C - Elettrotecnica

CAPITOLO 7
CIRCUITI DINAMICI LINEARI
7.1 Circuito resistivo associato e sistema fondamentale
I Capitoli 6 e 7 sono stati dedicati esclusivamente (ad eccezione del paragrafo sugli induttori
accoppiati) ai circuiti costituiti da resistori e generatori. (Si noti che in quel caso “resistore” va
inteso in senso ampio, comprendendo generatori pilotati lineari, giratori, trasformatori ideali,
amplificatori operazionali). In questo Capitolo, invece, studieremo i circuiti dinamici lineari, cioè
quei circuiti costituiti da elementi statici e dinamici lineari e da generatori indipendenti, con
particolare riferimento a quelli costituiti da condensatori, induttori e resistori lineari tempoinvarianti.
Si consideri un circuito N costituito da n C condensatori e n L induttori lineari e tempo-invarianti,
da n R resistori, in generale, lineari e tempo-varianti, e da n e generatori ideali di tensione e n j
generatori ideali di corrente (figura 1a). Le equazioni, che ne governano la dinamica, sono
Ï Ai = 0,
Ì
Ó Bv = 0,
dv
Ck k - ik = 0
k =1, 2, ..., n C ,
dt
di
L k k - vk = 0
k = n C +1, ..., n C + n L ,
dt
v k - R k (t)i k = 0
k = n C + n L +1, ..., n C + n L + n R ,
k = n C + n L + n R + 1,..., n C + n L + n R + n e ,
Ï v k = e k (t)
Ì i = j (t)
k = n C + n L + n R + n e + 1,..., n C + n L + n R + n e + n j ,
k
Ó k
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
dove i = (i1 ,i 2 ,...,i b )T e v = (v1 , v 2 ,..., v b )T sono i vettori rappresentativi delle correnti e delle
tensioni del circuito, b = (n C + n L + n R + n e + n j ) , A e B sono, rispettivamente, una matrice di
incidenza ridotta e una matrice di maglia fondamentale, C k , L k e R k = R k (t) ( C k e L k sono
costanti nel tempo) sono, rispettivamente, le capacità, le induttanze e le resistenze del circuito,
e k = e k (t) e jk = jk (t) sono, rispettivamente, le tensioni dei generatori di tensione e le correnti
dei generatori di corrente indipendenti.
224
Il sistema di equazioni (1)-(5) è un sistema di equazioni algebriche-differenziali costituito da
[2b - (n C + n L )] equazioni algebriche e (n C + n L ) equazioni differenziali del primo ordine.
Un'equazione differenziale del primo ordine esprime un legame tra la derivata di almeno una
delle funzioni incognite e le incognite stesse. Nel nostro caso l'operazione di derivazione è
applicata alle funzioni incognite che rappresentano le tensioni dei condensatori v1 , ..., v n C e le
correnti negli induttori i n C +1 , ..., i n C +n L . Il sistema di equazioni (1)-(5) è lineare, tempo-variante
e non omogeneo (perché tutte le equazioni che vi compaiono sono lineari, R k è variabile nel
tempo e vi sono tensioni e correnti assegnate tramite i generatori indipendenti).
Figura 1
Circuito dinamico costituito da bipoli lineari e generatori indipendenti (a) e circuito
resistivo associato (b).
Il sistema algebrico-differenziale (1)-(5) di dimensione 2b può essere ridotto alla forma
canonica in cui compaiono soltanto le tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori come
incognite. Il sistema così ridotto consiste di sole equazioni differenziali del primo ordine . È
evidente che il numero di equazioni differenziali è uguale a m = (n C + n L ) . È anche evidente che
conviene ridurre il sistema originario a un sistema in cui le incognite siano le tensioni dei
condensatori v1 , ..., v n C e le correnti negli induttori i n C +1 , ..., i n C +n L .
Che ciò sia possibile è evidente dalle seguenti considerazioni: se supponiamo di assegnare le
tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori in un determinato istante - e cioè m variabili
- il sistema complessivo di equazioni (1)-(5) può essere interpretato come un sistema di 2b
equazioni in altrettante incognite nel quale, però, hanno assunto il ruolo di incognite le derivate
delle tensioni dei condensatori al posto delle tensioni stesse dei condensatori e le derivate delle
correnti degli induttori al posto delle correnti stesse degli induttori. Un tale sistema può essere
risolto fornendo così i valori delle derivate delle tensioni dei condensatori e delle correnti degli
induttori in quel determinato istante, in altri termini è possibile esprimere le derivate delle
tensioni dei condensatori e delle correnti degli induttori in funzione delle tensioni dei
condensatori e delle correnti degli induttori stesse, nonché dei generatori, il che costituisce il
225
sistema in forma canonica cui si faceva riferimento (sistema fondamentaledel circuito
dinamico).
Operativamente la riduzione del sistema (1)-(5) alla forma canonica appena descritta può
essere ottenuta nella maniera seguente.
Attraverso le [2b - (n C + n L )] equazioni algebriche (1), (4) e (5) si esprimano le correnti nei
condensatori i1 , ..., i n C e le tensioni degli induttori v n C +1 , ..., v n C +n L in funzione delle n C
tensioni v1 , ..., v n C dei condensatori e delle n L correnti i n C +1 , ..., i n C +n L negli induttori. Ciò
equivale a risolvere un circuito resistivo ottenuto dal circuito dinamico in esame sostituendo a
ciascun condensatore un generatore di tensione con tensione pari a quella del condensatore e a
ciascun induttore un generatore di corrente con corrente pari a quella dell'induttore (figura 1b) . A
questo circuito ausiliario si dà il nome di circuito resistivo (poiché costituito da soli resistori e
generatori) associato al circuito dinamico. La soluzione del circuito resistivo associato (che
supponiamo esistere ed essere unica), dà quella del circuito dinamico in esame, una volta note le
tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori.
Il sistema di equazioni (algebriche-lineari) che descrive il circuito resistivo associato è
Ï Ai = 0,
Ì
Ó Bv = 0,
(6)
v k = v k (t)
k =1, ..., n C ,
(7)
i k = i k (t)
k = n C +1, ..., n C +n L ,
(8)
vk - R kik = 0
Ï v k = e k (t)
Ì i = j (t)
k
Ó k
k = n C +n L +1, ..., n C +n L +n R ,
k = n C +n L + n R + 1,..., n C +n L + n R + n e ,
k = n C +n L + n R + n e + 1,..., n C +n L + n R + n e + n j .
(9)
(10)
Le equazioni (6)-(10) si ottengono dal sistema (1)-(5) sostituendo all'equazione costitutiva di
ogni condensatore quella di un generatore di tensione ideale con tensione uguale a quella del
condensatore e all'equazione costitutiva di ogni induttore un generatore ideale di corrente con
corrente uguale a quella dell'induttore.
7.2 Equazioni di stato e variabili di stato
La soluzione del circuito resistivo associato dà le espressioni delle correnti nei condensatori e
delle tensioni degli induttori in funzione delle tensioni dei condensatori e delle correnti negli
induttori. Il sistema fondamentale in forma canonica di m equazioni differenziali nelle m
incognite v1 , ..., v n C , i n C +1 , ..., i n C +n L si ottiene sostituendo le espressioni delle correnti nei
condensatori e delle tensioni degli induttori così ottenute, rispettivamente, nelle equazioni (2) e (3)
del sistema di equazioni circuitali.
Per la linearità del circuito resistivo associato, ogni tensione e ogni corrente è esprimibile
attraverso una combinazione algebrica lineare delle tensioni dei generatori di tensione di
“sostituzione” (le tensioni dei condensatori) e dei generatori di tensione “effettivi” e delle
correnti nei generatori di corrente di “sostituzione” (le correnti negli induttori) e dei generatori
226
di corrente “effettivi”. Pertanto, i valori delle correnti in condensatori, resistori e generatori di
tensione e delle tensioni su induttori, resistori e generatori di corrente all'istante generico t
dipendono solo dai valori delle tensioni dei condensatori e dei generatori di tensione e dai valori
delle correnti negli induttori e nei generatori di corrente in quell'istante, attraverso relazioni
algebriche lineari. In particolare per le correnti dei condensatori e per le tensioni degli induttori si
ottiene:
nC
n C +n L
i=1
k =n C +1
- i1 = Â h1i v i +
*
 h1k i k + j1 (t),
........
(11)
nC
n C +n L
i=1
k =n C +1
- i n C = Â h n C i vi +
- v n C +1 = Â
nC
Â
h n C +1i v i +
i=1
h n C k i k + j*n C (t),
nC +nL
Â
h n C +1k i k + e*n C +1 (t),
k =n C +1
........
- vn C + n L = Â
(12)
nC
h n C + n L i vi +
i=1
nC +nL
Â
h n C + n L k i k + e*n C + n L (t),
k =n C +1
dove i coefficienti h ij sono indipendenti dalle tensioni e dalle correnti (essi dipendono solo dai
resistori del circuito) e le funzioni j*h (t) e e*k (t) descrivono l'effetto dei generatori indipendenti
del circuito; i coefficienti h ij dipendono dal tempo se i resistori sono tempo-varianti.
È evidente che i coefficienti h ij sono proprio gli elementi della matrice ibrida H del
(n C + n L ) -porte resistivo lineare (con la convenzione dell'utilizzatore su ogni porta) di figura 1b,
quando i generatori del circuito dinamico sono spenti, e j*h (t) e e*k (t) sono, rispettivamente, la
corrente di corto circuito nella porta “h” e la tensione a vuoto nella porta “k” (sempre con la
convenzione dell'utilizzatore per ogni porta), quando i generatori di “sostituzione” sono spenti e
i generatori indipendenti effettivi sono in funzione. Pertanto le (11) e (12) possono essere riscritte
nella forma matriciale
y = - H(t)x - g(t) ,
(13)
dove x = (v1 ,..., v n C , i n C +1 ,..., i n C + n L )T , y = (i1 ,..., i n C , v n C +1 ,..., v n C + n L )T , H(t) è la matrice ibrida
del
(n C + n L ) - p o r t e
corrispondente
g(t) = ( j1* (t),..., j* n C (t), e* n C +1 (t),..., e* n C + n L (t))T .
al
circuito
resistivo
associato
e
(In generale, un circuito dinamico può essere
considerato come un (n C + n L ) -porte resistivo lineare, a cui sono collegati n C condensatori e
n L induttori (figura 1a)).
Sostituendo le (11) nelle (2) e le (12) nelle (3) si ottiene il sistema fondamentale
227
dv
C1 1 = dt
Â
nC
nC +nL
Â
h1i v i -
h1i i k - j1* (t),
k =n C +1
i=1
........
CnC
dv n C
dt
L n C +1
=-
di n C +1
dt
Â
nC
h n C i vi -
i=1
=-
Â
nC
nC +nL
Â
-
hnCkik
k =n C +1
h n C +1i v i -
i=1
(14)
j*n C (t),
nC +nL
Â
h n C +1k i k - e*n C +1 (t),
k =n C +1
........
LnC +nL
di n C + n L
dt
Â
=-
nC
h n C + n L i vi -
i=1
nC +nL
Â
h n C + n L k i k - e*n C + n L (t).
k =n C +1
Se le correnti e le tensioni del circuito verificano le equazioni circuitali (1)-(5), allora le tensioni
dei condensatori v 1 = v1 (t), ..., v n C = v n C (t) e
le
correnti
negli
induttori
in
C
+1
= in
C
+1 (t),
..., i n
C
+ nL
= in
C
+ n L (t)
verificano il sistema (14). Per converso, se le tensioni nei
condensatori e le correnti negli induttori verificano il sistema (14), allora esiste una e una sola
soluzione del circuito in esame con queste tensioni e queste correnti. Le altre grandezze elettriche
del circuito si ottengono, una volta note le tensioni dei condensatori e le correnti negli induttori,
risolvendo il circuito resistivo associato.
Il sistema (14) prende il nome di sistema di equazioni di statoe le tensioni dei condensatori
v1 , ..., v n C e le correnti negli induttori i n C +1 , ..., i n C +n L sono le variabili di stato del circuito.
L'ordine del sistema di equazioni di stato (l' ordine del circuito) è uguale al numero di equazioni di
stato e quindi al numero di elementi dinamici presenti nel circuiti m = (n c + n L ) .
In qualsiasi istante √t , lo stato in √t e i valori delle tensioni dei generatori indipendenti di tensione
e delle correnti dei generatori indipendenti di corrente in quell'istante, determinano univocamente
i valori delle tensioni di induttori, resistori e generatori indipendenti di corrente e i valori delle
correnti in condensatori, resistori e generatori indipendenti di tensione allo stesso istante, attraverso
le equazioni del circuito resistivo associato. Il risultato ottenuto è molto significativo: le grandezze
“non di stato” sono esprimibili in ogni istante in funzione delle sole grandezze di stato e dei
generatori indipendenti attraverso relazioni puramente algebriche, quindi di tipo istantaneo . Il
risultato giustifica il nome di grandezze di stato dato a queste variabili; la loro conoscenza in un
determinato istante infatti implica la conoscenza di tutte le altre grandezze nello stesso istante e
quindi determina univocamente lo “stato” del circuito.
Il sistema (14) può essere riscritto nella forma matriciale
D x« = - H(t)x - g(t) ,
(15)
dove x = (v1 ,..., v nC ,i nC +1 ,...,i nC + n L )T è il vettore rappresentativo delle grandezze di stato, vettore
di stato, e D = diag(C1 ,...,C n C ,L n C +1 ,...,L n C +n L ) è una matrice diagonale m¥ m .
Il sistema (14) è un sistema di m equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine. I
sistemi di equazioni differenziali, in generale, ammettono infinite soluzioni (questa proprietà è
stata già evidenziata quando abbiamo studiato la dinamica di circuiti semplici costituiti da un solo
228
induttore o da un solo condensatore), a differenza dei sistemi lineari puramente algebrici (come
quelli che descrivono il funzionamento dei circuiti resistivi lineari).
Per individuare tra tutte le soluzioni ammissibili, quella che governa il circuito in esame,
bisogna assegnare ulteriori condizioni, che non sono contenute né nel sistema fondamentale, né
nelle equazioni circuitali. È possibile prevedere l'andamento temporale delle tensioni e delle
correnti di un circuito per t > t 0 , ( t 0 è detto istante iniziale, e può essere tipicamente l'istante
iniziale dell'intervallo di osservazione oppure l'istante in cui il circuito inizia a funzionare), se si
conoscono all'istante t = t 0 le tensioni dei condensatori (condizioni iniziali per le tensioni sui
condensatori):
v1 (t 0 ) = V1 ,
...
v n C (t 0 ) = V n C ,
(16)
e le correnti negli induttori (condizioni iniziali per le correnti negli induttori):
i n C +1 (t 0 ) = I1 ,
...
i n C +n L (t 0 ) = I n L .
(17)
Le condizioni iniziali (16) e (17) non sono contenute nel sistema (1)-(5); esse dipendono solo
dalla storia del circuito precedente all'istante t = t 0 .
La soluzione del sistema di equazioni differenziali (14) con le condizioni iniziali (16) e (17)
prende il nome di Problema di Cauchy. Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie 1 si ha
la seguente proprietà:
Proprietà 1: esistenza e unicità della soluzione
Esiste una e una sola soluzione del sistema di equazioni(14) che verifica le
condizione iniziali(16) e (17).
(Questa proprietà così forte è dovuta alla linearità del sistema di equazioni.) Di conseguenza una
volta assegnato il valore dello stato del circuito all'istante iniziale t = t 0 , lo stato per t > t 0 è
univocamente determinato dalle equazioni di stato.
Esempio
Per rendere più chiaro il discorso è utile far riferimento ad un circuito concreto del tipo
mostrato in figura 2a. Tutte le tensioni e le correnti sono state ordinate secondo la convenzione
che abbiamo precedentemente adottato. Le equazioni che descrivono la dinamica del circuito
sono
1 Vedi, ad esempio, in C.Miranda, Lezioni di Analisi Matematica, Liguori Editore, Napoli 1976.
229
Ï C dv1 = i ,
1
Ô
Ì didt
Ô L 2 = v2 ,
dt
Ó
Ï 0 = i1 + i 2 + i 3 ,
Ô 0=i - i ,
3
4
Ô
Ô 0 = v1 - v 2 ,
Ì
Ô 0 = v 2 - v3 - v 4 ,
Ô 0 = v 3 - R 3i 3 ,
Ô
Ó 0 = v 4 - e(t).
(18)
(19)
Il sistema di equazioni circuitali (18), (19) è costituito da 8 equazioni in 8 incognite: le prime
due equazioni, cioè le (18), sono equazioni differenziali lineari del primo ordine e le restanti, cioè
le (19), sono equazioni algebriche lineari. Le equazioni (18) esprimono, rispettivamente, le
relazioni costitutive del condensatore e dell'induttore, le prime quattro del sistema (19)
costituiscono l'insieme massimale di equazioni di Kirchhoff linearmente indipendenti e le
restanti due equazioni sono le equazioni costitutive dei bipoli statici presenti nel circuito:
resistore e generatore ideale di tensione.
Figura 2
Circuito dinamico in esame (a) e circuito resistivo associato (b).
Per ridurre il sistema algebrico differenziale (18), (19) alla forma canonica basta ricavare dalle
(19) l'espressione della corrente i 1 del condensatore e della tensione v 2 dell'induttore in
funzione delle sole grandezze di stato e del generatore, cioè in funzione di v1, i 2 ed e(t). Allo
scopo è sufficiente considerare la tensione v 1 e la corrente i 2 come assegnate e interpretare le
equazioni (19) come un sistema di 6 equazioni nelle 6 incognite i1 , v 2 ,i 3 , v3 ,i 4 , v 4 , ovvero come
la soluzione del circuito resistivo associato ottenuto sostituendo al condensatore un generatore di
tensione e all'induttore un generatore di corrente (figura 2b). La soluzione del circuito resistivo
associato è:
e(t) - v1 (t)
- i 2 (t),
R
v 2 (t) = v1 (t),
v (t) - e(t)
i 3 (t) = i 4 (t) = 1
,
R
v3 (t) = v1 (t) - e(t).
i1 (t) =
(20)
(21)
230
Sostituendo le espressioni (20) nel sistema di equazioni differenziali (18) si ottiene il sistema
di equazioni di stato
Ï dv1 = - v1 - i 2 + e(t) ,
Ô dt
RC C RC
Ì di
v2
2
= .
