Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
Capitolo 1
L’elaborazione ottica delle immagini
In
questo
capitolo
si
introducono
i
concetti
matematici
fondamentali dell’elaborazione ottica delle immagini, primo fra tutti
quello di trasformata di Fourier.
Vengono presentati i principali schemi di elaborazione delle
immagini:il sistema a due lenti, a lente singola e a fascio divergente.
Si
parla
inoltre
della
coerenza
delle
sorgenti
e
dell’elaborazione ottica in luce bianca.
1.1
L ’ e l a b o r a z i o n e o t t i c a d e l l e i mma g i n i
L’elaborazione delle immagini si compone di un vasto insieme
di metodi, che trovano applicazione nei più svariati campi delle
attività umane. Gli obiettivi principali di questa disciplina sono il
riconoscimento, il miglioramento, la trasmissione e l’archiviazione
delle immagini. I metodi impiegati si classificano in due grandi
categorie:
numerici
e
analogici.
I
metodi
numerici
si
basano
sull’utilizzo dei calcolatori elettronici mentre quelli analogici su
laser ed elementi ottici quali lenti e filtri. I due metodi hanno avuto
alterne fortune, legate essenzialmente allo sviluppo delle tecnologie
messe
a
loro
disposizione.
Nuovi
componenti
optoelettronici
e
calcolatori sempre più veloci hanno favorito ora l’una ora l’altra
disciplina.
5
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
Il punto d’incontro tra i due approcci è l’elaborazione ibrida,
dove calcolatori ed elementi ottici concorrono verso un obiettivo
comune.
L’elaborazione
ottica
delle
immagini
è
per
sua
natura
fortemente parallela e permette di elaborare, nello stesso istante,
enormi
quantità
di
dati,
raggiungendo
velocità
elevatissime
di
calcolo. Consente inoltre la rilevazione delle immagini di fase, tutte
possibilità precluse all’elaborazione numerica delle immagini.
D’altra
parte
l’elaborazione
numerica
delle
immagini
può
facilmente controllare, e quindi filtrare, ogni singolo elemento di
un’immagine. Di fronte a queste possibilità l’elaborazione ottica non
può contrapporre validi strumenti.
Il principio base dell’elaborazione ottica delle immagini si può
riassumere in questa frase: una lente sferica convergente produce, sul
suo piano focale posteriore, la trasformata di Fourier ottica di un
oggetto illuminato da un’onda piana uniforme e posizionato nel piano
focale anteriore.
1.2
L a t r a s f o r ma t a b i d i me n s i o n a l e d i Fo u r i e r
Si introduce ora il concetto matematico di trasformata di
Fourier per funzioni di due variabili.
Per le funzioni di una variabile si ha:
ℑ{ f ( x)} = F (a ) =
+∞
∫ f ( x)e
− jax
dx
(1.1)
−∞
1
ℑ {F (a )} = f ( x) =
2π
−1
+∞
∫ F (a)e
jax
da
(1.2)
−∞
6
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
Dove con ℑ{f(x)} si indica simbolicamente la trasformata di
Fourier della funzione f(x) e con ℑ-1{f(x)} la sua antitrasformata.
Per i segnali elettrici la variabile x può essere il tempo ed a la
pulsazione. In pratica la definizione di trasformata è applicabile a
funzioni la cui variabile è una grandezza qualsiasi.
Nell’elaborazione ottica i segnali sono le immagini piane che si
possono descrivere con funzioni di due variabili spaziali. Il valore in
un punto è legato alla trasparenza dell’immagine nel punto stesso. I
sistemi
elettronici
hanno
invece
indipendente.
La
ragione per cui
trasferimento
indipendente
dal
solo
in
il
tempo
come
variabile
ottica è possibile un tale
tempo,
e
direttamente
a
due
dimensioni, risiede nel fatto che la sezione dei canali elementari di
luce è estremamente piccola.
La definizione di trasformata di Fourier a due dimensioni è la
naturale estensione del caso unidimensionale:
ℑ{ f ( x, y )} = F (a, b) =
+∞ +∞
∫ ∫ f ( x , y )e
− j ( ax + by )
dxdy
(1.3)
−∞ −∞
ℑ −1{F (a, b)} = f ( x, y ) =
1
2π
+∞ +∞
∫ ∫ F ( a , b )e
j ( ax + by )
dadb
(1.4)
−∞ −∞
Nel caso più generale la funzione f(x,y) è complessa.
Si esaminano ora alcune proprietà di simmetria della funzione
trasformata F(a,b) in due importanti casi:
♦ f(x,y) reale
F ( − a , −b ) =
+∞ +∞
∫ ∫ f ( x , y )e
+ j ( ax + by )
dxdy
−∞ −∞
7
(1.5)
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
che per le proprietà del coniugio diventa:
F ( − a , −b ) =
+∞ +∞
∫ ∫ [ f ( x, y ) e
− j ( ax + by ) ∗
] dxdy
(1.6)
−∞ − ∞
quindi
+∞
F ( − a , −b ) = ∫
−∞
∗
+∞
∫ f ( x, y ) e
− j ( ax + by )
−∞
dxdy
(1.7)
dunque
F ( − a , −b ) = F ∗ ( a , b )
(1.8)
Ecco quindi che lo spettro di una funzione reale di due variabili
verifica
la
simmetria
hermitiana
analogamente
al
caso
unidimensionale.
♦ f(x,y) i m magi nari a pura; al pos to del la (1.6) val e l a:
F ( − a , −b ) =
+∞ +∞
∫ ∫ − [ f ( x, y ) e
− j ( ax + by ) ∗
] dxdy
(1.6’)
−∞ − ∞
da cui:
F ( − a , −b ) = − F ∗ ( a , b )
Dunque
nel
caso
(1.8’)
di
funzione
8
immaginaria
pura
vale
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
l’antisimmetria hermitiana. Questa proprietà è utile se si osserva che
un’immagine di fase, con fase piccola, può essere considerata come
funzione immaginaria pura, cosa che non accade se la fase non si può
considerare piccola.
