01CXGBN – Trasmissione numerica parte 8: Calcolo delle probabilità III (union bound; approssimazioni asintotiche) 1 Union Bound Per una costellazione complicata è difficile che si riesca a calcolare analiticamente la BER e la SER in modo semplice (regioni di intregrazione “complicate”). Consideriamo un limite superiore (upper bound) molto usato in pratica: lo Union bound Data una costellazione M supponiamo prima che sia GU: PS (e) = PS (e | sT = s1 ) Questa probabilità è data dalla (approccio 2): PS (e | sT = s1 ) = ∑ P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 ) j ≠1 2 Union Bound Se la forma delle regioni di Voronoi è complicata, il calcolo della probabilità P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 ) può risultare molto difficile. V (s j ) sj V ( s1 ) s1 3 Union Bound Facciamo una semplificazione fortissima. Data la coppia (s1,sj), supponiamo di cancellare tutti gli altri (m-2) segnali. Indichiamo con V’(s1) e V’(si) le regioni di Voronoi dei due segnali in questa situazione. Calcoliamo ora la probabilità di trasmettere s1, e ricevere sj sotto questa ipotesi. (Questa probabilità prende il nome di pairwise error probability: probabilità di sbagliare quando si trasmette s1 e si riceve sj nell’ipotesi di cancellare tutti gli altri segnali). P '( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 ) usiamo l’apice per ricordarci che non si tratta della vera probabilità di errore, nè della vera regione di Voronoi (a meno del caso banale di costellazione M binaria). 4 Union Bound V ' ( s1 ) V '( s j ) P '( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 ) sj s1 Calcolare questa probabilità è facile: si tratta di una costellazione binaria generica, dove abbiamo dimostrato che la probabilità di errore dipende solo dalla distanza tra i due segnali: ( ) 2 d s j , s1 1 P '( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s0 ) = erfc 2 4 N0 5 Union Bound Ora, se consideriamo la vera regione di Voronoi di sj (quando ci sono tutti i segnali di M), possiamo sicuramente scrivere: V ( s j ) ⊆ V '( s j ) Dimostrazione: se un punto appartiene a V(sj) è più vicino a sj che a s1 e quindi (anche quando considero tutti i segnali di M) non può sicuramente appartenere a V’(s1). V ' ( s1 ) V '( s j ) V (s j ) sj V ( s1 ) s1 6 Union Bound Per la vera probabilità di trasmettere s1, e ricevere sj abbiamo quindi: V ( s j ) ⊆ V '( s j ) ( ) 2 d s , s j 1 1 P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 ) ≤ P( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 ) = erfc N 2 4 0 Replicando questo procedimento per tutti gli (m-1) segnali sj ≠ s1 abbiamo quindi: 7 Union Bound PS (e) = PS (e | sT = s1 ) = ∑ P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 ) ≤ ∑ P( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 ) = j ≠1 ( ) 2 d s j , s1 1 = ∑ erfc 4 N0 j ≠1 2 j ≠1 Questa è l’espressione dello Union Bound per la SER valida per costellazioni GU: 2 d s , s j 1 1 PS (e) ≤ ∑ erfc 4 N j ≠1 2 0 ( ) e rappresenta un limite superiore alla vera SER, calcolabile mediante un’espressione analitica molto semplice. Esplicitando poi il legame tra le distanze e l’energia Eb, si esprime il limite superiore in funzione del rapporto Eb/N0. 8 Esempio 4-PSK Consideriamo una costellazione 4-PSK di 4 segnali in 2 dimensioni equispaziati su un cerchio. 01/s4 11/s3 a a 00/s1 10/s2 Applichiamo lo Union bound. Si ha: d2 1 1 PS (e) ≤ erfc 4 N0 2 1 d2 2 + erfc 2 4 N0 d2 1 3 + erfc 2 4 N0 [con lo Union Bound, alcune regioni vengono contate due volte o addirittura tre volte] 9 Union Bound per la BER Un limite analogo si ottiene per la BER: Pb (e) = Pb (e | sT = s1 ) = ∑ j ≠1 d H (v j , v1 ) k P( ρ ∈ V ( s j ) | sT = s1 ) ≤ ( ) 2 d s j , s1 d H (v j , v1 ) d H (v j , v1 ) 1 ≤∑ P( ρ ∈ V '( s j ) | sT = s1 ) = ∑ erfc k k 2 4 N0 j ≠1 j ≠0 Questa è l’espressione dello Union Bound per la BER valida per costellazioni GU: ( ) 2 d s j , s1 d H (v j , v1 ) 1 Pb (e) = Pb (e | sT = s1 ) ≤ ∑ erfc k 2 4 N0 j ≠1 10 Distanza minima e prestazioni asintotiche Data l’ espressione dello union bound per la