Ô
L
Ó dt
(22)
Esempio
Si consideri, ora, il circuito dinamico illustrato in figura 3a. I due resistori sono tempo-varianti.
In figura 3b è illustrato il circuito resistivo associato, ottenuto sostituendo al posto dei due
condensatori, due generatori di tensione ideali con tensione v1 (t) e v 2 (t) (le tensioni dei
condensatori), e al posto dell'induttore un generatore di corrente ideale con corrente i 3 (t) , (la
corrente nell'induttore).
Il circuito resistivo associato ha una ed una sola soluzione. Risolvendolo si ottiene:
i1 = i2 =
v1
v
+ 2 + i 3 (t),
R 4 (t) R 4 (t)
v1
v2
,
R 4 (t) R 4 (t)
v3 = - v1 (t) - R 5 (t)i 3 (t) + e(t),
(23)
v 4 = v1 - v2 ,
v5 = R 5 (t)i 3 (t).
Le relazioni algebriche (23) esprimono le grandezze circuitali in funzione delle tensioni
v1 (t) e v2 (t) dei due condensatori, della corrente i 3 (t) nell'induttore e della tensione e(t) del
generatore di tensione “effettivo”.
Per ridurre le equazioni circuitali al sistema fondamentale possiamo ragionare anche in un altro
modo. La parte statica del circuito dinamico in esame è rappresentata attraverso il 3-porte resistivo
lineare N 3 : alle porte “1” e “2” sono collegati i due condensatori e alle porta “3” è collegato
l'induttore. Il 3-porte N 3 è caratterizzato assegnando le tensioni v1 (t) e v2 (t) sulle porte “1” e
“2” e la corrente i 3 (t) nella porta “3” (caratterizzazione ibrida); su ogni porta è stata fatta la
convenzione del generatore. La relazione che lega le correnti i1 (t) e i 2 (t) nei due condensatori e
la tensione v3 (t) dell'induttore alle tensioni dei due condensatori e alla corrente nell'induttore,
può essere espressa tramite la matrice ibrida H del 3-porte. Si ottiene, così,
i1
v1 0
i 2 = - H(t) v2 + 0 .
v3
i3 e
H = H(t) è la matrice ibrida del 3-porte quando e(t)=0 e vale
(24)
231
H=
G
- ST
S
.
R
(25)
Figura 3 Circuito dinamico in esame (a) e circuito resistivo associato (b).
La (25) è una matrice a blocchi. Il blocco G (2¥ 2) è la matrice delle conduttanze “vista” dai
due condensatori quando al posto dell'induttore c'è un circuito aperto ed e(t)=0,
G=
1 / R 4 (t) - 1 / R 4 (t)
.
- 1 / R 4 (t) 1 / R 4 (t)
(26)
Il blocco R (1¥ 1) è la matrice delle resistenze vista dall'induttore (la resistenza equivalente)
quando al posto dei condensatori ci sono corto circuiti ed e(t)=0,
R = R 5 (t) .
(27)
Infine il blocco S (2¥ 1) descrive il contributo alle correnti nei condensatori dovuto alla corrente
nell'induttore,
S=
- 1
,
0
(28)
e il blocco - S T (1¥ 2) descrive il contributo alla tensione sull'induttore dovuto alle tensioni sui
condensatori. Le (24)-(28) si ottengono direttamente dalle prime tre equazioni dell'insieme (23).
Le equazioni di stato del circuito sono
Ï C dv1 = Ô 1 dt
ÔÔ
dv 2
=
Ì C2
dt
Ô
Ô L di 3 = ÔÓ 3 dt
v1
v
+ 2 + i3 ,
R 4 (t) R 4 (t)
v1
v2
,
R 4 (t) R 4 (t)
v1 (t) - R 5 (t)i 3 (t) + e(t).
Il sistema di equazioni (29) può essere posto nella forma matriciale (15).
Osservazione: rappresentazione geometrica dell'evoluzione di un circuito dinamico
(29)
232
La struttura delle equazioni circuitali (1)-(5) mette chiaramente in luce che i bipoli dinamici e
quelli statici giocano due ruoli diversi nel meccanismo che determina l'evoluzione temporale del
circuito: in particolare le equazioni costitutive dei bipoli statici giocano un ruolo simile a quello
svolto dalle equazioni di Kirchhoff. Infatti, in analogia con la meccanica, la parte algebrica delle
equazioni circuitali può essere considerata come un insieme di vincoli olonomi, in generale
variabili nel tempo, sulle tensioni e le correnti del circuito in esame, mentre le equazioni
differenziali che esprimono le equazioni costitutive degli elementi dinamici ricordano le
equazioni del moto. Per meglio approfondire questo parallelo utilizzeremo una rappresentazione
geometrica.
7.3 Continuità delle variabili di stato di un circuito
Le funzioni h ij (t) , e*h (t) e j*k (t) possono essere generalmente continue, cioè, possono avere
delle discontinuità di prima specie 2, (figura 4). Ad esempio nel circuito illustrato in figura 3a le
forme d'onda delle resistenze R 4 = R 4 (t) e R 5 = R 5 (t) dei resistori tempo-varianti e della
tensione del generatore di tensione e=e(t) possono avere delle discontinuità di prima specie.
Utilizzando, ancora, la teoria delle equazioni differenziali ordinarie si ha:
Proprietà 2: continuità delle variabili di stato
Le soluzioni del sistema di equazioni(21) sono continue e limitate se h ij (t) ,
e*h (t) e j*k (t) , pur essendo generalmente continue, sono funzioni
limitate 3.
Questa proprietà, detta proprietà di continuità delle variabili di stato
, è molto importante e per
questo merita di essere approfondita. Essa può essere dimostrata attraverso un ragionamento che è
allo stesso tempo semplice e “rigoroso”. Per fare questo abbiamo bisogno di alcuni risultati
intermedi.
Prima di tutto si considerino le seguenti proprietà.
Proprietà 3
(a)
Se la forma d'onda della correntei c = i c (t) in un condensatore lineare tempoinvariante si mantiene limitata, allora la forma d'onda della tensione
v c = v c (t) del
+
condensatore è continua: per qualsiasi istante√t si ha v c (√t ) = v c (√t ).
(b)
Dualmente, se la forma d'onda della tensionev L = v L (t) di un induttore tempoinvariante si mantiene limitata, allora la correntei L = i L (t) nell'induttore è una
funzione continua: per qualsiasi istante√t si ha i L (√t - ) = i L (√t + ).
2 Una discontinuità di prima specie di una funzione reale f(t) è un punto t = √t tale che f (√t + ) e f (√t - ) esistono
(finiti) e f(√t + ) π f (√t - ); la differenza f (√t + ) - f (√t - ) è il salto di discontinuità di f a t = √t . f(t) si dice generalmente
continua in un intervallo I se e solo se f(t) è continua in I eccetto che in un numero finito di punti in cui ha
discontinuità di prima specie.
3 Una funzione f=f(t) è limitata se esiste una costante positiva M finita tale che f(t) £ M " t.
233
Si dimostrerà soltanto (a) poiché (b) segue per dualità.
Si consideri la relazione caratteristica del condensatore tempo-invariante,
ic = C
dv c
.
dt
(30)
e si integrino ambo i membri della (30) sull'intervallo (√t - e
,√t + e ) , dove e è una parametro
positivo e piccolo a piacere. Si ha
v c (√t + e ) =
1 √t +e
i c (t )dt + v c (√t - e ) .
Ú
C √t - e
Se la corrente i c = i c (t) è limitata, l'integrale tende a zero per e Æ 0 ,
√-
(31)
e quindi per ogni
√+
√t si ha v c ( t ) = v c ( t ).
Figura 4
Esempi di funzioni generalmente continue.
Se la tensione del condensatore e la corrente nell'induttore sono continue, allora sia l'energia
elettrica immagazzinata nel condensatore
W C (t) = Cv2C (t) / 2 , che l'energia magnetica
immagazzinata nell'induttore W L (t) = Li 2L (t) / 2 sono funzioni continue e la potenza elettrica
assorbita da questi bipoli è limitata.
Osservazione
Le Proprietà 3 non valgono se il condensatore (l'induttore) è tempo-variante e la funzione che
descrive la forma d'onda della capacità (dell'induttanza) è una funzione generalmente continua. In
generale è la carica (il flusso dell'induttore) nel condensatore che è continua se la corrente (la
tensione dell'induttore) è limitata. In corrispondenza di un punto di discontinuità di prima specie
della capacità (del coefficiente di autoinduzione), la tensione del condensatore (la corrente
nell'induttore) è discontinua.
Può mai essere discontinua la tensione del condensatore, pur essendo la capacità costante nel
tempo? Si assuma che la tensione v c = v c (t) abbia all'istante t = √t una discontinuità di prima
specie come mostrato in figura 5a. È sempre possibile riscrivere la funzione v c = v c (t) come
v C (t) = vƒC (t) + Vu(t - √t) ,
(32)
ƒC (t) è una funzione ovunque continua e derivabile (figura 5b) e u=u(t) è la funzione
dove v
gradino unitario (funzione di Heaviside) definita come (figura 6a)
234
Ï 0 t < 0,
Ô
u(t) = Ì non è definita in t = 0,
ÔÓ 1 t > 0.
(33)
Figura 5
Figura 6
Funzione gradino unitario (funzione di Heaviside) (a); un approssimante della
funzione gradino unitario (b); impulso rettangolare (un approssimante dell'impulso di
Dirac) (c).
Il limite sinistro di u(t) in t=0 è uguale a 0, mentre il limite destro è uguale a 1. In effetti la
funzione gradino unitario non è una funzione derivabile nel senso “classico”, e pertanto, a stretto
rigore, non ha significato sostituire la (33) nell'equazione (30). Tuttavia, è possibile pensare al
gradino unitario come limite della successione ottenuta facendo tendere il parametro D a zero
nella funzione SD (t) , così definita (figura 6b)
t £ -D / 2,
Ï 0
Ô (2t + D )
SD (t) = Ì
- D / 2 £ t £ D / 2,
2D
Ô 1
D / 2 £ t.
Ó
(34)
SD (t) è una funzione “approssimante” il gradino unitario per D Æ 0
. Utilizzando la (34) è
possibile costruire un approssimante della (32) del tipo:
v c D (t) = vƒc (t) + XSD (t - √t)
per D Æ
0.
(35)
Sostituendo la (35) nell'equazione (30), si ottiene
VP
D
1
dvƒC
(t - √t) = i c (t) ,
C
dt
(36)
235
dove la funzione P D (t) (impulso rettangolare) è definita come (figura 6c)
P
Ï 1
Ô
(t) = Ì D
Ô 0
Ó
D
D
-
2
D
t <-
D
¸
1
Ô
2
=
˝
D
D
e <t Ô
2
2
˛
<t<
D ˆ
D ˆ ˘
È Ê
Ê
ÍÎ uË t + 2 ¯ - uË t - 2 ¯ ˙˚ .
(37)
La funzione impulso rettangolare P D (t) è uguale alla derivata della funzione SD (t) ,
P
(t) =
D
d
SD (t) .
dt
(38)
Prima di proseguire con la nostra analisi, ricordiamo brevemente la definizione dell'impulso di
Dirac. Si consideri la successione di funzioni P D (t) quando DÆ0.
È evidente che P D (t) gode
delle seguenti proprietà per DÆ0
:
- è nulla per qualsiasi t, eccetto che in t=0;
- non ha valore finito in t=0.
- Inoltre il suo integrale definito nell'intervallo (- D
DÆ
Ú
0 -D
lim
+D
P
D
La forma d'onda limite
, D ) vale uno per ogni valore di D , quindi
(t )dt = 1.
DÆ
lim P
0
D
(39)
(t) è detta impulso unitarioo funzione impulsiva di Dirace
viene indicata con d (t). Più esattamente, una funzione “illimitata” è definito impulso unitario se, e
solo se, essa soddisfa le due seguenti proprietà:
Ï non limitata
Ó 0
d (t) = Ì
Ú -e
e
2
1
d (t )dt = 1
t = 0,
t π 0;
per ogni e
1
(40)
>0 ee
2
> 0.
(41)
L'impulso di Dirac viene indicato con una freccia “in grassetto”, come illustrato in figura 7a,
perché è uguale a zero per t π 0 ed è illimitato nell'origine.
Figura 7
Impulso di Dirac app licato in t=0 (a) e impulso di Dirac applicato in t=T (b).
La relazione
t
Ú d (t )dt = u(t) ,
-•
suggerisce la relazione inversa
(42)
236
d (t) =
du
.
dt
(43)
La relazione (43) può essere considerata come il limite per DÆ0
della (38). Nella teoria dei
circuiti si usa considerare adimensionale la funzione gradino unitario; di conseguenza la funzione
impulsiva unitaria ha le dimensioni di [s -1] nel Sistema Internazionale.
Una proprietà notevole dell'impulso di Dirac è la cosiddetta proprietà di campionamento
, cioè
per ogni funzione continua j = j
•
Ú j (t )d (t - t
-•
)dt = j
(t) vale la proprietà
(t) .
(44)
Dopo questo breve intermezzo ritorniamo all'equazione (36). Quando DÆ0,
il termine a primo
membro dell'equazione (36) diventa non limitato in un intorno dell'istante t = √t : esso tende a un
ƒC (t) è limitata). Allora, affinché la (36) sia verificata
impulso di Dirac traslato di √t (la derivata di v
in ogni istante, deve essere necessariamente o V=0, cioè la tensione ai capi del condensatore deve
essere continua, oppure la corrente nel condensatore deve contenere un impulso di Dirac applicato
di ampiezza opportuna applicato all'istante in cui la tensione è discontinua. (Affinché la tensione
del condensatore abbia una discontinuità di prima specie non basta che la corrente sia illimitata; si
potrebbe avere una corrente non limitata e una tensione continua).
Se la corrente nel condensatore è impulsiva (ad esempio, il condensatore è alimentato tramite
un generatore di corrente impulsivo)
i c (t) = Qd (t - √t) ,
(45)
(la funzione d (t) ha le dimensioni di s-1 e quindi l'ampiezza Q dell'impulso deve essere
dimensionalmente omogenea con una carica elettrica), la tensione del condensatore è data da
v c (t) = v c (√t - ) +
+
Q √t
d (t C Ú √t
-
√t)dt ,
(46)
quindi vale
Q
v c (t) = v c (√t - ) + u(t - √t) ,
C
dove Q rappresenta la carica “fornita” dal
(47)
generatore impulsivo di correnteal condensatore
nell'intervallo infinitesimo centrato in √t . In questo caso l'energia immagazzinata nel condensatore
ha un salto di discontinuità e quindi il condensatore assorbe una potenza, che è anch'essa
impulsiva (i generatori impulsivi possono erogare e gli interruttori possono assorbire potenze
elettriche non limitate).
Per l'induttore vale il duale. Se la tensione sull'induttore è
v L (t) = dF
(t - √t) ,
(48)
237
(in questo caso l'ampiezza dell'impulso deve essere dimensionalmente omogenea con un flusso
magnetico), la corrente nell'induttore è data da
F
i (t) = i (√t - ) +
L
L
√t +
L Ú √t
-
d (t -
√t)dt ,
(49)
e quindi vale
F
i (t) = i (√t - ) + u(t - √t) ,
L
L
dove F
(50)
L
rappresenta il flusso “fornito” dal
generatore impulsivo di tensioneall'induttore
nell'intervallo infinitesimo centrato in √t . In questo caso l'energia immagazzinata nell'induttore ha
un salto di discontinuità e quindi l'induttore assorbe una potenza, che è anch'essa impulsiva.
Possiamo riassumere questi risultati nel modo seguente.
Proprietà 4
(a)
La tensione del condensatore è generalmente continua se la corrente che in esso
circola contiene impulsi di Dirac; in particolare un impulso unitario di corrente
(positivo) dà un incremento di tensione pari 1/C.
a
(b)
Dualmente, la corrente nell'induttore è generalmente continua se la tensione a esso
applicata contiene impulsi di Dirac; in particolare un impulso unitario di tensione
(positivo) dà un incremento di corrente pari 1/L.
a
Per sapere, ora, sotto quali condizioni le grandezze di stato sono continue, bisogna dare risposta
alle seguenti domande:
- Quando in un circuito le correnti nei condensatori e le tensioni sugli induttori sono limitate
?
- E quando, invece, contengono impulsi di Dirac
?
Dalle equazioni (11) e (12) segue immediatamente che, se le funzioni h ij (t) , e*h (t) e j*k (t) e le
grandezze di stato sono limitate, allora le correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori
sono anche esse limitate (le h ij (t) , e*h (t) e j*k (t) possono essere generalmente continue). Ad
esempio, nel circuito illustrato in figura 3a, se la forma d'onda della conduttanza 1 / R 4 (t) e della
resistenza R 5 (t) dei resistori tempo-varianti e della tensione del generatore di tensione e=e(t)
sono limitate, (possono presentare delle discontinuità di prima specie), allora le correnti nei
condensatori e la tensione dell'induttore sono anche esse limitate, purché lo siano le grandezze di
stato. Si è supposto, nel ragionamento che abbiamo sviluppato, che le grandezze di stato siano
limitate, cioè, ad esempio, che non contengano esse stesse impulsi di Dirac. Questa ipotesi non è
affatto limitativa. Affinché le grandezze di stato contengano degli impulsi di Dirac, le correnti nei
condensatori e le tensioni degli induttori dovrebbero contenere derivate dell'impulso di Dirac 4 (le
correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori devono contenere termini più “irregolari”
4 La derivata dell'impulso di Dirac è una funzione (nel senso della teoria delle distribuzioni) che viene indicata
con d
(1)
=d
(1)
(t) . Essa vale zero per
t π 0 , non è limitata in t=0 e
t
Ú -• d
(1)
(t )dt = d (t) .
238
degli stessi impulsi di Dirac) e quindi, a maggior ragione, le funzioni h ij (t) , e*h (t) e j*k (t) devono
essere non limitate.
