Variabili aleatorie gaussiane

Variabili aleatorie gaussiane
La distribuzione normale (riconoscibile dalla curva a
forma di campana) è la più usata tra tutte le
distribuzioni, perché molte distribuzioni che ricorrono
naturalmente sono molto simili ad essa. La sua derivazione matematica fu presentata per la
prima volta da De Moivre nel 1733, ma è spesso
riportata come la distribuzione Gaussiana, dal nome di
Carl Gauss (1777-1855), che ricavò anche la sua
equazione da uno studio degli errori nelle misure
ripetute della stessa quantità. Gaussiana standard
Variabili aleatorie gaussiane
L’espressione della funzione densità della curva
normale è:
1
& 1
2#
f ( x) =
exp%− 2 ( x − µ ) ".
σ 2π
$ 2σ
!
E(X)=µ
σ(X)= σ
Variabili aleatorie gaussiane
Densità gaussiane per diversi valori delle
varianze
0,45
0,4
0,35
f(x)
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
x
varianza=1.5
varianza=1
varianza=3
Variabili aleatorie gaussiane
Variabili aleatorie gaussiane
Per una distribuzione normale o quasi normale,
eventualmente standardizzando la variabile e
utilizzando le tavole della gaussiana standard (media
0 e varianza 1), si osserva che (a) approssimativamente il 95% di tutti i valori
dovrebbe essere compreso entro due deviazioni
standard dalla media.
(b) praticamente tutti i valori dovrebbero essere entro
3 D.S. dalla media.
Variabili aleatorie gaussiane e dati empirici
(materiale didattico Prof.Carla Rossi, Università La SapienzaRoma)
Variabili aleatorie gaussiane e dati empirici
Il modello normale con stessa media (76,17) e stessa
deviazione standard (11,08) approssima bene la funzione
di ripartizione empirica.
Confronto tra distribuzione osservata e modello normale
Funzioni di ripartizione
1,2
1
0,8
Funzione di
ripartizione empirica
0,6
Distribuzione
normale
0,4
0,2
0
0
50
100
pesi
150
Variabili aleatorie gaussiane e dati empirici
Per meglio confrontare le due funzioni di ripartizione
riportiamo i loro corrispondenti valori su un piano
cartesiano:
Per ogni valore di x osservato, consideriamo la
funzione di ripartizione empirica F*(x) e la funzione di
ripartizione teorica (normale) F(x) e rappresentiamo nel
piano il punto che ha per ascissa F*(x) e per ordinata
F(x).
Se il modello approssima bene la distribuzione
empirica i punti si addensano attorno alla diagonale del
primo quadrante e sono bene interpolati dalla bisettrice
con equazione y=x. Variabili aleatorie gaussiane e dati empirici:
P-plot
Funzione di ripartizione normale in funzione della
funzione di ripartizione empirica
Funzione di ripartizione
normale
1,2
y = 0,9757x
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Funzione di ripartizione empirica
1
1,2
Teorema del limite centrale
Il teorema afferma che, se si ha un certo numero di
variabili aleatorie indipendenti Xi (i=1,2,…,n) con la
stessa media m e la stessa varianza σ2, allora la
successione di variabili aleatorie:
Zn=(Yn-m)/√(σ2/n)
con:
1 n
Yn = ∑ X i
n i =1
tende in distribuzione ad una variabile aleatoria
con distribuzione gaussiana standardizzata.
Teorema del limite centrale
La v.a.
1 n
Yn = ∑ X i
n i =1
ha valor medio µ e varianza σ2/n .
La media di n dati campionari indipendenti (y1+…+yn)/n
verrà interpretata come se fosse la v.a. Yn, per n grande;
essa non avrà esattamente valore µ, ma ci aspettiamo che
non sia troppo lontana da questo valore, essendo la
varianza σ2/n →0 per n→∞
Teorema del limite centrale
In un piccolo paese la probabilità che un individuo, scelto a caso, in
un dato giorno abbia bisogno di un ricovero ospedaliero è 1/4000.
Gli abitanti del paese sono 12000. Di quanti letti dovrebbe disporre
l’ospedale locale affinchè la probabilità che sia rimandato indietro
un malato per mancanza di posti letto sia minore dell’1%?
Teorema del limite centrale
DISTRIBUZIONI GAUSSIANE
La distribuzione di un certo tipo di batteri in un ml di
acqua tende alla distribuzione gaussiana N(100,64). Qual
è la probabilità che vi siano più di 90 batteri di quel tipo in
un ml di acqua?
DISTRIBUZIONI GAUSSIANE
Il peso alla nascita in una data popolazione animale è
una variabile aleatoria X distribuita secondo una
gaussiana di media 0,824 grammi e deviazione
standard 0,042 g.
a) Determinare la probabilità P(0,784≤X≤0,934)
b) Determinare k tale che P(|X-0,824|≤k)=0,95
DISTRIBUZIONI GAUSSIANE
Sia X una v.a. gaussiana di media 2 e deviazione standard
3, calcolare
a)
P(-1.5≤X≤4.2)
b) Determinare k tale che P(X≥k)=0.90
DISTRIBUZIONI GAUSSIANE
In un esperimento ciascun topo, di un campione casuale di
25 unità, deve essere iniettato con un farmaco ad un
livello di dose di 0.004 mg per grammo di peso
corporeo. Per questo ceppo di topi è noto che il peso è
approssimativamente distribuito secondo una legge
normale di media 19 g e deviazione standard 4g.
a)  Se il ricercatore possiede un totale di 2 mg di farmaco,
qual è la probabilità che questo non sia sufficiente per
trattare tutti i topi?
b)  Quanto farmaco dovrebbe possedere il ricercatore al
fine di correre un rischio dell’1% di non trattare tutti
gli animali?
DISTRIBUZIONI GAUSSIANE
Si assuma che tra i non diabetici il livello ematico di
glucosio a digiuno sia distribuito in maniera
approssimativamente normale con media 105mg per
100 ml ed una deviazione standard di 9 mg per 100ml.
a)  Quale percentuale di non diabetici ha livelli compresi
tra i 90 e i 125 mg per 100 ml?
b)  Quale livello lascia il 10% dei non diabetici nella coda
di sinistra?
c)  Quali livelli comprendono il 95% dei non diabetici?
DISTRIBUZIONI GAUSSIANE
In un ampio gruppo di pazienti coronarici si trovò che i
loro livelli di colesterolo serico presentavano
approssimativamente una distribuzione normale. Si
trovò inoltre che il 10% del gruppo aveva livelli di
colesterolo serico al di sotto di 182.3 mg per 100 ml,
mentre il 5% aveva valori superiori a 359.0 mg per 100
ml. Calcola la media e la deviazione standard della
distribuzione.
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE
Un commerciante sa che il numero di articoli di una certa
marca che può vendere in un giorno è una variabile
aleatoria di Poisson di parametro a=5
a) Calcola la probabilità che in un anno (365 giorni) venda
più di 1740 articoli
b) Quanti articoli di quella marca dovrebbe
immagazzinare per essere sicuro al 95% che gli
basteranno per tutto l' anno?
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE
Se la probabilità di nascita di maschio è 0.512, calcola la
probabilità che in 1000 nascite ci siano meno maschi che
femmine.
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE
In una data popolazione una certa caratteristica è presente
con probabilità p=1/6. Scegliendo a caso un campione di n
individui da questa popolazione, determina n in modo tale
che la frequenza campionaria di coloro che presentano la
caratteristica nel campione differisca da p, in valore
assoluto, per meno di 0.01, con probabilità superiore a
0.95.