~ote , Ad _ ' l<I pio: fl2,O ì > 0 , perciò f > O ;r. t UttO
H-,: f(Q , O) < O J>c ~ciò f < O i n R~ ; " 2 01 > O " c rdò f :> O in R:I.
:c ~
0
-11~=1
'"
.....
F igu'" 8
T ermini a mo il para.gr afo TlOHu )do che tutte le defin Ldo ni to p o logkhc c i rii'o111tkt i
e nu nciat i n e l pitUlO , rilllfUlgo n o ..~ri nello l:i p a:t.io rn n , c.on le o\o\-- ie m odi fidle: si
c o nsider cranli() fun zio n i d efi nit.e c cont inue in tll tto m" . Nella defi nizione d i
inl:i iernc li m il a t o e Ilei p u n t o d ) cl!:'l teO!"f~ Jntl 3. 2 , al post,n d ci. a ,rchio di r;,igg;o ,.
ei sar ?t. una sfera d i centro Xo p. raggio r: {x E Hl" ',X - X(I < r}o
P er ein."Cun& d.,lle seguenti f\1n7 1"ni:
r;n ~ieOl'" h ,l, defin i7.i"" c.
b) Ri s p ondere al]" dorwlllde, E ~ «p"n o'? ?; (:h ; u ~ ,,? È Ii nlit,a t o ?
com",,,,,o:
Cl D etermiwlI"c (o: se (J t)No;ib il' l disoegn8rei l 'insieme in c "i I si an n ull a , <"l st u di&/"<': il ser;;"o di
a) 1'h;t ei"1'uillnre (e ""'--' p"",,,Hn le d isegna re )
t
.':"l.'.
,
_"'~~o
' ,=,;"
i lx , y )
~
x lo g ( l .. x 2•. _ y}
f(x, y ) _ logsin(:z:2 --'--- y:t )
f(x , y) =
y
f.
V xC-="y:-+"'"
2r
11
+2
;;.~;:.
J) in l se i ~gllc Il ti iw<"ern l, né~lo spa:rio, ~<'nQ <> n o n !-iOll" aperti , chiu.,i , lim itati ('Qn nt>~ ~ i '
n , {(:r . y ,.!)'::: IR e< : XII ::::- !)}:
b. { <x.y. ,:) E lH " :l'~+ 2 !1 ~ +,,2 < I}'
C. { ( x .y .:I: ) ~Jfl3 x J. ·y~ = l }
', ' '''
Sia E l ' ,ns ie uu' d",l pi n uQ d f' tiniuo' da
c: = {J > O}
Capitolo IO. Calcolo
422
dliferenzial~ per
funnom
reali
di
piÙ
vanabU.
@ 8/I-0Il..0 ......,.••
do~
sex 2 +y2$2
se x~ + y~ > 2.
Determinare l' insieme E e disegnarlo; rispondere Quindi alle domande:
l' insieme E è aperto?
- È chiuso?
- La runzione f è cont.inua?
Riflettere alla luce di Quest.'esempio, sul ruolo della. continuit.à di f nella definizione 3 .1.
4.
4.1.
DERIVATE PARZIALI, PIANO TANGENTE, DIFFERENZIALE
Derivate parziali
Ci interessa o ra definire il con cetto di derivata per una funzione I : :rn.n _ IR..
Come già. detto, è sufficientemente rappresentativo il caso n = 2. r...-"solita"
definizione di derivata non è applicabile in modo ovvio perché se (xo, !Io) è il
punto in cui vogliamo derivare I(x,g), che cosa sarà l'incremento della coppia di
variabili (x .y)?
La soluzione sta nell'incremen tare solo una variabile alla volta: s i può tenere
costante il valore di 11 = 110 e derivare la fv.nzione di una variabile x ......... I(x, 110)
nel punto xo; oppure tenere costante il valore di x = Xo e derivare la fv.nrione dI
una variabile 11 ......... l(xo,lI) nel punto Yo. il risultato è espresso, rispettivamente.
dalle seguenti formule, ave si intende che i limiti presenti siano finiti:
lim I(xo
+ h, YO)
h_O
- I (xo, 110)
h
(4.1)
oppure
lim l(xo.Yo
k_O
+ k)
- l(xo , Yo)
k
(4.2)
La (4.1) c la (4.2) si dicono, rispet tivamente, derivata parziale di I rispetto ad x ,
(o ad y), calcolata in (xo , 110) . e si indicano rispettivamente con uno dei seguenti
simboli
al
8x (xo , 110) , oppure 8;d(xo, 110), oppure D",J(xo, 110), oppure D t /(xo,1Io)
e
al
8y (xo, 110) , oppure 8
JJ
/(xo, yo ) , oppure DJl/(xo, Yo), oppure D 2 /(xo, Yo)
TI vettore che ha per componenti le derivate parziali di I in (zo , 110) si dice vettore
gradiente di I, calcolato in (xo , yo), e sì indica col simbolo
'\l I(zo, !Io), oppure D I(Xo , 1Io), oppure grad f(xo , 110)
•. Derivate parnal., plano tangente, d./Jerenztak
423
Esempi
4.1.
Sia I(x , y) = x'y] .
al
d
d
,
8x ( l , 2) = tU (f(x , 2»)1.,=1 = tUI8x Il :0:. 1 = (16x) I:o:. 1 = 16
Abbiamo applicat.o la defini zione, scrivendo prima la funz.ione di una variabile che si ottiene
restringendo I alla retta y = 2 , calcolando la derivata di Questa risp<!tto ad x e valutando
infine la derivata in X = 1. Ma si può procodere più speditamente ragionando cast: lo.
derivata
in un generico punto (%, y) è la derivaLo. di x'y'l risp<!tto a x , Quando si pensi y
costante, perciò, per le regole di calcolo differenziale in una variabile,
*
/ ()
8axx
'("
, y =8x%y)
= 2%y,
Questa è la derivata desiderata, in ogni pUllt.o (x, y ); in particolare
81
,
8% ( 1,2) = (2:ry )1(Q,)_(l,,/ = 16
4 .2. Thlvolta è nece.<Jlsano applicare il primo metodo (ossia la definiz.ione) . Si voglia calcolare
8
{h (y..Ji)l(z ,.. l_(O,O/
Se si calcola, formalmente ,
!(yy'X) =
2fi
e poi s i tenta di valutare l'csprCSl5ionc trovata in (0 , 0 ) si trova ~ , che no n h.a senso. Invece,
dalla definizione si ba che
•
d
d
8;r. (y..Ji)l(z,.. /-(o,ol = tU (Ov'i)lz _ o = dx (O) = O
La derivata parziale esiste, dunque , nell 'origine.
Osse rva zio ne 4 .1 - Per poter calcolare le derivate parziali di f in un punto (zo. Yo)
è necessario che anche il punto increment.ato appartenga al dominio di / , almeno
per un incremento abbastanza piccolo. Questo è certamente vero se il dominio di
/ è un insieme aperto, per la proprietà d del teorema 3.2. Nel calcolo differ enziale
quindi , si ragiona solitamente su funzioni definite su insiemi aperti.
D e fini zio ne 4 .2 - Una funzione / di più. variabili si dice derivabile in un punto
del suo dominio se in quel punto esistono tutte le sue derivate parziali.
4 .2 .
P iano t a ngente
In una variabile, definire la derivata di u na. funzione è il primo passo per definire
la retta t.angente al suo grafico, anzi le due idee sono sostanzialmente equivalent.i.
Per una funzione di due variabili il problema analogo è definire il piano tangente
alla superficte grafico della funnone. Ci proponiamo ora di determinare tale piano.
Lasciamoci guidare dall ' intuizione geometrica. Se sezioniamo il grafico di
z = / (x, y) oon il piano verticale y = Yo, t.roveremo una curva in questo stesso
piano, descritta dall 'equazione:z = f (x,yo). La retta TI tangente a tale curvn in
CapiL,,/o 10. Calcolo difF-ITcnzial" per Iunrio..~" ,yllli di più variab;I;
424
<8 M-O'-'_OTM7_lI
I O s t a.r à anche sul p ia.no tangente che c..erchiamo; ripet.endo la s t essa costruzione
lungo il p iano ver t.icale x = Xn troviamo una seconda retta T2 passante per il punt.o
( J_'o, Yo, feTo, Yo») e appartenente a l p iano tange n t.e: poiché due rette individ u ano
u n unico p iano, q u esto d o-vrebbe essere il piano tangente (fig . 9).
Figura 9
L 'equazione della r etta r ] n el p iano y = Yo è
fJj
Z = ! (xo,Yo ) + DX(TO,yo)(x - TO)
L a stessa ret.ta. considerata nello spazio (:c , y, z) anziché nel pia no y
v idua ta dal sistema:
Z
=
!(xo, Yo)
+ :~ (xo , Yo)(x
Yo è i ndi-
-
X O)
(4.3)
~~ (xo ,Yo)(Y -
Yo)
(4 .4)
{
Y = Ya
Analogament.e la retta rz è ind i\·idw.. ta d a.l sistema:
{ : : :;xo , Yo ) +
Il pia no che cOntiene entrambe le rette è:
. 8/( xo,YO)' (Y-Yo)
Z=! ( xo ,Yo )-+- -{)j
e (xo,Yo )( X - Xo ) ----;-<l
!
oy
~,
(4.5 )
come si verifica immedi atamente (ogni pun t o (x, y , z ) che soddisfa (4 .3 ) o (4.4)
soddisfa anche (4.5 )) . P ossiamo affermare che la (4 .5) è l' equazio ne del piano
ta.ngente al grafico di z = f (:r , y) nel punto (xo, Yo, f(xQ, Yo))? Prima d i r ispolldere
ved iamo un paio di escnl p i.
Esempio
4.3.
DeterminialllO il p iano tang"ntc al grafico di z
al
Bx
~f(l.l)'-"'2
uX
= x~
-l· y2 nel pu nt o (1,1).
= ·2.10;
1(1,1 ) =2
4_ Derivate pnrziali, piano
t{1"!Jen tc, ~ifJenm'::1a le
.25
l'equazion e è:
.t
= 2 + 2 (x - l ) +2(11- 1}
z = :Zz"';"'2y - 2
D:ll g.r ufì co in fi g ura la 5elllbra rI\ginncvole coll!;ider:ue (l' lestO piano come
"tangent,,~ ·
Fi&lKiI 10 G rafi <:o di l {d., 1/) _ x" +)1' e del suo pi .. no tan gente in ( l, l ).
4.4,
S ia
I (x , y) =
{
~
~-f.,
se (x, 11) ",. (O, O)
se (x , y) = (O, O)
l..a fun zione è idcnt ia" "t::U~ lI ulia sugli assi connlillati, per ciò, " " l<:o lando le derivate par:dali
d i 1 lLG]]"f) r iginH mcdiant-e 1ft dcnn i:,dolle, vediamo r, .. l.it o ch E' eL'IC t:51stono e son Q 'lUne . Poiché
a n che
n u lla in (0,0), le. (4 .5) dà il piano z = U. U no :!<guard o al grafico di I(r , y) in
fip;" rA 1 1 m ....... l.r A l'>P.rn ("h .. '111_t.O piR.no n on hR. il n' r't.f.O rli chio.mars.i "tan gcntc~: la funzione
non è n epp ure continu a nell'o rigine!
f.,
OCCOlT~ On'1. u n a r i flessione. L 'e.quazio ne (4 .5 ) si p uò f;(~ri vCTe o g n i vol ta c h e. f (x, y)
è derivab ile; il p ian Q che e:'..'Ìa i ndivid u a, per ç~ tnJ:od o n e. cont.iene le rett.e: tau genti
426
Capitola l O. Calcolo diD.,rertrioù; per fun~lOni n<oli di viù t'o r'iablll
@ u.."".O........ T....
alle flez ioni du~ iL grafico d ì I (x ,y} forma con i p iani x = Xo , Y = !lo. Se questo
piano è il piano tangen t.e , deve conte nere /l.m; h c t.utte le rette tttngenti alle a ltre
curve che si ottcngono 8eziouando il grafico con Hn piano verticale qUl:llsiasi. Pur t. ro ppo però lIo n c 'è gara n z.ìa. che questo a(:caùa nella sola ip ot esi d i d erivabilit.à
di I (x , y ): in altre parole, il p rocediment o c h e a b biamo seguit o individua il p iano
tangente nell 'i potesi che questo ci sia; potrehbe però no n es.<:;erci, come accade
nell'esem p io 4 .4.
4 .3 .
Differen z iabilità e approssimazione lin e are
L ' ultimo esempio rno",.tra un proble ma tip ico d el calcolo differenziale in p i ù variabili, ch e non ha analogo nel caso unidimcnsionale: mentre i n una varia.bile la
derivabilità è equivalente al1 'e;;is t ellza di retta tangcnte, ed è u na conù izione più
forte d ella continuità, in p iù varinbili la sola d crilJabil1tà (nel senso d e lla d efinizione p recedente) non implica 'ru: la continu1td né l'csi.'llt:nza del p iano tangente.
Qual è allor a la propriet.à. d i f d le gaTautisce c he il p iano (4 .5) s in "reli.'mente"
lUUgClltC? PO::lr ti ~!-JUIlÙC.rC L~ L ~ VS~C l'vaH: q !ll:l.l è la propriet à. fondamen tale della
retta. tan gent.e llel c aso u II idi fllt:llls ioIlale . Questa è esp ressa d ulia relazione
f(x
+ h)
- I (x)
=
j'(x)h
+ o( h )
per h -
O
l'incr emen to ddLa. fu nzione co in cide a l primo o rùi nt;: con il d ifferenziale, cioè con
l' incremento calcolato lungo la rett..'\ tangente; i d ue incrementi d ifferisco no per
infinitesimi d i ordi ne s uperiore rispetto a ll ' inc re m e nto h d ella variabile ind ipen.
dente .
Il concetto analogo è quello d i (lijfercnZ'iabilità in più variabili: !'incre m ento
di f è ug uale all 'incremento calcolato lungo il p iano tange me, più un infinitcsimo
d i ord ine superiore r isp €tto alla lu nghezza d e Wiflc rement o (h, k) delle variabili
i ndipendent i:
I (x o + h ,1I0
per (h, k) -
+ k)
f (x Q,!/{)
I
8j
8j
fJx (XUdla) h+ fhJ ( xo,Yo)k.,.. o(vh'J + P )j (4.tl)
(0. 0).
Nella formul a p recedente, il primo membro rappresenta t'in c re mento della funzione ; i primi due addend i d el ~condo membro l'increm ento calco lat o lungo il
piano t an gente; l'u ltimo adde nd o ra.ppresent.A. l'errore che si comolette valuttLlIdo
l'increme nto d ì f co me i nc remento lu ogo il pitLno tangente .
Se la (4 .6 ) è verifiea.ta. d ir emo che I È diJJt!renziabilt! i n (xo , Yo)' In tal caso, In
fun zion e lineare che a d (h, k ) assoc ia l'increrntl.flt,o r:a.lculato l ungo il p iano tangente
d a l pun t o (:Co . Yo) a l p u n to (Xi) + h , Yo + k ) si dice differe nziale di f calcol(J. to in
(xo, Yo) :
,
ilj
8j
df (x Q,yo): (h , k ) ...... ò
- (xQ,1/(l)h .... a(xo,Yo)k
x
y
CD
~~_ "~_0 7 .. 4 7 -.s
4 . V",-it'Ut " pa..,zinli, piana langeute , di!Jcr'f'.nziale
427
Ident.ificundo gli in crernenti delle variabili con i loro differenziali dx e dV ,
seri've re il differenziale nella forma:
al
~i
può
al
dj(xo , yu ) = -8 (xo,yo ) dx+ -8 (xo,yo}dy
y
x·
L a. (4 .6) !li p uò risc rivere s i nt.eticamente coà
6.f( xo'!Jo) = df ( x(J , Yol - oCv'dx'l + dy2 ) per (dx, d y)
La d i fferenziabilit.à di f
grafico d i f ( anzi, è u na
pian o ta.nge n te è d unque
non e;i!:it.e.
?\e1 caso partico lare
----->
(0 , 0 )
iII (:ro,yo ) garanti::;ee elle il pia.no (4.5) s ia. tangente a.l
d efinizione prcdRa d i cosa significhi piano tangent e ) . Il
i l piano (4.5) , ma solo se la (4.6 ) è veri fi cata; a ltrimenti
(:1:'1, Yl1) = (O , O) , la (4.6) ::;i può [iscrivere n e lla forma
i(x.y) - f (O, O) =
~~ (O,O) x
j-
~~ (O , U ) Y+O(v'X2 +y'l)
(4.7)
per (x.y ) ---+ (0,0) .
Notiamo anche che la differenzi abilità i mplica la continui tà . Infatti se nella
(4.6) fac ciamo tendcrc a zero (h , k) , il l'le(:ondo ffiCll1bro tende a zero; dunque
anche i l primo memb ro tende a :zero, e q ucst.o ::;ignifiea proprio che f è conti nua
in (xo,Yo).
La diffe reJl:ziabilit.à dunq u e è una condizione più fo r te l'lia della derivubilità che
d ella con tinui tà.
P urtro ppo la condizione (4.6) non è di facile verifica. di ret t.a , in quanto ri ch iede
di dimostrare che:
lim
f (x o + IL, 1111
( 10," ) ---« 0.0)
+ k)
- {J(xo,Yu )
../h 2
+
~(xo, yo)h
+ %t(xo,yo) k }
~ O
k2
e q uesto è un li m i te , in due variabili, che dà. certamente una fornla di, i ndetermin uz ione, e va qu indi tratt.a t o con i metod i illustTtJti nd p aragrafo 2 .2. E desiderabil f'
perciò conOl:>Cere qualch e cond iz ione sufficiente a garantire che la (4.6) valga, e d i
piì! facile verifiea .
Un erit erio nlolt.o u t ile a questo r i~uardo è i l prossimo:
S ia f
A _ Hl, con .'1 insieme apel·to di lR?, e 8upponi arno
che le derivate parziali di f e.~iMallo e s iano continue in tutto A . .1llaTa f è
d ifferenzi abile in lutti i punti di A__
Teorema 4.3 -
Una funz ione che sod d is fa le i potesi d e l t.corema prccedent.e s i d ice di classe
C I( A) , e s i scriv e f E C l (A). Il teorema. afferma qu in di che
f
E C I( A ) =>
f d ifferenziabile in A
(L'implicazione inversa nUil va le ).
Il t.corellla pJV(~edente de tta i l metodo comu nemente seguito p er s tab i li re la
d iffe renziabili tà d i una funz_io n~, senza calcola.re limiti .
428
Capito lo IV. Ca lcolo difJerenzial" P'T frmzioni reali d i p iù l'uri"" ili
@ ~"_""'''TI>4 T-S
Esempio
4.5.
R ipu'nd imno la funzi onc dell'esempio 4.4: z =
al
=
DJ
2x
o';
l'J.J.'
X2
=
+ l":: .
Abb i"mo calcolato :
2y
queste f un zioni SOIlO evidentement e contin ue in t, nto il p iano , qu indi f E C 1 (IR? ), in particolare è d iff",,:nziabi le in t utt o il piano , C iò significa , ad esempio, che il piallo et", a b h iam o
calcolato n e ll'e:o.em pi o 4 .:1 è cff..,ttivament e il piano tang... nt_e a ll a funziOI'" nd punto assegnato.
Dimostrazione del teorema 4.3 . Il rag ioIla mcnLo
sional'-l. Per valutare
f(x o
+
dl(~
facc iamo è so,.;tan z iahn'-lnt,'-l lln idim'-ln-
h,1/{, +k ) - I(xo.y< , )
TIluoviwnoci dal punto ( XD,YO ) al pun t o ( x" + h , Y{l + le ) incre mentando le var iabili una alla
volta, ossia prima su l segmento orizzontale d", U"L"O: : ( xu , W ) a (xo -! h , /1<», poi ~" l s"gment~ }
verticale che unisce (Xl' + h.l/V) a ( x o --'- h,JIo+k ).
y .
.
i
,,, T
.+'
(I ·,,- c·, --- - '{I--
-
Figura 12
r" ~h.Y"H)
f
' ij' ,,(,
v
h. "c.'.'
~v
I ristrett a a da.'3f:'uno dei rl"" ",;gm en ti i! u n a f"nzione di Ulla sola yariabile _
Applica n do la ddì n izione di ditfenmzia bilità alh. f"" z ione di lIna variabile x 1---> j ( x,W),
sc rivialno
La fu n '7.Ìone
j (x o
con E'l (h )
y >---+ f(xo
--I-
"I, ( xQ ,Yo)h --'- El(h )h
h,J/0ì - 1(:I'O,yo ) = "
( 4 .8 )
o :"
~
+
(] pe r Il ~ O. App lie.'l.!1 do il teorema d i L a g r ange alh!. fun z io"" di ]]na variabi le
h . 'y ), abbiamo invece
! (xo
+ h ,yo +
.
DJ
k ) - f (:r;u - h, Un) = 811 (:7:0
+ h,yd
(4.9)
A.
per m , cert.o y l E :Yo,y.::, + k ] . .sommando m en. bro a meITlbru (4,8ì e (4.9 ):
1("'0
+ " ,1/0 + k)
r nfine , os:oer viaIllO
(:on E'2 ( h,k)
~
- f(xo,yo)
=
Df
Dx ("'o,yn ) h
,
+ ~llh ) h +
01
8Y(X'-'
+
h , Y1 )k
che, po iché ~~ è C011t.iH " a iII ( xo, NO), nell ' ulti m a cq ",v. ione p ossian lO porre
U !--,er (h , l.: )
~
(0 , 0) : otteniamo così
DJ
--"----- (:r.,, , )f(»
(TX
;'
+
• ___-'4,.~Dcrit:at-c parzi ali, pùnw
l'(lTl_
,_
c_
Jl~r:.'__ d iifl!renzial. ,
Ba.5ta o ra osservar e "h" la quant ità t; ,( h )h - t::;(h , k:k " anch" o ( -../ hZ
+ .\:1 ') p er (h , k ) . ~
429
(O, O) ,
I nfatti :
;<:l lh j h + ~ 2 (h , k!~
-.,/h2 -;- k 2
Quindi la (4.fi) è,
4 .4.
~- ('rifica_ta
Derivate direzionali
Ab b i<lIllO "\'is to che le derivate parziali m isurano la vclocit-à. d i c re!:leita d i f(L Y)
nelle direzion i d egli assi T, y _ en problema nat llra lc è q u e llo d i misurare la velo cità.
d i cres eit a d i f a nche i n dirf'.,;iou i dh'e rse da quelle d egli atisi .
S u ppon iamo quindi d i consid enu-e u n punto (XII, Yo) e d i IllUo verci d i lì lungo
la re tta indi\'id uat a dal versare v '--' (cos 0, s in O). Tale r etta h;1. equil.Zioni
3 : c- :1: 0
{
+
t~()Se
y = yu+ tsm(J
dov!'! L paramf' tro rcale, h a il ruolo di coord inat a sulla retta. S i noti che t = O
corrisponde a l punt.Q (xo, Yo) . In &!guito a tale spost ame n to la fun zione f subirà
['in crerneIllo
f{xo + lCos O,yo
+ t sinO)
- f (xod}o)
Sia.mo ora i n una sit uazio ne u nidimensionale . Basterà. di videre per t e far t ender e
t a zero per ottenere il l R.s.";o di i nc reme nto d i f lungo v i n (:r.o , Va ). P reci.s.amente:
Definizione 4.4 - Sia f
A. --> lli. , C01l A afJf~rto d i IR? , ( x o , Yo ) E "4, e S Ù I
v = (r:os o , sinO) t.m tJersore . S i. dice derivata direzion.ale di f r isll€tto allJersore
v, n el punto (xo,Yo )' in quantità.
. f(x o ...!..lcosO· Yo+tsinO) - f(xù:Y I' )
Dv!(.To,YO ) = hm
t
t_ O
purché t ale limite esista finito .
S i con ::;ide r a cioè la funzione di u na variabi le
g(t ) = f(xo +t C05 0 , yo
(la fllllz ion !:'
Si
Il O ti
che
J calcolata
)1"
+
tsinO)
lungo la rett a u s c:.:en tc da (xo , ilo] in direzione v ) pon endo
derivate p arziali s o n O pa.rt.1cola ri d er ivat.e di rl"zional L
= D
al (Io , Yo).
!;i--
u!l
v
" ) "onv
'-= ,. ,
J i\ ~~· o , ·"o
,~ioèO = O
= lJ v f (xu, y,)) con v = j , c io è O
=
"
2
Capito lo 1 0 . CakAJlo. d iffere nzia le pn- j u.nzionl nal' d i più " "nabili
430
@&l-0><_0 7:>47_8
E s empio
4.6.
P.~~ la fum:ìo n e z = x ,,"" , c alcoliam o O" j(O ,U ) p e r v = (cos O, s inO ) generico.
g( t ) = t cos Oet~ =.11 .,,,0'1
g' (t)
J)vj(O,O)
Ad esem pio, !jC
(J =
,.- / 4 s ì ha v =
(*, *)
=
=
co."! Oe' " un O . ;" 1/ (1 -i-
g' (O)
g (t )
=
CQsO
e
D.j( O, O)
Per la funz ione f(x ,y) =
=
2e cos O si n 6')
~
l
v'2
~ , calcoliamo Dvf (O, O) con v = (c 05 6 , 5in O) .
l (cOSO)Z/ 3(s in O) J/ 'J
D"j(O,O)
=
g'(t )
=
(cosO}2i3(sin8 )'j3
9 '(0 ) = (COSB } ~/3 ("ìnO)1 ! '1
Perciò la funzion e he. t utt e le deri v ate direzionali in (O, O) . In partico laz-e, s i Iloti che 1., (0. O) =
j,, (O, O) = O. T uttavia, q\lt~ ta funzione n on;' di fferenziabile ncl1 ' ori~ne. (Questo fatto
seguir à f<J.Cih nen te tb l p rossi.mo teor ema , oppure p uò essere verific ato d irettamente dalla
ddin iz itlIJc .) Dunque l' esistenza di tutte le d e rivate d irezionali, di per sé, dà un 'i n formazione
piuttosto povera. sulla r egolarità. di una fUllzio ne.