1.3
L a t r a s f o r ma t a o t t i c a d i Fo u r i e r
L’immagine di ingresso per un sistema ottico è un oggetto
piano,
rappresentabile
spaziali
i
cui
con
valori
una
funzione
descrivono
la
f(x,y)
di
due
trasparenza
variabili
dei
punti
dell’immagine stessa.
Se la luce che attraversa l’immagine è un’onda piana uniforme,
l’ampiezza
del
campo
elettromagnetico
immediatamente
dopo
l’immagine è proporzionale alla trasparenza. La fase del campo
dipende invece dalle variazioni di cammino ottico introdotte dalla
variazione di spessore del supporto trasparente. In generale quindi la
funzione f(x,y) è complessa: l’ampiezza descrive la trasparenza, il
termine di fase descrive le variazioni introdotte nella fase del campo.
f ( x, y ) = f ( x, y ) e jϕ ( x , y )
(1.9)
Le immagini possono essere elaborate con un sistema ottico. Il
piano di ingresso è il piano focale anteriore della prima lente di
trasformazione. L’origine delle coordinate x,y è l’intersezione tra
tale piano e l’asse ottico. L’immagine di ingresso da elaborare è
posta sul piano di ingresso del sistema ottico.
Se nella relazione (1.9) il termine f(x,y) è costante (ad esempio
uguale a uno, cioè trasparenza perfetta) l’immagine è costituita dal
9
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
solo termine di fase. L’immagine di fase (spesso detta anche oggetto
di fase) è praticamente invisibile e una qualunque elaborazione
richiede almeno uno stadio di ingresso di tipo ottico che trasformi
l’informazione contenuta nella fase in un segnale di ampiezza.
L’operazione fondamentale realizzata da un sistema ottico in
luce coerente è sicuramente la trasformata ottica di Fourier.
A differenza del caso temporale, in quest’ambito i segnali di
ingresso
sono
delle
immagini,
in
generale
rappresentabili
come
funzioni di due variabili, f(x,y), in cui le distanze dei vari punti
dall’origine svolgono l’analogo ruolo del tempo nella trasformata di
Fourier temporale.
Se f(x,y) rappresenta la trasparenza dell’immagine e se si
suppone
che
sostanzialmente
le
variazioni
la
fase
del
di
spessore
campo,
f(x,y)
non
è
modifichino
anche
il
campo
elettromagnetico sul piano dell’immagine.
Se si pone f(x,y) sul piano focale anteriore P1 di una lente
sferica L1 avente distanza focale f, illuminandola con un’onda piana
di riferimento avente lunghezza d’onda λ, sul piano focale posteriore
P2 della lente si forma la trasformata di Fourier dell’immagine.
L’onda di riferimento viene ottenuta filtrando il raggio laser per
mezzo di un sistema costituito da un obiettivo microscopico e da un
foro micrometrico seguiti da un telescopio espanditore.
Se si indicano con (x1,y1) e (α,β ) rispettivamente le coordinate
sul piano immagine P1 e sul piano della trasformata P2, la trasformata
di Fourier di f(x1,y1) può essere espressa nel seguente modo:
F (α , β ) =
+∞ +∞
∫∫
−j
f ( x1 , y1 )e
2π
(αx1 + βy1 )
λf
dx1dy1
(1.10)
−∞ −∞
La sua realizzazione ottica è schematizzata in figura(1.1).
10
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
Le variabili α e β sono coordinate spaziali e si misurano in
unità di lunghezza. Se si introducono due nuove variabili, p e q
(misurate in radianti/unità di lunghezza) e definite da:
Lente di
Trasformazione
Onda
Piana
Uniforme
L1
P1
P2
Piano
della
Trasformata
Piano
Immagine
f
f
β
y1
α
x1
F(u,v)
f(x1,y1)
figura(1.1): realizzazione ottica della trasformata di Fourier bidimensionale
p=
2π
α
λf
q=
2π
β
λf
(1.11)
la (1.10) assume l’aspetto:
F ( p, q ) =
+∞ +∞
∫ ∫ f ( x , y )e
1
1
− j ( px1 + qy1 )
dx1dy1
(1.12)
−∞ −∞
di una trasformata di Fourier bidimensionale.
Le variabili p e q prendono il nome di pulsazioni spaziali.
Dividendole per 2π si ottengono le frequenza spaziali u e v, misurate
11
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
in linee/unità di lunghezza:
u=
p
α
=
2π λf
v=
q
β
=
2π λf
(1.13)
utilizzando quest’ultima definizione la (1.10) diventa:
F (u , v) =
+∞ +∞
∫ ∫ f ( x , y )e
1
− j 2π ( ux1 + vy1 )
1
dx1dy1
(1.14)
−∞ −∞
La
trasformata
di
Fourier
presenta
alcune
caratteristiche
riconducibili all’immagine posta in ingresso.
La figura di diffrazione di Fraunhofer di un oggetto è la
trasformata di Fourier dell’oggetto stesso. Se l’oggetto ha
frequenze spaziali basse ovvero presenta dettagli di grandi
dimensioni e una grande separazione tra i dettagli stessi, la
trasformata di Fourier è caratterizzata da elementi piccoli che
sono vicini tra loro. Un oggetto di frequenza spaziale elevata
dà invece dei massimi che sono molto lontani tra loro. La
larghezza e la spaziatura degli elementi diminuiscono quando si
aumenta la lunghezza dell’apertura. Se l’apertura è molto lunga
rispetto alla sua larghezza (come in una fenditura), la figura è
così concentrata nella direzione parallela alla lunghezza della
fenditura
che tutta la luce si concentra lungo una linea
perpendicolare ad essa.
L’estensione della trasformata corrisponde alla banda spettrale
dell’immagine. In particolare l’origine degli assi sul piano
della
trasformata
corrisponde
alla
componente
continua
(u=0,v=0) che, trasferita sul piano immagine, restituisce lo
12
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
sfondo della figura d’ingresso.
