Lezioni-2013

Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
Informazioni  a.a. 20122013
Laboratorio (stanza 2037 II piano edificio U1)
lezioni introduttive + 12 giornate: 9 esperienze + 2 recuperi
1 recupero a meta' corso + prova intermedia
1 recupero alla fine del corso CALENDARIO LABORATORIO 7 Marzo 9:3011:30 Lezioni Introduttive  aula U202 8 Marzo 9:3011:30 Lezioni Introduttive  aula U202 14 Marzo 8:3010:30 Lezioni introduttive  aula U202 + 10:3017:30 Laboratorio Turno A  Esperienza C1 15 Marzo 8:3010:30 Lezioni introduttive  aula U202 + 10:3017:30 Laboratorio Turno B  Esperienza C1 21 Marzo 8:3017:30 Laboratorio Turno A  Esperienza C2 22 Marzo 8:3017:30 Laboratorio Turno B  Esperienza C2 Il resto del calendario sara’ comunicato al piu’ presto. Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
Informazioni  a.a. 20122013
Iscrizione e frequenza sono OBBLIGATORI
La frequenza è certificata da firme (di entrata e di uscita) raccolte sul registro.
Sito web del laboratorio
http://moby.mib.infn.it/~labdida/doku.php?id=laboratorio_ii_fisica:home
AVVISI
● calendario esami e ● materiale didattico
● schede delle esperienze
● schede tecniche della strumentazione
● link utili
●
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Informazioni  a.a. 20122013
Organizzazione
2 Turni (stesso numero di gruppi)
max. 3 studenti per gruppo
calendario esperienze (escluse le prime due) sul sito web (assieme alla definizione dei gruppi)
MATERIALE
quaderno di laboratorio (dati, risultati delle esperienze: grafici, fit valutazioni grandezze e loro errore)
● se possibile un PC per gruppo (utilizzando ROOT o pacchetti simili per l'analisi dati)
● in alternativa calcolatrice e carta millimetrata
●
QUESTE LEZIONI: Esperienze di Elettromagnetismo
(settimana prossima Ottica)
1
2
3
esperienze circuiti in Corrente Continua
esperienze circuiti in Corrente Alternata
misura elettromagnetica della velocita' della luce
Testi di riferimento
il vostro libro di Fisica II
le Dispense di M. Gervasi scaricabili dal sito
altro materiale scaricabile dal sito:
 funzionamento dell'oscilloscopio
 il Teorema di Fourier
materiale a disposizione in laboratorio:
 manuali degli strumenti
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Richiami di elettromagnetismo  elettrostatica
1 legge di Coulomb F = 2  campo elettrico 1
4πε0
q1 q2
r2
F= q E la forza che agisce su una carica q e' proporzionale alla carica stessa 3  principio di sovrapposizione
4  lavoro forza elettrica non dipende dal cammino
la forza è di tipo conservativo si puo' definire il potenziale
L (A→B) = q x (VAVB) il potenziale è definito relativamente a un punto di riferimento
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Richiami di elettromagnetismo – i conduttori
1 – un conduttore è un materiale che possiede un certo numero di elettroni capaci di
muoversi “liberamente” 2  all'interno di un conduttore isolato il campo elettrico è sempre nullo
quando un conduttore è posto in un campo elettrico le cariche al suo interno si ridristibuiscono, muovendosi per effetto del campo elettrico esterno, in modo tale da annullare il campo risultante interno
 +
 +
 +
 +
 +
3 – se ai capi di un conduttore “filiforme” viene mantenuta, con un opportuno dispositivo,
una differenza di potenziale (ddp) costante, le cariche all'interno del conduttore si spostano per portarsi verso il punto a potenziale minore dando luogo ad una corrente
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Richiami di elettromagnetismo – la corrente
I = intensita' di corrente [Ampere] = quantita' di carica che attraversa una sezione del conduttore nell'unità di tempo
Leggi di Ohm – conduttori “ohmici”
I legge di Ohm: definisce la resistenza V = I R
II legge di Ohm: la resistenza R = ρ l
S
S
l
ρ = resistività del conduttore
l = lunghezza
S = sezione
resistore
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Resistori commerciali
I resistori a valore resistivo fisso per applicazioni nei circuiti elettronici si presentano nella versione più comune come piccoli cilindri con due terminali metallici chiamati reofori. I valori di resistenza e tolleranza sono codificati mediante bande colorate mentre nei resistori con potenze superiori ai 2 W il valore è indicato per esteso. L'elemento resistivo è realizzato depositando sulla superficie del cilindro uno strato di lega metallica, ossidi metallici o carbone, successivamente inciso a laser con andamento elicoidale per ottenere il valore voluto. Questo tipo di lavorazione conferisce al resistore una componente induttiva, ininfluente in applicazioni a bassa frequenza ma di disturbo alle frequenze elevate. Per applicazioni in alta frequenza sono preferiti i resistori antinduttivi, realizzati comprimendo una miscela di polveri composite e resine, a formare un cilindro con dimensioni simili ai resistori a strato (o i resistori SMD, vedi più avanti).