Un fa tto no t evole è che se la funz-io n e _è differenziabi le , t utte le informa:,doni
date dalle deri va,te direzionali sono imp licitamente contenute nelle der ivate parz ial i; infatti vale l'import ante
Teorema 4.5 (F o rmula del g rad iente) - S i a f
A _ lR can A ap erto di m? f
d ifferen ziabile in (xo, Yo ) E A. A llo ra per ogni verso re v = (cosO, sin B) esiste la
derivat a dir"Czionale Dvf ( x (], YQ ), e v a le l'id entit à:
=
Dv f ( x o, YO) = D f (x o , Yo) . v
~~ ( x o, Yo) cos 1:1 -+- ~~ (XOdJo) sin 1:1
La derivat.a d i rezional e è in q uesto caso i l p r odotto scalare dci gradiente c o n il
versare nella cui d i reziolle s i derivai t utte le d eriuate direzionali risultano co s ì
co mbi n azi on e lin em"C ridie do i v ate parziali .
Dimostrazione. Bast a scrivere il rapporto incr'enu,n talH " a ppli"..,." a l nu rnerato re la defì n >-zi o ne d i differenzi a bili t.à :
f ex o
+
t
C OB
O, !lo -:--- t ~i n 8 ) - [ ( x " , yo )
t
Per t _
O s i ha la tesi.
=
-F { lr ( Xo ,yo) tcos O + fll ( XO,Yo }tsiI1 0 --'--- o et)} =
=
l. (xo, Ya ) c= 6'
+
j ,Ax o, -Y" ) ",in (!
+
0 ( 1)
D
La fUl!zio ne f (x , y ) = ijx2y considera ta nell'esempi o 4.6 , ne ll 'o r igi ne non t;oddisfa
la fornn lia del gra die nte: i nfatti le s ue derivate parzial i sono nulle, rnentrc le
deriva te d irezional i non sono tutte nu lle Ce quinòi non possouo esser e <:o rnbi na:.d o ni
lin eari delle deri-v at e parziali ) . Ne segue ehe la fmu ione non è d ifferenziabile
lleH 'o rigine, alt ri menti la formula del gradiente d o v rebbe va lere.
'::0
SS_O~_{l T~4 T~
431
4- D"rù 'afe parzia.li, piano tang"" te , diff"'v-..ziale
Riepiloghiamo:
f
f
E G' ( A)=?
( c ioè
cont inua- in A
deri,\Nò.hile in A
ditflòrlònz.iabillò in i1
=> { ;
1 ha p iano t angente)
f
ha derivate di re7.ion8li
e vale la formula del gradient.e
I nvcce:
1
continua, derivabile, dotata d i de rivat.e d irezi onali
f
d eriV'dbi le , dotata d i derivat.e direzionali
=f!?
-cf}
1
1
d ifferenziabi le
continua
• D irezioni di mas8ima e min ima cre.çr:iln. L a formula precedente perm ette u na
impor tan te osservazione: fi ssat.o un punto in cui f è d ifferenziabile con gradiente
non n ullo. qual è l a d ire--.don e in cui il t.asso d i accresciment.o di f è massimo o
m inimo? Un prodotto scalare è ma5Simo , in valore assolu t.o, quando i due vettori
SODO paralleli, cd e massimo (o minimo) se i vettori sono concordi (o discordi,
rispe tti \'anlente). Perciò: il m=imo accrescim ento si ha ndla direzione (e verso)
dci gradiente; il m inimo acCl"e5Cimenlo si ha Ilei verso opposto. Questo chiarisce
il s ignificat.o geometrico dci gradiente: indica punto per punto, la direzione di
massimo accre.çcimento della funzione .
Consideriamo ora la lin ea d i livello J(x, y) = c pas:;tLllle per (xo, Yo ), c calcoliamo la derivata d irezionale di f nella direzione di tale cur va (cioè: della sua
retta tangent.e) . È intuit-ivo ehe nella d irezione della curva lungo la qua le 1 è
COl::ìtante, la deriV'd. t a direzionale sia nulla. Dunque per tale direzione v si ha
V f (xo ,!jo ) . v
:\la l'annullarsi d i q uesto proòot to
~cal are
=
O
significa che v è ortogonale a l gra-
diente _ Abbiamo qu ind i messo in luce un' altra proprietà differemr.iale che ha un
s ignilìeato geometrico: il grudi(;nte è or·to<:JUTtllh: in ogn i pun to alle lince di liveLlo
della ju f/.210ne. Nell'esemp io 1 .8 daremo un 'altra dirnoot r azionc dì qUCtito f a tt-O .
4.5.
Calcolo delle derivate
Teorema 4.6 (For mule di calcolo per l e der ivat.e) - Per ogni coppia di funzioni
dui1Hlbili f, y : lR" - lR 1uug0710 le sI:'1fUenti p f'oprietrì del gradiente:
V (a1+(j9) = uV'f-,- .B vg
A nalog'H~
"Ug) ~g" t+t"g
v (t)
9
~
9"t-t""
g'
proprietà 1mlgono I,WT -;; differenziali, ad esempio
d(af
+ .B g )
= adi
-+- )dg , ecc.
L a d i rno..<;truzione è un semplice esercizio c he si l ascia allo studente.
!l.lolto utile è anche la re~ola d i derivazione delle funzioni composte, c he in
p iìl V1-lriabili a5sume varie forme diver tiI:', fi second a d el t ipo di funzioni che ~i
c OrJ lpongnno. Vcd ianlo ora alcuni p.S>ernpL il (:I-l.'j() generale sarà t rattato in segu ito
(cap . 11 , par. 2 ) .
Teot"ema 4 . 7 ( Derivazione d elle ruu;.-;ion i cotll pnste) - l. Siu ;:
nt ~ lR dent!flhlle . .'ita
=
f (x,y) una
funzionc re"Ze di/Jen::nziahill;, e sia g(t ) :
h(x,!/) = g (f(r , y» : m? --- IR
Allom
Vh (x, y)
2. S ia z = f(x,y) una fun ziollc
una cun.·a pirtna rr-gol.are. Sia
g (t )
~
=
g'(f (x,y»'V flx,y)
dljJàp.flZlabile,
rr'-lllc
t;
sia c _ r (t)
(x( t ),y(t »
I(r«» - I(x (t), y(t)ì
A llora
9'(1 )
~ UV' f
x
a'y
(x (t ),y(t))x'(t ) + u 1 (x( t ),v(t),'(t)
~
vl (r (t ») , r'( t )
Esempi
v'
4.7. ( G"(l,Ucnte ,li uno. funzione rnd,nJ,,)_ Sia h (.1: . 11) = g( X 2 .... ,,2 ) (' lna sim ile fUllzione
si di ce mdia le, p erché dipende ch. lIe ~~<lriab;! i solo 1ll<>.li,." te il valoro:: di p -'- Vx~
U~ ).
P oniruuo / (%,y) = Vx~ +y:' e cnlcoliamo
...
Sinteticamente,
"Vp = (=.1!.)
p p
A llora
[nl';uti colare, poiché IV! (X,U)I- l (come si verifica su bi to ), Iv h(x,II)I,.., Lq'(p}l.
Ad esempio , per h(x,y ) = logp, si può affermare "'~n 7.a tr oppi c~.k~)1i che
v h (.r. y) ""'" ( .:,
e
1I~ ),
P
e l'lJh(x . y)1
=
~
P
(Ortogo",alità del grndie",u am le curve di I!vellc». S ia f : rn. l - IR differenziaLil.!. sia
f(x, 11) "'" " l'equazione (c!i..-t.e"iana) d ; , m a ;;l1a linea di h vdl() ; e ><upponicuno che questa lilLca
ammetta u ll n fea pp'fe&enta:zio fl<' pal'~m('l.ri('a rego lare r ... r e!) . Allora, IX'5 l o
4 .8.
g( t ) = /( r {t »
è , p .... { d efl ni:zione, g (t ; = e e dunq ue ."l'(t} .,..,. O. D ' altro " ... n t o
j'l{t)
=
"V f{ ... (t })· ... '(1)
e r itroviamo l'ortogona lit à dell;r!l.<liente" il ,'ettori" tanw,n t e a li" linea di li vello, r '(t),
433
4.9.
(~qllu:zw"r..e dd f.~lJQT"fO). Consider i'''llo l '~!lzùm e diJJerm.tlalc a d mt'a l e pa.,·zml, (3 ):
ou
,-
ox
,%
r --O
(1 .10)
fU
co n ç .;Qt;t.(ln te. Q u es ta eq uaz ione, delta dci t rMpo rtO , pui. fl."erc \'ar i sjgnificat i f' Sid. Ad
e.se mpio. hupp<onim u o c he un" >IOS I.3nza o r gank u inquinan t e s i m u o"l."l'I. IL vdoc it à costan Lc c
.:.on la eorrCtll~ d i un n ume. SiC\ t.I la. concenl r a :-.ione d i t.al., SOI.'t'ulza Tl e l\' a Cq"'o< , e s u pponiamo
c he es...«a sia cosI ,mt" all'interno di o gn i ~.ione del n " m e; dU IIQu<:! Il sa rà fu u"" ,,,,,, d.·1 tn m p o
t e di un ' u n ;,":.!, ~'~ujabile 6 ['>\.7.iI110, x. <:tIC rapp retollU t fl. 1'a.sc;""S3 h lll!;o il fiume , schemati"l.":fl.Lo
come un II rena. Sotto t ali ip otesi, :>i può di m o:st.ral·e eh ... u soddIs fa p ruprio la ( 4. 10).
Questa eq uaz io ne !li p u ò risolver e, (»;~e n-"l.\ndo ch" il p rimo rn ~'mb ro la der".,~ta d ire·
" ' onale di u( :!; ,l) nella di re?;i(lJl<' <i d ..... ' Uore (c, l ), P(,!"c iò, OSl: t a.le d et'ivata è zero, slp;nifaca.
che u f:I Cl)~talite Lu ngo oglli retta del tipo x = t,t + q, d u nq u e Il d ipende 0010 d all a q u anti t à
.!
(x -
d .):
14(X,I)
= v(x - et)
con li : m. _ IR g e ne ric a fun'tiune dt..... i·w\ ù ile. (Coroti cont roprova , ~i clLicoli ~ - Il , in
fun 7. i, m c di v , utilizUUld o il t"on'lIllt. d, deriv~i on e ddlc funz;;o"i comp<:lO:l t.." " ~i "O' ri !Ìchi d,,;
q n<!Sta q U811ti1.ll "i a n n u lla q ualunq ue hia lil_
La fu n;: i<lILC lo' h a il significa t o di condi :z:in ..r. ini:dC\le , in q ua n to
u (x,O)
=
.:(::1:)
Pen .:"'l, n ota. la. "..,nce nt ra"iouc t; (::c ) all'istante t - O, la
da u(::!.·, t) _ II( X - et ).
Figura 13 (ti.) Gra fico d .. U" CQneen tr.ozion", inizia le 1..(",); (b)
concen l razioru~
G r~ fico
i l! ('g Il i i" t""" l C, è dm.a.
d .. Ua f,," zi one .. ( x,lì ..:.; ,,(:r: - (ct),
C ome s; vede dalla Eg un o 13/', il g r afico di >J(x.1) " .. !IlC fun zi("me d i 7, a d istanti "'''c(;("ililÌvi,
è se mplicemen te tras la t.o rispetto al g r a fi.co di ...,(:z:) . (La conçent.rio;:';<ln r. di inq u in nn t e è
semp licemen te '"tlasport.n ta~ da lla n >TTcIlt e).
4 . 10. La t e ro pem t u r a (s!.azionaria) in "na. certa. regione d d pi alla
.u(x, y)
l~ll
e "'-""(!gua t a
da
= ",-"''''''1<
p unto si Tl m O,'e n el pialla secon d o la l"gg(: or u.ria
X""" t (l - t)
{
:!,I
=
e
~ 3 ) Q ll ll.kOl1a di più "'" q u esto>; <''<I,uazion i difl"" n,md<lH sad. dd io n e l parag rafo 5 .1.
Capit olo 10_ Calcn /n d Ifferenz iai" per f u ru i<mi reali di più variabilI
434
@_-(}II.0 7U7 . 11
Calcolare la velo cità con CUI un OS!<c' n .... tore pOlI to n el pUlito mo b ilt' sen t e vari a re la t Clllp .>ratura.
Po.ssiamo rag iona.l:e ill due fU()(1 i. [J primo <:. applica re la formul a d i d r:rivaziolle de ll.\
f" a zio ..e c<:) rnposta., ", {>o",t"
a (t) = u{ x (t). y(t))
calco lare
x '( t) = 1 - 2t
y'( t ) - 3t~
e q uindi
g ' (t) = tt",( x(t) , y (t» x' (t)
+ uv(x(t ), y(t»;/(t) =
+ "le - ' ( l - <) ! 2." (3t ~)
= _(:- ' 0-" -"-2" ( l _ 2t )
Il secondo ml..>tOOo è scriver e per p rima
,<:ioni:
CO&"I
=
e - «l -. )
~ :;, .) (- I
C8plic:iuuneote g(t) curne
+ 2l + 6t')
com l'OI!i ~ione
di fu n ·
e qu indi calcolfl.re dirett ament e
g' (t ) :::: ,~_ , (,_ t) -;.-2t3 (- l
+ 2t + 6t~ )
OvviaTTIente, il r is u hal.o n On Cl:Lmbia .
Come rTlQbi.r a il confront o tra q uesT' esempio e i precedent i, le fo rmule di derivazione
della fu nzio n e c:Qmp05ta in p iù varia bili sono u tili sopr a tt utto q uando un a e.llllCBO ddl~, due
funzioni IlOll !Ii l)t ~"'<a scrivere esp lid t lJJT1enw (ossia q ua..nd n vogli a m o r k K'·are u na forum!;1
.."--en te un s ignifico. t.o generalo:" valid o per ogni fun zione d i Ull certo tipo) ,
Esercizi
e
Si calcoli no I" deri vate p an.iali della funzione
f(z , y) = xe .' v'Y
in tutti i pUlIti in c u i Cfii"t<lIlO. S i di(".!t q u a l è il p iù g ra. urt", insieme I\per w del piano in " u i le
derivate p a-rzinli tiQn o contin ue (e q uindi certa m ente f è dHr"r€nzi abile) .
e
Si ~cri va l'e< ln azione del pian o ta u geIlh, alla s uperficie g rafico di
f (x,-y) = c "'sin y
ne l gclU.rico pu n t.<l ( x o,Yo); si partico!ari=i poi la fOr m \11a a l p u u to ( I , 'lI').
CD
fi j calcoli la d r-r ivata dire-z io na le dell a funz ione ùc ll '_rcizio preeooc nte ncl pu nt o ( l , 'lI')
!l, prim a.. us II.f\do la d",fl n izione d i derivat a di n 'zionak, e poi \I.~ando
la formula d eL gradien te.
ri~p eUo a l W'r80re ( ~ ,
CI)
Scriv"re lo .s,-il u IlPO (4_ 7) p e r le !o>C' g uenti f"u:.doni :
a) f (x,y) = /.: "'+\1
b) f ( x , y) :-= siJ, 2x
e) f ( x. , y ) =
d ) f(x , 1/) =
,,)1
+ ycos X.
+x+:cOl +y2
VI + x 2 + !I~
4 35
€I')
Si discp;nin" aleu n,' li nCE' d i Ii \oello della funciolle
I (x, y) =:t:~
,
+~
Si tra.cdno pOI . sullo s t esso dise gno, aJculli vettori, s pic('.>-lti da p,mti di t ij,l i linee. avo;nti la
dir.,,,iOI"~ e il verM.> del gradi~nte di I (non occorrcmo calcoli!) .
fl>
Si (:olcolino I" dcri.-ate pan:iali della fUIlZiQlI"
f (~ .y)
=
{
xv
,
se (x , y) =1= (O, O)
b I'
(:1:, 11) = (0,0 )
in og ni pun to rl .. l piano (per l'or igine, app licare la definizione ) .
al
Si c elcolin o p<>i , in base alla definiz ione, le derivatE! din~",iollaJi di
n:r:!iOre (COE.O,sin6).
L a fo uu ula dci I7ooient l:! i:! ~r ifjcata? Spiegarl! il rlllUltato_
I , nell'origine , rispetto
~enerj Cl')
fIi)
Si scr Ì'l,"a, per analogia al caso bidime ns ionale. l'equaz io ne d<311' iperpia1iO tangen t e ,,/l 'i persupt" jicic grafico d e lla runzlo ne d i t re \'ariabili w = ! (I, Il , z), n d punto (:1.'0 ,110, zo) .
Si applich i poi tale formu la alla. funzione w =- .,;z :l + y~ + z~ n e l punt.o ( t -' 1. 2 ).
In elettf"Ol:<tatic:Ol, il campo elettrico E è, in ogni punto ddlo sp~;o fisico , il gradi rmt.c
di una fu n z io ne U (x , y, z ), dett a potenziale e lettnost nlico.
11 poteoziale eleUn"16l a tico genertlto da una r;u-iclì puntiforme è U (a:. y,:c) = ~ . COli r _
El)
v'X2 + y~ +;;:"2 " k costante. Calcola.re il cam!,o elettrico g euerato dilUII. cari<: a pn ntifo nue ;
c alcolar.,.; IKli il m ooulo_
e
La fot:"l'l:I. di altra:lione gra.vit azionaJe F g.,ucrata da un corpo è , in o gni p unto dello spazio
futico, il grtLdi"n h ' di una fun zio ne U(x,y,z ), detta pot e n zi ale gravitazion ale. li poten z iale
r;ravitazio"ale ~ellerato d a li lla s fcrn. om<">gCnea d i raggio Il è
!w nle
U (:I: ,y,z) =
dove
a) Si
h) Si
c) S i
3
..
2
{ 'l.r.p( R~ - ;-)
p ì, una costlUlte (J« <ieusi t à della s fe ra) , e
r_
";X2
+!J~
+ z~.
verifichi che il PQt.,,,,dale è continuo in tut w ICI " pil ... io .
.....aJcoli la fOr7..a F in t u tto lo spazio _
verifichi se il c a.mpo vetto riale F è conti nuo hl tutto lo "paLio <Jppul'e no.
ti)
(Si ,..edtt l'esercizio p r ecedente per il significn t o dei ter min i). Il potcU:..l.ùo gravitazionale
gen erato da uno strato sferi(;() d i r aggio in terno R I e ("<.ggio est e rno
è
n7
l-r.f,( H~
U ( x,y, z )
{
-
::" fJ\oR'
~ -
R~);
se r > R z
"3" ) - 3::"
4 (1 r"""
n~
,;e
'2 1; p( R~ - R n
n
l
<
<
r _
R~
se r :S Hl
a ) Si ver it-kh i che il pot.<,nzial" è co ntin u o in luttO lo s pazio_
b) Si cal<:oj i Iii forza F iII t. utt O lo spazio.
c) Sj ~..:rificbi >'le il c ampo VI! UQTi ... lc .F è cOlI ti nu o iu tutto lo spazio o p pur" no _
m
Se :' ( J_'.' .~ ) io ,a l l' Ulp ·' p l.lU r H ", ·i l''''ltO p· . .'/ .:j. in reg i",, · ~t.'\li(l na!" ; ... " ,~"i" . in " x a i
l'll tH O I ... ll ')lll"'ratura Il'''' " :\lnlli" ,,'" t " ffipO). ~i d" /i"il;ce . !<-.. "ita. J i corro·" l_,· t e rm ica ,l
,",'t t.ore
d.wl' -X > Il ,. I" ('o"ci.,(',I"I,';\ ,.,rmic" '),·1 I"':\e""o '1''';' o"'S""r~ una <"<~~ I ant e . "" p ,, ~,.
""Cl funzi,)", ' ,ii (.[; ,y.:: ) . •, ,-" Iun rt'ali ). Sll pp C.IlI'" ''' ' ('he la U,u 'I "',-atlJ r ... "1.,
I
)
,. h' :0:- ' _ ,
tr . I.y .:: =
'.
:: = j !or.y) = J - :U ·
"lld, - ",,~. ,
2
- !I
,
\ ' 11 ~ .. n~ ieh' ,",w ~celld (- ,1.,110. "ima de ll a ,·..-,J\im:. i' ' :'~"":lI :H!) ~1I " ' ,,' n:ap pa ,~: '1,,,,lla regiul,..
n"ne una t'I n '" d i equ a"I" I'" p ol sre f'
:!(l . O € :0. :~7;:. :;;criW~ rt: in f u nziùw: d i Il I" \'elocic"
". >11 ,-"u i il so' lI ti"r') fa 1"" 1"< ]" "'" .{uota, ,-io" ~; . O U",,"re il risuJl al <> ut iliz.m) " !" , ·nU8.mLi I
1lt(~I ()(li illust rati ne.lj 'e s'-iIl l'i.. 4. 10.
•
S u (/!]cTime llr" ~ rivel'E' " . ". prima et";, , I.. ""lu&zi",,; ..... r3m etrH"IH ' d d! a cun'" " di a fon ,,:,
.J"~ .r(OI ,y
_
( ,,,0 )1.
- IR . Scri",-n - r . ·~pr~5i "n ' · d el g n" li, ·t<l" c-\ i f in (""" in"e di" !< .. Wi pot p.5i d ...
(, tli h (t) -'- -.--f-t"
c alco13n ' '1 ' lin di il ~ r"oIi. - "t~ , di J .
fl) ", p plic8.n<l., la fo r m ula "1,,"'''18. trD""l'~,
l,) ,.("rÙ·e nò,, i" funzio m ' d i .L!I la f"h ~,io !le j , " ,-a l<"ola ndol '" di)·r- t t am" ,," · il g ra<.!;en t.-.
«(h''' ',,<n (,1!t .' _ , ri.~ U! lal i d "v"no l:"incid~'T<" _
,·, .:t
h~t)
III
Ir ... ia d",n , -;. I,it,·. 1'el ca.;;., "a'( t~~, l a re in
C"'l1 e raliua lldo il n.... llltill ... de!r "~ t 'l" pio ,] ,9, "" ",tl"l.l.re ch,: so,
IR" · ~ ", i , una q ua.·
l"u(!ue fun~.i"",· d iffercmda hi l.. , la fu wd """ u ; IR"-' , • IR d efi llil a ~l" u (x . I )
I ( x - cf ).
"'t' e vt't tor. ' ,·,.,.. t an[ e Il) Bl ". ""lddisfa ['''lu3,zione , 1.·l lr3l"pOrt ,-,
El)
'I:"".u -
$ '
J
vt - "
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Sì \'" , lIi <'l llll" i segu" llt i fatti p(- r la r" " :rione j Ct · N)
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Il ) I.a fu n7.'''''''; rleri \"Slu l,- "nc he "~II·,,r;p:irw .
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437
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f
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l' d i lr..'ellziabi l .. in (O _Q) _
DERIVATE SUCCESSIVE E APPROSSIMAZIONI SUCCESSIVE
5.1.
Derivate successive . Equazioni a derillate parziali
Sup p ' lllÌanlo dI(' li lla funz ifJu l' r c a le d i , 11 1(' variabil i, f ( x, )/ ), p os.o.;icda ad ('S('ll1p io
la ,JI' r ;Y,\t ,1 parzilJk ~; i n 111 11 0 \lIl ill" il' me ape r t o A _ P ossi ,U I I' J allora d l;, ·d .... rc i
~e. a
yolta. la L1I1ZiolW "i_~(, s i a d e l"i\"abile n ei l'u nt i d i ta l, i ns ic!llc. 1 11 caso
a Jl" rln ;Jti ",-o C . loll ian l o le . I, ·r i\"ate par z ial i d i
dle " i in d in <n l' l'oi s imhl ,!i
'-Ila
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D'I _ i'- (BI)
DJ:
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!Oi l") ,,,li:
ll aU ro
fUllzioni"i lIi'·(1I 10 d ,: ri n ll,- parz iali
,~f- rond(: di
i - Si
usa n u ;ulC he i
ecc .
Esempio
5 . 1,
~i"
f i I . J." I
iJ I
'}" .
_ 2x
S i ll
il
òj
ay
[f' f
,'11 f
(h :
f "yd:r:
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--- :'2.r ,; ir.y l
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il
,
; h , l ,"~ ço,; Il )
.I J
sin 11
Capitolo lO . Ca-lco lo diffen:n:;ialc ,,,,,r ft"uior,i ~)!ali di pii< "anabili
43 8
@
88-<l8"()"I' I\ 41'. I>
Not.i6-HlO che le dm'! der ivat. t;! miste , IX"II C l""" sono u!-\"uali , nonost.ante la funzion e
d i p artenza. non TnOl>1:ri p ar cicolari simnlt't r ie nelle due variabili. Questo fat to h a
una validitil generale:
T eorema 5.1 (di Schwarz ) - S"PPO llin.nw dle le dent.'atc 1"'11' Iv'" siano entromb"
defini.te e c.ontiuue in 1m aperto A ; allora eS8e c.ni" d dono in A.