Si dimostra che le funzioni h ij (t) sono limitate se non ci sono maglie costituite da soli
condensatori, generatori di tensione e interruttori che si chiudono e insiemi di taglio costituiti da
soli induttori, generatori di corrente e interruttori che si aprono. Le funzioni e*h (t) e j*k (t) sono
limitate se le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente sono
limitate (generatori limitati). Nell'esempio riportato in figura 3a, R 4 = R 4 (t) deve essere sempre
maggiore di zero (non deve mai diventare un corto circuito), R 5 = R 5 (t) deve essere limitata
(non deve mai diventare un circuito aperto) e e=e(t) non deve contenere impulsi di Dirac.
Le correnti nei condensatori e le tensioni negli induttori possono contenere impulsi di Dirac se:
(a)
i generatori del circuito dinamico contengono impulsi di Dirac (nel circuito ci sono
generatori impulsivi);
(b)
ci sono interruttori che si chiudono in parallelo ai condensatori e interruttori che si aprono
in serie a induttori e più in generale maglie costituite da soli condensatori, generatori di
tensione e interruttori che si chiudono e insiemi di taglio costituiti da soli induttori,
generatori di corrente ideali e interruttori che si aprono. Ad esempio, nell'istante in cui un
interruttore in serie a un induttore si apre, la corrente nell'induttore è forzata a annullarsi
istantaneamente, e quindi nasce una tensione impulsiva sia sull'induttore che
sull'interruttore; dualmente per il condensatore.
Ricapitolando, le proprietà delle grandezze di statoin un circuito con condensatori e induttori
lineari e tempo-invarianti sono:
Per qualsiasi istante t 0 , lo stato in t 0 e gli andamenti delle tensioni dei generatori di
tensione e delle correnti dei generatori di corrente (supposti noti dall'istante
t 0 in poi)
(i)
determinano univocamente lo stato per ognit > t 0 , attraverso le equazioni di stato
.
(ii)
Lo stato all'istante t, e le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di
corrente, determinano univocamente il valore all'istante t di ogni variabile del circuito
attraverso un legame di tipoalgebrico.
(iii) In un circuito dinamico con induttori e condensatori tempo-invarianti le grandezze di stato
sono funzioni continue se: (a) i generatori sono limitati; (b) non ci sono maglie costituite
da soli condensatori, generatori di tensione e interruttori che si chiudono e insiemi di taglio
costituiti da soli induttori, generatori di corrente e interruttori che si aprono.
Osservazioni
Non è necessario scegliere come variabili di stato le correnti negli induttori e le tensioni dei
condensatori; si potrebbero anche scegliere i flussi degli induttori e le cariche dei condensatori. In
effetti, per il caso di induttori e condensatori non lineari e/o tempo-varianti, procedere in questo
modo presenta il vantaggio che continua a essere valida la proprietà di continuità
239
(precedentemente è stato messo in evidenza che sono, rispettivamente, le cariche e i flussi che sono
sempre continui, se le correnti nei condensatori e le tensioni degli induttori sono limitate).
Anche altre grandezze circuitali potrebbero essere utilizzate per ridurre le equazioni circuitali,
ad esempio, le correnti nei condensatori, le tensioni degli induttori e le tensioni dei resistori. Per
esse sarebbero ancora verificate le proprietà (i) e (ii) appena enunciate. Invece la proprietà di
continuità non sarebbe verificata, in generale. Infatti se le forme d'onda dei generatori e delle
resistenze dei resistori tempo-varianti sono generalmente continue, le correnti nei condensatori, le
tensioni degli induttori e le tensioni dei resistori possono essere discontinue. Questa è la ragione
fondamentale della scelta fatta per le variabili di stato. Come poi vedremo, la proprietà di
continuità dello stato è molto utile nello studio dei circuiti dinamici tempo-varianti.
Tutti i risultati che abbiamo ottenuto valgono anche quando il circuito contiene anche altri
elementi lineari (come, ad esempio, amplificatori operazionali, giratori, trasformatori ideali,
generatori controllati, induttori accoppiati).
7.4 Circuiti del primo ordine
I circuiti costituiti da un solo condensatore (o da un solo induttore) e da elementi statici
(resistori, trasformatori ideali, amplificatori operazionali, generatori controllati, generatori
indipendenti, etc) sono circuiti del primo ordine. Per determinare l'equazione di stato di un
circuito siffatto, può essere conveniente rappresentarlo come illustrato in figura 8, dove con il
bipolo NS è rappresentata la parte del circuito costituita da soli elementi statici lineari e generatori
indipendenti.
7.4.1 Circuito RC del primo ordine: equazione di stato
Applicando il teorema di Norton al bipolo statico lineare N S e usando l'equazione caratteristica
del condensatore, si ottiene :
dv
= i,
dt
i = - G eq v + j* (t) ,
C
(51)
(52)
dove G eq è la conduttanza equivalente del bipolo statico quando i generatori al suo interno sono
stati spenti e j* = j* (t) è la corrente di corto circuito (si sta assumendo che il bipolo N S è
controllabile in tensione). La corrente di corto circuito dipende dalle forme d'onda dei generatori
indipendenti presenti all'interno del circuito: per la linearità
j* = j* (t) è una combinazione lineare
delle tensioni dei generatori di tensione e delle correnti dei generatori di corrente indipendenti. Le
equazioni (51) e (52) sono le equazioni del circuito equivalente RC illustrato in figura 9a.
240
Figura 8
Circuito RC del primo ordine lineare (a) e circuito RL del primo ordine lineare (b).
Figura 9
Circuito equivalente del circuito di figura 8a (a) e del circuito di figura 8b (b).
L'equazione caratteristica del condensatore (51), impone tra la tensione v e la corrente i una
relazione di tipo dinamico, invece l'equazione caratteristica del bipolo N S (52) impone una
relazione di tipo algebrico, (sul bipolo N S è stata fatta la convenzione del generatore). Dunque il
bipolo statico impone attraverso la (52) che la corrente nel condensatore all'istante generico √t
dipenda solo dai valori che la tensione v e la corrente di corto circuito j* assumono in
quell'istante. Combinando le equazioni (51) e (52), si ottiene
dv G eq (t)
j* (t)
+
v=
.
dt
C
C
(53)
La (53) è l'equazione di stato per il generico circuito RC del primo ordine. Assegnata un'arbitraria
condizione iniziale
v(t = t 0 ) = V ,
(54)
esiste una ed una sola soluzione che verifica l'equazione (53) e la condizione iniziale (54). Una
volta determinata la tensione v, è possibile determinare le altre variabili del circuito risolvendo il
circuito resistivo associato ottenuto sostituendo il condensatore con un generatore di tensione
ideale con tensione v=v(t).
Per il circuito RC la corrente di corto circuito j* (t) è limitata se le tensioni dei generatori di
tensione e le correnti dei generatori di corrente sono limitate e se non ci sono generatori di
tensione in parallelo al condensatore. La conduttanza equivalente G eq (t) si mantiene limitata se
in parallelo al condensatore non c'è né un interruttore che si chiude, né un generatore di tensione.
In queste condizioni la tensione del condensatore è una funzione continua del tempo, pur potendo
essere la conduttanza equivalente G eq (t) e la corrente di corto circuito
generalmente continue (ma limitate).
j* (t) funzioni
241
Anche se abbiamo già discusso abbondantemente la proprietà della continuità delle grandezze
di stato, è utile rivederla quando i circuiti sono particolarmente semplici, per capirne meglio il
significato. A tale scopo ne viene proposta un'altra dimostrazione, che si basa su un ragionamento
per assurdo.
Si assuma che la tensione del condensatore sia limitata, ma possa essere discontinua all'istante √t .
È possibile, allora, rappresentarla come
v(t) = vƒ(t) + Vu(t - √t) ,
(55)
ƒ(t) è una funzione limitata e derivabile e V è il salto di discontinuità. Sostituendo la (55)
dove v
nella (53), si ottiene
dvƒ G eq (t)
j* (t)
Vd (t - √t) = [ vƒ + Vu(t - √t)] +
.
dt
C
C
(56)
Se G eq (t) e j* (t) sono limitate nell'intorno dell'istante √t , l'equazione (56) può essere verificata se
e solo se il salto di discontinuità V è uguale a zero. In questo caso la corrente nel condensatore si
mantiene limitata.
Esempio
Si consideri il circuito del primo ordine rappresentato in figura 10a e si scriva l'equazione di
stato per la tensione del condensatore v, utilizzando il teorema di Norton. In figura 10b è
rappresentato il circuito equivalente di Norton. Bisogna determinare la corrente di corto circuito
j* = j* (t) (figura 11b), e la conduttanza equivalente (figura 11c), G eq del bipolo statico NS.
La corrente di corto circuito e la conduttanza equivalente valgono
G eq =
3 *
E
, j (t) = + j(t).
16
8
(57)
L'equazione di stato è
dv 3 ◊10 6
E
+
v = 10 6 ◊ÈÍ + I sin(w t)˘˙ .
dt
16
Î 8
˚
(58)
Essa deve essere risolta con la condizione iniziale v(0)=V 0 . Una volta che è stata determinata la
tensione v=v(t) per t>0, per determinare tutte le altre grandezze del circuito bisogna risolvere il
circuito resistivo associato illustrato in figura 11a.
242
Figura 10 Circuito dinamico in esame (a) e circuito equivalente di Norton (b).
Figura 11
Circuito resistivo associato del circuito dinamico illustrato in figura 10a (a) e
caratterizzazione i-v del bipolo NS tramite il teorema di Norton (b) e (c).
Esempio
Si consideri il circuito del primo ordine rappresentato in figura 12a e si scriva l'equazione di
stato per la tensione del condensatore v utilizzando il teorema di Norton. L'interruttore si apre
all'istante t=0. Il grafico dell'andamento temporale della corrente di corto circuito
j* = j* (t) è
rappresentato in figura 12b, e il grafico dell'andamento temporale della conduttanza equivalente
G eq è rappresentato in figura 12c.
Figura 12 Circuito dinamico tempo-variante (l'interruttore si apre all'istante t=0).
7.4.2 Circuito RL del primo ordine: equazioni di stato
243
Applicando il teorema di Thévenin al bipolo statico lineare N S (figura 8b) e usando l'equazione
caratteristica dell'induttore, si ottiene:
di
= v,
dt
v = - R eq i + e* (t) ,
L
(59)
(60)
dove R eq è la resistenza equivalente del bipolo statico quando i generatori al suo interno sono
stati spenti e e* = e* (t) è la tensione a vuoto (si sta assumendo che sia possibile caratterizzare il
bipolo NS su base corrente). Le (59) e (60) sono le equazioni del circuito equivalente RL illustrato
in figura 9b.
L'equazione caratteristica dell'induttore (59) impone tra la tensione v(t) e la corrente i(t) una
relazione di tipo dinamico, invece l'equazione caratteristica del bipolo statico N S (60) impone una
relazione di tipo statico. Dunque il bipolo statico impone attraverso la (60) che la tensione
dell'induttore all'istante generico √t dipenda solo dai valori che la corrente i e la tensione a vuoto
e* assumono in quell'istante. Combinando le equazioni (59) e (60), si ottiene
di R eq (t)
e* (t)
.
+
i=
dt
L
L
(61)
La (61) è l'equazione di stato per il circuito RL. Assegnata un'arbitraria condizione iniziale
i(t = t 0 ) = I ,
(62)
si deve determinare la soluzione dell'equazione (61) che verifica la condizione (62). Essa esiste ed
è unica. Una volta determinata tale soluzione, è possibile determinare le altre variabili del circuito
risolvendo il circuito resistivo associato, ottenuto sostituendo all'induttore un generatore di
corrente con corrente i=i(t).
Nel circuito RL la resistenza equivalente R eq (t) si mantiene limitata se non c'è in serie
all'induttore un interruttore che si apre in un istante assegnato. La tensione a vuoto
e* (t) è limitata
se le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente sono limitate. In
queste condizioni la corrente nell'induttore è una funzione continua del tempo, anche quando la
resistenza equivalente e la tensione a vuoto sono generalmente continue (il lettore provi ad
applicare il ragionamento sviluppato per il circuito RC per dimostrare la continuità della corrente
nell'induttore). Si osservi, anche, che in questi casi la tensione dell'induttore si mantiene limitata .
7.4.3 Circuiti del primo ordine tempo-invarianti
In questo paragrafo vengono discussi e risolti i due circuiti equivalenti rappresentati in figura 9,
quando la conduttanza e la resistenza equivalenti sono costanti nel tempo. Le equazioni di stato
(53) e (61) sono del tipo
dx
+ a x = b(t) .
dt
(63)
244
La (63) è una equazione differenziale ordinaria, del primo ordine, lineare, a coefficienti costanti
e non omogenea. Essa ha infinite soluzioni. Per determinare quella che si realizza nel circuito in
esame, bisogna imporre la condizione iniziale
x(t0 ) = X 0 .
(64)
La soluzione generale dell'equazione (63) (la soluzione generale, per definizione, contiene tutte
le possibili soluzioni dell'equazione) è uguale alla somma della soluzione generale x o = x o (t)
dell'equazione omogenea associata, (cioè l'equazione che si ottiene ponendo b(t)=0 nella (63)),
dx o
+ a xo = 0 ,
dt
(65)
e di una soluzione particolare x p (t) dell'equazione completa (63),
x(t) = x o (t) + x p (t) .
(66)
La soluzione generale dell'equazione (65) è
x o (t) = A exp [ l (t - t 0 )] ,
(67)
dove A è una costante arbitraria e l è la soluzione dell'equazione caratteristica
l+a =
0
(68)
associata all'equazione differenziale omogenea (65). L'equazione algebrica (65) è ottenuta
costruendo il polinomio caratteristico
p(l ) = l + a
,
(69)
associato alla (65) e poi imponendo che sia uguale a zero. In questo caso il polinomio p( l ) è
costituito dalla somma di due monomi in l : al termine della (65) in cui compare la derivata prima
corrisponde il monomio in l di grado uno, con lo stesso coefficiente della derivata prima, cioè 1, e
al termine senza derivate corrisponde il monomio di grado zero, con lo stesso coefficiente che
moltiplica la funzione incognita, cioè a . Un circuito del primo ordine è descritto da una
equazione di stato del primo ordine e quindi il polinomio caratteristico corrispondente è di primo
grado. Le radici del polinomio caratteristico prendono il nome di frequenze naturalidel circuito:
un circuito del primo ordine ha una sola frequenza naturale.
Allora l'integrale generale dell'equazione (63) è
x(t) = A exp[ - (t - t 0 ) / t ] + x p (t) ,
dove la costante di tempo t=1/l
e vale
t = C / G eq = R eq C
per il circuito RC e
(70)
(71)
245
t = L / R eq = G eq L
(72)
per il circuito RL.
La costante di integrazione A deve essere determinata imponendo la condizione iniziale (64).
Così facendo si ottiene
A = X 0 - x p (t 0 ),
(73)
quindi la soluzione è
x(t) = [X 0 - x p (t 0 )]exp[ - (t - t 0 ) / t ] + x p (t).
(74)
La funzione che descrive la soluzione particolare dipende dalla forma della funzione b=b(t) e
quindi dalla forma d'onda dei generatori indipendenti.
7.4.4 Evoluzione libera ed evoluzione forzata
Nella (74) c'è un termine dipendente unicamente dalla condizione iniziale (indipendente
dall'integrale particolare e quindi dai generatori) e due termini dipendenti solo dall'integrale
particolare e quindi dai generatori (indipendenti dalla condizione iniziale).
Il termine dipendente unicamente dalla condizione iniziale prende il nome di termine di
evoluzione libera del circuito e il termine dipendente unicamente dai generatori prende il nome
di termine di evoluzione forzatadel circuito.
x(t) = X 0 exp[ - (t - t 0 ) / t
]
+ {- x p (t 0 ) exp[ - (t - t 0 ) / t ] + x p (t)}
termine di
evoluzione libera
termine di
evoluzione forzata
Per la linearità del circuito è sempre possibile decomporre qualsiasi soluzione in un termine di
evoluzione libera e in uno di evoluzione forzata.
Il termine di evoluzione libera è la soluzione che si avrebbe se tutti i generatori fossero spenti;
esso rappresenta il contributo dovuto al valore iniziale dello stato. Si dice che un circuito è in
evoluzione liberase i generatori indipendenti che contiene sono tutti spenti (o se ne è privo). Nel
circuito RC (nel circuito RL) con tensione iniziale V (con corrente iniziale I), un'energia uguale a
CV 2 / 2 (uguale a LI 2 / 2 ) è immagazzinata nel condensatore (nell'induttore). È questa l'energia
che viene messa in gioco nell'evoluzione libera.
Il termine di evoluzione forzata è la soluzione che si avrebbe se il valore dello stato iniziale del
circuito fosse uguale a zero (V=0 nel circuito RC e I=0 nel circuito RL). Si dice che un circuito è
in evoluzione forzatase le grandezze di stato del circuito all'istante iniziale sono tutte nulle. È
evidente che in questo caso c'è bisogno di generatori indipendenti per sollecitare il circuito.
7.4.5 Circuito dissipativo; termine transitorio e regime permanente
246
Siccome le frequenze naturali di un circuito non dipendono dai generatori indipendenti, ma
solo dagli elementi lineari presenti in esso, tutte le loro proprietà possono essere messe in evidenza
considerando il circuito in evoluzione libera.
La frequenza naturale di un circuito del primo ordine è una grandezza reale e può essere, come
vedremo, positiva, uguale a zero o negativa.
Quando la frequenza naturale è negativa, la costante di tempo è positiva, e lo stato del circuito in
evoluzione libera tende a zero con legge esponenziale per tÆ + • . Se la frequenza naturale è zero,
l'evoluzione libera è una costante uguale al valore iniziale della grandezza di stato. L'evoluzione
libera diverge esponenzialmente se la frequenza naturale è maggiore di zero (costante di tempo
negativa).
Da queste considerazioni risulta evidente che il segno della frequenza naturale caratterizza
fortemente la dinamica di un circuito. Sarebbe interessante poterne prevedere il segno senza dover
risolvere il circuito. Analizziamo un attimo questa questione.
