Fisica III
A.A. 2016-17
Checklist - Domande ed esercizi
versione del 7 dicembre 2016
(versione PROVVISORIA)
1. Prerequisiti (lista non esaustiva)
1.a.1.
1.a.2.
1.a.3.
1.a.4.
1.a.5.
1.a.6.
1.a.7.
1.a.8.
1.a.9.
1.a.10.
1.a.11.
1.a.12.
1.a.13.
1.a.14.
1.a.15.
Dare la definizione definizione di 4-vettore covariante e controvariante
Definire le quantità β e γ
Definire il prodotto scalare di due 4-vettori
Definire il modulo di un 4-vettore
Scrivere le trasformazioni di Lorentz per il boost lungo un asse (asse x)
Dare la definizone di posizione spazio-temporale di un punto
Definire le derivate in 4-dimensioni, la quadridivergenza, il differenziale di uno
scalare di Lorentz, l’operatore di D’Alembert
Definire il tempo proprio e ricavare la relazione (differenzale) fra tempo proprio
e tempo nel sistema in cui si osserva il moto
Dare la definizione di invariante di Lorentz
Definire la 4-velocità ed il 4-impulso, dire le loro unità di misura nei sistemi
MKS e ! = c = 1 , dimostrare che il loro modulo è costante.
Enunciare la legge di conservazione del 4-impulso e fornire una applicazione
Definire la 4-accelerazione e la 4-forza
Scrivere la legge di Newton (tridimensionale e l’estensione quadridimensionale)
nell’ambito della relatività speciale
Definire un tensore covariante di rango 2
Definire la traccia di un tensore di rango 2
1.a.16. Definire il tensore metrico gµν
1.a.17. Dare la definizione di tensore antisimmetrico di rango 2 ed indicare quali dei suoi
elementi siano le componenti di un vettore polare e quali quelle di un vettore
assiale tridimensionale
1.a.18. Definire quando una certa legge fisica è scritta in forma "relativisticamente
covariante".
1.a.19. Quanto valgono, in unità MKS o in altri sistema di misura comunemente
utilizzati, le costanti: c, ε0, µ0, e2/4π, ! ?
1.a.20. Quanto vale la costante !c in eVxnm e in MeVxfm ?
1.a.21. Spiegare la differenza fra le seguenti categorie di fotoni: infrarossi – visibili –
ultravioletti – raggi X – raggi γ .
1.a.22. Quanto vale la massa del fotone reale?
1.a.23. Quanto vale la carica elettrica dell’elettrone e del protone (in MKS)?
1.a.24. Quanto vale la costante di struttura fine (α)?
1
1.a.25. Quanto valgono la massa dell’elettrone e del protone (in MKS e in MeV/c2)?
1.a.26. Quanto vale la differenza fra la massa del neutrone e la somma della massa del
protone e dell’elettrone?
1.a.27. Quanto è l’ordine di grandezza dell’energia media di legame di un elettrone
all’interno di un atomo?
1.a.28. Spiegare la differenza fra ottica fisica ed ottica geometrica
1.a.29. Esprimere tutte le relazioni fra campo elettrico, magnetico e direzione di
propagazione di un’onda e.m. piana.
1.a.30. Dare la definizione di onda piana e.m. monocromatica e delle seguenti quantita’:
ampiezza, frequenza angolare, vettore d’onda, frequenza, periodo, lunghezza
d’onda, velocita’ di fase.
1.a.31. Definire la velocita’ di gruppo per un’onda e.m. e spiegarne il suo significato
fisico.
1.a.32. Definire la polarizzazione di un’onda e.m.
1.a.33. Scrivere l‘espressione piu’ generale per il campo elettrico di un’onda e.m. piana
monocromatica, tenendo conto della polarizzazione, sia utilizzando solo numeri
reali, sia utilizzando numeri complessi.
1.a.34. Definire le polarizzazioni lineare, circolare ed ellittica per un’onda e.m.
µ
1.a.35. Definire il 4-vettore d’onda k .
1.a.36. Enunciare il Principio di Huygens.
1.b.1. Ricavare la legge relativistica di composizione delle velocità
1.b.2. Dimostrare che il modulo di un 4-vettore ed il prodotto di due 4-vettori sono
invarianti di Lorentz
1.b.3. Spiegare qualitativamente il “paradosso dei gemelli”
1.b.4. Se non esistessero gli effetti dovuto alla relatività generale, calcolare quanto
differirebbe in un anno il tempo misurato da un orologio alla superficie terrestre
da uno che si trovi su: i) un satellite geostazionario ii) un satellite per GPS
1.b.5. Dimostrare che le derivate in 4-dimensioni sono covarianti (o controvarianti)
1.b.6. Dimostrare che l’operatore di D’Alembert è un invariante di Lorentz
1.b.7. Calcolare la 4-accelerazione di un punto in funzione della velocità e della
accelerazione tridimensionali
1.b.8. Dimostrare che 4-accelerazione e 4-velocità sono perpendicolari
1.b.9. Calcolare la 4-forza su un punto in funzione della velocità e della forza
tridimensionali
1.b.10. Dimostrare che la traccia di un tensore di rango 2 è un invariante di Lorentz
1.b.11. Scrivere le trasformazioni per rotazioni tridimensionali delle componenti di un
tensore di rango 2
1.b.12. Calcolare, a partire dalle EDM, la velocita’ delle onde elettromagnetiche in un
mezzo omogeneo, lineare ed isotropo.
1.b.13. Determinare la soluzione piu’ generale possibile per onde e.m. piane in un mezzo
lineare, omogeneo, isotropo e non dispersivo, spiegando il ruolo di quest’ultima
ipotesi.
2
1.c.1. Scrivere la più generale trasformazione di Lorentz e dimostrare che essa lascia
invariato l'elemento di quadri-volume.
1.c.2. Dare la definizione del tensore di rango 4 completamente antisimmetrico (detto
anche "tensore (o densità) di Levi-Civita").
