Probabilità

PROBABILITÀ GLI EVENTI E LA PROBABILITÀ EVENTI CERTI, IMPOSSIBILI E ALEATORI Ci sono avvenimenti che accadono con certezza, mentre altri sicuramente non possono mai verificarsi. Per esempio, se una scatola contiene soltanto palline nere, estraendone una a caso siamo sicuri che è nera (evento certo), mentre è impossibile estrarre una pallina bianca (evento impossibile). Se la scatola contiene sia palline bianche sia palline nere, l’estrazione di una pallina bianca è un evento possibile ma non certo (evento aleatorio). LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO Il fatto che certi eventi siano aleatori ha portato l’uomo ha formulare scommesse sul loro accadere. Il concetto di probabilità è nato proprio per effetto dei giochi d’azzardo. Consideriamo il seguente gioco. Hai di fronte due mazzi di carte, A e B, così composti: A contiene 10 carte con figure e 3 carte senza figure; B è formato da 12 carte con figure e 6 senza figure. Devi scegliere una carta da uno dei due mazzi: vinci se scegli una figura. Da quale mazzo conviene scegliere la carta? Il gioco è interpretabile come un esperimento che ha carattere aleatorio in quanto il risultato non dipende da una legge precisa ma, di volta in volta, è imprevedibile. Se le carte non sono truccate, le estrazioni di una carta dai due mazzi sono tutte ugualmente possibili, poiché le carte sono coperte e non possiamo distinguerle l’una dall’altra. Chiamiamo casi possibili tutti i risultati che possono verificarsi: per il mazzo A i casi possibili sono 13, mentre per il mazzo B sono 18. Chiamiamo casi favorevoli quelli in cui si verifica l’evento che fa vincere: per il mazzo A i casi favorevoli sono 10, mentre per il mazzo B sono 12. Definizione: la probabilità P di un evento E è il quoziente fra il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili n, quando essi sono tutti ugualmente possibili. f
P E = n
Quindi, la probabilità di estrarre una figura dal mazzo A è 10/13, mentre dal mazzo B è 12/18. Poiché 10/13 è maggiore di 12/18, conviene scegliere il mazzo A. ESEMPIO Nel lancio di un dado a sei facce consideriamo i seguenti eventi: E1: esce il 4; E2: esce un numero dispari; E3: esce un numero maggiore di 2. Calcoliamo la probabilità di ciascun evento nell’ipotesi che il dado non sia truccato: 1
3 1
4 2
P E1 = %%%%%%%%%%%%%P E2 = = %%%%%%%%%%%%%%%P E3 = = 6
6 2
6 3
I VALORI DELLA PROBABILITÀ • La probabilità di un evento impossibile è 0, perché il numero dei casi favorevoli è 0. • La probabilità di un evento certo è 1, perché il numero dei casi favorevoli è uguale al numero dei casi possibili. • La probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso tra 0 e 1, perché il numero dei casi favorevoli è compreso tra 0 e il numero dei casi possibili. In generale, la probabilità di un evento è compresa tra 0 e 1, estremi inclusi. Spesso il valore della probabilità viene espresso in termini percentuali; per esempio un evento certo si verificherà al 100%. 1 ()
( )
( )
( )
GLI EVENTI E GLI INSIEMI Consideriamo l’esperimento del lancio di un dado e l’evento E consistente nell’uscita di un numero dispari. Per descrivere la situazione possiamo utilizzare il linguaggio degli insiemi. L’insieme dei casi possibili è l’insieme universo o spazio campionario U = {1,2,3,4,5,6}. L’insieme dei casi favorevoli è l’insieme E = {1,3,5}. La probabilità dell’evento E è uguale al rapporto tra il numero di elementi dell’insieme E e il numero di elementi dell’insieme U. L’EVENTO CONTRARIO E LA SUA PROBABILITÀ Dato un evento E, il suo evento contrario (o complementare) E è quell’evento che si verifica quando e solo quando non si verifica E. Per esempio, nel lancio di un dado, l’evento contrario dell’uscita di un numero pari è l’uscita di un numero dispari. Teorema: la somma della probabilità di un evento E e di quella del suo evento E contrario è 1. () ( )
P E +P E = 1 Dimostrazione: se f è il numero di casi favorevoli all’evento E e n il numero dei casi possibili, il numero dei casi favorevoli all’evento contrario è n – f, quindi: f n− f f +n− f n
P E +P E = +
=
= = 1 n n
n
n
() ( )
ESERCIZIO RISOLTO Abbiamo a disposizione un mazzo di 40 carte. Le carte sono di 4 semi (bastoni, spade, coppe e denari), per ogni seme ci sono 10 carte, di cui 3 figure (fante, cavallo e re) e i numeri da 1 a 7. Viene estratta una carta. Calcoliamo la probabilità degli eventi: a.
