j A - Dipartimento di Ingegneria dell`Energia elettrica e dell

Elettronica delle
Telecomunicazioni LS-B
Anno accademico 2009-2010
Dott. Ing. Corrado Florian
Tel. 051-2093846
Mail: [email protected]
1
Programma
•
•
•
•
•
•
Oscillatori
Rumore nei dispositivi elettronici
Rumore negli oscillatori
PLL – Anello ad aggancio di Fase
Mixer
Moltiplicatori
• Architetture di sistemi di telecomunicazioni
2
1
Schema concettuale di un transceiver
Philips GSM transceiver
3
Lucent Technologies transceiver
4
2
Nokia Mobile phone
5
Nokia Mobile phone
6
3
Nokia Mobile phone RF front end
7
Nokia Mobile phone RF front end
8
4
Blocchi funzionali del front end
a RF o a Microonde
ƒ Amplificatore di potenza
ƒ Amplificatore driver
ƒ LNA
ƒ Mixer
ƒ Oscillatore, VCO, PLL (anello ad aggancio di fase)
ƒ Sintetizzatore di frequenza
ƒ Moltiplicatori e divisori di frequenza
ƒ Filtri
ƒ Risonatori
9
Front end : schema a blocchi
10
5
Terminologia
MMIC e MIC
Bumbs
Circuito ibrido
Flip Chip
Chip o die
Elementi concentrati
Dispositivo discreto
Elementi distribuiti
Chip and wire technology
Capacità MIM
Substrati ceramici (Alumina) ,
substrati morbidi (polimeri plastici,
materiali vetrosi-epossidici…) (PTFE,
Teflon, Duroid, vetronite..)
Induttori a spirale
SMD device
PA, HPA, VCO
Package
PLL
Wire Bonding (oro, alluminio)
RF, IF, Microonde
Air Bridge
Via Hole
Ribbon Bonding
11
Connessioni e packaging
12
6
Esempi
LNA a due stadi GAAS PHEMT technology
13
Esempi: ricevitore
LNA, x2, buffer, mixer bilanciato
Ricevitore 21.2-23.6 GHz (GAAS MMIC)
14
7
Esempi : modulo
15
Amplificatore di Potenza
MMIC layout
Bonding e package
16
Evaluation borad
8
17
Esempi : HPA MMIC
2 Watt in banda Ku, pHEMT (5x4mm)
5 Watt in banda X, pHEMT (5x4mm)
18
9
Esempi: HPA Ibrido
40 Watt in banda C, MESFET su GaAs
19
Esempi: HPA Ibrido
FET a larga periferia su GaAs
Saldatura
Bonding a strutture combinatorie su Allumina
Capacità MIM (Chip capacitor)
Package ceramico a chiusura ermetica
20
10
Oscillatori
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Componente fondamentale per le prestazioni di un sistema T-R
Traslazione di frequenza e modulazione
Sintesi dei canali (VCO+PLL)
Difficile da studiare, progettare e simulare: circuito autonomo non
lineare
Generazione di una sinusoide a grande segnale : obiettivo del
progetto è sia la potenza di uscita che la frequenza
La non linearità non è un effetto indesiderato ma è il meccanismo su
cui si basa il funzionamento del circuito
Necessità di modelli dinamici non lineari accurati (non linearità ed
effetti reattivi non lineari)
Altri effetti: armoniche, stabilità in frequenza, rumore di fase, banda di
sintonia
Le tecnologie di attivi e passivi giocano un ruolo fondamentale
21
BjT-HBT
22
11
Oscillatori quasi sinusoidali
Zin
Vout
Vi
RL
Z=Zin
RL
Schema a blocchi dell’oscillatore
Schema a blocchi dell’oscillatore
in catena aperta
Oscillatore: circuito autonomo per generare un segnale portante a F0
3 elementi fondamentali: dispositivo attivo (amplificatore), rete passiva
(risonatore) e carico di uscita
Genero potenza ad RF partendo dalla sola potenza
DC : non linearità
23
Analisi dell’oscillatore
ƒ Oscillatori in feedback
Av ( jω )
Guadagno di tensione
amplificatore
β ( jω )
Funzione di trasferimento
della rete di retroazione
ƒ Oscillatori a resistenza negativa
vi
+
vd = v i + v f
AV ( jω)
vo
vd = vi + vf
vf
v 0 = Av ( jω )v d
v f = β ( jω )v 0
β ( jω)
Avf ( jω ) =
Schema a blocchi oscillatore in feedback
v0
Av ( jω )
=
v i 1 − β ( jω ) Av ( jω )
Guadagno di tensione ad
anello chiuso
24
12
Analisi dell’oscillatore: condizione di oscillazione
Avf ( jω ) =
v0
Av ( jω )
=
v i 1 − β ( jω ) Av ( jω )
Guadagno di tensione ad anello chiuso
Per avere oscillazione spontanea ovvero per vi=0 è necessario un guadagno di
anello chiuso infinito, ovvero:
1 − β ( jω ) Av ( jω ) = 0
β ( jω ) Av ( jω ) = 1
Criterio di Barkhausen
Criterio di Barkhausen : per avere oscillazione il guadagno di anello aperto
deve essere unitario alla frequenza di interesse
β ( jω ) = β r (ω ) + jβ i (ω )
Av ( jω ) = Av 0
Av 0 β r (ω ) + jβ i (ω ) Av 0 = 1
Criterio di Barkhausen in forma rettangolare:
1
Av 0 β r (ω ) = 1
Av 0 =
β i (ω ) Av0 = 0
β i (ω ) = 0
Condizione di guadagno
β r (ω )
Condizione della frequenza di
oscillazione
25
Analisi dell’oscillatore: condizione di oscillazione
Avf ( jω ) =
v0
Av ( jω )
=
v i 1 − β ( jω ) Av ( jω )
Guadagno di tensione ad anello chiuso
Si ha oscillazione stabile (soluzione stabile) se il guadagno ad anello chiuso ha
una coppia di poli complessi coniugati sull’asse immaginario
Per avere innesco spontaneo dell’oscillazione il guadagno ad anello
chiuso deve avere una coppia di poli c.c. nel semipiano destro
Rumore di tensione dei dispositivi (piccolo Vi), innesco di una tensione
sinusoidale crescente: segnale cisoidale
Imag
Imag
Real
Imag
Real
Andamento dei poli del guadagno ad anello chiuso
Real
segnale cisoidale
26
13
Analisi dell’oscillatore: condizione di oscillazione
Azione di limitazione di ampiezza data
dall’amplificatore: i poli si spostano sull’asse
immaginario: soluzione stabile
Imag
Real
Il criterio di Barkhausen è verificato
Stabilizzazione dell’ampiezza e della frequenza
dell’oscillazione
Oscillazione stabile
Si ha innesco dell’oscillazione solo se il circuito è instabile (Avf ha una coppia
di poli complessi coniugati nel semipiano complesso destro)
La condizione espressa dal criterio di Barkhausen non da alcuna informazione
sull’instabilità del circuito, tuttavia se il circuito oscilla, tale condizione deve
27
essere soddisfatta alla frequenza di oscillazione
Analisi dell’oscillatore: condizione di innesco
Criterio di Nyquist : studio l’instabilità del circuito
La funzione complessa β ( jω ) Av ( jω ) (guadagno ad anello aperto) viene graficata
in funzione della frequenza ed il numero di volte in cui tale funzione accerchia
in senso orario il punto 1+j0 determina la differenza tra il numero di coppie di
zeri e poli nel semipiano destro della funzione 1 − β ( jω ) Av ( jω )
Un giro in senso orario della funzione β ( jω ) Av ( jω ) intorno al punto 1+j0 segnala
l’instabilità del sistema (a meno che ….)
Tutto questo si traduce nella condizione di innesco dell’oscillatore:
β ( jω 0 ) Av 0 > 1 Condizione di innesco
ω0
Frequenza alla quale la rotazione di
fase totale nell’anello è nulla
Guadagno di anello sull’asse reale
Imag
Open loop gain
1+j0
Real
28
14
Analisi dell’oscillatore : coefficienti di riflessione
an
an
ZL
Coefficiente di riflessione alla
parte attiva
1
aL
ain
bL
bin
bL
ZIN
1
ΓL ( jω)
ain
Γ IN ( jω ) =
ΓIN ( jω )
Coefficiente di
riflessione al carico
1
aL
ΓL ( jω )
aL =
ΓIN ( jω )
Z IN − Z 0
Z IN + Z 0
bin
Γ L ( jω ) =
an ΓIN ( jω )
1 − ΓIN ( jω )ΓL ( jω )
Z L − Z0
Z L + Z0
Considerando an come segnale di ingresso e al come segnale di uscita, si ottiene:
ain : variabile d’onda incidente alla parte attiva
bin : variabile d’onda riflessa alla porta attiva
al : variabile d’onda incidente al carico
bl : variabile d’onda riflessa al carico
an : variabile d’onda del rumore del circuito
aL
Γ IN ( jω )
=
an 1 − Γ IN ( jω ) Γ L ( jω )
ACL =
Criterio di Barkhausen
ΓLS
IN ( A , j ω )Γ L ( j ω ) = 1
29
Analisi dell’oscillatore: condizione di innesco
Zin
Vout
= β ( jω ) Av ( jω )
Vin
Guadagno di tensione ad
anello aperto
AvOL =
Vout
Vin
Z=Zin
RL
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.10
1.05
1.00
1.
200
100
phase(s11)
S(1,1)[m1,::]
mag(S11)
1.15
0
-100
-200
1.2
freq (1.200GHz to 1.800GHz)
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
freq, GHz
30
15
Oscillatore a resistenza negativa
Rappresentazione tipica degli oscillatori a resistenza negativa
i(t)
Parte attiva del circuito
Z IN ( A, ω ) = R IN ( A, ω ) + jX IN ( A, ω )
+
XIN (A,ω)
X L (ω )
V(t)
RL (ω )
R IN ( A, ω ) < 0
RIN (A, ω)
Parte passiva (risonatore):
zL (ω )
A è l’ampiezza della corrente i(t). Per un certo
range di frequenze e di ampiezze si ha:
Z L (ω ) = R L (ω ) + jX L (ω )
ZIN (A,ω)
Condizione di oscillazione: Criterio di Barkhausen
ΓIN ( A0 , ω 0 )ΓL (ω 0 ) = 1
ΓL (ω 0 ) =
Z IN ( A0 , ω 0 ) + Z L (ω 0 ) = 0
R IN ( A0 , ω 0 ) + R L (ω 0 ) = 0
Z L (ω 0 ) − Z 0
Z L (ω 0 ) + Z 0
ΓIN ( A0 , ω 0 ) =
Z IN ( A0 , ω 0 ) − Z 0
Z IN ( A0 , ω 0 ) + Z 0
Criterio di Barkhausen
X IN ( A0 , ω 0 ) + X L (ω 0 ) = 0
31
Oscillatore a resistenza negativa
i(t)
INNESCO
+
La rete è stabile se:
XIN (A,ω)
X L (ω )
V(t)
RL (ω )
RIN (A, ω)
zL (ω )
ZIN (A,ω)
Re[Z IN ( A, ω ) + Z L (ω )] > 0
Progetto la parte attiva del circuito in
modo che per una gamma di frequenza
e di ampiezze si abbia:
R IN ( A, ω ) < 0
La rete è instabile se la resistenza totale della rete è negativa, ovvero:
RIN ( A, ω ) > RL (ω )
Nella gamma dove
R IN ( A, ω ) < 0
Questo deve essere vero per l’innesco (piccolo segnale) ovvero A =0
RIN (0, ω ) > RL (ω )
X IN (0, ω ) + X L (ω ) = 0
Condizione di innesco
32
16
Oscillatori:trattazione a funzione descrittiva
- Trattazione dell’innesco tramite studio della stabilità nel
dominio di Laplace : poli della funzione di trasferimento ad
anello chiuso
- Studio della soluzione periodica stabile tramite funzione
descrittiva (modello non lineare)
Oscillatore, Circuito autonomo con due soluzioni:
1) Soluzione stazionaria instabile (innesco)
2) Soluzione a regime periodico stabile (quasi sinusoidale)
2 modelli diversi di studio delle due soluzioni
/ condizioni di funzionamento
33
Condizione di innesco: modello lineare
Dominio delle trasformate di Laplace
p = σ + jω
Il generico segnale è una variabile complessa nel
dominio di Laplace
Guadagno ad anello chiuso
Equazione caratteristica
(polinomio caratteristico)
Studio dei sui zeri per la verifica
dell’instabilità : il sistema è instabile
se esiste almeno uno zero a parte
34
reale positiva
17
Studio della soluzione periodica stabile
Verificata la presenza di una soluzione stazionaria instabile, i
segnali divergono e quindi il modello precedente perde di validità
Modello NON LINEARE
Blocco non lineare privo di
memoria: funzione algebrica
Modello a
Transcaratteristica
Se linearizzo nell’intorno del punto di lavoro :
Equazione
caratteristica
Guadagno di tensione, transconduttanza …
Studio della
stabilità
C’è una sorgente di
35
energia qui dentro
Regime di grandi segnali
Oscillatori quasi
sinusoidali: chi è
sinusoidale tra S e Su?
Funzione pari e periodica
Funzione pari e periodica:
serie di Fourier di soli coseni
Coefficienti della
serie di Fourier
36
18
B(p) è lineare, applico la sovrapposizione degli effetti
S(t) deve essere sinusoidale
Ideale
reale
B e quindi selettivo in
frequenza: è un filtro
La componente continua di solito si elimina B(0)=0
ovvero
Deve essere:
B(ω0 ) = B(ω0 )
B(ω0 ) = − B(ω0 )
π
37
soluzione
1
Funzione descrittiva (reale perché il blocco non lineare è puramente algebrico)
Su1 è l’ampiezza della prima componente sinusoidale di Su
(funzione non lineare di So e SM)
soluzione
2
La frequenza di oscillazione è data da:
B deve essere selettiva e reale alla
frequenza di oscillazione (positiva o
negativa a seconda che l’amp sia
Se chiamo impropriamente guadagno: invertente o non invertente)
soluzione
criterio di BARKHAUSEN,
È una specie di guadagno!
38
19
39
Risonatori
Componenti passivi con caratteristica di fase
molto selettiva in frequenza: variazioni di fase
anche molto elevate si traducono in piccole
variazioni della frequenza di oscillazione
phase ( β (ω ) )
Si realizzano con L e C concentrate o in modo
distribuito: microstriscia, cavità risonante,
coassiale, risonatori ceramici, risonatori
dielettrici, SAW, al quarzo..
f0
f
Risonanza: frequenza alla quale si ha
uguale immagazzinamento di energia
elettrica e magnetica
Risonanza: alla risonanza l’impedenza del risonatore è puramente reale
Fattore di merito:
Q=
2π * energia _ massima _ immagazzinata _ in _ un _ periodo
energia _ dissipata _ per _ periodo
Q è il rapporto tra la capacità del risonatore di immagazzinare energia
elettromagnetica e la sua dissipazione di potenza attraverso il calore
40
20
Risonatori
Un semplice risonatore LC avrebbe un Q infinito: in realtà sono sempre presenti
delle resistenze parassite che sono responsabili della dissipazione di energia sotto
forma di calore
Maggiore è il Q del risonatore, maggiore è la sua selettività in frequenza
La banda del risonatore (banda a 3dB) è invece inversamente proporzionale al Q
Q0
Fattore di merito unloaded: risonatore non caricato dal circuito
Qe
Fattore di merito esterno: perdite relative ai componenti circuitali esterni
QL
Fattore di merito loaded: effettiva efficacia del risonatore , una volta
caricato dal circuito in cui è inserito.
Vale la relazione:
Vale anche:
1
1
1
=
+
QL Qe Q0
k=
Pe
P0
QL =
Q0
1+ k
Coefficiente di accoppiamento (perdite esterne/perdite interne)
41
Fattore di merito: L e C
Circuito serie
Q=
Circuito parallelo
Q=
Q=
B
G
X
R
=
ωC
=
G
ωL
R
= ωCR
X
R
Q=
B
G
Condensatore con parassita resistivo parallelo
Induttore con parassita resistivo serie
42
21
Risonatore parallelo
Ogni tipo di risonatore anche con più risonanze può essere descritto dai circuiti
equivalente RLC serie RLC parallelo
Risonanza:
Risonatore RLC parallelo:
jωC +
Y
C
C1
L
L1
R
R1
ω0 =
1
1 ⎞
⎛
= j ⎜ ωC −
⎟=0
ω
jω L
L⎠
⎝
1
LC
Y è puramente reale!
Y = G + jB = G + jωC + 1
Z=
R
⎛ ω ω0 ⎞
1 + jQU ⎜ − ⎟
⎝ ω0 ω ⎠
jω L
dove:
1 ⎞
⎛
= G + j ⎜ ωC −
ω L ⎟⎠
⎝
QU =
alla risonanza: Y = G
ωC
1
R
=
= ω0 RC = 0
ω0 L ω0 LG
G
Notiamo quindi che in un risonatore parallelo, maggiore è R, quindi minore è la
potenza di segnale dissipata, quindi maggiore è il fattore di merito
43
Risonatore parallelo
Per mettere in evidenza come la selettività del risonatore sia proporzionale a
fattore di merito, ci mettiamo in un intorno piccolo di ω0: è possibile scrivere il
seguente sviluppo:
ω ω0
−
≅ f (ω0 ) + f '(ω0 )(ω − ω0 )
ω0 ω
Z=
⎛ 1 ω ⎞
2(ω − ω0 )
ω ω0
−
≅ 0 + ⎜ + 02 ⎟ (ω − ω0 ) =
ω0 ω
ω0
⎝ ω0 ω0 ⎠
R
⎛ω ω ⎞
1 + jQU ⎜ − 0 ⎟
⎝ ω0 ω ⎠
Quindi possiamo scrivere:
Z=
R
1 + j 2QU δ
δ=
ω − ω0
ω0
Se il risonatore deve fornire una rotazione di fase –α per compensare quella
introdotta dalla parte attiva, allora l’impedenza del risonatore deve soddisfare:
arg( Z ) = − arctg (2QU δ ) = −α
2QU δ = tg (α )
δ=
ω − ω0
1
tg (α )
=
2Q
ω0
α è una quantità variabile, tuttavia, se si inserisce un risonatore con fattore di merito
44
Q molto elevato, la variazione di α non si riflette molto sulla frequenza di oscillazione
22
Risonatore serie
alla risonanza:
C
C1
Z
L
L1
jω L +
1
1 ⎞
⎛
= j ⎜ωL −
=0
ωC ⎟⎠
jωC
⎝
Z=R
ω0 =
R
R1
Z = R + jX = R + jω L + 1
QU =
ω0 L
R
= ω 0 LG =
1
ω 0 RC
jωC
=
1 ⎞
⎛
= R + j ⎜ωL −
ωC ⎟⎠
⎝
Y=
G
1
LC
G
⎛ ω ω0 ⎞
1 + jQU ⎜ − ⎟
⎝ ω0 ω ⎠
ω 0C
Notiamo quindi che in un risonatore serie, minore è R, minore è l’opposizione al
passaggio del segnale alla frequenza di risonanza, quindi minore è la potenza
dissipata, quindi maggiore è il fattore di merito
45
Risonatore parallelo
S-PARAMETERS
cResP
RLCp1
Q=500
fo=1.5 GHz
Rp=10 kOhm
Term
Term1
Num=1
Z=50 Ohm
S_Param
SP1
Start=1.0 GHz
Stop=2.0 GHz
Step=0.020 GHz
Reflection coefficient vs frequency
Parallel RLC resonator
2.0
dB(S(1,1))
dB(Y(1,1))
1.8
-0.04
-0.06
-0.08
-0.10
1.0
1.2
m1
50
freq (1.000GHz to 2.000GHz)
0
-50
-100
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
m1
freq= 2.000GHz
m1=0.997 / -111.122
freq, GHz
Filtro passabanda
1.4
1.6
1.8
2.0
1.8
2.0
freq, GHz
150
phase(S(1,1))
phase(Z(1,1))
phase(Y(1,1))
1.6
freq, GHz
1.0
1.4
0.8
1.2
0.6
-50
0.4
0
0.2
50
0.0
30
-0.2
40
-0.4
dB(Z(1,1))
50
-0.6
100
60
-0.8
100
70
-0.02
-1.0
20
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
S(1,1)
Impedance vs frequency
80
-100
1.0
0.00
Admittance vs frequency
100
50
0
-50
-100
-150
1.0
1.2
1.4
1.6
freq, GHz
46
23
Risonatore parallelo
Parallel RLC resonator
Parallel RLC resonator
Impedance vs frequency
80
1000
imag(Z(1,1))
imag(Z(1,1))
dB(Z(1,1))
Q=10.000
60
Q=100.000
40
Q=1000.000
500
0
-500
20
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
-1000
2.0
freq, GHz
100
phase(Z(1,1))
phase(Z(1,1))
100
50
0
-50
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0
-50
-100
1.0
Q=10.000
Q=100.000
Q=1000.000
-100
50
1.2
2.0
1.4
1.6
1.8
2.0
freq, GHz
freq, GHz
Reattanza e fase della Z del
risonatore parallelo
Impedenza del risonatore parallel al
variare di Q
Comportamento induttivo
Comportamento capacitivo
47
Risonatore serie
cResS
RLCs1
Q=500
fo=1.5 GHz
rs=1 Ohm
Term
Term1
Num=1
Z=50 Ohm
S-PARAMETERS
S_Param
SP1
Start=1.0 GHz
Stop=2.0 GHz
Step=0.020 GHz
0.0
40
30
20
10
-20
-60
1.2
1.4
1.6
freq, GHz
1.8
2.0
-0.3
1.2
freq (1.000GHz to 2.000GHz)
50
0
-50
-100
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
1.4
1.6
1.8
2.0
1.8
2.0
freq, GHz
200
-50
100
-50
-0.2
-40
0
0
-0.1
-0.4
1.0
-30
100
50
m1
phase (S(1,1))
dB(Y(1,1))
-10
phase(Y(1,1))
dB(Z(1,1))
phase(Z(1,1))
0
50
S(1,1 )
Admittance vs frequency
Impedance vs frequency
60
-100
1.0
d B(S(1,1 ))
Series RLC resonator
100
0
-100
-200
1.0
1.2
1.4
1.6
freq, GHz
freq, GHz
Filtro passabanda
48
24
Risonatore serie
Series RLC resonator
Admittance vs frequency
imag(Y(1,1))
0.10
0.05
0.00
-0.05
-0.10
phase(Y(1,1))
phase(Y(1,1))
100
50
0
-50
-100
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
freq, GHz
49
Risonatore a microstriscia
Term
Term1
Num=1
Z=50 Ohm
Term
Term2
Num=2
Z=50 Ohm
MLIN
TL1
Subst="MSub1"
W=50 um
L=3 mm
S-PARAMETERS
S_Param
SP1
Start=1.0 GHz
Stop=20 GHz
Step=1 MHz
cResP
RLCp1
Q=68
fo=9e9 Hz
Rp=4.4e3 Ohm
Modelling: risonatore RLC parallelo
MSub
MSUB
MSub1
H=100 um
Er=12.8
Mur=1
Cond=4.1E+7
Hu=3.9e+034 mil
T=6 um
TanD=.004
Rough=0 mil
50
25
Modello della microstriscia Vs RLC parallelo
51
Configurazioni oscillatori
C1
C2
L2
C3
L1
C
C2
C1
L
L
Colpitts
Hartley
Clapp
Oscillatori a tre punti:oscillatori a singolo transistor con rete
di retroazione a pi di impedenze
52
26
Analisi oscillatori a 3 punti
F[V] non lineare
B lineare selettiva
Iu distorta
V sinusoidale
B :corrente-tensione,
quindi è una
trasimpedenza selettiva
Come realizzo B?
