GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI

GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI
GRUPPI DI LIE
DANIELE ANGELLA
Sommario. In queste note, dopo aver richiamato i concetti di base sulla teoria dei gruppi di Lie, collezioniamo alcuni risultati, principalmente degli anni
Novanta e dei primi anni Duemila, relativi a varietà quozienti di gruppi di Lie
nilpotenti o risolubili. In particolare, siamo interessati a risultati riguardanti
il modello minimale per il complesso di Dolbeault di una nilmanifold: perciò, studieremo strutture complesse speciali su quozienti compatti di gruppi
nilpotenti.
Il motivo per cui l'interesse per le nilmanifold è tanto progredi-
to negli ultimi anni è che esse sono e sono state una fonte di esempi molto
interessanti (e facilmente utilizzabili nella pratica) nello studio di strutture
complesse e simplettiche su varietà. In quest'ottica, sia i risultati sui modelli
minimali (per il complesso di de Rham o per quello di Dolbeault), sia i risultati
di Benson, Gordon e Hasegawa, sono due punti di partenza fondamentali.
1.
Una breve introduzione ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie
1.1. Denizione di gruppo di Lie e prime osservazioni. Un gruppo di Lie G
è una varietà dierenziabile1 dotata di una struttura di gruppo tale che la mappa
(x, y) 7→ x · y −1 sia C ∞ .
Un gruppo di Lie G si dice complesso se G è una varietà complessa e la mappa
sopra è olomorfa.
Indicheremo con e l'unità del gruppo. Osserviamo che ogni gruppo di Lie è parallelizzabile2 ed orientabile.
1.2. Denizione categoriale. Sia C una categoria; un oggetto G di C si dice
oggetto gruppo se per ogni X ∈ ob C, si ha il funtore controvariante HomC (−, G) :
C → Groups, dove Groups è la categoria dei gruppi. Con questa notazione, un
gruppo di Lie è un oggetto gruppo della categoria DiffMan delle varietà dierenziabili.
1.3. Azioni su G. Sia a ∈ G un elemento ssato; la mappa dierenziabile
La : G × G → G ,
g 7→ a · g
si dice traslazione sinistra e dà un'azione di G su se stesso. Analogamente, si
possono denire le azioni di traslazione destra
Ra : G × G → G ,
e di coniugio
Ca : G × G → G ,
g 7→ g · a
g 7→ a · g · a−1 .
1parafrasando il Quinto Problema di Hilbert, ci si può chiedere se si ottengano denizioni
dierenti chiedendo una regolarità diversa, per esempio chiedendo che la struttura di varietà e la
mappa del gruppo siano entrambe continue o analitiche; nel 1952, Gleason, Montgomery e Zippin
hanno dimostrato che se
G
è una varietà topologica con una struttura di gruppo le cui operazioni
siano continue, allora esiste esattamente una struttura analitica su
G
che lo renda un gruppo di
Lie; risultati parziali erano stati ottenuti da John von Neumann nel 1929 (per i gruppi compatti)
e da Lev Pontryagin nel 1934 (per i gruppi Abeliani localmente compatti)
2i.e., il brato tangente è banale, ovvero è isomorfo al brato
1
G × RdimR G
2
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1.4. Campi invarianti a sinistra. Poiché La è un dieomorsmo, esso induce
una mappa sui piani tangenti:
∗
(La ) bg : Tg G → TLa g G ;
in particolare, si ha
∗
(Lh ) be : Te G → Th G .
Un campo vettoriale X ∈ X (G) su G si dice invariante a sinistra se, per ogni a ∈ G,
∗
(La ) X = X ,
ovvero, se
∗
Xbh = (Lh ) bh Xbe ;
in particolare, un campo invariante a sinistra è individuato in modo univoco dal
suo valore nel punto e. Indicheremo con Xinv (G) lo spazio vettoriale dei campi
vettoriali invarianti a sinistra.
Analoghe denizioni si estendono ai tensori e saranno date per sottointese.
1.5. Denizione di algebra di Lie. Un'algebra di Lie g sul campo K è un Kspazio vettoriale (che assumiamo di dimensione nita) dotato di un bracket
[−, =] : g × g → g
che sia bilineare, antisimmetrico3 e vericante l'identità di Jacobi:
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 .
1.6. Rappresentazione aggiunta. Data un'algebra di Lie g, ssato X ∈ g, consideriamo il morsmo di spazi vettoriali
adX := [X, −] : g → g .
La rappresentazione di g su g
ad− : g → HomVectSp (g, g)
si dice rappresentazione aggiunta di g.
1.7. Serie discendenti. A partire dall'algebra di Lie g si costruiscono due serie
discendenti:
• la serie discendente centrale C i g i∈N denita da
( 0
C g := g ,
C k g := g, C k−1 g ;
• la serie discendente derivata Di g i∈N denita da
( 0
D g := g ,
Dk g := Dk−1 g, Dk−1 g .
Ovviamente, si ha

i <x D  g_
xx
xx
x
- xx
{0} q
FF
FF
FF
FF
" 
Di+1 g
3la bilinearità e la condizione che
l'antisimmetria implica la
[x, x] = 0
/ Cig p
_ B
BB
BB
BB
BB
!
=g
|
|
|
||
||
|
.|
/ C i+1 g
[x, x] = 0 per ogni x ∈ g implicano l'antisimmetria;
charK 6= 2
se
viceversa,
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3
per ogni i ∈ N.
1.8. Serie ascendente. A partire dall'algebra di Lie g si costruisce la serie ascendente:
• la serie ascendente centrale {Ci g}i∈N denita da
(
C0 g := {0} ,
Ck g
:= {x ∈ g : [x, g] ⊆ Ck−1 } .
Ovviamente, si ha
{0} ⊆ · · · ⊆ Ci g ⊆ Ci+1 g ⊆ · · · ⊆ g
per ogni i ∈ N.
1.9. Algebre di Lie nilpotenti e risolubili. Un'algebra di Lie g si dice:
• nilpotente se
∃ n0 ∈ N : C n0 g = 0 e C n0 −1 g 6= {0}
ovvero, equivalentemente, se
∃ n0 ∈ N : Cn0 g = g e Cn0 −1 g ( g
ovvero, equivalentemente4, se esiste una base {e1 , . . . , en } (detta
base di
V Malcev ) di 1-forme invarianti a sinistra su G tali che d ei ∈ 2 e1 , . . . , ei−1
(si intende che per i = 0 il termine a destra è 0);
in tal caso, n0 si dice indice di nilpotenza di g e g si dice n0 -step nilpotente;
• risolubile se
∃ n0 ∈ N : Dn0 g = {0} .
In particolare
nilpotente
⇒
risolubile ;
inoltre, si ha che g è risolubile se e solo se n := [g, g] è nilpotente (vedi, ad esempio,
[Hum78]).
1.10. Algebra di Lie associata ad un gruppo di Lie. Si dimostra5 (cfr., ad es.,
[War83, Proposition 3.7]) che lo spazio vettoriale dei campi invarianti è un'algebra
di Lie, isomorfa all'algebra di Lie Te G dotata del commutatore di campi calcolato
nell'identità. Tale algebra si dice algebra di Lie associata al gruppo di Lie.
Un gruppo di Lie si dice nilpotente o risolubile se tale è l'algebra di Lie ad esso
associata.
D'ora in avanti, G ed H indicheranno sempre gruppi di Lie e g ed h saranno le
rispettive algebre di Lie associate.
4deniamo
Vi ⊆ g∗
l'annichilatore di
(
scegliendo una base per
la base cercata
V1
C i g;
si ha quindi
V0
=
{0} ,
Vi
=
{v ∈ g∗ : d v ∈ Vi−1 } .
;
ed estendendola successivamente ad una base per ciascun
Vk
si ottiene
f : M → N è un dieomorsmo, i campi X ∈ X (M ) e Y ∈ X (M ) si dicono f -related se
f∗ X = Y ; si dimostra che se Xj è f -related con Yj (per j ∈ {1, 2}), allora anche [X1 , Y1 ]
è f -related con [X2 , Y2 ]; notiamo in particolare che ogni campo invariante è La -related con se
stesso, per ogni a ∈ G
5se
vale
4
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1.11. Teorema di Cartan. Si ha che:
Il funtore di Lie L : LieGroups → LieAlgebras, dalla categoria dei gruppi di Lie
a quella delle algebre di Lie, che associa ad ogni gruppo di Lie la sua algebra di Lie,
è un'equivalenza se ristretto alla sottocategoria piena dei gruppi di Lie connessi e
semplicemente connessi.
In altre parole, ogni algebra di Lie (di dimensione nita) è l'algebra di Lie di qualche
gruppo di Lie, anzi, esiste un unico gruppo di Lie connesso e semplicemente connesso
di cui è l'algebra di Lie associata6.
2.
Il complesso di Chevalley-Eilenberg
2.1. Costanti di struttura. Sia g un'algebra di Lie sul campo K (non necessariamente associata ad un gruppo di Lie) e sia {ek }k∈{1,...,n} una sua base. Allora,
esistono ckij i,j,k∈{1,...,n} ⊆ K, dette costanti di struttura, tali che7
[ei , ej ] = ckij ek .
2.2. Formula per il dierenziale. Ricordiamo che il dierenziale esterno di una
forma dierenziabile si può calcolare anche in termini della contrazione e del commutatore di campi. Più precisamente, se α ∈ ∧k M e X0 , . . . , Xk ∈ X (M ), allora si
ha
X
i
ci , . . . , Xk +
d α (X0 , . . . , Xk ) =
(−1) Xi α X0 , . . . , X
i
+
X
(−1)
i+j
ci , . . . , X
cj , . . . , Xk .
α [Xi , Xj ] , X0 , . . . , X
i<j
2.3. Complesso di Chevalley-Eilenberg. Consideriamo ora g l'algebra di Lie
associata al gruppo di Lie G. Assegnati α ∈ ∧k g∗ e X0 , . . . , Xk ∈ g, si possono estendere a α ∈ ∧k G e X0 , . . . , Xk ∈ X (G), e dunque si può calcolare
d α (X0 , . . . , Xk ). Calcolando il valore di d α nell'unità e, si può dunque denire un
operatore dierenziale sullo spazio ∧• g∗ . Ciò equivale a denire d : ∧k g∗ → ∧k+1 g∗
usando l'analogo della formula in Ÿ2.2 con il commutatore di g; in questo caso, nota
che d 2 = 0 in conseguenza dell'identità di Jacobi.
In questo modo, (∧• g∗ , d ) ha struttura di complesso dierenziale, detto complesso
di Chevalley-Eilenberg.
2.4. Ancora sulle costanti di struttura. Sia {ek }k∈{1,...,n} una base di g e sia
k
e k∈{1,...,n} la base duale associata. Allora, da quanto visto, si ha
d ek (ei , ej ) = −ek chij eh
dunque
d ek = −ckij ei ∧ ej .
6l'idea della dimostrazione è quella di utilizzare il Teorema di Ado (ogni algebra di Lie è
un'algebra di Lie di matrici) e le formule di Campbell-Hausdor e di globalizzare la struttura di
gruppo che si ottiene in questo modo
7in queste note si utilizza la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti
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5
2.5. Coomologia invariante. Il complesso dierenziale (∧• g∗ , d ), detto complesso di Chevalley-Eilenberg, ha una struttura di DGA, isomorfa alla struttura di
DGA del complesso (∧•inv G, d ) delle forme invarianti. Ricordiamo che, assegnato
un DGA, si può denire un nuovo DGA a partire da esso, considerando l'algebra di
coomologia con il dierenziale nullo. Nel nostro caso, abbiamo l'algebra di coomologia H • (∧• g∗ , d ) che si identica con l'algebra di coomologia ottenuta considerando
il complesso delle forme invarianti a sinistra:
•
H • (∧• g∗ , d ) ' Hinv
(G) .
2.6. Un'osservazione semplice. I tensori globali su Γ\G sono quelli invarianti
∗
per l'azione
kdi
Γ, ovvero i tensori α tali che (Lγ ) α = α per ogni γ ∈ Γ. Sia, ad
esempio, e k una base di 1-forme globali su Γ\G, ovvero una base di 1-forme
su G invarianti per l'azione di Γ. Allora,
una generica 1-forma su Γ\G si scrive
come combinazione lineare delle ek k a coecienti funzioni C ∞ su Γ\G (ovvero,
funzioni C ∞ su G invarianti per Γ). Tra queste, le 1-forme invarianti (per l'azione
di G sul quoziente Γ\G) sono quelli i cui coecienti sono funzioni invarianti per
l'azione di G, ovvero funzioni costanti. In altre parole, si ha che
∧1inv (Γ\G) = spanR ek k .
Analogamente per gli altri tensori.
3.
Spazi omogenei
3.1. Azione di gruppi su varietà. Un'azione (a sinistra8) di un gruppo G sulla
varietà dierenziabile M è un omomorsmo di gruppi ρ : G → HomDiffMan (M, M );
solitamente si scrive ρ(g)(x) =: g · x. L'orbita del punto x ∈ M è l'insieme G · x :=
{g · x : g ∈ G}.
Un'azione si dice:
• transitiva se esiste un'unica orbita, i.e. per ogni x ∈ M si ha G · x = M ;
• libera se ogni elemento del gruppo diverso dall'identità non ammette punti
ssi;
• propriamente discontinua se per ogni x ∈ M esiste U intorno aperto di x in
M tale che, per ogni g ∈ G, l'intorno g · U := {g · y : y ∈ U } non interseca
U.
Se M è una varietà dierenziabile e se G è un gruppo che agisce su M in maniera
libera e propriamente discontinua, allora lo spazio topologico
X := M/H
ha una struttura di varietà dierenziabile; analogo risultato (opportunamente modicato) vale se M è una varietà complessa.
3.2. Spazi omogenei. Uno spazio omogeneo è il dato di una varietà M e di un
gruppo G che agisce in maniera transitiva su M . In una situazione del genere, i punti
sono sostanzialmente indistinguibili. Si dimostra che, se M è uno spazio omogeneo
per l'azione del gruppo G, allora M = G/H dove H := ker (G 3 g 7→ g · m0 ) è il
gruppo di isotropia nel punto m0 ∈ M .
8passando alla categoria duale, si denisce l'azione a destra
6
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3.3. In particolare... In particolare, se G è un gruppo di Lie e Γ è un sottogruppo
discreto9 di G, allora Γ agisce (a sinistra) su G in maniera libera e propriamente
discontinua quindi si può denire
M := Γ\G
(se il quoziente Γ\G è compatto, allora il sottogruppo Γ di G si dice co-compatto o
uniforme ).
Inoltre, G agisce in maniera transitiva sul quoziente Γ\G tramite la traslazione
sinistra, quindi Γ\G è uno spazio transitivo.
Inoltre, le nilmanifold sono il caso più generale di spazio omogeneo compatto di un
gruppo di Lie nilpotente (vedi [Wan54]).
3.4. Denizioni: nilmanifold e solvmanifold.
nilmanifold: Una nilmanifold M = Γ\G è il quoziente di G gruppo di Lie
connesso, semplicemente connesso e nilpotente per l'azione (a sinistra) di
Γ sottogruppo discreto co-compatto di G. Se n0 è il minimo intero per cui
C n0 g = {0}, allora n0 si dice indice di nilpotenza e la nilmanifold si dice
n0 -step.
solvmanifold: Una solvmanifold M = Γ\G è il quoziente di G gruppo di Lie
connesso, semplicemente connesso e risolubile per l'azione (a sinistra) di Γ
sottogruppo discreto co-compatto di G.
solvmanifold speciali: Un gruppo di Lie G risolubile e dunque ogni solvmanifold del tipo M = Γ\G si dice
• di tipo completamente risolubile se, per ogni X ∈ g, la mappa adX ha
tutti autovalori reali10;
• di tipo rigido o (R) se ha solo autovalori puramente immaginari, zero
compreso (vedi [?, ?]).
3.5. Qualche osservazione.
• Esistono denizioni più generali di solvmanifold.
• In particolare, una nilmanifold o una solvmanifold è una varietà dierenziabile compatta11 parallelizzabile ed orientabile; se G è un gruppo di Lie
complesso, Γ\G è una varietà complessa olomorcamente parallelizzabile12.
• Ogni nilmanifold è in particolare una solvmanifold (completamente risolubile), ma non vale il viceversa: esistono solvmanifold che non sono diffeomorfe a nessuna nilmanifold, avendo π1 (Γ\G) non nilpotente. Vale
però che se Γ\G è una solvmanifold con π1 (Γ\G) nilpotente, allora Γ\G
è dieomorfa ad una nilmanifold.
• Tutte le solvmanifold Γ\G (e quindi anche tutte le nilmanifold) sono asferiche, i.e. πk (Γ\G) = 0 per ogni k > 1. In particolare, se Γ\G non è
Abeliana allora non è dieomorfa ad un toro.
• Nilmanifold e solvmanifold sono spazi omogenei. Non vale il viceversa,
ovvero esistono spazi omogenei compatti su cui agisce (in maniera transitiva) un gruppo di Lie risolubile e che non sono quozienti di tale gruppo
di Lie per un sottogruppo discreto. Tra tutti gli spazi omogenei compatti,
9i.e., un sottogruppo di
G
la cui topologia indotta sia discreta (ricordiamo che la topologia
discreta è quella in cui ogni sottoinsieme è aperto)
10e, quindi, è triangolarizzabile; in altre parole, è completamente risolubile se e solo se è
isomorfa ad una sottoalgebra dell'algebra delle matrici triangolari superiori in
11per alcuni, l'ipotesi che
Γ
gl(n; R)
sia co-compatto non rientra nella denizione di nilmanifold o di
solvmanifold
12i.e., il brato tangente olomorfo
(1, 0)-forme
olomorfe
T 1,0 X
è banale, ovvero, in altre parole, esiste una base di
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7
le solvmanifold sono caratterizzate dalla proprietà di essere asferiche e di
avere gruppo fondamentale risolubile.
• Ogni spazio omogeneo di un gruppo di Lie connesso nilpotente è il prodotto
topologico di una spazio Euclideo e di uno spazio compatto che è esso stesso
uno spazio omogeneo di un gruppo di Lie nilpotente connesso; inoltre, se
lo spazio omogeneo è compatto, allora è esprimibile come quoziente di un
gruppo di Lie semplicemente connesso e nilpotente per un suo sottogruppo
discreto.
• Per un'algebra di Lie risolubile g si ha sempre che [g, g] 6= g, quindi per
ogni solvmanifold si ha b1 (Γ\G) ≥ 1. In particolare, per le nilmanifold si
ha b1 ≥ 2.
4.
Nilmanifold
4.1. Perché studiare le nilmanifold: un po' di storia. Per un certo tempo si
è congetturato che ogni varietà dotata di strutture sia complessa che simplettica
ammettesse anche una struttura Kähleriana: il problema di trovare controesempi
a tale congettura era non banale e coinvolgeva diversi aspetti geometrici, algebrici
e analitici. Solitamente ci si riferisce al problema di caratterizzare i quozienti di
gruppi di Lie che ammettono strutture Kähleriane con il nome di problema di Weinstein e Thurston.
Il primo esempio di varietà dotata di una struttura complessa e di una struttura
simplettica ma priva di strutture Kähleriane è una nilmanifold ed è stato trovato da Thurston nel 1976 (vedi [Thu76]); da allora, lo studio delle nilmanifold è
proseguito, volto alla ricerca di altri esempi interessanti: McDu ha trovato altre
varietà simplettiche e complesse ma prive di strutture Kähleriane nel 1984 (vedi
[McD84]), mentre Gompf ha dato una tecnica generale di costruzioni di tali esempi.
Benson e Gordon e, indipendentemente, Hasegawa hanno dimostrato che le uniche
nilmanifold che ammettono strutture Kähleriane sono i tori (vedi Teorema 5.7).
4.2. Un esempio importante: la varietà di Kodaira-Thurston. Consideriamo l'algebra di Lie di dimensione 4 denita dalle relazioni
g := hX1 , . . . , X4 : [X1 , X2 ] = X4 i ;
il corrispondente gruppo di Lie connesso e semplicemente connesso G ammette (per
il Teorema 4.5 di Malcev) un sottogruppo discreto Γ tale che il quoziente Γ\G sia
compatto; tale varietà è detta varietà di Kodaira-Thurston.
È il primo esempio di varietà compatta, simplettica e complessa priva di metriche
Kähleriane denite positive, vedi [Thu76].
4.3. Un altro esempio: la varietà di