Consideriamo un circuito RC del primo ordine (considerazioni analoghe possono essere svolte
per il circuito RL). Siccome la capacità del condensatore è positiva (stiamo evidentemente
considerando un condensatore passivo), la frequenza naturale è minore di zero quando la
conduttanza equivalente è positiva, G eq > 0 , ed è maggiore di zero quando G eq < 0 ; la frequenza
naturale è nulla quando G eq = 0 . Allora, quando G eq > 0 la tensione del condensatore decresce
nel tempo, quando G eq = 0 la tensione resta costante, invece quando G eq < 0 la tensione del
condensatore cresce nel tempo. Queste proprietà possono essere dedotte anche a partire dal
bilancio energetico per il circuito in evoluzione libera
t
1
1 2
Cv (t) = - G eq Ú v 2 (t )dt + Cv 2 (t 0 ) ,
2
2
t
(75)
0
che, nel caso del circuito RL diventa
t
1
1 2
Li (t) = - R eq Ú i 2 (t )dt + Li 2 (t 0 ) .
2
2
t
(76)
0
In entrambe le equazioni il termine integrale rappresenta la potenza assorbita dalla parte statica
del circuito. Quando il circuito RC è costituito da soli elementi strettamente passivi, la potenza
assorbita dalla parte statica del circuito è
strettamente maggiore di zero e quindi anche la
conduttanza equivalente “vista” dal condensatore (nei circuiti RL la resistenza equivalente vista
dall'induttore) è strettamente maggiore di zero. In un circuito siffatto l'energia immagazzinata
inizialmente nel condensatore (nell'induttore) viene completamente dissipata dagli elementi statici
durante l'evoluzione libera.
La potenza assorbita dalla parte statica e quindi la conduttanza equivalente vista dal
condensatore nel circuito RC (dall'induttore nel circuito RL) può essere nulla quando gli elementi
statici non sono tutti strettamente passivi. Ciò accade, ad esempio, quando il condensatore è
collegato in serie a un circuito aperto (l'induttore è collegato in parallelo a un corto circuito). Il
circuito aperto e il corto circuito sono elementi passivi ma non strettamente passivi. In questo caso
247
l'energia immagazzinata negli elementi dinamici si conserva. Il circuito aperto in serie al
condensatore e il corto circuito in parallelo all'induttore possono essere, rispettivamente, un
generatore di corrente indipendente spento e un generatore di tensione indipendente spento
(ricordiamoci che stiamo analizzando l'evoluzione libera del circuito, quindi i generatori
indipendenti sono tutti spenti).
Infine, la potenza assorbita dalla parte statica e quindi la conduttanza equivalente (la resistenza
equivalente nel circuito RL) può essere minore di zero se il circuito in evoluzione libera contiene
elementi attivi (come, ad esempio, amplificatori operazionali, generatori controllati, resistori con
resistenza negativa). Quando ciò accade l'energia immagazzinata nel condensatore (nell'induttore)
cresce indefinitamente nel tempo.
Dunque l'evoluzione libera di un circuito del primo ordine passivo o tende a zero o al più si
mantiene costante per t Æ+•,
e quindi tutte le grandezze circuitali si mantengono limitate nel
tempo.
A questo punto possiamo introdurre il concetto di circuito dissipativo. Un circuito si dice
dissipativo se nell'evoluzione libera l'energia immagazzinata nell'elemento dinamico tende
asintoticamente a zero per t Æ • . È evidente che un circuito del primo ordine è dissipativo se e solo
se la frequenza naturale è strettamente minore di zero (cioè la costante di tempo è strettamente
maggiore di zero). In un circuito dissipativo in evoluzione libera l'energia immagazzinata
all'istante iniziale viene completamente assorbita dai resistori, e quindi dissipata in energia termica.
Si osservi che un circuito di soli elementi passivi potrebbe non essere dissipativo. Ciò è quanto si
verifica quando in serie al condensatore c'è un circuito aperto e in parallelo all'induttore un corto
circuito (il generatore indipendente di corrente si comporta da circuito aperto e il generatore
indipendente di tensione si comporta da corto circuito quando vengono spenti). In questi casi la
tensione del condensatore e la corrente nell'induttore si mantengono costanti nell'evoluzione
libera. Circuiti di questo tipo vengono detti conservativi.
Si consideri ora un circuito in evoluzione generica, si supponga che esso sia dissipativo e si
faccia tendere l'istante iniziale t 0 a -• (è come se il circuito iniziasse a funzionare all'istante
“remoto” t= -•) . La grandezza di stato in un generico istante vale
lim x(t) = lim {[X 0 - x p (t 0 )]exp[ - (t - t 0 ) / t ]} + x p (t) = x p (t).
t0 Æ-•
t0 Æ-•
(77)
La dinamica dello stato per t finito non dipende dalla particolare condizione iniziale (si è persa
ogni traccia di essa), ma dipende unicamente dalla soluzione particolare e quindi dalla forma
d'onda delle tensioni imposte dai generatori di tensione e delle correnti imposte dai generatori di
corrente. In questi casi si dice che il funzionamento del circuito è in regime permanentee alla
soluzione particolare si dà il nome di soluzione di regime permanenteo semplicemente regime.
Si consideri ora il caso in cui l'istante iniziale t 0 sia al finito. Il termine esponenziale tende
asintoticamente a zero per t Æ + •
, indipendentemente dal valore che lo stato e l'integrale
.
particolare assumono all'istante iniziale t 0 . A questo termine si dà il nome di termine transitorio
248
l = -t <
0
terminetransitorio:
x tran ∫ [X 0 - x p (t 0 )]exp[ - (t - t 0 ) / t
terminedi regime:
x reg (t) ∫
]
lim x(t) = x p (t)
t0 Æ-•
Il termine transitorio può essere tracciato graficamente (figura 13) sfruttando le seguenti
osservazioni:
-
la tangente in t= t 0 alla curva, che rappresenta x tran (t) , passa per i punti [t 0 , X 0 - x p (t 0 )] e
[t 0 + t ,0];
-
dopo un intervallo di tempo pari alla costante di tempo t , l'ampiezza (in valore assoluto) del
termine transitorio è circa il 37% del valore iniziale X
-
0
- x p (t 0 ) ;
dopo un intervallo pari a cinque costanti di tempo, x tran (t) è praticamente uguale a zero
( e-
5
@ 0,007 ). In pratica si può assumere che il funzionamento di regime si instaura dopo
un intervallo di tempo pari all'incirca a cinque costanti di tempo.
1,2
1,0
x tran (t)
0,8
0,6
0,4
0,2
t
0,0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
Figura 13 (L'istante iniziale è t 0 =0 e t =0.5)
Quando la frequenza naturale del circuito è uguale a zero, il “termine transitorio” non si
estingue ma si mantiene costante nel tempo. In questo caso il comportamento asintotico del
o per t Æ +•
a partire da un istante iniziale finito) dipende
circuito (a ogni t finito per t 0 Æ - •
anche dalla condizione iniziale e quindi non c'è più un funzionamento di regime. Un circuito di
questo tipo è detto conservativo. Quando la frequenza naturale del circuito è maggiore di zero, il
“termine transitorio” addirittura diverge con legge esponenziale per
t Æ +•
ed è, quindi, quello
predominante (come poi vedremo in quasi tutti i casi la soluzione particolare è limitata se le
correnti imposte dai generatori di corrente indipendenti e le tensioni imposte dai generatori di
tensione indipendenti sono limitate).
In conclusione il funzionamento di regime può essere realizzato se e solo se il circuito è
dissipativo (non basta la sola passività; in realtà, la condizione di passività oltre a essere non
sufficiente, non è nemmeno necessaria).
Proprietà 5
249
dissipativo tende
L'evoluzione di un circuito RC (o RL) del primo ordine
asintoticamente alla soluzione di regime indipendentemente dal valore iniziale della
grandezza di stato.
7.4.6 Regime stazionario e regime sinusoidale
Il termine di regime dipende, oltre che dai parametri caratteristici del circuito, anche dalla
forma d'onda dei generatori. Per ora verranno discussi due casi di notevole interesse: circuiti con
generatori costanti (o stazionari) e circuiti con generatori sinusoidali.
- Regime stazionario
Si consideri un circuito RL o RC del primo ordine con soli generatori stazionari (cioè
costanti nel tempo)
e k (t) = E k ,
jk (t) = J k .
(78)
In questo caso anche la tensione a vuoto e* (t) e la corrente di corto circuito j* (t) sono funzioni
costanti,
e* (t) = E* ,
j* (t) = J* ,
(79)
e quindi anche il termine noto dell'equazione (63) è una funzione costante, b(t)=B. Allora un
integrale particolare dell'equazione (63) è la funzione costante
x p (t) = X .
(80)
Imponendo che la (80) verifichi la (63), si ottiene
x p (t) = X = B / a .
(81)
Proprietà 6: regime stazionario
Quando i generatori sono stazionari, il regime di funzionamento che si instaura nel
circuito è anche esso stazionario, se il circuito è dissipativo.
In figura 13 viene riportato l'andamento dello stato per due condizioni iniziali diverse
quando i generatori sono costanti. Per t>15 la soluzione in entrambi i casi ha raggiunto,
praticamente, il regime stazionario.
250
6,0
5,0
x(t)
4,0
3,0
2,0
1,0
t
0,0
0
5
10
15
20
Figura 13 Per t>15 entrambe le soluzioni, relative a due condizioni iniziali diverse, raggiungono
il valore di regime.
Osservazione
La soluzione di un circuito RC (o RL) in regime stazionario può essere ottenuta anche per
ispezione diretta. Quando il circuito funziona in regime stazionario, la tensione dell'induttore e la
corrente nel condensatore sono costanti, quindi il condensatore si comporta come se fosse un
circuito aperto e l'induttore come se fosse un corto circuito. Pertanto per calcolare la soluzione
stazionaria di un circuito dinamico, si può risolvere il circuito resistivo ottenuto considerando al
posto del condensatore un circuito aperto e al posto dell'induttore un corto circuito.
- Regime sinusoidale
Si consideri un circuito RL o RC del primo ordine con soli generatori sinusoidali
isofrequenziali (le frequenze, e quindi le pulsazioni, dei generatori sinusoidali sono uguali):
e k (t) = E k cos(w t + j
jk (t) = J k cos(w t + f
k ),
k ).
(82)
Una funzione sinusoidale è definita attraverso tre parametri: la frequenzao pulsazione,
l'ampiezza massimae la fase. La pulsazione w è legata alla frequenza f attraverso la relazione
w = 2p f .
(83)
Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della frequenza è l' hertz (Hz): 1Hz=1s -1 ; la
pulsazione si misura in rad/s: 1rad/s=(2 p )Hz. La funzione sinusoidale è una funzione periodica
con periodo T ( e k (t) = e k (t + T), jk (t) = jk (t + T) per ogni t), dato da
T=
1 2p
=
.
f
w
(84)
E k e J k sono le ampiezze massime delle funzioni sinusoidali (82) e sono grandezze definite
positive; j k e f h sono le cosiddette fasi (i valori che assumono gli argomenti delle funzioni
coseno all'istante t=0). I valori degli argomenti delle funzioni sen(◊) e cos(◊) sono numeri “puri”;
251
E k e J k , invece, sono omogenei dimensionalmente con una tensione e una corrente,
rispettivamente.
Nel caso in esame, anche la tensione a vuoto e* (t) e la corrente di corto circuito j* (t) sono
funzioni sinusoidali con pulsazione w (esse sono combinazioni lineari delle tensioni dei generatori
di tensione e delle correnti dei generatori di corrente indipendenti),
e* (t) = E* cos(w t + j
*
),
(85)
j* (t) = J * cos(w t + f * ),
e quindi il termine noto b(t) dell'equazione (63) è anche esso una funzione sinusoidale,
b(t) = Bcos(w t + g ) .
(86)
In questo caso un integrale particolare della (63) è una funzione sinusoidale con la stessa
pulsazione del termine noto,
x p (t) = X cos(w t + y ) .
L'ampiezza X e la fase iniziale y
(87)
devono essere determinate imponendo che la (87) verifichi la
(63). Sostituendo la (87) nella (63) si ottiene l'equazione trigonometrica:
-w
X sin(w t + y ) + a X cos(w t + y ) = Bcos(w t + g ) .
(88)
Per determinare X e a basta imporre che l'equazione trigonometrica sia verificata in due istanti di
tempo che non differiscano di un multiplo intero del periodo T. Conviene imporre la (88) per
w t + y = 0,
(89)
e per
w t+y =p
/ 2.
(90)
Così facendo si ottiene il sistema di equazioni
a X = Bcos(y - g
-w
),
X = Bcos(g - y + p
(91)
/ 2) = Bsin(g - y
).
(92)
Dalle (91) e (92) si ha immediatamente (a =1/ t )
X=
a=g-
w
B
,
+1/ t 2
arctg(wt ).
2
(93)
Proprietà 7: regime sinusoidale
Quando i generatori sono sinusoidali e isofrequenziali, il regime di funzionamento
che si instaura nel circuito è anche esso sinusoidale con la stessa pulsazione dei
generatori, se il circuito è dissipativo.
252
In figura 14 viene riportato l'andamento dello stato per due condizioni iniziali diverse quando i
generatori sono sinusoidali e isofrequenziali. Per t>5 entrambe le soluzioni raggiungono,
praticamente, il regime sinusoidale che si instaura nel circuito.
1,0
0,5
x(t)
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
t
-2,0
0
Figura 14
5
10
15
20
Per t>10 entrambe le soluzioni, relative a due condizioni iniziali diverse, hanno
praticamente raggiunto il funzionamento di regime.
Osservazione
Se nel circuito vi fossero generatori costanti e generatori sinusoidali con diverse pulsazioni,
l'integrale particolare potrebbe essere determinato utilizzando la sovrapposizione degli effetti
(l'equazione differenziale (63) è lineare): la soluzione particolare è la somma delle soluzioni
particolari che si avrebbero se ciascun generatore agisse da solo, essendo tutti gli altri “ spenti”.
Esempio
Si consideri il circuito rappresentato in figura 10. Si determini la tensione sul condensatore
quando v(0)= - 1V, E=3V, I=0.1A e w =10 5 rad/s. Il circuito è descritto dall'equazione di stato
[
]
dv 3 ◊10 6
+
v = 10 6 ◊ 3 / 8 + 0.1sin(10 5 t) .
dt
16
(94)
L'integrale generale dell'equazione (94) è:
v(t) = A exp( - t / t ) + v p (t) ,
dove t @ 5 .33m
(95)
s (1m s=10 -6 s) e vp (t) è un integrale particolare; la costante A deve essere
determinata imponendo la condizione iniziale v(0)= - 1.
L'integrale particolare della (94) può essere ottenuto applicando la sovrapposizione degli effetti.
Così facendo si ottiene
v p (t) @ 2.0 + 0.9 cos(10 5 t - 2.1).
(96)
Il primo termine è l'integrale particolare quando agisce solo il generatore di tensione stazionario e
il secondo termine è l'integrale particolare quando agisce solo il generatore di corrente
sinusoidale.
253
Sostituendo la (96) nella (95) e imponendo la condizione iniziale, si ottiene A=- 2.5 e quindi la
soluzione del problema è
v(t) @ -
2.5exp( - t / t ) + [2.0 + 0.9cos(10 5 t - 2.1)] .
(97)
In questo caso si ha un regime periodico, costituito dalla sovrapposizione di un termine costante e
di uno sinusoidale con periodo T@ 62.8m s (figura 15).
3,0
2,5
v(t) [V]
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
t [m s]
-1,0
0
5
10
15
20
Figura 15
Esempio
Si consideri il circuito descritto in figura 12. Esso, pur essendo tempo variante, può essere
analizzato usando le tecniche appena descritte. Ciò è possibile perché nell'intervallo ( -•,0) (prima
dell'apertura dell'interruttore) e nell'intervallo ( 0,+•) (dopo l'apertura dell'interruttore), il circuito
è tempo-invariante. La conduttanza equivalente del bipolo statico vale
Ï
Ô
G eq (t) = Ì
Ô
Ó
3
t < 0,
8R
1
t > 0,
3R
(98)
e la corrente di corto circuito è data da
Ï E t < 0,
ÔÔ 4R
j* (t) = Ì
Ô E t > 0.
ÔÓ 3R
(99)
L'equazione di stato è per t Œ (- • ,• )
dv G eq (t)
j* (t)
.
+
v=dt
C
C
(100)
254
Per t<0 il circuito è tempo-invariante ed è alimentato con un generatore stazionario e l'equazione
di stato è
3
E
dv
+
v=
4RC
dt 8RC
(t < 0) .
Per t<0 il circuito è in regime stazionario, perché è dissipativo e l'istante iniziale
“l'istante remoto” ( t 0 Æ - •
v(t) =
2E
3
(101)
t 0 coincide con
). Pertanto la soluzione vale
t <0 .
(102)
Figura 16 Circuito equivalente in regime stazionario per t<0 (a) e circuito equivalente in regime
stazionario per t>0 (b).
La (102) può essere ottenuta cercando la soluzione costante della (101), oppure per ispezione
diretta del circuito di figura 16. Quando il circuito è in regime stazionario la tensione del
condensatore è costante e quindi la corrente che in esso circola è uguale a zero. Pertanto il
condensatore si comporta come se fosse un circuito aperto (nel circuito aperto la corrente è
uguale a zero per qualsiasi valore di tensione). Si consideri, ora, il circuito equivalente ottenuto
sostituendo al condensatore un circuito aperto (figura 16). La tensione v del condensatore può
essere calcolata usando il partitore di tensione; così facendo si ottiene di nuovo l'espressione
(102).
Per t>0 il circuito è ancora tempo-invariante e alimentato con un generatore stazionario.
L'equazione di stato vale
1
E
dv
+
v=
3RC
dt 3RC
(t > 0) .
(103)
La soluzione dell'equazione (103) deve verificare la condizione iniziale
v(0 + ) = v(0 - ) ;
(104)
v(0 - ) è il valore che assume la tensione sul condensatore nell'istante immediatamente precedente
all'apertura dell'interruttore e v(0 + ) è il valore che assume nell'istante immediatamente successivo
La (104) è una conseguenza della proprietà di continuità della tensione sul condensatore (nel caso
in esame la corrente di corto circuito e la conduttanza equivalente hanno un punto di discontinuità
di prima specie in t=0, ma sono sempre limitate). Pertanto deve essere
v(0 + ) =
2E
.