2. Indagine della materia tramite collisioni e decadimenti di particelle
2.a.1. Esprimere la sezione d’urto per particelle puntiformi in funzione del numero di
eventi osservati per unita’ di tempo e per unita’ di volume, della concentrazione
delle particellle interagenti e della loro velocita’ relativa
2.a.2. Esprimere la sezione d’urto nel caso di un sottile fascio di particelle incidente su
una lastra contenente i bersagli [NB: i dati sono il flusso di particelle incidenti, la
densita’ superficiale dei bersagli, la frequenza di eventi osservati]
2.a.3. Esprimere la sezione d’urto nel caso di particelle incidenti su un unico bersaglio
[NB: i dati sono la corrente di particelle incidenti e la frequenza di eventi
osservati]
2.a.4. Esprimere la sezione d’urto nel caso particolare di un’onda incidente su un unico
bersaglio
2.a.5. Scrivere l’elemento infinitesimo dello spazio dei 4-impulsi di N particelle
emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopo il decadimento di una
particella] ed indicare i vincoli esistenti.
2.a.6. Definire la funzione di distribuzione esclusiva dei 4-impulsi delle particelle
emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopo il decadimento di una
particella].
2.a.7. Quali sono gli ordini di grandezza tipici delle sezioni d’urto delle interazioni forti
e delle interazioni deboli?
2.a.8. Dare la definizione di sezione d’urto totale, sezione d’urto differenziale inclusiva,
sezione d’urto differenziale esclusiva
2.a.9. Dare la definizione di larghezza e di vita media per il decadimento di una
particella
2.a.10. Dare la definizione di rapporto di decadimento (“Branching fraction” o
“Branching ratio”)
2.a.11. Quali sono, approssimativamente, gli ordini di grandezza delle vite medie dovute
ad interazioni deboli, elettromagnetiche, forti?
2.a.12. Quante sono le variabili indipendenti nello stato finale di una reazione in cui due
particelle collidono ed N particelle sono prodotte?
2.a.13. Quante sono le variabili indipendenti nello stato finale di una reazione in cui una
particella decade in due particelle? E' rilevante il fatto che la particella che
decade abbia un momento angolare non nullo?
2.a.14. Quante sono le variabili indipendenti nello stato finale di una reazione in cui una
particella decade in tre particelle? E' rilevante il fatto che la particella che decade
abbia un momento angolare non nullo?
2.a.15. Spiegare le variabili utilizzate nel "Dalitz plot"
2.a.16. Spiegare il metodo della ‘massa invariante’ per identificare una particella instabile
e misurarne la sua massa
3
2.a.17. Che cosa sono le quantità che in un nucleo usualmente si indicano con A, Z, N ?
(simbologia ZA X N )
2.a.18. Dare la definizione di nuclei isotopi, isobari, isotoni, stabili, instabili.
2.a.19. Spiegare qualitativamente l’effetto fotoelettrico e lo scattering Compton,
indicandone le differenti caratteristiche
2.a.20. Spiegare qualitativamente lo scattering Rayleigh
2.a.21. Spiegare qualitativamente il fenomeno della creazione di coppie e+e- da parte di
un raggio gamma che incide su un atomo.
2.a.22. Discutere qualitativamente le osservazioni sperimentali dello scattering di
Rutherford
2.a.23. Fornire (senza dimostrazione) le espressioni delle sezioni d’urto differenziali
(dσ/dΩ) Rutherford e Mott
2.a.24. Come è definita l’unità di massa atomica e quanto vale (in MeV/c2)?
2.a.25. Come sono definiti l’energia di legame (B) di un atomo ed il “difetto di massa”
(Δ) di un atomo ?
2.a.26. Quanto è l’ordine di grandezza dell’energia media di legame di un nucleone
all’interno di un nucleo?
2.a.27. Su quali ipotesi si basa il modello “a goccia” di un nucleo?
2.a.28. Enunciare la formula semiempirica B = B(A,Z) ed indicarne i termini che sono
spiegati dal modello a goccia
2.a.29. Definire i decadimenti α, β , γ e il decadimento tramite cattura elettronica in un
nucleo.
2.a.30. Definire il Q-valore di una reazione nucleare.
−
2.a.31. Definire il Q-valore per il decadimento β+, β , e per la cattura elettronica.
2.a.32. Come si e' arrivati alla conclusione che nel decadimento beta deve essere emessa
una particella neutra non rivelata?
+
2.a.33. Dire quali fra le seguenti particelle sono soggette ad interazioni forti: p, p , π ,
−
+ −
+ π , µ , µ , e , e , α, nucleo di Azoto, υ , υ .
2.b.1. Calcolare l’energia che dovrebbe avere un protone che incide su un protone fermo
per ottenere una energia nel centro di massa pari a quella di LHC (14TeV)
+
−
2.b.2. Calcolare l’energia di soglia della reazione e + e → p + p in cui le due
particelle incidenti collidono con 3-impulsi uguali ed opposti
2.b.3. Calcolare l’energia di soglia nel laboratorio per le seguenti reazioni (la seconda
particella è inizialmente ferma):
•
γ + 16O → e+ + e− + 16O
•
•
γ + e− → e− + e+ + e−
p+ p → p+ p+ p+ p
•
p + 16O → p + p + p + 16O
•
e+ + e− → p + p
4
•
e− + p → n + ν e
•
ν e + p → n + e+
!
d3p
2.b.4. Dimostrare che 2E è un invariante relativistico effettuando esplicitamente la
trasformazione di Lorentz (si consideri il boost lungo un asse, p. es. l'asse x)
!
d3p
2.b.5. Dimostrare che d pδ p − m θ (p0 ) = 2E e sfruttare questo risultato per
4
(
2
2
)
semplificare la scrittura dell’elemento infinitesimo dello spazio dei 4-impulsi di N
particelle emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopo il
decadimento di una particella]
2.b.6. Dimostrare che nel centro di massa l’elemento infinitesimo dello spazio dei 4!
pCM
impulsi, nel caso di 2 sole particelle nello stato finale, si scrive come 4 s dΩCM .
2.b.7. Nel caso di 3 particelle nello stato finale di una reazione, dimostrare che fra il
quadrato della massa invariante di due di esse e l'energia della terza (nel centro di
massa) sussite una relazone lineare.
!
3
!
2.b.8. Come si trasforma una funzione di distribuzione del 3-impulso f ( p) d p di una
particella per una trasformazione di Lorentz?
2.b.9. Come si trasforma una funzione di distribuzione nello spazio delle fasi
! !