1



 0



U(n; R) :=  ...



 0



0
Heisenberg.
?
1
..
.
0
0
···
···
..
.
···
···
?
?
..
.
1
0
Il gruppo

? 



? 


.. 

. 

? 



1
è un gruppo di Lie nilpotente. Il sottogruppo U(n; Z) è discreto e co-compatto
quindi
Mn := U(n; Z)\U(n; R)
è una nilmanifold.
In particolare, il gruppo U(3; R) si dice gruppo di Heisenberg e la varietà M3 si dice
8
DANIELE ANGELLA
varietà di Heisenberg.
La nilmanifold
I3 := U (3; Z[i])\U (3; C)
è una varietà complessa, detta varietà di Iwasawa.
Indichiamo con C(g) l'insieme delle strutture complesse invarianti a sinistra su
I3 , ovvero delle strutture complesse indotte da una struttura complessa sull'algebra
di Lie g di U (3; C) e vericanti la condizione di integrabilità [Jx, Jy] = [x, y] +
J[Jx, y] + J[x, Jy] per ogni x, y ∈ g. La struttura complessa naturale J0 su I3 ,
ovvero quella per la quale z1 , z2 , z3 sono coordinate olomorfe, è un punto in C(g)
che soddisfa la condizione più forte [Jx, y] = J[x, y] per ogni x, y ∈ g. Indichiamo
con C + (g) il sottoinsieme di C(g) costituito dalle strutture complesse che inducono
la stessa orientazione di J0 .
Le 1-forme
(1)
ω 1 = dz1 ,
ω 2 = dz2 ,
ω 3 = −dz3 + z1 dz2 ,
sono invarianti a sinistra su U (3; C). Consideriamo una base {e1 , . . . , e6 } di 1-forme
reali ponendo
(2)
ω 1 = e1 + ie2 ,
ω 2 = e3 + ie4 ,
ω 3 = e5 + ie6 .
Queste 1-forme passano al quoziente, denendo così un coriferimento globale denotato con gli stessi simboli. Tale coriferimento soddisfa le equazioni di struttura
 i
1 ≤ i ≤ 4,

 de = 0,
5
13
de = e + e42 ,
(3)

 6
de = e14 + e23 .
Si ha che I3 è lo spazio totale di un T2 -brato principale su T4 . La mappa π :
I3 → T4 è indotta dalla (z1 , z2 , z3 ) 7→ (z1 , z2 ). Lo spazio delle 1-forme invarianti
che annichilano la bra di π è dato da
D = he1 , e2 , e3 , e4 i = ker(d : g∗ →
2
^
g∗ ) .
4.4. La varietà generalizzata di Heisenberg. Il gruppo