http://it.wikipedia.org/wiki/Resistore
Note:
● La resistenza nominale di un resistore commerciale e' definita entro un determinato errore percentuale (la tolleranza che nei ns. ~10%). La misura fatta in laboratorio e' generalmente piu' precisa
Attraverso un resistore non si puo' fare scorrere una corrente grande a piacere: la potenza dissipata per effetto Joule surriscalda e fa bruciare la resistenza che PUZZA !!!.
●
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Richiami di elettromagnetismo – la f.e.m.
I
+

un generatore è un dispositivo capace di mantenere una d.d.p. non nulla ai capi di un
conduttore – questa d.d.p. nasce per effetto di un campo non elettrostatico (detto campo
elettromotore) ed è detta forza elettromotrice (f.e.m.)
la f.e.m. è la d.d.p. che il generatore fornisce a “circuito aperto”, questa differisce dalla d.d.p.
ai capi del generatore a “circuito chiuso” perché un generatore è caratterizzato da una resistenza interna – piccola ma non nulla
R
I
f.e.m. = I r + I R
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r
Richiami di elettromagnetismo – i Principi di Kirchhoff
I Principio > conservazione della carica
I4
la somma algebrica delle intensità di corrente nei rami facenti capo allo stesso nodo è nulla.
Σ Ii = 0
I5
I1
I3
I2
II Principio > ogni punto si trova sempre ad un potenziale definito
la somma algebrica delle tensioni lungo una linea chiusa (con il segno appropriato in funzione del verso di percorrenza della maglia stessa) è pari a zero,
ovvero la somma delle cadute di potenziale e' pari alla f.e.m. Applicata.
Σ Vi = f.e.m.
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Richiami di elettromagnetismo – la resistenza equivalente
I
1 combinazione di resistenze in serie
R1
R2
R3
R4
applico le leggi di Kirchoff:
la corrente che scorre attraverso le resistenze è la stessa
V = R I
(Vi = caduta di potenziale sulla resistenzaRi ) i
i
R5
la somma delle singole cadute di potenziale è uguale alla caduta di ponteziale sulla serie
V = Σ Vi = Σ Ri I
posso definire una resistenza equivalente tale per cui a parità di potenziale applicato
vi scorre la stessa corrente che nella serie
Req = Ri  la resistenza risultante è sempre maggiore del valore di ciascuna resistenza
 resistenze molto piccole rispetto alle altre possono essere trascurate
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Richiami di elettromagnetismo – la resistenza equivalente
R1
2 combinazione di resistenze in serie
I
applico le leggi di Kirchoff:
la ddp ai capi delle resistenze è la stessa V = Ri Ii
la somma delle correnti è uguale alla corrente totale
I = Σ Ιi = V/Ri R2
R3
R4
V posso definire una resistenza equivalente tale per cui a parità di potenziale applicato
vi scorre la stessa corrente che nella serie
1/ Req =1/ Ri la resistenza risultante è sempre minore del valore di ciascuna resistenza
 resistenze molto grandi rispetto alle altre possono essere trascurate
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Strumenti di Misura: il multimetro digitale
Il multimetro digitale può essere utilizzato per la misura di varie grandezze elettriche. Esso è provvisto di
selettore: per cambiare la grandezza da misurare;
per cambiare il fondo scala di misura;
display digitale: per la lettura del valore misurato
connettori di ingresso e cavetti: per collegare lo
strumento all'elemento su cui fare la misura.
Grandezze fondamentali che si misurano sono
correnti (CC e AC), differenze di potenziale (CC e AC)
resistenza elettrica, a volte anche capacità.
N.B. la convenzione è utilizzare cavetti neri verso il polo negativo
e rossi per il positivo.
