Concorso di ammissione al primo anno, a.a. 2006/07 Prova scritta di

Concorso di ammissione al primo anno, a.a. 2006/07
Prova scritta di fisica
Corsi di laurea in Fisica, Informatica e Matematica.
1) Si osserva che una stella collassata (pulsar) ruota attorno al suo asse 10 volte al secondo. Supponendo
che la pulsar sia sferica si calcoli il valore minimo della sua densità media.
Se il Sole (periodo T=24 giorni) collassasse senza perdere massa in una pulsar di densità nucleare
17
(10 Kg/m3 ), quale sarebbe il suo periodo? Quale sarebbe la sua densità minima con questo periodo?
Si considerino solo gli effetti delle forze gravitazionali.
Costanti numeriche
Costante di Newton GN = 6.67 · 10−11 N m2 kg−2 . Massa del Sole MS = 2 · 1030 kg.
Raggio del Sole RS = 7 · 108 m.
Periodo di rotazione del Sole TS = 24 giorni.
Soluzione: Per l’equilibrio alla superficie Rω 2 ≤ GM/R2 da cui ρ =
M
4
πR3
3
≥
3ω 2
4πG
= 1.41 · 1013 Kg/m3 .
Con densità nucleare ρN = 1017 Kg/m3 il sole avrebbe raggio R′ = 17 Km. Conservando il momento
angolare avrebbe periodo T ′ = 1.2 · 10−3 sec. La densità limite per questa rotazione sarebbe di nuovo
1017 Kg/m3 e il sole collassato non perderebbe massa.
2) Una clessidra di altezza totale 2h e massa a vuoto M con dentro una massa m di sabbia viene messa su
una bilancia. Inizialmente la sabbia è a riposo nella parte superiore e al tempo t = 0 comincia a cadere.
Si calcoli cosa segna la bilancia dal tempo t = 0 al momento in cui l’ultimo granello di sabbia è sceso
alla base della clessidra e se ne disegni un grafico.
Si supponga che ogni granello di sabbia faccia un salto di altezza h e si fermi istantaneamente alla
base della clessidra e che la massa di sabbia che cade per unità di tempo sia costante e pari a λ = dm/dt.
p
Soluzione: Il tempo che ci mette il primo granello a colpire la base della bilancia é t1 = 2h/g. Per
0 < t < t1 una massa di sabbia λt è in volo e la forza sulla bilancia è P1 = (M + m − λt)g.
In seguito per t1 < t < t2 p
= m/λ i granelli cadono regolarmente dal serbatoio sulla base e la massa in volo
è costante pari a λt1 = λ 2h/g.√D’altro canto la sabbia che si ferma sul fondo esercita una forza verso il
dm
basso pari a F = dP
dt = v dt = λ 2gh. Quindi la bilancia segna P2 = (M + m)g − λt1 g + F = (M + m)g.
Dal tempo t2 l’ultimo granello impiega ancora un tempo t1 per raggiungere la base. Quindi per t2 <
t < t2 + t1 la caduta provoca sempre√una forza F mentre la massa in volo è solo λ(t1 + t2 − t), da cui
P3 = (M + m)g − λ(t1 + t2 − t)g + λ 2gh = (M + m)g + λ(t − t2 )g.
Peso Bilancia
t1 = 2h/g
t2 =m/λ
t1+t2
(M+m)g+λ 2gh
(M+m)g
(M+m)g- λ 2gh
t
3) Nella descrizione quantistica dell’atomo di idrogeno, per orbite circolari dell’elettrone sufficientemente
h
n,
grandi, il momento angolare dell’elettrone rispetto al protone assume valori discreti di modulo Ln = 2π
dove h è la costante di Planck ed n un intero abbastanza grande.
Applicando questa condizione a normali considerazioni di meccanica classica, calcolare al variare di
n le corrispondenti energie En e le frequenze di rotazione νn dell’elettrone, nota la sua carica e e la sua
massa m.
Saltando da un livello di energia En a quello adiacente En−1 , l’atomo emette un quanto di luce di
frequenza ν n = (En − En−1 ) /h. In che relazione stanno ν n e νn ?
Soluzione: Usando T = 2πr/v e L = mvr e uguagliando la forza centrifuga alla forza di Coulomb, si
4
1
2
1
me4
ottiene En = 8ǫme
2 n2 h2 e νn = 4ǫ2 n3 h3 con νn ≃ ν n per grandi n, perche’ n2 − (n−1)2 ≈ n3 .
0
0
4) Un oggetto cilindrico di massa M e sezione A si muove con velocità w parallela al suo asse, in un gas
di particelle di polvere di massa m molto minore di M , e numero per unità di volume n. Considerando la
velocità v del moto delle particelle molto minore di w, si determini la forza di attrito sul cilindro causata
dagli urti contro le particelle di polvere.
Come cambia il risultato se gli urti tra la polvere e il cilindro sono perfettamente anelastici (la polvere
si attacca al cilindro) o se sono invece perfettamente elastici?