Un a funzione che abbia tutte le d erivate pa rziali seconde cont.inue in un a perto
A s i dice di classe Cl( A ). Sotto tale ipotesi, le derivate p ar...: iali prime ha.nno
derivate parziali continue, qui ndi !>Ono differcn2.1abili (si ricordi la. cond i;.:ion c su fficiente d i differenziab ilitÌl); in partico lare allora le d e r ivate parziali prim e so no
continue, e a llo ra
f è d iffe rt'.nziabile, anzi di
da..<;.<;e Cl{A) . Riassu me ndo :
I E C2 (A ), alloro f E GICA.) (in partù:otuT"t:, f è differenziabile); le d en.1Jate,
parziali pr-ime. di f .i ono (liffen;nzù,bili; le deri vate pan:-ia li seconde d i I .!Iono
r.ontinue; in pari.l eoiare, le d erit!otc sf',amdc miste di f .sono uguali.
se
L e definizioni di d crivate parzitll i successivc c il [email protected]
.ma di SchwAr.f. si g en ora!izzo.no a funzioni d i n variabili , e a de r ivate d i o rd ine k. P er ~mp io, p er uua
fuozione di tre varia bili d i d alòse G"(A ), f(x, y , z) ~j p uò affermare l'id e uti t à:
D'I
D'I
ozo:dJy[)x
Lp. d e ri vate par ziu.li succe!:isive Ce i n p a rti<:<llare le seconde) intervengo no nell !)
formulaz ione di numerosi!lsimt: lt:ggi fisit:he . Si d ice equazione a d erit-·ufe parziali
un'equazion e d iffereu:.;ia le in cui la. funz ione in (:ogn ita bi a una funz ione d i piI) va riab ili , c he comparc nd l'oqua ziolle a t.traven;o alc une sue derivate, falle (al m eno)
rispetto a due variah ili d iven;c. A b b iamo già incont.r1l.t.Q un'equazione d i quest.o
t ipo n ell 'esempio 4.9 ; o ra ne ved remo altre d i part ico lar e inleresse appUcativo.
E se mpi
5 .2 .
L 'equazione d i La p/ace (i n t,re varia.bi li) :
b. u (.r. y , x) = O
ossia
éP u
i}x.7
+
tr u
'7y"
&u
+ Oz"l -
il
Il Il.. i p unt i dello s.pazio privi d i
c arica d<:ttr ica (o d i m tl.LCr ia. r ispetr.ivamen t e ) . In generale , si d iCt, lap laciano l'o perat.orc
diiferen.z irue (in TI variabili )
è "" dd isfaha tI ...1 poten<>,iale eletl rU><r. ... tico (o gm.,·il.m:ion ... lf')
5.3.
L'equazumc del ca/ort:: ne llE" q\la ttro .·a.r ia.bili (x, ti, z, t)
u,
=- Dò"
S _ De<-ù",te
(;) 1"i<_Olfl--07 15 4T_ 8
SU <'.'CéseiV€
e appro.,-,im<J.z-Wai successive
431J
( in oppo rt u " " u nit.à di m isura) è soddisfal.la dalla t.elH)>eratu ra u di un (Corpo c he sc.81ubia
caloT" con l' runb icJ!te, sotto l'i p otesi che all'i ~tan t e t <? n€1 p lln l-O (x , y, z) llon " i s ia n o ilei <:orpo
f>OT~enti (o poz z i) di ,alo r€; J) è il coeffic iente d i d iffus ione, " dip e nde d al le carat t e ristiche
tenniche cl,,] mat.eria l,, _
5 .4.
L ' equazIOn e ddla ,:orua t.-ibnmt" l,;
Con s id e r ando una corda illi lllilat a d II', in 1_108i"ion" d i ri poso, c oincide con l' !~e x , e nel
tempo v ib ra in u n piano l x , 11) , l' c,!",u io ne è sodd ififatta d alla fum>;i ofle u che rappresent a
l' ordinata. all' istant", t dd pun t o i:> cu i pOE iz io ne di ri poso è ( x , O) : la (:o>;t.ant e c è la v", locità
d i pTopagn.z iofle d d l'o n da .
5.2 .
Formula di Taylor al secondo ordine. DifTerenziale secondo
Se la d iffe renzi abilit.à d i una funzione d i più variabili p ermetl.e di app roS8 imarne
il grafico con quello del suo piano tan geIl I. ~, il fatto che una. fun zione sia di da.%e
C 2C A ) (o più rego lare ancora) permette d i miglio r are l'a p prossima:>:_ione , analo-gament.e a quanto a b biamo v isto nel ca', o d e lle fUllz ioni d i una variab ile eon la
formula di T aylor.
Vediamo c ome si pOSf-i a ri ça'\~dre un ' u t.i le fo r mu la d i app rossimfL:I:io ne per funzion i d i più varia bili, a part.i re dall'a n aloga formula un irlimensio nalc. P er semp licità. cominC-ianlO a cQl1sidentre una funzione cii due varia bil i.
]H 2 -- -, ili definit.a in un int.o rno d i ( :1:0 , Yo), e (h, k ) un versore: i l
S ia I
punto (x o + th , Yo + I_k) app artie ne d u nque a tale int.orn o a l meno per t abbast anza
piccolo. C o nsideriamo la fum: ione d i una "'ariabi le:
g(t ) = f (xo
+ th,yo + tk )
d efinita (ahneno) per t F [O, El . Scriviamo la form u la di ~facLa.ur i n al se<.'ondo
ord ine per la funz ione g (t) :
g U) = g eO)
+ tg'(O)
-+-
~eg"(O) + o(e )
p er t
----->
O
(5. 1 )
P er l a fo r mula di d c riva;:ione della fu nzio n e compost a , abbiamo :
g'(t)
=
fAxo -+- th , !lo
+ tk )/z + 1>.;(:1:0 + th, Yo + tk ) k
gli (t ) = In (:l' O --'- th, Yo + lk )h ~
---t-
2f"y(xo -+- til , Ur) + i k)hk
+ I n, ( x o + /' h, Yo+
t k )k
2
e quindi, sostituendo nella ( 5. 1) :
/ (xo
+ '~ h , Yo + tk ) =
f(:co, Yo )
+
l
/x(xo, yo) t h
2
2
+ /y (x{), yo)tk --.,--2
2" lI< L(x o, y o) t h - 2ITl/( Xi ) _1/O)t h k
--:- 0(t2 )
per l -t O.
+
-+-
f w(:r:(I, "!lo )t 2 k 2 1-1-
S _ De<-ù",te
(;) 1"i<_Olfl--07 15 4T_ 8
SU <'.'CéseiV€
e appro.,-,im<J.z-Wai successive
431J
(in oppo rt u " " u nit.à di misura) è soddisfal.la dalla t.elH)>eratu ra u di un (Corpo c he sc.81ubia
caloT" con l' runbicJ!te, sotto l'i potesi che all'i ~tan t e t <? n€1 p lln l-O (x , y, z) llon " i s ia no ilei <:orpo
f>OT~enti (o poz z i) di ,alo r€; J) è il coeffic iente d i d iffus ione, " dipe nde d al le carat t e ristiche
tenniche cl,,] mat.eria l" .
5 .4.
L ' equazIOn e ddla ,:orua t.-ibnmt" l,;
Cons id e r ando una corda illi lllilat a d II', in 1_108i"ion" d i ri poso, c oincide con l' !~e x , e nel
tempo vibra in u n piano l x , 11) , l' c,!",u io ne è sodd ififatta d alla fum>;i ofle u che rappresent a
l'ordinata. all' istant", t dd punt o i:> cui pOEizio ne di riposo è ( x , O): la (:o>;t.ant e c è la v",locità
d i pTopagn.z iofle d d l'o nda .
5.2 .
Formula di Taylor al secondo ordine. DifTerenziale secondo
Se la d iffero:nziabilil.à d i una funzione d i più variabili p ermetl.e di app roS8 imarne
il grafico con quello del suo piano tan geIl I. ~, il fatto che una. fun zione sia di da.%e
C 2C A ) (o più rego lare ancora) permette d i miglio r are l'a p prossima:>:_ione , analo-gament.e a quanto a b biamo v isto nel ca', o d e lle fUllz ioni d i UHa variab ile eon la
formula di T aylor.
Vediamo c ome si pOSf-ia ri ça'\~dre un ' u t.i le fo r mula d i app rossimfL:I:io ne per funzion i d i più varia bili, a part.i re dall'a n aloga formula un irlimcnsio nalc. P er semp licità. cominC-ianlO a cQl1sidentre una funzione cii due varia bil i.
]H 2 ---, ili definit.a in un int.o rno d i (:1:0 , Yo), e (h. k ) un versorc: i l
S ia I
punto (x o + th , Yo + I_k) app artie ne d u nque a tale int.orn o a l meno per t abbast anza
piccolo. C o nsideriamo la fum: ione d i una ..'a riabi le:
g(t ) = f (xo
+ th,yo + tk )
d efinita (ahneno) per t F [O, El . Scriviamo la form u la di ~facLaur i n al se<.'ondo
ord ine per la funz ione g (t) :
g U) = g eO)
+ tg'(O)
-+-
~eg"(O) + o(e )
p er t
----->
O
(5. 1 )
P er l a fo r mula di d c riva;: ione della fu nzio n e compost a , abbiamo :
g'(t)
=
fAxo -+- th , !lo
+ tk )/z + 1>.;(:1:0 + th, Yo + tk ) k
gli (t ) = In (:l' O --'- th, Yo + lk )h ~
---t-
2f"y(xo -+- til , UrI -+- i k)hk
+ I n, ( x o + "h, Yo+
t k )k
2
e quindi, sostituendo nella ( 5. 1) :
! (xo
+ '~ h , Yo + t k ) =
f(:co, Yo )
l
+
fx(xo, yo) t h
+ =2 lI" L( x o, yo) t
--:- 0(t2 )
per l -t O.
2
+
!y (x{), yo)tk --.,---
h - 2ITl/(x l, ' Yo)t ~ h k --'--- fll'l ( J: II> Yo )t 2k 21-12
'>
440
Cap il%
10. Cn.kol o d ifferen zia'" per ' " nz""" rea" di T,i u 1}uria bi{i
P o nend o infine (dr , dV)
un ver sare), e
f(XfJ
+
dx , y o
(th, t k) , abbiamo
+ dV ) =
J( :1:0 , Yo)
+
~ ( d..r ,
:tl
dy )1
@ B~-o&- O "l)4.,- a
(si ricordi che ( iL, k) è
I Axll, yo)dx -+- f v {x Q. y ,})d y +
-:-- ~ UxAxo , Yo)dx 2 + 2Ixv( x o, yo )d T dy+ ll/lI (x o , YO)tl y 2} ;+ o(c1x, + riy')
per (d:r, dv ) ~ (O, O) .
n
Pcr una funzione I
ffi. -----> IR definita in un int onlO d i "o, la formu la
precedente si gener alizza al m o do scgucnt.e:
J( x o + dx )
= f (x o) +
8J
n
L
ax . (XO)d;T j+
J
j w'l
1 " "
-+ ~2
2:: 2:: il a [)f
;= 1 j = 1
21
2
I ,
X ,·
(xc)"-', dx. + o( ldxl ) ,
I,
per dx--.. O.
Quell a o ttenuta è l a fo n nula di Taylo r ai seco n do ordine per uniI fu.nzi one I
di pU.! variabili, con resto s(:'-<::ondo Peano. Se f è di classe C 2 (in un i nt orno dci
punto xo ) i paBsaggi effett uati per ott-enerla sono valid i, e l a formula diventa un
t.eorema . Non ci interCSl:ia prtc'Cisare le ipotesi lllinÌIne so tto le q uali la. formula.
val e .
Ol:>Serviarno i termin i a second o membro: la prima Eo mmat or ia è il d i fferenzia.le d i f ( prod o tt.o scalare dci gradient.e per l'incremeuta di x ) ; la seconda.
sommatoria è una forma quad r atica nelle componenti dx, dell' increrncnto(4) . Tale
fo rma quadratica (senza iJ coefficient e
prende il Home d i differenz iale secon do
di f , calcolalo in x v:
4)
(5.2)
L ' u lti mo te rmi ne, o(i dx I2) , è l'errore che s i commette approssimando !' iucrernent o
di I con di + 4d~fI coefficien ti a.~! (Xo ) che t":ompaioTlo nel d ifferenz.iale secondo possono
~
sere ord inati in una matrice detta matrice hessi ana :
f"'~"2(X ())
l"~" ~ (x , )
H f(xo)
"-C
(
~~~ ~ '(.~ ~ ~
fx Tl z J (Xli )
fx~x", (xo)
•
!",. (x,, ) )
..
~~~.~,.•~~~ )
fxr. %n. (XfJ )
(4 )11 te r mine "{o rma q uariratica" 'iarà spi "ga~a in dettaglio "el par. 6.2 .
e8 -
5. Der"i v at « .,<uccessi"" e appro sslTl1azian; sl.Icce.H it.' t'.
In partico lare,
~e
f è
Ulla
441
funzio ne di due yariabili :
fxy ( xo , YO) )
f ll )l (x o , !lo )
P er i l t eo r ema di Schwa rz , se f è di classe C.l la mat.rice h~Rs i ana è s imm e.trica .
Nel p a r a g rl'l.fo 6 u tilizzerenlo la. formula d i Ta.y lor a l seco ndo ordine per stu diare i massimi (' i m inÌIni di Unt.. funzione d i più variabili.
Esercizi
€E)
Verificare ch e le seguenti funz ioni so d disf" r!" l' eq uazion e d i L ap lacc in d u" variabili:
f"", + I ""
= 0
n.) f (x, y ) = ~, '" Sillli
b) f (x,y) = cos.TShy
c) f ( :l:,!I) = x 3 - .Jxli~
d) f (x,y) = x 4 _ Cx 2 ,/
+ y4
El)
Sc r iven , la mat rice h essi an a di c iascu na ddlc funz ioni dell 'es€,,~ izio precedente.
G
Scrivere il dilIc rcll:t ia le fiCC o ndo n ell'ori g ine p er la funzione a) dell' esercizio 32 .
G
Scrivere la Tll a t. rin; t" ",sian a della fu n z ion e
f (I. , y)
=
v'l
, t)
= -
+ ;,, 2
+
# 2
p recis a n do l ' im;ien,,; in c ui \; defini l a .
Cl>
Ver ificare c h e lo. funz ione
lt ( x
l
Vi e
_.c
..
s o ddisfa l' equazio ne del calore
tL, -
p er OgIl i l
€D
>
(J ,
U rr
= O
x E IR.
(S ol u:i.io n i rad iali dell 'equazione di Lapln~ ).
,/t
xf , calcolare
le seguellt i es pressio ni c<.mt.cnent i derivate parzia li:
~ ;_ 1
>= !
b ) S ia g (l) llna f u n"io Ilc d i H !la var iabil e , e h ( x ) o- !J(l x l) una fuuzio n " r a di a i" d i tL va riab ili.
S fru t t ando iL t eo r e m a di d erivazione d",lIe hHu io ni co mpo s t e {' i cakoli del p unt.o a, calcolare
!tre,,,,, e p rovare eh"
il. h( x )
=
g "(l x l)
+
442
Capi tolo lO. Calco lo differenzi"./t; per funzioni reali d i p iù. !.'"!'iohil':
@SS_08_07 54 7 _<l
"';1
c ) Ri~o lvend o l'eq1laz ion e differenziale o rd ina.r ia y"(I') +
g ' (P) = 0 , de lerl!linar" le ~Ol ll­
z ioni radiali dell'equazione ,6.-u =-= () in JR" \ { O}
S!J.99t:'rirnen to' porre v(p ) = g'( p ), ri <:avare pr ima., e qu ind i g , p e r integraziolle; d istinguere
i c as i 11 "-' 2 , n > 2 ).
Per n = 2 ,~ n -= 3 le solazion; b'O-v ate hCl1!no un int"'''.'' $€ F~ic(): SOrtO il 1JUI«T<Z' 1l 1e
laqaritmico cl log (x~ + y") + C2 e il potc nziulr, nc v;loniarw "1 + C~ /..jX2 -\ -lP + 2 2 .
6.
6.1.
OTTIMIZZAZIONE I. ESTREMI LIBERI
Massimi e minimi liberi. Punti critici
Un'importan t e appl icazione del calcolo differenziale per l e funz ioni reali d i p m
va riabi li consiste nell a ricerca. d e i punti che r endono ma.<;sima o minima una certa
fUll2ionc f : IR" - IR. I nt ro d ucia.mo l'argomeuto COl I alcuni problemi.
• S ia n o a.':'Segnati n punti in un piano, P j (X l, Yl) , P 2 (X2,Y2 ), . .. . Pn(X" , y,, ). S i
v uole trovare un pUllt o P tale che la somma dei quadrati delle di:;tarrz60,di P da
P j , P"" . , Pn sia Ini n i nlR.
P o ic hé jP - Po l2 = {x ; - X )2 + ( y , - y )2 , si tratta di r icer care i l minimo (o i
m i nilni) de lla funzione
J (x ,y) ~ L [(x ; - x)'
+ (y,
- y)' 1
• (A/dodo de i minimi quadrati) . Consi deri amo ancora 7l p unti i n un piano,
Pi (x ;, Yi) ,i = 1,2, . . ,H, che potrebbero essere osservaz.ioni sperimentali di due
variabil i su un certo insieme d i indivi dui (ad esempio , (.·oppie p eso/ alt ezza per n
persone). Supponiamo d i aver motivo di c redere che tra l c due variabili esista una
relazione lineare , entr o i li miti dell 'errore ::;perimentalf'
delle flutt u azio ni statistiche. Ciò significa che i punti non sono esattamente allineat i, In a noi cer ch iamo
l a retta. y = ax + b che "meno s i d i:;c osta d a l p assare per g l i TI punti". n problema
~l p u ò formalizzare definendo l' e:nurc quadratico totale
°
E{a , b)
=
'2)O.1:i + b -
Yir 2
:i =1
(somma d ei quadrati delle distanze tra l a re tta c ciascuno dci punti, misurando tali
d i:;tanze semp re l ungo rette vert.icali). Si tratta dunque di mini mizzare la fu nzione
E (a , b). Trovati (J , f) che m inimizz.ano B , la retta y = (Jx+b corrispondent e s i dirà
T'e t ta di rcgrcssion t e il rnetodo u:;at o per det.e rminarla si dice mdodo dei minimi
quadraii.
Definizione 6.1 - S i a. J A c JR" --~ la e
massim o (m i n imo) I:!.sso l uto PfT f in A se
per ogni X E .4
Xo
E A . Dici amo che
X I)
è p unt.o di
t f (x ) ::; f(x o)
(f( x ) 2:: f (x o) , 1'i.spcu'ivamerlte). D iciamo che XI) è punt o d i mas!limo (minimo)
rebl.ivo , o local e , pt:r f se ésiste ~H. in lO1"7W II d i Xo tale che
per olj1!i x E U è f(x ) ::; f{xu )
443
(f (x ) ~ f ( x (}), ri~pettiv(.mente) . S i dirà int>('cc massi mo ( o miJliTIlo)
rdativ o), il valore J( xo ).
(1.~soltlf o
((}
In questo parag rafo i n izieremo a discut.ere il p r o hlenu1 de lla ricer ca de i ma.":;Lut_t o il
p ia no. Nel paragrafo 8 affronter emo i nvece il prob lema d ell'o t timiz-zaz.ione v incolata, c he con ::;bte nell 'ottim izzare Ilna funz ione le cui n variab ili non sono li b ere d i
muoversi in tutto IR n , ma sono soggette a I Hl vincolo o pportuno. Vale anzit utto
il prossi rno c riteri o:
s irni e rninillli loca li , per fun.doni 6uffi<.,ienternente regolari defin it e in
Teorema 6.2 (di Fermat) - S i a f : A C lR" ----'> lR, A f lJKTtO . S i a Xo E .t1 tofL punto
di massimo o min im o locale per f e sia f deril'(I/Jilc in X {J . Allora V f ( x o) -= O.
Dimostrazione. Supponiamo per Hern plicità di scrit tura n = '2 . Se ( x.:. , Yu) è , ad esempio ,
p unto d i massimo loca.le per j , la funz io ne di una va.riabile 9 (t) = j et , Yn ) dov!"" avere
u n punto d i m a,s,<;imo locale in t = Xo; perciò. p e r il I.co ren' .. di Fe r mat in u na variabile.
g'(xlI) = 0 , ossia ~ ( X() ,Yo ) = O. Analog.uncnl.c, ragionando Rulla funz ione d i una va.riabil~
h (t ) = f (XIl , t) ~ i prova chc * (x o d/ll) = n, il che prova la t~i.
D
I punti i n cu i il gradiente di una fun zione f si a nnulla si d icOIJO punti cl'itici,
o punti stazi onari d i f. 11 teorema precedente afIerwa qui ndi che, per c ercare i
punti di ma.."-'lilno o m in i m o locale d i UHtI. funzione , (}ccurn:: w l·" itutt.ù L1 t: l~nnìllan::
tutt i i suoi punti crit ici, ossi a
pun ti ( X], X2, .
,x,, ) che risolvono il s istema d i
fl equa:L ioni in n incognite
al
o
=
{h: I
af ~ O
&x"
~ atll ralrllente , come già nel ca..'iO d i ilDa variabile , non è d e tt-O clIP. ogll i punt o
critico s ia e ffettivamente U 11 punto d i m assi mo o min imo . Secondo obiet tivo sarà
q u in d i, ulla vo lta determ inat.i i p l llui s tazionari, 8t udiaTne la IJaturfL ()..~a stabil ire
I--'e r d~L'UllU ù i e:;".-.i se è punto d i ru ln imo, di 11U1.5:,;;r u o, o nc:ssuna delle due cose.
In quest'ultimo CabO , nn p u nto stazion ario si (Iiee pu.nto d i 8dia o (Ii colle .
Esempio
6.1.
S i cerch ino i punti d i massiulO e m i ui m " di
f( x , y) =
3X2
-+- y 2 _ X3 y
Ckenrre anzitutto scrivere il sistema:
"1 ",- o
{.,
ih ;
at
[j,
=
O
444
C apitol" l O. C alco lo d •.fj" ,~en2ia1e per f u nziOll! ,..,.ali di più r,u.i,.bili
eS)
M
OB _0 7!;4"""
o ssia
L a p r ima e q uazione d à. x = O opp u r e y
=
2jx _ Sost it ue ndo '1 uesk nella seç(Hlda 5i tro'\"3 n o
le soluzioni:
( - v'2 . . -.,,-2)
(O, O}
Questi SOnO t u t t i e 501i i p unt i critici di f _ P oich é f è d iITer;>llziabilc i[l t u t ti i punt i d d
p ia no . per il teor e lTla di Fe rm a t non p o"." :,,,o t-S5e rvi punti d i lIl>u;sim o e min im o oll re. c ventuahllcnte, a q uesti i re pu nti _ S i tra l t a Or a d i <kri der". p er cia =u" o di que5ti t re p unti. s€'
s ia e ffe tti va rncn t e u n pun to '~Hrelnante o p pure no. P e ,- l'orig ine , è fac ile " nO s tu di " di reUo :
.. i "'j..';e r va che 1 (0 ,0) =
e che in u n intorno d ell'o rigine f(x.y) ~ O, in q uanto ill"rrnine
d el q u arto a rd i"., -_ · x ~Y è trascura bile r i" petto a 3X 2 + y " , che i, p os it ivo fuori d all'o ri~n;> .
Pe rc iò (O, O) è l'" Il t,o di m inimo r el<lt.ivo ('1",,,,;1.0 n l gioname n to potrà (>_<;~ere re~ o p iù TigoToso
in seg u il-O ). P e r g li a ltri
plInL i c riLici u n o " t u d io diretto n On è !~l l. n~ttan l.o fem p l;ç".
Vedr em o nei prossim i d ue p,flrag rafi un c7""i t erio gene rale pt-T I" studi o dei punti crihlOi.
°
.I""
S ia Xo u n pun to c ritico p e r j , c s u p p o n i anlO che
fo rm u l a di T ay luT a l ::;econ do o rd ine :
f ( x Q + d x ) - f (x o) =
1 :2
:id
f ( x o) -
f
E C'-'( A ). Scriviamo la fi u a
"}
o (l d x l ) per d x
----->
O
(6.1 )
(Ab b iamo ::;fruttato il fut t o che , p e r ipo tesi , il d ifferenzia le p r im o ~ n ullo in x o ) .
L a fOfln u lil. d ice che l' illc reme n to della hlllz ione è lig u ale 1/2 del d i ffe re ll z i a le
seco n d o, più u n ternlillC di e rrore . L' idea è stud ia re il seg n o de Il ' irl(;rem e n t o d i
f ( p rimo m embro ) s tud iando il segno d e l 8eCon d o mem b r o (d iffe renzi a l e secon do
p iù e r ror e ) . S e l'erro r e è a bba..<;til.nza p iccolo , q u esto s egn o t'oi n c iderà con q u e llo
d el d iffe r e n zia le seeond o (in segui to p o tre m o ren d ere p iti p recisil. q u e:;t' ult.imu
a ffe r lllazione). D u nque i l p rob lema. d ello st.u di o d e i (lllnt i ::;ta z ionari co n d u c e ad
u n p rob lema c h e , come v edr e m o , è p ura.mente algebri co: lo studio dd s egn o d i un a
f orma. '1 u (ldraticrJ.. Apri ulIlo dun que una p are nt esi , dedicando <lo q u t"_-;lo p r ob lcIllU
a l gebr ico i l p ros s im o p a.r a g ra fo .
6 .2.
U l la
Forme quadratiche
form a qu a d rati ca (i n breve , Lq. ) su 1[{" è un p o li /l o rn jo omo geneo d i :'Rco n d o
g r a d o i ll n variabili:
q{h ) = q (h 1 ,h 2 ,
. . •
,h n ) =
L
a'jq,q)
(6 .2)
i,i _·1
d o ve g li
(J;j
::;ono n u n l c ri r e a l i, d e t.ti coeffi cienti d e ll a. f.q _ c h e ind iv id u a no una
Se A è t a le m at ri<X', la Lq . s i p uò s c r i vere in forma
m a t r ice q u adr a t a n x n.
n latr i.cia le :
q (h ) = h
T
Ah
indicand o con h Ull vettore c o lo n na , co n h T i.l S 11 0 tra,'jp osto ( vet.tore r iga ), e con
h T Ah il pro d ot.to r ig he p e r c o lonne ., C o m e m ostrano i p r o;,."Sirni e~em p i, la f.q .
