voronoi

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01CXGBN – Trasmissione numerica
parte 8:
Calcolo delle probabilità III
(union bound; approssimazioni asintotiche)
1
Union Bound
Per una costellazione complicata è difficile che si riesca a calcolare
analiticamente la BER e la SER in modo semplice (regioni di intregrazione
“complicate”).
Consideriamo un limite superiore (upper bound) molto usato in pratica: lo
Union bound
Data una costellazione M supponiamo prima che sia GU:
PS (e) = PS (e | sT = s1 )
Questa probabilità è data dalla (approccio 2):
PS (e | sT = s1 ) = ∑ P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 )
j ≠1
2
Union Bound
Se la forma delle regioni di Voronoi è complicata, il calcolo della probabilità
P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 )
può risultare molto difficile.
V (s j )
sj
V ( s1 )
s1
3
Union Bound
Facciamo una semplificazione fortissima.
Data la coppia (s1,sj), supponiamo di cancellare tutti gli altri (m-2) segnali.
Indichiamo con V’(s1) e V’(si) le regioni di Voronoi dei due segnali in questa
situazione.
Calcoliamo ora la probabilità di trasmettere s1, e ricevere sj sotto questa
ipotesi. (Questa probabilità prende il nome di pairwise error probability:
probabilità di sbagliare quando si trasmette s1 e si riceve sj nell’ipotesi di
cancellare tutti gli altri segnali).
P '( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 )
usiamo l’apice per ricordarci che non si tratta della vera probabilità di errore,
nè della vera regione di Voronoi (a meno del caso banale di costellazione
M binaria).
4
Union Bound
V ' ( s1 )
V '( s j )
P '( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 )
sj
s1
Calcolare questa probabilità è facile: si tratta di una costellazione binaria
generica, dove abbiamo dimostrato che la probabilità di errore dipende
solo dalla distanza tra i due segnali:
( )

2
d
s j , s1

1
P '( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s0 ) = erfc 
2
4 N0







5
Union Bound
Ora, se consideriamo la vera regione di Voronoi di sj (quando ci sono tutti i
segnali di M), possiamo sicuramente scrivere:
V ( s j ) ⊆ V '( s j )
Dimostrazione: se un punto appartiene a V(sj) è più vicino a sj che a s1 e
quindi (anche quando considero tutti i segnali di M) non può
sicuramente appartenere a V’(s1).
V ' ( s1 )
V '( s j )
V (s j )
sj
V ( s1 )
s1
6
Union Bound
Per la vera probabilità di trasmettere s1, e ricevere sj abbiamo quindi:
V ( s j ) ⊆ V '( s j )
( )


2
d
s
,
s
j 1 

1
P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 ) ≤ P( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 ) = erfc 

N
2
4
0




Replicando questo procedimento per tutti gli (m-1) segnali sj ≠ s1 abbiamo
quindi:
7
Union Bound
PS (e) = PS (e | sT = s1 ) = ∑ P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 ) ≤ ∑ P( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 ) =
j ≠1
( )

2
d
s j , s1

1
= ∑ erfc 
4 N0
j ≠1 2


j ≠1





Questa è l’espressione dello Union Bound per la SER valida per costellazioni
GU:


2
d
s
,
s
j 1 

1
PS (e) ≤ ∑ erfc 

4
N
j ≠1 2
0




( )
e rappresenta un limite superiore alla vera SER, calcolabile mediante
un’espressione analitica molto semplice.
Esplicitando poi il legame tra le distanze e l’energia Eb, si esprime il limite
superiore in funzione del rapporto Eb/N0.
8
Esempio 4-PSK
Consideriamo una costellazione 4-PSK di 4 segnali in 2 dimensioni
equispaziati su un cerchio.
01/s4
11/s3
a
a
00/s1
10/s2
Applichiamo lo Union bound. Si ha:
 d2
1
1
PS (e) ≤ erfc 
 4 N0
2