A: estrazione di una figura Poiché il mazzo contiene 40 carte e ne viene estratta una sola, il numero di casi possibili è 40. Nel mazzo ci sono 3 figure per seme, quindi in totale le figure, cioè i casi favorevoli, sono 12. La probabilità che esca una figura è: 12 3
P A = = 40 10
10 1
b. B: estrazione di una carta di spade ⇒ P B =
= 40 4
12 3
c.
C: estrazione di una carta pari ⇒ P C =
=
40 10
3 7
d. D: estrazione di una carta che non è una figura ⇒ D = A ⇒ P D = 1−P A = 1− = 10 10
()
()
()
()
2 ()
ESERCIZI 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Un’urna contiene 8 palline gialle, 4 rosse e 10 verdi. Calcola la probabilità che venga estratta: a. una pallina gialla; b. una pallina rossa; c. una pallina né gialla né rossa. Un’urna contiene dischetti numerati da 1 a 20. Calcola la probabilità che, estraendone uno a caso, si abbia: a. un numero primo; b. un numero dispari. Nella roulette ci sono 37 numeri così colorati: lo 0 è bianco, i numeri da 1 a 18 sono rossi, quelli da 19 a 36 sono neri. Calcola la probabilità che, facendo girare la ruota, la pallina si fermi su: a. un numero nero; b. 0; c. un numero dispari. Il sacchetto della tombola contiene 90 numeri. Viene estratto un numero. Calcola la probabilità che si abbia: a. un numero pari; b. un numero maggiore di 10; c. un numero con due cifre uguali; d. un multiplo di 5; e. un numero con due cifre diverse; f. un numero primo inferiore a 20. Calcola la probabilità che nel lancio di un dado non esca: a. il numero 5; b. un numero maggiore di 4; c. un numero minore di 5. Un’urna contiene 8 palline bianche, 5 palline nere e 7 palline rosse. Si estrae una pallina. Calcola la probabilità che: a. esca una pallina nera; b. non esca una pallina nera; c. non esca una pallina rossa; d. esca una pallina né bianca né nera; e. esca una pallina bianca oppure rossa. Abbiamo un mazzo di 52 carte. Viene estratta una carta. Calcola la probabilità che: a. esca una carta di picche; b. esca una carta rossa; c. non esca una carta di cuori; d. non esca un asso; e. che esca una figura nera; f. non esca una figura. 3 LA PROBABILITÀ DELL’UNIONE DI EVENTI Definizione: dati gli eventi E1 e E2, relativi allo stesso insieme universo, il loro evento unione E1 ∪E2 è quell’evento che si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi dati. ESEMPIO Consideriamo l’estrazione di uno di 12 dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi: E1 = esce un numero pari = {2,4,6,8,10,12}; E2= esce un numero maggiore di 7 = {8,9,10,11,12}. L’evento unione di E1 e E2 è l’evento: E1 ∪E2 = esce un numero pari o maggiore di 7 = {2,4,6,8,9,10,11,12}. Definizione: dati gli eventi E1 e E2, relativi allo stesso insieme universo, il loro evento intersezione E1 ∩E2 è quell’evento che si verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi dati. Considerando l’esempio, l’evento intersezione di E1 e E2 è l’evento: E1 ∩E2 = esce un numero pari e maggiore di 7 = {8,10,12}. Definizione: due eventi, relativi allo stesso insieme