53
Analisi oscillatori a 3 punti
V
V
Z1Z 2
B=
=
=−
IU IU 1
Z1 + Z 2 + Z 3
Rete a π di impedenze
B è una funzione di trasferimento, quindi devo considerare la IU1
Il π- impedenze deve essere puramente reattivo:
Z1 = jx1
Z 2 = jx2
Z 3 = jx3
Impedenza di ingresso (va in parallelo a quella del transistor)
Z1 = jx1 // R1
La condizione di esistenza dell'oscillazione è la seguente:
IU 1 = F1 [VM ]
VM è l’ampiezza del segnale sinusoidale V
jx1 ⋅ RI
+ jx2 + jx3
F1 [VM ]
Z1 + Z 2 + Z 3
jx1 + RI
=−
=−
jx1 ⋅ RI
VM
Z1Z 2
⋅ jx2
jx1 + RI
F1 [VM ]
jR ( x + x + x ) − x1 ( x2 + x3 )
=− I 1 2 3
VM
RI ⋅ x1 ⋅ x2
54
27
Analisi oscillatori a 3 punti
1 F1 [VM ]
jR ( x + x + x3 ) − x1 ( x2 + x3 )
=
=− I 1 2
B
VM
RI ⋅ x1 ⋅ x2
Avendo trascurato gli effetti reattivi del dispositivo, la B(ω0) deve essere reale alla
frequenza di oscillazione, da cui si ricava la prima condizione:
im { B(ω0 )} = 0
x1 + x2 + x3 = 0
Calcolo freq. di oscillazione
La somma delle reattanze deve essere nulla quindi le jx non potranno avere tutte lo stesso
segno e quindi non saranno tutte induttanze o tutte capacità, ma potranno essere 2L e 1C,
oppure 2C e 1L
F1 [VM ]
VM
=−
x1 ( x2 + x3 )
RI ⋅ x1 ⋅ x2
F1 [VM ]
x2 + x3 = − x1
VM
=
x1
RI ⋅ x2
Calcolo ampiezza di oscillazione
se F1 e VM hanno lo stesso segno, allora, lo hanno anche x1 e x2 e, dunque, saranno
o due induttanze o due capacità
se F1 e VM sono discordi, lo sono anche x1 e x2 e, quindi, saranno indifferentemente
55
una capacità e una induttanza.
Analisi oscillatori a 3 punti
Innesco:
A0 B (ω0 ) > 1
dove A0 rappresenta la linearizzazione della funzione F1[V]
A0 =
∂IU
∂V
che, dunque, è la transconduttanza gm del dispositivo, per cui la condizione d'innesco
diventa:
gm
R1 x2
>1
x1
x1 + x2 + x3 = 0
Condizione di innesco
Calcolo della frequenza di oscillazione
56
28
Analisi oscillatori a 3 punti
la rete a π-impedenze può assumere due sole possibili configurazioni
Calcolando la funzione di trasferimento di ciascuna rete e andando a vedere
dove si annulla la parte immaginaria, si ottiene, rispettivamente
ω0 =
1
( L1 + L2 ) C
ω0 =
1
C1C2
L
C1 + C2
57
Analisi oscillatori a 3 punti
Oscillatore di Colpitts, schema di principio
Oscillatore di hartley a MOSFET
Oscillatore di Colpitts a bipolare
58
29
Oscillatore a tre punti: MESFET transistor
Circuito equivalente a piccolo
segnale per studiare l’innesco
Modello alla
risonanza
Determino la frequenza di oscillazione:
X1 + X 2 + X 3 = −
1
−
1
ωC1 ωC2
+ ωL = 0
1
LCT
ω = ω0 =
CT =
C1C2
C1 + C2
Il fattore di feedback di tensione è dato da:
β (ω ) =
v1 vgs
X1
=
=
v2 v2 X 1 + X 3
β (ω ) =
vgs
v2
=−
X1
C
=− 2
X2
C1
vgs = −
C2
v2
C1
59
Oscillatore a tre punti: MESFET transistor
Circuito equivalente a piccolo
segnale per studiare l’innesco
vgs = −
C2
v2
C1
g m vgs = −
Modello alla
risonanza
g m C2
v2
C1
L’equazione mostra come la sorgente g m vgs può essere sostituita da una resistenza
negativa data da: − C1 g C
m
2
Quindi alla risonanza si può utilizzare il modello di figura. Affinché si abbia
oscillazione sappiamo che la resistenza di anello deve essere nulla:
−
C1
+ rd = 0
g m C2
g m rd =
C1
C2
condizione di guadagno
60
30
Oscillatori al quarzo
Oscillatori a bassa frequenza, altissimo fattore di merito, stabilità in temperatura
e bassissimo rumore di fase
Il quarzo è un risonatore di tipo elettromeccanico, la cui definizione chimica è
biossido di silicio (SiO2) e il cui simbolo circuitale è il seguente
Materiale piezoelettrico: si deforma meccanicamente quando è sottoposto ad una tensione
elettrica e, viceversa, è in grado di generare una tensione elettrica quando è sottoposto ad
uno sforzo meccanico.
Il quarzo viene laminato e vengono incollate due lamine metalliche ad essa vengono applicati
sulle due facce rivestimenti metallici uniti elettricamente ai terminali di collegamento al resto del
circuito mediante due fili conduttori
61
Oscillatori al quarzo
Se invece di una tensione continua, viene applicata al quarzo una tensione variabile con
frequenza uguale a quella propria della lamina, in modo da farla entrare in risonanza,
verranno considerevolmente rinforzate le vibrazioni proprie del quarzo, producendo in tal
modo un'oscillazione continua e stabilizzata
Il limite superiore delle frequenza di risonanza ottenibile resta limitato dallo spessore minimo
che si può meccanicamente ricavare senza pericolo di rotture in regime di funzionamento
Modo flessorio: da 0.4 a 100 KHz
Modo longitudinale: da 40 a 15000 KHz
Modo trasversale: da 100 a 125000 KHz
62
31
Oscillatori al quarzo
Le perdite nei quarzi sono dovute alla loro struttura interna, al montaggio meccanico e al fattore di
ammortizzazione provocato dall'aria che circonda il cristallo.
L'insieme delle perdite è molto piccolo rispetto a quello dei circuiti LC, pertanto il Q dei cristalli di
quarzo risulta molto elevato, variando tra 10000 ad oltre 1 milione.
fs =
1
2π LV CV
1
fp =
2π LV
CV Cm
CV + Cm
Cm >> CV
fp ≅
1
2π LV CV
63
Oscillatori al quarzo
Il quarzo viene utilizzato in corrispondenza della regione cerchiata a tratteggio, dove il
comportamento è di tipo induttivo, dato che la reattanza è induttiva.
Tale dispositivo viene, quindi, di solito inserito al posto dell'induttanza nell'oscillatore di Colpitts
dando un elevata selettività alla rete di π di impedenze: tale oscillatore prende il nome di
oscillatore di PIERCE
C1
C2
Reattanza del risonatore di quarzo
Oscillatore di Pierce
In armonica anche fino a 100MHz, sopra uso i SAW
64
32
Risonatore al quarzo
S-PARAMETERS
S_Param
SP1
Start=1 MHz
Stop=60 MHz
Step=0.05 MHz
Term
Term2
Num=1
Z=50 Ohm
cResXtal
XtalRes1
Q=2e4
fo=30e6 Hz
rs=1 Ohm
Cp=2e-12 F
65
Risonatore al quarzo
L
L1
L=Ls
R=rs
Port
P1
Num=1
C
C2
C=Cs
Var
Eqn
Port
P2
Num=2
VAR
VAR1
wo=2*pi*fo
Cs=1/(Q*rs*wo)
Ls=Q*rs/wo
C
C1
C=Cp
66
33
67
Esempio
Circuito equivalente
semplificato
Cristallo
R1 resistenza di bias
Zc
C5
Zy
R2, R3 ed R4 resistenze di bias
C1 capacità di raffreddamento o bypass
C4 RF bypass
Y1 : cristallo di quarzo
C2
Zb
L1 elemento di tuning (induttanza variabile)
Q1 : dispositivo in configurazione ad emettitore comune
vbe
rbe
gm•vbe
L1
C6
RL
68
34
DRO: dielectric resonator oscillator
DRO: un oscillatore ad elevatissimo Q (5000-30000) che viene utilizzato in moltissime
applicazioni pratiche a Microonde
DRO :dispositivi Bipolari, FET e pHEMT fino a frequenza molto elevate, anche fino 35-40GHz
Potenza di uscita tipica intorno ai 10dBm (dipende dalla taglia del dispositivo)
Vari materiali dielettrici (anche compositi) che possono essere utilizzati per realizzare un
risonatore dielettrico, con costante dielettrica con valori tra 20 e 80
Tipicamente per applicazioni a microonde: risonatori dielettrici di forma cilindrica con frequenza di
risonanza tra 3GHz e 40-50GHz
Più bassa è la frequenza di risonanza, maggiori sono le dimensioni del cilindro, per questo
spesso diventano difficilmente realizzabili oscillatori a DR sotto i 3GHz
DRO puck
Stabilità termica
da -10 a 10 ppm/C
69
DRO : il risonatore dielettrico
Il risonatore dielettrico cilindrico può risuonare con diversi tipi di modo elettromagnetico
Il modo di risonanza che di solito si vuole sfruttare con i risonatori cilindrici è il modo TE01δ: può
essere facilmente accoppiato ad una linea di microstriscia
Il modo TE01δ si presenta come un dipolo magnetico e per questa ragione è spesso indicato
come “modo di dipolo magnetico”
Le linee di E sono dei semplici cerchi attorno all’asse z del cilindro, mentre non c’è nessuna
componente z del campo elettrico stesso. Le linee di H sono illustrate in figura.
Con εr=40, più del 95% dell’energia di E del modo TE01δ e più del 60% di quella di H sono
localizzate dentro al cilindro. La rimanente energia è distribuita nell’aria intorno al risonatore e
decade molto rapidamente con la distanza dal risonatore
Z
Frequenza di risonanza: soluzione delle equazioni di
H
Maxwell o formula empirica approssimata:
f GHz =
34 ⎛ a
⎞
⎜ + 3.45 ⎟
a εr ⎝ L
⎠
Frequenza di risonanza del DR
a è raggio del cilindro, L l’altezza
X
Y
E
70
35
DRO : accoppiamento DR-μstriscia
Il DR viene incollato sulla superficie del substrato (allumina) ad una distanza d dalla microstriscia.
La distanza d determina il livello di accoppiamento (coeff. K) tra DR e microstriscia
Il tipo di accoppiamento come si osserva in figura è di tipo magnetico: le linee di campo
magnetico del modo TE01δ si concatenano a quelle della microstriscia attraversata dal
segnale elettrico
Una scatola metallica che racchiude il sistema viene utilizzata per minimizzare le perdite per
irradiazione e quindi per massimizzare il Q del risonatore
FUNZIONAMENTO: il modo TE01δ viene
Metal Enclosure
eccitato nel risonatore dal campo
elettromagnetico prodotto dalla microstriscia nella
quale passa un segnale elettrico. In risposta il DR
riflette gran parte dell’energia a radio frequenza
alla sua frequenza di risonanza, comportandosi
quindi come un risonatore ad altissimo Q.
Z
hS
d
DR
Alumina Substrate
Microstrip
Supporto (spacer) di quarzo per minimizzare le
perdite verso il substrato
71
Campo elettrico e magnetico della microstriscia
Elettrico (E)
Magnetico (H)
72
36
DRO : circuito equivalente del risonatore
Misure con analizzatore vettoriale di reti: DR accoppiato ad una microstriscia con
impedenza caratteristica Z0 e terminata da una impedenza Z0 (di solito Z0=50 Ohm)
Identificazione di un modello a circuito equivalente dell’accoppiamento DR-microstriscia
X
Dalle misure si
osserva un
comportamento da
risonanza parallela
in serie alla linea
d
X'
Z0
Z0
0.7
1.0
0.6
0.9
0.5
0.8
mag(S(2,1))
mag(S(1,1))
E
0.4
0.3
0.2
0.7
0.6
0.5
0.4
0.1
0.0
7.40
7.42
7.44 7.46
7.48
7.50
7.52 7.54
7.56
7.58
0.3
7.40 7.42 7.44 7.46 7.48 7.50 7.52 7.54 7.56 7.58 7.60
7.60
freq, GHz
freq, GHz
73
Coefficiente di riflessione
Coefficiente di trasmissione
DRO : circuito equivalente del risonatore
Z
X
L
d
R
Z0
X'
Z0
C
Z0
E
Di sorgente
E
Z0
Γ
Z=
R
⎛ ω ω0 ⎞
1 + jQU ⎜ − ⎟
⎝ ω0 ω ⎠
Z=
Vicino a ω0
ω0 =
R
1 + j 2QU δ
1
LC
δ=
QU =
k=
R
2Z 0
normalizzazione
Γ
XX'
= ω0 RC
caratteristica
ω − ω0
ω0
al piano di riferimento XX’ si ha:
Z XX ' = Z + Z 0
R
ω0 L
YY'
z XX ' =
coefficiente di accoppiamento
R / Z0
Z XX '
=
+1
Z0
1 + j 2QU δ
z XX ' =
2k
+1
1 + j 2QU δ
74
37
DRO : circuito equivalente del risonatore
z XX ' =
2k
+1
1 + j 2QU δ
ω = ω0 δ = 0
Z
z XX ' = 2k + 1
L
Γ XX ' (ω0 ) =
z XX ' − 1
k
=
z XX ' + 1 k + 1
Γ XX ' (ω ) =
z XX ' − 1
k
=
z XX ' + 1 1 + k + j 2QU δ
Γ IN (d ) = Γ0 e−2 j β d
ω = ω0
Z0
E
ω − ω0
δ=
ω0
Γ
YY'
Γ
XX'
β = ω LC
Linee di trasmissione
βd =θ
k
(k + 1) 2 + (2QU δ ) 2
ω = ω0 δ = 0
ΓYY ' (ω0 ) = Γ XX ' (ω0 ) e − j 2θ
R
C
Z0
Γ IN (d ) = Γ 0 e− j (2θ +∠Γ0 )
ΓYY ' (ω ) = Γ XX ' e − j (2θ +∠Γ0 ) =
Alla risonanza
in risonanza
e
Lunghezza elettrica linea
Costante di
propagazione
2Q δ ⎞
⎛
− j ⎜ 2θ + arct U ⎟
k +1 ⎠
⎝
Tutto in funzione di
k=
k − j 2θ
=
e
k +1
R
e
2Z 0
θ
75
DRO : circuito equivalente del risonatore
Il coefficiente di accoppiamento k da una misura di quanto il risonatore dielettrico sia in grado
di riflettere energia alla frequenza di risonanza. Infatti per k molto elevati , ovvero
accoppiamento molto stretto tra il DR e la linea, il coefficiente di riflessione del DR tende a 1,
ovvero tutta l’energia alla frequenza di risonanza viene riflessa.
K viene fissato con la scelta della distanza d del DR dalla linea, più vicino è il DR, maggiore è
l’accoppiamento.
θ è invece la lunghezza elettrica della linea: variandola si varia la fase del coefficiente di
riflessione.
Quindi con la scelta di d e di θ posso presentare all’ingresso della linea una qualsiasi
impedenza passiva (coefficiente di riflessione minore di uno)
E’ cosi fissata la Γ L ( jω ) della condizione di oscillazione di un
Oscillatore a resistenza negativa:
an
Γ IN ( jω )Γ L ( jω ) = 1
Il DR accoppiato alla linea fornisce quindi un coefficiente
di riflessione anche prossimo ad 1 ed estremamente
selettivo in frequenza, mentre la parte attiva del circuito
fornisce l’energia necessaria a sostenere l’oscillazione
ZL
aL
ain
bL
bin
ΓL ( jω)
ΓIN( jω)
ZIN
76
38
DRO : circuito equivalente del risonatore
K, ω0, QU determino il circuito equivalente per progettare l’oscillatore
R, L, C del circuito equivalente del risonatore si ottengo dalla conoscenza di questi tre parametri
ω0 e QU sono le caratteristiche del DR e vengono di solito fornite dal costruttore
K dipende invece dalle condizioni di accoppiamento, e quindi dalla distanza dalla linea, ma anche
dalla scatola metallica che racchiude il sistema, dal tipo di colla, da eventuali spacer sotto al DR.
E’ quindi opportuno misurare questo accoppiamento in funzione di d e realizzare un modello
parametrizzato in d
Z
Dato il circuito equivalente alla risonanza si
calcola facilmente che per ω=ω0 :
⎛ k
⎜ k +1
S (ω0 ) = ⎜
⎜ 1
⎜
⎝ k +1
1 ⎞
k +1 ⎟
⎟
k ⎟
⎟
k +1 ⎠
L
R
⎛ Z
⎜ Z + 2Z
0
S (ω ) = ⎜
⎜ 2Z 0
⎜
⎝ Z + 2Z 0
2Z 0 ⎞
Z + 2Z 0 ⎟
⎟
⎟
Z
⎟
Z + 2Z 0 ⎠
Z0
Z0
E
Da cui si ricava:
k=
C
R
S11 (ω0 )
1 − S 21 (ω0 )
=
1 − S11 (ω0 )
S 21 (ω0 )
Z0
(Valori tipici 2÷20)
Dalla misure della matrice S del sistema identifico k
Z0
E
77
Circuito equivalente alla risonanza
DRO: possibili topologie
Configurazioni a) e b): series-feedback o a
resistenza negativa.
Configurazione c), parallel feedback
Circuiti ibridi:
Parte passiva: DR e microstriscia su allumina
Parte attiva: resistenza negativa monolitica
Interconnessione: wire bonding
Importanza e costo del montaggio
Parallel feedback: il risonatore viene utilizzato in
trasmissione e non più in riflessione
78
39
Parallel feedback DRO
2k1k2 ⎞
⎛ k1 − k2 − 1
⎜ 1+ k + k 1+ k + k ⎟
1
2
1
2 ⎟
S (ω0 ) = ⎜
⎜ 2k1k2
k1 − k2 − 1 ⎟
⎜ 1+ k + k 1+ k + k ⎟
1
2
1
2 ⎠
⎝
Matrice di scattering del sistema
k1 =
2
1
n R
Z 01
k2 =
2
2
n R
Z 02
QL =
Coefficienti di accoppiamento
Q0
1 + k1 + k2
Utilizzo del DR come filtro in
trasmissione
79
Configurazioni oscillatori a resistenza negativa
Terminating
Network
Bipolare a base comune
C
Load
Network
Bipolare ad emettitore comune
FET a gate e source comune
80
40
Parte attiva a resistenza negativa
Matrice S indefinita
a2
a2
D
a1
b2
G
Z0
D
a1
S
b1
Z0
b2
G
S
b1
Z0
b3
Z0
⎛ b1 ⎞ ⎛ s11 s12 ⎞ ⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟=⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ b2 ⎠ ⎝ s21 s22 ⎠ ⎝ a2 ⎠
b1 = s11a1 + s12 a2
b2 = s21a1 + s22 a2
⎛ b1 ⎞ ⎛ s11
⎜ ⎟ ⎜
⎜ b2 ⎟ = ⎜ s21
⎜b ⎟ ⎜s
⎝ 3 ⎠ ⎝ 31
Valgono le relazioni (complesse)
3
∑s
j =1
ij
3
∑s
i =1
ij
= 1 per i=1,2,3
Z0
a3
s12
s22
s32
s13 ⎞ ⎛ a1 ⎞
⎟⎜ ⎟
s23 ⎟ ⎜ a2 ⎟
s33 ⎟⎠ ⎜⎝ a3 ⎟⎠
b1 = s11a1 + s12 a2 + s13 a3
righe
b2 = s21a1 + s22 a2 + s23 a3
= 1 per j=1,2,3
colonne
b3 = s31a1 + s32 a2 + s33 a3
81
Parte attiva a resistenza negativa
Z − Z0
Γ3 = 3
Z3 + Z 0
a2
D
a1
Z0
b1
b1 = s11a1 + s12 a2 + s13b3Γ3
b2
G
Γ3
S
Inserisco una impedenza
di source per ottenere una
retroazione positiva ed
avere un bipolo instabile
Z0
Z3
b2 = s21a1 + s22 a2 + s23b3Γ3
b3 = s31a1 + s32 a2 + s33b3Γ3
Elimino b3
a3 = b3Γ3
Scegliendo opportunamente Г3
posso ottenere un coefficiente
di riflessione alla porta di gate
maggiore di 1
Γ IN ( jω )Γ L ( jω ) = 1
s31s13Γ3
⎛
⎜ s11 + 1 − s Γ
33 3
S =⎜
⎜
s31s23Γ3
⎜ s21 +
1 − s33Γ3
⎝
s13 s32 Γ3 ⎞
1 − s33Γ3 ⎟
⎟
s23 s32 Γ3 ⎟
s22 +
⎟
1 − s33Γ3 ⎠
s11 +
82
41
DRO: possibilità di tuning del circuito
Essendo il Q molto elevato (10000), il DR offrirà una banda di tuning molto limitata.
Non è infatti possibile ottenere bande di tuning superiori a 1-3%.
