CAPII MODELLO MATEMATICO DEI VETRI SILICATI DROGATI CON ERBIO E CODROGATI CON ITTERBIO, AMPLIFICAZIONE E LASING

MODELLO FISICO E MODELLO MATEMATICO DEI VETRI
SILICATI DROGATI CON ERBIO E CODROGATI CON
ITTERBIO, AMPLIFICAZIONE E LASING
APPUNTI DI LEZIONE DEL CORSO
FIBER OPTIC PROPAGATION
A.A. 2016/2017
PROF. ING. FRANCESCO PRUDENZANO
BIBLIOGRAFIA
1.
Fber optic Communication System, third Edition, G. P. Agraval - John Wiley & Sons
2.
Elements of Photonics Volume II- for fiber and integrated optics K. Iizuka - John Wiley & Sons
3.
Rare earth doped fiber laser and amplifier, M.I.E Digonnet, Marcel Dekker INC New York
4.
Lecture notes.
5.
R.E. Collin: Foundations for microwave Engineering. McGraw-Hill
6.
Jordan Balmain Electromagnetic Waves and Radiating Systems Prentice Hall Electrical engineering
series
7.
R. Sorrentino, G. Bianchi. Ingegneria delle microonde e radiofrequenze McGraw-Hill
8.
G. B. Stracca: teoria delle microonde Città Studi Edizioni
9.
Fondamenti di campi elettromagnetici Teoria e applicazioni, F.T. ULABY, McGraw-Hill
10. Campi Elettromagnetici e circuiti, G. Franceschetti, Boringhieri, Torino
11. Onde elettromagnetiche UTET C. G. Someda
12. Campi e onde nell'elettronica per le comunicazioni, Ramo, Winnery, Van Duzer, Angeli, Milano
13. Le fibre ottiche per telecomunicazioni , G. Vespasiano Editore: Telecom Italia
14. Fibre ottiche per Telecomunicazioni: propagazione - P. Di Vita, V. Lisi, M. Giaconi, G. Vespasiano,
Notiziario Tecnico SIP - Anno 2 - n. 2 - Agosto 1993
4
MODELLO FISICO E MODELLO MATEMATICO DEI VETRI
SILICATI DROGATI CON ERBIO E CODROGATI CON
ITTERBIO
2.2 Introduzione
In questo capitolo verrà esposto il modello fisico e matematico dei vetri silicati
drogati con erbio, che è alla base del progetto di realizzazione dell’amplificatore in
guida d’onda planare ed in fibra ottica.
Nella prima parte saranno esaminati i meccanismi relativi alla variazione della
densità di popolazione dei vari livelli energetici. In seguito verranno considerate le
principali transizioni energetiche che si verificano quando, all’interno della guida attiva
vengono inviati due fasci di luce: uno a lunghezza d’onda λp = 980 nm, il segnale di
pompa, l’altro a λs = 1530 nm, il segnale laser; le emissioni, radiative e non radiative,
dai livelli energetici superiori verso livelli energetici inferiori; l’emissione stimolata alla
lunghezza d’onda λs =1530 nm. Inoltre nel modello sono tenuti in conto i principali
processi dissipativi che diminuiscono l’efficienza quantica dell’amplificatore: il
fenomeno dell’ESA (Excited State Absorbtion) cioè la transizione energetica
indesiderata verso livelli energetici superiori, relativa sia al segnale a λs = 1530 nm, sia
alla pompa a λp = 980 nm, ed i cosiddetti effetti di concentration quenching che si
verificano per una elevata concentrazione di erbio nel vetro, oltre 3·1025 ioni/m3 .Proprio
questi ultimi vengono sfruttati mediante l’introduzione di codroganti, come ad esempio
l’itterbio, per migliorare le prestazioni dell’amplificatore.
In ultimo saranno ricavate le rate equation, cioè le equazioni che regolano i flussi
(densità) di popolazione per il sistema laser a tre livelli dell’erbio, e le equazioni di
propagazione della potenza ivi inclusa la propagazione del rumore ASE (Amplifier
Spontaneus Emission).
Nella seconda parte sarà introdotto il modello fisico e matematico dei vetri silicati
drogati con erbio e codrogati con l’itterbio. Verranno esposti i motivi per cui si
preferisce questa seconda soluzione ed i vantaggi che essa comporta.
Anche in questo caso saranno descritte le principali transizioni energetiche, mettendo in
evidenza i fenomeni di interazione ione-ione che permettono il trasferimento di energia
dagli atomi dell’itterbio a quelli dell’erbio.
Infine saranno considerate le rate equation e le equazioni di propagazione della potenza.
5
2.2 Dinamica della densità di popolazione degli ioni nei dispositivi ottici attivi
Il presupposto fondamentale su cui si basa l’amplificazione ottica all’interno di
una struttura guidante è l’interazione fra luce e materia, ossia fra gli atomi di drogante
all’interno del mezzo attivo ed i fotoni della luce in esso propagante.
Ogni atomo possiede una serie discreta di stati o livelli energetici, a ciascuno dei
quali corrisponde un ben determinato valore di energia. Gli elettroni possono occupare
solo tali stati e possono scambiare energia con l’ambiente circostante solo in quantità
ben precise corrispondente alla differenza di energia fra due livelli. Se un atomo viene
colpito da una onda elettromagnetica di frequenza  = c/, con  lunghezza d’onda e c
velocità della luce nel vuoto, vi è la possibilità di scambio energetico tra atomo e
radiazione solo se l’energia associata ai fotoni, E = h, ove h è la costante di Planck
6.26·10-34 [J·s], risulta maggiore o al più uguale alla differenza di energia esistente tra i
livelli energetici considerati. Un valore di energia inferiore a tale differenza renderà il
sistema trasparente alla radiazione elettromagnetica incidente.
Quando atomi o molecole vengono avvicinati per formare una sostanza i livelli
energetici subiscono forti trasformazioni dovuti alle interazioni interatomiche potendo
mantenere un aspetto a righe, o bande comunque sottili, tipico degli atomi delle
molecole, o dei gas o degenerando in bande sufficientemente ampie.
Le transizioni energetiche che si verificano in un mezzo, data l’interazione con la
radiazione luminosa, sono: assorbimento, emissione stimolata, emissione spontanea di
tipo radiativo, decadimento non radiativo [1].
Quando un fotone interagisce con un atomo, esso può essere assorbito,
provocando la transizione di un elettrone da un livello energetico inferiore ad un livello
energetico superiore. In tale stato eccitato l’elettrone permane per un certo tempo che, in
assenza di interazioni con l’ambiente circostante, viene definito tempo di vita medio,.
Gli elettroni eccitati, tendono a ritornare spontaneamente al livello energetico più basso
attraverso transizioni che possono essere radiative, ovvero con l’emissione spontanea di
un fotone di energia pari alla differenza di energia tra i livelli, o mediante decadimento
non radiativo in cui non si ha emissione fotonica ma emissione di un fonone con
dissipazione di energia, pari alla differenza fra i due livelli E2- E1, scambiata con la
struttura vetrosa sotto forma di calore.
Si parla invece di emissione stimolata quando un elettrone si trova nello stato
eccitato, E2, e sul sistema incide un secondo fotone avente energia pari alla differenza
tra tale livello ed uno sottostante, E1. In questo caso si verifica l’emissione stimolata di
6
un ulteriore fotone con energia pari a h, che accompagna il fotone originario e la
transizione dell’elettrone sul livello più basso. La caratteristica principale
dell’emissione stimolata è che il fotone secondario risulta essere alla stessa frequenza ed
in fase col fotone primario, dando luogo all’emissione coerente, caratterizzata da
un’unica frequenza di emissione, a differenza dei fotoni che si creano per emissione
spontanea che hanno direzioni di propagazione aleatorie e si ricombinano con relazioni
arbitrarie fornendo una emissione incoerente, ovvero caratterizzata da un ampio spettro
di emissione.
Appare evidente come il principio portante su cui si basa l’amplificazione ottica di
un segnale luminoso all’interno di un mezzo, vetroso nel nostro caso, drogato con terre
rare, è l’emissione stimolata di fotoni da parte di elettroni, il cui decadimento verso il
livello energetico sottostante è indotto dal segnale laser in propagazione all’interno della
struttura. Bisogna tuttavia tener presente che alle frequenze tipiche delle trasmissioni
ottiche e per temperatura ambiente si ha che livello base (ground state) è molto più
popolato del livello eccitato (livello laser). Inoltre l’emissione stimolata non rappresenta
