Esercizi sul calcolo della probabilità di errore

CALCOLO DELLA PROBABILITÀ DI ERRORE
1) È data la costellazione di figura. L’angolo ϕ vale π/6.
a) Disegnare le regioni di Voronoi.
b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile).
c) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del
rapporto Eb/N0.
d) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 8-PSK
rispetto a questa costellazione.
ϕ
ϕ
1
2) È data la seguente costellazione di segnali:
α


 s0 (t ) = T PT (t ), 


5α


=
s
(
t
)
P
(
t
),
T
 1

T
M =

 s (t ) = − α P (t ), 
T
 2

T


5
α
 s3 (t ) = −
PT (t ) 
T


a) Disegnare le regioni di Voronoi.
b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile).
c) Calcolare l’espressione esatta della SER e della BER in funzione del
rapporto Eb/N0.
d) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del
rapporto Eb/N0.
e) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 4-PAM
rispetto a questa costellazione.
2
3) È data la costellazione di figura.
a) Disegnare le regioni di Voronoi.
b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile).
c) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del
rapporto Eb/N0.
d) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 8-PAM
rispetto a questa costellazione.
( −11α )
( −7α )
( −5α )
( −α )
0
( +α )
( +5α )
( +7α )
(11α )
3
4) È data la seguente costellazione di segnali:


2
cos(2π f 0t ) PT (t ), 
 s0 (t ) = 3 A
T




2
cos(2π f 0t ) PT (t ), 
 s1 (t ) = − 3 A
T


M =

 s (t ) = A 2 sin(2π f t ) P (t ),

0
T
 2

T


2


 s3 (t ) = − A T sin(2π f 0t ) PT (t )

a) Disegnare le regioni di Voronoi.
b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile).
c) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del
rapporto Eb/N0.
d) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 4-PSK
rispetto a questa costellazione.
4
5) Si ha a disposizione la seguente costellazione di segnali:


2
2
cos ( 2π f 0t ) + APT (t )
cos ( 2π f1t ) , 
 s0 (t ) = APT (t )
T
T




2
2
cos ( 2π f 0t ) + 3 APT (t )
cos ( 2π f1t ) , 
 s1 (t ) = 3 APT (t )
T
T


M =

 s (t ) = − AP (t ) 2 cos 2π f t − AP (t ) 2 cos 2π f t , 
( 0) T
( 1) 
T
 2
T
T


2
2


 s3 (t ) = − 3 APT (t ) T cos ( 2π f 0t ) − 3 APT (t ) T cos ( 2π f1t ) 


( f0 − f1 ) = 1 / T
a) Disegnare le regioni di Voronoi.
b) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile).
c) Calcolare l’espressione esatta della SER e della BER in funzione del
rapporto Eb/N0.
d) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 4-PAM
rispetto a questa costellazione.
5
6) È data la costellazione 16-QAM di figura.
a) Calcolare l’espressione esatta (senza semplificare) della probabilità
Pb(e|sT=s0) in funzione del rapporto Eb/N0
1001/ s 3
1000 / s 2
0001/ s 7
0000 / s 6
−3a
−a
0101/ s11
b1 (t )
3a
a
1010 / s1
0010 / s 5
a
0100 / s10
1011/ s 0
0011/ s 4
b0 (t )
33a
a
0110 / s 9
0111/ s8
1110 / s13
1111/ s12
−a
1101/ s15
1100 / s14
−3a
6
7) È data la costellazione di figura.
a) Scegliere un labeling (di Gray, se possibile).
b) Calcolare l’espressione asintotica della SER e della BER in funzione del
rapporto Eb/N0.
c) Calcolare il guadagno asintotico conseguito da una costellazione 8-PSK
rispetto a questa costellazione.
A
(
A 1+ 2
)
7
Risultati
1)
011
111
001
101
000
100
110
Ps (e) ≈
010
E
1
erfc 0.201 b
N0
2
E
1
Pb (e) ≈ erfc 0.201 b
6
N0
G = 3.39 dB
8
2)
11
01
( −5α )
( −α )
00
( +α )
10
( +5α )
0
p
+ p2
2
p
p
p p
p
Pb (e) = + 2 + 4 + 5 − 8
4 2
4
4
4
Ps (e) =
p=
1
2 Eb
erfc
2
13 N 0
p2 =
1
8 Eb
erfc
2
13 N 0
p4 =
1
32 Eb
erfc
2
13 N 0
p5 =
1
50 Eb
erfc
2
13 N 0
p8 =
1
128 Eb
erfc
2
13 N 0
Ps (e) ≈
1
2 Eb
erfc
4
13 N 0
1
2 Eb
Pb (e) ≈ erfc
8
13 N 0
G = 4.15 dB
9
3)
110
111
101
100
000
( −11α )
( −7α )
( −5α )
( −α )
( +α )
001
( +5α )
011
( +7α )
010
(11α )
0
3
3 Eb
Ps (e) ≈ erfc
8
49 N 0
1
3 Eb
Pb (e) ≈ erfc
8
49 N 0
G = 3.68 dB
10
4) Non è possibile stabilire un labeling di Gray.
01
A
A
3A
00
11
10
Ps (e) ≈
E
5
erfc b
4
N0
Pb (e) ≈
E
3
erfc b
4
N0
G = 0 dB
(piccola differenza a favore della 4-PSK dovuta alle molteplicità, che non viene
rilevata dal calcolo approssimato del guadagno asintotico che tiene solo conto
dell’argomento della erfc )
11
5)
Questa costellazione equivale a una 4-PAM:
01
( −3α )
00
( −α )
0
10
11
( +α )
( +3α )
b0 (t )
(vedi soluzione esercizio 2 dell’esercitazione 3)
Ps (e) =
3
2 Eb
erfc
4
5 N0
1
(3 p + 2 p3 − p5 )
4
1
2 Eb
p = erfc
2
5 N0
Pb (e) =
p3 =
1
18 Eb
erfc
2
5 N0
p5 =
E
1
erfc 10 b
N0
2
G = 0 dB
12
6)
Pb (e | sT = s 0 ) =
1
2
1
( p − p3 )(1 − p) + ( p3 − p5 )(1 − p ) + ( p5 )(1 − p ) +
4
4
4
1
2
3
2
+ (1 − p )( p − p3 ) + ( p − p3 )( p − p3 ) + ( p3 − p5 )( p − p3 ) + ( p5 )( p − p3 ) +
4
4
4
4
2
3
4
3
+ (1 − p )( p3 − p5 ) + ( p − p3 )( p3 − p5 ) + ( p3 − p5 )( p3 − p5 ) + ( p5 )( p3 − p5 ) +
4
4
4
4
1
2
3
2
+ (1 − p )( p5 ) + ( p − p3 )( p5 ) + ( p3 − p5 )( p5 ) + ( p5 )( p5 )
4
4
4
4
p=
1
2 Eb
erfc
2
5 N0
p3 =
1
18 Eb
erfc
2
5 N0
p5 =
E
1
erfc 10 b
2
N0
13
7)
000
100
001
101
110
010
111
011
Ps (e) ≈ erfc 0.439
Eb
N0
E
1
Pb (e) ≈ erfc 0.439 b
N0
3
G = 0 dB
14