Morabito PRova in itinere 2016

Teoria dei segnali
Prova in Itinere del 06/05/2016
Identificativo compito: WDAXWR
Esercizio 1
In una classe ci sono 100 studenti. Di questi 70 hanno i capelli castani, 25 li hanno biondi, e 5 rossi.
Vengono scelti a caso tre di questi studenti. Si calcoli la probabilità che: (a) tutti e tre abbiano i capelli
castani, (b) almeno uno abbia i capelli biondi, (c) due (e solo due) abbiano i capelli castani.
Esercizio 2
Sia X la variabile aleatoria la cui funzione densità di probabilità è data da:
𝑘 𝑠𝑒 |𝑥| ∈ [1,2]
𝑓𝑋 (𝑥) = {
0
𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒
e sia Y definita come 𝑌 = |𝑋| + 1. Calcolare (a) la varianza di X, (b) la densità di probabilità della Y, (c)
il valore atteso della Y.
Domanda 1
Esperimenti aleatori con prove ripetute (assunzioni, definizioni, esempi, caratterizzazione)
Domanda 2
La variabile aleatoria uniforme (definizione, esempi, distribuzione cumulative di probabilità, densità di
probabilità, valore atteso, varianza)
Note:
1. Scrivere su ogni foglio chiaramente in stampatello il proprio cognome, nome, numero di
matricola e l’identificativo del compito.
2. E’ consentito usare un formulario redatto a mano su un foglio protocollo che dovrà essere
esposto sul banco.
3. Per superare la prova è necessario avere almeno un punteggio di 8 (su 20) negli esercizi.
4. Il testo del compito va consegnato insieme a tutti i utilizzati in cui avrete indicato in modo
chiaro la brutta copia.
5. Durante l’esame non è consentito parlare con i colleghi.
Teoria dei segnali
Prova in Itinere del 06/05/2016
Identificativo compito: XSBXWR
Esercizio 1
Ci sono due urne che indicheremo con A e B. Nell’urna A ci sono 80 palline rosse e 20 nere, nell’urna B
ci sono 50 palline rosse e 50 nere.
Scelta a caso un’urna vengono estratte tre palline. Calcolare la (a) probabilità che tutte e tre le palline
siano rosse, (b) la probabilità di estrarre due palline rosse e una nera, (c) la probabilità che, accertato
che le tre palline selezionate siano nere, l’urna scelta sia la A.
Esercizio 2
Sia X la variabile aleatoria la cui funzione densità di probabilità è data da:
𝑘∙𝑥
𝑠𝑒 𝑥 ∈ [0,1]
𝑓𝑋 (𝑥) = {𝑘(2 − 𝑥)
𝑠𝑒 𝑥[1,2]
0
𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒
e sia Y definita come 𝑌 = 1 − 𝑋. Calcolare (a) la varianza di X, (b) la densità di probabilità della Y, (c) il
valore atteso della Y.
Domanda 1
Teorema di probabilità totale.
Domanda 2
La variabile aleatoria esponenziale (definizione, esempi, distribuzione cumulative di probabilità,
densità di probabilità, valore atteso, varianza)
Note:
1. Scrivere su ogni foglio chiaramente in stampatello il proprio cognome, nome, numero di
matricola e l’identificativo del compito.
2. E’ consentito usare un formulario redatto a mano su un foglio protocollo che dovrà essere
esposto sul banco.
3. Per superare la prova è necessario avere almeno un punteggio di 8 (su 20) negli esercizi.
4. Il testo del compito va consegnato insieme a tutti i utilizzati in cui avrete indicato in modo
chiaro la brutta copia.
5. Durante l’esame non è consentito parlare con i colleghi.
Teoria dei segnali
Prova in Itinere del 06/05/2016
Identificativo compito: TSCXAR
Esercizio 1
Ci sono due monete che indicheremo con A e B. La moneta A è bilanciata, la moneta B è truccata (il
75% delle volte esce testa). Presa una moneta a caso questa viene lanciata. Calcolare (a) la probabilità
che al primo lancio esca testa, (b) la probabilità che se al primo lancio esce testa la moneta sia la A, (c)
la probabilità che se su tre lanci esce sempre testa la moneta scelta sia la A.
Esercizio 2
Sia X la variabile aleatoria la cui funzione densità di probabilità è data da:
−𝑘 ∙ 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [−1,0]
(𝑥)
𝑓𝑋
={ 𝑘∙𝑥
𝑠𝑒 𝑥[0,1]
0
𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒
e sia Y definita come 𝑌 = 1 − |𝑋|. Calcolare (a) la varianza di X, (b) la densità di probabilità della Y, (c)
il valore atteso della Y.
Domanda 1
Definizione delle leggi di probabilità secondo Kolmogorov (assiomi e proprietà)
Domanda 2
Teorema fondamentale di trasformazione delle variabili aleatorie.
Note:
1. Scrivere su ogni foglio chiaramente in stampatello il proprio cognome, nome, numero di
matricola e l’identificativo del compito.
2. E’ consentito usare un formulario redatto a mano su un foglio protocollo che dovrà essere
esposto sul banco.
3. Per superare la prova è necessario avere almeno un punteggio di 8 (su 20) negli esercizi.
4. Il testo del compito va consegnato insieme a tutti i utilizzati in cui avrete indicato in modo
chiaro la brutta copia.
5. Durante l’esame non è consentito parlare con i colleghi.