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Strumenti di Misura: il multimetro digitale  funzionamento come voltmetro
I
RV
Il multimetro utilizzato come voltmetro va connesso ai punti tra i quali si vuole misurare la d.d.p. Esso risulta essere così disposto in parallelo al ramo da testare.
Il voltmentro inserito in un circuito in corrente continua si comporta come una resistenza: la sua resistenza interna RV è molto grande (~ 1 – 10 MOhm).
Questo consente di non alterare le caratteristiche del circuito in esame (nel ramo del voltmetro passa poca corrente), almeno fintanto che la resistenza equivalente del ramo da testare è molto minore della resistenza interna del voltmetro.
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Strumenti di Misura: il multimetro digitale  funzionamento come amperometro
I
RA
Il multimetro utilizzato come voltmetro va connesso in modo che sia attraversato dalla
corrente da misurare. Esso risulta essere così disposto in serie al ramo da testare.
L'amperometro inserito in un circuito in corrente continua si comporta come una resistenza: la sua resistenza di interna RA che, per costruzione è molto piccola (~ 1 – 10 Ohm).
Questo consente di non alterare le caratteristiche del circuito in esame, almeno fintanto che
la resistenza equivalente del ramo da testare è molto maggiore della resistenza interna del voltmetro.
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Misura di resistenze: metodo VoltAmperometrico
Il metodo VoltAmperometrico consiste nel misurare la resistenza di un elemento (o
la resitenza equivalente di una parte di un circuito) attraverso la misura della corrente I
e della d.d.p. V.
Occorre quindi disporre il voltmetro in parallelo al ramo da misurare e l'amperometro in
serie. Un generatore deve essere utilizzato per l'alimentazione della corrente.
La combinazione delle due quantità misurate, tramite la legge di Ohm, fornisce la
resistenza incognita:
R = V/I
Lo schema migliore di connessione di voltmetro ed amperometro dipende dal valore della
resistenza da misurare R. Occorre infatti assicurarsi che la tensione V misurata sia esattamente la d.d.p. ai capi di R e che la corrente I misurata sia quella che scorre attraverso R.
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Metodo voltamperometrico:
resistenze piccole
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Metodo voltamperometrico:
resistenze grandi
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Fare una misura ... qualche suggerimento
1 domandatevi cosa dovete misurare, disegnate il circuito che volete costruire segnando esplicitamente tutti gli elementi (incluse quindi la resistenza interna degli strumenti)
2 costruite il circuito riducendo al minimo il numero di cavetti e fili elettrici utilizzati
3 scegliete quali parametri misurare e risolvete il circuito in funzione di tali parametri
4 scegliete opportunamente gli strumenti di misura tenendo conto delle loro caratteristiche
(resistenza interna, range, sensibilità ...) in modo da sfruttarli al meglio
5 verificate se l'errore di inserzione dello strumento è effettivamente trascurabile
(lo potete fare “sulla carta” ma in alcuni casi anche sperimentalmente)
6 se avete dubbi sul funzionamento di uno strumento ... utilizzate il manuale !
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Fare una misura ... qualche suggerimento
7 cifre significative:
4.9285733455 +/ 0.13534764792
SBAGLIATO e ILLEGGIBILE !!!
4.9 +/ 0.1
CORRETTO E LEGGIBILE !!
(N. B. Excel consente di scegliere di scegliere il numero di cifre significative con cui visualizzare i numeri)
8 statistica e teoria degli errori:
* propagazione degli errori
* regressione lineare
* test del chi quadro
* compatibilita' tra due grandezze misurate
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Note: la misura del potenziale
il potenziale elettrico è definito a meno di una costante, va tutto bene se misuro sempre cadute di potenziale (d.d.p.) tra due punti, ma se voglio definire il potenziale devo definire una sistema di riferimento
a cosa associo il potenziale V = 0 ? il riferimento usualmente è la “terra” indicata con i simboli tramite il loro cavo di alimentazione gli strumenti sono collegati alla “messa a terra” dell'impianto elettrico dell'edificio, questo in generale consente di avere un punto di riferimento equipotenziale fisso
la terra ideale è un conduttore (come tale equipotenziale) che non varia il suo potenziale quando assorbe delle cariche elettriche ... deve perciò essere un conduttore a capacità alta
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Prima Esperienza: C1 – Parte Prima
R
Rg
~
V
R
A
Rg
~
A
V
Verifica della legge di Ohm: costruzione della caratteristica correntetensione
Avrete a disposizione due multimetri con sensibilita' differenti, valutate quale sia meglio utilizzare per la misura di I e quale per la misura di V
Come determinate gli errori di misura su I e su V ? vanno tenuti in conto anche gli effetti dovuti alla resistenza interna di voltmetro e amperometro ?