Due diversi metodi di tuning: meccanico ed elettrico
Tuning meccanico: avvicinare ed allontanare un piano metallico al risonatore
In questo modo viene variata fino all’1-3% la frequenza propria di risonanza del DR
a causa delle variazioni delle condizioni di accoppiamento al contorno
Tuning meccanico: sintonia dell’oscillatore prima della messa in opera
Tuning meccanico della frequenza di
oscillazione: tuning screw
Tuning meccanico del DR
83
DRO: possibilità di tuning del circuito
Tuning elettrico: accoppiamento di un varactor
al risonatore tramite una microstriscia
La capacità del varactor va in parallelo alla
C dell’RLC parallelo che modella il DR:
Variando il bias del varactor varia la frequenza
di risonanza del DR, quindi la Fout del DRO
E’ Possibile compensare eventuali derive
della frequenza di oscillazione: BW=1-2%
È il principio di funzionamento di un VCO:
controllo la frequenza di uscita con un segnale
in tensione
L’elemento di tuning è un diodo la cui capacità
non lineare è proporzionale alla tensione di
polarizzazione inversa applicata: Varactor
Circuito equivalente del sistema
DR-linea-varactor
84
42
DRO: possibilità di tuning del circuito
Implementazione: resistenza negativa bare die, packaged varactor, linee e DR su allumina
ground
Segnale di
uscita
λ/2
MMIC
λ/2
MA46H201
Varactor
package
50 Ohm
ground
Montaggio ibrido del DR con varactor
Tuning del DR col varactor
Varactor: l’effetto di carico del varactor porta ad un aumento delle perdite e ad
un conseguente degrado del Q
85
DRO:esempio di progetto
DRO a 7-8GHz
Parte monolitica: die 1800x1100um, processo HBT InP-GaAs
Parte ibrida: microstriscia su allumina e DR
Schema elettrico del circuito
monolitico a resistenza negativa
Layout del circuito monolitico a
resistenza negativa
86
43
Wire bonding
Ribbon
bonding
Collector bias line
DRO final assembly
Output signal line
Conductive Epoxy glue or Au/Sn preform
Base bias line
Allumina da 625μm
InP-GaAs die (HBT technology)
MIM decoupling capacitor (100pF)87
VCO: voltage controlled oscillator
Il VCO è un circuito nel quale la frequenza di uscita è sintonizzabile tramite un
segnale elettrico di controllo sul circuito
In un VCO quindi è presente un segnale di ingresso: è una tensione di controllo
attraverso la quale regolo la frequenza di uscita del circuito
Banda del VCO: è data dalla differenza tra le frequenza massima di oscillazione e
quella minima
Il VCO è quindi un elemento fondamentale per:
1) Sintesi di diversi canali di frequenza con uno stesso circuito con possibilità di
passare da un canale all’altro con un semplice segnale elettrico di selezione
2) Possibilità di realizzare un modulatore di frequenza (la Fout è modulata dal
segnale di ingresso Vcontr)
ωout = ω FR + KVCOVcont (t )
KVCO
La frequenza di uscita è funzione
lineare della tensione di controllo
ω FR Free running
ωout = ω FR + KVCOVcont (t )
Guadagno del VCO rad/s/V
Vcont applica una variazione di frequenza al VCO nell’intorno di ωFR
88
44
VCO: voltage controlled oscillator
Poiché la fase è l’integrale della frequenza rispetto al tempo, l’uscita del VCO è data da :
Vcontr (t )
VCO
(
t
Vout (t ) = A cos ω FR t + KVCO ∫ Vcont (t )dt
−∞
)
Se la tensione di controllo è costante Vcontr (t ) = V0
Vout (t ) = A cos ⎡⎣(ωFR + KVCOV0 ) t + φ0 ⎤⎦
La frequenza subisce uno spostamento di:
KVCOVcont
Si osserva anche che il VCO è un potenziale modulatore di frequenza: in particolare per una
modulazione sinusoidale vcont (t ) = Vm cos ωm t si ottiene:
t
⎛
⎞
⎛
⎞
K
Vout (t ) = A cos ⎜ ωFR t + KVCO ∫ Vm cos ωmtdt ⎟ = A cos ⎜ ωFR t + VCO Vm sin ωmt ⎟
ωm
⎝
⎠
−∞
⎝
⎠
Questa formula indica come il VCO tende a rigettare componenti ad alta frequenza che
appaiono alla porta di controllo
Inoltre per KVCOVm / ωm
1 è valida l’approssimazione a banda stretta per la modulazione FM e
lo spettro del segnale di uscita consiste in una componente portante a ω FR e due bande laterali
a ω FR ± ωm
89
Modulazione FM a banda stretta
⎛
⎞
K
Vout (t ) = A cos ⎜ ωFR t + VCO Vm sin ωmt ⎟
ω
m
⎝
⎠
se
KVCOVm / ωm
Segnale modulato FM da
vcont (t ) = Vm cos ωmt
1
⎛
⎞
⎛K
⎞
⎛K
⎞
K
Vout (t ) = A cos ⎜ ωFR t + VCO Vm sin ωmt ⎟ = A cos ωFR t ⋅ cos ⎜ VCO Vm sin ωm t ⎟ − A sin ωFR t ⋅ sin ⎜ VCO Vm sin ωmt ⎟ =
ω
ω
ω
m
⎝
⎠
⎝ m
⎠
⎝ m
⎠
K
V AK
V AK
= A cos ωFR t − A sin ωFR t ⋅ VCO Vm sin ωmt = A cos ωFR t − m VCO cos(ωFR − ωm )t + m VCO cos(ωFR + ωm )t
2ωm
2ωm
ωm
Se x<< , sin(x)=x
Se x<< , cos(x)=1
Modulazione FM sinusoidale
(se ho una qualsiasi modulazione FM, funzioni di Bessel)
90
45
Alcune utili formule trigonometriche
Sviluppo in serie di MacLaurin
integrale
91
VCO: elemento di tuning
Diodo varactor: viene utilizzato per ottenere una reattanza (capacità) variabile tramite controllo
di tensione
Capacità variabile: la capacità di svuotamento varia al variare della tensione inversa applicata
ai capi del diodo (tensione DC o RF). Questo perché al variare della tensione applicata varia
l’ampiezza della regione di svuotamento
Modello del varactor:
Cj =
C0
(1 − V / V0 )
γ
capacità di svuotamento
Di solito γ=2
Vo potenziale di barriera
Rj
È molto alta perché sono in inversa
(MOhm, posso trascurarla)
Rs
Resistenza serie intrinseca del substrato
e resistenza del contatto metallico
Q = 1/ ωCjRs
Caratteristica C/V del varactor
Fattore di merito Q del varactor:
indicatore dell’efficienza del
varactor
Visto come circuito serie Q=|X|/R
92
46
VCO: caratteristiche
La banda del VCO è inversamente
proporzionale al Q del circuito
Per applicazioni a basso rumore di fase
non si superano bande del 10%
Il KVCO è una quantità non lineare
Caratteristica tensione/frequenza di un VCO
La banda che riesco ad ottenere è limitata
dalla banda in cui ho resistenza negativa e
dal rapporto Cmin/Cmax del varactor (e dal
valore della sua impedenza, che rientra nel
bilancio del guadagno di anello)
Settling time post tuning drift
93
VCO: esempi
Oscillatore a bipolare
Oscillatore a MESFET o pHEMT
Oscillatore a bipolare con due elementi di tuning
94
47
Fattore di merito di un oscillatore
La fisica di base definisce il Q come
Q=
2π * energia _ massima _ immagazzinata _ per _ periodo
energia _ dissipata _ per _ periodo
Per un risonatore LC, Q è un indicazione di quanta energia viene persa trasferendosi tra il
Condensatore e l’Induttore e viceversa. Questa energia viene dissipata nelle resistenze
parassite del risonatore.
I circuiti risonanti hanno una caratteristica di trasferimento di tipo passabanda.
Il Q può quindi essere definito anche come la selettività dell’ampiezza della risposta in
frequenza, ovvero come descritto in figura come il rapporto tra la frequenza di risonanza e la
banda a -3dB. Queste due definizioni di Q portano allo stesso identico risultato per un semplice
risonatore LC.
Q=
ω0
Δω3dB
95
Risposta in frequenza di un risonatore/filtro
Fattore di merito di un oscillatore
Un’altra definizione di Q che si rivela utile per gli oscillatori è illustrata nella figura qui a
seguito
Il circuito oscillatore viene considerato come
un sistema in feedback e la fase della
funzione di trasferimento ad anello aperto H
viene graficata in corrispondenza della
risonanza. Q viene definito come:
Q=
ω0 d φ
2 dω
Q ad anello aperto
Per una oscillazione stazionaria la variazione totale di fase dell’anello dell’oscillatore deve
essere zero, allora questa definizione suggerisce una interessante interpretazione
Supponiamo che la frequenza di oscillazione devi leggermente da ω0, allora se la pendenza
della caratteristica di fase è elevata (Q elevato) questa deviazione di frequenza provoca una
grande deviazione di fase, violando così la condizione di oscillazione e forzando di
conseguenza la frequenza a tornare al valore ω0
In altre parole il Q ad anello aperto è una misura di quanto il sistema ad anello
chiuso si oppone a variazioni della frequenza di oscillazione
96
48
Equivalenza definizione di fattori di merito
Risonatore RLC parallelo
Z=
R
⎛ ω ω0 ⎞
1 + jQU ⎜ − ⎟
⎝ ω0 ω ⎠
Q=
ω0 d φ
2 dω
Z=
R
1 + j 2QU δ
Q=
=
QU =
R
ω0 L
=
1
ω0 LG
= ω0 RC =
ω0 C
G
Da dimostrare che è uguale al Qu definito sopra
δ=
ω − ω0
ω0
fase( Z ) = − arctg (2QU δ )
ω0 dφ ω0 d (− arct (2Quδ ) ω0
d (2Quδ ) ω0
2Qu
1
1
=
=
−
=
−
2 dω
2
dω
2 1 + (2Quδ ) 2 dω
2 1 + (2Quδ ) 2 ω0
ω0 2Qu
= Qu
2 ω0
97
Rumore di fase negli oscillatori
Come per tutti gli altri circuiti elettronici anche per gli oscillatori c’è il problema del rumore
Il rumore che viene iniettato nel circuito di loop dell’oscillatore proviene dai suoi componenti
interni o dai componenti esterni (circuito di alimentazione, porta di controllo di un VCO, risonatore
esterno..)
Il rumore influenza sia la frequenza che l’ampiezza del segnale di uscita
In molti casi il disturbo sull’ampiezza o rumore di ampiezza non rappresenta un grave
problema in quanto può essere semplicemente eliminato con un limitatore di ampiezza
Rumore di frequenza: variazione random della frequenza di oscillazione dell’oscillatore
Per il segnale periodico sinusoidale in uscita dall’oscillatore possiamo scrivere:
x(t ) = A cos[ωct + φn (t )]
Φn(t) è una piccola variazione casuale (random) dell’eccesso di fase che rappresenta la
variazione del periodo di oscillazione. La funzione Φn(t) viene chiamata rumore di fase
Per i circuiti pratici tale variazione è φn (t ) << 1 rad quindi si può approssimare
(come già visto per la modulazione FM a banda stretta):
x(t ) = A cos ωct − Aφn (t ) sin ωc t
ciò significa che lo spettro di Φn(t) è traslato di ωc , ovvero si presenta come bande
98
laterali intorno alla riga spettrale dell’oscillatore ideale.
49
Rumore di fase negli oscillatori
Nelle applicazioni RF il rumore di fase viene di solito caratterizzato e definito nel dominio della
frequenza. Per un oscillatore sinusoidale ideale lo spettro ha la forma di una riga (impulso),
mentre per un oscillatore reale lo spettro presenta delle bande laterali attorno alla portante.
Il circuito che dovrebbe fornire un riferimento preciso, cioè energia ad una unica frequenza, in
realtà fornisce potenza anche a frequenze vicine a quella nominale in modo casuale
Per quantificare il rumore di fase si
considera una banda di frequenza di
1Hz ad un offset di ∆ω rispetto a ωc, si
calcola la potenza di rumore in questa
banda e si divide il valore ottenuto per
la potenza media della portante
Pssb Potenza calcolata su una banda di 1Hz a distanza f m dalla portante
=
Potenza media della portante
Ps
Pssb ⎡ dBc ⎤
L( f m ) = 10 log
Single side band phase noise in scala logaritmica
Ps ⎢⎣ Hz ⎥⎦
L( f m ) =
99
Rumore di fase negli oscillatori
ESEMPIO: se la portante ha una potenza di -2dBm e la potenza di rumore misurata in una
banda di 1KHz ad un offset di 1MHz dalla portante è uguale a -70dBm, allora il rumore di fase
SSB è dato da:
L( f m ) = 10 log
Pssb
Ps
⎡ dBc ⎤
⎢⎣ Hz ⎥⎦
L(1MHz ) = −70dBm + 2dBm − 30dBm = −98dBc / Hz
Single side band
phase noise
dove il -30dBm è dovuto al fatto che devo dividere per 1000 per passare dalla potenza di
rumore calcolata nella banda di 1KHz a quella calcolata nella banda di 1Hz.
Effetti del rumore nel sistema di comunicazione
100
RF transceiver
50
Effetti del phase noise nelle comunicazioni RF
RICEZIONE
Nel caso ideale il segnale di interesse viene moltiplicato per un impulso (oscillatore ideale) e
quindi traslato in frequenza senza errori, ovvero senza cambiamenti della forma del suo
spettro
In realtà invece il segnale di interesse potrebbe essere accompagnato da un segnale
interferente anche molto grande in un canale adiacente e l’oscillatore locale è soggetto a
rumore di fase. Quando i due segnali vengono mixati con il segnale dell’oscillatore locale, la
banda convertita in basso consta di due spettri sovrapposti, quello del segnale utile e
quello dell’interferente. Questo effetto si indica come mixing reciproco.
Inoltre anche lo shaping dello spettro del segnale utile sarà cambiato: corruzione
dell’informazione del segnale
I problemi sono quindi 2!
101
Effetti del phase noise nelle comunicazioni RF
TRASMISSIONE: un ricevitore non rumoroso ideale deve ricevere un segnale debole a
frequenza ω2, mentre un trasmettitore vicino ad alta potenza genera un segnale a
frequenza ω1 con un sostanziale livello di rumore di fase. In questo caso il segnale di
interesse è corrotto dalle bande laterali di rumore di fase del trasmettitore
La differenza tra ω1 e ω1 può essere molto piccola come poche decine di KHertz, mentre
ognuna delle due frequenza è attorno ad esempio a 900MHz o 1.8GHz . Quindi lo spettro di
uscita di LO deve essere estremamente selettivo, ovvero il livello di rumore di fase ad offset
molto piccoli dalla portante deve essere molto basso.
Valori tipici in un ponte radio tra base stations per reti di telefonia cellulare è di -90dBc/Hz a
10KHz dalla portante. Più basso è questo valore maggiore è la quantità di canali di trasmissione
che uno stesso ponte radio può trasportare, quindi maggiore è la sua efficienza spettrale
102
51
Effetti del phase noise nelle comunicazioni RF
Il rumore di fase dell’oscillatore locale corrompe anche l’informazione portata nella fase
del segnale (modulazioni PM, FM e digitali).
Per esempio, la downconversion di un segnale QPSK realizzata da un mixer che è pilotato da
un LO affetto da phase noise produce una costellazione come quella in figura qui sotto
Oscillatore locale affetto
da phase noise
Oscillatore locale ideale
Chiaramente la rotazione random prodotta nel diagramma di costellazione del segnale
di uscita indica che la bit error rate all’uscita del ricevitore è elevata 103
Effetti del phase noise nelle comunicazioni RF
Esempio
60 dB
Canale desiderato: 30KHz wide e 60dB sotto
ad un segnale interferente 60KHz più in la
Vogliamo un rapporto SNR maggiore di 15dB
nel canale desiderato
Sn ( f )
Profilo del rumore di fase del
segnale indesiderato
fH
Pn ,tot = ∫ f S n ( f )df = S0 ( f H − f L )
L
nell'ipotesi che S n ( f ) = S0
Nella banda
Potenza totale di rumore introdotta dall’interferente nel canale desiderato
SNR =
10 log
Psig
S0 ( f H − f L )
= 15dB
Psig
= 15
S0 ( f H − f L )
10 log( Psig ) − 10 log S0 = 15 + 10 log( f H − f L ) = 15 + 45
Psig[ dB ] − S0 [ dB ] = 60
−60dBc − S0 [ dBc] = 60
S0 [dBc] = −120dBc @ 60KHz
Rumore di fase che
deve avere il canale
interferente per non
disturbare
104
In realtà PN non è costante nella banda e quindi occorre integrare il suo profilo tra fL e fH
52
Generazione del rumore di fase negli oscillatori
vn (t ) rumore
-
+
Bianco, shot e flicker
vn (t ) "MODULA" l'oscillatore
CIRCUITO ATTIVO
L
G
C
vu(t)
+
_
vn(t)
+
E’ una tensione di rumore che modula le grandezze
caratteristiche del circuito: modulazione della
polarizzazione del transistor, del varactor…
Questa modulazione provoca incertezza nella fase
(frequenza) del segnale generato: phase noise
_
vx(t)
Circuito oscillatore con generatori di
rumore e controllo
vx (t ) tensione di controllo VCO
Meccanismo con cui si può spiegare la
generazione del phase noise
vu (t ) = [ A0 + Δa (t ) ] cos [ω0t + Δϕ (t ) ]
Il segnale generato è affetto da rumore di ampiezza e da rumore di fase (frequenza):
Δa (t ) = K a vn (t )
Modulazione di ampiezza: trascurabile, limitatore
Δf (t ) = K f vn (t )
Modulazione di frequenza
kf
Δ ω (t ) =
∂Δϕ
= 2π k f vn (t )
∂t
105 dei
“PUSHING FACTOR”: sensibilità della frequenza di uscita ad un qualsiasi variazione
parametri circuitali
Generazione del rumore di fase negli oscillatori
vu (t ) = [ A0 + Δa(t ) ] cos [ω0t + Δϕ (t ) ]
Per piccoli
Δa e Δϕ
linearizzo e ottengo:
Se x<< , sin(x)=x
Se x<< , cos(x)=1
vu (t ) = [ A0 + Δa(t )] ⋅ [ cos ω0t − Δϕ (t ) sin ω0t ] = A0 cos ω0t + Δa(t ) cos ω0t − A0 Δϕ (t ) sin ω0t − Δa(t )Δϕ (t ) sin ω0t
vu (t ) = A0 cos ω0t + Δa (t ) cos ω0t − Δϕ (t ) A0 sin ω0t
vu (t ) = vu 0 (t ) + vna (t ) + vnf (t )
Oscillatore non rumoroso
vu 0 (t ) = A0 cos ω0t
Contributo di rumore di ampiezza:
vna (t ) = Δa (t ) cos ω0t
Contributo di rumore di fase:
π⎞
⎛
vnf (t ) = −Δ ϕ (t ) A0 sin ω 0 t = Δ ϕ (t ) A0 cos ⎜ ω 0 t + ⎟
2⎠
⎝
I due contributi sono indistinguibili nello spettro dello Spectrum analyzer: utilizzo un limitatore
per eliminare il rumore di ampiezza (che comunque ha un contributo molto più modesto) 106
53
Generazione del rumore di fase negli oscillatori
Analisi in regime sinusoidale della conversione del rumore in phase noise
Rumore a banda stretta: densità spettrale di potenza di rumore
π⎞
⎛
vnf (t ) = −Δϕ (t ) A0 sin ω0t = Δϕ (t ) A0 cos ⎜ ω0t + ⎟
2⎠
⎝
∂Δϕ
Δ ω (t ) =
= 2π k f vn (t )
∂t
vn (t ) = Vn cos ωn (t ) Rumore a banda stretta, “sinusoidale”
t
Δϕ (t ) = 2π k f ∫ vn (t )dt =
−∞
vnf (t ) = A0
2π
π⎞
⎛
k f Vn cos ⎜ ωnt − ⎟
ωn
2⎠
⎝
π
π
k f Vn cos [ (ω0 + ωn )t ] + A0
k V cos [ (ω0 − ωn )t ]
ωn
ωn f n
Due bande laterali a frequenze
A0
π
k
ωn f
ω0 ± ωn
Coefficiente di conversione
ω n → ω0 ± ω n
107
Generazione del rumore di fase negli oscillatori
vnf (t ) = A0
π
π
k V cos [ (ω0 + ωn )t ] + A0
k V cos [ (ω0 − ωn )t ]
ωn f n
ωn f n
Posso ragionare come per la modulazione FM di un VCO dal segnale della porta di controllo
Anche se il mio oscillatore non è un VCO adesso considero la tensione di rumore
come variabile di controllo. Tale tensione va a modulare le caratteriste elettriche del
mio circuito
La componente di rumore alla frequenza ωn viene convertita in rumore
di fase intorno alla portante ω0 generata dall’oscillatore
108
54
Generazione del rumore di fase negli oscillatori
vnf (t ) = A0
π
π
k V cos [ (ω0 + ωn )t ] + A0
k V cos [ (ω0 − ωn )t ]
ωn f n
ωn f n
Coefficiente di conversione
A0
ω n → ω0 ± ω n
π
AMPIEZZA BANDA LATERALE di potenza di rumore
k =
AMPIEZZA TENSIONE MODULANTE (Vn)
ωn f
Densità spettrale di potenza di rumore di fase (SSB: banda laterale singola)
< vnf2 >= A02
SSB
π2 2
k f < vn2 >
2
ω
SSB phase noise
n
Indice normalizzato di rumore di fase
ρf
< vnf2 >
SSB
2
0
A
ρf =
=
Potenza di rumore (SSB)
Potenza portante (senza rumore)
π2 2
k < vn2 >
ω2 f
Densità spettrale di potenza di rumore a distanza ωn
dalla ω0 (normalizzata): aumenta avvicinandosi a ω0
109
n
Generazione del rumore di fase negli oscillatori
ρf =
π2 2
k < vn2 >
ω2 f
Phase noise SSB normalizzato [dBc/Hz] @ ωn dalla portante ω0
n
OSSERVAZIONI
Il rumore di fase è proporzionale alla densità spettrale di potenza di rumore proveniente dai
vari elementi circuitali
Il PN aumenta molto avvicinandosi alla portante: le specifiche di rumore di fase vengono
fornite di solito per la regione 10KHz-1MHz dalla portante
Il Pushing factor
K f = Δf (t )
Δvn (t )
E’ una misura della sensibilità in frequenza dell’oscillatore alla variazione dei parametri
circuitali, per questo è tale che:
k f ∝ ω0
kf ∝
1
Q
Ne consegue che:
ω02 < vn2 >
ρf ∝ 2
ω Q2
n
IMPORTANTE!
110
55
Generazione del rumore di fase negli oscillatori
ω02 < vn2 >
ρf ∝ 2
ω Q2
n
Aumentando la frequenza operativa aumenta il livello di rumore di fase
Per ottenere bassi livelli di rumore di fase devo:
1) Scegliere una tecnologia a basso rumore
2) Scegliere un risonatore ad alto Q
3) Durante il progetto scegliere la topologia, le reti, la polarizzazione del
transistor in modo da minimizzare il pushing factor
Diverse tecnologie hanno livelli di densità spettrali di rumore diversi e possono
essere quindi più o meno adatte alla realizzazione di oscillatori a basso
rumore di fase
111
Rumore di fase e potenza
Un modo per migliorare le prestazioni
di rumore di fase del nostro oscillatore
è quello di essere disposti a spendere
più potenza (quindi più area)
Quindi la potenza di rumore di
fase di diversi oscillatori deve
essere normalizzato a
(ω0/ωn)2/P per un confronto
Se sommo in fase le tensioni di uscita di N oscillatori identici, la potenza totale della portante
ottenuta viene moltiplicata per un fattore N2 (somma in potenza)
Assumendo invece che le sorgenti di rumore degli N oscillatori siano scorrelate, la potenza
totale di rumore aumenta di un fattore N
Il rumore di fase della nuova portante generata è quindi diminuito di un fattore N, a spese di
una maggiore dissipazione di potenza e di una maggiore area/complessità
Questo ragionamento possiamo applicarlo a livello di sistema, ma ance di circuito monolitico. Si
può applicare con buoni risultati anche a livello di singolo transistor (l’ipotesi di sorgenti di
rumore scorrelate tiene ancora se pensiamo a sorgenti fisiche)
112
Riassumendo: ad ogni raddoppio di potenza (area attiva), PN migliora di 3dB
56
Rumore di fase e moltiplicazione/divisione di frequenza
Poiché fase e frequenza sono legate da una relazione lineare, la divisione/moltiplicazione di
frequenza di un fattore N è identica alla divisione/moltiplicazione di fase per uno stesso fattore
Quindi data l’uscita dell’oscillatore
vu (t ) = A cos [ω0t + φn (t )]
Dove Φn(t) è il phase noise
Divisore di frequenza per N ideale (non rumoroso): divide anche la fase per lo
stesso N
φ (t ) ⎤ La “potenza” di rumore di fase vicino alla portante
⎡ω
vu (t )1/ N = A cos ⎢ 0 t + n ⎥
diminuisce di un fattore N2
N ⎦
⎣N
Moltiplicatore per N ideale (non rumoroso)
vu (t ) N = A cos [ N ω0t + Nφn (t ) ]
La “potenza” di rumore di fase vicino alla portante
aumenta di un fattore N2
Ad ogni raddoppio della frequenza della portante generata da un
oscillatore il rumore di fase peggiora di almeno 6dB (moltiplicatore ideale)
Esempio : catena di moltiplicatori per portare il riferimento di un quarzo al valore
113
RF desiderato
Rumore di fase: shaping
ρf ∝
ω02 < vn2 >
ω 2 Q2
Rumore elettrico dei dispositivi del circuito
n
Un dispositivo attivo è composto da strati drogati, giunzioni, canale, regioni di
contatto, regioni svuotate, interfacce.
