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dispense di geometria e algebra

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fausto de mari
elementi di algebra lineare e
di geometria analitica
Fausto De Mari: Elementi di Algebra Lineare e di Geometria Analitica
Copyright c 2018 Fausto De Mari. Tutti i diritti riservati.
Questo testo viene diffuso gratuitamente per gli studenti che seguono corsi
tenuti dall’autore e per chiunque fosse interessato ai contenuti trattati. E’
pertanto proibita la diffusione e la riproduzione, anche solo parziale, in
ogni forma o mezzo, se fatta a scopo di lucro.
(Versione Marzo 2018)
CONTENTS
1
2
3
prerequisiti
1
1.1 Cenni di teoria degli insiemi
1.2 Applicazioni tra insiemi
6
1.3 Gruppi, Anelli e Campi
8
1
spazi vettoriali
13
2.1 Spazi vettoriali su un campo
13
2.2 Sottospazi
16
2.3 Dipendenza e indipendenza lineare
19
2.4 Spazi vettoriali di dimensione finita
21
2.5 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali
27
2.6 Immagine e nucleo di un’applicazione lineare
2.7 Spazi euclidei reali
32
matrici e sistemi lineari
41
3.1 Generalità e operazioni tra matrici
41
3.2 Matrici a scala
43
3.3 Determinante di una matrice
48
3.4 Matrici Invertibili
52
3.5 Dipendenza lineare e rango di una matrice
3.6 Generalità sui sistemi lineari
58
3.7 Metodi di risoluzione
60
3.8 Sitemi lineari omogenei
65
3.9 Matrici e applicazioni lineari
68
3.10 Matrice del cambio di base
72
4
diagonalizzazione di endomorfismi e matrici
4.1 Autovalori, autovettori e autospazi
75
4.2 Endomorfismi diagonalizzabili
78
4.3 Matrici diagonalizzabili
82
5
geometria analitica
85
5.1 Sottospazi affini di Rn
85
5.2 Geometria affine in R2
89
5.3 Geometria affine in R3
91
5.4 Questioni metriche 100
31
54
75
iii
1
1.1
PREREQUISITI
cenni di teoria degli insiemi
Anche se è da ritenersi acquisita dagli studi precedenti una certa familiarità
con la teoria degli insiemi, con la relativa nomenclatura e con la relativa
simbologia, in questo primo paragrafo si riporta, per comodità del lettore,
un brevissimo sunto dell’argomento.
In teoria (elementare) degli insiemi, i concetti di ente, di insieme e di proprietà sono concetti primitivi. In maniera intuitiva, un insieme è una collezione
di enti, o oggetti, di natura arbitraria. Gli insiemi si indicano con le lettere
maiuscole dell’alfabeto ed i loro elementi con le lettere minuscole. Per indicare che un ente x è un elemento di un insieme S si scrive x ∈ S e si legge
x appartiene ad S, la scrittura x 6∈ S indica invece che x non appartiene ad
S ossia che x non è un elemento di S. Se P è una proprietà e x è un ente
per il quale la proprietà P è vera si usa una delle scritture x : P o x|P e si
legge x tale che P. Esistono delle proprietà che risultano false per ogni ente,
come ad esempio la proprietà “x 6= x"; una proprietà che è falsa per ogni
ente determina un insieme privo di elementi chiamato insieme vuoto che si
denota col simbolo ∅.
Un insieme può essere definito elencando i suoi elementi oppure specificando le proprietà soddisfatte dai suoi elementi. Ad esempio possiamo
scrivere
{0, 1, 2, 3, −1, −2}
oppure
{n ∈ Z | − 2 6 n 6 3}
per indicare l’insieme dei numeri interi compresi tra −2 e 3. Nella precedente scrittura Z sta ad indicare l’insieme dei numeri interi relativi, più in
generale per gli insiemi numerici le notazioni usuali sono:
N0 = {0, 1, 2, 3, . . . } numeri naurali incluso lo 0;
N numeri naturali escluso lo 0;
Z numeri interi relativi (ossia positivi e negativi, incluso lo 0);
Q numeri razionali (ovvero i quozienti di interi);
R numeri reali.
In un insieme l’ordine degli elementi è irrilevante, ad esempio le scritture
{x, y} e {y, x} rappresentano lo stesso insieme, inoltre l’eventuale presenza di
ripetizioni non modifica la natura dell’insieme, ad esempio i simboli {x, y},
{y, x} e {x, y, y} rappresentano tutti lo stesso insieme.
Siano S e T insiemi. Si dice che S è contenuto in T , o che T contiene S, se
ogni elemento di S è anche un elemento di T ; in tal caso si scrive S ⊆ T e si
dice anche che S è una parte di T , o che S è un sottoinsieme di T , o che S è
incluso in T oppure che T contiene S. In simboli si scrive
S ⊆ T ⇔ ∀x x ∈ S ⇒ x ∈ T .
Nella precendente scrittura compaiono i simboli “⇔" (equivalenza), “⇒" (implicazione) e “∀". Se P e Q sono due proposizioni si scrive P ⇒ Q, e si
1
prerequisiti
2
legge “P implica Q", per indicare che Q è conseguenza di P, mentre si scrive
P ⇔ Q, e si legge “P se e solo se Q", per indicare che P ⇒ Q e che Q ⇒ P.
Invece il simbolo “∀" traduce la parola “per ogni" e si chiama quantificatore
universale. Un altro simbolo di cui si farà uso è “∃" che si chiama quatificatore
esistenziale e traduce in simbolo la parola “esiste"; talvolta il quantificatore
esistenziale precederà un punto esclamativo “∃!" e in tal caso questo simbolo
tradurrà la parola “esiste ed è unico".
Chiaramente l’insieme vuoto ∅ è contenuto in ogni insieme, mentre qualsiasi sia l’insieme S è sempre vero che S ⊆ S. Quindi, detto insieme delle parti
di S l’insieme
P(S) = {X | X ⊆ S},
si ha che P(S) non è mai vuoto perchè ad esso appartengono sempre gli
insiemi ∅ e S. Si osservi anche che S = T se e solo se S ⊆ T e T ⊆ S. Si dice
che l’insieme S è contenuto propriamente nell’insieme T se S ⊆ T e S 6= T ; in
tal caso si scrive S ⊂ T e si dice anche che S è una parte propria di T , o che
è un sottoinsieme proprio di T . Infine, la scrittura S 6⊆ T indica che S non è
contenuto in T .
Siano S e T insiemi. Si dice intersezione di S e T l’insieme S ∩ T i cui
elementi appartengono sia ad S che T ; in particolare, due insiemi la cui
intesezione è l’insieme vuoto si dicono disgiunti. Si dice unione di S e T
l’insieme S ∪ T i cui elementi sono in S oppure in T ; infine, si dice differenza
di S e T l’insieme S \ T di tutti gli elementi che sono in S ma non in T .
Quindi:
S ∩ T = {x | x ∈ S e x ∈ T }, S ∪ T = {x | x ∈ S o x ∈ T }
e
S \ T = {x | x ∈ S e x 6∈ T }.
Se S, T e V sono insiemi, alcune delle proprietà dell’unione e dell’intersezione sono qui di seguito elencate:
(i) S ∩ S = S e S ∪ S = S (proprietà iterativa);
(ii) S ∩ T = T ∩ S e S ∪ T = T ∪ S (proprietà commutativa);
(iii) (S ∩ T ) ∩ V = S ∩ (T ∩ V) e (S ∪ T ) ∪ V = S ∪ (T ∪ V) (proprietà associativa);
(iv) (S ∪ T ) ∩ V = (S ∩ V) ∪ (T ∩ V) (proprietà distributiva dell’intersezione
rispetto all’unione);
(v) (S ∩ T ) ∪ V = (S ∪ V) ∩ (T ∪ V) (proprietà distributiva dell’unione rispetto
all’intersezione).
Siano x ed y enti. Si dice coppia di prima coordinata x e di seconda coordinata y l’insieme
(x, y) = {{x}, {x, y}}
Sostanzialmente la coppia (x, y) indica un insieme in cui l’ordine degli elementi ha un peso, che è per questo differente dall’insieme {x, y}, e precisamente è un insieme in cui il “primo" elemento è x e il “secondo" elemento è
y. E’ infatti semplice accorgersi che
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 e y1 = y2
1.1 cenni di teoria degli insiemi
Il concetto di coppia si estende al concetto di terna (x, y, z), che potrebbe
essere definita formalmente come la coppia di prima coordinata (x, y) e seconda coordinata z, e così via possono essere definite le quadruple, le quintuple, o più in generale le n-uple (con n > 2). In maniera informale possiamo
dire che una n-upla è un insieme ordinato di n elementi (x1 , x2 , . . . , xn ) in
cui x1 è il primo elemento, x2 è il secondo elemento, e così via xn è l’n-simo
elemento, ed è inoltre un insieme che gode della seguente proprietà
(x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , yn ) ⇐⇒ x1 = y1 , x2 = y2 ,. . . , xn = yn .
Se S e T sono due insiemi, si dice prodotto cartesiano di S e T l’insieme
S × T = {(x, y) | x ∈ S e y ∈ T };
nel caso particolare in cui S = T invece che di prodotto cartesiano si parla
di quadrato cartesiano e l’insieme S × S si denota anche con S2 . Si noti che (se
anche S e T sono insiemi)
S × T = S × T ⇔ S = S e T = T;
(1)
in particolare quindi
S × T = T × S ⇔ S = T.
Inoltre
S × T = ∅ ⇔ S = ∅ oppure T = ∅.
Esempio 1.1.1. Considerati gli insiemi S = {F, N} e T = {], [, \} si ha che
S × T = {(F, ]), (F, [), (F, \), (N, ]), (N, [), (N, \)}.
E’ abbastanza naturale estendere il concetto di prodotto cartesiano al caso
di un numero arbitrario n > 2 di insiemi S1 , . . . , Sn , ponendo
S1 × · · · × Sn = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ Si ∀i = 1, . . . , n};
inoltre, in analogia col quadrato cartesiano, il simbolo Sn indicherà il prodotto cartesiano dell’insieme S per se stesso n volte. Anche in questo caso
valgono le analoghe proprietà elencate in precedenza nel caso del prodotto
cartesiano di due insiemi.
Siano S e T insiemi non vuoti. Una corrispondenza di S in T è una coppia
R = (S × T , G) dove G è un sottoinsieme dell’insieme S × T che viene detto
grafico della corrispondenza; inoltre, un elemento x ∈ S si dice nella corrispondenza R con un elemento y ∈ T , e si scrive xRy, se risulta (x, y) ∈ G.
Una corrispondenza di S in sé si dice relazione (binaria).
Esempio 1.1.2. Considerati gli insiemi S = {F, N} e T = {], [, \}, una corrispondenza R di S in T si ottiene in corrispondenza della scelta dell’insieme
{(F, \), (N, ]), (N, \)}: in questo caso si ha che FR\, NR] e NR\.
3
4
prerequisiti
Si noti che in una corrispondenza è possibile che un elemento sia in
corrispondenza con più elementi, così come in questo esempio accade per
l’elemento N che è nella corrispondenza R sia con ] che con \. Si noti anche
che la scelta dell’insieme vuoto come grafico definisce una corrispondenza
in S × T , dunque in una corrispondenza è possibile pure che elementi di S
non abbiano nessun corrispondente in T .
Sia S un insieme non vuoto. Una relazione binaria R = (S × S, G) in S si
dice relazione di equivalenza se è:
(i) riflessiva: x R x per ogni x ∈ S;
(ii) simmetrica: se x, y ∈ S sono tali che x R y allora y R x;
(iii) transitiva: se x, y, z ∈ S sono tali che x R y e y R z allora x R z.
Se R = (S × S, G) è una relazione di equivalenza ed x ∈ S, si dice classe di
equivalenza di x modulo R il sottoinsieme degli elementi di S che sono nella
relazione R con x, ossia
[x]R = {y ∈ S | x R y},
e l’elemento x è detto rappresentante della classe di equivalenza [x]R . L’insieme
S/R di tutte le classi di equivalenza modulo R si dice insieme quoziente di S
modulo R. Si ha:
• Per ogni x ∈ S risulta x ∈ [x]R ; in particolare, [x]R 6= ∅.
• Se x, y ∈ e se [x]R 6= [y]R allora [x]R ∩ [y]R = ∅; mentre [x]R = [y]R se
e soltanto se x R y.
[
• S=
[x]R .
x∈S
Le tre precedenti proprietà si possono riassumere dicendo che l’insieme
quoziente S/R costituisce una partizione di S.
Esempio 1.1.3. Se S è un insieme non vuoto, considerata la diagonale di S × S,
ovvero l’insieme
G = {(x, x) : x ∈ S},
la relazione identica in S
ιS = (S × S, G)
è una relazione di equivalenza, e per ogni x ∈ S risulta [x]ιS = {x}.
Esempio 1.1.4. Si consideri la relazione binaria R in Q definita ponendo
aRb se e solo se a − b ∈ Z. Tale relazione è
1) riflessiva: infatti a − a = 0 ∈ Z per ogni a ∈ Q;
2) simmetrica: se a, b ∈ Q e a − b ∈ Z allora b − a = −(a − b) ∈ Z,
quindi se aRb anche bRa;
3) transitiva: se a, b, c ∈ Q sono tali che aRb e bRc allora a − b e b − c
sono numeri interi relativi, dunque anche a − c = (a − b) + (b − c) ∈ Z
e così aRc.
1.1 cenni di teoria degli insiemi
Pertanto R è una relazione di equivalenza in Q e si ha, in particolare, che
[0]R = {a ∈ Q | a − 0 ∈ Z} = Z.
Esempio 1.1.5. Siano S = {a, b, c} e R = (S × S, G) dove
G = {(a, a), (b, b), (a, c), (c, c), (c, a)};
è una relazione di equivalenza e si ha che
[a]R = {a, c} = [c]R
e
[b]R = {b}.
Esempio 1.1.6. Nell’insieme delle rette (del piano o dello spazio) della geometria elementare, la relazione k definita dalla posizione rks se e solo se r
ed s sono coincidenti oppure parallele (si ricordi che due rette sono parallele
se sono complanari e non incidenti), risulta essere una relazione di equivalenza; la classe di equivalenza [r]k di una retta r modulo k viene chiamata
direzione della retta r.
In conclusione a questo paragrafo, si vuole presentare un importante risultato di cui spesso si fa uso nelle dimostrazioni. Pur assumendo qui note le
proprietà che caratterizzano l’insieme dei numeri naturali, si ricorda che se
X è un sottoinsieme non vuoto di N, allora il minimo di X è l’elemento m di
X tale che m 6 x per ogni x ∈ X.
Principio di induzione: Sia X un insieme non vuoto di numeri naturali e si
assuma che X abbia per minimo m. Se n + 1 ∈ X ogni qual volta anche n ∈ X,
allora X = {n ∈ N | n > m}.
Gli esempi che seguono mostrano come si applica il principio di induzione.
Esempio 1.1.7. Si provi che per ogni numero naturale n > 1 risulta
1+2+···+n =
n(n + 1)
.
2
(2)
Essendo
1(1 + 1)
2
la precedente identità è verificata per n = 1. Supponiamo che la (2) sia
verificata per n e andiamo a vedere se è o meno verificata per n + 1. Essendo
1=
1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =
n(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
+ (n + 1) =
2
2
la (2) è vera anche per n + 1 e così, invocando il principio di induzione,
possiamo concludere che l’identità (2) è soddisfatta da ogni numero naturale
n > 1.
In realtà per convicersi che si sta applicando effettivamente il principio
di induzione si dovrebbe considerare l’insieme X di tutti i numeri naturali
n per i quali l’identità (2) è verificata. L’argomento precedente prova che
1 ∈ X, e che n + 1 ∈ X se conosciamo che n ∈ X; pertanto essendo 1 il
minimo di X possiamo concludere che X = N o in altre parole che la (2) è
vera per ogni numero naturale n > 1.
5
6
prerequisiti
Esempio 1.1.8. Si provi che se S è un insieme con n > 1 elementi, allora
P(S) ha 2n elementi.
Se S ha un solo elemento, allora P(S) = {∅, S} e quindi l’asserto è vero se
n = 1. Sia quindi n > 1 e sia l’asserto sia vero per n. Supponiamo che S
abbia n + 1 elementi. Fissato un elemento x di S, risulta S = {x} ∪ T dove
T = S \ {x} è un insieme di n elementi; in particolare, l’ipotesi assicura che
P(T ) ha 2n elementi. Evidentemente i sottoinsiemi di S o sono elementi di
P(T ) o si ottengono come unione tra {x} ed un sottoinsieme di T , dunque in
P(S) c’è il doppio degli elementi di P(T ) ovvero ci sono 2 · 2n = 2n+1 elementi. Possiamo pertanto applicare il principio di induzione, e concludere
che l’asserto è vero per ogni n ∈ N.
1.2
applicazioni tra insiemi
Considerati due insiemi non vuoti S e T , un’applicazione (o funzione) f di S
in T è una corrispondenza f = (S × T , G) tale che per ogni elemento x ∈ S
esiste un unico elemento y ∈ T per cui (x, y) ∈ G; in tal caso si usa scrivere
f : S → T , inoltre l’insieme S si dice dominio, l’insieme T si dice codominio,
l’insieme G si dice grafico e, per ogni x in S, l’unico elemento y di T per
cui (x, y) ∈ G si denota col simbolo f(x) e si dice immagine di x mediante
f (talvolta si dice pure che y corrisponde ad x rispetto ad f). Con queste
notazioni, quindi, risulta G = {(x, f(x)) | x ∈ S}; inoltre si scrive pure
f : x ∈ S → f(x) ∈ T .
Si noti che se U è una parte non vuota di S, la posizione
fU : x ∈ U → f(x) ∈ T
definisce ancora un’applicazione che si dice applicazione indotta da f su U o
anche restrizione di f ad U.
Se X ⊆ S si dice immagine di X mediante f il sottoinsieme di T
f(X) = {f(x) | x ∈ X};
in particolare, si pone Im f = f(S) e si parla semplicemente di immagine di
f. Se invece Y ⊆ T , si dice antiimagine (o controimmagine) di Y mediante f il
sottoinsieme di S
f−1 (Y) = {x ∈ S | f(x) ∈ Y}.
Tra tutte le applicazioni di un insieme non vuoto S in sè, una che spesso
incontreremo è l’applicazione identica ovvero l’applicazione
ιS : x ∈ S → x ∈ S.
Esempio 1.2.1. Se S = {201, 5, 73}, T = {a, b} e G = {(201, a), (5, a), (73, a)}
allora è semplice accorgersi che f = (S × T , G) è un’applicazione, così com’è
evidente che gli insiemi {(5, a), (73, b)} e {(201, a), (5, a), (5, b), (73, a)} non
possono essere il grafico di nessuna applicazione di S in T , il primo perchè
non contiene nessuna coppia di prima coordinata 201, il secondo perchè
contiene due coppie distinte di prima coordinata 5. Inoltre, ad esempio, se
X = {201, 5} allora f(X) = {a}, mentre se Y = {b} allora f−1 (Y) = ∅.
1.2 applicazioni tra insiemi
Si osservi che se f = (S × T , G) e g = (S × T , G) sono due applicazioni,
allora f = g se e solo se le coppie (S × T , G) e (S × T , G) coincidono, e quindi
se e soltanto se S × T = S × T e G = G. Pertanto, ricordando la (1), si
può concludere che due applicazioni coincidono se e solo se hanno stesso
dominio, stesso codominio e stesso grafico.
Un’applicazione f : S → T si dice:
- Iniettiva: se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, il
che equivale a richiedere che se f(x) = f(y) allora x = y.
- Suriettiva: se ogni elemento del codominio è immagine di qualche
elemento del dominio; in simboli, ∀y ∈ T ∃x ∈ S tale che f(x) = y.
- Biettiva: se è sia iniettiva che suriettiva e quindi se ∀y ∈ T ∃!x ∈ S tale
che f(x) = y.
Un’applicazione biettiva di un insieme non vuoto S in sé è detta anche
permutazione di S. Si noti che l’applicazione identica è banalmente biettiva e
dunque è una permutazione.
Esempio 1.2.2. Nell’insieme Z dei numeri interi relativi, l’applicazione definita dalla posizione f(x) = x2 non è né iniettiva, perchè f(x) = f(−x), né
suriettiva, perchè i numeri negativi non sono immagine di alcun elemento
di Z mediante f; invece l’applicazione definita dalla posizione g(x) = 2x
è evidentemente iniettiva ma non è suriettiva, perchè i numeri dispari non
sono immagine mediante g di alcun numero intero. Ancora, sempre in Z,
l’applicazione definita da h(x) = x + 1 è biettiva ed infine
k(x) =
x se x è positivo o nullo
x + 1 se x è negativo
è evidentemente suriettiva ma non è iniettiva essendo k(0) = 0 = k(−1).
Siano S, T ed U insiemi non vuoti e siano f : S → T e g : T → U applicazioni. Se x ∈ S allora f(x) ∈ T ed ha senso valutare g(f(x)), è possibile quindi definire un’applicazione g ◦ f : S → U mediante la posizione
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) per ogni x ∈ S. L’applicazione g ◦ f si dice applicazione
composta di f e g. E’ opportuno sottolineare che, affinchè si possano comporre due applicazioni, il codomio di quella più a destra deve coincidere
con (o almeno essere contenuto in) quello dell’applicazione più a sinistra.
Esempio 1.2.3. Riferendoci alle applicazioni di Z in sè dell’esempio 1.2.2, si
ha che
(g ◦ h)(x) = g(h(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2
mentre
(h ◦ g)(x) = h(g(x)) = h(2x) = 2x + 1.
Si noti che l’esempio 1.2.3 prova che la composizione di applicazioni non
gode della proprietà commutativa, ovvero in generale si ha che f ◦ g 6= g ◦ f;
invece, quando possibile, la composizione di applicazioni gode della proprietà associativa ovvero se f, g ed h sono tre applicazioni di cui è possibile
considerarne le composte, risulta
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h),
7
8
prerequisiti
infatti, (f ◦ g) ◦ h e f ◦ (g ◦ h) hanno stesso dominio e codominio, ed inoltre
qualsiasi sia l’elemento x nel dominio di h risulta
((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g ◦ h)(x)) = (f ◦ (g ◦ h))(x).
Un’applicazione f : S → T si dice invertibile quando esiste un’applicazione
g : T → S tale che f ◦ g = ιT e g ◦ f = ιS ; in tal caso è semplice accorgersi
che una tale applicazione g è unica, infatti se h : T → S è anch’essa tale da
essere f ◦ h = ιT e h ◦ f = ιS si ha che
h = h ◦ ιT = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f) ◦ g = ιS ◦ g = g.
Dunque una tale applicazione g se esiste è unica; essa viene detta applicazione inversa di f e si usa denotarla col simbolo f−1 . Evidentemente è
sempre invertibile, e coincide con la sua inversa, l’applicazione identica.
Esempio 1.2.4. L’applicazione h(x) = x + 1 di Z in sé, considerata nell’esempio 1.2.2, è invertibile e ha per inversa h−1 : x ∈ Z → x − 1 ∈ Z.
Proposizione 1.2.5. Siano S e T insiemi non vuoti e sia f : S → T un’applicazione.
Allora f è invertibile se e soltanto se f è biettiva.
Dimostrazione. Sia f invertibile e sia g : T → S tale che f ◦ g = ιT e g ◦ f = ιS .
Allora per ogni y ∈ T si ha che y = f(g(y)) con g(y) ∈ S e quindi f è
suriettiva, inoltre se f(x) = f(x0 ) allora risulta x = g(f(x)) = g(f(x0 )) = x0
sicchè f è anche iniettiva e quindi è biettiva. Viceversa, supponiamo che f
sia biettiva. Allora per ogni y ∈ T esiste un unico xy ∈ S tale che y = f(xy ),
così la posizione g(y) = xy definisce un’applicazione g : T → S. Se y ∈ T
allora f(g(y)) = f(xy ) = y e quindi f ◦ g = ιT . D’altra parte se x ∈ S risulta
g(f(x)) = xf(x) = x essendo f iniettiva e f(xf(x) ) = f(x), così g ◦ f = ιS .
Pertanto f è invertibile.
Se f : S −→ T è un’applicazione biettiva tra gli insiemi non vuoti S e T
si ha quindi che f è invertibile. Evidentemente, anche la sua inversa f−1
è invertibile e ha per inversa proprio f; in particolare anche f−1 è biettiva.
Dunque se esiste un’applicazione biettiva di S in T allora ne esiste anche
una di T in S. Due insiemi non vuoti S e T si dicono equipotenti se esiste
un’applicazione biettiva di S in T (o di T in S).
1.3
gruppi, anelli e campi
Siano A ed S insiemi non vuoti. Un’operazione esterna ad S con dominio di operatori in A è un’applicazione ⊥ : A × S −→ S. Se a ∈ A e x ∈ S, l’immagine
⊥(a, x) della coppia (a, x) mediante ⊥ si denota col simbolo a⊥x (e si legge
a composto x). Nel caso particolare in cui è A = S, si parla di operazione
interna ad S, o semplicemente di operazione in S.
Se ⊥ : S × S −→ S è un’operazione interna ad S, si dice che:
- ⊥ è associativa se ∀x, y, z ∈ S risulta (x⊥y)⊥z = x⊥(y⊥z),
- ⊥ è commutativa se ∀x, y ∈ S risulta x⊥y = y⊥x.
1.3 gruppi, anelli e campi
Se poi ∗ è un’altra operazione interna ad S si dice che
- ∗ è distributiva rispetto a ⊥ se comunque presi x, y, z ∈ S si ha che
(x⊥y) ∗ z = (x ∗ z)⊥(y ∗ z) e z ∗ (x⊥y) = (z ∗ x)⊥(z ∗ y).
Esempio 1.3.1. Se S è un qualsiasi insieme e P(S) è l’insieme delle parti di
S, le applicazioni
∩ : (X, Y) ∈ P(S) × P(S) −→ X ∩ Y ∈ P(S)
e
∪ : (X, Y) ∈ P(S) × P(S) −→ X ∪ Y ∈ P(S)
sono operazioni in P(S) e sono associative, commutative e ciascuna è distributiva rispetto all’altra.
Sia S un insieme non vuoto, e siano ⊥1 , . . . , ⊥n operazioni in S, alcune
delle quali eventualmente esterne. La (n + 1)-upla (S, ⊥1 , . . . , ⊥n ) si chiama
struttura algebrica ad n operazioni in S, e l’insieme S si dice sostegno della
struttura algebrica. Quando non da luogo ad equivoco, la struttura algebrica
si identifica col solo sostegno.
Siano S un insieme non vuoto e ⊥ un’operazione in S. Una parte non
vuota X di S si dice stabile (o anche chiusa) rispetto all’operazione ⊥ se risulta
x⊥y ∈ X qualsiasi siano gli elementi x ed y di X; in tal caso, l’applicazione
indotta ⊥X : (x, y) ∈ X × X −→ x⊥y ∈ X è un’operazione interna ad X che
si dice indotta da ⊥ su X. Con abuso di notazione, l’operazione ⊥X spesso
si denota con lo stesso simbolo ⊥ utilizzato per l’operazione in S. Chiaramente le operazioni indotte da operazioni associative (rispettivamente, commutative) sono associative (rispettivamente, commutative). Analogamente,
se ⊥ : A × S −→ S è un’operazione esterna ad S con dominio di operatori
in A, una parte A-stabile di S è un sottoinsieme X di S tale che a⊥x ∈ X per
ogni a ∈ A e per ogni x ∈ X; in tal caso ⊥X : (a, x) ∈ A × X −→ a⊥x ∈ X
è un’operazione esterna ad X con dominio di operatori in A che spesso si
denota ancora col simbolo ⊥.
Una struttura algebrica (S, ⊥), dove ⊥ è un’operazione interna nell’insieme
non vuoto S, si dice monoide se ⊥ è associativa ed esiste un elemento neutro,
ovvero un elemento u ∈ S tale che x ⊥ u = x = u ⊥ x per ogni x ∈ S. Si noti
che se S è un monoide allora l’elemento neutro è unico, infatti se u0 fosse
un altro elemento neutro si avrebbe u = u ⊥ u0 = u0 .
Un elemento x di un monoide (S, ⊥) si dice simmetrizzabile se esiste un
elemento x 0 in S, che viene detto simmetrico (rispetto a ⊥), tale che
x ⊥ x0 = u = x0 ⊥ x
(qui u denota l’elemento neutro di S). Si noti che se l’elemento x è simmetrizzabile allora il simmetrico è unico, infatti se x0 e x00 sono entrambi
simmetrici di x, si ha
x0 = x0 ⊥ u = x0 ⊥ (x ⊥ x00 ) = (x0 ⊥ x) ⊥ x00 = u ⊥ x00 = x00 .
9
10
prerequisiti
Esempio 1.3.2. Se S è un insieme, la struttura algebrica (P(S), ∪) è un monoide commutativo il cui elemento neutro è l’insieme vuoto, ma nessun
elemento diverso dal vuoto è simmetrizzabile. Così come anche (P(S), ∩)
è un monoide commutativo di elemento neutro l’insieme S e in cui nessun
elemento diverso da S è simmetrizzabile.
Una struttura algebrica (G, ⊥), dove ⊥ è un’operazione interna nell’insieme
non vuoto G, si dice gruppo se ⊥ è associativa, dotata di elemento neutro e
se ogni elemento di G è simmetrizzabile rispetto a ⊥ (quindi se G è un
monoide in cui ogni elemento è simmetrizzabile). Un gruppo (G, ⊥) si dice
poi abeliano se ⊥ gode anche della proprietà commutativa. Per un gruppo
sussiste la seguente:
Proposizione 1.3.3. Sia G un gruppo e siano a e b due elementi di G. Allora esite
un unico elemento x di G tale che a ⊥ x = b, ed esiste un unico elemento y di G
tale che y ⊥ a = b.
Dimostrazione. Sia a0 il simmetrico di a rispetto a ⊥. Allora, denotato con u
l’elemento neutro del gruppo, si ha che
b = u ⊥ b = (a ⊥ a0 ) ⊥ b = a ⊥ (a0 ⊥ b);
d’altra parte se c è un elemento di G tale che a ⊥ c = b, si ha
c = u ⊥ c = (a0 ⊥ a) ⊥ c = a0 ⊥ (a ⊥ c) = a0 ⊥ b.
L’altro caso si prova in modo analogo e quindi si omette.
Sia G un gruppo e siano x, y ed a elementi di G. Dalla proposizione 1.3.3
segue che se a ⊥ x = a ⊥ y allora x = y (e si dice che a è “cancellabile
a sinistra”), così come se x ⊥ a = y ⊥ a allora x = y (ovvero a è anche
“cancellabile a destra”). Questa proprietà si esprime dicendo che l’operazione
è regolare o anche che vale la “legge di cancellazione”. Quindi in un gruppo
l’operazione è sempre regolare.
In un gruppo (non abeliano), in genere, si usa denotare l’operazione moltiplicativamente, cioè col simbolo di prodotto ·, in tal caso l’unità si denota col
simbolo 1 e il simmetrico di un elemento x si indica con x−1 e si dice pure
inverso. Nel caso di gruppi abeliani invece è solita la notazione additiva, cioè
l’operazione si denota col simbolo di somma +, in tal caso l’unità si denota
col simbolo 0 e si dice zero, il simmetrico di un elemento x si dice opposto e
si denota col simbolo −x ed inoltre in luogo di x + (−y) si usa scrivere x − y.
Esempio 1.3.4. Sono gruppi abeliani (Z, +), (Q, +), (R, +), dove + denota
la somma ordinaria, ed anche (Q \ {0}, ·) ed (R \ {0}, ·), dove · denota il
prodotto ordinario. Invece (N, +) non è un gruppo, perché 0 l’unico elemento dotato di opposto. Si noti pure che, sebbene rispetto alla somma
non sia un gruppo, in N la somma è regolare. In particolare, in un gruppo
l’operazione è sempre regolare, ma un’operazione può essere regolare pur
non rendendo una struttura algebrica un gruppo. Ancora, non sono gruppi
nè Z nè Z \ {0} rispetto all’operazione di prodotto ordinario, perchè 1 è
l’unico elemento invertibile.
1.3 gruppi, anelli e campi
Esempio 1.3.5. Considerato un insieme non vuoto S sia Sym(S) l’insieme
delle permutazioni su S. La composizione di applicazioni definisce evidentemente un’operazione interna in Sym(S) che, per quanto osservato in
precendenza, è associativa; inoltre è evidente che la permutazione identica è
unità e che ogni permutazione f ha per simmetrico f−1 . Dunque Sym(S) è
un gruppo. In generale, Sym(S) è non abeliano. Infatti, supposto che S contenga (almeno) tre elementi distinti a, b e c e considerate in S le applicazioni
definite dalle seguenti posizioni:

 a se x = b
b se x = a
f(x) =

x se x ∈ S \ {a, b}
e

 a se x = c
c se x = a
g(x) =

x se x ∈ S \ {a, c}
è facile accorgersi che sia f che g sono permutazioni su S e che risulta
f(g(c)) = f(a) = b e g(f(c)) = g(c) = a, dunque f ◦ g 6= g ◦ f.
Supponiamo ora di avere un insieme non vuoto R su cui sono definite due
operazioni interne, che denotiamo con + e ·. La struttura algebrica (R, +, ·)
si dice anello se:
1R (R, +) è un gruppo abeliano.
2R · gode della proprietà associativa, ovvero (x · y) · z = x · (y · z) per ogni
x, y, z ∈ R.
3R · gode della proprietà distributiva rispetto a + ovvero se per ogni x, y e
z in R risulta (x + y) · z = xz + yz e x · (y + z) = xy + xz.
L’anello R si dice poi commutativo se l’operazione di prodotto gode anche
della proprietà commutativa (ossia x · y = y · x per ogni x, y ∈ R), si dice
invece unitario se anche il prodotto ha un elemento neutro ovvero se esiste un
elemento, che solitamente è detto unità e si denota col simbolo 1, tale che
1 · x = x = x · 1 per ogni x ∈ R.
Un anello commutativo unitario R si dice campo se ogni elemento non
nullo è invertibile (ovvero dotato di simmetrico rispetto al prodotto) e quindi
se per ogni x ∈ R esiste in R un elemento, che si denota con x−1 , tale che
xx−1 = 1 = x−1 x. Spesso nel seguito si userà la lettera K per denotare un
campo.
Esempio 1.3.6. Evidentemente la somma e il prodotto ordinario rendono
l’insieme Z dei numeri interi relativi un anello commutativo unitario; mentre somma e prodotto unitario rendono un campo sia l’insieme Q dei numeri
razionali che l’insieme R dei numeri reali.
Proposizione 1.3.7. Sia K un campo. Si ha:
(i) Per ogni elemento a di K risulta a · 0 = 0.
(ii) Se a, b ∈ K risulta (−a)b = −(ab) = a(−b).
(iii) Se a, b ∈ K con a 6= 0, allora da ab = 0 segue b = 0.
11
prerequisiti
12
Dimostrazione. Se a ∈ K, usando le proprietà di anello valide in K si ha:
a0 = a(0 + 0) = a0 + a0
e
a0 = a0 + 0
quindi a0 = 0 per la proposizione 1.3.3 e la (i) è provata. Per provare la (ii)
si noti che
0 = a0 = a(b − b) = ab + a(−b)
e
0 = ab + (−(ab))
quindi sempre la proposizione 1.3.3 assicura che −(ab) = a(−b). In modo
simile si ha pure che −(ab) = (−a)b. Infine per provare la (iii) si noti che
essendo a 6= 0 esiste l’inverso a−1 di a e risulta
b = 1b = (a−1 a)b = a−1 (ab) = a−1 0 = 0
come si voleva.
Si noti che, nella precendete, per le condizioni (i) e (ii) non serve che K
sia un campo, ma basta che K sia un anello; invece per la (iii) è essenziale
che K sia un campo e questa condizione è anche detta “legge di annullamento
del prodotto”.
Esempio 1.3.8. Esistono campi il cui sostegno è un insieme con un numero
finito di elementi. Giusto per citarne uno, ma senza soffermarci nella verifica che effettivamente questo sia un campo, si consideri un insieme K
formato da due elementi qualsiasi, ad esempio K = {, 4}; se in questo insieme defininamo due operazioni interne ponendo
+ = ,
+ 4 = 4,
4 + = 4,
4+4 = e
· = ,
· 4 = ,
4 · = ,
4·4 = 4
si ottiene che (K, +, ·) è un campo e risulta, in particolare, 0 = e 1 = 4
(quindi in K si ha che 1 + 1 = 0).
2
2.1
S PA Z I V E T T O R I A L I
spazi vettoriali su un campo
Siano (V, +) un gruppo abeliano, (K, +, ·) un campo e
⊥ : (λ, v) ∈ K × V −→ λ⊥v ∈ V
un’operazione esterna in V con dominio di operatori in K. La struttura
algebrica (V, +, ⊥) si dice uno spazio vettoriale su K (o un K-spazio vettoriale)
se qualsiasi siano gli elementi λ, µ ∈ K e u, v ∈ V risulta:
1V λ⊥(u + v) = (λ⊥u) + (λ⊥v);
2V (λ + µ)⊥v = (λ⊥v) + (µ⊥v);
3V λ⊥(µ⊥v) = (λµ)⊥v;
4V 1⊥v = v.
In tal caso, gli elementi di V si dicono vettori e quelli di K scalari. Nel
seguito l’operazione esterna ⊥ sarà denotata moltiplicativamente; inoltre,
salvo avviso contrario, si parlerà semplicemente di spazio vettoriale ritenendo fissato il campo K.
Proposizione 2.1.1. Sia V uno spazio vettoriale. Se λ e µ sono elementi di K ed
u e v sono elementi di V, risulta:
(i) λv = 0 se e solo se λ = 0 oppure v = 0;
(ii) λ(−v) = (−λ)v = −(λv);
(iii) (λ − µ)v = λv − µv;
(iv) λ(u − v) = λu − λv.
Dimostrazione. (i)
Usando la condizione 2V della definizione, si ha
0v = (0 + 0)v = 0v + 0v
da cui 0v = 0 per la regolarità della somma; mentre usando la condizione
1V della definizione si ha
λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0
da cui λ0 = 0 sempre per la regolarità della somma. Viceversa, se λv = 0 e
λ 6= 0 allora dalle condizioni 3V e 4V della definzione segue
v = 1v = (λ−1 λ)v = λ−1 (λv) = λ−1 0
e quindi la prima parte della dimostrazione garantisce che v = 0.
(ii) Dalla (i) e dalla condizione 1V della definizione, segue che
0 = λ0 = λ(v + (−v)) = λv + λ(−v)
13
spazi vettoriali
14
sicchè λ(−v) = −(λv); d’altra parte sempre la (i) e questa volta la condizione
2V della definizione assicurano che
0 = 0v = (λ + (−λ))v = λv + (−λ)v
sicchè (−λ)v = −(λv).
(iii) Usando la condizione 2V della definzione, come conseguenza della
(ii) si ha che
(λ − µ)v = λv + (−µ)v) = λv − µv.
(iv)
Dalla condizione 1V della definizione e dalla (ii) segue che
λ(u − v) = λu + λ(−v) = λu − λv.
Esempio 2.1.2. Sia K un campo e si consideri l’insieme
Kn = {(x1 , . . . , xn ) | x1 , . . . , xn ∈ K}
di tutte le n-uple di elementi di K. Gli elementi di Kn si dicono pure vettori
numerici. In Kn è possibile definire un’operazione interna + ponendo
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
(3)
comunque si considerino gli elementi (x1 , . . . , xn ) e (y1 , . . . , yn ) di Kn ; si
noti che le somme che compaiono nella n-upla al secondo membro della
precedente posizione rappresenta la somma tra elementi di K.
Le proprietà della somma di K permettono di provare analoghe proprietà per questa somma ora definita. Comunque si considerano gli elementi (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) e (z1 , . . . , zn ) di Kn , dalla associatività della
somma in K segue l’associatività della somma in Kn :
[(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn )] + (z1 , . . . , zn ) =
= (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) + (z1 , . . . , zn ) =
= ((x1 + y1 ) + z1 , . . . , (xn + yn ) + zn ) =
= (x1 + (y1 + z1 ), . . . , xn + (yn + zn )) =
= (x1 , . . . , xn ) + (y1 + z1 , . . . , xn + zn ) =
= (x1 , . . . , xn ) + [(y1 , . . . , yn ) + (z1 , . . . , zn )]
e analogamente la commutatività della somma tra elementi di K consente
di stabilire che
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (y1 , . . . , yn ) + (x1 , . . . , xn )
cioè anche la somma tra elementi di Kn è commutativa. Evidentemente poi
(x1 , . . . , xn ) + (0, . . . , 0) = (x1 , . . . , xn ) = (0, . . . , 0) + (x1 , . . . , xn )
e
(x1 , . . . , xn ) + (−x1 , . . . , −xn ) = (0, . . . , 0) = (−x1 , . . . , −xn ) + (x1 , . . . , xn )
In definitiva, la somma definita in (3) rende Kn un gruppo abeliano in cui
l’elemento neutro è 0 = (0, . . . , 0) e in cui
−(x1 , . . . , xn ) = (−x1 , . . . , −xn )
2.1 spazi vettoriali su un campo
In Kn andiamo a definire anche un’operazione esterna con dominio di operatori in K, ponendo
λ · (x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn )
per ogni λ ∈ K e per ogni (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn ; evidentemente anche qui
i prodotti che compaiono nella n-upla al secondo membro della precente
identità rappresentano il prodotto tra elementi di K, inoltre nel seguito il
prodotto in Kn verrà indicato per giustapposizione ovvero si scriverà semplicemente λ(x1 , . . . , xn ) in luogo di λ · (x1 , . . . , xn ). Comunque si considerano gli elementi (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) e (z1 , . . . , zn ) di Kn e gli elementi
λ, µ ∈ K, è facile accorgersi che dalla proprietà distributiva del prodotto
rispetto alla somma valida tra elementi di K segue:
1. λ[(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn )] = λ(x1 , . . . , xn ) + λ(y1 , . . . , yn );
2. (λ + µ)(x1 , . . . , xn ) = λ(x1 , . . . , xn ) + µ(x1 , . . . , xn );
inoltre l’associatività del prodotto tra elementi di K assicura che
3. (λµ)(x1 , . . . , xn ) = λ[µ(x1 , . . . , xn )];
ed infine è evidente che
4. 1(x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn ).
Pertanto la struttura algebrica (Kn , +, ·) è uno spazio vettoriale detto
spazio vettoriale numerico su K e gli elementi di Kn si dicono pure vettori
numerici. Si noti esplicitamente che K = K1 e le operazioni di somma e
prodotto qui definite concidono con le operazioni di somma e prodotto che
rendono K un campo.
Esempio 2.1.3. Siano K un campo e K[x] l’insieme dei polinomi a coefficienti in K (qui per semplicità, così da ritrovare in K[x] un insieme già noto,
si può pensare a K come al campo dei numeri razionali o al campo dei
numeri reali); allora K[x] è un altro esempio di spazio vettoriale su K. Infatti, l’usuale operazione di addizione tra polinomi rende K[x] un gruppo
abeliano ed inoltre, considerati il generico polinomio a0 + a1 x + · · · + an xn
a coefficienti in K e λ ∈ K, la posizione
λ · (a0 + a1 x + · · · + an xn ) = λa0 + λa1 x + · · · + λan xn
definisce un’operazione esterna in K[x] con dominio di operatori in K e la
struttura algebrica (K[x], +, ·) è un K-spazio vettoriale.
Esempio 2.1.4. Sia K un campo. Una matrice A (di tipo) m × n sul campo K
è una tabella ad m righe ed n colonne di elementi di K (per una definizione
formale si veda il successivo paragrafo 3.1); indicando il generico elemento
di A che si trova sulla i-ma riga e j-ma colonna col simbolo aij , si scrive poi



A=

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am1
am2
...
amn



,

15
16
spazi vettoriali
o in modo compatto A = (aij ). L’insieme di tutte le matrici m × n su K
si denota con Mm,n (K). Nell’insieme Mm,n (K) si definisce un’operazione
interna di somma ponendo
(aij ) + (bij ) = (aij + bij ).
E’ facile accorgersi che con l’operazione così definita Mm,n (K) è un gruppo
abeliano in cui lo zero è la matrice nulla O (cioè la matrice O = (oij ) i cui
elementi oij sono tutti uguali allo zero 0 del campo K), e in cui l’opposto
della matrice (aij ) è la matrice −(aij ) = (−aij ). Se λ ∈ K e A = (aij ) ∈
Mm,n (K), è possibile poi definire un’operazione esterna di prodotto della
matrice A per lo scalare λ ponendo λA = (λaij ) di Mm,n (K). E’ semplice
accorgersi che la struttura algebrica (Mm,n (K), +, ·) è un K-spazio vettoriale.
Esempio 2.1.5. Siano V uno spazio vettoriale su un campo K ed S un insieme non vuoto qualsiasi. Si denoti con V S l’insieme di tutte le applicazioni
con dominio S e codominio V. Se f, g ∈ V S e λ ∈ K, siano f + g e λf le applicazioni di S in V definite rispettivamente dalle posizioni
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
e
(λ · f)(x) = λf(x)
∀x ∈ S.
Si definisce così un’operazione interna + in V S ed un’operazione esterna · in
V S con dominio di operatori in K, rispetto alle quali è semplice accorgersi
che V S risulta essere uno spazio vettoriale su K. In particolare, quindi,
l’insieme KK di tutte le applicazioni di K in sé è dotato di una struttura di
K-spazio vettoriale.
2.2
sottospazi
Sia V uno spazio vettoriale. Una parte W di V si dice K-sottospazio vettoriale
di V, o semplicemente sottospazio vettoriale di V, e si scrive W 6 V, se:
1S W 6= ∅;
2S per ogni u, v ∈ W risulta u + v ∈ W (cioè W è stabile rispetto alla somma
di V);
3S per ogni u ∈ W e per ogni λ ∈ K risulta λu ∈ W (cioè W è stabile
rispetto al prodotto esterno di V).
In tal caso, le operazioni definite in V inducono delle operazioni in W
rispetto alle quali anche W è uno spazio vettoriale; inoltre considerato un
qualsiasi elemento w di W si ha che 0w = 0 ∈ W e per ogni v ∈ W è
−v = (−1)v ∈ W (cfr. proposizione 2.1.1) . Chiaramente, V e {0} sono sottospazi di V detti banali. In particolare, {0} è detto sottospazio nullo, mentre i
sottospazi di V diversi da V sono detti sottospazi propri. E’ semplice inoltre
accorgersi che
W 6 V se e solo se ∀ u, v ∈ W e ∀ λ, µ ∈ K risulta λu + µv ∈ W.
2.2 sottospazi
Esempio 2.2.1. Nello spazio vettoriale numerico R3 , il sottoinsieme
X = {(x, y, z) ∈ R3 | y = 0}
è un sottospazio. Infatti, se (x1 , 0, z1 ) e (x2 , 0, z2 ) sono elementi di X e
λ, µ ∈ R allora
λ(x1 , 0, z1 ) + µ(x2 , 0, z2 ) = (λx1 + µx2 , 0, λz1 + µz2 ) ∈ X.
Invece Y = {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0} non è un sottospazio di R3 perchè esso non
è stabile rispetto all’operazione esterna, infatti (1, 1, 1) ∈ Y mentre invece
(−1) · (1, 1, 1) 6∈ Y.
Esempio 2.2.2. Se K è un campo e n ∈ N, l’insieme Kn [x] dei polinomi
di grado al più n è un sottospazio di K[x], infatti se si considerano due
polinomi f = a0 + a1 x + · · · + an xn e g = b0 + b1 x + · · · + bn xn di grado al
più n, comunque si scelgano λ, µ ∈ K si ha che
λf + µg = (λa0 + µb0 ) + (λa1 + µb1 )x + · · · + (λan + µbn )xn
è ancora un polinomio di Kn [x].
Esempio 2.2.3. Consideriamo lo spazio vettoriale Mn (K) delle matrici quadrate di ordine n sul campo K e il suo sottoinsieme di tutte le matrici simmetriche:
S = {A ∈ Mn (K) : At = A}.
Se A, B ∈ S e λ ∈ K si ha subito che
(A + B)t = At + Bt = A + B e (λA)t = λAt = λA.
Dunque S è un sottospazio vettoriale.
Esempio 2.2.4. Siano k ∈ N0 ed I un intervallo di R. Nell’ R-spazio vettoriale RI di tutte le applicazioni di I in R, un esempio di sottospazio vettoriale è dato dall’insieme Ck (I) di tutte le applicazioni di I in R per le
quali esistono tutte le derivate fino al k-esimo ordine, e tali derivate sono
applicazioni continue. Un altro esempio di sottospazio è l’insieme C∞ (I) di
tutte le applicazioni di I in R dotate di derivata continua di ogni ordine. E’
inoltre semplice accorgersi che, fissata una parte non vuota X di I, l’insieme
{f ∈ RI | f(x) = 0 ∀x ∈ X} è un sottospazio mentre {f ∈ RI | f(x) ∈ Q ∀x ∈ I}
non è un sottospazio.
Esempio 2.2.5. Nello spazio vettoriale numerico R2 , considerando i sottospazi X = {(t, 2t) | t ∈ R} e Y = {(t, t) | t ∈ R}, si ha che (1, 2) ∈ X e
(1, 1) ∈ Y ma (2, 3) = (1, 2) + (1, 1) non appartiene a X ∪ Y, sicchè X ∪ Y non
è stabile rispetto alla somma e quindi non è un sottospazio di R2 .
In generale, quindi, come l’esempio precedente mostra, l’unione di sottospazi può non essere un sottospazio. Differente è il caso dell’intersezione
di sottospazi.
17
18
spazi vettoriali
Proposizione 2.2.6. Sia V uno spazio vettoriale e siano W1 , . . . , Wn sottospazi
di V. Allora W1 ∩ · · · ∩ Wn è un sottospazio di V.
Dimostrazione. Poichè il vettore nullo è in ogni sottospazio, si ha che il vettore nullo è in W1 ∩ · · · ∩ Wn e quindi W1 ∩ · · · ∩ Wn 6= ∅. Ora, se λ, µ ∈ K
e u, v ∈ W1 ∩ · · · ∩ Wn , allora u e v ∈ Wi per ogni i = 1, . . . , n, conseguentemente anche λu + µv ∈ Wi per ogni i = 1, . . . , n e quindi λu + µv è in
W1 ∩ · · · ∩ Wn . Pertanto W1 ∩ · · · ∩ Wn è un sottospazio di V.
Sia V uno spazio vettoriale. Una combinazione lineare di v1 , . . . , vn ∈ V è
una somma del tipo λ1 v1 + · · · + λn vn dove λ1 , . . . , λn ∈ K sono degli scalari
detti coefficienti della combinazione lineare. Considerata poi una parte non
vuota X di V, sia L[X] il sottoinsieme di V i cui elementi sono le combinazioni
lineari, a coefficienti in K, dei vettori che sono in X:
L[X] = {λ1 x1 + · · · + λn xn | n ∈ N; λ1 , . . . , λn ∈ K; x1 , . . . , xn ∈ X}.
Proposizione 2.2.7. Siano V uno spazio vettoriale e X una parte non vuota di V.
Allora
(i) L[X] è un sottospazio di V che contiene X;
(ii) Se W è un sottospazio di V che contiene X, allora W contiene anche L[X].
Dimostrazione. Evidentemente X è contenuto in L[X] ed inoltre L[X] è un
sottospazio di V perchè se u, v ∈ L[X], allora u e v sono combinazioni lineari
di elementi di X e, se λ, µ ∈ K, anche λu + µv è combinazione lineare di
elementi di X e pertanto è un elemento di L[X]. Se poi W è un sottospazio
di V che contiene X, allora W deve contenere tutte le combinazioni lineari
di elementi di X e pertanto L[X] è contenuto in W.
Se X è una parte non vuota di V, la proposizione 2.2.7 assicura che L[X] è
un sottospazio di V e che tra i sottospazi di V esso è il “più piccolo” (rispetto
all’inclusione) a contenere X. Il sottospazio L[X] si dice sottospazio di V generato da X. Evidentemente, se X è un sottospazio di V risulta L[X] = X.
Inoltre se X = {x1 , . . . , xn } è una parte finita di V, allora il sottospazio generato da X si denota anche con L[x1 , . . . , xn ]. La precedente definizione si
estende anche al caso in cui X sia l’insieme vuoto ponendo L[∅] = {0}.
Se V è uno spazio vettoriale e W1 , W2 , . . . , Wn sono sottospazi di V, si
dice sottospazio somma di W1 , W2 , . . . , Wn il sottospazio
W1 + W2 + · · · + Wn = L[W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Wn ].
Come semplice conseguenza dalla definizione di spazio generato da una
parte, si ha che lo spazio somma è l’insieme di tutte le somme del tipo
w1 + w2 + · · · + wn con ogni wi elemento del rispettivo Wi :
W1 + W2 + · · · + Wn = {w1 + w2 + · · · + wn | wi ∈ Wi ∀i = 1, . . . , n}.
Il sottospazio W di V è somma diretta dei sottospazi W1 , W2 , . . . , Wn se
(a) W = W1 + W2 + · · · + Wn ;
2.3 dipendenza e indipendenza lineare
(b) Wi ∩ (W1 + · · · + Wi−1 + Wi+1 + · · · + Wn ) = {0} per ogni i = 1, . . . , n;
in questo caso si scrive
W = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wn .
Sussiste la seguente proprietà, la cui verifica viene lasciata per esercizio.
Esercizio 2.2.8. Siano V uno spazio vettoriale e W1 , . . . , Wn sottospazi di V. Un
sottospazio W di V è somma diretta dei sottospazi W1 , . . . , Wn se e solo se ogni
elemento di W si scrive in modo unico come somma w1 + · · · + wn con wi ∈ Wi
per ogni i = 1, . . . , n.
Esempio 2.2.9. Consideriamo lo spazio vettoriale numerico R3 e gli insiemi
X = {(2t, 0, t) | t ∈ R} ed Y = {(0, s, 0) | s ∈ R}.
E’ semplice accorgersi che X e Y sono sottospazi di R3 , inoltre si ha che
X = L[(2, 0, 1)], Y = L[(0, 1, 0)] e
X + Y = L[(2, 0, 1), (0, 1, 0)] = {(2s, t, s) | s, t ∈ R}.
Essendo evidente che X ∩ Y = {0}, si ha che X + Y = X ⊕ Y.
2.3
dipendenza e indipendenza lineare
Siano V uno spazio vettoriale ed X una parte non vuota di V. Si dice che
un elemento v di V dipende da X se v ∈ L[X], e quindi se esistono degli
elementi x1 , . . . , xn ∈ X tali che v = λ1 x1 + · · · + λn xn con λ1 , . . . , λn ∈ K.
Evidentemente se v dipende da X allora v dipende da una parte finita di X.
Si osservi che se v ∈ X, allora v = 1 · v dipende da X; inoltre, se Y è una
parte non vuota di X, ogni elemento di V che dipende da Y dipende anche
da X. E’ anche chiaro che il vettore nullo dipende da ogni parte non vuota
di V, essendo 0 = 0 · v per ogni v ∈ V.
I vettori v1 , v2 , . . . , vn a due a due distinti di V si dicono linearmente dipendenti se esistono degli scalari non tutti nulli λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K tali che
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn = 0; differentemente, i vettori v1 , v2 , . . . , vn si dicono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti, cioè se da
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn = 0 segue che λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
Se v1 , . . . , vn sono vettori a due a due distinti di V, facendo uso delle
proprietà valide in uno spazio vettoriale, si ha che
λ1 v 1 + λ2 v 2 + · · · + λn v n = 0
con
λi 6= 0,
se e solo se
−1
−1
−1
vi = −λ−1
i λ1 v1 − · · · − λi λi−1 vi−1 − λi λi+1 vi+1 − · · · − λi λn vn ;
in particolare,
vi ∈ L[v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn ],
19
20
spazi vettoriali
se e soltanto se
L[v1 , . . . vn ] = L[v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn ].
Pertanto i vettori v1 , . . . , vn sono linearmente dipendenti se e solo se (almeno) uno di essi dipende dall’insieme formato dai restanti vettori. In particolare, nel caso di due vettori v1 e v2 si ottiene che essi sono dipendenti se
e solo se esiste uno scalare non nullo λ ∈ K tale che v1 = λv2 e v2 = λ−1 v1 ,
o in altre parole, se e solo se ciascuno di essi appartiene al sottospazio vettoriale generato dall’altro.
Se V è uno spazio vettoriale, una sua parte X si dice libera o indipendente
se è vuota oppure se comunque si considerano degli elementi a due a due
distinti x1 , . . . , xn in X, essi sono linearmente indipendenti. Se X non è
libera, allora si dice che X è legata o dipendente. Quindi X è legata se X è non
vuota ed esiste una combinazione lineare nulla λ1 x1 + · · · + λn xn = 0 di
elementi x1 , . . . , xn di X con scalari λ1 , . . . , λn non tutti nulli. Chiaramente
X è libera se e solo se è libera ogni sua parte finita, ed è anche chiaro che
ogni sottoinsieme di V che contiene una parte legata è legato. Sicchè essendo
1 · 0 = 0, ogni parte che contiene {0} è legata. Invece, se v ∈ V \ {0}, allora la
(i) della proposizione 2.1.1 assicura che {v} è una parte libera di V. Si noti
inoltre che i vettori v1 , . . . , vn sono linearmente dipendenti (rispettivamente
indipendenti) se e solo se la parte {v1 , . . . , vn } è legata (rispettivamente libera), dunque il prossimo risultato è semplicemente una generalizzazione di
quanto osservato poco fa.
Proposizione 2.3.1. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia X una parte di
V. Allora
(i) X è legata se e solo se esiste un elemento v di X che dipende da X \ {v}.
(ii) X è libera se e solo se non esiste alcun elemento v in X che dipenda da X \ {v}.
Dimostrazione. Essendo (ii) la negazione della (i), basta provare la (i). Sia
X una parte legata, allora X è non vuota ed esistono x1 , . . . , xn ∈ X e
λ1 , . . . , λn ∈ K tali che
λ1 x1 + · · · + λn xn = 0 e λi 6= 0 per qualche i ∈ {1, . . . , n}.
Allora xi dipende da {x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn } e quindi anche da X \ {xi }.
Reciprocamente, supponiamo esita un elemento v di X che dipenda da
X \ {v}. Allora esistono degli elementi x1 , . . . , xn in X \ {v} e degli scalari
λ1 , . . . , λn in K tali che v = λ1 x1 + · · · + λn xn . Così
1 · v − λ1 x1 − · · · − λn xn = 0
è una combinazione lineare nulla di elementi di X con coefficienti non tutti
nulli e pertanto X è legata.
Dunque se V è uno spazio vettoriale e X è una sua parte, X è legata se
e solo se esiste un vettore v ∈ X che dipende da X \ {v}, il che equivale
all’essere L[X] = L[X \ {v}]. Un’altra utile proprietà è la seguente.
Proposizione 2.3.2. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e siano X una parte
di V e v ∈ V. Se X è libero e X ∪ {v} è legato, allora v dipende da X.
2.4 spazi vettoriali di dimensione finita
Proof. Evidentemente v 6∈ X. Siano λ, λ1 , . . . , λn elementi non tutti nulli di
K e siano x1 , . . . , xn elementi di X tali che
λv + λ1 x1 + · · · + λn xn = 0.
Poichè 0v = 0 ed X è una parte libera, segue che λ 6= 0 e quindi
v = −λ−1 λ1 x1 − · · · − λ−1 λn xn .
Sicchè v dipende da X, come si voleva.
Sia V uno spazio vettoriale. Una parte X di V si dice sistema di generatori
di V se si ha che V = L[X]. Chiaramente l’insieme vuoto è un sistema di
generatori di {0}, mentre un insieme non vuoto X è un sistema di generatori
di V se e solo se ogni elemento di V dipende da X, in particolare V è un
sistema di generatori per V. Lo spazio vettoriale V si dice finitamente generato
se ha un sistema di generatori finito. In particolare, se X è una parte finita
di V allora il sottospazio L[X] è uno spazio vettoriale finitamente generato.
Una parte X si dice base per V se X è una parte libera ed un sistema di
generatori per V. Quindi l’insieme vuoto è una base per lo spazio nullo
{0}, ed evidentemente lo spazio nullo è l’unico ad avere per base l’insieme
vuoto.
Esempio 2.3.3. Consideriamo lo spazio vettoriale numerico R3 ed i sottospazi X = L[(2, 0, 1)] e Y = L[(0, 1, 0)]. Chiaramente {(2, 0, 1)} è una base
per X e {(0, 1, 0)} è una base per Y. Se λ, µ ∈ K sono tali che
0 = λ(2, 0, 1) + µ(0, 1, 0) = (2λ, µ, λ)
allora λ = µ = 0. Quindi (2, 0, 1) e (0, 1, 0) sono linearmente indipendenti e
così {(2, 0, 1), (0, 1, 0)} è una base per X ⊕ Y.
Concludiamo enunciando il seguente importante risultato la cui dimostrazione richiede delle conoscenze di teoria degli insiemi più approfondite e
che pertanto si omette; nel prossimo paragrafo se ne darà una dimostrazione
in un caso particolare.
Teorema 2.3.4. Ogni spazio vettoriale possiede una base ed inoltre due basi di uno
stesso spazio vettoriale sono equipotenti tra loro.
2.4
spazi vettoriali di dimensione finita
Si vogliono qui di seguito analizzare le proprietà degli spazi vettoriali che
hanno una base finita.
Lemma 2.4.1. (Lemma di Steinitz) Siano X = {x1 , . . . , xn } ed Y = {y1 , . . . , ym }
due parti finite di uno spazio vettoriale V. Se X è libero ed è contenuto in L[Y], allora
n 6 m.
21
22
spazi vettoriali
Dimostrazione. Senza ledere le generalità, si può supporre V = L[Y]. Per
assurdo sia n > m. Ogni vettore in X è combinazione lineare degli elementi
di Y e quindi si può scrivere
x1 = λ1,1 y1 + · · · + λ1,m ym
con ogni λ1,i ∈ K e con almeno un λ1,i 6= 0, altrimenti sarebbe x1 = 0 e X
sarebbe una parte legata. A meno di rinominare gli indici, supponiamo sia
λ1,1 6= 0. Allora
−1
−1
y1 = λ−1
1,1 x1 − λ1,1 λ1,2 y2 − · · · − λ1,1 λ1,m ym ,
e così y1 dipende da {x1 , y2 , . . . , ym }. Pertanto L[Y] ⊆ L[x1 , y2 , . . . , ym ],
quindi V = L[x1 , y2 , . . . , ym ] e come prima si può ottenere che
x2 = λ2,1 x1 + λ2,2 y2 + · · · + λ2,m ym
per opportuni scalari λ2,1 , . . . , λ2,m . Poichè x2 è non nullo, qualche λ2,i
deve essere non nullo. D’altra parte, se fosse λ2,2 = · · · = λ2,m = 0, allora
λ2,1 6= 0 e {x1 , x2 } sarebbe una parte legata contenuta nella parte libera
X. Questa contraddizione prova che esiste i ∈ {2, . . . , m} tale che λ2,i 6= 0.
Anche questa volta, a meno di rinominare gli indici, possiamo supporre sia
λ2,2 6= 0. Quindi
−1
−1
−1
y2 = −λ−1
2,2 λ2,1 x1 + λ2,2 x2 − λ2,2 λ2,3 y3 − · · · − λ2,2 λ2,m ym .
e pertanto V = L[x1 , x2 , y3 , . . . , ym ]. Iterando questo ragionamento, si ottiene che V = L[x1 , x2 , . . . , xm ] e pertanto xm+1 dipende da {x1 , . . . , xm }.
Conseguentemente {x1 , . . . , xm , xm+1 } è una parte legata, il che è assurdo
essendo essa contenuta nella parte libera X. Questa contraddizione prova
che n 6 m.
Corollario 2.4.2. Sia V uno spazio vettoriale generato da n vettori. Allora ogni
parte libera di V è finita e contiene al più n elementi.
Dimostrazione. Sia L una parte libera di V, allora ogni parte finita X di L è
libera ed essendo V generato da un numero finito n di elementi, il lemma di
Steinitz 2.4.1 ci assicura che X ha al più n elementi; in particolare, L è finito
di ordine al più n.
Teorema 2.4.3. (Estrazione di una base da un sistema di generatori) Sia V
uno spazio vettoriale e sia S un sistema finito di generatori per V. Allora S contiene
una base per V.
Dimostrazione. Supponiamo sia S = {v1 , . . . , vn } e, per ogni i = 1, . . . , n,
poniamo Xi = {v1 , . . . , vi }; sicchè, S = Xn . Se Xn è libero, allora Xn è
una base; se invece Xn è lagato, la proposizione 2.3.1 assicura che esiste un
vettore tra i vi che dipende dai restanti e, a meno di rinominare i vettori in
Xn , si può supporre che questo vettore sia proprio vn , sicchè V = L[Xn ] =
L[Xn−1 ] e dunque Xn−1 è un sistema di generatori di V. Ora, se Xn−1 è
libero allora esso è una base altrimenti, come fatto prima per Xn , si può
supporre che Xn−2 sia un sistema di generatori di V. Evidentemente così
proseguendo si arriverà a provare che un certo Xi è una base per V.
2.4 spazi vettoriali di dimensione finita
Proviamo ora il teorema 2.3.4 nel caso particolare di spazi vettoriali finitamente generabili.
Teorema 2.4.4. (Teorema di esistenza ed equipotenza delle basi) Sia V uno
spazio vettoriale generato da un numero finto n di elementi. Allora V contiene una
base finita di ordine m 6 n e ogni sua base ha m elementi.
Dimostrazione. Se V = {0}, allora V ha per base l’insieme vuoto e l’insieme
vuoto è l’unica base possibile per V, dunque si può supporre che V non sia
lo spazio nullo ovvero che V abbia un sistema di generatori S fatto di n > 1
vettori non nulli. Il Teorema 2.4.3 assicura che S contiene una base B di V;
evidentemente, B ha un numero finito m di elementi e risulta m 6 n.
Sia ora B1 un’altra base per V. Essendo V = L[B], il corollario 2.4.2 assicura che B1 è un insieme finito che contiene un numero k di elementi
con k 6 m. D’altra parte B è contenuto in V = L[B1 ], e quindi ancora il
lemma di Steinitz 2.4.1 assicura che m 6 k, pertanto k = m ed il risultato è
provato.
Sia V uno spazio vettoriale non nullo. Si dice che V ha dimensione finita
(su K), se V ha una base finita. Se V ha una base finita B di ordine m, allora
B è un sistema di generatori finito di V e il teorema 2.4.4 assicura che ogni
altra base di V ha esattamente m elementi. E’ lecito allora definire l’intero
m come la dimensione di V (su K); in tal caso, si scrive dimK (V) = m o
semplicemente dim(V) = m. Per convenzione, anche lo spazio vettoriale
nullo ha dimensione finita pari a 0. Evidentemente uno spazio vettoriale ha
dimensione 0 se e solo se esso è lo spazio vettoriale nullo.
Teorema 2.4.5. (Teorema del completamento di una parte libera ad una
base) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Allora ogni parte libera L
di V può essere completata ad una base (cioè L è contenuta in una base).
Dimostrazione. Il corollario 2.4.2 assicura che L è un insieme finito. Poichè
V ha dimensione finita, esso possiede una base finita B ed evidentemente
S = L ∪ B è un sistema di generatori finito per V. Essendo S finito, tra
i sottoinsiemi liberi di S che contengono L ne esiste uno B con il numero
maggiore di elementi. Allora B è libero, inoltre per ogni v ∈ S \ B l’insieme
B ∪ {v} è legato e quindi v dipende da B per la proposizione 2.3.2. Così
V = L[S] = L[B] e pertanto B è base.
Corollario 2.4.6. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Allora ogni
parte libera con n elementi è una base, ed ogni sistema di generatori con n elementi
è una base.
Dimostrazione. Segue subito dal teorema 2.4.3 e dal teorema 2.4.5.
Il teorema 2.3.4, o se si preferisce il teorema 2.4.4, assicura che ogni spazio
vettoriale (finitamente generato) è dotato di basi. L’utilità della nozione di
base è espressa nell’enunciato del prossimo risultato il quale, in un certo
senso (e come poi si vedrà formalmente in seguito), mostra che i vettori
dello spazio possono essere individuati, una volta fissata una base, mediante
vettori numerici.
23
24
spazi vettoriali
Teorema 2.4.7. Siano V uno spazio vettoriale ed X = {x1 , . . . , xn } una parte finita
di V. Allora X è una base per V se e solo se ogni elemento v di V si scrive come
combinazione lineare v = λ1 x1 + · · · + λn xn in cui i coefficienti λ1 . . . , λn ∈ K
sono univocamente determinati.
Dimostrazione. Se X è una base per V e v ∈ V, allora v = λ1 x1 + · · · + λn xn
con λ1 , . . . , λn ∈ K. Supponiamo sia anche v = µ1 x1 + · · · + µn xn con
µ1 , . . . , µn ∈ K. Allora
(λ1 − µ1 )x1 + · · · + (λn − µn )xn = 0
e quindi, essendo X una parte libera, per ogni i = 1, . . . , n deve essere
λi − µi = 0. Pertanto λi = µi per ogni i = 1, . . . , n e quindi i coefficienti λi
sono univocamente determinati.
Reciprocamente, poichè ogni elemento di V è combinazione lineare di
elementi di X si ha che X è un sistema di generatori di V. Inoltre se
λ1 x1 + · · · + λn xn = 0
allora è
λ1 x1 + · · · + λn xn = 0x1 + · · · + 0xn
e quindi l’unicità dei coefficienti assicura che λ1 = · · · = λn = 0. Pertanto X
è anche una parte libera e dunque è una base per V.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita. Un riferimento di V è
una base B = (x1 , . . . , xn ) vista come n-upla ordinata. Se v un elemento
di V, il teorema 2.4.7 assicura che esistono e sono univocamente determinati degli elementi λ1 , . . . , λn ∈ K tali che v = λ1 x1 + · · · + λn xn . Questi
elementi λ1 , . . . , λn si dicono compomenti del vettore v nel riferimento B, e si
dice anche che il vettore numerico (λ1 , . . . , λn ) è il vettore coordinato (o delle
componenti) di v in B. Osserviamo esplicitamente che se u è un altro vettore
di componenti (µ1 , . . . , µn ) allora risulta
v + u = (λ1 + µ1 )x1 + · · · + (λn + µn )xn
e così l’unicità delle componenti, espressa nel teorema 2.4.7, assicura che il
vettore v + u ha per componenti (λ1 + µ1 , . . . , λn + µn ). Allo stesso modo
se λ ∈ K allora il vettore λv ha componenti (λλ1 , . . . , λλn ).
Esempio 2.4.8. Siano K un campo ed n ∈ N. Per ogni i = 1, . . . , n, posto
ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)
←−−→ i ←−−→
è immediato accorgersi che l’insieme {e1 , . . . , en } è una base per Kn ,detta
base canonica (o anche naturale o standard); in particolare, dim(Kn ) = n.
Evidentemente, poi, rispetto al riferimento canonico (e1 , . . . , en ) il generico
vettore (k1 , . . . , kn ) di Kn ha per componenti k1 , . . . , kn .
Esempio 2.4.9. Lo spazio dei polinomi K[x] su un campo K, invece, non è
finitamente generato e quindi non ha dimensione finita. Infatti, comunque
si prende una parte finita X di K[x] detto m il massimo dei gradi dei polinomi che formano X il polinomio xm+1 , non essendo esprimibile come
combinazione lineare di polinomi di grado al più m, non dipende da X
2.4 spazi vettoriali di dimensione finita
e pertanto X non genera K[x]. D’altra parte però, se n ∈ N, il sottospazio
Kn [x] dei polinomi di grado al più n ha come sistema di generatori la parte
B = {1, x, x2 , . . . , xn }. Facilmente si prova che B è anche una parte libera,
dunque è una base e così dim(Kn [x]) = n + 1. Si noti che il generico polinomio a0 + a1 x + · · · + an xn di Kn [x] ha (a0 , a1 , . . . , an ) come vettore delle
componenti rispetto al riferimento (1, x, x2 , . . . , xn ).
Esempio 2.4.10. Consideriamo lo spazio vettoriale Mm,n (K) delle matrici
m × n sul campo K. Si noti che






0 ... 1
a11 . . . a1n
1 ... 0
. ..
 ..
.
..  = a  .. . .
.
..
 .
11  .
. ..  +
.
. ..  + · · · + a1n  ..
. 
am1
...
amn
0
... 0

0 ...
 .. . .
+ · · · + am1  .
.
1 ...
0 ... 0


0
0 ...
 .. . .
..  + · · · + a
mn  .
.
.
0
0 ...

