“Macchina termica”
E’ un sistema termodinamico che compie cicli “termici”, ossia trasformazioni
cicliche nelle quali globalmente il sistema assorbe calore (Q > 0) dall’ esterno ,
producendo del lavoro meccanico (W > 0 )
In generale, ci sono parti della trasformazione ciclica in cui il calore e’ assorbito
e parti in cui il calore e’ ceduto all’ ambiente.
Il calore totale globalmente scambiato nel ciclo e’ positivo:
Q ciclo ≡ Q ass + Q ced = Q ass − Q ced > 0
“Serbatoio di calore”: sistema
termodinamico di capacita’ termica
infinita (→ capace di assorbire o
cedere quantita’ illimitate di energia
senza variare la propria temperatura)
U.Gasparini, Fisica I
serbatoio di calore
a temperatura T2
Macchina
termica
T2
Qass > 0
M
W >0
Qced < 0
serbatoio di calore
a temperatura T1 < T2
T1
Ciclo termico
“Ciclo termico”: trasformazione ciclica nella quale il sistema termodinamico
che compie il ciclo fornisce lavoro assorbendo complessivamente calore da
sorgenti di calore (“serbatoi”) esterni al sistema
W c ic lo = Q c ic lo = Q a s s + Q c e d = Q a s s − Q c e d > 0
∆U
c ic lo
≡ 0
Q a ss > Q ced
essendo cioè:
Se il sistema è un fluido le cui trasformazioni sono descritte nel piano (p,V) , il
lavoro è rappresentato dall’ area compresa nella curva chiusa rappresentativa
del ciclo: p
Wciclo=Qciclo > 0
V
Si definisce il “rendimento” di un ciclo termico la quantità:
η ≡
U.Gasparini, Fisica I
W c ic lo
Q ass
=
Q
a ss
Q
+ Q
a ss
ced
= 1 −
Q
ced
Q
a ss
< 1
2
Ciclo di Carnot:
Ciclo reversibile compiuto da un gas ideale,
ideale costituito dalle seguenti trasformazioni :
A→ B : espansione isoterma reversibile alla temperatura T2
∆U = 0
Q 2 = WAB > 0
“serbatoio di
calore”
B→ C : espansione adiabatica reversibile
∆U = n cV(T1-T2) = -WBC < 0
Q=0
T2
C→ D : compressione isoterma reversibile alla temperatura T1 < T2
∆U = 0
Q 1 = WCD < 0
D→ A : compressione adiabatica reversibile
∆U = n cV(T2-T1) = -WDA > 0
Q=0
p
T1
A
Q 2 (calore assorbito al serbatoio a temperatura
superiore)
B
T=T2
C
D
U.Gasparini, Fisica I
VA
T=T1
Q 1 (calore ceduto al serb. a temperatura inferiore)
VD
VB
VC
V
3
Calori scambiati nel ciclo di Carnot :
p
A
Q2
B
T=T2
D
Q1
VA
VD
V
Q
a ss
= Q
2
= W
V
V
Q
ced
= Q
1
= W
C D
V
Q
Q
VB
V A
V D
D
= n R T1
p (V ) d V
∫
V
C
a ss
B
∫
= n R T2
A
ced
V
V
p (V ) d V
∫
=
C
VC
B
∫
=
A B
T=T1
=
( D
l n (V B
T1 ln V
/ V
C
T
/ V
A
2
V
ln
V
dV
V
= n R T2
dV
V
V
= n R T1 ln
V
B
A
D
C
C
)
)
Dall’equazione per le trasf. adiabatiche reversibili di un gas ideale:
T
T
B
A
V
V
γ − 1
B
γ − 1
A
V
V
B
A
= TCV
= T
γ −1
D
V
γ − 1
C