3
(105)
255
L'equazione (103) deve essere risolta con la condizione iniziale (105). L'integrale generale è
v(t) = Ae -
t /(3RC)
+ E.
(106)
Per t>0 la soluzione stazionaria può essere ottenuta per ispezione diretta del circuito illustrato in
figura 16b. La costante A deve essere determinata imponendo la condizione iniziale (105). Così
facendo si ottiene
v(t) = -
E e
3
t /(3RC)
+ E t ≥ 0.
(107)
1,5
v(t) [V]
1,0
0,5
t[m s]
0,0
-5
0
5
10
15
20
Figura 17 Evoluzione della tensione del condensatore con E=1 e RC=1.
Riassumendo, la soluzione del circuito tempo-variante illustrato in figura 12 vale
Ï 2E
Ô
v(t) = Ì 3
1
Ô - Ee Ó 3
t £ 0,
t /(3RC)
+E
t ≥ 0.
(108)
In figura 17 viene illustrato il grafico della tensione del condensatore per E = 1 e RC = 1.
Osservazione
La tensione del condensatore del circuito illustrato in figura 18a e la corrente nell'induttore del
circuito illustrato in figura 18b valgono, rispettivamente:
v(t) = v(t 0 ) +
i(t) = i(t 0 ) +
1 t
Ú j(t )dt ,
C t0
1 t
Ú e(t )dt .
L t0
(109)
(110)
Entrambi i circuiti hanno costante di tempo uguale a infinito, t = • , cioè frequenza naturale
uguale a zero. Pertanto il termine dipendente dal valore iniziale dello stato non svanisce, ma
permane indefinitamente in entrambi i circuiti. A causa dell'assenza di bipoli dissipativi i termini
256
di evoluzione libera non tendono asintoticamente a zero per t Æ +•
, ma restano costanti nel
tempo (ricordiamo che nell'evoluzione libera il generatore di corrente indipendente si comporta
come un circuito aperto e il generatore di tensione indipendente si comporta come un corto
circuito). In questi casi il comportamento asintotico dei due circuiti dipende anche dal valore
iniziale dello stato e quindi non ha più senso parlare di regime.
Figura 18
7.5 Circuiti del secondo ordine: equazioni di stato
Qualsiasi circuito lineare contenente due bipoli dinamici può essere schematizzato con una delle
tre configurazioni illustrate in figura 19; N denota un doppio bipolo costituito da elementi statici
lineari e generatori indipendenti. I condensatori e gli induttori sono lineari.
Per risolvere questi circuiti bisogna prima determinare le equazioni di stato. Noi ora le
determineremo, distinguendo i tre casi possibili.
7.5.1 Circuiti RC del secondo ordine
Si consideri il circuito di figura 19a. Le equazioni caratteristiche dei due condensatori
impongono la relazione di tipo differenziale tra le due correnti i1 e i 2 e le due tensioni v1 e v2 (i
condensatori sono tempo-invarianti, mentre gli elementi statici possono essere tempo-varianti; è
stata fatta la convenzione del generatore sui condensatori e quindi quella dell'utilizzatore sulle due
porte del doppio bipolo):
dv1
= - i1 ,
dt
dv
C2 2 = - i 2 .
dt
C1
(111)
Per ottenere le equazioni di stato, bisogna esprimere le correnti i1 e i 2 in funzione delle grandezze
di stato v1 e v2 (in questo caso esse sono le variabili di stato).
Figura 19 Le tre possibili configurazioni per i circuiti del secondo ordine.
257
La parte statica del circuito, che può essere schematizzato come un doppio bipolo lineare,
impone un altro vincolo, di tipo algebrico, tra le correnti
i1 e i 2 e le grandezze di stato v1 e v2 .
Poiché il doppio bipolo contiene solo resistori lineari e generatori indipendenti, esso può essere
caratterizzato su base tensione, così come è stato illustrato nel precedente Capitolo,
i1 = G11 (t)v1 + G12 (t)v2 + j1* (t),
i 2 = G 21 (t)v1 + G 22 (t)v2 + j*2 (t),
(112)
dove Gij sono gli elementi della matrice delle conduttanze del doppio bipolo statico lineare (una
volta che sono stati spenti tutti i generatori al suo interno) e j1* (t) e j*2 (t) sono, rispettivamente, le
correnti nella porta “1” e “2” quando sono entrambe collegate a due corto circuiti e sono in
funzione i generatori indipendenti.
Figura 20 Circuiti resistivi associati per ricavare le equazioni di stato.
Combinando le (111) e (112) si ottiene il sistema di equazioni di stato
Ï C dv1 = - G (t)v - G (t)v - j* (t),
11
1
12
2
1
Ô 1 dt
Ì
dv
Ô C 2 2 = - G 21 (t)v1 - G 22 (t)v 2 - j*2 (t),
dt
Ó
(113)
che può essere riscritto nella forma
C
dv
= - G(t)v - j* (t) ,
dt
(114)
dove C = diag(C1 ,C 2 ), v = (v 1, v 2 )T , j* = ( j1* , j*2 )T e G è la matrice delle conduttanze del doppio
bipolo resistivo. Anche le equazioni di stato di un generico circuito lineare costituito da N C
condensatori ed elementi statici sono del tipo (114): l'ordine del sistema di equazioni e la
dimensione delle matrici e dei vettori sono uguali a N C.
Le grandezze di stato v1 (t) e v2 (t) sono continue se: (a) i generatori del circuito dinamico in
esame sono limitati; (b) in parallelo ai due condensatori non vi sono interruttori che si chiudono.
Quando quest'ultima condizione è verificata, allora sono certamente limitati gli elementi della
diagonale principale della matrice delle conduttanze G; se il doppio bipolo è passivo (i generatori
indipendenti sono spenti) sono limitati anche gli altri elementi, a causa delle proprietà di G. Di
conseguenza le correnti nei condensatori sono limitate (si potrebbe ripetere lo stesso
ragionamento fatto per il circuito RC del primo ordine, per dimostrare la continuità dello stato).
Il sistema del secondo ordine (113) deve essere risolto con le condizioni iniziali
258
v1 (t 0 ) = V1 ,
v 2 (t 0 ) = V2 .
(115)
7.5.2 Circuito RL del secondo ordine
Si consideri il circuito di figura 19b. Anche le equazioni caratteristiche dei due induttori
impongono un legame di tipo dinamico tra le correnti i1 e i 2 e le tensioni v1 e v2 (gli induttori
sono tempo-invarianti, mentre gli elementi statici possono essere tempo-varianti; è stata usata di
nuovo la convenzione del generatore)
di1
= - v1 ,
dt
di
L 2 2 = - v2 .
dt
L1
Per ottenere le equazioni di stato, bisogna esprimere le tensioni
(116)
v1 e v2 in funzione delle
grandezze di stato i1 e i 2 . Ciò può essere fatto utilizzando il vincolo imposto dalla parte statica del
circuito. Impiegando un procedimento duale a quello descritto precedentemente, si sostituiscano i
due induttori di figura 19b con due generatori di corrente con correnti uguali a quelle che
circolano nei due induttori. Così facendo si ottiene il circuito di figura 20b. Poiché il doppio
bipolo contiene solo elementi lineari e generatori indipendenti, esso può essere caratterizzato su
base corrente, così come è stato illustrato nel precedente Capitolo,
v1 = R11 (t)i1 + R12 (t)i 2 + e1* (t),
v2 = R 21 (t)i1 + R 22 (t)i 2 + e*2 (t),
(117)
dove Rij sono gli elementi della matrice delle resistenze R del doppio bipolo resistivo lineare (una
volta che sono stati spenti tutti i generatori al suo interno) e e1* (t) e e*2 (t) sono, rispettivamente, le
tensioni della porta “1” e “2” quando sono entrambe collegate a due circuiti aperti e sono in
funzione i generatori indipendenti.
Combinando le (116) e (117) si ottiene
Ï L di1 = - R (t)i - R (t)i - e* (t),
11
1
12
2
1
Ô 1 dt
Ì
di
Ô L 2 2 = - R 21 (t)i1 - R 22 (t)i 2 - e*2 (t),
dt
Ó
(118)
che può essere riscritto nella forma
L
di
= - Ri - e* (t) ,
dt
(119)
dove L = diag(L1 ,L 2 ), i = (i 1,i 2 )T , e* = (e1* ,e*2 )T e R è la matrice delle resistenze del doppio
bipolo resistivo. Anche le equazioni di stato di un generico circuito costituito da N L induttori ed
elementi statici ha la forma (119); l'ordine del sistema di equazioni e la dimensione delle matrici e
dei vettori sono uguali a N L.
259
Le grandezze di stato i1 (t) e i 2 (t) sono continue se: (a) i generatori del circuito dinamico in
esame sono limitati; (b) in serie agli induttori non vi sono interruttori che si aprono. Quando
questa condizione è verificata, allora sono certamente limitati gli elementi della diagonale
principale della matrice delle resistenze R; se il doppio bipolo è passivo (i generatori indipendenti
sono spenti) sono limitati anche gli altri elementi, a causa delle proprietà di R. Di conseguenza le
tensioni dei due induttori sono limitate.
Il sistema del secondo ordine (118) deve essere risolto con le condizioni iniziali
i1 (t 0 ) = I1 ,
i 2 (t 0 ) = I 2 .
(120)
7.5.3 Circuito RLC del secondo ordine
Si consideri il circuito di figura 19c. Le equazioni caratteristiche del condensatore e
dell'induttore impongono un legame di tipo dinamico tra le correnti i1 e i 2 e le tensioni v1 e v2
(l'induttore e il condensatore sono tempo-invarianti, mentre la parte statica può essere tempovariante; è stata usata di nuovo la convenzione del generatore su entrambi i bipoli dinamici)
dv1
= - i1 ,
dt
di
L 2 2 = - v2 .
dt
C1
Per costruire le equazioni di stato, bisogna esprimere, ora, la corrente nel condensatore
(121)
i1 e la
tensione dell'induttore v 2 in funzione delle grandezze di stato (cioè della tensione del
condensatore v1 e della corrente nell'induttore i 2 ) utilizzando il vincolo imposto dalla parte
statica del circuito. Si sostituisca il condensatore con un generatore di tensione v1 e l'induttore con
un generatore di corrente i 2 . Così facendo si ottiene il circuito di figura 20c. Poiché il doppio
bipolo contiene solo elementi lineari e generatori indipendenti, esso può essere caratterizzato su
base ibrida, così come è stato illustrato nel precedente Capitolo,
i1 = H11 (t)v1 + H12 (t)i 2 + j1* (t),
v2 = H 21 (t)v1 + H 22 (t)i 2 + e*2 (t),
(122)
dove Hij sono gli elementi della matrice ibrida del doppio bipolo resistivo lineare (una volta che
sono stati spenti tutti i generatori al suo interno) e j1* (t) e e*2 (t) sono, rispettivamente, la corrente
nella porta “1” e la tensione della porta “2” quando, la porta “1” è collegata a un corto
circuito e la porta “2” a un circuito aperto e sono in funzione i generatori indipendenti.
Combinando le (121) e (122) si ottiene
Ï C dv1 = - H (t)v - H (t)i - j* (t),
11
1
12
2
1
Ô 1 dt
Ì
di
Ô L 2 2 = - H 21 (t)v1 - H 22 (t)i 2 - e1* (t),
dt
Ó
che può essere riscritta nella forma
(123)
260
D
dx
= - H x - g(t) ,
dt
(124)
dove D = diag(C1 ,L 2 ), x = (v 1 ,i 2 )T , g = ( j1* ,e*2 )T e H è una matrice ibrida del doppio bipolo.
Anche le equazioni di stato di un generico circuito costituito da N C condensatori, da N L induttori
ed elementi statici hanno la forma della (124); l'ordine del sistema di equazioni e la dimensione
delle matrici e dei vettori sono uguali a (N C+N L). La struttura della matrice ibrida H , nel caso più
generale, è descritta nel Capitolo 6.
Le grandezze di stato v1 (t) e i 2 (t) sono continue se: (a) i generatori del circuito dinamico in
esame sono limitati; (b) in parallelo al condensatore non c'è un interruttore che si chiude e in serie
all'induttore non c'è un interruttore che si apre. Quando questa condizione è verificata, allora sono
certamente limitati gli elementi della diagonale della matrice ibrida H; se il doppio bipolo è
passivo (i generatori indipendenti sono spenti) gli altri elementi della matrice H sono in modulo
minori di uno. In questo caso la corrente nel condensatore e la tensione dell'induttore sono
limitate.
Il sistema del secondo ordine (123) deve essere risolto con le condizioni iniziali
v1 (t 0 ) = V1 ,
i 2 (t 0 ) = I 2 .
(125)
7.6 Circuiti del secondo ordine tempo-invarianti
Si considerino, ora, circuiti tempo-invarianti del secondo ordine, costituiti da generatori
indipendenti ed elementi lineari passivi, cioè induttori, condensatori, resistori e trasformatori ideali.
La passività degli elementi lineari implica che: (a) le capacità e le induttanze sono positive; (b) gli
elementi della diagonale principale delle matrici R, G e H sono non negativi; (c) gli elementi fuori
diagonale delle matrici G e R sono, in modulo, minori o al più uguali a quelli della diagonale
principale e gli elementi fuori diagonale della matrice H sono in modulo minori di uno
(ricordiamo che H12 e H 21 sono grandezze adimensionali). Inoltre vale la reciprocità: questa
proprietà implica che R e G sono simmetriche e H è anti-simmetrica ( H12 = - H 21 ). Infine L e C
e le matrici R, G e H sono costanti nel tempo perché abbiamo supposto che tutti gli elementi siano
tempo-invarianti.
Le equazioni di stato per questi circuiti sono del tipo
Ï D dx1 = - a x - a x - g (t)
11 1
12 2
1
Ô 1 dt
Ì
dx
Ô D 2 2 = - a 21x1 - a 22 x 2 - g 2 (t)
dt
Ó
dove
(126)
261
RC
RL
x = (v1 , v 2 )T
x = (i1 ,i 2 )T
x = (v1 ,i 2 )T
D = diag(C1 ,C 2 )
D = diag(L1 ,L 2 )
D = diag(C1 ,L 2 )
A=G
A= R
A=H
g=
g=
( j1* , j*2 )T ,
(e1* ,e*2 )T ,
RLC
g = ( j1* ,e*2 )T .
Il sistema (126) può essere riscritto nella forma vettoriale
D
dx
= - A x - g(t) .
dt
(127)
Le equazioni (126) devono essere risolte con la condizione iniziale
x(t 0 ) = x 0 = (x10 ,x 20 )T .
(128)
Il sistema lineare, a coefficienti costanti, del secondo ordine (126) può essere risolto in diversi
modi. Ora ne descriveremo soltanto due. Il primo consiste nel ridurre il sistema (126) a una
equazione scalare del secondo ordine e poi risolverla utilizzando la tecnica che già abbiamo
utilizzato per l'equazione del primo ordine. L'altro metodo consiste nel risolvere direttamente il
sistema di equazioni di stato, calcolando gli autovalori e gli autovettori della matrice dinamica del
sistema. Noi qui useremo il primo metodo; il secondo sarà illustrato brevemente in Appendice D.
Si scelga di ridurre il sistema (126) a una equazione scalare nell'incognita
x1 = x1 (t) . Dalle
equazioni (126) si ottiene per x1 = x1 (t) l'equazione differenziale scalare lineare del secondo
ordine:
d 2 x1
dx1
+w
2 + 2a
dt
dt
2
0 x1
= f(t) ,
(129)
dove
1 Ê a11 a 22 ˆ
+
Á
˜ ,
2 Ë d1 d 2 ¯
a∫
w
2
0
∫
f(t) ∫
1
(a11a 22 - a12a 21 ),
d1d 2
(130)
a 22
a12
a dg
g1 (t) g 2 (t) - 11 1 .
d1d 2
d1d 2
d1 dt
Si osservi che a causa della passività, i parametri a e w 20 non possono mai assumere valori
negativi, a ≥ 0, w
2
0
≥ 0 ; (nel caso di un circuito con un induttore e un condensatore bisogna
usare, anche, la proprietà a12 = - a 21) .
L'equazione scalare del secondo ordine (129) deve essere risolta con le condizioni iniziali
x1 (t 0 ) = x10 ,
dx1
©
= x10
,
dt t =t
0
dove
(131)
262
1
[a 11x10 + a12 x 20 - g1 (t = t 0 )].
d1
©
x10
=-
(132)
La condizione iniziale per la derivata prima di x1 (t) è stata ottenuta utilizzando la seconda
equazione del sistema di equazioni di stato (126) e le condizioni iniziali per lo stato. Una volta
determinata la soluzione del problema di Cauchy definito dalle (129) e (131), usando la prima
equazione del sistema (126) è possibile ottenere la grandezza di stato x 2 (t) attraverso delle
semplici operazioni algebriche e di derivazione.
L'integrale generale dell'equazione scalare (129) è dato da
x1 (t) = x o (t) + x p (t),
(133)
dove x p (t) è una soluzione particolare dell'equazione (129) e x o (t) è l'integrale generale
dell'equazione omogenea associata alla (129),
d2x o
dx o
+w
2 + 2a
dt
dt
2
0x o
= 0.
(134)
L'equazione (134) è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, lineare, a
coefficienti costanti e omogenea. Si consideri il polinomio caratteristico dell'equazione
differenziale (134),
p(l ) = l
2
+ 2al + w
2
0.
(135)
Il polinomio caratteristico di un circuito del secondo ordine è di grado due, ed è costituito dalla
somma di tre monomi in l : al termine della (134) in cui compare la derivata seconda corrisponde
il monomio in l di grado due con lo stesso coefficiente della derivata seconda, cioè l 2; al termine
in cui compare la derivata prima corrisponde il monomio in l di grado uno con lo stesso
coefficiente della derivata prima, cioè 2 a l
;
infine al termine non derivato corrisponde il
monomio di grado zero, con lo stesso coefficiente che moltiplica la funzione incognita, cioè w 20 .