0
.. 
.
1
sicchè, detta Mij è la matrice il cui unico elemento non nullo è l’elemento
di posto (i, j) che è 1, si ha che l’insieme
B = {Mij | i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n}
è un sistema di generatori per lo spazio vettoriale Mm,n (K). D’altra parte
è semplice accorgersi che B è anche un insieme libero, pertato B è una
base per Mm,n (K), detta talvolta base canonica di Mm,n (K); in particolare,
dim(Mm,n (K)) = mn. Si osservi che la generica matrice


a11 . . . a1n
 ..
.. 
..
 .
.
. 
am1
...
amn
ha componenti (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , am1 , . . . , amn ) rispetto al riferimento canonico (Mij | i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n).
Passiamo ora a provare alcune relazioni tra la dimensione di uno spazio
vettoriale e la dimensione di un suo sottospazio.
Proposizione 2.4.11. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia W un
suo sottospazio. Allora W ha dimensione finita e risulta essere dim(W) 6 dim(V).
Inoltre, dim(W) = dim(V) se e solo se W = V.
Dimostrazione. Evidentemente si può supporre che W non sia lo spazio
nullo. Dunque W contiene un vettore non nullo v e chiaramente {v} è una
parte libera; in particolare, l’insieme
F = {X ⊆ W | X è libera}
è non vuoto. Poichè ogni parte libera di W è una parte libera di V, il
corollario 2.4.2 assicura che ogni parte libera di W ha al più n = dim(V)
elementi. Ha senso quindi fissare in F un elemento B il cui numero di
elementi sia il massimo tra gli ordini delle parti libere di W (che sono in F).
Se v ∈ W \ B, la massimalità dell’ordine di B assicura che la parte B ∪ {v} è
25
26
spazi vettoriali
legata e quindi v dipende da B per la proposizione 2.3.2. Segue così che B
è anche un sistema di generatori, e quindi è una base, per W; in particolare
la dimensione di W essendo l’ordine di B è al più pari alla dimensione di
V. Se poi dim(W) = dim(V) allora il corollario 2.4.6 assicura che B è anche
base di V e pertanto V = L[B] = W.
Teorema 2.4.12. (Formula di Grassmann) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano W1 e W2 suoi sottospazi. Allora
dim(W1 + W2 ) = dim(W1 ) + dim(W2 ) − dim(W1 ∩ W2 ).
Dimostrazione. Per la proposizione 19, i sottospazi W1 , W2 e W1 ∩ W2 hanno
tutti dimensione finita. Il teorema 2.4.5 assicura che è possibile completare
una base B = {v1 , . . . , vr } di W1 ∩ W2 a basi
B1 = {v1 , . . . , vr , u1 , . . . , us } e B2 = {v1 , . . . , vr , w1 , . . . , wt }
di W1 e W2 , rispettivamente. Chiaramente ciascuno dei vettori vi , uj e wk
appartiene a W1 + W2 . Inoltre, poichè ogni elemento di W1 è combinazione
lineare dei vettori vi e uj mentre ogni elemento di W2 è combinazione lineare dei vettori vi e wk , ne segue che ogni elemento di W1 + W2 è combinazione lineare dei vi , uj e wk . Dunque i vettori in questione sono generatori di W1 + W2 , ovvero B1 ∪ B2 è un sistema di generatori per W1 + W2 e
così, al fine di provare che B1 ∪ B2 è una base per W1 + W2 resta da provare
che B1 ∪ B2 è libero. Considerando una combinazione lineare nulla
α1 v1 + · · · + αr vr + β1 u1 + · · · + βs us + γ1 w1 + · · · + γt wt = 0
(4)
si ha che
α1 v1 + · · · + αr vr + β1 u1 + · · · + βs us = −γ1 w1 − · · · − γt wt ∈ W1 ∩ W2
dunque
α1 v1 + · · · + αr vr + β1 u1 + · · · + βs us = δ1 v1 + · · · + δr vr
e così il teorema 2.4.7 garantisce, in particolare, che β1 = · · · = βs = 0.
Pertanto la (4) diventa
α1 v1 + · · · + αr vr + γ1 w1 + · · · + γt wt = 0
ed essendo B2 libero, si ha che α1 = · · · = αr = γ1 = · · · = γt = 0. Così
B1 ∪ B2 è libero, come si voleva. Poichè B1 ∪ B2 ha r + s + t elementi, segue
che
dim(W1 + W2 ) = r + s + t = (r + s) + (r + t) − r =
= dim(W1 ) + dim(W2 ) − dim(W1 ∩ W2 ).
Nel caso sia invece W1 ∩ W2 = {0}, un ragionamento analogo al precedente prova che l’unione tra una base di W1 ed una base di W2 è una base
per W1 + W2 , così anche in questo caso il risultato sussiste.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K e siano
W1 e W2 due sottospazi di V tali che il loro spazio somma W sia una
somma diretta W = W1 ⊕ W2 . Allora W1 ∩ W2 = {0} e quindi la formula
di Grassman 2.4.12 assicura che dim(W) = dim(W1 ) + dim(W2 ), inoltre
procedendo come nella dimostrazione del teorema 2.4.12 si ottiene che una
base per W è l’unione tra una base di W1 e una base di W2 . Più in generale,
è un semplice esercizio provare che se W è somma diretta dei sottospazi
W1 , . . . , Wt , fissata una base Bi in ciascun Wi , una base per W è l’insieme
B = B1 ∪ · · · ∪ Bt .
2.5 applicazioni lineari tra spazi vettoriali
2.5
applicazioni lineari tra spazi vettoriali
Siano V e W spazi vettoriali su un campo K. Un’applicazione
ϕ : V −→ W
si dice applicazione lineare oppure omomorfismo se comunque si considerano
gli elementi u e v in V e uno scalare λ ∈ K, risulta:
1L ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v);
2L ϕ(λu) = λϕ(u).
Equivalentemente l’applicazione ϕ è lineare se e solo se
ϕ(λu + µv) = λϕ(u) + µϕ(v)
∀u, v ∈ V e ∀λ, µ ∈ K.
Un’applicazione lineare si dice monomorfismo se è iniettiva, mentre si dice
epimorfismo se è suriettiva. Un omomorfismo biettivo invece si dice isomorfismo e gli spazi vettoriali V e W si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo
di V in W. Un’applicazione lineare di V in sé si dice endomorfismo e un
endomorfismo biettivo si dice automorfismo.
Proposizione 2.5.1. Se ϕ : V −→ W è un’applicazione lineare tra gli spazi
vettoriali V e W su un campo K, allora:
(i) ϕ(0) = 0;
(ii) ϕ(−v) = −ϕ(v) per ogni v ∈ V;
(iii) ϕ(u − v) = ϕ(u) − ϕ(v) per ogni u, v ∈ V.
Dimostrazione. Si ha che
ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)
e così ϕ(0) = 0. Se v ∈ V allora
0 = ϕ(0) = ϕ(v − v) = ϕ(v) + ϕ(−v)
e quindi ϕ(−v) = −ϕ(v). Segue che se u è un altro elemento di V allora
risulta
ϕ(u − v) = ϕ(u) + ϕ(−v) = ϕ(u) − ϕ(v).
Esempio 2.5.2. Qualsiasi siano i K-spazi vettoriali V e W si ha che sia
l’applicazione identica ιV che l’applicazione nulla v ∈ V −→ 0 ∈ W sono
lineari. Ancora, l’applicazione (a, b, c) ∈ R3 −→ ax ∈ R[x] è evidentemente lineare, invece ϕ : (x, y) ∈ R2 −→ (y2 , x) ∈ R2 non è lineare
infatti ϕ(x, x) + ϕ(0, y) = (x2 , x) + (y2 , 0) = (x2 + y2 , x) e ϕ(x, x + y) =
(x2 + 2xy + y2 , x).
Il prossimo risultato fornisce un metodo per costruire applicazioni lineari;
esso mostra inoltre che un’applicazione lineare è univocamente determinata
dai trasformati dei vettori di una base del dominio.
27
28
spazi vettoriali
Teorema 2.5.3. (Teorema fondamentale delle applicazioni lineari) Siano V
e W due spazi vettoriali non nulli su un campo K, con V di dimesione finita n.
Fissato un riferimento R = (e1 , . . . , en ) in V e scelti n vettori non necessariamente
distinti w1 , . . . , wn in W, esiste un’unica applicazione lineare ϕ : V −→ W tale
che ϕ(e1 ) = w1 , . . . , ϕ(en ) = wn .
Dimostrazione. Se v è un elemento di V e se (λ1 , . . . , λn ) sono le componenti di v rispetto ad R, la posizione ϕ(v) = λ1 w1 + · · · + λn wn definisce
un’applicazione ϕ : V −→ W (si noti che ϕ è un’applicazione perchè le componenti di un vettore sono univocamente determinate per il teorema 2.4.7).
Se u è un altro elemento di V di componenti (µ1 , . . . , µn ), allora il vettore
v + u ha componenti (λ1 + µ1 , . . . , λn + µn ) e così
ϕ(u + v) = (λ1 + µ1 )w1 + · · · + (λn + µn )wn =
= (λ1 w1 + · · · + µn wn ) + (µ1 w1 + · · · + µn wn ) =
= ϕ(u) + ϕ(v);
d’altra parte se λ ∈ K allora il vettore λv ha componenti (λλ1 , . . . , λλn ) e
quindi
ϕ(λv) = (λλ1 )w1 + · · · + (λλn )wn =
= λ(λ1 w1 + · · · + µn wn ) = λϕ(v).
Pertanto ϕ è lineare. Evidentemente poi ϕ(e1 ) = w1 , . . . , ϕ(en ) = wn .
Se ψ : V −→ W è un’altra applicazione lineare tale da risultare w1 =
ψ(e1 ), . . . , wn = ψ(en ), e v = λ1 e1 + · · · + λn en è il generico elemento di V,
si ha
ψ(v) = ψ(λ1 e1 + · · · + λn en ) =
= λ1 ψ(e1 ) + · · · + λn ψ(en ) =
= λ1 w1 + · · · + λn wn =
= λ1 ϕ(e1 ) + · · · + λn ϕ(en ) =
= ϕ(λ1 e1 + · · · + λn en ) =
= ϕ(v)
e pertanto ψ = ϕ.
L’applicazione ϕ definita nella dimostrazione della teorema 2.5.3 si dice
ottenuta estendendo per linearità le posizioni v1 = ϕ(e1 ), . . . , vn = ϕ(en ).
Esempio 2.5.4. Consideriamo l’R-spazio vettoriale R2 [x] dei polinomi di
grado al più 2 a coefficienti reali, e in esso supponiamo fissato il riferimento
R = (1, 1 + x, x + x2 ); in particolare, il generico elemento di R2 [x]
a0 + a1 x + a2 x2
si scrive rispetto ai vettori del riferimento R (in modo unico) come
(a0 − a1 + a2 )1 + (a1 − a2 )(1 + x) + a2 (x + x2 ).
Consideriamo poi l’R-spazio vettoriale R2 e in esso i vettori
v1 = (1, 2)
e
v2 = (1, 3).
2.5 applicazioni lineari tra spazi vettoriali
Poniamo
ϕ(1) = ϕ(x + x2 ) = v1
e
ϕ(1 + x) = v2
(5)
ed estendiamo per linearità
ϕ(a0 + a1 x + a2 x2 ) = ϕ((a0 − a1 + a2 )1 + (a1 − a2 )(1 + x) + a2 (x + x2 )) =
= (a0 − a1 + a2 )v1 + (a1 − a2 )v2 + a2 v1 =
= (a0 − a1 + 2a2 )v1 + (a1 − a2 )v2 =
= (a0 + a2 , 2a0 + a1 + a2 )
L’applicazione ϕ : R2 [x] −→ R2 così ottenuta è l’applicazione lineare che
estende per linearità le posizioni (5).
Proposizione 2.5.5. Siano ϕ : V −→ W e ψ : W −→ U due applicazioni lineari
tra i K-spazi vettoriali U, V e W. Allora anche ψ ◦ ϕ : V −→ U è lineare.
Dimostrazione. Siano v1 , v2 ∈ V e λ, µ ∈ K allora
ψ ◦ ϕ(λv1 + µv2 ) = ψ(ϕ(λv1 + µv2 )) =
= ψ(λϕ(v1 ) + µϕ(v2 )) =
= λψ(ϕ(v1 )) + µψ(ϕ(v2 )) =
= λ((ψ ◦ ϕ)(v1 )) + µ((ψ ◦ ϕ)(v2 )).
Proposizione 2.5.6. Sia ϕ : V −→ W un’applicazione lineare tra gli spazi vettoriali V e W su un campo K. Se X è un sottospazio vettoriale di V allora ϕ(X) è
un sottospazio di W; inoltre, se S è un sistema di generatori per X allora ϕ(S) è un
sistema di generatori per ϕ(X).
Dimostrazione. Chiaramente, ϕ(X) 6= ∅ essendo X 6= ∅. Se λ, µ ∈ K e se
u, v ∈ ϕ(X), allora esistiono x, y ∈ X tali che u = ϕ(x) e v = ϕ(y) e si ha
che λu + µv = λϕ(x) + µϕ(y) = ϕ(λx + µy) è ancora un elemento di ϕ(X).
Dunque ϕ(X) è un sottospazio di W. Se S genera X e u ∈ ϕ(X), allora
u = ϕ(x) con x in X, ma allora x è combinazione lineare di alcuni elementi
x1 , . . . , xt di S per la proposizione 2.2.7, e quindi u è combinazione lineare
degli elementi ϕ(x1 ), . . . , ϕ(xt ) di ϕ(S); pertanto ϕ(X) 6 L[ϕ(S)] nonché,
evidentemente, ϕ(X) = L[ϕ(S)].
Proposizione 2.5.7. Se ϕ : V −→ W è un isomorfismo tra gli spazi vettoriali V e
W su un campo K, allora anche l’inversa ϕ−1 : W −→ V è un isomorfismo.
Dimostrazione. Chiaramente è sufficiente provare che ϕ−1 è lineare. Siano
w1 , w2 ∈ W, allora la biettività di ϕ assicura che esistono e sono univocamente determinati gli elementi v1 , v2 ∈ V tali che w1 = ϕ(v1 ) e w2 = ϕ(v2 ).
Pertanto se λ, µ ∈ K
ϕ−1 (λw1 + µw2 ) = ϕ−1 (λϕ(v1 ) + µϕ(v2 )) =
= ϕ−1 (ϕ(λv1 + µv2 )) =
= λv1 + µv2 =
= λϕ−1 (w1 ) + µϕ−1 (w2 )
e quindi ϕ−1 è lineare.
29
30
spazi vettoriali
E’ semplice rendersi conto che ogni applicazione lineare trasforma vettori linearmente dipendenti in vettori linearmente dipendenti (basta ricordare la definizione e il fatto che ogni applicazione lineare manda il vettore
nullo in sé stesso), ma non è detto che i trasformati di vettori linearmenti
indipendenti siano ancora linearmente indipendenti basta prendere in considerazione, ad esempio, l’applicazione lineare che manda ogni vettore nel
vettore nullo. Nel caso però l’applicazione lineare sia iniettiva, anche vettori
linearmente indipendenti sono trasformati in vettori indipendenti.
Proposizione 2.5.8. Sia ϕ : V −→ W è un monomorfismo tra spazi vettoriali sul campo K. Allora i vettori v1 , . . . , vt di V sono indipendenti se e solo se
ϕ(v1 ), . . . , ϕ(vt ) sono vettori indipendenti di W.
Dimostrazione. Se v1 , . . . , vt ∈ V sono indipendenti e λ1 , . . . , λt ∈ K sono
tali che λ1 ϕ(v1 ) + · · · + λt ϕ(vt ) = 0, allora è ϕ(λ1 v1 + · · · + λt vt ) = 0
nonchè λ1 v1 + · · · + λt vt = 0 perchè anche ϕ(0) = 0 per la proposizione 2.5.1
e perchè ϕ è iniettiva. Pertanto λ1 = · · · = λn = 0 e ϕ(v1 ), . . . , ϕ(vt )
sono indipendenti. Viceversa, se ϕ(v1 ), . . . , ϕ(vt ) sono vettori indipendenti
e λ1 v1 + · · · + λt vt = 0 allora è ϕ(λ1 v1 + · · · + λt vt ) = 0 per la proposizione 2.5.1. Così λ1 ϕ(v1 ) + · · · + λt ϕ(vt ) = 0 per la linearità di ϕ, quindi
λ1 = · · · = λn = 0 e v1 , . . . , vt di V sono indipendenti.
Dalla proposizione 2.5.6 e dalla proposizione 2.5.8 discende il seguente.
Corollario 2.5.9. Sia ϕ : V −→ W è un monomorfismo tra spazi vettoriali sul
campo K. Se X è un sottospazio di V e B è una base per X, allora ϕ(B) è una base
per il sottospazio ϕ(X).
Supponiamo che V sia uno spazio vettoriale non nullo di dimensione
finita n sul campo campo K. Fissiamo un riferimento R = (e1 , . . . , en )
in V e indichiamo con (v)R il vettore delle componenti in R di v ∈ V.
L’applicazione
cR : v ∈ V −→ (v)R ∈ Kn
è iniettiva per l’unicità delle componenti (cfr. teorema 2.4.7) ed è evidentemente anche suriettiva. E’ inoltre semplice provare che cR è lineare, pertanto
cR è un isomorfismo detto isomorfismo coordinato associato al riferimento R, o
anche coordinazione di V associata a R, o talvolta detto sistema di coordinate su
V rispetto ad R.
Teorema 2.5.10. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K di dimensione finita.
(i) Se n è la dimensione di V, allora V e Kn sono isomorfi.
(ii) Se V 0 è un altro K-spazio vettoriale di dimensione finita, si ha che V e V 0
sono isomorfi se e solo se V e V 0 hanno la stessa dimensione.
Dimostrazione. Evidentemente la considerazione dell’isomorfismo coordinato
prova la (i). Per la (ii), si supponga innanzitutto che V e V 0 abbiano
entrambi dimensione finita n. Fissato un riferimento R in V ed un riferimento R 0 in V 0 , segue dalla proposizione 2.5.5 e dalla proposizione 2.5.7
−1
0
che l’applicazione cR
0 ◦ ιKn ◦ cR è un isomorfismo di V in V . Viceversa se
V e V 0 sono K-spazi vettoriali di dimensione finita e sono isomorfi, segue
dalla proposizione 2.5.6 e dalla proposizione 2.5.8 che V e V 0 hanno la stessa
dimensione.
2.6 immagine e nucleo di un’applicazione lineare
Dai risultati esposti in questa sezione si evince che attraverso l’isomorfismo
coordinato lo studio di determinate proprietà di un K-spazio vettoriale di dimensione n può essere ricondotto allo studio delle analoghe proprietà nello
spazio vettoriale Kn . Chiariamo meglio questo con il seguente esempio.
Esempio 2.5.11. Nello spazio vettoriale R3 [x] dei polinomi a coefficienti
reali di grado al più 3, consideriamo i polinomi
f1 = x3 + 2x, f2 = x − 1, f3 = 2x3 + 3x + 1, e f4 = x2 + 3x − 2
e determinamo una base per il sottospazio W = L[f1 , f2 , f3 , f4 ]. Consideriamo il riferimento R = (x3 , x2 , x, 1) e l’isomorfismo coordinato ad esso
associato
cR : ax3 + bx2 + cx + d ∈ R3 [x] −→ (a, b, c, d) ∈ R4 .
Tramite cR il sottospazio W viene mandato nel sottospazio W 0 generato dai
trasformati degli fi ovvero generato dai vettori
w1 = (1, 0, 2, 0), w2 = (0, 0, 1, −1), w3 = (2, 0, 3, 1), e w4 = (0, 1, 3, −2).
Dunque determiniamo una base per W 0 . Osservando che w3 = 2w1 − w2 e
che αw1 + βw2 + γw4 = 0 se e solo se α = β = γ = 0, si ottiene subito che
{w1 , w2 , w4 } è una base per W 0 ; pertanto una base per W è
−1
−1
3
2
{c−1
R (w1 ), cR (w2 ), cR (w3 )} = {x + 2x, x − 1, x + 3x − 2} = {f1 , f2 , f4 }.
2.6
immagine e nucleo di un’applicazione
lineare
Sia ϕ : V −→ W un’applicazione lineare tra gli spazi vettoriali V e W su un
campo K. Segue dalla proposizione 2.5.6 che il sottoinsieme di W
Im ϕ = {ϕ(v) | v ∈ V}
è un sottospazio, detto sottospazio immagine di ϕ. Si noti che sempre la
proposizione 2.5.6 garantisce che se B è una base di V allora ϕ(B) è un
sistema di generatori per Im ϕ; però ϕ(B) potrebbe non essere una base
per Im ϕ (come ci si può convincere considerando ad esempio come ϕ
l’omomorfismo nullo) ma, per il corollario 2.5.9, lo è sicuramente nel caso
in cui ϕ sia iniettiva.
Si dice, invece, nucleo di ϕ l’insieme
ker ϕ = {v ∈ V | ϕ(v) = 0}.
La proposizione 2.5.1 assicura che 0 ∈ ker ϕ, inoltre se u e v sono elementi di
V tali che ϕ(u) = ϕ(v) = 0 e λ, µ ∈ K allora ϕ(λu + µv) = λϕ(u) + µϕ(v) =
0 sicchè ker ϕ è un sottospazio vettoriale di V.
Proposizione 2.6.1. Sia ϕ : V −→ W un’applicazione lineare tra gli spazi vettoriali V e W su un campo K. Allora ϕ è iniettiva se e solo se ker ϕ = {0}.
31
32
spazi vettoriali
Dimostrazione. Se ϕ è iniettiva, allora da ϕ(v) = 0 = ϕ(0) segue v = 0 e
dunque ker ϕ = {0}. D’altra parte, se ker ϕ = {0} e u e v sono elementi di
V tali che ϕ(u) = ϕ(v), allora ϕ(u − v) = ϕ(u) − ϕ(v) = 0, sicchè u − v ∈
ker ϕ = {0}. Così u = v e ϕ è iniettiva.
Teorema 2.6.2. (Teorema della Dimensione) Sia ϕ : V −→ W un’applicazione
lineare tra gli spazi vettoriali V e W su un campo K. Se V ha dimensione finita,
allora
dim(V) = dim(ker ϕ) + dim(Im ϕ).
Dimostrazione. Se ker ϕ = {0} allora ϕ è iniettiva per la proposizione 2.6.1 e
quindi i trasformati tramite ϕ degli elementi di una base di V formano una
base di Im ϕ per il corollario 2.5.9, sicchè dim(V) = dim(Im ϕ) e l’asserto
è vero. Supponiamo dunque che ker ϕ 6= {0}. Consideriamo {v1 , . . . , vt }
una base per ker ϕ e completiamo ad una base B = {v1 , . . . , vt , vt+1 , . . . , vn }
per V (cfr. teorema 2.4.5). Essendo ϕ(v1 ) = · · · = ϕ(vt ) = 0, la proposizione 2.5.6 assicura che Im ϕ è generato da B1 = {ϕ(vt+1 ), . . . , ϕ(vn )}. Se
consideriamo una combinazione lineare nulla degli elementi di B1 a coefficienti in K
0 = λ1 ϕ(vt+1 ) + · · · + λn−t ϕ(vn ) = ϕ(λ1 vt+1 + · · · + λn−t vn )
otteniamo che λ1 vt+1 + · · · + λn−t vn ∈ ker ϕ e quindi, essendo B libero, si
ha che λ1 = · · · = λn−t = 0. Pertanto B1 è una base per Im ϕ e risulta
dim(ker ϕ) + dim(Im ϕ) = t + (n − t) = n = dim(V).
L’asserto è provato.
Corollario 2.6.3. Siano V e W due spazi vettoriali su un campo K aventi uguale
dimensione (finita), e sia ϕ : V −→ W un’applicazione lineare. Sono equivalenti le
seguenti affermazioni:
(i) ϕ è iniettiva;
(ii) ϕ è suriettiva;
(iii) ϕ è biettiva.
Dimostrazione. Per la proposizione 2.6.1, ϕ è iniettiva se e solo se ker ϕ = {0},
e quindi se e solo se dim(V) = dim(Im ϕ) per il teorema 2.6.2, ovvero
(essendo dim(V) = dim(W)) se e solo se W = Im ϕ per la proposizione 19.
Pertanto (i) e (ii) sono equivalenti tra loro e quindi sono equivalenti anche
a (iii).
2.7
spazi euclidei reali
Sia V un R-spazio vettoriale. Un’applicazione
s : V × V −→ R
è detta prodotto scalare in V, se è
2.7 spazi euclidei reali
- Bilineare: Comunque si considerano i vettori u, v e w in V e comunque
si considera un numero reale λ si ha s(u + v, w) = s(u, w) + s(v, w),
s(u, v + w) = s(u, v) + s(u, w) e s(λu, v) = λs(u, v) = s(u, λv).
- Simmetrica: s(u, v) = s(v, u) per ogni u e v in V.
- Definita positiva: s(v, v) > 0 per ogni v ∈ V e s(v, v) = 0 se e solo se
v = 0.
Se s è un prodotto scalare, dalle proprietà precedenti seguono immediatamente le seguenti:
(a) s(λ1 v1 + · · · + λt vt , w) = λ1 s(v1 , w) + · · · + λn s(vt , w), comunque si
considerano gli elementi v1 , . . . , vt , w ∈ V e λ1 , . . . , λt ∈ R.
(b) s(0, v) = s(v, 0) = 0 per ogni v ∈ V.
Un R-spazio vettoriale in cui è definito un prodotto scalare si dice essere
uno spazio euclideo (reale). Si noti che ogni sottospazio di uno spazio euclideo
è uno spazio euclideo con l’applicazione indotta da s su esso. Salvo avviso
contrario, nel seguito il prodotto scalare sarà denotato sempre con s.
Esempio 2.7.1. Nell’R-spazio vettoriale Rn l’applicazione
· : ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) ∈ Rn × Rn −→ x1 y1 + · · · + xn yn ∈ R
è un prodotto scalare, detto prodotto scalare standard. In particolare, Rn è
uno spazio euclideo.
Esempio 2.7.2. E’ semplice accorgersi che l’applicazione
s : Rn [x] × Rn [x] −→ R
definita ponendo
s(a0 + a1 x + · · · + an xn , b0 + b1 x + · · · + bn xn ) = a0 b0 + a1 b1 + · · · + an bn
è un prodotto scalare dello spazio Rn [x], che pertanto è anch’esso uno
spazio euclideo.
Esempio 2.7.3. Se I = [a, b] ⊆ R, nello spazio vettoriale reale C0 (I) delle
applicazioni continue di I in R un prodotto scalare è definito ponendo la
posizione
Zb
s(f, g) =
f(x)g(x)dx,
∀f, g ∈ C0 (I).
a
Infatti le proprietà richieste dalla definizione di prodotto scalare sono soddisfatte, l’unica cosa meno evidente è che s(f, f) = 0 implica che f sia
l’applicazione nulla (f : x ∈ I → 0 ∈ R). Per vedere questo osserviamo
che se f non è l’applicazione nulla, esistono ε > 0 ed un punto x0 ∈ I tali
che f(x0 )2 > ε. Per la continuità di f, esiste poi un intorno ]c, d[⊆ I di x0
tale che f(x)2 > ε per ogni x ∈]c, d[, e quindi
Zb
Zd
Zd
s(f, f) =
f(x)2 dx >
f(x)2 dx >
εdx = ε(d − c) > 0.
a
c
c
Pertanto da s(f, f) = 0 deve seguire che f(x) = 0 per ogni x.
33
34
spazi vettoriali
Sia V uno spazio euclideo e sia v un elemento di V. Si dice modulo (o
anche lunghezza) il numero
p
kvk = s(v, v).
Evidentemente kvk > 0 e kvk = 0 se e solo se v = 0; inoltre, se λ ∈ R, allora
kλvk = |λ|kvk.
Un vettore di modulo 1 si dice versore. Se v è un vettore non nullo di V, si
dice versore di v il vettore
v
vers(v) =
;
kvk
evidentemente vers(v) è un versore ed è di uso comune la locuzione normalizzare il vettore v per indicare che si vuole considerare vers(v) invece che
v.
Esempio 2.7.4. Nello spazio numerico Rn munito del prodotto scalare standard, se u = (x1 , . . . , xn ), si ha che u · u = x21 + · · · + x2n e quindi
q
kuk = x21 + · · · + x2n .
Ancora, se si considera lo spazio vettoriale C0 ([0, 2π]) con il prodotto scalare
definito nell’esempio 2.7.3, si ha che
Z 2π
i2π
h1
=π
s(sin x, sin x) =
sin x2 dx = (x − sin x cos x)
0
2
0
√
√
e quindi k sin xk = π; analogamente anche k cos xk = π.
Sussiste la seguente.
Proposizione 2.7.5. Sia V uno spazio euclideo. Se u, v ∈ V si ha
(i) Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: s(u, v)2 6 s(u, u)s(v, v) e in questa
relazione vale l’uguaglianza se e solo se u e v sono linearmente dipendenti;
(ii) Disuguaglianza di triangolare: ku + vk 6 kuk + kvk.
Se u e v sono vettori non nulli dello spazio euclideo V, la disuguaglianza
di Cauchy-Schwartz assicura che
!2
s(u, v)
61
kukkvk
o equivalentemente
−1 6
s(u, v)
61
kukkvk
e quindi esiste un unico angolo θ ∈ [0, π] tale che
cos θ =
s(u, v)
,
kukkvk
d
questo unico angolo θ si dice angolo tra i vettori u e v e si denota con u
, v. I
d
vettori non nulli u e v si dicono ortogonali se u
,v = π
,
ovvero
se
s(u,
v)
= 0,
2
e in tal caso si scrive u ⊥ v. Poichè s(u, 0) = 0 qualsiasi sia il vettore u,
per convenzione si assume che il vettore nullo sia ortogonale ad ogni altro
vettore.
2.7 spazi euclidei reali
Esempio 2.7.6. Nello spazio numerico R2 munito del prodotto scalare standard i vettori u = (1, 2) e v = (−2, 1) sono ortogonali essendo u · v =
1(−2) + 2(1) = 0. Ancora, se si considera lo spazio vettoriale C0 ([0, 2π])
con il prodotto scalare definito nell’esempio 2.7.3, si ha che
Z 2π
s(sin x, cos x) =
Z 2π
sin x cos xdx =
0
sin xd(sin x) =
h1
0
2
i2π
sin2 x
=0
0
e pertanto sinx e cos x sono ortogonali.
Teorema 2.7.7. (Teorema di Pitagora) Se u e v sono vettori ortogonali dello
spazio euclideo V, allora
ku + vk2 = kuk2 + kvk2
Dimostrazione. Essendo s(u, v) = 0, si ha che
ku + vk2 = s(u + v, u + v) =
= s(u, u) + 2s(u, v) + s(v, v) =
= s(u, u) + s(v, v) =
= kuk2 + kvk2 .
Un insieme di vettori non nulli {v1 , . . . , vt } di uno spazio euclideo V si dice
ortogonale se è formato da vettori a due a due ortogonali. Un insieme ortogonale fatto di versori si dice ortonormale. Chiaramente se v è un elemento
non nullo V, allora {vers(v)} è un sistema ortonormale; più in generale, se
{v1 , . . . , vt } è un insieme ortogonale allora {vers(v1 ), . . . , vers(vt )} è ortonormale.
Esempio 2.7.8. Se n è un intero positivo, la base canonica di Rn e la base
canonica di Rn [x] sono insiemi ortonormali rispetto al prodotto scalare
definito nell’esempio 2.7.1 e nell’esempio 2.7.2, rispettivamente.
Il prossimo risultato prova, in particolare, che due vettori non nulli di
uno spazio eulideo non possono essere contemporaneamente proporzionali
(cioè dipendenti) e ortogonali.
Proposizione 2.7.9. Se S = {v1 , . . . , vt } è un insieme ortogonale di vettori non
nulli di uno spazio euclideo, allora S è libero.
Dimostrazione. Consideriamo una combinazione lineare nulla degli elementi
di S
λ1 v 1 + · · · + λt v t = 0
(con λ1 , . . . , λt ∈ R). Allora, se i ∈ {1, . . . , t},
0 = s(0, vi ) = s(λ1 v1 + · · · + λt vt , vi ) =
= λ1 s(v1 , vi ) + · · · + λi s(vi , vi ) + · · · + λt s(vt , vi ) =
= λi s(vi , vi )
da cui λi = 0 essendo s(vi , vi ) 6= 0 perchè vi 6= 0. Pertanto S è libero.
35
36
spazi vettoriali
Il teorema 2.4.4 assicura che ogni spazio vettoriale finitamente generato
ha una base, e si vuole ora provare che a partire da una base di uno spazio
euclideo di dimensione finita se ne può costruire un’altra che è anche un
insieme ortogonale (o ortonormale). Dunque ogni spazio euclideo di dimensione finita ha una base ortogonale (o ortonormale). La dimostrazione
del prossimo risultato prende il nome di processo di ortonormalizzazione di
Gram-Schmidt.
Teorema 2.7.10. Ogni spazio euclideo non nullo di dimensione finita ha una base
ortogonale (o ortonormale).
Dimostrazione. Sia V uno spazio euclideo non nullo di dimensione finita n e
sia B = {v1 , . . . , vn } una sua base. Poniamo
u 1 = v1
s(v2 , u1 )
u1
s(u1 , u1 )
s(v3 , u1 )
s(v3 , u2 )
u 3 = v3 −
u1 −
u2
s(u1 , u1 )
s(u2 , u2 )
..
.
u 2 = v2 −
u n = vn −
n−1
X
i=1
s(vn , ui )
ui
s(ui , ui )
Osserviamo che ciasun vettore ui è non nullo, altrimenti si avrebbe che vi
sarebbe combinazione lineare di u1 , . . . , ui−1 , e dunque anche di v1 , . . . , vi−1 ,
contro l’essere {v1 , . . . , vi } ⊆ B e B libero.
Chiaramente {u1 } è un insieme ortogonale. Supponiamo di aver provato
che {u1 , . . . , ui−1 } sia ortogonale. Per ogni j ∈ {1, . . . , i − 1} si ha