{6.2 ) s i p llh fie lll p r e Tis c r ivere m e d ia.l lt e u na m e. tr j('f: A s imrrle t.ri(:a , in al t r e p ::tro le
no n è res tri tt i vo su p p o r re a i j = Il ),.
CD
6 _ Oltimi..zz(I.2;um; I ,
55-0 8 _{o7 .... T_;;
t;~ t.-.~ mi
lil>eri
445
Esempio
6,2,
Le fonn" '1 \ladralic:lw &e'g lH, nti coni"poudono alle mat.rici indicate:
A ---= (
,,,)
\
l
A
- 'J
0-=
(
3
-
2
- 3
2
(J
~)
O
1
A = [[f(xo , yo)
L ' u lt.imo esempio fatto sarà quello il cu i appl id tercmo la teoria (Ielle for me qllad rat.ichc: il diffcrenz.ialc sceow io di u nf!. funzione d i d u e (o d i n) var iabili , Glkula t o
i n Illl p u n t.o, i:- una for Ine'\. q u adr atica su ffi2 ( o IR "), la cui JnatJil'e dei c oe ffi c ienti
è la nlatrice hes.<:iana d ella funzio ne, in quel p unt o .
S iamo inleressa ti al segno c h e u na Lq . assume ai variare di h . Una p rinla.
OSl3e r yazion e è ehI;,' , essen do q un polinomio omogeneo di ~ccondo gra do, q (t h ) =
eq( h ) p er o g n i t E: 1R , perciò:
q (h ) a~~';<;uTlle segno coslnnl_fo S(l ogni rY-:tta passante per l'origine
infatt i q (O) e = O) .
(ori9 inf~
esd1Ma;
ne
I segu e n t i sempli c i esempi in
i llustrarlfl tu tt.e le p()~~i bi i i t.à d i l'Omportarnent.o:
è pOflÌtiva per ogni Ch!,h2 ) =F (0,0) ;
a} h"i + h~
=
bl
è posi tiva per (hl , 1;2)
cl
è n egat:iva per Opti (h" h 2 ) f- (O, O):
è l:'ernpre positiva trann e che n ci ve ttori del ti po (h " O) ;
è St!ItIpre negativa t r anne che nei vet.t-ori del t i po (h j,O) ;
d)
h',
e)
- h~
<
CO, 1) e lIf'gal.iva p er
Tali esempi snggcri;;co llo la seguente c!ai:isificaz io ne e h e
alla nlatrice sinJIn et-rica ad essa associata.
Definizione 6.3 - Una forma quudmtica
q{h ), h E IR." si d ice:
i) dejinita
positi lHl (neg(dl1m.)
H
8~
app lica s ia a lla f.q . che
«(I la matrict: simmdr..J.w. (:(wrispondt: Tl f_e)
r:<
h -f O, q (h ) > O
O) ;
per ogni h !- 0, q( h ) ~ U (:::; O) .' ed esilJt.e
pa ogn i
li } .~fémùfejinita pO.5i ti ua ( Tu:y a ti t >rJ)
h -=I=- O tale che q ( h ) = O:
~i
iii ) indefinita se esistono hl, h 2 toli che q( h I) > O c q{ h 2 "1 < O.
Si no t.j c h e le condi ,.io n i i), ii ), i ii) ;;uno mut u amente esclusive _ E sempre bene
spRr:iticare lo s p azio IR n in Citi si opera q uando si vuole cla.5sificar e llna fo rma
q u adralica. Ad esempio. la Lq. in a ) ;. de fi ll i ta P{)~ i liva in
ma P. scmidefinita
posit iva in
P e r le >tlt.re , considerate ('ome f. q . ;;u lR 2 , iii ha: b) indefinita; c )
definita negativa; d) sem idefin it.a poo<i ti v<1.; t'l semidefi nit.a n egati va _
Il-e.
Ife
446
Capitolo 10. Calco la d-iffenrnzioll' per funzianl reali d i più vari ahib.
@&<.0è-07 :'>47_ 8
Occorrono ora dei criteri per clas..<;;ificflre una f. q. senza dover ricorrere alla definizione. Lascia m oci guidare dal ca.;;o b idimensioIlale. S ia dunque:
(6.3)
eon a , b, c no n tutti nulli. La mat ri ce a.bbOciata è
Se a = c = O. q è certamente indefmita: h asta considerare il segno di q sui due
vettori ( 1, 1), ( - 1, 1 ) . Se a f. {} ( nel caso a = 0, c t=- () si procede analogamente) , q
si può r iscrivere a l modo seguente:
")
q ( h 1 ,h2 )=a ( h 1 +-h
a 2
,
,
ac -b ,
+---h
( 1.
2
I coefficienti d e i quadrati sono a e d,,~ A; pert.a.nto si d educe il seguente ~isultat.o:
Teorema 6.4 (Riconoscimento delle forme quadrat iche in d ue v a.ria bili) - La J. q .
(6 .3 ), se a t=- 0 , è
i) definita positit!G (nega tivo) se e
ii) indefinild se e solo
Se
.~()lo
.-;e del. A > O e a > O (a < O);
d el.. A < O;
iii) semidefinita positiva (m;g atùHl) se e solo se de tA = O e a > O (a < O).
Se a = O e c
f.
0 , nelle affcrmazioni p reccdenti
OCCQT7'e ..~osti tui1"C
a con c .
Il punto impo r tante del teo rCllla p recedente è che il test fa interven ire non
o;ulo la rnacrice A, [na ancbe ulla matrice 1 x 1, ad esemp io la Illat.ric:e A l = [al.
La na.turale generalizzazione dci teorema 6.4 alle fonne quad rat.idJe di n variabili
fa a llora intervenire tutte le n sottollluLrici Ak COll1poste medirultf' le prinle k
righe e k- colonne di A , chia.ma.tc talvolta .~ott om atriri principali di nord-ovest:
A,
I determina.nti di ques t e matrici ~i c.hiamano TnÙU)r"i principali di nord-ovest. Vale
il seguente tC0rema. che non dimosLriarrlo :
Teorema 6.5 ( Ric onoscimento delle forme qua drfl.t.iche in n variahi!i) - Sia q ( h )
n
L
aijq, q; , h E
m....
AII01Yl:
;,) = 1
i) q è definita positiva se e .'mIo se dct A.!; > O per' ognI. k = 1,2, . . . n;
o.
ii.) q è: definitn Tu:gatùm se e solo 8e ( -1 )l<det A.!; > O per ogni k = 1, 2 •. . . ,n.
T :ralascialno di illustnlre corrlt'! si riconoscono le fornle éjlUidrat.ic ne sem idenllit e.
6 . O U lmiuuz;ione l . E.ft .... mi libai
447
Esempi
6.3.
S ia
La nlat rir"". ("orr i~ p "", I"n lc è
A (-;2 !3)
=
P oiché d o;t A -= 5
6.4.
> 0,
= - 2 < 0, la Lq. è de fi m t s ne g a tiva .
a H
S ia
q( h 1 , h 2 , '":I) - è;h , - i'h , h 3 + 31.-< + ,l h;
La matrice
corr ~ ponci e ni. c
i:
o
A = (~- 4 O"
Essend o:
ali = 5
> O
det A :I= det
j) =
(~
15 > 0
det,A = 12 > 0
la f.q. è def1 n i1.a. ))QSitiva.
Segno di una forma quadrstJca e autovalori
TI problen lfl. di ~tudiare il segno d.i una formA quudrAt ica in IR" si può i nt.erpretare
anche in tt:rmini d i au t ovalori dclla mutr it:e associat a ( ved i cap. 2 , par. 6 .3 ).
P er quant.o a b b iamo visto ne!l i"!. d iscussione sulll:> d iagonaliz:tabilità d elle mat r ici,
e ssendo A
di
~i mrnctri ca, ~
pf.L.~ggi o
!lempr c p ossibil e diago n a lizz:<ula m ediA.ntp llna rl> 3tr kf'!
ortogonale. ocriv iamo d unque:
A =MAM'l '
cou M ort ogon a1e e.6. = d ia g (Àt,.À 2 ,
q (h )
= hT
•
À,,). Al lo ra la forma q uau rl\t ica si scrive:
T(M6.IVrr) h =
L" >';h?
Ah = h
= h l"7' Ah' =
..
7
(l'v1 'h )T A (MI'h ) =
(6.4)
J=- l
avendo pOS to h ' = I\.-IT h . In a.l t re parole: rispe t to ad u n'o pport una b ase ort ollon nale ò i lR.", la forlOa q uadr a tica assume Il:L forma "L::" , À,h?, Ricordiarno
che, p er le p ro prietà delle trasfo rmazioni Ol"logomd i, \h ! = Ih' l' D i conseguenza. il
segno della fo rma q uadra ti r:a s i legge dal 8egu o d ep;li a utova lo ri. S i a Lt_iene cioè il
scguç nte risultato:
Teorema 6 .6 - Lafor'ma qnadrotim rupprcsentl1lu. dalla matrice .~im mctT""ica A è:
d efi nita positiva ( n~ga titla) se e so lo s e tu tti i s uoi autmllllo17.. sono poSIt ivi
(negativi);
- semideJìniw positiva ( n eflativu) s e e solo .'1e t1Ltti i SIIOI /lJjf.<JImIQ1"i s ono 2: O
(:5: O) e almeno u no d·j cs.'l"i è nullo;
ln defi'fl./t a s e ho alm enQ u u (mlot'alore l!Osit i-vo e UrtO negat-itiQ,
L o. cla....-..sìfic:a;.:ionc d ell", fOl'mf' quadra tkh e ~i p uò b~\Sarc quindi ,:;ullo ;:: !'!ldio d ~1
s~gno d~gli aut.o\'alori. Nf'1 caso b idilIlen~iotlfllti: s i P IlÒ r iuttel h;lTt:! p er quC'st,,\ ,·il.l
il risulta t o d ~1 t.f:'oreru a 6 ,1 : cI)llsidcriamo an(;or~1 b form a quadratica (13. 3 ) con
m a t rice fI..,>-."ociat r,
D",t ( A -
A_
>.n.. :. . . i a·~\
b
b i'
=.À
-
.::... )..2 _ AT r A ~ n etA
-=
c - >.
>. In
.
' (:ì•
T
+ (I/("-b-."J --
O.
D et.t.i )..l,.À 2 g li autovalo ri d i A . si liti dunque: >"1·'>'1 =Dl~t A e Al + A 2 = T r A .
Interpret and o ;:s.llor;:s. qua n t o a!h>nna il t"'\.l rema 6.6 in t ermini di .;t;'gl\o di D eLA e
T rA .'li ri m,ticnc il tcoreflLi.1 6 .4.
Concluùituno ev idcllzìand D lei ~!-';Ut'fltC proprietà d ellt.' f,q. de.finite, ch.., ci l:iari,
lllile Ilei p r05.<;irno para gra fo.
Teore ma 6 .7 - Sia q(h )
te posifiva c tale rhe
1J.7lfl. f-~, .
<] ( h )
defini to posltiHt
>: c}I I"' pa ogni
SJi
IR." _ .4 11of"(1 esi-stc un ll m.5ta1l-
h E IR "
A nalogufltentc, se q è defi nita ncgath;a , e.B'i 8fe 1tna costantf: negativa - c talt2 chI!
q (h ) ::::; _d h !2 ;H;.'r· o.anl h C [{ "
Dimostrazio ne. Con
l~
q (h )
llOlrtz1ol1; di (GA L a bbia m o
..
="'
E
\ , /1;2;::
À",;n
L h:
J
=
À"" n
!h ':'"' = >..",;"
lli l:.!
i-j
con .\" ••" "-'min imo d e gli a.ulow,.fut'i =ç ~t allte posi !.i V/~
6 .3.
>:'<:
(l è
definita IH.t'lti va.. Alla l()g!ime_n t(l ,
Studio della natura d c i punti critici
T u rniumo ora al probie nl a. a ffronta to nd paragr a fo 6.1 . Sl~' J lil la f u n zionI'"
C 1 ( TR"). d i (' li ; cerchianlO i p u n t i d i l U;J..-,;siln"" mi I l imo . l' sia x I) un punto cntico
per f. Come g ià visto , In formul a di T aylo r al ~ccond o (,roi n e ~i S(.Ti-...-c aUora :
(6.5}
Per studia.re la nal llra del pun t o c ritico X(, occorre studirtro> e da.c;F.ir!{~ are la fo r m;'t
quadra"tica (/2 f ( Xo) n elle I t \'J:I.l" lt\b ili d:r; l " . d.J:". I II l'ai ti :
L Se lo. fo r m:l quadra.t ica d,2 ft x r;.) f. d eJì Hicl.\ p osit iv a.. per il teo rern~ 6 .7 ~s i ..,t."
una c~ t ancc c > O ulle çr.c
P Cl t.:tnto
4.9
P~r Id'<.l ahba.o.t tiT1Z8 p kc(,to. r. i- 0 ( 1; > 0 , d unque il s~c.:o l1do membro de.BA
(6,5 ) è p ositi\·o. Q Uilldi f( x c + d x ) . f{X(J ) ? O. m '"Vf:>rQ >Co è p unto di mininw
Tl:'lahro.
2. Al'l al(J g;<jltl~Hlc. st.' la forma qU;lcLra t-L('u d'J f( x ,-,) è d",finit.1.I iIf~ga l.i va : d a.l t.eo-
remA. G.7
t'
>'R.gUl' che in un 0l)porttulo intorllO di
quindi Xc è punto dì massn1i-O rt<llllwo.
Xi)
l"incn.H nenlo d i
f è
ncga t j\"o.
3. Se la (orma qmHlrnt ica J 2f('x'j) i: illdt:tìuit a , ragionando in modo analogo
si dimosrnl elle in o g l11 into Tlto di Xc> l 'incremento {Ii f cambia d ì !:'cgno.
f'enr·u lto Xo nOI! f. punt.o d i mas,':iirl!O rlt" di IIl.inimn . Un ttl1e punt.o (cril.ico
nla non estremantI,.') !>i dk(.' plInl_o di sella. o di '.oll e.
4. Se la for m a q u<:"J rnticu d'Jf(Xi)) è ~"' m jdflfin i to. {p osit h'">:l. () nega.tiva). vi ront)
d irezio ni IWlgo le quali il ~eg no dcJh ncr e m c m o di J dipende dal segno del
terrnil1t! d i nron.. ( p oic:hé :'>i l\onulla. il d iffere n ziale ",•.:'Co ndo); in queslo caso
quindi n o n è p ossibile decidcTe Sf' il j'l lllUO sia e~t.rernanl.!" oppure no osservando ~olo il d..iffcr+jn :r,idle :,t!(:ondo. Nel CI.I.:iO semid t:>finito d unq ue il IIlet·odo
prest.lnl.!" fallisce, e oc:o')rrf> uno studio di ti p o dive r ~o .
L o s tudio df'i p nn ti crit.ici p ~~r Im a fu nz ione C'i ~ dunqu.;, riconootl.o (flalvo il CA."'O
d u bhio <iella fO n Hèt. semidetinic.a) a un proble ma p u r amcntt'l Algebrico: lo :::tudio
del segllo d c1.JtI forma q u ad ratic a. rP f(X<J ).
P er le fn n'l.io ni di duc variabili, fa d is("OlAA io rlc p recedent-E' f' il t eo rema <L4 !'ii
p 08sono eondensart> nel ~egu el1tk' CI'ilcrio:
Teorema 6.8 - S i a f(:r..y} ttfla fun;:io1U~ dt dI, c: va riabili, (Xod/ll) un punto cnttco
p a j, 11 f(xo , Yo) la matnce ht'S:;lWUl di! nel punl.o eritim. A llo m :
,
Se dci. Il I (z.o, Yo)
~
>tJ
>0
e .. .
I,e f ...~ (Xu,Yo}i: ...
< ()
I
....
i
=- 0 _.
la
fOTOll\ qlla-
c il pWltQ c:rit·joo è ...
dratica è ...
~
> 0
<O
defini ta
po~itiva
punt o di minimo
d efinita n egativa" ptluto di rna.s.siIIlQ .
pW l t o di foflUa
indefini t a
caso
dubbio
selllid efinita
Le prlnl~ trf" ;:;ituaz ioll i !;()n o iUust rate dC:llll'nt a rmenLC dai Reglic ilti ('5cmpi, in
ciasçullo df'i qua li l'orig ine io! runi ~o punto st azie)lt a rio:
f(x,y) =x'J +y'l
<iet H 1(0 , O)
=
4 , I ..·,. rn , O)
=
2: ( O, O) è punto di min imo.
i-i)
cleto H f(O,O }
= 4 , !:rz (O.O)
i.ii)
clet.
.- 2; (0, 0)
f(x , y)
H f(O , O)
=
4, : (0. 11 )
è punt e) di
è
Illll!l !)
= .t:'!
~I'J\ >'I. .
-
di
1/
m3!;:i~i Ulo .
'~>
,,
..... ./
.
C "l'itn lo l U. Calcole> diiJc ,..,nziRk pcr -"",non! r eali di piu uariabi /;
450
., , -,
(" )
Fillun, 14 G ra fi ci
d~lI~
@l>6-(I4.0 J/ioU./i
f" n:lioni '). ii), iii).
La Que.rt.a sitllaziOne d~rjtta dal teorema (caso dubb io), è illvece illustr a t a dai
p ro &<;im i rncmpi, in cia.<;cu n o dei quali l'ori gin e è l ' UTli<..'Q punto stazionario, e ta
m a triO:! hessiana. ha d e t e rmin a nte nullo in (O, O). In quest i casi la nat u r a d ei punti
crit ic i "dubbi" si d e<::ide immediat amente, r agion ando s u i grafici d elle fu n zion i
(simili r ispett ivrunc nte a q u e lli ùei tre esempi p r ecedent i) .
f (x.y) = .:z:4 +y1.
i)
f (x ,y) = _ (.:z:4
it)
(O, O) è p U nI,o d i m in imo.
+ 1/ )
(O, O) è punto d i massimo.
(O, O) è punt o di sella.
i i i)
Esempi
6 .5 .
P ossia m o Ora com pletare lo s tud io d " j plln ti cr it.ici p er la f unzio n e d e ll'esempi o 6 .1:
f (x , y )
Cnk()liarno an z it u tto la m a trice
.8 'x /
1
=
3 x?
+ y "2 _
X3 y
" ~iana.
= G - 6;r:y
H f (O, O) =
(g
~)
Ln "''i'tr in, h a d eterm in a n te pO':l itivo e p~iHlO e lelllCIllO posit ivo: d unq ue è deflllih~ p"Hi t.; VI' :
(O, tl) (, p un\.Q di mini m O rd ,uiv....
H f(..;2, v2) '"""'
( ::::~
-6)
2
La. matrice ha det e rm iwmt e negat ivo: dUIlQue è ind e fill it a : (./2. \1'2) è punto d i
H / (- h, .. y'2)
""
( ::::~
Poich é la matric., hessia u tl. " la ~te55 1l del p unto (,;2, ,;2), anch"1 ( - y"i, sdla.
6 .6 .
S l ud iare n"L'SSim i e minim i locali p e r la fu n z io n e
/ ( x , y) = x 4
_
~1lJl..
tìx~:\I2
+:v 4
V2)
è punto dì
,<~"c.'-"='c'c'c'c"c'_~
@
,,-_
_ ____________ __--,6=._O:::'=':::lm izzazioflc
, . f;"t .-emi libt'.ri
Si ha,
punti c ri tici sono dunque le soluzioni del liistelll Cl.:
x(x:.! _ 3y'1) _ O
{
y ( y2 _ 3:r.2) -= O
e di o :mseguenzll. l'unico p unl o c r itico è (O, O) (Si \'€rifkhi q ucst a. .. fif'rma:z.iollc ri;KIl~ndo il
!'ji~;tema). P o iché la f unzione è un p olinomio omogt'm ,,, di grado 4, la sua mat Ti,:c h_j ~nlt.
ne ll'or ig ilJe ho. t utti gli e lem en ti mdii (perche?), ~ uil\<i i siamo ne) t:nso dubb io. ComO),.i può
~ t ud jar c In natura di q ue;to p!l11lo? 03.'K,r Vif1I IlO c h e lun go la n 'tta ),I - O ,.. i h a
f(x, O)
= x4
che ha. un p uu t o di mini mo j " :r. = O: '"n g .. ,'asse x . perno, 1!\ fu n ....;""" ha u n punto d i
m inimo n ell'o r igine _ Lo sl.<":MV accad e lungo l 'asse ~: 1(0 , y)
y. . h wccc, )"ngo la rella
=
y = x .;i hi'l.
f (x, x )
=-
4x "
ehe ha. un pumo di m assimo in x = O. Perta nto {Q, O) non può ~re né di ma..'i»im(' nti
di m in imo: è un punto di ~lla. Questo esem pi') con ticne u n' idna gener ale: il Illodo piil
semplit:" <ii d imos tra r e , n d fla.si dubbi, che un PUlltO è di sella , i: trovare due ret.t e (a due
CUI \'(') di\"er se lungo le q \l!l.li la r est r izione di / ha una volta. u n !l\sssimu e l'a.ltra \'olta un
minimo: il p unto) allora n QU può eS$<;lre né di ma;;,;.imo n é di min imo. A li:. ,.tl"""a co ndusione
si arr iva se lungo una particolare r e t ta la rll>l~ ione ha , ne l punto, \ 110
Si no ti crU:l .
in~'ece , il fl:Ll\.() c h e lu ngo dUòl l'flU e rIiverNC la funzion e abhia lo ~tc>;f,O compOTlaIII("llo (a d
Cl';Cmpi(J, pun to d i massimo) 1I()1l pro~'a n ulla.
nesso.
6.7. (Bari r."e"fltro di TI punti nel p iarw). R.ipre ndiamù il l'Timo problema p n ,....'n t.ato nd
pa ...... graf~) fi . l , ossia la ricerca del punto c he mi nin li1;7.a le, somma. cl;:i qu adrati d elle dis l an:tc
da 7L p UlIti J>;(Xt,y.), nel piano. ] pun t i c.ritiçi dcIII. f unzione
f. ~
t
2(x - x.)
~
2(nx
/ -' 1
•
{ I li = L:
2 (y - Yi) = 2(ny
.-,
x =
~ .c-- x.
" L-1
.~
1
"
- 'C""' y,
" L-
L'anico punt<" c r it lco è d \ ln q lle il pu mo P /)(lrÙ:oenl.1tJ dd sis!.em<l d ep;li n. pu nti. L .. m atrice
h er..:;iana t:: cos t a nte:
cd " .lefi !U ~a posi l..i~.. (i" ogni rmJ.to d d p ia ..o). D\lfI(-lue il punto" eff~l..ti ~·amc .. tc di rrnu-i mo.
A bbia.In o q u mdi :;(:operto che il baricf'"ntro di " punti, nel pia lla, minin' ;-z-za la sommI'! dt'i
quadra t i dell" di."t a nz" dflgli n. p unt i.
452
6.8.
Capitolo 10 . Calc" /,, d ijfr.renrialr. per ftHIZ i oni l udi d i più v ariabili
Go)
9S ·0,.. " n .. r .ij
( Met odo dei m i nimi quadrati, retta d i nyressio "r.).
E Ca.b ) =
L (ax, +b _
y ;) z
;= l
punti cr it ic i di E s(>no soluOlioni de l segt",n t.c sistcm",
DE
= E2x j(axi + b - y , ) = O
Ba
;_ 1
(6.6)
{
DE
Db
=
E
2 ( ax ;
+b
- y')
=-o
O
.=1
Poniamo , pe r comodità
S
=
L
X iY;
(Si n o ti d,c P,Q , R , S sono q uant ità. no t e. che s i calcolano a partire .lai dat i osservati) .
s is te1ll9 (6 .6) s i può riij(,ri \"crc " Ilora ne ll a form a :
n
Pa +Qb =S
{ Q a+nb =R
Il dNerm inan te n P - Q2 ùcl s ist-ema è s e mpre positivo se n> 2 e
distinti. Infatt i nP - QZ > (I è €qu iv-«Icntc al la òiseq uazione
Ilumeri
X " Xz ,.
, Xn
;;<JnO
(r. .7)
la cui dimoot ra:r. ione è suggerit a neU' C»Brcìz.io 54.
Si t rova q u indi che l' unico p u nto crit ico d i E è il p unto
_
nH -RQ
u = nP Q"J.
b = PR-SQ
nP Q2
Per vedere che s i tratta di u n m in imo , s i p uò calçolare la matric e h essiall 3 d i E . Si trova:
che co in("jrh, con la mat.r inl d e i coefficie n t i del sist ema (6.6 ). Poich é p" - Q 2 > U e P
s i deduce c h" (il, b) ;:~ il p u n to d i m in imo cercat.o.
Appl ich iamo il proccd iITlen to alle coppie a ltcz za./ peso d ella seguente t a he lla:
___'"__t _e_"__
' "_ic'_'_c_"'
_____
p.ò!;o in kg
ll
160
163
60
61
158
170
175
178
185
72
73
74
81
190
>
O,
193
87
S i ha: P = 279176, Q = 1582, R = 6fi l. S = 117U3G . Dall e ( l :{) , fl("..c o ntent a"d oci di t re cifre
dop o il punto, >;; r icava : ii = (1 , 773 , b = - 6 2,435 , e lil retta è 11 = (l, 77:!:.': - 62,1:1.').