una norma, bensì un eccezione, nei processi di interazione energetica che avvengono a
temperatura ambiente fra luce e atomi di drogante all’interno del mezzo attivo, infatti,
essa risulta essere in competizione con i fenomeni di decadimento spontaneo, radiativo
e non radiativo. Questi hanno un duplice effetto negativo: deteriorano l’amplificazione
del segnale riducendo la popolazione di elettroni al livello laser superiore, e nel caso il
decadimento spontaneo sia accompagnato da emissione, sovrapponendo rumore al
segnale di interesse. Per ottenere una emissione stimolata, è allora necessario rendere la
popolazione del livello energetico superiore maggiore di quella del livello inferiore,
ovvero si deve realizzare il fenomeno dell’inversione di popolazione. Questo si ottiene
attraverso un opportuno segnale, detto di pompa, avente lunghezza d’onda inferiore di
quella del segnale che si intende amplificare, il quale eccita gli elettroni al livello laser
superiore a partire dal ground state.
La probabilità che avvenga una transizione stimolata, di assorbimento o di
emissione, aumenta all’aumentare del numero di ioni eccitabili dal ground state verso il
livello laser superiore mediante pompaggio. Pertanto fissate la potenza di pompa e le
dimensioni trasversali della struttura guidante, le caratteristiche di amplificazione
7
Prima dell’interazione
Dopo l’interazione
ASSORBIMENTO
hν
E2
E2
E1
E1
hν
EMISSIONE SPONTANEA
E2
E2
hν
hν
E1
E1
EMISSIONE STIMOLATA
E2
E2
hν
hν
hν
E1
E1
Fig. 1.2: Fenomeni di interazione radiazione materia
8
migliorano all’aumentare della concentrazione di drogante, vi è tuttavia un limite
massimo di concentrazione solubile nella matrice vetrosa, oltre il quale diventano
prevalenti i fenomeni di interazione fra gli ioni di drogante, i quali assumono carattere
dissipativo con conseguente decadimento delle capacita di amplificazione [2].
Tali processi interattivi tra ioni di drogante prevedono il trasferimento di energia da uno
ione eccitato detto donore ad un altro ione detto accettore e sono descrivibili in termini
di migrazione energetica, cross relaxation, up conversion [3].
Per migrazione energetica si intende il fenomeno per cui un atomo donore in uno
stato eccitato trasferisca la propria energia ad uno ione accettore che si trova allo stato
di equilibrio, il donore quindi decade allo stato di equilibrio mentre l’accettore si eccita
ad un livello energetico superiore. Questo processo può ripetersi più volte, tra ulteriori
coppie di atomi, finché non interviene qualche fenomeno esterno ad interromperlo, ad
esempio una emissione stimolata, o una transizione spontanea, o può accadere che lo
ione terminale della catena di migrazione termini in una trap, ossia in una situazione in
cui la propria energia è ceduta ad una imperfezione della matrice vetrosa.
Con il termine cross relaxation si intende il processo di interazione che si realizza
fra uno ione eccitato ad un livello energetico superiore che funge da donore ed uno ione
nel ground state che funge da accettore. Questi ioni a seguito dello scambio energetico,
si ritrovano, alla fine del processo, su un livello energetico intermedio rispetto a quelli
di partenza. La cross relaxation risulta estremamente dannosa in quanto tende a svuotare
il livello energetico superiore.
Il fenomeno di up conversion interessa ancora due ioni che si trovano entrambi in
uno stato eccitato. In tal caso, a seguito dell’interazione, lo ione donore decade al livello
di terra mentre lo ione accettore si porta ad un livello energetico ancora più elevato, dal
quale potrà eventualmente tornare a livello di partenza attraverso processi di
decadimento spontaneo. Nel complesso ciò che si è avuto è una degradazione di una
parte di energia fornita per produrre l’eccitazione dei due ioni di partenza.
Anche se questi fenomeni detti di concentration quenching da un lato possono
apparire deleteri a causa del decadimento di energia che ne risulta, dall’altro vengono
sfruttati quando si utilizzano come droganti specie chimiche differenti: è il caso dei
codrogaggi. Per esempio tecniche come il trasferimento di energia Yb3+Er3+ mediante
cross relaxation vengono utilizzate per migliorare l’efficienza di pompa dei dispositivi e
ridurre gli effetti negativi dovuti all’elevata concentrazione di erbio [4].
9
2.3 Proprietà ottiche delle terre rare
Gli elementi chimici considerati nel presente capitolo sono l’erbio e l’itterbio,
appartenenti alle cosiddette “ terre rare ”.
Le terre rare sono divise in 2 gruppi da 14 elementi ciascuno: i Lantanidi che
vanno dal Cerio con numero atomico Z=58 al Lutezio con numero atomico Z=71 e gli
Actinidi. Tuttavia soli i lantanidi hanno importanza per l’amplificazione ottica perché
presentano isotopi stabili. Tutti gli atomi delle terre rare hanno la stessa configurazione
elettronica esterna dello Xenon (5s25p66s2), tuttavia le caratteristiche ottiche delle terre
rare [4], sono dettate dal numero di elettroni che occupano gli orbitali interni 4f.
La ionizzazione delle terre rare in genere da origine ad una forma trivalente. Due
degli elettroni 6s e uno degli elettroni 4f vengono rimossi, gli orbitali esterni 5s e 5p non
subiscono invece alterazioni. Gli elettroni 4f sono perciò parzialmente schermati da
perturbazioni di campi esterni, per cui le lunghezze d’onda di emissione e di
assorbimento risultano essere meno legate alle variazioni di campi esterni rispetto agli
altri elementi di transizione. Le caratteristiche che convalidano l’utilizzo delle terre rare
come droganti dei dispositivi ottici attivi sono:
 La fluorescenza e l’assorbimento avviene su piccoli range di lunghezza
d’onda
 Le lunghezze d’onda delle transizione di emissione e di assorbimento non
dipendono, o dipendono in maniera trascurabile, dal materiale vetroso che
“ospita” il drogante
 L’intensità delle suddette transizioni è debole
 I tempi di vita medi degli stati metastabili sono piuttosto lunghi
 L’efficienza quantica, definita dal rapporto tra il tasso di emissione radiativa
ed il tasso di emissione complessiva (radiativa e non radiativa), risulta alta
Ogni sostanza è caratterizzata, come detto in precedenza, da un certo numero di
livelli energetici. Per condurre un’analisi rigorosa dell’interazione tra un’onda
elettromagnetica e la materia, si dovrebbe tenere conto di tutte le possibili transizioni fra
tutti i possibili livelli energetici. Tuttavia solo un numero finito di livelli partecipa
attivamente alle transizioni energetiche primarie, e dunque si parlerà di sistema a K
livelli, assumendo che solo K livelli sono effettivamente coinvolti nel processo di
scambio energetico.
10
L’erbio, per un pompaggio ottico a lunghezza d’onda p = 980 nm e per un segnale utile
a lunghezza d’onda s = 1530 nm, si presenta come un sistema atomico a tre livelli.
Con riferimento alla Fig.2.2, i tre livelli fondamentali sono:
 ground state o livello fondamentale 4I15/2
 livello energetico 4I13/2 o livello metastabile
 livello energetico 4I11/2
L’itterbio invece è un sistema a due livelli:
 ground state o livello fondamentale 2F7/2
 livello energetico 2F5/2
2.4 Principali transizioni energetiche dell’erbio
L’erbio, per la configurazione dei livelli energetici del suo spettro, prevede la
possibilità di un segnale di pompa alla lunghezza d’onda di 800 nm e 980 nm, dove si
comporta sostanzialmente come un sistema a tre livelli, e a 1480 nm, dove invece può
essere approssimato ad un sistema a due livelli energetici.
Una particolarità del segnale di pompa alla lunghezza d’onda p = 980 nm, è che,
rispetto alle altre due lunghezze d’onda di pompaggio ottico, è possibile trascurare gli
effetti del fenomeno quantico secondario ESA, (Excited State Absorption) che limita
l’efficienza quantica ed il guadagno, e di cui in seguito verrà data ampia trattazione.
Amplificatori ottici, in cui si utilizzano segnali di pompa a lunghezza d’onda