universo, si dicono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi contemporaneo dell’altro; in caso contrario si dicono compatibili. Nell’esempio, gli eventi E1 e E2 possono verificarsi contemporaneamente (per esempio, estraendo il dischetto col numero 10), per cui essi sono compatibili. Invece, gli eventi E3 = esce un multiplo di 5 = {5,10} e E4 = esce un multiplo di 3 = {3,6,9,12} sono incompatibili perché non possono verificarsi contemporaneamente. Teorema della somma per eventi incompatibili: se due eventi E1 e E2 sono incompatibili, la probabilità del loro evento unione è uguale alla somma delle loro probabilità. (
) ( ) ( )
P E1 ∪E2 = P E1 +P E2 Riprendendo l’esempio e gli eventi incompatibili E3 e E4, cerchiamo la probabilità dell’evento unione E3 ∪E4 = esce un multiplo di 5 o di 3 = {3,5,6,9,10,12}. Il numero dei casi favorevoli all’evento E3 ∪E4 è uguale alla somma del numero dei casi favorevoli all’evento E3 e del numero dei casi favorevoli all’evento E4. Quindi, abbiamo: 6 2 4
= + = P E3 +P E4 12 12 12
Teorema della somma per eventi compatibili: se due eventi E1 e E2 sono compatibili, la probabilità del loro evento unione è uguale alla somma delle loro probabilità, diminuita della probabilità del loro evento intersezione. (
)
( ) ( )
P E3 ∪E4 =
(
) ( ) ( ) (
)
P E1 ∪E2 = P E1 +P E2 −P E1 ∩E2 Riprendendo l’esempio e gli eventi compatibili E1 e E2, cerchiamo la probabilità dell’evento unione E1 ∪E2 = esce un numero pari o maggiore di 7 = {2,4,6,8,9,10,11,12}. I casi favorevoli dell’evento unione non sono 11, ma 8, perché vi sono casi favorevoli a entrambi gli eventi. Se sommiamo i casi favorevoli di E1 e quelli di E2, vengono considerati per due volte i casi di E1 ∩E2 , mentre nell’unione essi devono essere contati una volta sola. Quindi, i casi favorevoli di E1 ∪E2 si ottengono sommando quelli di E1 e E2 e sottraendo quelli di E1 ∩E2 : (
)
P E1 ∪E2 =
6 +5− 3 6 5 3 2
= + − = = P E1 +P E2 −P E1 ∩E2 12
12 12 12 3
( ) ( ) (
4 )
ESERCIZIO RISOLTO Dentro un’urna vi sono 30 palline: 10 bianche numerate da 1 a 10, 10 rosse e 10 gialle numerate allo stesso modo. Calcoliamo la probabilità che, estraendone una a caso, venga estratta una pallina: a.
bianca o rossa; b. gialla o dispari. Definiamo gli eventi: B: esce una pallina bianca; R: esce una pallina rossa; G: esce una pallina gialla; D: esce una pallina dispari. 10 1
a.
P B = P R = = 30 3
Gli eventi B e R sono incompatibili, quindi otteniamo: () ()
(
) () ()
P B∪R = P B = P R =
2
3
b.
10 1
P G = = 30 3
()
15 1
= 30 2
Gli eventi g e D sono compatibili; i casi favorevoli a entrambi gli eventi (pallina gialla e dispari) sono 5 ⇒ 5 1
P G∩D = = . Quindi, abbiamo: 30 6
1 1 1 2
P G∪D = P G +P D −P G∩D = + − = 3 2 6 3
()
Le palline con numero dispari sono 5 per ogni colore, quindi 15 ⇒ P D =
(
)
(
) () () (
5 )
ESERCIZI 8.
9.
10.
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12.
13.
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16.
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18.
