0.1 Angolo solido 0.2 Teorema di Gauss

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0.1. ANGOLO SOLIDO
0.1
Angolo solido
Dati, nello spazio tridimensionale, un punto O ed una linea chiusa C, si definisce angolo solido la parte dello spazio
delimitata dalla superficie laterale formata da tutte le semirette che hanno origine in O e passano per tutti i punti di C.
Un angolo solido è cosı̀ un cono infinito generalizzato. La
misura dell’angolo solido è analoga alla misura dell’angolo
piano in radianti. Quest’ultima è ottenuta disegnando una
circonferenza di raggio r centrata sul vertice dell’angolo, e
dividendo per r la lunghezza dell’arco tagliato dall’angolo.
Nel caso dell’angolo solido, si disegna una sfera di raggio r
centrata sul vertice dell’angolo solido stesso. L’angolo solido taglia una certa superficie S sulla superficie della sfera,
come mostrato in Fig. 1. La misura dell’angolo solido, in
steradianti, si ottiene dividendo S per r2 :
Ω=
C
S
Ω
O
r
Figura 1 Angolo solido
S
.
r2
(1)
Essendo un rapporto tra due superfici, il valore in steradianti corri~
S
sponde, in realtà, ad un numero puro, ed è indipendente dalle unità di
misura usate per r.
Data una superficie piana di estensione S possiamo definire il vettore
~ come il vettore che ha modulo pari a S (e
superficie ad essa associato S
2
quindi è misurato in m ) e direzione perpendicolare alla superficie stessa. Figura 2 Vettore
Il verso, per il momento, è arbitrario. Consideriamo adesso un elemento superficie
di superficie infinitesimo dS, quindi sufficientemente piccolo da poter es~ Consideriamo anche un punto
sere considerato piano. Ad esso sarà associato un vettore dS.
O esterno a dS, dal quale dS è visto sotto un angolo solido infinitesimo dΩ. Chiamiamo r la
distanza tra O e dS, e r̂ il suo versore. Il prodotto scalare
~ è uguale alla proiezione di dS sulla superficie della
r̂ · dS
~
dS
α
sfera di raggio r centrata in O: un elemento di superficie
r̂
sferica di dimensioni infinitesime può essere confuso con un
elemento di superficie piana. Quindi abbiamo per il valore
dΩ
r
di dΩ
dΩ =
~
r̂ · dS
.
r2
(2)
O
Figura 3 Superficie infinitesima e
angolo solido
0.2
Teorema di Gauss
~ generato da una carica puntiforme q attraverso
Vogliamo calcolare il flusso del campo elettrico E
una generica superficie chiusa S che la contiene. Su di un punto qualunque della superficie,
2
distante r da q, abbiamo
~ =
E
1 q
r̂ ,
4πε0 r2
(3)
dove r̂ è il versore di r. Il flusso è dato quindi da
Φ=
I
~ · dS
~=
E
S
q
4πε0
I
S
~
r̂ · dS
.
r2
~
dS
α
dΩ
~
E
(4)
Ma per la (2) abbiamo
~
r̂ · dS
= dΩ,
r2
r
(5)
dove dΩ è l’angolo solido sotto cui si vede la superficie dS dal punto in qui si trova la carica. Il flusso
diventa cosı̀
I
q
q
q
Φ=
4π = ,
(6)
dΩ =
4πε0
4πε0
ε0
q
Figura 4 Superficie chiusa racchiudente una perché l’angolo solido completo vale 4π. Se all’incarica
terno della superficie chiusa ci sono più cariche,
avremo per il campo elettrico in un generico punto P della superficie
~ )=
E(P
X
i
~i =
E
1 X qi
r̂ ,
2 iP
4πε0 i riP
(7)
dove qi è il valore della i-esima carica interna, riP è la distanza della i-esima carica dal punto
in cui si calcola il campo elettrico, e r̂iP il suo versore. Avremo quindi per il flusso attraverso
la superficie
I X !
X
XI
~
~
~ i · dS
~= 1
Ei · dS =
qi .
(8)
Φ=
E
ε0 i
S
S
i
i