 idRp

X Z 




 : A, C ∈ M(p, 1; R), b ∈ R
H(1, p; R) := ϕ = 







0
1 y 






0
0 1
si dice gruppo di Heisenberg generalizzato ed è un gruppo di Lie nilpotente. Il
sottogruppo H(1, p; Z) è un suo sottogruppo discreto co-compatto, quindi
M := H(1, p; Z)\H(1, p; R)
è una nilmanifold.
Come coordinate, scegliamo {X, y, Z} dove X(ϕ) = X , y(ϕ) = y , Z(ϕ) = Z . Per
a ∈ H(1, p; Z) di coordinate (A, b, C) si ha:
La ∗ (X) = X + A ,
La ∗ (y) = y + b ,
La ∗ (Z) = Z + A y + C ;
Si verica quindi che
g∗ = spanR {d X, d y, d Z − X d Y } .
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9
4.5. Il Teorema
diMalcev [Mal51]. Sia n un'algebra di Lie nilpotente con costanti di struttura ckij i,j,k ⊆ Q. Allora, esiste un gruppo di Lie connesso e semplicemente connesso la cui algebra di Lie sia n ed esiste Γ sottogruppo discreto
co-compatto di N , così che Γ\N è una nilmanifold. Viceversa, ogni nilmanifold è
quoziente di un gruppo di Lie nilpotente con equazioni di struttura con coecienti
razionali.
4.6. Un teorema di rigidità per nilmanifold e un teorema di rigidità per
solvmanifold.
• Siano Γ1 e Γ2 sottogruppi discreti co-compatti dei gruppi di Lie nilpotenti
'
N1 ed N2 rispettivamente. Ogni isomorsmo Γ1 → Γ2 si estende ad un
'
isomorsmo N1 → N2 .
• Siano Γ1 e Γ2 sottogruppi discreti co-compatti dei gruppi di Lie risolubili
G1 e G2 rispettivamente. Se Γ1 ' Γ2 allora Γ1 \G1 ' Γ2 \G2 .
(Nomizu). 13 Sia Γ\N una nilmanifold. Allora, il complesso di
Chevalley-Eilenberg è il modello minimale di Γ\N . In particolare, si ha:
Teorema 4.7
•
•
HdR
(Γ\N ) ' H • (∧• g∗ , d ) ' Hinv
(Γ\N ) .
(Benson, Gordon [BG88]; Hasegawa [Has89]; Cordero, Fernández,
Gray [CFG87]). 14 Sia M := Γ\N una nilmanifold. Allora, M ammette una
struttura Kähleriana se e solo se è dieomorfa al toro.
Teorema 4.8
4.9. Idea delle dimostrazioni. Le dimostrazioni15 si basano sul fatto che, data
una nilmanifold non dieomorfa ad un toro:
• non vale la proprietà HLC (Benson e Gordon); in [McD84] si dimostra che
il fallimento della HLC segue dall'esistenza di una certa azione di cerchio
sul quoziente;
• il modello minimale non è formale (Hasegawa);
• esistono prodotti di Massey non nulli (Cordero, Fernández e Gray), quindi
in particolare il modello minimale non è formale.
4.10. Osservazioni e corollari.
j
• La dimostrazione che HdR
(Γ\G) ' H j (∧• g∗ ) per j ∈ {1, 2} si trova già in
[Mat51].
• Dal Teorema di Nomizu segue che ogni nilmanifold (eccettuato il toro) dotata di una struttura simplettica è un esempio di varietà compatta simplettica che non ammette strutture Kähleriane; d'altra parte, trovare strutture
simplettiche su nilmanifolfd non è un problema semplice, vedi [CFG86].
D'altra parte, dal [BG88, Theorem C], segue che se la nilmanifold Γ\G ha
una struttura simplettica, allora ne ha una derivante da una struttura simplettica omogenea: quindi, per le nilmanifold, c'è un legame molto stretto
tra il caso generale e il caso omogeneo.
• Dal Teorema di Nomizu segue che la caratteristica di Eulero di uno spazio
omogeneo compatto di un gruppo di Lie nilpotente è sempre nulla.
13il fatto che il complesso di Chevalley-Eilenberg segue dal Teorema 7.2 di Hattori; il fatto che
sia minimale segue dalla degenerazione della serie centrale discendente
14soluzione del problema di Weinstein e Thurston nella classe delle nilmanifold
15Hano [Han57] dice che Koszul già aveva trovato una dimostrazione di questo risultato senza
pubblicarla
10
DANIELE ANGELLA
5.
Solvmanifold
5.1. Perché studiare le solvmanifold. Esistono solvmanifold simplettiche che
non ammettono metriche Kähleriane ma che sono indistinguibili dalle varietà Kähleriane per coomologia o per formalità. Infatti, Fernandez e Gray hanno dimostrato
in [FG90] che la solvmanifold
M 4 := (Γ1 \G1 ) × S1
ha le seguenti proprietà:
(i) è una solvmanifold dotata di una struttura simplettica;
(ii) non ammette strutture complesse16, quindi in particolare non ammette
strutture Kähleriane;
(iii) è formale;
(iv) ammette una struttura simplettica vericante la HLC.
5.2. Manca Malcev. Per le solvmanifold non esistono semplici criteri per vericare l'esistenza di un sottogruppo Γ, analoghi al Teorema 4.5 di Malcev valido per le
nilmanifold: costruire solvmanifold non è quindi facile come costruire nilmanifold.
Un dato gruppo di Lie G completamente risolubile può avere o meno sottogruppi
discreti cocompatti: condizione necessaria anché li abbia è che sia unimodulare.
5.3. Il Teorema di Struttura di Mostow. Sia Γ\G una solvmanifold. Sia N
il sottogruppo connesso nilpotente massimale di G. Allora, si ha che N Γ è un
sottogruppo chiuso in G, dunque N ∩ Γ è un sottogruppo discreto cocompatto in
N e N Γ\G è un toro.
Di conseguenza, ogni solvmanifold Γ\G ammette una brazione, detta brazione di
Mostow, su un toro con bra nilpotente:
N ∩ Γ\N ' Γ\N Γ −→ Γ\G −→ N Γ\G .
5.4. La congettura di Benson e Gordon. Le uniche solvmanifold che ammettono una struttura di varietà Kähleriana sono i tori.
(Benson, Gordon [BG88]). Sia G un gruppo di Lie di tipo completamente risolubile tale che Γ\G ammetta una struttura di varietà Kähleriana.
Allora:
(1) esiste un complementare Abeliano a in g dell'algebra derivata n := [g, g];
(2) a ed n hanno dimensioni pari;
(3) il centro di g interseca n banalmente.
(4) la forma di Kähler della varietà è coomologa ad una forma simplettica invariante a sinistra ω , e si ha che ω = ω0 + ω1 dove n = ker ω0 e a = ker ω1
(in altre parole, a e n sono sottospazi simplettici ed ω -ortogonali dello spazio
vettoriale simplettico (g, ω));
(5) ω0 ed ω1 sono forme chiuse ma non esatte in g, in a ed in n;
(6) l'azione aggiunta di a su n agisce per automorsmi simplettici.
Perciò, G è il prodotto semidiretto AnN dove A è un sottogruppo connesso Abeliano
e N è il sottogruppo commutatore (nilpotente). Inoltre, N ammette una struttura
simplettica invariante a sinistra e l'azione di A su N è per simplettomorsmi.
Se g è nilpotente ma non è Abeliana, allora la condizione (iii) del Teorema precedente fallisce.
In particolare, se una nilmanifold Γ\G ammette una struttura Kähleriana, allora
G è un gruppo Abeliano quindi Γ\G è un toro.
Teorema 5.5
16questa proprietà segue dalla classicazione di Kodaira e Yau delle supercie complesse
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
11
5.6. Un paio di osservazioni da [BG88].
• La struttura Kähleriana nel teorema non deve necessariamente nascere da
una struttura Kähleriana invariante a sinistra su G.
• Per lo studio in generale delle varietà omogenee Kähleriane, si rimanda a
[DN88], [Han57]: essi dimostrano che se un gruppo di Lie unimodulare ammette una struttura Kähleriana invariante a sinistra, allora esso è risolubile.
Ne segue, per il Teorema 5.5, che G si spezza nel prodotto semidiretto di
un sottogruppo Abeliano per il sottogruppo commutatore N := [G, G]; in
questo caso, anche N è Abeliano. Comunque, G non sarà completamente
risolubile a meno che non sia esso stesso Abeliano: infatti, con le notazioni
del Teorema 5.5, Hano ha dimostrato che ad(X)(Y ) = ∇X Y per X ∈ a e
Y ∈ n (qui, ∇ denota la connessione Riemanniana su G). La compatibilità di ∇ con la metrica Riemanniana implica che ad(X) sia antisimmetrico
rispetto al prodotto interno ottenuto dalla restrizione della metrica ad n;
ne segue che ad(X) : n → n ha tutti autovalori puramente immaginari,
i.e. è di tipo rigido. In particolare, se G è un gruppo di Lie unimodulare
e completamente risolubile, dotato di una struttura Kähleriana omogenea,
allora G è nilpotente e quindi Abeliano.
• Notiamo che un gruppo di Lie completamente risolubile e non unimodulare
può non ammettere strutture Kähleriane omogenee: un esempio si trova in
[GP’V68].
• Sembra pertanto ragionevole congetturare che le uniche solvmanifold Kähleriane completamente risolubili siano tori, ed in eetti è così.
• Il Teorema 5.5 vale in generale se la solvmanifold ha il complesso di ChevellayEilenberg come modello (vedi [Rag72]);
• Il Teorema 5.5, con simplettica al possto di Kähleriana, dà condizioni
sucienti ed anche necessarie anché la struttura simplettica sia HLC.
• La sottoalgebra a è determinata in modo unico (a meno dell'azione ad) dalla
scelta del rappresentante invariante a sinistra di ω nella classe di Kähler.
A livello di gruppo, questo signica che il sottogruppo Abeliano A ≤ G è
determinato a meno di automorsmi interni dalla struttura Kähleriana.
(Hasegawa, [Has89, Main Theorem]). Una solvmanifold ammette
una struttura Kähleriana se e solo se è un quoziente nito di un toro complesso che
ha struttura di un brato su un toro complesso con bra un toro complesso.
In particolare, una solvmanifold completamente risolubile ammette una struttura
Kähleriana se e solo se è un toro complesso.
Teorema 5.7
6.
Classificazione di nilmanifold e solvmanifold
6.1. Una prima classicazione: le algebre di Lie di dimensione 3. Le
algebre di Lie reali di dimensione 3 sono:
N1:
N2:
l'algebra nilpotente Abeliana a3 ;
l'algebra nilpotente
g = hX, Y, Z : [X, Y ] = Z, [X, Z] = [Y, Z] = 0i ;
S:
l'algebra risolubile non nilpotente
g = hX, Y, Z : [X, Y ] = 0, [X, Z] = α X + β Y, [Y, Z] = γ X + δ Y i
dove
α
γ
β
δ
∈ GL(2; R) ;
12
DANIELE ANGELLA
S1:
l'algebra semplice17
g = hX, Y, Z : [X, Y ] = −2 Z, [X, Z] = 2 Z, [Y, Z] = Xi ;
S2:
l'algebra semplice
g = hX, Y, Z : [X, Y ] = Z, [X, Z] = −Y, [Y, Z] = Xi .
6.2. Qualche informazione sulla classicazione delle nilmanifold. Esistono
classicazioni per le nilmanifold di dimensione minore o uguale a 7. Solo no alla
dimensione 6 il numero di classi distinte è nito.
In dimensione 6, più precisamente, ci sono (vedi anche le tabelle in Appendice)
• 34 classi (a meno di isomorsmo), vedi [Mag86], [Mor58];
di queste:
• 26 ammettono strutture simplettiche (vedi [GK96]),
• 18 ammettono strutture complesse invarianti a sinistra (vedi [Sal01]),
• 15 ammettono sia una struttura complessa invariante a sinistra che una
simplettica (ed una sola di queste, il toro, ammette una struttura Kähleriana),
• le restanti 5 ammettono una struttura complessa generalizzata (vedi [CG04]).
6.3. Strutture complesse sulla varietà di Iwasawa. Lo studio della coomologia di Dolbeault della varietà di Iwasawa suggerisce che lo spazio dei moduli delle
strutture complesse su I3 sia determinato dallo spazio delle strutture complesse invarianti a sinistra su U (3; C), vedi [KS04]. L'insieme di queste strutture compatibili
con una metrica standard g e con un'orientazione è l'unione di {J0 } e di una 2-sfera,
vedi [?]. In [KS04] si dimostra che la stessa descrizione rimane valida a livello di
omotopia anche quando non si richieda la compatibilità con una ssata metrica.
6.4. La classicazione delle solvmanifold di dimensione 3. Esistono solo due
solvmanifold di dimensione 3 non dieomorfe tra loro né a nilmanifold:
• la solvmanifold data dal quoziente del gruppo
G1 := R oΦ R2
dove
Φ(t) :=
ekt
0
0
e−kt
con k ∈ Z tale che ekt + e−kt 6= 2, per il sottogruppo
Γ1 := Z oΦ Z2 ;
la corrispondente algebra di Lie è
g1 = hX, Y, Z : [X, Y ] = kY, [X, Z] = −kZ, [Y, Z] = 0i
quindi Γ1 \G1 è completamente risolubile;
• la solvmanifold data dal quoziente del gruppo
G2 := R oΦ R2
dove
Φ(t) :=
sin 2πn
cos 2πn
p t
p t
2πn
− sin p t cos 2πn
p t
con n ∈ Z e p ∈ {2, 3, 4, 6}, per il sottogruppo
Γ2 := Z oΦ Z2 .
17ricordiamo che un'algebra di Lie si dice
quelli banali
semplice
se non è Abeliana e non ha ideali a parte
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
13
la corrispondente algebra di Lie è
g2 = hX, Y, Z : [X, Y ] = Z, [X, Z] = −Y, [Y, Z] = 0i ,
quindi Γ2 \G2 non è completamente risolubile.
6.5. La classicazione dei gruppi di Lie risolubili di dimensione 4 che
ammettono sottogruppi discreti cocompatti. I gruppi di Lie risolubili non
nilpontenti di dimensione 4 che ammettono sottogruppi discreti cocompatti sono di
una delle seguenti forme:
• G = R oΦ N3 con Φ : R → Hom(N3 , N3 ) un gruppo ad 1 parametro in
Hom(N3 , N3 ) tale che Φ(1) (N3 [Q]) ⊆ N3 [Q];
• G = R oΦ R3 con Φ : R → GL(3; R) un gruppo ad 1 parametro in
GL(3; R) tale che Φ(1) ∈ GL(3; Z);
7.
Coomologia delle Solvmanifold: teorema di Hattori
7.1. Un modello per le nilmanifold. In generale, se Γ\G è una solvmanifold,(∧• g∗ , d )
non è un modello per il complesso di de Rham (vedi ad esempio [DBT06]); se
però Γ\G è una nilmanifold, allora, per il Teorema 4.7 di Nomizu, il complesso di
Chevalley-Eilenberg non solo è un modello per il complesso di de Rham ma è anche
il modello minimale.
(Hattori). Sia Γ\G una solvanifold completamente risolubile. Allora,
l'omomorsmo di DGA
Teorema 7.2
(∧• g∗ , d ) → (∧• (Γ\G) , d )
è un quasi-isomorsmo, i.e. il complesso di Chevalley-Eilenberg è un modello del
complesso di de Rham. In particolare, si ha
•
•
HdR
(Γ\G; R) ' Hinv
(Γ\G; R) .
∗
•
7.3. Una generalizzazione [CF09]. Si ha che HdR
(G/Γ) ' H • ∧• (g) se G e Γ
vericano la condizione di Mostow, vedi [Mos61] e citeragunhatan. Questo estende
il risultato di Nomizu e di Hattori.
7.4. In generale.. In generale, per le solvmanifold si ha soltanto un'iniezione
naturale
•
H • (∧• g∗ , d ) → HdR
(Γ\G; R) .
Per esempio, per la solvmanifold Γ2 \G2 si ha
1
HdR
= R3 ,
H 1g = R .
In [DBT06] si trova un esempio di solvmanifold (la varietà di Nakamura) M = C3 /Γ
tale che:
•
•
•
•
•
M ammette una struttura simplettica vericante la HLC;
il complesso di de Rham di M è formale;
M ammette una struttura di Calabi-Yau generalizzata;
M non ammette una struttura di varietà Kähleriana;
1
1
2
2
Hinv
(M ; R) = HdR
(M ; R) ma Hinv
(M ; R) ( HdR
(M ; R).
7.5. Qualche altro esempio. In [CF09] si dà un esempio (oltre a quello della
∗
1
varietà di Nakamura) di supercie iperellittica tale che HdR
(Γ\G) ' H 1 ∧• (g)
anche se non è vericata la condizione di Mostow.
14
DANIELE ANGELLA
8.
Dimostrazione del Teorema di Hattori
8.1. Il complesso twisted di de Rham e la prima successione spettrale.
Sia
i
π
F −→ E −→ B
un brato.
Sia F un C ∞ (E)-modulo e sia data un'azione di X (E) su F , i.e. una mappa
X (E) × F → F
tale che, per ogni X, Y ∈ X (E), per ogni u ∈ F , per ogni f ∈ C ∞ (E), si abbia
(i) (f X) u = f (Xu),
(ii) X(f u) = (Xf )u + f (Xu),
(iii) [X, Y ]u = X(Y u) − Y (Xu).
Deniamo




∧k (E; F) := ω : X (E) × · · · × X (E) → F : ω sia C ∞ -lineare e alternante


{z
}
|
k volte
e su questo spazio introduciamo l'operatore dierenziale
d F : ∧k (E; F) → ∧k+1 (E; F)
denito da
d F α (X0 , . . . , Xk )
=
X
i
ci , . . . , Xk +
(−1) Xi α X0 , . . . , X
i
+
X
i+j
(−1)
ci , . . . , X
cj , . . . , Xk .
α [Xi , Xj ] , X0 , . . . , X
i<j
Deniamo una ltrazione sul complesso dierenziale (∧• (E; F), d F ), ponendo
F p ∧p+q (E; F) := ω ∈ ∧p+q (E; F) : ωbe (v1 , . . . , vp+q ) = 0 se vi1 , . . . , vip+1 ∈ ker d πbe .
Tale ltrazione è crescente e limitata:
· · · ⊆ F p ⊆ F p+1 ⊆ · · · ⊆ F m = ∧p+q (E; F) .
Quindi, esiste una successione spettrale
(Er• • , d r ) ⇒ H • (∧• (E; F), d F ) ,
detta successione spettrale di Leray-Serre associata al brato.
8.2. Il complesso di Chevalley-Eilenberg a valori in un g-modulo e la
seconda successione spettrale. Sia U un g-modulo, i.e. uno spazio vettoriale di
dimensione nita dotato di una rappresentazione g → gl(U). Deniamo