La
presenza
in
un’immagine
di
rigature
si
traduce
nella
trasformata in una multiplazione degli spettri. La parte centrale
della trasformata (banda base) è la banda vera e propria
dell’immagine e la sua ricostruzione dà luogo all’immagine
priva di rigature, mentre ognuna delle multiplazioni permette la
ricostruzione, sia pure con notevoli aberrazioni, dell’immagine
di partenza.
Nel caso in cui l’immagine sia funzione di una sola delle
variabili x,y, anche la trasformata è funzione di una sola delle
variabili α,β. Ad esempio, se l’immagine dipende solo da x (è
costante nella direzione y), la trasformata dipende solo da α e
appartiene completamente all’asse di questa variabile.
Se l’immagine è posta su un piano anteriore a distanza l≠f, sul
piano focale posteriore si ha sempre la trasformata di Fourier
dell’immagine, ma affetta da un errore, detto errore di fase
quadratico, dato dalla presenza, nell’espressione di F(α,β ),di
un fattore moltiplicativo del tipo:
e
jk
l
(1− )⋅(α 2 + β 2 )
2f
f
(1.16)
Oltre a realizzare la trasformata di Fourier di f(x,y), è possibile
anche
ricostruire
l’immagine
di
partenza,
cioè
effettuare
la
trasformata inversa di Fourier.
Il sistema ottico in grado di realizzare tale operazione è
schematizzato in figura(1.2), in cui un’ulteriore lente L2 effettua una
seconda trasformazione sulla trasformata di Fourier di f(x,y), posta
sul piano focale posteriore della lente L1, producendo, a meno di un
fattore moltiplicativo e di un capovolgimento degli assi cartesiani
13
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
Lente
di
Trasformazione
Onda
Piana
Uniforme
Lente
di
Ricostruzione
L1
P1
P2
f1
L2
f1
P3
f2
f2
Piano
della
Trasformata
Piano
Immagine
y1
Piano
di
Uscita
β
α
x1
x2
F(u,v)
f(x1,y1)
y2
f(x2,y2)
figura(1.2): realizzazione ottica della trasformata diretta ed inversa di Fourier
(che comunque non hanno conseguenze pratiche), l’immagine di
partenza.
Dal
punto
di
vista
analitico
questo
fatto
si
può
vedere
ricordando che la trasformata inversa si può esprimere nella forma di
una trasformata diretta; infatti:
f ( x, y ) = ℑ −1 {F ( p, q )} =
+∞ +∞
1
(2π )
2
∫ ∫ F ( p , q )e
j ( px + qy )
dpdq
(1.17)
−∞ −∞
operando il cambio di variabili p=-r, q=-s, la (1.17) diventa:
14
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
+∞ +∞
1
(2π )
2
∫ ∫ F ( −r ,− s )e
−∞ − ∞
− j ( rx + sy )
F ( − r ,− s )
drds = ℑ
2
(2π )
(1.18)
L’unico difetto che si può imputare a questo sistema è la sua
scarsa elasticità per quanto riguarda l’ingrandimento trasversale,
determinato dal rapporto delle distanze focali delle due lenti f2/f1.
Una sua variazione si può ottenere solo cambiando una o entrambe le
lenti.
Per una verifica della teoria sono state fatte delle prove al
calcolatore. L’operazione è gestita da un pacchetto software per
l’elaborazione delle immagini che consente una vasta gamma di
figura(1.3)
operazioni
sulle
immagini.
Come
immagine
di
prova
per
la
simulazione è stata utilizzata la lettera E bianca su sfondo nero
(figura(1.3)) che, convertita in modulo, costituisce un’immagine
reale. La trasformata di Fourier di questa funzione è stata simulata
tramite Imalab mediante l’opzione FFT ed è visibile in figura(1.4).
15
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
figura(1.4)
1.4
Tecniche di filtraggio
Tra le operazioni matematiche realizzabili con architetture
ottiche in luce coerente, una delle più diffuse è il filtraggio mediante
il quale è possibile modificare alcune componenti in frequenza dello
spettro del segnale di ingresso.
Per i sistemi lineari spazio-invarianti, lo spettro del segnale
d’uscita è ottenuto dallo spettro del segnale di ingresso moltiplicato
per la risposta in frequenza del sistema stesso. L’operazione di
filtraggio si ottiene realizzando la desiderata risposta in frequenza
del sistema in esame.
È opportuno ricordare cosa si intende per sistema lineare
spazio-invariante.
figura(1.5)
all’ingresso
Si
produca
gli
supponga
in
vengono
uscita
che
le
il
sistema
risposte
schematizzato
g1(x,y)
e
g2(x,y)
in
se
applicate rispettivamente le eccitazioni
f1(x,y) e f2(x,y):
f1 ( x, y )
→ g1 ( x, y )
(1.19)
16
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
f 2 ( x, y )
→ g 2 ( x, y )
(1.20)
Il sistema è lineare se soddisfa le seguenti proprietà:
•
Additività:
f1 ( x, y ) + f 2 ( x, y )
→ g1 ( x, y ) + g 2 ( x, y )
•
(1.21)
Omogeneità o scalaggio:
kf1 ( x, y )
→ kg1 ( x, y )
(1.22)
dove k è una costante moltiplicativa.
In altre parole un sistema è lineare se gode del principio di
sovrapposizione.
Un sistema è spazio-invariante se, eccitato in ingresso con un
segnale traslato nello spazio, risponde con un segnale d’uscita,
corrispondente a quello all’ingresso se fosse applicato nell’origine,
ma traslato anch’esso della stessa quantità nello spazio. Questa
proprietà si può descrivere dicendo che se vale:
f ( x, y )
→ g ( x, y )
(1.23)
f ( x − x1 , y − y1 )
→ g ( x − x1 , y − y1 )
(1.24)
segue:
Se un segnale d’ingresso f(x,y) è soggetto ad un’operazione di
filtraggio
lineare
spazio-invariante,
l’uscita
g(x,y)
all’ingresso tramite la seguente equazione di convoluzione:
17
è
legata
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
g ( x, y ) =
+∞ +∞
∫ ∫ f (ξ ,η )h( x − ξ , y − η )dξdη
(1.25)
−∞ −∞
dove h(x-ξ,y-η) è la risposta del filtro nel punto (x,y) all’impulso
unitario applicato nel punto di coordinate (ξ,η) sul piano d’ingresso.