λp = 980 nm, inoltre, mostrano ottime prestazioni, attestate da alti valori del guadagno,
della potenza di uscita e dai valori piuttosto contenuti del rumore. Infine dispositivi che
adottano un pompaggio ottico a tale frequenza presentano un’efficienza quantica del
90% circa, dove per efficienza quantica si intende il rapporto tra il tasso di emissione
radiativa ed il tasso di emissione complessivo (somma del tasso di emissione radiativa e
non radiativa).
Con riferimento ad un segnale di pompa a lunghezza d’onda p =
980 nm, in Fig.2.2 è riportato il diagramma energetico in cui possono trovarsi gli
elettroni degli ioni di erbio e le principali transizioni energetiche che possono avvenire.
In particolare queste ultime sono quelle che coinvolgono i livelli energetici 4I15/2-4I11/2 ed i
livelli 4I15/2-4I13/2.
La transizione 4I15/2 - 4I11/2 (GSA-pompa: Ground State Assorbtion) si realizza
tramite un segnale di pompa ad una lunghezza d’onda p = 980 nm, che provoca
l’eccitazione degli elettroni dal ground state (4I15/2) direttamente al livello laser superiore
11
(4I11/2). Il decadimento al livello metastabile 4I13/2 è molto rapido e questo facilita il
verificarsi dell’inversione di popolazione. La transizione 4I15/2 - 4I13/2 concerne i fenomeni
di assorbimento e di emissione alla lunghezza d’onda s = 1530 nm del segnale utile. In
particolare l’amplificazione di quest’ultimo è legata all’emissione stimolata che si
realizza quando un secondo fotone risonante con una coppia di livelli energetici, nel
caso erbio pari alla differenza tra l’energia del livello 4I15/2 e del livello 4I13/2, incide sul
sistema atomico, forza lo ione, già in stato di eccitazione sul livello superiore ( 4I13/2,) ad
emettere un altro fotone alla stessa frequenza ed in fase con il fotone incidente.
Altri importanti tipi di transizione sono i decadimenti radiativi e quelli non
radiativi. Le transizioni radiative, o emissioni spontanee, si hanno quando un elettrone
dello ione eccitato ad un livello energetico superiore, decade spontaneamente ad un
livello inferiore, emettendo un fotone, di energia uguale alla differenza di energia tra i
livelli energetici considerati, ma con fase e direzione arbitraria.
Nelle emissioni non radiative, al contrario, non viene emesso un fotone, ma
l’energia viene acquistata dal sistema atomico sotto forma di calore, con l’emissione di
fononi da parte della matrice vetrosa. Un decadimento di tal genere si ha dal livello 4I11/2
al livello metastabile 4I13/2.
Il successo dei componenti ottici attivi in vetro silicato drogato con erbio, è dovuto in
gran parte al tempo di vita relativamente lungo nello stato metastabile 4I13/2, dell’ordine
dei ms. Affinché si possa creare l’inversione di popolazione tra i livelli energetici 4I15/2 e
4
I13/2, è necessaria una transizione molto veloce tra i livelli 4I11/2 e 4I13/2, ed un tasso di
assorbimento di pompa maggiore del tasso di emissione stimolata.
Transizioni indesiderate che limitano le prestazioni dell’amplificatore sono legate
al fenomeno dell’ESA (Excited State Absorption). L’ESA è un processo di
assorbimento che non ha origine nel ground-state, ma parte da uno ione già eccitato ad
un livello energetico più alto, di solito il livello laser superiore dello ione in questione.
Si può distinguere un ESA di pompa, cioè un assorbimento alla lunghezza d’onda del
segnale di pompa, e un di ESA di segnale, assorbimento alla lunghezza d’onda del
segnale utile. Fotoni alla lunghezza d’onda della pompa, p = 980 nm, possono essere
assorbiti da elettroni eccitati sul livello 4I11/2 causando una transizione verso il livello
F7/2. Anche se l’elettrone quasi istantaneamente ritorna sul livello 4I11/2, un fotone sarà
perso per una non voluta emissione spontanea o fononica. Identico discorso vale per
L’ESA di segnale, in questo caso un fotone alla lunghezza d’onda del segnale viene
4
assorbito provocando la transizione dal livello 4I13/2 verso il livello 4I9/2.
12
4
5
ESA pompa
transizioni
non radiative
F7/2
Up conversion
4
4
I9/2
ESA segnale
3
4
I11/2
4
I13/2
Up conversion
2
Pompa
GSA
Segnale
GSA
Emissione
Stimolata
Transizioni
radiative
1
cross
relaxation
4
I15/2
Fig. 2.2: Diagramma delle principali transizioni degli ioni di Erbio tra i livelli energetici
Un altro fattore che peggiora l’efficienza ed il guadagno, è il rumore ASE,
(Amplified Spontaneous Emission). Tale segnale generato all’interno della struttura
trova principio nelle emissioni spontanee che generano fotoni scorrelati e che vengono
quindi amplificati. Si tratta di rumore sovrapposto non solo al segnale utile ma anche al
segnale di pompa. Altro effetto ad esso legato è lo spopolamento del livello laser
superiore con ricadute sul guadagno. Anche la transizione riguardante il decadimento da
ESA, ha del rumore ASE sovrapposto.
Altri processi quantici secondari sono quelli che riguardano il trasferimento
energetico tra ioni o sistemi atomici a breve distanza. Tali processi diventano rilevanti
quando la concentrazione di erbio diventa consistente. Se da una parte è conveniente
avere una concentrazione di erbio elevata, al fine di aumentare l’amplificazione,
dall’altra fenomeni legati alla concentrazione e alla matrice vetrosa come upconversion, cross-relaxation, migrazione energetica possono produrre delle perdite
consistenti.
Ciò implica un’aggiunta alle rate equation di coefficienti come Cup, C3, C14 che tengono
conto dei fenomeni quantici secondari di up-conversion, cross-relaxation.
13
Tali parametri, come ampiamente trattato in letteratura [6], [7], possono considerarsi
variabili con la concentrazione di drogante e con la tipologia di vetro costituente la
guida.
Come si può osservare dalla fig. 3.2, nella up-conversion, uno ione donore ed uno
ione accettore si trovano entrambi su uno stato eccitato, i livelli 4I13/2 e 4I11/2 nel caso
dell’erbio. A causa della vicinanza lo ione donore cede la sua energia a quello accettore;
il primo recede al livello energetico 4I15/2, il secondo viene eccitato ad un livello
superiore, nel nostro caso rispettivamente i livelli 4I9/2 4F7/2, salvo poi decadere
spontaneamente.
Il processo di cross-relaxation interessa ancora due ioni, uno donore ed uno
accettore su livelli differenti, nel nostro caso livelli 4I9/2 e 4I15/2 rispettivamente, che
scambiano mutuamente la propria energia, e, alla fine del processo, risultano entrambi
ad un livello intermedio, rispetto a quelli di partenza, livello 4I13/2 per l’erbio.
La migrazione energetica, infine, funziona nello stesso modo degli altri due
processi con la differenza che nei livelli energetici di partenza l’atomo accettore passa
dal ground state ad un livello superiore, l’atomo donore passa dal livello superiore al
ground state.
5
4F7/2
4
4
I9/2
3
4
I11/2
2
4
I13/2
4
I15/2
Upconversion
a livello alto
Upconversion
a livello basso
cross
relaxation
1
Fig. 3.2: Diagramma dei livelli energetici dell’Erbio relativo ai soli fenomeni di interazioni ione-ione
14
1.5 Equazioni di bilanciamento delle popolazioni
Si parla di sistema a tre livelli, per indicare un sistema fisico reale, nel quale si
assume che solo tre livelli siano effettivamente coinvolti nel processo.
Nel caso dell’erbio, come affermato in precedenza, i tre livelli in considerazione sono il
ground-state 4I15/2, lo stato metastabile 4I13/2, ed il livello 4I11/2. In più si considererà
nell’analisi, il livello energetico 4I9/2 coinvolto nel fenomeno di interazione ione-ione del
segnale utile.
Per descrivere completamente un sistema di questo tipo si fa uso delle rate
equation e delle equazioni di propagazione della potenza. Le rate equation descrivono
l’evoluzione della popolazione di ciascun livello, partendo da considerazioni di tipo
fenomenologico, e si ricavano dal bilanciamento su ogni livello energetico delle
transizioni stimolate e spontanee.
I processi considerati nel modello sono:


