(*i)-/(f.) - Seminario Matematico

FRANCESCO LERDA
ANALISI CRITICA DEI FONDAMENTI
DELL'INTUIZIONISMO (*)
INTRODUZIONE
Questa tesi è nata con lo scopo di realizzare un esame dettagliato dei principi, dei metodi e dei risultati della matematica intuizionistica.
L'opportunità di un tale studio è comprovata, credo, dal fatto
che fino al 1956 non si era praticamente pubblicato nulla in Italia
sulla scuola olandese. Le prime notizie comparse sull'argomento
nella letteratura italiana sono, se non vado errato, le seguenti :
E.
CARRUCCIO,
Matematica e logica nella storia e nel pensiero contemporaneo, pagg. 514-515, 2 a ediz. lit., Gheroni, Torino
1952 (**).
L.
GEYMONAT,
0.
ZARISKI,
Storia e filosofia dell'analisi infinitesimale,
264-277, Levrotto e Bella, Torino 1947.
pagg.
pagg. 160-16,3 delle « n o t e » del testo:
Dedekind, « Essenza e significato dei numeri », A. Stock, Roma
1926.
Si è trattato in ogni caso di articoli informativi molto brevi, nei
quali non era possibile esaminare in concreto la costruzione della
matematica secondo lo spirito brouweriano.
(*) Tesi di Laurea in Scienze Matematiche presso l'Università di Torino (febbraio
1960) : relatore Prof. ETTORE CARRUCCIO.
(**) Il volume è oggi pubblicato a stampa presso lo stesso editore.
— 122 —
Ecco ora in sintesi quelli che mi sembrano i tratti più caratteristici di questo lavoro:
1) L'esame della matematica intuizionistica è stato basato
esclusivamente sull'analisi dei lavori originali degli intuizionisti
stessi, in particolare di BROUWER ed HEYTING. Non si è accettato
nulla di seconda mano, e si è dato ampio spazio alle citazioni di
fondo; le interpretazioni intuizionistiche di autori non appartenenti alla scuola sono state presentate esplicitamente nella loro
veste effettiva.
2) E riportata, grazie all'autorizzazione gentilmente concessa dal Prof. HEYTING, la corrispondenza che ho avuto col
Prof. HEYTING stesso a proposito del concetto di « esistenza matematica » in relazione alle « successioni di libere scelte », che giocano un ruolo fondamentale nella costruzione brouweriana. Penso
che tale discussione e le prospettive che essa, a mio avviso, apre,
costituiscano l'aspetto più interessante di tutta la tesi. Non è, purtroppo, possibile riassumerne qui i concetti fondamentali, essendo
necessaria, per una sua esatta comprensione, la conoscenza dettagliata dei fondamenti della matematica intuizionistica.
3) È richiamata la comunicazione che presentai al « Convegno sui problemi dell'automatismo » tenutosi a Milano nell'aprile
del 1956; tale scritto si riferisce ad una interpretazione originale
dell'intuizionismo nel campo del funzionamento delle macchine
calcolatrici e dei sistemi di commutazione telefonica.
4) L'analisi contenuta nelle pagine che seguono non copre
tutto il campo della matematica intuizionistica; sono trattati in dettaglio gli argomenti relativi alla logica ed alla teoria degli insiemi,
nonché i principi della teoria dei numeri reali. Tale analisi è però
eseguita piuttosto in profondità, per cui essa risulta, spero, completamente sufficiente per cogliere lo spirito dell'opera brouweriana.
5) Nell'ultimo capitolo è fatto cenno ad alcune direttive di
ricerca, anche queste, penso, originali, sia in campo strettamente
matematico (in relazione alle discussioni sulle successioni di libere
scelte), sia nel campo dei fondamenti della ricerca fisica.
Nella preparazione di questo lavoro ho potuto usufruire dell'esperienza, dei suggerimenti e dei consigli affettuosi del Prof. E T TORE CARRUCCIO, al quale va tutta la mia gratitudine.
— 123 —
Infine, esprimo un pensiero riconoscente alla memoria del
compianto Prof. GUIDO A S C O L I , che mi ha seguito in queste ricerche con l'acutezza di giudizio che Gli era propria e soprattutto con
indimenticabile umanità.
CAP. I. - NOTIZIE STORICHE
1)
GENERALITÀ.
U intuizionismo costituisce una delle attuali scuole matematiche.
Fondatore universalmente riconosciuto ne è l'olandese L. E. J. BROUWER (*), anche se, come di solito avviene, già in precedenza si possano riscontrare i germi delle idee intuizionistiche, particolarmente
in L.
KRONECKER.
I primi lavori di BROUWER videro la luce fra il 1907 ed il
1910; la parte più ampia della sua opera fu pubblicata nella terza
decade di questo secolo e negli anni dal 1942 ad oggi. Si tratta
quindi sostanzialmente di un lavoro i cui inizi sono circa contemporanei agli studi di HILBERT che portarono alla fondazione della
scuola formalistica, ed alla comparsa dei Principia Mathematica
di WHITEHEAD e R U S S E L , base della scuola logicistica.
L'opera di BROUWER non fu soltanto un lavoro di pioniere; pur
dovendo innanzitutto essere considerato un enunciatore di idee
generali e di definizioni fondamentali, molte delle quali destinate
ad essere raccolte e sviluppate dai suoi collaboratori, egli spinse
notevolmente innanzi le sue considerazioni in campi particolari
conseguendo interessantissimi risultati.
Fra i suoi allievi va citato in primo luogo A. HEYTING ( 2 ), sia
per la « fedeltà » alle idee del Maestro come per la mole e l'intrinseco valore dei suoi contributi alla ricostruzione della matematica secondo le idee e lo spirito intuizionistici.
2)
ALCUNE
CONSIDERAZIONI
PRELIMINARI.
Nell'esporre i principi, il metodo e le realizzazioni di una data
(1) BROUWER L. E. J., nato nel 1881 ad Overschie (Olanda); professore di geometria all'Università di Amsterdam dal 1912.
(2) HEYTING A., nato nel 1898 ad Amsterdam, presso la cui Università insegna geometria, algebra e filosofia della matematica dal 1949.
— 124 —
disciplina si possono seguire in generale due vie: la prima consiste nel rinunciare inizialmente ad uno sguardo d'insieme per presentare subito, pezzo su pezzo, il materiale che si vuole esaminare,
riservando a più tardi le considerazioni di maggior respiro; la
seconda si realizza invece dando inizialmente una visione panoramica delle questioni da trattare, avvicinandosi poi a queste ultime
quando già si sia formata una certa « predisposizione ». Il primo
modo di procedere trova la sua realizzazione più pura nel «metodo assiomatico » tanto caro ai matematici ; non ho però ritenuta
opportuna una trattazione di tal tipo soprattutto perchè, come risulterà in seguito, l'intuizionismo non vuol essere un insieme di regole
rigidamente determinate ma un campo in continuo divenire, che
sfugge ad ogni definizione staticamente costrittiva. Inizierò quindi
con delle considerazioni generali, affrontando in seguito i singoli
argomenti specifici.
Per l'esposizione dei principi e delle idee intuizionistici mi sono
spesso servito delle formulazioni originali di BROUWER ed HEYTING;
le citazioni originali sono presentate fra virgolette.
3)
I PRECURSORI DELL'INTUIZIONISMO:
KRONECKER.
Come si è già accennato, l'intuizionismo ha in L. KRONECKER
il suo « profeta ». Ritengo di conseguenza opportuno richiamare i
principi fondamentali della concezione matematica dello studioso
tedesco come utile premessa a questo lavoro.
KRONECKER fu contemporaneo di W E I E R S T R A S S e di CANTOR,
contro le concezioni matematiche dei quali combattè strenuamente,
restando tuttavia a quel tempo, per un complesso di circostanze
non legate all'intrinseco valore delle sue considerazioni, «vox clamans in deserto ».
I seguenti punti danno un'idea della concezione matematica
di
KRONECKER:
a) non è accettabile Vinfinito attuale come fondamento della
teoria degli insiemi e dei numeri reali; in particolare non è accettabile la definizione diretta di infinito ed indiretta di finito presentate da DEDEKIND;
b) tutte le definizioni e dimostrazioni devono essere « costruttive » ; la definizione di un'entità matematica deve cioè permettere
la sua costruzione partendo da entità già costruite e con una sue-
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cessione finita di operazioni; ad esempio, fornendo una regola di
costruzione data in termini finiti e realizzabile in modo finito.
Altrettanto dicasi per le dimostrazioni.
Si comprende subito come entità quali Yinsieme di tutti gli
insiemi, Yinsieme di tutti i numeri reali, ecc., siano per KRONECKER concetti matematicamente non definiti; analogamente le
dimostrazioni per assurdo, in quanto tali, risultano inaccettabili;
e) dalla matematica va escluso ciò che non si può costruire
con metodi finiti partendo dall'aritmetica dei numeri naturali.
Si tratta quindi di una « matematica » sostanzialmente più
« povera » di quella classica ;
d) argomenti di natura puramente logica non rendono necessariamente legittimi i teoremi matematici.
È una conseguenza naturale dell'esigenza che le dimostrazioni
siano costruttive;
e) i numeri naturali e le operazioni su di essi hanno il loro
fondamento nell\< intuizione ».
Su questa « intuizione » si è discusso molto e si discuterà ancora chissà fin quando; poiché la questione si ripresenta con BROUWER, rimando al seguito qualche approfondimento sull'origine
intuitiva della matematica.
4)
ANCORA
SUI PRECURSORI
DELL'INTUIZIONISMO.
Non soltanto in KRONECKER si notano i primi sintomi di quella
concezione della matematica che troverà in BROUWER il suo formulatore sistematico; in particolare l'opera di POINCARÉ, come
quella di BOREL, LEBESGUE, BAIRE ed altri, reca chiare tracce di
concetti intuizionistici ; parecchie indicazioni sul « semiintuizionismo » francese di BOREL, LEBESGUE, HADAMARD, BAIRE, ecc. si
trovano in HEYTING [10, 21].
Ho però voluto esporre in qualche dettaglio il pensiero di
KRONECKER poiché mi sembra, fra tutti, quello che meglio preluda
all'intuizionismo brouweriano.
Ricordo ad ogni modo ancora la netta opposizione di POINCARÉ
ai tentativi di basare la matematica sulla logica.
-
126 —
CAP. II. - PRINCIPI GENERALI DELL'INTUIZIONISMO
1)
GENERALITÀ.
In questo capitolo mi propongo di concretare la visione panoramica delle prospettive intuizionistiche cui si è accennato in precedenza, prima di affrontare i singoli argomenti specifici. Ritengo
intanto opportuno precisare che, salvo avviso contrario, in tutto
il lavoro parlando di « letteratura intuizionistica » intendo questo
termine come sinonimo di « letteratura sull'intuizionismo » e non
di «letteratura degli intuizionisti»; ove sarà opportuno o necessario distinguere, lo si farà.
2)
ALCUNI PRINCIPI FILOSOFICI
DELL'INTUIZIONISMO.
L'intuizionismo interpreta la matematica come la parte esatta
del nostro pensiero ( 1 ).
Questa definizione esige dei chiarimenti.
Innanzi tutto la matematica è intesa come parte del pensiero
umano ("); essa non è cioè un sistema di termini, simboli, teoremi,
ma una attività dello spirito; non è un « particolare risultato » delresperienza spirituale ma un «particolare modo di vivere questa
esperienza» ( 3 ).
Tale particolare modo di vivere l'esperienza dello spirito è
realizzato, secondo l'intuizionismo, in questi e soltanto in questi
casi :
a) Compiere un atto mentale (4) astraendo da tutti i suoi
(1) « Selon BROUWER, la mathématique s'identifie avec la partie exacte de notre
pensée» (HEYTING [21], pag. 13).
Per BROUWER la matematica coincide con la parte esatta del nostro pensiero.
(2) « Mathematics has to be regarded as a part of human activity, rather than as a
system of books, theorems, words or symbols» (V. DANZIG [1], pag. 918).
La matematica deve essere considerata una parte dell'attività umana piuttosto che
un sistema di testi, teoremi, parole o simboli.
«Die intuitionistische Mathematik ist eine Denktàtigkeit. » (HEYTING [5], pag. 42).
La matematica intuizionistica è una attività di pensiero.
(3) « Particolare modo di vivere » nel senso di « compiere in una determinata prospettiva », cioè ancora « compiere ponendo attenzione a certi aspetti e trascurando altri
dell'attività che si compie ».
(') I termini « spirituale », « mentale », « di pensiero », ecc. sono considerati in
questo lavoro, salvo avviso contrario, come sinonimi.
— 127
-
aspetti particolari per assumere coscienza della sua semplice unità
differenziata, individuandolo col distinguerlo dal resto di un determinato « universo di vita spirituale ». Questo universo di vita
spirituale può essere o la vita del nostro spirito considerata nella
sua totalità, oppure un «momento di vita spirituale» (intendendo
il «momento» come «periodo», non come «istante»).
L'individuazione dell'atto, cioè la sua « messa in parentesi »,
è resa possibile dall' intuizione del fluire del tempo, che costituisce
p
^-priori fondamentale della nostra attività di pensiero.
Un atto mentale del tipo di cui sopra costituisce la realizzazione
di una bi-unità (unità nella individuazione di un atto della mente,
bi-unità in quanto tale individuazione è resa possibile solo^da un
processo di contrapposizione nei confronti di un «resto di attività
della mente »).
b) Realizzare un numero finito di bi-unità in successione temporale, «esterne» (°) l'una all'altra nel tempo, rispetto al quale
sono ordinate.
Nella realizzazione di una bi-unità si è limitati a prioriori
esclusivamente dalla struttura del nostro pensiero, nel cui ambito
si ha libertà di scelta. Questa libertà di scelta può venire volontariamente limitata, ad ogni stadio della successione di atti, per gli
atti successivi. La bi-unità è il fondamento del discreto, la libertà
di scelta il fondamento del continuo. Bi-unità e successioni limitate
di bi-unità costituiscono le sole entità matematiche ammesse dagli
intuizionisti (le stesse «successioni di libere scelte» di cui si dirà
più avanti sono, ad ogni stadio della loro costruzione, successioni
limitate di bi-unità), e matematica è la realizzazione di tali entità.
In seguito considereremo particolari tipi di bi-unità; per la esatta
comprensione di quanto verrà detto è necessario tenere rigorosamente conto della precisata concezione della matematica.
Quanto esposto in a) e b) si presta a numerose importanti considerazioni, molte delle quali verranno presentate man mano che
lo studio procederà. Si può intanto osservare come l'intuizionismo
veda a base della nostra attività esatta di pensiero non Vunità pura
e semplice ma una sintesi indissolubile di unità e di molteplicità,
in particolare di unità e di coppia, la quale sintesi genera nello
(n) « Esterne » nel senso che l'istante iniziale e quello finale di una precedono
entrambi sia l'istante iniziale che quello finale dell'altra.
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stesso momento i concetti di uno e di due, nessuno dei quali ha una
priorità di alcun genere sull'altro per quanto riguarda la loro
genesi, ognuno dei quali anzi non può sussistere se non sussiste
l'altro (G).
(") « This neo-intuitionism considera the falling apart of moments of li.fé into
qualitatively difTerent parts, to be reunited only while remaining separated by time, as
the fundamental phenomenon of the uman intellect, passing by abstracting from its
emotional content into the fundamental phenomenon of mathematica! thinking, the
intuition of the bare two-oneness. » (BROUV/ER [4], pag. 85).
Questo neo-intuizionismo considera come evento elementare dell'intelletto umano
il dividere i momenti della vita in parti qualitativamente diverse, che possono essere
riunite solo rimanendo separate, nel tempo, ed ammette come elementare evento del
pensiero matematico il processo di spogliare questa suddivisione da ogni contenuto
emozionale, finché rimane soltanto l'intuizione dell'astratto di bi-unità.
« Mathernatics is a languageless activity of the mind having its ori gin in the basic
phenomenon of the perception of a move of time, which is the falling apart of a li fé
moment into two distinct things, one of which gives way to the other, but is retained
by memoiy. If the two-ity thus born is divested of ali quality, there remains the common substratum of ali two-ities, the mental creation of the empty two-ity. » (BROUWER
[45], pag. 2).
La matematica è un'attività mentale non linguistica, avente la sua origine nel fondamentale fenomeno della percezione di un fluire del tempo, il quale fluire è lo spezzarsi di un momento di vita in due cose distinte, una delle quali cede il passo all'altra,
ma è trattenuta dalla memoria. Se la bi-unità così originatasi viene spogliata di ogni
contenuto qualitativo, rimane il substrato comune a tutte le bi-unità, la creazione mentale della bi-unità astratta.
« A la base se trouve d'abord le concept d'entité, c'est à dire d'un objet ou d'une
sensation que nous considérons corame donne séparément du reste du monde. Ensuite
nous pouvons distinguer une telle entité d'une autre, et enfin nous pouvons nous représenter une répétition indéfinie de ce deuxième processus. » (HEYTING [21], pag. 14).
Sta a fondamento in primo luogo il concetto di unità, cioè di un oggetto o di
una sensazione che noi consideriamo presenti e separati dal resto del mondo. In
secondo luogo possiamo distinguere una tale entità da un'altra, ed in terzo luogo
possiamo immaginare una illimitata ripetizione di questo secondo processo.
« L'origine des mathématiques intuitionnistes n'est pas située dans un système
philosophique déterminé. Seulement, pour les bien comprendre, il est utile d'admettre
qu'en mathématique l'esprit est actif, constatation moins de nature philosophique
qu'empirique et confirmée par l'introspection mentale. L'élément le plus important de
cette activité est d'isoler un object on un complexe de sensations, ce qui donne lieu à
l'idée (Tenute mathématique; ensuite, la possibilité d'une répétition indéfinie de cet
acte de creation d'une entité méne au concept de nombre naturel. » (GONSETH [2],
pag. 73) (il testo è di HEYTING).
Il sorgere della matematica intuizionistica non va ricercato in un sistema filosofico
determinato. Per ben comprenderlo è utile ammettere che nel comportamento matematico lo spirito è attivo, constatazione più empirica che non filosofica, e confermata
dall'introspezione mentale. Il più importante elemento di tale attività è Visolare un
oggetto o un complesso di sensazioni, il che dà luogo all'idea di entità matematica; poi,
la possibilità di una ripetizione illimitata di quest'atto creatore di un'entità porta al
concetto di numero naturale.
« L'intuitionnisme refuse l'intuition géométrique, l'intuition du sensible au sens
kantien. Il se replie sur la prise de conscience d'actes mentaux élémentaires: la répétition e le libre choix. » (GONSETH [2], pag. 63).
L'intuizionismo rifiuta l'intuizione geometrica, l'intuizione del sensibile in senso
— 129 —
Gli atti mentali costituenti le bi-unità possono riferirsi ad oggetti fisici ; può trattarsi ad esempio della « considerazione », cioè
della «osservazione cosciente» di oggetti del mondo fisico (caso
particolarmente importante per la matematica: segni grafici). Così
BROUWER dice testualmente : « alla base della matematica sta una
illimitata successione di segni semplici o composti, che sono determinati da un primo segno e da una legge la quale da ognuno di
questi segni deriva quello immediatamente seguente. È particolarmente utile a questo scopo la serie dei numeri naturali
1-, 2 , 3 , . . . » ( >
Queste righe non devono trarre in inganno ; il « numero naturale » non è da BROUWER considerato semplicemente un simbolo,
come la serie naturale non risulta una semplice successione di
simboli ; « matematica » non è cioè la successione di quei segni
né ciascuno di essi né i risultati grafici della loro manipolazione,
ma l'attività spirituale che si sviluppa nel realizzare e nello studiare quei segni e quei risultati.
I numeri naturali non sono infatti introdotti sic et simpliciter
da BROUWER nel modo detto più sopra. La realizzazione dei numeri naturali costituisce l'esempio tipico di attività esatta del pensiero e viene così presentata da BROUWER : « questa intuizione della
bi-unità, l'intuizione base della matematica, genera non solo i
numeri 1 e 2, ma anche tutti i numeri ordinali finiti, in quanto uno
degli elementi della bi-unità può essere pensato come una nuova
kantiano. Esso ripiega sulla presa di coscienza di atti mentali elementari: la ripetizione e la libera scelta.
« In its most elementary form it (mathematics) consists of fixing our attention
upon a single one out of the totality of our perceptions, and of distinguishing this one
from the rest of them.
... This mental process BROUWER calls... the primordial intuition (« Urintuition ») of
mathematics, or also time-intuition, as also the possibility of ordering our perceptions
according to time is not reducible to a more elementary mental process. » (Van DANTZIG [1], pag. 918).
Nella sua forma più elementare la matematica consiste nel fìssai-e la nostra attenzione su una singola percezione nella totalità delle nostre percezioni stesse, e nel distinguere quella dalle restanti... BROUWER chiama questo processo mentale... l'intuizione
primordiale della matematica, o anche l'intuizione temporale, in quanto la stessa possibilità di ordinare le nostre percezioni nel tempo non è riducibile ad un processo mentale più elementare.
O Der Mathematik liegt eine unbegrenzte Folge von Zeichen bzw. endlichen
Zeichenreihen zugrunde, welche bestimmt wird durch ein erstes Zeichen und das
Gesetz, das aus jeder dieser Zeichenreihen die nàchstfolgende herleitet. Insbesondere
ist zu diesem Zweck die Folge £ der « Nummern » 1, 2, 3, 4, 5, ... brauchbar (BROUWER [19], pag. 244).
— 130 —
bi-unità, e questo processo può essere ripetuto indefinitamente» ( 8 ).
BROUWER non definisce cioè il numero naturale n, ma la realizzazione di n bi-unità. Quando egli parla dei simboli 1 , 2 , 3 , . . .
come di numeri, non fa evidentemente altro che riferirsi ai « nomi »
che si assegnano a successioni terminate di bi-unità quando queste
vengono realizzate ponendo mente in esse all'unico carattere della
« numerosità ».
L'impressione immediata che nasce nel considerare lo schizzo
tracciato nelle pagine precedenti sul pensiero intuizionistico è
che l'intuizionismo stesso si riduca a « sfrondare » la matematica
classica da tutto ciò che non ricade nel dominio del « costruibile ».
Occorre però tener presente che proprio qui interviene il lato positivo del pensiero intuizionistico con l'erezione di un edificio matematico basato sì sui presupposti descritti, ma costituente una produzione originale che non trova riscontro in quanto realizzato dalla
matematica classica. L'esame effettivo della « costruzione » della
matematica intuizionistica può però essere rimandato al Cap. IV
poiché quanto fin qui detto permette già di affrontare in modo rigoroso il ^problema della « logica » nella prospettiva brouweriana, il
che sarà fatto nel Cap. III.
3) I L PROBLEMA
DELL'INTUIZIONE.
La concezione intuizionistica della matematica è, sotto un certo
punto di vista, assai più ampia delle altre; essa si estende in ultima
analisi a tutte le scienze, anche alla filosofia ed alla logica, ed
ancora al campo extra-scientifico, ovunque si presenti una « forma
esatta » di attività mentale. Si sarebbe indotti a prima vista ad
ammettere, secondo una felice espressione con cui il Prof. GUIDO
ASCOLI commentava il pensiero intuizionistico, che c'è matematica
ovunque si ragioni. Non va però dimenticato che le forme esatte
del pensiero sono per l'intuizionista limitate alla realizzazione di
bi-unità, ed alla realizzazione effettiva, senza riferimento alla eventuale esistenza oggettiva di « universi » sui quali si modellino le
bi-unità e le loro successioni.
(8) This intuition of two-oneness, the basai intuition of mathematics, creates not
only the numbers one and two, but also ali finite ordinai numbers, inasmuch as one
of the elements of the two-oneness may be tought of as a new two-oneness, which
process may be repeated indefinitely (BROUWER [4'|, pag. 85).
— 131 —
Ora, su cosa si regge il comportamento spirituale che si esplica
nella costruzione della matematica, vale a dire che cos'è che garantisce la liceità delle nostre costruzioni mentali esatte? La risposta
dell'intuizionista è questa: la matematica ammette una sola sorgente: l'intuizione. E che cos'è questa intuizione? A tale domanda
HEYTING COSÌ risponde: «...la matematica deve essere senza presupposti, onde non resta altra sorgente che una intuizione la quale
ce ne presenta i concetti e le conseguenze come immediatamente
chiari alla nostra intelligenza. Si interpreta questa intuizione di
BROUWER non già nel senso che essa ci procuri in modo mistico uno
« sguardo » sul mondo. Essa non è altro che la capacità di considerare separatamente determinati concetti e conseguenze che^si presentano abitualmente nel comune pensare» ( 9 ).
Ancora HEYTING aggiunge:
«...non bisogna interpretare il termine «intuizione» in un
senso antirazionalistico; noi non intendiamo con questo termine
indicare una sorgente di conoscenza indipendente dall'intelligenza
o addirittura a questa opposta, ma al contrario una forma di attività dell'intelligenza stessa. L'intuizione non ci fornisce in modo
mistico delle « informazioni » sulla realtà a noi esterna, ma è
attiva in matematica nello stesso modo di come ce ne serviamo
nella vita di ogni giorno» ( 10 ).