Scopo dell'esperienza e':
Verificare se vale la legge di Ohm e stimare il valore della resistenza (test di ipotesi: si riportino in grafico i valori misurati di I e V e si faccia un fit, utilizzando il test del chiquadro ...)
In caso affermativo ottenere una stima del valore della resistenza con il suo errore
Stimare le resistenze interne di amperometro e voltmetro
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Pima Esperienza: C1 – Parte Seconda
R
Rg
~
Vin
Rload
Vout
Studio del comportamento di un partitore resistivo
Scopo dell'esperienza è studiare come varia la tensione in uscita quando viene
variato il carico
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Pima Esperienza: C1 – Parte Terza
Misura della caratteristica tensionecorrente di un componente non Ohmico: il diodo
Quando è polarizzato direttamente il diodo mostra una caratteristica I(V) data da:
I =I 0 (e
(qV / gkT )
−1)
q = carica elettrone (1.6 1019 Coulomb)
k = costante di Botzmann (1.38 1023 J/K) g = è una costante dipendente dal tipo di diodo (adimensionale e dell'ordine dell'unita') T è la temperatura del diodo (K) A temperatura ambiente (300 K) il prodotto q/kT ~ 38.6 V1. Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
Pima Esperienza: C1 – Parte Terza
Rg
V
~
A
Misura della caratteristica tensionecorrente di un componente non Ohmico: il diodo
Scopo dell'esperienza e':
costruire la caratteristica tensionecorrente in polarizzazione diretta di un diodo e misurare g
Note: 1) Prima di alimentare il diodo verificate di averlo montato correttamente !!!
(anodo=polo positivo catodo=polo negativo)
2) Per tensioni sufficientemente alte (quanto ???) la relazione è approssimabile a:
I =I 0 e(qV / gkT)
perciò passando ai logaritmi si può effettuare un fit con il metodo dei minimi quadrati. Attenzione però agli errori su V ed I.
Si provi ad effettuare il fit con ROOT definendo un TGraphErrors e utilizzando la relazione
completa o quella approssimata. Attenzione a come scrivete la relazione da fittare: un esponenziale diverge facilmente !
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Capacità e Induttanze – Risposta ai transienti
Richiami di elettromagnetismo – la capacità
in un conduttore isolato il rapporto tra carica e potenziale è costante, questo rapporto è una proprietà del conduttore detta capacità
C = Q/V (dove si è assunto per convenzione V=0 all'infinito)
la capacità di misura in Farad = Coulomb/Volt
N.B. 1Farad è una capacità enorme !!!
il condensatore è un sistema di due conduttori affacciati tra cui si abbia induzione completa in questo caso si ha C = Q /∆V dove ∆V e' la d.d.p. tra le armature
V
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Richiami di elettromagnetismo – i condensatori
condensatore piano condensatore cilindrico “infinito”
condensatore cilindrico finito
C = ε0 S/d
C = ε0 S/d = 2πε0 S/(R2/R1)
C = 2πε0 l/(ln(R2/R1)
condensatori in parallelo
condensatori in serie
Ceq = Ci
Ceq = (  1/Ci )1
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Carica e scarica di un condensatore
il condensatore viene collegato al generatore p.es una pila, il condensatore si carica finché le sue armature non si sono portate allo stesso potenziale
del generatore poi interrompe il passaggio della corrente. In ogni istante vale:
V0= IR + Q/C
Q = ∫ I dt
V0= dQ/dt R + Q/C
dQ / (CV0 Q) = dt /(RC)
τ = RC costante di tempo del circuito
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ddp ai capi condensatore V
Carica di un condensatore
V0
VR
A
VAVB
1.2
C
1
B
VC
0.8
V0 tensione batteria
0.6
0.4
VR= I R
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
qui viene chiuso il circuito: la tensione VAVBsi porta al valore V0 passa corrente nel circuito, la corrente è proporzionale a VR e si porta
esponenzialmente a 0
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Scarica di un condensatore
1.5
V0
VAVB
1
VC
0.5
0
VR= I R
0.5
1
1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
qui viene aperto il circuito – il condensatore si scarica, la d.d.p. ai suoi capi si
porta a 0 – la corrente circola in senso inverso Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
Carica e scarica consecutive
VC
1.5
VAVB
1
A
VC
VR
B
0.5
0
0.5
VR= I R
1
di fronte a un transiente veloce il condensatore si comporta come un cortocircuito 1.5
(lascia passare la corrente), poi quando raggiunge la carica completa si comporta 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
come un circuito aperto (blocca la corrente)
che succede se si apre il circuito prima che il condensatore sia ~completamente carico ?
