CALCOLO DELLA PROBABILITÀ DI ERRORE 1) È data la costellazione di figura. L’angolo ϕ vale π/6. a) Disegnare le regioni di Voronoi. b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile). c) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del rapporto Eb/N0. d) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 8-PSK rispetto a questa costellazione. ϕ ϕ 1 2) È data la seguente costellazione di segnali: α s0 (t ) = T PT (t ), 5α = s ( t ) P ( t ), T 1 T M = s (t ) = − α P (t ), T 2 T 5 α s3 (t ) = − PT (t ) T a) Disegnare le regioni di Voronoi. b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile). c) Calcolare l’espressione esatta della SER e della BER in funzione del rapporto Eb/N0. d) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del rapporto Eb/N0. e) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 4-PAM rispetto a questa costellazione. 2 3) È data la costellazione di figura. a) Disegnare le regioni di Voronoi. b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile). c) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del rapporto Eb/N0. d) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 8-PAM rispetto a questa costellazione. ( −11α ) ( −7α ) ( −5α ) ( −α ) 0 ( +α ) ( +5α ) ( +7α ) (11α ) 3 4) È data la seguente costellazione di segnali: 2 cos(2π f 0t ) PT (t ), s0 (t ) = 3 A T 2 cos(2π f 0t ) PT (t ), s1 (t ) = − 3 A T M = s (t ) = A 2 sin(2π f t ) P (t ), 0 T 2 T 2 s3 (t ) = − A T sin(2π f 0t ) PT (t ) a) Disegnare le regioni di Voronoi. b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile). c) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del rapporto Eb/N0. d) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 4-PSK rispetto a questa costellazione. 4 5) Si ha a disposizione la seguente costellazione di segnali: 2 2 cos ( 2π f 0t ) + APT (t ) cos ( 2π f1t ) , s0 (t ) = APT (t ) T T 2 2 cos ( 2π f 0t ) + 3 APT (t ) cos ( 2π f1t ) , s1 (t ) = 3 APT (t ) T T M = s (t ) = − AP (t ) 2 cos 2π f t − AP (t ) 2 cos 2π f t , ( 0) T ( 1) T 2 T T 2 2 s3 (t ) = − 3 APT (t ) T cos ( 2π f 0t ) − 3 APT (t ) T cos ( 2π f1t ) ( f0 − f1 ) = 1 / T a) Disegnare le regioni di Voronoi. b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile). c) Calcolare l’espressione esatta della SER e della BER in funzione del rapporto Eb/N0. d) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 4-PAM rispetto a questa costellazione. 5 6) È data la costellazione 16-QAM di figura. a) Calcolare l’espressione esatta (senza semplificare) della probabilità Pb(e|sT=s0) in funzione del rapporto Eb/N0 1001/ s 3 1000 / s 2 0001/ s 7 0000 / s 6 −3a −a 0101/ s11 b1 (t ) 3a a 1010 / s1 0010 / s 5 a 0100 / s10 1011/ s 0 0011/ s 4 b0 (t ) 33a a 0110 / s 9 0111/ s8 1110 / s13 1111/ s12 −a 1101/ s15 1100 / s14 −3a 6 7) È data la costellazione di figura. a) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile). b) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del rapporto Eb/N0. c) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 8-PSK rispetto a questa costellazione. A ( A 1+ 2 ) 7 Risultati 1) 011 111 001 101 000 100 110 Ps (e) ≈ 010 E 1 erfc 0.201 b N0 2 E 1 Pb (e) ≈ erfc 0.201 b 6 N0 G = 3.39 dB 8 2) 11 01 ( −5α ) ( −α ) 00 ( +α ) 10 ( +5α ) 0 p + p2 2 p p p p p Pb (e) = + 2 + 4 + 5 − 8 4 2 4 4 4 Ps (e) = p= 1 2 Eb erfc 2 13 N 0 p2 = 1 8 Eb erfc 2 13 N 0 p4 = 1 32 Eb erfc 2 13 N 0 p5 = 1 50 Eb erfc 2 13 N 0 p8 = 1 128 Eb erfc 2 13 N 0 Ps (e) ≈ 1 2 Eb erfc 4 13 N 0 1 2 Eb Pb (e) ≈ erfc 8 13 N 0 G = 4.15 dB 9 3) 110 111 101 100 000 ( −11α ) ( −7α ) ( −5α ) ( −α ) ( +α ) 001 ( +5α ) 011 ( +7α ) 010 (11α ) 0 3 3 Eb Ps (e) ≈ erfc 8 49 N 0 1 3 Eb Pb (e) ≈ erfc 8 49 N 0 G = 3.68 dB 10 4) Non è possibile stabilire un labeling di Gray. 01 A A 3A 00 11 10 Ps (e) ≈ E 5 erfc b 4 N0 Pb (e) ≈ E 3 erfc b 4 N0 G = 0 dB (piccola differenza a favore della 4-PSK dovuta alle molteplicità, che non viene rilevata dal calcolo approssimato del guadagno asintotico che tiene solo conto dell’argomento della erfc ) 11 5) Questa costellazione equivale a una 4-PAM: 01 ( −3α ) 00 ( −α ) 0 10 11 ( +α ) ( +3α ) b0 (t ) (vedi soluzione esercizio 2 dell’esercitazione 3) Ps (e) = 3 2 Eb erfc 4 5 N0 1 (3 p + 2 p3 − p5 ) 4 1 2 Eb p = erfc 2 5 N0 Pb (e) = p3 = 1 18 Eb erfc 2 5 N0 p5 = E 1 erfc 10 b N0 2 G = 0 dB 12 6) Pb (e | sT = s 0 ) = 1 2 1 ( p − p3 )(1 − p) + ( p3 − p5 )(1 − p ) + ( p5 )(1 − p ) + 4 4 4 1 2 3 2 + (1 − p )( p − p3 ) + ( p − p3 )( p − p3 ) + ( p3 − p5 )( p − p3 ) + ( p5 )( p − p3 ) + 4 4 4 4 2 3 4 3 + (1 − p )( p3 − p5 ) + ( p − p3 )( p3 − p5 ) + ( p3 − p5 )( p3 − p5 ) + ( p5 )( p3 − p5 ) + 4 4 4 4 1 2 3 2 + (1 − p )( p5 ) + ( p − p3 )( p5 ) + ( p3 − p5 )( p5 ) + ( p5 )( p5 ) 4 4 4 4 p= 1 2 Eb erfc 2 5 N0 p3 = 1 18 Eb erfc 2 5 N0 p5 = E 1 erfc 10 b 2 N0 13 7) 000 100 001 101 110 010 111 011 Ps (e) ≈ erfc 0.439 Eb N0 E 1 Pb (e) ≈ erfc 0.439 b N0 3 G = 0 dB 14