A questo punto è già possibile trarre qualche conclusione. In
primo luogo si devono distinguere due tipi di intuizione: la Urintuition o intuizione primordiale in base alla quale compiamo gli
atti fondamentali del nostro comportamento spirituale esatto, e
che si identifica sostanzialmente con Va-priori temporale di KANT;
ed una intuizione che possiamo chiamare di secondo grado, la
quale è la regola del nostro comportamento spirituale esatto sul
(D) ... la mathématique doit ètre en ce sens sans présuppositions, alors il ne lui
reste aucune autre source qu'une intuition qui nous place devant les yeux ses concepts
et ses conclusions comme immédiatement clairs. Qu'on n'interprète pas cette intuition
brouwérienne comme si elle nous donnait, d'une manière « mystique », une vue sulle monde. Elle n'est rien d'autre que la faculté de considérer séparément certains concepts habituels (HEYTING [21], pagg. 13-14).
(10) ... il ne faut pas prendre ici le mot « intuition » dans un sens antirationaliste ;
nous n'entendons pas, par ce mot, une source de connaissaince indépendente de l'intelligence ou mème opposée à celle-ci, mais au contraire une forme d'activité de l'intelligence elle-mème. L'intuition ne nous confère pas « d'une fagon mystique » des renseignements sur le monde extérieur, mais elle s'exerce en mathématiques de la méme
manière que nous l'utilisons dans la vie de tous les jours (GONSETH [2], pag. 74)
(il testo è di HEYTING).
— 132 —
cui fondamento noi controlliamo se i nostri atti mentali elementari (realizzati in base alla Urintuition) formano o meno una costruzione verificante quelle condizioni che noi stessi in precedenza
abbiamo stabilite.
L'Urintuition è la « forma pura » o « struttura a priori » sotto
cui la mente umana prende coscienza dei suoi atti esatti più elementari, che sono la realizzazione di successioni di bi-unità; questa
forma pura si rivela come percezione del fluire del tempo, nel
senso che noi prendiamo coscienza dei nostri atti esatti di pensiero
(i quali intanto sono «fecondamente» compiuti in quanto ci accorgiamo di compierli) nel vederli ordinati temporalmente.
Ora questa è proprio la « reine Anschauung », la « intuizione
p u r a » di KANT, con la sola differenza che si è abbandonata (ammaestrati dal sorgere e dall'affermarsi delle geometrie non euclidee) l'a- priorità dello spazio, accentuando quella del tempo.
Per quanto riguarda invece l'intuizione di secondo grado, sulla
quale pone l'accento in particolare HEYTING, essa non va intesa:
a) alla SCHOPENHAUER, il quale considera « intuizione » ogni
conoscenza data d'un colpo e senza concetti (che in fondo non sembra essere altro se non lo « sguardo mistico sul mondo » di cui
parla HEYTING);
b) secondo BERGSON, per il quale «l'intuizione è una forma
di simpatia intellettuale per mezzo della quale ci si trasporta
all'interno di un oggetto onde coincidere con ciò che esso ha di
unico e, per conseguenza, di inesprimibile» (BERGSON, Introduction à la métaphysique, « Révue de métaph. », gennaio 1903) ;
e) secondo POINCARÉ, come sicurezza e rapidità di giudizio,
quasi una divinazione d'istinto («...questa intuizione dell'ordine
matematico, che ci fa cogliere come per divinazione armonie e
relazioni nascoste », Science et méthode, pag. 47 ; « si dimostra
per mezzo della logica, si inventa per mezzo dell'intuizione... La
facoltà che ci fa vedere è l'intuizione», Science et méthode,
pag. 137).
Ed ecco ora alcuni passi particolarmente significativi tratti
dalla letteratura intuizionistica:
a) « per la costruzione della matematica non è necessaria l'esposizione di leggi logiche valide in generale; queste leggi vengono
in ogni singolo caso per così dire riscoperte come valide in rela-
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zione al sistema matematico in studio» (HEYTING [6], pag. 42) ( 11 ).
ò) « Spesso certi matematici ci chiedono di formulare esattamente i nostri assiomi di logica e di matematica; in seguito si
potrà studiare questo sistema di assiomi... Noi non sapremo mai
accettare una simile posizione. Per noi la matematica consiste in
una attività intellettuale spontanea; l'espressione ottenuta con la
parola o lo scritto, anche se indispensabile per la comunicazione,
non è mai adeguata. Inoltre, non si saprà mai se un dato sistema
di assiomi esaurisca le forze creatrici dello spirito matematico »
12
(GONSETH [2], pagg. 74-75) ( ) (il testo è di HEYTING).
e) «... Ogni conclusione in un ragionamento matematico deve
essere chiara immediatamente, senza l'intermediario di una regola
logica. Nella maggior parte dei casi in cui sembra che noi applichiamo una regola di logica, questa apparenza trae origine da particolarità del linguaggio il quale non è fatto per esprimere le costruzioni mentali. La divisione in teoremi e dimostrazioni mal si adatta
alla matematica intuizionistica; essa insinua troppo che si tratta
di fatti, constatati nei teoremi e scoperti per mezzo delle dimostrazioni. La rappresentazione adeguata di una teoria intuizionistica
dovrebbe essere costituita da una descrizione dei risultati di costruzioni effettuate in precedenza (o supposte), dalla descrizione della
costruzione di cui si tratta, di preferenza per mezzo di imperativi,
dalla constatazione del risultato ottenuto e di certe proprietà che
in esso si notano » (HEYTING [18], pag. 75) ( 13 ).
( n ) Zum Aufbau der Mathematik ist die Aufstellung allgemeingultiger logischer
Gesetze nicht notwendig; diese Gesetze werden in jedem einzelnen Fall gleichsam von
neuem entdeckt als giiltig fur das eben betrachtete mathematische System.
(12) Souvent des mathématiciens nous demandent de formuler exactement nos
axiomes de logique e de mathématiques ; ensuite on pourrait étudier ce système d'axiomes au mème titre q u e d'autres systemes. C'est là u n e position que nous n e saurions
accepter. P o u r nous, les mathématiques consistent en u n e activité intellectuelle spontanee; l'expression par la parole ou p a r l'écriture, quoiqu'indispensable pour la communication, n'est jamais adequate. E n outre, on ne saura jamais si un système donne
d'axiomes épuise les forces créatrices de l'esprit mathématique.
(13) ... toute conclusion dans un raisonnement mathématique doit étre claire immédiatement, sans l'intermédiaire d'une règie logique. Dans la pluspart des cas òu il
parait que nous appliquions une règie de logique, cette apparence est produite par des
particu'larités du language qui n'est pas fait pour exprimer les constructions mentales.
La division en théorèmes et démonstrations est mal adaptée aux mathématiques intuitionnistes; elle suggère trop qu'il s'agit de faits, constatés dans les théorèmes et découverts par les démonstrations. La description adequate d'une théorie intuitionniste serait
composée d'une description des résultats de constructions effectuées d'avance (ou supposées), description de la construction qu'on a en vue, de préférence par des imperatifs,
constatation du résultat optenu et de certaines propriétés qu'on y remarque.
9
— 134 —
d) « ...La logica non è né il fondamento della matematica né
uno strumento indispensabile per la sua costruzione» (HEYTING
[18], pag. 76) (").
e) « Mentre l'uso di concetti matematici nel pensiero empirico
procede da sé, solo di proposito si giunge all'isolamento di sistemi
matematici, e la continua formazione e l'esame di tali sistemi esigono un particolare comportamento spirituale. Questo una volta
raggiunto, divengono superflue, per gli sviluppi matematici, osservariazioni preliminari» (HEYTING [10], pag. 12)( 1 5 ).
/) «La logica corrisponde ad un alto grado di generalità; le
proposizioni logiche riguardano predicati o classi in generale.
Segue che la logica ha il suo posto al fondo della matematica. I
teoremi di logica non si distinguono dai teoremi matematici propriamente detti che per la loro estrema generalità: la dimostrazione di un teorema di logica consiste in una costruzione A (per
esempio la dimostrazione di p ZD q e di q ^ r) e di una costruzione C che, prendendo come punto di partenza A, porti ad una
costruzione B (dimostrazione di p ZD r); si tratta dunque di un
principio della stessa natura di un teorema del tipo a-\-b = b-\-a.
Possiamo concludere che la logica è una parte della matematica,
comprendente i teoremi di massima generalità» (HEYTING [18],
pag. 77) O .
g) « È desiderabile edificare la matematica senza fare appello
ad idee preconcepite relative alla attività ed alle entità matematiche. La matematica è indipendente dalla logica, la logica dipende
(1J) ... la logique n'est ni le fondement des mathématiques ni un instrument indispensable à leur construction.
(15) Tandis que l'emploi des concepts mathématiques dans les raisonnements empiriques va de soi, on ne parvient à isoler les systèmes mathématiques qu'intentionnellement, et la construction et la recherche de tels systèmes exigent une attitude mentale particulière. Une foi ceci atteint, les considerations préliminaires sont superflues
pour les dévéloppements mathématiques.
(10) La logique correspond à un haut degré de généralité; les propositions logiques
concernent les propositions, les prédicats ou le classes en general. Il s'ensuit que la
logique a sa place à la fin des mathématiques. Mais les théorèmes de logique ne se
distinguent des théorèmes mathématiques proprement dits que par leur extrème généralité: la démonstration d'un théorème de logique consiste en une costruction C qui,
se rattachant à une construction de départ A (par exemple les demonstrations de
pZDq e qZDr) méne à une construction B (démonstration de p D r): elle est donc en
principe de mème nature que la démonstration d'un théorème tei que a + b = b + a.
Nous en concluons que la logique est une partie des mathématiques, comprenant les
théorèmes d'extrème généralité.
— 135 —
dalla matematica, i principi correnti della logica non meritano in
matematica una confidenza illimitata» (BETTI [2], pag 135 ( 17 ).
h) «... Si è di fronte ad una nuova dialettica che coincide con
la dialettica classica finché si tratta di un numero limitato di atti
di decisione; che se ne allontana se questo numero è indeterminato. Dialettica che si stabilisce nel proprio clima di evidenza con
una completa legittimità. A questo proposito ricordiamo che... si
compie a volte un avvicinamento tra intuizionismo e kantismo.
Sarebbe forse più esatto confrontare la concezione brouweriana
del vero con quella di SPINOZA. Non diceva già questi che : « l'unico
criterio della verità è la verità stessa » ( Tractatus de Intellectus
Emendatione, 1, 12); « i l metodo non è altro che una conoscenza
per riflessione, è l'idea dell'idea» (Ibid. 1, 13); «ciò che costituisce la forma del pensiero vero deve essere cercato nel pensiero
stesso e dedotto dalla natura dell'intelligenza» (Ibid. 1, 24)
:1S
(GONSETH [2], pag. 63) ( ).
i) « L a logica teoretica così come la logistica sono di conseguenza scienze empiriche, ed applicazioni della matematica, che
non possono insegnarci mai alcunché sulla organizzazione dell'intelletto umano, e devono essere considerate appartenenti alla etnografia piuttosto che alla psicologia. Ed il linguaggio di argomenti
logici non è una applicazione di logica teoretica più di quanto il
corpo umano sia una applicazione di anatomia» (BROUWER [1])( 10 ).
/) « Inoltre in argomenti relativi a fatti empirici considerati in
(17) Il est désirable d'édifier les mathématiques sans fa ire appel à des idées précongues concernant l'activité et les entités mathématiques. Les mathématiques sont
indépendentes de la logique, la logique dépend des mathématiques, les principes usuels
de la logique ne méritent pas, en mathématiques, une confìence sans limites.
(18) ... on a affaire à une nouvelle dialectique, qui coincide avec la dialectique classique tant qu'il ne s'agit que d'un nombre borné d'actes de decision, qui s'en écarte si
ce nombre est indéterminé. Dialectique s'etablissant dans son propre climat d'évidence
avec une entière légitimité. A ce propos rappelons que, sur la foi du mot « intuition »,
on fait parfois un rapprochement entre l'intuitionnisme et le kantisme. Peut-ètre serait-il
plus juste de confronter la conception brouwerienne du vrai avec celle de SPINOZA.
Celui-ci ne disait-il pas déjà que : « L'unique criterium de la vérité c'est la vérité
elle-méme»; « L a méthode n'est rien d'autre qu'une connaissance par réflexion, elle
est l'idée de l ' i d é e » ; « C e qui constitue la forme de la pensée vraie doit ètre cherché
dans la pensée elle mème et déduit de la nature de l'intellegence »?
(10) Theoretical logie as well as logistics therefore are empirical sciences, and
applications of mathematics, which never can teach us anything about organisation of
uman intellect, a n d must de regarded to belong to ethonography rather than to psycology.
And the language of logicai arguments is no more an application of theoretical logie
than the uman body is an application of anatomy (Traduzione dall'olandese di
D.
Van
DANTZIG).
—
136 —
sistemi matematici, i principali logici non sono elementi di guida,
bensì regolarità scoperte a posteriori nel linguaggio relativo »
(BROUWER [9])
( 20 ).
m) « . . . Noi non siamo obbligati di attribuire ai numeri una
esistenza indipendente dallo spirito che li crea. Il matematico intuizionista, in quanto tale, non si opporrà ad una filosofia la quale
sostenga che lo spirito, nella sua attività creatrice, riproduca
oggetti d'un mondo trascendente, ma considera questa dottrina
troppo speculativa per poter servire di fondamento alla matematica p u r a » ( G O N S E T H [2], pag. 73) (21) (il testo è di HEYTING).
n) «Noi sosteniamo che il compito della scienza non consiste
nello studio delle lingue riè in quello delle idee che lingue esprimono, ma nella creazione di queste stesse idee. Se si vogliono considerare gli scritti scientifici come campioni di lingua di cui si studia
la sintassi, l'esposizione della sintassi sarà di nuovo un oggetto
di studio filologico e nulla più. D'altra parte la sintassi di una
lingua si farà in un'altra lingua e la sintassi della lingua-oggetto
dipenderà da quella della lingua-strumento. Non c'è in questa
successione di lingue alcun posto riservato all'espressione dei pensieri. Noi non accettiamo che il cammino della scienza porti alla
eliminazione dello spirito» ( G O N S E T H [2], pag. 75) (22) (il testo
è di
HEYTING).
Dai passi citati risulta che, per l'intuizionismo, il controllo
dell'attività esatta del pensiero spetta al pensiero stesso; e ciò
avviene non nella forma di adesione ad un gruppo pia o meno
("°) ... in arguments concerning empirical facts spanned upon mathematical systems,
the logicai principles are not directories, but regularities discovered afterwards in the
accompaying language (Traduzione dall'olandese di D. Van DANTZIG).
(21) ... nous ne sommes pas forcés d'attribuer aux nombres u n e existence indépendente de l'esprit qui les crée. Le mathématicien intuitionniste, en mathématicien, ne
s'opposera pas à une philosophie qui soutiendra q u e l'esprit, dans son activité créatrice,
reproduit des ètres d'un monde transcendant, mais il considererà cette doctrine comme
trop spéculative pour servir de fondement aux mathématiques pures.
(22) Nous maintenons q u e la tàche de la science ne consiste pas dans l'étude des
langues, n i dans celle des idées que la langue tàche d'exprimei*, mais dans la création
de ces idées elles-mème. Si l'on considère les écrits scientifìques comme des spécimens
de language dont on étudie la syntaxe, l'exposé de la syntaxe sera de nouveau un
objet d'étude philologique et rien de plus. D'ailleurs, la syntaxe d'une langue se faira
dans une autre langue et la syntaxe de la langue-objet dépendra de celle de la langueoutil. Il n'y a dans cette succession de langues aucune place réservée à l'expression des
penséex. Nous n'acceptons pas que le chemin de la science méne à l'élimination de
l'esprit.
_
137 —
ampio di leggi logiche formulate una volta per tutte, ma in un
clima di evidenza nel quale di volta in volta il pensiero giudica,
libero da legami precostituiti che non siano semplicemente quelli
della sua struttura.
« Non è lecito voler costringere le possibilità del pensiero
esatto nella forma di dati principi costruttivi fissati a priori » ( 23 );
inoltre, le forme esatte di attività del pensiero, delle quali si
acquista coscienza solo con l'uso, non sono limitate ad una scienza,
anzi nemmeno al campo scientifico; esse si presentano anche, seppure non sempre chiaramente sentite, nella vita comune di ogni
giorno. Di conseguenza, nessuna scienza, in particolare né la filosofia né la logica, può essere assunta come fondamento della matematica. Sono anzi le singole scienze che contengono strutture ed
adottano metodi matematici e quindi si possono considerare « matematica applicata ». L'essenza della matematica non sta in processi dimostrativi dialetticamente intesi, ma nella costruzione di
«sistemi matematici», ossia successioni di bi-unità; e questa costruzione non si attua su binari fissi, ma le regole stesse del pensiero nascono nella loro evidenza come « scoperte e riscoperte »
ogni volta dallo spirito umano; la matematica risulta cioè autogenerante ed auto sufficiente : autogenerante sulla base della « Urintuition », autosufficiente sulla base della « creatio continua » delle
proprie leggi da parte dell'intelletto umano. Questa creatio continua è proprio l'intuizione di secondo grado.
Inoltre, poiché la realizzazione di successioni di bi-unità è un
puro atto mentale, indipendente (sempre per gli intuizionisti, ben
inteso) da ogni espressione linguistica, tutta la matematica risulta
indipendente dal linguaggio, il quale si riduce ad un semplice ausilio non matematico per la memoria matematica ed a mezzo di
comunicazione, soggetto a tutte le possibilità di dubbio ed incerta
interpretazione cui sottostanno le convenzioni umane ( « alla domanda dove esista l'esattezza matematica, le due parti danno
diversa risposta: l'intuizionista dice: nella mente umana, il formalista: sulla carta») ( 24 ).
(23) ... il est en soi absurde de vouloir enfermer les possibilités de la pensée dans
le quadre de principes de construction fixés à l'avance (HEYTING [24], pag. 14).
(2l) To the question where mathematical exactness does exist, botti parties give
different answers: the intuitionist says: in the mind of men, the formalisti on paper
(BROUWER [9],
III,
pag.
7).
— 138 —
In altri termini l'intuizione di secondo grado è la consapevolezza che il pensiero acquista, nell'atto stesso del proprio operare
esatto, della sua adesione o meno ai canoni costruttivi che esso
stesso si è posti; è cioè quella che si può chiamare « l'autocoscienza
del pensiero esatto ».
Non mi sembra che la distinzione tra « Urintuition » ed « intuizione di secondo grado » sia stata finora posta sufficientemente in
luce; credo anzi che proprio tale fatto abbia costituito una delle
cause di malinteso sulla posizione degli intuizionisti.
Prima di chiudere il presente paragrafo ritengo interessante
un rapido sguardo ad alcuni sistemi filosofici che in modo più o
meno stretto si collegano alla posizione degli intuizionisti.
Il concetto che la verità non ci viene comunicata col linguaggio
ma nasce da un personale atto di intelligenza ha il suo grande
assertore in S. AGOSTINO : « in vero su tutte le cose che noi comprendiamo non consultiamo una voce che echeggi dall'esterno, ma
la Verità che governa dall'interno la mente ». Nelle « Confessioni » questo stesso pensiero è espresso in forma di mirabile chiarezza ed efficacia con l'accenno alla «Verità che non è né ebraica,
né greca, né latina, né barbara, senza bocca e senza lingua, senza
suono di sillaba ».
Ed ancora nel « De Magistro » : « Colui il quale ascolta la
parola che diciamo o ignora se è vera o sa che è falsa o sa che è
vera. Nel primo caso crede, opina o dubita, nel secondo obietta e
nega, nel terzo assente ; in nessun caso apprende ».
In CARTESIO troviamo una netta opposizione sia alla logica tradizionale come a qualsiasi logica precostituita, cui il filosofo francese contrappone la sua aspirazione alle idee chiare e distinte e la
valorizzazione dell'intuizione negli enunciati e nelle deduzioni:
« le forme del sillogismo non aiutano ad afferrare la verità » ;
« invero questa evidenza e certezza di intuito è richiesta non solo
per gli enunciati ma anche per le singole deduzioni ». L'intuizione
cartesiana non ha evidentemente nulla a che fare con l'intuizione
primordiale di BROUWER; sono invece notevoli i suoi punti di contatto con l'intuizione di secondo grado brouweriana; anche per
CARTESIO infatti l'intuizione ha in se stessa la sua giustificazione,
ed è la realizzazione concreta della « visione chiara e distinta » che
sola rappresenta la condizione in cui si può cogliere il vero. Si
noti però che mentre in BROUWER l'intuizione è controllo di
— 139 —
esatto comportamento costruttivo, in CARTESIO invece è chiarezza
e distinzione nel giudicare verità oggettive. In CARTESIO è cioè
accentuato il carattere contenutistico, in BROUWER quello comportamentistico.
In ultimo, ecco alcuni brani di KANT :
«La nostra conoscenza scaturisce da due fonti principali dello
spirito, delle quali la prima è la facoltà di ricevere le rappresentazioni (ricettività delle impressioni), la seconda quella di conoscere un oggetto mediante queste rappresentazioni (spontaneità dei
concetti). Per la prima un oggetto ci è dato; per la seconda esso è
pensato in rapporto con quella rappresentazione (come semplice
determinazione dello spirito). Intuizione e concetti costituiscono
dunque gli elementi di ogni nostra conoscenza; per modo che, né
concetti senza che a loro corrisponda una intuizione di qualche
specie, né intuizioni senza concetti possono darci una conoscenza.
Questi due elementi sono puri o empirici. Empirici, quando
contengono una sensazione (che suppone la presenza reale dell'oggetto); puri invece quando alla rappresentazione non sia mescolata alcuna sensazione.
... perciò una intuizione pura contiene unicamente la forma con
la quale qualche cosa è intuita, un concetto puro solamente la
forma del pensiero di un oggetto in generale. Le intuizioni ed i
concetti puri sono possibili a priori.
... noi chiamiamo sensibilità la recettività del nostro spirito, o
facoltà di ricevere rappresentazioni, quando esso è in qualche modo
modificato» ( K A N T , Critica della ragion pura; trad. di G. Gentile
e G. Lombardo-Radice, Bari 1910, pag. 9 1 e seguenti).
« Così, quando dalla rappresentazione di un corpo io separo ciò
che ne pensa l'intelletto, come sostanza, forma, divisibilità e così
via, e ad un tempo ciò che appartiene alla sensazione, come impenetrabilità, durezza, colore, e così via, mi resta tuttavia qualche
cosa di questa intuizione empirica, cioè estensione e forma; e
queste appartengono alla intuizione pura, che esiste a priori nello
spirito, anche senza un reale oggetto dei sensi, o sensazione, quasi
semplice forma della sensibilità.
... si danno due forme pure dell'intuizione sensibile, come principi a priori della conoscenza, cioè spazio e tempo» ( K A N T , ibid.,
pagg. 64-65).
«Lo spazio è una rappresentazione necessaria a priori, la quale
— 140 —
serve di fondamento a tutte le intuizioni esterne» (KANT, ibid.,
pag. 67).
« Il tempo è una rappresentazione necessaria, che sta a base di
tutte le intuizioni. Non si può, nel considerare i fenomeni in generale, far astrazione dal tempo, laddove è possibile fare astrazione
da tutti i fenomeni che sono nel tempo. Il tempo è perciò dato a
priori». (KANT, ibid., pag. 63).
« Il tempo non è altro che la forma del senso interno, cioè della
intuizione di noi stessi e del nostro stato interno » (KANT, ibid.,
pag. 75).
In altre parole, per KANT il fatto di poter essere colpiti in
qualche modo dagli oggetti è la sensibilità; i modi secondo cui gli
oggetti ci colpiscono indipendentemente da quali essi siano (ossia
le loro rappresentazioni generiche) sono le intuizioni pure, che si
realizzano secondo leggi necessarie ed universali consistenti nel
porre gli oggetti nello spazio ed i nostri stati interni nel tempo; i
modi di porre la nostra attenzione su una rappresentazione generica sono i concetti puri, i quali si realizzano anch'essi secondo
leggi necessarie ed universali concretate nelle categorie. Le leggi
universali e necessarie secondo cui si realizzano le intuizioni pure
ed i concetti puri esistono in noi a priori.
Un esame più approfondito delle relazioni tra il pensiero di
BROUWER e quello di KANT esula peraltro dai limiti del presente
lavoro.
3)
OSSERVAZIONI.
Quanto detto nel numero precedente rappresenta allo stesso
tempo il preventivo ed il consuntivo sulla posizione degli intuizionisti. Anche storicamente, la situazione delineata nelle righe precedenti, nata dalle considerazioni di BROUWER sulla natura della
matematica ed eretta a sistema agli inizi della ricostruzione di
questa scienza, si è venuta man mano chiarificando e completando,
come del resto è nello spirito stesso dell'intuizionismo.
Giunti a questo punto si presentano due problemi fondamentali:
a) quale è il risultato della ricostruzione della matematica
secondo le linee direttive dello spirito intuizionistico?
ò) come si può vedere la posizione dell'intuizionismo allo
stato attuale della storia del pensiero?
— 141 —
Il primo problema è soprattutto di natura tecnica, seppur svolg e t e s i lungo le linee di una posizione filosofica. Il secondo è un
argomento di filosofia della scienza.
Affronterò il primo problema nei Cap. I l i e IV; il Cap. V è
riservato ad alcuni cenni sulla seconda questione.
CAP. III. - LA LOGICA INTUIZIONISTICA
1) ESISTENZA
MATEMATICA.