e se invece di aprire e chiudere il cricuito si inverte la polarità ?
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Richiami di elettromagnetismo – l'induttanza
la variazione nel tempo del campo magnetico “concatenato” con un circuito dà origine a una f.e.m. secondo la legge
f.e.m. =  dΦ(B)/dt la corrente che circola in un circuito dà origine essa stessa ad un campo magnetico, e
la variazione nel tempo della corrente dà origine a una variazione del flusso del campo magnetico quindi se esiste un flusso concatenato con il circuito esiste una f.e.m. auot
indotta
f.e.m. =  dΦ(B)/dt =  dΦ(B)/dI dI/dt =  L dI/dt l'induttanza è una caratteristica intrinseca di un componente elettronico così come di un circuito, si misura in Henry = V s / A Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
Richiami di elettromagnetismo – le induttanze
tipicamente è un filo avvolto piu' volte attorno
ad un nucleo centrale
...
quindi questo componente è caratterizzato dal suo valore di L ma anche di R !!!
induttanze in parallelo
induttanze in serie
Leq = Σ Li
Leq = ( Σ 1/Li )1
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Induttanza di un solenoide
Solenoide infinito:
L =  N
N = numero spire
 = permeabilità magnetica =  r
la permeabilità magnetica misura l'effetto che ha la presenza di materia sul campo magnetico
prodotto dalla corrente ( è il valore assunto in vuoto)
in aria  ~ per l'ariar
in aria per l'ariar
se riempio il mio solenoide con un materiale opportuno (che abbia r posso aumentare
molto il valore di L a parità di dimensioni fisiche (per i materiali magnetici r–e più
Esistono molti effetti di non idealità in un'induttanza reale (come quelle che trovate in laboratorio):
intanto l'induttanza ha sempre associata una resistenza (che varia quando si utilizzano segnali ad alta frequenza), poi si possono avere effetti di saturazione, isteresi ....
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ddp ai capi induttanza V
Carica e scarica di un'induttanza
VR
l'induttanza viene collegata al generatore p.es una pila, quindi passa corrente.
Il passaggio della corrente produce nell'induttanza una f.e.m. che contrasta la f.e.m. del generatore, quindi inizialmente
l'induttanza tende a impedire il passaggio
della corrente nel circuito.
A
B
V0 tensione batteria
V0= IR + L dI/dt
τ = L/R costante di tempo del circuito
L
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Carica e scarica di un'induttanza
VR= I R
VAVB
VR= I R
VL
VL
VAVB
di fronte a un transiente veloce l'induttanza si comporta come un circuito aperto (blocca la corrente), poi quando raggiunge la carica completa si comporta come un circuito chiuso (fa passare la corrente)
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Circuito RLC
per analogia con l'oscillatore armonico smorzato si può scrivere
scopo delle esperienze sara' determinare i parametri caratteristici del circuito
γ = R / (2L)
ω 02 = 1/(LC)
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SOTTOSMORZAMENTO
γ < ω 0 => R < 2 √ L/C
La soluzione e' del tipo:
γ = R / (2L)
ω 02 = 1/(LC)
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ricordando che: a sin x+ b cos x= A sin(x+) si ottiene: VR ∝ et sin(t)
 è la frequenza di oscillazione che si può ricavare dalla distanza tra massimi e minimi
 si può ricavare osservando ch l'ampiezza di massimi e minimi scala con et Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
SOVRASMORZAMENTO
γ > ω 0 => R > 2 √ L/C
La soluzione e' del tipo:
 = R / (2L)
 02 = 1/(LC)
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SMORZAMENTO CRITICO
γ = ω 0 => R = 2 √ L/C
La soluzione e' del tipo:
γ = R / (2L)
ω 02 = 1/(LC)
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Segnali e strumenti in Corrente Alternata
Strumenti di Laboratorio: il Multimetro in AC
Quando si misurano ddp o correnti variabili nel tempo gli strumenti si usano in modo differente.