∧k (g∗ ; U) := ω : g × · · · × g → U : ω sia R-lineare e alternante
| {z }


k volte
e su questo spazio introduciamo l'operatore dierenziale
δU : ∧k (g∗ ; U) → ∧k+1 (g∗ ; U)
denito da
δU α (X0 , . . . , Xk )
=
X
i
ci , . . . , Xk +
(−1) Xi α X0 , . . . , X
i
+
X
i<j
(−1)
i+j
ci , . . . , X
cj , . . . , Xk .
α [Xi , Xj ] , X0 , . . . , X
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
15
Deniamo una ltrazione sul complesso dierenziale (∧• (g∗ ; U), δU ), ponendo
F p ∧p+q (g∗ ; U) := ω ∈ ∧p+q (g∗ ; U) : ωbe (v1 , . . . , vp+q ) = 0 se vi1 , . . . , vip+1 ∈ ker d πbe ,
dove si intende che i vi sono visti sia come elementi dell'algebra di Lie g sia come i
corrispondenti campi invarianti estesi su tutta E = Γ\G.
Tale ltrazione è crescente e limitata:
· · · ⊆ F p ⊆ F p+1 ⊆ · · · ⊆ F m = ∧p+q (E; F) .
Quindi, esiste una successione spettrale
br• • , d r ⇒ H • (∧• (g∗ ; U), δU ) ,
E
detta successione spettrale di Leray-Serre associata al brato.
8.3. L'algebra di Lie dei campi verticali . Un campo vettoriale X ∈ X (E)
si dice verticale se per ogni x ∈ E si ha Xbx ∈ Tx F . Indichiamo con Xv (E) lo
spazio vettoriale dei campi verticali. Indichiamo con ∧•v (E; F), d Fb∧•v (E;F ) il
complesso ottenuto restringendo le forme a valori in F allo spazio dei campi verticali:
(E; F) dato che Xv (E) è una sottoalgebra di Lie di X (E).
d F : ∧kv (E; F) → ∧k+1
v
8.4. Assunzione. D'ora in avanti, U sarà un g-modulo, F = C ∞ (E) ⊗ U e utilizziamo le notazioni e i risultati del Teorema di Mostow.
(calcolo dei termini della successione spettrale). Si ha che H q (∧• (E; F), d F )
ha struttura di C ∞ -modulo su cui opera X (B), via l'immersione π ∗ : C ∞ (B) →
C ∞ (E).
Si hanno le seguenti:
Lemma 8.5
E2pq ' H p (∧• (B; H q (∧• (E; F), d F )) ,
b pq ' H p ∧• ((g/n)∗ ; H q (∧• (n; U)) .
E
2
8.6. Rappresentazioni triangolari. Un g-modulo U si dice triangolare se la sua
rappresentazione λ : g → gl(U) è triangolare, i.e. se esistono {0} = U0 ⊂ U1 ⊂
· · · ⊂ Un−1 ⊂ Un = U tali che dimR Ui = i e λbUi ∈ gl(Ui ).
8.7. Un'osservazione stupida. Osserviamo che se U è un g-modulo, allora Ū :=
U ⊗ C ∞ (Γ\G) è un X (Γ\G)-modulo.
Lemma 8.8.
L'omomorsmo
∧• (g∗ ; U) → ∧• Γ\G; Ū
indotto dall'inclusione U → Ū, u 7→ u ⊗ 1, è un quasi-isomorsmo
8.9. Sketch della dimostrazione del Lemma 8.8. La dimostrazione si fa per
induzione sulla dimR g. Se dimR g allora g = R e Γ\G = S1 : si tratta di calcolare
esplicitamente i gruppi di coomologia tramite equazioni alle derivate parziali. Per
il passo induttivo, si considera n la sottoalgebra massimale nilpotente di g; se g è
nilpotente essa stessa, allora considereremo al posto di n il suo centro. A questo
punto, si costruiscono le successioni spettrali come indicato e si ha
E2pq
b pq
E
2
'
H p ∧•
∗
(g/n) ; H q (∧• (g∗ ; U))
qis
'
/ H p ∧• B; H q ∧•v E; Ū
16
DANIELE ANGELLA
dove si è usato il Lemma 8.5 e l'ipotesi induttiva; nota infatti che si dimostra che
H q (∧• (n∗ ; U)) è un g/n-modulo triangolare. Da ciò segue che
∗
H p ∧• (g/n) ; H q (∧• (g∗ ; U)) ' H p B; H q (∧• (n; U)) .
Basta quindi dimostrare che
H q (∧• (n; U)) := C ∞ (B) ⊗ H q (∧• (n; U)) ' H q (∧•v (E; C ∞ (E) ⊗ U)) .
8.10.
La tesi segue inne dal Teorema di Confronto.
9. Geometria complessa di nilmanifold e solvmanifold
9.1. Strutture (quasi-)complesse. Una struttura quasi-complessa su una varietà dierenziabile M è un endomorsmo del brato tangente J ∈ Hom(T M, T M )
tale che J 2 = −idT M . Una varietà complessa è dotata in modo naturale di una
struttura quasi-complessa; viceversa, una struttura quasi-complessa si dice integrabile se deriva da una struttura complessa. Il Teorema di Newlander e Nirenberg,
vedi [NN57], caratterizza tra le strutture quasi-complesse quelle integrabili come
quelle per cui il tensore di Nijenhuis
(4)
N (x, y) := [Jx, Jy] − J[Jx, y] − J[x, Jy] − [x, y]
è identicamente nullo.
9.2. Un bestiario di strutture complesse su solvmanifold e nilmanifold.
Tra le strutture complesse che possiamo considerare su una nilmanifold Γ\G (vedi
[Con06]) ci sono:
• le strutture complesse invarianti a sinistra, in breve lics : sono strutture
complesse derivanti da una struttura complessa dell'algebra g di G; casi
particolari di queste sono:
le strutture complesse razionali : sono strutture in cui la struttura
complessa è compatibile con la struttura razionale del sottogruppo Γ
([CF01]);
le strutture complesse nilpotenti : sono strutture in cui le equazioni
di struttura complesse vericano una proprietà analoga a quella valida per le equazioni di struttura reali su una nilmanifold ([CFGU00,
CFGU01]); casi particolari di queste sono:
∗ le strutture complesse olomorcamente parallelizzabili : sono quelle
che provengono da una struttura complessa sul gruppo di Lie
([Nak75, Wan54]);
∗ le strutture complesse Abeliane : sono una sorta di controparte
alle strutture complesse olomorcamente parallelizzabili ([BDM96,
BDMM95, CFP06, ?]).
In [CFP06, MPPS06] si
dimostra che:
Ogni lics Abeliana su una nilmanifold ha una famiglia localmente completa di
deformazioni (parametrizzata da Kur ⊆ CN ) costituita solo da lics.
Una struttura complessa si dice stabile se rimane dello stesso tipo quando deformata. A partire dalla dimensione reale 6, le deformazioni delle strutture complesse
Abeliane non sono stabili, vedi [MPPS06]. In dimensione reale 6, le deformazioni
di strutture complesse Abeliane sono stabili nella classe delle strutture complesse
nilpotenti. Non vale lo stesso in dimensione maggiore, vedi [CFP06]. In particolare,
le strutture complesse nilpotenti non sono stabili. Le strutture complesse razionali
non sono stabili, ed un esempio è la varietà di Iwasawa, vedi [CF01].
9.3. Tipi di strutture complesse e deformazioni.
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
17
10. Strutture complesse invarianti a sinistra (lics)
Ogni struttura complessa sullo spazio vettoriale
soggiacente all'algebra di Lie g di un gruppo di Lie G induce una struttura quasicomplessa (invariante a sinistra) sul quoziente Γ\G. Diciamo integrabile la struttura
complessa su(llo spazio vettoriale) g se è integrabile la struttura invariante a sinistra da essa indotta su G, ovvero se vale la (4) per ogni x, y ∈ g.
Abbrevieremo con lics (left invariant complex structures) una tale struttura complessa su Γ\G.
10.1. Strutture dall'algebra.
(Samelson [Sam53]). Ogni gruppo di Lie compatto di dimensione
pari ammette una lics.
Teorema 10.2
Il teorema non è più vero tolta
l'ipotesi di compattezza: infatti, poiché la varietà M 4 (k) considerata in [FG90] non
ammette strutture complesse, il corrispondente gruppo di lie G4 (k) non ammette
strutture complesse invarianti a sinistra (vedi [CFG90]). In [FdLS96] si dimostra,
con calcoli espliciti, che anche il gruppo di Lie corrispondente alla varietà M 6 (k)
(costruita sempre in [CFG90]) non ammette lics, nonostante non sia noto se M 6 (k)
ammetta o meno strutture complesse.
10.3. Un'osservazione sul Teorema 10.2.
11. Strutture complesse razionali
MANCA ANCORA LA DEFINIZIONE !!!!!!
TODO
Una struttura complessa si dice razionale
se à compatibile con la struttura razionale del lattice Γ, ovvero J(gQ ) ⊆ gQ
11.1. Ÿ3.5 Rational complex structures.
Consideriamo la varietà di Iwasawa. Per [Nak75], la struttura biinvariante ottenuta
passando al quoziente la struttura standard J0 sul gruppo di Heisenberg di dimensione 3 ha uno spazio di deformazione di dimensione positiva. Quindi, la struttura
complessa determinata dal sottospazio
11.2. Non tutte le varietà ammettono strutture complesse razionali.
span hω1 , ω2 , ω3 + t ω̄1 i
∗
di gC appartiene all'orbita di J0 in C(g) rispetto al gruppo di automorsmi di g
(vedi [Sal01, Section 4]) e non è razionale per opportuni t ∈ C.
Nello stesso modo, si può vedere che ogni nilmanifold compatta di dimensione
2n e che abbia almeno una struttura razionale con una deformazione non banale,
ha una struttura complessa non razionale. Infatti, per [Sal01, Theorem 1.3], data
la struttura complessa J0 , è possibile costruire una base di (1, 0)-forme invarianti
a sinistra {ω1 , . . . , ωn } tali che d ωi+1 appartenga all'ideale generato dall'insieme
{ωi }i∈{0, ..., n−1} nell'algebra esterna complessicata. Allora, la struttura complessa
associata al sottospazio
span hω1 , . . . , ωn + t ω̄1 i
non è razionale per opportuni t ∈ C.
12. Strutture complesse nilpotenti
Poiché la serie centrale ascendente {Ck g}k utilizzata per lo studio della geometria reale delle nilmanifold non è invariante per J , per studiare la geometria complessa occorre introdurre
un'altra serie ascendente, denita come segue:
( J
C0 g := {0} ,
J
J
CkJ g :=
x ∈ g : [x, g] ⊆ Ck−1
g e [Jx, g] ⊆ Ck−1
g .
12.1. Una serie ascendente per la geometria complessa.
È chiaro che ogni ideale CkJ g verica CkJ g ⊆ Ck g ed è J -invariante.
18
DANIELE ANGELLA
([CFGU00, Denition 8]). Una struttura complessa su g si dice
nilpotente se CkJ g = g per qualche k > 0. Una lics su Γ\G si dice nilpotente se
deriva da una struttura complessa nilpotente su g.
Denizione 12.2
12.3. Tre lemmi sulla serie ascendente
nilpotente e sia J una lics su g.
{CkJ g}. Sia g un'algebra di Lie s-step
J
[CFGU00, Lemma 2]: Se C`J g = C`+1
g, allora CrJ g = C`J g per ogni r ≥ `.
[CFGU00, Lemma 3]: Si ha che
• se C`J g = C` g, allora J [C` g] = C` g;
J
• se C`−1
g = C`−1 g, allora C`J g = C` g se e solo se J [C` g] = C` g;
J
• se C`−1
g = C`−1 g, allora C`J g è il sottospazio più grande di C` g invariante per J .
[CFGU00, Corollary 5]: Si ha che
• C1J g è il più grande sottospazio del centro di C1 g invariante per J ;
• se tutti i C` g nella serie ascendente sono invarianti per J , allora C`J g =
C` g ed in particolare CsJ g = Cs g = g.
J sia nilpotente [CFGU00]. Sia
G un gruppo di Lie nilpotente (con algebra di Lie g) e sia J una lics su G o su un
suo quoziente.
12.4. Alcune condizioni sucienti anché
• Se tutti i Ck g sono J -invarianti, allora CkJ g = Ck g per ogni k , quindi J è
nilpotente.
• Se tutti i C k g sono J -invarianti, allora CkJ g = Ck g per ogni k , quindi J è
nilpotente.
• In particolare, se il gruppo di Lie è complesso, allora ogni ideale di g è
J -invariante, quindi J[Ck g] = Ck g per ogni k , quindi J è nilpotente.
12.5. Alcune condizioni necessarie anché J sia nilpotente [CFGU00]. Sia
G un gruppo di Lie s-step nilpotente di dimensione reale 2n e sia J una struttura
complessa nilpotente. Allora:
• dim[g, g] ≤ 2n − 3;
• dimCk g ≥ dimCkJ g ≥ 2k per ogni 0 ≤ k ≤ s;
• il primo intero t per cui CtJ g = g soddisfa s ≤ t ≤ n;
• in particolare, si ha s ≤ n e dimCk g ≥ 2k e
1
dimHdR
(Γ\G) = dimH 1 (∧• (g∗ )) ≥ 3 .
12.6. Caratterizzazione della nilpotenza di J dalle equazioni di struttura
complesse [CFGU00, Theorem 8]. Sia G un gruppo di Lie nilpotente (di dimen-
sione 2n) e sia J una lics su G.
Si ha che J è nilpotente se e solo se esiste una base ordinata {ωi , ω̄i }i∈{1,...,n} di
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
19
1-forme complesse invarianti a sinistra su G, con ωi di tipo (1, 0) per ogni i, tale
che
X
X
d ωi =
Aijk ωj ∧ ωk +
Bijk ωj ∧ ω̄k
j<k<i
j,k<i
con Aijk e Bijk costanti complesse tali che d = 0.
Se il gruppo di Lie è complesso (ovvero, se J è olomorcamente
parallelizzabile),
allora Bijk = 0 per ogni i, j, k : infatti, si ha g1,0 , g0,1 = 0.
2
12.7. Un paio di esempi ed un'osservazione: non tutte le varietà ammettono strutture complesse nilpotenti. La varietà di Iwasawa e la varietà
di Iwasawa sono due semplici esempi di nilmanifold complesse dotate di una struttura complessa nilpotente. In [CFU02] sono presentati due esempi, L6 e M 10 , di
nilmanifold complesse compatte la cui struttura non è nilpotente; inoltre, L6 (che
già era stata considerata in [AGS97]) non ammette strutture nilpotenti.
12.8. Due sottoclassi della classe delle strutture complesse nilpotenti.
Due classi importanti di strutture complesse nilpotenti sono:
• le lics J che rendono G un gruppo di Lie complesso, i.e. quelle per cui
[Jx, y] = J[x, y] per ogni x, y ∈ g; in tal caso, si ha CkJ g = Ck g per ogni
k , quindi J è in particolare nilpotente; osserviamo che il quoziente di G
gruppo di Lie complesso per un sottogruppo discreto è olomorcamente
parallelizzabile nel senso che esiste una base di campi vettoriali olomor
globali che sono linearmente indipendenti in ogni punto; da qui il nome:
una tale lisc si dice olomorcamente parallelizzabile ;
• le lics J per cui il sottospazio g1,0 di gC è una sottoalgebra di Lie Abeliana,
i.e. quelle per cui si ha [Jx, Jy] = [x, y] per ogni x, y ∈ g; in tal caso, si
ha ancora che J preserva la serie {Ck g}, quindi tali lics sono in particolare
nilpotenti; queste strutture sono dette Abeliane e sono state introdotte e
studiate in [BDMM95] e in [DF00].
12.9. Caratterizzazioni coomologiche per le strutture Abeliane e olomorcamente parallelizzabili [CFU02, Lemma 2.2]. Sia J una struttura complessa
nilpotente su un gruppo di Lie nilpotente di dimensione 2n. Si ha che:
• J è olomorcamente parallelizzabile se e solo se b1,0 = n;
• J è Abeliana se e solo se b0,1 = n;
• in particolare, g è un'algebra di Lie Abeliana se e solo se b1,0 = b0,1 = n.
13. Strutture complesse olomorficamente parallelizzabili
Denizione 13.1 ([Nak75, Denition 1.1]). Una varietà complessa X (di dimensione complessa n) si dice olomorcamente parallelizzabile se il brato tangente
olomorfo di X è banale.
Equivalentemente:
• il fascio Θ dei germi di campi vettoriali olomor è isomorfo a On dove O
è il fascio di struttura;
• esistono n campi vettoriali olomor tali che linearmente indipendenti in
ogni punto;
• il fascio Ω1 dei germi di 1-forme olomorfe è isomorfo a On ;
20
DANIELE ANGELLA
• esistono n forme olomorfe di grado 1 tali che siano linearmente indipendenti in ogni punto;
n
• il fascio Ωp dei germi di p-forme olomorfe è isomorfo a O( p ) .
(Wang). Sia X una varietà complessa olomorcamente parallelizzabile. Allora, esiste un gruppo di Lie G complesso, connesso, semplicemente connesso e un sottogruppo discreto Γ di G tali che X = Γ\G.
In particolare, H 0 (X; Θ) ' g.
Teorema 13.2
13.3. Una struttura complessa olomorcamente parallelizzabile equivale ad una nilmanifold olomorcamente parallelizzabile. Per quanto visto,
dare una struttura complessa olomorcamente parallelizzabile equivale a dare una
nilmanifold olomorcamente parallelizzabile rispetto a tale struttura.
[Iit72].
In [Nak75, Theorem 2] ha utilizzato deformazioni innitesime di solvmanifold dotate
di una struttura complessa olomorcamente parallelizzabile per rispondere ad una
domanda di Iitaka in [Iit72]: Gli invarianti
hp,qper (p, q) 6= (0, 0), r := dim{1-forme
13.4. Perché Nakamura ha studiato queste varietà: una risposta a
olomorfe chiuse}, Pm := dimH 0 X n ; (Ωn )⊗m e k :=dimensione di Kodaira di X
non sono necessariamente invarianti per deformazioni innitesime della struttura
complessa.
14. Strutture complesse Abeliane
14.1. Esempi:
la varietà di Kodaira-Thurston e sue generalizzazione.
Consideriamo la varietà di Kodaira-Thurston. Si ha che ogni struttura complessa
J su gè Abeliana, vedi [Sal01], quindi, per ogni J , si ha una base {α1 , α2 , ᾱ1 , ᾱ2 }
∗
di gC tale che d α1 = 0 e d α2 = α1 ∧ ᾱ2 .
Inoltre, ogni J ha una struttura simplettica compatibile ω , che, in termini della base
sopra denita, è ω := i (α12̄ + α21̄ ): la corrispondente metrica Kähleriana indenita
è quindi d s2 = α1 α2̄ + α2 α1̄ .
Generalizzando l'esempio della varietà di Kodaira-Thurston si trovano esempi di
strutture complesse Abeliane in dimensione maggiore:
([?, Theorem 5.1]). Per ogni n ≥ 1, esiste Γn \Gn nilmanifold
compatta di dimensione 2n dotata di una struttura complessa Abeliana e di forme
simplettiche compatibili con essa.
Teorema 14.2
15. Classificazione dei gruppi nilpotenti di dimensione minore di
6
aventi lics nilpotenti in base alla loro algebra di Lie
15.1. Risultati vari.
• Ogni lics su R2n è nilpotente.
• I tori hanno strutture nilpotenti.
• Sia G un gruppo di Lie s-step nilpotente di dimensione minore o uguale a
4. Allora, G ammette strutture complesse nilpotenti se e solo se s ≤ 2. In
tal caso, ogni lics su G è nilpotente.
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
21
• L'unica algebra 2-step nilpotente in dimensione minore o uguale a 4 è18
k = hX1 , . . . , X4 : [X1 , X2 ] = X3 i, e quindi è anche l'unica il cui corrispondente gruppo di Lie K sia non-Abeliano ed abbia lics nilpotenti.
Ad esempio, la struttura quasi-complessa invariante a sinistra denita da
JX1 := X2 , JX3 := X4 è integrabile ed ha C1J k = {X3 , X4 }, C2J k = k, quindi
è nilpotente19. In particolare, l'unica nilmanifold di dimensione 4 (escluso
il toro) che ammetta strutture nilpotenti è la varietà di Kodaira-Thurston.
• Sia G un gruppo di Lie connesso, semplicemente connesso e s-step nilpotente di dimensione 6. Si ha che [CFGU97]:
se s ≤ 2 allora G ammette strutture nilpotenti;
se s = 3, G ammette strutture nilpotenti eccetto quando dimC1 g è
dispari e diversa da dim[g, g];
se s ≥ 4, G non ammette strutture nilpotenti.
15.2. Qualche dato sulla classicazione. Ci sono 16 classi non isomorfe di
algebre di Lie nilpotenti di dimensione 6 i cui gruppi di Lie ammettono strutture complesse nilpotenti, e si trovano in [CFGU01, pag. 49]. Esempi espliciti di
strutture nilpotenti si trovano in [CFGU97].
16. Classificazione delle solvmanifold (che ammettono strutture
complesse) olomorficamente parallelizzabili e deformazioni
16.1. Classicazione delle solvmanifold olomorcamente parallelizzabili
di dimensione 3 [Nak75, Ÿ2]. Sia X una solvmanifold complessa olomorcamente
parallelizzabile di dimensione complessa 3 e sia {φ1 , φ2 , φ3 } una base di H 0 (X; Ω1 );
sia {θ1 , θ2 , θ3 } la corrispondente base duale.
Allora, in base alle sue equazioni di struttura, X appartiene ad una delle seguenti
tre classi:
III-(1) caratterizzata dalle equazioni di struttura
d φi = 0 per i ∈ {1, 2, 3} ,
ovvero, da
[θi , θj ] = 0 per ogni i, j ∈ {1, 2, 3} ;
è ben noto che le varietà di questa classe sono tori complessi;
III-(2) caratterizzata dalle equazioni di strutture
d φ1 = d φ2 = 0 ,
d φ3 = −φ1 ∧ φ2 ,
ovvero, da
[θ1 , θ2 ] = −[θ2 , θ1 ] = θ3 ,
gli altri nulli ;
per [Nak75, Proposition 1.4], il rivestimento universale delle varietà in questa classe è C3 ; G come gruppo di Lie è isomorfo a (C3 , ∗) gruppo di Lie
nilpotente, dove
(z1 , z2 , z3 ) ∗ (w1 , w2 , w3 ) := (z1 + w1 , z2 + w2 , z3 + w3 + w1 z2 ) ;
18oltre ad
a4
e a
k
c'è un'altra algebra di Lie di dimensione
4
nilpotente, ma in [FGG88] si
dimostra che nessun quoziente del corrispondente gruppo di Lie ammette strutture complesse (sia
omogenee che non)
19lo spazio dei moduli delle lics è calcolato in [dAFGM91]
22
DANIELE ANGELLA
un esempio è dato dalla varietà di Iwasawa;
III-(3) caratterizzata dalle equazioni di struttura
d φ1 = 0 ,
d φ2 = φ12 ,
d φ3 = −φ13 ,
ovvero, da
[θ1 , θ2 ] = −[θ2 , θ1 ] = −θ2 ,
[θ1 , θ3 ] = −[θ3 , θ1 ] = θ3 ,
[θ2 , θ3 ] = 0 ;
G come gruppo di Lie è isomorfo al gruppo risolubile (C 3 , ∗) dove
(z1 , z2 , z3 ) ∗ (w1 , w2 , w3 ) := (z1 + w1 , e−w1 z2 + w2 , ew1 z3 + w3 ;
un esempio è dato dalla varietà di Nakamura.
([Nak75, Theorem1]). Le solvmanifold complesse olomorcamente
parallelizzabili di dimensione complessa 3 sono suddivise in quattro classi distinte:
Teorema 16.2
gruppo di Lie
b1
r
h0,1
Struttura (mappa di Albanese)
(1) Abeliano
6
3
3
toro complesso
(2) nilpotente
4
2
2
T1C -bundle over T2C
(3a) risolubile
2
1
1
T2C -bundle over T1C
(3b) risolubile
2
1
3
T2C -bundle over T1C
17. Modelli di Dolbeault per nilmanifold con strutture complesse
speciali: una visione panoramica
Per il Teorema
7.2 di Hattori,
si
ha
che,
per
ogni
solvmanifold
di
tipo
completamente
risolubile, il
•
C ∗
complesso ∧ g
, d è un modello del complesso di de Rham; se la solvmanifold
è una nilmanifold, tale modello è anche minimale; inne, per il Teorema 5.7 di
Hasegawa, tale modello è formale se e solo se la varietà è un toro.
17.1. Riepilogo: cosa succede per il complesso di de Rham.
Ora, consideriamo invece il complesso
di
Dolbeault
di
una
varietà
complessa
M
, ovvero il complesso
∧•,• M, ∂¯ ; si vorrebbe che, almeno nel caso M = Γ\G nilmanifold, eventualmente supponendo
qualche condizione ulteriore sulla struttura complessa J , valga
che ∧•,• M, ∂¯ sia un modello per il complesso di Dolbeault di M , ovvero, in altri
termini, che il morsmo di DBA
∗
(5)
i : ∧•,• gC → ∧•,• Γ\G
17.2. Consideriamo ora il complesso di Dolbeault.
sia un quasi-isomorsmo, ovvero
∗ (6)
H • ∧•,• gC , ∂¯ ' H∂•¯ (Γ\G) ;
•,•
ancora in altri termini: deniamo H∂⊥
(Γ\G) la coomologia del complesso delle
¯
forme su Γ\G (i.e., delle forme su Γ-invarianti su G) ortogonali alle forme Ginvarianti; allora, la (6) equivale alla
(7)
•,•
dimH∂⊥
(Γ\G) = 0 .
¯
17.3. Un primo risultato: [CF01, Lemma 9]. Sia Γ\G una solvmanifold dotata
di una
lics. Si ha che
la mappa (8) induce un monomorsmo in coomologia, i.e.
p,q
•,•
C ∗ ¯
H
∧
g
, ∂ è un sottospazio di H∂p,q
¯ (M ).
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
23
17.4. Un secondo risultato: [CF01, Theorem 1]. Sia Γ\G una nilmanifold e
indichiamo con C(g) lo spazio dei moduli delle lics su Γ\G. Si ha che la mappa (6)
è un isomorsmo su un aperto di ogni componente connessa di C(g).
Dimostrazione.
Sia M = Γ\G una nilmanifold e sia g l'algebra di Lie
corrispondente al gruppo di Lie G.
Allora, esiste un sottoinsieme aperto denso U dello spazio C(g) di tutte le strutture
complesse invarianti a sinistra su M tale che, per ogni J ∈ U , valga l'isomorsmo
(6).
Inoltre, l'isomorsmo (6) vale nei seguenti casi:
17.5. Lo stato dell'arte.
• se J è una struttura razionale [CF01, Theorem 2];
• se J è una struttura Abeliana [CF01, CFP06, CFGU00];
• se J è una struttura olomorcamente parallelizzabile [Sak76];
• se J è una struttura nilpotente [CFGU00, Main Theorem].
(6) non è un quasi-isomorsmo. In generale,
se Γ\G è una solvmanifold complessa (con G non nilpotente), la mappa (8) non
dà un isomorsmo in coomologia, come dimostrato in [Les93]; un esempio di un
gruppo di Lie semisemplice, compatto, di dimensione pari e dotato di una lics tale
che la coomologia di Dolbeault non nasca solo dalle classi invarianti si trova anche
in [Pit89]. È un problema aperto quello di stabilire se l'isomorsmo (6) valga per
ogni nilmanifold dotata di una lics qualunque.
17.6. In generale la mappa
Una discussione sul comportamento della coomologia di
Dolbeault di varietà omogenee sotto l'azione di un gruppo si trova in [Akh97].
17.7. Altri riferimenti.
17.8. Teoria dell'omotopia di Dolbeault. Rimandiamo a [NT78] per le denizioni
∗
di base sulla teoria dell'omotopia di Dolbault. Ricordiamo solo che ∧p,q gC e' identicato canonicamente con lo spazio delle (p, q)-forme complesse invarianti a sinistra
sul gruppo G. Quindi, se Γ\G è una nilmanifold dotata di una struttura complessa
nilpotente, allora si ha un morsmo canonico di DBA
∗ (8)
i : ∧•• gC , ∂¯ → ∧•• (Γ\G) , ∂¯ .
In
[NT78], oltre al concetto di Dolbeault-formalità, si introduce il concetto di stretta
formalità ; si dimostra che:
17.9. Ricordiamo solo i legami tra dierenti concetti di formalità.
Kähler
⇒
stretta formalità
⇒
Dolbeault-formalità .
La seconda freccia non è invertibile: tra le varietà di Calabi-Eckmann esistono
esempi di varietà che sono Dolbeault-formali ma non strettamente formali. Nel caso
delle nilmanifold dotate di una struttura complessa nilpotente, invece, le nozioni
precedenti sono equivalenti tra loro e anche al concetto di (de Rham-)formale e
all'essere tori, vedi Corollario 18.3.
24
DANIELE ANGELLA
Poiché esistono nilmanifold non dieomorfe ad un toro
e dotate di strutture complesse nilpotenti e di strutture simplettiche compatibili
con esse, la Dolbeault-formalità dà una dierenza tra le varietà dotate di metriche
Kähleriane denite positive e quelle dotate di metriche Kähleriane indenite (vedi
la domanda posta in [TO97, pag. 193]).
17.10. Un'osservazione.
18. Modelli per strutture complesse nilpotenti e per strutture
complesse razionali
([CFGU00, Main Theorem]). Sia Γ\G una nilmanifold dotata di
una struttura complessa nilpotente e sia g l'algebra di Lie di G.
Allora, il morsmo canonico i della (8) è un quasi-isomorsmo, quindi si ha l'isomorsmo
(6)
.
canonico
•,•
C ∗ ¯
Inoltre, ∧
g
, ∂ è il modello minimale per il complesso di Dolbeault di Γ\G.
Si ha che Γ\G è Dolbeault-formale se e solo se è un toro complesso.
In particolare20, si ha che una nilmanifold dotata di una struttura complessa nilpotente ammette una struttura Kähleriana se e solo se è un toro complesso.
Teorema 18.1
18.2. Una condizione necessaria alla Dolbeault-formalità [CFU02, Proposition 4.2]. Sia Γ\G una nilamifold dotata di una struttura complessa nilpotente. Se
il primo numero di Betti assume il valore minimo b1 = 3, allora esiste un prodotto
triplo di Massey non nullo, quindi in particolare la varietà non è Dolbeault-formale.
18.3. La risposta a [TO97, pag. 193] è negativa per le strutture nilpotenti:
la Dolbeault-formalità non è una condizioni più forte della formalità.
Sia Γ\G una nilmanifold dotata di una struttura complessa nilpotente. Sono fatti
equivalenti:
• Γ\G è (de Rham-)formale;
• Γ\G è Dolbeault-formale;
• Γ\G è strettamente formale;
• Γ\G è un toro complesso.
In particolare, data una nilmanifold de Rham-formale dotata sia di una struttura
complessa che di una simplettica, la Dolbeault-formalità non permette di individuare l'esistenza o meno di strutture Kähleriane (ovvero, la domanda in [TO97, pag.
193] ha una risposta negativa).
Corollario 18.4 (formula di Künneth formula [CFU02, Corollary 19]). Siano M
ed N due varietà complesse, compatte e connesse. Allora, si ha:
•,•
•,•
H∂•,•
¯ (M × N ) ' H∂¯ (M ) ⊗ H∂¯ (N ) ,
ovvero, più precisamente:
H∂p,q
¯ (M × N ) '
X
c,d
H∂q,b
¯ (M ) ⊗ H∂¯ (N ) .
a+c=p, b+d=q
([CF01, Theorem 2]). Per ogni struttura complessa razionale J su
una nilmanifold Γ\G, la mappa (8) è un quasi-isomorsmo.
Teorema 18.5
20poiché per [NT78] il modello minimale di Dolbeault di una varietà Kähleriana compatta è
sempre formale, quindi, in particolare, i prodotti di Massey sono sempre nulli, vedi [CFGU00]
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
25
19. Risultati tecnici per la dimostrazione dei Teoremi 18.1 e 18.5
[?, Appendix II
π
by A. Borel, Theorem 2.1]. Sia F ,→ E → B un brato vettoriale olomorfo (non
necessariamente principale) dove F, E, B sono varietà complesse connesse compatte
e il gruppo di struttura è connesso. Supponiamo che valga una delle due seguenti:
(I) F è Kähleriana;
19.1. Lemma di Borel per la coomologia di Dolbeault
(II) il brato della coomologia scalare
[ u,v
H u,v (F ) =
H∂¯ π −1 (b)
b∈B
è banale.
Allora, esiste (Er , d r ) successione spettrale tale che:
(1) Er è 4-graduata (dal grado della base, dal grado della bra e dal tipo). Sia
pq st
Er il sottospazio di Er di tipo totale (p, q), di grado-base s e di gradobra t; allora
•
pq
Erst = 0 se p + q 6= s + t o se uno degli indici è negativo;
• d r : pq Erst → p,q+1 Ers+r,t−r+1 ;
(2) se p + q = s + t allora
X i,s−i
pq st
(F ) ;
E2 '
H∂¯ (B) ⊗ H∂p−i,q−s+i
¯
i≥0
(3) la successione spettrale converge a H∂•,•
¯ (E): per ogni p, q ≥ 0 si ha
X
pq st
E∞
GrH∂p,q
¯ (E) =
s+t=p+q
per un'opportuna ltrazione;
(4) (Er , d r ) consiste di algebre commutative dierenziali e gli isomorsmi sopra
menzionati sono compatibili con il prodotto.
19.2. Lemma di Hirsch [Cor89]. Con le notazioni del punto precedente, supponiamo che H∂¯(F ) sia libera e trasgressiva (vedi [CFGU00]).
¯ . Allora, A•,• ⊗ H •,•
Sia A•,• , ∂¯ un modello per (∧•,• B, ∂)
(F ), ∂¯ è un modello
∂¯
¯.
per il complesso di Dolbeault (∧•,• E, ∂)
20. Strutture complesse, simplettiche e Kähleriane
20.1. Vari esempi di varietà prive di strutture complesse o Kähleriane.
• In [FGG88] sono presentati vari esempi di varietà simplettiche compatte
prive di strutture complesse o di strutture Kähleriane. In particolare, si
dimostra il seguente:
Sia E 4 un brato principali in cerchi su E 3 che a sua volta è un brato
principale in cerchi sul toro T 2 ; in particolare, ne segue che il primo numero di Betti di E 4 soddisfa 2 ≤ b1 (E 4 ) ≤ 4. Allora
26
DANIELE ANGELLA
se b1 (E 4 ) = 2, allora E 4 ha strutture simplettiche ma non ammette
strutture complesse;
se b1 (E 4 ) = 3, allora E 4 ha sia strutture simplettiche che complesse
ma non ammette metriche Kähleriane denite positive (ammette però
metriche Kähleriane indenite);
b1 (E 4 ) = 4 se e solo se E 4 è un toro.
• A partire dai risultati del punto precedente e con una tecnica di blow up, si
può costruire una varietà simplettica non parellilizzabile priva di strutture
complesse o di metriche Kähleriane denite positive.
• [VdV66], [?] e [Bro78] hanno dato esempi di varietà compatte di dimensione 4 dotate di strutture quasi-complesse ma non di strutture complesse
(ad esempio, Brotherton usò i prodotti di Massey per dimostrare la non
esistenza di strutture complesse su certe varietà parallelizzabili).
• In [Thu76] si trova il primo esempio di varietà simplettica e complessa
compatta priva di metriche Kähleriane denite positive (vedi anche [Abb84,
?, CFdL85, ?]. L'esempio di Thurston era già stato studiato in [KS58].
• Si dimostra che:
Una solvmanifold compatta di dimensione 4 ha strutture Kähleriane se e
solo se è un toro complesso o una supercie iperellittica.
• In [CFU02] si dimostra che i tori sono le uniche nilmanifold olomorcamente
parallelizzabili che ammettono strutture Kähleriane indenite compatibili
con la loro struttura complessa naturale (un risultato analogo ristretto al
caso della varietà di Iwasawa si trova in [?]).
• Il primo esempio di varietà compatta simplettica che non ammette strutture Kähleriane è in [Thu76]. Altri esempi si trovano in [Abb84, CFdL85,
CFG86, Lop85, Lop86, McD84, Wat83]. Tranne l'esempio considerato da
McDu, sono tutte nilmanifold.
Oggi sono noti
molti risultati riguardo al problema di costruire strutture simplettiche che non
ammettano strutture Kähleriane (problema di Thurston-Weinstein). In particolare,
Benson e Gordon e Hasegawa, hanno risolto il problema completamente nella classe
delle varietà compatte nilpotenti, usando due approcci dierenti:
20.2. Un riepilogo sul problema di Thurston-Weinstein.
• Benson e Gordon hanno dimostrato che una nilmanifold simplettica soddisfacente la HLC è dieomorfa ad un toro e poiché ogni varietè Kähleriana compatta verica HLC ne segue che nessuna nilmanifold simplettica
(eccetto il toro) può avere strutture Kähleriane;
• Hasegawa dimostrò che il modello minimale del complesso di de Rham di
una nilmanifold non è mai formale a meno che la varietà non sia un toro:
poiché il modello minimale del complesso di de Rham di una varietà Kähleriana dev'essere formale per [?], segue che nessuna nilmanifold (eccetto il
toro) può avere strutture Kähleriane.
In [LO94] si trova un'altra dimostrazione del teorema di Benson e Gordon, nello stile
della teoria dell'omotopia razionale. Si pensa che un altro approccio alla soluzione
del problema di Thurston-Weinstein possa nascere dall'omotopia di Dolbeault, che