Qual è la probabilità di estrarre a caso una biro rossa o nera da un cassetto che ne contiene 20 rosse, 15 nere e 23 blu? In una busta sono contenute 28 figurine numerate da 1 a 28. Calcola la probabilità di estrarre a caso una figurina con numero dispari o multiplo di 4. In un’urna vengono introdotti 100 bigliettini gialli, verdi e rossi. I gialli sono 40, i verdi sono i 2/3 dei rossi. Calcola la probabilità che, estraendone uno a caso, esso sia verde o rosso. Una scatola contiene 54 fra cioccolatini, caramelle e liquirizie. Sapendo che i cioccolatini sono il doppio delle liquirizie e le caramelle sono i 3/2 delle liquirizie, calcola la probabilità di prendere a caso un cioccolatino o una caramella. In una busta ci sono 210 francobolli, alcuni italiani, altri francesi, altri ancora tedeschi. La probabilità che si prenda a caso un francobollo italiano è 2/7. I francobolli tedeschi sono 50. Calcola la probabilità che si prenda a caso un francobollo francese. In un’urna ci sono palline gialle, rosse e verdi. La probabilità che esca una pallina rossa o verde è 2/5. Le palline gialle sono 45. Il numero delle rosse è doppio di quello delle verdi. Quante sono le palline verdi? Calcola la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero maggiore di due o pari. In un sacchetto ci sono 16 gettoni: 7 di forma quadrata (3 rossi e 4 verdi) e 9 di forma circolare (4 rossi e 5 verdi). Qual è la probabilità di estrarre a caso un gettone rosso oppure tondo? In una sacca sportiva ci sono 10 maglie numerate da 1 a 10. Calcola la probabilità che, estraendo a caso una maglia, questa abbia un numero dispari o un numero maggiore di 5. I 24 libri di uno scaffale sono numerati da 1 a 24. Qual è la probabilità che, scegliendone uno a caso, si prenda un libro con numero pari o minore di 12? In un negozio ci sono 32 paia di sci numerati da 1 a 32. Calcola la probabilità che, prendendone uno a caso, abbia il numero dispari o maggiore di 23. 6 LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA Come si determina la probabilità di un evento che dipende da un altro evento? ESEMPIO Consideriamo di nuovo il sacchetto con i gettoni numerati da 1 a 12 e l’esperimento di estrazione di un gettone. Definiamo i due eventi: E1 = esce un multiplo di 3 = {3,6,9,12}; E2 = esce un numero minore di 9 = {1,2,3,4,5,6,7,8}. L’insieme universo è dato da U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. 4 1
= . 12 3
Supponiamo che un amico estragga un numero e, senza farcelo vedere, ci dica che esso è minore di 9, ossia che si è verificato l’evento E2. Cosa possiamo dire, ora, della probabilità che il numero estratto sia multiplo di 3, ossia di ( )
La probabilità di E1 è: P E1 =
( )
P E1 ? L’evento E1 è condizionato dall’evento E2: il fatto che E2 si sia verificato ci dà alcune informazioni in più sulla possibilità che si verifichi E1. (
)
Indichiamo la probabilità di E1, calcolata nell’ipotesi che E2 si sia verificato, con il simbolo P E1 |E2 : probabilità di E1 condizionata a E2. Per calcolare la probabilità condizionata teniamo presente che: •
poiché supponiamo che l’evento E2 si sia verificato, l’insieme universo per E1 |E2 è dato dai risultati favorevoli a E2; •
i casi favorevoli per E1 |E2 devono essere ricercati solo all’interno del nuovo insieme universo; quindi sono dati da E1 E2 = {3,6}. 2 1
Quindi, probabilità di E1 condizionata a E2 è uguale a: P E1 |E2 = = . 8 4
(
( ) (
)
)
Osserviamo che P E1 ≠ P E1 |E2 . Definizione: la probabilità di E1 condizionata a E2 è uguale al rapporto tra la probabilità dell’intersezione dei due eventi e la probabilità del secondo evento: (
)
P E1 |E2 =
(
P E1 ∩E2
( )
P E2
) Sempre relativamente all’esempio, consideriamo un altro caso con i due eventi: E1 =esce un multiplo di 3 = {3,6,9,12}; E3 = esce un numero pari = {2,4,6,8,10,12}. (
)
Allora, E1 E3 = {6,12} e P E1 |E3 =
(
P E1 ∩E3
( )
P E3
) = 2 12 = 1 = P E . ( )
6 12 3
1
Definizione: due eventi E1 e E2 si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non modifica la probabilità che anche (
) ( )
(
) ( )
l’altro si verifichi, cioè P E1 |E2 = P E1 , dipendenti se P E1 |E2 ≠ P E1 . 7 ESERCIZIO RISOLTO Calcoliamo la probabilità che nel lancio di un dado esca il numero 3, sapendo che è uscito un numero minore di 5. Insieme universo U = {1,2,3,4,5,6} Evento E1 = esce il numero 3 = {3}; Evento E2 = esce un numero minore di 5 = {1,2,3,4}. Evento intersezione E1 E2 = {3} = esce il numero 3 (
)
⇒ P E1 |E2 =
(
P E1 ∩E2
( )
P E2
) = 1 6 = 1 4 6
4
ESERCIZI 19.
20.
21.
22.
23.
24.
