ELEMENTI DI ALGEBRA

• DEFINIZIONE
Espressione algebrica costituita dal prodotto tra
una parte numerica (coefficiente) e una o più
variabili e/o costanti (parte letterale). Variabili e
costanti possono comparire elevate a potenza
(esponente intero positivo).
• ESEMPI
3 x,
2 xy , 7, − abx
2
5
• Un monomio è in forma normale se è il prodotto
di un solo fattore numerico e di fattori letterali
con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di
seguito è da riferirsi a monomi in forma
normale.
• Il grado (complessivo) di un monomio è dato
dalla somma degli esponenti dei fattori letterali.
• Due monomi si dicono simili se hanno uguale
parte letterale.
• Operazioni tra monomi
• DEFINIZIONE
Espressione algebrica composta dalla somma di
monomi.
• Se tutti i monomi componenti sono non simili tra
loro, il polinomio si dirà in forma normale (tipico).
• Ciascun monomio è detto termine.
• Il grado (complessivo) di un polinomio è dato dal
massimo grado dei monomi componenti.
• Operazioni tra polinomi
• Prodotti notevoli
• D’ora in avanti lavoreremo soltanto con polinomi
a coefficienti reali contenenti una sola variabile.
Un tale polinomio di grado n si può rappresentare
nel seguente modo:
a0 + a1 x + a2 x +…+ an x
2
n
(1)
• Per questi polinomi definiamo l’operazione di
divisione tra polinomi e ne mostriamo per mezzo
di esempi l’algoritmo per effettuarla.
• Un polinomio come quello della (1) può essere
interpretato come funzione reale di variabile reale
p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x +… + an x
2
n
e quindi rappresentato graficamente.
• Cercare le soluzioni dell’equazione p ( x ) = 0 significa
di conseguenza cercare le ascisse dei punti di
intersezione del grafico della funzione polinomiale
con l’asse x.
• Sfortunatamente però "Non esiste nessuna formula
per le radici di una generica equazione polinomiale di
quinto grado (o superiore) in funzione dei coefficienti
del polinomio, che usi solo le normali operazioni
algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione,
divisione) e l'applicazione di radicali (radici quadrate,
radici cubiche, etc.)"
teorema di Abel-Ruffini
• Possiamo però avvalerci della scomposizione in
fattori primi di un polinomio.
• Gli strumenti a nostra disposizione per scomporre
un dato polinomio in fattori primi sono:
–
–
–
–
–
Raccoglimento a fattor comune
Raccoglimento a fattor parziale
Riconoscimento di prodotti notevoli
Trinomio di secondo grado
Teorema e regola di Ruffini
• Un polinomio a coefficienti reali in una variabile reale
non è in generale scomponibile nel prodotto di soli
binomi di primo grado (eventualmente elevati a potenze
con esponente intero e positivo), potrebbero essere
presenti fattori di grado superiore che però non si
annullano per nessun valore della variabile.
• La scomposizione in fattori primi di un polinomio è unica.
• Volendo determinare il minimo comune multiplo o
Massimo Comun Divisore tra due (o più) polinomi è
necessario scomporli in fattori primi e poi applicare le
stesse regole che si usano per i numeri.
• DEFINIZIONE
A
Espressione algebrica del tipo
dove A e B sono
B
due polinomi.
• Perché la definizione abbia senso bisogna che
valga la condizione B≠ 0 (condizione di esistenza).
• Scomponendo i due polinomi in fattori primi è
possibile che alcuni siano semplificabili. La
frazione che si ottiene è da considerarsi
equivalente a quella di partenza (minimi termini).
• Tra frazioni algebriche sono consentite tutte le
quattro operazioni algebriche e l’elevamento a
potenza. Queste si operano in analogia a quelle
tra frazioni numeriche e sfruttando quanto visto
in precedenza per le operazioni tra polinomi.
• Data una frazione algebrica ridotta ai minimi
termini nella quale il grado del numeratore è
inferiore a quello del denominatore è in generale
possibile scriverla come somma di frazioni più
semplici (numeratori di grado inferiore).