s(vi , uk ) = s vi −
i−1
X
j=1
= s(vi , uk ) −

s(vi , uj )
uj , uk  =
s(uj , uj )
i−1
X
j=1
= s(vi , uk ) −
s(vi , uj )
s(uj , uk ) =
s(uj , uj )
s(vi , uk )
s(uk , uk ) = 0
s(uk , uk )
e dunque anche {u1 , . . . , ui−1 , ui } è ortogonale. Si ottiene pertanto che
{u1 , . . . , un } è un insieme ortogonale fatto da vettori non nulli, pertanto
esso è libero per la proposizione 2.7.9 e dunque, essendo n = dim(V), esso
è una base per li corollario 2.4.6. In particolare, {vers(u1 ), . . . , vers(un )} è
una base ortonormale di V.
Esempio 2.7.11. Si è già osservato che nello spazio vettoriale numerico la
base canonica è una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard.
Come altro esempio consideriamo R3 col prodotto scalare standard e in esso
2.7 spazi euclidei reali
37
la base B costituita dai vettori v1 = (1, 1, 0), v2 = (2, 0, 0) e v3 = (0, 0, 1). Si
vuole ortonormalizzare B. Si ha
u1 = v1 = (1, 1, 0)
s(v2 , u1 )
2
u1 = (2, 0, 0) − (1, 1, 0) = (1, −1, 0)
s(u1 , u1 )
2
s(v3 , u1 )
s(v3 , u2 )
0
0
u 3 = v3 −
u1 −
u2 = (0, 0, 1) − (1, 1, 0) − (1, −1, 0) = (0, 0, 1)
s(u1 , u1 )
s(u2 , u2 )
2
2
u 2 = v2 −
e {u1 , u2 , u3 } è una base ortogonale di V. Inoltre
!
√ √
2 2
,
,0
2 2
!
√
√
2
2
u2
1
vers(u2 ) =
= √ (1, −1, 0) =
,−
,0
|u2 |
2
2
2
u
1
vers(u1 ) = 1 = √ (1, 1, 0) =
|u1 |
2
vers(u3 ) =
1
u3
= (0, 0, 1) = (0, 0, 1)
|u3 |
1
e {vers(u1 ), vers(u2 ), vers(u3 )} è una base ortonormale di V.
Siano u e v vettori dello spazio euclideo V, con v non nullo. Il numero
reale
s(u, v)
s(v, v)
si dice coefficiente di Fourier di u rispetto a v, mentre il vettore
projv (u) =
s(u, v)
v
s(v, v)
si dice proiezione ortogonale di u su v; si noti che projv (u) ∈ L[v]. Il prossimo
risultato mostra, in particolare, che le componenti di un vettore rispetto
ad una base ortogonale sono date dai coefficienti di Fourier del vettore in
questione rispetto ai vettori della base fissata.
Proposizione 2.7.12. Sia R = (e1 , . . . , en ) un riferimento ortogonale dello spazio
euclideo V. Se u ∈ V, si ha che
u=
s(u, e1 )
s(u, e2 )
s(u, en )
e1 +
e2 + . . . +
en .
s(e1 , e1 )
s(e2 , e2 )
s(en , en )
Inoltre, se R è ortonormale e v è un altro vettore di V, si ha che il prodotto scalare
tra u e v è dato dal prodotto scalare standard (in Rn ) tra le componenti di u in R e
le componenti di v in R.
Dimostrazione. Essendo R ortogonale ed s bilineare, posto (u)R = (x1 , . . . , xn )
si ha che per ogni k = 1, . . . , n risulta
!
n
n
X
X
s(u, ek ) = s
xi ei , ek =
xi s(ei , ek ) = xk s(ek , ek )
i=1
i=1
per cui
xk =
s(u, ek )
.
s(ek , ek )
38
spazi vettoriali
Da cui, se poi R è ortonormale e v è un altro vettore di V le cui componenti
in R sono (v)R = (y1 , . . . , yn ), si ricava
!
n
n
n
X
X
X
s(u, v) = u,
yi e i =
yi s(u, ei ) =
xi yi .
i=1
i=1
i=1
Siano V uno spazio vettoriale euclideo ed X una parte non vuota di V. Un
vettore v di V si dice ortogonale (o normale) ad X se v ⊥ x per ogni x ∈ X, in
tal caso si scrive v ⊥ X. Sia poi
X⊥ = {v ∈ V | v ⊥ X}.
Si verifica facilmente che X⊥ è un sottospazio di V. Se W è un sottospazio,
il sottospazio W ⊥ prende il nome di complemento ortogonale di W in V. E’
semplice convincersi che se S è un sistema di generatori per W allora un
vettore v di V è ortogonale a W se e solo se v è ortogonale ad ogni vettore
in S.
Esempio 2.7.13. Determiniamo in R4 (con il prodotto scalare standard) il
complemento ortogonale del sottospazio
W = {(x, y, z, t) | x + y − z + t = 2y − t = t = 0}.
E’ semplice accorgersi che una base per W è {(1, 0, 1, 0)}, dunque W ⊥ è
costituito da tutti i vettori (x, y, z, t) di R4 tali che
(x, y, z, t) · (1, 0, 1, 0) = 0,
quindi
W ⊥ = {(x, y, z, t) | x + z = 0}
e pertanto una base per W ⊥ è costituita dai vettori (−1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0) e
(0, 0, 0, 1).
Sussiste infine il seguente.
Teorema 2.7.14. Sia V uno spazio euclideo di dimensione finita e sia W un sottospazio di V. Allora V = W ⊕ W ⊥ . Inoltre risulta essere (W ⊥ )⊥ = W e
dim(W ⊥ ) = dim(V) − dim(W).
Dimostrazione. Per il teorema 2.7.10, è lecito fissare in W una base ortogonale
B = {v1 , . . . , vt }. Se v ∈ V, poniamo
p(v) = projv1 (v) + · · · + projvt (v) =
s(v, v1 )
s(v, vt )
v1 + · · · +
vt .
s(v1 , v1 )
s(vt , vt )
Evidentemente p(v) ∈ W e v = p(v) + (v − p(v)). Poichè per ogni i = 1, . . . , t
risulta
s(v − p(v), vi ) = s(v, vi ) − s(p(v), vi ) =
= s(v, vi ) −
t
X
s(v, vj )
s(vi , vj ) =
s(vj , vj )
j=1
= s(v, vi ) − s(v, vi ) = 0,
2.7 spazi euclidei reali
si ha che v − p(v) ∈ W ⊥ e quindi l’arbitrarietà di v assicura che V = W + W ⊥ .
D’altra parte, se v ∈ W ∩ W ⊥ , allora v ∈ W e v ∈ W ⊥ , quindi s(v, v) = 0 e
pertanto v = 0. Dunque W ∩ W ⊥ = {0} e così V = W ⊕ W ⊥ ; in particolare,
per la formula di Grassmann 2.4.12 risulta dim(W ⊥ ) = dim(V) − dim(W).
Ora, quanto provato assicura anche che V = W ⊥ ⊕ (W ⊥ )⊥ e che
dim((W ⊥ )⊥ ) = dim(V) − dim(W ⊥ ) =
= dim(V) − (dim(V) − dim(W)) =
= dim(W),
sicchè essendo W 6 (W ⊥ )⊥ risulta essere W = (W ⊥ )⊥ .
39
3
3.1
M AT R I C I E S I S T E M I L I N E A R I
generalità e operazioni tra matrici
Sia K un campo. Una matrice ad m righe ed n colonne su K (con m, n ∈
N), o semplicemente una matrice (di tipo) m × n su K, è un’applicazione
dell’insieme {1, . . . , m} × {1, . . . , n} in K. Sia
A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} −→ K
una matrice m × n su K. Per ogni elemento (i, j) di {1, . . . , m} × {1, . . . , n} si
pone aij = A(i, j) e si dice che aij è l’elemento di A di posizione (i, j), inoltre
per indicare la matrice A si scrive



A=

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am1
am2
...
amn



,

o semplicemente A = (aij ). Una matrice con tutti gli elementi uguali a 0 si
dice matrice nulla.
Se (i, j) ∈ {1, . . . , m} × {1, . . . , n}, indichiamo con
Ai = (ai1 , . . . , ain )
la i-esima riga di A e con


a1j


Aj =  ... 
amj
la j-esima colonna di A, chiaramente si tratta qui di una matrice 1 × n nel
caso delle righe e di una matrice m × 1 nel caso delle colonne. Talvolta sarà
utile pensare alle righe o alle colonne della matrice A come vettori numerici
dello spazio vettoriale Kn o Km , rispettivamente.
Se il numero di righe di A coincide col numero di colonne, cioè m = n,
si dice che A è una matrice quadrata di ordine n su K; in tal caso, l’insieme
{aii | i = 1, . . . , n} si dice diagonale principale di A.
L’insieme delle matrici m × n su K si denota con Mm,n (K); qualora poi
m = n si scrive semplicemente Mn (K) in luogo di Mn,n (K).
Sia A = (aij ) una matrice m × n sul campo K. Si dice matrice trasposta
di A la matrice At = (âij ) a n righe ed m colonne su K che si ottiene
da A scambiando le righe con le colonne ovvero il cui generico elemento è
âij = aji . Evidentemente (At )t = A. Se A è una matrice quadrata e A = At ,
si dice che A è una matrice simmetrica.
41
42
matrici e sistemi lineari
Esempio 3.1.1. Se
A=
allora
1 2
0 5
−1
1
∈ M2,3 (R)


1 0
At =  2 5  ∈ M3,2 (R).
−1 1
Si noti che poiché una matrice è un’applicazione, si ha facilmente che
due matrici sono uguali se e soltanto se hanno stesso numero di righe e di
colonne, e hanno uguali gli elementi con la stessa posizione.
Nell’insieme Mm,n (K) si definisce un’operazione di somma ponendo
(aij ) + (bij ) = (aij + bij ).
E’ facile accorgersi che con l’operazione così definita Mm,n (K) è un gruppo
abeliano in cui lo zero è la matrice nulla O (cioè la matrice O = (oij ) i cui
elementi oij sono tutti uguali allo zero 0 del campo K), e in cui l’opposto
della matrice (aij ) è la matrice −(aij ) = (−aij ).
Si considerino ora due matrici A = (ai,j ) ∈ Mm,n (K) e B = (bij ) ∈
Mn,p (K) e si ponga
Ai · Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
per ogni i = 1, . . . , m e per ogni j = 1, . . . , p. Si definisce prodotto righe per
colonne di A e B la matrice, che si denota con A × B o semplicemente con
AB, definita dalla posizione
AB = (Ai · Bj ) ∈ Mm,p (K).
Esempio 3.1.2. Considerando le matrici su R
1 2
1
A=
e B=
3 4
4
2
5
3
6
9
19
si ha che
AB =
1·1+2·4
3·1+4·4
1·2+2·5
3·2+4·5
1·3+2·6
3·3+4·6
=
12 15
26 33
.
Sussiste la seguente.
Proposizione 3.1.3. (i) Siano A ∈ Mm,n (K), B ∈ Mn,p (K) e C ∈ Mp,q (K).
Allora (AB)C = A(BC), cioè il prodotto righe per colonne è associativo.
(ii) Siano A, B ∈ Mm,n (K) e C, D ∈ Mn,p (K). Allora (A + B)C = AC + BC
e A(C + D) = AC + AD, cioè il prodotto righe per colonne è distributivo rispetto
alla somma.
3.2 matrici a scala
Segue in particolare dalla proposizione 3.1.3 che l’insieme Mn (K) delle
matrici quadrate di ordine n sul campo K possiede una struttura di anello
quando si considerano in esso l’operazione di somma (rispetto al quale è un
gruppo abeliano) e l’operazione di prodotto righe per colonne. Tale anello
è anche unitario di unità la matrice identica, ovvero la matrice


1 0 ... 0
 0 1 ... 0 


In =  . . .
. . ... 

 .. ..
0 0 ... 1
che si può anche denotare come
In = (δij )
dove
se i = j
se i =
6 j
1
0
δij =
è il cosiddetto simbolo di Kronecker. Si osservi che l’anello Mn (K) non è in
generale commutativo; ad esempio, se K è un qualsiasi campo e si considerano le matrici di M2 (K)
0 0
0 0
A=
e B=
1 0
1 1
si ha che
AB =
0
0
0
0
e
BA =
0
1
0
0
.
Si noti che il precedente esempio mostra che in generale nell’anello Mn (K)
non vale la legge di annullamento del prodotto. Inoltre considerando le
matrici (reali)
3
9
−5 −10
−8 −7
A=
,B=
e C=
−1 −3
1
2
2
1
ed osservando che
B 6= C
ma AB = AC =
−6
2
−12
4
si ottiene che, in generale, nell’anello Mn (K) non vale la legge di cancellazione.
Concludiamo con la seguente proprietà la cui semplice verifica si lascia
come esercizio.
Esercizio 3.1.4. Sia K un campo. Se A, B ∈ Mm,n (K) e C ∈ Mn,p (K), allora
(A + B)t = At + Bt e (AC)t = Ct At .
3.2
matrici a scala
Una matrice non nulla A di Mm,n (K) si dice matrice a scala (o anche a gradini
o a scalini) se verifica le seguenti condizioni:
43
44
matrici e sistemi lineari
(a) Se una riga di A è non nulla, allora il primo elemento non nullo di tale
riga, che è detto pivot della riga in considerazione, è più a sinistra del
primo elemento non nullo delle righe ad essa successive.
(b) Se una riga di A è nulla, tutte le righe ad essa successive sono nulle.
Esempio 3.2.1. Sono a scala le matrici
1
0
2
4
0
0
0
7
e
mentre
e

1
 0
0
2
0
0

3
4 ,
0

11
0
3

3
4 
0
0
 0
0
non lo sono.
Sia A un matrice m × n su un campo K. Una operazione elementare (sulle
righe) in A è una dei seguenti tipi di operazioni (dette mosse di Gauss):
Tipo 1) Moltiplicazione di una riga per un elemento non nullo di K: ri → λri
(con λ ∈ K \ {0}).
Tipo 2) Scambio di due righe: ri ↔ rj .
Tipo 3) Aggiunta di un multiplo di una riga ad un’altra riga: ri → ri + λrk
(con λ ∈ K).
Se A e B sono matrici m × n sul campo K, è chiaro che se B si ottiene da
A moltiplicando la riga i-esima per lo scalare non nullo λ, allora A si ottiene
da B moltiplicando la riga i-esima per lo scalare non nullo λ−1 . Analogamente se da A passo a B mediante l’operazione ri ↔ rj , allora tramite la
stessa operazione passo anche da B ad A; ed infine se da A passo a B mediante l’operazione del tipo ri → ri + λrk , allora da B passo ad A mediante
l’operazione ri → ri − λrk . In un certo senso, quindi, ad ogni operazione
elementare corrisponde un’operazione elementare “inversa", alla quale nel
seguito ci si riferirà appunto con operazione elementare inversa.
La matrice A si dice equivalente a B se B si ottiene da A mediante un
numero finito di operazioni elementari; in tal caso anche A si ottiene da B
mediante un numero finito di operazioni elementari (cioè anche B è equivalente ad A) e quindi si dice semplicemente che A e B sono matrici equivalenti,
e si scrive se A ∼ B.
Teorema 3.2.2. Ogni matrice (su un campo) è equivalente ad una matrice a scala.
La dimostrazione del precedente teorema è detta Algoritmo di Gauss. Tale
algoritmo trasfoma una matrice nella sua forma detta forma a scala, esso si
basa sull’uso di operazioni elementari di tipo 2) e 3) ed è illustrato come
segue. Sia A = (aij ) la generica matrice m × n sul campo K.
Passo 1 – Se A è la matrice nulla, l’algoritmo termina. Supponiamo quindi
che A sia non nulla.
3.2 matrici a scala
Passo 2 – Partendo da sinistra individuiamo la prima colonna non nulla
e poi, partendo dall’alto, il primo elemento non nullo in questa colonna;
quindi scambiamo eventualmente le righe in modo tale da spostare l’elemento
individuato alla prima riga. Formalmente: sia j il minimo intero in {1, . . . , n}
tale che la colonna Aj di A sia non nulla e sia i il minimo intero in {1, . . . , m}
tale che a = aij 6= 0; inolte, se i 6= 1 effettuiamo l’operazione elementare
ri ↔ r1 .
Passo 3 – Per ogni riga h successiva alla prima e tale che ahj 6= 0, effettuiamo l’operazione elementare rj → rh − ahj a−1 rj . Così facendo si rendono nulli tutti gli elementi della j-sima colonna che si trovano nelle righe
successive alla prima (cioè sotto ad a).
Passo 4 – Se A è costituita da un’unica riga l’agoritmo termina, altrimenti
si considera la matrice che si ottiene da A cancellando la prima riga e si
applica l’algoritmo (ricominciando dal passo 1) a tale matrice.
Esempio 3.2.3. Determiniamo una matrice a scala equivalente alla seguente
matrice di M3,4 (R)

0
A= 1
−3
−5
1
2

0 2
1 −1  .
1 −1
Si parte dalla prima riga e si vede che la colonna contenente elementi non
nulli con indice più piccolo è la prima. Essendo a11 = 0 e a21 6= 0 la prima
cosa da fare è scambiare la prima riga con la seconda ottenendo così

1
 0
−3
1
−5
2

1 −1
0 2 .
1 −1
Al fine di annullare anche il primo elemento della terza riga, effettuiamo
l’operazione r3 → r3 + 3r1 ottendendo la matrice

1
 0
0
1
−5
5

1 −1
0 2 .
4 −4
Una volta che abbiamo annullato tutti gli elementi della prima colonna nelle
righe successive alla prima, dobbiamo considerare la matrice che si ottiene
cancellando la prima riga, in altre parole dobbiamo ripetere l’algoritmo
tralasciando la prima riga. In questo caso il pivot si trova già nella posizione giusta e quindi dobbiamo solo annullare gli elementi al di sotto
del pivot della seconda riga, ovvero dobbiamo applicare la trasformazione
r3 → r3 + r2 così da ottenere la matrice

1
 0
0
1
−5
0

1 −1
0 2 
4 −2
che è una matrice a scala equivalente ad A.
45
46
matrici e sistemi lineari
Esempio 3.2.4. Consideriamo la seguente matrice di M4 (R)

1
 0
A=
 0
0

2 1
0 5 
.
4 2 
8 −6
2
0
0
0
Effettuiamo uno scambio tra le seconda e la terza riga ottenendo

1
 0

 0
0
2
0
0
0

2 1
4 2 

0 5 
8 −6
e poi per annullare gli elementi della terza colonna nelle righe successive
alla seconda effettuiamo l’operazione r4 → r4 − 2r2 e otteniamo

1
 0

 0
0

2
1
4
2 
,
0
5 
0 −10
2
0
0
0
quindi l’operazione r4 → r4 + 2r3
ad essa equivalente

1
 0

 0
0
riduce la matrice A nella matrice a scala
2
0
0
0
2
4
0
0

1
2 
.
5 
0
Una matrice a scala in cui tutti i pivot sono uguali ad 1 e in cui il pivot è
l’unico elemento non nullo della corrispondente colonna, si chiama matrice
a scala ridotta. Applicato l’algoritmo di Gauss ad una matrice A, si può fare
anche in modo che la matrice a scala ottenuta possa essere trasformata in
una matrice a scala ridotta ottendendo così quella che si dice la forma a scala
ridotta della matrice A.
Teorema 3.2.5. Ogni matrice (su un campo) è equivalente ad un’unica matrice a
scala ridotta.
Senza affrontare il problema dell’unicità, in seguito si illustrerà l’algoritmo
su cui si basa la dimostrazione dell’esistenza della matrice a scala ridotta,
tale algoritmo è detto Algoritmo di Gauss-Jordan. Sia A = (aij ) la generica
matrice m × n sul campo K e supponiamo che A sia a scala (ovvero che ad
essa sia stato applicato già l’algoritmo di Gauss).
Passo 1 – Se A è la matrice nulla, l’algoritmo termina. Si assuma quindi
che A non sia nulla.
Passo 2 – Sia i il massimo intero di {1, . . . , n} tale che la i-esima riga di A
sia non nulla (cioè si considera l’ultima riga non nulla della matrice). Detto
j l’indice relativo alla colonna di A tale che a = aij è il pivot della riga
i-esima, si effettua l’operazione elementare ri → a−1 ri così da rendere il
pivot uguale ad 1.
3.2 matrici a scala
Passo 3 – Si rendono ora nulli gli elementi che si trovano al di sopra del
pivot della riga i-esima, ovvero per ogni riga di indice h < i si effettua
l’operazione elementare rh → rh − ahj ri .
Passo 4 – Se i = 1 l’algoritmo termina, altrimenti si considera la matrice
che si ottiene da A cancellando la i-esima riga e si applica ad essa il procedimento a partire dal passo 1.
Esempio 3.2.6. Trasformiamo nella forma a scala ridotta la matrice su R

1
A= 2
−3
−1
1
2

0 2
1 −1  .
1 −2
Mediante l’algoritmo di Gauss essa è equivalente alla matrice a scala

1
 0
0
−1
3
0
0
1
4
3

2
−5  .
7
3
Rendiamo ora uguale ad 1 il pivot della terza riga, occoorre quindi moltiplicare la terza riga per 34 . Si ottiene così la matrice

1
 0
0
−1
3
0

0 2
1 −5 
1 74
alla quale si applica poi l’operazione r2 → r2 − r3 così da rendere nulli tutti
gli elementi nella colonna del pivot della terza riga

1
 0
0
−1
3
0

0
2
.
0 − 27
4
7
1
4
Si deve ora considerare la matrice che si ottiene da quest’ultima cancellando
l’ultima riga, in altre parole applichiamo lo stesso procedimento focalizzando l’attenzione sulla seconda riga (e quella ad essa precedente). Rendiamo uguale ad 1 il pivot della seconda riga dividendo per 3 questa riga

1
 0
0
−1
1
0

0 2
0 − 94  ,
1 47
a questo punto si effettua l’operazione r1 → r1 + r2 e si ottiene

1 0
 0 1
0 0

0 − 14
0 − 94  .
1 74
L’algoritmo di Gauss-Jordan quindi termina, e la matrice ottenuta è la forma
a scala ridotta della matrice A.
47
48
matrici e sistemi lineari
3.3
determinante di una matrice
Sia A ∈ Mm,n (K). Se i1 , . . . , is ∈ {1, . . . , m} e j1 , . . . , jt ∈ {1, . . . , n} (con
s 6 m e t 6 n), poniamo


ai1 j1 ai1 j2 . . . ai1 jt
 ai j ai j . . . ai j 
2 t 
2 2
 21
A(i1 , . . . , is | j1 , . . . , jt ) =  .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 
a i s j1
...
a i s j2
ais jt
ovvero A(i1 , . . . , is | j1 , . . . , jt ) è la matrice che si ottiene da A considerando
gli elementi che si trovano simultaneamente sulle righe di posto i1 , . . . , is e
sulle colonne di posto j1 , . . . , jt . In generale, gli indici considerati non sono
necessariamente distinti; qualora invece si suppone che gli indici sono distinti, che i1 < · · · < is e che j1 < · · · < jt , la matrice A(i1 , . . . , is | j1 , . . . , jt )
viene detta sottomatrice di A. Se poi s = t, A(i1 , . . . , is | j1 , . . . , js ) prende
il nome di minore di ordine s di A. In particolare, quando A è quadrata di
ordine n, il minore di ordine n − 1 di A ottenuto escludendo dalle righe di
A solo una riga, diciamo la i-sima, ed escludendo solo una delle colonne,
diciamo la j-sima, si dice minore complementare dell’elemento aij e si denota,
per semplicità, col simbolo Aij .
Esempio 3.3.1. Data la matrice

2
A =  −5
−4
0
6
−5
−3
1
1

−4
0 
1
si ha

2
A(1, 2, 1 | 1, 1) =  −5
2

2
−5 
2
mentre
A32 =
2
−5
e A(1, 3 | 2, 4) =
−3
1
−4
0
0
−5
−4
1
.
Vogliamo definire il determinante di una matrice quadrata A, esso sarà
un elemento di K che si indicherà con det(A) (o anche con |A|).
Se A = (a) ∈ M1 (K) poniamo det(A) = a. Sia A = (aij ) ∈ Mn (K)
con n > 2 e supponiamo di aver definito il determinante delle matrici di
Mn−1 (K). Poniamo
det(A) =
n
X
(−1)
1+j
a1j det(A1j ) =
j=1
n
X
0
a1j a1j
,
j=1
0 = (−1)1+j det(A ). Resta così definito un elemento
dove si è posto a1j
1j
det(A) di K, detto determinante di A, per ogni matrice A di Mn (K), qualsiasi
sia l’intero positivo n. L’elemento di K
0
aij
= (−1)i+j det(Aij ),
si dice complemento algebrico di aij .
Inoltre, la matrice A si dice singolare oppure degenere quando det(A) = 0.
3.3 determinante di una matrice
Esempio 3.3.2 (Determinante di matrici 2 × 2). Considerata sul campo K
una matrice 2 × 2
a11 a12
A=
,
a21 a22
si ha det(A) = a11 a22 − a12 a21 .
Esempio 3.3.3. Calcoliamo il determinante della matrice di M3 (R)

2
A= 0
4
Allora det(A) = 2
1
3
1
5
0
4
−
1
5
1
1
3

−3
1 .
5
0
4
−3
1
3
= 20.
Si osservi che nella definizione di determinante si è fissata implicitamente
la prima riga, ma in realtà sussiste il seguente notevole risultato, di cui si
omette la dimostrazione, il quale ci dice che il determinate di una matrice
può essere calcolato avendo fissato una quasiasi riga o colonna.
Teorema 3.3.4. (Primo Teorema di Laplace) Sia A = (aij ) una matrice quadrata
di ordine n sul campo K. Se h ∈ {1, . . . , n} allora
det(A) =
e
det(A) =
n
X
(−1)h+j ahj det(Ahj ) =
n
X
j=1
j=1
n
X
n
X
(−1)i+h aih det(Aih ) =
0
ahj ahj
0
aih aih
.
i=1
i=1
Sussistono le seguenti proprietà di calcolo del determinante.
Corollario 3.3.5. Sia A una matrice quadrata su un campo K. Si ha:
(i) det(A) = det(At ).
(ii) Se A ha una riga o una colonna nulla, allora det(A) = 0.
(iii) Se A ha due righe o due colonne proporzionali, allora det(A) = 0.
Dimostrazione. Per provare (i) basta sviluppare il determinare di A secondo
una fissta riga i e il determinante di At secondo la colonna i. Per provare
(ii) invece basta sviluppare il determinante di A secondo la riga o la colonna
nulla. Infine per provare (iii) basta osservare che
a
λa
b
λb
=
λa
a
λb
b
=
a
b
λa
λb
=
λa
λb
a
b
= λab − λab = 0.
e procedere per induzione.
Al fine di illustrare l’effetto che le operazioni elementari producono sul
calcolo del determinante, si premette il seguente.
49
matrici e sistemi lineari
50
Teorema 3.3.6. (Secondo Teorema di Laplace) Se A = (aij ) è una matrice
quadrata sul campo K e h 6= k, allora
0
0
0
=0
+ · · · + ahn akn
+ ah2 ak2
ah1 ak1
e
0
0
0
= 0.
+ · · · + anh ank
+ a2h a2k
a1h a1k
Dimostrazione. Consideriamo la matrice B = (bij ) che si ottiene da A sos0 = a0 .
tituendo la k-esima riga con la h-esima. Allora bhj = bkj = ahj e bkj
kj
Pertanto applicando il primo teorema di Laplace 3.3.4 e sviluppando il determinate secondo la riga k-esima si ha che
0
0
0
.
+ · · · + ahn akn
+ ah2 ak2
det(B) = ah1 ak1
D’altra parte in B la h-esima riga e la k-esima sono uguali, quindi det(B) = 0
per il corollario 3.3.5 e pertanto
0
0
0
= 0.
+ · · · + ahn akn
+ ah2 ak2
ah1 ak1
Analogamente, considerando la matrice che si ottiene sostituendo la k-esima
colonna di A con la h-esima e sviluppando il determinante della matrice così
0 + a a0 + · · · +
ottenuta secondo la k-esima colonna, si ottiene a1h a1k
2h 2k
0
anh ank = 0 ed il teorema è provato.
Il prossimo risultato mostra l’effetto che le operazioni elementari producono sul determinante di una matrice.
Proposizione 3.3.7. Sia A una matrice quadrata sul campo K. Allora:
(i) Se la matrice B si ottiene da A moltiplicando tutti gli elementi di una fissata
riga (rispettivamente colonna) di A per una costante λ ∈ K, allora si ha che
det(B) = λ det(A);
(ii) Se B è la matrice che si ottiene da A scambiando due righe (rispettivamente
colonne), allora risulta det(B) = −det(A);
(iii) Se la matrice B si ottiene da A aggiungendo ad una riga (rispettivamente
colonna) il multiplo di un’altra riga (rispettivamente colonna), allora si ha
che det(B) = det(A).
(iv) Se la matrice B si ottiene da A sommando ad una riga una combinazione
lineare delle restanti righe, allora det(B) = det(A).
In particolare, se la matrice B è equivalente ad A allora det(B) = 0 se e solo se
det(A) = 0.
Proof. Proviamo la proposizone nel caso delle righe, gli asserti per le colonne
seguono dalla (i) del corollario 3.3.5.
(i) Supponiamo di aver ottenuto la matrice B = (bij ) moltiplicato la riga
0 = a 0 e pertanto,
i- esima di A = (aij ) per λ. Allora bij = λ aij e bij
ij
sviluppando il determinante secondo la i-esima, si ottiene subito det(B) =
λ det(A).
(ii) Per matrici di ordine 2 si ha
a
c
b
d
= ad − bc = −(bc − ad) = −
c
a
d
.
b
3.3 determinante di una matrice
Supposto l’asserto vero per matrici di ordine n − 1 (con n > 3), si ha subito
l’asserto per quelle di ordine n sviluppando il determinante secondo una
riga diversa da quelle che si scambiano.
(iii) Sia B = (bij ) la matrice che si ottiene da A = (aij ) mediante la
trasformazione ri → ri + λ rk (con λ ∈ K). Allora bij = aij + λ akj mentre
0 = a 0 , dunque b b 0 = a a 0 + λ a a e quindi, applicando il secondo
bij
ij ij
ij ij
kj ij
ij
teorema di Laplace 3.3.6, si ottiene
det(B) =
X
0
=
bij bij
X
0
+
aij aij
X
j
j
j
= det(A) + λ
X
0
=
λ akj aij
0
akj aij
= det(A).
j
(iv) Sia B la matrice che si ottiene dalla matrice A mediante l’operazione
ri −→ ri − λ1 r1 − · · · − λn rn . Consideriamo la matrice B1 che si ottiene
da A mediante l’operazione ri −→ ri − λ1 r1 , la matrice B2 che si ottiene
da B1 mediante l’operazione ri −→ ri − λ2 r2 , e così via fino alla matrice
Bn che si ottiene da Bn−1 mediante l’operazione ri −→ ri − λn rn . Allora
la (iii) garantisce che det(A) = det(B1 ) = det(B2 ) = · · · = det(Bn ); ma
evidentemente Bn = B e quindi det(B) = det(A).
Una matrice quadrata A = (aij ) si dice triangolare superiore se tutti gli
elementi sotto la diagonale principale sono nulli, cioè se aij = 0 se i > j. Si
dice invece triangolare inferiore se tutti gli elementi che si trovano al di sopra
della diagonale principale sono nulli, ovvero se aij = 0 se i < j. La matrice
A si dice poi matrice diagonale se gli eventuali elementi non nulli in A si
trovano solo sulla diagonale principale, e quindi quando aij = 0 se i 6= j.
Proposizione 3.3.8. Il determinante di una matrice (su un campo) triangolare superiore, o triangolare inferiore o diagonale è il prodotto degli elementi della diagonale
principale.
Dimostrazione. Se




A=


a11
0
0
..
.
a12
a22
0
..
.
a13
a23
a33
..
.
...
...
...
..
.
a1n
a2n
a3n
..
.
0
0
0
...
ann







è triangolare superiore, sviluppando det(A) secondo la prima colonna otteniamo
a22 a23 . . . a2n
0
a33 . . . a3n
det(A) = a11 ·
..
..
..
..
.
.
.
.
0
0
...
ann
e iterando lo sviluppo dei determinanti sempre secondo la prima colonna,
si ottiene che det(A) = a11 a22 . . . ann . Un analogo ragionamento prova il
risultato quando A è triangolare inferiore o diagonale.
51
matrici e sistemi lineari
52
La precedente proposizione fornisce un utile modo per il calcolo del determinate. Se A è una matrice quadrata di ordine n su un campo K, mediante l’algoritmo di Gauss sappiamo trasformare A in una matrice a scala
B = (bij ) ad essa equivalente. Poichè anche B è una matrice quadrata, essa
è una matrice triangolare superiore di ordine n e quindi la proposizione
3.3.8 assicura che det(B) = b11 . . . bnn . Poichè l’algoritmo di Gauss non
prevede l’uso di operazioni di tipo 1), se per passare da A a B ci sono
stati s ∈ N0 scambi di righe, la proposizione 3.3.7 assicura che det(A) =
(−1)s b11 . . . bnn .
Un’altra utile proprietà del determinante è fornita dal seguente teorema
di cui si omette la dimostrazione.
Teorema 3.3.9. (Teorema di Binet) Siano A e B matrici quadrate di ordine n sul
campo K. Allora det(AB) = det(A)det(B) = det(BA).
3.4
matrici invertibili
Siano K un campo e n un intero positivo. Una matrice quadrata A di ordine n su K si dice invertibile se A è un elemento simmetrizzabile di Mn (K)
rispetto all’operazione di prodotto righe per colonne, ossia se esite una matrice B ∈ Mn (K) tale che AB = In e BA = In ; in questo caso, come semplice
conseguenza dell’associatività del prodotto righe per colonne, si ha che la
matrice B è univocamente determinata: questa unica matrice B si dice matrice inversa di A e si denota con A−1 . Chiaramente, (A−1 )−1 = A, ed è
inoltre semplice accorgersi che (At )−1 = (A−1 )t . Si osservi che esistono
matrici che non sono invertibili, infatti se A è una matrice quadrata di ordine n sul campo K e A ha una riga (rispettivamente, colonna) nulla allora
anche AB ha una riga (rispettivamente, colonna) nulla, e quindi AB 6= In ,
qualsiasi sia la matrice B in Mn (K).
Proposizione 3.4.1. Sia K un campo. Se A e B sono matrici invertibili di Mn (K),
allora anche AB è invertibile e (AB)−1 = B−1 A−1 .
Dimostrazione. Si ha
(AB)(B−1 A−1 ) = A(BB−1 )A−1 = A In A−1 = AA−1 = In
e
(B−1 A−1 )AB = B−1 (A−1 A)B = B−1 In B = B−1 B = In ,
pertanto AB è invertibile e (AB)−1 = B−1 A−1 .
Fissato un campo K ed un intero positivo n, la precedente proposizione
assicura che l’insieme GLn (K) delle matrici invertibili di Mn (K) è stabile
rispetto al prodotto righe per colonne. D’altra parte è evidente che la matrice identica è invertibile, e se A è una matrice invertibile è stato già osservato che anche A−1 è invertibile, dunque rispetto all’operazione di prodotto
righe per colonne l’insieme GLn (K) è un gruppo, detto gruppo lineare delle
matrici quadrate d’ordine n su K.
3.4 matrici invertibili
53
Sia A = (aij ) una matrice quadrata di ordine n sul campo K. Chiamiamo
aggiunta di A la trasposta della matrice i cui elementi sono i complementi
algebrici di A ovvero la seguente matrice
0
a11

agg(A) =  ...
0
a1n

0
a21
..
.
0
a2n

0
an1
..  .
. 
0
ann
...
..
.
...
Poichè il primo teorema di Laplace 3.3.4 e il secondo teorema di Laplace
3.3.6 insieme permettono di scrivere
0
0
0
0
0
0
,
+ · · · + ani anj
+ a2i a2j
= δij det(A) = a1i a1j
+ · · · + ain ajn
+ ai2 aj2
ai1 aj1
dove δij è il simbolo di Kronecker, si ha che
A · agg(A) = agg(A) · A = (δij det(A)) = det(A) · In =



=


det(A)
0
..
.
0
det(A)
..
.
...
...
..
.
0
0
..
.
0
0
...
det(A)


.