! !
f ( p, r ) d 3 p d 3r di una particella per una trasformazione di Lorentz?
2.b.10. Cercando i dati delle sezioni d’urto totali nelle apposite figure o tabelle (reperibili
anche nella compilazione Particle Data Group http://pdg.lbl.gov ) si calcoli la
probabilita’ di interazione di:
• un fotone da 1 MeV che incida su 1 mm di grafite
• un fotone da 10 MeV che incida su 1 mm di Piombo
• un fotone da 50 KeV che incida su 1 µm di Piombo
• un neutrino da 100 GeV che incida su 1 km di grafite
• un protone da 100 GeV che incida su 1 cm di grafite
2.b.11. Calcolare la probabilita’ che un neutrino interagisca nell’attraversare la Terra
lungo un diametro. Nota: sia assuma che l’energia del neutrino sia tale che la
sezione d’urto totale su un singolo nucleone sia 1fb.
2.b.12. Dimostrare che se la probabilita’ di decadimento di una particella non dipende dal
tempo, la probabilita’ di trovare la particella non decaduta al tempo t segue una
legge esponenziale.
2.b.13. Pioni neutri, di energia E nel sistema del laboratorio, decadono in due fotoni. La
distribuzione è isotropa ne centro di massa. Si calcoli: i) la distribuzione
dell’energia di uno dei due fotoni nel laboratorio; ii) gli angoli, rispetto alla
direzione di volo del pione, dei due fotoni nel sistema del laboratorio in funzione
dell’angolo nel sistema del centro di massa; iii) la distribuzione dell’angolo di
uno dei due fotoni nel laboratorio; iv) il seno dell’angolo fra i due fotoni nel
laboratorio in funzione dell’angolo di uno dei due fotoni nel sistema del centro di
5
massa e si produca il relativo grafico per differenti valori dell’energia del pione.
Si calcoli infine l’angolo minimo fra i due fotoni nel laboratorio
2.b.14. Calcolare la funzione di distribuzione in energia ed in angolo nel sistema del
laboratorio di un fascio di neutrini o di muoni prodotto nel decadimento di pioni
carichi di energie, rispettivamente, 1.4 – 14 – 140 GeV.
2.b.15. Dimostrare con calcoli cinematici che nello scattering di Rutherford alcune
particelle α urtano un bersaglio con massa molto maggiore di quella della
particella α stessa
2.b.16. Fornire la relazione tra parametro d'impatto (b) e angolo di scattering (θ) nel caso
di scattering di Rutherford (Coulombiano) e di scattering su sfera rigida
2.b.17. Ricavare la sezione d’urto differenziale dello scattering di Rutherford, sia in
funzione dell’angolo θ sia in funzione del parametro di impatto b
2.b.18. Discutere le differenze tra lo scattering di Rutherford (particelle α) e lo scattering
di elettroni su bersaglio puntiforme.
2.b.19. Dare la definizione di raggio nucleare mediante lo scattering di Rutherford
2.b.20. Qual e' l'andamento delle masse nucleari a parita' di A in funzione di Z?
2.b.21. Valutare la dipendenza da A della sezione d'urto totale forte protone-nucleo.
2.b.22. Dimostrare che in un tipico decadimento α, la particella α emerge con circa il 98
% dell'energia disponibile.
2.b.23. Ricavare la relazione tra il Q-valore ed A per il decadimento α col modello a
goccia del nucleo.
2.b.24. Discutere un plot di Fermi-Kurie per il decadimento β.
2.c.1. Se si suppone che nel decadimento di una particella in tre particelle di massa
trascurabile lo spazio delle fasi sia piatto nelle variabili s12 ed s23, calcolare la
distribuzione in energia (nel centro di massa) di una di esse.
!
d3p
2.c.2. Dimostrare che 2E è un invariante relativistico senza effettuare esplicitamente
la trasformazione di Lorentz e senza utilizzare il fatto che
!
d3p
d pδ p − m θ (p0 ) =
2E è un invariante relativistico, ma utilizzando
4
(
2
2
)
considerazioni di geometria in 4 dimensioni come spiegato nel testo di Landau.
2.c.3. Esprimere la sezione d’urto per particelle puntiformi in funzione del numero di
eventi osservati per unita’ di tempo e per unita’ di volume, della concentrazione
delle particelle interagenti e delle loro velocita’ in un sistema di riferimento
arbitrario.
2.c.4. Ricavare un plot di Fermi-Kurie per il decadimento β.
3. Elettromagnetismo classico
3.a.1. Dare la definizione di quadri-corrente e di quadri-potenziale del campo
elettromagnetico.
6
3.a.2. Dare la definizione del tensore del campo elettromagnetico e saper scrivere le sue
componenti.
3.a.3. Scrivere le equazioni di Maxwell (sia quelle non omogenee che quelle omogenee)
in forma covariante.
3.a.4. Scrivere l'equazione di continuità per la quadri-corrente in forma covariante (e
verificarne la consistenza con le equazioni di Maxwell).
3.a.5. Scrivere una generica "trasformazione di gauge" del quadri potenziale (e
verificare la "invarianza di gauge" dell'elettromagnetismo) in forma covariante.
3.a.6. Dare la definizione di "gauge di Lorenz", "gauge di Coulomb", "gauge temporale"
e "gauge assiale".
3.a.7. Scrivere la legge di trasformazione di Lorentz del campo elettrico e del campo
magnetico (distinguendo fra componenti parallele e componenti perpendicolari al
"boost").
3.a.8. Scrivere in forma covariante l'equazione del moto di una carica in un campo
elettromagnetico esterno ("(quadri-)forza di Lorentz").
3.a.9. Dare la definizione del quadri-vettore "densità di forza di Lorentz" e saperne
scrivere le componenti.
3.a.10. Dare la definizione del "tensore energia-impulso" del campo elettromagnetico e
scrivere la sua relazione con la "densità di forza di Lorentz".
3.a.11. Dare la definizione della "densità di energia" del campo elettromagnetico, del
"vettore di Poynting" e del "tensore degli sforzi di Maxwell".
3.a.12. Dire come si generalizzano i teoremi di conservazione dell'energia e dell'impulso
a situazioni in cui sia presente un campo elettromagnetico.