Il rumore elettrico può essere definito come la fluttuazione delle correnti e delle
tensioni alle porte del dispositivo attivo
Rumore del dispositivo
attivo
Rumore degli elementi
passivi
ƒ Termico
ƒ Termico
ƒ Shot noise/diffusione
ƒ Flicker noise
ƒ Flicker noise
Termico, shot e di diffusione sono rumori bianchi, il flicker ha una densità spettrale di potenza
proporzionale a 1/f a bassa frequenza (fc frequency corner: frequenza alla quale si
eguagliano i livelli di flicker e rumore bianco))
Più avanti analizzeremo la fisica di questi diversi tipi di rumore, per ora siamo
interessati alle loro caratteristiche spettrali
114
57
Rumore nei circuiti elettronici
Il rumore è presente in tutti i circuiti elettronici, e si può definire come ogni processo
casuale che si presenta come una interferenza sovrapposta al segnale utile
Il rumore elettrico può essere definito quindi come:
“Fluttuazione random delle correnti e delle tensioni alle porte del dispositivo attivo”
Con la definizione “casuale” o “random” si vuole distinguere il rumore da altri tipi di interferenza
che accompagnano il segnale utile nei circuiti elettronici, quali la distorsione armonica e la
distorsione di intermodulazione, che a differenza del rumore sono appunto dei
fenomeni deterministici
Il problema principale con i processi casuali è che sono casuali!
Il progettista che di solito è abituato a trattare con grandezze deterministiche e concrete,
spesso fatica a comprendere il concetto di casualità.
Fortunatamente per i nostri scopi è possibile caratterizzare un processo random con pochi
parametri e funzioni statistiche che risultano sufficienti a descriverlo per poterlo poi
modellare ed utilizzare nella progettazione dei circuiti
STATISTICA DEL PROCESSO RANDOM
115
Rumore nei circuiti elettronici
Processo casuale o stocastico = famiglia di funzioni temporali
Esempio: misura di rumore di tensione su una resistenza come funzione del tempo
Se faccio N misure in momenti diversi
sono tutte diverse (da non confondere con
sistema tempo-variante!)
Per conoscere completamente questa tensione di rumore, dovremmo effettuare
infinite misure ed ognuna dovrebbe durare un tempo infinito (set di misure
doppiamente infinito)
Quindi per avere una coscienza completa di un processo stocastico abbiamo bisogno
di “una famiglia di funzioni del tempo”, a differenza di un processo deterministico
di cui ci basta una misura.
E’ quindi chiara questa descrizione del rumore (processo stocastico) come una 116
famiglia di funzioni del tempo, piuttosto che una unica grandezza deterministica
58
Rumore nei circuiti elettronici
Per nostra fortuna nella maggior parte dei casi pratici di interesse è possibile
descrivere e modellare questi segnali stocastici con semplici funzioni statistiche,
che indicano le proprietà fondamentali di tali fenomeni
Queste funzioni statistiche possono poi essere utilizzate nella teoria classica
dei segnali e dei sistemi deterministici, permettendo così una analisi classica
dei circuiti elettronici anche in presenza di rumore
- MEDIE TEMPORALI E STATISTICHE Consideriamo invece di una resistenza un numero infinito di resistenze identiche e
misuriamo il loro rumore di tensione contemporaneamente per un tempo molto lungo.
Dai due modi di misurare il rumore di tensione dobbiamo aspettarci gli stessi risultati statistici
La media temporale del rumore di tensione sulla resistenza è dato da:
1 T2
n(t )dt
T →∞ T ∫−T 2
< n(t ) >= lim
117
Rumore nei circuiti elettronici
La media statistica del rumore di tensione sulla resistenza è dato da:
∞
n(t ) = ∫ n(t ) Pn ( n)dn
−∞
(NB: dn è il numero di campioni)
P è la funzione densità di
probabilità del processo
t1 t2 t3
La media statistica ed è basata sul sampling simultaneo delle forme d’onda di un insieme
statistico di misure (n).
Si calcola il valor medio statistico sommando i valori misurati tutti allo stesso istante
e dividendo per il numero delle misure
DEFINIZIONE: un processo le cui proprietà statistiche sono tempo invarianti (t1, t2, t3..)
nel tempo si definisce STAZIONARIO
I processi di nostro interesse, sono i processi stazionari ed ergodici: la media temporale e
quella statistica coincidono e
QUINDI possiamo ricavare le informazioni statistiche di nostro interesse
118
da misure effettuate in intervalli di tempo ragionevolmente lunghi su cui poi mediare
59
Rumore nei circuiti elettronici
Le medie temporali e statistiche fino a qui definite sono del primo ordine
E’ molto utile definire anche delle medie del secondo ordine, che sono quindi direttamente
collegate alla potenza del segnale
Nel dominio del tempo si definisce il valore quadratico medio:
1 T2 2
n (t )dt
T →∞ T ∫−T 2
< n 2 (t ) >= lim
da notare che tale quantità se n(t) è una tensione si definisce anche potenza quadratica
media (su una resistenza da 1 Ohm)
La media statistica del secondo ordine è invece:
∞
n 2 (t ) = ∫ n 2 (t ) Pn ( n)dn
−∞
Per le nostre applicazioni:
< n 2 (t ) >= n 2 (t )
QUINDI:le informazioni che
otteniamo da medie temporali della
grandezza “random” (IL RUMORE)
assumono per noi valore statistico
119
Rumore nei circuiti elettronici
Nelle applicazioni RF e microonde si lavora sempre nel dominio delle frequenze
Dobbiamo quindi cercare una grandezza che descriva statisticamente il rumore nel
dominio delle frequenze
Per un segnale deterministico x(t) , l’informazione frequenziale è contenuta nella trasformata
di Fourier:
X(f ) = ∫
+∞
−∞
x(t )e− j 2π ft dt
Sembrerebbe naturale utilizzare la stessa definizione per un segnale random, bisogna notare
che la trasformata di Fourier esiste solo per segnali ad energia finita, ovvero per i quali:
Ex = ∫
+∞
−∞
2
x(t ) dt < ∞
2
x (t ) → 0 velocemente quando t → ∞
Come si vede in figura questo non è il caso dei segnali periodici e casuali
120
60
Rumore nei circuiti elettronici
Questi segnali hanno però potenza finita (quasi sempre):
P = lim
T →∞
1 +T 2
2
x (t ) dt < ∞
∫
2
−
T
T
Per segnali periodici con potenza finita si definisce ancora la trasformata di
Fourier rappresentando ogni componente spettrale della serie di Fourier con un
impulso nel dominio delle frequenze
Per i segnali random invece in generale non è possibile, perché un impulso ad
una determinata frequenza indica l’esistenza di una componente sinusoidale
deterministica
Un altro problema pratico è che se riuscissimo a definire in qualche modo una
trasformata di Fourier per un processo random, il risultato stesso dovrebbe essere a
sua volta un processo casuale
Le caratteristiche frequenziali di un segnale casuale sono contenute in una
funzione diversa dalla trasformata di Fourier:
PSD: Power Spectral Density (o anche Spectral Density)
DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA o DENSITA’ SPETTRALE
Sx(f)
121
DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA
Definizione operativa:
la densità spettrale di potenza Sx(f) di un segnale casuale x(t) indica quanta
potenza il segnale porta in una banda unitaria a frequenza f
Filtri a banda 1Hz a tutte le frequenze di
interesse
Misuro la potenza di uscita media
(Power Meter) per un tempo
sufficientemente lungo (1 sec)
Si ottiene Sx(f)
Se la misura viene fatta per ogni
frequenza , allora ottengo tutto lo
spettro di Sx(f)
Questo è il principio di funzionamento dell’analizzatore di spettro
NB. L’analizzatore di spettro non applica un filtro di 1Hz and una frequenza
di 10GHz (per esempio). In realtà il segnale viene traslato ad una frequenza
più bassa (mixer) e la potenza viene misurata in una banda più larga di 1Hz!
122
61
DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA
Definizione formale:
X (f)
S x ( f ) = lim T
T →∞
T
2
T
X T ( f ) = ∫ x ( t )e
− j 2π ft
0
dt
Richiamo: trasformata di
Fourier
X(f ) = ∫
+∞
−∞
x(t )e− j 2π ft dt
Algoritmo per il calcolo:
1) Tronco x(t) ad un intervallo
relativamente lungo [0,T]
2) Calcolo la trasformata di 2
Fourier del risultato X T ( f )
3) Ripeto i passi 1 e 2 per tante
funzioni sample di x(t)
2
2
4) Prendo la media di tutte le funzioni X T ( f ) , ottengo X T ( f ) e normalizzo il
risultato a T
123
DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA
OSSERVAZIONE: Sx(f) è una funzione pari di f per x(t) reali
La potenza totale portata da x(t) nel range di frequenza [f1,f2] è uguale a :
∫
− f1
− f2
f2
f2
f1
f1
S x ( f )df + ∫ S x ( f )df = ∫ 2 S x ( f )df
L’ANALIZZATORE DI SPETTRO MISURA LA QUANTITA’ NELLA PARTE
DESTRA DELL’EQUAZIONE
La parte dello spettro alle frequenze negative viene ripiegata attorno all’asse
verticale sulla parte a frequenza positive
Si possono quindi avere le due rappresentazioni equivalenti della PSD
124
62
DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA
Il motivo principale della definizione della PSD è che permette come detto di applicare
ai segnali casuali e quindi al rumore molte delle operazioni frequency-domain utilizzate
con segnali deterministici
Si dimostra che se un segnale random con densità spettrale di potenza Sx(f) viene
applicato ad un sistema lineare tempo invariante con funzione di trasferimento H(s),
allora la densità spettrale del segnale di uscita è data da:
S y ( f ) = Sx ( f ) H ( f )
2
dove
H ( f ) = H ( s = j 2π f )
Shaping della densità spettrale di potenza di rumore da
parte di un sistema lineare
Questo conferma il fatto intuitivo per cui lo spettro del segnale viene
sagomato dalla funzione di trasferimento del sistema
125
DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA
Simbologia: spesso si indica la densità spettrale di potenza di un processo
casuale x(t) in vari modi
S x ( f ) =< x 2 (t ) >= x 2 (t ) =< x 2 (t ) >
Per il fatto che i segnali di rumore con cui lavoriamo sono processi ergodici per i
quali medie temporali e statistiche coincidono
E’ una densità spettrale di potenza normalizzata ad una banda di 1HZ e su una
resistenza di 1Ohm
Se no scriviamo
< x 2 (t ) >
Δf ⋅ R
Tornando all’espressione del rumore di fase SSB che abbiamo calcolato con
l’ipotesi di “rumore a banda stretta”, ovvero di considerare come sorgente di
rumore in realtà un piccolo segnale sinusoidale deterministico:
SSB _ Phase _ noise ∝
ω <v >
ω Q
2
0
2
n
vn (t ) = Vn cos ωn (t )
2
n
2
Diventa la PSD del nostro processo
rumoroso con una sua forma
spettrale chè verrà opportunamente
sagomata dal sistema oscillatore
Rumore a banda stretta, “sinusoidale”
126
63
Rumore di fase: shaping
ρf ∝
ω02 < vn2 >
ω 2 Q2
n
Un dispositivo attivo è composto da strati drogati, giunzioni, canale, regioni di
contatto, regioni svuotate, interfacce: diverse sorgenti di rumore
Nell’oscillatore il rumore proviene da:
Rumore del dispositivo
attivo
ƒ Termico
Rumore
dall’alimentazione
Rumore degli elementi
passivi
ƒ Termico
ƒ Termico
ƒ Shot noise/diffusion
ƒ Shot noise
ƒ Flicker noise
ƒ Flicker noise
ƒ Flicker noise
Diversi tipi di rumore, diversi shaping frequenziali della loro densità spettrale
di potenza
127
Modelli rumorosi
Il modeling delle sorgenti di rumore e quindi il loro utilizzo nei CAD di simulazione ci
permettono di calcolare le figure di merito di nostro interesse, come
vus2
2
vus
Δf ⋅ R
SNR =
=
< vun2 > < vun2 >
SSB _ Phase _ noise ∝
n
Δf ⋅ R
Low Noise Amplifier
ω02 < vn2 >
ω 2 Q2
Low Phase noise oscillators
Questo grazie alla definizione della densità spettrale di potenza del rumore:
< vun2 >
Δf ⋅ R
< vun2 >
Densità spettrale di rumore nella banda Δf sulla resistenza R
Densità spettrale di rumore normalizzata
Δf = 1Hz R = 1Ohm
128
64
Modelli rumorosi
Devo aggiungere delle sorgenti equivalenti di rumore ai modelli non rumorosi dei
componenti circuitali
I
MODELLO
NON
RUMOROSO
in(t): sorgente equivalente di rumore
V (t ) = V + vs (t ) + vn (t )
in
V
I (t ) = I + is (t ) + in (t )
Nelle grandezze alle porte del dispositivo distinguo tra le componenti di
polarizzazione, segnale e rumore.
Resistore rumoroso:
I
Assenza di polarizzazione e segnale
R
in
V
Si osserva comunque del rumore alle
porte del resistore:
V0 = I 0 = 0
vs (t ) = is (t ) = 0
RUMORE TERMICO O JOHNSON
129
Rumore di un resistore
Le resistenza Ohmica è una importante sorgente di rumore nei circuiti elettronici
RUMORE TERMICO: in un resistore all’equilibrio termico piccole correnti istantanee
sono causate da moti caotici Browniani degli elettroni (dal botanico scozzese che
osservò per primo il fenomeno in piccole particelle sospese in un liquido).
I moti Browniani si manifestano nei materiali resistivi in risposta alla agitazione
termica casuale delle molecole intorno alla loro locazione normale nel reticolo
cristallino.
Queste piccole correnti istantanee danno vita a fluttuazioni di tensione ai capi del
materiale resistivo che si identificano come rumore Termico o Johnson
La densità spettrale della tensione di rumore termico è stata calcolata uguale a :
Svn ( f ) = < vn2 > = 4kTR( f ) [V 2 /Hz]
K: costante di Boltzmann 1.38x10-23 J/K
Tale formula ha valore fino a f=1200GHz (ovvero in pratica per tutto lo spettro utile)
Se R è costante (quasi sempre nei casi pratici)
Svn ( f ) = < vn2 > = 4kTR
[V 2 /Hz]
130
65
Rumore di un resistore
Il valore quadratico medio di rumore di tensione della resistenza R diventa:
∞
vn2 (t ) = 4kTR ∫ df
[V 2 ]
0
Che risulterebbe infinita. Ma la formula della densità spettrale di potenza vale solo
fino a f=1200GHz, oltre a tale limite il rumore termico decresce rapidamente con la
frequenza e lascia il posto al rumore quantico che ha una dipendenza frequenziale
f2
vn2 (t ) = 4kTR ∫ df =4kTR ( f 2 - f1 ) =4kTRB
[V 2 ]
f1
Modelli di resistori rumorosi:
Vn= 4kTRB
Generatore equivalente
di rumore termico
Generatore equivalente
di rumore termico
R
Resitenza non rumorosa
Generatore di
tensione serie o
generatore di
corrente parallelo
valori efficaci:
Vn = 4kTRB [V]
Resitenza non rumorosa
R
In =
4kTB
R
In =
4kTB
R
[A]
131
Rumore di un resistore
Il rumore termico dipende quindi dalla temperatura e dal valore della resistenza
Per T diversa dallo zero assoluto, il moto casuale degli elettroni viene modellato con
la sorgente di rumore equivalente in(t)
Concetto di potenza di rumore disponibile:
In =
4 KTB
R
[A]
Vn = 4kTRB [V]
In condizioni di adattamento (massimo trasferimento di
potenza) la potenza di rumore disponibile è data da:
R
in
Pn
R
PDn = Pn =
I n2
4kTB
⋅R =
R = kTB
4
4R
PDn = Pn =
Vn2 4kTRB
=
= kTB
4R
4R
[W]
[W]
Indipendente da R!!!
E’ una regola che posso applicare in generale: EQUILIBRIO TERMODINAMICO
Per un qualsiasi circuito o dispositivo elettronico, in assenza di apporto energetico
(ovvero senza polarizzazione), ho solo energia termica generata dalla parte
132
resistiva del suo circuito equivalente
66
Equilibrio termodinamico
La densità spettrale di potenza è indipendente dalla natura fisica e dalla frequenza
Per T1=T2=Tamb deve essere P21=P12 : equilibrio termodinamico
R = parte reale di Y (adattamento)
Tamb
T2
Y
PDn 2 =
T1
RETE DI ADATTAMENTO
DI IMPEDENZA SENZA
PERDITE E FILTRO CON
BANDA B
in
< in2 >
= PDn1 = kTB
4 Re [Y ]
[W]
Altrimenti avrei:
in
R
P21
P12
P12 ≠ P21
Il passaggio di potenza tra 1 e 2
porterebbe ad un
riscaldamento/raffreddamento,
ovvero:
T2 ≠ T1
Contro il principio della termodinamica
Quindi:
kTB è la potenza termica disponibile da qualsiasi rete con componenti resistivi
Ovvero è la potenza di rumore estraibile da qualsiasi rete in condizioni di adattamento
133
N.B. : questa proprietà è valida se non ci sono sorgenti di alimentazione
Modelli rumorosi componenti circuitali
I componenti non dissipativi o molto freddi non sono rumorosi
Rs
C
Rp
in
Per induttori, capacità ed interruttori ci sono in realtà
delle resistenze parassite di perdita, ma per componenti
buoni si ha:
in
Rs
Rs molto piccole
Rp molto grandi
L
Rp
in
La potenza disponibile di rumore è sempre la stessa:
PDn = kTB
Ma le sorgenti sono lontane dalla condizione di
adattamento
in
Rs
Rp
in
in
134
67
Potenza di rumore disponibile e “adattamento”
I componenti poco dissipativi sono poco rumorosi
vs
Ps
in
Rp
Req
v
is
u
Pn
Se Rp << Re q o se Rp >> Re q
Pn << PDn = kT Δf
E’ anche poco dissipativo per i segnali:
Ps << PDs
135
Rumore in presenza di polarizzazione
In presenza di polarizzazione V0 ≠ 0, I 0 ≠ 0 o grandi segnali vs (t ), is (t ) il rumore
cambia ampiezza e spettro
Rumore flicker e rumore shot (e rumore G-R)
Tutte le sorgenti di rumore sopra citate vanno a zero in assenza di polarizzazione
Il rumore flicker ha una dipendenza frequenziale (rumore colorato o “pink noise”)
Il rumore shot è un rumore bianco
Il rumore G-R è un rumore colorato
RUMORE FLICKER
Il rumore flicker è un tipo di rumore che aumenta di ampiezza quando la
frequenza scende sotto qualche centinaio di KHertz
Viene definito per questo anche rumore 1/f o rumore a bassa frequenza
Altre definizioni: rumore in eccesso, rumore del semiconduttore
E’stato attribuito a vari meccanismi che collegano la sua provenienza a
difetti/imperfezioni nella giunzione, canale, regione di carica spaziale, superfici
136
di contatto, contatti degli elettrodi, resistori ecc.
68
Rumore flicker
La presenza di imperfezioni e difetti lungo la regione superficiale del canale di un
FET ad esempio, è associata alla nascita di stati di trappola che danno luogo a
fenomeni di trapping e de-trapping a bassa frequenza (costanti di tempo lunghe)
Lo stesso dicasi per le imperfezioni lungo la giunzione PN di un bipolare
Siccome nei bipolari la conduzione della corrente è di tipo verticale, mentre per i FET
è superficiale, la presenza di questi stati di trappola ha effetti minori nei bipolari, che
per questo risultano essere affetti da livelli di rumore flicker molto più bassi (molto
utilizzati BjT e HBT nella progettazione di oscillatori a basso rumore di fase)
137
Rumore flicker
Confronto tra tecnologie : livelli di rumore flicker e frequenza di taglio
Il rumore flicker è fortemente dipendente dalla tecnologia
LF
Noise
HEMT
MESFET
GaAs-HBT InGaAs-HBT
Si-BJT SiGe-BJT
5GHz
20GHz
fT
La tecnologia bipolare ad eterogiunzione ha permesso di portare a frequenza
più elevate le ottime caratteristiche di rumore a bassa frequenza dei dispositivi a
138
conduzione verticale
69
Rumore flicker
Il rumore flicker è utilizzato storicamente per le analisi di affidabilità delle
tecnologie: un più alto livello di rumore flicker è indice di una maggiore quantità di difetti
del processo
E’ quindi un rumore parametrico, in quanto la sua presenza indica una variazione
aleatoria dei parametri di una grandezza
Esempio: Resistori a semiconduttore (integrati ad esempio)
La presenza di difetti del reticolo, la granulosità del materiale e l’imperfezione del
contatto hanno come effetto macroscopico una G conduttanza che varia nel tempo:
I = G ⋅V
G = G0 + ΔG (t )
G
I (t ) = [G0 + ΔG (t ) ] ⋅ [V0 + vs (t ) + vn (t ) ] =
= G0 [V0 + vs (t ) + vn (t )] + V0 ΔG (t ) + vs (t )ΔG (t ) + vn (t )ΔG (t )
I (t ) = G0V (t ) + i nf (t )
i nf (t ) = V0 ΔG (t ) = I 0
ΔG (t )
G0
I
Corrente di
rumore Flicker
inf → 0 per I → 0
139
Rumore flicker
Modello del resistore con rumore termico e flicker
R
R
inT(t)
inf(t)
in(t)
Energia termica
inT
Energia di
polarizzazione
inf
OSSERVAZIONE: i fenomeni fisicamente responsabili del flicker provocano
delle variazioni parametriche che “convertono” in rumore le componenti
continue di polarizzazione
in (t ) = int (t ) + inf (t )
Sorgente equivalente complessiva di rumore
Densità spettrale di potenza della corrente totale di rumore:
< in (t ) 2 >=< ( int (t ) + inf (t ) ) >=< int (t ) 2 > + < inf (t ) 2 > +2 < int (t )inf (t ) >
2
< in (t ) 2 >=< ( int (t ) + inf (t ) ) >=< int (t ) 2 > + < inf (t ) 2 >
2
Rumore totale = somma delle potenze di rumore
CORRELAZIONE=0
PER SORGENTI
140
INDIPENDENTI
70
Rumore flicker
Densità spettrale di potenza del rumore flicker:
A
I f
< iF2 >
= f ( f , I 0 , T ) = K f 0α
Δf
f
È funzione della frequenza, del punto di
lavoro e della temperatura
Af, α e Kf sono parametri empirici che si ricavano dalle misure di rumore a bassa
frequenza
ESEMPIO: misure a bassa frequenza per l’estrazione dei parametri Af, α e Kf di un
bipolare
141
Rumore flicker
PSD
< i nf2 >→ 0 per f → ∞
RUMORE COMPLESSIVO
< i nf2 >→ ∞ per f → 0
f
PSD
Flicker noise
corner frequency
< inf2 ( f c ) >=< inT2 ( f c ) >
RUMORE FLICKER
fnc
f
PSD
f nc
Frequenza alla quale
rumore flicker e termico
si equivalgono
La corner frequency è
fortemente dipendente
dalla tecnologia
RUMORE TERMICO
f
142
71
Rumore flicker
Se il dispositivo attivo ha una frequenza di corner bassa, vuol dire che il livello di
rumore in eccesso si abbassa rapidamente al livello del rumore termico: è un
parametro molto importante di qualità della tecnologia.