Teorema 3.4.2. Sia A una matrice quadrata di ordine n sul campo K. Se det(A) 6= 0
1
allora A è invertibile e la sua inversa è A−1 = det(A)
· agg(A).
Dimostrazione. Utilizzando la precente osservazione e l’associatività del prodotto
righe per colonne, otteniamo
A · (det(A)−1 · agg(A)) = (det(A))−1 · (A · agg(A)) =
= det(A)−1 · (det(A) · In ) =
= (det(A)−1 · det(A)) · In = In .
Allo stesso modo, (det(A)−1 · agg(A)) · A = In e quindi il risultato è provato.
Esempio 3.4.3. Consideriamo la matrice a coefficienti reali
1 2
A=
.
3 4
Poichè det(A) = −2, A è invertibile e quindi applichiamo il teorema 3.4.2
per il calcolo della matrice inversa. Considerando la matrice dei complementi algebrici, otteniamo che
4 −3
t
agg(A) =
.
−2 1
Dunque,
A
−1
1
1
agg(A) = − ·
=
det(A)
2
4
−3
−2
1
=
−2
3
2
1
− 21
.
54
matrici e sistemi lineari
Se A ∈ Mn (K) è una matrice invertibile, allora AA−1 = In ed il teorema
di Binet 3.3.9 assicura che
det(A)det(A−1 ) = det(AA−1 ) = det(In ) = 1;
quindi det(A) 6= 0 ed inoltre
det(A−1 ) =
1
.
det(A)
Corollario 3.4.4. Sia A una matrice d’ordine n sul campo K. Allora A è invertibile
se e solo se det(A) 6= 0. In particolare, GLn (K) è l’insieme delle matrici non
singolari di Mn (K).
Dimostrazione. Per il teorema 3.4.2 se det(A) 6= 0, la matrice A è invertibile.
Viceversa, se A è invertibile allora det(A) 6= 0 per quanto osservato sopra.
3.5
dipendenza lineare e rango di una matrice
Se A è una matrice di ordine m × n sul campo K, allora le righe A1 , . . . , Am
di A sono vettori di Kn mentre le colonne A1 , . . . , An di A sono vettori di
Km . Si dice spazio delle righe di A il sottospazio R(A) = L[A1 , . . . , Am ] di Kn
generato dalle righe di A; si dice invece spazio delle colonne di A il sottospazio
C(A) = L[A1 , . . . , An ] di Km generato dalle colonne di A. Ha senso quindi
determinare insiemi liberi di righe o di colonne di A, e definire rango di riga
di A il massimo numero ρr (A) di righe indipendenti di A, ovvero ρr (A) =
dim R(A), e rango di colonna di A il numero ρc (A) = dim C(A), ovvero il
massimo numero di colonne indipendenti di A.
Teorema 3.5.1. Sia A una matrice m × n su K. Allora ρr (A) = ρc (A).
Dimostrazione. Sia {Ai1 , . . . , Aip } una base per lo spazio delle righe di A, in
particolare p = ρr (A) e per ogni i = 1, . . . , m si ha che
Ai = λi,i1 Ai1 + · · · + λi,ip Aip
per opportuni λi,i1 , . . . , λi,ip ∈ K. Fissato un indice j ∈ {1, . . . , n}, dalla
precedente relazione si ricava che
a1j = λ1,i1 ai1 ,j + · · · + λ1,ip aip ,j
a2j = λ2,i1 ai1 ,j + · · · + λ2,ip aip ,j
..
.
amj = λm,i1 ai1 ,j + · · · + λm,ip aip ,j
e pertanto se per ogni h = 1, . . . , p si pone


λ1,ih
 λ2,i 
h 

Λ ih =  . 
 .. 
λm,ih
3.5 dipendenza lineare e rango di una matrice
si ricava che
Aj = ai1 ,j Λi1 + · · · + aip ,j Λip .
L’arbitrarietà di j assicura quindi che C(A) 6 L[Λi1 , . . . , Λip ] e pertanto
segue dal Lemma di Steinitz 2.4.1 che
ρc (A) = dim C(A) 6 p = ρr (A).
In maniera analoga, scambiando il ruolo delle righe e delle colonne, si prova
che ρr (A) 6 ρc (A) e pertanto ρr (A) = ρc (A).
Considerata A una matrice di ordine m × n su un campo K, il teorema 3.5.1
assicura che ρr (A) = ρc (A) ed è quindi possibile definire rango di A come
il massimo numero ρ(A) di righe (o colonne) indipendenti di A, ovvero
ρ(A) = ρr (A) = ρc (A); in particolare, ρ(A) = 0 se e solo se A è la matrice nulla. Evidentemente, ρ(A) 6 min{m, n}; inoltre, essendo chiaramente
ρr (A) = ρc (At ), si ha anche che ρ(A) = ρ(At ).
E’semplice accorgersi che il rango di una matrice a scala coincide il numero delle righe non nulle, e quindi il prossimo risultato suggerisce che per
calcolare il rango di una matrice basta applicare ad essa l’algoritmo di Gauss
e poi contare il numero di righe non nulle nella matrice a scala ottenuta.
Proposizione 3.5.2. Siano A e B matrici m × n sul campo K. Se A e B sono
matrici equivalenti, allora R(A) = R(B); in particolare, ρ(A) = ρ(B).
Dimostrazione. Poichè B è equivalente ad A, possiamo ottenere B a partire
da A attraverso una sequenza finita di operazioni elementari. Quindi i vettori riga di B sono combinazioni lineari dei vettori riga di A e pertanto
appartengono allo spazio generato dalle righe di A. Ne consegue che lo
spazio generato dalle righe di B è un sottospazio dello spazio delle righe
di A. D’altra parte anche A è equivalente a B, quindi lo spazio generato
dalla righe di A è contenuto nello spazio generato dalle righe di B e pertanto coincide con esso. In definitiva, R(A) = R(B) e conseguentemente
ρ(A) = ρ(B).
Esempio 3.5.3. La forma a scala della matrice


1 1 0 −1
A =  0 −1 1 0 
1 0 1 −1
è la matrice

1
 0
0
1
−1
0

0 −1
1 0 .
0 0
Così ρ(A) = 2 per la proposizione 3.5.2 e la proposizione 3.5.2.
Per le matrici quadrate sussiste la seguente proposizione dalla quale discende, in particolare, che una matrice quadrata d’ordine n ha rango massimo (cioè n) se e solo se è non singolare.
55
matrici e sistemi lineari
56
Proposizione 3.5.4. Sia A una matrice quadrata sul campo K. Allora det(A) = 0
se e solo se una riga (rispettivamente colonna) di A è combinazione lineare delle
restanti righe (rispettivamente colonne).
Dimostrazione. Per il corollario 3.3.5, det(A) = det(At ) e quindi è sufficiente
provare l’asserto per le righe. Supponiamo dapprima che A ∈ Mn (K) sia
una matrice singolare e per assurdo supponiamo che l’insieme {A1 , . . . , An }
sia libero. Considerata la forma a scala ridotta B di A, la proposizione 3.5.2
assicura che L[A1 , . . . , An ] = L[B1 , . . . , Bn ], così l’insieme {B1 , . . . , Bn } è un
sistema di generatori di uno spazio vettoriale di dimensione n e quindi deve
essere una base, in particolare è un insieme libero. Dunque B è una matrice
a scala ridotta, quadrata e priva di righe nulle, e quindi B è necessariamente
la matrice identica. In particolare, det(B) 6= 0 e così anche det(A) 6= 0 per la
proposizione 3.3.7. Questa contraddizione prova che l’insieme {A1 , . . . , An }
è legato e dunque una riga di A deve dipendere dalle restanti.
Viceversa, supponiamo che la riga i-esima di A sia combinazione lineare
delle restanti righe: Ai = λ1 A1 + · · · + λn An (con ogni λi ∈ K), e sia
B la matrice che si ottiene da A sottraendo alla riga i-esima tale combinazione lineare, ovvero B si ottiene dala matrice A mediante un’operazione
del tipo ri −→ ri − λ1 r1 − · · · − λn rn . Per la proposizione 3.3.7 risulta
det(B) = det(A); d’altra parte la i-esima riga di B è nulla e pertanto il suo
determinante è nullo per il corollario 3.3.5. Così det(A) = 0.
Come già osservato, la proposizione 3.5.4 assicura che una matrice quadrata
ha rango massimo se e solo se ha determinante non nullo; questo suggerisce
inoltre che deve esserci un legame tra il concetto di rango e quello di determinante: al fine di stabilire tale legame premettiamo la seguente definizione.
Considerato un minore M di ordine p di una matrice A, si dice orlato di M
un minore di ordine p + 1 di A che ha M come minore di ordine p. Invece,
un minore fondamentale di A è un minore di A che è non singolare ma è tale
che ogni suo orlato è singolare. Praticamente, un orlato di M in A si ottiene
“aggiungendo" una riga e una colonna di A ad M.
Esempio 3.5.5. Un minore della matrice

1
2 5 0
 7
4 9 −2
A=
 −2 1 6 2
0 −5 2 1
è
2
4
−1
3
Un suo orlato è ad esempio il minore di A

2
A(1, 2, 4 | 2, 4, 5) =  4
−5
0
−2
1
A(1, 2 | 2, 5) =

−1
3 

5 
4
.

−1
3 .
4
Quest’ultimo possiede due soli orlati il primo relativo alle righe 1, 2, 4, 3 e
alle colonne 1, 2, 4, 5 e il secondo relativo alle righe 1, 2, 4, 3 e alle colonne
2, 4, 5, 3 ed essi sono le matrici


1
2
0 −1
 7
4 −2 3 

A(1, 2, 3, 4 | 1, 2, 4, 5) = 
 −2 1
2
5 
0 −5 1
4
3.5 dipendenza lineare e rango di una matrice
e

2 5
 4 9
A(1, 2, 3, 4 | 2, 3, 4, 5) = 
 1 6
−5 2
0
−2
2
1

−1
3 
.
5 
4
Sussiste il seguente notevole risultato.
Teorema 3.5.6. (Teorema degli Orlati) Sia A una matrice m × n sul campo
K e sia M un minore fondamentale di A di ordine p. Allora l’insieme delle righe
(rispettivamente, colonne) di A coinvolte nel minore M è una base per il sottospazio
generato dalle righe (rispettivamente, colonne) di A. In particolare, ρ(A) = p.
Dimostrazione. Proviamo il risultato per le righe, da questo seguirà il risultato per le colonne considerando la trasposta di A. Per fissare le idee, supponiamo sia M = A(i1 , . . . , ip | j1 , . . . , jp ). Se le righe Ai1 , . . . , Aip di A
fossero linearmente dipendenti, allora anche le righe Mi1 , . . . , Mip di M
sarebbero dipendenti e quindi si avrebbe det(M) = 0 per la proposizione
3.5.4. Questa contraddizione prova che le righe Ai1 , . . . , Aip sono indipendenti e pertanto resta da provare che tutte le altre righe di A dipendono da
queste. Fissiamo quindi un indice di riga i 6∈ {i1 , . . . , ip } e proviamo che Ai
è combinazione lineare di Ai1 , . . . , Aip . Per ogni j = 1, . . . , n si consideri la
matrice


ai1 j1 . . . ai1 jp ai1 j

..
..
.. 
..

.
.
.
. 
M(j) = 
.
 ai j . . . ai j
aip j 
p 1
p p
aij1 . . . aijp
aij
Se j ∈ {j1 . . . , jp } allora M(j) ha due colonne uguali e quindi è singolare
per la proposizione 3.3.5, altrimenti (a meno di scambiare righe) M(j) è un
orlato di M e quindi M(j) è singolare anche in questo caso (si veda pure la
proposizione 3.3.7). Pertanto det(M(j)) = 0 per ogni j = 1, . . . , n. Osserviamo che le matrici M(1), . . . , M(n) hanno le prime p colonne uguali, sicchè i
complementi algebrici degli elementi dell’ultima colonna coincidono, siano
essi λ1 , λ2 , . . . , λp+1 ∈ K; si osservi inoltre che λp+1 è a meno del segno
uguale a det(M) e quindi λp+1 6= 0. Sviluppando il determinante di M(j)
rispetto all’ultima colonna ricaviamo
det(M(j)) = ai1 j λ1 + · · · + aip j λp + aij λp+1 = 0.
Poichè la precedente relazione vale per ogni j = 1, . . . , n, sussiste la seguente
relazione vettoriale (in Kn )






aip 1
ai1 1
ai1
 ai 2 
 aip 2 
 ai2 
1






λ
+
 ..  λ1 + · · · + 

 ..  λp+1 = 0
p
..
 . 



. 
.
ai1 n
aip n
ain
dove riconosciamo che i primi p vettori sono le righe Ai1 , . . . , Aip di A
mentre l’ultimo vettore è la riga i-esima Ai . Pertanto, essendo λp+1 6= 0,
ricaviamo che
−1
Ai = −λ−1
p+1 λ1 Ai1 − · · · − λp+1 λp Aip ,
come volevamo.
57
matrici e sistemi lineari
58
Esempio 3.5.7. Calcoliamo il rango della matrice


1 1 0 −1
A =  0 −1 1 0 
1 0 1 −1
la stessa di cui prima abbiamo calcolato il rango usando l’algoritmo di
Gauss. Iniziamo col considerare il minore M1 = A(1 | 1) = (1) che è ovviamente non singolare. Orliamo M1 considerando
1 1
M2 = A(1, 2 | 1, 2) =
0 −1
che è non singolare avendo per determinante −1.
amo i possibili orlati di M2 ovvero le matrici

1 1

0 −1
A(1, 2, 3 | 1, 2, 3) =
1 0
e

1
A(1, 2, 3 | 1, 2, 4) =  0
1
1
−1
0
A questo punto consideri
0
1 
1

−1
0 .
−1
Poichè queste matrici sono singolari, il teorema degli orlati 3.5.6 ci permette
di concludere che ρ(A) = 2.
La nozione di rango di una matrice è una nozione importante e molto
utile per valutare la lineare (in)dipendenza di vettori numerici, come mostra
il seguente esempio.
Esempio 3.5.8. Supponiamo di voler stabilire se in R4 i vettori v1 = (1, 0, −1, 2),
v2 = (2, −1, 0, 1) e v3 = (−1, −1, −1, 1) sono linearmente dipendenti o indipendenti. Considerata la matrice che ha questi vettori come righe


1
0 −1 2
A =  2 −1 0 1 
−1 −1 −1 1
e osservando che la sua forma a scala è la matrice


1 0 −1 2
 0 −1 2 −3 
0 0
0
0
si ha che ρ(A) = 2. Un minore fondamentale di A è ad esempio A(1, 2 | 1, 2),
e dunque il lemma 3.5.6 assicura che i vettori v1 e v2 sono indipendenti e
che v3 dipende da essi (come c’era da aspettarsi visto che v3 = v1 − v2 ).
3.6
generalità sui sistemi lineari
Sia f(x1 , . . . , xn ) un polinomio di grado m sul campo K nelle n indeterminate x1 , . . . , xn . L’espressione f(x1 , . . . , xn ) = 0 prende il nome di equazione
algebrica di grado m e rappresenta il problema della ricerca delle radici del
3.6 generalità sui sistemi lineari
polinomio f(x1 , . . . , xn ) ovvero delle n-uple y = (y1 , . . . , yn ) di elementi di
K tali che f(y1 , . . . , yn ) = 0. Le indeterminate x1 , . . . , xn si dicono incognite dell’equazione e la radice y di f si dice soluzione dell’equazione f = 0.
Se m = 1, l’equazione f = 0 si dice equazione lineare; in tal caso, dovendo
essere un polinomio di grado 1, si ha che f = a1 x1 + · · · + an xn − b per
opportuni a1 , . . . , an , b ∈ K e quindi l’equazione lineare si scrive come
a1 x1 + · · · + an xn − b = 0 o anche come
a1 x1 + · · · + an xn = b.
Un sistema lineare di m equazioni in n incognite su K, o a coefficienti in K, è
un insieme di equazioni lineari su K


 a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
..
Σ:
(6)
.


am1 x1 + · · · + amn xn = bm
Dato il sistema lineare (6), la matrice di Mm,n (K)


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A= .
..
..  ,
..
 ..
.
.
. 
am1 am2 . . . amn
si dice matrice incompleta o matrice dei coefficienti del
trice di Mm,n+1 (K)

a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2

 ..
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn bm
sistema, mentre la ma


,

si dice matrice completa del sistema. Inoltre, spesso il sistema

x1
 ..
usando la notazione matriciale come AX = B dove X =  .
(6) si scrive


 ∈ Kn e
xn

b1


B =  ...  ∈ Km e AX indica il prodotto righe per colonne tra A ed
bm
X. Nel seguito la matrice completa del sistema AX = B si indicherà con
(A|B). Un sistema lineare del tipo AX = 0 (dove 0 è il vettore colonna nullo)
si dice omogeneo; inoltre dato un sistema lineare Σ : AX = B, il sistema
Σom : AX = 0 si dice sistema lineare omogeneo associato ad esso.

Una soluzione di (6) è una n-upla (y1 , . . . , yn ) di elementi di K che è
soluzione per ciascuna equazione che forma il sistema (6). Un sistema lineare si dice compatibile se ha almeno una soluzione, incompatibile altrimenti.
Un sistema compatibile che ammette una sola soluzione si dice determinato.
Determinare le soluzioni, o risolvere, un sistema significa Σ determinare se è
compatibile o meno e, nel caso sia compatibile, scrivere l’insieme Sol(Σ)
delle sue soluzioni. Si noti che essendo A0 = 0 ogni sistema lineare omogeneo è compatibile, avendo esso almeno la soluzione nulla.
59
60
matrici e sistemi lineari
Lemma 3.6.1. Un sistema lineare AX = B a coefficienti nel campo K è compatibile
se e solo se il vettore B dipende linearmente dai vettori colonna di A.
Dimostrazione. Il sistema lineare AX = B ha una soluzione (y1 , . . . , yn ) ∈
Kn se e solo se y1 A1 + . . . yn An = B, ovvero se e solo se il vettore numerico
colonna B dipende dall’insieme delle colonne di A.
Teorema 3.6.2. (Teorema di Rouché – Capelli) Un sistema lineare AX = B di
m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K è compatibile se e solo se
le matrici A e (A|B) hanno lo stesso rango.
Dimostrazione. Supponiamo che ρ(A) = p e sia C = {Aj1 , . . . , Ajp } un sistema massimale di colonne indipendenti di A. Se il sistema AX = B è compatibile, allora B dipende dalle colonne di A per il lemma 3.6.1 e quindi
dall’insieme C, così C è un sistema massimale di colonne indipendenti
anche per la matrice (A|B) e pertanto ρ(A|B) = p. Reciprocamente, se
ρ(A) = ρ(A|B), le colonne (di A) che formano un sistema massimale di
colonne per A, formano un sistema massimale di colonne anche per (A|B),
e quindi, poichè tra esse non c’è B, il vettore B dipende da esse. Così AX = B
è compatibile per il lemma 3.6.1.
3.7
metodi di risoluzione
Due sistemi lineari in n incognite si dicono equivalenti se hanno le stesse
soluzioni, cioè se ogni soluzione dell’uno è anche soluzione dell’altro e
viceversa. Sussiste la seguente proprietà, la cui verifica si lascia per esercizio.
Esercizio 3.7.1. Il sistema lineare AX = B (di m equazioni in n incognite su un
campo K) è equivalente ad ogni sistema lineare la cui matrice completa è equivalente
ad (A|B).
Se AX = B è un sistema lineare, allora alla matrice completa (A|B) si può
applicare l’algoritmo di Gauss-Jordan ottenendo una matrice C che può
pensarsi come la matrice completa di un sistema equivalente ad AX = B.
Evidentemente nel il sistema così ottenuto la ricerca delle soluzioni sarà
più semplice, e nel caso particolare che il sistema AX = B sia determinato
l’ultima colonna della matrice C fornirà direttamente una soluzione del sistema.
Esempio 3.7.2 (Sistema incompatibile). Consideriamo il sistema (in R)

 2x1 + x2 = 1
x + x2 + x3 − x4 = 2
 1
x1 − x3 + x4 = 1
La sua matrice completa è

2 1
 1 1
1 0
0
1
−1
0
−1
1

1
2 
1
3.7 metodi di risoluzione
la quale è equivalente alla matrice

1 1 1 −1
 0 1 2 −2
0 0 0 0
61

2
3 .
2
Questa seconda matrice è la matrice completa del sistema lineare

 x1 + x2 + x3 − x4 = 2
x + 2x3 − 2x4 = 3
 2
0x4 = 2
che è incompatibile, infatti la matrice incompleta del sistema ha rango 2
mentre la matrice completa ha rango 3 (cfr. teorema 3.6.2).
Esempio 3.7.3 (Sistema determinato). Consideriamo il sistema (in R)

 x1 − x2 = 2
2x1 + x2 + x3 = −1

−3x1 + 2x2 + x3 = −2
che ha per matrice completa

1
 2
−3
−1
1
2

0 2
1 −1 
1 −2
la quale, come abbiamo visto in un esempio in precedenza, mediante l’algoritmo
di Gauss-Jordan, si trasforma nella seguente matrice ad essa equivalente


1 0 0 − 41
 0 1 0 −9  .
4
0 0 1 74
Questa seconda matrice è la matrice completa del sistema lineare

1
 x1 = − 4
x = −9
 2 74
x3 = 4
che ha per soluzione (− 14 , − 49 , 74 ).
Esempio 3.7.4 (Sistema compatibile ma determinato). Consideriamo il sistema (in R)
2x1 + x2 = 1
x1 + x2 − x3 = 2
La sua matrice completa è
2
1
1
1
0
−1
1
2
la quale viene trasformata mediante l’algoritmo di Gauss-Jordan nella matrice ad essa equivalente
1 0 1 −1
.
0 1 −2 3
62
matrici e sistemi lineari
Questa seconda matrice è la matrice completa del sistema lineare
x1 + x3 = −1
x2 − 2x3 = 3
che è compatibile ma non è determinato perchè le sue soluzioni si ottengono al variare di x3 in R, ovvero ha per soluzioni tutti gli infiniti elementi
dell’insieme
{(−x3 − 1, 2x3 + 3, x3 ) | x3 ∈ R}.
Nel caso particolare di sistemi lineari in cui il numero di equazioni e il
numero di incognite è lo stesso, sussiste il seguente risultato: esso fornisce
una “regola" per determinare le soluzioni di un tale sistema detta talvolta
Regola di Cramer.
Teorema 3.7.5. (Teorema di Cramer) Sia AX = B un sistema lineare di n
equazioni in n incognite su un campo K. Se det(A) 6= 0 allora il sistema è
compatibile e determinato e la sua unica soluzione (x1 , . . . , xn ) si ottiene come
segue. Per ogni i = 1, . . . , n, considerata la matrice che si ottiene da A sostituendo
la sua i-esima colonna con B
Âi = (A1 , . . . , Ai−1 , B, Ai+1 , . . . , An ),
si ha che
xi =
det(Âi )
.
det(A)
Dimostrazione. Poichè det(A) 6= 0, il corollario 3.4.4 assicura che la matrice
A è invertibile. Allora
X = (A−1 A)X = A−1 (AX) = A−1 B
è l’unica soluzione del sistema AX = B e così, ricordando il teorema 3.4.2,
otteniamo che l’unica soluzione del sistema AX = B è


0
0
0
a11
a21
an1




.
.
.
x1
b1
det(A) 
 det(A) det(A)
 ..  
  .. 
..
..
..
..
 . .
 . =
.
.
.
.


0
0
0
a1n
a2n
ann
xn
bn
.
.
.
det(A)
det(A)
det(A)
Pertanto per ogni i = 1, . . . , n risulta
xi =
0 + b a0 + · · · + b a0
b1 a1i
det(Âi )
n ni
2 2i
=
,
det(A)
det(A)
dove ques’ultima uguaglianza si ottiene sviluppando det(Âi ) rispetto alla
i-esima colonna.
Un sistema lineare AX = B di n equazioni in n incognite con det(A) 6= 0
si dice sistema di Cramer. Il precendente teorema assicura quindi che ogni
sistema di Cramer è determinato.
3.7 metodi di risoluzione
Esempio 3.7.6. Consideriamo il sistema lineare
x1 − x2 = 4
2x1 + x2 = 0
la cui matrice dei coefficienti ha determinante 3. Dunque tale sistema è di
Cramer e il teorema di Cramer 3.7.5 assicura che le soluzioni sono
x1 =
4
0
−1
1
3
=
4
3
e
1
2
x2 =
4
0
3
8
=− .
3
Esempio 3.7.7. Considerato il sistema

 4x1 − 5x2 + 3x3 = 1
x − 3x2 + x3 = −1
 1
2x1 + x2 − 5x3 = 1
la cui matrice dei coefficienti

4
A= 1
2
−5
−3
1

3
1 
−5
ha determinante uguale a 42, detta Ai (con i = 1, 2, 3) la matrice che si
ottiene da A rimpiazzando la i-esima colonna con la colonna dei termini
noti si ha che
det(A1 ) =
1
−1
1
−5
−3
1
3
1
−5
= 40,
det(A3 ) =
4
1
2
det(A2 ) =
−5
−3
1
1
−1
1
4
1
2
1
−1
1
3
1
−5
= 32
e
= 14;
dunque il teorema di Cramer 3.7.5 assicura che la soluzione del sistema
lineare è data dalla terna (x1 , x2 , x3 ) dove
x1 =
det(A1 )
40
20
=
=
;
det(A)
42
21
x3 =
x2 =
det(A2 )
32
16
=
=
det(A)
42
21
e
det(A3 )
14
1
=
= .
det(A)
42
3
Un sistema lineare AX = B di m equazioni in n incognite sul campo K
si dice ridotto in forma normale se ρ(A) = m 6 n. Evidentemente in tal caso
anche ρ(A|B) = m e quindi il sistema è compatibile per il teorema di Rouché
– Capelli 3.6.2. D’altra parte se AX = B è un sistema lineare (qualsiasi) compatibile in cui ρ(A) = ρ(A|B) = p, scelte p righe indipendenti Ri01 , . . . , Ri0p di
(A|B), ogni altra riga di (A|B) è combinazione lineare di queste e quindi il
sistema lineare AX = B è equivalente al sistema lineare che ha come matrice
63
64
matrici e sistemi lineari
completa quella le cui righe sono Ri01 , . . . , Ri0p , quest’ultimo sistema evidentemente è ridotto a forma normale. Quindi ogni sistema lineare compatibile
è equivalente ad un sistema in forma normale.
Sia AX = B un sistema lineare compatibile di m equazioni in n incognite
su un campo K. Al fine di illustrare un altro metodo di risoluzione di
un sistema lineare, detto metodo dei determinanti (o dei minori), per quanto
detto sopra è lecito supporre che il sistema AX = B sia già ridotto in forma
normale, sicchè ρ(A) = ρ(A|B) = m 6 n. Se m = n il sistema è di Cramer,
infatti det(A) 6= 0 per la proposizione 3.5.4, e quindi la regola di Cramer
ci permette di determinare l’unica soluzione del sistema lineare. Sia allora
m < n e siano Aj1 , . . . , Ajm le m colonne indipendenti di A. Posto q =
n−m e
{k1 , . . . , kq } = {1, . . . , n} \ {j1 , . . . , jm },
il sistema può essere riscritto come

 a1,j1 xj1 + · · · + a1,jm xjm = b1 − a1,k1 xk1 − · · · − a1,kq xkq
...

am,j1 xj1 + · · · + am,jm xjm = bm − am,k1 xk1 − · · · − am,kq xkq
(7)
e qui le incognite xk1 , . . . , xkq vengono dette parametri. Fissato arbitrariamente un valore per ciascun parametro, questo sistema lineare, visto come
sistema nelle sole incognite xj1 , . . . , xjm , è un sistema di Cramer per la
proposizione 3.5.4 e può essere risolto applicando la regola di Cramer. Segue
così che le soluzioni del sistema (7), e quindi anche del sitema lineare
AX = B, dipendono da q = n − m = n − ρ(A) parametri (o come si dice, il
sistema ha ∞n−ρ(A) soluzioni).
Esempio 3.7.8. Applichiamo il metodo dei determinanti per risolvere il
seguente sistema lineare a coefficienti reali:

 3x1 + 8x2 − 4x3 = 2
x + x2 − x3 = 1
(8)
 1
x1 + 6x2 − 2x3 = 0
E’ semplice accorgersi che tale sistema è compatibile e che un minore fondamentale della matrice dei coefficienti (e anche della matrice completa) del
sistema (8) è M = A(1, 2 | 1, 2), sicchè il sistema è equivalente a quello che si
può riscrivere come
3x1 + 8x2 = 2 + 4x3
x1 + x2 = 1 + x3
Considerando quest’ultimo come un sistema nelle sole incognite x1 e x2 ,
otteniamo un sistema che ha come matrice dei coefficienti M. Essendo M
non singolare, possiamo applicare la regola di Cramer e ottenere
x1 =
2 + 4x3
1 + x3
3
1
8
1
8
1
4x + 6
= 3
5
e
x2 =
3
1
2 + 4x2
1 + x2
3
1
In definiva l’insieme delle soluzioni del sistema (8) è
4x + 6 x − 1
3
, 3
, x3 | x3 ∈ R .
5
5
8
1
=
x3 − 1
.
5
3.8 sitemi lineari omogenei
A conclusione di questa sezione si vuole far osservare come l’uso dei
sistemi lineari consente di trovare un altro metodo di calcolo per la matrice
inversa. Sia dunque A una matrice quadrata di ordine n sul campo K
e supponiamo che A sia invertibile. Gli elementi della matrice B = A−1
possono essere pensati come delle incognite e precisamente, dovendo essere
AB = In , le colonne B1 , B2 , . . . , Bn di B possono rivedersi come le incognite
dei seguenti n sistemi lineari
 
 
 
0
0
1
 .. 
1
0
 
 
 