3.a.13. Esprimere la densita’ di energia di un’onda e.m. piana in funzione dei campi
elettrico e/o magnetico
3.a.14. Dare la definizione ed esprimere il vettore di Poynting di un’onda e.m. piana in
funzione del campo elettrico e/o magnetico.
3.a.15. Esprimere la pressione (di radiazione) che un campo e.m. esercita su una
superficie piana.
3.a.16. Scrivere il tensore degli sforzi per un’onda e.m. piana che si propaga in una
direzione n̂ .
3.a.17. Calcolare la forza esercitata su una superficie piana da parte di un’onda e.m. piana
che in parte viene trasmessa ed in parte viene riflessa.
3.a.18. Esprimere il 4-tensore impulso-energia per un’onda e.m. piana monocromatica
µ
utilizzando i 4-tensore k . Scrivere esplicitamente la matrice 4x4 del tensore per
un’onda che si propaga lungo l’asse x e con densita’ di energia uem.
3.a.19. Ricavare le espressioni dell’effetto Doppler relativistico (calcolo della frequenza e
dell’angolo misurati dal rivelatore nel caso di moto relativo fra sorgente e
rivelatore stesso).
!
3.a.20. Ricavare e scrivere l’espressione per i potenziali ritardati (φ ed A ) per una
!
qualunque distribuzione di cariche (ρ) e correnti ( j ).
dt
!
3.a.21. Dimostrare l’espressione dt ' = 1− n̂ ⋅ β , dove t e t’ sono il tempo di osservazione ed
il tempo ‘ritardato’, rispettivamente.
7
!
3.a.22. Ricavare e scrivere l’espressione per i potenziali di Lienard-Wiechert (φ ed A per
una carica puntiforme in moto arbitrario).
3.a.23. Spiegare tutti i termini dell’espressione
! !" ⎤
⎡
!
n̂ ∧ ⎡⎢ n̂ − β ∧ β ⎤⎥⎥
! ⎢q
n̂ − β
q
⎣
⎦
E =⎢ 2
! 3+
!3 ⎥
2
Rc
1− n̂ ⋅ β
⎢ R γ 1− n̂ ⋅ β
⎥
⎣
⎦t '=t−R/c
(
(
)
)
)
(
per il
campo elettrico generato da una carica puntiforme in moto arbitrario.
3.a.24. Quanto vale il campo magnetico generato da una carica puntiforme in moto
arbitrario?
3.a.25. Calcolare la distribuzione in potenza in funzione dell’angolo di emissione per una
carica accelerata in moto non relativistico.
3.a.26. Dare la definizione di “solido di radiazione” e di “diagramma di radiazione” per
una carica accelerata
3.a.27. Calcolare la potenza totale irraggiata da una carica accelerata in moto non
relativistico. Esprimere i risultati in MKSA e nelle unita’ “naturali”.
2 q2
(
!2
!
!2
6
3.a.28. Ricavare la formula di Larmor relativistica P = 3 c3 γ a − a ∧ β
dP
!2
q2 a
)
sin 2 ϑ
3.a.29. Dimostrare che dΩ = 16π 2ε c3 1− β cosϑ 5 e’ la potenza (MKSA) irraggiata da una
(
)
o
carica accelerata su una traiettoria rettilinea in funzione dell’angolo di emissione.
3.a.30. Dimostrare che la radiazione di sincrotrone ha uno spettro di emissione con una
frequenza “critica” ωC ≈ ω oγ 3
3.a.31. Dare la definizione di interferenza e diffrazione.
3.a.32. Dare la definizione di interferenza costruttiva e distruttiva.
3.a.33. Calcolare il pattern di interferenza per 2 sorgenti equispaziate.
3.a.34. Descrivere qualitativamente l'andamento dell'intensita' in funzione dell'angolo
(theta) di diffrazione per un'apertura circolare.
3.a.35. Enunciare il principio di Babinet.
3.a.36. Definire il "fattore di forma" elettromagnetico per una sfera carica.
3.a.37. Quali particelle incidenti e di quale energia si utilizzano per misurare i fattori di
forma nucleari? Come si definisce il raggio nucleare?
3.a.38. Calcolare il fattore di forma per una distribuzione radiale che sia piatta fino ad un
certo raggio, e nulla oltre.
3.a.39. Spiegare qualitativamente il funzionamento di un acceleratore elettrostatico
3.a.40. Spiegare qualitativamente il funzionamento di un acceleratore lineare, indicando
le differenze importanti fra l’accelerazione di elettroni e di protoni
3.a.41. Quali sono, approssimativamente, le energie per unita’ di lunghezza che
attualmente si ottengono nell’accelerazione di protoni con la tecnica delle cavita’
superconduttrici?
3.a.42. Calcolare la velocita’ di un elettrone [e successivamente di un protone] posto in
una struttura acceleratrice che abbia: i) campo elettrico longitudinale costante ii)
campo elettrico longitudinale oscillante. Inserendo valori numerici ragionevoli,
calcolare il tempo affinche la particella, partendo da ferma, raggiunga una energia
pari al doppio della sua massa a riposo
8
! ! ! !
3.b.1. Date le definizioni ‘standard’ delle variabili n̂ , β, R, r, r ', t e t ' , dimostrare le
seguenti relazioni:
! !
!
d R⋅β
!
!
! !"
dR
dR
= −β 2 c + R ⋅ β
= −n̂ ∧ β c ,
= −β c ,
dt '
dt '
dt '
(
)
!
n̂
, ∇R = 1− n̂ ⋅ β! ,
!
−n̂ / c
! .
∇t ' =
1− n̂ ⋅ β
3.b.2. Ricavare l’espressione
3.b.3.
3.b.4.
3.b.5.
3.b.6.
3.b.7.
3.b.8.
! !" ⎤
⎡
!
n̂ ∧ ⎡⎢ n̂ − β ∧ β ⎤⎥⎥
! ⎢q
n̂ − β
q
⎣
⎦
E =⎢ 2
! 3+
!3 ⎥
2
R
Rc
1− n̂ ⋅ β
⎢ γ 1− n̂ ⋅ β
⎥
⎣
⎦t '=t−R/c
(
(
)
(
)
)
per il campo elettrico
generato da una carica puntiforme in moto arbitrario a partire dai potenziali
ritardati.
