Soluzione di circuiti RC ed RL del primo ordine Principi di

Principi di ingegneria elettrica
Lezione 11a parte 2
Soluzione di circuiti RC ed RL del primo ordine
Metodo sistematico
Costante di tempo
Rappresentazione del transitorio
Metodo sistematico per ricavare una generica
grandezza x(t) per t>0 in un circuito RC
1. Se vC(0) è incognita, si considera la fase stazionaria del circuito nella
configurazione che precede il transitorio e si calcola vC(0-) sostituendo il
condensatore con un circuito aperto. Si ha: vC (0-) = vC (0+) = vC (0).
2. Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola vC(∞) sostituendo il condensatore con un circuito
aperto.
3. Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti del
condensatore t>0.
4. Si calcola la costante di tempo τ = Req C.
5. Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di
vC(t).
6. Si sostituisce il condensatore con un generatore indipendente di
tensione di valore vC(t) oppure con un generatore indipendente di
corrente di valore iC(t) = C dvC(t)/dt.
7. Si ricava la grandezza desiderata x (t).
Metodo sistematico per ricavare una generica
grandezza x(t) per t>0 in un circuito RL
1. Se iL(0) è incognita, si considera la fase stazionaria del circuito nella
configurazione che precede il transitorio e si calcola iL (0-) sostituendo
l’induttore con un corto circuito. Si ha:
iL (0-) = iL (0+) = iL(0).
2. Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola iL (∞) sostituendo l’induttore con un corto circuito.
3. Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti
dell’induttore per t>0.
4. Si calcola la costante di tempo τ = L/Req.
5. Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di
iL(t).
6. Si sostituisce l’induttore con un generatore indipendente di corrente di
valore iL(t) oppure con un generatore indipendente di tensione di valore
vL(t) = L diL (t)/dt.
7. Si ricava la grandezza desiderata x (t).
Con il metodo sistematico si considerano
circuiti resistivi in regime stazionario
evitando la risoluzione di equazioni differenziali.
esempio 1 - Transitorio RC
L’interruttore è chiuso per t<0 e si apre in t= 0.
Ricavare i(t) per t>0.
Metodo sistematico, punto (1)
Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che
precede il transitorio e si calcola vC(0-) sostituendo il condensatore con un
circuito aperto.
Si ha:
vC (0-) = vC (0+) = vC (0).
esempio 1
metodo sistematico, punto (1)
t = 0-
I due resistori sono in parallelo, il loro equivalente è 1,5 kΩ
vC (0-) = 1,5 ·10 3 ·10 -3 = 1,5 V = vC (0+)
esempio 1
metodo sistematico, punto (2)
Metodo sistematico, punto (2)
Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola vC(∞) sostituendo il condensatore con un circuito
aperto.
t∞
vC (∞) = 2 · 10 3 ·1·10 -3 = 2 V
esempio 1
metodo sistematico, punti (3) , (4)
Metodo sistematico, punti (3), (4)
Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti del
condensatore t>0 .
Si calcola la costante di tempo τ = Req C
t∞
Req = 2 kΩ
τ = Req C = 2 · 10 3 ·1·10 -6 = 2 ms
esempio 1
metodo sistematico, punti (5) , (6) , (7)
Metodo sistematico, punti (5), (6), (7)
Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di vC(t)
Si sostituisce il condensatore con un generatore indipendente di corrente di
valore iC(t) = C dvC(t)/dt
Si ricava la grandezza desiderata i (t)
vC ( t ) = [vC ( 0 ) − vC ( ∞ )]⋅ e − t / τ + vC ( ∞ ) =
= [1,5 − 2] ⋅ e − 500t + 2 = 2 − 0 ,5 ⋅ e − 500 t V
iC ( t ) = C
vC ( t )
= 10 − 6 ⋅ 250 ⋅ e − 500t A = 0,25 ⋅ e − 500t mA
dt
i( t ) = 1 − iC ( t ) = 1 − 0,25 ⋅ e −500 t mA
LKC
i( t ) = [i( 0 + ) − i( ∞ )]⋅ e −500 t + i( ∞ ) = [0 ,75 − 1] ⋅ e −500t + 1 = 1 − 0,25 ⋅ e −500 t mA
esempio 2 - Transitorio RC
L’interruttore si apre in t= 0.
Ricavare la corrente i(t) per t>0.
Metodo sistematico, punto (1)
Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che
precede il transitorio e si calcola vC(0-) sostituendo il condensatore con un
circuito aperto.
Si ha:
vC (0-) = vC (0+) = vC (0).
esempio 2
metodo sistematico, punto (1)
t = 0-
La tensione vC (0-) corrisponde alla caduta di tensione sul resistore
da 5 Ω.
vC (0-) = 5 ·1 = 5 V
esempio 2
metodo sistematico, punto (2)
Metodo sistematico, punto (2)
Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola vC(∞) sostituendo il condensatore con un circuito
aperto.
t∞
La corrente nel resistore da 15 Ω è nulla.
vC (∞) = (5+5) · 1 = 10 V
esempio 2
metodo sistematico, punti (3) , (4)
Metodo sistematico, punti (3), (4)
Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti del
condensatore t>0 .
