Compito di Algebra II Assegnato il 17/4/2003 Nel gruppo Gl2 (C) delle matrici 2 × 2 ad elementi nel campo dei numeri complessi e derminante diverso da zero, si considerino le due matrici: x= 0 i i 0 , y= 0 −1 1 0 . 1) Determinare l’ ordine di x e y. 2) Provare che valgono le relazioni: x2 = y 2 , yx = x3 y. 3) Sia G il sottogruppo generato da x e y. a) Determinare l’ ordine di G e l’ ordine di tutti i suoi elementi. b) Determinare tutti i sottogruppi di G e provare che sono tutti ciclici. c) Provare che tutti i sottogruppi di G sono normali in G. d)(facoltativo) Quali di questi sottogruppi sono normali in Gl2 (C) ? Cenni sulla soluzione: 1) Dal calcolo diretto si verifica che l’ ordine di x e di y è 4. 2) Immediata verifica. 3)a) L’ ordine di G è 8 e i suoi elementi sono {e, x, x2 = y 2 , x3 , y, y 3 , xy, x3 y = xy 3 }. L’ elemento e ha ordine 1, l’elemento x2 = y 2 ha ordine 2, tutti gli altri hanno ordine 4. 3)b)I sottogruppi di G, non banali, sono 3 di ordine 4 e sono ciclici generati rispettivamente da x, y, xy ed uno di ordine 2 generato da x2 . 3)c)I sottogruppi di ordine 4 sono normali perchè hanno per ordine la metà dell’ ordine di G; quello di ordine 2 è normale perchè si verifica subito che la matrice −1 0 0 −1 permuta con ogni matrice di Gl2 (C). 3)d)Per quanto sopra il sottogruppo {e, x2 } è normale in Gl2 (C). Gli altri sottogruppi non sono se consideriamo il sottogruppo generato normali in Gl2 (C): infatti per esempio 0 1 1 −1 da y = e consideriamo la matrice z = ∈ Gl2 (C) un semplice calcolo −1 0 0 1 1 2 mostra che zyz −1 = non sta nel sottogruppo < y >. Infine per quanto −1 −1 riguarda i due sottogruppi banali, < e > è ovviamente normale in Gl2 (C) mentre G non è normale in Gl2 (C): infatti la matrice di cui sopra zyz −1 non sta nemmeno in G.