Q ucst ' ultima (.""<1""";0 1l(' p u ò esse re int e rpretata nel presc n te Cah() comc lilla. r e laz ion e
~ottimale" t ra peso ed a ltC".i:za d(we il c r iterio di ott.i m alit à. è quello d i rendc re minim o lo
sca rto q uad ratico tota le dai dat i dd la t.abel la. Ad r,scmpio, seco ndo q'.le;I~) legame , u,, 'Hltcz7. a
d i cm 180 dovrebbe es.... e n' corr ispoll,l en lc a.d uIl p c"",, " ideale '" d i 76,705 k g.
La figura 15 mostra i punti e la retta di regn "'s;" Tl e calcola t a :
6', OUimi",:;>;aziOfl" / , t,,,tremi libe!'i
!X)~
--
--~--
453
,-
1"""0 = - 62,43.57 -t .773022 al t C'zzn
~J
o
,
-,
!:IO ~' r
" Figi,,'" I S
6.9.
-
-
~
no
''0
S tU r:lhUllO i massimi
o,;
o'"
- ----,-1e
200
H'O
,ninillli della fU Il..tlo'l.e di t n:' l'",'ial>-ili :
"+
2y ~
+0: ~
~;x + :2 - 2z
= O
f{x ,y, ~ )- 3;t"
- 2 :u + 2:r + 2y +
Cerc hiaTTl o i I.\ln ti critici:
I~
{
=
{
111 - 4 y~ 2 = O
fz = 2 z - :lx
' ~ X
Y =- ~
21:+1=0
l' un ico p unt o c r itico è :
fll = (
-2)
o
~
-2
-\
O
(\
2
( L'hessiane. è c~ tant,e ). Dobbl eLmo ora studiaro..: ìI .-egrl o della forma q >l;,dOl.t.ica d efinita da
questa m atr ice. A pplich ia. mo il tfX.r ....roa 6.5:
dctH! =:n>o
O
del ( O
Poich é; mino r i princi pali di n ord·o,·cst s allo
il p ll llt o P è di minimo_
~) = 24> ()
~itivi ,
hl fa nna q . md r at ica è definita pOF.itiva,
O!
Eserci.d
C
Ch.t-"",ifìc3I"e le segue nti [ot'm e q uad rati<::n.'J in IR?:
2x 2
+ 3xy _
ql ( lo , y )
=
rn. { lo , y)
= 2X1 .., -1 :cy
q-J (x , y) = :r
'1~
(x . Il)
=
q~ (x , y) ~
2
+
41'11
T
."iy'-l
3.!J~
+ 4y~
JX!I
_ 270 2
...
6> 0
2:t-y - r,y~
! t."i~~Siticare , al vM'lare de! para ",,,tro n-'<llc n , la fo rma q ua<lr atica rap pn""",ntl-,t ll dalla
(IL)
Stab ilire se le sefl: uenti forme Qua drat iche s u IR!\ p055Ono e....«ere cla.'l!;it1 cate in base al
teorema 6.-':>, e in caso affermath"o dRSl"ificarie.
~
CJ
1
(Jl(X.!J,l)=X - .311 +2.: + 2:cy -2y z - 2x L
2
~
~
Q'l (z ,y,z)=- :r; - 2y -5% + 2xy +4YL
q3 (x, ,,,, z) = 2xz - 2xy - y2 - 2",z
'l"
(:1:, li, z) =
5X2 --r-
y"
+
%~
.......
2xy - 4:c z
Studi&l"e i pun ti d i massimo e min imo delle ""'suenti fun zioni:
I ( x, y )
xy :2 C - ~'. -, '
=
S ''99 t....-i.mu.1.Q: o ltre a d alc u n i punti c r iti"i isolati, che s.j studiano coi 50Liti m e t o d i, qu':.;t&
f>Ju"Iionc p.es.' nt a. u n'inter a re tta d i puu ti critici: decid e r e la nat ura di questi pun ti COli
considera.2.iù ni ~ul s<'gn~, d dla funzione.
Sugge·.-ime"tu: s tu d iare il segno di f.
f {:r: , y)
=
log {l
f(::r:,y)
=
+ x + 11 , ) ~
:12:1.1
(sil1 :3." )2 -I COSV
SII99(';rim.cnto : Ci si può lim ;ta.re Il s tu diare i pUliti ('Titici ch e cadono in
G>
!{::r: , IJ , z)=tl +
L
.~O,
2rrì X (0 ,2r.) .
:! - 2x 2 + 2:mJ - 2J;z- 4 z
m
) "tcrmi n are
e
Gellerali7.7.a re il ri.s. ult ato dell"<>;em pio 6.7 a l cas.o d i 11 p lluti nello o;pa:zio t ridimen",ionelc.
la U>lt ll r u dell 'o r igi ne per la funzione:
@
88_111l_07"- 4.7_8
455
e
Si può d imostrare che le f un"'\oni ch" so d disfano l'equ ;v;ione d i Laplac.., non ha.nno
n .fi>iSiIlli e mini mi lo c al i. Verir.care q u esto fatto per le segue n ti fun"ioni (d i cui ael1'eserc i",io
32 s i è provato che soddis fano tak equazione ) .
a} !Cx , y ) ,---- ~ '" sin y :
b) ! (x , y) = co,,, x S hy
StJ.9yni"",.do : per studiare la n a tllra dei p umi .:rH.iei du b b i , s t ud i..." , il ,*,gno di J):
t:) f( x.y) = x 3 _ :! x y 2
Su.q geri.mento: per st.urli are la n atura dci p unti cI'i!.ie i dubbi , u...ç.are il m et.odo illustra!~)
n ell'esempio 6 .6 .
C!)
Dimostr a re la disugu;t.gli'lnza (C.7 ) p~<rten do d a ll' osservazione che
•
=-
L >; +2L»X~
j -l
e inol tre
•
(l:. - J )
L X; -2 LXj
X.
-=
L (";' - x~}'l > O
j -l
7.
FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE
Nel capitolo lO a.bbia.mo affermato, giustificando l'a fferlna:.done a.ttraverso alcuni
e::Jempi, che gli insiemi definit·i nel piano d a un'equazione f (x.y ) =cost. sono
solitamente delle curw'!, dette l inee di livello dclla funzio ne z = f ( x, y )_ Quest a
affer n13zione 'v a prC::Hl con u na cer t a cautel a , COllie Inostrano i prossinli esenl p i.
Esempio
7.1.
L ' insieme definito da Ll '€qllazion e:r.:J. + y2 =-" l è una c irconferenza (curva regolm ... );
l'i n s ieme d efinito dall 'equ azione X2 + y2 = O è u n p unto (l 'origine);
l'illsiemt' d ennito da\l'wlua2.1o ne x 2 + y2 = · - 1 è vno to;
l'insieme d efinito d all '€qu;v;; o"c ,r? - y2 = O è l' unione di due fctte: y = ±x;
l' insiemt' den ni t o d all'eq uazione x 3 - y2 = () è una cun-a n On regohuc (vedi fig_ 16) .
Figura 16
Come si vecle , anche con f cstrelll:-Lmf'nt c rego lare, l'insieme di livello definito da
f (:r , y) ~ cost . non è n ee..ssariarnentc una curva, né u nR. eun-a r e g o lare_
456
Ca pitolo 10_ C avolo diJJer-er.zia/r, pc,- f unzioni n:ali di più t'ariaoili
@
{;"_ ot\_() 7~47_ ~
Poniamoci ora il p roblema d i specitleare delle condizion i l;ot.to le quali l'equazio ne j (x, y) = O defini;ce una curva regolare_ P i Ìl p recisament e , d porrenlO un
prob le ma p iù ristretto (c loca le ) :
dat a una fUTlzi one f (x, Il) definito in u.n OptTto dd pia_no e ivi t'f:~go laTe (a lmeno
Cl ) , precisare le cOlldiziOt11 sotta le quali l'equazionI'! f ( x ,y) = O d efinisce 7rrlplicitame-nte una f UTlzi_one y = g{:c) .
P e r defin izion e, qlH'sto sign ilìca c he esist.e un intervallo I dell a rett-u e un a
fun zione .4 : J _ Hl t ale che
f ( x , !/er )) = O p er og ni x E I
l nolt.re, vorremo c he ge x ) fosse a h b astanza rego lare ( a lmeno deriva h ile) .
Affi n dH~ una t a le funzio ne 9 esista, € necessario c he l' equ a zione f (x , y ) = O
sia soddisfa tta almen o i n u n punto (xo.Yo). In t a l caso bUrà g ( xo ) = Yo , e il
problema è cap ire se una t.ale g p uò essere d efinita in tu tto un into rno l di I O.
R agi oniamo a ri trooo: se u na tale fl1nz.io ne g (x ) esiste e d è derivabile in [ ,
eMendo alld le f( x, y ) d iffer e.nziabile per ipotesi , pO!:lsiamo deri vare rispetto ad x
!'identità
/(X ,9(X»
~
O
ottenendo , per il t eor ema d ì derivazione delle funzioni composte:
da
CIIi
si ricava che
!l'e x ) =
/ ,(x , g(x»
/ ,(x,g(x»
per ogn i x E I in cu i il d enominatore non s i annulla. In partico lare,
9
'(
)
Xu
=-
/, (x c,Yo )
f ll (xo , Yo)
pUTché sia f ll ( x o, Yo ) -f- O. Sot_t o i potesi rag ionevoli, l'esistenza e la d e riv-ab ilità d i
9 p o&<;ono essere cffet thrument e d i mos trate :
Teorema 7,1 (d i Diui ) S ia A u n aperto d i ffi2 te f : A --, IR tma funzion e
Gl ( A). S u.pponi amo che in un cerl,o punto ( x o,Yo) E A_ sw:
f(~·o ,
Allora es iste un intorn o I d i
Yo ) = O e f -y( x o , 110 ) i=- O
IO
in IR. e un 'u n ica f unzione 9 : [ ----' IR, tale che
f(x , g ( x » = O
(Je T'
ix (:/. ", y)
ili (:;:, y )
09n1. .1: E J
JJt:T·
ogni x E 1
( 7,1)
Si oss~rv i Ghe , es.";endo p e r ipotesi f ll contin ua, p e r il toorema d i ppr manenn:i del
segno, HC 111 n on si annulla in (::ro, lIlJ ) , IIOll s i annu llerà anche in tut.t o un into rno
(9
",,1I_03_()7~"7_ 1<
7. F" u z;o ,,; defini t e implicit'L'Jle,de
457
o pportuno di ( xo , Yo) - Questo è il IllOtivO p er c ui la for Illula di Cnktllo di .IJ' ( x)
( 7.1) si rie~e a s t a bi lire in tu tto I, e non so lo n el punto Xo iniziale.
~otiamo anche che , se f(xo,yo ) = O e f'.l( x o,Yo) = O. ma in compenso
f ",(xf) , Yo) i- O, s i può a p p licar e il t.eorema scambia ndo i ruo li d i x c y , o~sia
afferlllurc che esiste nIl intor no J d i UO e un'unica f unz·jo nc x = h(·y) definita i.n
.J , I.al e c he
J( h(y),y)
Oper o gniy EJ
f ll( x, y )
p e r ogni y E J
t,(x , y)
1,' Cy )
Esempi
7.2.
(.'om; id.,ria.Illo l'equ azione
f (x ,y) =
X2 _
y2
-1
O
=
sod d isfat.t"" ad esempio , nel p unt o ( 1 ,0) . I", (~' , y) = 2x; fl/(x 'lI) = - 2 y . P oiché f,.{x ,y) =
2 i- 0 , si può afferm a r e che es iste un int orno J d i 1J<J = O " una funzi one :J: = h (y ) definita
im plicitame n t e dall' equazion,;; ;nolt n'
- 2y
y
x
la funz io n e il s i può scrivere es plic ita m e n te:
h' ( y)
I" questo
<':<L~O
2",
h (y ) = ~
(,,;; n oti ch e l 'a lao ramo ddla c u r va, x
fi tiSa to ) .
7 .3 .
Consideri"" fl o
=
- >IV'] +
t, IlOIl paESa dal pu nto ( l , O) che " b \.> ;,ul1 o
1' ",q 'H\7.i o n~
"
soddisfat ta ad e:::empio in (0, 0 ) Poiche '1f(O, O) = 0 , n on è possibi l" applic,,"e il teorema
in. q ueH o punto . D ifatt i, ~ appi ".mo che in qu esto <:f L<;(' non è v e = c h e l 'equa:l ione detini"....-e
i mp licitamente u n 'u nic", flln",; one 11 = g(x) o '" = h{y ): ci son o d,,,; diverse funzio n i, y = +:r:
in q ues to C3>;O, ,l. , n q"" , "ade l 'unicità della rU Ilz io ne inl plicit<l.
7 .4 .
Consid e ri"H " ,I' '''1,,,v. io n c
f(x ,y) '-'
:.; 2 -+- y2
= Cl
soddisfatta. in (O , O) . P o id u', V' 1(0, O) '-'. Cl , n on è poss i b ile a pph can· il t<"Orema il\ q n(.-.;to
punto. Difatt i, !'.a P P'<lm o che in Questo c aso non ef>iste " ku ",\ f unz io ne de finita imp licita m en t e d a :;/ ~ y2 = D: l'equaz io ne € 50 ddisfatta. solo lIcll'o r ig in e . I n '1u< ,,; t o c as o, dunq u e .
",,,le r esi~t ' '''l:a delb funzione im p lk ita.
7 .5.
C<.>nsid eriamo l' equaz ione
I ( x ,,, )
=
C" !/ -,-X - y -
l = ()
s odd is fatta ad esempio in (O, O) . P o id ••,
I"
(x , y) = xe"' v - L
I~.
(O, O)
- l cf- O
pm!liFl.m o affermare che esiste un intorno J d i O" una. fu nzione 11 = 11 (x) d efinita im p lidt a-= O. Deriva"d" ri.'1pd.tQ <Id :r L'iòenliti,
me n t e dall'eq u azio n e , in /, con 11 (O)
I (x, y (x)) = 0
si o ttiene
e;oV (Y + Xli') +
l -
Y' = ()
(7.3)
da c ui
Ad cscmpio, ;/ (O) = 1. In q tlesto CII...'<O la fu nz ione 11 = 11 ( x) UOII I>i sa scrivere esplicit !\IIl~: I,te:
è proprio questo il c &,.,. pi (1 i ntl:' r~:;5a.nte . dw m()!;t ra la potenza dd teorem a . D erivand o fU u '..oPl
ambo i membri dell;, (7.:1) (p~: m;~ n do 11 = Y (.;j"' »)!li t ro"\:a:
e " Y (y -+ x y,)2 + 2y' +x y") _y" = ()
da cui, inserendo x = O, Y (O) = 0, Y' (O) = l , si ricaV1\:
,..
y" (O; = 2
Iv:rtu " lo il procedimento, possiamo calcolare le derivate sUD.X."S><ìve d i 11 (x) in :.r: - O. e
m edia.m.!:: lo lS vi lu p p <) di MacL-aur in, ave re u na b uona ap prossi m ll.7..ione di 11 (:z::) . I-'u r n ( m
conoscendone l'csl'..c.'l,.'licmc
(~pl i dt a.
Torniamo ora a l p robtenHl da. c ui siamo pa.rti t i: de!;crivere g li
d i una funz ione z = f (x, y), regolare. Sia
Ec
=
«x,y)
E
IR.? : I (x.y)
ill~i em i
d i livello
= c}
Ca.lr:o liarn o 'V I (x, y ) e cerchinmo i punti critici d i I. S upponiamo che questi lòia n o
in n u m ero finit o, o per lo u ltmo che o gll i in:::;ìemc E c contenga u n n umer o fin it.o tl i
ques t i. A Ilo ra, p reso u n pun t o qualsiasi d i Ee (salvo IlIl numero finit o d ì e<.:cezioni),
in questo punto r isu lt e rà. ap p licabile il teo rema di Dini , o..o;;sia l'in.si elllC' E c s i p otrà
r app resentare, in u n intor n o di qHel p unt.o , com e grafìo..:o d ì Ulla fun ziun e C l r!P.t
tipo y = g (x ) o ppure ùel ti p o x = h (y ). I vutori ci i c p e r {'.Hi E c contiene a lmen o un
punt.o crit ico d i l si d icono valori eritici. Se c non io un ,'alare c r itico, n c ll' inwtno
d i ogni suo p u ntu l' in::;ic mc E'c è cffc ttivan lent.e una c urva regolare. Ecco una
g iustificaz ione prccìs a del m otivo per (:u i gli im iemi E c SOIiO generalm e nte d e lle
linee (linee di livello ) .
T ut.t.i i discorsi fo tti ::;ulle fUllZion i definit e im plicit.am ente dall'cqua.'I.ion e
l (x, y) = O si p osson o g e nerolizz.arc a l caso d i funzioni rli n varia b ili . A d esempio,
c:olIsid eriamo l'~ ua.zio n c
f(x, y, 2. ) = O
(;on f d ì classe Cl , e supponiamo che sia soddisfat.ta in un certo punt.o ( xo. Yo, zo) .
C i chiediamo SE'! ~i!'!l.e u n im.orno {} di (xo ,Yo) ncl piano ed ulla funzione z =
g( x, 7/), d efin ita e regolare i n U p er cui risulti
f (x,y . .q(x, y») = O per ogni (x,y) E U
Se q u esto è vero, d {)V r à esscre (derivando r is p et t o ad x l'iden t it à p recedente):
I .. (x,
li, 9(X , 11))
+
f~ (r,
y, g(x , 11)) . gA I, y)
-= O
!i. O Uimi u nzirme lI. EJ;tremi l,incolati
459
da cui
9:z (X, Y)
I",( x,y,!}(x,y»
f~ ( x, y , !!(x, y ))
1", (xo , Yo, 20 )
f~ ( xo , Yo, ZO)
Ili (.1:, y , g (I , V )~
f ll (xo , Yo, IO )
Ic(.1:, y,!} (X, y ))
fz(xQ , Va , 20 )
(7.4 )
Anal ogamente
(7 .5 )
purc.hé s ia f" C:r o, !Jo, ZiI) f. O. S i cap isc e a llora come ~i gen erali zzi il t eorema di
D ini: sc f (x o,Yo , ZQ) = O c f z. (xo , Yo , I O) =F O, e:;ist.e un intorno di (xo, Yo ) e un'u n ica funzione z = !l(x , y ) d e finita implic itamente dall'equazione f(x ,y, z) = 0,
per c ui valgono le ( 7.4)- ( ì .5 ). Se l a d eriva t a !z(:J:o , Yo,zo) si a n n ulla, ma in compenso un'alt.ra d elle due Hon si annulla, Ri potrà esplicitare la variabi le corrispond ent e, rispe tto fille r imanenti d ue, e s i ot te rranno fonn ule analoghe. Il le l tore è
i nvi t.ato, p er esercizio , a scr iver e le formule che assegnano le due d erivate parziali d ella fun z·ione definita iruplicit.amcnte, in ciascu no d ei casi fx(xo , Yo, zo ) t-
O, 111 (xu . Yo , z o) #- o.
Esercizi
~
"
Verificare c h e l'equaz ione
xe" + y e"" = 0
ddìn iscc imp li<:ilmnc u tc una funzi",,.. Y = g(x) i n un i n t.orno di :L. =
g" «(J ) , e scd vere l o svilu p po d i }"lacLau ri n al ""-'<,:o n da ord ine per f) .
m
S i p rov i che per tut t i
j
valori di
<:
(l .
Calcola~
g'(O) e
tranne {h l e , )'jns \e m" di livello E~ d e lla fu",.. ione
f( x, y )
=
x 3 + y3 _ :'lxy
r is ulta u n a curva regolar". Si det ermi nino i due valori critici c.
$
Verificare che l'equazione
er o " t
;J? - y "J
_ c(x
+ 1) -1
= O
definisce im p licitame n t e y = g ( x ) in un intorn o di x = Cl, con f (O) =
è punto di mi ni m o p n ! .
c;I)
Verifica re ch e l 'equaz;mw
arctgz
+ xy 2
+xz .,. y" _ l
dellni,a:c i mp lici t a.ment.e z = g(x , y ) in un int or n o d i (q . t augente al grafico di z = g(x, y ) in ta le punto.
B.
B.I.
1. P rovare che x = O
=
1,
Cl
O). SCTivere l' eq uaz iono' d d p iiUlO
OTTIMIZZAZIQNE I L ESTREMI VINCOLATI
Problemi con vincoli
I n nlOlti problemi concreti di ott.imizzazio n c , le varia b ili i n d i p endent.i sono sogget.te a ..... incoli d i vario t. ip o. I d u e esempi segue nti, trat t.i dalla nlcccan ica das~i ca
c dalla m icr oecoHomia ele m entare . dov rehh p.ro d are u rl'idea dell 'importa nza di
q llest.o tipo d i prob lf'mi.
460
Capitolo 10_ Cal colo aiJjcn nzi.ale per funzion-i ""ali di p iù variabili
@,,::;_(}I! _0 7S47_ "
• Equilibrio v in colato . Supponiamo che il punt.o di appl ica zione d i una forza p iana
cOIlservati-va F sia vincolato snlza attrito ad una. linea; di equi'tLione g (:I::, y) = O.
Si vogliono det.ermi nare i punti di equilibrio stabile. P oiché F è coIlliervativa, esist e
un potenziale V tale che F = V'V ed il problen lu è ricondotto fI. determinare i
pu nt i di minimo d ell'energia potenzia le E = -li', flo g geUi al vincolo g (x , y) = O;
scriveremo in silllboli:
min E
sub
{
g(x, y) = O
• Alassimo prodol-to sotto 't!incolo di budget. Consideriamo un s is tema microeconomic o in c ui i fatt ori di produzio ne siano il capit ale, K, e il la.voro, L. Si;}.
Y = Q{I( , L ) l a fun zione di produzione, dove f(, L sono misurati in uni tà di
val u ta corrent e , per e~e mpio , in cur·o, m e nt:re Y, qnant.ità pro dotta, è rni::lUruta
in re laz iolle al bene prodo tt.o.
Un problelna econom icamente interessante è nluss i mizzare Y soddisfacendo
un vincol o s u i fatto ri prod uttivi. È ragionevole, infat.ti, che l'azienda disponga di
un a.s.~egnato budget b > 0, con cui acquistare i servizi di c..apit.ale e lavoro. Se
un'u n i tà di capitale costa Pc,,",p, e una di lavor o costa P hw , la spesa per l'acquisto
della combinazione di faUori ( K , D) r isu lta K1)c a p + L]ìt,w .
Supponiamo c he la spesa non possa. eccedere il budge t . Ci troviamo allo r a
d i fronte al problema. di det erminare quali copp ie ( g- , L' ) massimizzano Y nel
riflpetto della. cond izione di budget. K PC""l' + I~P[a~. ~ b.
È piuttost o oV\--io che non conviene sot.tou t.ilizzure i l b u dget- per cui Olia coppia o t t.ima. ( K*, L'), cile c ioè massim i-M,a y, rispet.terà l a condizione di budge t.:
I(·pca.p + L*Plav = b.
Il problema ch e interessa risolvere è qui ndi il seguente
maxQ ( K , L )
{
s ub
KP~aJ>
+
LPI"-~ = h
Guidati dagli esempi p receden t.i, formali zziamo u n problema di estr emo vincolato,
limi t a.ndoci al caso più semplice in eui la funzione obiettivo J ( d :.i ottimizza re)
d i penda da due variabi li le gate da un'eq uazione di vinc o lo:
dat~ du e funzioni f = j(.T, y) e 9 = g{x , V). dotaf-é d'i derit:ate paniali contintu: in
un aperto A del pùmo, s i vogliono de t erminare g li eslremi di f sotto la condizione
di v-incolo g (x , y) = b, b E 1Ft-
Si p uò scrivere sinteti came n te
m~x
f
sub
{
g{x,y) = /)
a seco n da che s i trat.t.i di un probl ema di mussimo o di minimo v inco lat.o, r ispettivcl.ment e.
@ M-06.oT M"C-~·_
_ ___________
-,8"-_O",t~"eme,,"'c·,,=,,,·
,,"C
~· -""lc'-,EO""''-''''e'"''_'"'e,",=
""Ia"'"t,--_~
4~6~1
Il r isulta.to geom etrico è illusuat o in figura 17. Si n oti ch e, co m e cseIl)p lilì.co. la
fi g ura. r ipo rtat a, u n punt o rli massimo per f (x ,y) sogget t.o al v incolo g (x,y) = /1
non è neCe!'sariamen t e un punto d i m assim o lUl:ale per f (x , y ) come funzione in
IR~: n o n si tratta q ui ndi semplicemente rli d eter min are g li estrem i lib cri e poi "cd ue se quulcullo d i essi cad e sulla curva d escr itta. d al v in colo, ma d i mas!>im i7.zare
(min imi:':'Mlrc) la rest7'1zione di J al vincolo (che è u na fun zione dù;ersa d a f ),
,
,
~
y(:t,v} "' l.
~~- ...."
punto di
Figura 17
w1\.< ~mcolaw
c
La sit.uazio n e p iù favo r evo le q udla in c u i l 'equaz ione d i v incolo g(x,!I} = b defiIl.Ìsce esplie itamcnt.c y
y(x) o p p ure x ,.., x ( y) o ppure , p iù iu ~enen'lJe , denl)i~ct:
_ un a C llrWl ..., di equazioni p a ramct rich e x = x(t ), y = y (t), t, E J. con [ in terva llo
cont.en u t o in IR.
Il proble m a è allo ra. r ioon rlotto alla ricerca d egli estremi d ella. funzione, reale
=
di \'ariabilc r cale
nell'in t.ervallo I .
Esemptao'
(V17l(_~)I(, up liclfabil,:) Riprcndia mo il problema de l massimo prodo tt o :;cep;liendo
fu nzlollC d i p roduzi one la "'~ ~\l()nl.e (d i Coòb-Dollglas)
8,1.