Calcola la probabilità che nel lancio di un dado esca un numero primo, sapendo che è uscito un numero minore di 5. Da una scatola contenente 20 palline, numerate da 1 a 20, viene estratta a caso una pallina. Calcola la probabilità che sia stata estratta la pallina numerata con un multiplo di 3, sapendo che è uscito un numero minore di 12. Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12, le prime 7 sono nere, le altre rosse. Calcola la probabilità che venga estratta una pallina con numero pari condizionata dal fatto che la pallina sia nera. Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 40, essa sia un re, sapendo che è uscita una figura. Un’urna contiene 22 palline numerate da 1 a 22. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina, essa abbia un numero multiplo di 3, sapendo che è uscito un numero dispari. Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, la somma delle facce sia un numero dispari, sapendo che le facce portano numeri diversi. 8 LA PROBABILITÀ DELL’INTERSEZIONE DI EVENTI Teorema del prodotto per eventi indipendenti: se due eventi E1 e E2 sono indipendenti, la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità. (
) ( )( )
P E1 ∩E2 = P E1 P E2 ESEMPIO Una prima urna contiene 5 palline bianche e 5 nere, una seconda urna contiene 8 palline bianche e 4 nere. Viene estratta una pallina da ogni urna. Qual è la probabilità che siano entrambe nere? L’evento corrispondente all’estrazione di due palline nere è composto dai due eventi: N1 = viene estratta una pallina nera dalla prima urna; N2 = viene estratta una pallina nera dalla seconda urna. 5 1
4 1
= e P N2 = = . 10 2
12 3
Gli eventi sono indipendenti; quindi la probabilità dell’evento intersezione è: 1 1 1
P N1 ∩N2 = P N1 P N2 = ⋅ = 2 3 6
Teorema del prodotto per eventi dipendenti: se due eventi E1 e E2 sono dipendenti, la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto della probabilità di E1 per la probabilità di E2 condizionata a E1. ( )
Si ha: P N1 =
( )
(
) ( )( )
(
) ( )(
)
P E1 ∩E2 = P E1 P E2 |E1 ESEMPIO In un’urna ci sono 8 palline bianche e 4 nere. Qual è la probabilità che, estraendo contemporaneamente due palline, esse siano entrambe bianche? Si può pensare di estrarre prima una pallina e poi, senza rimettere la prima nell’urna, una seconda pallina. L’evento corrispondente all’estrazione di due palline bianche è composto dai due eventi: B1 = viene estratta come prima una pallina bianca; B2 = viene estratta come seconda una pallina bianca. 8 2
= . 12 3
La probabilità che la seconda pallina sia bianca, condizionata dal fatto che la prima estratta sia bianca, si ottiene 7
pensando a un’urna che contiene 7 palline bianche e 4 nere: P B2 |B1 =
. 11
La probabilità che entrambe le palline siano bianche è: 2 7 14
P B1 ∩B2 = P B1 P B2 |B1 = ⋅ = 3 11 33
9 ( )
La probabilità che la prima pallina estratta sia bianca è: P B1 =
(
(
) ( )(
)
)
ESERCIZIO RISOLTO In un sacchetto ci sono 30 gettoni rossi, 20 neri e 15 bianchi. Indichiamo con Ri l’evento corrispondente all’estrazione di un gettone rosso nella i-­‐esima estrazione, con Ni quello corrispondente all’estrazione di un gettone nero nella i-­‐
esima estrazione e con Bi l’estrazione di un gettone bianco nella i-­‐esima estrazione. L’esperimento consiste nell’estrazione di due gettoni. A. Estrazione con reimmissione ⇒ eventi indipendenti Calcoliamo la probabilità dei seguenti eventi: a.
E1 = estrazione di due gettoni rossi = R1 ∩R2 ( ) (
) ( )( )
P E1 = P R1 ∩R2 = P R1 P R2 =
30 30 36
⋅ =
65 65 169
b.
E2 = estrazione prima di un gettone nero e poi di uno bianco = N1 ∩B2 ( ) (
) ( )( )
P E2 = P N1 ∩B2 = P N1 P B2 =
20 15 12
⋅ =
65 65 169
c.