Scrivere le equazioni di Maxwell per i quadri-potenziali in "gauge di Lorentz" e
(più difficile!) in "gauge di Coulomb".
Ricavare esplicitamente le leggi di trasformazione di Lorentz del campo elettrico
e del campo magnetico. Discutere, in particolare, il caso in cui, in un certo
sistema di riferimento inerziale, il campo magnetico è nullo e il caso in cui il
campo elettrico è nullo.
Dire quali sono gli "invarianti di Lorentz" che si possono costruire con il tensore
del campo elettromagnetico e ricavarne le espressioni esplicite in termini dei
campi elettrico e magnetico. Ridiscutere, usando gli invarianti, il caso discusso
nel punto precedente e discutere il caso in cui gli invarianti sono nulli.
Ricavare il campo elettromagnetico creato da una carica in moto uniforme.
Ricavare la relazione fra la densità di forza di Lorentz e il tensore energia-impulso
del campo elettromagnetico.
Ricavare esplicitamente le componenti del tensore energia-impulso del campo
elettromagnetico.
2
dIω
q
=
3.b.9. Dimostrare che dΩ 4π 2 c
∫
2
! !"
n̂ ∧ ⎡⎢ n̂ − β ∧ β ⎤⎥ iω⎛⎜t '− r! '⋅n̂ ⎞⎟
⎣
⎦ ⎝ c⎠
dt '
! 2 e
e’ l’energia per unita’ di
1− n̂ ⋅ β
(
(
)
)
frequenza irraggiata da una carica accelerata in funzione dell’angolo di
emissione.
!
2
!
!
2r
2q
−24
2
3.b.10. Dimostrare che Frad = 3 c3 a" = z meτ e a" , con τ e = 3 ce = 6.2x10 s , e’ la forza di
reazione radiativa ed indicare il campo di applicazione di questa formula.
3.b.11. Integrando l’espressione
!2
q2 a
dP
sin 2 ϑ
=
dΩ 16π 2ε oc 3 (1− β cosϑ )5
, ricavare la potenza totale
irraggiata da una carica accelerata in un acceleratore lineare.
3.b.12. Calcolare, a partire dalla formula di Larmor, la potenza totale dissipata in un
!
dp
acceleratore circolare in funzione di dt .
3.b.13. Calcolare l’energia persa in una rivoluzione per una carica in moto uniforme su
una circonferenza (acceleratore circolare). Calcolare la frazione di energia persa
in un giro rispetto alla sua energia cinetica, effettuando una valutazione numerica
9
trascurabile nel caso di elettroni a LEP (energia 50 GeV, raggio ~4km) o protoni
ad LHC (energia 7 TeV, raggio ~4km)
3.b.14. Calcolare il valore numerico della potenza totale che sarebbe irraggiata da un
elettrone in moto classico circolare uniforme in un atomo di idrogeno. Calcolare il
rapporto fra il valore ottenuto e l’energia cinetica dell’elettrone.
3.b.15. Calcolare la potenza emessa in funzione dell’angolo per una carica oscillante
armonicamente in linea retta (termine di dipolo elettrico)
3.b.16. Calcolare la potenza emessa in funzione dell’angolo per una carica in moto
circolare uniforme
3.b.17. Calcolare, a partire dalla formula di Larmor, la potenza totale dissipata in un
acceleratore lineare in funzione di
!
dp
dt
oppure di
dE
dt
(energia fornita per unita’ di
lunghezza). Dimostrare che la frazione di energia persa nell’accelerazione e’
trascurabile, fornendo adeguati valori numerici nel caso di accelerazione di
elettroni o protoni.
3.b.18. Calcolare l’energia persa in una rivoluzione per una carica in moto uniforme su
una circonferenza (acceleratore circolare). Calcolare la frazione di energia persa
in un giro rispetto alla sua energia cinetica, effettuando una valutazione numerica
trascurabile nel caso di elettroni a LEP (energia 50 GeV, raggio ~4km) o protoni
ad LHC (energia 7 TeV, raggio ~4km).
3.b.19. Calcolare la lunghezza d’onda critica della radiazione di sincrotrone (elettroni) nei
casi seguenti: i) energia=50GeV, raggio=4km; ii) energia=5GeV, raggio=30m
3.b.20. Effettuare un disegno, qualitativo, del solido di radiazione per una carica in un
acceleratore lineare o circolare. Stimare l’angolo di massima emissione.
3.b.21. Ricavare la formula della diffrazione di Fraunhofer
3.b.22. Ricavare l’intensita’ luminosa per la diffrazione da una fenditura lineare
3.b.23. Ricavare l’intensita’ luminosa per la diffrazione da una apertura circolare
3.b.24. Ricavare l’intensita’ luminosa per la diffrazione da una fenditura rettangolare
3.c.1. Scrivere la Lagrangiana relativistica per una particella carica in un campo
elettromagnetico esterno e verificare che le equazioni di Eulero-Lagrange
forniscono la formula della forza di Lorentz. Discutere (usando la formulazione
Lagrangiana) il legame fra l'invarianza di gauge delle equazioni
dell'elettrodinamica e la legge di conservazione della carica.
3.c.2. Utilizzando onde e.m. piana, monocromatica e di dimensione (laterale) grande ma
finita, dimostrare che i momento angolare (per unita’ di volume) trasportato
!
!
!
!
!
u
R
dall’onda e’ L = ± ωem n̂ . Suggerimento: partire dalla definizione L ≡ 4π c ∧ ( E ∧ H )
4. Interazione radiazione-materia
4.a.1. Quale e' la relazione fra lo spessore di un materiale, espresso in cm, e lo spessore
espresso in g/cm2 ?
10
4.a.2. Descrivere qualitativamente l’effetto Cherenkov.
4.a.3. Dimostrare che la radiazione Cherenkov e’ emessa ad un solo angolo.
4.a.4. Spiegare il significato di ogni termine delle espressioni, valide per la radiazione
Cherenkov:
d 2 Nγ
α
= z 2 sin 2 ϑ C
dEγ dx
!c
e
Nγ = z 2
E
α 2⎡
1 ⎤
L ∫ ⎢1− 2
⎥ Pdet (E)dE
!c E1 ⎣ β ε r (E) ⎦
.