Y = aK'~[JI - <>
(J,>()
(:0111 (,
0< 0 <1
Il pro b lema è d uuqu e
In axl<"Ll- ~
{
»,,10
J(PC'l-P
C i si r ko ndu<:c se nz<I indugio ad
r in' ''.ll I(J<1 d Al " in{'o lo
U ll
+
J'Pi~v "" b
(b
>
O)
p roble m a Hbew p e r un a ftlll:t;iolle di u n a variabile ,
l<
=
b - L Pl. ,·
PUi'
Si lrat\.(o ù i masi.im it.za re la fu m:i (ln c della so la I.
'@
"-'"C~O'"~O'"'"
"O,"-,
"_
_ _________ _ _ "8C-"O~,ttlmizuu:ionc
11. c'lI,,'t.'1l1i vin colati
463
La r ìspo:'lta Ri p uò dare ahh asLanza facilmen t e se f>llp poniamo ch e il n<X:it.ro punt,()
d i estre m o (x· , y . ) s i a re90lare per il v inco lo 5}(:1:, y ) = b, c cioè
"g (x ' ,y' ) "" (0 , 0)
In t al caso, J*.r il teorema. d i D illi, l' equaz ione d i vincolo denn il"Ce im plicitome !tt e
Iln arco d i curva. regolare. passa nt.e per (x ' , y ' ). La cond hdollc ncc-cssaria affinch é
qucst.o p unto s ia. di est·remo p er la f vincolat a, analoga a l t eorem a d i Ferma.to,
è du nqud che s ia. nulla la der wa ta diT~zi o n al e d i f nell a d irezion e tangent e aliti
curva descrit ta dal vincolo:
D tf (x ' ,1,1 ' )
=
O
con t = ve rso r~ tan gen tI'! a.l vi nco lo. Q Ud\;ta, infa t ti, è l'unic a d ir ezione a mmissibile. P e r la fo rm u la d ci g r adie nte, dò signifi ca.
"V f (x." , I}' )' t = O
ossia o r oogontt.iìtà t ra. 'V I(x' , y" ) e t . R i<.:ordiam o o ra c h e a n che il \re t tore
V !I{ x' ,y' ) è ortogonale a t ( vedi par. 4. 4. esem pio 4 .8) , p erciò i due vettor'i
V f (x' , y ' ), V' g(x· , y' ) devo no essere paralleli .
L a. conclusione è espressa nel seguen t-e
TeOt'ema 8 .1 - Se (x ' . y . ) è punto di estrem,o 1JÌn colato per
g(x ,y) = Il e V'g (x' ,y' ) =F (0.0) allora eSMte). " t ale che
l'' I (I ' , V' ) -- -" " g(x' , V' ) !
f
30ttO il t'ineoia
(8 _2 )
Il n ume ro ). " si chiama. moltiplicato re d i Lag range . L a. ( 8. ~ ) el:;prim e il fat t o
che se (.1: - , y " ) verifica le i p o t e:;j del t eore ma, alloru la derivata di f lungo la
t angente al vincolo si dellf'; annullare. È qu ~ t. ;1. lo. cor retta. gt:lTleralizzazio ue del
t t!o re m a d i Fe r lJlat al caso d egli estrem i v incola t.i .
[ nt. r od ucendo lo. fun,done C = C(x , y. ).), de tta L agmngi an(l, d eSull ta d a
CC", y , -'l; ~
[(x, y) ~
Alò -
g (x, y)J
il t co rc mi:t afferm a d le se (x ' ,y" ) è punt o dl estN!mo vincolat o, allora e ,~ ist ~ >. tale
che il punto (x ' , y ' , ). - ) ,~ia p'll.nto c1i tico libero pv' L. . Inf atti i pun ti f: r it ici di L.
so n o soluzioni d el sistema:
(8_3)
le p r i nl~ d ue eq uazioni coi n cidon o con la (S.3) m e nt re la terza e:;pri me la con di4
z ion e di v in co lo.
L 8. tooria sviluppa.ta illdica il seg u ente m odo (:li p rocedere, flt)to come me/ odo
dc i moltiphcatori d i Lagraflge.
a ) S i b ola.n o g li evcn t u a li p uu ti n o n regolar i dcll'i ns i em~ g (x .y) = b, che "anno
esami n at.i H. p arte;
h ) t'i cerc;ano i punti critic i li ber i d ella lagrangi a n a , c ci ~ le soluzioni delsi:,.te m a
(8_3);
,0
"-'"C~
O'"~='"'"
"O,"-,
"_
_ ________ _ _
~8C
- oO"tt lmizuuionc Il. ellt''f:1II; vincolaI.
40:i
La rispmita !Ii può dar e abhastanza faci lm e nte se supponiamo d le il no:;tro punt o
di estremo (x ~ , y. ) sia r e90lare per il vinçolo g(:1:, y ) = b, c cioè
'V'g(x" ,V" )" (0 . 0)
III tal c&''>O, p€ r il tflOrc ma (li D illi, l'equazione d i vincolo d e flnif\ce implicitame nte
Hn arco d i curva regolare. passunt.e per (x · , y ' ). L a conu j,donc n C('~s ari a a ffinché
qucst-O punto s ia di est.rerno per la f vincolata, analoga al t~rema d i Fermar"
è dunq u d c he s ia nnHa la derulata direzi onale d i f nella. dir ezion e tangen t e aHI:l
curva descrit t a d al Vill<;lJlo:
con t = ve rsa re tangente a l v incolo. Quest8, infatti, è l'unica d ir ezio ne anUlI issib ile. P e r la fo rmula d ci gradiente, dò signific:a
'Vf (x" , -y· )· t = o
ossia o r togonaLità tra "V I (x ' , y- ) e t . Ricordiam o o rli chc ancht! il ,rett ore
V!I{x' ,y' ) è ort ogonale a t (vedi par. 4.4. esempio 4 .8), jJerciò i due vettori
V f (x ' , y ' ), "\7 g( x ' , y . ) devono eS$F.t'C paral leli .
L a. conclusione è espressa llel segucnte
Teorema 8 .1 - S e (x · ,y· ) è punto dì es t~mo Tnn colat.a per
g (x , y) = Il e vg (x ' ,11' ) '" (O. O) allora e.srste À ' t ale che
I Vf (x · ,y· ) ~..\ · 'V'g(x " , y" )!
f !Jotto il "t."incolo
(8.2 )
Il numero À ' si chiam a molt ip lica t ore di Lagrange. L a. (8. 2 ) esp ri me il fa t to
che se (.T, . , y '" ) verifica le i p ot~j del teo re m a, a/lam la d eri:uata di f lungo la
t angente al vincolo $i d Clle annullare. È qUd ta lo. corretta gen e ralizzazio lle del
tt!o rema d i Fer mat al caso d egli estremi v incolat i .
l ntroducendo la fun"done C = l:(x , y,À), detta Lagmngiana, d efmita eta
1:(x , y , A);
~
f(x , y)
+
AI/. - g (x, y)1
i l t eo rema afferm a elle se (x' ,y. ) è pu nto di estff.mo vincolat o, allmu e."Ji.~t ~ ). tale
che il punto (x*, y ', )..*) $ia ptLnto efitico libero PCT" .c. I nfiltt-i i punti eriNci di
.c
sono soluzioni del sistema:
(8.3)
le priUlp. due equazioni c.o incidono con la (8 .3) ment re lo. t-cru e;primc la condi·
z ione di v in colo.
L tt t.eoria ~vil uppat a Iudica iL segu ente m o do di proc.cdcre, !l()to come 1Tlt<l od. o
dc i moltiplicatori d i La.grallge.
a ) S i isolan o g li e \'cn t u a li pun ti no n rego lttri dcll'i ru;ieme g (x. ·y ) = b, c he '-'.m no
esami llat.i a parte;
h ) I:'i cerc:.a.no i p unti critici libe r i della lagrangjuna , e c ioè le 8t) lu zioni d e l si:,.tema
(8_0);
Capi!vlo IV. C a lco lo differe nz'aJ.e per f u n zioni n'ali di più "variabili
464
@
""- ' '''·0 7547_8
c) si determi.na la. nat,uHI. dei punt.i crit ici. A quc~to propos it o ris ulta spesso utile
i l tcorelna d i \Veicrstrass , COlnc si ·...ede n e l seg uente C'scIupio.
Esempio
8.2. Si vog liono detennin:u-e gli (,,,lrenli de lla funzione f(x, y ) = X", ROggetti al v ill( ~)lo
g(x. y ) = X2 _ xy + y' _ 1 = O r ~ )
1--", funzioni f e 9 sono d i class e Cl OR" ) e n o n v i sono punti singolari in .Q( x , y) = (). L a
lagrfl.ngiana è .e (x, y , >') = xy - À{X2 - xy --'- y" - l) . I p un t i r.; ritici sono s oluzioni del 5e)!;uent e
sisteUIB-:
f~
{
-
>'~h = Y - 2À;r.
1" -
),g"
g(x,y) =
=
T
Ày
=O
2Ày + À x =- O
",2 _ . ."ll + y2
1 = (1
x -
±(
dlO' h~. come soluzion i: {l, l , I ) ( -- 1 , - L I ), ~~~ ( l , - 1, - 1/...;3),
- 1. 1, - 1.1 ,,/:l) .
Dunq u e vi sono q uattro punt_Ì critici v incolat.i : P o = ( l , l ), P I = ( - l , - l) . P2
-73(1, -1) , P ~ = -js( - l , l ) .
Or<j., esse ndo E o = {( x , y) E IR:l
g {x ,y) = O} u n insieme c hiuso e linlitah ) ed f
coutinu,,!-, i l t;eoren la di \Veierstrass ( vedi par. 3 .2 ) assicura 1'<3b;bten z a d i un p unto di mass im o
e uno di m inim o. P o ;d,é J( I, 1) = J ( - L - ·1 ) = 1 e J( - 1/ ./3, 1/ ....'3) = J(l / .,;3, - 1/..)3)
- 1/3 si d educe cile p c p, !iono pl.lnti di massimo g lobali e P2, P 3 di rni u imo gl ol ".li .
Il tcorenla 8. 1 ha un' int.ere&;.klnte int erpreta.. ione geome trica.
IntroduciarrlO l a famiglia degli insiemi di livello d i j, defìniti dall 'eq u azio n e
f (x, y ) ~ c, (c E IR),
Osscr\"ia.mo che il vine-Olo E o corrisponde all'insieme di livello zero di g . Sia
o r a (xo , Yo) punto critico condb:ionato e j(xo , Yo ) = Co il livello cri t ic o co rn.;;pon de nte. E ssendo per ipot esi V' g (xo , Yo) -=I=- O dalla (8.3 ) s i deduce che :
= O allora v f (xo ,yo)
livello crit.ica;
se Ào
=
O e il punto ( x u, Yo) è singolare per In linea di
se invece Ào -=I- 0, allora la linea di li vello critica è tanp;elll.e al 'v incolo nel
punto ( x o, Yo) .
L a s econda alternatLva è illu::;tr ai..a in fig.'ura 18, in r Lferime l lì.o al prob lem a
Il vincolo
~ u~ 'cllissc . ce.nt r a t:-- n ell'orLgi ne eon assi. nelle
ç
dlrczlolll y = x e y = .. x 8 dlametn l unghi n speU l,'u mente 2 \12 e ·2-J2/ 3. Le
linee di livello di f son o iperb oli e quilatere di equazio ne xy ..:,- c ( du e ra.mi per o gni
valore d i c ). I livelli c = l e c = -1/ 3, corri3pondent-i agl j est.rcmi condizio nat.i,
SOIlO t angellti all'ellisse nei pu nti cri tici .
d,:l1',,:,e~lpio .s.2.
e,o
• Sirf'll.ificato del m oltiplicat ore . Il molti p lica to re ). ~ non è IHl semp lice element.o
accC!:;8orio Tna ha un sigllificat.o n otevo le, che segnalian lo in illOdo l UI po' infornlale.
Un'info nnazio ne inl]l OrLullt.p. in un problc n la d i ottimizzazionc vinc o lata è
la mis'u Ta della sensihi lità. del v a lo re e :;t renlo della flln .. ione obietti.v o (lllfl.Ss iruo
o ,ninirno) quan do ~i varia la c o stante b cbe appare n ell'c q u<'I."J\iol l€ di vincolo .
---------
(~,) A n che
se i,~ ~~~l~' caso il vi n colo si prcHta a.d UIl<l ..ap pres~!l1.a7;ione paramet,'iea g loba.k
è forse p iù gcm p lic<' r icorr"r e al meto do d ei 1110ltipl icato ri di Lagrang".
8.
Ot timi:':'1lz10f\.C
,,
Xy = _.l
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c,
•,
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F iau ra 18
-'..:- -
"i3
- 1
E.~t1"emi
,,
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------ ---
,,
lI.
I
Pcn:;and o , ad c::;e.m p io, a l c a.'òQ della pn)du~io ne ott im a., b rap p resen t.a il limit e di
b urlgc t. cd è d i indu b l"io i nlf'! rf'!5SC :;w b ilil'e di qu a nt o V". lr ia l o. p rodu z ion f! m a.ssi m a
....aria n d o t ale lim iLe .
S u ppon iamo ch e , p e r ogni b in un in terva llo h = ( b1 , b 2 ) si t ro .... i un ....a lore
o t timo, ad esempio di m a.ssim o , p e r la funz ion e i, so t t.o la cond b-.ìone g(x , y ) = b.
P e r sot LOlinearp, lo. d ipenden za d a b, scr iv iamo
x ' ~ x ' (b)
y . = 1/ (b)
per il punte. d i m assim o
" ~ " (b)
per il molt ip lica.t.or€ associ ato
c
M (b)
~
i (x ' (b), y ' (b))
p er il mfl.Ssi mo
\·i n {~o l a t o
di
i
Va lgono q llin d i le con dizio n i d e l p rimo or d ine:
l.:C;:c · ( /)), y . ( b)) = ). . ( b )y z( x · ( b ) , y . ( b})
(8A )
i, (x ' (b), y ' (b)) ~ ),' (h)g,(x' (b), y' (b))
-' (8.5)
g( x ' (b) , y ' (b))
~
b
p er ogn i li nell'inter vallo I l> .
De r ivi a m o rispet t o a Il la (S .6 ) ; Ri l fova
(8 ,6 )
Cap~l olo
466
lO. Culcow cliifero:ruiale per. fun zio n, reali ,li più variaolU
{\'lolti plichiarno p er .\* (b) entramb i i membri d i <l ll ~sta equaz ione
c (8 .5), otteniamo
d •
d •
1,(x ' (b),y' (I> )) :;, + 1, (x ' (b) , y' (b)) :b ~ ), (b)
~,
@lSS_Of>.07547.lS
usand o (8.4)
(8 ,7)
D 'alt.fa p arte, ab biam o a n che:
M '( b)
~ 1,(x' (b), y ' (b)) d;; + 1,(x ' (b), Y' ( b)) ~
per cui, dalla (8.8 ) si deduce
1 ~~
formula
M' (b)
0,
~
" ' (b)
in tcrmini di differcnziale,
(8,8)
Il mo lt iplic awre ,\ " Cb) rapprc.<;f!n t R. dUIIQut! la velocità di variazione d cl,.. valore
o"ttimo rispet t o a h.
In termini economici, la (8.8) indica di qua.nto a umenta la produzione otti ma
in couseguer.:t.8 di un aumento un it.ario d i budge t : f::,. Af;::;; .\ · 6.h.
Esempi
Risolviamo il pco b lem .. di m eccan ica cl"mcnW'l:l p06to all' in i".io del par8gTafo.
U sando li m etodo dei molti p licato ri , si ottie... ' d le nei pu nti di equilibrio (anche q uell i
nO n s t abili, in realtà) , dc v", ""i"tI'TFI), " t a le che
8.3.
F= V V = ), "
(8.9)
La (8 .9) im lÌ<:i1 (:1.... F d eve cs.<;.crc clirc tti;l. come la reazio ne v incolare, ort0 l!pnale al v;'Kolo.
8.4.
Nel caso m; c r oeoo' K>rn;co, n lll punto .:Ii oH.imo si d...,,,e 3 \'ere
'VQ
=
)". 'Vg
equival"nt " "
QK = >.."gK
QL = )'"!lL
che, se gL
#- 0 ,
S! può M:r i",·.. rc .. <'lil. fo rm a
Q"-K~~~
9K--':
CI
QL
Pr,r esemp io, s.: Q ( K , L ) = o.K " L l - u (a > 0,
LPIav = b, nel p Ull1.0 di ot.timo s i de',E" avere ,
"c'c
'Cl,:,.,
(l - o )K
II L
o
=
i
<
O·, l ) e il vin colo di bilau"" ) è KP<c_
~~
P1 .. ~
cI,e re gola le qua.nt it à ottime di la\"corn e capiLale in run2 io u.· dei pre=i relativi.
+
8. Oltmuzzanone Il. Estrt.'mt tnn.colati
G>
D eter mi na rE- pi e;[n~mj di f (oI:, lI ) = :r ~ + 3y con il vincolo g (z, y) -== ".~ + ~
sia esplicitGndo il v;m:olo I;ia Il~i. lLdo il met odo do:!i lUol tipli ca.t.o~i d i L ag rHugc .
cm»
-
l = O
I)eterno inru't' llIHi i punti di ffiIlSIl.imo e min imo assoluti d ella fu nzio ne
sogget ta al vinco]"
~
467
:r3 / 2
+ yl ! ~
_ J.
Determ i"a re h ltti i l', mtl di m ~",~ imu c m i" imo esso luh della fu mdol1(:
f (x,y) = x~y+ ~ y~
••
ooggerta " I vinco lo :.:2 ..;.. y ' = J .
~ Un a H!!]]" metallico ",i muove se nza at t r ito IvnSI) 11 0 filo l, iano ..,.. dì eq un.:do ur. y = (x-l)$,
sott o l'a2 io ne ddla fo r za (pi<lnt\) centrale
F (x,1I) = -
z
V/ x"Z .... V'l
i -
--;r:fYc==~j
';X2
+ y2
Quali sono i p vnti d i equilibrio s t ,.hile pc, l'aneIlQ?
Ci)
Un g arage " ff,c un ser viz io di aut.omobili ~ l au t oca n i, con furo "J',hme d i prod mo:iollc
uni t a r io dci lavoro è 6 ~, <l'lella del ca pitale è 3 €. Il bud g.:t pre\,;"t.o è 450 ~ .
l)sace il m etodo d e i molti pli.;atori di Lagrange p er rn rlSS i mi"'7.a ~" Q , col b udget f'r evisto.
Valu UU"e se, con q ve.t i cost.i. il pfOl',i" t acio puil p e nsa re di a um en t a Te il b udget. pet" tl\ e..re
u n aumen t o d el mlL'lSim o di p roduz.i one de l 109'(;.
Suggcnmfir'lto : r icordare che 6 Q ,n;o>. ~ >" ~ b.
Il .:o.o;t"
CI)
AnaJ i"l,7.lU:e il p roblema del massim o d i p roduzio ne coi m o lt ip licatori di Lagrange q VH.r.d o
.. , a> O, [) < 0- < 1.
Y = a.K"L 1 .
8 .3 .
Punti di sella della lagrangiana
Ab b iamo visto che se (I O, y . ) è u n punt.o d i estre mo p er f Ro tto il villcolo g (3:, y) =
be '\7!I( X· . y O) =I- (0, 0 ), allora. eshite ). . t ale che' il punto (x ' , Il' , ). ' ) è staziona rio
p er la la.g riUlgill.na
C(x. y • .Il ~ f (x •• } + .\ [b - g( x, y )J
È , quindi , qllC5t u una. co nd iziont' nece;saria del .1~ ordinc, ch e un punto d i est·rt" mo
vi.ncola t o deve soddisfare.
La ric,:ercu .tei p u n t i di cst.remo vi ncolato può seguir e UII >l. via legger ll\f!nt e
d iven;.a, punto d i partenza. per la cosidden>l. teQ1-10 della dtwlitd. im portante p er
la r isolu zione' lLumeric a. di problem i di ottimizzuzione .
468
Capi tolo IO. Ca/mio differenziale pe r" funz i oni reali di p iù tlGriahili.
C9
~H-O 'i---07""'7_~
C i riferiamo qui a l problema della ricerca dei massimi vi ncola ti:
m= !
{
~mb
9(:( , U)
(P )
=
b
TI lettore d ovrebbe essere in grado di modificare il d iscor.:'-O nel caso della r ice rca
di m i n imi per j.
Introd u ciamo anzitutto hl. Il(y.t;iolle di punto di .~el la per
.c.
Definizione 8.2 - Un punto (x ' , y ' • .A'l si d ice punto di /je[ /o per C se:
(z~f:AC ( X :y,À' ) = (x',y',),* ) = ninC (x',y', À)
In a ltri term in i, se (x' ,y' ,À * ) è p unt o d i sella per L si ha:
• C (x ' , 1/ 0, ). *) è il massimo d i L rispetto a.d (x, y) con À* fissat o
• .c(x' , y ' , ). ' ) è LI minimo d i C rispett.o a ). con ( x ° , y' ) fissato.
Vale il seguente t eorema
TetK"em<l 8 .3 - Se (XL , y ' , À·) è Tltl7lt o d i t;ellv. per L , allora (X o,y' ) è soluzione
di (P ).
Dimo5trazione. P er d efi n i",ione di pUlit o di sella. wl l" l..
C ( x , y,), - )
~
~egu ente
doppill
di ~uguagli am"a :
L(x· ,y· ,),·)::; C(x · ,y·,>. )
per ogni>' E IR e per ogni (x , y ) E A, do mi n io di
La disug\lagliam:a d i deHra eq ai valc a
f
e g.
(>.' - ..\)[b - g(x ' , ti ' ») :'S O
"on~ do valere per CIgn i ), n~aIe , implica b - .fI(x - , y') = O ~ quindi (:c. , y - )
v in co lo . Sotto questa cond iz ione, la disuguaglianza di sinistra d iventa.
cl"',
-,(X, lI)
+)' - ~b -
ri~pcufl.
il
g (x , ylj ::; f(z ' , y ')
c h e , se ci si lim ita a punt i che ris pd t an o il vincolo, si riduce a
f(x ,y) :'S f(x' ,y")
per cui
Cl' ""y " )
è s"I Uolion ... d el p roblema ( P ) .
D
'W
,
11\ . -'
.
_',
,,
Il
L
Calcolo differenziale
per funzioni di più variabili
a valori vettoriali
FUNZIONI DI PiÙ VARIABILI A VALORI VETTORIAlI : GENERALITÀ
Faccia.m o o r a l'u ltimo p as .<;() dell 'cstcn :;io ne dc ll' in~ i emc di fun zioni ('.h p. stud iamo,
e consideria.mo f unzio1Ù di più v ariabili, a. valori fJett o7'iali, 0..'>8ia. funzioni
f : IRn
_
ffi'"
Ci son o m olt i esem ll i di v ggett.i fìsici , g corn e t.r k i, ecc: . rappresentati da qll ~ li
o gget t i matefll1'!.t icì. In pa,rticolar c, illl;ontre rCIllo t re cla.<;s i d i esellLpi di questo
t ipo ;
super fici in forma p a.rrunctrica
t r~fOrIl IR.z ì oni di coo rdinat e
campi v e;;(.wriali
1.1 .
Superfici in forma parametrica
A bbiamo vist o (U:lp . 9) che una curva p iana in forma pararnctrica è una fumdone
che d~rive ulla linea più genfl:falc di que lla che p uò essere descr it l.a com e grafico
d i una funzione di u na variabile. Ad esempi o , la drcon ferenza è fa pprcscnlabile
corrltl c nrva in fo rUla p a.r arn~t.ric a, ma non com e grQ,fico dì fllnzi o n c ,
Analogamcntt:, il grafico d i u n a funz io ne z = f (x, y) è una superficie i II
In?, ma. n o n ogn i Ruperficie "rag ionevo le" può essere g r afico di ull a fu nzionc d i
d ue var ia bi li. P e r ese mpio , una. s fera n on è il grafico di una funzi o ne di duc var iabili (p erché uno s (.eS,"IO punto (:.c, y ) individ ue r e b be d ue punti aventi ordinate
z d ive rse, con t r o lA. dcfinizioll€ di funzione) , Per r1'\.p prescntare una sup erficie
come u n a !:iferi:L, un ellis.',oide, CCC. , o CC.Ofl'C uur. rap p rcse.nt azione pararnctriea,
a n !'l logamente a quanto a ccade per le c un'C. L e tre coordi n a t e dci punt o mohile sulla superficie dipendt! r .u mo questa vo lta da (J,1, e parametn (t, u), r:nerc u tement.e al fa tto che u n punto vinco la t.o a muoversi s u una super ficie assegnar,a
h a flue padi di libertà (può scegliere , in ogIli punto, tra d ue direzioni o rtogonali
d ì rnot.()) .
L 'oggetto In ttt ematico r:he o tten iamo, detto wllpeffi· ci~: in forma 1)m'a71~ffr"U: fl,
Ì:! qui ndi lllla funz ione
470
Cap ilolo J 1. Punzioni di pu' "m-i,!b ih " va lori 'I lettoriah
@88-08-O 'I'1I 4'1'.S
(x,y , z ) e
COli r
{ .~ :;:: ::!
2
=
(t, u) E ..'1.
z{t ,u)
dove A è un'opportu na r egione d el p ia no
Ire.
Esempio
1.1.
L a sfcrH d i r aggio R" c""no l 'or ig i"" ha
{
X
= Rsin <{JcosO
li
=-
Rs i n'Psin(j
rappre~Cll bl7.i(:m""
con
y:>
E [O,,,,: . () E (0 , 2::<)
z = Rcog op
S i n oti che R è fissato , m e ntre i due parametri ('P , O) sono
alla co latittldin" e «\la longit,tdÙH' (fi g . l) .