PS(e) vogliamo ora studiare il suo comportamento asintotico, ovvero per Eb/No Æ∞. ( ) 2 d s j , s1 1 PS (e) ≤ UBS = ∑ erfc 4 N0 j ≠1 2 Per Eb/No Æ∞ nella sommatoria prevalgono i termini caratterizzati dalle distanza Euclidee più basse 11 Approssimazione asintotica SER per costellazioni GU Asintoticamente possiamo scrivere: d2 1 lim UBS = Amin erfc min Eb / N 0 →∞ 4 N0 2 dove d min = min d E ( s1 , s j ) s1 s j ∈ M Amin = numero di segnali s j con d E ( s1 s j ) = d min 12 Approssimazione asintotica SER per costellazioni GU Inoltre: per Eb/No Æ∞ si osserva che la vera probabilità di errore PS(e) è molto vicina allo union bound. Asintoticamente (cioé per alti valori del rapporto segnale/disturbo), possiamo quindi scrivere: d2 1 PS (e) ≈ Amin erfc min 4 N0 2 Questa espressione non è più un upper bound ma un’approssimazione della vera probabilità, valida solo ad alto rapporto segnale disturbo. 13 Approssimazione asintotica BER per costellazioni GU Similmente, si può ricavare un’approssimazione asintotica valida per la BER. Asintoticamente (cioé per alti valori del rapporto segnale/disturbo), possiamo scrivere: d2 1 wmin Pb (e) ≈ erfc min 4 N0 2 k dove wmin = ∑ s j :d E ( s1 , s j ) = d min d H (v1 , v j ) 14 Esempio 4-PSK Applichiamo le approssimazioni asintotiche: 01/s4 SER 11/s3 a a 00/s1 Si ha: Segue: d min = 2a Amin = 2 10/s2 wmin = 2 d2 Eb min PS (e) ≈ erfc = erfc 4 N0 N 0 Si era calcolato esattamente: PS (e) = 2 p − p 2 Eb 1 con p = erfc N 2 0 (Quando Eb/N0 cresce, il termine p2 diventa trascurabile rispetto a 2p) 15 Esempio 4-PSK Applichiamo ora le approssimazioni asintotiche 01/s4 BER 11/s3 a a 00/s1 Si ha: Segue: d min = 2a Amin = 2 10/s2 wmin = 2 d2 1 Eb 1 min Pb (e) ≈ erfc = erfc 4 N0 2 N 2 0 (risultato casualmente esatto) 16 Union Bound per costellazioni non GU Espressione dello Union Bound per la SER e la BER nel caso di costellazioni non GU: 1 d 2 (s , s ) 1 m j i PS (e) ≤ ∑∑ erfc E m i =1 j ≠i 2 4 N0 1 d (v , v ) d 2 (s , s ) 1 m j i j i Pb (e) ≤ ∑∑ H erfc E m i =1 j ≠i 2 k 4 N0 17 Approssimazioni asintotiche per costellazioni non GU Se la costellazione non è GU, le approssimazioni asintotiche sono le stesse, ma le molteplicità vanno calcolate mediate su tutti i segnali di M: PS (e) ≈ Amin d2 1 erfc min 4 N0 2 d2 wmin 1 Pb (e) ≈ erfc min 4 N0 k 2 d min = min d E ( si , s j ) si s j ∈ M m Amin = ∑A i =1 min,i m Amin,i = numero di segnali s j con d E ( si s j ) = d min m wmin = ∑w i =1 min,i m wmin,i = ∑ s j :d E ( si , s j ) = d min d H (vi , v j ) 18 Esempio Consideriamo questa costellazione di 4 segnali in 2 dimensioni non GU: Si ha: 2A 1 m A2 + 4 A2 + 4 A2 + A2 5 2 ES = ∑ E ( si ) = = A 4 i =1 4 2 10 / s3 ES 5 2 Eb = = A −A k 4 Importante: non hanno segnali a distanza dmin! 16 2 2 −2A d min = 4 A = Eb 5 Amin,1 + Amin,2 + Amin,3 + Amin,4 1 + 0 + 1 + 0 1 Amin = = = 4 4 2 wmin,1 + wmin,2 + wmin,3 + wmin,4 1 + 0 + 1 + 0 1 wmin = = = 4 4 2 01/ s 2 00 / s1 A 11/ s 4 19 Esempio Segue: 4 Eb 1 PS (e) ≈ erfc 4 5 N0 4 Eb 1 Pb (e) ≈ erfc 8 5 N0 2A 10 / s3 01/ s 2 00 / s1 −A A −2A 11/ s 4 20 Esempio 4-PAM Consideriamo una costellazione 4-PAM di 4 segnali in 1 dimensione 01/ s1 = ( −3 A ) 00 / s 2 = ( − A) 0 10 / s 3 = ( + A ) 11/ s 4 = ( +3 A ) Si ha: 1 ES = 4 ES 5 2 9 A2 + A2 + A2 + 9 A2 2 = 5A = A E ( si ) = Eb = ∑ 4 2 k i =1 8 2 2 d min = 4 A = Eb 5 Amin,1 + Amin,2 + Amin,3 + Amin,4 1 + 2 + 2 + 1 3 Amin = = = 4 4 2 wmin,1 + wmin,2 + wmin,3 + wmin,4 1 + 2 + 2 + 1 3 wmin = = = 4 4 2 21 m Esempio 4-PAM 01/ s1 = ( −3 A ) 00 / s 2 = ( − A ) 0 10 / s 3 = ( + A ) 11/ s 4 = ( +3 A ) Segue: 2 Eb 3 PS (e) ≈ erfc 4 5 N0 2 Eb 3 Pb (e) ≈ erfc 8 5 N0 22 Sul labeling di Gray Guardando l’approssimazione asintotica, si capisce che il labeling di Gray minimizza la probabilità di errore sul bit per alti valori di Eb/N0 d2 1 wmin Pb (e) ≈ erfc min 4 N0 2 k La wmin compare linearmente in questa espressione. Ricordando le definizioni di Amin e wmin si ha sempre: Amin ≤ wmin Quando si usa un labeling di Gray si riesce però ad ottenere Amin = wmin Di conseguenza, la BER asintotica viene minimizzata. 23