LICENZA LICEALE EUROPEA 2009
MATEMATICA 5 PERIODI
DATA: 8 Giugno 2009
DURATA DELL’ESAME :
4 ore (240 minuti)
MATERIALE AUTORIZZATO
Formulario delle scuole europee
Calcolatrice non grafica e non programmabile
AVVERTENZE :
Risolvere tutti e quattro i problemi obbligatori.
Indicare i due problemi scelti, fra i tre a scelta, mettendo una croce sulle caselle che trovate
nell’apposito schema che vi è stato fornito.
Utilizzare, per ogni problema, fogli d’esame diversi.
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BAC EUROPEO 2009: MATEMATICA 5 PERIODI
PROBLEMA OBBLIGATORIO 1.
ANALISI
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Punteggio
Considerare la funzione f definita da
f ( x) xe x , x 0 .
Nella seguente figura sono riportati il grafico di f e la retta passante per O e per A,
dove A è il punto del grafico corrispondente al massimo di f.
a)
i. Determinare le coordinate del punto A.
ii. Dimostrare che un’equazione della retta passante per O e per A è y
b)
Calcolare l’area della regione di piano colorata in grigio.
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4 punti
x
.
e
2 punti
6 punti
BAC EUROPEO 2009: MATEMATICA 5 PERIODI
PROBLEMA OBBLIGATORIO 2.
ANALISI
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Punteggio
Uno studente sta studiando la crescita di una popolazione di batteri.
Egli ritiene che la crescita possa essere descritta dalla seguente equazione
differenziale:
dN
0, 25 N t
dt
dove t è il tempo in minuti trascorso dall’inizio dell’esperimento e N è il numero
di batteri presenti all’istante t.
Viene ora effettuato un esperimento in cui il numero iniziale di batteri è 5000.
a)
Determinare la soluzione di questa equazione differenziale esprimendo N in
funzione del tempo.
6 punti
b)
i. Calcolare il numero di batteri presenti dopo 4 minuti.
3 punti
ii. Calcolare il tempo necessario affinché il numero di batteri presenti diventi
uguale a 50000.
3 punti
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BAC EUROPEO 2009: MATEMATICA 5 PERIODI
PROBLEMA OBBLIGATORIO 3.
GEOMETRIA
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Punteggio
Nello spazio, munito di un sistema di riferimento cartesiano ortonormato,
considerare il piano
: 4x – 3y = 12
a) i. Determinare le coordinate dei punti di intersezione di con gli assi
cartesiani.
2 punti
ii. Determinare un sistema di equazioni parametriche della retta di
intersezione del piano con il piano xy.
4 punti
b) i. Determinare le coordinate del punto P, simmetrico dell’origine O rispetto
ad
4 punti
ii. Determinare un’equazione cartesiana per ciascuno dei piani paralleli ad e
situati a distanza 4 da esso.
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3 punti
BAC EUROPEO 2009: MATEMATICA 5 PERIODI
PROBLEMA OBBLIGATORIO 4.
PROBABILITÀ
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Punteggio
Una fabbrica ha installato un sistema di allarme che scatta non appena si verifica un
incidente sulla linea di produzione. Se l’allarme scatta, la produzione viene fermata
per tutta la giornata. Tuttavia, qualche volta, l’allarme non funziona in modo
adeguato.
Si sa che, in ogni dato giorno:
la probabilità che l’allarme scatti nel caso in cui non si verifichi alcun
incidente è 0,02.
La probabilità che l’allarme non scatti nel caso in cui si verifichi un incidente
è 0,2.
Si sa inoltre che, in ogni dato giorno, la probabilità che si verifichi un incidente è
0,01.
a)
b)
i. Calcolare la probabilità che, in un dato giorno, si verifichi un incidente e
esso faccia scattare l’allarme.
3 punti
ii. Calcolare la probabilità che, in un dato giorno, scatti l’allarme.
3 punti
i. L’allarme è appena scattato.
Quale è la probabilità che si sia realmente verificato un incidente?
3 punti
ii. Quale è la probabilità che l’allarme scatti esattamente due giorni su sette
considerati?
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4 punti
BAC EUROPEO 2009: MATEMATICA 5 PERIODI
PROBLEMA A SCELTA I. ANALISI
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Punteggio
Sia data la funzione f definita da
3 x ln x ,
f ( x) 1
3 x ln x ,
0 x 1
x 1 .