Naturale conseguenza di quanto detto nel capitolo precedente
è il rifiuto da parte degli intuizionisti di accettare come esistenza
matematica sia la semplice non contradittorietà hilbertiana come
Yontologismo russelliano.
La matematica per l'intuizionista possiede un effettivo valore
contenutistico e non solo formale, quindi la non-contradittorietà
non può assurgere al ruolo di garanzia di esistenza. Questo valore
contenutistico non è però di natura ontologica, ma intuitivo-costruttiva, e quindi non può essere garantito da considerazioni dialettiche del tipo di quelle della logica classica.
Per gli intuizionisti « ogni asserto matematico rappresenta /'« intenzione» di una costruzione che soddisfi determinate
condizioni;
dimostrare un asserto matematico significa effettuare la sua richiesta costruzione» (*); la negazione è intesa dall'intuizionista in senso
positivo; la negazione di una proposizione P relativa al nostro
comportamento esatto significa che dall'ammissione della verità P
(cioè dall'ammissione della possibilità della costruzione relativa
a P) segue un assurdo ( 2 ). In particolare quindi il principio del
terzo escluso è inaccettabile come criterio dimostrativo esistenziale; l'assurdità della assurdità di una costruzione esatta non ne
garantisce l'esistenza ( 3 ); il principio di non-contraddizione è incori-
(1) Chaque proposition signifìe 1'« intention » d'une construction mathématique qui
doit satisfaire à des conditions déterminées. La démonstration d'une proposition consiste dans la réalisation de la construction qu'elle exige (HEYTING [21], pag. 17).
(2) Si esprimerà in seguito il fatto che dalla proposizione P segua un assurdo anche con espressioni del tipo « è impossibile che valga P », « P è impossibile », « non
può valere P » e simili.
(3) « ... a démonstration... is not a method of " convincing " a reader or auditor in
a more or less in direct way of the « truth » of a statement, viz. by the application of
— 142
-
dizionatamente accettato; è respinta la verità contemporanea di
P e di non-P; se si è dimostrata P (effettuando la relativa costruzione) non si può dimostrare la non-P (quindi non si può dedurre
da P un assurdo), e viceversa.
Sull'opposizione degli intuizionisti alla validità del principio
del terzo escluso si sono sparsi fiumi d'inchiostro, spesso a sproposito e con interpretazioni assolutamente errate; la non accettazione di tale principio è semplicemente una necessaria conseguenza
dei concetti di « matematica » e di « dimostrazione » che stanno
alla base dell'intuizionismo.
Da quanto precede risulta come una parte notevolissima della
matematica classica sia priva di significato di fronte all'analisi
intuizionistica; non si deve però credere che l'intuizionismo si
riduca alla funzione negativa di escludere dall'edificio della matematica ciò che gli risulta inaccettabile; esso introduce invece concetti e metodi originali, che non trovano riscontro nella concezione
classica della matematica, per cui ne risultano campi con delle
intersezioni comuni (come risultato evidentemente, non come concetto) e con delle parti mutuamente esclusive.
2) I L PROBLEMA DELLA LOGICA.
Si è chiarito in precedenza il significato del rifiuto degli intuizionisti di fondare la matematica su un corpo di principi logici
preformulati; ora, gli intuizionisti ammettono la possibilità di considerare regole generali di deduzione rispecchianti lo spirito intuizionistico, ottenendosi in tal modo quella che si può chiamare una
logica matematica; ma essa non esaurisce il campo delle possibilità del pensiero esatto, in quanto è impossibile plasmare un linguaggio come modello « perfettamente fedele » della matematica.
« La logica matematica è quindi un sottodominio della matematica
stessa, l'uso delle cui regole è privo di significato al di fuori di
certain aprioristic « logicai principles », but it is... the construction itself, the possibility of which is stated in the theorem. The only form of demonstration admitted
here is " showing by doing "» (Van DANTZIG [1], pag. 919).
Una dimostrazione non è un metodo che serva a convincere un lettore o un uditore,
in modo più o meno indiretto, cioè con l'applicazione di certi « principi logici » dati a
priori, della verità di una proposizione, ma è quella costruzione stessa la cui possibilità viene affermata nel teorema. La sola forma di dimostrazione qui ammessa è il
« mostrar facendo ».
— 143 —
quest'ultima ( 4 ). E nell'ambito della matematica i teoremi di
logica sono meno immediati dei casi particolari che essi esprimono,
in quanto esigono un maggior grado di astrazione.
Tale logica può essere considerata sia da un punto di vista contenutistico, con riferimento cioè al « significato » delle sue regole,
sia da un punto di vista formale; queste considerazioni sono rispettivamente svolte nei seguenti numeri 3) e 4).
3) LA LOGICA INTUIZIONISTICA DA UN PUNTO DI VISTA
CONTENU-
TISTICO.
Prima di entrare in argomento ritengo opportuno richiamare
l'interpretazione della concezione intuizionistica della conoscenza
matematica presentata da KOLMOGOROFF [1], La grande importanza di questa interpretazione (peraltro fino ad oggi a mio giudizio non convenientemente posta in evidenza) sta nel fatto che
essa mette a fuoco in modo mirabilmente chiaro il problema intuizionistico e contiene il germe di ulteriori sviluppi.
Secondo KOLMOGOROFF gli oggetti di cui si interessa l'intuizionista non sono « asserzioni teoretiche », ma « problemi », tant'è
vero che l'essenza della matematica è per l'intuizionista la « costruzione di sistemi », che in fondo può essere considerata « risoluzione di problemi », non la considerazione di enti oggettivamente
esistenti; per «problema» viene qui intesa la «richiesta di una
costruzione che soddisfi condizioni prefissate » ; questa costruzione
può riferirsi ad oggetti generici, e va realizzata effettivamente con
un numero finito di atti. La logica matematica intuizionistica non
si realizza quindi in un «calcolo delle proposizioni», bensì in un
« calcolo dei problemi », cioè in una trattazione sulla « risoluzione
dei problemi » anziché sulla « deduzione di proposizioni ». In
effetti il calcolo dei problemi formalizzato da KOLMOGOROFF indipendentemente da ogni presupposto filosofico si accorda con la
logica intuizionistica formalizzata da HEYTING, anzi ne è la stessa
cosa. Lo stesso HEYTING in [21] espone i principi della logica
intuizionistica con riferimento a problemi e non a proposizioni;
è ciò che viene fatto anche qui di seguito.
(*) ... une logique mathématique qui devient alors une partie de la mathématique
et dont l'emploi en dehors des matbématiques serait dépourvu de sens (HEYTING [21],
pag. 16).
— 144 —
Sarà d'ora innanzi spesso necessario parlare di « segni » in
quanto segni, senza riferimento al loro significato. In questi casi mi
atterrò alle seguenti norme.
Un segno in quanto tale viene indicato :
a) premettendo ad esso una delle espressioni:
il segno, il simbolo, l'espressione, ...
oppure :
b) premettendo ad esso il segno di interpunzione: (due punti)
oppure :
e) racchiudendolo tra virgolette semplici (segni di «citazione»).
Nei casi a), b) saranno il contesto o l'evidenza tipografica a
precisare qual'è l'oggetto grafico in questione; in certi casi poi,
per opportunità di forma linguistica, le regole a), b) e e) saranno
anche impiegate contemporaneamente (a due a due o tutte e tre
insieme); cercherò comunque di evitare che possano sorgere
malintesi.
Parlando di aspetto formale delle questioni in trattazione intenderò riferirmi alla struttura tipografica dei segni impiegati;
ciò non perchè questa sia la sola interpretazione né la più significativa dell'aggettivo « formale », ma perchè conferisce alla trattazione semplicità e chiarezza; in effetti la struttura grafica degli
elementi (termini, proposizioni, ecc.) di una data disciplina costituisce forse la più espressiva « personificazione » del suo aspetto
formale.
4)
Continuazione.
Siano pò, #o problemi qualsiasi; allora con i simboli:
Po =>tfo;
PoAqoi
PoVtfo;
~lp0
(i)
si indicano i seguenti problemi:
supposta
risolvere
risolvere
dedurre
problema p 0 .
data la soluzione del problema p 0 , risolvere q0;
entrambi i problemi p 0 ,^o;
almeno uno dei problemi po,#o;
una contraddizione dall'ipotesi di aver risolto il
— 145 —
A questo proposito si noti che un problema del tipo p 0 ZD qo
in cui pò non sia risolubile (in cui cioè dall'ipotesi della soluzione
di pò si sia dedotto un assurdo) si chiama privo di contenuto; la
constatazione che un problema è privo di contenuto si considera
soluzione del problema stesso.
Siano le lettere a, ò, e,... delle variabili-problema, cioè variabili i cui valori sono problemi (eventualmente limitati ad un certo
campo) ; allora i simboli :
a^*b ;
a/\b
',
a\/b ;
~\a
(2)
sono le seguenti funzioni-problema
di variabili-problema,
cioè
funzioni che diventano problemi per qualsiasi sostituzione (nel
campo dei problemi) delle variabili in gioco;
supposta
risolvere
risolvere
dedurre
problema a.
data la soluzione del problema a, risolvere b;
entrambi i problemi a e 6;
uno almeno dei problemi a e b;
una contraddizione dall'ipotesi della soluzione del
«Sostituire in (2) alle variabili-problema a, b, ì problemi
p0,<7o» significa ottenere i problemi:
Po^Qoi
PoAq0}
PoVQo',
~\PO
Le variabili-problema si possono considerare casi particolari
di funzioni-problema.
Siano ora Al9Bi funzioni-problema del tipo (2) o variabiliproblema; allora:
A^B,,
A, AB,;
~\Ai
A^B,;
sono nuove funzioni-problema coi significati soliti dei segni (operatori z> , A , V , ~~l, riferiti ad A± e B± .
Così, con successive applicazioni degli operatori:
=> ,
A,
V,
~1
si ottengono funzioni-problema di variabili-problema sempre più
complesse; ognuna di queste funzioni-problema diventa un problema quando si sostituiscono le sue variabili con problemi.
— 146 —
Le funzioni-problema di variabili-problema ricavate come ora
detto si dicono elementari per intendere che ci si limita alla parte
più elementare della logica. Le lettere maiuscole A,B,...
(eventualmente con indici) sono impiegate fino al n. 9. escluso per indicare funzioni-problema
elementari.
Per la univoca determinazione delle funzioni-problema ottenute col metodo descritto, nonché dei problemi che nascono dalla
sostituzione delle variabili con problemi, occorre fissare l'ordine
di successione degli operatori in gioco; si possono seguire due
sistemi: impiego di segni di interpunzione (punti) o di parentesi.
Quantunque di solito i trattati moderni di logica formale facciano
ricorso all'uso dei punti, mi atterrò in seguito al sistema delle
parentesi, le quali, in questo lavoro, mi sembrano più adatte per
il loro carattere di evidenza immediata. Nel loro impiego ne limiterò, ove non possano sorgere dubbi, il numero, per evitare scritture troppo pesanti; così ad esempio nello scrivere il problema:
Po => #o
(3)
si sottintende che, quando p0 o q0 o entrambi abbiano una forma
grafica che, in (3), possa dar luogo ad equivoci, si scriverà:
(Po) => 9o oppure p0 3 (q0) o ancora (p0) => (¾).
Osservazioni analoghe valgono per le espressioni :
AiZ)Bi,
Ai\/Bi,
ecc.
di cui sopra e per il segno 1— di cui più avanti.
Infine il segno "1 si suppone riferito alla variabile-problema
che lo segue immediatamente se fra i due simboli non c'è una
parentesi aperta come (, [, ecc. oppure alla funzione-problema
di cui quella parentesi è la parentesi sinistra ( 5 ); analogamente
per problemi.
I problemi del tipo:
(5) I metodi di applicazione delle parentesi possono essere studiati da un punto
di vista metamatematico, in modo da renderli completamente rigorosi (vedi ad es.
KLEENE
[2]).
— 147 —
sono problemi « condizionali », nel senso che la loro soluzione consiste nel trovare un metodo effettivo che, dalla soluzione ipotetizzata (anche se non effettivamente trovata o addirittura impossibile)
di pò porti rispettivamente alla soluzione di q0 o ad una contraddizione. L'intuizionismo di BROUWER ammette la considerazione
di costruzioni non effettivamente realizzate da cui, tra l'altro, si
possano dedurre delle contraddizioni; si è però sviluppato, essenzialmente ad opera di G. F. C. G R I S S , un ramo collaterale che ha
preso il nome di intuizionismo senza negazione, nel quale non si
accetta come « attività esatta dello spirito » la considerazione di
una costruzione non realizzata; elemento essenziale di tale indirizzo è la soppressione della negazione, cioè una limitazione ulteriore del concetto di attività esatta del pensiero.
E ora possibile studiare la prima e più semplice parte della
logica intuizionistica, ed esattamente quella che si può chiamare la
logica delle proposizioni o logica delle relazioni
proposizionali,
oppure,. per essere coerenti col punto di vista dal quale ci siamo
posti, la logica delle relazioni fra problemi; si tratta in sostanza
della soluzione di problemi che sono « problemi relativi a problemi ».
La logica intuizionistica ha ricevuto la sua prima formulazione
da parte di HEYTING [6] ; ad essa ritengo opportuno fare riferimento in questo lavoro. Esistono altre formulazioni più recenti
(v. K L E E N E [2]) che non alterano però la sostanza delle cose.
Ed ora alcune considerazioni di nomenclatura.
Il segno l— premesso ad un funzione-problema elementare A
la trasforma nel problema :
risolvere A per ogni sostituzione delle variabili in gioco.
Questo problema va inteso come richiesta di dare un metodo
generale il quale, dopo la sostituzione delle variabili di A con
problemi, permetta di risolvere il problema ottenuto con un metodo
già trovato prima della sostituzione. Il segno (— si intende riferito
a tutta la funzione che lo segue; al solito quale sia «tutta la funzione che lo segue » risulta dalla disposizione tipografica.
'/^-Problema elementare' è sinomino di 'problema del tipo:
del quale si possiede la soluzione'. R è l'iniziale di 'risolto'.
— 148 —
comincia col premettere come assiomi undici R-Problemi elementari per i quali risulta intuitivamente chiaro un metodo effettivo di risoluzione; eccoli:
HEYTING
2.1
h-
a^>(a /\a)
2.11
h-
(a/\b)zD(bAa)
2.12
1—
2.13
1—
(aD6)D[(aAc)D(èA0]
[(a ZDb)A(b^> e)] z>(aZDc)
2.14
h-
èD(aDè)
2.15
1—
[a/\(az>b)]ZDb
3.1
h-
a => (a V b)
3.11
h-
(a\/b)z>(b\Ja)
3.12
\—
[(aDC)A(63c)]D[(aV6)=)c]
4.1
1—
~~| a 3 (a =D b)
4.11
1—
[(a => b) A (a z> ~1 &)] 3 ~1 a
La numerazione è quella originale di HEYTING.
È opportuno esaminare singolarmente questi assiomi :
2.1. Sostituendo alla variabile a nella funzione-problema in
oggetto un problema generico p 0 si ottiene il problema:
Po =3 (Po A Po) •
Poiché il problema p 0 A pò non è altro che il problema p 0
considerato due volte, una volta che si possegga la soluzione di p 0
si possiede anche la soluzione di p 0 A Po, qualunque sia p 0 .
2.11.
L'interpretazione è immediata.
2.12. Sostituendo ad V , 'ò', 'e' i problemi generici pò, C[o, TQ
si ottiene il problema:
(Po ^ 0o) =3 [(Po A r0) 3 (q0 A *o)] 5
dire che si ha la soluzione di questo problema significa che ammessa data la soluzione del primo membro, si ha un metodo effettivo per risolvere il secondo. Ora, avere la soluzione di p 0 z> q0
— 149 —
significa essere in grado di ricavare da un metodo risolutivo di p 0
un metodo risolutivo per q0; in tale ipotesi ecco il metodo di soluzione del secondo membro; essere in grado di risolvere p 0 ed r0
significa essere in grado di risolvere separatamente p 0 ed r 0 ; dalla
soluzione di p 0 si ottenga quella di qQ; poiché si aveva già quella
di r 0 , si ha quella di q0 /\ r 0 .
2.13.
Valgono considerazioni del tipo di quelle precedenti.
2.14.
Con la solita sostituzione si ottiene:
tfo
3
(Po ^ ?o)
Si immagini di possedere la soluzione di q0; allora, per risolvere il problema p0'^>q0, si risolva semplicemente q0 •
2.15.
L'interpretazione è immediata.
3.1.
»
»
»
3.11.
»
»
»
3.12. Anche in questo caso, dopo gli esempi di cui sopra, l'interpretazione risulta semplice.
4.1. Ricordando quanto detto a proposito dei «problemi privi
di contenuto », l'interpretazione diventa immediata.
4.11. In relazione a questo assioma, occorre tener presente che,
evidentemente, il poter risolvere un problema p 0 ed il poter ricondurre la soluzione di p 0 ad un assurdo è un assurdo; con ciò anche
l'interpretazione di quest'ultimo assioma è facile.
Dopo l'introduzione degli assiomi precedenti, l'ulteriore passo
realizzato da HEYTING consiste nell'introdurre delle « regole »
(regole di deduzione) che permettono, con un numero finito di atti,
di ricavare, da uno o da due /^-problemi elementari, un altro
/^-problema elementare; partendo dagli assiomi si ottengono quindi
i?-problemi elementari sempre più complessi. Tali regole di deduzione sono le seguenti:
a) se —
f A, \— B sono 7?-problemi elementari, anche —
f A AB
è un .R-problema elementare ;
b) se h- A ed \—AZD B sono /^-problemi elementari, anche
h- B è un jR-problema elementare ;
io
— 150 —
c) se I— A è un /^-problema elementare contenente la variabile a, il problema che si ottiene sostituendo a tutte le ricorrenze
di a una stessa funzione-problema elementare (o come caso particolare una variabile-problema) è un /^-problema elementare.
È immediato constatare che le regole a), ò), e) portano da /?-problemi elementari ad /^-problemi elementari.
È opportuno a questo punto aggiungere qualche parola sul principio del terzo escluso; tale principio si può formulare dicendo che
il problema:
b- a\J ~]a
(4)
è un i?-problema elementare. Sostituendo ad a il problema generico pò si ottiene il problema:
PoViPo
Per particolari valori di p 0 può darsi che p 0 stesso non sia
risolto né si sia in grado di dedurre da p 0 una contraddizione; è il
caso, ad esempio, del celebre teorema di FERMAT. Per citare
KOLMOGOROFF, « se il nostro lettore non si considera onnisciente
ammetterà che la formula (4) non possa trovarsi nella lista dei
problemi da lui risolti» (°). È questo l'esatto significato del rifiuto
del principio del terzo escluso da parte degli intuizionisti.
Quanto detto in questo numero può già dare un'idea della concezione intuizionistica della logica; prospettive assai interessanti
nascono inoltre da uno studio formale della logica di HEYTING.
5) LA LOGICA INTUIZIONISTICA DA UN PUNTO DI VISTA
FORMALE.
« Il sistema formale della logica intuizionistica, considerato
come sistema matematico, può dar luogo a ricerche appartenenti
all'analisi combinatoria. Da questo punto di vista esso può venir
trattato come un qualsiasi altro sistema formale. Nella teoria della
dimostrazione di H I L B E R T , la cui posizione finitistica è ben conosciuta, sono ammessi tipi di ragionamento che risultano intuizio(6) È significativo quanto la non accettazione del principio del terzo escluso perda
il suo carattere di questione controversa nell'interpretazione di KOLMOGOROFF.
— 151 —
zionisti senza eccezione, cosicché si può considerare la metamatematica come un capitolo della matematica intuizionistica» ( 7 ).
Queste righe di HEYTING chiariscono i limiti e la portata dell'analisi formale della logica intuizionistica.
Si tenga intanto presente che il « sistema formale » è stato portato in questi ultimi anni ad un livello di alta perfezione per cui il
lavoro di HEYTING sulla formalizzazione della logica intuizionistica
può essere riesaminato da un punto di vista più moderno, che ne
pone in luce anche meglio la struttura. In quanto segue viene infatti presentata tale formalizzazione sotto una forma un po' diversa
da quella originale; la sostanza, naturalmente, è la stessa.
Per la lettura delle righe che seguono è richiesta la conoscenza
delle caratteristiche essenziali del problema del « sistema formale ».
Una esposizione delle linee generali dell'argomento mi sembra qui
fuor di luogo, tanto più che le notizie relative sono facilmente
accessibili, ad esempio in HILBERT-ACKERMANN [1], CURRY [1],
K L E E N E [2]
ecc.
Per i singoli problemi di natura metamatematica che verranno
presi in esame (indipendenza di assiomi, non contradittorietà, ecc.)
ho cercato di rendere il testo autosufficiente.
6) Continuazione. -
STUTTURA PRIMITIVA DEL SISTEMA
DELLA LOGICA PROPOSIZIONALE
I.
I.
-
TERMINI
A) Termini elementari
FORMALE
INTUIZIONISTICA.
ELEMENTARI
(8)
primitivi:
una successione infinita di segni (variabili proposizionali):
a, b, e, d, ...
(7) Le systéme formel de la logique intuitionniste, considéré comme système mathématique, peut donner lieu à des recherches appartenant à l'analyse combinatoire. De
ce point de vue il a les mèmes droits qu'un système quelconque. Dans la théorie de la
démonstration de HILBERT, dont la position finitiste est bien connue, il admet des modes
de raisonnement qui sont sans exception intuitionnistes, de sort qu'on peut considérer
les métamathematiques comme un chapitre de mathématiques intuitìonnistes (HEYTING
[18], pag. 78).
(8) Come si è già accennato in precedenza, l'aggettivo ' elementare ' relativo agli
elementi della logica proposizionale è in relazione al fatto che si tratta della parte più
semplice della logica formale.
—• 152 —
I.
B) Operatori
elementari:
=>,
A,
V,
1
(i primi tre sono binari, interposti, l'ultimo singolare, anteposto).
I.
C) Regole di
formazione:
a) se A, B, sono termini elementari allora A ZDJB è un termine
elementare;
b) se A, B sono termini elementari allora A A B è un termine
elementare ;
e) se A, B sono termini elementari allora A V B è un termine
elementare ;
d) se A è un termine elementare allora ~~| A è un termine
elementare;
è) i soli termini elementari del sistema formale sono i termini
elementari primitivi ed i termini elementari ottenuti in base alle
regole di formazione applicate a termini elementari già riconosciuti.
IL
-
IL A) Predicati
PROPOSIZIONI
ELEMENTARI
elementari:
un predicato singolare, anteposto: (9)
h-
IL B) Regole di
formazione:
se A è un termine elementare, allora:
\-A
è una proposizione elementare ( 10 ).
(B) Il predicato i— si legge ' è vero identicamente che ' cioè ' è vero per ogni valore delle variabili (essendo tali valori scelti nel campo dei problemi)'; naturalmente dal punto di vista formale ciò non ha alcuna importanza.
(10) Il predicato i— si riferisce a tutto il termine che lo segue; quale sia questo
termine è indicato dalla evidenza tipografica in modo che non ci siano dubbi.
— 153 —
III.
- ««PROPOSIZIONI
ELEMENTARI
( ' « ' è l'iniziale dell'aggettivo 'vero')
III.
A)
Assiomi:
2.1
h-
2.11
h-
2.12
h-
(aD6)D[(^c)D(&Ac)]
2.13
h-
[(a=)/?)A(^3c)]=)(a=)c)
2.14
h
6D(AD6)
2.15
h-
[«A(^&)]^&
3.1
I—
a 3 (a V &)
3.11
(-
(tfV&)=>(£\/^)
3.12
i-
[(aDc)A(&Dc)]D(«\/^c
4.1
h-
HaD(ttDÒ)
4.11
r-
[(a=)&)A(«^~l&)]=5n«'
III. B) Regole di
az>(a/\a)
(a/\b)r>{b/\a)
deduzione:
a) se r— ^4, h-• Z? sono «-proposizioni elementari, anche h- A AB
è una «-proposizione elementare;
ò) se r— A, \—AZDB sono «-proposizioni elementari, anche \— B
è una «-proposizione elementare;
e) se A è una «-proposizione elementare contenente la variabile a, la proposizione elementare che si ottiene sostituendo (11) ad
ogni ricorrenza di a uno stesso termine elementare è una «-proposizione elementare;
d) le «-proposizioni elementari del sistema formale in oggetto
sono gli assiomi e le «-proposizioni elementari ottenute dall'applicazione delle regole a), b), e) a «-proposizioni elementari già riconosciute.
(11) A rigore occorrerebbe provare che l'operazione di sostituzione conduce effettivamente ad una proposizione elementare, ma su ciò non insisto; si può consultare un
qualsiasi moderno trattato di logica matematica un po' ampio.
— 154 —
7) Continuazione. - INDIPENDENZA, NON CONTRADITTORIETÀ, COMPLETEZZA, PROBLEMA DELLA DECISIONE.
Prescindendo dalla genesi e dal significato del sistema formale
della logica proposizionale intuizionistica, il sistema stésso può
venire esaminato metamatematicamente, in particolare con riguardo
ai problemi dell'indipendenza, della non-contradittorietà,
della
completezza e della decisione.
In quanto segue si farà in genere riferimento a sistemi formali
del tipo di quello in esame; quanto verrà detto si estende facilmente a sistemi più generali.
7.1. Indipendenza
degli
assiomi.