4.a.5. Descrivere qualitativamente le cause e gli effetti del fenomeno della radiazione di
frenamento da parte di una particella carica nella materia.
4.a.6. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione
2
dIω
q
=
dΩ 4π 2 c
∫
2
! !"
n̂ ∧ ⎡⎢ n̂ − β ∧ β ⎤⎥ iω⎛⎜t '− r! '⋅n̂ ⎞⎟
⎣
⎦ ⎝ c⎠
dt '
! 2 e
1− n̂ ⋅ β
(
)
)
(
4.a.7. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione
⎧
2
2 2
⎪⎪ 2(ze) ⎛ 2zZe ⎞ per ω < V / b
⎟
3 ⎜
Iω (b) = ⎨ 3π c ⎝ MVb ⎠
⎪
0
per ω > V / b
⎪⎩
.
4.a.8. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione
2
χω =
(ze)2 ⎛ zZe2 ⎞ 1 ⎡ MV 2 ⎤
ln ⎢
⎜
⎟
⎥.
12π 3ε o3c ⎝ Mc 2 ⎠ β 2 ⎣ !ω ⎦
4.a.9. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione
(
)
2
dE irr 16 N A 4 2 2 mec
= ρ
z Z α re
dx
3 A(g)
Mc 2
2
.
4.a.10. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione
2
⎡192 M ⎤
⎛m ⎞
dE irr
16
= nnuclei z 4 Z 2α ⎜ e ⎟ re2 ln ⎢ 1/3 ⎥ E .
⎝M ⎠
dx
3
⎣ Z me ⎦
4.a.11. Dare la definizione di lunghezza di radiazione. Spiegare le condizioni per cui, nel
caso di perdita prevalente di energia per radiazione, l’energia di una particella si
attenua con una legge esponenziale in funzione del percorso.
4.a.12. Spiegare tutti i termini dell'espressione
⎡ ⎛ 184 ⎞
1
Z2
L '⎤
= 4α re2
N A ⎢ln ⎜
⎟ − f (Z) + ⎥
ρ X0
A(g) ⎣ ⎝ Z 1/3 ⎠
Z⎦
[formula di Tsai, non dimostrata] che fornisce la lunghezza di radiazione per
elettroni.
4.a.13. Spiegare qualitativamente il meccanismo della produzione di uno sciame
elettromagnetico iniziato da un elettrone o da un fotone.
4.a.14. Descrivere qualitativamente il meccanismo della perdita di energia per collisioni
da parte di una particella carica nella materia. Valutare l’energia minima e
massima trasferibile in un singola collisione.
4.a.15. Spiegare il significato di ogni termine dell’espressione per la perdita di energia
per collisioni (formula di Bethe-Bloch, non dimostrata):
⎛ 1 2m c 2 β 2γ 2
1 dEcoll
Z
m c2
δ⎞
= z2
4π e 2 N A re2 ⎜ ln e 2
TMAX − β 2 − ⎟ .
ρ dx
A(g)
β
I
2⎠
⎝2
4.a.16. Disegnare qualitativamente la funzione di Bethe-Bloch indicando i valori dei
punti significativi.
4.a.17. Definire il "percorso residuo" ("range") per una particella carica in un materiale.
11
4.a.18. Dare la definizione di "Energia critica"
4.a.19. Descrivere qualitativamente il fenomeno dello scattering multiplo da parte di una
particella carica in moto veloce nella materia. Valutare il rapproto fra angolo
minimo e massimo in una singola collisione.
4.a.20. Definire l'angolo di multiplo scattering (rispetto alla direzione iniziale della
particella) e definire la sua proiezione su un piano (che contiene la direzione
iniziale della particella). Indicare i limiti delle due variabili cosi' definite.
4.a.21. Spiegare il significato di ogni termine dell'espressione per l’angolo quadratico
medio di multiplo scattering (rispetto alla direzione iniziale della particella)
2
< θ ms
> ≡ ϑ0 2 = z
13.6MeV
Pβ c
L
X0
⎛
⎛ L ⎞⎞
⎜⎜1+ 0.0038ln ⎜ ⎟⎟⎟ 2
⎝ X 0 ⎠⎠
⎝
4.a.22. Se non fosse sufficiente la approssimazione di piccoli angoli e distribuzione
gaussiana, indicare quale fra le seguenti funzioni descriverebbe la distribuzione
che meglio descrive il fenomeno del multiplo scattering: i) Bethe-Bloch, ii)
Moliere, iii) Breit-Wigner, iv) Bohr.
4.a.23. Illustrare il metodo di produzione degli antiprotoni nell’esperimento di Segre’ et
al. Discutere in particolare l’energia di soglia della loro produzione.
4.a.24. Illustrare il metodo in cui nell’esperimento di Segre’ et al. sono identificati gli
antiprotoni, separandoli dal fondo di pioni positivi.
4.a.25. Descrivere l’esperimento di Anderson sulla scoperta del positrone.
4.a.26. Spiegare perche’ nell’esperimento di Anderson sulla scoperta del positrone alcune
tracce positive osservate non possono essere nessuna delle particelle positive
conosciute nel 1932.
4.b.1. Dimostrare che all’interno del cono della radiazione Cherenkov vi sono due
soluzioni per
d’onda.
t' = t −
R
c , nessuna soluzione all’esterno, ed una sola sul fronte
4.b.2. A partire dalla espressione
dimostrare che
Nγ = z 2
d 2 Nγ
α
= z 2 sin 2 ϑ C ,
dEγ dx
!c
E
α 2⎡
1 ⎤
L ∫ ⎢1− 2
⎥ Pdet (E)dE
!c E1 ⎣ β ε r (E) ⎦
valida per la radiazione Cherenkov,
.
4.b.3. Calcolare il numero di fotoni osservati da un fotorivelatore sensibile con
efficienza del 30% a luce fra 300nm e 600nm, al passaggio di un elettrone nei due
casi seguenti: i) n=1.005 (gas), β=0.999, lunghezza=1m; ii) n=1.5 (solido
trasparente), β=0.99, lunghezza=1cm.
4.b.4. Calcolare l’angolo di emissione della radiazione Cherenkov in funzione
dell’impulso (e della massa) della particella e dell’indice di rifrazione.