transizione spontanea dal generico livello j verso livelli energetici inferiori
decadimento multifononico dal generico livello j verso i livelli energetici
inferiori più vicini al livello considerato
 assorbimento ed emissione alla lunghezza d’onda della pompa λp = 980 nm
 assorbimento ed emissione alla lunghezza d’onda del segnale λs = 1530 nm
 processo ESA associato al segnale di pompa ed al segnale utile

rumore ASE sovrapposto al segnale di pompa, al segnale utile, e ad entrambe
le transizioni riguardanti l’ESA
In generale la variazione, incremento o decremento, della densità di popolazione del
livello j-esimo, indicata in letteratura con Nj, è calcolata come funzione dei tassi con cui
gli elettroni vengono portati verso i livelli superiori e dei tassi con cui gli elettroni
decadono, in maniera radiativa e non radiativa, verso i livelli energetici inferiori.
E’ utile a questo punto introdurre alcuni concetti che verranno in seguito
richiamati nella descrizione delle rate equations. Si introdurrà dapprima il concetto di
sezione d’urto ( o cross section). Si consideri un fascio di Q fotoni che investe un
mezzo di spessore s e superficie unitaria, contenente N atomi di drogante per unità
di volume, supponiamo che s sia sufficientemente piccolo tale che la probabilità che un
fotone sia assorbito o emesso è molto minore di uno, il numero di fotoni assorbiti o
emessi nel volume in considerazione Na,e, si dimostra essere proporzionale al prodotto
NQs [8], si definisce cross section a,e la costante per cui è possibile scrivere:
15
N a,e   a,e  N  Q  s
(1.2)
dimensionalmente si verifica che la cross section è una superficie. Sostanzialmente la
cross section o sezione d’urto, rappresenta la probabilità di un elettrone di passare
da un livello energetico ad un altro. In Fig. 4.2 è riportato il diagramma delle cross
section [11], in assorbimento ed in emissione, per gli ioni Er3 in una matrice vetrosa a
base di SiO2, in funzione della lunghezza d’onda. L’allargamento spettrale delle cross
section esprime come i livelli energetici siano in realtà bande, infatti qualora essi
fossero righe spettrali le cross section assumerebbero valore non nullo solo ad una
precisa lunghezza d’onda.
Considerato ora un fascio Q di fotoni che attraversano nell'unità di tempo la
superficie unitaria, se I(x,y,z,) è l'intensità di tale fascio, ossia la quantità di energia
legata al fascio di fotoni che nell'unità di tempo attraversa la superficie unitaria,
possiamo scrivere:
Q
I ( x, y, z, )
h
(2.2)
dove h=6.626075510-34 [Js] è la costante di Planck,  è la frequenza del fascio di
luce, legata alla velocità della luce nel mezzo in considerazione da =c/, essendo  la
lunghezza d'onda del fascio di fotoni. In base alla (2.2), la (1.2) risulta:
N a,e   a,e 
I ( x, y, z, )
N s
h
(3.2)
Conseguentemente alla definizione di cross section, possiamo definire il tasso di
transizione stimolata di assorbimento ‘a’ o emissione ‘e’ Wa,e, fra due livelli
energetici [9] come :
Wa,e   a,e 
I ( x, y, z, )
h
(4.2)
Possiamo scrivere l'intensità del fascio energetico come:
I ( x, y, z, )  P( z, )  E ( x, y, )
2
(5.2)
16
-25
8
x 10
assorbimento
emissione
7
2
Cross Section [m ]
6
5
4
3
2
1
0
1.4
1.45
1.5
1.55
1.6
1.65
Lunghezza d'onda [m]
Fig. 4.2: Cross section di emissione (---) e assorbimento () per ioni Er3+ in una matrice vetrosa a base di
SiO2, nell’intervallo di lunghezze d’onda del segnale laser
dove P(z,), è la potenza alla sezione z, ed E(x,y,z,,) è il profilo del modo del campo
elettromagnetico che si sta propagando alla lunghezza d’onda , normalizzato secondo
la seguente espressione:
 
  E ( x, y ,  )
2
dxdy  1
(6.2)
 
Per cui sostituendo la (5.2) nella (6.2) si ottiene:
W a ,e   a , e 
P( z, )  E ( x, y, )
2
(7.2)
h
Tutto ciò è vero in caso di fascio monocromatico. In presenza di fascio di luce ad
ampio spettro indicata con Sp(z,) la densità spettrale della potenza alla sezione z
ed alla frequenza , si ha:
17

