Morte di un gatto e splitting del Multiverso

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Monografia 001 – February 04th, 2015
Morte di un gatto e splitting del
Multiverso
Marcello Colozzo
Sommario
Dedicato a un gatto che non c’è più
Keywords: many worlds interpretation,meccanica quantistica
1
Misura di una osservabile quantistica
Consideriamo un sistema quanto-meccanico Sq in regime non relativistico. Come è
noto, lo stato del sistema è descritto da una funzione d’onda ψ quale elemento di uno
spazio di Hilbert separabile H [1]. Sia A una osservabile associata al sistema Sq . Se Â
è il corrispondente operatore autoaggiunto, si ha:
 |ak i = ak |ak i , ak ∈ σd Â
 |ai = a |ai , a ∈ σc Â
(1)
Le (1) sono le equazioni agli autovalori per A, scritte nella notazione bra-ket di
Dirac [2]. In tali formule, σd  e σc  sono rispettivamente lo spettro discreto
e lo spettro continuo dell’operatore Â. Per semplicità stiamo considerando il caso di
autovalori non degeneri.
Come è noto {|ak i}ak ∈σd (Â) ∪ {|ai}a∈σc (Â) è un sistema ortonormale completo in H,
onde il ket di stato |ψi si scrive:
|ψi =
NX
≤+∞
ck |ak i +
k=1
Z
σc (Â)
c (a) |ai ,
(2)
I coefficienti della combinazione lineare (2) sono dati da:
ck = hak |ψi
(3)
c (a) = ha|ψi
Senza perdita di generalità, supponiamo che lo spettro di  sia puramente discreto,
onde σc  = ∅. Quindi lo sviluppo del ket di stato negli autoket di  è:
|ψi =
N
X
ck |ak i
(4)
k=1
L’evoluzione temporale del sistema è descritta dall’equazione di Schrödinger o, ciò
che è lo stesso, dall’applicazione dell’operatore di evoluzione temporale U (t, t0 ) =
i
e− ℏ Ĥ(t−t0 ) al ket di stato (4), ottenendo lo stato del sistema a tutti i tempi:
|ψ (t)i =
N
X
k=1
1
ck (t) |ak i
(5)
Per non appesantire la notazione poniamo |ψi ≡ |ψ (t∗ )i, ck ≡ ck (t∗ ), essendo t∗
l’istante in cui viene eseguita la misura dell’osservabile. Quindi:
|ψi =
N
X
ck |ak i
(6)
k=1
|ψi −→ |an i
mis A
In altri termini, in seguito alla misura di A, il sistema “salta dallo stato |ψi a un
autostato |an i, mentre la probabilità di trovare il il sistema nello stato |an i (o, ciò che
è lo stesso, di misurare il valore di an ) è:1 :
P (A = an , t∗ ) = |cn (t∗ )|2
(7)
Sia Eak l’autospazio corrispondente all’autovalore ak , ovvero il sottospazio vettoriale
di H i cui elementi sono gli autovettori appartenenti all’autovalore ak :
n
o
Eak = |ui ∈ H | Â |ui = ak |ui
(8)
Per un noto teorema, H si decompone nella somma diretta degli autospazi:
H=
N
M
E ak
(9)
k=1
Gli autospazi Eak sono ortogonali:
hak |ak′ i = δkk′ =⇒ Eak ⊥Eak′ 6=k
La (9) definisce N operatori (hermitiani) di proiezione P̂ak ∈ Hom (H, Eak ):
N
n o
M
H=
Eak =⇒ ∃ P̂ak
k=1
k∈N
⊂ Hom (H, Eak ) | P̂ak : H −→ Eak
(10)
|ψi−→ck |ak i
Qui è N = {1, 2, ..., N }. Cioè:
∀ |ψi ∈ H, P̂ak |ψi = ck |ak i
(11)
Gli operatori P̂ak verificano le seguenti proprietà
P̂ak P̂ak′ = δkk′ P̂ak′
N
X
P̂ak = 1̂
k=1
1
2
Se |ψi è normalizzato: |||ψi|| = hψ|ψi = 1
2
(12)
Dalla prima delle (12) segue che P̂a2k = P̂ak , cioè gli operatori di proiezione sono idem potenti, e, per una nota proprietà σ P̂ak = {0, 1}. È facile ricavare l’espressione
analitica di P̂ak :
P̂ak = |ak i hak |
(13)
Infatti
P̂ak P̂ak′ = |ak i hak |ak′ i hak′ | = δkk′ |ak i hak′ |
N
X
(14)
|ak i hak | = 1̂
k=1
Vediamo che l’operazione di misura (6) altro che non è che il risultato dell’applicazione
dell’operatore di proiezione P̂an al ket di stato |ψi:
P̂an |ψi = cn |an i
(15)
Riepilogando: all’osservabile quantistica A resta associato un sistema ortogonale
n o
completo di operatori di proiezione P̂ak
che simulano un’operazione di misura.
