Operatori Lineari/1 (1) Sia V uno spazio di Hilbert. U ∈ L(V ) è detta una isometria se "U x, U y# = "x, y# per ogni x, y ∈ V . Dimostrare che U è un’isometria se e solo se $U x$ = $x$ per ogni x ∈ V . (2) Sia ϑ+ (traslazione verso destra) l’operatore lineare su "1 definito, se x = (xk )∞ k=1 ∈ "1 come ϑ+ x = ϑ+ (x1 , x2 , x3 , . . .) := (0, x1 , x2 , x3 , x4 , . . .) Determinare $ϑ+ $, Ker ϑ+ e Ran ϑ+ . (3) Sia ϑ− (traslazione vesro sinistra) l’operatore lineare su "1 definito, se x = (xk )∞ k=1 ∈ "1 come ϑ− := (x2 , x3 , x4 , . . .) Determinare $ϑ− $, Ker ϑ− e Ran ϑ− . ! (4) Sia K una funzione continua su [a, b] × [a, b]. Sia T l’operatore su C2 [a, b] definito come T f (x) := ! b K(x, y) f (y) dy . a Dimostrare che T è limitato e trovare un limite superiore alla norma di T . (5) Sia g ∈ Cb (R) fissata e sia T l’operatore lineare su (Cb (R), $ ·$ u ) definito come T f (x) = g(x)f (x) Calcolare $T $. (6) Sia g ∈ Cb (R) fissata e sia T l’operatore lineare su (C1 (R), $ ·$ 1 ) definito come T f (x) = g(x)f (x) Calcolare $T $. (7) Siano g, h due funzioni continue fissate su [a, b] e sia T l’operatore lineare su C2 [a, b] definito come T f (x) = "! a (a) Determinare $T $, Ker T e Ran T . (b) Assumendo g ⊥ h, calcolare T 2 ! Più o meno svolto nelle note b # h(y) f (y) dy g(x) Operatori Lineari/2 (1) Sia (uk )∞ k=1 una base ortonormale in uno spazio di Hilbert V . Dimostrare che per ogni v, w ∈ V si ha ∞ ! "v, w# = "v, uk # "uk , w# k=1 (2) Siano A, B due operatori lineari nello spazio vettoriale V . Assumendo AB = I, quali delle seguenti proprietà sono necessariamente vere? (a) A è iniettivo (b) B è iniettivo (c) A è suriettivo (d) B è suriettivo (3) Siano A, B due operatori lineari limitati nello spazio di Banach V e sia C = AB. Dimostrare che Ker C ⊃ Ker B e che Ran C ⊂ Ran A. (4) Sia A un operatore lineare continuo invertibile nello spazio di Banach V . Dimostrare che &A−1 & ≥ &A&−1 . (5) Trovare due operatori lineari limitati in uno spazio di Banach V tali che AB = I, ma BA (= I (quindi B non è l’inverso di A). ! (6) Sia T è un operatore lineare invertibile da V in Z. È vero che se T è limitato allora T −1 è limitato? ! (7) Sia V uno spazio di Banach. Dimostrare che L(V ) (l’insieme degli operatori lineari limitati su V ) è uno spazio completo (usando la usuale norma operatoriale). ! (8) Nello spazio (Cc (R), & ·& u ) consideriamo l’operatore lineare T definito come (T f )(x) := xf (x). (a) Dimostrare che T non è limitato. (b) Determinare il nucleo e l’immagine di T . (9) Sia C ∞ [a, b] l’insieme delle funzioni f : [a, b] )→ R infinitamente differenziabili nell’intervallo aperto (a, b) e tali che le quantità lim f (n) (x) x→a+ lim f (n) (x) x→b− n = 0, 1, 2, . . . esistono e sono finite. Sia D = d/dx l’operatore di derivazione nello spazio (C ∞ [0, 1], & · &u ). Dimostrare che D non è limitato. (10) Sia T un operatore lineare limitato autoaggiunto nello spazio di Hilbert V . Sia W un sottospazio di V invariante sotto T , vale a dire tale che T W ⊂ W . Dimostrare che anche W ⊥ è invariante sotto T . (11) Sia V uno spazio euclideo e sia T ∈ L(V ) autoaggiunto. Dimostrare che se "T x, x# = 0 per ogni x ∈ V allora T = 0 (12) Dimostrare che in !2 vale ϑ∗+ = ϑ− . ! (13) Sia T l’operatore lineare su !2 definito come T x := (0, x1 , 0, x2 , 0, x3 , 0, . . .) (a) Determinare T ∗ , vale a dire scrivere esplicitamente T ∗ x = (?, ?, . . . ) (b) Determinare &T &, Ker T e Ran T . ! Più o meno svolto nelle note Operatori Lineari/3 ! (1) Sia T l’operatore lineare su !2 definito come ! " x4 x6 x2 T x := x1 + , x3 + , x5 + , . . . . 