6. PROBABILITÀ ESERCIZI Esercizio 1 Considerare il lancio di un dado e i due eventi E1 = uscita di un numero pari e E2 = uscita di un numero multiplo di 3. a. Calcolare la probabilità dell’evento E1 ∪ E2. b. P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) ? Perché? [2/3 – No...] Esercizio 2 Calcolare la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 52, essa abbia un valore minore di 5, sapendo che è una carta di cuori. [4/13] Esercizio 3 Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono 3 reimmettendo ogni carta nel mazzo. Calcolare la probabilità che si abbia nell’ordine una carta di spade, un asso e una figura. [3/400] Esercizio 4 Un cestino contiene 100 biglie di cui 50 rosse, 30 bianche e 20 nere. Calcolare la probabilità che, estraendone due contemporaneamente, si ottenga una biglia bianca e una nera. [4/33] Esercizio 5 Calcolare la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 40, essa abbia valore 2 o 3, sapendo che è una carta di spade. [1/5] Esercizio 6 Un cestino contiene 80 biglie di cui 40 rosse, 10 bianche e 30 nere. Calcolare la probabilità che in tre estrazioni successive con reimmissione si ottenga nell’ordine una biglia rossa, una bianca e una nera. [3/128] Esercizio 7 Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono contemporaneamente 2. Calcolare la probabilità che si abbia una figura e un asso. [8/221] Esercizio 8 Un’urna contiene 3 palline bianche e 7 nere. Calcolare, nel caso in cui ogni volta la pallina venga rimessa nell’urna dopo ogni estrazione, la probabilità che: a.
la pallina bianca esca per la prima volta alla quarta o alla quinta estrazione; b.
in 5 estrazioni la pallina bianca esca tre volte; c.
in 3 estrazioni la pallina bianca esca almeno due volte; d.
alla seconda estrazione esca una pallina bianca. Ripetere tutti i punti precedenti supponendo che dopo ogni estrazione la pallina uscita non venga rimessa nell’urna. [17.493/100.000 – 1.323/10.000 – 27/125 – 3/10 – 5/24 – 1/12 – 11/60 – 3/10] Esercizio 9 In un gruppo di 60 persone, 15 sono laureate e 45 diplomate. I laureati che conoscono la lingua inglese sono 12, i diplomati 18. Applicando il teorema di Bayes, calcolare la probabilità che, scelta a caso una persona che conosce l’inglese, essa sia diplomata. [60%] 71 Esercizio 10 In una scuola di 150 studenti, 60 sono figli unici. Gli alunni figli unici che possiedono lo scooter sono 18, mentre gli alunni che non sono figli unici che hanno lo scooter sono 45. Applicando il teorema di Bayes, calcolare la probabilità che ha uno studente con lo scooter di essere figlio unico. [2/7] Esercizio 11 Si considerino dieci urne, identiche in apparenza, di cui nove contengono due palline bianche e due nere ciascuna e una contiene cinque palline bianche e una nera. Scelta a caso un’urna, si estrae una pallina che risulta essere bianca. Qual è la probabilità che la pallina sia stata estratta dall’urna contenente cinque palline bianche? [0,156] Esercizio 12 Si supponga di sapere che una porzione pari a 0,001 di una certa popolazione è affetta da una determinata malattia. Per rilevare tale patologia si utilizza un test diagnostico con le seguenti caratteristiche: se una persona è ammalata, il test risulta positivo con probabilità 0,999, mentre, se è sana il test risulta positivo con probabilità 0,002. Scelta a caso una persona, se il test risulta positivo, qual è la probabilità che la persona sia veramente affetta dalla malattia? [0,33] Esercizio 13 Una popolazione presenta il 32% di fumatori. E` noto che il 25% dei fumatori e il 5% dei non fumatori è affetto da una patologia respiratoria cronica. Qual è la probabilità che un individuo scelto a caso da questa popolazione sia affetto dalla malattia? Qual è la probabilità che una persona scelta a caso da questa popolazione, e risultata affetta dalla malattia respiratoria, sia un fumatore? [0,114 – 0,702] Esercizio 