Laboratorio di Fisica I: laurea in Ottica e Optometria
Misura del tempo caratteristico di carica e scarica di un condensatore attraverso
una resistenza
Descrizione
Si vuole costruire un circuito RC in serie collegando generatore di funzioni, cassettina e
oscilloscopio come in figura. Sul canale 1 (CH1 ) dell’oscilloscopio si osservi la tensione ai capi del
condensatore mediante un collegamento in parallelo mentre sul canale 2 (CH2) si puo` visualizzare
l’onda quadra in ingresso al circuito. Si misura con l’oscilloscopio la tensione ai capi del
condensatore in funzione del tempo durante il processo di carica e di scarica del condensatore per
determinare sperimentalmente la costante di tempo caratteristica del circuito τ = RC .
R
C
Generatore di onde: si scelga un’onda quadra per simulare la carica del condensatore applicando al
circuito una tensione costante e la successiva scarica nel semiperiodo dell’onda in cui la tensione e`
zero. Il periodo dell’onda quadra T deve permettere la “completa” carica o scarica del condensatore,
anche se in teoria questo processo richiede un tempo infinito, per un periodo T≈5τ il processo puo`
considerarsi concluso. E` quindi opportuno variare inizialmente la frequenza dell’onda quadra
affinché la tensione ai capi del condensatore raggiunga il valore di saturazione.
Oscilloscopio: ci permette di visualizzare l’andamento di qualsiasi
segnale in uno dei due ingressi in funzione del tempo.
Cassetta multifunzionale ci permette di realizzare il circuito con una
resistenza R e un condensatore C in serie di cui abbiamo già misurato
direttamente i valori con il multimetro digitale e valutato l’errore di
misura.
Circuito RC:
Disegnare il circuito realizzato, indicare il valore di R e di C inseriti nel circuito con i rispettivi
errori. Scegliere di studiare la fase di carica o di scarica del condensatore misurando con
l’oscilloscopio i valori della tensione VC ai capi del condensatore in funzione del tempo.
Visualizzare sull’oscilloscopio simultaneamente sia l’onda quadra che la tensione ai capi del
condensatore e isolare una figura di un singolo processo di carica o scarica che sfrutti circa il 90%
dello schermo. In ogni istante t valgono le relazioni:
tensione ai capi della resistenza: VR (t ) = Ri (t ) = Rdq(t ) / dt
tensione ai capi del condensatore: Vc(t) = q(t)/C
carica del condensatore
l’ampiezza dell’onda quadra e` Vo = VR(t) + VC(t), ossia
V0 = R
R
dq q
+ ,
dt C
dq
q
dq
dt
= V0 ! "
=!
dt
C
q ! CV0
RC
integrando entrambi i termini otteniamo:
q
#
0
!
!
dq
1
="
q " CV0
RC
t
# dt $
0
t
"
q " CV0
= e RC
"CV0
per τ = RC, si ottiene la (1) che rappresenta il valore della tensione ai capi del condensatore in un
generico istante t quando per una d.d.p. Vo.
t
% V " Vc (
"
q
t
#
(1)
VC (t) = = V0 (1" e ) $ ln' 0
*="
C
RC
& V0 )
tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo durante la fase di carica.
scarica del condensatore
posto Vo =0 il condensatore si scarica attraverso la resistenza, l’equazione differenziale diventa:
dq q
R
+ =0
dt C
la cui risoluzione, analogamente alla precedente è:
dq
q
dq
dt
R
=! "
=!
dt
C
q
RC
q
t
( q
dq
1
=
!
)CV q RC )0 dt " In&&' CV0
0
t
!.
%
t
q
## = !
"
= e RC
RC
CV0
$
Ponendo ancora il termine RC = τ si ottiene la (2) che ci fornisce il valore della tensione ai capi del
condensatore in funzione del tempo durante la fase di scarica.
t
%V (
"
q
t
(2)
VC (t) = = V0e # $ ln' c * = "
C
RC
& V0 )
!