 1
 d2
2
 + erfc 
 2
 4 N0


 d2
 1
3
 + erfc 
 2
 4 N0






[con lo Union Bound, alcune regioni vengono contate due volte o addirittura tre volte]
9
Union Bound per la BER
Un limite analogo si ottiene per la BER:
Pb (e) = Pb (e | sT = s1 ) = ∑
j ≠1
d H (v j , v1 )
k
P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 ) ≤
( )

2
d
s j , s1
d H (v j , v1 )
d H (v j , v1 ) 1

≤∑
P( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 ) = ∑
erfc 
k
k
2
4 N0
j ≠1
j ≠0







Questa è l’espressione dello Union Bound per la BER valida per costellazioni
GU:
( )

2
d
s j , s1
d H (v j , v1 ) 1

Pb (e) = Pb (e | sT = s1 ) ≤ ∑
erfc 
k
2
4 N0
j ≠1







10
Distanza minima e prestazioni asintotiche
Data l’ espressione dello union bound per la PS(e) vogliamo ora studiare il suo
comportamento asintotico, ovvero per Eb/No Æ∞.
( )

2
d
s j , s1

1
PS (e) ≤ UBS = ∑ erfc 
4 N0
j ≠1 2







Per Eb/No Æ∞ nella sommatoria prevalgono i termini caratterizzati dalle
distanza Euclidee più basse
11
Approssimazione asintotica SER per costellazioni GU
Asintoticamente possiamo scrivere:
 d2 
1
lim UBS = Amin erfc  min 
Eb / N 0 →∞
 4 N0 
2


dove
d min = min d E ( s1 , s j )
s1 s j ∈ M
Amin = numero di segnali s j con d E ( s1 s j ) = d min
12
Approssimazione asintotica SER per costellazioni GU
Inoltre: per Eb/No Æ∞ si osserva che la vera probabilità di errore PS(e) è
molto vicina allo union bound.
Asintoticamente (cioé per alti valori del rapporto segnale/disturbo), possiamo
quindi scrivere:
 d2 
1
PS (e) ≈ Amin erfc  min 
 4 N0 
2


Questa espressione non è più un upper bound ma un’approssimazione della
vera probabilità, valida solo ad alto rapporto segnale disturbo.
13
Approssimazione asintotica BER per costellazioni GU
Similmente, si può ricavare un’approssimazione asintotica valida per la BER.
Asintoticamente (cioé per alti valori del rapporto segnale/disturbo),
possiamo scrivere:
 d2
1 wmin
Pb (e) ≈
erfc  min
 4 N0
2 k

dove
wmin =
∑
s j :d E ( s1 , s j ) = d min




d H (v1 , v j )
14
Esempio 4-PSK
Applichiamo le approssimazioni asintotiche:
01/s4
SER
11/s3
a
a
00/s1
Si ha:
Segue:
d min = 2a
Amin = 2
10/s2
wmin = 2
 d2 
 Eb 
min
PS (e) ≈ erfc 
 = erfc 

 4 N0 
N
0 



Si era calcolato esattamente:
PS (e) = 2 p − p
2
 Eb 
1
con p = erfc 
 N 
2
0 

(Quando Eb/N0 cresce, il termine p2 diventa trascurabile rispetto a 2p)
15
Esempio 4-PSK
Applichiamo ora le approssimazioni asintotiche
01/s4
BER
11/s3
a
a
00/s1
Si ha:
Segue:
d min = 2a
Amin = 2
10/s2
wmin = 2
 d2  1
 Eb 
1
min
Pb (e) ≈ erfc 
 = erfc 

 4 N0  2
N
2
0 



(risultato casualmente esatto)
16
Union Bound per costellazioni non GU
Espressione dello Union Bound per la SER e la BER nel caso di costellazioni
non GU:
1
 d 2 (s , s ) 
1 m
j
i

