Algebra lineare Corsi di Laurea in matematica e Fisica

Università del Piemonte Orientale –Alessandria
Algebra lineare - Corsi di Laurea in matematica e Fisica
Prova scritta del 9 maggio 2007
1. Considerata la matrice:
0
0
B 0
A=B
@ 2
0
0
1
0
0
2
0
3
0
1
0
0 C
C
0 A
1
(a) Calcolare gli autovalori di A ed una base di ogni autospazio.
(b) Dire se la matrice A è diagonalizzabile.
(c) Scrivere il polinomio caratteristico della matrice A4 .
0
0 0 2 0
B 0 1 0 0
(d) Quante soluzioni ha il sistema lineare B
@ 2 0 3 0
0 0 0
1
14 0
1 0
x
x
C B y C B y
C B C=B
A @ z A @ z
t
t
1
C
C?
A
2. Fissata in R3 la base canonica e il prodotto scalare standard, si considerino i sottospazi
80 1 0
19
1
< 2
=
V = span @ 1 A ; @ 1 A
:
;
80 1 1 0 2 19
0 =
< 2
W = span @ 0 A ; @ 1 A
:
;
1
2
Calcolare la dimensione di (V + W )? e di (V \ W )? .
3. Una matrice A n n si dice nilpotente se 9 un intero k > 0 tale che Ak = 0: Il più
piccolo k > 0 per cui Ak = 0 si dice indice di nilpotenza di A:
(a) Trovare il polinomio caratteristico di una matrice n
n nilpotente A:
(b) Dimostrare che se A è nilpotente e diagonalizzabile allora l’indice di nilpotenza è
k = 1:
(c) Dimostrare che due matrici simili e nilpotenti hanno lo stesso indice di nilpotenza.
4. Sia S una matrice simmetrica, dimostrare che S e S 2 hanno lo stesso nucleo.
Soluzione di alcuni punti
0
0
B 0
1. B
@ 2
0
0
1
0
0
2
0
3
0
1
0
0 C
C autovettori e autovalori:
0 A
1
80
80 1 0
19
0
2
>
>
>
>
>
>
<B
<B C B
C=
0
0
B C;B
C $ 1; B
@
@ 0 A @ 1 A>
>
>
>
>
>
:
;
:
1
0
80 1 19
19
0 >
>
>
>
>
<B 2 C>
=
=
1 C
0
C $ 1; B C $ 4
@ 1 A>
0 A>
>
>
>
>
:
;
;
0
0
3b. Dimostrare che se A è nilpotente e diagonalizzabile allora l’indice di nilpotenza è k = 1:Per
il punto precedente la forma diagonale è la matrice nulla, per cui:
A = C0C
1
=0
3c. Dimostrare che due matrici simili e nilpotenti hanno lo stesso indice di nilpotenza. Siano
r e s gli indici di nilpotenza di A e B rispettivamente. Si ha:
Br =
As =
C
C
1
1
AC
BC
r
s
Ar C = C
1
BsC = C
1
=C
1
=C
1
0C = 0 ) s
0C = 0 ) r
r
s
4. Sia S una matrice simmetrica, dimostrare che S e S 2 hanno lo stesso nucleo. Se S è
invertibile è chiaro che anche S 2 lo è e viceversa, e quindi in questo caso hanno lo stesso
nucleo costituito dal solo vettore nullo. Se S non è invertibile, sia v 6= 0 2 ker S; allora:
S 2 v = S(Sv) = S(0) = 0 ) v 2 ker S 2 ) ker S
ker S 2
Viceversa, sia v 2 ker S 2 ; allora si ha:
0 = S 2 v; v = (SSv; v) = Sv; S t v = (Sv; Sv) = kSvk2 ) Sv = 0 ) ker S 2
ker S