k∈N
Le equazioni agli autovalori (1) possono essere scritte in termini di autofunzioni. Infatti,
nella rappresentazione delle coordinate, le autofunzioni di A si scrivono:
uk (x) = hx|ak i
(16)
u (x) = hx|ai ,
per cui:
Âuk (x) = ak uk (x)
(17)
Âua (x) = aua (x)
La funzione d’onda del sistema è ψ (x) = hx|ψi:
ψ (x) =
N
X
ck uk (x) +
k=1
Z
σc (Â)
c (a) ua (x) da
(18)
È facile ricavare a partire dalle (3) le espressioni analitiche dei coefficienti dello sviluppo
(18):
Z+∞
ck =
u∗k (x) ψ (x) dx
−∞
Z+∞
c (a) =
u∗a (x) ψ (x) dx
−∞
3
(19)
La (6) diventa:
ψ (x, t) =
N
X
ck (t) uk (x)
k=1
ψ (x, t∗ ) −→ un (x) , con n ∈ {1, 2, ..., N }
misA
***
Osserviamo che la riduzione del vettore di stato in uno degli autostati dell’osservabile A (eq. 6) pone seri problemi interpretativi che vanno sotto il nome di paradosso
della misura [4]. Tale difficoltà è dovuta all’esistenza di un dualismo all’interno della
formalismo della meccanica quantistica. Per essere più precisi, esistono due diverse
modalità di evoluzione del vettore di stato. La prima è quella deterministica, attivata
i
dall’applicazione dell’operatore di evoluzione temporale U (t, t0 ) = e− ℏ Ĥ(t−t0 ) :
U (t, t0 ) |ψ, t0 i = |ψ, ti , ∀t ≥ t0
che, come è noto, conduce all’equazione di Schrödinger. La seconda modalità di evoluzione, invece, viene attivata quando si esegue una misura sul sistema quantistico in
studio. Si tratta di un’evoluzione probabilistica, poichè non conosciamo con certezza i
risultati di una misura, ma solo una distribuzione di probabilità degli stessi. Inoltre,
nell’evoluzione probabilistica, il vettore di stato subisce una variazione discontinua data
dalla (6). Tale discontinuità è denominata collasso della funzione d’onda o riduzione
del vettore di stato (appendice A).
La riduzione del vettore di stato si verifica a scala macroscopica, ma resta indeterminato il “livello in cui esso si realizza. Per rimuovere tale indeterminazione sono state
formulate 3 interpretazioni:
1. Interpretazione di Copenaghen (Bohr). Il collasso della funzione d’onda si
verifica a livello dello strumento di misura. Quindi in tale interpretazione, il
dominio di validità della meccanica quantistica è:
DBohr = {Sq , SM }
(20)
dove Sq rappresenta un sistema quantistico e SM un sistema macroscopico. Lo
strumento di misura non appartiene a DBohr .
4
2. Interpretazione di Von Neumann [3]. Questa interpretazione è nota come
teoria della misurazione di Von Neumann. In essa, il dominio di validità della
meccanica quantistica è:
DV N = DBohr ∪ {Smis } = {Sq , SM , Smis }
(21)
Cioè, DV N include lo strumento di misura, ma esclude la coscienza dell’osservatore. Ed è al livello della coscienza (interpretata alla stregua di un ente estraneo
alla realtà fenomenica) che si realizza il processo di riduzione del vettore di stato.
