metodi geometrici della fisica matematica

METODI GEOMETRICI DELLA FISICA MATEMATICA
Prof. Bert van Geemen
Prof. Sergio Cacciatori
Codice: F76052. Crediti: 7 cfu. Semestre: II
Anno Accademico 2007/2008
Nel presente corso verranno considerati alcuni strumenti della geometria contemporanea
che trovano applicazione nella fisica matematica e nella fisica teorica. I concetti
matematici, dopo essere stati introdotti e averne analizzato le principali proprietà,
verranno di volta in volta inseriti in un contesto fisico, al fine di mostrarne l'applicazione
concreta. In particolare si cercherà di minimizzare l'aspetto formale (nei limiti del
possibile), a favore dell'intuizione e con lo scopo di rendere rapidamente operativi gli
strumenti matematici introdotti. Parte del corso sarà tenuto dal dott. S. Cacciatori (Univ.
dell'Insubria). Gli argomenti trattati saranno:
Geometria differenziale e relatività generale.
Breve introduzione alle varietà riemanniane. Tensori come oggetti intrinseci. Connessioni
lineari, connessione di Levi-Civita e connessione di spin; torsione e curvatura. Il tensore
di Einstein e le equazioni di Einstein in relatività generale. Un esempio esplicito di
calcolo.
Teoria di Gauge e connessioni su fibrati principali.
Richiami sui concetti di gruppi e algebre di Lie. Fibrati principali; connessioni sui fibrati
principali. Trasformazioni di gauge, le equazioni di Yang-Mills e di Maxwell. Esempi di
fibrati non banali in teorie di Yang-Mills.
Il modello standard e algebre di Lie.
Cenni sulla classificazione delle algebre di Lie semisemplici, diagrammi di Dynkin e
sistemi di radici. Utilizzo dei diagrammi di Dynkin per la costruzione delle
rappresentazioni irriducibili. Costruzione delle rappresentazioni di su(2), ed su(3).
Applicazione al modello standard e ad un modello di grande unificazione.
Geometria di Spin ed elettroni.
Algebra di Clifford, rappresentazioni di spin e le "matrici ". L'operatore di Dirac, e i
fermioni. Particelle di spin 1/2 e l'equazione di Dirac. Equazione di Rarita-Schwinger e
particelle di spin 3/2.
A seconda della disponibilità di tempo il corso potrà essere integrato alternativamente
con cenni di "Varietà complesse e teoria delle stringhe" o "Gruppi eccezionali e teoria
delle stringhe".
Riferimenti principali
B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, Modern geometry-methods and
applications. Part I, II,III, GTM 93, 104, 124, Springer.
W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, 1991, GTM 129, Springer.
B.C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, 2003, GTM 222, Springer,
(eprint math-ph/0005032).
S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Vol. I,II, 1969, John
Wiley & Sons, Inc..
Walter Thirring, Classical mathematical physics: Dynamical systems and field theories,
1997, Springer.