N a ,e 
  a,e ( ) 
S p ( z , )  E ( x, y ,  )
h
0

W a ,e 
  a ,e 
0
2
S p ( z , )  E ( x, y , )
h
 N  sd
(8.2)
2
d
(9.2)
Nel caso di decadimento spontaneo, il tasso di transizione del decadimento spontaneo
è dato da:
Ai, j 
1
(10.2)
 i, j
essendo i,j, il tempo medio oltre il quale può ritenersi avvenuto il decadimento
spontaneo dal livello i al livello j; la presenza della media è dovuta al fatto che in
realtà non si hanno due livelli energetici, bensì due bande, se pur sottili, per tanto la
media è considerata fra tutte le possibili combinazioni fra i singoli livelli componenti le
due bande [10]. Da osservare il fatto che il decadimento può essere accompagnato da
emissione di fotoni oppure essere non radiativo e quindi essere accompagnato da
emissioni di fononi, con conseguente dissipazione di energia in calore.
A questo punto, considerando il segnale di pompa a lunghezza d’onda p = 980
nm, e il segnale laser a lunghezza d’onda s = 1530 nm, monocromatici e supponendo
che la nostra la guida sia monomodale, è possibile definire in base alla (7.2) il tasso di
assorbimento di pompa WpGSA e i tassi di assorbimento e di emissione del segnale
WsGSA e WsE rispettivamete:
W pGSA ( x, y, z )   13 ( p ) 
Pp ( z, p )  E ( x, y, p )
h p
Ps ( z, s )  E ( x, y, s )
WsGSA ( x, y, z )   12 ( s ) 
h s
18
2
(11.2)
2
(12.2)
Ps ( z, s )  E ( x, y, s )
WsE ( x, y, z )   21 ( s ) 
h s
2
(13.2)
essendo 13(p) la cross section di assorbimento alla frequenza della pompa, 12(s) e
21(s) le sezioni d’urto di assorbimento e di emissione alla frequenza del segnale ed
Pp(z, p) e Ps(z, s) rispettivamente le potenza della pompa e del segnale alla sezione
z.
Il tasso di emissione di pompa WpE risulta invece nullo dato che, la cross section di
emissione relativa alla frequenza del segnale di pompa è nulla [6], cioè 31(p)=0.
Per quanto concerne invece il rumore ASE, viene a cadere l’ipotesi di segnale
monocromatico, avendo il rumore una banda piuttosto ampia. Il rumore è quindi da
considerarsi un segnale, con densità spettrale Sp(z,), a banda larga, per il quale si
verificano sia l’assorbimento dallo stato fondamentale sia l’emissione. Dunque
indicando con Wsse,pGSA il tasso di assorbimento del rumore ASE alla lunghezza d’onda
del segnale di pompa, con Wsse,sGSA e Wsse,sE i tassi di transizione, rispettivamente, di
assorbimento e di emissione del rumore ASE alla lunghezza d’onda del segnale laser,
tenendo presente la (9.2) si ha:

E
ase,p
W
( x, y,z ) 

31
(  )
0

GSA
Wase
, p ( x, y , z ) 
  13 ( ) 
0

GSA
Wase
, s ( x, y , z ) 

 12 ( ) 
0

E
Wase
, s ( x, y , z ) 

0
 21 ( ) 
Sase,p ( z,  )  E( x, y,  )
2
h
S ase, p ( z, )  E ( x, y, )
2
h
S ase,s ( z, )  E ( x, y, )
h
d
(14.2)
2
h
S ase,s ( z, )  E ( x, y, )
d  0
d
(15.2)
d
(16.2)
2
Il rumore ASE di pompa in realtà, e quindi il tasso di emissione del rumore ASE di
pompa Wase,pE e il tasso di assorbimento del rumore ASE di pompa Wase,pGSA, verrà
ritenuto trascurabile in quanto la cross section relativa all’emissione stimolata alle
19
lunghezze d’onda prossime a quelle del segnale di pompa è pressoché nulla, per cui
la fluorescenza spontanea a tali lunghezze d’onda non viene amplificata e quindi non si
ha un significativo rumore ASE sul segnale di pompa. Inoltre data la mancanza di
un’ampia banda di assorbimento nell’intorno dei 980 nm la (14.2) viene trascurata.
Bisogna a questo punto fare delle osservazioni: l’emissione spontanea viene amplificata
sia nella direzione positiva sia nella direzione negativa lungo l’asse della guida, per cui
la densità spettrale di potenza dell’emissione spontanea amplificata va vista come
somma di una componente diretta e di un componente riflessa, cioè:


S ASE ( , z )  S ASE
( , z )  S ASE
( , z )
(17.2)
Un discorso a parte merita l’analisi dell’ESA. Innanzitutto, come detto in
precedenza, per una lunghezza d’onda λp = 980 nm, gli effetti dell’ESA possono essere
trascurati. E comunque la consistenza di tali effetti è legata al tempo di vita medio del
livello 4I11/2 e alla cross section dell’ESA per la transizione 4I11/24F7/2.
Per quanto riguarda invece l’ESA del segnale, come ampiamente suggerito in letteratura
[1], ha conseguenze del tutto ininfluenti sulle prestazioni del guadagno
dell’amplificatore essendo le cross section relative, insignificanti se comparate con le
cross section dell’emissione stimolata o del GSA.
Possiamo, a questo punto scrivere le equazioni di bilancio, facendo riferimento
alle Fig.2.2 e 3.2 [12],[13]:
N 4
N
  4  Cup  N 22  C3  N 32  C14  N1  N 4
t
 43
(18.2)
N 3
N
N
 W pGSA  N1  3  4  2  C3  N 32
t
 32  43
(19.2)
N 2 N 3
N
GSA
E

