1 Premessa al capitolo 6

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1.1
Premessa al capitolo 6
Richiami e problema
Sia ( ; F; P ) uno spazio di probabilità. Dati due eventi A, B, se P (B) > 0,
si chiama probabilità di A condizionata a B il numero
P (AjB) =
P (A \ B)
:
P (B)
La de…nizione cattura la seguente idea: si restringe P ad una misura sul
nuovo “universo” B, in modo naturale (cioè tramite intersezione con B dei
vari eventi), e la si normalizza ad 1 dividendo per P (B).
Se (Bi )i2N è una partizione misurabile di tale che P (Bi ) > 0 per ogni
i, vale la formula di fattorizzazione
X
P (A) =
P (AjBi ) P (Bi ) :
i
Un domanda naturale è: si può estendere in modo ragionevole la de…nizione
di P (AjB) a eventi B di misura nulla, ad esempio in modo che per una
famiglia (più che numerabile) di tali eventi che sia una partizione, valga un
analogo della formula di fattorizzazione?
Oltre che al calcolo delle probabilità, questo problema interessa in ambito
geometrico o analitico. Si pensi ad Rn (o ad una varietà) su cui sia de…nita
una misura e sia un sottoinsieme misurabile di Rn , trascurabile rispetto a
; ad esempio una sottovarietà di dimesione più bassa, con non concentrata
su . Vorremmo de…nire una misura indotta su da , in modo naturale.
Sarebbe spontaneo usare un normalizzazione di (A \ ), al variare di A,
ma se ( ) = 0 abbiamo il problema precedente.
1.2
Riformulazione per il valore atteso
Essendo P (A) = E [1A ] è naturale riscrivere i fatti precedenti per il valore
atteso. Intanto, dato un evento B tale che P (B) > 0 si pone
E [XjB] = EP ( jB) [X]
cioè il valore atteso di X rispetto alla misura P ( jB).
1
Exercise 1 Vale semplicemente
1
E [XjB] =
P (B)
Z
XdP:
B
Cioè E [XjB] è analogo a E [X1B ] ma normalizzato, così come P ( jB) è
P ( \ B) normalizzata.
Vale la formula di fattorizzazione:
X
E [X] =
E [XjBi ] P (Bi )
i
se (Bi )i2N è una partizione misurabile di tale che P (Bi ) > 0 per ogni i.
Domanda: si può de…nire E [XjB] anche per eventi B di misura nulla ed
estendere a partizioni più che numerabili la formula di fattorizzazione?
1.3
Cambio di punto di vista
Per una partizione misurabile (Bi )i2N con P (Bi ) > 0 per ogni i, abbiamo
la collezione di numeri (E [XjBi ])i2N . Che tipo di oggetto matematico ci
aspettiamo dal caso più generale? Si potrebbe continuare ad usare il concetto
di partizione misurabile (Bi )i2I con insieme I qualsiasi di indici. Torna utile
invece il seguente cambio di punto di vista. Alla partizione (Bi )i2N è associata
una -algebra G (quella generata). Alla successione di numeri (E [XjBi ])i2N
è associata la funzione G-misurabile
X
E [XjG] :=
E [XjBi ] 1Bi :
(1)
i
La formula di fattorizzazione si riscrive nella forma
E [X] = E [E [XjG]] :
(2)
De…niremo allora un concetto di funzione G-misurabile E [XjG] per -algebre
G F qualsiasi, in modo che valga la precedente identità (2) ed in modo
che, nel caso di -algebre generate da partizioni numerabili (Bi )i2N come le
precedenti, si ottenga la formula esplicita (1).
2
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