(
) (
)
E3 = estrazione di un gettone nero e di uno bianco in un ordine qualsiasi = N1 ∩B2 ∪ B1 ∩N2 ( ) (
) (
) ( )( ) ( )( )
P E3 = P N1 ∩B2 +P B1 ∩N2 = P N1 P B2 +P B1 P N2 =
12 15 20 12 12 24
+ ⋅ =
+
=
169 65 65 169 169 169
B. Estrazione senza reimmissione ⇒ eventi dipendenti Calcoliamo la probabilità dei seguenti eventi: a.
E5 = estrazione di due gettoni rossi = R1 ∩R2 ( ) (
) ( )(
)
P E5 = P R1 ∩R2 = P R1 P R2 |R1 =
30 29 87
⋅ =
65 64 416
b.
E6 = estrazione prima di un gettone nero e poi di uno bianco = N1 ∩B2 ( ) (
) ( )(
)
P E6 = P N1 ∩B2 = P N1 P B2 |N1 =
20 15 15
⋅ =
65 64 208
c.
(
( ) (
) (
) ( )(
) ( )(
)
P E7 = P N1 ∩B2 +P B1 ∩N2 = P N1 P B2 |N1 +P B1 P N2 |B1 =
) (
)
E7 = estrazione di un gettone nero e di uno bianco in un ordine qualsiasi = N1 ∩B2 ∪ B1 ∩N2 10 15 15 20 15 15 15
+ ⋅ =
+
=
208 65 64 208 208 104
ESERCIZI 25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Un sacchetto contiene 4 biglietti blu, 5 rossi e 1 bianco. Calcola la probabilità che in due estrazioni successive, con reimmissione del primo estratto, escano nell’ordine un biglietto blu e uno rosso. In un cesto ci sono animali di peluche: 6 cagnolini, 10 gattini, 4 papere. Qual è la probabilità di estrarre a caso, reimmettendo il primo oggetto estratto, un gattino e poi una papera? In uno scatolone ci sono 52 paia di scarpe sportive, alcune da tennis, altre da jogging, altre da pallavolo: quelle da tennis sono la metà di quelle da jogging che sono il doppio di quelle da pallavolo. Calcola la probabilità, in due estrazioni con reimmissione, di avere nell’ordine un paio di scarpe da jogging, uno da pallavolo e uno da tennis. Dal sacchetto della tombola si fanno due estrazioni successive con reimmissione. Calcola la probabilità di ottenere un numero pari e uno dispari. Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono tre con reimmissione. Calcola la probabilità di ottenere due figure e una carta minore di 7. La probabilità che una persona colpisca un bersaglio è del 20% e la probabilità che lo colpisca un’altra persona è del 60%. Le due persone sparano contemporaneamente. Calcola la probabilità che: a. il bersaglio venga colpito da entrambi; b. almeno uno colpisca il bersaglio. Da un’urna contenente 20 palline gialle, 18 blu e 4 rosse si estraggono tre palline, senza reimmissione nell’urna. Calcola la probabilità che siano la prima rossa, la seconda blu, la terza gialla. Un cassetto contiene 25 magliette; quelle a manica corta sono i 2/3 di quelle a manica lunga. Calcola la probabilità che, estraendone due contemporaneamente, siano entrambe a manica lunga. Calcola la probabilità che da un mazzo di 40 carte vengano estratti contemporaneamente un re e un asso. Uno scatolone contiene 7 palloni da pallavolo, 5 da pallacanestro e 8 da rugby. Qual è la probabilità che, prelevandone 3, senza reimmetterli nello scatolone, i primi due siano da rugby e il terzo da pallavolo? Un ragazzo ha una collezione di 40 dvd: 10 di film vari, 12 di cartoni animati e i rimanenti di film gialli. Qual è la probabilità che, estraendone due contemporaneamente, si abbia un cartone animato e un film giallo? Un cestino contiene 100 fra castagne, noci e nocciole. Le castagne sono 20 e le noci sono 1/4 delle nocciole. Calcola la probabilità che, estraendone due, senza reimmissione della prima, si ottenga prima una noce e poi una nocciola. 11 LA LEGGE EMPIRICA DEL CASO SECONDO DADO Consideriamo la somma dei punti che si possono ottenere nel lancio di due dadi a sei facce e calcoliamo la probabilità che si verifichi ogni possibile risultato. I casi possibili sono 36, come risulta dalla seguente tabella a doppia entrata: PRIMO DADO 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Riassumiamo le probabilità teoriche dei possibili risultati dell’esperimento nella seguente tabella: SOMMA 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 PROBABILITÀ 1