 WsGSA  N1  WsE  N 2  2  Wase
,s  N1  Wase,s  N 2 
t
 32
 21
 2  C14  N1  N 4  2  Cup  N 22
20
(20.2)
N1
N
GSA
E
 WsGSA  N1  WsE  N 2  2  Wase
, s  N1  Wase, s  N 2 
t
 21
(21.2)
 W pGSA  N1  C14  N1  N 4  Cup  N 22  C3  N 32
ove N1, N2, N3, N4 sono le concentrazione di elettroni degli ioni Er3+sui livelli 4I15/2, 4I13/2,
4
I11/2, 4I11/2, 1 è il tasso di emissione spontanea e 21 è il tempo di vita medio del
 21
livello metastabile, 1 e 1 sono i tassi di transizione non radiativa in accordo con
 32
 43
la (10.2), C3 e Cup sono i coefficienti di up-conversion mentre C14 rappresenta il
coefficiente di cross relaxation. Si è considerata trascurabile la concentrazione N5 del
livello 4F7/2 interessato dal fenomeno della up-conversion di pompa.
A queste equazioni differenziali dobbiamo aggiungere l’equazione di conservazione:
NT  N1  N 2  N 3  N 4
(22.2)
ove NT è la concentrazione totale di drogante. Il precedente sistema, la cui non linearità
è da attribuire ai fenomeni di concentration quenching, viene risolto in condizione di
regime stazionario in quanto l’analisi del transitorio non assume particolare rilievo nello
studio del componente ottico attivo, per cui le derivate a primo membro sono da porsi
uguali a zero.
2.6 Equazioni di propagazione delle potenze
Per trovare la densità di popolazione sui vari livelli energetici, alle equazioni
(15.2) - (19.2), vanno affiancate le equazioni che descrivono la propagazione della
potenza del segnale di pompa, del segale utile e del rumore ASE all’interno della guida.
Queste sono state ricavate considerando la doppia interazione fra la potenza ottica
trasmessa ed i fenomeni di assorbimento ed emissione che essa induce nel mezzo attivo,
in particolare i fenomeni di assorbimento riducono tale potenza mentre quelli di
emissione la incrementano. Tali equazioni descrivono un bilanciamento fra gli
incrementi ed i decrementi di potenza, verificato singolarmente per ogni segnale, la
cui interazione con gli ioni di drogante dispersi all’interno della matrice vetrosa avviene
in funzione della frequenza. Considerato un fascio monocromatico, operante alla
frequenza , di Q fotoni che attraversano un mezzo di spessore dz e superficie unitaria,
21
i processi di assorbimento ed emissione da questo indotti, determinano una variazione di
Q della quantità dQ che in base alla (1.2) è possibile scrivere come:
dQ( x, y, z, )    a,e ( )  N i ( x, y, z )  Q( x, y, z, )  dz
(23.2)
i
essendo a,e le cross section relative all’emissione o all’assorbimento del generico
livello i da cui tali processi avvengono, Ni è la concentrazione degli atomi di drogante
al livello i-esimo, si deve intendere il segno ‘+’ per fenomeni di emissione e il segno
‘–‘ per i fenomeni di assorbimento. Dalla (23.2) deriva che:
dQ
( x, y, z, )    a,e ( )  N i ( x, y, z )  Q( x, y, z, )
dz
i
(24.2)
Moltiplicando primo e secondo per l’energia associata al singolo fotone, h, e
considerate le (2.2) e (5.2) si ottiene:
dP( z, )
2
   a,e ( )  N i ( x, y, z )  P( z, )  E ( x, y, )
dz
i
(25.2)
Questa variazione di potenza è riferita ad un area unitaria, in definitiva è una
variazione di intensità. Integrando sull’area della sezione trasversale della guida, A, e
portate in conto l’attenuazione per assorbimento e per scattering della radiazione in
guida, (), otteniamo:
dP( z, )
2
 P( z, )     a,e ( )  N i ( x, y, z )  E ( x, y, )  dxdy   ( )  P( z, )
dz
i
A
(26.2)
Questa è l’equazione differenziale generale che descrive la propagazione della
potenza di un segnale monocromatico alla frequenza , all’interno della struttura. Nel
caso di segnali ad ampio spettro la (26.2) avrà ancora validità ove P(z, )
rappresenterà la potenza di tale segnale nel range di frequenza [+d], la quale è
22
esprimibile in funzione in funzione della densità spettrale di potenza Sp(z, ) secondo
l’espressione:
P( z, )  S p ( z, )  d
(27.2)
Pertanto esplicitando la (27.2) nella (26.2) e semplificando il termine d,
l’equazione di propagazione della potenza per un segnale policromatico è esprimibile in
termini della sua densità spettrale [1]:
dS p ( z, )
dz
 S p ( z, )     a,e ( )  N i ( x, y, z )  E ( x, y, )  dxdy   ( )  S p ( z, )
2
A i
(28.2)
Prima di scrivere in altro modo la (23.2) e la (25.2), facciamo un rapido riepilogo
delle transizioni che influenzano il segnale di pompa, il segnale utile e l’ASE segnale,
trascurando l’ASE pompa e i fenomeni di ESA relativo al segnale e alla pompa in
quanto ritenuti trascurabili per i motivi in precedenza esposti.
Segnale di pompa: l’assorbimento alla lunghezza d’onda del segnale di pompa, 1-3;
Segnale utile: l’emissione stimolata 2-1 e l’assorbimento 1-2;
ASE segnale: l’ASE prodotto dall’emissione spontanea e dall’assorbimento per
lunghezze d’onda prossime a quelle del segnale
Si ottengono le equazioni di propagazione della potenza, da affiancare alle rate
equations trovate nel paragrafo precedente.
Il segnale è amplificato nella direzione positiva dell’asse della guida secondo:
dPs
2
( z, s )  Ps ( z, s )    21 ( s )  N 2 ( x, y, z )   12 ( s )  N1 ( x, y, z ) E ( x, y, )  dxdy 
dz
  Er ( s ))  Ps ( z, s )
A
(29.2)
Il segnale di pompa si propaga nella guida con una variazione della potenza data da:
dPp
dz
( z, p )   Pp ( z, p )    13 ( p )  N1 ( x, y, z )  E ( x, y, )  dxdy   Er ( p )  Ps ( z, p )
2
A
(30.2)
23
Le equazione differenziali che regolano la propagazione della densità spettrale del
rumore ASE propagante, S+ASE, e del rumore ASE contropropagante, S-ASE sono
date da:

dS ASE
dz

( z, )  S ASE
( z, )    21 ( )  N 2 ( x, y, z )   12 ( )  N1 ( x, y, z )  E ( x, y, )  dxdy 
2
A

 2  h     21 ( )   E ( x, y, )  N 2 ( x, y, z ) dxd   Er ( )  S ASE
( z , )
2
A
(31.2)

dS ASE
2

( z, )   S ASE
( z, )    21 ( )  N 2 ( x, y, z )   12 ( )  N1 ( x, y, z )  E ( x, y, )  dxdy 
dz
A

 2  h     21 ( )   E ( x, y, )  N 2 ( x, y, z ) dxd   Er ( )  S ASE
( z , )
2
A
(32.2)
Il termine aggiuntivo h porta in conto la fluorescenza dell’emissione spontanea, mentre
il fattore 2 rappresenta il numero di modi che si propagano alla lunghezza d’onda
del segnale.
Possiamo riscrivere in altro modo, che risulterà utile nella implementazione del
codice numerico, le equazioni di propagazione della potenza trovate in precedenza.
Definito integrale di sovrapposizione la seguente quantità
ni ( z, )   N i ( x, y, z )  E ( x, y, ) dxdy
2
(33.2)
A
Sfruttando la definizione di cui sopra si può riscrivere il sistema nel seguente modo:
dPs
( z, s )   21 ( s )  n2 ( z, s )   12 ( z )  n1 ( z, s )  Ps ( z, s )   ( s )  Ps ( z, s )
dz
dPp
dz
( z, p )   13 ( p )  n1 ( z, p )  Pp ( z, p )   ( p )  Pp ( z, p )
24

dS ASE
dz

( z, )   21 ( )  n 2 ( z, )   12 ( )  n1 ( z, ) S ASE
( z, )  2  h    21 ( )  n 2 ( z, ) 

  ( )  S ASE
( z)

dS ASE

( z, )   21 ( )  n 2 ( z, )   12 ( )  n1 ( z, ) S ASE
( z, )  2  h    21 ( )  n 2 ( z, ) 
dz