γ − 1
D
V
= C
VD
γ −1
T
B
V
A
V
T
V
ln
V
B
A
γ −1
B
γ −1
=
A
V
= − ln
V
γ −1
TCV
C
T
D
D
C
D
V
γ −1
Q ced
Q ass
= −
T1
T2
Rendimento del ciclo di Carnot
Il rendimento di un ciclo termico è :
η ≡
Per il ciclo di Carnot:
W
Q a ss
=
Q
η = 1 −
a ss
Q
+ Q
= 1 +
ced
a ss
Q
Q
ced
a ss
T1
T2
Il rendimento di un ciclo di Carnot dipende unicamente dalle temperature T1 e
T2 tra le quali avviene il ciclo:
non dipende dal tipo di gas impiegato, nè dall’intervallo di pressioni e volumi
considerato:
p
T=T2
η = η'
Q2
Q’ 2
T=T1
W’
W
U.Gasparini, Fisica I
Q1
Q’ 1
V
5
Ciclo di Stirling:
Ciclo reversibile di un gas ideale costituito da due isoterme e due isocore
⇒ gli scambi termici avvengono con un numero infinito di sorgenti
p
A
Q AB
Q DA
B
T=T2
Q BC
D
Si ha:
Q
DA
= ∆U
VA=VD
DA
T=T1
C
Q CD
V
VB=VC
= n cV ( T A − T D ) = − n cV ( T C − T B ) = − ∆ U
BC
W DA ≡ 0
η ≡
[
Q c ic lo
Q
W
=
=
Q ass
Q ass
Q
AB
AB
+ Q
+ Q
CD
D A
=
Q
W
C arnot
AB
+ Q
<
DA
W
= −Q
BC
W
≡ 0
C arnot
Q
B C
≡ η C arnot
AB
si osservi che:
W
C a rn ot
= Q
AB
+ Q
C 'D '
= Q
AB
+ Q
A
C D
poiche’:
Q C ' D ' = n R T1 l n (V D ' / V C ' ) = n R T1 l n (V A / V
= n R T1 l n (V D / V C ) = Q C D
B
B
]
)
D
D’
C
C’
“ Macchina frigorifera” :
E’ un sistema termodinamico che compie una trasformazione ciclica ( “ciclo frigorifero”)
assorbendo complessivamente lavoro e cedendo calore :
Q
c ic lo
= W
c ic lo
< 0
p
Qciclo=Wciclo< 0
V
Esempio: ciclo frigorifero di Carnot :
p
Q 2 < 0 (ceduto)
T=T2
T=T1
W<0
U.Gasparini, Fisica I
Q
2
Q 1 > 0 (assorbito)
> Q
V
1
Q
c ic lo
= Q
1
+ Q
2
< 0
7
Macchina frigorifera (2)
La macchina frigorifera realizza un passaggio di
energia sotto forma di calore che non avviene
naturalmente:
serbatoio di calore
T2
a temperatura T2
assorbe calore ad un ambiente
(serbatoio) a temperatura inferiore
e cede calore (in valore assoluto
maggiore del calore assorbito)
ad un ambiente a temperatura
superiore (mentre spontaneamente
avverrebbe il processo inverso:
il passaggio di calore dall’ ambiente
piu’ caldo all’ ambiente piu’ freddo).
Macchina
frigorifera
Qced < 0
Wciclo < 0
M
Qass > 0
serbatoio di calore
a temperatura T1 < T2
T1
Per ottenere cio’, e’ necessario spendere del lavoro sul sistema (W <0, dal punto
di vista del sistema), ossia fornire energia al sistema.
Essendo in questo caso:
W
ciclo
il calore ceduto all’ ambiente “caldo” e’:
= Q ciclo = Q ass + Q ced < 0
Qced = −W ciclo + Q ass = Q ass + W ciclo > Q ass
ossia uguale alla somma del calore assorbito all’ ambiente freddo piu’ l’ energia fornita
al sistema sotto forma di lavoro.