Applicando il teorema di convoluzione, si vede che, nel dominio
della
frequenza,
tale
operazione
equivale
al
prodotto
delle
trasformate:
G (u , v) = F (u , v) ⋅ H (u , v)
(1.26)
È proprio su questa relazione che si basano le architetture
ottiche in luce coerente per la realizzazione del filtraggio. Per
ottenere questo prodotto basta porre sul piano della trasformata di
f(x,y) una trasparenza, eventualmente a spessore variabile, che simuli
l’andamento della risposta in frequenza del filtro (figura(1.5)). In
seguito, con una seconda lente L2, è possibile ricostruire questo
prodotto, cioè sul piano focale posteriore di L2 si ottiene la sua
trasformata inversa corrispondente alla convoluzione dell’immagine
in ingresso f(x,y) con la risposta impulsiva del filtro h(x,y).
Il filtro è un elemento la cui messa a punto è la più delicata
nell’intero processo di elaborazione in quanto deve essere in grado di
simulare una funzione eventualmente complessa. Ne esistono di
svariati tipi, dai filtri di sola ampiezza, semplici da costruire, ma
utili solo in un numero limitato di applicazioni, a quelli di sola fase
molto più complicati da realizzare.
Il
tipo
più
semplice
di
filtro
di
sola
ampiezza
è
quello
cosiddetto binario, costituito cioè da zone trasparenti e da zone
18
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
opache. Un campo specifico in cui sono impiegati questi tipi di filtri
è
quello
della
separazione
di
bande
distinte
sul
piano
delle
frequenze. Questi sistemi hanno comunque possibilità limitate e
possono introdurre, nell’immagine elaborata, contorni multipli.
Si può realizzare una maschera di ampiezza e fase producendo
le variazioni di fase con una trasparenza a spessore variabile e si
possono ottenere funzioni di trasferimento complesse con tecniche
olografiche.
Per realizzare filtri di ampiezza a variazione continua si può
impiegare la tecnica dei filtri rotanti che possono essere a simmetria
circolare o direzionali.
I filtri a simmetria circolare effettuano filtraggi indipendenti
dalla direzione, ossia sono filtri monodimensionale in senso radiale.
La tecnica conserva il vantaggio della semplicità di realizzazione dei
filtri binari pur permettendo di ottenere un qualunque andamento
della funzione di trasferimento a simmetria circolare. Il disegno del
profilo desiderato viene riprodotto fotograficamente e stampato su
pellicola delle dimensioni desiderate. Il diaframma finale viene
montato su di un supporto posto in rotazione da un motorino, la cui
velocità può essere variata dall’operatore a seconda delle esigenze.
I
filtri
direzionali
consentono
di
ottenere
filtraggi
lungo
direzioni prestabilite. Per la loro realizzazione è necessario far
scorrere di moto rettilineo sul piano della trasformata una figura
costituita
da
una
successione
periodica
spaziale.
Si
possono
realizzare su pellicola o anche su un lamierino inciso in modo
fotolitografico.
In ogni caso, i filtri dipendono dalle caratteristiche del segnale
d’uscita che il sistema ottico deve ottenere. L’uscita del sistema può
essere costituita dall’immagine di ingresso migliorata (problema del
19
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
recupero di immagini) o dalla correlazione dell’immagine di ingresso
con un insieme di immagini campione (problema del riconoscimento o
classificazione).
È stata effettuata una prova di simulazione filtrando l’immagine
di figura(1.3) con un filtro passa basso, la cui risposta in frequenza è
rappresentata in figura(1.6).
Il filtro lascia passare solo le componenti del segnale che hanno
frequenza spaziale minore della frequenza di taglio (zona bianca
Lente
di
Trasformazione
Onda
Piana
Uniforme
Lente
di
Ricostruzione
L1
P1
f1
P2
L2
f1
f2
Piano
della Trasformata
con il Filtro H(u,v)
Piano
Immagine
y1
P3
f2
Piano di Uscita
(Immagine Filtrata)
β
α
x1
x2
f(x1,y1)
F(u,v)*H(u,v)
figura(1.5): sistema ottico per il filtraggio lineare spazio-invariante
20
y2
f(x2,y2)
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
della maschera di ingresso), mentre quelle con frequenza spaziale
superiore
vengono
moltiplicazione
nel
eliminate
dominio
(zona
delle
nera).
frequenza
Effettuando
tra
il
filtro
la
e
la
trasformata di fourier dell’immagine di ingresso, rappresentata in
figura(1.4),
si
ottiene
la
figura(1.7)
che,
in
seguito
ad
antitrasformazione, restituisce l’immagine di ingresso filtrata passa
basso (figura(1.8)).
figura(1.6)
figura(1.7)
21
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
figura(1.8)
1.5
S i s t e mi
ottici
alternativi
per
l’elaborazione
delle
i mma g i n i
Il classico sistema ottico a due lenti è in grado di produrre la
trasformata ottica F(α,β ) di un’immagine f(x,y) e di ottenere la sua
ricostruzione. Si è visto che se l’immagine d’ingresso è posta su di
un piano diverso da quello focale anteriore della prima lente di
trasformazione,
la
sua
trasformata
risulta
affetta
da
un
errore
quadratico di fase.