AB1 =  .  , AB2 =  .  , . . . , ABn =  . 
0 
 .. 
 .. 
1
0
0
Poichè det(A) 6= 0 per il corollario 3.4.4, il teorema di Cramer 3.7.5 assicura
che i precedenti sistemi sono determinati. Inoltre, tali sistemi possono essere
risolti usando l’algoritmo di Gauss-Jordan, però, invece che risolverli singolarmente, possiamo risolverli simultaneamente cioè possiamo applicare
l’algoritmo di Gauss-Jordan alla matrice (A|In ) che si ottiene affiancando
alla matrice A la matrice identica, si otterrà così la matrice (In |C) e risulterà
C = B = A−1 .
Esempio 3.7.9. Applichiamo e l’algoritmo di Gauss-Jordan per determinare
l’inversa della matrice a coefficienti reali
1 2
A=
.
3 4
Partiamo dalla matrice
1 2
3 4
1
0
0
1
e applichiamo ad essa l’algoritmo di Gauss-Jordan. Applicando l’operazione
r2 → r2 − 3r1 si ottiene
1 2
1 0
,
0 −2 −3 1
e poi l’operazione r2 → − 12 r2 permette di ottenere
1 2
0 1
1
3
2
0
− 12
ed infine mediante la trasformazione r1 → r1 − 2r2 otteniamo la matrice
1 0 −2 1
.
0 1 32 − 12
A questo punto la matrice inversa cercata sarà la matrice che si trova nel
blocco alla destra della matrice identica.
3.8
sitemi lineari omogenei
Si consideri una matrice A ∈ Mm,n (K). A partire da A resta definita
l’applicazione
LA : X ∈ Kn → AX ∈ Km ;
65
66
matrici e sistemi lineari
si noti che, poichè AX rappresenta il prodotto righe per colonne di A per
X, qui si è scelto di rappresentare i vettori di Kn come vettori colonna.
L’applicazione LA è evidentemente un’applicazione lineare, ed è chiamata
applicazione lineare associata ad A. Si osservi che considerato il riferimento
canonico (e1 , . . . , en ) di Kn risulta LA (ei ) = Ai e dunque Im LA = C(A)
è lo spazio delle colonne di A per la proposizione 2.5.6, in particolare,
dim(Im LA ) = ρ(A). Invece, ker LA rappresenta l’insieme delle soluzioni
del sistema lineare omogeneo AX = 0.
Proposizione 3.8.1. Sia A ∈ Mm,n (K) e si consideri il sistema lineare omogeneo
Σ : AX = 0. Allora l’insieme Sol(Σ) delle soluzioni di Σ è un sottospazio vettoriale
dello spazio numerico Kn e ha dimensione n − ρ(A).
Dimostrazione. L’insieme Sol(Σ0 ) è un sottospazio essendo Sol(Σ0 ) = ker LA
e quindi, essendo dim(Im LA ) = ρ(A), segue dal teorema della dimensione
2.6.2 che la dimensione di Sol(Σ0 ) è n − ρ(A).
Segue dalla precedente che il sistema lineare AX = 0 ha solo la soluzione
nulla se e solo se n = ρ(A) e quindi se e solo se det(A) 6= 0 (cfr. proposizione 3.5.4).
Esempio 3.8.2. Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti reali
seguente
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
2x1 − x2 = 0
e determiniamo una base per lo spazio delle soluzioni. La matrice dei coefficienti di questo sistema è
1 −1 1 −1
A=
2 −1 0 0
essa evidentemente ha rango 2 e un minore fondamentale è ad esempio
A(1, 2 | 1, 2), sicchè il metodo dei determinanti ci suggerisce di rivedere il
sistema come un sistema nelle sole incognite x1 e x2
x1 − x2 = −x3 + x4
2x1 − x2 = 0
e applicare ad esso la regola di Cramer. Pertanto
x1 =
−x3 + x4
0
1
2
−1
−1
−1
−1
= x3 − x4
e
x2 =
1
2
−x3 + x4
0
1
2
−1
−1
= −2x3 + 2x4 .
Si ricava così che lo spazio delle soluzioni del sistema lineare è
S0 = {(x3 − x4 , −2x3 + 2x4 , x3 , x4 ) | x3 , x4 ∈ R}.
Essendo
(x3 − x4 , −2x3 + 2x4 , x3 , x4 ) = x3 (1, −2, 1, 0) + x4 (−1, 2, 0, 1)
posto
s1 = (1, −2, 1, 0)
e
s2 = (−1, 2, 0, 1)
si ha che S0 = L[s1 , s2 ]. Evidentemente {s1 , s2 } è una parte libera, e quindi
{s1 , s2 } è una base per S0 .
3.8 sitemi lineari omogenei
67
Esempio 3.8.3. Si consideri li sistema lineare fatto dalla sola equazione a
coefficienti reali
x1 + x2 + x3 + x4 = 0.
In tal caso, evidentemente, lo spazio delle soluzioni è
S0 = {(−x2 − x3 − x4 , x2 , x3 , x4 ) | x2 , x3 , x4 ∈ R}.
Ma
(−x2 − x3 − x4 , x2 , x3 , x4 ) = x2 (−1, 1, 0, 0) + x3 (−1, 0, 1, 0) + x4 (−1, 0, 0, 1)
da cui si ha facilmente che
{(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}
è una base di S0 .
Un sistema lineare qualsiasi AX = B potrebbe non avere il vettore nullo
come soluzione, quindi in generale le soluzioni di un sistema lineare non
omogeneo non sono un sottospazio vettoriale dello spazio numerico; però
le soluzioni del sistema AX = B sono sempre legate a quelle del sistema
lineare omogeneo AX = 0 ad esso associato, infatti sussiste la seguente.
Proposizione 3.8.4. Siano A ∈ Mm,n (K) e B ∈ Mm,1 (K), e si considerino il
sistema lineare Σ : AX = B ed il sistema omogeneo ad esso associato Σom : AX = 0.
Se P0 è una soluzione di Σ allora
Sol(Σ) = P0 + Sol(Σom ) := {P ∈ Rn : P − P0 ∈ Sol(Σom )},
in altri termini tutte e sole le soluzioni di Σ si ottengono come somma tra il vettore
numerico P0 ed un vettore Y con Y ∈ Sol(Σom ).
Dimostrazione. Se Z ∈ Sol(Σ), allora Z = P0 + (Z − P0 ) e Z − P0 ∈ Sol(Σom )
essendo A(Z − P0 ) = AZ − AP0 = B − B = 0. Viceversa, se Y ∈ Sol(Σom )
allora A(P0 + Y) = AP0 + AY = B + 0 = B e quindi P0 + Y ∈ Sol(Σ).
Usiamo il primo dei precedenti esempi per mostrare come la proposizione 3.8.4 rappresenti un ulteriore metodo di risoluzione di un sistema
lineare qualsiasi.
Esempio 3.8.5. Consideriamo il sistema lineare
x1 − x2 + x3 − x4 = 2
2x1 − x2 = 1
Una sua soluzione è evidentemente (1, 1, 2, 0) e così, essendo il sistema lineare omogeneo ad esso associato il primo sistema incontrato nei precedenti
esempi di questa sezione il cui spazio delle soluzioni è
S0 = {(x3 − x4 , −2x3 + 2x4 , x3 , x4 ) | x3 , x4 ∈ R},
la proposizione 3.8.4 assicura che tutte e sole le soluzioni del sistema lineare
sono del tipo
(1, 1, 2, 0) + (x3 − x4 , −2x3 + 2x4 , x3 , x4 ) = (1 + x3 − x4 , 1 − 2x3 + 2x4 , 2 + x3 , x4 )
al variare di x3 , x4 ∈ R.
68
matrici e sistemi lineari
Concludiamo con la seguente importante osservazione, che caratterizza i
sottospazi dello spazio vettoriale numerico. Abbiamo visto che le soluzioni
di un sistema lineare omogeneo sono un sottospazio vettoriale dello spazio
vettoriale numerico di cui sappiamo calcolarne la dimensione (cfr. proposizione 3.8.1). In realtà, dato un campo K e un intero positivo n, i sottospazi
di Kn sono sempre lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo (si pure veda il successivo teorema 5.1.4). Sia W un sottospazio di Kn
e fissiamo un riferimento R di Kn . Se W = {0} allora esso è lo spazio delle
soluzioni del sistema lineare omogeneo In X = 0 (dove come al solito In dentota la matrice identica su K di ordine n). Supponiamo quindi che W 6= {0}
e sia {w1 , . . . , wr } una sua base. Un vettore w è un elemento di W se e solo
se l’insieme {w1 , . . . , wr , w} è legato e quindi se e solo se la matrice A su K
le cui righe (o colonne) sono le componenti in R dei vettori w1 , . . . , wr , w, ha
rango r. Fissato in A un minore non singolare di ordine r, imponendo a tutti
agli orlati di questo minore di essere singolari, si ottiene un sistema lineare
omogeneo il cui spazio delle soluzioni corrisponde, attraverso l’isomorfismo
coordinato cR , al sottospazio W: questo sistema lineare omogeneo si dice
essere una rappresentazione cartesiana di W rispetto al riferimento R.
Esempio 3.8.6. In R4 supponiamo fissato il riferimento canonico e consideriamo il sottospazio W generato dai vettori (−1, 0, 1, 0) e (−1, 0, 0, 1). Sia
w = (x1 , x2 , x3 , x4 ) il generico elemento di W e imponiamo alla matrice

−1
 0
A=
 1
0

x1
x2 

x3 
x4
−1
0
0
1
di avere rango 2. Scelto
M = A(3, 4 | 1, 2) =
1
0
0
1
come minore non singolare di ordine 2, il torema degli orlati 3.5.6 garantisce
che A ha rango 2 se e solo se gli orlati di M sono singolari ovvero se e solo
se
0 0 x2
−1 −1 x1
0 x3 = 0.
1 0 x3 = 1
0 1 x4
0
1 x4
Otteniamo così il sistema lineare omogeneo
x2 = 0
x1 + x3 + x4 = 0
il cui spazio delle soluzioni coincide con W; tale sistema è una rappresentazione cartesiana di W (rispetto al riferimento canonico).
3.9
matrici e applicazioni lineari
Se A è una matrice m × n su un campo K, è stata definita in precedenza
l’applicazione lineare LA : X ∈ Kn −→ AX ∈ Km ed è stato osservato
che Im LA è lo spazio delle colonne di A mentre ker LA è lo spazio delle
soluzioni del sistema lineare omogeneo AX = 0. Se poi si considerano due
3.9 matrici e applicazioni lineari
Kn
O
LA
/ Km
0
= c−1
ϕR,R
A
R 0 ◦ LA ◦ cR : V −→ W.
c−1
0
cR
V
spazi vettoriali non nulli V e W sul campo K di dimensione finita n ed m,
rispettivamente, fissato un riferimento R in V ed un riferimento R 0 in W, si
può considerare l’applicazione lineare
0
ϕR,R
A
/W
R
E’ semplice accorgersi che questa volta le colonne di A rappresentano
0
le componenti in R 0 dei trasformati mediante ϕR,R
degli elementi di R,
A
0
corrisponde attraverso l’isomorfismo coordinato cR 0 allo
sicchè Im ϕR,R
A
0
R,R
) = ρ(A). Invece,
spazio delle colonne di A e quindi risulta dim(Im ϕA
R,R 0
ker ϕA è costituito da quei vettori di V le cui componenti in R sono
soluzione del sistema lineare AX = 0, sicchè attraverso l’isomorfismo coor0
dinato ker ϕR,R
corrisponde allo spazio delle soluzioni del sistema lineare
A
0
omogeneo AX = 0 e quindi dim(ker ϕR,R
A ) = n − ρ(A).
Partendo ora da un’applicazione lineare ϕ tra due spazi vettoriali, un riferimento R del dominio e un riferimento R 0 del codominio, si vuole associare
R,R 0
= ϕ. Siano dunque V e W due
a ϕ una matrice A tale da aversi che ϕA
spazi vettoriali non nulli sul campo K di dimensione finita, e si fissi un rifer0 ) in W; in
imento R = (e1 , . . . , en ) in V ed un riferimento R 0 = (e10 , . . . , em
particolare, quindi, si sta supponendo che dim(V) = n e che dim(W) = m.
Consideriamo un’applicazione lineare ϕ : V −→ W. Per ogni j = 1, . . . , n,
siano (a1j , . . . , amj ) le componenti del vettore ϕ(ej ) nella base R 0 , e sia
A = (aij ) la matrice m × n su K le cui colonne sono le componenti dei
trasformati mediante ϕ dei vettori della base R nella base R 0 . Se v = λ1 e1 +
· · · + λn en è il generico elemento di V (con ogni λi ∈ K) allora
ϕ(v) = λ1 ϕ(e1 ) + · · · + λn ϕ(en ) =
0
0
= λ1 (a11 e10 + · · · + am1 em
) + · · · + λn (a1n e10 + · · · + amn em
)=
0
= (λ1 a11 + · · · + λn a1n )e10 + · · · + (λ1 am1 + · · · + λn amn )em
e pertanto, per l’unicità delle componenti (in R 0 ), si ottiene
(9)
[ϕ(v)]R 0 = A[v]R
dove [v]R indica il vettore colonna delle componenti di v in R e [ϕ(v)]R 0 il
vettore colonna delle componenti di ϕ(v) in R 0 . La matrice A si dice matrice
associata all’applicazione lineare ϕ rispetto ai riferimenti R e R 0 , e si scrive anche
A = MR,R 0 (ϕ). Se V = W e R = R 0 , si parla semplicemente di matrice
associata a ϕ nel riferimento R e si scrive MR (ϕ).
La proprietà (9) caratterizza la matrice associata, infatti se  ∈ Mm,n (K)
è tale che [ϕ(v)]R 0 = Â[v]R allora  = MR,R 0 (ϕ), infatti per ogni j = 1, . . . , n
è evidente che [ϕ(ej )]R 0 = Â[ej ]R è la j-esima colonna di Â, e dunque  e
MR,R 0 (ϕ) sono uguali avendo le colonne ordinatamente uguali.
Sempre la proprietà (9) assicura che due applicazioni lineari ϕ e ψ di
V in W coincidono se e soltanto se risulta MR,R 0 (ϕ) = MR,R 0 (ψ). Segue
0
0
R,R
così che A = MR,R 0 (ϕ) se e soltanto se ϕ = ϕA
, quindi ϕR,R
è l’unica
A
applicazione lineare di V in W che ha A come matrice associata nei riferimenti R ed R 0 . In particolare, fissata una qualsiasi matrice A in Mm,n (K),
l’applicazione LA : Kn −→ Km è l’unica applicazione lineare che ha A come
matrice associata quando sia in Kn che Km è stato fissato come riferimento
quello canonico.
69
matrici e sistemi lineari
70
Teorema 3.9.1. Siano V e W due spazi vettoriali non nulli sul campo K di dimensione finita. Siano inoltre ϕ : V −→ W un’applicazione lineare, R un riferimento
di V, R 0 un riferimento di W e A = MR,R 0 (ϕ).
(i) Il sottospazio Im ϕ è generato dai vettori che in R 0 hanno per componenti le
colonne di A, cioè Im ϕ corrisponde attraverso l’isomorfismo coordinato cR 0
allo spazio delle colonne di A, in particolare dim(Im ϕ) = ρ(A).
(ii) Il sottospazio ker ϕ corrisponde attraverso l’isomorfismo coordinato cR allo
spazio S0 delle soluzioni del sistema lineare omogeneo AX = 0; in particolare,
una base per ker ϕ è formata dai vettori le cui componenti in R formano una
base per S0 . Inoltre, dim(ker ϕ) = dim(V) − ρ(A).
Proof. La proposizione 2.5.6 garantisce che Im ϕ è generato dai trasformati
dei vettori di R, le cui componenti in R 0 , per definizione di matrice associata, sono le colonne di A e quindi, attraverso l’isomorfismo coordinato cR 0 ,
lo spazio Im ϕ corrisponde allo spazio delle colonne di A. In particolare,
dim(Im ϕ) = ρ(A) e così dim(ker ϕ) = dim(V) − ρ(A) per il teorema 2.6.2.
Inoltre, v ∈ ker ϕ se e solo se [ϕ(v)]R 0 = 0 e quindi, per (9), se e solo se
A[v]R = 0; pertanto mediante l’isomorfismo coordinato cR il sottospazio
ker ϕ corrisponde al sottospazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo AX = 0.
Corollario 3.9.2. V e W due spazi vettoriali non nulli sul campo K di dimensione
finita. Siano inoltre ϕ : V −→ W un’applicazione lineare, R un riferimento di V,
R 0 un riferimento di W e A = MR,R 0 (ϕ). Allora ϕ è isomorfismo se e solo se A è
una matrice quadrata e det(A) 6= 0.
Proof. Se ϕ è isomorfismo allora W = Im ϕ, per la suriettività di ϕ, e
quindi dim(V) = dim(W) per il teorema della dimensione 2.6.2 ed essendo
ker ϕ nullo per la proposizione 2.6.1, in particolare, quindi, A è una matrice
quadrata. D’altra parte se A è quadrata vuol dire che V e W hanno la stessa
dimensione, quindi posto n = dim(V) = dim(W) (da cui A ∈ Mn (K))
proviamo che ϕ è isomorfismo se e solo se det(A) 6= 0. Per il corollario 2.6.3
ϕ è isomorfismo se e solo se ϕ è iniettiva e quindi, per la proposizione 2.6.1,
se e solo se ker ϕ = {0}. D’altra parte il teorema 5.1.4 assicura che lo spazio
ker ϕ è nullo se e solo se ρ(A) = dim(V) = n e quindi se e solo se det(A) 6= 0
per la proposizione 3.5.4.
Esempio 3.9.3. Consideriamo la seguente applicazione lineare
ϕ : (x, y) ∈ R2 −→ (2x − 3y, −x + y, 0) ∈ R3 .
Fissiamo i riferimenti R = ((1, 0), (0, 1)) e R 0 = ((1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) in
R2 e R3 rispettivamente, e andiamo a determinare A = MR,R 0 (ϕ). Essendo
ϕ(1, 0) = (2, −1, 0) = 2(1, 0, 1) − 1(0, 1, 0) − 2(0, 0, 1)
e
ϕ(0, 1) = (−3, 1, 0) = −3(1, 0, 1) + 1(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1)
otteniamo subito che

2
A =  −1
−2

−3
1 .
3
La matrice A ha rango 2, quindi ker ϕ ha dimensione 2 − 2 = 0 e pertanto
ker ϕ = {0}. Inoltre Im ϕ = C(A) = L[(2, −1, 0), (−3, 1, 0)].
3.9 matrici e applicazioni lineari
Esempio 3.9.4. Si consideri l’applicazione lineare
a b
ϕ:
∈ M2 (R) → a + cx2 ∈ R2 [x]
c d
Posto
M1 =
1
0
1
1
, M2 =
0
1
0
0
, M3 =
0
0
1
0
, M4 =
0
0
0
1
fissiamo R = (M1 , M2 , M3 , M4 ) come riferimento per M2 (R). Invece in
R2 [x] fissiamo il riferimento R0 = (1 + x2 , x, x2 ). Essendo
ϕ(M1 ) = 1 = 1(1 + x2 ) + 0(x) − 1(x2 )
ϕ(M2 ) = 1 + x2 = 1(1 + x2 ) + 0(x) + 0(x2 )
ϕ(M3 ) = 0 = 0(1 + x2 ) + 0(x) + 0(x2 )
ϕ(M4 ) = 0 = 0(1 + x2 ) + 0(x) + 0(x2 )
risulta

1 1
A = MR,R0 (ϕ) =  0 0
−1 0

0 0
0 0 .
0 0
Una base per C(A) è costituita dalle colonne A1 e A2 di A e queste colonne
sono le componenti in R 0 di ϕ(M1 ) = 1 e ϕ(M2 ) = 1 + x2 , rispettivamente,
sicchè
Im ϕ = L[1, 1 + x2 ].
Inoltre, poichè una base per il sistema lineare omogeneo AX = 0 è cositituita
dai vettori (0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 1), che sono le componenti in R di M3 e M4 ,
si ha che
0 1
0 0
0 x
ker ϕ = L[M3 , M4 ] = L
,
=
: x, y ∈ R .
0 0
0 1
0 y
Proposizione 3.9.5. Siano V, V 0 e V 00 spazi vettoriali non nulli di dimensione
finita sul campo K e si fissino dei riferimenti R, R 0 e R 00 per essi. Se ϕ : V −→ V 0
e ψ : V 0 −→ V 00 sono applicazioni lineari, allora anche ψ ◦ ϕ è lineare.
Inoltre, considerate le matrici A = MR,R 0 (ϕ) e B = MR 0 ,R 00 (ψ), si ha che
BA = MR,R 00 (ψ ◦ ϕ).
Proof. L’applicazione ψ ◦ ϕ è lineare per la proposizione 2.5.5; inoltre per
ogni v ∈ V si ha che [ψ(ϕ(v))]R 00 = B[ϕ(v)]R 0 = BA[v]R , da cui la tesi.
Corollario 3.9.6. Siano V e W spazi vettoriali non nulli di dimensione finita su
un campo K e sia ϕ : V −→ W un isomorfismo. Fissato un riferimento R per V ed
un riferimento R 0 per W e considerata A = MR,R 0 (ϕ) si ha che A è invertibile e
A−1 = MR 0 ,R (ϕ−1 ).
Proof. L’applicazione ϕ−1 è un isomorfismo per la proposizione 2.5.7, in particolare dim(V) = dim(W). Poichè la matrice associata all’endomorfismo
identico (in un fissato riferimento) è la matrice identica, se B = MR 0 ,R (ϕ−1 ),
segue dalla proposizione 3.9.5 che AB e BA sono la matrice identica. Così
B = A−1 .
71
72
matrici e sistemi lineari
3.10
matrice del cambio di base
Sia V uno spazio vettoriale non nullo su un campo K di dimensione finita n,
0 ) di V. Se
e consideriamo due riferimenti R = (e1 , . . . , en ) ed R 0 = (e10 , . . . , en
0
esprimiamo ogni ej come combinazione lineare dei vettori di R scrivendo
0
,
ej = p1j e10 + p2j e20 + · · · + pnj en
dove gli scalari p1j , p2j , . . . , pnj ∈ K sono univocamente determinati, si
viene a formare una matrice P = (pij ) quadrata di ordine n su K le cui
colonne sono le componenti dei vettori di R nella base R 0 ; pertanto P =
MR,R 0 (ιV ) è la matrice associata all’endomorismo identico ιV di V nei riferimenti R e R 0 . La matrice P si chiama matrice di passaggio dal riferimento R al
riferimento R 0 .
Teorema 3.10.1. Sia V uno spazio vettoriale non nullo su un campo K di dimensione finita n. Siano inoltre R e R 0 due riferimenti di V e P ∈ Mn (K) la matrice
di passaggio da R a R 0 . Allora
(i) P è invertibile e P−1 è la matrice di passaggio da R 0 a R;
(ii) per ogni elemento v di V si ha che [v]R 0 = P[v]R e [v]R = P−1 [v]R 0 ;
(iii) se P 0 è la matrice di passaggio da R 0 ad un terzo riferimento R 00 , allora P 0 P è
la matrice di passaggio da R a R 00 .
Proof. Sia Q = MR 0 ,R (ιV ) la matrice di passaggio da R 0 a R e sia v un
arbitrario elemento di V. Il teorema 3.9.1 assicura che [v]R 0 = P[v]R e
[v]R = Q[v]R 0 , sicchè [v]R 0 = P[v]R = PQ[v]R 0 e [v]R = Q[v]R 0 = QP[v]R
e l’unicità delle componenti garantisce dunque che PQ = In = QP. Pertanto P è invertibile e P−1 = Q, così (i) e (ii) sono provate. Infine, essendo
[v]R 00 = P 0 [v]R 0 = P 0 P[v]R ancora il teorema 3.9.1 assicura che P 00 = P 0 P e
quindi anche (iii) è provata.
La relazione che intercorre tra le matrici del cambio di riferimento in uno
spazio vettoriale e la matrice associata ad un endomorfismo nei riferimenti
in questione, e descritta nel seguente.
Teorema 3.10.2. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K di dimensione finita
e siano R e R 0 due riferimenti di V. Se ϕ è un endomorfismo di V e A = MR (ϕ),
allora MR 0 (ϕ) = P−1 AP dove P è la matrice di passaggio da R 0 a R.
Proof. Sia v ∈ V. Allora il teorema 3.10.1 assicura che P è invertibile ed
inoltre che [v]R = P[v]R 0 e [ϕ(v)]R 0 = P−1 [ϕ(v)]R . D’altra parte [ϕ(v)]R =
A[v]R per il teorema 3.9.1, per cui [ϕ(v)]R 0 = P−1 [ϕ(v)]R = P−1 A[v]R =
P−1 AP[v]R 0 . Pertanto, per il teorema 3.9.1, P−1 AP è la matrice di ϕ in
R 0.
Due matrici quadrate A e B di ordine n su un campo K si dicono simili
(o talvolta anche coniugate) se esiste una matrice invertibile P in Mn (K) tale
che B = P−1 AP. Tale relazione, com’è facile verificare, è una relazione di
equivalenza. Il precedente teorema assicura quindi che matrici associate ad
uno stesso endomorfismo, in due riferimenti diversi, sono simili.
3.10 matrice del cambio di base
Esempio 3.10.3. Si consideri l’endomorfismo
ϕ : (a, b) ∈ R2 → (b, a) ∈ R2
e fissiamo
R = ((1, 0), (0, 1)) e R0 = ((1, 1), (1, −1))
come riferimenti di R2 . Essendo
ϕ(1, 0) = (0, 1) e ϕ(0, 1) = (1, 0)
risulta
A = MR (ϕ) =
0
1
1
.
0
La matrice di passaggio da R0 ad R ha per colonne le componenti in R dei
vettori di R0 , e quindi ha per colonne i vettori di R0 essendo R il riferimento
canonico
1 1
P = MR0 ,R (ιR2 ) =
;
1 −1
ed è semplice rendersi conto che
P−1 =
1
2
1
2
1
2
− 12
e che P−1 AP =
1
0
0
.
−1
Dunque il teorema 3.10.2 assicura che
1
MR0 (ϕ) =
0
0
−1
ed infatti
ϕ(1, 1) = (1, 1) = 1(1, 1) + 0(1, −1) e ϕ(1, −1) = (−1, 1) = 0(1, 1) − 1(1, −1).
Nel caso di spazi euclidei, si è osservato in precedenza che i riferimenti
ortonormali sono riferimenti in cui il prodotto scalare è riconducibile al
prodotto scalare standard nello spazio numerico su R. Ci chiediamo ora che
proprietà deve avere la matrice di passaggio tra due riferimenti ortonormali.
A tal fine introduciamo il seguente concetto. Una matrice invertibile A ∈
Mn (R) si dice ortogonale se A−1 = At . Poichè risulta essere (At )−1 =
(A−1 )t , se A è ortogonale allora anche A−1 = At è ortogonale ed inoltre,
ricordando che det(A) = det(At ) e che det(A)det(A−1 ) = 1, si ha che
det(A) = ±1. Un esempio di matrice ortogonale è chiaramente la matrice
identica. Sussiste la seguente.
Proposizione 3.10.4. Sia V uno spazio euclideo di dimensione finita, e siano R ed
R 0 due suoi riferimenti e P la matrice di passaggio da R 0 a R. Supponiamo inoltre
che R sia ortonormale. Allora R 0 è ortonormale se e solo se P è ortogonale.
73
4
4.1
DIAGONALIZZAZIONE DI
E N D O M O R F I S M I E M AT R I C I
autovalori, autovettori e autospazi
Sia K un campo e supponiamo fissati un K-spazio vettoriale V ed un endomorfismo ϕ di V. Un vettore non nullo v di V si dice autovettore di ϕ,
se esiste uno scalare λ ∈ K tale che ϕ(v) = λv; in tal caso, λ è detto essere un autovalore di ϕ relativo all’autovettore v. Osserviamo che se µ è un
altro autovalore relativo a v, allora µv = ϕ(v) = λv sicchè (µ − λ)v = 0 e
quindi µ − λ = 0 essendo v 6= 0, pertanto µ = λ. Questo prova che per ogni
autovettore esiste un unico autovalore.
Esempio 4.1.1. Nello spazio vettoriale numerico Rn , considerato l’endomorfismo nullo f : v ∈ Rn → 0 ∈ Rn , si ha che f(v) = 0v per ogni v ∈ Rn , e
pertanto ogni vettore è autovettore per f relativo all’autovalore 0.
Come altro esempio si consideri lo spazio vettoriale reale C∞ (I) (dove I
è un intervallo di R) delle applicazioni di I in R con derivata continua di
ogni ordine. L’applicazione
D : f ∈ C∞ (I) → f 0 ∈ C∞ (I)
che ad ogni applicazione di C∞ (I) associa la sua derivata, è lineare. Se
α ∈ R risulta
D(eαx ) = αeαx
e pertanto eαx è autovettore per l’applicazione lineare D relativo all’autovalore α.
Lemma 4.1.2. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e siano v1 , . . . , vt autovettori associati ad autovalori distinti di uno stesso endomorfismo di V. Allora
v1 , . . . , vt sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione. Siano v1 , . . . , vt autovettori di un endomorfismo ϕ associati,
rispettivamente, agli autovalori distinti λ1 , . . . , λt . Un autovettore è un vettore non nullo e quindi {vk } è una parte libera per ogni k = 1, . . . , t. Supponiamo che comunque si considerano i − 1 (con i > 1) autovettori relativi ad
autovalori distinti, tali autovettori formano una parte libera; consideriamo
poi una combinazione lineare nulla c1 v1 + · · · + ci vi = 0 (con ogni ck ∈ K),
allora
0 = λi (c1 v1 + · · · + ci vi ) = c1 λi v1 + · · · + ci λi vi
e
0 = ϕ(c1 v1 + · · · + ci vi ) = c1 ϕ(v1 ) + · · · + ci ϕ(vi ) = c1 λ1 v1 + · · · + ci λi vi
quindi
c1 λ i v 1 + · · · + ci λ i v i = c1 λ 1 v 1 + · · · + ci λ i v i
e così
c1 (λ1 − λi )v1 + · · · + ci−1 (λi−1 − λi )vi−1 = 0.
75
76
diagonalizzazione di endomorfismi e matrici
Poichè stiamo supponendo che i − 1 autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, segue che c1 = · · · = ci−1 = 0. Allora ci vi = 0 e pertanto anche ci = 0. Questo prova che v1 , . . . , vi sono
linearmente indipendenti ma, più in generale, lo stesso argomento prova
che comunque si prendono i vettori tra v1 , . . . , vt questi sono linearmente
indipendenti. Così proseguendo, si ottiene che i t vettori v1 , . . . , vt sono
linearmente indipendenti.
Fissato un autovalore λ per ϕ, sia Vϕ (λ) l’insieme costituito dal vettore
nullo e dai vettori di V che sono autovettori di ϕ relativi all’autovalore λ,
ovvero
Vϕ (λ) = {v ∈ V | ϕ(v) = λv}.
Se h, k ∈ K e v, w ∈ Vϕ (λ), allora
ϕ(hv + kw) = hϕ(v) + kϕ(w) = hλv + kλw = λ(hv + kw),
sicchè hv + kw ∈ Vϕ (λ) e pertanto Vϕ (λ) è un K-sottospazio di V detto
autospazio relativo all’autovalore λ. Si osservi che se λ è un autovalore per
ϕ, allora esiste un autovettore che ha per autovalore λ e pertanto, essendo
un autovettore un vettore non nullo, risulta
dim(Vϕ (λ)) > 1.
Proposizione 4.1.3. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia ϕ un endomorfismo di V. Se λ1 , . . . , λt sono autovalori distinti di ϕ, allora
Vϕ (λ1 ) + · · · + Vϕ (λt ) = Vϕ (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ Vϕ (λt ).
Dimostrazione. Si deve provare che per ogni i = 1, . . . , t risulta
Vϕ (λi ) ∩ Vϕ (λ1 ) + · · · + Vϕ (λi−1 ) + Vϕ (λi+1 ) + · · · + Vϕ (λt ) = {0}.
P
Se vi è un vettore di Vϕ (λi ) tale da aversi che vi =
j6=i vj con ogni vj
in Vϕ (λj ), allora risulta v1 + · · · + vi−1 − vi + vi+1 + · · · + vt = 0. Segue
così dal lemma 4.1.2 che v1 = · · · = vt = 0 e pertanto la proposizione è
provata.
Supponiamo ora che V abbia dimensione finita, e siano A = MR (ϕ) la
matrice associata all’endomorfismo ϕ rispetto ad un fissato riferimento R di
Ve
pϕ (λ) = det(A − λIn ).
E’ semplice accorgersi (sviluppando il determinante rispetto alla prima colonna o, se si preferisce, facendo induzione sull’ordine n di A) che
pϕ (λ) = (−1)n λn + · · · + det(A)
è un polinomio di grado n a coefficienti in K: esso è detto polinomio caratteristico di ϕ. L’equazione
det(A − λIn ) = 0
è invece detta equazione caratteristica di ϕ. Il polinomio caratteristico si
definisce a partire dalla matrice associata all’endomorfismo ϕ in un fissato
riferimento di V, ma se anche si scegliesse un altro rifermento per V, il polinomio caratteristico che si verrebbe a determinare sarebbe sempre lo stesso.
Sussiste infatti la seguente.
4.1 autovalori, autovettori e autospazi
Proposizione 4.1.4. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n sul campo
K e sia ϕ un endomorfismo di V. Allora il polinomio caratteristico di ϕ non dipende
dal riferimento che si fissa in V.
Dimostrazione. Se A e B sono matrici associate a ϕ in due riferimenti distinti
di V, allora il teorema 3.10.2 assicura che esiste una matrice invertibile P di
Mn (K) tale che B = P−1 AP. Si ha così che
B − λIn = P−1 AP − λIn = P−1 AP − λP−1 P =
= P−1 AP − P−1 (λIn )P = P−1 (A − λIn )P
e quindi, ricordando che det(P−1 )det(P) = 1, il teorema di Binet 3.3.9 assicura che det(B − λIn ) = det(A − λIn ).
La dimostrazione della proposizione 4.1.4 prova, in particolare, che matrici simili danno origine allo stesso polinomio caratteristico. Questo non è
vero per matrici equivalenti, infatti le matrici (su R)
1
M1 =
1
1
1
1
e M2 =
0
1
0
sono matrici equivalenti, ma risulta det(M1 − λI) = λ(λ − 2) mentre invece
det(M2 − λI) = λ(λ − 1).
Teorema 4.1.5. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo K e sia
ϕ un endomorfismo di V, sia inoltre A = MR (ϕ) la matrice associata a ϕ rispetto
ad un fissato riferimento R di V.
(i) Uno scalare λ0 ∈ K è un autovalore se e solo se λ0 è una radice del polinomio
caratteristico pϕ (λ).
(ii) Un vettore non nullo v ∈ V è un autovettore per ϕ relativo ad un autovalore
λ0 se e solo se le componenti [v]R di v rispetto ad R sono una soluzione non
nulla del sistema lineare omogeneo (A − λ0 In )X = 0.
Dimostrazione. Per ogni v ∈ V si ha che [ϕ(v)]R = A[v]R e quindi, se v è un
autovettore per ϕ relativo all’autovalore λ0 , risulta
A[v]R = [ϕ(v)]R = [λ0 v]R = λ0 [v]R ,
ovvero
(A − λ0 In )[v]R = 0,
pertanto [v]R è soluzione del sistema lineare omogeneo (A − λ0 In )X = 0.
Viceversa, se v è un vettore di V e le sue componenti [v]R sono una soluzione
non nulla del sistema (A − λ0 In )X = 0, allora risulta A[v]R = λ0 [v]R e quindi,
essendo anche [ϕ(v)]R = A[v]R , si ha [ϕ(v)]R = λ0 [v]R nonchè ϕ(v) = λ0 v
per l’unicità delle componenti nel fissato riferimento R.
Ora, lo scalare λ0 è un autovalore per ϕ se e solo se esiste un vettore v non
nullo in Vϕ (λ0 ) e quindi, per quanto provato sopra, se e solo se le componenti [v]R sono una soluzione non nulla del sistema (A − λ0 In )X = 0. Poichè
la matrice (A − λ0 In ) è quadrata, il sistema (A − λ0 In )X = 0 ha soluzioni
non nulle se e soltanto se la matrice (A − λ0 In ) è singolare. Dunque λ0 è un
autovalore per ϕ se e solo se λ0 è una radice del polinomio det(A − λIn ).
77
78
diagonalizzazione di endomorfismi e matrici
Gli autovalori di un endomorfismo ϕ sono quindi tutti e soli gli elementi
di K che sono soluzioni dell’equazione caratteristica pϕ (λ) = 0. Il precedente teorema assicura inoltre che l’autospazio Vϕ (λ0 ), relativo all’autovalore
λ0 , è costituito da tutti e soli i vettori le cui componenti sono le soluzioni
del sistema lineare omogeneo (A − λ0 In )X = 0, dunque l’autospazio Vϕ (λ0 )
corrisponde, attraverso l’isomorfismo coordinato, allo spazio delle soluzioni
del sistema lineare omogeno (A − λ0 In )X = 0. Segue così dalla proposizione 3.8.1 che l’autospazio Vϕ (λ0 ) ha dimensione n − p, dove p è il rango
della matrice (A − λ0 In ) e n è la dimensione di V.
La dimensione dell’autospazio Vϕ (λ0 ) si dice molteplicità geometrica di λ0 ;
invece la molteplicità algebrica di λ0 è la molteplicità di λ0 come radice del
polinomio caratteristico. Indicheremo con mg (λ0 ) la molteplicità geometrica e con ma (λ0 ) la molteplicità algebrica di λ0 ; dunque mg (λ0 ) = n − p
dove p è il rango di (A − λ0 In ). Talvolta si dice che un autovalore λ0 è
regolare se ma (λ0 ) = mg (λ0 ). Si ha inoltre il seguente.
Teorema 4.1.6. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K di dimensione finita e
sia ϕ un endomorfismo di V. Se λ0 è una radice del polinomio caratteristico pϕ (λ),
allora mg (λ0 ) 6 ma (λ0 ). In particolare, mg (λ0 ) = ma (λ0 ) se λ0 è una radice
semplice.
Dimostrazione. Supponiamo sia mg (λ0 ) = t. Fissata una base {v1 , . . . , vt }
per Vϕ (λ0 ), il teorema 2.4.5 assicura che questa si può completare ad un
riferimento R = (v1 , . . . , vt , vt+1 , . . . , vn ) di V. Essendo ϕ(vi ) = λ0 vi per
ogni i = 1, . . . , t, la matrice A associata a ϕ nel riferimento R ha la seguente
forma


λ0 0 . . . 0
 0 λ0 . . . 0 B 


 .

