Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria - Cesena 1° Appello invernale - Prova scritta del corso di Fisica Generale A (L-A) (09 gennaio 2014) Prof. Maurizio Piccinini ________________________________________________________________________________ 1. Una forza costante F è applicata a un punto materiale di massa m spostandolo di una distanza d. La stessa forza è poi applicata al centro di massa di una sfera rigida di massa 2m, e percorre ancora la distanza d. Il punto si muove senza attrito, e la sfera si muove rotolando senza strisciare con velocità angolare ω. Esprimere il lavoro compiuto dalla forza nelle due situazioni. Il lavoro, L = Fd, è lo stesso in entrambi i casi. 2. Si suole dire che gli astronauti in orbita attorno alla Terra “galleggiano” in assenza di gravità nell’astronave che li trasporta (o anche fuori da questa in caso di “passeggiata” spaziale). È corretta quest’affermazione? Motivare la risposta, descrivendo la situazione sia dal punto di vista di un osservatore terrestre, sia da quello dell’astronave. L’affermazione è sbagliata: a) Dal punto di vista terrestre l’astronauta orbita intorno alla terra a causa dell’attrazione gravitazionale che il nostro pianeta esercita su di lui. b) Dal punto di vista dell’astronave l’astronauta è immobile (galleggia) perché la forza di gravità (reale) è compensata dalla forza di trascinamento, centrifuga (fittizia), che si genera in questo sistema di riferimento non inerziale. 3. Un punto materiale giace fermo su di un piano liscio, vincolato a 3 molle di costanti elastiche K1 = K2 = K3 = K e lunghezza a riposo nulla. Le molle vengono tese in modo che l’estremo libero della molla 1 è vincolato al punto O e quello delle molle 2 e 3 al punto O’, punti distanti L l’uno dall’altro. Determinare l’allungamento delle molle quando il sistema si trova in equilibrio. F2 = F3 = − K ∆l23 ˆ F + F + F = − 2 Kx + K L − x i = 0 ⇒ ( ) 1 2 3 p p F1 = − K ∆l1 1 x p = 3 L K ( L − 3x p ) = 0 L − x = 2 L p 3 4. Un proiettile di massa M = 10 kg è lanciato verticalmente verso l’alto con velocità v0 = 75 m/s. A 285.15 m di altezza esplode in tre frammenti. Subito dopo lo scoppio i frammenti, rispettivamente di massa m1 = 4 kg, m2 = 2 kg ed m3 sconosciuta, viaggiano con velocità v1 = 3iˆ + 2 ˆj m s , v2 = v1 ∧ kˆ m s e v3 = vx m s , rispetto ad una terna cartesiana con l’asse z ( ( ) ) diretto verso l’alto e con origine nel punto dell’esplosione. Calcolare: a. La velocità del proiettile subito prima dello scoppio. 1 1 Mv02 = Mv 2 + Mgh ⇒ v = v02 − 2 gh = 752 − 2 × 9,8 × 285,15 = 6, 00 m s . 2 2 b. La velocità del terzo frammento. m3 = M − m1 − m2 = 4kg v1 = 3iˆ + 2 ˆj 0 = 3m1 + 2m2 + m3vx ˆ v2 = v1 ∧ k = 3iˆ + 2 ˆj ∧ kˆ = −3 ˆj + 2iˆ Mv = m1v1 + m2 v2 + m3v3 0 = 2m1 − 3m2 + m3v y Mv = m3vz v3 = vx iˆ + v y ˆj + vz kˆ ( ) ____________________________________________________________________________________ RTerra = 6370 km, g = 9.8 m/s2, γ = 6, 67 ⋅10−11 m3 ( kg ⋅ s 2 ) Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria - Cesena 1° Appello invernale - Prova scritta del corso di Fisica Generale A (L-A) (09 gennaio 2014) Prof. Maurizio Piccinini ________________________________________________________________________________ 3m + 2m2 16 vx = − 1 = − = −4 m s m3 4 3m2 − 2m1 2 vy = = − = −0,5 m s v3 = −4iˆ − 0,5 ˆj + 15kˆ m3 4 6 M 60 vz = = = 15 m s m3 4 5. Un punto materiale di massa m si muove soggetto alla forza F ( t ) = F0 cos ( ωt ) , con F0 costante. All’istante t = 0 il punto si trova nell’origine del sistema di assi cartesiani e la sua velocità ha modulo v0 e stessa direzione e verso della forza. a. Risolvere il problema fondamentale della dinamica. F xɺ ( t ) = 0 sin (ωt ) + k1 F mω ɺɺ x ( t ) = 0 cos (ωt ) m x ( t ) = − F0 cos (ωt ) + v t + k 0 2 mω 2 F F0 xɺ ( t ) = 0 sin (ωt ) + v0 + k2 x ( 0) = 0 = − mω mω 2 x ( t ) = F0 1 − cos (ωt ) + v t xɺ ( 0 ) = v0 = k1 0 mω 2 b. Trovare il limite dell’equazione del moto quando ω → ∞. 1 1 lim 1 − cos ( ωt ) = − ÷ ω →∞ 2 2 ⇒ lim x t = v t () 0 ω →∞ F0 lim =0 ω →∞ mω 2 6. Un disco omogeneo di massa m = 100 kg e raggio R = 1 m gira intorno al suo asse con frequenza di rotazione pari a 1000 giri/min. A una distanza radiale d = 0.5 m viene applicata una forza costante F la cui direzione forma un angolo φ = 60° con la tangente al disco (vedi figura). a. Quanto lavoro deve fare tale forza per arrestare il disco? 1 L = ∆T = I ωi2 2 1 1 2π × 1000 2 2 2 L = mR ωi = 100 × 1× = 274,16 kJ 1 4 4 60 2 I = mR 2 b. Il disco si arresta in un tempo tm = 2 min. Quanto vale F ? 1 dω 2 Fd cos φ M = I ωɺ ⇒ Fd sin ϑ = Fd cos φ = − mR 2ωɺ ⇒ =− dt mR 2 2 0 mR 2ωi 2 Fd cos φ tm 2 Fd cos φ 100 × 2π × 1000 ω ω d = − dt ⇒ = t ⇒ F = = = 174, 53 N i m 2 2 ∫ωi ∫ 0 mR mR 2d cos φ tm 60 × 60 ____________________________________________________________________________________ RTerra = 6370 km, g = 9.8 m/s2, γ = 6, 67 ⋅10−11 m3 ( kg ⋅ s 2 )