Se considero la conversione del rumore a bassa frequenza in rumore di fase intorno
alla portante, più bassa è la corner frequency del dispositivo attivo migliore sarà il
livello di rumore di fase vicino alla portante
Tecnologia
FET
III-V HBT
Si-Ge HBT
Si Bjt
fc
10 MHz
100KHz-1MHz
1KHz
1KHz-100KHz
I dispositivi bipolari hanno delle caratteristiche migliori di rumore flicker rispetto ai
dispositivi FET, sono quindi più adatti alla realizzazione di oscillatori a basso
143
rumore di fase
Rumore Shot
E’ un tipo di rumore che si manifesta solamente in presenza di polarizzazione di un
dispositivo elettronico a giunzione
E’ un rumore bianco, quindi senza dipendenza frequenziale
La sua intensità è direttamente proporzionale alla corrente media che percorre la
giunzione (la corrente media e quella di polarizzazione possono essere diverse)
ORIGINE: la conduzione nei dispositivi elettronici a giunzione consiste in un flusso
di elettroni-lacune che devono superare una barriera di potenziale
La corrente è quindi caratterizzata da una successione di eventi aleatori:
1) Generazione della coppia elettrone-lacuna
2) Transito attraverso la barriera di potenziale della giunzione
3) Ricombinazione della coppia elettrone lacuna
Questa successione di eventi aleatori è di durata brevissima (il tempo di transito
attraverso la giunzione o canale è molto breve)
La aleatorietà è dovuta alla diversa energia termica di ogni elettrone:
CORRENTE AD INPULSI CON DISTRIBUZIONE TEMPORALE ALEATORIA
144
72
Rumore Shot
DEFINIZIONE :FLUTTUAZIONE RANDOM DELLA CORRENTE ATTRAVERSO UNA
GIUNZIONE CAUSATA DAL FATTO CHE LA CORRENTE E’ TRASPORTATA DA
CARICHE DISCRETE (ELTTRONI) (granularità della corrente)
Area inpulsi=2q
carica
durata impulsi = τ
Corrente media I = 2q f GR
tk-1
tk tk+1
t
f GR = frequenza media G − R
corrente ad impulsi con distribuzione temporale aleatoria
+∞
i (t ) = ∑ 2qh(t − tk ,τ )
−∞
Corrente istantanea “discreta”
1 per t − tk < τ
τ
h(t − tk ,τ ) =
τ piccolissimo ≈ inpulso di dirac
0 altrimenti
Spettro uniforme di rumore bianco:
tk variabili aleatorie
indipendenti
2
2
< iShot
>
= 2qI media
Δf
145
Rumore G-R
Il rumore termico e il rumore shot come visto sono indipendenti dalla tecnologia e
dalla frequenza (bianco)
Esistono altri processi legati alla presenza di stati di trappola nelle giunzioni o nel
canale che si manifestano come rumore sovrapposto alle correnti che attraversano
la giunzione o il canale
Questo rumore prende il nome di rumore G-R (generazione ricombinazione) o a
volte Burst: legato alla fluttuazione del numero dei portatori a causa dei
processi di trapping e de-trapping negli stati discreti di trappola presenti nelle
bande di energia proibite del dispositivo a semiconduttore
Densità spettrale di potenza del rumore G-R:
<i2>
= Kb
Δf
I AB
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fB ⎠
2
fB : frequency corner il cui valore è legato alle costanti di
tempo che caratterizzano questi processi di
intrappolamento (di solito da pochi KHz a poche centinaia
di KHz)
E’ un rumore a bassa frequenza perché a frequenze maggiori di fB la densità
spettrale di potenza decade velocemente come 1/f2
146
73
Rumore G-R
Rumore a bassa frequenza
(LF noise)
PSD
G-R noise
fB
1
f2
< iGR2 >
= Kb
Δf
White noise
f
PSD
1
f2
G-R noise
fB1
White noise
fB2
I AB
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fB ⎠
2
A volte si osservano diverse
frequenze di corner associate a
fenomeni con costanti di tempo
diverse: servono due sorgenti di
rumore diverse nel modello
< iGR2 >
= K B1
Δf
f
I AB1
⎛ f ⎞
1+ ⎜
⎟
⎝ f B1 ⎠
+ KB2
2
I AB 2
⎛ f ⎞
1+ ⎜
⎟
⎝ fB2 ⎠
2
E’ un rumore non presente in tutte le tecnologie, a volte è presente ma è
completamente coperto dal flicker. Il livello e le frequenza di corner sono fortemente
147
dipendenti dalla tecnologia e da processo
Sorgenti di rumore
IDC
Thermal noise
R
Shot noise
Gap
Energetico
In = 2qIDCB
4kTB
In =
R
IDC
IDC
flicker noise
I
In = k f DCα
f
Af
G-R noise
Canale
giunzione
risonatore
resitenza
Canale
o
giunzione
In = kB
A
IDC
B
⎛f ⎞
1+ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ fB ⎠
2
148
74
Sorgenti di rumore nel modello di un diodo a giunzione
iRS
ID
inD = iShot + i f
RS
inD
VD
VD
I D = F (VD ) ≈ I S (e VT − 1)
Q(VD)
2
< iShot
>
= 2qI DC
Δf
< iR2 > 4kT
=
Δf
R
A
< iF2 >
I f
= K f Dα
f
Δf
Shot
Termico
Flicker
149
Sorgenti di rumore nel modello di un bipolare
iRB
iRC
IBC
C
B
RB
RC
in B E
IBE
iRE
iCE
inCE
RE
E
inBE = iShot + iGR + i f
< iR2 > 4kT
=
Δf
R
inCE = iShot + I flic ker + iGR
2
< iShot
>
= 2qI DC
Δf
A
< iF2 >
I f
= K f Dα
f
Δf
< iGR2 >
= Kb
Δf
I AB
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fB ⎠
2
150
75
Sorgenti di rumore nel modello di un bipolare
iRB
iRC
IBC
C
B
RB
RC
IBE
in B E
iCE
iRE
inCE
RE
E
< iR2B >
Δf
< iR2E >
Δf
< iR2C >
Δf
=
4kT
RB
=
4kT
RE
4kT
=
RC
A
2
< inBE
>
I f
= 2qI B + K f Bα + Kb
f
Δf
A
2
< inBE
>
I f
= 2qI B + K f Bα + Kb
f
Δf
I BAB
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fB ⎠
2
I BAB
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fB ⎠
2
151
Sorgenti di rumore nel modello di un FET
iRG
CGD
G
iR
D
D
RG
iG n
CGS
iRE
v
RD
gmv
iD n
RS
S
inG = iShot
iDn = iT + i f
2
< iGn
>
R
2
= 4kTCGS
ω2
Δf
gm
A
2
< iDn
>
I f
= 4kTg m Κ + K f D
f
Δf
Rumore di diffusione: fluttuazione della velocità dei portatori
152
76
Spettri di rumore LF di diverse tecnologie
153
Spettri di rumore LF di diverse tecnologie
154
77
ρf ∝
ω02 < vn2 >
ω 2 Q2
Rumore di fase: shaping
Flicker frequency corner
n
Rumore di fase: analisi FM noise
Rumore di fase: analisi a linear mixing
Il fenomeno più grave è la conversione in phase noise del rumore flicker a bassa
frequenza del transistor: regione a pendenza 30dB/decade
I tratti a pendenza 1/f e a pendenza nulla derivano da una analisi della conversione del
rumore in rumore di fase diversa: analisi a mixer dell’oscillatore
Con questa analisi si vede che lo spettro del rumore viene convertito nell’intorno della
portante con una operazione di mixing lineare: questa zona è meno importante perché il
155
livello di rumore è già molto basso
Esempio VCO agganciato con PLL
Alimentazione scheda PLL
+12V
Controllo tramite
seriale
-12V
Tuning dei varactor
Polarizzazione varactors
Circuiti di
polarizzazione: partitori
e filtraggio
Retroazione tramite
uscita prescaler a
f0/2
F0 out
Polarizzazione
Transistors MMIC
156
78
dBm
5
SoftPlot Measurement Presentation
Trace A
1
1
Trace A
9.344336 GH
0.8400 dBm
-5
-15
Misure VCO
-25
-35
-45
-55
-65
-75
-85
-95
Start: 9.334370 GHz
Res BW: 300 kHz
13/10/03 17.13.42
Atten: 20 dB
Vid BW: 300 kHz
Stop: 9.354370 GHz
Sweep: 50.00 ms
HP8563E
dBm
0
SoftPlot Measurement Presentation
Trace A
1
1
Trace A
9.054167 GHz
-3.3300 dBm
2
Trace A
4.549167 GHz
-44.3300 dBm
3
Trace A
18.196667 GH
-50.3300 dBm
-10
-20
-30
2
-40
3
-50
-60
-70
-80
-90
-100
Start: 0 Hz
Res BW: 1 MHz
13/10/03 17.16.14
Atten: 10 dB
Vid BW: 1 MHz
Stop: 26.500000 GHz
Sweep: 530.00 ms
HP8563E
157
Rumore di fase
Phse Noise @ 10 KHz at 8.6 GHz Oscillation Frequency
Trace A Trace B Trace C Trace D Trace E Trace F Trace G
dBm
Trace H Trace I Trace J
-40
1
Trace J
10.000000 kH
-83.0000 dBm
2
Trace E
100.000000 k
-109.5000 dBm
-50
-60
-70
1
-80
-90
-100
2
-110
-120
-130
SoftPlot Measurement Presentation
Trace B Trace C Trace D Trace E Trace F Trace G Trace H
-140
Start: 1.000000 kHz
Res BW: 100 kHz
15/10/03 16.52.15
Atten: 20 dB
Vid BW: 100 kHz
Stop: 1.000000 MHz
Sweep: 50.00 ms
HP8563E
dBm
Trace I Trace J Trace A
-40
1
Trace H
100.000000 k
-107.0000 dBm
2
Trace B
10.000000 kH
-75.3300 dBm
-50
-60
2
-70
-80
-90
1
-100
-110
-120
-130
-140
Start: 1.000000 kHz
Res BW: 300 kHz
13/10/03 15.22.57
Atten: 20 dB
Vid BW: 300 kHz
Stop: 1.000000 MHz
Sweep: 50.00 ms
HP8563E
158
79
Analisi del rumore nei circuiti
Analisi del rumore nei circuiti in presenza di piccoli segnali: linearizzazione delle
caratteristiche del circuito
i k (t )
vs = 0
ik (t ) k = 1,.....m
v u (t )
CIRCUITO LINEARE
(MODELLI LINEARI NON RUMOROSI)
Sorgenti di rumore nei modelli rumorosi dei vari componenti
Caso più semplice: SORGENTI INDIPENDENTI
PROCESSI DI RUMORE FISICAMENTE INDIPENDENTI = diversi dispositivi
o diversi fenomeni fisici o zone diverse dello stesso dispositivo
L’indipendenza è legata quindi alla diversità fenomenologica o spaziale
159
Analisi del rumore nei circuiti lineari
I contributi di rumore delle sorgenti non correlate (indipendenti) si sommano
semplicemente applicando la sovrapposizione degli effetti (sistema lineare)
i k (t )
m
vu (t ) = ∑ vuk (t )
k =1
vuk (t )
Contributo di rumore in
uscita dovuto solo a ik(t)
vs = 0
CIRCUITO LINEARE
(MODELLI LINEARI NON RUMOROSI)
v u (t )
Cosa succede alle densità spettrali di potenza di tensione (o corrente) di rumore in
uscita:
m
m m
⎞
⎛ m
⎞⎛ m
< vu2 >=< ⎜ ∑ vuk ⎟ ⎜ ∑ vuq ⎟ >= ∑ < vuk 2 > + ∑∑ < vuk vuq >
k =1
k =1 q =1
⎝ k =1 ⎠ ⎝ q =1 ⎠
k ≠q
m
< vu2 >= ∑ < vuk 2 >
k =1
Termine nullo perché vuk e vuq con
k≠q sono processi indipendenti
(sorgenti non correlate)
La densità spettrale di potenza totale in uscita è data dalla semplice somma
delle densità spettrali di potenza delle singole sorgenti tra loro indipendenti
160
80
Analisi del rumore nei circuiti lineari
m
< vu2 >= ∑ < vuk 2 >
k =1
Suppongo di posizionarmi alla frequenza f a cui calcolo la densità spettrale di
potenza: piccolo ∆f → rumore ≈ sinusoidale
Vuk
= Z uk
Ik
Transimpedenze del circuito lineare non rumoroso rispetto alle varie
sorgenti di rumore
Le calcolo facilmente con i modelli lineari (o linearizzati) per piccoli segnali del
mio componente (transistor o circuito)
Z uk = Z uk e jϕk
Vuk = Z uk I k
< vuk 2 >= Z uk2 < ik2 >
Valido per banda ∆f intorno alla frequenza f
161
Analisi del rumore nei circuiti lineari
Note quindi le sorgenti indipendenti di rumore < ik > all’interno del circuito e
nota la matrice delle transimpedenze Z uk
alle varie frequenze di interesse, posso procedere al calcolo della densità spettrale
di rumore in uscita
2
< ik2 >
Note da misure di rumore o modelli fisici
La densità spettrale di potenza complessiva del rumore in uscita è data
dalla somma dei contributi delle singole sorgenti di rumore indipendenti:
m
< vu2 >= ∑ zuk2 < ik 2 >
k =1
Per tutte le frequenza di interesse
OSSERVAZIONE: quando moltiplico la PSD
della corrente di rumore per la
transimpendenza del circuito applico la
proprietà vista in precedenza per cui
possiamo trattare la PSD di grandezze
statistiche come lo spettro di grandezze
deterministiche
162
81
Sorgenti equivalenti di rumore di un N-porte
Le misure di rumore di un dispositivo elettronico ci forniscono le correnti o tensioni di
rumore alle porte del dispositivo. Non è facile a partire da queste misure riuscire a
distribuire l’effetto finale misurato a tutte le possibili sorgenti di rumore indipendenti
localizzate nelle varie regioni del dispositivo
Inoltre, per il calcolo del rumore nei sistemi elettronici in fase di progettazione allo
scopo di sintetizzare dei circuiti a basso rumore, risulta comodo ridurre tutte le
sorgenti di rumore indipendenti a sorgenti di rumore equivalenti ai morsetti esterni
del dispositivo
LE SORGENTI DI RUMORE EQUIVALENTI ALLE PORTE DEL DISPOSITIVO
NON SONO INDIPENDENTI
RUMOROSO
A
A
B
NON RUMOROSO
ia
[Y ]
xk (t )
X k (t ) k = 1,.....m
ib
B
CORRENTI DI RUMORE DI
CORTO CIRCUITO : MISURE
SORGENTI INTERNE DI RUMORE
163
Sorgenti equivalenti di rumore di un N-porte
RUMOROSO
A
A
B
NON RUMOROSO
ia
xk (t )
X k (t ) k = 1,.....m
[Y ]
ib
B
iA (t ), iB (t ) MISURE
SORGENTI INTERNE DI RUMORE
Correnti di rumore di corto-circuito
Le sorgenti equivalenti di rumore iA(t) e iB(t) non sono indipendenti perché derivano
dalle stesse sorgenti interne xk(t) (indipendenti, fisicamente distinte)
RUMOROSO
A
iA(t)
< iAiB >≠ 0
iB (t)
B
Correlazione non nulla
xk (t)
La stessa sorgente interna di rumore contribuisce ad entrambe le correnti di
rumore di corto circuito misurate alle porte del dispositivo
164
82
Sorgenti equivalenti di rumore di un N-porte
Possiamo scrivere le correnti di rumore alle porte come:
m
iA (t ) = ∑ iAk (t )
m
iAk (t ) = contributo dovuto a xk (t )
k =1
iBk (t ) = contributo dovuto a xk (t )
iB (t ) = ∑ iBk (t )
k =1
I Ak = H Ak X k
Il contributo k-esimo delle correnti A e B è dato dal
prodotto della sorgente interna indipendente k-esima
per un parametro H di transammettenza o ibrido
I Bk = H Bk X k
Sempre grazie al fatto che le xk(t) sono tra loro indipendenti, la densità spettrale di
potenza delle correnti di rumore di cortocircuito è data da:
m
m
2
< iA2 >= ∑ H Ak
< xk2 >
2
< iB2 >= ∑ H Bk
< xk2 >
k =1
k =1
Ma come detto iA e iB non sono indipendenti
165
Sorgenti equivalenti di rumore di un N-porte
La loro correlazione è data da:
m
m
m
k =1
Q =1
k =1
m
m
< iAiB >=< ∑ iAk ∑ iBQ >= ∑ < iAk iBk > + 2∑∑ < iAk iBk >
k =1 Q =1
k ≠Q
Questo termine è
nullo perché xk(t)
xq(t) sono tra loro
indipendenti
Quindi quando voglio valutare la potenza di rumore complessiva dovuta alla
sovrapposizione delle due sorgenti equivalenti di rumore iA e iB, devo tenere conto
della correlazione
< ( iA + iB ) >=< iA2 > + < iB2 > +2 < iAiB >
2
Ma siccome ho espresso le correnti di corto circuito in funzione dei contributi k-esimi
m
iA (t ) = ∑ iAk (t )
k =1
m
iB (t ) = ∑ iBk (t )
k =1
m
< ( iA + iB ) >= ∑ < ( iAk + iBk ) >
2
k =1
2
contributi k-esimi da sorgenti xk(t)
indipendenti
166
83
Correlazione delle sorgenti equivalenti di rumore
m
< ( iA + iB ) >= ∑ < ( iAk + iBk ) >
2
2
k =1
(
)
I Ak + I Bk = H Ak + H Bk X k
2
< ( iAk + iBk ) >= H Ak + H Bk < xk2 >
2
Ma si calcola che :
2
(
H Ak + H Bk = H Ak + H Bk
)(H
*
Ak
*
)
2
2
*
*
+ H Bk = H Ak + H Bk + H Ak H Bk + H Ak H Bk =
2
2
*
= H Ak + H Bk + 2 Re ⎡⎢ H Ak H Bk ⎤⎥
⎣
⎦
Quindi risulta:
2
2
*
2
< ( iAk + iBk ) >= H Ak < xk2 > + H Bk < xk2 > +2 Re ⎡⎢ H Ak H Bk ⎤⎥ < xk2 >
⎣
⎦
167
Correlazione delle sorgenti equivalenti di rumore
2
2
*
2
< ( iAk + iBk ) >= H Ak < xk2 > + H Bk < xk2 > +2 Re ⎡⎢ H Ak H Bk ⎤⎥ < xk2 >
⎣
⎦
Quindi:
m
m
m
2
2
*
⎡m
2
2
< ( iA + iB ) >= ∑ < ( iAk + iBk ) > = ∑ H Ak < xk2 > + ∑ H Bk < xk2 > + 2 Re ⎢ ∑ H Ak H Bk < xk2
k =1
k =1
k =1
⎣ k =1
⎤
>⎥
⎦
Sappiamo che:
< ( iA + iB ) >=< iA2 > + < iB2 > +2 < iAiB >
2
Quindi:
m
CORRELAZIONE
< i >= ∑ H Ak < x >
2
A
2
k =1
m
2
k
< iB2 >= ∑ H Bk < xk2 >
2
*
⎡m
< iAiB >= Re ⎢ ∑ H Ak H Bk < xk2
⎣ k =1
⎤
>⎥
⎦
k =1
168
84
Correlazione delle sorgenti equivalenti di rumore
La correlazione tra iA e iB è quindi data da:
{}
< iAiB >= Re C
m
C = ∑ H Ak H Bk < xk2 >
*
Coefficiente di correlazione
k =1
Il coefficiente di correlazione è in generale un numero complesso, reale solo a bassa
frequenza
E’ reale a bassa frequenza, perché sono reali a bassa frequenza i parametri H della
rete. Per lo studio del rumore LF nei dispositivi attivi, spesso il coefficiente di
correlazione è reale, in quanto siamo a frequenza inferiore al MHertz e il dispositivo è
quasi resistivo
< iA2 >, < iB2 >, C
Sono i parametri di rumore del nostro due porte
169
MISURE
Correlazione delle sorgenti equivalenti di rumore
Si definisce il coefficiente di correlazione normalizzato:
m
C
CN =
< i A2 >< iB2 >
=
Si può dimostrare che:
∑H
k =1
⎛ m
⎜ ∑ H Ak
⎝ k =1
2
*
Ak
H Bk < x k2 >
⎞⎛ m
< x k2 > ⎟ ⎜ ∑ H BQ
⎠ ⎝ Q =1
2
⎞
< xQ2 > ⎟
⎠
0 ≤ CN ≤ 1
CN=0 quando le sorgenti di rumore agiscono tutte separatamente su iA o iB
*
H Ak H Bk = 0 ∀k
CN=1 quando le sorgenti di rumore agiscono tutte allo stesso modo su iA o iB
H Ak = H Bk
∀k
Oppure è uguale a 1 quando ho una unica sorgente
170
85
Correlazione delle sorgenti equivalenti di rumore
In molti casi (per il rumore LF praticamente sempre) il coefficiente di correlazione è
reale (f non molto alta):
< iAiB >= Re ⎡⎣C ⎤⎦ ≈ C
CN =
< iAiB >
−1 ≤ C N ≤ 1
< iA2 >< iB2 >
Per riassumere:
A
Con le misure di rumore alle
porte del dispositivo ottengo:
NON RUMOROSO
ia
[Y]
ib
B
< iA2 >, < iB2 >, C
171
Misure di rumore
Con un analizzatore digitale di segnale a bassa frequenza (basato su algoritmi
di FFT del segnale) a due canali misuro le correnti di rumore di cortocircuito e
la loro correlazione
Misure nella banda 100Hz, 1Mhz e al variare del Bias del dispositivo
Dispositivo on wafer contattato tramite punte della probe station
172
86
Misure di rumore
I base
I collettore
I correlazione
173
Calcolo del rumore
[Y] matrice delle ammettenze del
mio dispositivo attivo rumoroso
NON RUMOROSO
ia
[Y ]
ib
vu
< iA2 >, < iB2 >, C
Note dalle
misure di rumore
CIRCUITO NON RUMOROSO
Calcolo della densità spettrale di potenza della tensione di rumore all’uscita del
circuito (in funzionamento small signal)
vu (t ) = vuA (t ) + vuB (t )
VuA = Z uA I A
VuB = Z uB I B
Vu = Z uA I A + Z uB I B
Ad ogni frequenza
Z uA , Z uB
Note dall’analisi
convenzionale del circuito
senza rumore
174
87
Calcolo del rumore
Faccio l’analisi di rumore e calcolo la PSD della tensione di rumore in uscita come:
2
2
< vu 2 >=< ( vuA + vuB ) >=< vuA
> + < vuB
> +2 < vuAvuB >
2
m
m
I B = ∑ H Bk X k
I A = ∑ H Ak X k
k =1
k =1
(
m
)
Vu = ∑ Z uA H Ak + Z uB H Bk X k
k =1
Essendo xk indipendenti:
m
2
< vu2 >= ∑ Z uA H Ak + Z uB H Bk < xk2 >
k =1
175
Calcolo del rumore
Poiché risulta:
)(
(
)
A + B = A + B A + B = AA + BB + AB + A B = A + B + 2 Re { AB* }
2
*
*
*
m
*
*
*
2
2
2
< vu2 >= ∑ Z uA H Ak + Z uB H Bk < xk2 >
k =1
m
m
m
{
}
< vu2 >= ∑ Z uA H Ak < xk2 > + ∑ Z uB H Bk < xk2 > +2∑ Re Z uA H Ak Z uB H Bk < xk2 >
2
2
k =1
2
= Z uA
m
∑H
k =1
2
2
k =1
2
Ak
2
< xk2 > + Z uB
< iA2 >
m
∑H
k =1
k =1
2
Bk
*
*
m
*
*
⎧
⎫
< xk2 > +2 Re ⎨ Z uA Z uB ∑ H Ak H Bk < xk2 > ⎬
k =1
⎩
⎭
< iB2 >
C
176
88
FORMULA PER IL CALCOLO DEL RUMORE
< v >= Z
2
u
< iA2 >, < iB2 >, C
Z uA , Z uB
2
uA
<i >+ Z
2
A
2
uB
m
< i > +2 Re ∑ Z uA Z uB C
2
B
*
k =1
Parametri di rumore del transistore noti da misure
Transimpedenze mote da analisi del circuito lineare alla frequenza f
177
Formula per il calcolo del rumore
x 1 (t )
SORGENTE 1
CORRELAZIONE
x 2 (t )
SISTEMA
LINEARE
v (t )
SORGENTE 2
178
89
Modelli rumorosi dispositivi
Sono tre
rappresentazioni
equivalenti
NON RUMOROSO
[Y ]
NON RUMOROSO
ia
[Y ]
ib
B
< iA2 >, < iB2 >, C i
vb
va
A
A
va
B
< v A2 >, < vB2 >, Cv
A
NON RUMOROSO
ia
[Y ]
B
< iA2 >, < vA2 >, C vi
179
Sintetizzatori di frequenza
Il sintetizzatore di frequenza è un circuito in grado di generare dei segnali di riferimento molto
più precisi di un semplice oscillatore free running
Per comprendere il funzionamento di un sintetizzatore di frequenza e alcune delle diverse
tecniche di sintesi è necessario studiare il concetto di aggancio di fase (phase locking) : circuiti
PLL
Sintetizzatore di frequenza nel transceiver :
• Estrema accuratezza assoluta
• Canali molto vicini: variazione con passo molto piccolo e precisi
Esempio : standard di comunicazione wireless ad accesso a divisione di frequenza (FDMA) lo
spazio tra i canali può essere di soli 30KHz con portante a 900MHZ o 1.8-1.9GHz.
