Equazioni di elettrodiffusione
Flusso di uno ione su base elettrica
Fe = q · Ee = q · d/dx
Per uno ione (n) di valenza zn:
d
Fe z n e
dx
F = Fe +
v
Fa
un
F = Fe +
Fa
v = dx/dt
v
d
Fa zn e
dx u n
Allo stato stazionario:
F = 0,
v zn e un
d
dx
[1]
v
ds
a
dx
dn = cn · ds·dx = cn · ds · v·dt
(dn = moli dello ione n che attraversano l’elemento di superficie ds nel tempo dt)
dn
Φn cn v
dt ds
[2]
sostituendo la [1] nella [2]
Φn(e) zn e cn un
d
dx
1
Flusso su base diffusionale
Φn(d) Dn
dcn
dx
Legge di Fick
Corrente elettrodiffusionale
d
dc
Dn n
dx
dx
d
dc
2
J n zn F Φn zn F e cn un
zn F Dn n
dx
dx
Φn Φn(e) Φn(d) zn e cn un
(Jn: densità di corrente dovuta allo ione n)
e+ = F/NA;
Essendo:
un/NA u n;
Dn = u n·RT,
u n = Dn /RT,
J n zn
F2
d
dc
D
d
dc
2
cn un
zn F Dn n zn F 2 n cn
zn F Dn n
NA
dx
dx
RT
dx
dx
zn F Dn
dcn
D
d
2
zn F 2 n cn
J n 0
dx
RT
dx
2
dcn zn F
d
Jn
cn
0
dx
RT
dx zn F Dn
Equazione di Nernst-Planck
2
Condizione di campo costante:
dcn zn F Vm
Jn
cn
0
dx
RT l
zn F Dn
cn ( x) B e
cn ( x) e
zn F Vm
x
RT l
z F Vm
n
x
RT l
B
J n RT l
zn F 2 Dn V m
2
z F Vm
n
x
J n RT l
RT l
e
2
2
zn F Dn V m
[3]
Prima condizione al contorno (boundary condition): a x = 0, cn (0) ci
ci B
J n RT l
zn F 2 Dn V m
B ci
J n RT l
zn F 2 Dn V m
2
[4]
2
Sostituendo la [4] nella [3]:
cn ( x) e
z F Vm
n
x
RT l
ci
J n RT l
zn F 2 Dn V m
2
J n RT l
zn F 2 Dn V m
2
e
z F Vm
n
x
RT l
J n RT l
zn F 2 Dn V m
2
zn F Vm x
e RT l 1 ci
Seconda condizione al contorno: a x = l, cn (l ) co
co e
z F Vm
n
RT
J n RT l
zn F 2 Dn V m
2
zn F Vm
e RT 1 ci
z F Vm
n
zn F 2 Dn Vm ci co e RT
J n
z F Vm
RT l
n
1 e RT
2
Equazione di Goldman
(o equazione di campo costante)
z F Vm
n
z F 2 Pn Vm ci co e RT
J n n
z F Vm
RT
n
1 e RT
2
(Pn Dn/l: permeabilità specifica di membrana allo ione n)
3
Se dcn/dx = 0,
Jn = zn2·F2·cn· u n · d/dx = zn2·F2·cn· u n ·Vm/l
(posto Vm = )
In = Jn · S = zn2·F2·cn· u n·(S/l) · Vm
Itot = In = Vm · (S/l) · zn2·F2·cn· u
n
ponendo zn ·F ·cn· u n = 1/
2
2
Itot = (1/)·(S/l) · Vm
ponendo R
Itot = Vm / R
= · (l/S)
Legge di Ohm
4
Alcune situazioni particolari:
1) Per Jn = 0,
cn(i) cn(o)·e(zn·F/RT)·Vm = 0
Vm = Veq(n) = (RT/znF) · ln(cn(o)/cn(i))
Legge di Nernst
2) Per cn(i) = cn(o),
Jn = (zn2·F2/RT)·cn·Pn·Vm,
In = Jn · S = (zn2·F2/RT)·cn·Pn´·Vm
3) Per Vm +,
Jn (zn2·F2/RT)·cn(i)·Pn·Vm;
per Vm ,
Jn (zn2·F2/RT)·cn(o)·Pn·Vm
(Relazione ohmica)
(Relazioni ohmiche)
5
Allo stato stazionario:
Jn = 0
Per zn = +1 o –1,
Pn+·(cn(i) cn(o)·e(F/RT)·Vm)/(1 e(F/RT)·Vm) + Pn–·(cn(i) cn(o)·e(F/RT)·Vm)/(1 e(F/RT)·Vm) =
= Pn+·(cn(i) cn(o)·e(F/RT)·Vm)/(1 e(F/RT)·Vm) + Pn–·(cn(o) cn(i)·e(F/RT)·Vm)/(1 e(F/RT)·Vm) =
=0
Pn+·(cn(i) cn(o)·e(F/RT)·Vm) = Pn–·(cn(o) cn(i)·e(F/RT)·Vm)
Pn+·cn(i) + Pn–·cn(o) = [ Pn+·cn(o) + Pn–·cn(i)]·e(F/RT)·Vm
Vm
RT
ln
F
P
P
P
P
n
cn (o )
n
cn(i)
n
cn (i )
n
cn(o)
Equazione di Goldman-Hodgkin-Katz
6
Legenda
cn
concentrazione dello ione n (mol/l)
Dn
coefficiente di diffusione dello ione n
e+
carica elementare positiva (carica di un protone)
Ee
campo elettrico
F
Fe
costante di Faraday (carica totale di una mole di un catione monovalente)
forza elettrica
Fa
forza d’attrito
Jn
densità di corrente (A/cm2)
NA
numero di Avogadro
Pn
permeabilità specifica per lo ione n (cm/s)
Pn ´
permeabilità per lo ione n (cm3/s)
un
mobilità dello ione n
u
mobilità molare dello ione n
n
Vm
differenza di potenziale transmembranaria (in out)
zn
valenza dello ione n
n(e), n(d)
flusso elettrico, flusso diffusionale dello ione n [mol/(s·cm2)]
resistività
potenziale elettrico
7