Fig ura l
parametrica
corri~pun d, mti , riS )lC lt '_m., ,,t<J,
La supe ri; ,, ;.. s f", r, c::a d i ra ggio R. " c: .. ntro l'orig ine .
Vedr emo in seguito come ~i ~c.ri vono le e q uazioni parum e t,riche di a ltre superfici
notevo li. AI solito, è fondamentale precisare l' insiClllc in cui va r iano i parametri. A d esemp io, le s t esse equazion i param c triche d ell'esempio precedente, con
'P E [0, 7./ 4]' (J E [0.27r) r app resenterebbero u n a ca.Lotta s ferica, mentre con lc
condi:zioni :.p E [O, 11], (} E [O, 1f / 6 ] rapp resent erebbero uno "sp icchio" sulla s fera .
L o s tudente r a gioni per rendersi conto d e l mo t ivo .
Osservazione 1.1 - TI lettore p ot rebbe chie d ersi perché d sia b isop;uo d i usare
le "compLica t e " equazio n i p aralnetriche p e r rap p r esentare un oggett o eOlne IIna
s fera , anzic hé la sem plice e q uazione X2 + y 2 + Z2 = R 2 . li segu it o d e l d i&::OfSO
most rerà va ri uti lizzi delle formu le p a rarnet. riche, ma fin d'ora s i p u ò osservare
che le equazioni par a rnetriche contengo n o un i nsieme d i i s tnui on i eBplici te con
cui ad ~Inpio un cOInput.er p u ò t nuxiare la superficie , unendo i punt i (x, y , z )
che corris pond ono a u n in s ieme a b bast.'ln :Za. Jìlto d i coppie Ct, H) . Per contro. non
esis t.e alc u n !neto do ge nerale p er dct c rnl inare il g r afico d i UTl a superficie assegnata
nella for ma cartesiana f(x, y , .z ) = O.
1 . Funzioni di più t"tlriabili " lo'a/orl lldtoriali:'
1.2.
q"nerulità.
471
Trasformazioni di coordinate
U n ei:iCm p io importante d i funzione f : IR" - .,. rn." (cioè CO I! domi n io e codomi ll io
d ella st.e%<\ dimens ionc~ è dato d<llle tra~forrfl az i oni d i coor d inate in IR". G li
esemp i tipici in 1R 2 e JR ,çhe ~ranno u tili nel seguito , ~OTlO i segllel lti .
Coordinate polari nel piano
Il punto (x . y) E IFe p u ò essere ind ividuato a nche e::;.<;egnandone le coordi n ate
p olari (P . 61), dove
p =
,,/ x"J + y2
r a p p resenta la distanza d i (x, y) dall'origil le e () è l'angolo formato tra i l vcrtore
(x, y) e !'w=;se x, orientato posit ivamente. P e rciò si h a
:1:
{
=
p co.c; (}
y = /)sin ()
con p E [0, + = ), BE 1R
Q u est a trasfo r m a zion e d i coordinat e s i può vedeTe corne una funz ione f 1R2 -->
.IFe , (x,v) = f (p . O) . Le coordin a te pola ri son o u tili p e r rap present.are insiem i o
fu n z ioni ave n ti q u alch e ~imHletria r ispetto all'o rigine.
,
Y = p 5inB
T =
PCOS(J
Figura 2
E!;empi
1.2.
L' insiem e definito in C.Qord ilmì." polm i da ll e equazioni,
p <1.1'i<6<1'i
,
2
i:, illustrato in figura 3 .
S i voglia J"a ppresentar€" i n coord inate polari l' ins ielne o t ren llto i" l crse<::arldo un !'.l'tt.occ
di angolo % e raggio 2 COn la corona " ir eulan o' (,one" llt r ic8 d i r a ggio in terno 00
est erno , rispe tt iv» m ent", uguali a l e :1.
Tl >j€Uore circolare è definito da {p ::O: 2, 0 ::0: (}:'S 3' }; la !.:OTOn a "iretJla re è, defin i ta da
{ l :'S (!:'S :I L l" loro in t ers ......iolle è defin i t.a q Uilldi d a { l :'S p :'S 2, O:'S O < ~ } .
1.3.
(~ ireol"r.,
\
,/
- -1,
p =l
,/
-----
-
/
Figura l
Coordinate cilindriche nello spazio
Per descrivere i nsienù o funz-ioni in IR? che abbiano q ualche s i mmetria r ispet t.o
all'asse z sono u t i li le coordi nate cil indriche (p,
t ), per le quali s i ha:
e,
x
{
~ p=O
COli P E ~O >
v = psinB
+=). ()
E [0 , 21L) , t E IR
z=t
Quest a trasformazione d i coordi nate (fig. 4 ) s i può vedere come u n a fuwr, ione
f;IIl? _IR?
"I
'
/
-
___ e
~
'"
Figltra 4
---
:
,
,
........
Coordinate sferiche nello spazio
P er descri ver e ins iemi o funzioni in IR 3 elle abbiano qualch e s im m etria rispetto
a ll'or igi ne, sono utili le coordinat e s feriche (p . 0 , op ) , per le quali si h ~~ :
x = ps iIl <pcosfi
y = psi ll 'P~ille
{
z = pco s ;p
con p
> 0, '-P E [O,;.', B E [O, 2:r.)
@
S.~--<).S_ 07 .. 4 7 _8
1 . Flmziorli ci:i p iù variabili GL'ala ri ve t/ orio./i:
!I"neralità
473
Anch e q ueste s i pos.<mno ved e re corne una fu nzio n e f : 1R3 ---+ 1R3 . S i n oti che
la fu md ollc g lR 2 ---t 1R3 che ti i ottie ne d <'t q u csta fissando il \'alare della pr inla
...rariah ile p r appreocnta la supe rficie d ella s fera di r agg io p , in forma parame t- ric a
(fig. 5).
Fip;u~a
5
1,3. Campi veltoriali
Esempio
II m oto di un fluid o (ad esem p io l'acqua in Ull canale ) p uò <---,;~ere descritto as!o>egnando .
istant e per istan t e e pu nto p<;r punt-o , lo. velocità della "part.i<:dla d 'acqua" che si trovn in
qu ell'istant.e in q uel pu n t o_ La vdocità , d 'altro canto, i' u n v"u'ore '" tr", com ponenti, perciò
!Sarà una funziO.l<.,
1 .4.
v (t . :c,y, z ): IR~ -
IR!I
Il moto 'li d ice s u u iO Ila rio se V uon dipen de da t ; si d iec p iano se v ha ~ ol o le p rilne due
(,oITlponent. i n o n n ulle c il pun t.o da cui d ip"nd(' è spCf:ifkato dalle due >iolc compon enti (x, y) .
U" m oio s t ru.:ion a r io p iano è q uindi desc r itto da ,, "n fu m.,jone
v (z , y l : IR? ----+ IR
z
In q u est o n '-<;t.) (c.·u n !,,, hid imens io n a le d i due variab ili) è po."""i b ile v isualizzare in parte q u esta
fUilzione di."egnando Ull cert o n UluerO di vetto r i V (x , .11 ), spiccati d" i p u nti corrispondenti .
A d esem p io il campo d i \'elo cità rot at o r io
v ( x,.11) = (li , - x ) = - y i - xj
può ',' ,,';e rc vi",ualizzat o c o n u n
di~e!l;IlO
del t ipo in figura 6.
Gener ali7.;"and o questo e;;eJll jl io, d ic laIno cht' UII c a ilipo vct.to riale è u n a funzi o ne
c he ad ogni p unto dello s p azio fisic o (o dell o spazio-t.t'rnp o ) a';..';t'g n a un vettore,
che può avere i l significat o di v(;[O(;l tÙ., c ome nell'cscm p io preceden t e ( e81npo di
v elocità) () di f o rza agent e n el punto a>:;!:'-egllato (caln p o gravit azion ale , campo
c1eltrostat ic..o, .. ). G li s pazi lA." dom inio c c o d omin io >iono qu in d i "pensati"
i n due modi differenti : il p rimo come spazio fisic o ( ins ieme di punt.i ) , il secondo
come i nsieme d i ve ttori.
474
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F igura «>
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1.5. { II) ....otnpo elettrm n agnetico v/.rla.b ile" ,,, •.• f ll ll:t:ìolU:.:I ... 'L«sOcia u n. , " " l' p ia d i vd.l "rì
tr id in w ""i' ln aU ad UI:'''; p" nto ( 7. y . .;:) .,,1 'stam ... / . il venor .. },:, ..IlO" d ~rin' ,I rampa ele H 'u'o .
.. Qudl .. ti d lc dt'St:I';n ' il c all1 p o ""'.c;"etico . " , 'rc,ò ~ una fu"",;""" ( E . H J 0"1. 4 _ lR t ,
c on1C i l p recede llt.( ~ lfIost. r al1o dlC co nskJt: rarc fUIlZ il'lI , i f : IIln '_o , III '"
qualu!lq lU' 1l0ll è- u n p ll ro capr in ; jo f1 ,uterr1at.i . "" , U l a. r i~ ptll j( 1 1' a d e~iV;m L"(\'
&~ 'I npi
co n
' 1, 1/1.
c oncrd, ',
Esef'C:lzl
o
1.",, "..11. ......, in f""T"" pararr"'I:!'"" " """pH ''''-~; • .I ;) uua r",,,,ione f
ug uI11i r ':" p"'Uivat",wut,' ..
G
lJ lI .'ilindro i " f"nnl' para n U'tI'ka è d escll U •• d a u n a r" " "i.me f
u g u a li ri"l,..tth-aOl;:-ut.· "
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s.. ~·"g:' i aruo descr ive re suHull.....c3.lnel\ ( t" l' r",-s;one e t .' ,,')>cra tu TI'I J"J )!: a..... racchi,,,.. , il<
u" ei!i " dro. pun t o , .... ,. l',,nto ;:- i .... l all . ~ per i>;t"" t.< ·, u tili ...... i,.. " " u n a fu":"';.. ",, f
IH.."
• IU '"
con n . '" III' OI a li rb pt,t \;,·a m ente Il
- C Olli' · "' ,p" rti c ie in r"r",a par Hl,,,·tn.·" (8Ì o ,,, or)
- c u nl(" Kt"fko d i u"" r unzion. ' 111 01" ,· v,uiabi!i i"'1 ' ,no·~ ~.
Hi"p,." .:I ~n~
,, ;1.. ,;' ,'s."" dOln"", I, ' per u n
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(1;. " Ila linea p.""";
/, ""a li nea nd l" spa:l io.
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LIMITI , CONTINUITÀ E DIFFERENZIABILITÀ PER FUNZIONI
r IR" - IB''' _ MATRICE JACOBIANA
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476
Capitolo 11 . Am.rioni di più variabili a volori vettQriali
@8&-06-0 7&47-$
Sia f : IRn _ lR"' , Xo E TRn > L E IR rn . Questo significa che
f (x) = Cb (x), .. . ,frn(x)) , con l i: Bln - IR per i = 1 , 2 , .. . , Tn .
Le funzioni J. si diranno componenti di f , e sono funzioni reali di più v ariabili .
Diremo che
lim f (x ) =
x_""
L
If (x) - L I _ Oper Ix - XoI _ O.
Analogamente a Quanto visto nel capitolo 9 , si dimostra che il limile si calcola
componente per componente, ossia
tim (/. (x ), ...
X-Xo
,t~ (x )) ~
( X-Xo
tim f, (x), .. . , X_XQ
tim f_ (x)) .
Analogamente, definita in maniera naturale il concetto di funzion e continua. (in
un punto o un aper to) si dimostra che la funzione f è continua. se e solo se lo sono
tutte le sue componenti. Limiti e continuità si riconducono quindi alle analoghe
nozioni p er le funzioni di più variabili a valori reati.
Per quanto riguarda la differenziabilità , diremo che f è differen ziabile in Xo
semplicem e n te se tutte componenti l i lo sono.
Esplicitamente, questo significa che valgono le relazioni:
/;.(X{}
+ h)
- !.(X{}) =
al
f;• ax:
(Xo)h
j
+ o( lh l)
per h -
O, per i = 1, 2, .. _
,m.
Se vogliamo riscrivere queste fn relazioni in forma compatta, dobbiamo usare una
notazione matriciale: rappresentiamo la funzione f e i punti di IRn come vettori
colonna delle loro componenti:
f
( ")
=::
Xo
=(X")
::
e introduciamo la matrice jacobi ana di f , che ha per righe i gradie nti delle componenti di f (calcolati nel punto Xo):
J, (x,, )
~
a/.
ax,
ah
ax,
a/.
ax,
.... ..... . . .
af~
ax ,
a/.
ax.
ah
ax.
af_
ax.
(x,, )
La matrice jacobian8. ha m righe e n colonne. La differenziabilità di f si esprime
allora con la relazione:
per h _ O
(2.1 )
f (x" + h ) - f (x,, ) ~ J, (x,,) . h + a( lh l)
2 . Dimiti, continuità e differenziabilità.
@88-0$-.07547.11
471
dove denota il prodotto matriciale (righe per colonne) tra la matrice jacobiana
e il vettore incremento, e il simbolo oOhl) indica ora un vettore che, diviso per
Ih l, tende a zero per h --> O.
Il differenziale di f (calcolato in "o) è la funzione lineare:
df(",,) , IR"
df(Xo) : h
1-+
~
IR'"
Jr(Xo) . h
La (2 .1) è una definizione equivalente di differenziabilità per una funzione f :
IR n --> IR""'.
Ragionando componente per componente, si vede s ubito che
Teorema 2.1 - Condizione su.fficiente affinché una funzione f : IR n --> IR... risulti
differenziabile in un aperto A è che tutti gli elementi della sua matrice jacobiana
siano funzioni continue in A.
Questo crit.erio è quello che applicheremo di solito per garantire la differenziabilità di WIa funzione di più variabili a valori vettoriali , senza dover verificare
direttamente la definizione.
Naturalmente le funzioni f : IR n --> IR c le funzioni f : IR. -+ IRm. rientrano
come casi particolari nella definizione appena data di differ enziabilità. Con le
notazioni che abbiamo introdotto, per una funzione f : IR n --> 1R la matrice
jacobiana è semplicemente il gradiente di I , scritt o come vettore riga, mentre
per una funzione f : IR. _ IR rn la matrice jacobiana è semplicemente il vettore
derivato di f , scritto come vettore colonna. (Non c 'è niente di assol u to n ella
convenzione assunta su come scrivere righe e colonne della matrice j acobian a,
tuttavia è comodo fissare una convenzione e att.enersi sempre a quella).
La nozione di matrice jacobiana permette di enunciare il teorema di differenziazione delle funzioni composte in un'unica forma generale, che compren de i casi
particolari già trattati nel capitolo lO (paragrafo 4.5) cd altri ancora.
-
Teorema 2 . 2 - Siano f IR" -> IR'"", g IR'" --> IR k , e supponiamo che sia ben
definita la funzione composta g o f : IR n _ JRk . Se. f è. differenziabile in "o e g è
differenziabile in Yo = f (Xo), anche g o f è diffe.renziabile in Xo, e la sua matrice
jacobiana si ottiene come prodotto (matriciale) delle matrici jacobiane di f e g,
calcolate nei punti opportuni:
Operativamente, la formula si usa così. Posto z = g o f e y = f ,
8zj
ax.
( ",, )
~
f
k =l
8zj (f (",, » 8y, (",,)
aYk
ax.
per ogni i = 1, 2 , ... n , j = 1, 2, ... , k.
Per esercizio, il lettore è invitato a ritrovare i risu ltati enunciati nel teorema
4 .7 del capitolo lO come casi particolari di q uesto teorema.
Nei paragrafi s u ccessivi ci occuperemo del calcolo differen:t>iale p er le tre classi
notevoli di funzioni di piil variabili a V""dlori vettoriali che abbiamo introdotto nel
Capitolo 11 . FunziOTli d i p i-ù
478
t 'lI. ...abili
a. " a lmi
m~ ttorial,
p a r agr afo 1 : le su p e rfici in fo r ma paramel rica: le t.rasfo r mazion i d i coo rdi n ate in
IR n; i campi vettor iali.
3.
SUPERFICI REGOLARI PARAMETRIZZATE
A b b iamo visto d l P. u na s u pcrficit: in forma parametri ca è una fu n zio ne
r (l-, l.1) : m?
_ In?
con r= (x , y , z)e
x ~ x(t,n )
y = y(t,u )
{
z = z (t ,u )
(t, u )
E
A
dove A è un'opponuTJtl r egione del p iano JR2 . A d esempio, la s fcra d i r a ggio R c
•
cent ro l'origine h a rappresentazione par a rnctrica
X
y
{
= Rsin :p eos O
= R sinepsinO
con 'P E (O, lT],
(I
E [0,2,,)
z = Rcos<.p
S i noti c he R è fissato , mentre i due p a r a m etri sono C'P, 9) .
Voglia m o ora cap ire come s i le gge , dalla p a rametrhzazione della s u perficie , il
fat. t o che essa s ia regol a re (ad esemp i o, d otat a in o g n i p u nto di pian o t ange nte ) .
I n analogi a a q ua n to visto per le superfici c he ::;ono grafico di u n a fu nz io n e di p i ù
variabili, sar à o p p o r tuno anzitut-lo richiedere che l o. funziOll € r s ia d iffere nz iab ile
(nel sen &> visto nel p a r agrafo precedente ).
O r a, r a g io niamo a l modo s eg u e nte . Se fissiamo uno de i p ara nlctri, ad esem p i o
u, e facciamo variare t, o t Leniamo un a c u rva, d isegnata s u lla sup erficie . Più
p r ccisament.e, al varia re del .nalore fissato u = Uo otte rremo una fa mig lia di c u rve ;
fissando (in ogni modo p o ssibile ) t = t o o tterremo un' a lt r a faHl iglia di curve
sulla s upe r fi cie . Queste linee si chiaman o linee coordin a t e: p er ogni punt o d ella
sup erficie passano esattamente una n uva d i ciascu na d elle d ue fam ig lie.
_~c_ _ ~
'.
,
x
Figura B
A d e;.em pio , Ru Ba sfe ra le linee 'P = cost. sono i paralleli, q uell~ (} = cost. son o i
m eridian i: per ogni p Ullt-O d e lla s fera (a CcccziOlle d ci poli , che com e VOO rClllO sono
@
88·0 8_0 "547_ 8
.9. Supmjici rc9nlan pnnJ.1Tl"t1"'ÌfZ::;;"O'C"_ _ "
4 7,,,
9
p u nt.i in cui lu p ,uamctriz:t:;azione è irregolare) p assa.no esa t tam f!nt e un merid iano
c un parando . Le linee co o r dinate h anno equazion i
r
=
r (t, UQ)
r
=
r (to, u)
c
11 \'cttore tangen t e a ulla linea coo rdinata è dat o, ri.,pett ivamf!llte , da:
r I (to, UQ) = Crt (tn, uo) , y, (to, tLo), Zc (to, u-a ))
e da
r " Uo, 1~{) ) = (x" (tI), 11f1) , 11.. (to, uo), z" (to , u-a»)
P oil:h é stialllO assu mend o r differ enziabile, questi d\le vet.tori so n o certament e
ben d efiniti. Il p iallO t.a.llgeut.e, d u un PUlito di v is ta geom et.rico , dovrebhc cssere l'unico p iano che contiene e ntrambi qu~ti ve ttori . Tale piano risul t a. Ikn
defi nito se i due vettori sono entram bi non n u lli , e ino ltre n o n !iOn o paralleli (d ive rs a m e nte, intl niti I)iani soddis fa.no lo. r ichiesta) . Queste condizioni s i esp ri m o no
s inttòticarne nte chiede ndo ch e il p rodot t o vcttoriale d~i d ue vettori n o n s i annulli:
r I (to , HO) 1\ r " (l,o, tLo) = d et
UI) )
j
Yt(to, uv)
xu (to, uo)
y,, (to,uo)
(xt (t:.
(3 .1 )
Questa. condizion O;! è algebr icamente equiva.lente a.l fl:l.tLO che la. matrice jacobiana
d i r a.ooilì. c a r a.ttcristil,;ti d u e (cioè m assi ma).
Arriviam o così alla seguente:
D efinizione 3 . 1 - Una superficie paramet r izzata Wl r = r (t,u), r : A _ IR3 ,
A C IR? S'i dicc regolare M~ r i: differenziabile in A , e moltre la matnce jacobiana
di r ha ca1Utte,i.~ t i.r.a due In ogni punto di A . S e in qualche 1nmto isolato di A
le condizio1li tJeng ono violat e, c:hiurneremo p unti singolari della superficie i punti
C07Tisponden ti.
E sempio
3 .1 . & _r iviamo la matrice j a.cob iaJ.la della
J"-,,
(
sr,~m_
RC=~U ••
RCOS;,? sin 6
di rllggio
n
~
(,entro l' ori gi n e.
- H >:lirt'PSmO)
H
,,'n!p cos tJ
-R si u 'P
O
I t re determinanti 2 )( 'l che !l'i ottengono sono:
l / l sin:2 =.; sin 6
D agli ll lt iTTli due ",i vede c h e per s in;p i' O il pnn tl) è rcgulare ( p e rché siu O e C06 O nO li " i
ulllluli all o c onu'mpora.n":>!.TTlCTlt-C); inv,,.,,,, per s;n 'P = O si II n u u1\:'Lno tutt_; tl tre i d",t~ rmi na.nti ,
II:' il p untu" "ingulan:. C iò 8.Cc tl.dc ver ., = O c <p = r., cioè ( per il s ig nificato d i .;) nei poli
della ",ftTa: i poli sonI) dunque punti sin~ol arj; a l d i f\lOri d.i qUt", li , la supcdh:ic è n.~"lnt c.
480
Capitolo 11. Fimzi oni di p i ù variabili a valonuetlori.q!-i
OVVi,lInente la si"gu!ari t,à non dipende dalla sfera int.e<-a come oggetto g"':Jlllp tr icQ (i po li
son o p"uli com l' g li al t~ i! ) ma dalla paramet.rizzazi onc ><cdl.a . Tut la~' ia, e questo sì dipe nde
dalla "forma" della sfera, Hl può dim o s t rare ch" n OIt esiste akuna p<-",rametrizzazione g loha.l",
della sfera per la quale t utt i i punti siano rc~o\ar i.
Il vettore (3.1 ), la cui c8ist.enza f' non <'\llnullarnenlo dennisce il concetto d i
rego larità d e lla superficie, ha altri s ignificati geomct-rici che ora met.terenlO in
evidenza.
Anzitutto , per l e p rop rietà del prodotto 'iettariale , c:;so è ortogonale al piano
che conliene i ve t t.ori r (, r ". c ioè al p ia n o t.angente. T ale vet.Wre !JUò quind i dirsi
nlJ17nale alla superficie . 11 suo versor e prende il nome d i L'CT"SOn:; normale:
r, /I. l'"
Ir t /I. l'" i'
Si no ti che il verso di n dipende dall'o rd ine in cui consideriamo i par ametri (t,uL
c quind i ,' ordin e in cui effett_u iamo i l prodotto vet.t.orial e. Ad esem p io, per la sfera
parametrizzu ta come nell'c::.empio 3 .1 s i ha
iR 2 sin 2 cp (;OS ()
n
+ jR 2 s in 2 <psinB + kR 2 sin 'P cos cp
R2 sin <P
=
i si.n<.pcosO
+j
sin rpsin O + kcos 'P
(::\'otarc che per l a sfera centrat.a nell'origine è n = r/l r ]). S i osserva che questo
versore punt.a verso 1'esterno della sfera, in ogni punto. Si d irà perciò v cn;ore normale uscente, o normale cstCnlU , alla sfcr a . Se uvei:!si m o co nsiderato O come prÌlno
paraUletro e rp come secondu avrenU!LO ottenuto un versore nonnale entmnte. o
interno, anziché uscente. S i dice orientazionc di u na superficie. una scelt.a coeren t e
di u n o dci due versi d el versare normale, i n ogni punto della superficie.
S criv iamo ora l'equazione dci pi.ano tangente alla superficie . Se P (x, y , z) è
il p unto mobile sul p iano tangente e ['o il punt o in cui vogliamo calcolare il p iano
t.angente, il vettore (P - P o ) d ovrà e&<;ere o rt.ogonrue a n, qui n di anehe a I" t h [" .
L'equazione d el p iano tangente è dunque:
(P - Po) · Cr,
ti
r ,,)
=
O
0&1a:
Le proprietà del prodotto -"'eUoriale ( vedi cap. 2 , par. 1.2) dicono anchf' che il
lllOd u lo dci vello re r ,/\ r " ra pp reò;ent.a l'arf'a d ci paralldogralllma individ uato d a i
due yettori. Quest'a rea. ug u aglia in prima approssinHI..z_ione l'area de L "parallelognuurna cur vili neu" d isegnato !mlla superficie , e cornpn "So
..
t.ra l e quattro lillee
coord inat-e
Uo, ti
Tl o
+
du, t
to, t
tu
+ dt
o
3 . Svp«rjì ci. rt<qo/ari l'ammetn:.ual"
f<"- ' I>i- (J 'TS4 T _S
48>
-------
/
//~
/
/
,/
!
tt = "u
,/
~J
Figura 9
I lati del paral le l og:f~mma c u rvi lineo sono apprm;s imali a meno d i infini tesim i d i ordine s LJp.,<iore
a du. .. d:t da quell i d el paralle logramma re tt ilineo in div iduato dOl i vett o ri r,.dtt e r, dt .
