Compito di meccanica analitica del 6 febbraio 2017

Compito di meccanica analitica del 6 febbraio 2017
Esercizio 1. Un punto pesante è vincolato a muoversi sulla superficie di un
paraboloide di rotazione ad asse verticale, con concavità rivolta verso l’alto.
Una molla elastica di lunghezza a riposo nulla collega tale punto al fuoco del
paraboloide. Si svolgano i seguenti punti:
(i) Si scrivano la Lagrangiana e l’Hamiltoniana del sistema.
(ii) Si scrivano le equazioni di Lagrange e di Hamilton e si trovino eventuali
punti di equilibrio.
(iii) Si trovino gli integrali primi (o costanti del moto) del sistema.
(iv) Si dia una descrizione qualitativa del moto, tracciando il ritratto in fase del
sistema ridotto.
(v) Si discuta la stabilità degli eventuali punti di equilibrio.
Esercizio 2. Un punti pesante A, libero di muoversi in un piano verticale, è
collegato ad un punto B, di massa uguale, tramite una molla elastica di lunghezza
a riposo nulla. Il punto B è vincolato a muoversi su di una retta orizzontale nel
piano in cui si muove A. Si svolgano i seguenti punti:
(i) Si scrivano le equazioni del moto.
(ii) Si trovino eventuali punti di equilibrio del sistema, discutendo se siano
stabili.
(iii) Si trovino le soluzioni per le equazioni del moto.
Esercizio 3. Un corpo di massa m incide con velocità v su di un corpo di
ugual massa, inizialmente in quiete. In seguito all’urto rettilineo completamente
anelastico tra i due, si forma un corpo unico. Se ne determinino la velocità e la
massa e si confronti il caso dell’urto relativistico con quello classico, discutendo
il limite del primo per v c.