Per un segnale sinusoidale, p.es. di tensione, si definiscono:
V = V0 sin (t)
Vpp = 2 V0
Veff = V0 / √ 2
questa è il valore quadratico medio ottenuto integrando la sinusoide sul periodo, è il valore che restituisce il multimetro
I multimetri effettuano delle medie temporali (va portato il selettore in corrispondenza
di AC e non più di DC) restituento i “valori efficaci” per intensità di corrente e tensione.
MA SOPRA UNA CERTA
FREQUENZA I MULTIMETRI
NON MISURANO PIU'
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Strumenti di Laboratorio: il Generatore di Funzioni
il generatore di funzioni produce una tensione variabile nel tempo
forma, temporizzazione, ampiezza e offset del segnale possono essere programmate
Rg
~
Circuito equivalente
per un generatore di funzioni
il segnale in uscita e' fornito tra pin centrale e armatura esterna del BNC
l'armatura esterna è connessa alla massa (quindi il segnale è sempre una ddp rispetto a massa) !!
l'impedenza di uscita (la resistenza interna Rg) è – per i ns. strumenti – 50 o 600 Ohm
a seconda dello strumento sul display è segnata l'uscita a circuito aperto o quella che si avrebbe quando il generatore fosse chiuso su un carico da 50 Ohm Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
Strumenti di Laboratorio: il Generatore di Funzioni
questo è uno strumento che produce una tensione alternata con diverse possibili forme d'onda
tensione
l'onda quadrata emula
un circuito che si apre e si chiude
su una batteria
V
0
V0
V(t) =
T
0
tempo
==> carica e scarica dei circuiti RC, RL e RLC si produrranno in laboratorio utilizzando un generatore di funzioni
sul generatore potete scegliere Ampiezza V0 dell'onda e Frequenza :
T = 1/(2)
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Strumenti di Laboratorio: il Generatore di Funzioni
questo è uno strumento che produce una tensione alternata con diverse possibili forme d'onda, V(t)
la sinusoide:
V0
V(t) = V0 sin(t)
T
sul generatore potete scegliere Ampiezza (V0) dell'onda e Frequenza:
T = 1/ = 1/(2)
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t
Strumenti di Laboratorio: il Cavo Coassiale
il generatore di funzioni e l'oscilloscopio utilizzano cavi di connessione di tipo coassiale
l'esterno del cavo (la calza di rame che avvolge il filo centrale) viene messo in collegamento con la “terra” dello strumento (in questo modo un cavo è un consendatore cilindrico) Cp
questi cavi sono comunemente chiamati BNC
i cavi che usiamo in laboratorio sono RG58, essi sono caratterizzati da una capacità verso
massa pari a ~ 100pF/m, Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
Strumenti di Laboratorio: l'Oscilloscopio
l'oscilloscopio misura tensioni in funzione del tempo e le visualizza su un display
ROSC COSC
Circuito equivalente
di un oscilloscopio
per i ns. oscilloscopi
ROSC ~ 1 MOhm
estremi di lettura della tensione:
uno è sempre a massa !!!!
COSC ~ 20 pF
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Richiami di elettromagnetismo – segnali in corrente alternata
quando un circuito è sottoposto a una d.d.p. sinusoidale cosa succede ?