Si stimi la dipendenza da w della forza di attrito se invece la velocità v delle particelle di polvere è
molto maggiore di w.
Soluzione:
a) caso v ≪ w.
Nel sistema in cui il cilindo è fermo, le particelle di gas lo colpiscono sulla faccia anteriore (di sezione A)
con una velocità v ′ circa uguale a -w. Il numero di urti nel tempo ∆t è pari alla densità volumetrica per
il volume entro il quale sono comprese le particelle che urteranno la parete entro ∆t, ovvero |nAvx′ ∆t| =
nmAw∆t
i) urti anelastici. Ogni urto trasferisce una quantità di moto ∆p = mvx′ = −mw. La quantità di moto
totale trasferita nel tempo ∆t sarà dunque nmAw2 ∆t, e la forza risentita sarà F = −nmAw2 .
ii) urti elastici. Ogni urto trasferisce una quantità di moto ∆p = 2mvx′ = −2mw. La quantità di moto
totale trasferita nel tempo ∆t sarà dunque −2nmAw2 ∆t, e la forza risentita sarà F = −2nmAw2 .
La forza di attrito risulta nei due casi proporzionale al quadrato della velocità dell’oggetto.
b) caso w ≫ v.
Nel sistema del cilindro le particelle colpiscono la faccia anteriore, quella posteriore e la superficie laterale.
L’effetto sulla superficie laterale è nullo per simmetria. Per stimare quello sulla faccia anteriore consideriamo solo le particelle di velocità v che si muovono in direzione perpendicolare alla faccia. Per la faccia
anteriore si ha
vx′ = −(w + v) e Fa = −2nmA(w + v)2
mentre per quella posteriore
vx′ = v − w e Fp = 2nmA(w − v)2 .
La forza totale agente sul cilindro è la somma delle due: F = −8nmAvw, proporzionale alla velocità
dell’oggetto (attrito viscoso).
Un calcolo più preciso comporta, fissato il valore della velocità v ≫ w, un integrale sull’angolo solido
per tener conto dei possibili angoli di incidenza. Il risultato cambia solo di un fattore 21 , ma mantiene la
proporzonalità a Wv. Seguirebbe un integrale sulla distribuzione di v ma, a patto che v sia sempre molto
maggiore di w per i valori rilevanti nella distribuzione, questo non cambia la proporzionalità a w della
forza di attrito risultante.
5) Si consideri uno specchio che riflette il 98% dell’energia luminosa
incidente, ne trasmette l’1% e ne assorbe l’1%. Le due facce dello
specchio sono identiche e si comportano nello stesso modo. Un
raggio di luce viene fatto passare attraverso due di questi specchi
identici e paralleli tra loro, posti alla distanza di un metro l’uno
dall’altro.
Ambedue gli specchi sono perpendicolari alla direzione del raggio di luce. La potenza luminosa del raggio
incidente sul primo specchio è di 1 Watt.
a) Si calcoli la potenza del raggio di luce trasmesso dal secondo specchio.
b) Si calcoli l’energia luminosa totale contenuta nello spazio compreso tra i due specchi.
c) Se, ad un certo istante, il raggio incidente sul primo specchio viene spento, si calcoli dopo quanto
tempo l’energia luminosa di cui al punto b) si sarà ridotta della metà.
Soluzione: Sia α (=0.01) il coefficiente di trasmissione e β (=0.98) il coefficiente di riflessione.
A = αB
B = αW + βC
da cui
C = βB
A=W
α
= 2.5 · 10−3 Watt
1 − β2
Se ∆t = d/c è il tempo che la luce impiega a percorrere lo spazio tra i due specchi allora
E = (B + C) · ∆t = W ∆t
α
= 1.65 · 10−9 Joule.
1−β
Ad ogni riflessione la potenza del fascio si riduce al 98%. Dopo n riflessioni la potenza si è ridotta a
ln(0.5)
. Il tempo di dimezzamento è quindi
0.98n . Quindi n si ricava da 0.98n = 0.5 da cui n = ln(0.98)
t = n∆t =
1m
ln(0.5)
= 113 · 10−9 sec.
ln(0.98) 3 · 108 m/s
6) Due sfere di raggio R e uniformemente cariche con densità di carica opposta hanno una distanza tra i
centri d < 2R. Si mostri che il campo elettrico all’interno della regione di sovrapposizione delle due sfere
è uniforme e proporzionale a d.
Soluzione: Il campo elettrico all’interno di una sfera uniformemente carica si ottiene con la legge di
~ = ρ ~r.
Gauss E
3ǫ0
Per due sfere con densità di carica uguale in valore assoluto ma di segno opposto, nella zona di
~ = E~1 + E~2 = ρ1 ~r1 + ρ2 ~r2 = ρ1 (~r1 − ~r2 ).
sovrapposizione abbiamo E
3ǫ0
3ǫ0
3ǫ0
Ma (~r1 − ~r2 ) è proprio il vettore che rappresenta la distanza tra i centri delle due sfere.