“Efficienza” o “coefficiente di prestazione”
“Efficienza” in un ciclo frigorifero:
Qass
ξ≡
Wciclo
(N.B.: a differenza del rendimento, può essere : ξ > 1 )
Per un ciclo frigorifero di Carnot :
ξ ≡
=
Q a ss
W c ic lo
=
Q
1
Q 1
+ Q
=
2
− (Q
Q
1
1
+ Q
2
)
=
1
− 1 − Q
1
1
=
n R T 2 l n (V A / V B )
− 1 + T 2 / T1
− 1 −
n R T 1 l n (V C / V D )
p
A
Wciclo < 0
/ Q
=
1
ξ =
T
2
T1
− T1
Q 2 =nRT2 ln(VA / VB ) < 0 (ceduto)
B
D
2
T=T2
C
T=T1
Q 1 =nRT1 ln(VC /VD ) > 0 (assorbito)
V
l’efficienza del ciclo frigorifero tende a zero quando tende a zero
la temperatura assoluta della sorgente alla quale si sottrae calore
9
“Pompa di calore”
L’efficienza di una macchina frigorifera di Carnot è:
Q ass
ξ ≡
=
W
Q1
Q1 + Q
2
ξ =
1
1
=
=
− 1 − Q2 / Q1
− 1 + T 2 / T1
T2
T1
− T1
Operando a temperature ordinarie (T ≅ 300 K) e con piccoli intervalli di
temperature (ad es. : ∆T = T2 -T 1≅ 10 K ) è possibile sottrarre grandi
quantità di calore all’ambiente più freddo utilizzando piccole quantità di energia
sotto forma di lavoro: si realizza una macchina frigorifera detta “pompa di calore”
W< 0
T2
T 1 <T2
Q1
( ambiente
esterno)
Q2 (ambiente
interno)
“pompa di calore”
(negli impianti
reali: ξ~ 3 )
277
ξ=
= 15,4
18
Esempio: T2 = 22 C ≅ 295 K, T1 = 4 C ≅ 277 K
per fornire una casa di una quantità di calore pari a Q2 Joule, è sufficiente impiegare
un lavoro:
Q 1
1 T1
0 , 94
W
=
ξ
=
ξ T
Q
2
=
2
(per un riscaldamento convenzionale :W ≅ Q2 )
15 , 4
Q
2
≅ 0 , 06 ⋅ Q
2
Fluidi reali
Il comportamento di un fluido reale è descritto nel piano (p,V) dal
“diagramma di Andrews”:
pV= costante (gas ~ideale)
p
gas
liquido
pressione di
vapore alla
temperatura T
“curva di Andrews”
S-L
pressione di
punto triplo
“isoterma critica” T≡ TC
L
G
liquido-vapore
S
ptr
solido-vapore
Descrizione “tridimensionale” nello spazio (p,V,T):
p
“curva di
fusione”
S
ptr
L
Ttr
“punto
triplo”
“curva di sublimazione”
isoterma alla temperatura T
V
Equilibrio
solido-liquido-vapore : p = ptr ,
T =Ttr
“curva di
evaporazione”
V
vapore
T
T=TC
T=T2
T=T1
T=Ttr
V
Diagramma p-T :
p
H2O
“pressione di fusione”
curva di
fusione
dp (T )
< 0
dT
(
)
gas
(es.:H2O)
liquido
curva di
evaporazione
solido
ptr
dp(T )
> 0
dT
vapore
punto triplo
Ttr
curva di sublimazione
“tensione di vapore”
TC
T
“temperatura critica”:
temperatura al di sopra della quale
la sostanza esiste solo allo stato di gas
L’andamento p(T) della pressione di evaporazione (pressione alla quale si ha la
transizione liquido-vapore ad una data temperatura, “tensione di vapore saturo”) è
data dalla eq.di Clapeyron:
d p
d T
=
calore latente di evaporazione
λ
T (vV
− v
volume specifico
nella fase di vapore
L
)
vol. spec.nella
fase liquida
che è ricavabile sulla base di considerazioni termodinamiche molto generali.