3. Interpretazione di Everett. Questa interpretazione è nota come MWI, acronimo di Many Worlds Interpretation [5]. In essa, il dominio di validità della
meccanica quantistica è:
DM W I = DV N ∪ {Ω} = {Sq , SM , Smis , Ω}
(22)
Cioè DM W I include la coscienza dell’osservatore Ω. In tal modo, la riduzione del
vettore di stato non si verifica mai. Conseguentemente, in corrispondenza della
misura di un’osservabile, l’universo si riproduce in un numero di copie pari al
numero degli autovalori dell’osservabile.
Riferiamoci in particolare alla teoria della misurazione di Von Neumann, secondo
cui il dominio di validità della meccanica quantistica è:
{Sq , SM , Smis }
(23)
In tale teoria la misura dell’osservabile A è rappresentata simbolicamente da:
Sq ↔ Smis ↔ Ω
(24)
Il simbolo ↔ indica il processo di trasferimento della sovrapposizione degli stati. Più
precisamente, se il sistema si trova nella sovrapposizione (5), essa viene trasferita all’apparato di misura2 Smis , che verrà pertanto a trovarsi in una sovrapposizione di
stati. Quindi, per conoscere lo stato di Smis , avremo bisogno di un secondo strumento
′
di misura Smis
. Ma anche quest’ultimo verrà a trovarsi in una sovrapposizione di stati
(trasferimento a catena), per cui si avrà una successione:
′
′′
Smis , Smis
, Smis
, ...
2
Ciò è una conseguenza della linearità dell’equazione di Schrödinger (si veda la sezione successiva).
5
che possiamo simbolicamente rappresentare con
n
(k)
Smis
o
k∈N ⊂N
(25)
L’estremo superiore di tale successione sono gli organi sensoriali del soggetto “percepiente, ovvero di un osservatore cosciente Ω, le cui capacità introspettive gli permettono
di conoscere il proprio stato e quindi di eseguire la misura dell’osservabile A.
2
Collasso della funzione d’onda e “atto di coscienza”
Nel 1994 l’eminente fisico matematico Roger Penrose pubblico Shadows of the Minds,
in cui ipotizzava un “funzionamento” del cervello quale sistema quantistico. Per inciso,
Penrose non cercava gli effetti quantistici a livello di cellula nervosa (neuroni) che è
chiaramente un oggetto classico, ma a livello dei cosiddetti microtubuli. Ed è il collasso
della funzione d’onda a determinare un “atto di coscienza”. Abbiamo, dunque, un
processo di misura del tipo (6). In altri termini, un atto di coscienza è fisicamente
equivalente al processo di misura di un’osservabile quantistica. Consideriamo, allora,
il seguente esperimento concettuale. Un essere senziente G (ad esempio, un gatto)
percorrendo una strada si trova davanti a un bivio, onde dovrà decidere se andare a
destra o a sinistra3 . In simboli:
1 : G va a sinistra
(26)
2 : G va a destra
Se ψ (ξ) = hξ|ψi è la funzione d’onda delle microtubuline del cervello di G, dove |ψi è
il vettore ket appartenente all’appropriato spazio di Hilbert nella ξ−rappresentazione
(ξ è una conveniente variabile), ne consegue che ψ collassa verso uno dei due stati
corrispondenti alla decisione di G. Ciò significa che a 1 e 2 delle (26) corrispondono
due autostati di una qualche osservabile Â, la cui misura simula un atto di coscienza
(e quindi, il collasso di ψ). In questo modo, lo spazio di Hilbert è C2 e {|1i , |2i} è una
sua base ortonormale. Se t∗ è l’istante in cui si realizza l’atto di coscienza, si ha:
|ψ (t)i = c1 (t) |1i + c2 (t) |2i
3
(27)
Esistono altre possibilità come, ad esempio, fermarsi o tornare indietro. Per i nostri scopi queste
alternative sono delle complicazioni, per cui non ne terremo conto.