..
..
..
A =  ..

.
.
.


 0

0 . . . λ0
O
C
dove B è una matrice t × (n − t), O è la matrice nulla (n − t) × t e C è una
matrice quadrata d’ordine n − t. Si ha allora che det(A − λIn ) = (λ0 − λ)t ·
det(C − λIn−t ), e pertanto ma (λ0 ) > t = mg (λ0 ).
4.2
endomorfismi diagonalizzabili
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K. Un endomorfismo ϕ di V si dice diagonalizzabile (oppure semplice) se V ammette una
base di autovettori di ϕ; in tal caso, la base di autovettori è detta anche base
spettrale.
Teorema 4.2.1. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo K e
sia ϕ un endomorfismo di V. Allora ϕ è diagonalizzabile se e solo se esiste un
riferimento R di V tale che A = MR (ϕ) è diagonale.
Dimostrazione. Evidentemente, se V ammette una base R = (v1 , . . . , vt ) di
autovettori di ϕ, essendo ϕ(vi ) = λi vi (con λi ∈ K), è chiaro che MR (ϕ) è
la matrice diagonale che ha sulla diagonale principale i λi . Reciprocamente,
se esite un riferimento R = (v1 , . . . , vt ) per V tale che la matrice A = (aij )
associata a ϕ in R è una matrice diagonale, allora per ogni i = 1, . . . , t si
4.2 endomorfismi diagonalizzabili
ha che ϕ(vi ) = aii vi e quindi vi è un autovettore relativo all’autovalore aii ,
come volevamo.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita. Abbiamo già visto nella
proposizione 4.1.3 che lo spazio somma W degli autospazi relativi ad un
endomorfismo ϕ di V, è una somma diretta; se poi W = V è evidente che V
possiede una base fatta di autovettori e ϕ è dunque diagonalizzabile. Più in
generale sussiste la seguente caratterizzazione.
Teorema 4.2.2. (Teorema Spettrale) Sia V uno spazio vettoriale su un campo K
di dimensione finita e sia ϕ un endomorfismo di V. Sono equivalenti:
(i) ϕ è diagonalizzabile;
(ii) V è somma diretta di autospazi;
(iii) Se λ1 , . . . , λt sono gli autovalori a due a due distinti di ϕ, allora si ha che
ma (λi ) = mg (λi ) per ogni i = 1, . . . , t e ma (λ1 ) + · · · + ma (λt ) =
dim(V).
Dimostrazione. (i) ⇒ (ii) Se ϕ è diagonalizzabile allora V ha una base fatta
da autovettori di ϕ; pertanto V è generato da autospazi e quindi è somma
diretta di autospazi per la proposizione 4.1.3.
(ii) ⇒ (iii) Siano λ1 , . . . , λt autovalori distinti di ϕ tali che
V = Vϕ (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ Vϕ (λt );
in particolare, fissata una base Bi in ciascun autospazio Vϕ (λi ), si ha che
l’insieme B = B1 ∪ · · · ∪ Bt è una base di V. Poniamo mi = mg (λi ) per ogni
i = 1, . . . , t. La matrice A associata a ϕ in B è evidentemente la matrice
diagonale in cui sulla diagonale si ripetono gli autovalori e precisamente è
la matrice diagonale che ha sulla diagonale prima m1 valori uguali a λ1 , poi
m2 valori uguali a λ2 e così via. Ne consegue che
pϕ (λ) = det(A − λI) = (λ1 − λ)m1 (λ2 − λ)m2 · · · (λt − λ)mt
(10)
così λ1 , . . . , λt sono tutte e sole le radici distinte del polinomio caratteristico,
quindi ma (λi ) = mi per ogni i = 1, ..., t e m1 + · · · + mt = gr(pϕ (λ)) =
dim(V).
(iii) ⇒ (i)
Siano λ1 , . . . , λt gli autovalori distinti di ϕ di molteplicità
m1 , . . . , mt , rispettivamente. Lo spazio somma W degli autospazi è somma
diretta per la proposizione 4.1.3 e quindi segue dalle ipotesi e dalla formula
di Grassmann 2.4.12 che W ha dimensione pari a m1 + · · · + mt = dim(V);
pertanto segue dalla proposizione 19 che V = W e così, fissata una base Bi
in ciascun autospazio Vϕ (λi ), l’insieme B = B1 ∪ · · · ∪ Bt è una base per V
fatta di autovettori di ϕ e ϕ è quindi diagonalizzabile.
Se ϕ è un endomorfismo del K-spazio vettoriale V, con V di dimensione
n, la condizione (iii) nel precedente teorema si può esprimere dicendo che
il polinomio caratteristico ha n radici in K ciascuna contata con la propria
molteplicità, e se λ1 , . . . , λt sono le radici distinte allora per ciascuna di
esse la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica. In maniera
alternativa si potrebbe anche dire che tutte le radici del polinomio caratteristico sono in K e per ciascuna di esse la molteplicità algebrica coincide
con quella geometrica; questo assicura che il polinomio caratteristico di un
79
80
diagonalizzazione di endomorfismi e matrici
endomorfismo diagonalizzabile è completamente riducibile ovvero ha una
fattorizzazione come in (10). Dunque, ad esempio, un endomorfismo di Q3
se ha come polinomio caratteristico √
−λ(λ2√− 2) (che ha solo 0 come radice
razionale, e poi ha due radici reali − 2 e 2) non è diagonalizzabile.
Quindi, nelle ipotesi del precedente teorema, per stabilire se l’endomorfismo ϕ è diagonalizzabile occorre quindi studiare le radici del polinomio
caratteristico: si deve verificare che queste sono tutte nel campo K e che, per
le radici che non sono semplici (si ricordi qui il teorema 4.1.6), la molteplicità
geometrica coincide con la molteplicità algebrica. Inoltre, se ϕ è diagonalizzabile, una base per V di autovettori per ϕ si ottiene dall’unione tra le basi
fissate in ciascun autospazio.
Si noti infine che, come immediata conseguenza del teorema 4.1.6 e del
teorema 4.2.2, si ha il seguente.
Corollario 4.2.3. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n sul campo K.
Se il polinomio caratteristico di un endomorfismo ϕ di V ha n radici distinte, allora
ϕ è diagonalizzabile.
Esempio 4.2.4. Consideriamo l’endomorfismo
ϕ : (x, y) ∈ R2 −→ (x + 2y, −x − 2y) ∈ R2
e studiamone l’eventuale diagonalizzabilità. Considerando il riferimento
canonico R = ((1, 0), (0, 1)), la matrice che rappresenta ϕ ha per colonne
ϕ(1, 0) = (1, −1) e ϕ(0, 1) = (2, −2)
A=
1
−1
2
−2
e quindi l’equazione caratteristica
0 = det(A − λI2 ) =
1−λ
−1
2
−2 − λ
= (1 − λ)(−2 − λ) + 2 = λ2 + λ
ha 2 radici reali, −1 e 0, sicchè il corollario 4.2.3 assicura che ϕ è diagonalizzabile. Inoltre, l’autospazio relativo a −1 è lo spazio delle soluzioni del
sistema omogeneo (A + I2 )X = 0, cioè del sistema
2x + 2y = 0
−x − y = 0
dunque Vϕ (−1) = {(x, −x) | x ∈ R} = L[(1, −1)]. Invece Vϕ (0) = ker ϕ è lo
spazio delle soluzioni del sistema lineare AX = 0 ovvero del sistema
x + 2y = 0
−x − 2y = 0
sicchè Vϕ (0) = {(−2y, y) | y ∈ R} = L[(−2, 1)]. Una base di R2 formata da
autovettori di ϕ è dunque {(1, −1), (−2, 1)}.
4.2 endomorfismi diagonalizzabili
Esempio 4.2.5. Consideriamo l’endomorfismo
(x, y, z) ∈ R3 −→ (−y, x, z) ∈ R3
che nel riferimento canonico è rappresentato dalla matrice

0
 1
0
−1
0
0

0
0 
1
sicchè il polinomio caratteristico, com’è semplice accorgersi, è (1 − λ)(λ2 + 1)
il quale ha solo una radice reale, pertanto l’endomorfismo considerato non
è diagonalizzabile per il teorema 4.2.2.
Esempio 4.2.6. Studiamo la diagonalizzabilità del seguente endomorfismo
ϕ : a + bx + cx2 ∈ R2 [x] −→ 3a + 3cx + 3bx2 ∈ R2 [x].
La matrice associata a ϕ nel riferimento canonico R = (1, x, x2 ) ha per
colonne le componenti in R dei vettori ϕ(1) = 3, ϕ(x) = 3x2 e ϕ(x2 ) = 3x e
quindi è la matrice


3 0 0
A= 0 0 3 
0 3 0
sicchè il polinomio caratteristico è
3−λ
0
0
0
−λ
3
0
3
−λ
= (3 − λ)(λ2 − 9)
che ha per radici 3, con molteplicità algebrica 2, e −3, con molteplicità algebrica 1.
Andiamo ora a determinare gli autospazi. Per determinare Vϕ (3), consideriamo il sistema lineare omogeneo (A − 3I3 )X = 0, ovvero
−3y + 3z = 0
3y − 3z = 0
il cui spazio delle soluzioni è {(x, y, y) | x, y ∈ R} il quale ha dimensione
2 essendo {(1, 0, 0), (0, 1, 1)} una sua base; pertanto una base per Vϕ (3) è
−1
2
costituita dai vettori f1 = c−1
R (1, 0, 0) = 1 e f2 = cR (0, 1, 1) = x + x (dove
cR è la coordinazione associata a R). Sicchè mg (3) = ma (3) = 2. D’altra
parte anche mg (−3) = ma (−3) = 1 per il teorema 4.1.6. Pertanto ϕ è
diagonalizzabile per il teorema 4.2.2. Per determinare una base per R2 [x]
di autovettori di ϕ, ci serve determinare una base per l’autospazio Vϕ (−3).
Lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo (A + 3I3 )X = 0, ovvero del
sistema

 6x = 0
3y + 3z = 0

3y + 3z = 0
ha per base {(0, 1, −1)}, pertanto una base per Vϕ (−3) è costituita dal vettore
2
f3 = c−1
R (0, 1, −1) = x − x . In definitiva la base di R2 [x] cercata è {f1 , f2 , f3 }.
81
82
diagonalizzazione di endomorfismi e matrici
4.3
matrici diagonalizzabili
Sia K un campo e sia A una matrice quadrata di ordine n su K. Fissato in
Kn il riferimento canonico R sappiamo che esiste un (unico) endomorfismo
LA : Kn −→ Kn tale che A = MR (LA ); in particolare, LA (X) = AX per ogni
X ∈ Kn (per comodità di scrittura, ci si riferirà qui ai vettori di Kn come
vettori colonna). Si possono allora estendere i concetti di autovalore, autovettore e autospazio relativamente alla matrice A riferendosi all’endomorfismo
LA . Un vettore non nullo v di Kn è detto autovettore di A se esiste uno
scalare λ ∈ K, detto autovalore relativo a v, tale che Av = λv. Si osservi
quindi che v è un autovettore per A se e solo se è un autovettore per LA ,
così come λ è un autovalore per A se e solo se lo è per LA . Si definisce
infine autospazio per A relativo ad un autovalore λ di A l’insieme
VA (λ) = {v ∈ Kn | Av = λv},
sicchè VA (λ) = VLA (λ).
La matrice A si dice diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale. Dunque A è diagonalizzabile se e solo se esite P ∈ GLn (K) tale che
P−1 AP = D è una matrice diagonale, in tal caso le colonne di P costituiscono
un riferimento B = (P1 , . . . , Pn ) di Kn e P rappresenta la matrice di passaggio da B ad R. Nel riferimento B la matrice associata all’endomrfismo LA è
la matrice diagonale D, quindi LA è diagonalizzabile per il teorema 4.2.1 (e
B è la base spettrale). Viceversa se LA è diagonalizzabile il teorema 4.2.1 e il
teorema 3.10.2 assicurano che A è diagonalizzabile. Pertanto A è diagonalizzabile se e soltanto se LA è diagonalizzabile e conseguentemente il teorema
4.2.2 può essere riletto in questo caso come segue.
Teorema 4.3.1. Sia K un campo e sia A una matrice quadrata di ordine n su K.
La matrice A è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico det(A − λIn )
ha n radici in K (contate con la loro molteplicità) e, dette λ1 , . . . , λt le sue radici
distinte, ogni λi ha per molteplicità algebrica esattamente dim(VA (λi )).
Sia A è una matrice quadrata d’ordine n su un campo K, e supponiamo
che A sia diagonalizzabile. Allora l’endomorfismo LA è diagonalizzabile
e Kn ha un riferimento B fatto di autovettori di LA , e quindi anche di A.
Se P è la matrice le cui colonne sono i vettori di B, allora P è la matrice le
cui colonne sono le componenti dei vettori di B nel riferimento canonico R.
Quindi P è la matrice di passaggio dal riferimento B al riferimento R e così
il teorema 3.10.2 assicura che D = P−1 AP è la matrice associata a LA in B.
D’altra parte ogni vettore in B è un autovettore per LA e quindi la matrice
associata a LA in B, ovvero la matrice D, è la matrice diagonale sulla cui
diagonale principale si trovano gli autovalori di LA (e quindi di A) ripetuti
tante volte quant’è la loro molteplicità. In altre parole, se una matrice A è
diagonalizzabile, allora una matrice diagonale D ad essa simile è la matrice
sulla cui diagonale ci sono gli autovalori di A, inoltre la matrice che rende
A simile a D è la matrice le cui colonne sono gli autovettori di A.
Esempio 4.3.2. Studiamo la diagonalizzabilità della matrice su R


2 3 0
A= 2 1 0 
0 0 4
4.3 matrici diagonalizzabili
83
Il polinomio caratteristico è
2−λ
2
0
3
1−λ
0
0
0
4−λ
= (λ − 4)(λ2 − 3λ − 4),
esso ha per radici 4 con molteplicità 2 e −1 con molteplicità 1. Affinchè
la matrice A sia diagonalizzabile deve quindi aversi che dim(VA (4)) = 2.
Andiamo quindi a determinare una base per lo spazio delle soluzioni del
sistema lineare omogeneo (A − 4I3 )X = 0, ossia
−2x + 3y = 0
2x − 3y = 0
Esso ha per base {(3, 2, 0), (0, 0, 1)}, sicchè lo spazio delle sue soluzioni ha
dimensione 2 = ma (4) e A è quindi diagonalizzabile.
Per determinare una matrice invertibile P che rende A simile ad una matrice diagonale dobbiamo determinare una base per R3 fatta di autovettori per A. A tal fine, occorre determinare una base per le soluzioni di
(A + I3 )X = 0, ossia del sistema

 3x + 3y = 0
2x + 2y = 0

5z = 0
Una base per le soluzioni di questo sistema è quindi {(1, −1, 0)} e quindi una
base di R3 fatta da autovettori di A è
{(3, 2, 0), (0, 0, 1), (1, −1, 0)}.
Pertanto la matrice P cercata è la matrice che ha questi vettori per colonna

3 0
 2 0
0 1

1
−1 
0
è la matrice diagonale simile ad A è

4
D = P−1 AP =  0
0
0
4
0

0
0 
−1
ossia è la matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori di A
ripetuti tante volte quant’è la loro molteplicità e messi nello stesso ordine
con cui abbiamo considerato gli autospazi.
Sussiste infine il seguente notevole risultato di cui si omette la dimostrazione.
Teorema 4.3.3. Sia A una matrice quadrata di ordine n sul campo R. Se A è
simmetrica, allora A è diagonalizzabile.
5
5.1
GEOMETRIA ANALITICA
sottospazi affini di R n
Consideriamo lo spazio vettoriale numerico Rn (con n ∈ N). Un sottoinsieme A di Rn si dice sottospazio affine (o varietà affine) se esistono P0 ∈ Rn
ed un sottospazio vettoriale V dello spazio numerico Rn tali che
A = {P ∈ Rn | ∃v ∈ V : P = P0 + v} = {P0 + v : v ∈ V} =: P0 + V.
In tal caso il sottospazio V si dice essere lo spazio direttore (o giacitura, o
direzione) di A e si indica con D(A); inoltre si dice dimensione di A la dimensione del suo spazio direttore. Si noti che se A = P0 + D(A) è un
sottospazio affine allora
P ∈ A se e soltanto se P − P0 ∈ D(A)
e dunque
A = {P ∈ Rn : P − P0 ∈ D(A)}.
Se A = P0 + D(A) è un sottospazio affine di Rn , si ha che P0 = P0 + 0 ∈
A (per questo si usa dire che "A passa per P"); in particolare, A 6= ∅. Inoltre
è semplice provare che A = P + D(A) per ogni P ∈ A e che se fosse A =
P0 + W, dove W è un sottospazio vettoriale di Rn , allora necessariamente
W = D(A). Si noti inoltre che se P1 = P0 + v1 e P2 = P0 + v2 sono in A,
allora v1 , v2 ∈ D(A) e quindi P2 − P1 = v2 − v1 ∈ D(A).
Se A è un sottospazio affine di Rn , i suoi elementi vengono chiamati
punti, la locuzione vettore si conserva per gli elementi della giacitura di A
al fine di distinguere gli elementi di A da quelli della sua giacitura. Si noti
che se P è un punto allora {P} = P + {0} e quindi, a meno di identificare {P}
con P, si può concludere che i punti sono i sottospazi affini di dimensione 0;
evidentemente poi Rn è l’unico sottospazio affine di dimensione n di Rn .
Un sottospazio affine di Rn si dice non banale se la sua dimensione è diversa
sia da 0 che da n. Inoltre si dice che un sottospazio affine A di Rn è una
retta affine se esso ha dimensione 1, si dice invece che A è un piano affine se la
sua dimensione è 2. Un iperpiano affine di Rn , invece, è un sottospazio affine
di dimensione n − 1; in particolare, i piani e gli iperpiani coincidono in R3
mentre gli iperpiani di R2 sono le rette. Nella locuzione comune, e quando
non crea ambiguità, si omette il termine affine e si parla semplicemente di
retta, piano o iperpiano.
Se consideriamo l’insieme E2 dei punti del piano della geometria elementare e fissiamo in esso un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale
e monometrico), allora resta defininita l’applicazione biettiva che ad ogni
punto fa corrispondere le sue coordinate ovvero un punto di R2 : si potrebbe
provare che rispetto a questa corrispondenza (e quindi rispetto al sistema
di riferimento fissato) le rette di E2 corrispondono alle rette affini di R2 .
85
86
geometria analitica
Analogamente rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale
e monometrico) nello spazio E3 della geometria elementare, ai punti, alle
rette ed ai piani di E3 corrispondono rispettivamente i punti, le rette e i
piani di R3 .
Sia r una retta di Rn , sicchè esistono un punto P0 = (x01 , . . . , x0n ) ed
un vettore non nullo v = (l1 , . . . , ln ) tali da aversi D(r) = L[v]. Il vettore
non nullo v che genera lo spazio direttore di r viene chiamato anche vettore
direzionale di r; si noti che il vettore direzionale di una retta è un qualsiasi
generatore del suo spazio direttore, e pertanto una retta ha infiniti vettori
direzionali tutti non nulli e tutti proporzionali tra loro.
Si ha
r = {P ∈ Rn : P − P0 ∈ D(r)} = {P ∈ Rn : P − P0 = tv, t ∈ R}
e così, se P = (x1 , . . . , xn ), si ha che P ∈ r se e solo se esite t ∈ R tale che
(x1 − x01 , . . . , xn − x0n ) = t(l1 , . . . , ln )
(11)
e quindi si ottiene per r quella che si chiama una rappresentazione parametrica:

0

 x1 = x1 + t l1
..
(12)
r:
.


0
xn = xn + t ln
Esempio 5.1.1. L’insieme
r = {(5 + 2t, 1 − t) : t ∈ R}
è una retta di R2 , infatti posto P = (5, 1) e V = L[(2, −1)] si ha che r = P + V.
Si ottiene poi che r può essere rappresentata parametricamente come
r:
x = 5 + 2t
y = 1−t
Esempio 5.1.2. L’insieme
r = {(−1 + 3t, 1 − t, 2 − 5t) : t ∈ R}
è una retta di R3 , infatti posto P = (−1, 1, 2) e V = L[(3, −1, −5)] si ha che
r = P + V. In tal caso la rappresentazione parametrica di r è la seguente

 x = −1 + 3t
y = 1−t
r:

z = 2 − 5t
Quanto visto per le rette si può ripetere anche per i piani. Sia π un piano
di Rn , sicchè esistono un punto P0 = (x01 , . . . , x0n ) e due vettore non nulli
e indipendenti tra loro v = (l1 , . . . , ln ) e v0 = (m1 , . . . , mn ) tali da aversi
D(r) = L[v, v0 ].
Si ha
π = {P ∈ Rn : P − P0 ∈ D(π)} = {P ∈ Rn : P − P0 = tv + sv0 , t, s ∈ R}
5.1 sottospazi affini di R n
e così, se P = (x1 , . . . , xn ), si ha che P ∈ π se e solo se esitono t, s ∈ R tali
che
(13)
(x1 − x01 , . . . , xn − x0n ) = t(l1 , . . . , ln ) + s(m1 , . . . , mn )
e quindi si ottiene una rappresentazione parametrica per π:

0

 x1 = x1 + t l1 + s m1
..
π:
.


xn = x0n + t ln + s mn
(14)
Esempio 5.1.3. L’insieme
π = {(1 + t − 2s, −1 − 3t − 2s, 2 + 2t + s) : t, s ∈ R}
è un piano di R3 . Infatti posto P = (1, −1, 2) e V = L[(1, −3, 2) , (−2, −2, 1)]
si ha che π = P + V e π si rappresenta parametricamente come

 x = 1 + t − 2s
y = −1 − 3t − 2s
π:

z = 2 + 2t + s
Osserviamo che quanto fatto per rette e per piani può essere generalizzato
ad ogni sottospazio affine di Rn , e dunque ogni sosttospazio affine possiede
una rappresentazione parametrica. I sottospazi affini hanno anche una rappresentazione cartesiana (o rappresentazione ordinaria), cioè posso essere descritti in termini di soluzioni di sistemi lineari, come mostra il seguente.
Teorema 5.1.4. Sia n ∈ N, allora:
(i) Se V è un sottospazio vettoriale di dimensione k di Rn , allora esiste una matrice
A in Mn−k,n (R) con ρ(A) = n − k tale che V = Sol(AX = 0). Viceversa,
lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo Σ : AX = 0 con
A ∈ Mn−k,n (R) con ρ(A) = n − k è sempre un sottospazio vettoriale di
Rn di dimensione k.
(ii) Se A è un sottospazio affine di dimensione k di Rn , allora esistono una matrice
A in Mn−k,n (R), con ρ(A) = n − k, ed una matrice B ∈ Mn−k,1 (R)
tale che A = Sol(AX = B) e la giacitura di A è il sottospazio vettoriale
V = Sol(AX = 0). Viceversa, l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare
Σ : AX = 0 con A ∈ Mn−k,n (R) con ρ(A) = n − k è sempre un sottospazio
affine di Rn di dimensione k.
Proof. Siano V un sottospazio dello spazio numerico Rn , k la dimensione
di V e B = {v1 , . . . , vk } una base di V; in particolare, posto vi = (αi1 , . . . , αin )
per ogni i = 1, . . . , k, si ha che la matrice (le cui righe sono i vettori di B)
α11
α2
 1
M= .
 ..
···
···
..
.

α1n
α2n 

.. 
. 
αk
1
...
αk
n

87
88
geometria analitica
ha rango k. Inoltre il generico vettore v = (x1 , . . . , xn ) di Rn appartiene ad
V se e soltanto se v dipende linearmente dai vettori v1 , . . . , vk e quindi se e
solo se la matrice

 1
α1 · · · α1n
α2 · · · α2n 

 1

.. 
..
M1 =  ...
.
. 


αk . . . αk 
n
1
x1
···
xn
ha lo stesso rango di M, ovvero k. Applicando quindi il teorema degli
orlati, scegliendo un minore non singolare di ordine k in M e imponendo
che questo sia un minore fondamentale per la matrice M1 , riesce un sistema
lineare omogeneo Σ : AX = 0 con A ∈ Mn−k,n (R) (cioè Σ è un sistema
omogeneo di n − k equazioni in n incognite), ρ(A) = n − k e il sottospazio
delle soluzioni di Σ coincide con V. Pertanto, tendendo presente anche la
proposizione 3.8.1, la (i) è provata.
Per la (ii), sia A un sottospazio affine di dimensione k di Rn e sia V
lo spazio direttore di A, sia inoltre P0 ∈ Rn tale che A = P0 + V. Allora
per (i) esiste una matrice A ∈ Mn−k,n (R) con ρ(A) = n − k tale che V =
Sol(AX = 0). Si ha
P ∈ A ⇔ P − P0 ∈ V ⇔ A(P − P0 ) = 0 ⇔ AP = AP0 ,
dunque, posto AP0 = B, risulta A = Sol(AX = B). Il viceversa discende
dalla proposizione 3.8.4 (e dalla proposizione 3.8.1).
Limitandoci al caso di R2 e di R3 , il precedente teorema può essere riformulato come segue.
Corollario 5.1.5. (i) Un sottoinsieme r di R2 è una retta se e solo se
r = {(x, y) ∈ R2 : ax + by + c = 0}
dove a, b, c ∈ R con a e b non contemporaneamente nulli.
(ii) Un sottoinsieme π di R3 è un piano se e solo se
π = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz + d = 0}
dove a, b, c, d ∈ R con a, b e c non tutti nulli.
(iii) Un sottoinsieme r di R2 è una retta se e solo se esistono dei numeri reali
a, b, c, d, a0 , b0 , c0 , d0 tali che
a b c
ρ
=2
a0 b0 c0
e
r = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz + d = 0 e a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0}.
Due sottospazi affini A e B di Rn si dicono paralleli se D(A) 6 D(B)
oppure D(B) 6 D(A). In particolare, se A e B hanno stessa dimensione, si
ha che A e B sono paralleli se e solo se D(A) = D(B).
5.2 geometria affine in R 2
Si osservi che se A = P0 + D(A) è un sottospazio affine di Rn , allora
lo spazio direttore D(A) è il sottospazio affine di Rn passante per l’origine
O = (0, . . . , 0) e parallelo ad A.
Due sottospazi affini A e B di Rn si dicono incidenti se A ∩ B6= ∅; si dice
invece che A e B sono sghembi se A e B non sono né paralleli né incidenti.
5.2
geometria affine in R 2
In R2 gli unici sottospazi affini non banali sono le rette. Considerata una
retta r, il corollario 5.1.5 assicura che r può essere rappresentata in forma
cartesiana come
r : ax + by + c = 0
(15)
dove a, b, c ∈ R con a e b non contemporaneamente nulli. D’altra parte se
P0 = (x0 , y0 ) è un punto di r e se v = (l, m) è un vettore direzionale di r, la
retta r può essere pure rappresentata parametricamente come
r:
x = x0 + t l
y = y0 + t m
(16)
Si noti che la condizione (16) è equivalente a richiedere che
x − x0 y − y0
det
= 0,
l
m
(17)
e sviluppando questo determinante si ottiene una equazione dello stesso
tipo di (15). Questo mostra come dalla rappresentazione parametrica (16)
può essere ricavata una rappresentazione cartesiana dello stesso tipo di (15).
In realtà anche dalla rappresentazione cartesiana si può dedurre una rappresentazione parametrica. Infatti se la retta r è rappresentata come in (15),
allora il vettore v = (−b, a) è un vettore direzionale di r (perchè (−b, a)
è una soluzione non nulla dell’equazione ax + by = 0 che per il teorema
5.1.4 rappresenta la giacitura di r) ed r può essere rappresentata parametricamente come
r:
c
x = −a
−t b
y = 0+t a
oppure
r:
x = −t b
c
y = −b
a differenza che sia a 6= 0 (prima rappresentazione) oppure a = 0 (seconda
rappresentazione); si noti esplicitamente che in questo secondo caso b 6= 0
essendo v un vettore non nullo.
Esempio 5.2.1. Scrivere l’equazione della retta r passante per il punto (−2, 1)
e di vettore direzionale (4, 3).
In forma parametrica, la retta r è rappresentata dalle equazioni
x = −2 + 4 t
y = 1+3t
con t ∈ R. La forma cartesiana si ottiene dalla relazione (17) che in questo
caso è
x+2 y−1
det
=0
4
3
89
90
geometria analitica
da cui si ricava
3(x + 2) − 4(y − 1) = 0
nonchè
3x − 4y + 10 = 0.
Si noti che dalla forma parametrica a quella ordinaria si può pervenire
pure ricavando il parametro t da una delle due equazioni e sostituendolo
nell’altra.
In R2 vale il noto assioma della geometria secondo cui per due punti
passa un’unica retta.
Proposizione 5.2.2. Per due punti distinti di R2 passa un’unica retta.
Proof. Siano P0 = (x0 , y0 ) e P1 = (x1 , y1 ) punti distinti R2 . Allora v =
P1 − P0 è un vettore non nullo e pertanto r = P0 + L[v] è una retta che, come
in (16), può essere rappresentata in forma parametrica come
r:
x = x0 + t (x1 − x0 )
.
y = y0 + t (y1 − y0 )
D’altra parte ogni altra retta r0 che contiene P0 e P1 è tale che v = P1 − P0 ∈
D(r0 ), così D(r) = D(r0 ) e r0 = P0 + D(r0 ) = P0 + D(r) = r. Pertanto anche
l’unicità di r è provata.
Esempio 5.2.3. Scrivere l’equazione della retta r passante per i punti P(1, −2)
e Q(0, 2).
Il vettore direzionale di r è il vettore P − Q = (1, −4) sicchè in forma
parametrica otteniamo
x = 1+t
y = −2 − 4 t
mentre in forma cartesiana otteniamo −4x − 1(y − 2) = 0 che si riscrive
anche come 4x + y − 2 = 0.
Due rette di R2 non parallele sono incidenti in un punto, infatti si ha la
seguente.
Proposizione 5.2.4. Siano r : ax + by + c = 0 ed r0 : a0 x + b0 y + c0 = 0 due
rette di R2 . Si ha:
a b
(i) r ed r0 sono parallele se e solo se det
= 0.
a0 b0
(ii) Se r ed r0 non sono parallele, allora la loro intersezione r ∩ r0 è un punto.
Proof. Un vettore direzionale di r è v = (−b, a), mentre un vettore direzionale di r0 è v0 = (−b0 , a0 ). Poichè D(r) = L[v] e D(r0 ) = L[v0 ] si ottiene
che le rette r ed r0 sono parallele se e solo se i vettori v e v0 sono dipendenti
(e quindi proporzionali cioè se (a, b) = λ(a0 , b0 ) per qualche λ ∈ R). In altri
termini r ed r0 sono parallele se e solo se
a b
det
= 0.
a0 b 0
5.3 geometria affine in R 3
In particolare, quindi, se r ed r0 non sono parallele, allora il sistema
ax + by + c = 0
a0 x + b0 y + c0 = 0
è di Cramer; poichè tale sistema rappresenta l’intersezione tra le rette r ed
r0 si ottiene quindi che r ∩ r0 è un punto.
Esempio 5.2.5. Scrivere l’equazione cartesiana della retta r per P0 (2, −3)
parallela alla retta s : 5x − 2y + 3 = 0.
Il vettore direzionale di s è v = (2, 5), sicchè r : 5(x − 2) − 2(y + 3) = 0
ovvero r : 5x − 2y − 16 = 0.
Un altro modo per determinare r è il seguente. Dovendo essere parallela
ad s, il vettore direzionale di r è lo stesso di quello di s e quindi l’equazione
di r è del tipo 5x − 2y + λ = 0 per un opportuno λ. Il valore di λ si può poi
ottenere imponendo che P0 appartenga a r, quindi deve essere 10 + 6 + λ = 0
e pertanto ritroviamo che r : 5x − 2y − 16 = 0.
5.3
geometria affine in R 3
Prima di affrontare la descrizione della geometria affine di R3 , è necessario
introdurre un’altra operazione. Se u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) sono
due vettori di R3 si dice prodotto vettoriale di u e v il vettore
u × v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 );
in altri termini le componenti del vettore u × v (rispetto al rifermento canonico) sono date dai minori di ordine 2, presi a segni alterni, della matrice
u1
v1
u2
v2
u3
.
v3
Segue che u × v = 0 se e solo se u e v sono dipendenti; in particolare,
0 × u = u × 0 = 0 qualsiasi sia il vettore u di Rn . Si potrebbe provare
che il prodotto vettoriale è bilineare ed è antisimettrico (o alternante) cioè
comunque si considerano due vettori u e v di R3 si ha che u × v = −v × u;
inoltre se u e v sono vettori di R3 allora risulta
ku × vk = kuk kvk sin u,ˆ v.
Passiamo ora a descrivere le proprietà geometriche di R3 . I sottospazi
affini non banali di R3 sono le rette e i piani. Per il corollario 5.1.5, i piani
di R3 possono essere rappresentati in forma cartesiana mediante equazioni
lineari in tre incognite del tipo
π : ax + by + cz + d = 0
(18)
dove a, b, c, d ∈ R e con a, b e c non contemporaneamente nulli. Ma sappiamo pure che i piani hanno una rappresentazione parametrica. Considerato
il piano π passante per il punto P0 = (x0 , y0 , z0 ) e supposto D(π) = L[v, v0 ]
91
92
geometria analitica
con v = (l, m, n) e v0 = (l0 , m0 , n0 ) vettori non nulli e indipendenti, allora π
può essere rappresentato parametricamente come