  ( )  S ASE
( z)
(34.2)
1.7 Codrogaggio con Erbio-Itterbio
Il principale problema delle guide d’onda con erbio, conosciute con l’acronimo
EDWA (Erbium Doped Waveguide Amplifiers), consiste nella necessità di alte
concentrazioni di drogante per ottenere un guadagno accettabile entro dimensioni di
pochi centimetri. Ciò comporta un considerevole aumento degli effetti di interazione
ione-ione come la cross-relaxation, la up-conversion, e dunque una riduzione
dell’efficienza di pompa e conseguentemente del guadagno, come sarà mostrato
ampiamente nel capitolo delle simulazioni numeriche.
Per minimizzare questi effetti di concentration quenching, negli amplificatori,
viene utilizzato il codrogaggio con l’itterbio della guida d’onda già drogata con erbio.
Gli ioni di itterbio dopo l’assorbimento del fascio di pompa subiscono un processo
di cross relaxation con gli ioni di Er3+ adiacenti, per cui l’energia assorbita è
trasferita al sistema erbio. L’itterbio ha almeno tre proprietà che ne fanno un ottimo
co-drogante per erbio [14].
In primo luogo è un sistema a soli due livelli, il che ci assicura che nessun fenomeno
di up-conversion potrà mai avvenire tra ioni di itterbio. Il livello eccitato, 2F5/2,
inoltre, può trasferire con buona efficienza energia al livello 4I11/2 dell’erbio data l’ampia
sovrapposizione degli spettri di emissione per l’Yb3+ (2F7/22F5/2), e di assorbimento
per l’Er3+ (4I15/24I11/2). In secondo luogo il raggio ionico dell’itterbio non è molto
dissimile da quello dell’erbio, ciò fa si che uno ione Er3+ sia circondato da diversi ioni
Yb3+, facilitando un efficiente trasferimento di energia. Terzo punto, infine, come l’erbio
anche l’itterbio tende a formare delle aggregazioni all’interno della matrice vetrosa,
tuttavia essendo gli ioni abbastanza simili, se questo fenomeno di ‘clusterizzazione’
dovesse verificarsi, avverrebbe non tra ioni di erbio, ma tra uno ione di erbio e diversi
25
4
F7/2
WpESA
4
WsESA
2
1/43
C3N32
F5/2
1/32
WpGSA
WpGSA
I9/2
CupN22
4
I11/2
4
I13/2
KtrN1N6
1/Yb
2
WSGSA
WSE
1/21
C14N1N4
WpE
4
F7/2
I15/2
Fig. 5.2: Diagramma delle transizioni degli ioni tra i livelli energetici nel sistema erbio-itterbio
ioni di itterbio. Gli effetti per cui, sono quelli di un aumento dell’efficienza di
trasferimento energetico tra ioni Er3+ e ioni Yb3+ e di una riduzione del fenomeno di upconversion tra ioni di Er3+ rispetto al caso di drogaggio uniforme di erbio.
Non meno importante è il vantaggio derivante dall’amplia scelta della lunghezza
d’onda di pompa, (800-1100 nm) dovuta ad una maggiore larghezza di banda delle
cross-section di assorbimento ed emissione.
Il segnale alla lunghezza d’onda della pompa (p = 0.98 m) è assorbito dagli ioni
di itterbio nel ground-state (2F7/2), e vengono quindi eccitati al livello 2F5/2. Gli ioni Yb3+
eccitati (donori) trasferiscono energia, mediante un processo di cross-relaxation, agli
ioni Er3+ (accettori) nel ground-state del sistema erbio, i quali a loro volta vengono
eccitati al livello di pompa 4I11/2 (vedi Fig. 5.2). Il tempo di vita medio di questo livello
è relativamente breve, causando un decadimento non radiativo verso il livello
metastabile 4I13/2. Questo fatto permette di trascurare il trasferimento inverso di
energia dal sistema erbio verso il sistema itterbio. Si può notare come per un
pompaggio a p = 0.98 m ci sia un pompaggio diretto e indiretto, attraverso l’itterbio,
degli ioni di Er3+ verso il livello laser superiore.
Il sistema di equazioni che riguardano l’evolvere nel tempo delle densità di
popolazione del sistema accoppiato Er3+-Yb3+è simile a quello trovato per il solo erbio
26
salvo considerare in più gli effetti di cross-relaxation tra gli ioni di erbio e gli ioni del
sistema erbio-itterbio.
Le rate equations descrittive del sistema erbio, modificate tramite coefficienti che
tengano conto delle interazione con il codrogante itterbio sono:
N1
N
GSA
E
GSA
 WsGSA  N1  WsE  N 2  2  Wase
, s  N1  Wase, s  N 2  W p, Er  N1 
t
 21
(35.2)
 C14  N1  N 4  Cup  N 22  C3  N32  ktr N1  N6
N 2 N 3
N
GSA
E

 WsGSA  N1  WsE  N 2  2  Wase
,s  N1  Wase,s  N 2 
t
 32
 21
(36.2)
 2  C14  N1  N 4  2  Cup  N 22
N 3
N
N
 W pGSA
 N1  3  4  2  C3  N 32  K tr  N1  N 6
,
Er
t
 32  43
(37.2)
N 4
N
  4  Cup  N 22  C3  N 32  C14  N1  N 4
t
 43
(38.2)
cui si aggiunge la legge di conservazione:
N Er  N1  N 2  N 3  N 4
(39.2)
Le rate equations descrittive del sistema itterbio sono invece:
N 5
N6
 W pGSA

N

 W pE,Yb  N 6  K tr  N1  N 6
5
,
Yb
t
 65
(40.2)
N 6
N
 W pGSA
 N 5  6  W pE,Yb  N 6  K tr  N1  N 6
,
Yb
t
 65
(41.2)
cui si deve aggiungere la legge di conservazione:
NYb  N 5  N 6
(42.2)
27
ove N1, N2, N3, N4 sono le concentrazione di elettroni degli ioni Er3+ sui livelli 4I15/2.,
4
I13/2., 4I11/2., 4I11/2, rispettivamente, ed N5 e N6 sono le concentrazione di elettroni degli
ioni Yb3+ sui livelli 2F7/2. 2F5/2, rispettivamente. NEr ed NYb rappresentano le
concentrazioni totali di ioni erbio ed ioni itterbio rispettivamente; tenendo presente la
(10.2), 1 e 1 sono i tassi di emissione spontanea, 1 e 1 sono i tassi di transizione
 21
 32
 65
 43
non radiativa ,C3 e Cup sono i coefficienti di up-conversion mentre C14 e Ktr
rappresentano i coefficienti di cross relaxation. I termini WsGSA e WsE rappresentano i
tassi di assorbimento e di emissione del segnale, già definiti nelle (12.2) e (13.2)
rispettivamente, Wp,ErGSA è il tasso di assorbimento di pompa del sistema erbio dato dalla
(11.2), mentre Wp,YbGSA e Wp,YbE sono i tassi di assorbimento di pompa e di emissione di
pompa rispettivamente, del sistema itterbio che il base alla (7.2) sono dati da:
W pGSA
,Yb ( x, y, z )   56 ( p ) 
W pE,Yb ( x,
y, z )   65 ( p ) 
Pp ( z, p )  E ( x, y, p )
2
(43.2)
h p
Pp ( z, p )  E ( x, y, p )
h p
2
(44.2)
essendo 56(p) e 65(p) le cross section di assorbimento e di emissione alla frequenza
della pompa del sistema itterbio.
Wsse,sGSA e Wsse,sE sono i tassi di transizione del rumore ASE del segnale laser
rispettivamente in assorbimento e in emissione definiti dalle (15.2) e (16.2)
rispettivamente.
Particolare attenzione bisogna prestare al rapporto tra le concentrazioni di erbio e
concentrazione di itterbio: NYb(x,y)/NEr(x,y). Se tale rapporto è troppo piccolo si
potrebbero formare ‘Er3+ clusters’, e il trasferimento energetico tra Yb3+ e Er3+ non
sarebbe molto efficiente. D’altro canto, se il rapporto fosse troppo elevato il modello
dovrebbe portare in conto la formazione di ‘Yb clusters’, nei quali non c’è
trasferimento di energia verso l’erbio; questo effetto porterebbe ad uno spreco
dell’energia di pompa con conseguente riduzione dell’efficienza dell’amplificatore.
Rapporti tipici prevedono una concentrazione di itterbio da 1a 10 volte superiore a
quella dell’erbio [26].
28
Per quanto riguarda il rumore ASE pompa per il sistema erbio, e il quindi tasso di
emissione del rumore ASE di pompa Wsse,pE e il tasso di assorbimento del rumore ASE di
pompa Wsse,pGSA, seguendo il discorso fatto in precedenza verrà ritenuto trascurabile, cosi
come si considererà trascurabile il rumore ASE di pompa nella banda dell’itterbio in
quanto in quest’ultimo si è trovata una potenza di rumore ASE totale dissipata al di
sotto di 1 [mW] [15], a cui si aggiunge il fatto che si considera il livello metastabile
dell’itterbio scarsamente popolato cioè (n6< n5) [4], [16]
Le equazioni di propagazione della potenza da affiancare alle rate equations, tenendo
presenti la (26.2) e la (28.2), sono per il segnale di pompa:
dPp
dz


( z, p )   Pp ( z, p )   13 ( p )  N1( x, y, z )   56 ( p )  N5 ( x, y, z )   65 ( p )  N6 ( x, y, z )  E ( x, y, )  dxdy 