Il sintetizzatore deve essere in grado di variare la sua frequenza di oscillazione con una
precisione di soli 30KHz . Inoltre i limiti superiori ed inferiori del canale di comunicazione sono
definiti con estrema precisione dallo standard
Il sistema di comunicazione può tollerare per un corretto funzionamento (accettabile bit error
rate) degli errori di poche centinaia di Hertz. Facendo i conti significa che il massimo errore
tollerabile è nell’ordine di poche parti per milione (100Hz/900MHz=circa 10ppm)
180
90
Sintetizzatori di frequenza
Altre caratteristiche importanti del sintetizzatore oltre all’accuratezza ed alla capacità di
selezionare uno spacing raffinato tra i canali:
ƒ Rumore di fase
ƒ Spurie o bande laterali nello spettro generato oltre al riferimento utile
ƒ Il tempo di aggancio dell’anello ad aggancio di fase
Tutte queste caratteristiche derivano da proprietà dell’oscillatore, ma sono
influenzate dall’architettura e dalle prestazioni dei vari componenti aggiuntivi che
introduco per creare un sintetizzatore di frequenza
181
Sintetizzatori di frequenza
Spurie generate dal sintetizzatore : componenti spettrali indesiderati all’uscita del sintetizzatore
nelle vicinanze del segnale portante generato. Fastidiose in particolare per la ricezione
Sintetizzatore genera un segnale di
riferimento a pulsazione ωLO ed una
spuria a ωs
Il segnale da ricevere nell’intorno della
frequenza portante ω0 è accompagnato
dalla presenza di un interferente a
frequenza ωint
Il mixer di ricezione porta alla nascita del segnale utile a ωIF=ω0-ωLO
L’interferente viene convertito in basso dal LO (non è un problema perché rimane fuori banda IF)
L’interferente viene convertito in basso dal segnale spurio a ωs del sintetizzatore.
Se ωint-ωs=ω0-ωLO=ωIF, allora il segnale interferente viene convertito proprio all’interno
della banda del segnale utile
Per questa ragione le tipiche specifiche per un sintetizzatore sono quelle di avere un livello182
delle
spurie almeno 60dB sotto al livello della portante.
91
Sintetizzatori di frequenza
Tempo di aggancio del sintetizzatore
Quando il comando di selezione ordina al sintetizzatore un cambio di canale,
il sintetizzatore richiede un tempo finito per stabilire una nuova frequenza
Il tempo di aggancio è una misura di quanto è veloce il sintetizzatore a
selezionare una nuova frequenza
E’ un parametro molto importante specialmente per i sistemi fast frequency
hopped spread spectrum
Il tempo di aggancio tipico richiesto varia da qualche millisecondo a qualche
microsecondo
Chiaramente dipende dalle caratteristiche del VCO, ma non solo (vedremo)
183
PLL (Phase Locked Loop)
Anello ad aggancio di fase
La funzione di un circuito PLL anello ad aggancio di fase è quella di sintetizzare un segnale
con frequenza agganciata a quella di un segnale di riferimento
Tramite questo circuito è possibile realizzare oltre a precisi sintetizzatori di frequenza, anche
moltiplicatori e divisori nonché modulatori e demodulatori di frequenza
Aggancio: il segnale di uscita segue le variazioni di frequenza del segnale di ingresso
Elementi circuitali che compongono il PLL:
ƒ Rivelatore di fase
ƒ VCO
La struttura del circuito implementa
una retroazione negativa dell’uscita
del VCO sulla sua porta di controllo
ƒ Filtro passabasso detto loop filter
184
92
PLL: il VCO
Richiamando quanto visto in precedenza sugli oscillatori controllati in tensione, sappiamo che
un VCO ideale è caratterizzato da una pulsazione di uscita data da:
ω out = ω 0 + KVCOVcontr
La pulsazione di uscita è
ω min se Vcontr ≤ V min
, mentre è
ω max
se
Vcontr ≥ V max
Nei casi intermedi la relazione è lineare (VCO ideale) con pendenza dell’angolo tale che
tan α =
ω max − ω min
V max − V min
= KVCO
Il segnale di tensione in uscita al VCO può essere così espresso nel dominio del tempo:
t
y (t ) = A cos(ω 0t + ∫ KVCOVcontr (t )dt )
−∞
Nello studio del PLL in condizione di lock si considera il VCO come un sistema lineare
tempo invariante, con ingresso la tensione di controllo e in uscita l’eccesso di fase
Essendo l’eccesso di fase dato da
t
Φ out (t ) = KVCO ∫ Vcontr (t )dt
−∞
Nel dominio delle trasformate (sistema lineare tempo-invariante):
φ out ( s ) KVCO
=
Vcontr ( s )
s
Funzione di trasferimento del VCO
(integratore)
185
PLL: il VCO
φ out ( s )
Vcontr ( s )
=
KVCO
s
L’operazione di integrazione compiuta dal VCO conduce ad una interessante
proprietà:
per cambiare la fase del segnale di uscita del VCO, è necessario variare
prima la frequenza e quindi aspettare che avvenga l’integrazione
Supponiamo che per t<t0 un VCO oscilli alla
stessa frequenza di un segnale di riferimento,
ma con una differenza di fase finita
Per ridurre l’errore di fase tra i due segnali la
tensione di controllo del VCO, Vcont ,viene
variata con un gradino ∆V all’istante t=t0.
La fase del VCO non può essere
determinata solo dal valore presente della
Vcont, ma dipende dalla storia dei valori
passati di Vcont
La fase del VCO deve essere trattata
come una variabile di stato nell’analisi
della dinamica del PLL
Questo provoca un aumento della frequenza
di oscillazione del VCO permettendo al
segnale di uscita di accumulare fase più
velocemente del riferimento
All’istante t=t1 quando l’errore di fase è
diventato nullo, Vcont viene riportata al suo
valore iniziale. Ora i due segnali hanno la
stessa frequenza di oscillazione e
differenza di fase nulla
186
93
PLL: il phase detector
Un rivelatore di fase ideale produce in uscita un segnale il cui valor medio (DC) è
linearmente proporzionale allo sfasamento tra i due segnali periodici al suo ingresso:
vout = KPDΔφ
KPD
guadagno del phase detector [V/rad]
Δφ
differenza di fase dei segnali
In pratica in realtà la caratteristica potrebbe non essere lineare e nemmeno
monotona per grandi variazioni di ∆Φ
Inoltre KPD potrebbe dipendere anche dall’ampiezza e dal duty cycle degli ingressi
Caratteristica di un PD ideale
187
PLL: il phase detector
Un esempio tipico per capire il funzionamento di un PD è quello illustrato:
Il PD genera degli impulsi in uscita la cui durata è uguale alla differenza temporale
tra due consecutivi attraversamenti dello zero degli ingressi
Dalla figura si osserva che a mano a mano che aumenta la differenza di fase tra i
due segnali non isofrequenziali, aumenta anche la durata dell’impulso in uscita al PD
Integrando tale uscita tramite il LPF si ottiene un segnale di tensione continua
di valore crescente al crescere della durata degli impulsi, ovvero al crescere
della differenza di fase dei due segnali
188
94
PLL: il phase detector
Un possibile tipo di phase detector è un moltiplicatore (mixer)
x1(t ) = A1 cos(ω 1t )
x 2(t ) = A2 cos(ω 2t + Δφ )
y (t ) = α A1 cos ω1t ⋅ A2 cos(ω2t + Δφ ) =
α A1 A2
2
Ingressi
cos[(ω1 + ω 2)t + Δφ ] +
α A1 A2
2
cos[(ω 1 − ω 2)t − Δφ ]
Il filtro di loop passabasso lascia passare solo la componente a più bassa frequenza, quindi
se i segnali sono isofrequenziali, la caratteristica fase/tensione del PD è la seguente
y (t ) =
α A1 A2
2
cos Δφ
189
PLL: il phase detector
y (t ) =
α A1 A2
2
cos Δφ
Tale funzione ha pendenza variabile e non è nemmeno monotona al variare di ∆Φ. E’ però
approssimabile con una retta solo nell’intorno di Δφ π / 2 (segnali in quadratura) , risultando
y (t ) ≈
(
α A1 A2 π
− Δφ
2
2
)
KPD = −
α A1 A2
2
Il segnale errore mediato dal LPF viene usato, nel PLL per agganciare le frequenze dei due
segnali, ossia, per generare un segnale con la stessa frequenza di quello in ingresso
190
95
PLL: il phase detector
y (t ) ≈
Osservazioni sul PD a mixer
(
α A1 A2 π
− Δφ
2
2
)
L’errore che si ha in uscita non dipende solo dalla fase, ma anche dalle ampiezze A1 e A2 dei
due segnali: se ho quindi modulazione AM residua, il PD non è in grado in di capire se l'errore
dipende soltanto dalla fase oppure sia influenzato anche dalla variazione d'ampiezza.
SOLUZIONE: limitatore di ampiezza
Il segnale errore risulta nullo non quando i segnali sono in fase, ma quando i segnali sono in
quadratura (∆Φ=π/2); quindi operare nell'intorno di π/2 è più vantaggioso, poiché il coseno
cambia segno.
Ciò significa che un qualsiasi anticipo o ritardo di fase è facilmente distinguibile attraverso il
segno positivo o negativo, cosa che risulterebbe molto più difficile se si lavorasse nell'intorno
dello zero. Il segnale errore che si utilizza, allora, è quello nell'intorno di π/2
191
PLL: il phase detector
Il PD così realizzato, nel caso in cui i due segnali di ingresso abbiano frequenze
molto diverse, dà in uscita un segnale a media nulla
y (t ) = α A1 cos ω1t ⋅ A2 cos(ω2t + Δφ ) =
α A1 A2
2
cos[(ω 1 + ω 2)t + Δφ ] +
α A1 A2
2
cos[(ω 1 − ω 2)t − Δφ ]
Il filtro passabasso elimina entrambi i prodotti
Si utilizzano dei rivelatori di fase-frequenza (PFD)
PFD: un circuito sequenziale (ha quindi una parte digitale) sensibile anche
alla differenza di frequenza dei segnali al suo ingresso
E’ quindi in grado di incrementare il range di acquisizione del PLL, ovvero
aumentare la massima differenza tra la frequenza del segnale di ingresso e del
segnale generato dal VCO in condizioni iniziali per cui riesco ancora a raggiungere
un aggancio e di diminuire il tempo di lock
Per descrivere questo tipo di circuito PFD e capirne il funzionamento e l’effettiva
utilità è ormai opportuno entrare nel dettaglio della descrizione di funzionamento
del PLL ora che le principali considerazioni sul VCO e sul PD sono state fatte 192
96
PLL: concetti fondamentali di funzionamento
ƒ Il VCO genera un segnale che viene retroazionato all’ingresso del rivelatore di fase
ƒ Il PD genera un segnale errore proporzionale alla differenza di fase dei segnali di
ingresso, ovvero in questo caso del segnale di riferimento (che rappresenta l’ingresso
del PLL) e quello di uscita del VCO.
ƒ Il segnale errore del PD opportunamente filtrato dal filtro passabasso detto loop
filter (è necessario filtrarlo perché il rivelatore di fase contiene anche segnali spuri ad
alta frequenza oltre al segnale errore in banda base) va a comandare il controllo in
tensione del VCO.
ƒ Il sistema si stabilizza ovvero si aggancia quando il segnale generato dal VCO
che rappresenta l’uscita del PLL ha la stessa identica frequenza del segnale di
riferimento, e quindi l’uscita del rivelatore di fase sarà un segnale costante
(differenza di fase costante)
193
PLL: concetti fondamentali di funzionamento
In questo modo è possibile sintetizzare un segnale in uscita dal VCO con delle
proprietà di stabilità ed accuratezza fissate dalla sorgente di riferimento, che di
solito è una sorgente ad elevata stabilità ovvero un quarzo. Le prestazioni che si
ottengono sono quindi decisamente superiori a quelle dell’utilizzo del VCO senza
anello di aggancio
CONDIZIONE DI LOCK
Nella condizione locked tutti i segnali dell’anello hanno raggiunto uno stato stabile:
Il rivelatore di fase (PD) produce un segnale di uscita il cui valore DC è
proporzionale a ∆φ (differenza di fase tra x(t) ed y(t))
Il filtro passa basso sopprime i componenti ad alta frequenza all’uscita del PD,
permettendo al solo valore DC di controllare la frequenza di oscillazione del VCO.
Il VCO quindi oscilla alla frequenza uguale alla frequenza del segnale di
ingresso x(t) e con una differenza di fase ∆φ costante nel tempo
194
97
PLL: concetti fondamentali di funzionamento
E’ interessante esaminare i segnali in vari punti del PLL
I segnali di ingresso ed uscita hanno la stessa frequenza ma una differenza finita di fase ed il
PD genera degli impulsi la cui larghezza è uguale alla differenza temporale tra gli zero crossing
di x(t) e y(t)
Questi impulsi sono filtrati dal passabasso per produrre un segnale di tensione DC
che impone al VCO di operare alla frequenza richiesta.
Questa tensione imposta alla porta di controllo del VCO non determina da sola
anche la fase del segnale di uscita: la fase del VCO può essere considerata come
195
la condizione iniziale del sistema
PLL: concetti fondamentali di funzionamento
DINAMICA DEL PLL: funzionamento qualitativo
Il PLL si trova nella condizione di aggancio all’istante t<t0 quando avviene un piccolo step
positivo della frequenza del segnale di ingresso all’istante t=t0 (es. cambio di canale)
COSA SUCCEDE:
siccome la frequenza del segnale di ingresso ωIN è momentaneamente maggiore della
frequenza di uscita ωOUT, il segnale x(t) accumula fase più velocemente di quanto faccia y(t),
e il PD genera impulsi di durata sempre maggiore.
Ognuno di questi impulsi contribuisce a creare un valore crescente della tensione DC
all’uscita del LPF, aumentando quindi la frequenza di oscillazione del VCO (y(t))
196
98
PLL: concetti fondamentali di funzionamento
A mano a mano che la differenza di frequenza tra ωIN e ωOUT diminuisce, la larghezza degli
impulsi del PD diminuisce stabilizzandosi alla fine ad un valore leggermente maggiore di quello
che aveva per t<t0. Lo stesso dicasi per il valore della tensione DC all’uscita del LPF. Questa
analisi qualitativa spiega il meccanismo di tracking del PLL
E’ molto importante notare che il PLL raggiunge l’aggancio solo dopo che due
condizioni sono soddisfatte:
1) ωOUT è diventata uguale ad ωIN
2) la differenza tra le fasi ΦIN ΦOUT si è stabilizzata al valore necessario
Se infatti le due frequenze sono diventate momentaneamente uguali, ma la differenza di fase dei due
segnali non è tale da imporre il livello di tensione di controllo richiesto dal VCO, l’anello rimane in 197
uno
stato di transitorio e le frequenze ritornano ad essere temporaneamente diverse
PLL: concetti fondamentali di funzionamento
OSSERVAZIONI:
Il PLL è un sistema con memoria, ovvero l’uscita necessita di un tempo finito per rispondere
ad un cambiamento dell’ingresso: è quindi necessaria una analisi della dinamica del
sistema
In un PLL a differenza di molti altri sistemi in feedback, la variabile di interesse cambia
dimensioni lungo l’anello: viene convertita da fase a tensione dal PD, processata dal filtro
e convertita di nuovo a fase dal VCO
Nella condizione di lock le frequenza di ingresso e di uscita sono esattamente uguali,
indipendentemente dalla grandezza del guadagno di anello (anche se l’errore di fase può
essere diverso da zero).
Questo è molto importante perché come già detto molte applicazioni non ammettono anche
piccole differenze sistematiche tra le frequenza di ingresso ed uscita
Il PLL quindi opera sulla fase, ma il vero parametro di interesse è la frequenza.
Quello che è importante conoscere del comportamento del PLL è la risposta dell’anello se:
1) Viene applicata una variazione lenta della frequenza di ingresso
2) Viene applicata una variazione rapida della frequenza di ingresso
3) I segnali di ingresso ed uscita non sono isofrequenziali all’accensione del PLL
198
99
PLL: concetti fondamentali di funzionamento
Fino ad ora abbiamo visto come un PLL è in grado di agganciare in frequenza e fase un
segnale di ingresso che costituisce il riferimento.
In realtà tipicamente il riferimento è un segnale a bassa frequenza generato con un oscillatore
ad elevate caratteristiche di stabilità (quarzo)
Aggiungendo un divisore di frequenza detto anche prescaler all’architettura del PLL, il circuito
funziona come sintetizzatore di una frequenza multipla di quella del riferimento.
Il divisore non comporta alcun cambiamento rispetto al principio di funzionamento, serve solo
per determinare il fattore N per il quale bisogna moltiplicare la Fref per ottenere il valore della
frequenza sintetizzata in uscita
CONDIZIONE DI LOCK:
1) Fout=N*Fref
2) Φref-Φout si è stabilizzata al valore necessario
199
Esempio di progetto VCO
Rete per realizzare
Resistenza Negativa
Resonator
TF
TF1
T=1.00
TBCAP2
C4
C=2.55 pF
FG=1.0
DC=1
LP=20.0 um
OFP=0.0
ANG=0
Trasformatore
TBCAP2
C5
C=2 pF
FG=1.0
DC=1
LP=20.0 um
OFP=0.0
ANG=0
TBCAP2
C1
C=1.90312 pF
FG=1.0
DC=1
LP=20.0 um
OFP=0.0
ANG=0
Dispositivo Polarizzato
HB20PNLT_O_SDD_624_623
X1
TBMRES1
R8
R=5 Ohm
W=10.0 um
T=temperatura
DR=1
TBIND
L14
L=LLL nH
W=5
DL=1
DR=1
ANG1=0
H=10.0 um
TBCAP2
C6
C=CC pF
FG=1.0
DC=1
LP=20.0 um
OFP=0.0
ANG=0
R
R9
R=50 Ohm
O.M.N.