Le radici del polinomio sono le frequenze naturalidel circuito e, in questo caso, sono due e
valgono:
l
l
+¸
-
˝ = -a ± a
˛
2
-w
2
0
.
(136)
Ovviamente esse non dipendono dai generatori.
Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari si è appreso che l'integrale generale
dell'equazione omogenea associata (135) ha la forma (bisogna distinguere i casi in cui le radici
del polinomio caratteristico sono distinte dal caso in cui sono coincidenti)
ÔÏ K + e l + (t - t 0 ) + K - e l
ÔÓ [A + B(t - t 0 )]e l (t -
x o (t) = Ì
-
(t - t 0 )
t0 )
se l
se l
+
+
πl
=l
-
-
=l
(radici distinte)
(radici coincidenti)
dove K + e K - (rispettivamente, A e B), sono due costanti arbitrarie.
(137)
263
(t - t )
l
l
(t - t )
0
0
Quando le radici sono distinte, K + e +
e K- e sono due soluzioni linearmente
indipendenti dell'equazione omogenea e facendo variare nella (137) sia K + che K - (in generale,
nell'insieme dei numeri complessi), si ottengono tutte le possibili soluzioni della (134). Invece
quando le radici sono coincidenti, Ae
-a
(t - t 0 )
e B(t - t 0 )e
-a
(t - t 0 )
sono due soluzioni
linearmente indipendenti dell'equazione (134).
L'integrale generale dell'equazione (129) è
l (t - t )
+ K - el
ÔÏ K + e
la
ÔÓ [A + B(t - t 0 )]e
x1 (t) = Ì
+
0
(t - t 0 )
-
(t - t 0 )
+x p (t)
+x p (t)
se l
se l
+
+
πl
=l
,
-
(138)
=l .
L'integrale generale (138) dipende: (a) dall'integrale particolare x p(t) dell'equazione completa
(122); (b) dalle costanti di integrazione K + e K - (rispettivamente, A e B); (c) dalle frequenze
naturali l + e l - . L'integrale particolare dipende dal termine noto f=f(t) dell'equazione (129), il
quale a sua volta dipende dalle forme d'onda dei generatori indipendenti di tensione e di corrente
presenti nel circuito. Le due costanti di integrazione K + e K - (rispettivamente, A e B) devono
essere determinate imponendo che la (138) verifichi le condizioni iniziali (131), quindi K + e K (rispettivamente, A e B) dipendono dallo stato iniziale del circuito. Le frequenze naturali l + e l sono, invece, grandezze caratteristiche del circuito, che non dipendono dai generatori indipendenti
e dallo stato iniziale.
Anche per i circuiti del secondo ordine è possibile, a causa della linearità, decomporre il
funzionamento in condizioni generiche in due contributi: l'evoluzione libera x lib = x lib (t) e
l'evoluzione forzata x for = x for (t) . Nel circuito in evoluzione libera i generatori sono spenti e
quindi il termine noto dell'equazione differenziale (129) è uguale a zero: l'evoluzione libera è la
soluzione dell'equazione omogenea associata che verifica le condizioni iniziali (131). Invece
l'evoluzione forzata è la soluzione dell'equazione completa (129) che verifica condizioni iniziali
nulle.
x1 (t) = x lib (t) + x for (t)
Ï d 2 x lib
dx lib
+w
Ô
2 + 2a
dt
Ô dt
Ì x lib (t 0 ) = x10
Ô x© (t ) = x©
10
lib 0
2
0 x lib
=0 Ô
Ï d 2 x for
Ô
Ó
2
+ 2a
Ô dt
Ì x lib (t 0 ) = 0
Ô x© (t ) = 0
lib 0
dx for
dt
+w
2
0 x for
= f(t)
Ô
Ó
7.6.1 Proprietà delle frequenze naturali
Abbiamo già visto (nei circuiti del primo ordine) che il comportamento qualitativo di un
circuito dipende dalle sue frequenze naturali, e quindi è importante studiarne le proprietà. Le
proprietà delle frequenze naturali di un circuito del secondo ordine dipendono dalle proprietà
delle matrici D e A e quindi da proprietà strutturali del circuito.
264
Innanzi tutto bisogna mettere in evidenza che essendo le matrici A e D reali (i parametri fisici
del circuito sono espressi tramite grandezze reali), i coefficienti del polinomio caratteristico
p=p( l ) sono anch'essi reali. Pertanto le due radici l + e l - sono reali se a ≥ w
0 (in questo caso il
discriminante dell'equazione di secondo grado p( l )=0 è non negativo),
l
±
= -a ± a
d
∫ a
d,
(per a ≥ w
0)
(139)
dove
a
2
-w
2
0,
(140)
oppure sono complesse e coniugate se a < w
0
(il discriminante dell'equazione di secondo grado
p(l )=0 in questo caso è negativo),
l
±
= -a ±
d
∫ w
iw
d,
-a
2
(per a < w
0)
(141)
dove
w
2
0
;
(142)
nella (142) i rappresenta l'unità immaginaria, i = - 1 . Le due radici sono reali e coincidenti
quando a = w
0 (il discriminante dell'equazione di secondo grado p( l )=0 in questo caso è uguale
a zero)
l
±
= -a
(per a = w
0 ).
(143)
Come al solito facciamo riferimento al circuito in evoluzione libera, perché le frequenze
naturali non dipendono dai generatori indipendenti presenti nel circuito. Siccome gli elementi del
circuito in evoluzione libera sono passivi, i parametri a e w 20 non possono mai assumere valori
negativi (nel caso di un circuito con un induttore e un condensatore bisogna usare anche la
proprietà della reciprocità). Infatti, il parametro a è non minore di zero perché gli elementi della
diagonale principale delle matrici G, R e H sono sempre non minori di zero per doppi bipoli
passivi. Il parametro w 20 è non minore di zero, perché per la matrice delle conduttanze, resistenze
e ibrida valgono, rispettivamente, le relazioni
G11G 22 ≥ G12 G 21 ,
R11R 22 ≥ R12 R 21 ,
(144)
H12 = - H 21.
Le prime due sono una conseguenza della passività, l'ultima si ottiene dalla proprietà di
reciprocità. Di conseguenza quando le due radici sono reali esse non sono mai positive o quando
sono complesse coniugate la parte reale non è mai positiva.
Proprietà 8:
265
Si assuma che il circuito in evoluzione libera sia passivo. Allora la parte reale delle
frequenze naturali non può essere positiva, e quindi l'evoluzione libera è una funzione
limitata per ogni t > t 0 (se i valori delle condizioni iniziali sono limitati).
passività fi
Re{l ± } £ 0
Infatti, in un circuito in evoluzione libera passivo del secondo ordine si ha
dW
= - P R (t) £ 0 ,
dt
(145)
dove P R è la potenza assorbita da tutti gli elementi statici e W è l'energia totale immagazzinata
negli elementi dinamici; ad esempio, se il circuito è costituito da un condensatore e un induttore
essa vale
W(t) = Cv12 (t) / 2 + Li12 (t) / 2 .
(146)
Pertanto l'energia immagazzinata al generico istante
t > t 0 non può mai essere più grande di
quella immagazzinata all'istante iniziale t = t 0 e quindi le grandezze di stato si mantengono
limitate nel tempo. Come poi mostreremo, questa proprietà è generale e non dipende dall'ordine
del circuito.
Quando la potenza assorbita dalla parte statica è positiva per ogni condizione di funzionamento
ed è uguale a zero solo quando il circuito è a riposo (cioè quando le grandezze di stato, e quindi
tutte le grandezze del circuito, sono uguali a zero), dalla (145) si ha che l'energia immagazzinata
diminuisce continuamente fino a quando non diventa nulla (W è definita positiva) e quindi il
circuito è dissipativo. In questo caso la parte reale delle frequenze naturali è minore di zero e
l'evoluzione libera tende asintoticamente a zero per t Æ + •,
indipendentemente dal valore delle
condizioni iniziali. Se le frequenze naturali sono reali, l'evoluzione libera è costituita da due
termini che tendono asintoticamente a zero con legge esponenziale. Anche quando le frequenze
naturali sono complesse coniugate l'evoluzione libera tende asintoticamente a zero, perché
l'espressione
K +el
+ (t -
t0 )
+ K - el
-
(t - t 0 )
= e-a
tende a zero con legge esponenziale per t Æ+•
(t - t 0 )
[K + ei w
d (t -
t0 )
+ K- e-
iw
d (t -
t0 )
].
(147)
(la costante di tempo è 1/a) .
L'evoluzione libera non tende asintoticamente a zero ma resta limitata, quando la parte reale
delle frequenze naturali o almeno una di esse è uguale a zero. Ciò può verificarsi quando: (a) il
circuito è privo di elementi dissipativi; (b) ci sono due condensatori in serie o due induttori in
parallelo; (c) quando in serie al condensatore c'è un circuito aperto e/o in parallelo all'induttore un
corto circuito, come nei circuiti del primo ordine. In questi casi la potenza assorbita dalla parte
statica del circuito può essere uguale a zero anche quando le grandezze di stato sono diverse da
zero. Ritorneremo in seguito su questa questione.
Osservazione
266
Se nel circuito vi fossero anche elementi attivi, come, ad esempio, amplificatori operazionali,
giratori, generatori controllati, la soluzione sarebbe ancora del tipo (138), ma le frequenze naturali
potrebbero essere a parte reale maggiore di zero e la soluzione divergerebbe con legge
esponenziale per t Æ +•
(nei circuiti reali di questo tipo, a causa di fenomeni di natura non
lineare, nascono meccanismi di saturazione che non consentono alle grandezze di crescere
illimitatamente).
Dopo avere discusso il segno della parte reale delle frequenze naturali, bisogna capire quando
esse sono reali e quando, invece, possono essere complesse. Il discriminante D dell'equazione di
secondo grado (135) vale:
D=a
2
-w
2
0
1Ê a
a ˆ
= Á 11 - 22 ˜
4 Ë d1 d 2 ¯
2
+
a12a 21
.
d1d 2
(148)
(i) Circuito con due condensatori (rispettivamente, due induttori)
Si consideri il circuito con due condensatori (due induttori). In questo caso la matrice A è
uguale alla matrice delle conduttanze G (alla matrice delle resistenze R) del doppio bipolo
resistivo lineare. La matrice delle conduttanze G (la matrice delle resistenze R) è simmetrica,
perché il circuito resistivo è costituito da resistori lineari e trasformatori ideali, e quindi
a12 = a 21 .
Di conseguenza il discriminante (148) non può essere mai negativo e le frequenze naturali sono
sempre reali.
x1
Im{l }
K-1/t
-
-1/t
+
Re{l }
K+
t
0
t
-
+
t
Figura 21
Proprietà 9: evoluzione libera di circuiti RC (o RL)
L'evoluzione libera di un circuito costituito da soli condensatori (rispettivamente, soli
induttori), resistori lineari e trasformatori ideali è descritta dalla somma di due
funzioni esponenziali decrescenti, con costanti di tempo
t
+
= - 1/ l
+,
t
-
= - 1/ l
-
.
(149)
Quando l'evoluzione libera è descritta dalla somma di due esponenziali smorzati, (figura 21; le
frequenze naturali sono state rappresentate sul piano complesso), si dice che è aperiodica o sovra-
267
smorzata. Al crescere di a , lo smorzamento diventa più forte e il circuito in evoluzione libera
raggiunge prima lo stato di riposo.
Osservazione
In questi circuiti può accadere che w 20 = 0 e quindi l + = 0 . Ciò si verifica quando i due
condensatori sono in serie o i due induttori sono in parallelo (figura 22). In questi casi
l'evoluzione libera è costituita da un esponenziale smorzato con costante di tempo uguale a 1/(2 a )
e da un termine costante. Essa non tende a zero per t Æ + •
, ma tende asintoticamente a una
costante dipendente dallo stato iniziale. In quest’ultimo caso, l'energia immagazzinata all'istante
iniziale nei due condensatori (rispettivamente, nei due induttori) non viene completamente
assorbita dai resistori (e quindi trasformata in energia termica). Ad esempio, nel circuito di figura
22a la tensione sulla serie costituita dai due condensatori tende a zero (rispettivamente, la corrente
totale del parallelo costituito dai due induttori di figura 22b), ma le tensioni sui due condensatori
tendono a valori costanti, diversi da zero e opposti, di modo che la loro somma sia uguale a zero
(rispettivamente, le correnti nei due induttori tendono a due valori costanti, diversi da zero e
opposti). È evidente allora che la potenza assorbita dal resistore, in entrambi i casi, può essere zero
pur continuando a esserci energia immagazzinata nei bipoli conservativi.
Proprietà 10
Un circuito costituito da soli condensatori (rispettivamente, soli induttori), resistori
lineari e trasformatori ideali è dissipativo se i due condensatori non sono in serie
(rispettivamente, i due induttori non sono in parallelo).
Figura 22 Esempi di circuiti passivi non dissipativi.
Le frequenze naturali l + e l - coincidono se a12 = a 21 = 0 . Ciò si verifica solo se i due
condensatori (i due induttori) non sono tra loro collegati in nessuna maniera: ad esempio, due
circuiti RC (RL) del primo ordine non interagenti tra loro (figura 23) con R 1 C 1 =R 2 C 2 (con
L1 /R1 =L 2 /R2 ). È, allora, evidente che in questi casi non sarà mai possibile “eccitare” forme
d'onda del tipo B(t - t 0 )e
-a
(t - t 0 )
.
268
Figura 23 Due circuiti RC del primo ordine.
Osservazione
Se il circuito con due condensatori (con due induttori) contenesse un amplificatore
operazionale o un giratore la matrice delle conduttanze (la matrice delle resistenze), potrebbe non
essere più simmetrica. In questo caso si potrebbero avere frequenze naturali complesse e
coniugate (più avanti faremo un esempio di questo caso).
(ii) Circuito con un condensatore e un induttore
Quando il circuito dinamico è costituito da un condensatore e da un induttore (questi circuiti
sono denominati circuiti RLC), la matrice A è la matrice ibrida del doppio bipolo, e quindi
a12 = - a 21. Innanzi tutto, in questo caso, non può mai essere w 0 = 0 , e quindi non è mai
possibile avere una radice reale e uguale a zero, così come accade nei circuiti con soli
condensatori (rispettivamente, solo induttori). Come poi si vedrà, invece, può accadere che a =0.
Inoltre il discriminate (148) può essere sia positivo che negativo e al limite nullo. In particolare si
ha
H11R 20 - H 22 > 2 H12 R 0 fi a > w
0
fiD>
0,
H11R 20 - H 22 = 2 H12 R 0 fi a = w
0
fiD=
0,
H11R 20 - H 22 < 2 H12 R 0 fi a < w
0
fiD<
0,
dove la grandezza caratteristica R
0
(150)
è una grandezza omogenea con una resistenza, data da
R 0 = L 2 / C1 .
(151)
È utile ricordare che H 11 rappresenta la conduttanza equivalente “vista” dal condensatore
quando al posto dell'induttore c'è un circuito aperto e H 22 la resistenza equivalente “vista”
dall'induttore quando al posto del condensatore c'è un corto circuito.
Quando D >0 ( a > w
0 > 0 ), le frequenze naturali l + e l - sono reali, e quindi le due costanti di
integrazione A + e A - sono reali. L'evoluzione libera è la somma di due funzioni esponenziali
smorzati ed è, quindi, caratterizzata da una dinamica aperiodica, (figura 24).
Quando il discriminante è uguale a zero (caso critico a = w 0 ), la forma d'onda dell'evoluzione
libera è descritta da
x1 (t) = [A + B(t - t 0 )]e - a
(t - t 0 )
.
(152)
Questo tipo di evoluzione prende il nome di evoluzione criticao criticamente smorzata
, (figura
24).
(a > w
Evoluzione libera smorzata
x1 (t) = K + e
l
+t
+ K- e
l
-
0
t
> 0)
Evoluzione libera critica(a = w
x1 (t) = (A + Bt)e
-a
0
t
> 0)
269
x1
x1
Im{l }
A
K- 1 /t
- 1 /t
K+
t
0
t
-
t
+
Aexp(-a t )
t
cos(w
dt
Evoluzione libera
oscillante(w 0 > 0,a = 0)
+J )
x1 (t) = K cos(w
2p / w
Kcos(J )
iw
d
-a
Kexp(-a t)
d
Kcos(J )
Re{l }
-iw
0t
+J )
Im{l }
iw
x1
Im{l }
x1
t
1/ a
0
Evoluzione libera
oscillante smorzata(w 0 > a > 0)
x1 (t) = Ke - a
Re{l }
-a
Re{l }
+
C
-
Im{l }
Btexp(-a t )
2p /w
-iw
0
Re{l }
0
0
d
0
t
0
t
-Kexp(-a t)
Figura 24 Possibili risposte in evoluzione libera per un circuito RLC.
Quando D <0 ( w 0 > a > 0 ), le frequenze naturali l + e l -
sono complesse coniugate.
Imponendo le condizioni iniziali, si ottiene (stiamo considerando solo l'evoluzione libera)
K + + K - = x10 ,
l
+K+
+l
-
(153)
©
k - = x10
.
È evidente che le due costanti di integrazione K + e K - sono, in questo caso, complesse coniugate,
©
sono grandezze reali. Pertanto è possibile riscrivere la soluzione nella seguente
perché x10 e x10
forma
x1 (t) = Ae - a
(t - t 0 )
cos[w
d (t
- t0 ) + J ],
(154)
dove
A = 2 A+ ,
J = arg(A + );
(155)
A è il modulo e arg(A + ) è la fase (valore principale) del numero complesso K + . L'andamento
dell'evoluzione libera è dato da una oscillazione sinusoidale di pulsazione w d , con ampiezza che
si smorza con legge esponenziale con costante di tempo 1/a ; al parametro w d si dà il nome di
pulsazione propria del circuito. Una evoluzione libera di questo tipo prende il nome di evoluzione
oscillatoria smorzata, (figura 24).