sia V = V0 cos (ωt) la ddp ai capi di R, C o L calcoliamo la corrente:
per la resistenza si ha V(t) = R I(t) la legge di Ohm
la soluzione è
V0 cos (ωt) = R I(t)
I(t) = I0 cos (ωt) con V0 = R I0
> la corrente ha andamento sinusoidale con la stessa frequenza del segnale in ingresso
> l'ampiezza dei segnali di tensione e corrente segue “formalmente” la legge di Ohm
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Richiami di elettromagnetismo – segnali in corrente alternata
per la capacità si ha
V(t) = Q(t)/C
V0 cos (ωt) = 1/C * ∫ I(t) dt la soluzione deve essere sinusoidale con la stessa frequenza cioè della forma
I0 cos (ωtφ)
derivando si ottiene  ω V0 sin(ωt) = 1/C I0 cos (ωtφ)
si ottiene che
V0 = 1/(ωC) I0 φ =  π/2
> la corrente ha andamento sinusoidale con la stessa frequenza del segnale in ingresso
> l'ampiezza dei segnali di tensione e corrente segue “formalmente” la legge di Ohm con una costante di proporzionalità 1/(ωC)
> corrente e tensione ai capi di una capacità sono sfasate di  /2
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Richiami di elettromagnetismo – segnali in corrente alternata
per l'induttanza si ha
V(t) = L dI(t)/dt
V0 cos (ωt) = L dI/dt
la soluzione deve essere sinusoidale con la stessa frequenza
cioè della forma I0 cos (ωt  φ) si ottiene che
V0 = ωL I0 
 = + /2
> la corrente ha andamento sinusoidale con la stessa frequenza del segnale in ingresso
> l'ampiezza dei segnali di tensione e corrente segue “formalmente” la legge di Ohm con una costante di proporzionalità ωL
> corrente e tensione ai capi di un'induttanza sono sfasate di π/2
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Richiami di elettromagnetismo – segnali in corrente alternata
Ne concludiamo che quando un circuito è sottoposto a una tensione sinusoidale
del tipo: V = V0 cos (ωt)
la corrente ha anch'essa un andamento sinusoidale della forma I = I
cos (ωt  φ)
0
Questa affermazione vale per qualsiasi circuito composto da R, C ed L (resistenze, capacità e induttanze). Si veda p.es. la risoluzione dei circuiti RC, RL ed RLC.
Inoltre la relazione tra le ampiezze dei segnali di tensione e corrente (I0 e V0) è lineare, come nel caso della legge di Ohm.
per la resistenza
V0 = R I0

per la capacità si ha
V0 = 1/(ωC) I0 
per l'induttanza si ha
V0 = (ωL) I0 

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Richiami di elettromagnetismo – segnali in corrente alternata
avendo a che fare solo con resistenze, capacità e induttanze vale sempre che a una d.d.p.
sinusoidale corrisponde una corrente sinusoidale della stessa frequenza
risulta utile e pratico utilizzare il formalismo complesso
segnale eccitante
V = V0 cos (ωt) soluzione generica I = I0 cos (ωt - φ) V = V0 e [i ( t)]
I = I0 e [i ( t )]
dove le quantità che hanno senso fisico sono la parte reale di ciascuna espressione
si introduce l'impedenza complessa Z = R + i X (X è la reattanza) o – nella rappresentazione di Eulero:
Z = |Z| e i atan(X/R) dove |Z|= √ R2+X2 è il modulo dell'impedenza Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
Numeri complessi
dato un numero complesso z=x+iy
posso rappresentarlo su un piano cartesiano
identificandolo con un punto di oordinate (x, y)
passando alle coordinate polari il punto è identificabile come (r, )
dove r = √ x2+y2
nella notazione di Eulero il numero complesso
è identificato da
r (cos +i sin ) = r e i
e i
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Richiami di elettromagnetismo – segnali in corrente alternata
si verifica allora che vale formalmente (per le parti reali) la legge di Ohm V = I Z
nella rappresentazione di Eulero posso eguagliare moduli e fasi:
V0 = I0 |Z|
 = atan (X/R)
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Richiami di elettromagnetismo – segnali in corrente alternata
per la resistenza |Z| = R
φ = 0
per la capacità Z = 1/(iωC) = i /(ωC) = 1/(ωC) e i(/2) |Z|= 1/ωC φ = /2
per l'induttanza Z= i ωL = (ωL) e i /2 |Z|= ωL φ = /2
le soluzioni dell'eq complessa portano al corretto risultato (in termini di I0 e φ) e si preserva il formalismo utilizzato per le CC
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Funzioni sinusoidali e numeri complessi
segnale eccitante:
V = V0 cos (ωt)
V = V0 e i ( t)
soluzione generale:
I = I0 cos (ωt - φ)
I = I0 e [i ( t+f)] dimostrazione per la capacità
V0 e i ( t) = Z I0 e [i ( t )] V0 e i ( t) = i/( C) I0 e [i ( t )] sostituendo
i = e i /2 V0 e i ( t) = 1/( C) I0 e [i ( t )] eguagliando il modulo del numero complesso e la fase si ottiene:
V0 = I0 /( C) Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
φ = - π/2
Richiami di elettromagnetismo – segnali in corrente alternata
Formalmente valgono le leggi di Kirchoff, e le leggi di composizione delle impedenze in serie e in parallelo:
impedenze in serie Zeq =  Zi impedenze in parallelo
Zeq = (  1/Zi )1
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Misura impedenze
si usa segnale sinusoidale varianto la frequenza
si misura tensione e ddp ai capi di Z
si ricava |Z| dal rapporto di ampiezza
tensione/corrente |Z| = V0/I0
 le ampiezze sono valutate con l'oscilloscopio
usando (quando possibile) la funzione MEASURE
 la ddp ai capi di Z si ottiene utilizzando la funzione MATH dell'oscilloscopio
si ricava dallo sfasamento tra corrente e tensione ai capi di Z
 lo sfasamento si misura misurando lo spostamento dei massimi tra corrente e ddp
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Misura impedenze |Z| (analogamente si fa un grafico della fase in fz. di 
se Z = Capacità V0/I0
!Z! = 1/(C)
fit – calcolo della pendenza da cui ricavare C

se Z = Induttanza
|Z| = √ R + (L)
fit – calcolo della pendenza da cui ricavare RL e L
2 L
2
(V0/I0)2
RL2

(nel linearizzre la relazione propagare correttamente gli errori)
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Perchè ci interessano tanto i segnali sinusoidali ?