Si abbia un sistema formale F di cui S sia il sistema di
assiomi; sia I— A un assioma del sistema S; si dice che \— A h
indipendente in S relativamente ad F se è impossibile la sua
deduzione dagli altri assiomi di S secondo le regole deduttive del
sistema formale F; ir-A si dice dipendente in S relativamente
ad F se è deducibile dagli altri assiomi di S secondo le regole
deduttive di F.
Le due definizioni di cui sopra sono significative dal punto di
vista intuizionistico; per dimostrare l'indipendenza occorre dimostrare l'assurdità della deducibilità; per dimostrare la dipendenza
occorre dare un metodo effettivo finito per dedurre \— A dagli
assiomi. Non è evidentemente valida, dal punto di vista intuizionistico, l'affermazione che un qualsiasi assioma sia o indipendente
o dipendente in S relativamente ad F, potendosi al solito dare il
caso che nessuna delle due costruzioni di cui sopra (assurdo della
deducibilità o metodo effettivo di deduzione) sia effettivamente
realizzabile.
Il metodo « classico » di dimostrazione di indipendenza è
basato sul seguente principio (v. HILBERT-ACKERMANN [1]).
— se esiste una proprietà metamatematica
sistema formale tale che:
delle proposizioni
del
a) tutti gli assiomi di S la verifichino meno uno;
b) le regole di deduzione di F la conservino;
allora l'assioma escluso è indipendente
in S relativamente
ad F.
-
155 —
Questo metodo di dimostrazione è basato sul principio di noncontraddizione, e quindi è valido per l'intuizionista, purché, beninteso, siano intuizionisticamente significative la « proprietà metamatematica», la sua «esistenza», la «verificabilità da parte degli
assiomi », la « non verificabilità da parte di quello escluso », la
« conservazione da parte delle regole deduttive ».
Naturalmente, per ogni assioma occorre una particolare dimostrazione di indipendenza, e queste non si riducono necessariamente ad essere uguali fra di loro.
HEYTING [5] ha dimostrato l'indipendenza di tutti gli assiomi
del sistema formale della logica proposizionale intuizionistica.
Vengono qui di seguito riportati alcuni esempi per illustrare il
procedimento seguito.
a) Indipendenza di: 2.1 \— a 3
(af\a).
Le variabili proposizionali a, b,... si interpretano come variabili nel campo a tre «valori» { 0 , 1 , 2 } ; si ammette cioè che
'a\ ' b\ ... siano suscettibili di venir sostituite, nei termini elementari in cui compaiono, da uno qualunque dei tre segni 0 , 1 , 2 .
Gli operatori :D, A, V, ~| si interpretano come operatori funzionali
definiti, per 'a', ' b \ ... variabili nel campo {0,1,2},-dalle seguenti tavole :
B
B
0
1
2
0
0
2
2
1
0
0
2
0
2
A^B
0
1
2
0
0
1
1
0
1
1
1
0
2
1
1
A AB
0
1
2
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
2
1
0
1
2
0
2
2
2
1
A\JB
-|
Con ciò si intende che il « valore » che un termine elementare
assume in corrispondenza ad un gruppo di valori assegnati alle
variabili che in esso compaiono si ottenga sostituendo a tali variabili i valori scelti, sostituendo poi alle espressioni 0 3 0, 0 3 1,
0 3 2, ... ; 0 A 0 , 0 A 1 , 0 A 2 , ... ecc. dell'espressione risultante
i segni 0 , 2 , 2 , . . . ; 0 , 1 , 1 , . . . ecc. quali risultano dalle tavole (5),
eliminando successivamente gli operatori secondo il loro ordine,
— 156 —
finché si ricava come risultato finale uno dei tre valori 0 , 1 , 2 ( 12 ).
Si esprimerà il fatto che il temine A assume (per determinate
sostituzioni) il valore v (dove v può essere 0 od 1 o 2) dicendo
che A (per quelle sostituzioni) vale v e scrivendo:
A= v
Ora, si constata facilmente che i termini
gli assiomi 2.11-^-4.11 assumono il valore
tuzione delle variabili che essi contengono;
l'assioma 2 . 1 ; infatti, per a — 2 il valore
risulta dalle sostituzioni seguenti:
2D(2A2)^2D1->2
elementari costituenti
0 per qualsiasi sosticiò non avviene per
del termine relativo
S
(6)
(il segno ~> serve per indicare la successione di operazioni che
portano al valore cercato).
Le regole di deduzione conservano il valore 0 al termine elementare costituente la ^-proposizione dedotta, se tale valore è posseduto dai termini elementari delle ^-proposizioni di partenza.
Per III B a) la constatazione è immediata.
Per III B b) l'essere A = 0 per ogni sostituzione delle variabili (ciò che si esprime dicendo che A vale identicamente 0 e
scrivendo A = 0) e l'essere AIDB = 0 esclude i due casi
5 = 1
B = 2
per cui risulta:
Anche per III B e) la verifica è immediata.
Assumendo come proprietà metamatematica delle proposizioni
del nostro sistema formale, secondo quanto detto all'inizio di questo
numero, la proprietà che i termini elementari costituenti delle proposizioni assumano, nell'interpretazione « in aritmetica trivalente »
(w) Valgono considerazioni analoghe a quelle della nota (11) nel senso che occorrerebbe dimostrare la unicità dei valori ricavati.
— 157 —
di cui sopra, il valore 0, risulta dimostrata, con procedimento
intuizionisticamente ineccepibile, l'indipendenza dell'assioma 2.1.
b) Indipendenza di: 2.11 (a A b) => (6 A a).
Il campo di variabilità di a, b, ... sia costituito da ' 0 ' e da
tutti i numeri interi positivi; gli operatori funzionali si definiscano
così :
AZD B = l
A^> B=0
quando A = 0 e
negli altri casi
B^O
,4 A 2 = 0
A A B= valore di A + valore di B quando
A\J B=0
quando A = 0 oppure
B=0
A V B=l
negli altri casi
-|0 = 1
—]A = 0
quando
A^O
B^2
.
È facile constatare che tutti gli assiomi meno 2.11 valgono
identicamente 0 e che le regole di deduzione conservano tale valore ( 13 ); quindi anche 2.11 è indipendente.
7.2)
Non contradittorietà
del sistema
formale.
Un sistema formale F in cui intervenga l'operatore negazione "~1 si dire non-contradittorio o coerente se in esso non sono
contemporaneamente deducibili due proposizioni elementari del
tipo :
t-A,
>--}A
(7)
dove A nelle due ricorrenze è lo stesso termine (quanto detto si
riferisce in particolare al nostro sistema formale di logica proposizionale, con un unico predicato, singolare, anteposto; i cambiamenti da introdurre in casi diversi non toccano la sostanza di
quanto sarà detto).
(13) Si dirà spesso per brevità ' l'assioma I— A assume il valore v ' anziché ' il termine costituente l'assioma (— A assume il valore v ', e così in casi analoghi.
— 158 —
Il sistema F si dice contradittorio o non coerente se due proposizioni del tipo (7) sono contemporaneamente deducibili nel
sistema.
Le due definizioni di cui sopra sono significative dal punto di
vista intuizionistico; non è al solito intuizionisticamente valido che
un sistema formale (contenente l'operatore ~~|) sia necessariamente contradittorio o meno.
Il metodo « classico » di dimostrazione di non contradittorietà
è basato sul seguente principio (v. HILBERT-ACKERMANN [1])
— se esiste una proprietà metamatematica
sistema formale F tale che:
delle proposizioni
del
a) gli assiomi la posseggano;
b) le regole di deduzione la conservino;
e) due proposizioni
poraneamente;
del tipo (7) non la posseggano
allora il sistema F è non
contem-
contradittorio.
Sulla validità intuizionistica di tale metodo valgono le osservazioni analoghe a quelle fatte in 7.1).
Con riferimento al sistema formale della logica proposizionale intuizionistica, si interpretino le variabili a, b,..., come variabili nel campo a due valori {v, f} (' v\ ' / ' sono le iniziali delle
parole « vero » e « falso » ; quanto detto qui di seguito è indipendente da questa loro interpretazione, che chiarisce peraltro la genesi
del metodo). Gli operatori 3 , A, V, ~~1 si interpretino come
operatori funzionali definiti dalle seguenti tavole (dette a volte
« tavole di verità », in relazione al significato dei segni v ed /
secondo quanto detto sopra).
B
V
A v
V
f
V
A^B
B
f
f
V
V
•A
v
V
f f
Af\B
B
f
f
f
A
V
f
v
V
V
f
V
f
A\/B
A v
f
f
V
~1A
— 159 —
È facile constatare che gli assiomi 2.1 -ì- 4.11 assumono identicamente il valore v, il quale viene conservato dalle regole di deduzione; infine due proposizioni del tipo (7) assumono contemporaneamente valori diversi.
La non contradittorietà del sistema formale della logica proposizionale intuizionistica è quindi dimostrata. Essa è evidentemente ricondotta alla non-contradittorietà della logica classica.
7.3)
COMPLETEZZA.
Dal punto di vista della loro genesi storica, i primi sistemi
formali sono nati quali rappresentazioni simboliche degli oggetti
di determinati domini scientifici e delle loro proprietà. L'esempio
classico è costituito, sotto questo punto di vista, dagli « elementi »
di
EUCLIDE.
Viste sotto questo aspetto, le « proposizioni » di un sistema formale sono (rappresentazione grafica di) proposizioni relative ad
un campo scientifico e come tali (salvo opportune limitazioni) vengono considerate vere o false.
Sorge quindi il problema di veder se una qualunque proposizione che risulti « vera » nel dominio in questione sia deducibile
nel sistema formale relativo secondo le « regole di deduzione » di
quest'ultimo, se cioè il sistema formale è completo. La « verità »
nel dominio in questione è un concetto che deve evidentemente
essere precisato in quel dominio stesso.
Sulla base di tali considerazioni, e come risultato di una elaborazione assai spinta, possiamo considerare la seguente definizione
di completezza.
Sia P una proprietà delle proposizioni di un sistema formale F.
Il sistema si dice completo positivamente rispetto a P se ogni proposizione che verifica P è deducibile in F (in particolare P può
essere la verità delle proposizioni in un certo dominio scientifico).
La completezza di un sistema formale può anche essere considerata da un punto di vista negativo: sia Q una proprietà delle
proposizioni di F. Il sistema si dice completo negativamente rispetto a Q se, aggiungendo agli assiomi una proposizione (di F)
che non verifichi Q, F diviene contradittorio.
Gli aggettivi « positivo » e « negativo » si riferiscono al fatto
— 160
-
che un sistema formale positivamente completo possiede quanto
necessario per la soluzione del problema di dedurre formalmente
tutte le proposizioni verificanti una determinata proprietà, mentre
un sistema formale negativamente completo non può venir ampliato, in certe direzioni, nei suoi assiomi, senza cadere in contraddizione.
Il sistema formale della logica proposizionale classica ammette,
com'è noto, un'interpretazione in termini di aritmetica bivalente;
interpretando cioè le variabili proposizionali come definite nel
campo { v, f } e con le seguenti tavole per gli operatori :
B
V
A v
V
f
V
B
f
f
A
v
V
f
V
/
f f
V
B
A
f
f
v
V
V
f
V
f
A\/B
AAB
AZDB
V
A v
f
f
V
1A
le z;-proposizioni assumono identicamente il valore v, o, come si
dice, sono « identicamente vere ».
Ora si dimostra (14) che il sistema in oggetto è positivamente
completo rispetto alla proprietà dell'identica verità, ossia che tutte
le proposizioni del sistema che siano identicamente vere sono deducibili nel sistema stesso.
La stessa interpretazione in « aritmetica bivalente » di cui sopra
vale per la logica proposizionale intuizionistica, anche qui nel
senso che le i;-proposizioni elementari sono identicamente vere, ma
è facile constatare come la proposizione:
11«
a
(8)
che pure risulta identicamente vera, non sia deducibile dagli
assiomi.
Si faccia invero riferimento all'interpretazione in « aritmetica
trivalente» con campo di variabilità { 0 , 1 , 2 } per le variabili pro-
(") Vedi
KLEENE
[2].
— 161 —
posizionali e con le seguenti tavole
0
0
1
2
1
0
0
2
0
1
A^B
0
1
2
0
0
1
2
0
1
1
1
0
2
2
1
0
1
2
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
2
1
0
2
0
2
CSI
2
CSI
1
CSI
0
1
A\JB
AAB
~ÌA
Gli assiomi valgono identicamente 0; le regole di deduzione
conservano tale valore, ma per la (8) è, ad esempio, con a — 2 :
^-\2ZD2+-]IZ}-2
+
0ZD2-+2
Vale infine il fatto che, aggiungendo agli assiomi della logica
proposizionale intuizionistica la (8), il sistema resta non contradittorio; lo si dimostra in modo perfettamente analogo a quello
impiegato in 7.2).
È facile controllare come le due proprietà ora dimostrate in
relazione alla (8) si possano dimostrare immediatamente per la
proposizione \— a\J
\ a, il che prova la non deducibilità e non
contradittorietà del principio del terzo escluso in logica intuizionistica.
8)
I L PROBLEMA DELLA DECISIONE.
Nello studio di un sistema formale del tipo di quello della
logica proposizionale classica od intuizionistica, di un sistema formale contenente cioè le regole di formazione di termini e proposizioni e di deduzione di i;-proposizioni, si presentano tre questioni
particolarmente importanti, che si possono sintetizzare nelle tre
domande che seguono:
a) sia & una « figura » o « espressione » qualsiasi costituita
da un numero finito di segni (termini primitivi, operatori, predicati) di un dato sistema formale F. È Ci un termine od una proposizione di F?
— 162 —
b) sia data una successione finita qualsiasi di proposizioni del
sistema F; questa successione è una «dimostrazione» dell'ultima
proposizione, cioè è ogni proposizione della successione un assioma
od una ^-proposizione dedotta dalle proposizioni precedenti secondo
le regole deduttive del sistema F, ogni volta mediante applicazione
di una sola di tali regole?
e) sia P una proposizione di F che non sia un assioma; è P
deducibile in F?
I problemi a), b), e), ed altri dello stesso tipo che nascono nella
considerazione di sistemi formali più complessi, hanno in comune
il fatto che si tratta ogni volta della richiesta di un metodo generale
relativo ad un problema generale, il quale metodo, dato prima
della particolarizzazione del problema in questione in un problema
singolo determinato, permetta per ognuna di queste particolarizzazioni, di rispondere « si » o « no ».
Problemi di questo tipo prendono il nome di problemi di decisione (Entscheidungsprobleme dei tedeschi; v. particolarmente
HILBERT-ACKERMANN [1]), ed i loro metodi di soluzione, procedimenti di decisione.
Ritornando ai problemi a), b), e) è facile rendersi conto che
esiste una sostanziale differenza tra i primi due ed il terzo. In a), b)
la domanda stessa contiene già in sé la risposta; con un numero
finito di « verifiche » sugli elementi che costituiscono la o le espressioni in oggetto, tenendo conto delle regole di formazione e deduzione del sistema formale in questione, si può rispondere positivamente o negativamente.
Nel caso e) le cose sono meno semplici; non abbiamo nessun
metodo finito offerto immediatamente dalla definizione di deducibilità, ossia dalle regole deduttive del sistema; tale metodo va cercato in qualche cosa di diverso da una semplice « osservazione
visiva » degli oggetti in questione, e non si tratta quindi di un fatto
banale.
II problema e) prende quindi per antonomasia il nome di problema di decisione del sistema formale in esame ( 15 ).
(15) HILBERT-ACKERMANN [1] enunciano diversamente l'Entscheidungsproblem, facendolo consistere nei due problemi della « validità generale » e della « soddisfacibilità»; il problema della decisione risulta così l'insieme dei due seguenti problemi (per
la logica proposizionale classica) :
a) trovare un metodo per riconoscere se una data proposizione del sistema formale
— 163 —
Per il calcolo proposizionale della logica classica esiste un metodo di decisione che risulta da quanto già detto in 7.3), e cioè:
condizione necessaria e sufficiente perchè una proposizione (elementare) sia deducibile, è che essa sia identicamente vera nell'interpretazione in aritmetica bivalente di cui in 7.3).
Per la logica proposizionale intuizionistica un procedimento di
decisione è stato dato da GENTZEN [ 1 ] ; su ciò però non mi fermo.
Accenno ancora soltanto ai seguenti risultati:
a) nel calcolo proposizionale intuizionistico i quattro operatori sono indipendenti tra di loro ( W A J S B E R G [1]). («Indipendenti » nel senso che nessuno è definibile mediante gli altri) ;
b) la logica intuizionistica può essere considerata come una
logica ad un numero infinito numerabile di valori (JASKOWSKI [1]);
e) TARSKI [1] ha studiato delle relazioni tra logica intuizionistica e topologia.
Si vedano inoltre le pagine 20 e 21 di
9)
ULTERIORI
CONSIDERAZIONI
SULLA
HEYTWG
LOGICA
[21].
INTUIZIONISTICA.
Oltre alla logica proposizionale, HEYTING ha formalizzato
anche quella dei predicati; ritengo però che quanto fin qui detto
possa già dare un'idea dei principi e dei metodi intuizionistici, e
mi limiterò di conseguenza ad accennare ad alcuni punti.
Anche nello studio della logica dei predicati conviene porsi
dal punto di vista di KOLMOGOROFF. Al riguardo sono necessarie
alcune precisazioni sul simbolismo adottato.
Le lettere x, y, z,... sono variabili con determinati campi di
variabilità; non è richiesto, come per le variabili a, b,... della
logica proposizionale, che i loro valori siano problemi; essi sono
valori qualsiasi, eventualmente limitati a campi precisati.
risulta identicamente vera nell'interpretazione in aritmetica bivalente j « ? / j (vedi
pag. 158), senza dover far ricorso alla soluzione banale di eseguire tutte le possibili
sostituzioni ed effettuare i rispettivi calcoli.
b) Idem come in a) per riconoscere se la proposizione risulta o meno identicamente
falsa.
La soluzione di questo problema sta nella riduzione delle proposizioni in oggetto
a « forma normale ». Poiché, in logica proposizionale classica, condizione necessaria e
sufficiente onde una proposizione sia deducibile è che essa risulti identicamente vera,
si vede come il problema a) ed il problema della decisione come definito nel testo siano,
in campo classico, equivalenti; la definizione dell'Entscheidungsproblem data nel testo
è quella oggi più comune; essa è più generale e sostanzialmente più interessante.
— 164 —
I simboli A(x), B(x), ... sono nuove variabili, i cui valori
sono delle funzioni-problema
della variabile x; cioè i simboli
A(x)ìB(x),...
indicano delle funzioni di x tali che, sostituendo ad x
uno qualunque dei suoi valori, si ottiene un problema ben determinato. Quando si vorrà fare riferimento ad una determinata funzione problema (della variabile x), si adopreranno i simboli PQ(X),
Qo(x),
R0(x),...
A maggior chiarimento si consideri l'espressione:
oc
Calcolare il valore di -—
(9)
Questa espressione è una funzione di x ; sostituendo ad x un suo
valore x0 si ottiene il problema :
Calcolare il valore di ~
La (9) cioè è una funzione-problema della variabile x; per
indicarla brevemente si impiegherà un simbolo del tipo PQ(X),
Qo(x),R0(x),...
II simbolo A (x) è invece una variabile che indica una generica
funzione del tipo (9).
Sia ora PQ(X) una determinata funzione-problema della variabile x; il simbolo (x)P0(x) rappresenta il problema: « d a r e un
metodo generale per mezzo del quale il problema P0(x) sia risolubile per qualsiasi sostituzione della variabile x nel proprio campo
di variabilità »; va inteso che tale metodo sia noto prima che venga
effettuata la sostituzione della variabile x con un suo valore x0.
Il simbolo (Ex) P0(x) rappresenta invece il problema: « d a r e un
valore x0 e la soluzione di Po(x0) ».
Se invece di servirci di una funzione-problema definita Po(x)
introduciamo una variabile A(x) si ottengono i simboli:
(x)A(w),
(Ex)A(x)
•
(10)
che sono funzioni della variabile A(x\ ed i cui valori sono problemi, e precisamente i problemi ottenuti sostituendo ad A (x) i
suoi valori P0(x),Q0(x),...
del relativo campo di variabilità.
Nella (10) la variabile « l i b e r a » è A(x), mentre x è varia-
— 165 —
bile «legata» (PEANO direbbe «pseudovariabile»); sostituendo
infatti nella (x)A(x) ad A(x) un suo valore, ad esempio: «dimostrare che x è > 1 0 » , la funzione-problema (x)A(x) si trasforma
nel problema:
Per ogni valore di x, dimostrare che x è > 10.
La sostituzione di x con un valore x0 darebbe invece luogo ad
un simbolo privo di significato.
Naturalmente, perchè la trattazione sia completa ed abbia
senso, occorre, ove necessario, precisare i campi di variabilità
delle variabili libere e legate in gioco.
Anche nel campo della logica dei predicati la concezione intuizionistica esercita una profonda influenza; è interessante vederla
su due esempi particolarmente significativi.
In logica intuizionistica è teorema la seguente proposizione :
[nn^iWlDiwnniw]
(ii)
dove il campo di variabilità di x è qualsiasi, e così pure, nell'ambito delle funzioni-problema di una variabile x, quello di A (x).
Non è invece teorema la inversa di (12), cioè:
\(oo)-}-}A(x)}=>\-l-}(x)A(x)]
(12)
(Le due formule, tenuto conto della contemporanea annullabilità
dei due operatori di negazione, sono evidentemente valide in logica
classica).
Vediamo la (11); essa dice che, fissato per A(x) un valore
qualsiasi P0(x), quando si possegga una soluzione di ~[~~[ (x) P 0 (#)
si possiede anche una soluzione di (x) ~~\~] P0{x). Infatti, si possegga una soluzione del primo membro; ciò significa che le supposizioni :
a) di possedere un metodo generale per risolvere Po(x);
6) di dedurre da a) un assurdo;
sono globalmente assurde (non interessa quale sia l'assurdo che
dalla loro coesistenza nasce).
Facciamo ora vedere che questo fatto costituisce una soluzione
di (x) ~1~T Po(#); invero una soluzione di (x) ~~]~~\ P0(x) deve
essere un metodo generale per risolvere ~~f ~f P0(x); eccolo:
fissato un x0 qualunque, si supponga di aver dimostrata assurda la
ii
— 166 —
soluzione di P0(x0), si supponga cioè risolto ~~f P0(x0); ammessa
questa supposizione, posso asserire che esiste un metodo generale
per risolvere Po(x), posso cioè asserire che ho risolto (x) P0(x)?
Evidentemente no, poiché, per quell'io, Po(%o) non è risolubile;
allora è assurdo che (x) P0(x) sia risolto, cioè è risolto ~\ (x) P0(x),
la soluzione del quale ultimo problema non può quindi essere
ridotta all'assurdo; ma essa lo è per ipotesi (soluzione di ~\~\ (x)
Po(x)) quindi è assurdo aver dimostrata assurda la soluzione di
P0(#o)> quindi è risolto ~\~\Po(x0) e ciò per ogni x0, quindi è
risolto (x) ~\~\ P0(x), e per ogni P0(x). (Questo ragionamento
farebbe... fremere di sdegno G R I S S ed i suoi seguaci).
Considerazioni dello stesso tipo si possono svolgere per vedere
che la (12) non è una i;-proposizione; così pure si può constatare
facilmente che la proposizione:
(Ex) [ n A (x)] 3 -] [(x) A (x)}
(13)
è una i>-proposizione mentre non lo è la sua inversa:
-1[(X)A(X)]ZD(EX)[-]A(X)]
(14)
E... de hoc satis.
CAP. IV. - LA TEORIA DELLE SPECIE E DEGLI INSIEMI
• ED I NUMERI REALI
1)
GENERALITÀ.
Uno dei campi della matematica in cui la concezione intuizionistica ha lasciato le tracce più profonde, portando ad un radicale
mutamento di rotta, è quello della teoria degli insiemi. Nelle righe
che seguono ne esporrò i principi soffermandomi sia sull'aspetto
critico delle questioni trattate come sul loro sviluppo effettivo.
2) LA TEORIA DEGLI INSIEMI DI CANTOR.
La teoria degli insiemi di CANTOR, che vide la luce tra il 1879
ed il 1897 (CANTOR [1,2]) può essere considerata ad un tempo
-
167
-
punto di arrivo e punto di partenza nella storia del pensiero matematico: punto di arrivo in riferimento al poderoso sforzo costruttivo e critico le cui origini risalgono in sostanza a CAUCHY ed il
cui sviluppo toccò quasi tutto l'800 attraverso l'opera dei grandi
analisti dell'epoca; punto di partenza in quanto proprio la teoria
degli insiemi di CANTOR, con l'ausilio degli studi logici pressoché
contemporanei di D E MORGAN, PEIRCE, SCHRODER, BOOLE, PEANO,
ecc., permise la rielaborazione dei lavori analitici precedenti (si
pensi ad esempio alle questioni riguardanti il concetto di curva)
ed il prodigioso fiorire o rifiorire di vari rami dell'analisi, che in
poco più di mezzo secolo portarono la matematica al suo livello
attuale.
È vero d'altra parte che l'opera cantoriana è in un certo senso
frutto di una linea di pensiero in antitesi con quella di CAUCHY;
si veda soltanto il problema dell'infinito matematico, che in CAUCHY nasce in una prospettiva tipicamente potenziale, mentre con
CANTOR si presenta nel suo pieno significato attuale.