è una sorta di versione della teoria di Sullivan per la coomologia di Dolbeault. Una
versione della dimostrazione di Hasegawa nello stile dell'omotopia di Dolbeaut si
trova in [CFU02].
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
27
21. Altre strutture speciali
Sia M una varietà complessa compatta
di dimensione complessa n e sia ω una struttura simplettica compatibile, i.e. tale
n
che ω(Jx, Jy) = ω(x, y) per ogni x, y ∈ X (()M ): allora, ω ∈ H∂1,1
¯ con [ω] 6= 0.
21.1. Una denizione/osservazione.
Denizione 21.2.
Con le notazioni del paragrafo precedente, si dice che:
• M verica la HLC ( Hard Lefschetz Condition) se la mappa L : H n−k →
H n+k data da L[α] := [α ∧ ω k ] è un monomorsmo o, equivalentemente,
un isomorsmo;
• M verica la HLC di tipo (0, 1) se la mappa L0,1 : H 0,1 → H n−1,n data da
L0,1 [α] := [α ∧ ω n−1 è un monomorsmo;
• M verica la HLC di tipo (1, 0) se la mappa L1,0 : H 1,0 → H n,n−1 data da
L1,0 [α] := [α ∧ ω n−1 è un monomorsmo.
21.3. Qualche osservazione.
• Se M è Kähleriano, allora verica tutte e tre le condizioni.
• Se vale la HLC di tipo (0, 1), allora si ha b0,1 ≤ b1,0 .
• Se vale la HLC di tipo (1, 0), allora si ha b1,0 ≤ b0,1 .
21.4. Risultati.
Sia Γ\G una nilmanifold di dimensione 2n.
[CFU02, Theorem 3.2]: Se Γ\G è olomorcamente parallelizzabile e non è un
toro, allora non ammette strutture simplettiche compatibili con la struttura
complessa olomorcamente parallelizzabile.
[CFU02, Theorem 3.3]: Se Γ\G è dotata di una struttura complessa nilpotente
e di una struttura simplettica compatibile con essa, allora verica HLC di
tipo (0, 1) se e solo se è un toro complesso. In particolare, una nilmanifold
dotata di una struttura complessa nilpotente non ammette strutture Kähleriane a meno che non sia un toro complesso.
[CFU02, Theorem 3.4]: Se Γ\G è dotata di una struttura complessa nilpotente e di una struttura simplettica compatibile con essa, allora verica
HLC di tipo (1, 0) se e solo se la struttura complessa è Abeliana.
[CFU02]: In particolare, se Γ\G verica HLC di tipo (0, 1) allora verica anche HLC di tipo (1, 0).
[CFU02]: La mappa L1,0 è un isomorsmo se e solo se Γ\G è un toro complesso.
[CFU02]: Se Γ\G è dotata di una struttura complessa Abeliana, allora la mappa H n−1,n → H n,n−1 è un monomorsmo.
22. Condizioni necessarie per la Kählerianità
Ricordiamo innanzitutto che condizioni necessarie
anché una varietà dierenziabile ammetta una struttura complessa sono che:
22.1. Condizioni necessarie.
28
DANIELE ANGELLA
• la dimensione della varietà sia pari;
• la varietà sia orientabile.
Le seguenti sono condizioni necessarie anché una varietà dierenziabile (di dimensione 2n) dotata di una struttura simplettica ω ammetta una struttura Kähleriana:
• i numeri di Betti pari b2i devono essere non nulli;
• i numeri di Betti dispazi b2i−1 devono essere pari;
• deve valere la disuguaglianza bi ≥ bi−2 per ogni 1 ≤ i ≤ n;
k
• deve valere la Hard Lefschetz Condition (HLC), i.e. ω n−k : HdR
(M ; R) →
2n−k
HdR (M ; R) deve essere un isomorsmo per ogni k ;
• il modello minimale per il complesso di de Rham deve essere formale (e
quindi, in particolare, i prodotti di Massey devono essere nulli).
In [?] si mostrano vari esempi che
provano che le proprietà di essere formale e di vericare HLC (sono necessarie
ma) non sono sucienti all'esistenza di una struttura Kähleriana su di una varietà
simplettica.
22.2. Basta la formalità e la HLC? No!
• In dimensione 4, un esempio di una varietà coomologicamente Kähleriana
ma priva di strutture complesse e quindi in particolare priva di strutture
Kähleriane è in [FG90] (vedi anche [BG90], [?], [?]): questo caso, però, è
specico delle dimensione 4, infatti l'assenza di strutture complesse segue
dalla classicazione di Kodaira e Yau.
• In [FG90] e in [?], si mostra una famiglia {M 4 (k)} di solvmanifold compatte
di dimensione 4 coomologicamente Kähleriane ma prive di strutture complese: i risultati dipendono dalla classicazione delle supercie di Kodaira
e Yau.
• In [?], si costruiscono tre famiglie21 di solvmanifold simplettiche di dimensione 6 ({M 6 (c)} generalizzazione naturale della famiglia {M 4 (k)} e dotata di strutture complesse, {P 6 (c)} e {N 6 (c)}) e una famiglia di solvmanifold simplettiche di dimensione 8 ({N 8 (c)}) tali che ogni solvmanifold sia
formale e verichi HLC; inoltre, i loro numeri di Betti pari sono positivi
e quelli dispari sono pari. Quindi, sono coomologicamente Kähleriane, ma
non ammettono strutture Kähleriane: quest'ultimo risultato si basa su di
una proprietà del gruppo fondamentale di una varietà Kähleriana compatta
dimostrata in [?] (una tecnica simile era già stata usata in [?] per dimostrare
l'esistenza di una sottovarietà simplettica di Donaldson di dimensione 4
priva di strutture complesse).
• In [?] si costruisce una solvmanifold simplettica non nilpotente M 6 = Γ\G
di dimensione 6 che non soddisfa né HLC né la condizione di formalità,
quindi in particolare non ammette strutture Kähleriane.
21le varietà
N 6 (c) e P 6 (c) erano già state considerate in [BG90] come esempi di varietà coomo-
logicamente Kähleriane, ma era rimasto aperto il problema se ammettessero o meno strutture
?
Kähleriane, vedi anche [ ]
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
29
• In [BG90] si trovano due esempi di quozienti di gruppi di Lie risolubili ma
non nilpotenti di dimensione 8, ognuno dei quali soddisfa una tra la HLC
e la formalità ma non l'altra.
23. Deformazioni infinitesime
23.1. Introduzione. Lo studio delle deformazioni di strutture complesse su varietà complesse compatte è stato sviluppato inizialmente da Kodaira e Spencer in
[?]. Una deformazione di una varietà complessa compatta X è una mappa propria
e piatta π : X → B di spazi complessi (connessi) tale che tutte le bre siano varietà
dierenziabili con un isomorsmo X ' Y0 = π −1 (0) per un certo punto 0 ∈ B . Se
B è una varietà dierenziabile, π è una summersione olomorfa. Kodaira e Spencer
hanno dimostrato che le deformazioni del primo ordine corrispondono agli elementi
di H 1 (X, ΘX ), dove ΘX è il fascio dei vettori tangenti olomor.
A key result is now the theorem of Kuranishi which, for a given compact complex
manifold X , guarantees the existence of a locally complete space of deformations
X → Kur(X) which is versal at the point corresponding to X . In other word, for
every deformation Y → B of X there is a small neighbourhood U of 0 in B yielding
a diagram
/X
YbU ' f ∗ X
U
f
/ Kur(X),
and in addition the dierential of f at 0 is unique.
The Kuranishi family Kur(X) hence parametrises all suciently small deformations of X . In general the map f will not be unique which is roughly due to the
existence of automorphisms.
Another point of view, which we will mainly adopt in this paper, is the
following: consider X as a dierentiable manifold together with an integrable almost
complex structure (M, J), i.e., J : T M → T M , J 2 = −idT M and the Nijenhuis
integrability condition holds (see [nijenhuis] below).
A deformation of X can be viewed as a family of such complex structures Jt
depending on some parameter t ∈ B with J = J0 . The construction of the Kuranishi
space can then be made explicit after the choice of a hermitian metric on M .
We will go through this construction for our special case of complex parallelisable
nilmanifolds in Section ??.
In general the Kuranishi space can be arbitrarily bad but we can hope for better
control over the deformations if we restrict our class of manifolds. If, for example,
X is Kähler and has trivial canonical bundle, i.e., X is a Calabi-Yau manifold, then
the Tian-Todorov Lemma implies that the Kuranishi space is indeed smooth; we
say that X has unobstructed deformations. These manifolds are very important
both in physics and in mathematics for example in the context of mirror symmetry.
This result fails if we drop the Kähler condition [?].
The only nilmanifolds which can carry a Kähler structure are tori but it was
proved by Cavalcanti and Gualtieri [?] and, independently, by Babaris, Dotti and
Verbitsky [?] that nilmanifolds with left-invariant complex structure always have
trivial canonical bundle. In addition, all known examples in the context of leftinvariant complex structures on nilmanifolds, e.g., complex tori, the Iwasawa manifold [?], Kodaira surfaces [?], abelian complex structures [?, ?] (see Section ?? for
a denition), had unobstructed deformations. Therefore it was speculated if this
holds for all left-invariant complex structures. This was supported by results on
weak homological mirror symmetry for nilmanifolds [?, ?].
23.2.
30
DANIELE ANGELLA
We will show in particular, that the Kuranishi space of a complex parallelisable nilmanifold is almost always singular thus showing that no analog of the
Tian-Todorv theorem can exist for nilmanifolds.
23.3.
From this we can also deduce that every complex parallelisable nilmanifold
which is not a torus has small deformations which are no longer complex parallelisable (Corollary ??). On the other hand it is known that small deformations at
least remain in the category of nilmanifolds with left-invariant complex structure
(see Section ?? or [?]).
23.4.
Let G be a simply connected, complex, nilpotent Lie-group with Lie-algebra
g and Γ ⊂ G a lattice, i.e., a discrete cocompact subgroup. By a theorem of Mal'cev
[?] such a lattice exists if and only if the real Lie-algebra underlying g can be dened
over Q.
23.5.
23.6. The most important invariant attached to a nilpotent Lie-algebra (or Liegroup) is its nilpotency index, also called step length
The nilpotent complex Lie-group G acts transitively on X by multiplication
on the right and this is in fact an equivalent characterisation of C-parallelisable
nilmanifolds [?].
23.7.
23.8. As already remarked by Nakamura [?] not all deformations of C-parallelisable
nilmanifolds are again C-parallelisable but, as we will discuss in section ??, we can
describe all deformations in the slightly more general framework of nilmanifolds
with left-invariant complex structures which we will now explain.
Note that the multiplication in H induces an action on the left on M if and
only if Γ is normal if and only if H = Rn is abelian; there is always an action on
the right which is holomorphic if and only if (H, J) is a complex Lie-group.
By abuse of notation we will call a tensor, e.g., a vector eld, dierential form or
metric, on M left-invariant if its pullback to the universal cover H is left-invariant.
23.9.
(Lemma 2.1). A Lie-algebra with complex structure (h, J) is a
complex Lie-algebra if and only if [h10 , h01 ] = 0. In this case the canonical projection
Lemma 23.10
π : (h, J) → h10 ,
z 7→
1
(z − iJz)
2
is an isomorphism of complex Lie algebras.
Let (M, J) be a nilmanifold with left-invariant complex structure and h be
the Lie-algebra of the corresponding Lie-group.
We can identify elements in
23.11.
Λp,q := Λp,q (h∗ , J) = Λp h10∗ ⊗ Λq h01∗
with left-invariant dierential forms of type (p, q) on M . The dierential d = ∂ + ∂¯
restricts to
M
Λ∗ h∗C =
Λp,q
and can in fact be dened in terms of the Lie bracket only: for α ∈ h∗ and x, y ∈ h
considered as dierential form and vectorelds we have
(9)
dα(x, y) = x(α(y)) − y(α(x)) − α([x, y]) = −α([x, y])
since all left-invariant functions are constant.
Let H k (h, C) be the k -th cohomology group of the complex
Λ∗ h∗C :
0
d
d
d
0 → C → h∗C → Λ2 h∗C → Λ3 h∗C → . . .
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
Tabella 1.
31
Kuranishi spaces up to dimension 5.
dim
Lie-algebra
1
a1
2
a2
3
a3
3
b1
4
a4
4
(0, 0, 0, 12)
4
(0, 0, 12, 13)
5
a5
5
(0, 0, 0, 12, 13)
5
(0, 0, 0, 0, 12 + 34)
5
(0, 0, 12, 13, 23)
5
(0, 0, 0, 12, 13 + 24)
5
(0, 0, 12, 13, 14)
5
(0, 0, 12, 13, 14 + 23)
ν
1
1
1
2
1
2
3
1
2
2
3
3
4
4
h1 (ΘX ) smooth
√
1
√
6
√
18
√
6
√
40
12
−
8
−
√
75
15
−
20
−
√
10
15
−
10
−
10
−
irreducible
√
√
√
√
√
−
−
√
reduced
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
−
−
−
−
−
−
−
−
√
(ν = nilpotency index)
and H p,q (h, J) be the q -th cohomology group of the complex
Λp,∗ :
∂¯
∂¯
∂¯
0 → Λp,0 → Λp,1 → Λp,2 → . . .
Teorema 23.12 (Theorem 3.1). Let M = Γ\H be a real nilmanifold with Liealgebra h.
(1) The inclusion of Λ∗ h∗C into the de Rham complex induces an isomorphism
∗
HdR
(M, C) ' H ∗ (h, C)
in cohomology. (Nomizu, [?])
(2) The inclusion of Λp,∗ into the Dolbeault complex induces an inclusion
(10)
ιJ : H p,q (h, J) → H p,q (M, J)
which is an isomorphism if (M, J) is complex parallelisable (Sakane, [Sak76])
or if J is abelian (Console and Fino, [?]). Moreover, there exists a a dense
open subset U of the space of all left-invariant complex structures on M
such that ι is an isomorphism for all J ∈ U ([?])
Other work in this direction was done by Cordero, Fernándes, Gray and Ugarte
[CFGU00]. Conjecturally ι is an isomorphism for all left-invariant complex structures; in particular no counterexample is known.
23.13. It is a natural question if there are conditions which guarantee that a given small deformation of our complex parallelisable manifold X is again complex
parallelisable.
If g is not abelian then there are small deformations of X which
are not complex parallelisable.
Corollario 23.14.
23.15. Nilpotent complex Lie algebras are classied up to dimension 7 [?] and
partial results are known in dimension 8. Starting from dimension 7 there are
innitely many non-isomorphic cases.
24. Rollenske Nilman: complex structures geometry and
deformations
il dato di g o Γ (come gruppo astratto) determina G a meno di iso.
La losoa generale à che la geometria della varietà complessa cpt G/Γ dovrebbe
24.1.
32
DANIELE ANGELLA
essere determinata completamente dall'algebra lineare di g , J e dalla Q-sottoalgebra
generata da log Γ ⊆ g .
Teorema 24.2 (Theorem 3.5). Sia MJ = (g, J, Γ) una nilman con LISC tale che
H 1q ((g, J), C) ' H∂1q
¯ (MJ ).
allora, ogni piccola def della LISC Ã ancora una LISC
questo generalizza l'analogo per le strutture abeliane di [Console Fino Poon
Stability of abelian complex structures 2006] (vedi anche [MPPS 2006]).
24.3. La geometria reale delle nilman à ben nota, ma per la geometria complessa
l'unico strumento utile à l'esistenza di a stable (complex) torus bundle series in
the lie algebra
Per la classicazione in dim6, vedi, oltre a [Salamon 01], anche [Ugarte, 2004
DG:0411254]
24.4.
Dare una strutture quasi complessa su g à come dare U sottospazio complesso di g C tale che g C = U ⊕ Ū
24.5.
24.6.
• g ha struttura di algebra di Lie cplx sse J[xy] = [Jx, y] e J Ãautomaticam
integrabile
• J Ã integrabile sse g 10 Ã una sottoalgebra di Lie di g C (Oss: la struttura
di g 10 come algebra complessa puo' essere molto diversa da quella di g C )
Per i gruppi di Lie nilpotenti, l'esponenziale exp : g → G Ã un dieomorsmo e tutti i sottogruppi analitici sono chiusi e semplcemente connessi [Varadajan
1984, Thm3.6.2 pag196].
24.7.
G/Γ. Cis ono due ltrazioni su g :
• la serie centrale discendete (nilpotente):
24.8. Ÿ1.2.1 The real strucutre of
C 0 g := g
C i+1 g := [C i g, g]
• la serie centrale ascentente:
Z 0 g := 0
Z i+1 g := {x ∈ g : [x, g] ⊆ Z i g}
g nilpotente si dice s-step se C s g = 0 e C s−1 g 6= 0 equiv Z s g = g e Z s−1 g 6= g .
Sia Gi il gruppo di lie nilpot semplciem connesso associato all'algebra g/Z i−1 g
e sia Fi ' Rni il gruppo di Lie abeliano corrispondente a Z i g/Z i−1 g - Allora Gi →
Gi+1 à un brato principale con bra Fi e, se g à s-nilpot, si ha la torre