36
1
18
1
12
1
9
5
36
1
6
5
36
1
9
1
12
1
18
1
36
Realizziamo ora ripetutamente l’esperimento del lancio dei due dadi e registriamo i risultati ottenuti. Questi possono essere studiati da un punto di vista statistico, costruendo una tabella delle frequenze. Riportiamo la seguente tabella riferita a 10, 100 e 1000 lanci, indicando le frequenze assolute, le frequenze relative e le probabilità teoriche dei possibili risultati. SOMMA 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 LANCI 100 LANCI 1000 LANCI FREQ. ASS. FREQ. REL. FREQ. ASS. FREQ. REL. FREQ. ASS. FREQ. REL. 0 1 0 1 3 2 1 1 0 1 0 0 0,1 0 0,1 0,3 0,2 0,1 0,1 0 0,1 0 1 4 10 7 16 19 5 12 15 7 4 0,01 0,04 0,10 0,07 0,16 0,19 0,05 0,12 0,15 0,07 0,04 27 51 81 110 140 171 139 111 89 53 28 0,027 0,051 0,081 0,110 0,140 0,171 0,139 0,111 0,089 0,053 0,028 PROBABILITÀ 0,028 0,056 0,083 0,111 0,139 0,167 0,139 0,111 0,089 0,056 0,028 Osserviamo che, aumentando il numero dei lanci, le frequenze relative tendono ad avvicinarsi ai valori della probabilità. Legge empirica del caso: in generale si può affermare che, in un grande numero di prove, la frequenza relativa di un evento aleatorio è molto vicina alla probabilità dell’evento; la differenza fra i due valori tende a diminuire all’aumentare del numero di prove che si eseguono. 12 LA PROBABILITÀ CON EXCEL Vogliamo creare un foglio elettronico che simuli il lancio di due dadi, calcoli la somma dei punti e la probabilità empirica dei possibili risultati al variare del numero di prove. Lancio I dado II dado Somma 1 =casuale.tra(1;6) =casuale.tra(1;6) = somma 2 3 6 9 3 3 3 6 4 4 2 6 5 6 1 7 … … … … 1000 5 3 8 Risultati dopo 1000 lanci Frequenza Frequenza relativa Probabilità teorica Somma 2 21* 0,021 0,028 Somma 3 46 0,046 0,056 Somma 4 84 0,084 0,083 Somma 5 116 0,116 0,111 Somma 6 132 0,132 0,139 Somma 7 182 0,182 0,167 Somma 8 145 0,145 0,139 Somma 9 119 0,119 0,111 Somma 10 77 0,077 0,083 Somma 11 49 0,049 0,056 Somma 12 29 0,029 0,028 *: formula matrice frequenza(matricedati;matriceclassi) oppure conta.se(matricedati;2) Verifichiamo la legge empirica del caso per il risultato somma 4 al variare del numero di prove costruendo la seguente tabella e il relativo grafico: Numero lanci Frequenza relativa Probabilità teorica 10 0,100** 0,083 100 0,080 0,083 200 0,090 0,083 300 0,077 0,083 400 0,070 0,083 500 0,076 0,083 600 0,078 0,083 700 0,080 0,083 800 0,081 0,083 900 0,080 0,083 1000 0,084 0,083 **: formula conta.se(matricedati;4)/numero lanci 13 Il grafico rappresenta il confronto tra la probabilità teorica dell’evento corrispondente al risultato quattro nella somma dei punti delle facce dei due dadi e la probabilità (frequenza) empirica dell’evento stesso al variare del numero dei lanci dei due dadi. 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000 10 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Numero lanci Probabilità empirica Probabilità teorica ESERCIZI 46.
47.
Un sacchetto contiene n palline, di cui r rosse, b bianche e a arancioni. a.
Costruisci un foglio elettronico che riceva in ingresso i numeri n, r e b, controlli che siano accettabili e calcoli a. b. Calcola la probabilità teorica di ottenere una pallina rossa e una pallina arancione estraendo 2 biglie in sequenza e rimettendo l’oggetto nel contenitore dopo ogni estrazione (estrazione con reimmissione). c.
Simula 10, 20, 30, …, 200 estrazioni di due biglie e calcola la probabilità empirica dell’evento consistente nell’estrazione di una pallina rossa e una pallina arancione. Confronta il risultato empirico con quello teorico. Ripeti l’esercizio precedente supponendo che le due palline siano estratte simultaneamente (estrazione senza reimmissione). 14