Questo fatto merita di essere tenuto presente come espressione
del mondo matematico contemporaneo, cui hanno portato e portano
contributo tendenze diverse fra le quali non è affatto semplice gettare i ponti, e come presupposto a movimenti di « revisione » e
« purificazione » fra i quali è tipico esempio proprio l'intuizionismo.
Il lavoro di CANTOR non nacque comunque fra le rose. Si è
già parlato della violenta opposizione di KRONECKER all'introduzione dell'infinito attuale in matematica, ed è impressionante il
constatare come tale opposizione, oggi assai meno incompresa di
allora, non abbia tratto lo spunto da incrinature nella costruzione
matematica su tale concetto basata, ma si sia sviluppata esclusivamente attraverso una personale meditazione sulla natura dei problemi in questione.
Successivamente, il sorgere delle antinomie vibrò un colpo
assai forte alla concezione cantoriana, la quale però, anziché, cedere, trovò in se stessa la forza per sopravvivere e continuare ad
imporsi, tanto che oggi, praticamente, è la base su cui si fondano
la matematica « ufficiale » e di conseguenza la scienza « ufficiale »
insegnate nelle scuole ed applicate nella vita di ogni giorno.
Sarebbe interessante, in special modo sotto il profilo psicologico, indagare come mai la concezione cantoriana si sia così universalmente imposta, tanto che ancor oggi l'intuizionismo è guardato con occhio tra il sospettoso e l'indifferente dalla maggioranza
— 168 —
dei matematici, se non «ufficialmente» certo « d e facto»; sarebbe
interessante indagare come mai studiosi i quali additarono la
« metafisica come scienza » alla universale esecrazione si siano
inchinati ossequiosi al dogma dell'« infinito attuale » delP« insieme di tutti gli enti », del « vero o falso », e via discorrendo.
Io credo che nel determinare tale situazione abbia avuto parte
notevolissima un principio di prammatica; basti pensare a che
succederebbe, oggi come oggi, se si volesse progettare un satellite
artificiale con... la matematica di KRONECKER.
Vediamo ora quali siano le concezioni cantoriana e brouweriana della teoria degli insiemi.
È noto che la «definizione» di insieme data da CANTOR (1) non
definisce effettivamente nulla, analogamente a quanto avviene, per
esempio, con le «definizioni» euclidee di punto, linea, ecc. Ciò
non incrina però la concezione cantoriana, in quanto è noto come
i concetti di « insieme », « elemento di un insieme » e simili possano venire, in sistemazione assiomatica, assunti come primitivi,
cioè non definiti. A parte queste considerazioni, sta il fatto che
CANTOR concepisce la teoria degli insiemi come riferentesi ad
oggetti (elementi ed insiemi) esistenti indipendentemente dalla
attività di chi li studia; si tratta insomma di una concezione ontologica, ammettente, tra l'altro, l'infinito attuale. Questo fatto è già
di per sé assai grave, ma c'è di più. Nelle prime interpretazioni
della teoria cantoriana non veniva fissato 1'« universo » di oggetti
su cui ragionare, ma si lasciava una pressoché indiscriminata libertà
nel maneggiare gli elementi, considerandoli di volta in volta come
appartenenti ad insieme diversi, come formanti insiemi più o meno
complessi, ecc. In altre parole, gli elementi e gli insiemi in oggetto
non erano (per usare una felice espressione di VITALI [1]) «tali
in quanto come tali li si vuol considerare », ma tali in quanto ontologicamente tali ( 2 ).
La conseguenza più cruda di una simile impostazione si manifestò nel sorgere delle antinomie, che imposero la necessità di una
revisione delle idee di CANTOR.
(1) « Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte
unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. » (CANTOR [2]).
Un insieme è una collezione di determinati e ben distinti oggetti della nostra
intuizione o del nostro pensiero.
(2) Ben presto si ebbero delle reazioni a tale realismo estremo; si pensi solo alla
cosiddetta «scuola semiintuizionistica francese» (vedi HEYTING [21]); per non parlare, naturalmente, di KRONECKER.
— 169 —
La posizione intuizionistica non trae però ragione di essere da
queste incrinature, anche se storicamente è ben possibile che il
fatto abbia avuto influenza sullo sviluppo di pensiero di BROUWER;
la concezione intuizionistica riposa sulle sue posizioni di principio
illustrate nelle pagine che precedono, e trova per la teoria degli
insiemi una formulazione particolarmente significativa. Qui è però
necessario prendere le mosse piuttosto di lontano.
3) L E ENTITÀ MATEMATICHE DEGLI INTUIZIONISTI; L'UGUAGLIANZA
E LA NON UGUAGLIANZA-
La costruzione della matematica è realizzata dagli intuizionisti
partendo da segni più o meno complessi, che possiamo chiamare
genericamente figure, ottenuti come segue:
sono date una prima figura Fu ed una legge Li la quale offre
un metodo effettivo per costruire successivamente un numero finito
od una infinità numerabile (in senso potenziale) di altre figure
F12, F J 3 , ..., essendo, per ogni n, Fln costruibile in modo finito in
base ad Lt ed alle figure che la precedono. E ammesso di considerare una infinità numerabile di coppie « prima figura - legge »,
ognuna delle quali coppie è sorgente di una infinità numerabile
(o di un numero finito) di figure.
Le figure in tal modo ottenute possono considerarsi « atomi »
o «molecole» della matematica (l'attribuzione della caratteristica
« atomo » o « molecola » risultando, naturalmente, entro certi limiti
arbitraria; si possono, ad esempio, chiamare atomi segni come le
lettere dei vari alfabeti, le cifre arabe, ecc. e molecole le figure con
tali segni composte).
a) Gli atomi e le molecole di cui sopra sono entità matematiche.
Sono poi entità matematiche:
b) le leggi che definiscono successioni limitate o meno di entità matetiche precedentemente costruite; va inteso che tale legge
permetta la effettiva costruzione del 1° elemento e dell'(/i + l) esirao
elemento una volta che sia stato costruito Ynesimo;
e) le successioni limitate di entità matematiche precedentemente costruite, alle quali si riconosca una illimitata proseguibilità,
con libertà di scelta assoluta o più o meno vincolata col progredire
— 170 —
dei passi della successione, purché il vincolo non sia tale da definire aprioristicamente (cioè prima della costruzione dei passi successivi a quelli costituenti la successione limitata di partenza) ed
univocamente tutti i passi della successione, nel qual caso si ricade
inb).
Sulla interpretazione del concetto di esistenza da attribuire a
queste ultime particolari entità e sul modo di maneggiarle matematicamente avremo presto molto da dire.
Onde evitare malintesi adotteremo d'ora innanzi la seguente
nomenclatura :
successione definita = legge del tipo b) ; come casi particolari si hanno successioni definite illimitate e successioni definite
limitate; evidentemente una successione con un numero finito di
termini intesa in senso classico rientra in tale definizione;
successione di libere scelte = successione del tipo e) ;
il termine successione indicherà indifferentemente sia una
successione definita come una successione di libere scelte.
A questo punto si inserisce il concetto di specie; per specie si
intende una « proprietà significativa » di entità matematiche precedentemente acquisite.
BROUWER non definisce né commenta ciò ch'egli intende per
«proprietà significativa»; si può dire che quest'ultima è sottoposta alla sola condizione che alla domanda: «l'entità matematica E verifica la proprietà Q? » si possa dare, in un qualunque stadio
della conoscenza matematica, una ed una sola (eventualmente variabile, non però in senso contradittorio, col progredire delle nostre
conoscenze) delle seguenti risposte : « si », « no », « non so »,
restando sempre esclusa la risposta: «Questa domanda non ha
senso» ( 3 ).
Una entità matematica verificante la proprietà che caratterizza
una specie si dice un elemento della specie; una specie è vuota
[(i) empty] se non può contenere alcun elemento ( 4 ).
(3) La situazione non è peraltro migliore in campo non intuizionistico per il concetto di « proposizione ».
(*) Ho ritenuto opportuno, da questo punto in avanti, riportare in generale gli
originali tedeschi o inglesi o francesi dei termini intuizionistici più importanti. Quando
il termine adottato in italiano è la traduzione circa letterale di quello originale, quest'ul-
— 17] —
d) Anche le specie sono entità matematiche.
Le sole entità matematiche riconosciute dagli intuizionisti sono
quelle elencate in a), b), e), d), ognuna delle quali è evidentemente
concepita come una bi-unità (5).
Gli atomi e le molecole si possono considerare entità «materiali » o « strutturali » della matematica intuizionistica ; le successioni, entità «selettive»; le specie, entità «di classificazione».
timo viene messo in parentesi accompagnato dall'indicazione ' t ', ' i ', ' f ', da leggere
rispettivamente ' in tedesco ', ' in inglese ', ' in francese '. Se invece il termine italiano, come spesso avviene, non è la semplice traduzione di quello originale, quest'ultimo è accompagnato dalla traduzione letterale italiana.
Va notato che, specie negli scritti in lingua inglese, i termini tecnici della matematica intuizionistica sono spesso pittoreschi vocaboli del linguaggio comune; non mi
è sembrato opportuno, data la tradizione italiana in questo campo, darne la semplice
traduzione, ma in molti casi ho introdotto termini che mi sembravano più «scientifici»;
ciò soprattutto a proposito della teoria della selezione, in cui l'interpretazione fisica
richiamata nel testo mi ha fornito termini di uso corrente tratti dal linguaggio delle
telecomunicazioni.
(5) Nei primi lavori di BROUWER alla teoria delle specie si faceva precedere una
teoria intuizionistica degli insiemi (intuitionistiche Mengenlehre) secondo lo schema
qui sotto tracciato.
In primo luogo era data la seguente definizione di insieme [(t) Menge] :
« Eine Menge ist ein Gesetz, auf Grund dessen, wenn immer wieder eine willkiirliche Nummer gewahlt wird, jede dieser Wahlen entweder eine bestimmte Zeichenreihe
mit oder ohne Beendigung des Prozesses erzeugt, oder aber die Hemmung des Prozesses
mitsamt der definitiven Vernichtung seines Resultates herbeifiihrt, wobei fiir jedes
n > 1 nach jeder unbeendigten und ungehemmten Folge von n — 1 Wahlen, wenigstenseine Nummer angegeben werden kann, die, wenn sie als n — te Nummer gewahlt wird,
nicht die Hemmung des Prozesses herbeifiihrt ».
di cui ecco la traduzione:
Un insieme è una legge in base alla quale, se vengono scelti successivamente
numeri naturali arbitrari, ognuna di tali scelte:
a) genera una « figura » determinata, con o senza terminazione del processo ;
oppure :
b) provoca il « blocco » del processo in corso annullando definitivamente i risultati già conseguiti;
il tutto con la condizione che per ogni n > 1, dopo n — 1 successioni di scelte
non ultimate e non bloccate si possa dare almeno un numero naturale il quale, scelto
come n.° « numero-indice », non provochi il blocco del processo.
Si precisava poi che ogni successione di figure generata in base a quella legge
costituisce un elemento dell'insieme.
Un insieme è dato quando è data la legge di generazione dei suoi elementi, i quali
in tale legge hanno la loro genesi, e « nascono » dopo di essa.
La concezione sopra accennata si modificò col tempo; la teoria delle specie si
presentò come più naturale « controfigura » della teoria classica degli insiemi, ed il
termine Menge scomparve dalla letteratura intuizionistica, mutandosi nel termine inglese ' spread ' ed in quello francese ' déploiment '.
La teoria degli «spreads» divenne una parte della teoria delle specie, fondamentale per la teoria delle funzioni.
Di tutto ciò si dirà fra breve.
— 172 —
Uuguaglianza e la non uguaglianza {uguaglianza od identità;
disuguaglianza o diversità o differenza o distinzione) sono decidibili, nel caso di atomi, in base alla semplice osservazione di questi
ultimi. Vale il principio del terzo escluso. Nel caso di molecole
l'uguaglianza o identità significa corrispondenza strutturale biunivoca ed uguaglianza tra gli atomi corrispondenti; la disuguaglianza
{diversità o differenza o distinzione) significa diversità di struttura
od esistenza di una coppia almeno di atomi di ugual posto diversi.
Vale ancora il principio del terzo escluso.
Due successioni si dicono uguali o identiche se per ogni n gli
elementi di indice n sono uguali, si dicono diverse o differenti o
disuguali se la loro uguaglianza è assurda; si dicono distinte se
esiste almeno un indice n per cui gli elementi nesum delle due successioni siano diversi.
Nel caso delle successioni si danno quindi due definizioni di
non uguaglianza: la differenza (o disuguaglianza o diversità),
che può chiamarsi non uguaglianza in senso largo e la distinzione
o non uguaglianza in senso stretto. Non vale in genere, per le relazioni di uguaglianza e non uguaglianza tra successioni, il principio del terzo escluso; si noti inoltre che, date due successioni, non
è necessariamente decidibile se tra di esse sussista una delle tre
relazioni : uguaglianza, disuguaglianza, distinzione.
Per le specie valgono le seguenti definizioni :
due specie si dicono uguali od identiche se per ogni elemento
dell'una esiste un ugual elemento dell'altra e viceversa; si dicono
diverse o disuguali o differenti se la loro uguaglianza è assurda;
si dicono distinte se esiste almeno un elemento dell'una che non
può appartenere all'altra. Anche qui si ha una non uguaglianza in
senso stretto ed una non uguaglianza in senso largo, ed anche qui
non vale in genere il principio del terzo escluso.
È opportuno notare che non sempre è decidibile se una specie
possegga o meno degli elementi; l'uguaglianza fra due specie
significa quindi soltanto che l'ipotesi dell'esistenza di un elemento
dell'una implica l'esistenza di un uguale elemento della seconda,
dà cioè un mezzo effettivo per trovare quell'elemento e dimostrarne
l'uguaglianza col primo; con ciò naturalmente non si afferma nulla
sull'esistenza di un elemento della specie di partenza.
Nella tabella seguente sono riportati i termini relativi ai con-
— 173 —
cetti di uguaglianza e non uguaglianza insieme con le dizioni intuizionistiche originali tedesche ed inglesi :
italiano
tedesco
inglese
uguale
gleich
equal
identico
identisch
identical
diverso
disuguale
differente
verschieden
different
distinto
distinct
Gli ultimi articoli di BROUWER sono in lingua inglese. Nei
lavori precedenti, quasi tutti in tedesco, il termine « distinto » non
viene generalmente impiegato, e si adottano singoli termini a proposito di singoli argomenti.
Nella letteratura intuizionistica vengono ancora definiti altri
tipi generalizzati di uguaglianza e non uguaglianza; in genere la
non uguaglianza generalizzata sarà intesa o in senso largo, come
assurdità dell'uguaglianza o in senso stretto, quando sia dato almeno
un elemento di « distacco » fra le due entità.
4) L'ESISTENZA DELLE ENTITÀ MATEMATICHE SECONDO GLI INTUIZIONISTI.
Possiamo ora affrontare uno dei più gravi problemi del pensiero intuizionistico : il problema dell'« esistenza » delle entità
matematiche.
Per gli atomi e le molecole l'esistenza è oggettivamente data
dalla loro stessa presenza fisica; una successione definita esiste
quando ne è conosciuta, per esempio nella sua formulazione scritta,
la legge di generazione.
Per quanto riguarda invece le successioni di libere scelte, durante lo studio dei lavori intuizionistici sono nati in me dei dubbi
a proposito dei quali ho avuto uno scambio di corrispondenza col
Prof. HEYTING che ritengo possa essere interessante per una più
— 174 —
viva comprensione del pensiero intuizionistico. Il Prof. HEYTING
mi ha gentilmente autorizzato a pubblicare le parti più significative
di tale corrispondenza, il che faccio ringraziandolo sia per tale
autorizzazione come per i suoi cortesi scritti.
Diversi dei punti toccati nelle lettere in oggetto si riferiscono ad
argomenti che esporrò dettagliatamente più avanti; ritengo tuttavia opportuno presentare ora questa testimonianza diretta sul pensiero intuizionistico, in quanto il seguito di questo lavoro si porrà
senza dubbio in una prospettiva più chiara; per un'esatta comprensione dei testi in oggetto premetto alcune definizioni che saranno
poi ripetute e inquadrate nel n. 6.2).
Per segmento numerico di ordine n si intende una successione
di n numeri naturali (n ^ 1), i quali prendono il nome di passi del
segmento. Un segmento p di ordine n + m (n^ l,m^
1) i cui
primi n elementi costituiscano nell'ordine il segmento p di ordine n
si chiama un proseguimento m° del segmento p, e p il pre-segmento
m° di p ' ; se m= 1 si ha rispettivamente un immediato proseguimento di p e il pre-segmento di p.
Una successione finita di segmenti costituita da un primo segmento pi di ordine 1, da un immediato proseguimento p 2 di p±,
da un immediato proseguimento p 3 di p 2 ,..., da un immediato proseguimento p„ di pM_i si chiama un istradamento {limitato) di
ordine n; nel caso in cui la successione sia illimitata, si ha un istradamento illimitato.
Si consideri ora una specie K di segmenti tale che:
a) fra i segmenti di ordine 1 sono elementi di K tutti i numeri
naturali (ipotesi a) oppure tutti i numeri naturali che non superano
un determinato numero naturale m0 e solo quelli (ipotesi /3).
b) per ogni n ^ 1 se p è un segmento di ordine n appartenente a K, appartengono a K (ipotesi a) tutti gli immediati proseguimenti di p oppure (ipotesi /3) quelli e solo quelli il cui (ra + l) esuno
passo non supera un determinato numero naturale mp (funzione
a; P ) .
Una tale specie K prende il nome di schema selettivo, e la specie H degli istradamenti illimitati costituiti con segmenti di K si
chiama fascio (di istradamenti
illimitati).
Sia f un istradamento illimitato appartenente al fascio H; sia
a un istradamento di ordine n qualsiasi costituente il segmento ini-
— 175 —
ziale di ordine n di £ (ed appartenente quindi a K); a si chiama
un K-istradamento di ordine n, £ una H - continuazione di a.
Si estendono poi ovviamente agli istradamenti limitati i concetti di proseguimento m°, immediato proseguimento,
pre-segmento m°, pre-segmento; in questo caso invece di'pre-segmento' si
userà il termine pre-istradamento invece di 'pre-segmento m0' si
dirà ' pre-istradamento m°\
Se a è un istradamene limitato di K e h un proseguimento m°
di a appartenente ancora a K, b si dice un K-proseguimento di a.
Se lo schema selettivo K è tale che sono suoi elementi tutti i
numeri naturali come segmenti di ordine 1 e tutti gli immediati
proseguimenti di un segmento p di ordine qualsiasi appartenente
a K, K stesso prende il nome di schema selettivo universale, e si
ha in corrispondenza il fascio universale di istradamenti
illimitati;
se invece sia nella scelta dei segmenti di ordine 1 come nella scelta
dell'ultimo passo degli immediati proseguimenti di un qualsiasi p
appartenente a K è sempre valida l'alternativa (/?) di cui sopra, si
ottengono uno schema selettivo ad accessibilità ovunque limitata
ed un fascio di istradamenti illimitati ad accessibilità ovunque
limitata.
Sia K uno schema selettivo, p un suo segmento. Si indichi
con 7T (K, p) la sottospecie di K costituita da p e dai suoi proseguimenti appartenenti a K; ir (K, p) si chiama un settore selettivo, e
la specie P (K, p) degli istradamenti illimitati costituiti da segmenti di 7T (K, p) viene denominata fascio settoriale di istradamenti illimitati. Il segmento p vien detto tronco del settore selettivo
e del fascio settoriale, i quali si considerano innestati su tale tronco.
Ecco ora le parti più significative della corrispondenza sopra
ricordata.
Torino, 28 dicembre 1955.
(lettera al Prof. A.
HEYTING).
Egregio Sig. Professore,
"... in quasi tutti gli articoli del Prof. BROUWER, dai primi fino
ai più recenti posteriori al 1950, si fa uso della seguente proposizione (che in seguito chiamerò P) : « S e a ciascun elemento g di
un fascio (di istradamenti illimitati) (Menge, spread) (v. 6.2) M corrisponde un numero naturale h, allora per ogni g il numero h deve
essere determinato in base alla conoscenza di un segmento iniziale
— 176 —
di g stesso, e quindi tutti gli elementi di M cui appartiene quel
segmento iniziale di g corrispondono allo stesso numero naturale h» ( 6 ).
Questa proposizione è in particolare impiegata nella dimostrazione del teorema asserente che la specie C (delle successioni illimitate di numeri naturali) è maggiore della specie A (dei numeri
naturali) (v. L. E. J. BROUWER, Zur Begrìindung der intuitionistischen Mathematik, I, pag. 253) e nella dimostrazione del teorema fondamentale sui fasci ad accessibilità ovunque limitata nonché del teorema sulla uniforme continuità di una funzione definita
nel continuo (0,1) (L. E. J. BROUWER, Uber Definitionsbereiche
von Funktionen, th. 2, p. 66, th. 3, pag. 6 7 ; L. E. J. BROUWER,
Points and spaces, pagg. 15 e 17) ed è inoltre ripresa da altri autori
(ad es. dal Prof. G R I S S ) .
Quando incontrai tale affermazione nella dimostrazione del
teorema « C e maggiore di A », non rimasi convinto della sua validità, ma mi riuscì tuttavia di dare un'altra dimostrazione dello
stesso teorema, dimostrazione riportata nell'appendice alla presente
lettera.
Nel teorema fondamentale sui fasci ad accessibilità ovunque
limitata, e di conseguenza nei più importanti risultati dalla teoria
intuizionistica delle funzioni, tale affermazione entra però come
passaggio logico in modo che ritengo essenziale, e quindi inevitabile, per cui ho voluto fermarmi sul problema, onde esaminarlo nel
modo più esauriente possibile. Il risultato di questo esame è, a mio
giudizio, che l'asserto P non è accettabile dal punto di vista delVintuizionismo.
Infatti, dire che ad ogni elemento g del fascio M corrisponde
un numero naturale h significa, intuizionisticamente parlando, che
è data una legge di corrispondenza L tale che, dato un qualunque
elemento g di M, la conoscenza di g e di L fornisce un motodo effettivo che permette, con un numero finito di atti, di trovare il numero h corrispondente a g; sempre dal punto di vista intuizionistico,
la conoscenza di g è esclusivamente la conoscenza della legge che
permette la costruzione successiva dei singoli passi costituenti g,
ed è la conoscenza di questa legge in quanto tale che, unita alla
(°) Per segmento iniziale di una successione a (definita o di libere scelte) si intende
la successione costituita dai primi 71 passi di a qualunque sia il numero naturale n;
si dirà anche che tale segmento è di ordine n.
— 177 —
conoscenza di L, offre il mezzo R di costruzione di h. Ora i passi
successivi costituenti R non sono necessariamente appoggiati sulla
conoscenza di passi successivi di g, ma sulla conoscenza della
legge g in quanto tale, per esempio sulla sua formulazione scritta.
Solo se si supponesse che conoscere g significhi esclusivamente
conoscere lV s u n o elemento di g qualunque sia n, sarebbe valida la
proposizione F. Ma la supposizione di cui sopra costituisce evidentemente, anche dal punto di vista intuizionistico, un'ingiustificata particolarizzazione del concetto di « legge »".
APPENDICE
La specie C è maggiore della specie A (v. L. E. J.
BROUWER, « Zur Begriindung der intuitionistischen Mathermatik »,
I, pag. 253).
TEOREMA:
1) Dimostrazione di BROUWER: una legge che ad ogni elemento 5 di C faccia corrispondere un elemento n di A deve infatti
aver determinato completamente l'elemento n dopo la conoscenza
di un certo segmento iniziale a della successione numerica s.
Allora però ad ogni elemento di C che possegga lo stesso segmento
iniziale a viene a corrispondere lo stesso elemento n di A, per cui
la formula A ^ C si dimostra assurda, mentre d'altra parte si
vede facilmente che è C^A.
Con il che il teorema è dimostrato.
2) Ecco ora la nuova dimostrazione : sia Lt una legge che faccia
corrispondere ad ogni elemento di C un elemento di A in modo
che ad uguali e soltanto ad uguali elementi di C corrispondano
uguali elementi di A ; sia gì un elemento di C, h^ il numero naturale corrispondente; sia g2 l'elemento di C così definito: il 1°,
il 2°,... elemento di g2 sono uguali ai corrispondenti elementi di gì
finché la l a , la 2 a ,... cifra dello sviluppo decimale di TT non è
uno 0 seguito da 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 ; dal momento in cui si trova
nello sviluppo decimale di ir un tale 0 gli elementi di g2 sono quelli
di gì aumentati di 1 ; sia h2 il numero naturale corrispondente a g 2 .
Poiché allo stato attuale della scienza non si sa né che un tale 0
esista, né che la sua esistenza sia a priori esclusa, non si può affermare né che gx è uguale a g2 né che gì e g2 sono diversi (cioè la
loro uguaglianza è assurda). Non essendo g1 = g2, non può
— 178 —
essere ht = h2, quindi (si noti che per l'uguaglianza e la disuguaglianza dei numeri naturali vale il principio del terzo escluso) è
h1¥zh2i il che implica che gì e g2 siano diversi; ma questa diversità è esclusa per ipotesi, onde la legge Li è contradittoria.