In termini più generali si può affermare che qualunque sistema
ottico focalizzante è in grado di produrre la trasformata di Fourier
ottica di un’immagine. La trasformata ottenuta è esatta o affetta da
un errore di fase, a seconda che i singoli punti, in cui si può pensare
di decomporre l’immagine, diano luogo nel fuoco del sistema a onde
piane o sferiche. In ogni caso è possibile ricostruire l’immagine
correttamente
basandosi
Infatti
in
anche
luce
sull’applicazione
coerente
22
valgono
dell’ottica
geometrica.
le
leggi
stesse
sulla
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
formazione delle immagini dell’ottica geometrica.
Si considerano ora alcuni schemi ottici che si possono usare in
alternativa al classico sistema a due lenti. Tutti gli schemi sono
utilizzabili anche in luce bianca purché le lenti impiegate siano
acromatiche.
1.6
S i s t e ma o t t i c o a l e n t e s i n g o l a
Un sistema ottico semplice e versatile è quello a lente singola.
Esso produce contemporaneamente la trasformata dell’immagine e la
sua ricostruzione (figura(1.9)).
La relazione che lega la distanza l, fra l’immagine d’ingresso e
Onda
Piana
Uniforme
Lente
di
Trasformazione
Trasformata
con
Errore di fase
Immagine
Ricostruita
Reale
Immagine
f
s
f
l
d
figura(1.9): schema ottico a lente singola
la lente, la distanza d, fra l’immagine ricostruita e la lente, e la
distanza focale f risulta:
23
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
1 1 1
+ =
l d
f
Ponendo
(1.27)
l=f+s
e
sostituendo
nell’equazione
precedente
si
ottiene per d la relazione:
d= f +
f2
s
(1.28)
Se s è maggiore di zero (figura(1.9)), ossia se l’immagine è
allontanata dalla lente di trasformazione, l’immagine ricostruita è
reale e può essere registrata su un sensore o su pellicola.
Se, invece, la distanza s è negativa l’immagine ricostruita è
virtuale e la sua acquisizione può avvenire solo con una telecamera
munita di un obiettivo, messo a fuoco sul piano corrispondente alla
distanza d definita dall’equazione precedente. Si noti che, visto che d
risulta negativo, la ricostruzione avviene anteriormente alla lente.
Il vantaggio di operare con il sistema a lente singola è la
possibilità di variare l’ingrandimento trasversale m definito da:
m=−
d
f
=−
l
s
(1.29)
giocando sulla sola distanza l. Si evita inoltre l’impiego di una
seconda lente.
L’ingrandimento trasversale ha modulo unitario quando s=f.
La collocazione di un filtro sul piano della trasformata permette
l’elaborazione dell’immagine sia nel caso che s sia positivo che
negativo.
24
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
1.7
S i s t e ma o t t i c o a f a s c i o d i v e r g e n t e
Un altro schema utilizzabile nei sistemi per l’elaborazione
ottica
è
quello
puntiforme.
La
a
fascio
divergente
trasformata
si
forma
prodotto
nel
da
piano
una
sorgente
coniugato
della
sorgente S, rispetto alla lente. Quello è proprio il piano in cui si
focalizza la sorgente (figura(1.10)).
Immagine
di
Ingresso
Errore di fase
Immagine
Ricostruita
Reale
Fascio
Divergente
S
f
f
l
ds
ls
d
figura(1.10): schema ottico a fascio divergente
Un
vantaggio
rispetto
ai
precedenti
schemi
è
di
evitare
l’impiego di ottiche per produrre il fascio collimato. L’immagine
ricostruita si forma, come nello schema a lente singola, nel piano
coniugato dell’immagine d’ingresso.
Variando la distanza ls tra la sorgente e la lente è possibile
modificare l’estensione spaziale della trasformata e la sua posizione
ds.
Anche
in
questo
sistema
per
ottenere
un’elaborazione
dell’immagine d’ingresso è sufficiente collocare un filtro sul piano
in cui si forma la trasformata.
25
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
1.8
S i s t e ma o t t i c o a f a s c i o c o n v e r g e n t e
Il sistema rappresentato in figura(1.11) prevede di illuminare
l’immagine da trasformare mediante un fascio laser convergente a
distanza f. La trasformata di Fourier dell’immagine si ottiene in
questo caso direttamente sul piano di convergenza. Le relazioni tra
coordinate e pulsazioni spaziali diventano:
Lente di
Trasformazione
Piano della
Trasformata
Piano
Immagine
Piano
dell’Immagine
Ricostruita
Lente di
Ricostruzione
l
f2
f
D=f2(1+f2/(f-l))
figura(1.11): sistema ottico a fascio convergente
p=
2πα
2πβ
KKKK q =
λ( f − l)
λ ( f − l)
(1.30)
Si possono fare alcune osservazioni:
f può essere molto grande e quindi è possibile ottenere
una
trasformata
estesa
anche
di
immagini
di
scarsa
definizione, cioè a basso contenuto spettrale. Il fascio
convergente
può
essere
ottenuto
mediante
lo
stesso
telescopio espanditore usato per generare l’onda piana
26
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
uniforme nei sistemi ottici illustrati precedentemente.
Per variare (f-l) basta far scorrere l’immagine lungo
l’asse
ottico.
Una
variazione
di
(f-l)
implica
una
variazione del fattore di scala della trasformata: a parità
di frequenze spaziali p e q variano e le distanze α e β
misurate sul piano della trasformata. Se su tale piano è
posto un filtro, una variazione del fattore di scala della
trasformata consente di ottenere gli stessi risultati che si
avrebbero variando il fattore di scala della maschera del
filtro. Dato che nell’elaborazione ottica i filtri sono
spesso di costruzione laboriosa e non sempre è facile
individuare con esattezza la banda passante del filtro, il
sistema
a
fascio
convergente
può
consentire
notevoli
elasticità e risparmio di tempo.
La trasformata è affetta da un errore di fase di tipo
quadratico che può essere corretto nella ricostruzione. La
lente ricostruisce infatti l’immagine a distanza tale da
correggere tale errore di fase: D=f2(1+f2/(f-l)).