270
Un circuito RLC è sempre dissipativo se contiene resistori (stiamo escludendo che vi sia un
generatore indipendente di corrente in serie al condensatore e/o un generatore indipendente di
tensione in parallelo all'induttore). Mantenendo costante w 0 e riducendo a al di sotto del valore
critico a = w 0 , si ottiene una forma d'onda sinusoidale con ampiezza che decade esponenzialmente
nel tempo. Nel caso limite a =0, la forma d'onda diventa una sinusoide pura, con pulsazione
uguale a w 0 e l'evoluzione libera non tende più a zero per t Æ•, (
figura 24). Ciò si verifica se e
solo se gli elementi della diagonale della matrice ibrida sono entrambi uguali a zero, cioè il
circuito non contiene resistori. In questo caso la potenza elettrica P R (t) assorbita dal doppio
bipolo resistivo è uguale a zero in qualsiasi condizione di funzionamento, e quindi l'energia totale
W(t) immagazzinata nell'induttore e nel condensatore si mantiene costante nel tempo: l'energia
viene scambiata continuamente tra il condensatore e l'induttore, senza mai essere dissipata. Questo
è un circuito conservativo e deve essere necessariamente come quello illustrato in figura 25; esso
prende il nome di circuito LC.
Figura 25 Circuito LC.
7.6.2 Soluzione di regime e termine transitorio
Si consideri ora un circuito del secondo ordine dissipativo (quindi Re{l ± } < 0 ) in condizione
di funzionamento generico e si faccia tendere l'istante iniziale t 0 a -• (il funzionamento del
circuito ha inizio all'istante “remoto” t 0 = - • ).
La generica grandezza di stato in un generico
istante finito è data da
lim [K + e l
Ï
Ô
lim x1 (t) = Ì
t 0 Æ-•
Ó
t 0 Æ-•
t 0 Æ-•
Ô
+ (t -
t0 )
+K - e l
lim [A +B(t - t 0 )e
-a
-
(t - t 0 )
(t - t 0 )
] + x p (t)¸
] + x p (t)
Ô
Ô
˝ = x p (t) .
(156)
˛
Pertanto, la dinamica dello stato, e quindi dell'intero circuito, per t finito non dipende dalla
condizione iniziale (si è persa ogni traccia dello stato iniziale), ma dipende unicamente dalla
soluzione particolare e quindi dalla forma d'onda delle tensioni dei generatori di tensione e delle
correnti dei generatori di corrente: il circuito funziona in regime. La soluzione di regime è uguale
alla soluzione particolare ed è indipendente dallo stato. Ritroviamo quanto abbiamo già visto nei
circuiti del primo ordine.
Si consideri ora il caso in cui l'istante iniziale t 0 sia al finito. Il termine dipendente dalle
costanti di integrazione K + e K - tende asintoticamente a zero per t Æ+• ( indipendentemente dai
valori delle costanti di integrazione ); esso è il termine transitoriodella risposta. Le costanti di
integrazione K + e K - sono combinazioni lineari dei valori dello stato e dell'integrale particolare
all'istante iniziale t 0 .
271
termine di regime: x reg (t) ∫ lim x1 (t) = x p (t)
t0 Æ - •
Ï K + e l (t - t ) +K - e l (t - t ) a > w 0 > 0 ( l
Ô
a =w 0 >0
termine transitorio: x tran (t) ∫ Ì [A +B(t - t0 )]e - a (t - t )
Ô Ke - a (t - t ) cos(w t + J )
w 0 > a >0
d
Ó
+
0
-
0
+
el
-
reali)
0
Se il circuito in evoluzione libera è passivo ma non dissipativo, le frequenze naturali sono a
parte reale uguale a zero o almeno una di esse è nulla. In questo caso il “termine transitorio” non
tende a zero per t Æ + • , ma rimane limitato. Se il circuito contiene elementi lineari attivi (un
circuito che, ad esempio contiene amplificatori operazionali, generatori controllati, giratori e
resistori con resistenza negativa), le frequenze naturali potrebbero avere parte reale maggiore di
zero e il termine “transitorio” divergerebbe per t Æ + • .
Proprietà 11
L'evoluzione di un circuito del secondo ordine dissipativo tende asintoticamente alla
soluzione di regime per Æ +t • , indipendentemente dal valore iniziale dello stato
.
L'evoluzione libera tende asintoticamente a zero con legge esponenziale e l'evoluzione
forzata tende asintoticamente alla soluzione di regime.
7.6.3 Regime stazionario e regime sinusoidale
Il termine di regime dipende, oltre che dai parametri caratteristici del circuito, anche dalla
forma d'onda dei generatori. Verranno discussi i soliti due casi: circuiti con generatori costanti (o
stazionari) e circuiti con generatori sinusoidali.
- Generatori costanti (stazionari)
Si consideri un circuito con soli generatori stazionari. Il termine noto dell'equazione
differenziale, che descrive l'evoluzione del circuito, è una funzione costante, e quindi una
funzione costante è soluzione dell'equazione differenziale. Essa può essere ottenuta sostituendo
nell'equazione differenziale (129) la funzione
x p (t) = X ,
(157)
e determinando poi la costante X che la verifica.
Proprietà 12
Quando i generatori sono stazionari, il regime di funzionamento che si instaura nel
circuito è anche esso stazionario, se il circuito è dissipativo. La soluzione stazionaria
può essere ottenuta risolvendo direttamente il circuito resistivo ottenuto sostituendo ai
condensatori circuiti aperti e agli induttori corto circuiti.
272
Per provare quanto affermato è sufficiente ricordare che in regime stazionario la corrente nei
condensatori e le tensioni sugli induttori sono uguali a zero.
- Generatori sinusoidali isofrequenziali
Si consideri, ora, un circuito con soli generatori sinusoidali (isofrequenziali) con pulsazione
w . Il termine noto dell'equazione differenziale (129) è una funzione sinusoidale con pulsazione
w . Anche in questo caso una funzione sinusoidale con pulsazione w
è soluzione dell'equazione
differenziale. Essa può essere determinata sostituendo nell'equazione differenziale una funzione
del tipo
x p (t) = X cos(w t + y ) ,
(158)
e determinando l'ampiezza X e la fase y , in modo tale che la (129) sia verificata (così come
abbiamo operato con i circuiti del primo ordine).
La soluzione particolare (158) non esiste se il circuito non è dissipativo e la pulsazione dei
generatori è uguale alla frequenza naturale del circuito. In questo caso si dice che il circuito è in
risonanza. Ad esempio, nel circuito RLC del secondo ordine ciò accade se, a =0 e w = w
d = w 0.
In questo caso, è facile verificare che una soluzione particolare è una funzione sinusoidale con
pulsazione w e ampiezza crescente linearmente nel tempo 4. Il fenomeno della risonanza non può
mai verificarsi in un circuito RL o RC, se esso è costituito da soli elementi statici reciproci.
Proprietà 13
Quando i generatori sono sinusoidali e isofrequenziali, il regime di funzionamento
che si instaura nel circuito è anche esso di tipo sinusoidale con la stessa pulsazione
dei generatori, se il circuito è dissipativo.
In questi casi la soluzione di regime può essere ottenuta direttamente utilizzando il metodo
fasoriale. Questo metodo sarà illustrato nel prossimo Capitolo.
Se nel circuito ci sono generatori costanti e generatori sinusoidali con diverse pulsazioni, allora
l'integrale particolare può essere determinato utilizzando la sovrapposizione degli effetti
(l'equazione differenziale è lineare perché il circuito del quale essa descrive la dinamica è lineare).
La soluzione particolare è la somma delle soluzioni particolari che ciascuno dei generatori
produrrebbe se agisse da solo, essendo gli altri “ spenti”.
7.6.4 Applicazione: Circuito RLC serie e circuito RLC parallelo e altri esempi
4 Si consideri l'equazione «x« + w
2
0x
= cos(w 0 t) . Questa è l'equazione che descrive l'evoluzione di un circuito LC
con forzamento sinusoidale alla stessa frequenza della frequenza naturale del circuito. In questo caso non esiste un
integrale particolare sinusoidale con pulsazione w 0 . È facile verificare che, un integrale particolare è
x(t) = [ t sin(w 0 t)] / 2w 0 .
273
Si consideri il circuito RLC serie rappresentato in figura 26a. Il circuito è in evoluzione
libera; lo stato all'istante iniziale t=0 vale
v c (t = 0) = V 0 , i L (t = 0) = I 0 .
(159)
Figura 26 Circuito RLC serie (a) e circuito RLC parallelo (b).
Le equazioni caratteristiche dei bipoli a memoria sono
dv c
= ic ,
dt
di
L L = vL .
dt
C
(160)
Per determinare le equazioni di stato bisogna esprimere la corrente nel condensatore e la tensione
dell'induttore in funzione delle grandezze di stato v c e i L . In questo caso tutto ciò può essere fatto
per ispezione diretta del circuito. Immediatamente si ha
dv c
= iL ,
dt
di
L L = - v c - Ri L .
dt
C
(161)
Sostituendo la prima equazione di stato nella seconda, si ottiene l'equazione scalare per la tensione
del condensatore
1
d 2 v c R dv c
+
vc = 0 .
2 +
L dt
LC
dt
(162)
L'integrale generale della (162) assume, come è noto, tre forme diverse a seconda che
w
0t
> 1, w
0t
< 1ow
t∫
2L
,w
R
0t
= 1 , dove sono state fatte le posizioni
0
∫
1
.
LC
(163)
Quando w 0 t < 1 l'evoluzione libera è aperiodica, quando w 0 t > 1 l'evoluzione libera è oscillante
e smorzata; invece quando w 0 t = 1 si ha il caso critico. Il parametro adimensionale Q∫(w 0t / 2)
prende il nome di fattore di qualità o fattore di merito del circuito.
Si assuma che nel circuito in esame l'evoluzione sia di tipo oscillante smorzato. Allora si ha
v c (t) = Ae -
t /t
cos(w t + q ) ,
dove la pulsazione w è data da
(164)
274
w=w
0
1 - 1 / (w
0t
)2 ,
(165)
e t è la costante di tempo dell'esponenziale smorzato che descrive l'ampiezza dell'oscillazione;
quando RÆ0
la costante di tempo tende all'infinito e la pulsazione w
tende a quella caratteristica
1 / LC . In questo limite il funzionamento del circuito tende a quello di un oscillatore LC ideale.
Le due costanti A e q devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali a t=0, cioè
v c (0) e dv c / dt t =0 . La derivata della tensione del condensatore si ottiene imponendo le
condizioni iniziali per lo stato (159) utilizzando la prima equazione del sistema (161). Così
facendo si ottiene
dv c / dt t =0 = I 0 / C .
(166)
Si consideri, ora, il circuito RLC parallelo rappresentato in figura 26b. Il circuito è in
evoluzione libera; lo stato all'istante iniziale t=0 è dato dalle (159). Le equazioni caratteristiche dei
bipoli a memoria sono ancora le (160). Per determinare le equazioni di stato bisogna esprimere,
come al solito, la corrente nel condensatore e la tensione dell'induttore in funzione delle
grandezze di stato v c e i L . Anche ciò può essere fatto ancora per ispezione diretta del circuito
rappresentato in figura 26b. Si ha
dv c
v
= - c - iL ,
dt
R
di
L L = vc .
dt
C
(167)
Sostituendo la seconda equazione di stato nella prima, si ottiene l'equazione scalare per la corrente
nell'induttore
1 di L
1
d2i L
+
iL = 0 .
2 +
RC dt LC
dt
(168)
Anche l'integrale generale della (168) assume tre forme diverse a seconda che w 0 t > 1, w 0 t < 1 ,
o w 0 t = 1 dove questa volta la costante di tempo caratteristica t vale
t=
2
.
RC
(169)
Le costanti di integrazione devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali in t=0,
cioè i L (0) e di L / dt t =0 . La derivata della corrente nell'induttore si ottiene imponendo le
condizioni iniziali per lo stato (159) e la seconda equazione del sistema (167). Così facendo si
ottiene
di L / dt t =0 = V 0 / L .
(170)
Esempio
Si consideri il circuito rappresentato in figura 27. Il circuito è alimentato con un generatore
a gradino. Determinare l'andamento della corrente nel condensatore.
275
Conviene sempre formulare il problema in termini di variabili di stato. In questo caso
particolare viene prima determinata la tensione del condensatore e poi, usando la sua caratteristica,
si determina la corrente.
Le equazioni caratteristiche dei bipoli a memoria sono
dv c
= ic ,
dt
di
L L = vL .
dt
C
(171)
Per determinare le equazioni di stato bisogna esprimere la corrente nel condensatore e la tensione
dell'induttore in funzione delle grandezze di stato v c e i L . Anche in questo caso ciò può essere
fatto per ispezione diretta del circuito, applicando la legge di Kirchhoff per le correnti al nodo
“1”, e la seconda legge di Kirchhoff alla maglia costituita dal condensatore, dall'induttore e dal
resistore di resistenza R 2. Così facendo si ottiene
C
dv c
v
E
= - c - i + 0 u(t),
dt
R1
R1
L
(172)
di
= vc - R 2 i ,
L
dt
L
L
dove E 0 = 600.
Figura 27
Circuito in evoluzione forzata.
Il sistema (172) è definito per - • <
t < +• . Per t<0 il generatore di tensione è spento, quindi il
circuito è nello stato stazionario di riposo (il circuito è dissipativo). La tensione del generatore è
limitata, e quindi lo stato è continuo in ogni istante ed in particolare in t=0. Pertanto si ha
v c (0 + ) = v c (0 - ) = 0,
(173)
i L (0 + ) = i L (0 - ) = 0.
Essendo noto lo stato del circuito all'istante t = 0 + , bisogna risolvere il sistema (172) per t ≥ 0 + ;
per t ≥ 0 + la funzione di Heaviside u=u(t) è costante ed è uguale a uno. Dovendo calcolare la
corrente nel condensatore, conviene ridurre il sistema (172) a una equazione scalare del secondo
ordine nella funzione incognita v c = v c (t) . Derivando ambo i membri della prima equazione di
stato rispetto al tempo e usando la seconda, si ottiene
1 ˆ dv c
1 Ê
R2 ˆ
1 R2
d 2 vc Ê R 2
+
+
+
1
+
E0
Á
˜
Á
˜ vc =
2
LC Ë
LC R1
R1 ¯
dt
Ë L R1C ¯ dt
per t ≥ 0 + .
(174)
276
L'integrale generale dell'equazione (174) è costituito dalla somma di un integrale particolare
dell'equazione completa e dell'integrale generale dell'omogenea associata.
Come integrale particolare si può assumere senz'altro la tensione in regime stazionario (essendo
per t ≥ 0 + il generatore costante):
R2
= 510 .
R1 + R 2
vp = E0
(175)
(In regime stazionario il condensatore si comporta come se fosse un circuito aperto e l'induttore si
comporta come se fosse un corto circuito; la (175) è stato ottenuta usando il partitore di tensione.)
Il polinomio caratteristico è
p(l ) = l
2
Ê R2
1 ˆ
1 Ê
R2 ˆ
+
˜ l+
Á 1+
˜ .
LC Ë
R1 ¯
Ë L R1C ¯
+Á
(176)
Gli zeri del polinomio caratteristico sono nel caso in esame
l
1
= - 10, l
2
= - 30 .
(177)
L'integrale generale dell'equazione (174) vale
v c (t) = K1e -
10t
+ K2e-
+ 510
30t
per t ≥ 0 + .
(178)
Per determinare le due costanti di integrazione K1 e K 2 c'è bisogno di v c (0 + ) e dv c / dt t =0 + . Il
valore iniziale della tensione è noto. Il valore iniziale della derivata prima si determina usando la
prima equazione di stato e le condizioni iniziali per lo stato. Così facendo si ha
dv c
dt
=
t =0 +
1 È v c (0 + )
E u(t = 0 + ) ˘
E
-Í
- i (0 + ) + 0
= 0 = 4800 .
˙
CÎ
R1
R1
R1C
˚
(179)
L
Imponendo alla (176) le condizioni iniziali per v c (0 + ) e dv c / dt t =0 + , si ottiene il sistema
algebrico lineare
K1 + K 2 = - 510,
(180)
K1 + 3K 2 = - 480.
Risolvendo il sistema (180) si ottengono le due costanti di integrazione; quindi si ha, in definitiva,
(
v c (t) = - 525e -
10t
+ 15e -
30t
)
+ 510 u(t) .
(181)
La corrente nel condensatore vale
i c (t) = C
( 10t = (525e - 10t -
dv c
= 525e dt
)u(t) + (40e - 30t )u(t).
40e -
30t
525e -
10t
+ 15e -
30t
)
+ 510 d (t) =
(182)
277
L'impulso di Dirac ha ampiezza nulla perché la tensione del condensatore è nulla in t=0. Si noti
che la corrente nel condensatore è discontinua in t=0. Gli andamenti della tensione e della
corrente nel condensatore sono riportati in figura 28.
600,0
500,0
v c(t)[V]
ic(t)[A]
v c(t)
400,0
300,0
200,0
ic(t)
100,0
t[ms]
0,0
-100
0
100
200
300
400
Figura 28
Esempio
Valutare l'andamento della v(t) nella rete di figura 29 supposta a riposo prima della chiusura
dell'interruttore. La v(t) può essere determinata una volta nota la variabile di stato i 2 = i 2 (t) .
Figura 29
Figura 30 Circuito equivalente del trasformatore.
Figura 31 Circuito equivalente del circuito dinamico illustrato in figura 29.
Il trasformatore non è ad accoppiamento perfetto perché L1L 2 < M 2 . Un possibile circuito
equivalente del trasformatore è rappresentato in figura 30. Le induttanze L' e L" valgono
278
L'=0.5mH, L"=1.5mH e il rapporto di trasformazione vale n=L'/M=0.5. Usando il circuito
equivalente del trasformatore, si ottiene il circuito equivalente dinamico illustrato in figura 31,
dove L eq = L + L" = 5.5mH .
Le variabili di stato del circuito equivalente sono la corrente i ¢ = i ¢ (t) e la corrente i 2 = i 2 (t) .
Nel circuito in esame le variabili di stato sono le due correnti del trasformatore e la corrente
nell'induttore L. In realtà sono solo i ¢ = i ¢ (t) e i 2 = i 2 (t) , perché la corrente i 2 nell'induttore L è
i1 è legata alla
uguale a quella che circola nella porta “2” del trasformatore e la corrente
corrente i 2 e alla corrente i©attraverso la relazione algebrica
i1 = 0.5(i©- i 2 ) .