2
A
  Er ( p )  Yb ( p )  Pp ( z, p )
(45.2)
Il segnale è amplificato nella direzione positiva dell’asse della guida secondo:
dPs
2
( z, s )  Ps ( z, s )    21( s )  N 2 ( x, y, z )  12 ( s )  N1( x, y, z ) E ( x, y, )  dxdy 
dz
A
  Er ( s )  Yb ( s )   Ps ( z, s )
(46.2)
Le equazione differenziali che regolano la propagazione della densità spettrale del
rumore ASE propagante, S+ASE, e del rumore ASE contropropagante, S-ASE sono date da:

dS ASE
dz

( z, )  S ASE
( z, )    21 ( )  N 2 ( x, y, z )   12 ( )  N1 ( x, y, z ) E ( x, y, )  dxdy 
2
A

 2  h    21 ( )   E ( x, y, )  N 2 ( x, y, z ) dxd   Er ( )   Yb ( )   S ASE
( z , )
2
A
(47.2)
29

dS ASE
2

( z, )   S ASE
( z, )    21 ( )  N 2 ( x, y, z )   12 ( )  N1 ( x, y, z ) E ( x, y, )  dxdy 
dz
A
2

 2  h    21 ( )   E ( x, y, )  N 2 ( x, y, z ) dxd   Er ( )   Yb ( )   S ASE
( z , )
A
(48.2)
Sfruttando la (33.2) possiamo riscrivere anche queste equazioni in modo da poterle
facilmente implementare nel codice numerico.

dPp

( z, p )    13 ( p )  n1 ( z, p )   56 ( p )  n5 ( z, p )   65 ( p )  n6 ( z, p )  Pp ( z, p ) 
dz
  Er ( p )   Yb ( p )  Pp ( z, p )


dPs
( z, s )   21( s )  n2 ( z, s )  12 ( z )  n1( z, s ) Ps ( z, s )   Er ( s )  Yb( s )  Ps ( z, s )
dz

dS ASE
( z , )
dz

  21 ( )  n 2 ( z, )   12 ( )  n1 ( z, ) S ASE
( z, )  2  h    21 ( )  n 2 ( z, ) 

  Er ( )   Yb ( )   S ASE
( z, )

dS ASE

( z, )   21 ( )  n 2 ( z, )   12 ( )  n1 ( z, ) S ASE
( z, )  2  h    21 ( )  n 2 ( z, ) 
dz

  Er ( )   Yb ( )   S ASE
( z , )
(49.2)
La (48.2) rappresenta il sistema di equazioni integro-differenziali da risolvere per
determinare l’andamento delle potenze dei segnali che si propagano all’interno della
guida attiva.
1.8 Determinazione della figura di rumore
La figura di rumore, insieme al guadagno, costituisce un altro fondamentale
parametro di cui tener conto nella progettazione di una amplificatore ottico.
30
Per evitare di dover in ogni caso specificare le proprietà statistiche del segnale o i
limiti fisici imposti dalla larghezza di banda del filtro, la figura di rumore,
denotata con F, viene definita nel caso ideale di un segnale di ingresso coerente e
per un ricevitore dalla banda infinitesima attorno alla frequenza ottica del segnale
utile, a lunghezza d’onda, nel nostro caso pari a λs=1.53 μm, [1 ].
In una guida d’onda attiva drogata con terre rare, la figura di rumore è
strettamente correlata ad una corretta valutazione del rumore ASE propagante, quello
comunemente chiamato ASE+, e alla valutazione del guadagno dell’amplificatore.
La definizione della figura di rumore per un qualunque amplificatore può essere definita
dal rapporto tra segnale-rumore in ingresso all’amplificatore e segnale-rumore in
uscita dall’amplificatore:
F
SNRin
SNRout
(50.2)
La (50.2) spiega come, propagandosi il segnale utile attraverso la guida, si deteriori il
rapporto segnale–rumore, SNR, a causa della natura stocastica delle interazioni tra i
fotoni e gli ioni del materiale drogante.
In condizioni di validità del limite teorico, quando cioè un filtro con banda
infinitesima centrata attorno alla frequenza del segnale utile è applicato all’uscita
dell’amplificatore, si può dimostrare [1], che la varianza, Vs, della potenza del segnale
può essere trovata risolvendo l’equazione:
dV s
 2  [ e ( , z )   a ( , z )] V s( z )  [ e ( , z )   a ( , z )]  Ps ( z )
dz
(51.2)
dove:
 e   21 ( )   E ( x, y, )  N 2 ( x, y, z ) dxdy
2
(52.2)
A
 a   12 ( )   E ( x, y, )  N1 ( x, y, z ) dxdy
2
A
31
(53.2)
rappresentano i fattori di emissione, e, e di assorbimento, e, dati dal prodotto tra le
rispettive cross sections di emissione e assorbimento per l’integrale di sovrapposizione,
(33.2), mentre la potenza del segnale, Ps(z), è data dalla risoluzione della (26.2), la quale
considerando la (52.2) e la (53.2) può essere riscritta nel seguente modo:
dP s
(54.2)
 [ e ( s , z )   a ( s , z )]  Ps ( z )
dz
La figura di rumore è definita nel caso ideale di un segnale di ingresso coerente
(Vs(0)=Ps(0)), e se L è la lunghezza totale del nostro amplificatore, la (50.2) può scritta
nel seguente modo:
F
( Ps (0)) 2 / Vs (0)
2
( Ps ( L)) / Vs ( L)
 Ps (0) 
V s ( L)
(55.2)
( Ps ( L)) 2
Utilizzando la (51.2) e la (54.2), F può essere riscritta nella forma:
F 
 [ e ( , z )   a ( , z )]
0
Ps ( z )
 Ps (0)dz  1
(56.2)
Per illustrare la stretta relazione esistente tra la figura di rumore e la densità spettrale di
potenza del rumore ASE propagante, ASE+, è utile definire la quantità p(z):
 V ( z) 
p( z )  h s   s
 1
 Ps ( z ) 
(57.2)
Derivando la precedente equazione lungo la direzione di propagazione, ed utilizzando la
(51.2) e la (54.2) si ottiene:
dp( z )
 h s
dz
 V ( z)  d 
V ( z) 
  log e s 
  s
Ps ( z ) 
 Ps ( z )  dz 
(58.2)
che quindi dà:
32
dp( z )
 h s
dz
 V ( z) 
  [ e ( , z )   a ( , z )] V s( z )  h s  [ e ( , z )   a ( , z )]
  s
P
(
z
)
s


(59.2)
Combinando la (57.2) e la (59.2) si ottiene infine che:
dp( z )
 [ e ( , z )   a ( , z )]  p( z )  2h s   e ( , z )
dz
(60.2)
Se adesso si compara l’ultima espressione trovata con la (31.2) o con la (47.2), si può
facilmente osservare che la p(z) e la SASE+ sono soluzioni della stessa equazione
differenziale; e poiché entrambe le quantità si annullano per z=0, si ricava dunque la
seguente identità:
 V ( L) 

S ASe
( s , L)  p( L)  h s   s
 1
 Ps ( L) 
(61.2)
Quest’ultima equazione ci conduce ad una corrispondenza diretta tra la figura di
rumore, il guadagno e la densità spettrale di potenza del rumore ASE propagante
alla frequenza del segnale:

1  S ASE ( s , L) 
F 
1

G 
h s


(62.2)
dove G è il guadagno dell’amplificatore. La figura di rumore può dunque essere
interpretata come una misura della densità spettrale del rumore ASE intorno alla
frequenza del segnale utile [1].
Dalla (56.2) si può osservare che quanto più il segnale aumenta all’inizio
dell’amplificatore tanto più si abbassa la figura di rumore, per cui dalla (62.2) ,la densità
spettrale di potenza del rumore ASE propagante diminuisce.
33