Esiste invece evidentemente una legge L2 che ad ogni elemento h di A faccia corrispondere un elemento g di C2 in modo
che ad uguali e soltanto ad uguali elementi di A corrispondano
uguali elementi di C, per cui il teorema resta dimostrato.
Amsterdam C, le 10 janvier 1956.
(risposta del Prof. A.
HEYTING).
Monsieur,
" Les objections que vous faites au su jet du théorème fondamental de BROUWER sur les déploiements (— Menge, spread)
sont basées sur un malentendu. Vous avez en vue un cas comme le
suivant. Soit M l'ensemble des suites formées de 0 et 1 mais telles
que après 1 vient toujours 1. Nous pouvons faire correspondre un
nombre naturel à chaque élément de M par la règie suivante : A la
suite dont tous les chiffres sont 0 correspond le nombre 1; à la
suite qui commence par n chifFres 0 suivis de chifFres 1 correspond
le nombre ra + 1. Alors pour aucun nombre n les suites qui commencent par n chifFres 0 correspondent au mème nombre.
Ce résultat semble contredire le résultat de BROUWER, mais
en réalité il ne le contredit pas, parce que M n'est pas un déploiement. On aurait un déploiement ^V (lié a M) si on considérait toutes
les suites de choix formées de chifFres 0 et 1 et telles que apres
1 vient toujours 1. Un élément de N peut commencer par des
chifFres 0, sans que Fon sache s'il contient des 1; en ce cas la loi
ci-dessus ne fait pas correspondre un nombre à la suite.
Il est clair que la nombre correspondant à une suite de choix
doit ètre connu après un nombre fini de choix, puisq'il est impossible d'écrire tous les chifFres de la suite. Une suite déterminée par
une loi est un cas particulier d'une suite de choix; c'est le cas où
tous les choix sont déterminés d'avance. Si le nombre correspondant
à cette suite est connu d'après la loi, sans qu'il soit nécessaire, pour
le connaìtre, de calculer les chifFres de la suite, le nombre de choix
après lequel il est déterminé est zèro".
— 179 —
Turin, le 16 janvier 1956.
(lettera al Prof. A.
HEYTING).
Monsieur,
"... Mes objections sur la validité de la proposition que j'ai
nommée P ne ressortent point de la considération d'exemples tels
che Vous m'avez fait remarquer au sujet des « suites formées par
0 ed 1 mais telles quaprès 1 vient toujours 1 ».
De pareils exemples assument, en effet, très facilement au commencement de l'étude sur Fintuitionnisme Faspect de contradictions
aux résultats de Fintuitionnisme méme, mais il suffit un minimum
de familiarité avec les méthodes des intuitionnistes pour se rendre
compte qu'en effet il n'y a pas de contradictions.
Je tàcherai maintenant de préciser ma pensée. La proposition P
est en effet f ormée par les deux propositions suivantes :
Pi : Si à chaque élément g d'un déploiement M il correspond
un nombre nature! h, il en ressort que pour chaque g le nombre
h est déterminé par la sonnaissance d'un nombre finì de choix
successifs de g méme;
P2: si à chaque élément g d'un déploiement M il correspond
un nombre nature! h il en ressort que pour chaque g il y a un nombre fini de choix successifs de g méme tels que touts les suites de M
qui contiennent ces choix successifs correspondent au méme nombre naturel h.
BROUWER
considère la proposition P2 impliquée par la pro-
position P1.
A ce propos voilà mes objections:
Une lois de correspondance L du genre en question doit faire
correspondre un nombre naturel h à chaque suite g de M par une
construction formée d'un nombre fini de pas; les «objets» dont L
peut se servir pour effectuer ces pas sont:
a) la loi G (en tant que loi) qui donne le moyen pour calculer
les pas successifs de g;
b) les pas successifs de g.
— 180 - -
Les éléments qui constituent la lois (par exemple les symboles
qui se présentent dans sa formulation graphique) sont en nombre
fini; également nous pouvons toujours utiliser seulement un nombre fini de pas successifs de g, mème si ce nombre peut à chaque
moment étre augmenté à volonté.
Pour une suite g fixée, la lois L peut utiliser :
1) seulement des pas successifs de g sans tenir compte de la
lois G (en tant que lois );
ou bien:
2) seulement la lois G (en tant que lois) sans qu'on doit calculer des pas de la suite;
ou bien:
3) soit la lois G (en tant que lois) soit de pas des la suite g.
En tout cas les « objets » utilisés pour la détermination de h,
donc, en pardculier, les choix successifs de g quii faut éventuallement calculer, sont évidemment en nombre fini; dans le cas 2) les
choix quii faut connaìtre sont mème, comme Vous dites justement,
zero;
Autrement dit, la proposition que j'ai nommée Pi est vraie,
à condition qu'on lui donne, en opposidon à celle de BROUWER, la
suivante interprStation : « les choix de g nécéssaires, mais en general pas suffisants, à la détermination de h, sont en nombre fini ».
Il faut surtout remarquer que:
jusqu'à ce que la loi L n'est pas spécifiée, nous pouvons affirmer « a priori » que les nombres hu h2 correspondants aux suites
gu g2 sont égaux seulement si tous les « objets » qui déterminent
hi, h2 («objets» qui en general ne sont pas seulement des choix
successifs de gl9 g 2 ), sont les mèmes.
Autrement dit, si hx est détèrminée par 1'« Anfangssegment »
ai de gì méme et par la lois Gì qui définit gu et h2 est détèrminée
par 1'« Anf angssegment » a2 de g2 mème et par la lois G2 qui définit g2, il ne suffit pas qu'on ait ax = a2 pour affirmer que ht = h2;
également il n'y a aucun moyen qui puisse nous permettre d'affirmer l'existence d'un « Anf angssegment » a (éventuellement different de ax) de gì tei que toutes les suites de M qui contiennent le
mème « Anf angssegment » a corréspondent au mème nombre hx ".
-
181 —
Amsterdam C, le 1 février 1956.
(risposta del Prof. A.
HEYTING).
Cher Monsieur,
'Votre lettre du 16 janvier, dont je vous remercie, m'a rendu
beaucoup plus claire votre objection, mais elle n'a en rien changé
mon opinion. Il paraìt que la difficulté se trouve dans le sens qu'il
faut donner aux mots «pour tout élément du déploiement M ».
Parmi ces éléments il y a ceux qui ne sont pas définis par une loi.
Désignons par g un élément quelconque de M, par h(g) le'nombre
naturel qui correspond à g. S'il n'y a pas de loi L qui règie les pas
de g,h(g) doit erre défini par un nombre fini n(g) de pas de g.
Comrae, au moment où je trouve h(g), je ne sais rien sur les pas
ultérieurs de g, qui sont encore indéterminés, tout élément gx dont
les premiers n(g) pas coincident avec ceux de g, doit correspondre
au méme nombre h: h(g1) = h(g).
Il est vrai que pour un nombre g 0 , déterminé par une loi L, et
tei que les premiers n(g) pas de g0 soient les mémes que ceux de
g,h(g0) peut étre connu après moins de n(g) pas, mais cela ne
change rien au résultat précédent.
Reprenons l'exemple du déploiement M± des suites formées
de 0 et 1, mais telles qu'après 1 vient toujours 1. Ori peut former
un élément gì de Mx en commengant par choisir des 0, mais en se
réservant la liberté de choisir 1 à partir d'un certain moment.
Si h(g) est déterminé pour tout élément de Ml9 on peut trouver
n(gì) tei que h(g1) est connu après n(g1) pas de gì; comme il n'y
a pas de loi, on ne peut utiliser que ces pas pour calculer /fc(gi).
Soit g2 une suite qui commence par n(gì) zéros et dont la continuation peut étre réglée par une loi ou non. Alors h(g1) = h(g2),
car nous ne savons rien sur la continuation de gì, il est donc possible que gì — g%, et en ce cas il est contradictoire que h{gx)^zh{g2).
Autrement dit, si on avait h(g1)y^ h(g2), on arriverait à une contradiction en continuant gì de telle manière que gì = g 2 , ce qui
est permis par la définition de g ì .
Soit g0 la suite déterminée par la loi suivante: g0 ne contient
que des zéros. Evidemment, n(g0)~0.
Cela ne veut pas dire que
tous le membres dont les premiers 0 pas coincident avec ceux de g0
(c'est à dire tous les membres de Mi) correspondent au méme
12
— 182 —
nombre h. Tout de méme il est vrai que tous les membres dont les
premiers n(g1) pas coincident avec ceux de g*0 ? correspondent au
mème nombre /&(gi). Le théorème P2 s'applique donc à g 0 .
Il faut surtout faire attention au fait qu'un membre d'un déploiement n'est pas nécessairement une suite définie par une loi.
Ce sont justement les suites « libres » qui jouent un róle décisif
dans la démonstration. Je comprends que la notion de « suite de
choix» cause des difficultés à ceux qui sont habitués aux idées
classiques, et je suis pret à vous aider encore si je n'ai pas encore
compris où exactement se trouvent vos difficultés à vous ".
Turin, le 22 février 1956.
(lettera al Prof. A.
HEYTING).
Monsieur,
"Votre réponse du l e r février, dont je Vous remercie, m'a complètement éclairci les raisons sur lesquelles il s'appuie l'acceptation intuitionniste de la proposition P (v. les lettres précédentes) ;
toutefois mes objections durent encore, se déplagant de la proposition P à sa démonstration, selon ce que j'essayerai de Vous exposer comme mieux je pourrai.
Le noyau de la question est constitué par les suites libres de
choix qui, comme on voit dans la lìttérature intuitionniste et comme
Vous confirmez dans Votre lettre, sont considérées des entités mathématiques.
Voilà maintenant ma pensée.
Si nous avions la possibilité de contempler dans leur ensemble
tous les éléments d'une suite non bornée, cette présence pourrait
èrre considerée comme existence mathématique de la suite mème;
comme cela n'est pas possible, l'intuitionnisme exclut cette existence
ontologique. Par contre on admet l'existence (potentielle, virtuelle)
d'une suite si Fon a une loi qui en fixe successivement et univoquement les pas, où l'univocité est assurée « a priori » par la loi, avant
l'effective construction des pas de la suite méme.
Il est vrai que la liberté de choix nous permet de commencer
et de poursuivre sans bornes la construction de segments initials
de suites, chacun desquels soit un « immediate descendant »
(v. 6.2)) de celui'qui le précède (ils sont les «nodes» dont parie
— 183 —
en « Points and Spaces » dans le définition de 1'« arrow »),
mais ce que nous avons effectivement réalisé, dans une phase quelconque de notre activité, ce n'est pas Vindividualisation d'une suite
(comme il advient lorsque on donne une loi de generation) mais
Vindividualisation d'un déploiement (più esattamente, di un fascio
settoriale; v. 6.2)), et précisément le déploiement dont les « a r r o w »
contiennent comme segment initial celui que Fon a déjà construi.
Par conséquent les suites libres de choix ne sont pas « intuitivement homogènes » avec le suites definies par une loi : ou bien
elles sont des déploiements, ou bien elles ne sont que des paroles.
Il n'est pas « intuitivement acceptable », à mon avis, que de les
considerer des suites individuelles.
Si nous pensons à l'usage que l'on en fait, nous voyons que
Vintroduction des suites libres n'est autre qu'une manière de fixer
la convention que dans les questions de décision qui se rapportent
à tous les éléments g d'un déploiement M effectivement définis par
une loi, on se borne aux problèmes que l'on peut résoudre, par
hypothèse, en utilisant simplement un segment initial pour chaque g.
En effet, soient M un déploiement et g ses éléments; admettons
que chaque suite g de M vérifie une proprieté A (un cas particulier de proprieté A c'est, par exemple, le fait qu'à chaque g corresponde un nombre naturel h(g)); cela veut dire que pour chaque
g de M on possedè une méthode finie qui permet de prouver que
g vérifie A.
Soit maintenant g0 une suite quelconque de M, et considerons
une suite libre g1 obtenue dans cette manière : on commence en
choisissant pour gì les mémes pas qui forment g0 , se réservant la
liberté de s'éloigner ou non de g0 après avoir construi tous les pas
de gì nécessaires et suffisants pour prouver que gì vérifie A; on
trouve certainement ces pas puisque g est une suite libre, pas
définie par une loi. Or, ces pas mémes qui sont nécessaires et suffisants pour prouver que gì vérifie A sont également nécessaires et
suffisants pour prouver que g0 vérifie A, car autrement on pourrait
se servir de la liberté de choix dans la construction de gì pour
déduire facilement une absurdité. Par conséquent la démonstration
que g vérifie A dépend, pour chaque g, exclusivement d'un nombre
fini de pas de g mème, qui sont nécessaires et suffisants pour la
méme démonstration se rapportant à toutes les suites de M qui
contiennent ces pas. Donc non seulement pour la proposition P,
mais déjà pour la proposition la plus generale A, les choix libres
BROUWER
— 184 —
réduisent les « Entscheidungsprobleme » en question à une convention. Le caractère conventionnel de l'introduction des suites libres
me sembre après cela hors discussion.
Mais j'ai remarqué une chose bien plus importante: on peut
reconstruire {je n'ai pas encore verifié complètement cette affirmation, tout de mème je suis presque certain de ne m'ètre pas trompe)
l'intuitionnisme
entier en accordant le droit d'ètre considerées
entités mathematiques seulement aux suites définies par une loi
et, en plus de cela, en s*accordant de se borner, dans Uétude des
corréspondances telles qu'on trouve dans la proposition P, au cas
où les corréspondances mémes sont réalisées simplement selon la
connaissance d'un segment initial de chaque g.
Cette nouvelle perspective intuitionniste offre, à mon avis, les
avantages suivants :
a) elle place le concept de suite de choix dans le seul schema
qui soit, à mon avis, intuitivement acceptable, et elle met en évidence le caractère de convention de la proposition P ;
b) elle laisse ouverte la possibilité d'étudier des types plus
généraux de corréspondances indépendantes de la convention P;
il se peut que de pareilles corréspondances nous permettent d'aboutir à des résultats intéressants.
Enfin, une confirmation du caractère conventionnel de P est
donnée, à mon avis, par le témoignage suivant : en « HEYTING :
Die formalen Regeln der intuitionistischen
Mathematik,
III,
pag. 164 » la mème proposition P (ou, du moins, un cas particulier)
est donnée comme axiome.
Naturellement, de pareilles objections son valables pour les
autres entités mathematiques «en libre devenir» (v. BROUWER,
Zum freien Werden von Mengen und Funktionen)
Amsterdam, le 14 avril 1956.
(risposta del Prof. A.
HEYTING).
Cher Monsieur,
" I l me faut encore répondre à votre lettre du 22 février. Je
suis hereux de constater dans cette lettre que les malentendus sur
la notion de suite de choix sont maintenant complètement éclaircis.
— 185 —
Il reste un désaccord sur la question de savoir s'il faut considérer
les suites de choix comme des entités mathématiques. Je suis parfaitement d'accord avec vous qu'il est impossible de considérer tous
les éléments de la suite comme étant donnés dans leur ensemble.
Vous avez raison qu'à chaque moment ce qui est réalisé d'une suite
de choix est un déploiement, mais cela ne veut pas dire que la suite
est un déploiement: on pourrait éventuellement la considérer
comme une suite de déploiements convergente vers la suite ellemème. D'un certaint point de vue, ces remarques sont des arguments
pour ne pas considérer les suites de choix comme des entités
mathématiques. Néanmois pour plusieurs raisons il me paraìt opporrmi de les considérer comme telles. La raison principale pour laquelle BROUWER a introduit les suites de choix, est que par elles
il devient possible de représenter le continu dans les mathématiques intuitionnistes. L'ensemble des suites définies par des lois est
en un certain sens dénombrable et ne peut pas représenter le continu. Une autre raison pour les employer, est qu'on peut opérer
avec les suites de choix exactement comme avec des suites définies
par de lois. Par exemple, la somme de deux nombres réels donnés
par des suites de choix est de nouveau un nombre donne par une
suite de choix.
La question de savoir s'il faut compter les suites de choix parmi
les entités mathématiques est principalement une question de terminologie. La notion de suite de choix est intuitivement claire;
mème si l'on opere en mathématiques avec ces suites on n'est pas
forge de les appeler des entités; et méme si on les appelle des entités mathématiques, cela n'implique pas qu'on les considère comme
existantes au sens ontologique du mot. Je m'opposerais avec force
contre cette dernière interprétation.
Vous croyez qu'on peut reconstruire les mathématiques en se
bornant aux suites définies par de lois, et aux correspondances qui
assignent un nombre a (p) à la suite p, de telle manière que a (p)
est definì par un segment initial de p. Je ne peux pas juger de cette
assertion sans en avoir vu la preuve, mais elle me semble fort improbable, en vue du fait que K L E E N E a démontré que le Théorème
de BROUWER n'est plus valable si on se borne aux suites définies
par de lois récursives générales, qui sont les lois les plus générales
connues jusqu'à présent. Il me semble improbable qu'une dénnition
du concept de loi puisse étre donnée pour laquelle le théorème de
BROUWER soit vrai".
— 186 —
Turin5 le 18 mai 1956.
(lettera al Prof. A.
HEYTING).
Monsieur,
" Comme Vous dites justement tout se réduit au désaccord sur
le fait de considérer ou non les suites libres de choix comme entités
mathématiques.
A ce propos je me permet de remarquer ce qu'il suit, en rapport à Votre lettre:
a) le fait que le Prof. BROUWER ait introduit le suites libres
de choix pour parvenir au continu éclaircit son activité d'un point
de vue psychologique mais il ne la justifie évidemment pas du point
de vue de l'exactitu'de mathématique ;
b) l'ensemble des suites définies par de lois est dénombrable,
donc il ne peut pas représenter le continu; mais cela ne veut pas
dire que T o n ne puisse le construire autrement;
e) avec les suites libres de choix on peut opérer exactement
comme avec les suites définies par de lois seulement en quelques
cas (par exemple dans la construction de la somme de deux nombres réels) mais pas toujours ; en effect les suites libres ne sont pas
définies par de lois et, comme Vous méme dites, on ne doit pas le
considérer commes existentes au sens ontologiques du mot; alor
en general (par exemple dans la démonstration du «fan theorem »)
on ne peut les « m a n i e r » que comme segments initials de déploiements. Dans cette perspective le problème ne se réduit point à une
question de terminologie;
d) si l'on n'introduit pas de restrictions au concept de correspondence, je crois qu'on ne trouvera jamais une définition du
concept de loi pour rendre valable le théorème de BROUWER. J'ai
commencé l'examen de la démonstration de BROUWER afin de voir
si (comme je crois) elle est valable, mot à mot, lorsqu'on introduit
le deux conditions :
1) prendre en considération seulement des suites définies par
de lois;
2) considérer seulement les correspondances qui dépendent de
segments initials de ces suites;
je m'empresserai de Vous en communiquer le résultat;
— 187 —
e) je pense que la validité de la demonstration de KLEENE
dépende bien du manque de la condition 2) de l'observation d);
je m'assurerai méme de cela;
/) je me permet de Vous rappeler que dans Votre dernière
lettre Vous ne parlez pas du fait que la proposition P (voir les
lettres précedentes) est donnée, dans Votre travail, comme axiome
et non comme théorème; je crois que cela a bien d'importance ".
Amsterdam, le 30 mai 1956.
(risposta del Prof. A.
HEYTING).
Cher Monsieur,
"Quant à la question des suites de choix, je voudrais attendre
les résultats de vos recherches sur les correspondances au sens
restreint entre les suites défìnies par de lois; à propos de ces rechercbes il y aura lieu de revenir sur le sujet".
Il proseguimento naturale delle discussioni riportate nelle
pagine precedenti sta quindi nell'esaminare i risultati dell'intuizionismo dal punto di vista del ruolo che in esso giocano le successioni di libere scelte.
Nelle pagine che seguono verrà ripresa l'esposizione della
teoria delle specie; un esame critico dal punto di vista qui precisato verrà fatto a proposito del cosiddetto «teorema sui fasci ad
accessibilità ovunque limitata » e per alcuni teoremi sui numeri
reali e la teoria delle funzioni. Un esame completo dell'intuizionismo secondo la prospettiva ora delineata esula purtroppo dai
limiti del presente lavoro; esso potrà costituire, spero, argomento
per ulteriori ricerche.
Il tipo di dimostrazione riportato in appendice alla prima lettera si basa sull'attuale non conoscenza di un risultato matematico
che in futuro potrebbe invece essere conosciuto. Esempi di questo
genere sono frequenti nella letteratura intuizionistica, ma non
risultano essenziali. Il ruolo fondamentale è giocato dalle successioni di libere scelte in quanto tali, con insita la possibilità di
venire « adattate », col progredire della loro costruzione, nel modo
conveniente alla dimostrazione in oggetto. L'elemento soggettivo
che in tal modo sembra venire introdotto in matematica viene per
altro eliminato in quanto l'intuizionismo prende in considerazione
— 188 —
solo quelle proprietà delle successioni che non dipendono dalle
scelte specifiche successive, ma solo dalla definizione stessa di successione di libere scelte, cioè dal complesso di « prescrizioni » che
definiscono tale successione.
5) OSSERVAZIONE.
«La teoria intuizionistica delle specie e degli insiemi, esposta
sostanzialmente da BROUWER per la prima volta nel 1918, è stata
successivamente rielaborata e raffinata, in particolare dallo stesso
BROUWER, durante quasi un quarantennio, e ripresentata in una
serie di articoli recentissimi.
Un aspetto caratteristico di questi articoli sta nel fatto che i
termini adottati da BROUWER sono quasi esclusivamente pittoreschi
vocaboli del linguaggio corrente; nel tentativo di effettuarne una
versione italiana non letterale mi sono accorto, non senza sorpresa,
che molti di tali termini potevano essere « doppiati » con vocaboli
tratti dal linguaggio tecnico relativo a problemi telefonici. Ho
voluto allora esaminare più profondamente la questione, ed il
risultato di tale analisi è il seguente: la moderna teoria intuizionistica delle specie e degli insiemi può essere interpretata come
struttura matematica dei sistemi di commutazione telefonici. Tenuto
poi conto degli stretti legami funzionali esistenti fra la tecnica
della commutazione telefonica automatica e la tecnica delle macchine calcolatrici, tale teoria diventa struttura matematica del funzionamento delle macchine calcolatrici.
Naturalmente, un dato problema tecnico può venire affrontato
con diverse « matematiche », ognuna delle quali risulta preferibile
sotto determinati aspetti. La teoria intuizionistica assume però, a
mio avviso, un'importanza particolare; precisamente le operazioni
compiute da un sistema di commutazione telefonica o dai meccanismi di una macchina calcolatrice rientrano perfettamente nello
schema dell'attività con cui si attua la costruzione della matematica
intuizionistica e ne sono una parziale riproduzione fisica; l'intuizionismo costituisce in altre parole la « matematica naturale » per
tali sistemi ».
Le righe precedenti sono tratte dall'articolo «Una interpretazione della teoria intuizionistica delle specie e degli insiemi nel
campo della tecnica telefonica e delle macchine calcolatrici » che
presentai al « Convegno sui problemi dell'automatismo, Milano
— 189 —
8-13 aprile 1956» indetto dal Consiglio Nazionale delle Ricerche;
per il testo completo si rimanda ai Rendiconti del convegno: il
richiamo a questo punto ha lo scopo di chiarire l'origine della
terminologia adottata nei numeri seguenti.
6.1) LA TEORIA DELLE SPECIE.
La teoria delle specie [(t) spezies, (i) species] rappresenta,
nella matematica intuizionistica, un capitolo corrispondente alla
teoria degli insiemi della matematica classica. Essa sta a fondamento di tutta la matematica, ed in particolare della teoria delle
funzioni. Alcuni suoi risultati sono poi estremamente significativi
per inquadrare i punti di distacco tra l'intuizionismo e le altre
concezioni della matematica. Vale quindi la pena di esaminarla
piuttosto in dettaglio (v. particolarmente: BROUWER [45]).
Una specie è detta ad elementi separabili [(t) d i s k r e t = discreta, (i) discrete = discreta] se due suoi elementi qualsiasi sono
uguali o diversi (cioè se per essi 1'« Entscheidungsproblem » relativa all'uguaglianza e disuguaglianza ammette sempre soluzione).
Questa definizione non dice, al solito, nulla sulla effettiva esistenza di elementi della specie; una specie è cioè ad elementi separabili quando esiste un processo di decisione funzione di due variabili e1,e2 per il quale vale l'implicazione che se el9e2 sono due
elementi della specie in oggetto, allora la decisione relativa alla
uguaglianza o disuguaglianza fra el9 e2 è effettivamente data.
Si è già detto che due specie Si, S 2 sono diverse quando la loro
uguaglianza è assurda; quando tale assurdo deriva dal fatto che
Si possiede un elemento il quale non può appartenere ad S 2 , si
dice più precisamente che Si si stacca da S2 [(t) Sx aus S 2 herausragt,
(i) Si deviates from S 2 ].
Una specie S 2 è una sottospecie [(t) teilspezies, (i) subspecies]
della specie S3 se l'appartenenza di un elemento ad S 2 implica
l'appartenenza di quell'elemento ad Si (con le solite avvertenze
sull'effettiva esistenza di elementi delle specie in oggetto) oppure
se S 2 è vuota. S2 è inoltre una sottospecie propria [(t) echte, (i) proper] di Si se Si si stacca da S2 . Se infine un qualsiasi elemento
di Si appartiene o non appartiene a S 2 , allora S 2 si dice sottospecie
separabile [(t) abtrennbare, (i) removable] di S i .