 x = x0 + t l + s l0
y = y0 + t m + s m 0
π:

z = z0 + t n + s n0
(19)
Si noti che la (19) equivale a richiedere che

x − x0
ρ l
l0
y − y0
m
m0

z − z0
n  = 2,
n0
ovvero che

x − x0
det  l
l0
y − y0
m
m0

z − z0
n  = 0;
n0
sviluppando quest’ultimo determinante si ottiene che π è l’insieme dei punti
P = (x, y, z) che verifica una equazione lineare in tre incognite come la (18).
Dunque si può passare dalla rappresentazione parametrica alla rappresentazione cartesiana. Viceversa, supponiamo di avere una rappresentazione
per il piano π come in (18). Allora il teorema 5.1.4 assicura che lo spazio
direttore D(π) è rappresentato dall’equazione lineare omogenea ax + by +
cz = 0, ed è semplice accorgersi che sono soluzioni di tale equazione i vettori
v = (−b, a, 0), v0 = (−c, 0, a) e v00 = (0, −c, b).
D’altra parte a, b e c non sono tutti nulli e quindi sicuramente due vettori tra
v, v0 e v00 sono non nulli e indipendenti tra loro (cioè costituiscono una base
per D(π)), sicchè la scelta di quei due vettori e la scelta di una soluzione
qualsiasi P0 dell’equazione (18) ci pemettono di scrivere (in modo analogo
a quanto fatto prima) una rappresentazione parametrica per π dello stesso
tipo di (19).
Esempio 5.3.1. Scrivere l’equazione del piano π passante per il punto P0 (4, 3, −2)
e di giaciura L[v, v 0 ] dove v = (1, −1, 0) e v 0 = (2, 1, 3).
La rappresentazione parametrica di π si ottiene subito ed è

 x = 4 + s + 2t
y = 3−s+t
π:

z = −2 + 3t
mentre la rappresentazione cartesiana si ottiene facilmente da

x−4
det  1
2
y−3
−1
1

z+2
0 =0
3
ed è x + y − z − 9 = 0. Si noti che, tenendo di riferimento la rappresentazione parametrica di π, ricavando s = x − 4 − 2t dalla prima equazione e
sostituendo nella seconda si ottiene t = y − 3 + s = y − 3 + x − 4 − 2t, da
questa si ricava 3t = x + y − 7 che sostituita nella terza equazione permette
di ottenere x + y + z − 9 = 0 ovvero l’equazione cartesiana del piano π.
5.3 geometria affine in R 3
Considerato il piano
π : ax + by + cz + d = 0,
la giacitura di π
D(π) = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0}
è un sottospazio di dimensione 2 di R3 . Posto
n = (a, b, c)
si ha che n è un vettore non nullo di D(π)⊥ ; d’altra parte dim D(π)⊥ = 1
per il teorema 2.7.14 e quindi
D(π)⊥ = L[n].
Il vettore n = (a, b, c) (non nullo) ha un ruolo fondamentale nello studio dei
piani e viene detto il vettore normale di π; evidentemente, ogni vettore non
nullo proporzionale ad n è anch’esso un vettore normale del piano.
Due piani π e π0 sono paralleli se e solo se D(π) = D(π0 ). Un criterio
di parallelismo tra piani è fornito dal seguente risultato dal quale discende
pure, in particolare, che due piani dello spazio sono sempre paralleli oppure
incidenti in una retta.
Proposizione 5.3.2. Siano π : ax + by + cz + d = 0 e π0 : a0 x + b0 y + c0 z + d0 =
0 due piani di R3 . Allora:
(i) π e π0 sono paralleli se e soltanto
se i loro
vettori normali sono proporzionali, e
a b c
quindi se e soltanto se ρ
= 1.
a0 b0 c0
(ii) Se π e π0 sono non paralleli allora la loro intersezione π ∩ π0 è una retta.
Proof. Siano
n = (a, b, c)
e
n0 = (a0 , b0 , c0 )
i vettori normali di π e π0 , rispettivamente. Si ha che π e π0 sono paralleli se e
solo se (per definizione) D(π) = D(π0 ) e quindi se e solo se D(π)⊥ = D(π0 )⊥ .
Essendo D(π)⊥ = L[n] e D(π0 )⊥ = L[n0 ] si ottiene la (i). Se invece π e π0
sono non paralleli, allora (i) assicura che
a b c
ρ
=2
a0 b0 c0
e pertanto
π ∩ π0 :
ax + by + cz + d = 0
a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0
è una retta in accordo col corollario 5.1.5, e così anche la (ii) è provata.
Esempio 5.3.3. Considerati i piani π : x − 4y + 3z + 1 = 0, π 0 : 2x − 8y + 6z =
0 si ha che i vettori normali di π, π 0 sono n = (1, −4, 3), n 0 = (2, −8, 6),
rispettivamente. Essendo n 0 = 2n i piani π e π 0 sono paralleli. Inoltre
essendo (1, −4, 3, 1) e (2, −8, 6, 0) non proporzionali, i piani π e π 00 non sono
coincidenti.
93
94
geometria analitica
Esempio 5.3.4. Scrivere l’equazione del piano α per P(1, 0, 1) parallelo a
π : x − 4y + 3z + 6 = 0.
Il vettore normale di π è n = (1, −4, 3). Dovendo α essere parallelo a
π, il vettore noramale di α deve essere proporzionale ad n e quindi α ha
equazione del tipo x − 4y + 3z + d = 0. D’altra parte la condizione P ∈ α
assicura che 1 + 3 + d = 0, sicchè d = −4 e α : x − 4y + 3z − 4 = 0.
Consideriamo ora una retta r. Il corollario 5.1.5 ci assicura che r possiede
una rappresentazione cartesiana del tipo
r:
ax + by + cz + d = 0
a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0
dove a, b, c, d, a0 , b0 , c0 , d0 ∈ R sono tali che
a b c
ρ
=2
a0 b0 c0
(20)
(21)
(cioè r è intersezione di due piani non paralleli). In tal caso la giacitura di r
è rappresentata dal sistema omogeneo
ax + by + cz = 0
a 0 x + b 0 y + c0 z = 0
e si può facilmente verificare che una soluzione di tale sistema è data dal
prodotto vettoriale
v = (a, b, c) × (a0 , b0 , c0 );
dunque v ∈ D(r). D’altra parte la condizione (21) assicura che v non è il
vettore nullo, pertanto v è un vettore direzionale di r. In particolare, noto
un vettore direzionale v e scelta una soluzione non nulla P0 del sistema
(20) si può ottenere una rappresentazione parametrica di r. Infatti se P0 =
(x0 , y0 , z0 ) e v = (l, m, n) è un vettore direzionale di r, allora r può essere
rappresentata parametricamente come

 x = x0 + t l
y = y0 + t m
r:

z = z0 + t n
(22)
Si noti che la (22) equivale a richiedere che la matrice
x − x0
l
y − y0
m
z − z0
n
ha rango 1 e quindi nella seconda riga di tale matrice (che è non nulla) deve
esistere un minore di ordine 1, ad esempio (l), che è fondamentale. Pertanto
gli orlati di (l) sono singolari ovvero

x − x0 y − y0


det
=0

m l
.
x − x0 z − z0


 det
=0
l
n
Questo sistema fornisce una rappresentazione cartesiana di r come in (20).
5.3 geometria affine in R 3
Esempio 5.3.5. Scrivere in forma parametrica la retta
r:
x − y + 2z = 2
2x + 3y − z = 4
E’ semplice accorgersi che P0 (1, 1, 1) è un punto di r. D’altra parte un vettore
direzionale di r è il vettore v = (1, −1, 2) × (2, 3, −1) = (−5, 5, 5). Quindi
anche (−1, 1, 1) è un vettore direzionale di r e pertanto in forma parametrica
si ha

 x = 1−t
y = 1+t
r:

z = 1+t
Anche in R3 ritroviamo il noto assioma secondo cui per due punti passa
un’unica retta.
Proposizione 5.3.6. Per due punti distinti di R3 passa un’unica retta.
Proof. Se P0 = (x0 , y0 , z0 ) e P1 = (x1 , y1 , z1 ) sono due punti distinti R3 ,
come nella dimostrazione della proposizione 5.2.2 si ottiene che

 x = x0 + t (x1 − x0 )
y = y0 + t (y1 − y0 )
r:

z = z0 + t (z1 − z0 )
è l’unica retta per P0 e P1 .
Esempio 5.3.7. Scrivere l’equazione della retta r per i punti A(3, 5, −1) e
B(2, 1, 0).
Un vettore direzionale della retta r è il vettore A − B = (1, 4, −1) e quindi
parametricamente la retta è rappresentata da

 x = 3+t
y = 5 + 4t
r:

z = −1 − t
Per ottenere la rappresentazione cartesiana ricaviamo t da una delle equazioni
e sostituiamo nelle altre. Ricavando t dalla terza, si ha t = −1 − z e così
r:
x+z−2 = 0
y + 4z − 1 = 0
Tre punti P0 = (x0 , y0 , z0 ), P1 = (x1 , y1 , z1 ) e P2 = (x2 , y2 , z2 ) di R3
si dicono non allineati se non appartengono alla stessa retta, in tal caso P0
non appartiene alla retta r = P1 + L[P2 − P1 ] per P1 e P2 e quindi i vettori
P0 − P1 e P2 − P1 sono indipendenti (altrimenti P0 − P1 ∈ D(r) e si avrebbe
che P0 = P1 + (P0 − P1 ) ∈ r). Usiamo questa osservazione per ritrovare in
R3 il noto assioma secondo cui per tre punti non allineati passa un’unico
piano.
95
96
geometria analitica
Proposizione 5.3.8. Per tre punti non allineati di R3 passa un unico piano.
Proof. Siano P0 = (x0 , y0 , z0 ), P1 = (x1 , y1 , z1 ) e P2 = (x2 , y2 , z2 ) punti
non allineati R2 . Allora i vettori v = P0 − P1 e v0 = P2 − P1 sono indipendenti e pertanto r = P1 + L[v, v0 ] è un piano che, come in (16), può essere
rappresentato in forma parametrica come

 x = x1 + t (x0 − x1 ) + s (x2 − x1 )
y = y1 + t (y0 − y1 ) + s (y2 − y1 ) .
r:

z = z1 + t (z0 − z1 ) + s (z2 − z1 )
D’altra parte ogni altro piano π0 che contiene P0 , P1 e P2 è tale che v, v0 ∈
D(π0 ), così D(π) = D(π0 ) e π0 = P1 + D(π0 ) = P1 + D(π) = π. Pertanto
anche l’unicità di π è provata.
Esempio 5.3.9. Scrivere l’equazione del piano π per i punti A(1, 0, 1), B(2, 0, 0)
e C(2, 1, 3).
Chiaramente, π è il piano per A la cui giacitura è il sottospazio generato
dai vettori B − A = (1, 0, −1) e C − A = (1, 1, 2), quindi è il piano di equazioni
parametriche

 x = 1+s+t
y=t
π:

z = 1 − s + 2t
Mentre da

x−1
det  1
1
y
0
1

z−1
−1  = 0
2
si ricava che l’equazione cartesiana di π è x − 3y + z − 2 = 0.
Due rette r ed r0 sono parallele se e solo se D(r) = D(r0 ) e quindi se e solo
se il vettore direzionale di r ed il vettore direzionale di r0 sono proporzionali. Abbiamo visto che in R2 due rette non paralle sono incidenti (cioè la
loro intersezione è non vuota), in particolare quindi rette complanari sono
sempre parallele o incidenti. Questo non accade in R3 , infatti le rette


 x=0
 x=1
y=t
y=0
r:
e r0 :
(23)


z=0
z=t
non sono nè parallele nè incidenti. In R3 due rette che non sono nè parallele
nè incidenti si dicono sghembe. Poichè il prossimo risultato assicura che
rette parallele o incidenti sono sempre complanari, si ha che due rette sono
sghembe se e soltanto se sono non complanari.
Proposizione 5.3.10. In R3 due rette distinte che siano incidenti o parallele, sono
contenute in uno stesso piano.
Proof. Sia r la retta per P1 di vettore direzionale v, e sia r0 la retta per P2 di
vettore direzionale v0 .
Se r e r0 sono parallele, allora D(r) = D(r0 ) e P1 − P2 6∈ D(r) (altrimenti
sarebbe r = P1 + L[P2 − P1 ] = P2 + L[P1 − P2 ] = r0 ), sicchè V = D (r) +
L[P1 − P2 ] è un sottospazio vettoriale di dimensione 2 e così π = P2 + V è
un piano. E’ semplice poi convincersi che π contiene sia r che r0 .
5.3 geometria affine in R 3
Supponiamo ora che r ed r0 sono incidenti e sia P ∈ r ∩ r0 . Allora v e v0
sono indipendenti (altrimenti D(r) = D(r0 ) e r = P + D(r) = P + D(r0 ) = r0 ),
quindi π = P + L[v, v0 ] è un piano e chiaramante π contiene sia r che r0 .
Esempio 5.3.11. Consideriamo le rette

 x = 2+t
y = −t
r:

z = 1 + 2t
x+y−2 = 0
x−y−z−1 = 0
r0 :
r 00 :
2y + z = 0
2x − z − 3 = 0
Un vettore direzionale di r è v = (1, −1, 2), mentre un vettore direzionale
di r 0 è v 0 = (1, 1, 0) × (1, −1, −1) = (−1, 1, −2) e un vettore direzionale di
r 00 è il vettore v 00 = (0, 2, 1) × (2, 0, −1) = (−2, 2, −4). Essendo v = −v 0 , le
rette r ed r 0 sono parallele; inoltre, il punto A(2, 0, 1) è un punto comune
ad r ed r 0 e pertanto queste due rette sono impropriamente parallele (cioè
coincidono). D’altra parte è anche v = −2v 00 e pertanto anche r ed r 00 , e
conseguentemente r 0 e r 00 , sono parallele. Studiando poi il sistema

x+y−2 = 0



x−y−z−1 = 0
2y + z = 0



2x − z − 3 = 0
ci si accorge che le rette r e r 00 sono propriamente parallele, infatti tale
sistema è incompatibile e quindi r e r 00 non hanno punti in comune.
Esempio 5.3.12. Assegnata la retta
r:
x+y−2 = 0
x−y−z−1 = 0
determinare la retta per A(1, 2, −3) parallela ad r.
Il vettore v = (1, 1, 0) × (1, −1, −1) = (−1, 1, −2) è un vettore direzionale
di r, sicchè la retta per A parallela ad r ha equazioni parametriche:

 x = 1−t
y = 2+t

z = −3 − 2t
Ricavando t dalla prima e sostituendo nelle altre, otteniamo la sua forma
cartesiana:
x+y−3 = 0
x−y−z−2 = 0
Il prossimo risultato fornisce un criterio per riconoscere la reciproca posizione di due rette nello spazio.
97
98
geometria analitica
Proposizione 5.3.13. Siano
r:
ax + by + cz + d = 0
a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0
e
αx + βy + γz + δ = 0
α0 x + β0 y + γ0 z + δ0 = 0
r0 :
due rette di R3 , e si considerino le matrici



a
a b c
0

a0 b0 c0 
a
 e A0 = 
A=
α
α β γ
α0
β0
b
b0
β
β0
α0
γ0
c
c0
γ
γ0

d
d0 
.
δ
δ0
Si ha:
(i) r ed r0 sono parallele se e solo se ρ(A) = 2;
(ii) r ed r0 sono incidenti e distinte se e solo se ρ(A) = ρ(A0 ) = 3;
(iii) r ed r0 sono sghembe se e solo se det A0 6= 0.
Proof. Consideriamo le rette
r0 :
ax + by + cz = 0
a0 x + b0 y + c0 z = 0
e
r00 :
αx + βy + γz = 0
α0 x + β0 y + γ0 z = 0
passanti per il punto O = (0, 0, 0) e parallele, rispettivamente, ad r ed r0 ;
quindi r0 = D(r0 ) e r00 = D(r00 ). Si ha che r ed r0 sono parallele se e solo se
r0 = D(r0 ) = D(r00 ) = r00 e quindi se e solo se il sistema

ax + by + cz = 0


 0
a x + b 0 y + c0 z = 0
 αx + βy + γz = 0

 0
α x + β0 y + γ0 z = 0
ha ∞1 soluzioni, ovvero se e solo se ρ(A) = 2 (cfr. teorema 3.8.1).
Invece r ed r0 sono incidenti e distinte se e solo se il sistema

ax + by + cz + d = 0


 0
a x + b 0 y + c0 z + d 0 = 0
αx + βy + γz + δ = 0


 0
α x + β0 y + γ0 z + δ0 = 0
è determinato (si noti che se due rette hanno più di un punto in comune,
allora la proposizione 5.3.6 assicura che le due rette coincidono) e quindi,
per il teorema di Rouchè-Capelli, e solo se ρ(A) = ρ(A0 ) = 3.
Infine, se r ed r0 sono non parallele allora (i) assicura che ρ(A) > 3, e
quindi deve essere ρ(A) = 3; se poi r ed r0 sono anche non incidenti segue
da (ii) che deve essere ρ(A0 ) = 4. Pertanto r ed r0 sono sghembe se e solo se
det(A0 ) 6= 0.
Consideriamo ora una
retta r di vettore direzionale v = (l, m, n)
ed un
piano π : ax + by + cz + d = 0 di vettore normale n = (a, b, c).
5.3 geometria affine in R 3
La retta r ed il piano π sono paralleli se e solo se D(r) 6 D(π) (si noti
esplicitamente che non può essere il contrario perchè D(π) ha dimensione 2
e D(r) ha dimensione 1). Ma se D(r) 6 D(π) allora v ⊥ n essendo D(π)⊥ =
L[n]; viceversa ogni vettore ortogonale ad n appartiene a (D(π)⊥ )⊥ = D(π)
(cfr. teorema 2.7.14) e pertanto otteniamo che
r e π sono paralleli ⇔ v ed n sono ortogonali ⇔ al + bm + cn = 0.
Si ha poi che in R3 una retta ed un piano sono sempre paralleli oppure
incidenti in un punto, infatti sussiste la seguente.
Proposizione 5.3.14. Siano r una retta e π un piano di R3 . Se r e π sono non
paralleli, allora l’intersezione tra r e π è un punto.
Proof. Sia

 x = x0 + t l
y = y0 + t m
r:

z = z0 + t n
e
π : ax + by + cz + d = 0
e supponiamo che r ed s siano non paralleli. Allora
al + bm + cn 6= 0.
(24)
I punti comuni ad r e π si ottengono in corrispondenza delle soluzioni
dell’equazione
a(x0 + lt) + b(y0 + mt) + c(z0 + nt) + d = 0.
Tale equazione può essere riscritta come
(al + bm + cn)t + (ax0 + by0 + cz0 + d) = 0
sicchè, tenendo presente (24), si ricava per essa un’unica soluzione che
chiaramente corrisponde ad un unico punto di intersezione tra r e π.
Esempio 5.3.15. Il piano π : 2x − y − 3z + 5 = 0 e la retta
x+y−1 = 0
y+z−2 = 0
sono paralleli. Infatti, il vettore normale di π è n = (2, −1, 3), mentre un
vettore direzionale della retta è v = (1, 1, 0) × (0, 1, 1) = (1, −1, 1) ed è v · n =
0.
Si dice fascio di piani un insieme di piani che sono o paralleli tra loro (in
tal caso si parla di fascio improprio) oppure passano tutti per una stessa retta
(in tal caso di parla di fascio proprio e la retta comune a tutti i piani del fascio
si dice asse del fascio). Un fascio di piani (proprio o improprio che sia) è
individuato a partire da due suoi piani distinti, sussiste infatti il seguente
risultato.
99
100
geometria analitica
Teorema 5.3.16. Siano π : ax + by + cz + d = 0 e π0 : a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0
piani distinti di uno stesso fascio di piani F. Allora ogni altro piano di F è descritto
da una equazione del tipo
`(ax + by + cz + d) + m(a0 x + b0 y + c0 z + d0 ) = 0
dove (`, m) ∈ R2 \ {(0, 0)}.
Esempio 5.3.17. Rappresentare il piano π passante per il punto A(1, −2, −2)
e per la retta
x − 2y + z + 1 = 0
r:
2x + y − z − 3 = 0
Il piano π è un piano del fascio di asse r e quindi può essere rappresentato
da un’equazione del tipo
λ(x − 2y + z + 1) + µ(2x + y − z − 3) = 0.
Imponendo il passaggio per A si ottiene 4λ − µ = 0, così prendendo ad
esempio λ = 1 e µ = 4 otteniamo π : 9x + 2y − 3z − 11 = 0.
Esempio 5.3.18. Determinare la retta r per P(1, 2, 3) complanare con
s:
x+y−3 = 0
2x + z − 2 = 0
e parallela al piano π : 2x + y − z + 1 = 0.
La retta r è contenuta nel piano α per P ed s e nel piano β per P parallelo a
π, e quindi r = α ∩ β. Il piano α appartiene al fascio di asse s e quindi la sua
equazione è del tipo α : λ(x + y − 3) + µ(2x + z − 2) = 0 e dovendo passare
per P è tale da aversi λ(0) + µ(3) = 0, sicchè α : x + y − 3 = 0. Un piano
parallelo a π, invece, ha equazione del tipo 2x + y − z + d = 0 e imponendo
il passaggio di un tale piano per P si ricava 2 + 2 − 3 + d = 0, ovvero d = −1
e pertanto β : 2x + y − z − 1 = 0. Così la retta cercata è
r:
5.4
x+y−3 = 0
2x + y − z − 1 = 0
questioni metriche
Due rette r ed r0 di Rn , la prima di vettore direzionale v e la seconda di
vettore direzionale v0 , si dicono ortogonali se v ⊥ v0 (e quindi se v · v0 = 0).
Si noti le rette r ed r0 se ortogonali non possono essere pure parallele (cfr.
proposizone 2.7.9) e quindi segue dalla proposizione 5.2.4 che rette ortogonali del piano R2 sono sempre incidenti. L’esempio (23) mostra invece che
in R3 rette ortogonali possono essere sghembe.
5.4 questioni metriche
Esempio 5.4.1. Consideriamo le rette


 x = 1 + 2t
 x = 2−t
y = −3 + t
y = 2t
r0 :
r:


z=4
z = −1 + 3t

 x = 1−t
y = 1 + 2t
r 00 :

z = 2+t
Allora un vettore direzionale di r è v = (−1, 2, 3), un vettore direzionale di
r 0 è v 0 = (2, 1, 0) mentre un vettore parallelo a r 00 è v 00 = (−1, 2, 1). Essendo
v · v 0 = 0 e v 0 · v 00 = 0, le rette r e r 0 sono ortogonali così come anche r 0
e r 00 sono ortogonali. Invece, v · v 00 = 8 6= 0 e quindi r e r 00 non sono
ortogonali. D’altra parte v e v 00 non sono proporzionali e quindi r e r 00 non
sono neanche parallele. Scrivendo la rappresentazione cartesiana di r ed r 00
r:
2x + y − 4 = 0
3x + z − 5 = 0
e
r 00 :
x+z−3 = 0
y − 2z + 3 = 0
è semplice poi accorgersi che il sistema

2x + y − 4 = 0



3x + z − 5 = 0
x+z−3 = 0



y − 2z + 3 = 0
è incompatibile, sicchè r ∩ r 00 = ∅ e quindi r e r 00 sono sghembe.
Esempio 5.4.2. Assegnata la retta
r:
x+y−2 = 0
x−y−z−1 = 0
determinare inoltre due rette per l’origine ortogonali ad r.
Il vettore v = (1, 1, 0) × (1, −1, −1) = (−1, 1, −2) è un vettore direzionale
di r. Un vettore di componenti (l, m, n) è ortogonale a v se e solo se risulta
0 = (−1, 1, −2) · (l, m, n) = −l + m − 2n. Pertanto due rette per l’origine
ortogonali a r sono

 x = −2t
y=0

z=t

 x = −t
y = 3t

z = 2t
Due piani π e π0 di Rn , il primo di vettore normale n e il secondo di
vettore normale n0 , si dicono ortogonali se n ⊥ n0 (e quindi se n · n0 = 0).
Come nel caso delle rette, due piani ortogonali non possono essere pure
paralleli (cfr. proposizone 2.7.9) e quindi due piani ortogonali sono sempre
incidenti in una retta.
Esempio 5.4.3. Considerati i piani π : x − 4y + 3z + 6 = 0 e π 0 : x + y + z − 2 =
0, si ha che i vettori normali di π e π 0 sono n = (1, −4, 3) e n 0 = (1, 1, 1).
Essendo n · n 0 = 0 si ha che π e π 0 sono ortogonali.
101
102
geometria analitica
Esempio 5.4.4. Considerato il piano π : 2x + 3y − 5z + 1 = 0 si rappresentino
due piani per l’origine ortogonali a π.
Un piano per l’origine ha equazione del tipo ax + by + cz = 0 e un tale
piano è ortogonale a π se e solo se 0 = (a, b, c) · (2, 3, −5) = 2a + 3b − 5c.
Scelte due soluzioni non nulle di questa equazione, ad esempio, (5, 0, 2) e
(1, 1, 1) possiamo concludere che due piani per l’origine e ortogonali a π
sono 5x + 2z = 0 e x + y + z = 0.
Una retta r ed un piano π di Rn , la prima di vettore direzionale v e
il secondo di vettore normale n, si dicono ortogonali se v ed n sono vettori
dipendenti (e quindi proporzionali). Poichè ancora una volta la proposizone
2.7.9 assicura che una retta e un piano non possono essere ortogonali e
paralleli, si ottiene come conseguenza della proposizione 5.3.14 che in R3 se
una retta e un piano sono ortogonali allora sono incidenti.
Esempio 5.4.5. Considerato il punto A(1, 1, −2) ed il piano π : 2x + z − 4 = 0,
determinare la retta r per A ortogonale a π.
Essendo n = (2, 0, 1) ortogonale a π, la retta r ha equazioni parametriche

 x = 1 + 2t
y=1

z = −2 + t
Esempio 5.4.6. Considerato il punto A(−1, 1, −1) e la retta

 x = 1+t
y = −2t

z = −2 + t
Determinare il piano per A ortogonale ad r.
Il piano cercato, dovendo essere ortogonale ad r, deve avere vettore normale proporzionale al vettore direzionale di r e quindi ha equazione del
tipo π : x − 2y + z + d = 0. Poichè poi deve essere A ∈ π, si ricava che
−1 − 2 − 1 + d = 0, ovvero d = 4 e pertanto è π : x − 2y + z + 4 = 0.
Esempio 5.4.7. Considerata la retta
r:
x+y−1 = 0
3x − z = 0
ed il punto A(1, −2, 3) 6∈ r, determinare la retta s passante per A che sia
ortogonale ed incidente r.
La retta s è contenuta nel piano π per A ortogonale ad r, e anche nel piano
π 0 per A e per r. Un vettore direzionale di r è v = (1, 1, 0) × (3, 0, −1) =
(−1, 1, −3) il piano π ha equazione del tipo −1x + y − 3z + d = 0. Dovendo
essere A ∈ π, deve essere d = 1 + 2 + 9 = 12 e quindi π : x − y + 3z − 12 =
0. Invece il piano π 0 appartiene al fascio di asse r e coincide col piano
5.4 questioni metriche
3x − z = 0 perchè questo piano contiene ovviamente r e contiene anche A.
Pertanto la retta cercata è
s:
x − y + 3z − 12 = 0
3x − z = 0
Teorema 5.4.8. Se r ed r0 sono dure rette sghembe di R3 allora esiste un’unica
retta p ortogonale ed incidente sia r che r0 (tale retta p prende il nome di comune
perpendicolare ad r ed r0 ).
Proof. Supponiamo sia

 x = x0 + l t
y = y0 + m t
r:

z = z0 + n t
ed

 x = x00 + l0 s
0
y = y00 + m0 s ;
r :

z = z00 + n0 s
siano poi Pt (x0 + lt, y0 + mt, z0 + nt) il generico punto di r e Qs (x00 +
l0 s, y00 + m0 s, z00 + n0 s) il generico punto di r0 . La retta p(t, s) per Pt e Qs è
per costruzione incidente sia r che r0 , inoltre essa è ortogonale ad r ed r0 se
il vettore direzionale di p(t, s)
u = Qs − Pt = (−lt + l0 s − x0 + x00 , −mt − m0 s − y0 + y00 , −nt − n0 s − z0 + z00 )
è ortogonale sia al vettore direzionale v = (l, m, n) di r che al vettore direzionale v0 = (l0 , m0 , n0 ) di r0 . Quindi p(t, s) risulterà essere una comune
perpendicolare ad r ed r0 se
u·v = 0
u · v0 = 0
Osservando che u = −vt + v0 s + u0 , dove si è posto u0 = Q0 − P0 , il precedente sistema si riscrive come
−(v · v)t + (v · v0 )s + v · u0 = 0
−(v · v0 )t + (v0 · v0 )s + v0 · u0 = 0
(25)
Quest’ultimo sistema lineare (nelle incognite t ed s) ha la matrice dei coefficienti che ha determinante pari a
d = −(v · v)(v0 · v0 ) + (v · v0 )2 = (v · v0 )2 − kvk2 v0
2
.
Poichè r ed r0 sono parallele, i vettori v e v0 sono non proporzionali (e quindi
sono indipendenti), e così la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (??) assicura che d 6= 0. Segue che il sistema (25) è di Cramer e pertanto esso ha
un’unica soluzione (t0 , s0 ). Allora dall’unicità della soluzione, segue che la
retta p = p(t0 , s0 ) è l’unica comune perpendicolare ad r ed r0 . I punti Pt0 e
Qs0 , che si determinano in corrispondenza dell’unica soluzione (t0 , s0 ) del
sistema (25), si dicono essere i punti a minima distanza delle rette r ed r0 .
Esempio 5.4.9. Si considerino le rette sghembe


 x = 2−t
 x = 1−t
y = 1 + 2t
y = 2t
r:
e
r0 :


z = −1 + 3t
z = 2+t
103
104
geometria analitica
Presi i generici punti P(2 − t, 2t, −1 + 3t) su r e Q(1 − t 0 , 1 + 2t 0 , 2 + t 0 ) su r 0 ,
il vettore P − Q = (−t + t 0 + 1, 2t − 2t 0 − 1, 3t − t 0 − 3) è ortogonale sia ad r
che r 0 se e solo se (P − Q) · (−1, 2, 3) = 0 = (P − Q) · (−1, 2, 1) e quindi se e
solo se t = 65 e t 0 = 35. In corrispondenza
di questi
valori si ottengono i punti
a minima distanza P
4 12 13
5, 5 , 5
eQ
2 11 13
5, 5 , 5
. La comune perpendicolare
r0
alle rette r ed è la retta per P e Q e quindi è la retta rappresentata in forma
parametrica dalle sequenti equazioni

2
2
 x = 5 + 5t
11
y = 5 + 15 t

z = 13
5
Siano ora A = (a1 , . . . , an ) e B = (b1 , . . . , bn ) due punti di Rn . Si dice
distanza tra A e B il modulo del vettore B − A = (b1 − a1 , . . . , bn − an ):
q
d(A, B) = kB − Ak = (b1 − a1 )2 + · · · + (bn − an )2 .
Se poi S1 e S2 sono due sottospazi affini di Rn si definisce distanza tra S1 e
S2 il numero reale positivo
d(S1 , S2 ) = inf{d(P, Q) : P ∈ S1 e Q ∈ S2 };
in particolare, se S1 ∩ S2 6= ∅ allora d(S1 , S2 ) = 0.
In R2 considerato un punto P0 = (x0 , y0 ) ed una retta r : ax + by + c = 0
si prova che
|ax0 + by0 + c|
√
.
d(P0 , r) =
a2 + b 2
Invece considerare due rette r ed r0 si ha che d(r, r0 ) = 0 se r ed r0 sono
incidenti, altrimenti r ed r0 sono parallele e si ottiene che d(r, r0 ) = d(P, r0 )
qualsiasi sia il punto P di r.
Consideriamo ora nel dettaglio il caso di R3 . Considerato un punto P0 =
(x0 , y0 , z0 ) ed il piano π : ax + by + cz + d = 0 si potrebbe provare che
risulta
|ax0 + by0 + cz0 + d|
√
d(P0 , π) =
.
a2 + b2 + c2
Esempio 5.4.10. Considerati il piano π : 2x − y + z − 4 = 0 ed il punto
P(1, 3, −1), si ha che
d(P, π) =
√
|2 · 1 − 1 · 3 + 1 · (−1) − 4|
6
p
= √ = 6.
2
2
2
6
2 + (−1) + 1
Se invece consideriamo un punto P0 ed una retta r, per calcolare la distanza d(P0 , r) si determina il piano π per P0 ortogonale ad r ed il punto di
intersezione P tra r e π, e si ottiene – come sarebbe possibile provare – che
d(P0 , r) = d(P0 , P).
5.4 questioni metriche
105
x−y+3 = 0
,
4x − z + 9 = 0
il piano per P ortogonale ad r ha equazione π : x √
+ y + 4z − 3 = 0 ed interseca
r nel punto H(−2, 1, 1), così d(P, r) = d(P, H) = 11.
Esempio 5.4.11. Considerati il punto P(1, 2, 0) e la retta r :
Consideriamo ora il caso di due rette r ed r0 . Se r ed r0 sono parallele
(e distinte) allora si determina il piano π che contiene r ed è parallelo ad
r, scelto poi un quasiasi punto P di r0 si può provare che d(r, r0 ) = d(P, π).
Se le rette invece sono incidenti allora la loro distanza è 0. Infine se le due
rette sono sghembe, si può provare che la distanza tra le due rette coincide
con la distanza tra i punti a minima distanza che si determinano come nella
dimostrazione del teorema 5.4.8.
Esempio 5.4.12. Si considerino le rette sghembe


 x = 1−t
 x = 2−t
y = 1 + 2t
y = 2t
e
r0 :
r:


z = 2+t
z = −1 + 3t
13
E’ stato visto nell’esercizio 5.4.9 che i punti a minima distanza sono P 45 , 12
5 , 5
√
5
13
e Q 52 , 11
5 , 5 . La cui distanza tra P e Q è 5 e rappresenta la distanza di
r da r 0 .
Infine se consideriamo due piani π e π0 , si ha che d(π, π0 ) = 0 se i due
piani sono incidenti, se invece sono paralleli risulta essere d(π, π0 ) = d(P, π0 )
qualsiasi sia il punto P ∈ π.
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