Lo scopo della esperienza è proprio quello di verificare l’andamento esponenziale delle funzioni (1)
o (2) e la compatibilità fra il valore di τ calcolato con i valori precedentemente misurati di R e C ed
il τ ottenuto dallo studio di VC(t).
Indicare R ±ΔR , C ±ΔC e calcolare τ ±Δτ ,
la frequenza ν ±Δν ( Hz) e l’ampiezza V0 ±ΔV0 ( V) dell’onda quadra .
Analisi dati:
sia che si scelga di studiare la fase di carica che di scarica del condensatore, costruire una tabella
con i valori misurati di VC in funzione del tempo.
Di ogni valore si calcoli il relativo errore:
Dove ogni Δt o ΔVc(t) è l’errore massimo corrispondente alla sensibilità
n oVolt /div
"V =
10
o
n ms(oµs) /div
"t =
10
I valori delle tensioni ai capi del condensatore in funzione del tempo vanno riportati, insieme alle
relative barre di errore in un grafico
!
Esempio di grafico
Tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo (scarica)
6
5
V(t) [V]
4
3
2
1
0
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
t [ms]
Scala 1V
Scala 0,5V
Scala 0,2V
Espo. (Scala 1V)
Espo. (Scala 0,5V)
Espo. (Scala 0,2V)
Per determinare τ riportare in grafico ln(VC /Vo) o ln(Vo-VC /Vo) in funzione del tempo e
calcolare la retta che interpola i dati sperimentali :
esempio
VC (t ) = V0e
"
t
!
da cui:
ln VC (t ) = ln V0 e
"
t
!
, cioè: lnVC (t) = ln(V0 ) "
dalla quale otteniamo la funzione:
t
#
!t
(3)
ln[VC (t) /V0 ] = "
#
la (3) è una funzione del tipo y = ax+b (lineare) di cui:
!
•
•
•
La variabile indipendente x è il tempo t
L’intercetta b è 0 ( la retta passa per l’origine )
La pendenza a è -1/τ
Dobbiamo attribuire a ln (VC/Vo) l’errore applicando applichiamo il teorema della varianza alla
(3):
chiamiamo Δξ l’errore che commettiamo nel calcolo ξ = ln [VC(t)/V0]
!# =
"#
"#
!Vc(t ) +
!Vo
"Vc(t )
"Vo
che diventa:
!Vc(t ) !Vo
+
Vc(t )
V0
l’errore sulla scala dei tempi è sempre il Δt.
!" =
Linearizzazione tramite logaritmo della tensione ai capi del condensatore in
funzione del tempo (scarica)
0,5
0
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,5
Ln V(t)/Vo
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
t [ms]
Scala 1V
Scala 0,5V
Scala 0,2V
Fit lineare
Lineare (Fit lineare)
La retta interpolante e` stata calcolata usando il metodo grafico dopo aver verificato che il metodo
dei minimi quadrati non e` applicabile (l’errore commesso sulle ascisse non è trascurabile rispetto a
quello commesso sulle ordinate).
Si calcoli la pendenza max:
-1/τmin =
(# 1 + "# 1) ! (#n ! "#n)
= - 1,52 ms-1
(tn ! t1)
e la pendenza minima:
-1/τmax =
(# 1 ! "# 1) ! (#n + "#n)
= - 1,37 ms-1
(tn ! t1)
il valore di τ sperimentale sarà dato da : " sp =
mentre il valore di Δτ sperimentale : "# sp =
!
" min + " max
=….. ms
2
# max $ # min
= …. ms
2
Si confronti il risultato ottenuto con il valore di τ ricavato all’inizio
τ= R*C = … ms
!
con il teorema della varianza si calcola Δτ
Δτ = τ (
!R !C
+
) = … ms ( usando i valori di R e C con i rispettivi errori dell’esperienza
R
C
precedente)
Si verifichi la compatibilità fra i due valori di τ:
C=
!
" # " sp
$" + $" sp
=