Due specie si dicono congruenti [(t) kongruente, (i) congruenti
se nessuna delle due può staccarsi dall'altra.
-
190 —
L'unione [(t) Vereinigung, (i) union] delle sue specie 8ly82
è la specie i cui elementi appartengono ad una almeno delle Si, S 2 .
U intersezione [(t) Durchnitt, (i) intersection] di Si, S2 è la specie i cui elementi appartengono contemporaneamente ad Si ed S 2 .
Due specie diverse si dicono disgiunte [(t) elementefremd,
(i) disjoint] se la loro intersezione è vuota. Due specie la cui intersezione sia vuota possono essere uguali, nel qual caso sono entrambe vuote.
Se le specie Si, S 2 sono sottospecie disgiunte della specie S e
l'unione di Si e S 2 è congruente con S, S si dice composta da Si
ed S 2 [ (t) S sich aus Si und S 2 zusammensetzt, (i) S is composed of Si
and S2] ed Si, S 2 , prendono il nome di sottospecie coniugate di S
[(t) komplementàrspezies voneinander in S, (i) conjugate subspecies of S].
Se nelle ipotesi precedenti si sostituisce la condizione che
l'unione di Si, S 2 sia congruente con S con l'ipotesi dell'identità,
allora si dice che S si scompone in Si, S 2 [(t) S in Si, S 2 zerlegt ist,
(i) S splits into Si, S 2 ] ed Si, S 2 prendono il nome di sottospecie
coniugate di scomposizione di S [(t) konjugierte Zerlegungspezies
von S, (i) conjugate removable subspecies]. È facile dimostrare
che ciascuna delle due specie Si, S 2 è una sottospecie separabile di S.
Se Si, S 2 sono sottospecie coniugate di S ed in più Si è costituita da quegli elementi di S che non appartengono a S2, ed S 2 da
quegli elementi di S che non appartengono a Si, allora S si dice
direttamente composta da S i , S 2 [(i) S is directly composed of
Si, S2] ed Si, S 2 prendono il nome di sottospecie
direttamente
coniugate di S [(i) directly conjugate subspecies of S].
Un po'... di meditazione lascia comprendere come i concetti di
sottospecie coniugate, coniugate di scomposizione, direttamente
coniugate, non siano equivalenti.
Le definizioni date in questo numero costituiscono esempi particolarmente significativi di come molte definizioni fondamentali
della matematica classica richiedano dal punto di vista intuizionistico una « scomposizione anatomica » più spinta.
Ecco ora le linee fondamentali della teoria intuizionistica del
numero cardinale.
Si dice che due specie Si, S 2 posseggono lo stesso numero cardinale [(t) dieselbe Kardinalzahl besitzen], o hanno la stessa potenza [(t) dieselbe Màchtigkeit besitzen], o sono equipotenziali
[(t) gleichmachtig, (i) equipotential] se si può stabilire tra di esse
— 191 —
una corrispondenza biunivoca, se cioè si può dare una legge che
ad ogni elemento di Si faccia corrispondere un elemento di S 2 , con
la condizione che ad elementi uguali di Si e solo ad elementi uguali
di Si corrispondano elementi uguali di S2, e restino in tal modo
esauriti tutti gli elementi di S 2 ; oppure se le due specie sono entrambe vuote.
Una specie si dice finita [(t) endlich, (i) finite] se è equipotenziale con la specie dei numeri di un dato segmento iniziale della
serie naturale 1 , 2 , 3 , . . . ; si dice numerabilmente infinita [(t) abzahlbar unendlich, (i) denumerably infinite] se è equipotenziale
con la specie dei numeri naturali; si dice infinita [(t) unendlich,
(i) infinite] se contiene una sottospecie numerabilmente infinita;
si dice riducibilmente infinita [(t) reduzierbar unendlich] se la
sottospecie in oggetto è separabile.
Mentre da un lato non esiste alcun fondamento generale per
decidere di ogni specie se essa sia finita o infinita, è per contro
facilmente dimostrabile quella che BROUWER chiama la « Haupteigenschaft der endlichen Spezies », il teorema fondamentale sulle
specie finite, che suona così :
« In ogni realizzazione di una corrispondenza biunivoca fra
una specie finita S e la specie dei numeri di un dato segmento iniziale della serie naturale (cioè in ogni numerazione di S) ci si
serve sempre dello stesso segmento iniziale ».
Segue subito dal teorema di cui sopra, che per le specie finite,
il tutto è maggiore di ogni parte propria e che una specie non può
essere contemporaneamente finita ed infinita.
La definizione intuizionistica di uguaglianza di potenza è la
stessa di quella classica. BROUWER introduce però altre definizioni
che classicamente sono equivalenti a quella di ugual potenza mentre intuizionisticamente non lo sono; si hanno precisamente le
seguenti definizioni:
Due specie S l9 S 2 si dicono equivalenti quando esiste una legge
Li che ad ogni elemento di Si fa corrispondere un elemento di S 2
in modo che ad uguali e solo ad uguali elementi di Si corrispondono uguali elementi di S 2 ed esiste una seconda legge L2 che ad
ogni elemento di S 2 fa corrispondere un elemento di Si in modo
che ad uguali e soltanto ad uguali elementi di S 2 corrispondano
uguali elementi di S n .
Dal punto di vista classico l'equivalenza e la equipotenzialità
si implicano a vicenda (teorema di CANTOR-BERNSTEIN); il prò-
— 192 —
cesso dimostrativo classico con cui tale implicazione è dedotta non
risulta intuizionisticamente valido.
Se per Si, S2 esiste una legge del tipo Li (v. definizione di
specie equivalenti) ma non può esistere una legge del tipo L 2 , si
dice che Si è minore [(t) kleiner] di S 2 o che S 2 è maggiore
[(t) grosser] di Si.
Se per Si, S 2 esiste una legge del tipo Li, non essendo noto né
che una legge del tipo L2 esista né che essa sia impossibile, si dice
che Si è non maggiore di S 2 o che S 2 è non minore di Si.
Adottando la simbologia rappresentata nella seguente tabella:
equivalente
=
maggiore >
non maggiore <
minore <
non minore
>
risultano le seguenti proprietà facilmente dimostrabili:
Le relazioni S^S^,
da Si = S2
da Si > S2 ,
6.2)
LA TEORIA DELLA
St< S2, Si> S2 si escludono a vicenda ;
ed
S2 = S3
segue
S± = S 3 ;
S2 > S3
segue
S1 > S 3
ecc.
SELEZIONE.
Per selezione di ordine n o segmento numerico di ordine n
[(i) node of order n = nodo di ordine n] si intende una successione
di n numeri naturali ( T Z S ^ I ) , i quali prendono il nome di passi
della selezione [(i) constituents of the n o d e = costituenti del nodo].
Una selezione p di ordine n + m (n^ l,m^
1) i cui primi n
elementi costituiscano nell'ordine la selezione p di ordine n si
chiama un proseguimento m° della selezione p [ ( i) an mth descendant
of p = un m° discendente di p ] , e p la pre-selezione ma di p'
[(i) the mth ascendant of p'=l'm°
ascendente di p ' ] ; se m = 1
si hanno rispettivamente un immediato proseguimento di p [(i) an
immediate descendant of p] e la pre-selezione di p' [(i) the immediate ascendant of p ' ] .
La specie Qp degli immediati proseguimenti di una selezione p
di ordine n considerati nel loro ordine naturale, cioè ordinati
secondo l'ordine naturale dei loro ultimi passi, si chiama la ramificazione semplice di p [(i) the ramifying row of p — la fila rami-
— 193
-
ficata di p] mentre p prende il nome di tronco della ramificazione
semplice [(i) d o m i n a n t e (nodo) dominante].
Una successione finita di selezione costituita da una prima selezione pi di ordine 1, da un immediato proseguimento p 2 di pi, da
un immediato proseguimento p 3 di p 2 ,..., da un immediato proseguimento p„ di p„_i si chiama un istradamento [limitato) di
ordine n [(i) a rod of order n = barra di ordine TI]; nel caso in
cui la successione sia illimitata, essa prende il nome di istradamento illimitato [(i) arrow = freccia].
Si consideri ora una specie K di selezioni tale che:
a) fra le selezioni di ordine 1 sono elementi di K (ipotesi a)
tutti i numeri naturali oppure (ipotesi /3) i numeri naturali che
non superano un determinato numero naturale m0 e solo quelli.
b) per ogni n ^ 1 se p è una selezione di ordine n appartetente a K, appartengono a K (ipotesi a) tutti gli immediati proseguimenti di p oppure (ipotesi /3) quelli o solo quelli il cui (rc + l) e s i m o
passo non supera un determinato numero naturale mv.
Una tale specie K prende il nome di schema selettivo [(i) spread
direction = guida di schieramento], e la specie H degli istradamene illimitati costituiti con selezioni di K si chiama fascio (di
istradamene illimitati) relativo a K [(i) spread = schieramento,
(f) déploiment•= schieramento] ; si vede immediatamente che un
fascio contiene almeno un elemento.
Sia f un istradamento illimitato appartenente al fascio H; sia
p un istradamento di ordine n qualsiasi costituente il segmento iniziale di ordine n di f (ed appartenente quindi a K); p si chiama
un K-istradamento di ordine n, £ una H-continuazione di p.
Si estendono poi ovviamente agli istradamenti limitati i concetti di proseguim,ento m°, immediato proseguimento, pre-selezione
ma, pre-selezione; in questo caso invece ài'pre-selezione' si userà il
termine ' pre-istradamento ''.
Se p è un istradamento limitato di K e p un proseguimento m0
di p appartenente ancora a K, p si dice un K-proseguimento di p.
Se lo schema selettivo K è tale che sono suoi elementi tutti i
numeri naturali come selezioni di ordine 1 e tutti gli immediati
proseguimenti di ogni selezione p di ordine qualsiasi appartenente
a K, K prende il nome di schema selettivo universale [(i) universal
spread direction, abbreviato in U.S.D.], e si ha in corrispondenza
— 194 —
il fascio universale (di istradamenti illimitati) [(i) universal
spread]. Se invece sia nella scelta delle selezioni di ordine 1 come
nella scelta dell'ultimo passo degli immediati proseguimenti di una
qualsiasi p appartenente a K è sempre valida l'alternativa /3) di
cui sopra, si ottengono uno schema selettivo ad accessibilità ovunque limitata [(i) fan direction — guida (di schieramento) a yentaglio] ed un fascio (di istradamenti illimitati) ad accessibilità
ovunque limitata [(i) fan •= ventaglio].
Sia K uno schema selettivo, p una selezione appartenente a K.
Si indichi con 7r(K,p) la sottospecie di K costituita da p e dai
suoi proseguimenti appartenenti a K; TT(K, p) si chiama un settóre
selettivo [(i) sector direction — guida settoriale], e la specie
P(K,p)
degli istradamenti illimitati costituiti da selezioni di
77(K, p) viene denominata fascio settoriale (di istradamenti illimitati) [(i) sector = settore]. La selezione p viene detta tronco
[(i) top — punta] del settore selettivo e del fascio settoriale, i quali
si considerano innestati su di esso [(i) dominated by the top
p = dominati dalia punta p ] .
È facile dimostrare che 7r(K,p) è una sottospecie separabile
di K.
Il settore selettivo ir(K,p) ed il fascio settoriale P(K,p) si
dicono principali [(i) free = liberi] se p è di ordine 1, secondari
[(i) h o r n e d = a corno] se p è maggiore di 1; in quest'ultimo caso
la pre-selezione di p prende il nome di selezione di base [ ( i) horn =
= corno] del settore o del fascio.
Una sottospecie di uno schema selettivo K tale che nessuna
delle sue selezioni sia un proseguimento di un'altra sua selezione
prende il nome di sottospecie a selezioni indipendenti [(i) thin
subspecies = sottospecie sparsa].
Una sottospecie di uno schema selettivo K tale che nessun istrad a m e l o illimitato del fascio relativo a K la possa evitare, tale
cioè che in nessun istradamento del fascio ogni selezione componente possa essere diversa da ogni selezione della sottospecie, viene
chiamata un gruppo di selezioni obbligate [(i) crude block = tronco
naturale]. Se in più tale sottospecie è separabile ed a selezioni indipendenti viene detta gruppo fondamentale di selezioni obbligate
in K [(i) block], e si indica con B(K).
Sia K uno schema selettivo, B(K) un gruppo fondamentale di
selezioni obbligate in K; si indichi con r(K, B) la sottospecie di K
costituita dalle selezioni di K che non sono proseguimenti di sele-
— 195 —
zioni di B(K). Tale sottospecie, che è evidente separabile in K,
prende il nome di gruppo fondamentale di selezioni libere in B(K).
t(i) free stump carried by B(K) = libero ceppo portato da B(K)].
Si indichi poi con o-(K,B,p) la sottospecie di T(K,B)
i cui elementi sono una selezione p di T(K,B)
ed i proseguimenti di p
appartenenti a r(K, B); cr{K,B,p) è una sottospecie separabile di
T(K,B)
e si chiama una piramide di cui p è il tronco [(i) top] su
cui la piramide si dice innestata [(i) dominated by the top p ] .
La piramide si dice principale [(i) free] se p è di ordine 1, secondaria [(i) horned] se p è di ordine maggiore di 1; in quest'ultimo
caso la pre-selezione di p prende il nome di selezione di base
[(i) horn] della piramide e la piramide si dice di ordine n se p
è di ordine /i + l .
La sottospecie p(K,B,p)
della piramide cr(KtB,p),
ottenuta
escludendo dalla piramide stessa la selezione p prende il nome di
piramide incompleta (di cui p è il tronco, su cui la piramide si
dice innestata) [(i) horned stump carried by B(K)]. Se p appartiene a B(K) la piramide o-(K,B,p) contiene l'unico elemento p
e la piramide incompleta p(K,B,p)
è una specie vuota.
La selezione p si chiama selezione di base [(i) horn] di
p(K,B,p).
Se p è di ordine /z + 1 la piramide incompleta si dice
di ordine /z + 1.
Se da tutte le selezioni di una piramide incompleta
p(K,B,p)
si esclude la selezione di base p, si ottiene una specie di selezioni
chiamate gruppo fondamentale di selezioni libere in B(K) innestate su p e si indica con r(K,B,p);
se p è di ordine ra + 1,
r(K,B,p)
si dice di ordine H - f l .
Nel caso in cui p sia di ordine zero ossia o~(K, B, p) = T(K, B),
allora
t(K,B,p) = t(K,B)
ed un gruppo fondamentale di selezioni libere in B(K) è un
gruppo fondamentale innestato su nessuna p o di ordine zero.
6.3)
L E RELAZIONI D'ORDINE.
Una specie S ad elementi separabili è detta completamente
ordinata se, per le coppie a, b dei suoi elementi, è stabilita una
relazione d'ordine espressa con a < b (equivalente a ò > a) o con
— 196 —
a > b (equivalente a b < a) tale che
— le due relazioni a> b, b > a si escludano a vicenda (cioè la
validità di una renda assurda la validità dell'altra);
— per ogni coppia di elementi diversi, a, b di S vale una (e
quindi una sola) delle due relazioni a > b oppure a < b;
— se a<b,
a=r,
— se a<b,
b<c,
b=s
allora
r<s;
allora a < e .
Si consideri ora una successione limitata od illimitata di specie Sn disgiunte e completamente ordinate; sia S l'unione delle Sn;
S è evidentemente ad elementi separabili. Si stabilisca poi il
seguente ordinamento in 5 : se e, e" sono due elementi diversi di S
appartenenti ad una stessa S,„ fra di essi si conserva la relazione
d'ordine valida in 5«; se e appartiene ad Sn,x ed e" ad S„2 (nr y^n2)
l'elemento appartenente alla specie di indice inferiore è < dell'altro. Si vede facilmente che l'ordinamento fissato è un ordinamento
completo. La specie S completamente ordinata si chiama la somma
ordinale delle Sn.
Ciò premesso, si definisce come specie bene ordinata [(t) wohlgeordnete Spezies, (i) well-ordered species] ogni specie che soddisfa la seguente definizione ricorrente:
a) la specie contiene uno ed un solo elemento, nel qual caso
si chiama specie fondamentale;
b) la specie è la somma ordinale di una successione illimitata
di specie bene ordinate e disgiunte precedentemente realizzate
(l'operazione che porta alla somma ordinale si chiama prima operazione generatrice);
e) la specie è la somma ordinale di una successione limitata
di specie bene ordinate e disgiunte precedentemente realizzate
(l'operazione che porta alla somma ordinale chiamansi in questo
caso seconda operazione generatrice).
Condizione necessaria e sufficiente perchè una specie bene ordinata sia finita è che essa sia ottenuta esclusivamente mediante la
seconda operazione generatrice.
Data una specie bene ordinata S, una qualsiasi specie St che
abbia preso parte alla costruzione di S secondo la definizione ricorrente di cui sopra si chiama una sottospecie di costruzione di S
— 197 —
[(t) Konstruktive Unterspezies von S, (i) constructional subspecies
of SI
La specie S è la somma ordinale di una successione (finita o
meno) di specie bene ordinate, che si chiamano sottospecie di
costruzione di S del primo ordine; per ognuna di queste, nel caso
in cui non si tratti di una specie fondamentale, si può ripetere lo
stesso discorso, ottenendosi sottospecie di costruzione del secondo
ordine di S; e così via.
6.4)
A N A L I S I CRITICA DEL TEOREMA SUI FASCI AD ACCESSIBILITÀ
OVUNQUE LIMITATA.
Gli elementi esposti nei numeri 6.1)-^-6.3) sono sufficienti per
analizzare, alla luce delle discussioni riportate nella corrispondenza citata al n. 4, uno dei teoremi più significativi della matematica intuizionistica (teorema sui fasci ad accessibilità ovunque
limitata); eccone l'enunciato:
Sia F uno schema selettivo ad accessibilità ovunque limitata,
e si supponga che ad ogni istradamento illimitato a del fascio K
relativo ad F sia fatto corrispondere, in base ad una legge generica L, un numero naturale /A(a); allora si può calcolare un numero naturale s tale che, per ogni a,jx(a) è determinato da un
numero di passi di a non superiore ad s; in altri termini, la specie
dei /x(a) è limitata.
Riporto ora la dimostrazione intuizionistica di questo teorema,
secondo lo schema seguito da HEYTING in [22], pag. 42 e seguenti.
Per un qualsiasi istradamento illimitato a il numero ft(a) è
determinato da un» segmento iniziale TT{O) di a; sia C la specie
dei -n-(a) corrispondenti agli a di K; allora ogni a di K ha un
segmento 7?(a) contenuto in C; ossia se b è un qualsiasi F-istradamento di ordine n, ogni ^-continuazione di b ha un segmento iniziale in C; esprimeremo quest'ultima proprietà dicendo che b è
^-sbarrato da C.
Ora, il fatto che un F-istradamento b di ordine n generico è
^-sbarrato da C è espresso in forma finita e costruttiva, per ogni
caso particolare, dai dati che specificano F e la legge L, cioè dai
dati che specificano F e la specie C.
Chiamato Rb il complesso di tali specificazioni (considerate
per es. nella loro forma scritta), Rb è scomponibile in un numero
13
— 198 —
finito di deduzioni elementari di uno dei seguenti tre tipi:
1) Dimostrazione (costruttiva e finita) dell'appartenenza
b a C.
di
2) Dimostrazione (costruttiva e finita) del fatto che ogni immediato F-proseguimento di 6 è /C-sbarrato, per cui b è pure ^-sbarrato (una dimostrazione di questo tipo è chiamata una /"-dimostrazione).
3) Dimostrazione (costruttiva e finita) del fatto che il pre-istradamento di b è /C-sbarrato, per cui b stesso è ^-sbarrato (una
dimostrazione di questo tipo è chiamata una Z-dimostrazione).
Se ora chiamiamo R il complesso delle specificazioni valide
non solo per b ma per tutti gli F-istradamenti, anche R (che deve
essere costruttivo e finito) sarà costituito da un numero finito di
deduzioni elementari di uno dei tre tipi 1), 2), 3) sopra definiti.
Considerando infine un F-istradamento ax di ordine 1, la dimostrazione del /C-sbarramento di a± è data da una dimostrazione
dell'appartenenza di ai a C oppure da una F-dimostrazione (non
ammettendo a dei pre-istradamenti).
Per induzione si può allora vedere che tutte le Z-dimostrazioni possono essere eliminate da R. Si eliminano poi ancora da R
le dimostrazioni di ^-sbarramento di elementi appartenenti a C,
oppure aventi un pre-istradamento di non importa quale ordine
in C, o (nell'ordine che si assegna alle F-inferenze di R) già dimostrati /C-sbarrati in R. Si ottiene così un complesso di specificazioni R contenente /"-dimostrazioni di uno dei seguenti due tipi :
1') Ogni immediato F-proseguimento dell' F-istradamento b
appartiene a C, quindi b è /^-sbarrato da C.
2') Ogni immediato F-proseguimento dell'F-istradamento b è
stato in precedenza dimostrato /C-sbarrato da C, quindi b è ^-sbarrato da C.
Una F-dimostrazione del tipo ]/) si chiama primitiva.
Sia C0 la specie degli elementi di C che compaiono nelle /"-dimostrazioni primitive di R; il numero di passi in R è finito, ogni
passo è una F-dimostrazione che si serve solo di un numero finito
di precedenti F-dimostrazioni, in altre parole il numero F-dimostrazioni in R è finito, ed è anche finito il numero di F-dimostra-
— 199 —
zioni primitive. Ciascuna di queste ultime impiega un numero
finito di elementi di C0, quindi C0 è una specie finita, ed esiste un
massimo per la lunghezza degli elementi di C0. Finalmente, poiché
un F-istradamento che in R è dimostrato /^-sbarrato da C lo è
anche da C0 (lo si vede facilmente per induzione), anche C ammette un massimo.
Dall'esame della dimostrazione precedente si possono trarre le
seguenti conclusioni.
1) L'introduzione delle successioni di libere scelte gioca una
parte fondamentale, come già sappiamo, nel fatto che il numero
fi (a) sia determinato da un segmento iniziale TX (a) di a; a^ questo
effetto l'introduzione di tali successioni corrisponde, come si è
visto a pag. 15, ad una convenzione; introdotta quest'ultima, ci si
può limitare a successioni definite.
2) Non vedo in quale altro punto della dimostrazione tali successioni giochino un ruolo, se non, tutt'al più, nella scomposizione
considerata del complesso di specificazioni R. A tale proposito
l'ammettere la scoponibilità di R nel modo adottato dagli intuizionisti equivale, a mio giudizio, all'ammettere che il solo modo
di costruire l'insieme C di cui alla dimostrazione sopra riportata
è quello di ripetere un numero finito di volte l'operazione di scegliere un F-istradamento b, considerarne tutti i suoi immediati
F-proseguimenti e considerare ognuno di essi un elemento di C.
Non sono in grado, al momento attuale, di dire se questa possibilità di scomposizione di R sia influenzata dal considerare o
meno le successioni di libere scelte; se sì, basta assumere tale possibilità di scomposizione come una nuova convenzione, ed il risultato intuizionistico si conserva vero anche per le sole successioni
definite. Se poi le successioni di libera scelta non dovessero giocare qui alcun ruolo, ritengo tutt'altro che pacifica l'ammissione
della possibilità di ridurre sempre, dal punto di vista intuizionistico, R alla scomposizione di cui sopra.
3) Mi sembra poi che l'esistenza del massimo per C0 e per C
non dipenda dall'essere gli elementi di C0 contenuti in ogni F-dimostrazione primitiva in numero finito, ma dall'essere in numero
finito le F-dimostrazioni di R ; perciò il Teorema dei fasci ad accessibilità ovunque limitata dovrebbe essere valido per fasci qualsivoglia.
— 200 —
6.5)
PRINCIPI DELLA TEORIA DEI NUMERI REALI.
Si può ora, al termine del presente studio, esaminare in dettaglio la prospettiva secondo cui vengono introdotti nella matematica
intuizionistica i numeri reali. Il teorema sui fasci ad accessibilità
ovunque limitata permette di dimostrare alcuni teoremi estremamente significativi.
Supposta nota la teoria dei numeri razionali (che non presenta difficoltà speciali dal punto di vista intuizionistico), si procede come segue:
Si chiama successione di CAUCHY una successione illimitata
{an} di numeri razionali an tale che per ogni numero naturale K
si possa trovare (al solito, in modo finito, cioè effettivamente calcolare) un numero naturale n= n(K) per cui sia
I
I an + p
. |
1
n | < j£
a
per ogni numero naturale p.
Una successione di CAUCHY è anche detta un generatore di
numero reale.
Due generatori di numero reale a = { an } , b = { bn } si dicono
uguali ed identici se per ogni n è a»= bn.
Due generatori di numero reale si dicono coincidenti se per
ogni numero naturale K si può trovare un numero naturale n(K)
i
i
1
tale che \an+p — bn+ \< -= per ogni numero naturale p.
La relazione di coincidenza è riflessiva, simmetrica e transitiva.
I generatori a, b si dicono diversi o differenti o disuguali se
l'uguaglianza è assurda; si dicono non coincidenti se la coincidenza
è assurda; si dicono separati se si possono trovare due numeri
naturali n e K tali che \an+p — bn+p\>j=
per ogni p.
Fra le relazioni sopra definite valgono proprietà che differiscono nei modi ormai facilmente comprensibili dalle analoghe proprietà in campo classico.