• DEFINIZIONE
uguaglianza tra due espressioni che possono
contenere variabili verificata per tutti i
possibili valori assunti dalle variabili
• ESEMPI
11
( 2 × 3) + 5 =
identità numerica
2
Identità algebrica
( a + b ) = a 2 + b2 + 2ab
• DEFINIZIONE
un’equazione è un’uguaglianza tra due
espressioni algebriche contenti una o più
variabili, che prendono il nome di incognite,
verificata solo per determinati valori assunti
dalle incognite
• ESEMPIO
Data l’equazione 2 x + 3 = x + 1 con x ∈ 
l’uguaglianza è verificata solo per x = −2
• I valori dell’incognita (incognite) che verificano
l’uguaglianza vengono detti soluzioni
dell’equazione. In generale i tre casi possibili per
una data equazione sono che essa ammetta
nessuna, un numero finito o infinite soluzioni
• È importante specificare l’insieme di definizione
delle variabili dell’equazione (dominio). Infatti
nell’insieme dei numeri naturali l’equazione
dell’esempio non ammette soluzioni ( −2 ∉  ) ,
mentre ne ammette una ed una sola nell’insieme
dei numeri interi come abbiamo visto
• DEFINIZIONE
Due equazioni si dicono equivalenti se
ammettono le stesse soluzioni
• TEOREMA 1
Sommando o sottraendo una stessa espressione
a primo e secondo membro di un’equazione si
ottiene un’equazione ad essa equivalente
NOTA
Il primo membro di un’equazione è l’espressione che si trova a sinistra del
segno di uguaglianza, il secondo membro l’espressione a destra
• TEOREMA 2
Moltiplicando o dividendo primo e secondo
membro di un’equazione per una stessa
espressione si ottiene un’equazione ad essa
equivalente. Quando si divide bisogna che il
dividendo sia diverso da zero
• Per le altre operazioni (elevamento a potenza,
estrazione di radice, logaritmo, etc.) non vale in
generale l’equivalenza. La si può ottenere
introducendo altre condizioni
• EQUAZIONI DI I GRADO (UNA VARIABILE)
un’equazione di I grado (lineare) in una incognita,
per quanto complessa possa essere, si può
ridurre, tramite le usuali regole dell’algebra
elementare e i teoremi appena visti, nella forma
=
ax + b 0 con a, b ∈ 
Tre casi sono possibili:
1)a ≠ 0 →
una e una sola soluzione
2)a= 0 e b= 0 → infinite soluzioni ( ∀x ∈  )
3)=
a 0 e b ≠ 0 → nessuna soluzione
b
x= −
a
• EQUAZIONI DI II GRADO (UNA VARIABILE)
un’equazione di II grado (quadratica) in una
incognita può essere messa nella forma
ax 2=
+ bx + c 0 con a, b, c ∈  e a ≠ 0
Posto ∆= b − 4ac tre sono i casi possibili:
2
1)
∆ > 0 due soluzioni
ne esiste una forma ridotta
−b ± b 2 − 4ac
x=
2a
−b
una soluzione (due coincidenti) x =
2a
∆ =0
3) ∆ < 0 nessuna soluzione
2)
Casi particolari
c
x ± − con − c a ≥ 0
1) b = 0 le soluzioni sono =
a
b
2) c = 0 le soluzioni sono x =0 ∧ x =−
a
• EQUAZIONI DI I GRADO (DUE VARIABILI)
Possono sempre essere messe nella forma
ax + by + c =
0
le soluzioni di questa equazione sono, per
definizione, tutte le coppie ordinate di numeri
reali ( x, y ) ∈  2 che sostituite nell’equazione la
trasformano in un’identità, cioè verificano
l’equazione stessa. Si dimostra facilmente che
tali coppie sono infinite
• Sia data l’equazione di I grado a due variabili
x + y +1 =
0
si dimostra facilmente che l’equazione
kx + ky +=
k 0
∀k ∈ 
rappresenta l’insieme di tutte e sole le equazioni
equivalenti a quella data (forma implicita).
• Altrettanto facilmente si dimostra che l’insieme delle
coppie ordinate di numeri reali
( h, −h − 1)
∀h ∈ 
contiene tutte e sole le soluzioni dell’equazione data e
quindi di ogni equazione ad essa equivalente
• In conclusione è possibile stabilire una
corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle
equazioni di I grado a due variabili equivalenti
ad una data e l’insieme delle sue soluzioni
kx + ky +=
k 0
∀k ∈ 
( h, −h − 1)
∀h ∈ 
• EQUAZIONI DI II GRADO (DUE VARIABILI)
Possono essere sempre messe nella forma
ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f =
0
le soluzioni sono infinite coppie ordinate di
2
x
,
y
∈

(
)
numeri reali
Un caso particolare è quello che si ottiene per
b = c = 0 e e = −1 l’equazione si può scrivere
y = ax 2 + bx + c
• Un ragionamento analogo a quello fatto per le
equazioni di I grado a due variabili può essere
fatto per le equazioni di II grado a due
variabili, vale a dire che l’insieme delle
equazioni equivalenti ad una data può essere
messo in corrispondenza biunivoca con
l’insieme delle sue soluzioni