Equazioni di elettrodiffusione

Equazioni di elettrodiffusione
Flusso di uno ione su base elettrica


Fe = q · Ee = q · d/dx
Per uno ione (n) di valenza zn:

d
Fe   z n  e  
dx


F = Fe +

v
Fa  
un


F = Fe +

Fa
v = dx/dt

v
 d

Fa   zn  e 
dx u n
Allo stato stazionario:

F = 0,
v   zn  e   un 
d
dx
[1]

v
ds
a
dx
dn = cn · ds·dx = cn · ds · v·dt
(dn = moli dello ione n che attraversano l’elemento di superficie ds nel tempo dt)
dn
 Φn  cn  v
dt  ds
[2]
 sostituendo la [1] nella [2]
Φn(e)   zn  e  cn  un 
d
dx
1
Flusso su base diffusionale
Φn(d)   Dn 
dcn
dx
Legge di Fick
Corrente elettrodiffusionale
d
dc
 Dn  n
dx
dx
d

dc
2
J n  zn  F  Φn   zn  F  e  cn  un 
 zn  F  Dn  n
dx
dx
Φn  Φn(e)  Φn(d)   zn  e  cn  un 
(Jn: densità di corrente dovuta allo ione n)
e+ = F/NA;
Essendo:
un/NA  u n;
Dn = u n·RT,
u n = Dn /RT,
J n   zn 
F2
d
dc
D
d
dc
2
 cn  un 
 zn  F  Dn  n   zn  F 2  n  cn 
 zn  F  Dn  n
NA
dx
dx
RT
dx
dx
zn  F  Dn 
dcn
D
d
2
 zn  F 2  n  cn 
 J n 0
dx
RT
dx
2
dcn zn  F
d
Jn

 cn 

0
dx
RT
dx zn  F  Dn
Equazione di Nernst-Planck
2
Condizione di campo costante:
dcn zn  F  Vm
Jn

 cn 
0
dx
RT  l
zn  F  Dn
cn ( x)  B  e
cn ( x)  e
zn F Vm
x
RT l
z F Vm
 n
x
RT l

B
J n  RT  l
zn  F 2  Dn V m
2
z F Vm
 n
x
J n  RT  l
RT l

e
2
2
zn  F  Dn V m
[3]
 Prima condizione al contorno (boundary condition): a x = 0, cn (0)  ci
ci  B 
J n  RT  l
zn  F 2  Dn V m
B  ci 
J n  RT  l
zn  F 2  Dn V m
2
[4]
2
Sostituendo la [4] nella [3]:
cn ( x)  e
z F Vm
 n
x
RT l
 ci 
J n  RT  l
zn  F 2  Dn V m
2

J n  RT  l
zn  F 2  Dn V m
2
e
z F Vm
 n
x
RT l

J n  RT  l
zn  F 2  Dn V m
2
  zn F Vm x

  e RT l  1  ci


 Seconda condizione al contorno: a x = l, cn (l )  co
co  e
z F Vm
 n
RT

J n  RT  l
zn  F 2  Dn V m
2
  zn F Vm

  e RT  1  ci


z F Vm
 n
zn  F 2  Dn  Vm ci  co  e RT
J n

z F Vm
RT  l
 n
1  e RT
2
Equazione di Goldman
(o equazione di campo costante)
z F Vm
 n
z  F 2  Pn  Vm ci  co  e RT
J n n

z F Vm
RT
 n
1  e RT
2
(Pn  Dn/l: permeabilità specifica di membrana allo ione n)
3
Se dcn/dx = 0,
Jn = zn2·F2·cn· u n · d/dx = zn2·F2·cn· u n ·Vm/l
(posto Vm =  )
In = Jn · S = zn2·F2·cn· u n·(S/l) · Vm
Itot =  In = Vm · (S/l) · zn2·F2·cn· u
n
 ponendo  zn ·F ·cn· u n = 1/
2
2
Itot = (1/)·(S/l) · Vm
 ponendo R
Itot = Vm / R
=  · (l/S)
Legge di Ohm
4
Alcune situazioni particolari:
1) Per Jn = 0,
cn(i)  cn(o)·e(zn·F/RT)·Vm = 0

Vm = Veq(n) = (RT/znF) · ln(cn(o)/cn(i))
Legge di Nernst
2) Per cn(i) = cn(o),
Jn = (zn2·F2/RT)·cn·Pn·Vm,
In = Jn · S = (zn2·F2/RT)·cn·Pn´·Vm
3) Per Vm  +,
Jn  (zn2·F2/RT)·cn(i)·Pn·Vm;
per Vm  ,
Jn  (zn2·F2/RT)·cn(o)·Pn·Vm
(Relazione ohmica)
(Relazioni ohmiche)
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Allo stato stazionario:
 Jn = 0
Per zn = +1 o –1,
 Pn+·(cn(i)  cn(o)·e(F/RT)·Vm)/(1  e(F/RT)·Vm) +  Pn–·(cn(i)  cn(o)·e(F/RT)·Vm)/(1  e(F/RT)·Vm) =
=  Pn+·(cn(i)  cn(o)·e(F/RT)·Vm)/(1  e(F/RT)·Vm) +  Pn–·(cn(o)  cn(i)·e(F/RT)·Vm)/(1  e(F/RT)·Vm) =
=0

 Pn+·(cn(i)  cn(o)·e(F/RT)·Vm) =  Pn–·(cn(o)  cn(i)·e(F/RT)·Vm)

 Pn+·cn(i) +  Pn–·cn(o) = [ Pn+·cn(o) +  Pn–·cn(i)]·e(F/RT)·Vm

Vm 
RT
 ln
F
P
P
P
 P
n
 cn (o ) 
n
 cn(i)
n
 cn (i )
n
 cn(o)
Equazione di Goldman-Hodgkin-Katz
6
Legenda
cn
concentrazione dello ione n (mol/l)
Dn
coefficiente di diffusione dello ione n
e+
carica elementare positiva (carica di un protone)

Ee
campo elettrico
F

Fe
costante di Faraday (carica totale di una mole di un catione monovalente)
forza elettrica

Fa
forza d’attrito
Jn
densità di corrente (A/cm2)
NA
numero di Avogadro
Pn
permeabilità specifica per lo ione n (cm/s)
Pn ´
permeabilità per lo ione n (cm3/s)
un
mobilità dello ione n
u
mobilità molare dello ione n
n
Vm
differenza di potenziale transmembranaria (in  out)
zn
valenza dello ione n
n(e), n(d)
flusso elettrico, flusso diffusionale dello ione n [mol/(s·cm2)]

resistività

potenziale elettrico
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