14 Un fornitore di componenti elettronici raccoglie la sua produzione in tre classi, A, B, C, che contengono rispettivamente il 3%, il 9% e il 13% di pezzi difettosi. Le tre classi coprono rispettivamente il 15%, il 35% e il 50% della sua produzione. Avendo scelto un lotto di componenti senza sapere a quale classe appartenga e avendo riscontrato che un pezzo estratto a caso dal lotto è risultato difettoso, qual è la probabilità che il lotto in esame sia di classe C? [0,64] Esercizio 15 Un’urna contiene 4 palline bianche e 8 nere. Calcolare la probabilità che, estraendo consecutivamente tre palline senza rimettere la pallina estratta nell’urna: a. siano dello stesso colore; b. siano due bianche e una nera o due nere e una bianca. [3/11 – 8/11] Esercizio 16 Si estraggono contemporaneamente tre carte da un mazzo da 40. Calcolare la probabilità che si presentino: a. tre figure o tre re; b. almeno due figure; c. almeno una figura. [11/494 – 517/2.470 – 127/190] Esercizio 17 Una macchina produce pezzi meccanici e, su una produzione di 400 pezzi, 20 sono difettosi per peso, 30 per lunghezza e 360 sono perfetti. Calcolare la probabilità che, prendendo a caso un pezzo: a. sia difettoso; b. abbia entrambi i difetti; c. sia difettoso per peso, sapendo che anche la lunghezza non è corretta. [1/10 – 1/40 – 1/3] 72 Esercizio 18 Un’urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Calcolare la probabilità che, estraendo consecutivamente due palline senza rimettere quella estratta nell’urna, esse siano: a. due palline con un numero pari; b. una con un numero pari e l’altra con un numero dispari; c. due palline con un numero primo. [9/38 – 10/19 – 14/95] Esercizio 19 Un commesso ha mescolato i barattoli di legumi sullo scaffale di un supermercato. Ci sono 7 barattoli di piselli, 9 barattoli di fagioli e 6 barattoli di lenticchie. Si prendono consecutivamente 3 barattoli senza rimetterli sullo scaffale. Calcolare la probabilità che: a. siano tutti barattoli di piselli; b. uno sia di piselli e due di fagioli; c. ce ne sia uno per tipo; d. non ci sia alcun barattolo di lenticchie. [1/44 – 9/55 – 27/110 – 4/11] Esercizio 20 Una fabbrica di giocattoli ha rilevato che il 9% delle automobiline prodotte ha difettoso il contatto delle pile e il 4% ha le ruote poco scorrevoli. Sapendo che le automobiline che hanno entrambi i difetti sono il 2%, calcolare la probabilità che un’automobilina: a. abbia un difetto o l’altro; b. sia difettosa nel contatto con le pile sapendo che è poco scorrevole; c. abbia solo il difetto del contatto elettrico; d. non abbia difetti. [0,11 – 0,5 – 0,07 – 0,89] Esercizio 21 Su un aereo viaggiano 130 passeggieri italiani, 45 inglesi, 25 cinesi. Si estraggono a sorte tre nomi per assegnare tre buoni premio. Calcolare la probabilità che siano: a. due italiani e un cinese o un italiano e due cinesi; b. un italiano, un inglese e un cinese. [19% – 11%] Esercizio 22 Un’impresa costruisce frullatori che possono presentare difetti nel circuito elettrico con probabilità del 5%, nella parte meccanica con probabilità del 7% ed entrambi i difetti con probabilità del 2%. Calcolare la probabilità che: a. prendendo a caso un frullatore esso sia difettoso; b. su 5 frullatori due siano difettosi; c. su 5 frullatori tutti siano perfetti. [0,1 – 0,0729 – 0,59049] Esercizio 23 Il reparto A di un’industria ceramica produce il 60% di piastrelle, il reparto B il 40%. La qualità della produzione del reparto A è: il 60% di prima, il 35% di seconda, il 5% da scartare. La qualità della produzione del reparto B è: il 66% di prima, il 30% di seconda, il 4% da scartare. Qual è la percentuale di produzione di piastrelle rispettivamente di prima, di seconda qualità e da scartare dell’industria? Se si prende una piastrella a caso di prima qualità, qual è la probabilità che essa sia stata prodotta dal reparto A? [62,4% – 33% – 4,6% – 15/26] 73