Visto
che
il
dell’immagine
rapporto
ricostruita
fra
e
le
quelle
dimensioni
lineari
dell’immagine
di
partenza è direttamente proporzionale a f2/(f-l) dove f2 è
la
distanza
focale
della
lente
di
ricostruzione
dell’immagine, è chiaro che a meno di non usare per la
ricostruzione
una
lente
di
lunga
focale
l’immagine
ricostruita è molto piccola, tanto che spesso è necessario
proiettarla con un obiettivo con forte ingrandimento.
27
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
1.9
Coerenza parziale
Negli schemi ottici presentati risulta fondamentale la presenza
di un’onda piana uniforme per ottenere la trasformata di Fourier
ottica dell’immagine. Per produrre un’onda piana uniforme si utilizza
Onda
Sferica
L
Sorgente
Puntiforme
Onda
Piana
Uniforme
S
f
figura(1.12): schema per la produzione di un’onda piana
lo schema ottico illustrato in figura(1.12).
Si parte da una sorgente puntiforme monocromatica S, posta nel
piano focale anteriore di una lente L, in corrispondenza all’asse
ottico. La lente converte l’onda sferica, prodotta dalla sorgente, in
un’onda piana. Le dimensioni di quest’onda sono limitate da quelle
della lente.
Un’onda
piana
uniforme,
in
realtà,
dovrebbe
essere
infinitamente estesa nello spazio. L’onda sferica generata dalla
sorgente puntiforme monocromatica S può dare luogo a dei fenomeni
d’interferenza. Infatti se si sommano le radiazioni provenienti da due
punti qualsiasi P1 e P2 del campo sferico in un altro punto P dello
spazio si ottiene l’interferenza. Si dice che una sorgente puntiforme
28
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
monocromatica, e quindi un’onda sferica ideale, dà dei fenomeni di
interferenza
non
localizzati.
Lo
stesso
vale
per
un’onda
piana
uniforme. Per i campi generati dalle sorgenti ordinarie tutto ciò non
avviene: si dice che le sorgenti reali sono parzialmente coerenti. La
coerenza
parziale
limita
la
possibilità
di
ottenere
fenomeni
di
interferenza tra due punti qualsiasi dello spazio. Non vi è una
separazione netta tra le condizioni sotto le quali si ha la coerenza, e
perciò si può avere interferenza, e quelle per cui invece non si ha
più. La coerenza cambia gradualmente andando verso l’incoerenza
totale. Il grado di visibilità delle frange di interferenza è una misura
diretta del grado di coerenza (parziale) dei contributi delle onde.
La coerenza può essere definita come la stabilità di fase di
un’onda, sia nello spazio che nel tempo. Per stabilità nello spazio si
intende una relazione fissa di fase tra due onde distinte e per
stabilità nel tempo si intende la costanza della fase in una singola
onda.
La coerenza temporale è dunque legata alla durata dei treni
d’onda elettromagnetici emessi dalla sorgente mentre la coerenza
spaziale è legata alle dimensioni della sorgente stessa.
29
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
1 . 1 0 C o e r e n z a t e mp o r a l e
Si
dà
introducendo
ora
una
spiegazione
l’interferometro
di
della
Michelson.
coerenza
temporale
Esso
costituito
è
(figura(1.13)) da due specchi piani M1 ed M2 disposti ortogonalmente
l’uno rispetto all’altro e da un divisore di raggio D.
M1
Onda
Piana
Uniforme
A1
M2
(a)
S
A2
(b)
I
D
d
Σ
P
OSSERVATORE
figura(1.13): interferometro di Michelson
Si
consideri
propagazione
l’onda
ortogonale
piana
al
uniforme
piano
definito
Σ
con
dallo
direzione
specchio
di
M2.
L’ampiezza dell’onda riflessa e trasmessa dal divisore di raggio D
siano uguali. Si consideri il raggio luminoso SI: quando incide sulla
superficie D si divide in due parti che percorrono due cammini
differenti IA1IP e IA2IP. I due raggi si ricongiungono nel tragitto IP,
dove è posizionato un osservatore. Si supponga che la propagazione
avvenga in aria. La differenza dei due cammini ottici è di 2d. Se A0 è
l’ampiezza del raggio SI, l’intensità dell’interferenza in P risulta:
30
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
I = A0 cos 2 (
2
2π
λ
d)
(1.31)
A seconda dei valori assunti dalla distanza d, in P, si otterrà
interferenza distruttiva o costruttiva. Aumentando la distanza d si ha
comunque interferenza. Il treno d’onda iniziale ha, infatti, una
lunghezza infinita (lunghezza di coerenza) e quindi la relazione di
fase
tra
i
due
treni,
durante
tutto
il
periodo
necessario
all’osservazione T, sarà costante.
Se l’onda piana, che entra nell’interferometro, ha banda finita,
allora può capitare che i due treni d’onda che si ricongiungono in IP
non provengano dallo stesso treno d’onda iniziale. La differenza di
cammino ottico introdotta risulta superiore alla lunghezza dei treni
d’onda e la differenza di fase dei due treni d’onda varia caoticamente
durante il periodo di osservazione T: l’energia media della vibrazione
risultante è pari alla somma delle energie medie delle vibrazioni
iniziali. L’interferenza non è più osservabile in P e si dice che c’è
incoerenza temporale. Le vibrazioni si dicono incoerenti e la loro
somma implica la somma delle intensità.
Solo se la differenza di cammino ottico è molto più piccola
della lunghezza di coerenza ci potrà essere interferenza. La durata
media τ di un treno d’onda (tempo di coerenza) è determinata dalla
larghezza di banda spettrale ∆ν della sorgente, secondo la relazione:
τ=
1
∆υ
(1.32)
e la lunghezza di coerenza L vale:
31
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
L = cτ =
c
∆υ
(1.33)
Il tempo di coerenza è identico al tempo di decadimento degli
atomi eccitati. Anche in una sorgente di luce convenzionale questo
tempo di decadimento può essere dell’ordine di 10-8s. Le diverse
sorgenti di luce variano enormemente tra loro nella lunghezza dei
treni d’onda che essi emettono. Luce rossa ottenuta con dei filtri
ordinari ha treni lunghi circa 10λ. Così già con differenze di
cammino di appena 5λ, la visibilità è ridotta alla metà. La riga rossa
del cadmio e la riga verde di una lampada a mercurio a bassa
pressione danno interferenza fino a circa 50cm. La riga arancione del
kripton produce frange visibili fino a differenze di cammino di 80cm.