6
Per quanto precede, nell’interpretazione di Copenaghen si verifica una delle due possibilità:
|ψ (t∗ )i
|ψ (t∗ )i
−→
|1i
−→
|2i
atto di coscienza
atto di coscienza
(28)
Aggiungiamo un ulteriore ingrediente: nella scelta 2 G viene investito e muore. Cioè
se il gatto decide di andare a destra, verrà ucciso (accidentalmente o non). Allora lo
sviluppo (27) del vettore di stato negli autostati di  si può scrivere:
|ψ (t)i = c1 (t) |1, Gvivo i + c2 (t) |2, Gmorto i
Se poi denotiamo con Ωk l’insieme degli osservatori che percepiscono un gatto nello
stato k =vivo,morto, si ha:
|ψ (t)i = c1 (t) |1, Gvivo , Ω1 i + c2 (t) |2, Gmorto , Ω2 i
Nell’interpretazione di Copenaghen si ha:
Ω1 6= ∅ ⇐⇒ Ω2 = ∅,
(29)
Ω2 6= ∅ ⇐⇒ Ω1 = ∅
(30)
e viceversa
Ciò implica:
|ψ (t∗ )i
−→
atto di coscienza
|1, Gvivo , Ω1 i =⇒ c2 (t∗ ) = 0
Nella MWI non c’è collasso della funzione d’onda (27), per cui si realizzano entrambe
le alternative |1, Gvivo , Ω1 i, |2, Gmorto , Ω2 i, violando le (29)-(29). Per essere più precisi,
le componenti c1 (t) |1,Gvivo , Ω1 i e c− (t) |2,Gmorto , Ω2 i evolvono con continuità in due
universi U1 e U2 convoluti in un unico spazio-tempo denominato Multiverso.
7
A
Riduzione del vettore di stato
Il processo di riduzione del vettore d’onda o collasso di una funzione d’onda, si verifica
nell’operazione di misura di un’osservabile A quando il sistema quantistico si trova
in uno stato di sovrapposizione di autostati di A. Per fissare le idee, supponiamo
che il corrispondente operatore autoaggiunto Â, sia dotato di uno spettro puramente
discreto con 2 soli autovalori: σ Â = {a1 , a2 }. Quindi l’evoluto temporale al tempo
t del vettore di stato è:
|ψ (t)i = c1 (t) |a1 i + c2 (t) |a2 i
(31)
Supponiamo poi che una misura eseguita a t∗ dia come risultato a1 , onde:
|ψi −→ |a1 i
(32)
mis A
I coefficienti della combinazione lineare (31) sono tali che c1 (t∗ ) = 1, c2 (t∗ ) = 0. E per
ogni t < t∗ assumono valori complessi. Inoltre:
∀δ > 0, t ∈ (t∗ − δ, t∗ ) =⇒ |c2 (t∗ )| 6= 0
Cioè, la funzione |c2 (t)| ha in t∗ una discontinuità di prima specie.Nel caso generale di
N ≤ +∞ autovalori distinti, e in seguito a un processo di misura:
|ψi −→ |an i ,
(33)
mis A
la riduzione del vettore di stato esprime la discontinuità finita (nell’istante di misura)
degli N − n coefficienti ck (t), con k ∈ {1, 2, ..., N } \ {n}.
Riferimenti bibliografici
[1] P. Caldirola, R. Cirelli, G.M. Prosperi, Introduzione alla Fisica Teorica, BUR, 1982
[2] P. A. M. Dirac, I principi della Meccanica Quantistica, Boringhieri, Torino, 1959.
[3] J. V. Neumann, Matematical Foundation of Quantum Mechanics, Princeton, 1955.
[4] R. Penrose, La strada che porta alla realtà. BUR, 2007.
[5] H.
Everett,
Rev.
Mod.
Phys,
http://tinyurl.com/everettw
[6]
8
29,
454
(1957).
Available
at
Èc2 HtLÈ
U
R
t
t*
Figura 1: Evoluzione temporale del modulo del coefficiente complesso c2 (t). Nell’istante in cui si misura l’osservabile, |c2 (t)| subisce una salto di discontinuità, corrispondente
al salto quantico (32). Il simbolo U denota l’evoluzione temporale generata dalla trai
sformazione unitaria U (t, t0 ) = e− ℏ Ĥ(t−t0 ) , mentre R esprime la riduzione del vettore
di stato.
9