nota aggiuntiva su e8

- NOTA AGGIUNTIVA SUL GRUPPO DI LIE E8 Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Nel recente lavoro “Studi ed osservazioni sul Gruppo di Lie E8”
Gruppo ”B. Riemann”-Michele Nardelli, Francesco Di Noto
abbiamo riletto , nell’intervista di Garrett Lisi, un brano su E8 come
possibile ipercubo 8-dimensionale o addirittura 248-dimensionale:
“…Con la comprensione di questo modello, si ottiene una migliore comprensione
del gruppo di Lie E8. Le particelle elementari corrispondono ai punti del “sistema
di radici” E8, che corrispondono a elementi dell'algebra di Lie E8, e quindi a
simmetrie del gruppo di Lie E8. Mi dispiace che questo è così complicato, ma spero
che sia chiaro. Pensare in termini di un ipercubo quando diciamo di pensare a un
cubo in3D e poi si può pensare ad un altro asse, ortogonale ai primi tre e che ci
fornisce 4D,ecc .. ed in questo modo si può andare avanti e descrivere un cubo ndimensionale.
In questo senso E8 è ad otto dimensioni (esistente nello stesso spazio di un cubo
8D)?O è 248-dimensionale, esistente nello stesso spazio come cubo 248dimensionale. Il sistema radicale (di radici) E8 è ad otto dimensioni in questo
senso. Ed è un politopo , come il cubo ed il cubo 8D sono politopi. Il gruppo di Lie
E8 non è un politopo, è una superficie liscia, una superficie 248-dimensionale…”.
Ma in un altro lavoro, pubblicato di recente sul nostro sito,
“I N F I N I T I T R I A N G O L I (Tk) D I T A R T A G L I A
(possibili applicazioni in geometria (k + 2) - dimensionale)”, possiamo
ravvisare delle possibili connessioni tra l’oggetto matematico E8 come
possibile ipercubo 8-dimensionale o addirittura 248-dimensionale.
(Nell’intervista c’è un punto interrogativo su questa possibilità)
1
Nel primo caso, cioè nel caso E8 fosse davvero un cubo 8-d, possiamo
osservare i numeri dei suoi componenti geometrici (vertici, spigoli,
facce (quadrati) cubi 3-d, 4-d 5-d 6-d 7-d e infine un solo cubo 8-d
nell’ ottava riga di T2, il Triangolo di Tartaglia successivo a T1 (T1 è
il triangolo di Tartaglia noto, il primo della serie infinita, seguito
naturalmente da T2, T3, T4 e così via per qualsiasi n, e quindi Tn).
T2 è connesso alle geometrie k-dimensionali, legate ai cubi k +2 ndimensionali.
Riportiamo il Triangolo T2 e lo estendiamo fino all’ottava riga, quella
relativa ai cubi 8-dimensinali, con la somma dei termini di tale riga
uguale a 3^8 = 6561 = somma di tutte le componenti geometriche di un
cubo 8-dimensionale (nel caso E8 fosse veramente un cubo 248 –
dimensionale, dovremmo estendere T2 fino alla 248° riga, con somma
delle componenti geometriche uguale a 3^248, circa 10 ^ 124 e forse
anche più, essendo, per le potenze di 3, il numero delle loro cifre pari a
circa il doppio di quello delle le potenze di 10 vicine; per esempio,
3^10 = 59049, con 5 cifre, mentre 10^9= 1000000000 con 10 cifre, il
doppio di 3^10). 10^124 è molto maggiore di 10^80, il numero
stimato di tutte le particelle dell’universo, quindi il numero delle
2
componenti geometriche del cubo 248 – dimensionale supererebbe di
gran lunga il numero delle particelle dell’universo, circa 124 -80 =44
ordini di grandezza (44 zeri aggiunti agli 80 di 10^80).
Ma, dopo tale digressione, ritorniamo a T2 e alla sua ottava riga:
T2
riga
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
valori
Somma
termini di ogni riga
1
1 = 3^0
1 2
3 = 3^1
1 4
4
9 = 3^2
1 6 12 8
27 = 3^3
1 8 24 32 16
81 = 3^4
1 10 40 80 80 32
243 =3^5
1 12 60 160 240 192 64
729 = 3^6
1 14 84 280 560 672 448 128
2187 =3^7
1 16 112 448 1120 1792 1792 1024
… … … … …
… …
…
256
6561 = 3^8
…
I valori in rosso 1, 8, 24, 32, 16 della quarta fila, se scritti al contrario
(immagine speculare di T2, ma equivalente), sono i numeri di ipercubi,
facce cubiche, facce quadrate, lati e vertici per un cubo a 4 dimensioni o
4 – cubo, analogamente a come i numeri della riga precedente sono quelli
relativi al cubo normale, mentre l’ultimo numero, 81 e 27 rispettivamente
(potenze di 3) sono la somma di tutti i valori di una riga.
Per l’ottava riga, invece, si hanno i numeri (in blu)di componenti n-dimensionali
per un cubo 8-dimensionale :
1
cubo 8-dimensionale
16
cubi 7-dimensionali
3
112 cubi 6-dimensionali
448 cubi 5-dimensionali
1120 cubi 4-dimensionali (noti in matematica come ipercubi o tesseratti)
1792 cubi 3-dimensionali, come i nostri normali cubi di questo mondo
1792 facce quadrate
1024 spigoli
256 vertici
6561 totale = 3^8 componenti per ogni dimensione inferiore a 8
Ricordiamo che per ogni Tk, per costruire il relativo triangolo riga
per riga,a partire dalla riga precedente, occorre moltiplicare per k
il termine superiore a sinistra e aggiungere quello di destra. In T2,
quindi, bisogna moltiplicare per 2 il termine superiore a sinistra.
Provare per credere… non tanto a costruire un cubo a 8 dimensioni,
cosa impossibile in questo mondo geometricamente tridimensionale,
ma a disegnarlo su carta, e contare le suddette componenti
geometriche per ogni numero di dimensioni fino a 8.
Con T2, invece, si trovano facilmente i numeri di componenti
all’ottava riga (ma si possono anche calcolare con le formule
combinatorie citate nel precedente lavoro, al quale rimandiamo), e la
4
loro somma come 3^8 = 6561.
Se E8 fosse veramente un cubo 8-dimensionale, questi numeri
potrebbero sicuramente aiutarci a conoscerlo meglio, possibilmente in
relazione alle sue simmetrie.
Notiamo già che i numeri della riga, escluso l’unità, quindi
16 112 448 1120 1792 1792 1024
256
sono tutti divisibili per 8 e tale numero, oltre ad essere un numero di
Fibonacci è il valore che è uguale ai modi che corrispondono alle
vibrazioni fisiche delle superstringhe attraverso la seguente funzione
di Ramanujan:
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx  142

4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'

e 4 φw' (itw') 
1 
.
8=
3
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  

+ 
log  



4
4
 




Se E8 fosse invece un cubo 248 – dimensionale, basta andare
alla …248° riga di T2… Ma è più probabile la prima ipotesi.
Non sappiamo ancora le possibili conseguenze geometriche dei
triangoli di Tartaglia successivi T3, T4, … Tn. Ma per il momento
T2 ci basta e avanza.
FINE
5