200
100
Esempio di progetto VCO
Rete di Alimentazione
WIRE
Wire3
D=20 um
L=500 um
Rho=1.0
V_DC
SRC6
Vdc=4.437 V
C
C11
C=1000.0 pF
WIRE
Wire4
D=20 um
L=500 um
Rho=1.0
TBPAD
P4
S=10000.0
P=400.0
C
C8
C=100.0 pF
WIRE
Wire1
D=20 um
L=500 um
TBPAD
P5
TBMRES1
R16
R=50 Ohm
W=10.0 um
T=temperatura
DR=1
TBVIA
V6
TBCAP2
C9
C=10 pF
FG=1.2
DC=1
LP=20.0 um
OFP=0.0
ANG=0
RF -Choke
C
C6
C=100.0 pF
C
C10
C=1000.0 pF
V_DC
SRC4
Vdc=7.5 V
WIRE
Wire2
D=20 um
L=500 um
TBVIA
TBCAP2
V2
C1
C=10 pF
FG=1.0
DC=1
LP=20.0 um
OFP=0.0
ANG=0
TBIND
L12
L=10 nH
W=5
DL=1
DR=1
ANG1=0
H=10.0 um
OUT
HB20PNLT_O_SDD_624_623 TBCAP2
C7
X1
C=5 pF
FG=1.0
DC=1
LP=20.0 um
TBIND
TBCAP2
OFP=0.0
L10
ANG=0
C2
L=10.0 nH C=10 pF
W=5
FG=1.0
DL=1
DC=1
DR=1
LP=20.0 um
ANG1=0
OFP=0.0
H=10.0 um ANG=0
TBIND
L13
L=10.0 nH
W=5
DL=1
DR=1
ANG1=0
H=10.0 um
IN
TBVIA
V1
TBHMRES1
R17
R=87 Ohm
W=125 um
T=temperatura
DR=1
TBVIA
V3
Capacità di
disaccoppiamento
201
Esempio di progetto VCO
V+
V+
μStrip Resonator
μStrip Resonator
HBT
HBT
C1
C2
V+
HBT
202
101
Esempio di progetto VCO
Active Device
uStripResonator
Vtune
Tuning Varactors
uStrip Resonator
Varactors
Zo
Zhbt
203
Esempio di progetto VCO
204
102
Esempio di progetto VCO
205
Esempio di progetto VCO
206
103
Esempio di progetto VCO
207
Esempio di progetto VCO
208
104
Dinamica di anello nello stato di LOCK
La risposta al transitorio di un PLL è in generale un fenomeno non lineare
Il sistema non lineare può però essere approssimato ad un modello linearizzato
Condizione di Lock: situazione in cui la tensione di controllo del VCO è costante
Lo schema a blocchi del modello linearizzato
Funzione di trasferimento di anello:
φ out ( s)
φin ( s)
H 0 ( s ) = K PD GLPF ( s )
Funzione di trasferimento ad anello aperto:
H (s) =
KVCO
s
K PD KVCOGLPF ( s )
φ out ( s)
=
φin ( s) s + K PD KVCO GLPF ( s)
209
Dinamica di anello nello stato di LOCK
GLPF ( s ) =
1
1+
Funzione di trasferimento filtro RC
s
ωLPF
ωLPF=1/RC
Filtro passabasso RC
La funzione di trasferimento ad anello chiuso diventa:
K PD KVCO
φ out ( s )
= 2
s
φin ( s)
+ s + K PD KVCO
ωLPF
E’ un sistema del secondo ordine con un polo del VCO ed uno del LPF
H (s) =
K PD KVCOGLPF ( s )
φ out ( s)
=
φin ( s) s + K PD KVCO GLPF ( s)
H ( s) =
K = K PD KVCO “guadagno di anello” [rad/sec]
La funzione di trasferimento ad anello chiuso si può scrivere come:
H ( s) =
φ out ( s)
ωn
= 2
φin ( s ) s + 2ξω ns + ω n
ω n = K ωLPF
2
2
ξ=
1
ωLPF / K
2
Frequenza naturale del sistema
Fattore di smorzamento
210
105
Dinamica di anello nello stato di LOCK
ω n = K ωLPF
ξ=
1
ωLPF / K
2
non ha relazione con la frequenza di ingresso ed uscita del PLL,
rappresenta in pratica il prodotto guadagno*banda a 3dB dell’anello
Il fattore di smorzamento è inversamente proporzionale al guadagno di
anello, e questo è un trade off non sempre tollerabile
Quindi in un PLL con questa architettura K e ξ non possono essere progettati separatamente
Per esempio se vogliamo ξ = 2 2 allora deve essere K= ωLPF 2
H ( s) =
φ out ( s)
ωn
= 2
φin ( s ) s + 2ξω ns + ω n
2
2
NON E’ possibile massimizzare la banda e il
fattore di smorzamento contemporaneamente
H(s) è la f.d.t. di un filtro passabasso, quindi se la fase in eccesso di ingresso varia lentamente,
allora la fase in eccesso del segnale di uscita la segue, mentre se la variazione della fase di
ingresso è rapida, la variazione della fase del segnale di uscita sarà piccola
Infatti se s→0 allora H(s) →1, ovvero una variazione di fase statica all’ingresso è trasferita
all’uscita immutata. Infatti per la fase la presenza dell’integrazione del VCO rende il
guadagno ad anello aperto infinito per s→0
H e (s) =
φe ( s )
s 2 + 2ξω s
= 1 − H ( s) = 2
→0
φin ( s )
s + 2ξω ns + ω n s →0
2
211
f.d.t. dell’errore di fase
PLL: risposta ad un gradino di frequenza
Dato che la fase e la frequenza hanno una relazione lineare e tempo invariante la f.d.t
ricavata per la fase si può utilizzare anche per le frequenze di ingresso/uscita.
pulsazione di ingresso
Δωu (t )
u(t) gradino unitario
La frequenza di uscita esibisce l’andamento
tipico della risposta al gradino di un sistema
del secondo ordine, stabilizzandosi alla fine
ad un valore maggiore di Δω rispetto al
valore iniziale
Fase di uscita (1/s per passare da frequenza a fase, 1/s per il gradino)
φ out ( s) = H ( s )φin ( s) =
ωn
Δω
s + 2ξω ns + ω n s 2
2
2
2
l’errore di fase è
s 2 + 2ξωn s Δω
φe ( s ) = H e ( s )φin ( s ) 2
s + 2ξωn s + ω n 2 s 2
corrisponde alla risposta di un sistema del
secondo ordine ad una rampa
per il teorema del valore finale:
φe (t = ∞) = lim sφe ( s ) = Δω
s →0
2ξ Δω
=
K
ωn
Quindi una variazione statica della frequenza di ingresso viene soppressa di un 212
fattore K quando si manifesta nell’errore di fase
106
PLL: considerazioni
φe (t = ∞) = lim sφe ( s ) = Δω
s →0
2ξ Δω
=
K
ωn
Errore sistematico di fase
Osservazione: una variazione di frequenza anche statica porta ad un errore sistematico sulla
fase. Questo sistematico errore di fase in ingresso al PFD genera delle spurie o errori di
frequenza sul segnale di uscita. Soluzione: aggiungere un polo nell’origine con PFD di tipo
charge pump.
Considerazione importante:
2 aspetti che sono fondamentali nelle prestazioni di un PLL:
“Tracking behavior” : capacità di rimanere agganciato al segnale a mano a mano che le
variazioni di frequenza diventano sempre maggiori
“Caratteristica di acquisizione” : come l’anello passa dallo stato non agganciato allo stato
completamente agganciato
Per garantire al circuito un range di frequenze di tracking e di acquisizione sufficientemente
ampio, la maggior parte dei PLL sono dotati di un comparatore di frequenza oltre che di un
PD.
PFD: se la frequenza di ingresso e quella del VCO sono lontane, un meccanismo di controllo
della frequenza governa l’anello, spingendo il VCO verso una frequenza vicina alla frequenza
di ingresso. Quando la differenza di frequenza ha raggiunto un valore sufficientemente basso,
213
subentra il PD che controllando la differenza di fase permette l’aggancio finale
Charge pump PLL
PFD: Phase Frequency Detector
Un circuito in grado di rilevare le differenze sia di frequenza che di fase è in grado di
aumentare molto il range di acquisizione e di tracking e la velocità di aggancio di un PLL
Circuito logico
sequenziale
sincrono
Funzionamento PFD: a) ωA>ωB . b) ωA=ωB
Il funzionamento classico è il seguente: se la frequenza dell’input A è maggiore di quella dell’input
B, allora il PFD produce impulsi positivi alla porta QA, mentre QB rimane a zero.
Se ωA=ωB il circuito genera impulsi ad una delle due porte di uscita con lunghezza uguale alla
differenza di fase tra i due ingressi, ovvero funziona da PD.
QA e QB non sono mai alti insieme
214
Il valore medio di QA-QB è proporzionale alla differenza di frequenza o fase tra i due ingressi
107
Charge pump PLL: PFD
Si tratta quindi di sintetizzare una rete sequenziale sincrona.
Una possibile implementazione del PFD è quella della figura a seguito:
Il circuito consiste in due flip-flop D edge-triggered, con il loro ingresso D fissato a 1
I segnali A e B agiscono come clock per i flip-flop
L’uscita del PFD può essere convertita in un segnale DC proporzionale alla differenza delle
uscite in diversi modi. Un modo possibile è quello di fare il sensing della differenza dei due
output tramite un differenziale e poi passare attraverso un filtro passabasso
Alternativamente una delle soluzioni più adottate è quella di pilotare un circuito a pompa di
215
carica con le due uscite del PFD
Charge pump
La pompa consiste in due sorgenti di corrente
selezionabili con due interruttori che vanno a
pilotare una capacità come illustrato in figura
Per un impulso di durata T su QA, I1 deposita
sulla capacità una carica uguale a IT. Caricando
quindi CP si ottiene una tensione Vout=IT/Cp.
Quindi per ωA>ωB o ωA=ωB, la carica positiva
continua ad accumularsi su Cp in modo costante
portando quindi ad un guadagno statico infinito
per il PFD (Per T→∞ Vout tende ad infinito e
quindi il guadagno diventa infinito)
Se gli impulsi sono su QB, I2 rimuove la carica da
Cp ad ogni fase di confronto di fase e quindi
spinge Vout a -∞.
Nel terzo stato QA=QB=0, Vout rimane costante
non essendoci percorsi di scarica
Quindi avendo un guadagno statico infinito, il PLL che utilizza la combinazione PFD e pompa di
carica si aggancia in uno stato in cui la differenza di fase tra A e B e zero
Infatti anche un errore infinitesimo sullo fase porterebbe ad un accumulo di carica infinita su Cp
Differenze con normale PD e LPF : quindi non c’è la scarica della Cp
216
108
Charge pump PLL
I PLL charge pump CPPLL si realizzano quindi come illustrato in figura con la
combinazione del PFD e charge pump al posto di un PD con filtro passabasso
I vantaggi più importanti sono:
1) Il range di frequenze agganciabili è limitato solo dalla frequenza di uscita del VCO
2) l’errore statico di fase è nullo
Il fatto che il CP fornisca un guadagno statico infinito si può descrivere da un altro punto di
vista dicendo che la risposta del CP ad un gradino è una rampa lineare, ovvero la sua funzione
di trasferimento ha un polo nello zero (KPFD/s).
Un secondo polo nello zero è fornito dal VCO, quindi il CPPLL ha due poli nell’origine. 217
Un sistema dinamico del secondo ordine con due poli nell’origine non può essere stabile
Charge pump PLL
Rappresentando la funzione di trasferimento del PFD/CP con KPFD/s otteniamo una funzione
di trasferimento ad anello chiuso del PLL data da
K PFD KVCO
K PFD KVCO
φ out ( s )
s
s
H (s) =
=
=
φin ( s ) 1 + K PFD KVCO s 2 + K PFD KVCO
s
Funzione con due
poli immaginari per
ω = ± j K PFD KVCO
s
Per eliminare l’instabilità occorre aggiungere uno zero alla funzione di trasferimento ad anello
aperto. Lo zero che ci serve per stabilizzare l’anello può essere realizzato ponendo una
resistenza in serie alla capacità della pompa di carica
Problema: il funzionamento switching del charge pump (e la
mancanza del ciclo di scarica del condensatore) fanno del
CPPLL un sistema a tempo discreto. Come facciamo ad
applicare una analisi small signal tempo continua?
Soluzione: se la banda di anello è molto minore della frequenza
di ingresso, si può assumere che lo stato del PLL cambia poco
durante ogni ciclo dell’ingresso
Prendendo quindi il valore medio dei parametri tempo discreti,
possiamo studiare l’anello come un sistema tempo continuo
218
109
Charge pump PLL
Se il loop viene attivato con un errore di fase:
φin − φout = φe
La corrente media che carica la capacità è data da:
E la tensione media sulla capacità è data da:
Vcont ( s ) =
Iφe ⎛
1 ⎞
⎜⎜ R +
⎟
2π ⎝
C p s ⎟⎠
siccome:
Iφe
2π
φout ( s ) =
φe ⎞
⎛
⎜T =
⎟
2π ⎠
⎝
Vcont ( s ) KVCO
s
⎛
s ⎞
ωn2 ⎜1 + ⎟
φ out ( s)
⎝ ωz ⎠
H (s) =
=
φin ( s) s 2 + 2ξωn s + ωn2
La funzione di trasferimento ad anello chiuso diventa:
I
ω z = − 1 ( RC p )
( RC p s + 1) KVCO
2π C p
φ out ( s )
H ( s) =
=
φin ( s ) s 2 + I K R + I K
VCO s
VCO
2π
2π C p
ωn =
I
KVCO
2π C p
ξ=
R
2
IC p
2π
KVCO
La frequenza naturale è indipendente da R
A differenza dei PLL con PD sinusoidale dove non è possibile massimizzare
contemporaneamente la banda dell’anello (proporzionale a ωn) e ξ, si osserva che in un
CPPLL è possibile massimizzarli entrambi aumentando I o KVCO
E’ quindi interessante poter aumentare sempre di più la banda del sistema senza
219
per questo peggiorare il fattore di smorzamento
Charge pump PLL
Osservazione: l’aumento della banda di anello porta a dei vantaggi in termini di
tracking e come vedremo di rumore di fase.
MA: continuando ad aumentare molto la banda del PLL ad un certo punto vado
incontro alla instabilità.
L’analisi fatta fino ad ora con l’ipotesi di sistema tempo continuo, cade quando la
frequenza naturale del sistema (banda d’anello) si avvicina a quella del segnale di
ingresso di riferimento.
Un’analisi più complessa (Gardner) dimostra che c’è un limite della banda di anello
legato all’instabilità. Tale limite è dato da:
ω2 <
n
ωin2
π ( RC pωin + π )
C’è un limite superiore alla banda di anello per problemi di stabilità.
Un tipico valore della banda di anello per garantire stabilità è:
ω≈
1
ωin
10
220
110
Charge pump PLL
Filtro CpR: la resistenza R introdotta per aggiungere uno zero e stabilizzare così
l’anello provoca un effetto indesiderato
R introduce un ripple nella tensione di controllo del VCO anche in condizioni di
aggancio: poiché S1 e S2 vengono chiusi ad ogni ciclo di comparazione di fase, il mismatch
tra I1 e I2 scorre attraverso R causando dei gradini sulla tensione di uscita
Questo provoca una modulazione residua della frequenza del VCO che è estremamente
sgradita nei sintetizzatori di frequenza (spurie)
Per eliminare il ripple si aggiunge una capacità in parallelo. Questa modifica introduce
un terzo polo nel PLL, e questo richiede un ulteriore studio della stabilità dell’anello.
221
PLL di ordine I e II
L’analisi proposta fino ad ora rivela che la combinazione del PD e del loop filter
gioca un ruolo importante nella dinamica del sistema
PLL di tipo I: PLL con PD+filtro RC
PLL di tipo II: PLL PFD e charge pump
Differenza: la funzione di trasferimento di anello del PLL di tipo I ha 1 polo
nell’origine, quella del PLL di tipo II ha due poli nell’origine
LE CARATTERISTICHE DI STABILITA’ DEI DUE TIPI DI PLL SONO DIVERSE
Dallo studio dei poli/zeri del guadagno di anello si ottiene:
K = K PD KVCO
PLL I: aumentando K il sistema diventa meno stabile
PLL II: aumentando K il sistema diventa più stabile
I PLL di tipo II sono in genere i più utilizzati, perché aumentando K diminuisce
l’errore sistematico di fase e questo fa diminuire le spurie del sintetizzatore
222
111
Rumore di Fase nel PLL
Vogliamo analizzare come il PLL opera sulla caratteristica di rumore di fase dei
segnali dell’anello
I circuiti dell’anello che introducono rumore di fase sono:
ƒ VCO
ƒ LO
ƒ Divisore di frequenza
ƒ PFD
I livelli di rumore di fase introdotti dal divisore di frequenza e dal PFD sono
tipicamente trascurabili rispetto a quelli imputabili all’oscillatore locale e al VCO
Analizziamo quindi come lo spettro di rumore di fase del LO e del VCO vengono
trattati dalla caratteristica dell’anello e si trasferiscono quindi nel rumore di fase del
segnale di uscita del PLL
Si tratta quindi di calcolare la funzione di trasferimento lineare tre il rumore di
fase dall’LO e dal VCO e il phase noise del segnale sintetizzato dal PLL
IL VCO è la sorgente di rumore di fase principale dell’anello
223
Rumore di fase del LO
x (t ) = A sin[ω c t + φin (t )]
input
y (t ) = B sin[ω c t + φout (t )]
output
La f.d.t. φ out ( s ) φin ( s ) di un PLL del secondo ordine è:
ω n (1 + s / ω z )
φ out ( s )
= 2
φin ( s ) s + 2ξω ns + ω n
2
H ( s) =
2
ω z = − 1 ( RC p )
Lo spettro del rumore di fase dell’oscillatore locale viene trasformato nell’anello del PLL con una
f.d.t. passabasso
In altre parole: per variazioni lente della fase, la fase dell’uscita segue quella di ingresso.
Per variazioni veloci della fase il PLL fallisce nel tentativo di agganciare l’ingresso
I componenti di rumore di fase ad alta frequenza (ovvero lontano dalla portante) vengono
attenuati, mentre quelli vicino alla portante non subiscono attenuazione
Maggiore è la banda del PLL, maggiore è la banda di rumore di fase che passa
inattenuata dal LO al segnale di uscita
224
112
Rumore di fase del VCO
Il phase noise del VCO viene modellato come un componente additivo
di eccesso di fase come illustrato in figura.
HP:
φin e φVCO scorrelate
φ out ( s )
S
= 2
φVCO ( s ) s + 2ξω ns + ω n
φVCO
φin = 0 Per calcolare la f.d.t:
VERA
2
2
(La sovrapposizione degli effetti è valida per
sorgenti di potenza scorrelate)
Calcolata quindi con un segnale di ingresso strettamente periodico, ovvero sinusoide
ideale per cui φin = 0
F:D:T: 2 poli e 2 zeri nell’origine
Filtro passa-alto
225
Rumore di fase del VCO
Il phase noise proveniente dal VCO vede quindi una f.d.t. passa-alto con 2 zeri
nell’origine
Per variazioni lente di φVCO , φout è piccola
Questo perché le variazioni della fase del VCO (rumore di fase) vengono convertite
in tensione dal PD e applicate all’ingresso di controllo del VCO in modo da
accumulare fase nella direzione opposta
Poiché sia il charge pump che il VCO hanno guadagno quasi infinito per segnali che
variano lentamente, il feedback negativo sopprime le variazioni della fase di uscita.
OVVERO: il rumore di fase proveniente dal VCO viene attenuato molto vicino
alla portante, ovvero dove è importante
Il livello di attenuazione del PN diminuisce allontanandosi dalla portante e dipende
dalla larghezza di banda del loop (PLL) e dal guadagno di anello
Per questo voglio avere la banda e il guadagno di anello più grandi possibile
compatibilmente ai vincoli di stabilità e tecnologici
Spesso purtroppo non sono in grado di abbassare il PN del VCO nella mia
zona di interesse (10-100KHz dalla portante)
226
113
Architetture di sintetizzatori
Un sintetizzatore genera una frequenza di uscita data da:
f out = f 0 + kf ch
K varia da zero al massimo numero di canali
fch è il passo di frequenza ( o spazio tra i canali)
Esempio: banda di ricezione dello standard IS-54
f ch = 30 KHz
f 0 = 869 MHz
k = 0....833
In una unità mobile, K viene selezionato da un segnale digitale quando la base
227
station ha assegnato un certo canale per la ricezione/trasmissione
Architettura N-intera
Lo schema di PLL con moltiplicazione di frequenza in figura è il punto iniziale per la
sintesi del frequency synthesizer
f out = f 0 + kf ch
Utilizzo un divisore di frequenza a modulo variabile
f out = Mf ref
M varia con step unitari da ML a MH
f out = Mf ref = f 0 + kf ch
Secondo canale k=1
Primo canale k=0
( M L + 1) f ref = f 0 + f ch
M L f ref = f 0
f ref = f ch
228
114
Architettura N-intera
f out = f 0 + kf ch
f ref = f ch
OSSERVAZIONI: il divisore di frequenza a modulo variabile deve avere un modulo:
M = ML + K con k = 0,1,..... N
La frequenza di riferimento deve essere uguale al channel spacing
229
Divisore di frequenza multi-modulo
Obiettivo: divisore di frequenza a modulo variabile
M = ML + K con k = 0,1,..... N
Esempio: “pulse-swallow divider”
Tre elementi: prescaler, program counter e swallow counter
Prescaler: divide l’ingresso per N+1 o N a seconda dello stato della linea modulus control
Program counter: divide sempre l’uscita del prescaler per P
Swallow counter: divide l’uscita del prescaler per S, dove S è determinato dall’ingresso
digitale di channel selection. S=1,2…..numero massimo di canali. Ha anche un ingresso
di reset.
230
115
pulse-swallow divider
Funzionamento:
f out = f in
( NP + S )
Il circuito parte dallo stato di reset:
Il prescaler divide per N+1
L’output del prescaler viene diviso da PC
e SC
SC si riempie per primo dopo S impulsi
A questo punto sono passati (N+1)S cicli dell’ingresso: SC cambia lo stato della modulus line
Il prescaler divide fin per N
A questo punto il PC ha contato S impulsi
Dopo il cambiamento di modulo il prescaler e il PC continuano a dividere fino a quando PC
non è pieno. Per riempirsi il PC deve contare P-S cicli al suo ingresso quindi (P-S)N cicli
dell’ingresso principale per arrivare all’overflow
Quindi l’uscita genera un impulso (che resetta anche lo SC e tutto ricomincia) ogni:
( N + 1) S + ( P − S ) N = PN + S
cicli dell’ingresso
f out = f in
( NP + S ) =
f in M
M = M L + k = PN + S
231
Architettura N-intera
E’ una architettura molto semplice e quindi è stata utilizzata per molti anni
Di solito 2 chip:
Chip 1 : VCO + dual modulus prescaler in Si bipolar o GaAs MESFET
Chip 2 : PC,SC, PFD e charge pump in CMOS (Si)
Problemi principali dell’architettura:
1. Spurie del riferimento
2. Banda di Loop
3. Phase noise
Spurie del riferimento
Da una analisi del funzionamento si dimostra che il loop genera delle spurie a frequenza
ωout ± ω ref
La cui ampiezza è inversamente proporzionale a ωref
Sono molto fastidiose perché molto vicine o dentro alla banda di interesse
Tecniche di filtraggio non del tutto efficaci
232
116
Architettura N-intera
Banda di loop
L’architettura N-intera richiede che la frequenza del riferimento sia uguale allo spacing tra i canali
Per esempio 30kHz per IS-54 e 200kHz per GSM
Considerazioni sulla stabilità limitano la banda per un PLL di tipo II a f ref /10
f ref = 30 KHz
f loop ≈ 3KHz
Settling time nell’ordine di 1ms
Il transceiver non opera esattamente alla
frequenza desiderata ne in up-conversion ne in
down-conversion fino a che la frequenza dell’LO
non è stabilizzata
Effetti:
Settling della Vcont
Skew del canale ricevuto
Leakage del canale trasmesso
Effetti dannosi di un settling time troppo lungo
233
Architettura N-intera
Da una analisi del sistema si vede che ogni volta che cambio il modulo del divisore il
loop si comporta come a fronte di un gradino della frequenza di ingresso,
richiedendo un tempo finito (settling time) a settarsi nel nuovo canale
Caso peggiore: quando vado dal primo canale all’ultimo (e vice versa)
ts =
1
ζω n
ln
k
M α 1−ζ 2
Esempio
f ref = 200 KHz
Mf ref = 900 MHz
ζ = 2 2
k = 128
Per avere una accuratezza di settling α di 10ppm, risulta:
ts = 8.3 ζω n
E’ evidente come è importante massimizzare fattore di smorzamento e banda di loop
234
117
Architettura N-intera
Rumore di fase
Un altro problema derivante dalla limitata banda di anello è il phase noise del
segnale di uscita
Il phase noise è attenuato dal loop di feedback solo all’interno della banda di
anello
Esempio: GSM synthesizer loop bandwidth : 20KHz
Il rumore di fase a 10-100KHz è attenuato molto poco o per niente
235
Architettura N-frazionale
Nell’architettura N-intera la banda di loop è limitata dal fatto che la frequenza di
riferimento è uguale al channel spacing
Questo è conseguenza del fatto che la frequenza di uscita del loop cambia solo
con multipli interi di quella di riferimento
Nei sintetizzatori N-frazionali la frequenza di uscita può variare di una frazione della
frequenza di ingresso, ammettendo in questo modo una frequenza di
riferimento maggiore del channel spacing
Prima di vedere l’architettura facciamo una osservazione
Rimuovendo un impulso ogni Tp secondi da un segnale periodico con frequenza f1, la forma
d’onda risultante presenta f1*Tp-1 impulsi ogni Tp secondi, ovvero ha una frequenza media:
f = f1 − 1 Tp
Questo metodo di rimozione dell’impulso può essere utilizzato per variare la frequenza
236
media di un segnale con step molto piccoli
118
Architettura N-frazionale
Il segnale di uscita non è in realtà strettamente periodico, quindi parlo di frequenza media.