4.b.5. Descrivere qualitativamente il principio di funzionamento dei rivelatori
Cherenkov: i) a soglia, ii) RICH, iii) DIRC
4.b.6. Determinare le condizioni su velocita’ (β) ed indice di rifrazione (n) affinche’ la
radiazione Cherenkov emessa da una particella che incide perpendicolarmente su
12
una lastra di materiale trasparente resti contenuta all’interno del mezzo o ne possa
uscire. Indicare i risultati ottenuti nel piano n-β
4.b.7. Partendo dalla espressione
dIω
q2
=
dΩ 4π 2 c
∫
2
! !"
n̂ ∧ ⎡⎢ n̂ − β ∧ β ⎤⎥ iω⎛⎜t '− r! '⋅n̂ ⎞⎟
⎣
⎦ ⎝ c⎠
dt '
! 2 e
1− n̂ ⋅ β
(
)
)
(
dimostrare che
l’energia persa per unita’ di frequenza nel caso non relativistico e’ approssimabile
con
⎧
2
!
⎪ 2q Δβ per ω < 1 / τ
Iω = ⎨ 3π c
⎪ 0
per ω > 1 / τ
⎩
4.b.8. Partendo dalla espressione
dIω
q2
=
dΩ 4π 2 c
∫
2
! !"
n̂ ∧ ⎡⎢ n̂ − β ∧ β ⎤⎥ iω⎛⎜t '− r! '⋅n̂ ⎞⎟
⎣
⎦ ⎝ c⎠
dt '
! 2 e
1− n̂ ⋅ β
(
)
)
(
dimostrare che
l’energia persa per unita’ di frequenza nel caso non relativistico ad un dato
⎧
2
2 2
⎪⎪ 2(ze) ⎛ 2zZe ⎞ per ω < V / b
⎜
⎟
Iω (b) = ⎨ 3π c 3 ⎝ MVb ⎠
⎪
0
per ω > V / b
⎪⎩
parametro di impatto b e’ approssimabile con
4.b.9. Dimostrare, a partire dalla espressione precedente, che la sezione d’urto di
irraggiamento non relativistica e' approssimabile, a seconda del modello
2
utilizzato, con
χω =
χω =
(ze)2 ⎛ zZe2 ⎞ 1 ⎡ MV 2 ⎤
ln ⎢
⎜
⎟
⎥ oppure
12π 3ε o3c ⎝ Mc 2 ⎠ β 2 ⎣ !ω ⎦
⎡
2
(ze)2 ⎛ zZe2 ⎞ 1 ⎢ λ
ln
⎜
⎟
12π 3ε o3c ⎝ Mc 2 ⎠ β 2 ⎢ 2
⎢⎣
(
con
2⎤
E + E − !ω ⎥
⎥.
!ω
⎥⎦
)
4.b.10. Dimostrare, a partire dalla espressione precedente, che la perdita di energia per
irraggiamento non relativistica e' approssimabile, a seconda del modello
utilizzato, con
(
)
mec 2
dE irr
8 N
= (1+ ln 2) ρ A z 4 Z 2α re2
dx
3 A(g)
Mc 2
(
)
2
dE irr 16 N A 4 2 2 mec
= ρ
z Z α re
dx
3 A(g)
Mc 2
2
oppure con
2
.
4.b.11. Dimostrare che nel caso relativistico la sezione d’urto di irraggiamento e'
⎛
2
⎞
16 4 2 2 me
approssimabile, in un modello, con χ ω = 3 z Z α re ⎜⎝ M ⎟⎠
ω<
⎛ 192 M ⎞
! ln ⎜ 1/3
⎟
⎝ Z me ⎠
per
Mc 2
(γ −1) .
!
4.b.12. Dimostrare che nel caso relativistico la perdita di energia per irraggiamento e'
approssimabile, in un modello, con
2
⎡192 M ⎤
⎛m ⎞
dE irr
16
= nnuclei z 4 Z 2α ⎜ e ⎟ re2 ln ⎢ 1/3 ⎥ E .
⎝
⎠
dx
3
M
⎣ Z me ⎦
4.b.13. Valutare la lunghezza di radiazione del Piombo utilizzando sia il modello
utilizzato, sia la formula di Tsai, e confrontarla con il valore sperimentale (5.6mm)
4.b.14. Utilizzando le tabelle che forniscono le sezioni d'urto di fotoni su atomi, calcolare
la probabilita' che un fotone da 10 MeV produca una coppia e+e- in uno spessore
di Piombo pari ad una lunghezza di radiazione.
13
4.b.15. Dimostrare l'espressione approssimata per la lunghezza di radiazione per elettroni
X0 =
1
16 N A 4 2 ⎡192 0 ⎤
ρ
Z α re ln ⎢ 1/3 ⎥
⎣Z ⎦
3
A
. Calcolare il valore numerico per Piombo e Silicio,
effettuare il confronto con i dati sperimentali disponibili
4.b.16. Indicare le ipotesi effettuate e dimostrare la seguente espressione, approssimata,
1 dEcoll
2
Z
mec 2
2
⎛1
2mec 2 β 2γ 2 ⎞
⎟.
per la perdita di energia per collisioni: ρ dx = z A(g) 4π β 2 N A re ⎜ 2 ln
I
⎝
⎠
4.b.17. Indicare le ipotesi effettuate e dimostrare la seguente espressione, approssimata,
per la perdita di energia per collisioni (formula di Bohr):
⎛ cβ 3γ 2 ⎞
1 dEcoll
Z
m c2
= z2
4π e 2 N A re2 ⎜ ln
⎟.
ρ dx
A(g)
β
⎝ zω ere ⎠
4.b.18. Utilizzando la modellizzazione I = (16eV ) ⋅ Z 0.9 , valutare il valore minimo
dell’energia persa per collisioni, in MeV/g/cm2, per i seguenti materiali: i)
Piombo, ii) Silicio; iii) aria a TPN.
4.b.19. Calcolare la differenza di energia persa per collisioni da parte di particelle di
massa diversa ultrarelativistiche. Spiegare come questo possa essere utilizzato per
inidviduare la massa di una particella.