/ G1 = G
F1
F3
/ G2

..
.
Fs−1 
/ Gs−1
Gs = Fs
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
33
(Defnition 1.5). Un varietà che ammetta una tale torre di
brati principali si dice s-step iterated principal bundle.
Denizione 24.9
Nel contesto delle nilman le bre son sempre gruppi di lie abeliani (considereremo
Rk -bundle, real torus-bundle, holomorohic C k -bundle, holom torus-bundle).
Vedremo che la disopra ltrazione di GÃ compatibile con ogni lattice Γ dunque
possiamo descrivere M come s-step iterated real-torus bundle.
In generale, diciamo che la struttura di iterated princpial bundle à indotta da
una ltraz S k g in g se c'Ã na torre di brati principali tali come sopra tali che
Fi e' (il quoziente per il lattice del) gruppo di Lie corrispondente a S i g/S i−1 g e Gi
à (il quoziente per il lattice del) gruppod i lie associato a g/S i−1 g .
24.10. Ÿ1.2.2 the complex geometry of the universal covering
G.
• la seriec entrale discendente associata a J Ã
CJi g := C i g + JC i g
• la serie centrale ascendente associata a J Ã
T 0 g := 0
T i+1 g := {x ∈ g : [x, g] ⊆ T i g and [Jx, g] ⊆ T i g}
La struttura complessa J si dice nilpotente se T k g = g per qualche k ; allora:
• CJi g à una J -invarian subalgebra di g e un ideale in CJi−1 g [Console Fino
2001]
• C i g ⊆ CJi g ma in generale l'inclusione à stretta; si ha sempre C 1 gj 6= g
([Salamon 2001; Thm 1.3])
• c'à sempre un brazione olomorfa di G sul gruppo di Lie abealino (vector space) g/CJ1 g la cui bra tipica à il gruppo di lie semplicem cns H
associato a CJ1 g con la LISC indotta dalla restrizione di J ; qeusto à un
H -bundle principale reale ma in generale H non sarà un gruppo di Lie
complesso quindi non sarà un brato principale olomorfo
• ogni T i g à un sottospazio complesso e un ideale di g ; si ha T i g ⊆ Z i g e
SE T i g = Z i g ALLORA T i+1 g à il piu' grande sottospazio complesso di
g contenuto in Z i+1 g (vedi [CFGU 2000])
Non tutte le strutture complesse sono nilpotenti, vedi [CFGU2000] e [Ex 1.16]
(CFGU 2000). Sia (g, J) algebra nilpotente . Allora J Ã
nilpotente SSE il gruppo di Lie semplicme cns associato ha struttura di k -step iterated Cni bundle dove k à il piu' piccolo intero per cui T k g = g ; la struttura
iterata à indotta da T i g
Proposizione 24.11
Per X ∈ g 10 , la mappa adX := [X, −] : g C → g C si scompone secondo la
Hom(g C , g C ) = Hom(g 10 , g 10 )⊕Hom(g 10 , g 01 )⊕Hom(g 01 , g C ) in adX = A+B +C .
c J Ã integrabile, B = 0.
PoichÃ
La strttura si dice Abeliana se A = 0, equiv g 10 Ã una sottoalg abeliana di g C
equiv [xy] = [Jx, Jy]. Implica JZ i g = Z i g ed in particolare implica nilpotente con
T i g = Z i g : Salamon, MacLaughilin, Pedersen, Poon, Console, Fino, ...
Se C = 0, si dice complex-parall, [Winkelmann Complex analytic geometry of
complex parallelizable manifolds 1998].
24.12. Ÿ1.2.3 Complex geom of Γ\G. Si pone la questione della compatibilità del lattica Γ con le strutture g e J . Risultati di [Malcev 1951].
Sia g algebra nilpotente. Una struttura razionale per g à una
sottoalgebra gQ denita sui razionali talie che g = gQ ⊗ R. Una sottoalgebra h si
dice razionale rispetto alla struttura razionale gQ se hQ := h ∩ gQ Ã una struttura
razionale per h.
Denizione 24.13.
34
DANIELE ANGELLA
Se Γ Ã un lattice nel gruppo di Lie semplicem cons G, allora la sua struttura
razionale associata à data dal Q-span di log Γ. Un sottospazio razionale rispetto
a questa struttura à detto Γ-razionale.
Per lattice in g algebra di Lie, intendiamo un lattice nello spazio vettoriale sottostante che sia chiuse per bracket; diciamo che Γ ⊆ G Ã indottora da un lattice
c un lattice in g .
in g se log ΓÃ
24.14.
• la struttura razionale associata a Γ Ã una strutrura raionale [CG90, pag204].
In particolare, esiste un lattice in un gruppo di Lie sempl cns G SSE la
corrispondente algebra di Lie ammette una struttura razionale
• Le sottoalgebre C i g e Z i g sono sottoalgebre razionali. Inparticolare, il
quoziente ha struttura di real analytic iterated principal torus bundle indotto dalla ltrazione (Z i g) sull'algebra di Lie
Lemma 24.15 (Lemma 1.4). Sia (g, J) algebra nilpotente con struttura cplx J .Sia
h un ideale di g tale che Jh = h, ie h à un sottospazio complesso. Sia G, H gruppi
Lie sempl cns associati dotati con le LISC indotte da J . Allora c'Ã una brazione
olomorfa π : G → G/H con bra tipica H .
(Lemma 1.9). Situazione di Lemma1.4.
Γ ⊆ G lattice. Allora π induce una brazione sulla nilman cpt Γ\G =: M SSE
Γ ∩ H à un lattice in H SSE la sottoalgebra associata h ⊆ g à Γ-razionale.
In particolare, M bra come un principal holomorphic torus bundle π : M → M 0 su
qualcehe nilman M 0 SSE c'Ã un sottospazio J -invariante, Γ-razionale, contenuto
nel centro Zg di g
Lemma 24.16
Sia g algebra di Lie con struttura razionale gQ . J struttura
complessa su g si dice razionale se J(gQ ) ⊆ gQ .
Denizione 24.17.
In [CF01] si ha che per una struttura complessa razionale J , i sottospazi CJi g
sono sottospazi razionali e quindi CJ1 g induce una brazione
olomorfa di M su un
toro complessa con bra tipica la nilman cpt complessa
CJ1 g, JbCJ1 g , Γ ∩ CJ1 g .
Ma anche se CJ1 g à abeliana come sottoalgebra, la brazione non à un brato
principale se CJ1 g non sta nel centro di g .
Soa g algebra nilpot. We call an ascending ltration (S i g)i=o,...t
on g a (complex) torus bundle series for a complex struct J if
Denizione 24.18.
S0g = o
JS i g = S i g
S
i+1
i
Stg = g
(i = 0....t)
i
g/S g ⊆ Z(g/S g)
(i = 0......t)
An ascending ltration (S g) on g is said to be stable (complex) torus bundle series
on g if is a torus bundle series for every cplx struct J on g and every subspace S i g
is rational with respect to every lattice in the simply connected lie group associated
to g
i
(Theorem 3.3). Sia M = Γ\G una nilman reale con algebra di
Lie g . Alora, c'Ã un sottoinsieme aperto denso U di C(g) di tuttie le strutture
complesse invarianti a sinistra su M tale che per ogni J ∈ U , vale l'ismorosmo
(1) sulla nilman associata. In particolare questo vale nei seguenti casi:
• J Γ-razionale [CF01, Theorem 2]
• J Abeliana [CF01]
• J bi-invariante, G gruppo Lie complesso, MJ complex-parall [Sakane76],[CF01]
Teorema 24.19
GEOMETRIA REALE E COMPLESSA DI QUOZIENTI DI GRUPPI DI LIE
35
• MJ ha struttura di iterated principal holomorphic torus bundle, i.e. la struttura complessa à nilpotente ed esiste una torus bundle series (S i g)i=1,...t
in g tale che i sottospazi S i g sono razionali rispetto a Γ [CFGU00]
c sempre il caso se g ammette a stable torus bundle series.
Ã
(Corollary 3.7). Sia g un'algebra nilpot e Γ un lattice nel corrispondente grppo di Lie semplci cns, tale che ogni struttura cplx J sulla nilman
saddid le concludioni del thm 3.5. Allora, ogni piccola deformazione di M Ã ancora una nilman con LISC. In particolare, questo vale se g ammette a stable torsu
bundle series
Corollario 24.20
Lemma 24.21
(Lemma5.1).
25. La varietà di Iwasawa
Sia G il gruppo di Lie (nilpotente) di matrici denito da