Equazione di Clapeyron
Consideriamo infatti un ciclo di Carnot “infinitesimo” (ossia tra due isoterme a distanza
infinitesima dT) utilizzando come sostanza un vapore saturo:
p
curva di Andrews
T+dT
T
VL
V
VV
volume del ” liquido saturo”
volume del ” vapore saturo”
Il rendimento del ciclo di Carnot non dipende dalla sostanza che compie il ciclo, e vale:
η = 1−
D’altra parte:
η ≡
T
1
dT
dT
= 1−
= 1 − 1 −
=
T + dT
1 + dT / T
T
T
d p (V V − V
W
=
Q a ss
m λ
L
)
dT
T
dove si sono introdotti i volumi specifici:
e quindi:
U.Gasparini, Fisica I
dp
dT
=
vV
λ
T (vV − v
L
)
=
,L
d p (vV − v
λ
≡
VV
L
)
,L
m
13
Trasformazioni di fase
L’eq. di Clapeyron è inoltre valida per una generica trasf.di fase 1→ 2 :
dp
dT
λ
=
T (v
calore latente della trasf.
− v1 )
2
Per trasf. L → V e S → V è sempre:
v V
> v S
e
( ossia, per le densità: ρ V < ρ L , S
v
V
>
v
L
)
d p
d T
⇒
> 0
(le curve p(T) di evaporazione e di sublimazione nal piano (p,T) hanno sempre
pendenza positiva ; cfr. slide nr. 9)
Per trasf. S → L si possono avere diversi comportamenti:
- per la maggioranza delle sostanze :
v
> v
L
ρ
S
< ρ
L
⇒
S
dp
dT
> 0
vi sono però importanti eccezioni, come l’acqua :
v
ρ
U.Gasparini, Fisica I
L
L
< v
S
> ρ
S
(il ghiaccio galleggia)
⇒
dp
< 0
dT
14
Trasformazione di fase liquido-vapore
Per la trasformazione di fase liquido-vapore, l’eq. di Clapeyron , con alcune
approssimazioni generalmente ben verificate, può essere facilmente integrata:
dp
λ
=
dT
T (vV − v
d p
p
=
)
L
ln p =
2
λ
T vV
=
λm
TV
vV > > v L
λ A d T
R T
≈
con :
− λ A
+ C
R T
=
λm p
nRT
2
vapore ≈ gas ideale: V= nRT /p
A ≡ m / n
massa molare
assumendo λ indipendente dalla
temperatura (ciò è vero se si è abbastanza lontani
dal “punto critico”)
La “tensione di vapor saturo” ad una data temperatura T aumenta con la
temperatura:
p (T ) = p0e − λA /RT
p
solido
ptr
U.Gasparini, Fisica I
liquido
vapore
gas
15
punto triplo
T
Gas reali: eq. di van der Waals
Il comportamento di un gas reale puo’ essere meglio approssimato introducendo dei termini
correttivi nell’ eq. di stato del gas ideale:
pV = nRT
an 2
p +
V 2
(V − nb ) = nRT
“eq. di van der Waals”
Correzione di pressione:
la risultante delle forze (attrattive) di interazione
tra le molecole del gas non si compensano per
le molecole che si trovano “vicino” (a distanza di
alcuni raggi molecolari) alle pareti del recipiente:
la pressione sulla parete risulta minore della
“pressione interna” del gas (la grandezza che
entra nell’ eq. di stato). Il termine correttivo
e’ proporzionale al quadrato della densita’ (~ n/V )
p
(correzione piccola: si confonti il valore di b con
il volume molare: V 0 = 22 , 4 ⋅ 10 − 3 m 3
)
liquido
gas
isoterma di van der Waals
isoterme reali
G
L
ptr
liquidovapore
vapore
V
