Compito del 24/4/2003

Compito di Algebra II
Assegnato il 17/4/2003
Nel gruppo Gl2 (C) delle matrici 2 × 2 ad elementi nel campo dei numeri complessi e
derminante diverso da zero, si considerino le due matrici:
x=
0 i
i 0
, y=
0
−1
1
0
.
1) Determinare l’ ordine di x e y.
2) Provare che valgono le relazioni: x2 = y 2 , yx = x3 y.
3) Sia G il sottogruppo generato da x e y.
a) Determinare l’ ordine di G e l’ ordine di tutti i suoi elementi.
b) Determinare tutti i sottogruppi di G e provare che sono tutti ciclici.
c) Provare che tutti i sottogruppi di G sono normali in G.
d)(facoltativo) Quali di questi sottogruppi sono normali in Gl2 (C) ?
Cenni sulla soluzione:
1) Dal calcolo diretto si verifica che l’ ordine di x e di y è 4.
2) Immediata verifica.
3)a) L’ ordine di G è 8 e i suoi elementi sono {e, x, x2 = y 2 , x3 , y, y 3 , xy, x3 y = xy 3 }.
L’ elemento e ha ordine 1, l’elemento x2 = y 2 ha ordine 2, tutti gli altri hanno ordine 4.
3)b)I sottogruppi di G, non banali, sono 3 di ordine 4 e sono ciclici generati rispettivamente da x, y, xy ed uno di ordine 2 generato da x2 .
3)c)I sottogruppi di ordine 4 sono normali perchè hanno per ordine la metà dell’ ordine
di G; quello di ordine 2 è normale perchè si verifica subito che la matrice
−1 0
0 −1
permuta con ogni matrice di Gl2 (C).
3)d)Per quanto sopra il sottogruppo {e, x2 } è normale in Gl2 (C). Gli altri sottogruppi
non sono
se consideriamo
il sottogruppo generato
normali
in Gl2 (C): infatti per esempio 0 1
1 −1
da y =
e consideriamo la matrice z =
∈ Gl2 (C) un semplice calcolo
−1 0
0 1
1
2
mostra che zyz −1 =
non sta nel sottogruppo < y >. Infine per quanto
−1 −1
riguarda i due sottogruppi banali, < e > è ovviamente normale in Gl2 (C) mentre G non è
normale in Gl2 (C): infatti la matrice di cui sopra zyz −1 non sta nemmeno in G.