PS (e) ≤ ∑∑  erfc  E

m i =1 j ≠i  2
4 N0 



 1 d (v , v )
 d 2 (s , s ) 
1 m
j
i
j
i

Pb (e) ≤ ∑∑  H
erfc  E

m i =1 j ≠i  2
k
4 N0 



17
Approssimazioni asintotiche per costellazioni non GU
Se la costellazione non è GU, le approssimazioni asintotiche sono le stesse,
ma le molteplicità vanno calcolate mediate su tutti i segnali di M:
PS (e) ≈ Amin
 d2 
1
erfc  min 
 4 N0 
2


 d2
wmin 1
Pb (e) ≈
erfc  min
 4 N0
k 2





d min = min d E ( si , s j )
si s j ∈ M
m
Amin =
∑A
i =1
min,i
m
Amin,i = numero di segnali s j con d E ( si s j ) = d min
m
wmin =
∑w
i =1
min,i
m
wmin,i =
∑
s j :d E ( si , s j ) = d min
d H (vi , v j )
18
Esempio
Consideriamo questa costellazione di 4 segnali in 2 dimensioni non GU:
Si ha:
2A
1 m
A2 + 4 A2 + 4 A2 + A2 5 2
ES = ∑ E ( si ) =
= A
4 i =1
4
2
10 / s3
ES 5 2
Eb =
= A
−A
k
4
Importante: non hanno
segnali a distanza dmin!
16
2
2
−2A
d min = 4 A = Eb
5
Amin,1 + Amin,2 + Amin,3 + Amin,4 1 + 0 + 1 + 0 1
Amin =
=
=
4
4
2
wmin,1 + wmin,2 + wmin,3 + wmin,4 1 + 0 + 1 + 0 1
wmin =
=
=
4
4
2
01/ s 2
00 / s1
A
11/ s 4
19
Esempio
Segue:
 4 Eb 
1
PS (e) ≈ erfc 


4
 5 N0 
 4 Eb 
1
Pb (e) ≈ erfc 


8
 5 N0 
2A
10 / s3
01/ s 2
00 / s1
−A
A
−2A
11/ s 4
20
Esempio 4-PAM
Consideriamo una costellazione 4-PAM di 4 segnali in 1 dimensione
01/ s1 = ( −3 A ) 00 / s 2 = ( − A)
0 10 / s 3 = ( + A )
11/ s 4 = ( +3 A )
Si ha:
1
ES =
4
ES 5 2
9 A2 + A2 + A2 + 9 A2
2
= 5A
= A
E ( si ) =
Eb =
∑
4
2
k
i =1
8
2
2
d min = 4 A = Eb
5
Amin,1 + Amin,2 + Amin,3 + Amin,4 1 + 2 + 2 + 1 3
Amin =
=
=
4
4
2
wmin,1 + wmin,2 + wmin,3 + wmin,4 1 + 2 + 2 + 1 3
wmin =
=
=
4
4
2 21
m
Esempio 4-PAM
01/ s1 = ( −3 A ) 00 / s 2 = ( − A )
0 10 / s 3 = ( + A )
11/ s 4 = ( +3 A )
Segue:
 2 Eb 
3
PS (e) ≈ erfc 


4
 5 N0 
 2 Eb 
3
Pb (e) ≈ erfc 


8
 5 N0 
22
Sul labeling di Gray
Guardando l’approssimazione asintotica, si capisce che il labeling di Gray
minimizza la probabilità di errore sul bit per alti valori di Eb/N0
 d2
1 wmin
Pb (e) ≈
erfc  min
 4 N0
2 k





La wmin compare linearmente in questa espressione.
Ricordando le definizioni di Amin e wmin si ha sempre:
Amin ≤ wmin
Quando si usa un labeling di Gray si riesce però ad ottenere
Amin = wmin
Di conseguenza, la BER asintotica viene minimizzata.
23
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