La riga di risonanza del calcio dà frange visibili anche ad una
differenza di cammino di 2m. In un laser a rubino, il tempo di
coerenza è di circa 10-8s e la lunghezza di coerenza è dell’ordine di
1m. Nella luce emessa da un laser a gas, il tempo di coerenza può
essere considerevolmente più lungo, dell’ ordine dei 10-4s, e la
lunghezza di coerenza può essere lunga fino a 30km.
32
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
1.11 Coerenza spaziale
Nei sistemi ottici di elaborazione è richiesto che l’immagine sia
attraversata da un’onda piana.
In pratica l’illuminazione in un sistema ottico di elaborazione
parzialmente
coerente
non
è
realizzata
illuminando
direttamente
l’immagine. La radiazione emessa dalla sorgente viene collimata con
η
y
P0
Piano
Immagine
J(ξ,η)
S
ξ
x
f
f
figura(1.14)
una lente sul piano di ingresso (figura(1.14)) in cui è collocata
l’immagine da elaborare. Inoltre la sorgente può essere codificata
con un’opportuna maschera la cui trasparenza modula l’intensità
luminosa della sorgente stessa.
Nel caso di figura(1.15) la maschera codificante la sorgente è
un piccolo foro (pinhole): tanto minore è il diametro del pinhole
tanto maggiore è il grado di coerenza che si riesce ad ottenere, ma
tanto
maggiore
è
anche
il
sacrificio
disponibile.
33
dell’intensità
luminosa
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
1.12 Elaborazione ottica in luce bianca
Se si dispone di sorgenti con una banda spettrale di ampiezza
finita,
il
campo
sul
piano
della
trasformata,
è
dato
dalla
sovrapposizione dei contributi di tutte le componenti cromatiche,
ciascuna distorta da un fattore di scala differente, in accordo con la
(1.11).
La
condizione
considerata
di
fortemente
coerenza
restrittiva,
temporale
non
in
l’indeterminazione
quanto
deve
essere
prodotta sul piano della trasformata risulta normalmente piccola
relativamente alla banda spaziale del segnale.
La coerenza spaziale è viceversa una condizione più restrittiva,
in quanto la sua mancanza fa venire meno il concetto di fronte
d’onda:
l’informazione
contenuta
nel
campo
prodotto
dalla
trasparenza è in questo limitata alla sola intensità della medesima, in
quanto
l’informazione
relativa
alla
fase
risulta
distorta
dalla
incoerenza del fronte.
Esaminando la (1.11) si vede che, se la sorgente contiene
un’ampia banda di frequenze (per esempio una sorgente di luce
x,y
Fascio
Laser
Espanso
LASER
Fascio laser
η
Maschera
Codificante
la Sorgente
J(ξ,η)
Piano
Immagine
ξ
figura(1.15): sistema di illuminazione impiegato nell’elaborazione coerente
34
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
bianca) e soddisfa al requisito di coerenza spaziale, sul piano focale
della lente si formano tante trasformate, una per ogni componente
spettrale, parzialmente sovrapposte e caratterizzate ognuna da un
diverso
fattore
di
scala
1/λf.
E’
questo
il
principio
base
dell’elaborazione ottica in luce bianca. Una sorgente policromatica è
tanto
più
coerente
spazialmente
quanto
minori
sono
le
sue
dimensioni. Per produrre il raggio espanso di luce bianca si ricorre
pertanto a lampade quasi puntiformi. Per migliorare ulteriormente la
coerenza spaziale, la luce emessa dalla lampada può venire filtrata e
collimata da un diaframma.
La criticità delle condizioni di coerenza spaziale può essere
evidenziata
osservando
che
ogni
alterazione
del
fronte
d’onda
rispetto a quello piano o sferico previsto nel sistema di elaborazione
viene
da
questo
interpretato
come
una
caratteristica
propria
dell’immagine, dando quindi luogo (se stazionario nel tempo) ad
un’immagine
diversa.
In
altre
parole
l’errore
sulla
coerenza
temporale dà luogo ad errore sulla trasformata, mentre l’errore sulla
coerenza spaziale dà luogo ad errore direttamente sull’immagine.
Un sistema per l’elaborazione delle immagini illuminato con
luce bianca presenta dei vantaggi rispetto al caso di una sorgente
laser. Prima di tutto la facile reperibilità della sorgente ed il suo
minor costo. Le sorgenti di luce bianca più comunemente adottate,
nei sistemi ottici di elaborazione, sono quelle alogene e quelle ad
arco per l’elevata brillanza della radiazione emessa. Le loro piccole
dimensioni consentono di ottenere, con ottima approssimazione, dei
fasci di luce piani.
In figura(1.16) si riporta lo schema utilizzato per ottenere un
fascio collimato di luce bianca a partire da una di queste sorgenti. La
prima lente L1 serve per creare un’immagine della sorgente in
35
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
Anodo
J(ξ,η)
η
L2
Fascio
Collimato
ξ
L1
Telescopio
Espanditore
Passa
Basso
Catodo
Piano
Oggetto
f
figura(1.16):schema per generare il fascio collimato di luce bianca
corrispondenza del pinhole, che costituisce una maschera di codifica.
Il pinhole esegue un filtraggio spaziale passa basso, per approssimare
nel miglior modo possibile una sorgente puntiforme. Più piccolo è il
pinhole e maggiore è la coerenza spaziale del fascio. Una seconda
lente L2 posizionata ad una opportuna distanza, converte l’onda
sferica in uscita dal pinhole in un’onda piana. Il fascio ottenuto si
presta ad essere utilizzato in tutti i sistemi ottici di elaborazione.