(o meglio il come risponde un circuito ad un segnale sinusoidale)
Teorema di Fourier: una funzione f(t) periodica di periodo T = 1/2 può essere rappresentata dalla somma di esponenziali immaginari:
f(t) =  Cn exp(int) n = n 2
Cn = (1/T) ∫0T f(t) exp(iωnt) dt quindi ~ se io so come si comporta il mio circuito quando è sottoposto a una corrente sinusoidale posso sapere come si comporta nei confronti di una qualsiasi funzione periodica
i coefficienti Cnmisurano in qualche modo il peso di ciascuna sinusoide nella costruzione
della funzione f(t)
N.B i coefficienti Cnsono numeri complessi, quindi le sinusoidi che vangono sommate hanno una componente di fase)
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Perchè ci interessano tanto i segnali sinusoidali ?
(o meglio il come risponde un circuito ad un segnale sinusoidale)
un'onda quadra è quindi la somma di un certo numero
di funzioni sinusoidali
qui l'approssimazione di un'onda quatra attraverso i primi 4 termini della sua espansione di Fourier
Applicativo per far vedere come le varie armoniche
compongano i segnali
http://www.physics.wisc.edu/instructional/phys109/fourier/
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Funzione di trasferimento di un circuito
Identifichiamo in un circuito: il segnale di ingresso Vin(t)
(nel nostro caso la d.d.p. fornita dal generatore di funzioni) il segnale in uscita Vout(t) (la tensione letta ai capi di un qualche componente del circuito) p.es.
o in generale
Z2
Rg
~
Vin(t)
Z1
Vin(t)
Vout(t) Vout(t) (il segnale in uscita generalmente non e' univocamente identificato, p.es. in un circuito RLC si puo' prelevare ai capi di uno dei 3 componenti o della serie di alcuni di essi)
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Funzione di trasferimento di un circuito
Se il segnale di ingresso è sinusoidale, e gli elementi del circuito sono R, C ed L allora anche il segnale in uscita è sinusoidale e ha la stessa frequenza, si ha cioè che
Vin (t, ) = V0in e (it) Vout (t, )= V0out e (it) La fz. di trasferimento H(i) è una funzione complessa definita da:
|H()| = V0out / V0in
φ (ω) = fase di Vout rispetto a Vin
per cui Vout (t, ) = V0in |H()| e (it) Corso di laurea in Fisica – Laboratorio di Fisica – II anno
Funzione di trasferimento di un circuito RC
... conti alla lavagna
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Funzione di trasferimento di un circuito RLC
... conti alla lavagna
 = R / (2L)
 02 = 1/(LC)
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Oscilloscopio
ha impedenza di ingresso molto “alta” ( ~ 1 MOhm come il voltmetro, per non alterare la misura) che risulta messa in parallelo a una capacità (“piccola” ~ 20 pF)
in ingresso accetta un segnale portato da un cavo coassiale: effettuando il collegamento tra il vostro circuito e l'oscilloscopio mettete a massa il punto del circuito a cui è collegato
l'esterno (la calza) del cavo coassiale
cavo BNC di collegamento
ROSC COSC
circuito
da testare
Ccavo
oscilloscopio
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