Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in - INFN

Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria - Cesena
1° Appello invernale - Prova scritta del corso di Fisica Generale A (L-A)
(09 gennaio 2014)
Prof. Maurizio Piccinini
________________________________________________________________________________
1. Una forza costante F è applicata a un punto materiale di massa m spostandolo di una distanza d.
La stessa forza è poi applicata al centro di massa di una sfera rigida di massa 2m, e percorre
ancora la distanza d. Il punto si muove senza attrito, e la sfera si muove rotolando senza
strisciare con velocità angolare ω. Esprimere il lavoro compiuto dalla forza nelle due situazioni.
Il lavoro, L = Fd, è lo stesso in entrambi i casi.
2. Si suole dire che gli astronauti in orbita attorno alla Terra “galleggiano” in assenza di gravità
nell’astronave che li trasporta (o anche fuori da questa in caso di “passeggiata” spaziale). È
corretta quest’affermazione? Motivare la risposta, descrivendo la situazione sia dal punto di
vista di un osservatore terrestre, sia da quello dell’astronave.
L’affermazione è sbagliata: a) Dal punto di vista terrestre l’astronauta orbita intorno alla terra a
causa dell’attrazione gravitazionale che il nostro pianeta esercita su di lui. b) Dal punto di vista
dell’astronave l’astronauta è immobile (galleggia) perché la forza di gravità (reale) è compensata
dalla forza di trascinamento, centrifuga (fittizia), che si genera in questo sistema di riferimento non
inerziale.
3. Un punto materiale giace fermo su di un piano liscio, vincolato a
3 molle di costanti elastiche K1 = K2 = K3 = K e lunghezza a
riposo nulla. Le molle vengono tese in modo che l’estremo
libero della molla 1 è vincolato al punto O e quello delle molle 2
e 3 al punto O’, punti distanti L l’uno dall’altro. Determinare
l’allungamento delle molle quando il sistema si trova in equilibrio.
F2 = F3 = − K ∆l23  ˆ


F
+
F
+
F
=
−
2
Kx
+
K
L
−
x
i
=
0
⇒
(
)
 1
2
3
p
p 

F1 = − K ∆l1

1

 x p = 3 L
K ( L − 3x p ) = 0 
L − x = 2 L
p

3
4. Un proiettile di massa M = 10 kg è lanciato verticalmente verso l’alto con velocità v0 = 75 m/s.
A 285.15 m di altezza esplode in tre frammenti. Subito dopo lo scoppio i frammenti,
rispettivamente di massa m1 = 4 kg, m2 = 2 kg ed m3 sconosciuta, viaggiano con velocità
v1 = 3iˆ + 2 ˆj m s , v2 = v1 ∧ kˆ m s e v3 = vx m s , rispetto ad una terna cartesiana con l’asse z
(
(
)
)
diretto verso l’alto e con origine nel punto dell’esplosione. Calcolare:
a. La velocità del proiettile subito prima dello scoppio.
1
1
Mv02 = Mv 2 + Mgh ⇒ v = v02 − 2 gh = 752 − 2 × 9,8 × 285,15 = 6, 00 m s .
2
2
b. La velocità del terzo frammento.
m3 = M − m1 − m2 = 4kg

v1 = 3iˆ + 2 ˆj
0 = 3m1 + 2m2 + m3vx

ˆ


v2 = v1 ∧ k = 3iˆ + 2 ˆj ∧ kˆ = −3 ˆj + 2iˆ  Mv = m1v1 + m2 v2 + m3v3 0 = 2m1 − 3m2 + m3v y


 Mv = m3vz
v3 = vx iˆ + v y ˆj + vz kˆ

(
)
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RTerra = 6370 km, g = 9.8 m/s2, γ = 6, 67 ⋅10−11 m3 ( kg ⋅ s 2 )
Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria - Cesena
1° Appello invernale - Prova scritta del corso di Fisica Generale A (L-A)
(09 gennaio 2014)
Prof. Maurizio Piccinini
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
3m + 2m2
16
vx = − 1
= − = −4 m s 
m3
4

 3m2 − 2m1
2
vy =
= − = −0,5 m s  v3 = −4iˆ − 0,5 ˆj + 15kˆ
m3
4


6 M 60
vz =
=
= 15 m s

m3
4

5. Un punto materiale di massa m si muove soggetto alla forza F ( t ) = F0 cos ( ωt ) , con F0 costante.
All’istante t = 0 il punto si trova nell’origine del sistema di assi cartesiani e la sua velocità ha
modulo v0 e stessa direzione e verso della forza.
a. Risolvere il problema fondamentale della dinamica.
F

xɺ ( t ) = 0 sin (ωt ) + k1

F

mω
ɺɺ
x ( t ) = 0 cos (ωt ) 
m
 x ( t ) = − F0 cos (ωt ) + v t + k
0
2

mω 2
F

F0
  xɺ ( t ) = 0 sin (ωt ) + v0
+ k2  
x ( 0) = 0 = −
mω
mω 2
 
  x ( t ) = F0 1 − cos (ωt )  + v t
xɺ ( 0 ) = v0 = k1
 
 0
mω 2 

b. Trovare il limite dell’equazione del moto quando ω → ∞.
 1 1 
lim 1 − cos ( ωt )  =  − ÷  
ω →∞
 2 2   ⇒ lim x t = v t
() 0

ω →∞
F0

lim
=0

ω →∞ mω 2
6. Un disco omogeneo di massa m = 100 kg e raggio R = 1 m gira
intorno al suo asse con frequenza di rotazione pari a 1000 giri/min.
A una distanza radiale d = 0.5 m viene applicata una forza costante
F la cui direzione forma un angolo φ = 60° con la tangente al disco
(vedi figura).
a. Quanto lavoro deve fare tale forza per arrestare il disco?
1

L = ∆T = I ωi2 
2
1
1

 2π × 1000 
2
2 2
 L = mR ωi = 100 × 1× 
 = 274,16 kJ
1
4
4
60


2

I = mR

2
b. Il disco si arresta in un tempo tm = 2 min. Quanto vale F ?
1
dω
2 Fd cos φ
M = I ωɺ ⇒ Fd sin ϑ = Fd cos φ = − mR 2ωɺ ⇒
=−
dt
mR 2
2
0
mR 2ωi
2 Fd cos φ tm
2 Fd cos φ
100 × 2π × 1000
ω
ω
d
=
−
dt
⇒
=
t
⇒
F
=
=
= 174, 53 N
i
m
2
2
∫ωi
∫
0
mR
mR
2d cos φ tm
60 × 60
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RTerra = 6370 km, g = 9.8 m/s2, γ = 6, 67 ⋅10−11 m3 ( kg ⋅ s 2 )