2 4 6 Determinare: (a) T ∗ , (b) Ker T , (c) Ran T . (2) Nello spazio C2 ([a, b]; C) sia T l’operatore lineare integrale con nucleo K(x, y). Determinare il nucleo integrale di T ∗ . (3) Consideriamo l’operatore lineare T := −D2 (in cui D è l’operatore derivata) che agisce sullo spazio euclideo (C ∞ [a, b], "·, ·#). (a) Detrminare Ker T e Ran T . (b) Sia C0∞ [a, b] l’insieme delle funzioni f ∈ C ∞ [a, b] tale che f (a) = f (b) = 0. Dimostrare che T è simmetrico e definito positivo sul dominio sul dominio C0∞ [a, b], vale a dire che "T f, g# = "f, T g# "T f, f # ≥ 0 ∀f, g ∈ C0∞ [a, b] (4) Sia (V, "·, ·#) uno spazio di Hilbert. Dimostrare che se P è una proiezione ortogonale in V allora, (1) (I − P )v è ortogonale a P v (2) 'P v' ≤ 'v' (3) Ran P = Ker(I − P ) (5) Sia P una proiezione ortogonale nello spazio di Hilbert V . Dimostrare che "P x, x# ≥ 0 per ogni x∈V. (6) Siano (uk )nk=1 e (wk )nk=1 2 ennuple ortonormali nello spazio di Hilbert V e siano c1 , . . . , cn numeri reali positivi. Dato l’operatore n # T v := ck "v, uk # wk v∈V k=1 (a) Determinare T , Ker T , Ran T , 'T '. (b) Dimostrare che se span{(uk )nk=1 } ⊥ span{(wk )nk=1 } allora T 2 = 0 ∗ (7) Sia P una proiezione ortogonale. Trovare una proiezione ortogonale R su V tale che Ran R = (Ran P )⊥ . (R deve essere data in funzione di P ) (8) Siano P, Q proiezioni ortogonali nello spazio di Hilbert V . Dimostrare che (a) se P Q = 0 allora QP = 0 (b) se P Q = 0 allora P + Q è una proiezione ortogonale (9) Sia L = C2 [0, 1] e W = span{1, x2 }. Determinare Ker πW e Ran πW (10) Sia T l’operatore lineare su C2 ([−1, 1]; C) definito da T f (x) = x2 f (x). Calcolare 'T ', gli autovalori e lo spettro continuo di T . (11) Nello spazio (C([0, 2]; C), ' ·' u ) consideriamo l’operatore (T f )(x) := g(x) f (x) in cui Determinare gli autovalori e lo spettro continuo di T . $ x se x ∈ [0, 1] g(x) := 1 se x ∈ (1, 2] (12) Nello spazio di Banach Cb (R; C) (le funzioni continue e limitate su R a valori complessi) con norma 'f 'u := supx∈R |f (x)|, si consideri l’operatore (di inversione spaziale) (T f )(x) := f (−x) x∈R Determinare 'T ', l’insieme degli autovalori σp (T ) e lo spettro continuo σc (T ). (13) Data la funzione W ∈ C ∞ (Rn ), sia T l’operatore lineare su Cc∞ (Rn ) definito come T f := ∆f − ∇W · ∇f . Dimostrare che l’operatore trasformato T% := e−W/2 T eW/2 è un operatore di Schrödinger, vale a dire può essere scritto nella forma T% = ∆ − V (x). Determinare la funzione V in termini di W . ! Più o meno svolto nei Rudimenti o sul sito Operatori Lineari/4 (1) Sia ϑ+ l’operatore di traslazione a destra che agisce in "2 (C). Dimostrare che (1) ϑ+ non ha autovalori (2) σ(ϑ+ ) = B1 := {z ∈ C : |z| ≤ 1} (2) Sia ϑ− l’operatore di traslazione a sinistra che agisce in "2 (C). Determinare gli autovalori e lo spettro continuo di ϑ− . Risp: σp (ϑ− ) = {λ ∈ C : |λ| < 1}, σc (ϑ− ) := {λ ∈ C : |λ| = 1} (3) Dimostrare la prima formula dei risolventi: sia T ∈ L(V ), dove V è uno spazio di Banach. Se α, β ∈ ρ(T ) allora vale Rα (T ) − Rβ (T ) = (β − α) Rα (T )Rβ (T ) . (4) Sia V uno spazio euclideo complesso e sia T ∈ L(V ). Dimostrare che (1) σ(T ∗ ) = {z̄ : z ∈ σ(T )} (2) Rz (T )∗ = Rz̄ (T ) per ogni z ∈ ρ(T ) (5) Sia T l’operatore che agisce in "2 come ! x x x " 1 2 3 T x = 0, , , , . . . 2 3 4 (a) Determinare $T $ (b) Dimostrare che T è compatto (c) Trovare gli autovalori e lo spettro continuo di T Risp: (a) "T " = 1/2. (c) T non ha autovalori. σc (T ) = {0} poichè T non è suriettivo. (6) Sia T l’operatore su "2 definito come ! " x2 x2 x3 x3 x4 x4 T x = x1 , x1 , , , , , , , . . . 2 2 3 3 4 4 (a) (b) (c) (d) Determinare $T $ Determinare T ∗ . T ∗ x = (?, ?, ?, ?, . . .) Dimostrare che T è compatto Trovare gli autovalori e lo spettro continuo di T (sugg: ricorda il teorema di Fredholm) Risp: "T " = ! √ 2, σp = {1}, σc = {0}. (7) Sia T l’operatore su "2 definito come Tx = !x 2 2 , 0, " x4 x6 x8 , 0, , 0, , 0, . . . 4 6 8 (a) Determinare $T $ (b) Determinare T ∗ . T ∗ x = (?, ?, ?, ?, . . .) (c) Trovare gli autovalori e lo spettro continuo di T (sugg: dato che T è compatto si può utilizzare il teorema di Fredholm) (8) Trovare gli autovalori dell’operatore T := −D2 = −d2 /dx2 nei due casi (a) T : C0∞ [0, L] %→ C ∞ [0, L] (Laplaciano di Dirichlet). ∞ ∞ (b) T : CN [0, L] %→ C ∞ [0, L] in cui CN [0, L] è l’insieme delle funzioni f ∈ C ∞ [0, L] tali che f $ (0) = $ f (L) = 0 (Laplaciano di Neumann).