Questo giustifica la d efinizione d i de m ento d'area infill ite!Jimo S"/J.lla superficie ,
dS
= ~ rt A r ,, ;
di du
Ad eselnpio, l'e lemento d'area sulla super ficie d ella s fera d i r aggio R è :
dS
R2
=
S i l l i.p d 'P
da
Quest.i fatt i saran no utili nel calcolo d i aree e int;egrali d i sup erfìGi . argo menti ehc
affronteremo n el capit o lo 12 .
Ora ch e ahbia.JIlo introdotto le principali nozioni che c i sen'jranno sulle superfici, occorre imp a rare COIn e s i scrivono le equ azioni p arametriehc de lle su)w r fici
p i ù CQnluIlÌ, che incontreremo nel seguito.
Superfic; che sono il grafico di funzioni di due variabili
Il gTafico di 2- = j (:r, y ), (x, 1/) E A C IR? è una super ficie
forma p~raHletrica nel lllodo seguen te:
dlC
x = t
{
(t ,u) EA
y = ti
Z
/(t , 11)
=
Perciò il vettore nonnaLe è
k
j
del.
1
O
U
1
aJ
. aJ
m {tO.II.O)
at
DJ
[I (t o , v-o)
"
_i tJj _J, ol + k
rl=-
_, al
'.
.DJ
-'--J- + k
&u
y'l --'- Ivj
_
2
ou
si può scrivere in
Capito lo 11 . Funzioni d'i pùì variahili
482
Quindi l'orientazicme indotta dalla
mento d'area è
(1
,,<l/ori 1.,ett(wiali
~u perfici e
d S = v'l
(9
~S_ 0i!_ 0 7 ~47· 8
è con la no rmale verso l'alt o; l'dc-
+ lV'f I2 dl. du
S i noti che se f è differenziabile in A , la superficie grafico è sempre regolare (la
mat rice jacobiana ha sempre un d etermi na.nte 2 x 2 ugu a le a l).
Nelle formu le precedenti per dS e n , solitamente le variabili t , u si c-Onti nnano
a chia Tllare x , y, come nell'csernpio seguente.
Esempio
].2 .
Il parn boloide elli ttico
Z = X2 + ~/!
ha e lemento d' arca
d8 =
v'l
4 ( x~ + y2 ) dx dy
c "cr&)re n or m ale
-2:d-2yj+ k
n~
") 1 +4 ( x~ + y2 )
Superl/cl di rotazione
t.'1olte ::;upedi.ci comuni I;i p(IIi"SOno o t l.enere facendo ruotare una curva ì, d etta
gen eratrice, attorno a un asse; come vedremo, questo è anche Ufi metodo per
scriverne effettivamente le equazio ni paramet riche.
In un rifcriment o (x , y , z ), s ia z l'asse att orno a cui vogliamo far ruotarc u na
curva " inizialmente a<;Segn8.t.a. nel piano x , z in forma paramet.r ica:
1' =X(t )
{ z = z(t )
t E!
In tal caso la superficie che si ott iene con una ro t azione complet a della
attorno all ' asse z è:
CUl"V'd
l'
.< ~ ,(t) =O
y=x{J-) sin O
{
z
=
t EI,fiE [O, 21i)
(3.2)
z (t)
I
,I _ -~. --ti
iC -
.- (1) a :
,/
é.:---/
- --o : -c-~
------ Figura lO SUp"'rfì,,;e d i rotu iOr>e _
Y
-:;-..::.~~--_
\.~ --
\0
--- >:---
-x (l }
,t;
3 . S''1,.,rfìci rp-1Jo/an p<ITametrnza te
483
Pcr le superfici di r o t azione nella forma (3 .2 ), calcoliamo l'elemeJ1to d'are-a sulla
superficie. Poiché
j
:c'(t) s in 8
x (t) cosO
-i x (t)z'( t ) co~ O + j x (t)z'( t ) sin e + k x (t )x'(t)
=
l'elemento d'arca risulta:
~ Ix(t)1 vx'(t)' ~ ,'(t)'dtdi!
d8
Le fo n nu le precedenti "'anno o\'Y;a lllente modificatc se l' tLSse di rota.;1;ione è l'asse
x (o y ) anziché l'asse z.
Esempi
3.3. 1-«1 $jeT'fl. È r;enerata. da.lIa rota.c:;onc attorn u a ll' a.";',':: z della w.mici rconfcrcn;r.a ""'-«egnata
ncl piano z, x:
= R sinp
X
{
Perciò, i n base
an..
z = R cos'f
(3.2), la s fera ha le equazioni note:
x = H s; n<p cosO
{
y = Rs in<;si n ll
con 'P E [O. x j ,
(J
E ·:U, 21'r )
z = Rcos<{>
,
;
"
O
,
R
T
n
3.4.
loro. È s"nerato da lla rot w;"nc, ;m. o rno a l l' ll...~se z , d dl a {~in~onferenza. I)()M.a nel
piano x , z , d i n ; ntro ( R. O) e ~agg io r < R :
X
{
=
R
+._
rcos.:p
Z = T Slll'P
'P E: [U, 2;r)
Pe rciò, in base "Ila (3_2 ), il t oro ha eqU élZ;on; :
X
=
{H
rcos;p ) ahO
y = ( R I- rcos'P ) sinO
{
z
- T~ m-;;
con ;p E {O, 27\" ), O E [O, :<"')
---.
-- ----
"
Figu r a 12
.l.S.
R (;j" "' _ l i" oono a d ,..- r" ld ,<i· !:-ene ralù , 1. . 11" rot az ione .. I I,,, .,,, a ll' asse:: , li . m a retla
: = m I . J C 111:
,
{
-, ,.,
..
.,- I ~"n 9
I n {':"'Hm l'a r Rm",u iCl\. lo. n 'Il a bEI
l '' I L O E: [0.2r.)
;:: - ,,,I
H CO lLO
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u n" fa ld .. Il;:,. le s t. ·"" ,- " '1 11'1;:;0" 1, !Ila I .' /I. O E -0 .2 ;:")
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Fig u ra l3
3 .6.
Il cll"ul1,,_
U n cili u dru
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3 .1 . J• •diissohlé' d, "'1/ 'I :;-i" rl~. E g" '" -I-,,1.0 d a lla rOl.,.:1';, ,, ,,, "ttorno a tl ' ".~S!: :z , l i lino. ''''!li i, ·11;:'1'<'
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i: Illl lllC'Oiiat o gcn<· ~,,!t z'-<'[email protected] !t> ' -'lllazioIÙ pr(" I'd " nI\ " Ire])i::;;;oide ( qua!u nqu.-l. di
--<·ltl;'L~i a.b.e I d,, ' llon (. più 1111 " SlL pf'rficie d r n >lil7ion€-,i;
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;,p ( III, r.: ). 8 E ~O. 2 11)
..,:
Ca k o lar" 1'",,,,, ,,,, ,10) J' Brc ll (' il " ,' r""r<:! uon", . I. - ,,1111:\ b\lperfi ci. , ,!<·[,>;nòthol o;rl l) ip ' -r h ...
-~ xy.
486
Cap it olo 11_ Fun zi oni di p iù t!tt1"iab ili
1'1
v "lu ri v ettoriali
@
!lH flS _" "" "'7 B
CE)
Scri v ere la matrice jm:oh iarm dci t oro; verificare eh€' la s u per fi ci" i, rego lare i n ogni
p untu; st:civcr c ! 'cl"mento d ' area sulla s uperficie .
f!)
S c rivere la n Iat _t"ice jacob iana del con o a due falde ; vc r ifi""rl' <;he il vert ice è l'unico
p un to s i n g o lan' ; sCTivere J'ele n len to d 'area sulla su p €rfi cie.
fl)
5<:rÌvccc la mateie€: j a co b ian" di un el lis.'>()id", d i sClni ,,-"S; a , b, c ; verificare ch" i p o i i bOIl O
p;li u n ici punti s in goLar i: ",,:ri~rc r el clIJ<~nt. " d'are:1, il ' ·CT"H<..re n o r male e il p ia "" t a n g e nt.e
sulla s u p erfic ie; il versorc lloTin a le p unta veeSO l'in terno o l'es t. erno"
Et>
Scriven' le equazioni p a r am€triche de lla superficie ottenu t a raccJl d o "(u ot-a re attorno
all'asse z la c urva x = e -· · I,z E 1R posta ne l piano XZ. Scriv"r n (, la ma t rice jacoh;ana c
determ;n;u-c g li e ve n tual i punti s i ngo lari. Fare u n di.s.egn o della superfici" p e r c onvinc e r s i de l
ri s ulta t o t rovato. Fare poi lo o;t"o",,,,', l'cr h. c urvo. z = ,,-l ''' i, X E m.
fD
Scrivere le equazio n i p araIlletr iche del la super fi c ie ott"'ll1.1t.a facen d o r uot a re atto n >o
all'asse z la curva x = z(1 - z ) , z E [U, lì, p osta nel pi ano xz. Scriyerne la m a trice j;o.<.;o b ia n a
e d etenn in are g li event u ali p unti s i ng;o lari, F are un disegno dell a su p o.; r fìcie per conv i uccrs i
ciel rhml tat.u trov at o . Scr iver e l 'e leme n to d ' area s ulla su perficie.
CI)
Scrivere le equazion i panl.metrich e dell a s u perficie ch e s i ottiene facend o TlJ o t are attor n o
Jt"' asse y la cu rva ~rafico d e ll a funz iolII."
y = e-
.' ,
xE [0 , 2 l
Calcolar n e p o i la matr ice j llcohia n a , d etermi n a n d o g li
x = t (l + t)
{ z = "i n ( rrt)
(~ v<mt.ual i
p u nti singolari.
tE [O,l ]
S i scri vano le equaz ion i para m e t r ich e della s u perficie generat a dal la rotazione della curva
atto rno a ll' asse z . S i scriva la m a t ri c..c j acobiana dell a superficie e s i dica se qucstfl è regolare ,
spceinc an do in <.:aso co n trario q uali e 'Iu a n ti "",,.mo i suoi p unti si n g o lari . Si scriva l'elem ento
d 'area ,;ulla s u perficie.
G>
Sc,..iv",.." I... matrice jacobiana , il ver sore normltle " l'd emento d 'area per b superfiçi"
grafico d ella funz io n e
e
Seri",-'c r e la matrice jacobian a c ca!(X) \a r e l'e lemc nto d a rea p e r la sup e rfic i" ,
X
= sin 2 'l'cosO
y
=
Z
=
{
Sin:
<':<JS
:psinB
'P
.;: E'. [0 , '"'1.8 E ]0 , 211"]
Des cr ivere po i l' i n s ieme dei p unt i s i ngo lari d ella superfide. Quanti sono?
L 'i nsieme 1f' cui variano i parametri n aturalmente" fondaTrlcntale per precisa." la s u pe1jìci c
p<l.nmetri2zata. l;-,ncf!.do c.onta d i quto.~t(), .• c ' ''1-'ere la ruppn<..,,,ntaziuTlc paral"n "tnca ddl"
segue uh porzioni di .su~,jicie:
a-
La su p erficie lat tTale d i uIl c ilin dro di raggio
T
c allezza h .
4. '1'usf=azio'" '""9t) I ~ri di cuonlina~_ _ c4~807,
EE>
La J>or.';ione di ~Ill",rfic i e sfe rica di ra!4-':io 4. compn ",a tra un piano equatori,.l€ e a n
p ia.no parallelo a q uesto pOStO " <..li.4anza 2.
f!)
La s up€rficie lau,n.l.l" d i un cono d i altezza h e rngKio di ba.~.' r.
fI)
L a super ficie latera.le di u n tron= d i cono avente il raggio dd la base m aggior e 2 , il
della b a.5€ minore l , le h'L~i posle a di»t anvl 1.
ra~io
4.
TRASFORMAZIONI REGOLARI DI COORDINATE
Abb iamo v is t o n el paragrafo 1. 2 che una fumdone f
una lr8l5furmaz ione d i coordinat.e n ello s p azio IR n .
IR"
---t
Definizione 4.1 - (jfl.(~ tra.sfÒr m &zir)lle d i coord i nate f Il-t"
(in un apt.rto A) se f E C 1(A ) e i noUn-: l{, lilla matrice
matrice qu.admta H x n ) ha determinan te di·verso da ze1"().
soddisfaUe CorI l'eccezione di qllal dw p1l1lto iliolalo. qucsti
singolari dell a trasformazione.
IR" può vedersi come
_ IRn s i_ d ice regolare
jacobiana (che è una
Se le condizioni .~ono
punti si dim rmo punti
Le r agion i per cui s i richiede che il d eterminante jacobiano non si annulli son o
varie. Anzitutto, sot.to questa ipo!.p.si . . .~d.lc un risu lt ato d i inve r tibilità !ex-...ale:
Teorema 4.2 - Sia. f unQ trasformazione regolm"e di coordinate in JR." ; allom essa
è localmente inverti bile; più prrcisamente, per ogni punto Xo in cui il det f:r"ffiillanle
Jacobiano non si annullrl , esis tono un i1l10r71O d i Xo e un il1to-rrW di f( Xo) tra
i quali la funzione f è biunivoca; inoltrr. la corri....~I!Onden2a intJcrsa (1m questi
intoT7d) ;l anch 'ess a rf:golan~ (in ]Xlrtir.olm"e, Cl).
11 teorema precedente ha un s ignificato emincn temente t eorico: in genera.le
la corrispond enza inver sa nQn si sa affatto scrivere analiticam ent e, ma può €S!:'o€rc
i m pona.llt.e sap ere che eo iste .
Esempio
4 .1. 'Ihl.sfofTnazion-i li nea ,,:. S ia A = lu,,} una matT i""
tnL-;formazione l;nc."l.rc , li eoordi,.il.t e in ][t" :
TI
x
71 .
A llora A
defini:;:.c.~
m ia
f(x) = Ax
Poidu<,. come »i V€rifica, ~ = a'j , la mat rice ja.cobia.rm di f i, p ropr io A {in )mrticolare,
(, cn~ta.nte in t utto lo "PI:'i~»). La con dizione sotto la q ll a l" la n m" ione f è inn'r ti bii< ' in
tutto Il-{" è la condizione d i inver t.i bili t à della matri"" A , eioè det A "" 0_ Qu€sta condizione
si può illlerpret a.re anchE' come cond i"i"ne di Ilon a.nnu lh""""t.o d i d"t./} . Dunque Ttr"l
/ H1..ofoT'7nazi-one /'""un . " I<x;u/menfe i7we rtibik .~ " " .• 010 se lo è glolKUnk!1t,, _
Ri pren diamo gl i esempi d i trasformazioni no t-cvo l i d i coord ina t e nel piano e
nello .' ipazio che abb ia m o int rod o t t o nel pnragrafo 1. 2 , e vcrific h iamone ln. rcgolnri tà .
488
Capitv/o 11 . FUnzio n i di pii). , '"r'iabil1
ti
ua/ori lie tl o" ,.a"l,,· _ _ _ _ [email protected]"''-"".""~
''':''''"' "''""'' ~"
Coordinate polarI nel piano
L a trBSfo r m a zion e
x = pcos{}
{ y = psinO
con p E [0, + = ) ,
e E m.
h a m a t.ricc jacob iana
- PSin tJ)
Il cas ()
determinan t e p . L a t r asformazio ne è regola.re, ad eccezione di p = 0 , cioè l'origine nel pian o xy. I n effetti ill qucst.o punt o viene a cadere la. b iunivoci t à locale:
qual unque coppia (O, e) n e l p iano pfJ corrispo n d e al p 1ll1tO ( O, O) n e l p iano xy.
COIl
Coordinate cilindriche nello spazio
x ~ pcose
y = psinO
{ z = t
con p E (O, + = ), O E lR, I. E IR
Quest a t ra..<;forrnazione di coor dinate s i può v edere cOllie lIn a funzione f
con n l atrice j acob ian a
0:(1 ---+
ne ,
- psin (j
p cos ()
O
che ha d e t e r minant e p . La t r a sfo rmazione è regolare t ra n ne c h e p e r p = O, che
questa v o l t a. c o rrisponde a una retta nello spazio xyz: 1' 3..-"8c :: . III q uei p u n ti cade
la b i u n ivocit à loca le .
Coordinate sferiche nello spazio
X
{
= psiu :pcosB
y =
ps in~s ina
z =
pcos ~
con p
> 0,
:p E [O, 1I"J, (J E [0, 21i")
Q u esta t rasfor mazi o n e di coord ina te si p u ò vedere com e un a fu n z ioTl e f
IR 3 , con m at.rice j8Gobiaua
Sin;PCOSB
pcos;peosfJ
- PSin:PSil\ (J )
s i n 'psinB
p co"i;pt;in(J
psi n:pcosB
COS'P
- psin<p
O
(
1R3
---!o
con d c t eflninallte p2 s i n p. La LrllSfo r mazione è regol are t.ranne Iwr p = O (origi.ne
nello spazio :cyz ) e p er 'P = 0 , <p = 11" . che r appresentn n o i due ò;em ia5s i z n e llo
spa~. i o x yz . I n co n clusione, sono ò;ingolari t u tti i punt.i dell'asse z. nello s p a z io
x v?:·
4 . Trnsj(n..n anoTlj regolari di coordinale
4 .1.
4.9
Trasformazione dell'elemento di volume
l:n'a lt ra qucstiolle in cu i è im portant.e il determi nante ja.cubiano d ella t r;u:;fo rlTlél.zio ne, è lo stud io del m o do in ("ui la trasfo r mazio ne cambia il volume di l UHI regio ne
d i :nn. Questo ci sarà u t ile nel calcolo degli int egrali do ppi e t ripli (cap it o lo 12.
p tlT8./;.'Tafi 1.2 , 1.5) . R.a gio niamo per scmplidtà. ile i p ia no . Sia
X =
{
Y =
! (u., Il )
g(u, t'}
ulla trasfo rmazion e di coordinate; il " re ttangolo in finitesimo" compreso tra Il, u +
du e 'l', v + d't; vien e trasformato in un ;'parallelogr arnma i n fin itf'SiIllO" c h e ho. p er
vertici i quattro punti :
(f(u , v
+ dv ), 9 ( rt , 'IJ + dv )
+ du ,tl + dv) , g (u + du,v..;..
(f (1t + d1t , ti) , g (u + duo v »
(f(u
(J (u, v ), g (u , v »
d v»
Due la t i adiacenti del pare.llelognumna son o qll indi ind i",iduati dai "'euori
(f (u
+ (lu ,v),g (u + du , v»
- (l ( IL , v), g(u, 1.!)}
+ dll ) ,g(u, 1-' + dv »
- (f (u, V), fI(u , v »
e
(f (ti , V
ugua li in prima ap prossimazione a
c
r ispettivamente. L 'area. d e l parallclogramma t r asformato ò quindi (in prima a pprossimazione) UgUMC 0.1 modulo del det.ermillo,ll te della mal-rÌt;e
Resta perciò giust i fìcat~ la seg'uente [armala di. tra.'lfOlma::ionc
fin itcsimo d 'area
dcll'dF;mt~ nto
iu-
9")
ldUdC
g" .
A d esempio , per le coorrii nale lJOLari n el pian o otteniamo la formula per il Ctlrrthiamento d 'arco.:
dxdy = pdpdJ)
formnhl. che può anche ef;.<;er c giustificata d ìret.t tu n entc (sul pi ~no int u it.ivo) al
segu ent ~ m o do : il "re t tangolo infinit.esimo·' nel pIH.1l0 rJf} compreso t ra lf! li nee
p, p + dp, 8, 8 + dI) vi e ll~ t rasformato iII un setto r e d i corona circola.re, ne l piano
xy, ch e , in priIna approS::lirnazione, uguaglia \In re ttangolo di lat.i, r isp et. t ivament.e ,
dp c pdfJ (tig- 16) e quind i a.rca pdpdO:
Cap it olo 1 1. Ftmzio ni d'i più variab ", li• .".""'uloc"'"n~,-"v"tt
••o.n",""'"i _ _ ____-,@,,-,~~,,,<~," ~""""'<~,
490
Figu~a
I li l'ilr"" d e lla reg ione ombr eggi..
ta "
c i r CiI pdpdfJ.
EsercìZtO
•
e
Genera lizzando a t re d imensioni la formuhl. d el ca.mbio di vol ume , vcrìfka..-e che }'elcme n t.o infin itesimo di v o) urn« , d:r d y dz , riSj><'tto a.lle c oord in ate !iferich ... e a ll e coordinate
cilin d rich e P d ato d a "
;..-
dx dy dz - - p~ s in rpdpd"" di)
d:r.rly(lz = pdl'dOdt
4.2.
(cuord inate sferic h e)
(coo rd inate c ilin<lri che )
Trasformazkme di operatori differenziali
Come si trasforma un o p erat o r e d ifferenzia.le esegue ndo Ilna trasform azione d i
coordinate? S ia
una t r asfo n n azioue regolare d i coor d i nate nel piano, e s ia f {x , y ) u n a fun zione
differe nziabile. Sot to l'azio ne d ella t rasformaz ione d ì coordin a te, f d iventerà fu n zione di li, v, e per il t.eorelua su l d ifferenz ia le di u n a fu nzione composta, si può
scrivcre
dj
8j
8h
ax
aj
a9
+
iJu
By
{ju
iJj
aj
89
aj
ah
Dt,
ax
-D~; + 8 y
Du
Dv
L ' utilità d elle tra."fornHizion i di coo rd inate n e llo s tud io degli oper a t ori d ifferenzial i
è illus trato d a l prossim o esempio e da alcuni degli esercizi successivi,
Eiiempio
4.2.
Co n
Co nsid er iruno h O<l ",,,,-ioue dell a e o r d a vibrant.e '
C
eost.an t.e . S i c o nsider i ora la tr asformaz io n e d i coordinat e ne l p iano:
a = x +et
{ 8 -= x - d
491
Vog!i ilm o &lpl'j,uerc in funzion e di (~ ,{t g li o peratori dlffE'_rem7.i a li 8 .. ,tJ"&.. ,,,, 8 .. , " r;';':r ivcn:
q u indi l',.'(jLJI.... i<me della "or da vibrau te r ispet to alle variabili a ,(l. RR.giouando come ~"pra
s i h a.:
Il,
=
Un .
ao.
al ..;.. ~ 3
aB
1).1: -
.
CU'" -
c U,3
a
a,a )('16,.
- tt;:d
D i con .;cguellz.a:
ti" -
2
2
c u",,,, = c (u ...... - 211.".:.1
+ Utl.3 ) -
C'( II,,,,,,,
+ 2 ..",-,,, +u;J"} -
P "rcii> l' cq u llZ Ìo lle della corda vibr!< nt e ne lle nuove variabili
u.c.,3
Quest'equu.z ione
PIIÒ
n ,fl s i
- 4u..;,
sçri~:
= O
essere risoLta faci lm ente. Iufa tti
~ (au)= O
Da
a.a
sigo ifiQl c:h e ~ Ilon d ipende da 0 , ci ~ è una f u n zi o ne di (j SOIt ar.lto"
<:.on
il fum;io ll c arlJitraria. Integra ndo rispetto a /3 si t wva:
ti
= f([j) -;- g(n)
dove f (fJ) i: .ma pri miti ~·1l. d i ! ,(/J) ( perciò , essen do /I a r h it.raxia , è u u a fUlILi u ne a rbitrari a )
c 9 (0 ) ;, l", -costante d i int egnl7.iollc"' ...n e n o n dipe nde da. p, pen:iò è funzione (arbit raria )
tIi u. S....liut uendo infim". ad Il ,p le loro Cflpn .ssioni in fu nzione di l: , t ei tl"OVK.:
1:( 2: , t) = f ( z - et)
+ 9(X ...... et)
Q \H~ t " m p prese n t a la. pi ù 8(ill!:ll\lc solu z; (",,, tIell 'equazi'Jn€ dell a çord a vibr a nt e, con f,g
arbitra rie hl o;o;i"ni (du" voile de riva.bili). La "li c.osl ol.t,m u ta è dunq uc la sovrapp osi" ioll e d i
due on d e d Ui vi~iallo a \'el<x:ità c i n versi opp ~t j , coTIle ffiOEtrano le p ros.,i me figure :
,
g( %)
- 3
-2
-I
,
-,
h)
Fie"'" 17 ( a) Gr~fi= d i f ez ): (b ) g.afio;o di .q (z )
-2
Lt_
- I
l
" ,'-
- ,. ,
49 2
Capi t olo Il . Th.,.z;oni a i p i ù vari a b ...
Fig u' a 16
G ,~ f;",u ,J ;
Q.
"alo ri lJd t oriah
/ ( :L - I) -;- y ("' 1 i) P'" ( E ( - 2 , 3 ).
Q \l.;:!';to p roced im e nto ris o lu t j,·o de ll 'equaz ione della oo rd a v i l>r a.nt,,, il doy uto a D ' A lcm b e rt ,
e r isale a l 174 9 .
Esercizi
~
Ver ifica re la l"€golaritì. d..:ll a ~t'guente tr <lSfor maz ione d i coordina te, ind ividu a ndo g li
event-uali pun ti s ingo la ri:
<
{
~ u~
y = u
- t?
S cr ivere p oi l 'ele mento d 'area ,b:dy ris pett o al le n uove coo rd inate
G)
tL , 't' .
S i cOIlskk r i la Jil:ener ica t rasforma z ione d i coordin a te li n eare a1lì ",: Tl el p ia n o :
x = au+ bv+c
{
y ,,"", dU+~"i+ f
con a. b, c . d , e, f costanti . Scrive re sott o 'Inali cOlld iz io ni 5tii coefficienti la U >l..... fo r m clzi one . ,
regolare_ Sçr ivere poi l'element o d' ar ea d :cliV ris petto alle nuove var iab ili 1.<,1: .
fZ)
Si v uo le e sp rim e re l' ope rat ore d iffe ren1.iale
ri:opet to a lle coord in ate polar i p , B. ( Q uest o è il primo P><-<;SQ per riso lvere l'eq u>l7