 1 z1 z3

1 z2  ∈ GL(3; C) : z1 , z2 , z3 ∈ C ,
G := 


1
25.1. Denizione.
detto gruppo di Heisenberg, e sia Γ il sottogruppo



 1 γ1 γ3

1 γ2  ∈ GL(3; C) : γ1 , γ2 , γ3 ∈ Z[i] .
Γ := 


1
La varietà di Iwasawa è la varietà complessa di dimensione complessa 3 denita
come
M := Γ\G .
Una base di (1, 0)-forme su C3 (con coordinate complesse {z 1 , z 2 , z 3 }) invarianti
per l'azione di Γ, e che dunque passano al quoziente dando una base di 1-forme
globali su M , è data da

 ϕ1 := d z 1
ϕ2 := d z 2

ϕ3 := −d z 3 + z 1 d z 2
che hanno equazioni di struttura

 d ϕ1
d ϕ2

d ϕ3
=
=
=
0
0
ϕ1 ∧ ϕ2
.
La varietà di Iwasawa è dotata di una struttura complessa indotta in modo
naturale sul quoziente, dunque tale struttura è olomorcamente parallelizzabile.
In [KS04] si dimostra che lo spazio delle strutture complesse invarianti a sinistra
e compatibili con l'orientazione sulla varietà di Iwasawa ha il tipo di omotopia
dell'unione disgiunta di un punto e di una 2-sfera.
La varietà di Iwasawa, con la struttura complessa standard, è dotata di una
struttura bilanciata, ovvero è 2-Kähler.
La varietà di Iwasawa dotata della struttura complessa standard non ammette
una struttura simplettica compatibile, i.e. non ammette una struttura Kähleriana:
infatti, esiste una 1-forma olomorfa non chiusa. In [?] si dimostra che la varietà (dierenziabile) di Iwasawa non ammette strutture Kähleriane, poiché esistono
prodotti (tripli) di Massey non nulli, quindi il modello minimale per il complesso
di de Rham non è formale.
36
DANIELE ANGELLA
26. Le nilmanifold come controesempi per una congettura di
Griffiths e Harris
26.1. La successione di Frölicher.
induce una successione spettrale
Il complesso doppio dierenziale ∧•,• M, ∂, ∂¯
E0p,q = ∧p,q M ,
d 0 = ∂¯
¯
d 1 = [∂]
E1p,q = H∂p,q
¯ (M ) ,
p,q
•
En ⇒ HdR (M ; C)
detta successione di Frölicher.
26.2. Una domanda di Griths e Harris. Sulle varietà dotate di una struttura
Kähleriana, la successione di Frölicher degenera al primo passo, in conseguenza del
∂ ∂¯-Lemma e dunque della scomposizione di Hodge. In molte delle varietà note, la
successione di Frölicher degenera entro il secondo passo22 (vedi [CFG91, Sak76]):
ciò portò Griths e Harris a chiedersi, in [?], se ciò fosse una proprietà valida in
generale. Poiché in dimensione 4 (i.e., per le supercie complesse) la successione di
Frölicher degenera sempre al primo passo (vedi [?]), la dimensione (reale) minima
in cui cercare controesempi è la 6.
Esempi in cui d 2 6= 0 sono stati trovati indipendentemente
nilmanifold dotata di una struttura complessa invariante a
sinistra di dimensione complessa 4) e in [Pit89] (considerando una struttura complessa invariante a sinistra su Spin(9). In [CFG91] c'è un esempio di una nilmanifold
di dimensione complessa 6 con E3 6' E4 ' E∞ e in [CFUG99] si dimostra che per
le varietà complesse di dimensione complessa 3 possono aversi dierenti fenomeni,
no a E2 6' E3 ' E∞ (vedi anche [CFGU01]).
In un certo senso, il numero di passi dopo cui la successione degenera misura quanto
la coomologia di de Rham dista da quella di Dolbeault, e quindi quanto una varietà
dista dal poter essere Kähleriana: con questa motivazione, Rolleske ha dimostrato in [Rol08] che esistono varietà arbitrariamente lontane dall'essere Kähleriane,
ovvero la cui successione di Frölicher degenera ad un passo arbitrario.
26.3. Controesempi.
in [?] (considerando una
(Rollenske; [Rol08]). Per ogni n ≥ 2, esiste una nilmanifold Xn di
dimensione 2n dotata di una struttura complessa invariante a sinistra tale che la
successione spettrale di Frölicher non degenera ad En , i.e. d n 6= 0.
Teorema 26.4
22la varietà di Iwasawa è il primo esempio in cui
E1 6' E∞
Appendice A. Six-dimensional real nilpotent Lie algebras,
b1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
5
5
6
b2 6−s
Structure
2
1
(0, 0, 12, 13, 14 + 23, 34 + 52)
2
1
(0, 0, 12, 13, 14, 34 + 52)
3
1
(0, 0, 12, 13, 14, 15)
3
1
(0, 0, 12, 13, 14 + 23, 24 + 15)
3
1
(0, 0, 12, 13, 14, 23 + 15)
4
2
(0, 0, 12, 13, 23, 14)
4
2
(0, 0, 12, 13, 23, 14 − 25)
4
2
(0, 0, 12, 13, 23, 14 + 25)
4
2
(0, 0, 0, 12, 14 − 23, 15 + 34)
5
2
(0, 0, 0, 12, 14, 15 + 23)
5
2
(0, 0, 0, 12, 14, 15 + 23 + 24)
5
2
(0, 0, 0, 12, 14, 15 + 24)
5
2
(0, 0, 0, 12, 14, 15)
5
3
(0, 0, 0, 12, 13, 14 + 35)
5
3
(0, 0, 0, 12, 23, 14 + 35)
5
3
(0, 0, 0, 12, 23, 14 − 35)
5
3
(0, 0, 0, 12, 14, 24)
5
3
(0, 0, 0, 12, 13 + 42, 14 + 23)
5
3
(0, 0, 0, 12, 14, 13 + 42)
5
3
(0, 0, 0, 12, 13 + 14, 24)
6
3
(0, 0, 0, 12, 13, 14 + 23)
6
3
(0, 0, 0, 12, 13, 24)
6
3
(0, 0, 0, 12, 13, 14)
8
4
(0, 0, 0, 12, 13, 23)
6
3
(0, 0, 0, 0, 12, 15 + 34)
7
3
(0, 0, 0, 0, 12, 15)
7
3
(0, 0, 0, 0, 12, 14 + 25)
8
4
(0, 0, 0, 0, 13 + 42, 14 + 23)
8
4
(0, 0, 0, 0, 12, 14 + 23)
8
4
(0, 0, 0, 0, 12, 34)
9
4
(0, 0, 0, 0, 12, 13)
9
4
(0, 0, 0, 0, 0, 12 + 34)
11
4
(0, 0, 0, 0, 0, 12)
15
5
(0, 0, 0, 0, 0, 0)
⊕
[Mag86]
22
21
2
20
19
11
18
18
16
17
15
1+5
1+5
13
14
14
1+5
10
9
8
6
7
1
3
12
1+1+4
1+5
5
4
3+3
1+5
1+5
1+1+1+3
1 + ··· + 1
[?]
32
31
28
30
29
23
26
26
27
25
24
22
21
18
19
19
16
15
14
13
11
12
10
7
20
17
9
5
4
2
6
3
8
1
[Sal01]
dimC C(g) ≤ dimR S(g)
4∗
4∗
6
6
5
5
5
5
5
6
5∗
6
6
6
6
6
7
9
7
7
7
8
8
8
7
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
10
10
10
11
12
15
(0, 0, 12, 13, 14, 15)
(0, 0, 12, 13, 14, 34 + 52)
(0, 0, 12, 13, 14, 23 + 15)
(0, 0, 12, 13, 23, 14)
(0, 0, 12, 13, 23, 14 − 25)
(0, 0, 12, 13, 23, 14 + 25)
(0, 0, 12, 13, 14 + 23, 34 + 52)
(0, 0, 12, 13, 14 + 23, 24 + 15)
(0, 0, 0, 12, 13, 14 + 35)
(0, 0, 0, 12, 13, 14 + 23)
(0, 0, 0, 12, 13, 24)
(0, 0, 0, 12, 13, 14)
(0, 0, 0, 12, 13, 23)
(0, 0, 0, 12, 14, 15 + 23)
(0, 0, 0, 12, 14, 15 + 23 + 24)
(0, 0, 0, 12, 14, 15 + 24)
(0, 0, 0, 12, 14, 15)
(0, 0, 0, 12, 14, 24)
(0, 0, 0, 12, 14, 13 + 42)
(0, 0, 0, 12, 14, 23 + 24)
(0, 0, 0, 12, 23, 14 + 35)
(0, 0, 0, 12, 23, 14 − 35)
(0, 0, 0, 12, 14 − 23, 15 + 34)
(0, 0, 0, 12, 14 + 23, 13 + 42)
(0, 0, 0, 0, 12, 15 + 34)
(0, 0, 0, 0, 12, 15)
(0, 0, 0, 0, 12, 14 + 25)
(0, 0, 0, 0, 12, 14 + 23)
(0, 0, 0, 0, 12, 34)
(0, 0, 0, 0, 12, 13)
(0, 0, 0, 0, 13 + 42, 14 + 23)
(0, 0, 0, 0, 0, 12 + 34)
(0, 0, 0, 0, 0, 12)
(0, 0, 0, 0, 0, 0)
Nilmanifold class
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
5
5
6
b1
3
2
3
4
4
4
2
3
5
6
6
6
8
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
6
7
7
8
8
9
8
9
11
15
b2
(1 + 2 + i3)(4 + i5) exp i(26)
(2 + i3)(4 + i5) exp i(16 − 34)
(1 + 2 + i3)(4 + i5) exp i(26)
(2 + i3)(4 + i5) exp i(16)
(1 + i2)(5 + i6) exp i(16 − 34)
(1 + i2)(3 − 2 × i4)(5 + 2 × i6)
(1 + i2)(3 + 4 + i4)(5 + 6 − i6)
(1 + i2)(3 + i4)(5 + i6)
(1 + i2)(3 + i4)(5 + i6)
(1 + i2)(4 + i5)(3 + i6)
(1 + i2)(3 − i4)(5 + i6)
(1 + i2)(3 + i4)(5 + i6)
(2 + i3)(1 + i4)(5 + i6)
(1 + i2)(3 − i4)(5 + i6)
(1 + i2)(3 + i4)(5 + i6)
(1 + i2)(3 + i4)(5 + i6)
(1 + i2)(3 + i4)(5 + i6)
(1 + i2)(3 − i4)(5 + i6)
(1 + i3)(4 − i5)(2 + i6)
(1 + i2)(3 + i4)(5 + i6)
(1 + i2)(3 + i4)(2 × 5 − i6)
(1 + i2)(3 + 4 + i3)(5 + 6 + i6)
(1 + 2 + i3)(5 + i4) exp(3 + i1)6
(1 + i3)(4 − i5) exp i(26)
(1 + i2)(3 + i4) exp i(56)
(1 + i2)(3 − i4) exp i(56)
(1 + i2)(3 + i4) exp i(56)
(1 + i2)(3 + i4) exp i(56)
(1 + i2)(4 + i5) exp i(36)
(1 + i2)(3 − i4) exp i(56)
(1 + i2)(3 + i4) exp i(56)
(2 + i3)(5 + i6) exp i(14)
(1 + i2)(3 + i4) exp i(56)
(1 + i2)(3 + i4) exp i(56)
(1 + i2)(3 + i4) exp i(56)
(1 + i2)(3 + i4) exp i(56)
(1 + i2)(5 + i6) exp i(34)
(1 + i2)(4 + i5) exp i(36)
(1 + i2)(4 + i5)(3 + i6)
Type 2
Complex (type 3)
(1 + i2) exp(43 − 56 + i(46 − 35))
(1 + i2) exp(45 − 35 + 36 + i(−36 + 45 − 16))
(1 + i2) exp(2 × 35 + i(36 − 45))
(1 + i2) exp i(36 + 45)
(1 + i2) exp i(36 + 45)
(1 + i2) exp i(35 + 46)
(1 + i2) exp(35 − 46 + i(36 + 45))
(1 + i2) exp(35 − 46 + i(36 + 45))
(1 + i3) exp i(26 − 45)
(1 + i3) exp i(26 − 45)
(1 + i3) exp i(26 − 45)
(1 + i3) exp i(26 − 45)
(1 + i2) exp(35 − 46 + i(45 + 36))
(1 + i2) exp i(35 + 46)
(1 + i2) exp(35 + 46 + i(35 − 46))
(1 + i2) exp(36 + 45 + i(36 − 45))
(1 + i3) exp(24 + 56 + i(25 + 46))
(2 + i3) exp i(16 + 35 + 45 − 26)
(1 + i2) exp(35 + 46 + i(36 − 45))
(3 + i4) exp i(25 + 16)
(1 + i2) exp i(34 + 56)
(1 + i2) exp(34 + 56 + i(35 − 46))
(1 + i2) exp(35 + 46 + i(36 − 45))
(1 + i2) exp(35 − 46 + i(45 + 36))
(2 + i3) exp(15 − 46 + i(16 + 45))
(1 + i2) exp(35 + 46 + i(36 − 45))
(1 + i2) exp i(36 + 45)
(1 + i2) exp i(36 + 45)
(1 + i2) exp i(36 + 45)
16 + 23 + 45
12 + 34 + 56
16 + 25 + 34
13 + 26 + 45
13 + 26 + 45
15 + 36 + 24
16 + 25 + 34
16 + 25 + 34
16 + 35 + 24
15 + 2 × 26 + 34
15 + 26 + 34
16 − 34 + 25
16 − 2 × 34 − 25
26 + 14 + 35
16 + 24 + 35
15 + 24 + 36
13 + 26 − 45
13 + 26 − 45
13 + 26 − 45
13 + 26 − 45
16 + 2 × 34 − 25
16 + 24 + 34 − 25
15 + 24 + 34 − 26
15 + 24 − 35 + 16
15 + 24 + 35 + 16
Symplectic (type 0)
16 + 34 − 25
(1 + i2) exp i(36 − 45)
(1 + i2) exp(−45 + 36 + i(36 + 45))
(1 + i2) exp i(36 − 45)
[CG04]
Type 1
Appendice B. Differential forms defining left-invariant Generalized Calabi-Yau structures,
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