4.b.20. Scrivere l'espressione per calcolare il "percorso residuo" ("range"), nota la curva
dEcoll
, in funzione dell'energia della particella.
dx
4.b.21. Calcolare nel caso relativistico l’energia in cui la perdita di energia per
irraggiamento e’ paragonabile a quella per collisioni in funzione della massa della
particella. Determinare il valore per elettroni e protoni nel Piombo o in aria.
4.b.22. Nell'approssimazione di piccoli angoli e distribuzione gaussiana, calcolare il valor
medio, il valore quadratico medio e la sigma per: i) l'angolo di multiplo scattering
rispetto alla direzione iniziale della particella, e ii) la sua proiezione su un piano
che contenga la direzione iniziale della particella.
4.b.23. Dimostrare l'espressione approssimata per l’angolo quadratico medio di multiplo
scattering (proiezione su un piano):
ϑ0 = z
costante L
Pβ c
X0
e confrontare il valore dela
costante ottenuta con la formula cntenuta nel PDG.
4.b.24. Quali altri effetti dovremmo includere nel problema precedente, se la particella
incidente fosse un protone? E se fosse un elettrone? Quale sarebbe la dipendenza
dall’energia?
4.b.25. Per le seguenti particelle: i) elettrone 3.5MeV, ii) elettrone 100MeV, iii) pione di
1GeV, iv) muone di 45 GeV, v) protone da 7 TeV, che attraversino: a) 2
mmPb, b) 2 mm scintillatore, iii) 0.3 mm Silicio, iv) 1 m Aria; indicare se
siano rilevanti e, in caso affermativo, calcolare le seguenti quantita': a) energia
persa per irraggiamento, b) l’energia persa per collisioni, c) probabilita' di
interazione forte con i nuclei, d) angolo quadratico medio di multiplo scattering.
4.b.26. Per un muone che attraversi, incidendo perpendicolarmente, una lastra di Ferro di
5cm di spessore in cui e' presente un campo magnetico di intensita' nota, calcolare
il valore numerico del rapporto fra la deflessione angolare dovuta al campo
magnetico e la dispersione quadratica media dovuta al multiplo scattering. Come
14
sara’ la funzione di distribuzione dell’angolo in uscita? Quale e’ la dipendenza
dall’energia del muone incidente?
4.b.27. [Calcolo della risoluzione di uno spettrometro magnetico] Si consideri una
particella che attraversa, incidendo perpendicolarmente, una regione di lunghezza
x di materiale omogeneo, di cui sono note tutte le sue caratteristiche ed in
particolare la lunghezza di radiazione (X0). Nel materiale e' presente un campo
magnetico, di intensita' nota B, perpendicolare alla direzione della particella.
Alcuni rivelatori, posizionati subito prima e subito dopo il materiale, misurano la
direzione della traiettoria della particella con una precisine Δθmis (nel piano
perpendicolare al campo magnetico). Ipotizzando che la deflessione angolare
dovuta sia al campo magnetico che al multiplo scattering sia piccola, calcolare
l'errore sull'impulso (la sola componente perpendicolare al campo). Effettuare la
valutazione numerica nel caso particolare : materiale 1m di aria, B=1T, Δθmis =
1mrad; per pioni di impuso di 1 GeV/c e 100 GeV/c.
4.b.28. Dimostrare che un elettrone (moto non relativistico) soggetto ad una forza elastica
di richiamo, ad una forza di attrito viscoso ed alla forza di reazione radiativa, nel
campo di un’onda e.m. piana polarizzata linearmente oscilla con la legge
!
! eE0
1
ω2
−iω t
x=
e
Γ
=
Γ'+
Γ
tot
con
me ω 02 − ω 2 − iωΓtot
ω 02 .
4.b.29. Dimostrare che la sezione d’urto differenziale elastica per un’onda e.m. piana e
monocromatica su un elettrone legato elasticamente vale
dσ el
ω4
= re2
sin 2 α
2
con α angolo fra la direzione di osservazione e
2
2
2
2
dΩ
ω −ω +ω Γ
(
)
0
tot
direzione di polarizzazione (lineare) dell'onda, oppure
dσ el
ω4
1+ cos2 ϑ
= re2
2
con θ angolo (di scattering) fra la direzione di
dΩ
2
ω 02 − ω 2 + ω 2 Γ2tot
(
)
osservazione e direzione dell'onda incidente.
8
4.b.30. Dimostrare che la sezione d’urto Thomson vale σ Th = π re2 = 0.66barn .
3
4.b.31. Dimostrare che la sezione d’urto elastica per un’onda e.m. piana e monocromatica
ω4
σ el = σ Th
2
su un elettrone legato elasticamente vale
ω 2 − ω 2 + ω 2 Γ2 .
(
0
)
tot
4.b.32. Dimostrare che la sezione d’urto elastica per un’onda e.m. piana e monocromatica
su un elettrone legato elasticamente in prossimita’ della risonanza si puo’
approssimare con una curva lorentziana
σ el ≈ σ th
ω 02 / 4
2
2
Γ'+ Γ
(ω0 − ω ) + ( 4 )
.
4.b.33. Esprimere la sezione d'urto Rayleigh in funzione della sezione d'urto differenziale
Thomson e del fattore di forma atomico F(θ).
15
2
dIω
q
=
4.c.1. A partire dall’espressione dΩ 4π 2 c
∫
2
! !"
n̂ ∧ ⎡⎢ n̂ − β ∧ β ⎤⎥ iω⎛⎜t '− r! '⋅n̂ ⎞⎟
⎣
⎦ ⎝ c⎠
dt '
! 2 e
, dimostrare la
1− n̂ ⋅ β
(
(
)
)
d 2 Nγ
2 α
2
formula della radiazione Cherenkov: dE dx = z !c sin ϑ C .
γ
4.c.2. Un muone incide perpendicolarmente su un materiale di spessore x. Alcuni
rivelatori, posizionati subito prima e subito dopo il materiale, misurano la variazione
di direzione θmis (nello spazio) della traiettoria della particella con una precisione
Δθmis. Ipotizzando che la deflessione angolare dovuta al multiplo scattering sia
piccola, fornire la migliore stima dell'impulso della particella e determinare l'errore di
misura. Si puo' migliorare la precisione sull'impulso suddividendo il materiale e
misurando la direzione dopo ogni frazionamento?
16