(183)
La corrente i©
2 è uguale a - 2 i1 , perché il rapporto di trasformazione è uguale a 0.5.
Per potere scrivere le equazioni di stato del circuito equivalente di figura 31, si parta dalle
equazioni caratteristiche dei due induttori; esse sono:
di©
L© = v©,
dt
di
L eq 2 = - v.
dt
(184)
Poi bisogna esprimere le tensioni v©e v L in funzione delle variabili di stato i©e i 2 . Applicando la
seconda legge di Kirchhoff alla maglia comprendente il generatore di tensione, le equazioni
caratteristiche del trasformatore ideale e la prima legge di Kirchhoff al nodo a cui è collegato
l'induttore L', si ha
2v©= v1 = E - R1i1 = E +
R1 ©
R
i 2 = E + 1 (- i©+i 2 )
2
2
t ≥ 0+ .
(185)
Invece applicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia comprendente L eq , R 2 e L©, si ha:
v = v©+R 2 i 2 = -
R1
R
E
i©+( 1 + R 2 )i 2 +
t ≥ 0+ .
2
4
4
Pertanto le equazioni di stato sono per
Ï
Ô
Ì
Ô
Ó
(186)
t ≥ 0+
di© R
R
E
L© = - 1 i©+ 1 i 2 + ,
dt
2
4
4
di 2 R1
R1
E
=
i©- ( + R 2 )i 2 .
L eq
2
dt
4
4
(187)
Il sistema (187) deve essere risolto con le condizioni iniziali
i©(0 + ) = i©(0 - ) = 0,
(188)
i 2 (0 + ) = i 2 (0 - ) = 0.
Con i valori assegnati, si ottiene dal sistema (187) l'equazione scalare per la corrente
i2
279
5
d 2 i 2 16
di
◊103 2 + ◊10 6 i 2 = 0
2 +
11
dt 11
dt
t ≥ 0+ .
(189)
L'integrale generale dell'equazione (189) è:
i 2 (t) = k1e l
+ k 2el
1t
2t
,
(190)
dove
l
1
= - 1000, l
2
=-
10 3
10 @ 22
454,5 ,
(191)
sono le frequenze naturali del circuito. Per determinare le costanti di integrazione bisogna
imporre le condizioni iniziali per i 2 (t) e di 2 / dt a t = 0 + . Il valore iniziale di i 2 è nullo; invece il
valore iniziale di di 2 / dt è dato dalla seconda equazione del sistema (189), imponendo che
all'istante iniziale sia nulla anche i ¢ ,
di 2
dt
t =0 +
= - 6000[A / s].
(192)
Imponendo queste due condizioni si ottiene il sistema di equazioni lineari e algebriche in due
incognite
k1 + k 2 = 0,
l 1k1 + l
2k2
(193)
= - 6000.
Risolvendo il sistema (193) e sostituendo nell'integrale generale, si ottiene
i 2 (t) = 11(e l
1t
- el
2t
)u(t) ,
(194)
e quindi
v L (t) = (44e l
1t
- 20e l
2t
)u(t) .
(195)
In figura 32 sono diagrammati gli andamenti della i 2 (t) e della v(t).
8,0
6,0
4,0
v(t)/4[V]
2,0
0,0
i2 (t)[A]
-2,0
t[ms]
-4,0
0
2
4
6
8
Figura 32
7.6.5 Applicazione: Circuito RC con amplificatore operazionale
10
280
Si consideri il circuito del secondo ordine con due condensatori e un amplificatore
operazionale illustrato in figura 33a. Si valutino le equazioni di stato e si discutano i tipi di
evoluzione libera che possono presentarsi.
Si assuma che il circuito funzioni in modo tale che la tensione in uscita all'amplificatore
operazionale sia, in valore assoluto, inferiore a quella di saturazione; quindi l'amplificatore
operazionale funziona nella regione lineare della caratteristica. Inoltre si assuma che A Æ • ;
in
questo limite, se la tensione di uscita deve essere inferiore a quella di saturazione e quindi
limitata, deve essere necessariamente
vd = 0 .
(196)
Figura 33 Circuito dinamico in esame (a) e circuito resistivo associato (b).
Per le correnti in ingresso all'amplificatore deve essere
I+ = I- = 0 .
(197)
(Questo è il modello dell'amplificatore operazionale ideale).
Per costruire le equazioni di stato, bisogna prima scrivere le equazioni caratteristiche dei due
elementi dinamici; esse sono:
dv1
= i1 ,
dt
dv
C2 2 = i 2 .
dt
C1
(198)
Ora bisogna esprimere le correnti i1 e i 2 nei due condensatori in funzione delle variabili di stato.
Ciò può essere fatto usando il circuito resistivo associato illustrato in figura 33b. Applicando la
prima legge di Kirchhoff si ha ( v3 e v 4 sono le tensioni sui due resistori, scelte con la
convenzione dell'utilizzatore):
i1 = - i 3 - i 4 = -
v3 v 4
,
R1 R 2
v
i2 = - i4 - I + = - i4 = - 4 ;
R2
le tensioni v3 e v 4 valgono (si deve applicare la seconda legge di Kirchhoff)
(199)
281
v3 = v1 - v2 + v d = v1 - v2 ,
v 4 = v d + v1 = v1.
(200)
Sostituendo le (200) nelle (199), e sostituendo, poi, le correnti i1 e i 2 così ottenute nelle (198), si
ottengono le equazioni di stato del circuito:
Ï
Ê 1
1 ˆ
v2
+
Á
˜ v1 +
R1 .
Ë R1 R 2 ¯
v1
R2
dv1
=dt
dv
C2 2 = dt
ÔÔ C1
Ì
Ô
ÔÓ
(201)
La matrice G del doppio bipolo statico lineare visto dai due condensatori vale, in questo caso:
1
1
+
R
R2
G = 11
R2
-
1
R1
.
(202)
0
Essa non è simmetrica , perché l'amplificatore operazionale è un elemento non reciproco. Inoltre,
essendo l'amplificatore operazionale attivo, c'è un elemento della diagonale principale che è più
piccolo degli elementi fuori diagonale. Per i circuiti che contengono amplificatori operazionali, in
generale, non vale più la proprietà della reciprocità e la proprietà di non amplificazione.
Il sistema (201) può essere ridotto all'equazione scalare del secondo ordine, nella funzione
incognita v1 = v1 (t) ,
1
d 2 v1 Ê R1 + R 2 ˆ 1 dv1
+
v1 = 0 .
˜
2 +Á
dt
Ë R1R 2 ¯ C1 dt R1R 2 C1C 2
(203)
Il polinomio caratteristico di questa equazione è:
p(l ) = l
2
Ê R1 + R 2 ˆ 1
1
l+
.
˜
R1R 2 C1C 2
Ë R1R 2 ¯ C1
+Á
(204)
Siccome i coefficienti del polinomio caratteristico hanno tutti lo stesso segno, i suoi zeri devono
essere necessariamente a parte reale minore di zero. Pertanto, pur essendovi nel circuito un
elemento attivo, il circuito è asintoticamente stabile (prevalgono, per come l'amplificatore
operazionale è collegato, gli effetti dissipativi dei resistori).
Si calcoli, ora, il discriminante D del polinomio (204). Si ottiene:
D=
È (R1 + R 2 )2 C1 ˘
1
.
4C12 R1R 2 ÍÎ
R1R 2
C 2 ˙˚
(205)
È evidente che è sempre possibile scegliere i parametri R1 , R 2 , C1 e C 2 in modo tale da avere un
discriminante positivo, nullo oppure negativo. Dunque, è possibile con due condensatori e un
amplificatore operazionale avere anche frequenze naturali complesse coniugate (a parte reale
minore di zero). Questo è un risultato molto importante, perché, come abbiamo visto
282
precedentemente, ciò non può mai accadere se gli elementi statici lineari sono solo resistori e
trasformatori ideali. È come se l'amplificatore operazionale, a causa della sua caratteristica non
reciproca, cambiasse la natura di uno dei due condensatori, trasformandolo in un induttore. In
realtà in questo caso non è possibile individuare quale dei due condensatori si comporta da
induttore. Questi tipi di circuiti sono alla base degli oscillatori e dei filtri attivi.
7.7 Circuiti dinamici lineari tempo-invarianti di ordine qualsiasi
A conclusione di questo Capitolo estenderemo i concetti e le proprietà introdotti per i circuiti
dinamici del primo e del secondo ordine lineari e tempo-invarianti ai circuiti di ordine N qualsiasi.
L'equazione per una generica grandezza di stato (ad esempio, la tensione di un condensatore o
la corrente di un induttore ) è del tipo
dNy
+ a Ndt N
d N- 1y
dy
+ a 0 y = f (t) ;
1
N- 1 +... +a1
dt
dt
(206)
i coefficienti a i sono reali e costanti e la funzione f=f(t) è una combinazione lineare delle tensioni
dei generatori di tensione e delle correnti dei generatori di corrente e di loro derivate fino
all'ordine (N-1). Essa si ottiene riducendo il sistema di equazioni di stato (14) ad un'unica
equazione in un'unica incognita.
L'integrale generale della (206) è
y(t) = y o (t) + y p (t),
(207)
dove y p (t) è una soluzione particolare e y o (t) è l'integrale generale dell'equazione omogenea
(l'equazione che si ottiene ponendo f(t)=0 nella (206)).
Per determinare l'integrale generale dell'equazione omogenea associata bisogna determinare gli
zeri del polinomio caratteristico
p(l ) = l
N
+ a N- 1l
N- 1
+...+a1l + a 0 .
(208)
Nell'ipotesi che le radici di p(l ) siano tutte distinte (questa ipotesi ha solo lo scopo di semplificare
la notazione), y o (t) assume la forma
y o (t) = Â
N
Kiel
i (t -
t0 )
.
(209)
i=1
Le costanti di integrazione (che possono essere reali o complesse) si determinano imponendo le
condizioni iniziali per la y(t) e per le sue derivate fino all'ordine (N-1) all'istante t = t 0 . Esse si
ottengono imponendo il valore delle grandezze di stato del circuito all'istante iniziale t = t 0 ,
usando le equazioni di stato (14).
Un circuito di ordine N possiede N frequenze naturali (reali e/o complesse); le frequenze
complesse sono a due a due coniugate perché i coefficienti del polinomio caratteristico sono reali.
Se l i è reale, il termine e
l i (t - t 0 )
è una funzione con andamento esponenziale, decrescente al
283
crescere di t se l i è minore di zero, crescente se invece l i >0. Come caso limite intermedio, al
valore l i =0 corrisponde una costante.
Se invece l i è complesso, cioè esprimibile come
l
i
=s
i
+ iw
i,
(210)
con s i e w i reali, la combinazione dei due termini K i e
termine del tipo
A ies
i (t -
t0 )
cos[w
i (t
- t0 ) + J
l i (t - t 0 )
e K*i e l
*
i (t -
t0 )
dà luogo a un
i ].
(211)
La (211) è una funzione oscillante sinusoidale con ampiezza crescente o decrescente a seconda
del segno di s i ; per s i =0 la (211) si riduce a una funzione sinusoidale con pulsazione w
i.
Proprietà 14
I circuiti costituiti da soli condensatori (rispettivamente, induttori), resistori lineari e
trasformatori ideali hanno solo frequenze naturali reali, qualunque sia l'ordine.
Questa proprietà è strettamente connessa alla simmetria della matrice delle conduttanze che
caratterizza i circuiti RC e della matrice delle resistenze che caratterizza i circuiti RL (vedi
Appendice D) con resistori lineari e trasformatori ideali. Invece circuiti con induttori e
condensatori possono avere anche frequenze naturali complesse, essendo la matrice ibrida non
simmetrica .
In generale i circuiti dinamici possono essere classificati in “asintoticamente stabili”, “stabili”
e “instabili”.
Un circuito si dice stabile se l'evoluzione libera si mantiene limitata uniformemente rispetto al
tempo, comunque siano i valori iniziali dello stato. Le frequenze naturali si trovano nel semipiano
sinistro del piano complesso (piano di Gauss) e tutto al più sull'asse immaginario; non possono
trovarsi nel semipiano destro. Un circuito si dice instabile se l'evoluzione libera diverge per tÆ • ;
almeno una frequenza naturale ha parte reale maggiore di zero e quindi si trova nel semipiano
destro del piano di Gauss. Un circuito si dirà asintoticamente stabilese è stabile e se l'evoluzione
libera tende asintoticamente a zero per t Æ • , indipendentemente dai valori iniziali dello stato; le
frequenze naturali devono avere tutte parte reale minore di zero: non ci sono frequenze naturali
sull'asse immaginario e si trovano tutte nel semipiano sinistro del piano di Gauss.
Proprietà 15
Un circuito in evoluzione libera passivo è stabile e quindi le frequenze naturali non
possono mai trovarsi nel semipiano destro del piano di Gauss.
Questa proprietà può essere dimostrata in questo modo. Si consideri il circuito in evoluzione
libera e si applichi a esso la conservazione delle potenze elettriche. Si ottiene
284
dW
= - P R (t) ,
dt
(212)
dove W=W(t) è l'energia globalmente immagazzinata nel circuito al generico istante t, e vale
NC 1
W(t) = Â
i=12
C i v2i (t) +
N C +N L
1
L k i 2k (t),
2
k =N C +1
Â
(213)
e P R (t) è la potenza assorbita globalmente dalla parte statica del circuito (la potenza assorbita dai
trasformatori ideali è uguale a zero),
P R (t) = Â R h i 2h (t) .
(214)
h
Avendo supposto che tutti i resistori sono passivi, la potenza P R (t) non può essere mai negativa, e
quindi la derivata dell'energia immagazzinata non può mai essere positiva. Di conseguenza si ha
0 £ W(t) £ W(t 0 ) per ogni t ≥ t 0 ,
(215)
dove W(t 0 ) è l'energia immagazzinata nel circuito all'istante iniziale t 0 . Pertanto l'energia
immagazzinata e quindi tutte le grandezze di stato rimangono limitate (perché le capacità e le
induttanze sono positive) e le frequenze naturali non possono trovarsi nel semipiano destro del
piano di Gauss.
Se nel circuito non ci sono elementi dissipativi (la parte statica è costituita da soli corto circuiti,
circuiti aperti e trasformatori ideali), in qualsiasi condizione di funzionamento si ha P R (t) =0. In
questi casi l'energia immagazzinata si mantiene costante: i circuiti di questo tipo sono detti
conservativi.
Se il circuito contenesse, invece, amplificatori operazionali e/o generatori controllati, la potenza
P R (t) potrebbe essere minore di zero, e quindi il circuito potrebbe avere evoluzioni libere
divergenti. Pertanto un circuito con elementi attivi può essere instabile. I circuiti instabili sono
usati negli oscillatori.
Si supponga, ora, che il circuito sia dissipativo. In questo caso l'energia che è in esso
immagazzinata nell'istante iniziale, viene completamente assorbita dai resistori durante l'evoluzione
libera. Pertanto tutte le frequenze naturali devono avere necessariamente parte reale minore di
zero.
Proprietà 16
Se il circuito è dissipativo, tutte le frequenze naturali hanno parte reale minore di
zero, e quindi il circuito è asintoticamente stabile.
Più di una volta abbiamo osservato che la passività dei componenti dinamici e la presenza di
resistori passivi è condizione necessaria ma non sufficiente affinché il circuito sia dissipativo.
Proprietà 17
285
Un circuito costituito da generatori indipendenti e resistori, induttori e condensatori
passivi è dissipativo, se nel circuito in evoluzione libera non esistené un insieme di
taglio e né una maglia senza almeno unresistore (con resistenza limitata e maggiore
di zero); questa è una condizione riguardante il grafo del circuito ed è sufficiente, ma
non necessaria.
Non dimostreremo questa proprietà. Comunque è utile commentarla considerando dei casi in
cui non è verificata. A tale scopo si considerino i tre circuiti illustrati in figura 35 (i primi due
circuiti sono stati già considerati precedentemente).
Nel circuito illustrato in figura 35a esiste un insieme di taglio di soli condensatori, nel circuito
illustrato in figura 35b esiste una maglia di soli induttori e nel circuito illustrato in figura 35c
esistono insieme di taglio e maglie costituite da soli induttori e condensatori.
Nel circuito illustrato in figura 35a, siccome i due condensatori sono in serie, può verificarsi
che v = v1 + v 2 = 0 , v1 = V π 0 e v2 = - V . In questo caso la potenza P R (t) = v 2 / R è uguale a
zero pur essendo diversa da zero l'energia immagazzinata nel circuito. Pertanto si ha
W(t) = (C1 + C 2 )V 2 / 2 = costante , quindi pur essendo il circuito passivo esso non è dissipativo.
Nel circuito illustrato in figura 25b siccome i due induttori sono in parallelo, può verificarsi che
i = i1 + i 2 = 0 , i1 = I π 0 e i 2 = - I dove I=c o s t a n t e. Anche in questo caso la potenza
P R (t) = Ri 2 è uguale a zero pur essendo diversa da zero l'energia immagazzinata nel circuito.
Pertanto si ha W(t) = (L1 + L 2 )I 2 / 2 = costante come nel caso precedente.
Infine nel circuito illustrato in figura 35c, se L1C1 = L 2 C 2 = 1 / w 20 , è facile verificare che è
possibile una evoluzione libera con
v = v1 - v2 = 0,
v1 (t) = v2 (t) = V cos(w
0t
+ J ).
(216)
(è come se vi fossero due circuiti LC non interagenti). In questo caso la potenza P R (t) = v 2 / R è
uguale a zero pur essendo diversa da zero l'energia immagazzinata nel circuito.
Figura 35 Esempi di circuiti passivi ma non dissipativi.
Osservazione
286
È evidente che, n condensatori in parallelo di capacità C 1 , C 2 ,..., C n , equivalgono a un solo
condensatore di capacità equivalente C
eq
=Â
n
C
i=1 i
e, dualmente, m induttori in serie di
induttanza L 1 , L 2 ,..., L m equivalgono a un solo induttore di induttanza L eq = Â
entrambi i casi, pur avendo più elementi dinamici, abbiamo una sola grandezza di stato.
m
L
i=1 i
. In