Se a == { an} 6, = { bn} sono generatori di numero reale, e
si chiamano rispettivamente a + ò, ab, —a, le successioni
a
n+K
a
nh
— an
— 201
si vede facilmente che anche queste successioni sono generatori di
numero reale.
Con opportune ovvie cautele relative allo 0 si definisce poi il
generatore a'1.
Come risultato particolare si richiama il fatto che la proposizione : « Se a. b = 0 allora uno almeno fra a, b coincide con 0»
non è dimostrabile in matematica intuizionistica.
La coincidenza di due generatori si indica col segno ' = ' ; essa
è riflessiva, simmetrica e transitiva. La non coincidenza si indica
col segno '¥=', la separazione con ' # ' ; Yuguaglianza o identità
con W .
Raccolgo ora alcuni teoremi ed alcune definizioni particolarmente significativi (la trattazione qui svolta ricalca praticamente
quella di HEYTING [22]).
6.5. 1)
TEOREMA
: Se a¥= b è contradittoria,
allora a = b.
Dato un K naturale, positivo arbitrario, sia n un intero tale che,
per ogni numero naturale p sia:
I an+p-~ an I < 4 ^
Ir
ri
1
b
(2)
\K + p — n\<J]l
(con a n , an+p, indichiamo i termini /i-esimo, (?i+p)-esimo
generatore a).
Si hanno a questo punto due possibilità:
| an ~ K | ^ 2£
i
7
i
a
\ »—K\<-w
,
|
n+p ~ °n+P I
del
(a)
1
(b>
K
L'alternativa (a) implica
a
(1)
>
1
2/£
— 202 —
per ogni p ; ciò significa che a¥"b; ma a¥=b è assurda, quindi
vale l'alternativa (ò); allora, fissato quel K, per quell'ai e per
ogni p risulta:
| an ~ K | < #
I0 —
h
(3)
I< —
(4)
e per ogni j£ si può trovare un n(K) per cui valgono le (3), (4);
ma ciò significa esattamente
a=b
Per la relazione di coincidenza fra generatori di numero reale
vale quindi il principio del terzo escluso.
6.5. 2)
TEOREMI:
Se a, a', b, e sono generatori di numero reale, allora :
a)
a^b
implica a^b
b)
e)
d)
e)
a^Xb implica b#a ;
a 44= b ed a=af implica a'ifrb;
se a # è è impossibile, allora a=b ;
se a^b, allora per ogni e è
a 44: e
ma non necessariamente viceversa ;
oppure
6 4+ <?
Le dimostrazioni di questi teoremi sono o immediate o del
tipo di quella di 6.5.1).
6.5.
3)
TEOREMI:
Se a, b, a\ b', sono generatori di numero reale, allora :
a) da a=a', b = b' segue aJrb = af +b\
b) a=af segue — a = — a ' ;
e) da a 44^0, a = a ' segue 0 ^ = (a')" 1 .
Anche qui le dimostrazioni sono semplici.
ab = a'b'';
203
6.5.
4)
DEFINIZIONE
D'ORDINE:
Siano a, b generatori di numero reale; con le scritture equivalenti :
a <b ,
b>a
si esprime il fatto che possono trovarsi due numeri naturali n e K
tali che:
per ogni p.
6.5.
5)
TEOREMI D'ORDINE:
a) se a, b, generatori di numero reale, sono tali che a # b,
allora o risulta a < b oppure b < a.
Si determinino i numeri naturali n, K tali che sia :
I
_ h
| an + p
I - _L
°n + p | -"" jf
per ogni p, e poi il numero naturale m> n tale che risulti :
i
_
i JL
\h _fc
i
ancora per ogni p ; due alternative sono possibili :
,
,
°m ~~ am
1
1
>
(a)
1
j£
(b)
nel primo caso si deduce:
1
ft
rn
»i +L. p
*'m> _L-"^
"wi
+ pm -^
i
of(
per ogni p, per cui b < a; nel secondo caso si ricava a < b.
— 204
-
Se a, b, e sono generatori di numero reale, valgono i seguenti
teoremi, le cui dimostrazioni sono semplici o ricalcano quelle precedentemente date:
b)
e)
d)
e)
/)
g)
h)
6.5.
6)
se a<b, allora a^b ;
sea<beb<a
sono entrambe impossibili, allora a=b ;
se a < b, per ogni e risulta o a < e oppure e < b ;
se a < b, b = e, allora a < e ;
se a < 6, 6 < c , allora a < e ;
se a < ò, allora a + e < b + e per ogni e ;
se a > 0, b > 0, allora aò > 0.
DEFINIZIONE:
L'impossibilità di a > 6 si esprime scrivendo a 3> b,
b <£ a. Nei soliti modi si dimostrano i teoremi seguenti :
a) a < 6
è) a>b
e) a > 6
6.5.
7)
oppure
e b> e implicano a> e ;
e ò < c implicano a > e ;
e 6 > c implicano a > e ;
MASSIMO E MINIMO DI DUE GENERATORI DI NUMERO REALE;
VALORE A S S O L U T O :
Dati i due generatori a = { an }, b = { ò„ }, si definisce come
massimo [minimo) di a, 6, e si indica con max [a, b) (min (a, b))
il generatore
max (a, b) = jmax (an, 6J)
(min (a, ft) s= (min (a w , 6B)j)
cioè il generatore il cui termine ra-esimo è il massimo (il minimo)
dei due termini n-esimi aw bn. È facile dimostrare che le due successioni che definiscono max (a, b) e min (a, b) sono due successioni di CAUCHY, e definiscono quindi effettivamente due generatori.
Si definisce invece come valore assoluto di a (e si indica con
| a |) il generatore
1*1 — ( l a n | i
— 205 —
Anche qui è facile dimostrare che {| an |} è una successione di
CAUCHY.
Ecco ora un'altra lista di teoremi di facile dimostrazione:
a) max (a, 6) < a ; max (a, 6) < ò ; max (a, è) = max (6, a) ;
b) x>a ed x>b implicano x>max(a,b)
e viceversa;
e) max (a, b) +- min (a, b)=a-\-b ;
d ) | a | - f | ò | < | a + ò|;
6.5.
8)
e)
| a| • | 6 | = | 06 | ;
/)
g)
| — a| = | a | ;
se a # 0 , | a -1 1 = | 0 ^ 1 .
I NUMERI REALI:
È ora possibile dare la definizione di numero reale secondo
BROUWER :
Si chiama numero reale x la specie dei generatori di numero
reale che coincidono con un dato generatore di numero reale f.
Se x è un numero reale e £ uno degli elementi della specie che lo
definisce, si dice che f rappresenta x oppure che f appartiene ad x.
L'aritmetica dei generatori, esposta nelle pagine precedenti, si
estende immediatamente ai numeri reali così definiti.
Diamo ora alcuni ulteriori teoremi e definizioni:
a) se a, b sono numeri reali, si chiama intervallo chiuso di
estremi a, b, la specie dei numeri reali tali che non risultino possibili né le due relazioni contemporanee:
x> a ,
x > b
x <a ,
x <b
né le due contemporanee
La definizione non può essere semplificata non essendo sempre
nota la relazione d'ordine fra a e b. L'intervallo chiuso di estremi
a, b si indica con [a, b].
Sulla base dei teoremi analizzati in questo numero non è difficile vedere che se
e = max (a, b)
d = min (a, b)
— 206 —
allora
[a, b] = [e, d]
questa uguaglianza va naturalmente intesa come uguaglianza tra
specie.
b) Se a > b, [<z, b] è la specie dei numeri reali x per cui contemporaneamente risulta :
x <£ a ,
x^>b
e) Se e = max (a, b), d = min (a, b), allora [a, b] è la specie
dei numeri reali x per cui valgono contemporaneamente le relazioni :
x > e,
6.5.
9)
#< ^
GENERATORI CANONICI:
Nelle pagine seguenti ci serviremo spesso di speciali generatori di numero reale rappresentanti dati numeri reali ; essi si chiamano generatori canonici e sono così definiti :
Un generatore di numero reale della forma {xn • 2~TC}, con xn
numero intero qualunque sia n, tale che risulti
\xn-2~n—
xn+1-
2-< w + 1 >|<2-< w + 1 )
(5)
per ogni n, si chiama generatore canonico.
Ora, siano x un numero reale qualsiasi, {^n} un suo generatore; fissato l'intero n, determiniamo l'intero h tale che
| 0 - £ f c | <2-< w + 3 )
(6)
e poi un intero xn tale che
\th-xn-Tn\<2-<n
+ 1)
(7)
allora risulta
\x-xn
' 2 - n | < | 2'n
(8)
— 207 —
Se si ripete quanto sopra per ogni n, si ottiene un generatore
canonico {x n • 2"n} che è uno dei generatori appartenenti ad x.
6.6)
INSIEMI DI NUMERI REALI.
FUNZIONI.
Siamo finalmente nelle condizioni di accennare ad alcuni tratti
caratteristici della matematica intuizionistica in relazione al problema del continuo lineare e delle funzioni di variabile reale.
Saranno esaminati solo pochi punti che aprono tuttavia una finestra su un campo dove le concezioni brouweriane assumono aspetti
particolarmente interessanti. Gli argomenti che seguono sono trattati in modo rigoroso.
6.6.
1)
TEOREMA:
Ogni intervallo chiuso del continuo unidimensionale
ad un fascio ad accessibilità ovunque limitata.
è uguale
Dimostrazione :
Siano a, b gli estremi dell'intervallo; sia
c = max(a, 6),
d = mm(a, b)
allora [a, b] — [d, e]. Costruiamo ora due generatori canonici
{dn' 2~n}, {cn-2'n}
appartenenti rispettivamente a d ed a e; si
può evidentemente supporre che risulti d„.~cn per ogni n; consideriamo poi il fascio F (di istradamenti illimitati) (7) costituito
da tutti i generatori canonici { xn • 2"n } con xn verificanti, per ogni n,
la relazione
Una volta scelto xn, la scelta di xn+1 va fatta tra un numero finito
C) Nel paragrafo 6.2) la teoria della selezione è stata svolta 'prendendo come
« oggetti base » per la costruzione dei segmenti, degli istradamenti, ecc., i numeri naturali. Ogni segmento, istradamento, ecc. così ottenuto costituisce una struttura che può
essere «rivestita» con altri «oggetti matematici»; in altri termini tutta la teoria continua a valere se i segmenti, se gli istradamenti, ecc. sono costruiti, anziché nel modo
strutturale indicato in 6.2), partendo da altri « oggetti base », o addirittura, come
avviene per il caso di specie di numeri reali, « condensando » in un unico elemento
tutti i generatori di uno stesso numero reale.
— 208 —
di interi, dovendo essere
Risulta che F è ad accessibilità ovunque limitata.
In più, F ed [a, b] sono uguali; infatti, dalla (9) risulta che
ogni elemento di F appartiene ad [a, b] ; se poi x è un elemento
di [a, b], quindi di [d, e], ed {xn-2'n}
è un generatore appartenente ad x, si può sempre scegliere {x n « 2~n} in modo che risulti :
^ = ^ = en
onde x è un elemento di F.
6.2.
2)
TEOREMA
DELLA CONTINUITÀ
UNIFORME.
Sia f(x) una funzione reale definita ovunque
nell'intervallo
chiuso [a, b] del continuo lineare; f(x) è uniformemente continua
in [a, b].
Dimostrazione : L'intervallo [a, b] è uguale ad un fascio di
accessibilità ovunque limitata F; ad ogni x di F corrisponde un
numero reale y=f(x);
sia T / = {i;» • 2"n } un generatore canonico
di y. Fissato un valore di n, facciamo corrispondere ad ogni x di F
il numero intero r)n; per il teorema sui fasci ad accessibilità ovunque limitata esiste un intero s tale che r)n risulta definito, per
ogni x, da non più di s passi della successione.
Siano ora x1} x2 due numeri reali di [a, b] tali che
| xi — xz | < 2 " s
e fi, f 2 rispettivamente due loro generatori canonici ; sulla base
delle proprietà dei generatori si vede che i primi s componenti
di f 1? f2 devono essere gli stessi; allora r)n è lo stesso per xux2, e
quindi :
|/(*i)-/(f.)|<ìail che dimostra il teorema.
Non è il caso, evidentemente, di insistere sulla portata concettuale di questo teorema della matematica intuizionistica.
— 209 —
6.2.
3)
CONCLUSIONI.
Quanto esposto nelle pagine che precedono sembra sufficiente
a fornire una apertura significativa sulla costruzione della matematica intuizionistica. Raccoglierò pertanto solo più qualche indicazione su vari campi di attività toccati dalla scuola di BROUWER.
a) Teorema di BOLZANO-WEIERSTRASS.
BROUWER ha dimostrato che il teorema, nella forma qui sotto
riportata, non è dimostrabile in matematica intuizionistica:
« Ogni specie limitata di numeri reali senza punti di accumulazione è finita ».
b) Algebra.
L'algebra è stata trattata in prospettiva astratta da HEYTING;
essa differisce sostanzialmente dall'algebra classica a causa della
diversità nelle proprietà delle operazioni fondamentali.
e) Insiemi di punti in pia dimensioni.
La trattazione è notevolmente avanzata; vale, tra l'altro, interpretato con opportune cautele, il teorema di HEINE-BOREL.
d) Misura ed integrazione.
Anche qui il lavoro compiuto è molto. L'integrale di LEBESGUE
è definito, naturalmente, in modo costruttivo.
In particolare si dimostra che, con qualche lieve modifica, la
definizione costruttiva e quella assiomatica di von NEUMAN dello
spazio hilbertiano sono equivalenti.
CAP. V. - CONCLUSIONI
Nei limiti del presente lavoro, l'esposizione dei principi della
matematica intuizionistica è finita. Resta, al di fuori di tale esposizione, un notevole campo di realizzazioni (algebra, insiemi ad n
dimensioni, misura ed integrazione, geometria, topologia, ecc.).
Quanto detto è però, a mio parere, sufficiente per inquadrare l'intuizionismo in una corretta prospettiva nel campo del pensiero
matematico moderno. Concluderò con una serie di osservazioni
— 210 —
critiche che potranno, eventualmente, costituire la base per ulteriori ricerche.
a) L'intuizionismo è nato dall'esigenza di costruire una matematica delle operazioni mentali esatte considerate in se stesse,
in contrapposizione alla matematica dei numeri o dei punti o delle
figure geometriche e così via; poiché il pensiero opera, in campo
« esatto », nel finito e con libertà, l'intuizionismo si presenta come
matematica del costruibile liberamente (dove la libertà comporta
la possibilità di autolimitazione).
Ora, a parte le osservazioni di « omogeneità matematica » già
fatte a proposito dell'introduzione delle successioni di libere scelte,
è mia convinzione che una matematica del costruibile operante su
entità definite potrebbe non essere sostanzialmente più « povera »
della matematica intuizionistica e nello stesso tempo presentarsi
non soltanto in modo assai meno oscuro di diversi concetti intuizionistici, ma anche meno lontano dalle linee fondamentali della
matematica classica.
b) Le difficoltà che l'esclusione delle successioni di libere
scelte porta nella costruzione del continuo possono venire eliminate,
penso, concependo il continuo unidimensionale come costituito da
numeri razionali ed intervalli con estremi razionali. Si tratta qui
di costruire una matematica in cui i numeri reali vengono sostituiti
da intervalli con estremi razionali i quali solo in casi particolari
degenerano in punti (razionali). Si veda anche il seguente punto e).
e) Passando ad un campo squisitamente applicativo, è noto
che i fondamenti dell'interpretazione quantistica della meccanica
delle particelle elementari (atomi, nuclei, neutroni, fotoni, ecc.)
sono i seguenti:
— rigorosa applicazione del metodo operativo nella definizione
delle grandezze in esame, per es. nella definizione delle variabili dinamiche posizione, impulso, energia, momenti angolari, ecc.;
— accettazione dei metodi matematici classici, derivati sostanzialmente dalla linea di pensiero cantoriano, nello studio dei problemi in questione; fra tali metodi si ricordino il calcolo operazionale, la teoria delle equazioni differenziali, i problemi di
sviluppo in serie di funzioni ortogonali, la teoria dei gruppi,
i metodi statistici, e così via;
— 211 —
— introduzione di alcuni postulati quali la corrispondenza di ogni
variabile dinamica con un opportuno operatore lineare hermitiano i cui autovalori costituiscono i soli possibili risultati di
una misura di tale variabile, l'introduzione di un vettore di
stato \P soluzione dell'equazione di SCIIRODINGER da cui si
ricavano la probabilità di localizzazione di una particella in moto
e le distribuzioni probabilistiche di altri parametri, ecc.
Ora, è vero che tale via ha portato ad una soddisfacente teoricizzazione di una parte notevole della fisica delle particelle e dei
campi, nel senso che i risultati dedotti dal calcolo si sono mostrati
entro ampi limiti in accordo con i fatti sperimentali; è però
altrettanto vero che non si può nascondere una certa perplessità
nel notare come, mentre da oltre mezzo secolo i concetti fisici sono
stati sottoposti ad un esame critico inesorabile per spogliare la
fisica stessa da tutto ciò che non cade, concettualmente almeno, nel
dominio del metodo operativo, non altrettanto rigidi ci si è dimostrati nella scelta dello strumento matematico atto ad interpretare
la fisica moderna. I vari capitoli dell'analisi impiegati a tale scopo
sono infatti pur sempre visti in quella prospettiva classica che ci
ha dato, tra l'altro, qualcosa di tanto poco « operativo » quanto gli
inesprimibili della teoria dei numeri reali od il postulato di
ZERMELO.
Si consideri ad esempio il problema della misura delle grandezze fisiche; in questo campo è invalso sinora incontrastato il
principio, per altro non basato su alcuna necessità logica o sperimentale, che ad ogni grandezza fisica corrisponda un ben determinato, concettualmente almeno, numero reale, il quale ne rappresenta
il rapporto rispetto ad una grandezza omogenea scelta come unità
di misura. Tale principio è nato evidentemente dall'analisi del più
elementare tipo di misura fisica costituito dal « contare » gli oggetti
di un dato aggregato finito.
Tutto ciò che si è fatto (ed è già pur molto), è l'ammettere che
il numero-misura non sia una caratteristica intrinseca della grandezza in oggetto, ma dipenda dalle operazioni che definiscono la
misura stessa.
Ora, se ben si esamina il comportamento dello sperimentatore
alle prese con i fenomeni fisici, si constata che ad ogni grandezza
fisica vengono fatti corrispondere due numeri razionali, tra i quali
si giudica, in base agli strumenti di osservazione e senza che il
— 212 —
fatto trovi una precisa definizione logica, che « sia compreso il
valore della grandezza da misurare », prescindendo dalPattribuire
a priori a tale « valore » alcun significato oggettivo. In altre parole
la misura risulta un segmento definito da due numeri razionali
anziché un numero reale.
A questo punto, viene spontanea la «tentazione» di studiare
la fisica con una « matematica dei segmenti razionali » anziché con
una matematica dei numeri reali; e possibilmente con una matematica che rispecchi l'attività operativa dello sperimentatore. Tale
matematica, almeno come direttiva, esiste, ed è l'intuizionismo.
Secondo una tale direttiva si raggiungerebbe una « omogeneizzazione » tra attività sperimentale e strumento analitico di calcolo,
la quale potrebbe dimostrarsi feconda di risultati; probabilmente
il legame tra esperienza e matematica si rivelerebbe subito all'inizio dello studio della matematica stessa, nel capitolo della teoria
degli insiemi, anziché, come oggi, sostanzialmente nel campo delle
equazioni differenziali.
Da una tale sistemazione trarrebbe vantaggio, tra l'altro, il pur
sempre giustamente esigente senso comune.
BIBLIOGRAFIA
Questo elenco comprende pressoché tutti gli scritti di BROUWER ed
HEYTING pubblicati fino al 1956 compreso. Degli altri autori mi sono limitato alle pubblicazioni citate nel testo ed a poche altre di particolare
interesse per gli argomenti della presente tesi.
— BARZIN M. ed ERRERÀ A.
[1]
[2]
[3]
[4]
[5J
Sur la logique de M. Brouwer, Bull. Acad. S e Belg., 1927, pp. 56-71.
Sur le principe du tiers exclu, Arch. Soc. belge PhiL, 1, 2, 1929.
Sur la logique de M. Heyting, Enseign. math., 30, 1932, pp. 248-250.
Discussion uvee M. Heyting, Enseign. math., 31, 1933, pp. 122-124, 273-274.
La logique de M. Brouwer. Etat de la question, Bull. math. Soc. roum. d. se, 35,
1933, pp. 51-52.
— BETII E.
W.
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mathematics, Proc. Akad. Wet.
Amsterdam, 50, 1947, pp. 1246-1251; ripubblicato in Indag. math., 9, pp. 572-577.
[2] Les fondements logiques des mathématiques, Parigi-Lovanio, 1950.
— BROUWER L. E.
J.
[1] Over de grondslagen der wiskunde, Amsterdam-Lipsia, 1907.
[2] De onbetrouwbaarheid der logische prmeipes, Tijdschr. voor wijsbegeerte 2, 1908;
ripubblicato in [9].
[3] Over de grondslagen der wiskunde, Nieuw Arie. Wisk., 2, 9, 1910.
[4] Intuitionisme en formalisme, Groninga, 1912; traduzione inglese: Intuitionism
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[5] Addenda en corrigenda over de grondslagen der wiskunde, Nieuw Arch. Wisk.,
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[6] Begrundung der Mengenlehre unabhàngig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten, Verhand. Akad. Wet. Amsterdam, 72, 5 e 12, 7, 1918 e 1919.
[7] Intuitionistische Mengenlehre, Jb. Dentsch. Math. Vereinig. 28, 1919 pp. 203-208;
ripubblicato in Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 23, pp. 949-954.
[8] Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung?,
Versi. Akad. Wet. Amsterdam, 29, pp. 803-812; ripubblicato in Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 23,
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[9] Wiskunde, waarheid, werkelijkheid, Groninga, 1919.
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M
— 214 —
[11] Beweis, dass jede volle Funktion gleichmàssig stetig ist, Proc. Akad. Wet.
Amsterdam, 27, 1924, pp. 189-193.
[12] Bemerkungen zum Beweise der gleichmàssigen Stetigkeit voller
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Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 27, 1924, pp. 644-646.
[13] Uber die Zulassung unendlicher Werte fiir den Funktionsbegriff, Proc. Akad.
Wet. Amsterdam, 27, 1924, pp. 248.
[14] Uber die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik,
insbesondere in der Funktionentheorie, J. reine und angevv. Math., 154, 1924,
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[15] Intuitionistische Ergànzung des Fundamentalsatzes der Algebra, Proc. Akad. Wet.
Amsterdam, 27, 1924, pp. 631-634.
[16] Intuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe, Jb. Deutsch. Math.
Vereinig., 33, 1925, pp. 251-256.
1.17] Bewijs vari de onafhankelijkheid der onttrekkingsrelatie van de versmeltingsrelaties, Versi. Akad. Wet. Amsterdam, 33, 1924, pp. 479-480.
[18] Zur intuitionistischen Zerlegung mathematischer Grundbegrifje, Jb. Deutsch. Math.
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[19] Zur Begriindung der intuitionistischen Mathematik, Math. Ann., 93. pp. 244-257,
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[20] Intuitionistischer Beweis des Jordanschen Kurvensatzes, Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 28, 1925, pp. 503-508.
[21] Intuitionistische Einfùhrung des Dimensionsbegriffes, Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 29, 1926, pp. 855-863.
[22] Die intuitionistische Form des Heine - Borelschen Theorems, Proc. Akad. Wet.
Amsterdam, 29, 1926, pp. 866-867.
[23] Virtuelle Ordnung und unerweiterbare Ordnung, J. reine. u. angew. Math., 157,
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[24] Uber Definitionsbereiche von Funktionen, Math. Ann., 97, 1926, pp. 60-75.
[25] Intuitionistische Betrachtungen uber den Formalismus, Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 31, pp. 374-379; ripubblicato in S.-B. preuss Akad. Wiss., 1927, pp. 48-52.
[26] Beweis dass jede Menge in einer individualisierten Menge enthalten ist, Proc.
Akad. Wet. Amsterdam, 31, 1927, pp. 380-381.
[27] Mathematik, W'issenschajt und Sprache, Mh. Math. Phys., 36, 1929, pp. 153-164.
[28] Die Struktur des Kontinuums, Vienna, 1930.
[29] Willen, Weten, Spreken, Euclides, 9, 1933, pp. 177-193.
[30] Die repràsentierende Menge der stetigen Funktionen des
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Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 45, p. 443; ripubblicato in Indag. Math., 4, p. 154.
[31] Zum freien Werden von Mengen und Funktionen, Proc. Akad. Wet. Amsterdam,
45, 1942, pp. 322-323; ripubblicato Indag. Math., 4, pp. 107-108.
[32] Beweis, dass der Begriff der Menge hòherer Ordnung nicht als Grundbegriff der
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45, 1942, pp. 791-793; ripubblicato in Indag. Math., 4, pp. 274-276.
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— 218 —
INDICE
INTRODUZIONE.
CAP. I.
Notizie
CAP. II. Principi
storiche
generali dell'intuizionismo
CAP. III. La logica intuizionistica
CAP. IV. La teoria delle specie e degli insiemi ed i numeri reali
CAP. V. Conclusioni
BIBLIOGRAFIA
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