Posso vederlo come il risultato del prodotto di x(t) con una forma d’onda rettangolare con
periodo Tp. Ovvero è un segnale con bande laterali a f1 ± k Tp
Architettura del sintetizzatore frazionale con pulse
remover
In condizioni di lock deve essere:
f PR = fout − 1 Tp = f ref
Allora:
fout = f ref + 1 Tp
f p = 1 Tp
Può essere ricavata da fref per semplice
divisione
237
Architettura N-frazionale
I primi sintetizzatori frazionali erano basati sul concetto di rimozione dell’impulso, oggi le
architetture moderne funzionano in modo diverso
Si utilizzano i “prescaler dual modulus” invece dei “pulse remover”
Funzionamento: se il prescaler divide per N
per A impulsi del VCO e poi divide per N+1
per B impulsi del VCO, allora il fattore di
divisione equivalente è:
k=
A+ B
A
B
+
N N +1
K può variare tra N e N+1 con step molto piccoli
con la scelta opportuna di A e B.
Il modulo risultante k è di solito scritto N.f
A=9
B =1
N parte intera del modulo
N = 10
f ref = 1MHz
Il numero tot. di impulsi di uscita è
9x10+11=101 ogni 10 impulsi dell’ingresso
F parte frazionale del modulo
Il prescaler divide per 10 per nove cicli del
segnale di riferimento, al decimo divide per 11
f ref = 1MHz
f out = 10.1MHz
238
119
Architettura N-frazionale
Considerazione
Phase noise: con riferimento nell’ordine di decine di MHz, la banda di anello di un
frazionale può essere larga qualche MHz
Vantaggi: fast lock transinent e soppressione del phase noise vicino alla portante
Problema: Spurie frazionali
Nei sintetizzatori frazionali si generano delle spurie a frequenze:
α f ref , 2α f ref ......
Rispetto alla portante fout
dove
fout = ( N + α ) f ref
Esistono diverse tecniche per minimizzare le spurie frazionali
239
Esempio prodotto commerciale
240
120
XO
VCO
241
242
121
Architetture dual loop
La relazione tra fin e channel spacing di un sintetizzatore a PLL N-intero può essere variata
utilizzando una architettura a doppio anello
Un approccio semplice per generare piccoli step in frequenza è quello sommare una
frequenza piccola variabile ad una frequenza elevata fissa
Il PLL1 sintetizza la frequenza portante fc,
agganciandosi a fref1, mentre il PLL2 sintetizza
incrementi di larghezza fref2
Variando M (rapporto di divisione del PLL2)
vario la raffinatezza del passo
fref1 sarà nell’ordine delle decine di MHertz
fref2 nell’ordine dei kHertz
La somma delle due frequenza avviene tramite un mixer SSB
Vantaggi rispetto ad una architettura N-intera a singolo loop:
-Il Phase Noise del VCO1 è soppresso dalla larga banda del PLL1 (fref1 è maggiore del
channel spacing)
- Il phase noise del VCO2 è minore perché opera a bassa frequenza
A parità di potenza dissipata e offset dalla portante SSBPNVCO 2 = ⎡⎢⎣( Mf ref 2 )
2
fc 2 ⎤⎥ SSBPNVCO1 243
⎦
Architetture dual loop
Implementazione:
I VCO devono avere uscite
in quadratura
SSB mixer
fout = Nf REF 1 + Mf REF 2
Svantaggi:
- Necessità di un mixer SSB:
Il mixer SSB richiede la generazione di segnali in quadratura di fase per PLL1 e PLL2
Uno dei segnali di ingresso al mixer deve avere bassa distorsione armonica
I mismatches e le nonlinearità permettono difficilmente di sopprimere la banda laterale di 60dBc
- La frequenza del VCO2 deve variare molto: M è uguale al numero dei canali
Il VCO deve avere quindi un ampio tuning range
- Quando cambio canale cambio il rapporto di divisione (M)
244
Variando M varia il loop gain e quindi il fattore di smorzamento del PPL2
122
Architetture dual loop
Altro approccio:
il SSB mixer è posto nell’anello di
retroazione del PPL1
SSB mixer output:
fout − f 2
fout − f 2
= f REF 1
M
fout = Mf REF 1 + f 2
f 2 = Nf REF 2
Vantaggio di questo approccio:
Se la banda laterale non desiderata in uscita dal mixer una volta passata la
divisione per M ha un offset dalla banda utile maggiore della banda del filtro di loop,
allora viene soppressa
245
Divisori di frequenza
Nello studio dei sintetizzatori è emersa l’importanza dei divisori di frequenza, o prescaler
Caratteristiche fondamentali: modulo di divisione, modulo fisso o variabile, dissipazione di
potenza, velocità o banda o frequenza di taglio, rumore di fase
Esistono divisori di frequenza digitali, che sfruttano latch digitali (contatori) e divisori di
frequenza analogici
I divisori analogici verranno descritti più avanti con i moltiplicatori
Divide-by-Two Circuits :DTCs
I circuiti divisori per due vengono molto utilizzati per produrre segnali in quadratura
Sono più veloci di tutti gli altri prescaler con modulo superiore, quindi spesso seguono il VCO
nell’anello PLL per abbassare la frequenza di uscita ad un range applicabile ad un successivo
divisore programmabile con passo raffinato
Spessi il DTCs è integrato con il VCO
La situazione di figura se la frequenza di
uscita del VCO è comparabile con la
frequenza di taglio della tecnologia del
divisore programmabile a modulo M
246
Problema: fref deve essere dimezzata per ottenere gli stessi step in frequenza del loop senza DTC
123
Divide-By-Two Circuits: DTC
Realizzazione: due latch (1 flip flop master slave) in feedback loop (negativo)
X ed Y commutano ogni due cicli di clock: è il funzionamento del flip-flop MS, dove il primo flip
flop è triggerato sul fronte di salita del clock mentre il secondo su quello di discesa
Se CK e not CK sono perfettamente complementari (o Vin ha un duty del 50%) allora X e Y
(Vout1 e Vout2) sono due segnali in quadratura (sfasati di 90°)
Se CK e not CK non sono perfettamente complementari, allora ho uno sbilanciamento di
fase (5° tipicamente)
Anche la non perfetta uguaglianza dei latch provoca gli stessi sbilanciamenti di fase
Progettazione: accurato dimensionamento dei transistor per ottenere un giusto trade-off
tra potenza dissipata, area e velocità
Realizzazione: tecnologie bipolari o CMOS
247
Divide-By-Two Circuits: DTC
Tecnica alternativa (analogica) per la divisione per due: Divisore di Miller
Utilizza un mixer e un filtro passabasso in retroazione
Funzionamento:
Il mixer genera componenti:
f in + f out e f in − f out
LPF sopprime la componente somma e quindi risulta:
f in − f out = f out ovvero f out =
f in
2
Vantaggi: semplice e funziona fino a fT/2
Svantaggi: soffre di elevato rumore di fase
248
124
Sintetizzatori dual-modulus
Sono dei divisori digitali programmabili a due diversi moduli di divisione tramite input
di controllo
Esempio: divisore per 2/3
Si utilizzano due D-flip flop MS ed un AND per
creare solo 3 stati
Q1 Q2 = 01,10,11
Q1Q2 = 00
Può accadere solo allo start up
Divisore per 3
Trasformo il divisore per 3 in un divisore per
2/3 aggiungendo un OR
MC=1 divido per 2
MC=0 divido per 3
Divisore per 2/3
Osservazione: Un divisore per 3 è più lento di un divisore per due, perché aumenta il
numero di un gate
249
Sintetizzatori dual-modulus
Divisore dual modulus per 15/16
Divisori dual modulus di vari moduli si realizzano con la combinazione di divisori
dual modulus di modulo inferiore
Esempio in figura: divisore per 15/16 realizzato con un divisore per 3/4 ed una serie
di latch aggiuntivi
Aumentando la complessità del circuito digitale, diminuisce la velocità perché
aumentano i ritardi di commutazione di ogni latch
250
125
Riassunto sintetizzatori di frequenza
Necessità di generare portanti a diverse frequenze, affinché un trasmettitore possa farne uso
Caratteristiche: - la frequenza sintetizzata deve essere precisa, fissa e costante
- accordabilità con passo raffinato
Sintesi di frequenza diretta
A partire da un oscillatore ad elevata stabilità al quarzo tramite moltiplicatori e
divisori ottengo varie portanti a frequenza armoniche e subarmoniche
Non posso generare qualsiasi frequenza
Tanti circuiti diversi per ogni frequenza generata
Non posso realizzare una canalizzazione raffinata
Phase Noise!!!
Si utilizza di solito per portare il quarzo ad una frequenza di riferimento più
elevata e poi entrare in un PLL
251
Riassunto sintetizzatori di frequenza
Sintesi di frequenza indiretta
Sintetizzo la frequenza tramite PLL
Schema di principio sintetizzatore di frequenza a PLL
fi = f0
f LO fVC 0
=
M
N
fVCO =
N
f LO
M
Sintetizzo tutti i canali che servono al ricevitore con un unico circuito
Architetture frazionali: passo raffinato
Vantaggi dell’aggancio di fase/frequenza
252
126
Riassunto sintetizzatori di frequenza
Sintesi di frequenza digitale (invece di utilizzare il phase locking)
DDS : Direct Digital Synthesis
Idea di base: il segnale viene generato nel dominio digitale e si utilizza una
conversione D/A e una funzione di filtraggio per ricostruire la forma d’onda nel
dominio analogico
Esempio: un contatore conta da O
a N con step unitari e genera una
forma d’onda a rampa digitale
Si dimostra che in questo modo :
f out = f clock
Ogni valore generato dal
contatore viene utilizzato per
selezionare un valore da una
ROM che corrisponde ad un
sample (campione) di una
sinusoide
Un DAC converte la sinusoide
campionata in un segnale
analogico e un LPF filtra i
componenti ad alta frequenza
ricostruendo una sinusoide pura
253
DDS : Direct Digital Synthesis
Per aumentare la frequenza sintetizzata
occorre cambiare a P il passo del
contatore da M bit
Si dimostra che:
f out = P
f clock
2M
Il rapporto è un
numero razionale
Svantaggi:
L’errore di quantizzazione dipende dalla capacità della ROM
L’errore di quantizzazione si traduce in spurie all’uscita
La ROM necessaria ad applicazioni RF diventa rapidamente troppo grande e
consuma troppa potenza
Per rispettare il teorema del campionamento di Nyquist, la frequenza di clock
deve essere almeno il doppio di quella sintetizzata
Questi sono i motivi per cui questa sintesi che presenta molti vantaggi non si
utilizza nel campo delle RF e delle Microonde
254
127
DDS : Direct Digital Synthesis
Vantaggi:
Non dovendo utilizzare VCO analogici, si ottiene basso rumore di fase, idealmente
uguale al riferimento
DDS fornisce degli step in frequenza molto raffinati
Lo switching tra i canali è molto veloce
MA come visto ad RF non si riesce ad utilizzare quasi mai
255
PLL come demodulatore di frequenza
Il PLL viene utilizzato anche come demodulatore di frequenza
f in = fVCO = k f v f
vf =
f in
kf
La tensione di controllo del VCO è proporzionale alla frequenza di ingresso
E’ quindi possibile recuperare l’informazione racchiusa nella modulazione di
frequenza
256
128
Frequency Pulling di un oscillatore
Nello studio del rumore di fase dell’oscillatore abbiamo visto che il rumore iniettato nel loop
dell’oscillatore si traduce in bande di rumore di fase laterali alla frequenza portante
Questo fenomeno avviene perché le sorgenti di rumore hanno un livello di potenza molto
inferiore a quello della portante
Un fenomeno particolare avviene quando la componente di “disturbo” iniettata nel loop
dell’oscillatore è vicina alla frequenza portante ed ha una potenza comparabile (o maggiore)
a quella della portante generata dall’oscillatore
A mano a mano che la potenza del disturbo aumenta, la portante generata tende a shiftare
verso questa componente frequenziale, fino ad agganciarsi a quella frequenza
Questo fenomeno prende il nome di : Injection Pulling
Injection Pulling:
La portante dell’oscillatore tende a
muoversi verso la frequenza del forte
interferente, fino ad agganciarsi a
tale frequenza
257
Injection Pulling
E’ un fenomeno di difficile trattazione (anche se alcune spiegazioni analitiche sono
state proposte), ma che si osserva in diversi fenomeni naturali:
Lo scienziato Olandese Christiaan Huygens, a letto malato, osservò come i pendoli di due
orologi attaccati alla parete si muovevano all’unisono se gli orologi erano attaccati vicini l’uno
all’altro. Ne dedusse che l’accoppiamento delle vibrazioni meccaniche attraverso la parete
forzava i due orologi a sincronizzarsi
E’ stato anche osservato che esseri umani rinchiusi in dei bunkers si stabilizzassero in modo
“free running” ad un ciclo di sonno-sveglia di 25ore. Una volta riportati in superfice a contatto
con la natura tale ciclo si risincronizzava con quello terrestre
Ciclo sonno/sveglia e ciclo terrestre
Pendoli di Huygens
258
129
Injection Pulling
In un transceiver ci sono varie sorgenti che possono indurre il pulling dell’oscillatore
Injection Pulling in ricezione per la presenza di un interferente ad elevata potenza
Se la frequenza dell’interferente è vicina a quella del LO, l’accoppiamento attraverso
il mixer può provocate il pulling dell’oscillatore alla frequenza dell’interferente.
Osservazione: Il mixer ha un isolamento finito tra la porta RF e la porta LO
Soluzione: Serve un Buffer tra l’oscillatore e il mixer con elevata “reverse isolation”
Problema: il buffer di solito aumenta la figura di rumore del mixer
259
Injection Pulling
Injection Pulling in trasmissione dovuto al leakage del PA verso l’oscillatore
Trasmettitore a conversione
diretta:la frequenza portante
di trasmissione coincide con
quella del LO (in figura
modulazione in quadratura)
L’oscillatore locale di
trasmissione viene
disturbato dal PA
L’output del PA è una forma d’onda modulata con elevata potenza e spettro nell’intorno di ωLO
Nonostante diverse tecniche di shielding è un problema sempre presente
Il problema peggiora ancora se il PA viene acceso e spento per risparmiare potenza
260
130
Injection Pulling
Injection Pulling in trasmissione dovuto al leakage del PA verso l’oscillatore
Il problema può diminuire se lo spettro del PA fosse lontano dalla frequenza dell’LO
Soluzione: OFFSETTING dell’LO
Si somma o sottrae la frequenza di un altro oscillatore
Trasmettitore a conversione diretta con modulazione in quadratura e
offsetting della frequenza di trasmissione da quella dell’LO
Osservazione:
ω1 + ω 2 deve essere lontana sia da ω1 che da ω 2
261
Esempio di LO offsetting:GSM transceiver
Frequenza di trasmissione 900MHz
Frequenza VCO1=783
Frequenza VCO2=117MHz
262
131
Injection Pulling
Injection Pulling in trasmissione dovuto al leakage del PA verso l’oscillatore
Altra soluzione: ARCHITETTURA TWO-STEP TRANSMITTER
Il segnale modulato (in quadratura) in banda base viene convertito in alto con due
(o più) step successivi
In questo modo lo spettro di uscita del PA è lontano dalle frequenza di oscillazione
degli oscillatori locali, e quindi non ho più il problema del pulling
BPF1:filtra le armoniche del
segnale a RF
BPF2: rimuove la banda
laterale indesiderata
ω1 + ω 2 deve essere lontana sia da ω1 che da ω 2
263
Load Pulling dell’oscillatore
La frequenza di uscita dell’oscillatore è sensibile a variazioni del carico
(nominalmente a 50 Ohm)
Esempio: modulazione FSK
Il VCO viene prima stabilizzato con un anello di aggancio, poi gli viene mandato in
ingresso il segnale modulato in banda base, in modo che il VCO funzioni da
modulatore di frequenza:
fVCO = k f Vcont
Il funzionamento ad anello aperto rende il VCO particolarmente sensibile a variazioni
dell’impedenza di load (carico non lineare, impedenza di ingresso del PA)
Le cose peggiorano ancora di più se accendo e spengo il PA per risparmiare energia
Serve un forte isolamento tra VCO e PA: isolatore passivo o buffer
264
132
Pulling dell’oscillatore
A livello di progettazione circuitale dell’oscillatore si cerca di minimizzare la
sensibilità della frequenza di oscillazione dalle variazioni del carico
Eventualmente si integra un buffer (elevata reverse isolation) o un attenuatore
resistivo a π
Viene fatta la simulazione del load pulling dell’oscillatore: fornisce informazioni
anche sui possibili problemi di injection pullig a livello di sistema
Minore è il load pulling, minore sarà anche la sensibilità dell’oscillatore all’injection
pulling
LOAD PULLING:
Viene simulato l’oscillatore imponendo diversi VSWR al carico (disadattamento)
Per ogni VSWR viene variata la fase dl carico per tutti i 360°
Nel data sheet troviamo:
LOAD PULLING [MHz,KHz] into a 2:1 VSWR all phases
VSWR =
1+ Γ
1− Γ
265
Pulling dell’oscillatore: simulazione CAD
Simulazione
dell’oscillatore al
variare del VSWR del
carico per tutte le fasi
Frequency Pulling
This simulation determines frequency dependence on VSWR.
Vres
cResS
RLCs1
Q=500
fo=fo
rs=1 Ohm
Vres
C
C7
C=cv pF
Vout
OscPort
oscport1
Z=101 Ohm
NumOctaves=2
Steps=50
Frequency variation for VSWR=
cOsCore
osc1
vcc=Vcc
rb1=4 kOhm
rb2=2 kOhm
re=300 Ohm
lc=200 nH
c1=1.0 pF
c2=0.3 pF
cAmpBuff
amp1
Load phase is
varied from 0 to
2*pi radians
Corresponding Vout :
1.92
0.14
5.1354G
5.1352G
mag(Vout[kk,::,1])
freq[kk,::,1], Hz
cVSWR
Load1
vswr=VSWRval
phi=phi
5.1350G
5.1348G
5.1346G
5.1344G
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
phi ( *pi radians)
Variazione di frequenza per un
fissato VSWR al variare della fase
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
phi ( *pi radians)
Variazione di ampiezza per un
fissato VSWR al variare della fase
266
133
Pushing dell’oscillatore
La variazione della tensione di alimentazione proveniente dal power supply provoca
variazioni della frequenza di oscillazione
La variazione della alimentazione varia il punto di polarizzazione del
transistor: cambia guadagno e effetti reattivi del transistor, quindi cambia la
frequenza di oscillazione
La variazione della alimentazione varia la polarizzazione del varactor: effetto
diretto sulla frequenza di risonanza del risonatore
Viene anche chiamato “supply pushing”
Esempio di “supply pushing” :
Transceiver di un handset: l’amplificatore di potenza viene acceso e spento per
risparmiare la batteria
Ogni volta che il PA si accende e chiede una corrente elevata alla batteria, siccome
quest’ultima non è un generatore di tensione ideale ma ha una impedenza di uscita
infinita, si ha una caduta della tensione di uscita anche di centinaia di millivolts
267
Pushing dell’oscillatore: simulazioni CAD
Frequency vs bias, detail selected by markers:
Frequency vs bias:
5.1370
5.13530G
5.13520G
5.1360
m2
5.1355
5.1350
m1
5.1345
5.13510G
fr_detail
freq[::,1], GHz
5.1365
5.13500G
5.13490G
5.13480G
5.1340
5.1335
8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0
5.13460G
10.5
10.4
10.3
10.2
10.1
10.0
9.9
9.8
9.7
9.6
9.5
Vcc
5.13470G
Vcc
m1
Vcc=9.500
freq[::,1]=5.135G
m2
Vcc=10.50
freq[::,1]=5.135G
Simulazioni statiche della frequenza di oscillazione al variare dell’alimentazione
Linearizzazione della caratteristica non lineare nell’intorno della tensione di
alimentazione nominale
Pushing factor: [MHz/V]
268
134
Caratteristiche Oscillatori
Caratteristiche di un oscillatore:
Frequenza di uscita [MHz]
Potenza di uscita [dBm]
Tensione di alimentazione [V]
Corrente assorbita [mA]
Banda e caratteristica Tensione/frequenza [Hz]
Tuning voltage [V]
Rumore di fase [dBc/Hz @KHz from carrier]
Load Pulling [MHz into VSWR all phases]
Supply pushing [MHz/V]
Temperature stability [MHz/°C] o [ppm/°C]
Harmonics suppression [dBc]
Spurious suppression [dBc]
269
Caratteristiche Oscillatori
270
135
Caratteristiche Oscillatori
271
VCO :data sheet
272
136
VCO :data sheet
273
VCO :data sheet
274
137
VCO :data sheet
275
VCO :data sheet
276
138
DRO: data sheet
Tecnologia ibrida SMD
Su substrato in teflon
277
DRO
Configurazione serial feedback
Modulo finale
Parte attiva monolitica
278
139
DRO
10GHZ
Diverse frequenze stesso
materiale dielettrico
Diverse frequenze materiali
dielettrici diversi
279
DRO: performance
280
140
DRO: tuning
Tuning elettrico con varactor
Tuning meccanico con vite
281
DRO: performance
282
141
DRO: performance
Carrier all’analizzatore di
spettro
SSB phase noise [dBc/Hz] 283
Generazione di segnali in quadratura
Spesso in un transceiver è necessario generare una portante in quadratura sia nel
cammino di trasmissione che di ricezione
Segnali in quadratura:
differenza di fase di 90°
Trasmettitore a conversione diretta con modulazione
in quadratura
Ci sono diversi modi di generare segnali in quadratura: rete RC-CR
Vout1 (t )
Viene shiftato di
Vout2 (t )
Viene shiftato di
π
− arct ( RCω )
2
− arct ( RCω )
Le due tensioni hanno una differenza di fase di 90°
per tutte le frequenze
284
142
Generazione di segnali in quadratura
Le due ampiezze però sono uguali solo per
ω=
1
RC
Quindi se i valori delle R e C variano con la
temperatura ed il processo, così fa pure la
frequenza alla quale le due ampiezze sono
uguali (servono ampiezze uguali per modulare
allo stesso modo i due canali)
Posso mettere dei limitatori, tanto
l’informazione sta nella frequenza: ad alta
frequenza non è facile fare dei limitatori, ci
vogliono molti stadi
Problemi di limitatori: mismatch di guadagno e
fase dei limitatori danno dei problemi alla
modulazione I/Q
Esistono diverse tecniche per la generazione di segnali in quadratura: i
parametri fondamentali sono il mismatch di sfasamento e ampiezza nella
banda di funzionamento ed in funzione delle variazioni dei componenti
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Generazione di segnali Single Side Band
Come visto in alcune configurazioni di ricetrasmettitori si richiede la somma o sottrazione delle
frequenze di due oscillatori tramite un mixer (esempio: LO offsetting per evitare il Pulling
dell’oscillatore dal PA)
Tuttavia se le due frequenze da sommare o sottrarre sono vicine, per selezionare il prodotto
utile è necessario un filtro molto selettivo che a volte risulta irrealizzabile
Alternativa: architettura SSB
cos ω1t cos2 ω t ± sin ω1t sin ω 2t = cos(ω1 ∓ ω 2 )t
In questo modo non serve il filtro
Osservazione: servono segnali in
quadratura da entrambi i VCO
Problemi: generazione di spurie per mismatches tra i cammini in
quadratura e per le non linearità del mixer
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