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Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari
Prova di esame del 14/2/2011
Matematica e Statistica II
NOME
COGNOME
N. Matr.
Rispondere alle domande nel modo più completo possibile, cercando di giustificare i passaggi.
Il compito è diviso in due parti. Per essere ammessi all’orale è necessario ottenere almeno metà
dei punti possibili in ognuna delle parti.
PARTE I
ESERCIZIO 1 Nella repubblica di Utopia ci si appresta alle elezioni presidenziali. Ci sono solo
due candidati: Tizio e Caio. Si vuole organizzare un sondaggio sul voto.
1. Quanto grande dovremo scegliere il campione per essere sicuri che la deviazione standard della
media campionaria (ossia della proporzione votante per Tizio) sia minore di 0.1?
[si intende che noi non conosciamo a priori le proporzioni di voto, quindi considereremo il
caso più sfavorevole]
2. Il sondaggio viene condotto su di un campione di 100 persone. Di questi 57 rispondono di
votare per Tizio. Stabilire un intervallo di confidenza al 95% per la vera percentuale di votanti
il candidato Tizio.
3. Si svolgono le elezioni ed il candidato Tizio vince con il 52% dei voti. Determinare che
probabilità avrebbe avuto un sondaggio elettorale condotto su di un campione di 100 persone
di prevedere correttamente l’esito delle elezioni (ossia che nel campione prescelto almeno 51
persone avrebbero risposto di votare per Tizio).
ESERCIZIO 2 Si vuole testare l’efficacia di un farmaco per ridurre il colesterolo LDL nel sangue.
Si considera un campione di 12 persone diviso casualmente in due gruppi da 6: Gruppo F e gruppo
P. Al gruppo F viene somministrato il farmaco mentre al gruppo P viene somministrato un placebo.
Si misura il livello di colesterolo (in mg/dl) prima e dopo la somministrazione del farmaco (o del
placebo).
P-prima
133
165
119
143
141
149
P-dopo
123
178
110
122
115
184
F-prima
136
156
142
158
133
124
F-dopo
129
170
120
158
135
110
1. Verificare con un test statistico che i gruppi P-prima ed F-prima abbiano la stessa media. [si
suppone che le misure siano distribuite normalmente].
2. Verificare per entrambi i gruppi se tra prima e dopo ci sia una variazione nel livello di
colesterolo. Che ipotesi è necessario fare?
3. Verificare se c’è differenza tra l’effetto del placebo e quello del farmaco (ad esempio confrontando la media dei gruppi F-dopo e P-dopo).
ESERCIZIO 3 In un esperimento sull’immunità incrociata indotta da infezioni, 45 topi inbred
sono stati suddivisi in 3 gruppi, ognuno composto da 15 topi. I primi due gruppi sono stati infettati
il giorno 0 con il virus X; il secondo gruppo è stato infettato anche una seconda volta il giorno 20;
il terzo gruppo è stato tenuto come controllo.
Il giorno 40, dopo un prelievo di sangue alla ricerca di anticorpi contro l’antigene X, tutti i topi
sono stati infettati con il virus Y e dopo due giorni si è cercato il virus Y nel plasma.
I risultati ottenuti si possono sintetizzare nella tabella:
virus Y e X-anticorpi
virus Y e no X-anticorpi
no virus Y e X-anticorpi
no virus Y e no X-anticorpi
1 infezione
6
2
5
2
due infezioni
1
1
11
2
controllo
0
9
0
6
Vogliamo stabilire se l’infezione col virus X (ed eventualmente le sue modalità) stimola la produzione
di anticorpi contro l’antigene X; se essa protegge contro l’infezione dal virus Y.
[Nota: per effettuare queste due analisi bisognerà raggruppare alcune righe della precedente
tabella.]
Sulla base dei risultati ottenuti nell’analisi, come vi sembra si possano interpretare le relazioni
fra questi fenomeni?
PARTE II
1/2 −1/2
ESERCIZIO 4 Sia A =
.
1
1
1
• Risolvere il sistema Av =
.
0
• Trovare (se esiste) la matrice inversa di A.
• Trovare gli autovalori di A e gli autovettori relativi ad uno di questi.
ESERCIZIO 5 In un allevamento di galline ovaiole, gli animali vengono distinti in tre fasce di
età (pulcini, giovani e adulte) e il passaggio da una fase all’altra richiede almeno un mese. Il vettore
(di 3 componenti) Nt rappresenta la popolazione (in migliaia) di galline al tempo t, calcolato in
mesi; per la precisione, le tre componenti di Nt rappresentano (in migliaia) pulcini, giovani e adulte.
L’evoluzione della popolazione viene descritta dalla legge


0
0
0
Nt+1 = ANt dove A = 1/2 1/8 0  .
0 3/4 8/9
(a) Interpretare dal punto di vista biologico tutti gli elementi della matrice A. [Notare che non si
hanno nascite; l’introduzione di nuovi animali avviene solo per acquisto dall’esterno e non è
rappresentata nel modello].
(b) Siano le componenti di N0 (1, 1, 1); calcolare N1 e N2 .
(c) Scrivere la matrice A2 che permette il passaggio da Nt a Nt+2 , ossia tale che Nt+2 = A2 Nt .
(d) Supponiamo di cominciare l’allevamento al tempo 0 con x pulcini e y giovani. Vogliamo determinare x e y in modo tale che al tempo 2 vi siano 10 giovani e 100 adulte (in migliaia):
scrivere le equazioni che si ottengono, e trovarne le soluzioni.
(e) Supponiamo che ogni mese si introducano 2.000 pulcini dall’esterno. Descrivere il modello
risultante nel linguaggio di matrici e vettori. Trovare se esista uno stato stazionario, ovvero
un vettore N̄ tale che se Nt = N̄ anche Nt+1 = N̄ .
ESERCIZIO 6 Una molecola decade, quando presente nel sangue, secondo una legge esponenziale con un tempo di dimezzamento pari a 3 ore. (ossia, se C(t) rappresenta la concentrazione
della molecola nel sangue al tempo t, misurato in ore, C(3) = 12 C(0))
(a) Trovare la costante di decadimento e calcolare in quanto tempo sarà rimasto solo il 10% della
quantità iniziale C(0).
(b) Supponiamo poi che venga fornita in continuo, tramite flebo, una quantità costante della
molecola, corrispondente ad una concentrazione nel sangue di 1 mg/l all’ora. Scrivere un’equazione differenziale che descriva questi due fenomeni (il decadimento della molecola ed il
flusso costante in entrata) e risolverla, usando un valore generico di C(0).
(c) Nelle condizioni del punto precedente, supponiamo che la concentrazione iniziale C(0) sia pari
a 0.5 mg/l. Quando verrà raggunta la concentrazione di 1 mg/l?.
(d) Trovare la condizione di equilibrio della concentrazione.