In luce bianca tutte le lenti che si utilizzano devono essere
acromatiche, altrimenti si introduce l’aberrazione cromatica. L’indice
di rifrazione di ogni mezzo trasparente varia con la lunghezza d’onda
quindi una lente ha lunghezze focali diverse per i diversi colori della
luce. Con una lente convergente semplice la luce blu si focalizza più
vicino alla lente che non la luce rossa. La distanza, in direzione
longitudinale, tra le immagini assiali è detta aberrazione cromatica
longitudinale,
o
assiale.
La
differenza
verticale
nelle
altezze
dell’immagine, che si ottiene per la differenza assiale, è detta invece
aberrazione cromatica laterale. Un’immagine se osservata nel fuoco
blu, mostra dettagli bluastri circondati da un alone rosso. Nel fuoco
rosso, i dettagli sono invece rossi e l’alone blu.
L’aberrazione cromatica si può correggere e in tal caso il
36
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
sistema è detto acromatico. Nello specifico un tale sistema è corretto
per due lunghezze d’onda e di solito lo è anche per l’aberrazione
sferica. La scelta delle lunghezze d’onda dipende dallo scopo per cui
il
sistema
è
progettato.
Un
modo
per
correggere
l’aberrazione
cromatica consiste nell’usare due lenti, una fatta di vetro crown e
l’altra di vetro flint e porle a contatto tra loro. Le lenti sono scelte
in modo tale che la dispersione prodotta da una lente è compensata
dalla dispersione, opposta, prodotta dall’altra.
Ci si riferisca ora al sistema classico a due lenti. L’immagine
da elaborare f(x,y), collocata nel piano focale anteriore della prima
lente di trasformazione, può essere una trasparenza colorata. In
generale, sia l’attenuazione A(x) che lo sfasamento ϕ(x) introdotti
dall’oggetto variano con la lunghezza d’onda della luce.
Si ha quindi:
f ( x, y; λ ) = A( x, y; λ ) ⋅ e jϕ ( x , y ;λ )
dove
il
parametro
dell’attenuazione
(1.34)
λ sta ad indicare la dipendenza dal colore
e
della
fase.
Supponendo
il
pinhole
sufficientemente piccolo, in modo da considerare puntiforme la
sorgente
luminosa,
sul
piano
focale
posteriore
della
lente
di
trasformazione, per ogni lunghezza d’onda λ, l’ampiezza complessa è
descritta da:
F (α , β ; λ ) = S (λ ) ∫∫ f ( x, y; λ )e
j
2π
( αx + β y )
λf
dxdy
(1.35)
dove S(λ ) è la distribuzione spettrale della sorgente impiegata ed
f(x,y;λ)
è
la
trasparenza
dell’immagine
37
in
corrispondenza
della
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
lunghezza d’onda λ. Il colore della sorgente λ introduce un fattore di
scala sulle dimensioni spaziali della trasformata ottica. Sul piano di
Fourier della lente di trasformazione si ha una sovrapposizione di
trasformate di Fourier ottiche modulate dalla lunghezza d’onda λ
corrispondente. Maggiore è λ, maggiore è la dimensione spaziale
della trasformata, quindi la trasformata ottica che corrisponde al blu
è più piccola di quella corrispondente al rosso. Solitamente tale
sovrapposizione di trasformate viene chiamata trasformata ottica
colorata.
Si consideri una trasformata colorata ricavata a partire da un
pinhole di 25µm. Aumentando le dimensioni fisiche del pinhole in
modo da non poterlo considerare più puntiforme, si perde parte della
coerenza spaziale della sorgente. Il risultato è che sul piano di
Fourier si ha una sovrapposizione di trasformate colorate, una per
ogni sorgente elementare, in cui si può pensare di decomporre la
sorgente estesa. Per eseguire un’elaborazione dell’immagine, come
per la luce coerente, è necessario collocare un filtro sul piano di
Fourier. In luce bianca l’azione di un generico filtro è differente al
variare della lunghezza d’onda λ, a causa del fattore di scala
introdotto nella dimensione della trasformata proprio da λ. Questo
comporta una difficoltà nella realizzazione di filtri, quando si voglia
elaborare allo stesso modo le componenti spettrali dell’immagine al
variare di λ. È questo il principale svantaggio rispetto ai tradizionali
sistemi di elaborazione in luce laser.
Nonostante questo i sistemi di elaborazione in luce bianca
offrono anche dei notevoli vantaggi. Il rumore delle immagini risulta
notevolmente diminuito. Questo perché un sistema di elaborazione
coerente risulta costituito da un unico canale di trasmissione, dato
38
Oggetti di fase: Metodi teorici e realizzazione sperimentale per la visualizzazione di valori elevati della fase
Capitolo 1: L’elaborazione ottica delle immagini
dall’unica lunghezza d’onda e dall’unico punto di emissione della sua
sorgente di luce. Una qualsiasi perturbazione all’interno del sistema
crea un disturbo che fa perdere informazione. All’uscita del sistema
si producono immagini rumorose.
Un sistema di elaborazione in luce bianca può essere visto come
un sistema di trasmissione a più canali indipendenti. La perdita di
coerenza temporale comporta che l’informazione venga trasmessa da
una moltitudine di canali, una per ogni lunghezza d’onda. Ognuno di
questi canali risulta indipendente dagli altri. Una perdita di coerenza
spaziale indica che la sorgente ha una superficie di emissione estesa,
decomponibile
in
più
sorgenti
elementari,
ciascuna
delle
quali
costituisce a sua volta un canale indipendente nel sistema. Il sistema
complessivo multicanale risulta ora meno sensibile ai disturbi. Se si
ha un disturbo in uno dei canali del sistema, l’informazione è solo
parzialmente degradata in quanto presente anche negli altri.
39