Si calcola la costante di tempo τ = Req C
t∞
Req = 5 + 5 + 15 = 25 Ω
τ = Req C = 25 ·1·10 -3 = 25 ms
1/τ = 1000/25 = 40 s−1
esempio 2
metodo sistematico, punti (5) , (6) , (7)
Metodo sistematico, punti (5), (6), (7)
Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di vC(t)
Si sostituisce il condensatore con un generatore indipendente di corrente di
valore iC(t) = C dvC(t)/dt
Si ricava la grandezza desiderata i (t)
vC ( t ) = [vC ( 0 ) − vC ( ∞ )]⋅ e − t /τ + vC ( ∞ ) =
= [5 − 10] ⋅ e − 40 t + 10 = 10 − 5 ⋅ e − 40 t V
iC ( t ) = C
vC ( t )
= 10 − 3 ⋅ 200 ⋅ e − 40 t A = 0,2 ⋅ e − 40 t A
dt
i( t ) = 1 − iC ( t ) = 1 − 0,2 ⋅ e −40 t A
LKC
i( t ) = [i( 0 + ) − i( ∞ )]⋅ e −40 t + i( ∞ ) = [0 ,8 − 1] ⋅ e −40 t + 1 = 1 − 0,2 ⋅ e −40 t A
esempio 2
esempio 3 - Transitorio RL
Il circuito è in regime stazionario in t=0−.
L’interruttore si apre in t=0.
Calcolare la corrente i(t) per t>0.
Metodo sistematico, punto (1)
Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che
precede il transitorio e si calcola iL(0-) sostituendo l’induttore con un corto
circuito.
Si ha:
iL (0-) = iL (0+) = iL (0).
esempio 3
metodo sistematico, punto (1)
t = 0-
Si applica la LKC.
iL (0-) = iL + iL = (20/4) + (3/3) = 6 A
esempio 3
metodo sistematico, punto (2)
Metodo sistematico, punto (2)
Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola iL(∞) sostituendo l’induttore con un corto circuito.
t∞
iL (∞) = 20/4 = 5 A
esempio 3
metodo sistematico, punti (3) , (4)
Metodo sistematico, punti (3), (4)
Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti
dell’induttore per t>0 .
Si calcola la costante di tempo τ = Req C
t∞
Req = 4 Ω
τ = L/Req = 2/4 = 0,5 s
1/τ = 2 s−1
esempio 3
metodo sistematico, punto (5)
Metodo sistematico, punto (5)
Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di iL(t)
iL ( t ) = [iL ( 0 ) − iL ( ∞ )] ⋅ e − t /τ + iL ( ∞ ) =
= [6 − 5] ⋅ e − 2t + 5 = 5 + e − 2t A
esempio 4- Transitorio RL
Calcolare la corrente ix(t)
Metodo sistematico, punto (1)
Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che
precede il transitorio e si calcola iL(0-) sostituendo l’induttore con un corto
circuito.
Si ha:
iL (0-) = iL (0+) = iL (0).
esempio 4
metodo sistematico, punto (1)
t = 0-
Si applica la legge di Ohm
iL (0-) = 30/10 = 3 A
esempio 4
metodo sistematico, punto (2)
Metodo sistematico, punto (2)
Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola iL(∞) sostituendo l’induttore con un corto circuito.
t∞
La corrente i1 è nulla
Il parallelo 30//10 = 7,5 Ω
iL (∞) = 30/7,5 = 4 A
esempio 4
metodo sistematico, punti (3) , (4)
Metodo sistematico, punti (3), (4)
Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti
dell’induttore per t>0 .
Si calcola la costante di tempo τ = Req C
t∞
Req = 30//30//10 = 6 Ω
τ = L/Req = 0,5/6 = 1/12 s
1/τ = 12 s−1
esempio 4
metodo sistematico, punti (5) , (6) , (7)
Metodo sistematico, punti (5), (6), (7)
Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di iL(t)
Si sostituisce l’induttore con un generatore indipendente di tensione di
valore vL(t) = L diL (t)/dt
Si ricava la grandezza desiderata i (t)
10 Ω
iL ( t ) = [iL ( 0 ) − iL ( ∞ )] ⋅ e − t /τ + iL ( ∞ ) =
= [3 − 4] ⋅ e −12 t + 4 = 4 − e −12 t A
vL(t)
iL ( t )
vL ( t ) = L
= 0 ,5 ⋅ 12 ⋅ e −12 t V = 6 ⋅ e −12 t V
dt
ix (t ) =
30 − v L ( t )
= 3 − 0 ,6 ⋅ e −12 t A
10
LKT
ix ( t ) = [ix ( 0 + ) − ix ( ∞ )]⋅ e −12 t + ix ( ∞ ) = [2 ,4 − 3] ⋅ e −12 t + 3 = 3 − 0,6 ⋅ e −12 t A
esempio 4
esempio 5
Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine
Il condensatore è carico in t=0 con v(0)=5 V.
Applichiamo il metodo sistematico e la sovrapposizione degli
effetti.
esempio 5
Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine
vC ( ∞) = 9 V
esempio 5
Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine
Il condensatore è carico in t=0 con v(0)=5 V.
Applichiamo il metodo sistematico e la sovrapposizione degli
effetti.
Req = 3 kΩ
τ = 1 ms
esempio 5
Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine
v1 ( t ) = 5e −1000 t V
esempio 5
Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine
v2 ( t ) = 6(1 − e −1000t ) V
esempio 5
Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine
v3 ( t ) = 3(1 − e −1000t ) V
vC ( t ) = v1 ( t ) + v2 ( t ) + v3 ( t ) = 5e −1000t + 3(1 − e −1000t ) + 6(1 − e −1000t ) = 9 − 4 e −1000t V