Sia F il grafico di f in un sistema ortonormato di assi cartesiani.
a)
Dimostrare che f è continua e derivabile in x = 1.
4 punti
b)
Studiare f determinandone lo zero, le coordinate e la natura degli estremi e i
limiti di f(x) per x e per x 0 .
6 punti
c)
Disegnare F .
2 punti
d)
Determinare un’equazione della tangente a F nel punto in cui F interseca
l’asse delle x.
i. Determinare l’area A(k) della regione di piano delimitata da F, dall’asse x
e dalle rette di equazioni x = k (0 < k < 1) e x = 1.
3 punti
e)
3 punti
2 punti
ii. Calcolare A = lim A(k ) .
k 0
f)
i. Determinare l’area B(p) della regione di piano delimitata da F, dall’asse x
e dalle rette di equazioni x = 1 e x = p (p > 1).
3 punti
ii. Calcolare il valore di p per cui B(p) = A.
2 punti
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BAC EUROPEO 2009: MATEMATICA 5 PERIODI
PROBLEMA A SCELTA II.
PROBABILITÀ
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Punteggio
I giocattoli prodotti da una fabbrica possono avere due tipi di difetti, uno nel colore e
l’altro nella forma del giocattolo. I due difetti si manifestano indipendentemente
l’uno dall’altro.
Per ciascun giocattolo scelto a caso, definiamo i seguenti eventi:
A: il giocattolo è difettoso nel colore;
B: il giocattolo è difettoso nella forma;
C: il giocattolo ha almeno uno dei due difetti.
Si sa che P(A) = 0,052 e che P(B) = 0,041.
a)
Calcolare P(A B)
3 punti
b)
Calcolare P(C)
3 punti
Nelle domande c) e d) che seguono, si assuma che, per un giocattolo scelto a caso
dalla produzione, la probabilità che il giocattolo abbia almeno uno dei due difetti sia
0,09. I giocattoli sono scelti a caso e confezionati in scatole.
c)
Un negozio compra scatole contenenti 60 giocattoli ciascuna.
Sia X la variabile casuale che descrive il numero di giocattoli in una scatola
con almeno uno dei due difetti.
i. Identificare il tipo di distribuzione di probabilità di X, precisando i valori
1 punto
dei suoi parametri .
ii. Calcolare P(X = 5).
3 punti
iii. Viene effettuata un’approssimazione della distribuzione di X mediante
1 punti
una distribuzione di Poisson. Calcolare il parametro di questa
distribuzione.
iv. Usando questa approssimazione di Poisson, calcolare la probabilità che,
4 punti
una scatola scelta a caso, contenga meno di 3 giocattoli con almeno uno
dei due difetti.
d)
Un altro negozio compra scatole che contengono 500 giocattoli ciascuna.
Sia Y la variabile casuale che descrive il numero di giocattoli in una scatola
con almeno uno dei due difetti.
i. Spiegate perché si può approssimare la distribuzione di Y con una
2 punti
distribuzione normale, precisando i valori dei suoi parametri.
ii. Calcolare P(Y<50).
4 punti
iii. Calcolare P(20<Y<30).
4 punti
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BAC EUROPEO 2009: MATEMATICA 5 PERIODI
PROBLEMA A SCELTA III. GEOMETRIA
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Punteggio
Nello spazio munito di un sistema di riferimento cartesiano ortonormato, si
considerino
i punti P(0 ; –1 ; 1)
e
Q (3; 0 ; – 3 )
x 2t
, tR
la retta d : y t
z 2 2t
la sfera S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 6 0
il piano : 2 x y 4 0 .
a)
Il piano contiene il punto P e la retta d .
Dimostrare che x + 2y – 2z + 4 = 0 è un’equazione di .
3 punti
b)
Determinare le coordinate del centro C e il raggio R della sfera S .
2 punti
c)
Determinare un’equazione per ciascuna delle due sfere di raggio r = 3
che sono tangenti a nel punto P.
Verificare che una di queste sfere è S .
6 punti
d)
Verificare che i piani e sono fra loro perpendicolari.
3 punti
e)
Il piano interseca la sfera S secondo un cerchio K.
Determinare il centro e il raggio di K .
5 punti
i. Dimostrare che il punto Q appartiene alla sfera S .
1 punto
ii. La retta m è tangente a S in Q e interseca la retta d.
Determinare un sistema di equazioni parametriche della retta m.
5 punti
f)
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