Esercizio n°2
Un punt o m at eriale si m uove su un cerchio secondo la legge oraria:
s t =t 3 2t 2 dove s è in cm e t è in secondi. Sapendo che all’ist ant e
t = 2 s, l’accelerazione t ot ale del punt o è 16 2cm/ s2, calcolare il raggio
del cerchio.
at t
P
aN N
R
DATI:
Legge oraria s(t ) = t 3 + 2t 2
s cm t secondi
t = t 0 = 2 s a(t 0 ) = 16 √ 2 cm /s2
? 1) R
5
Svolgimento esercizio 2 (1)
a t = at t a N t 1)
dove:
at =
a Nt
a tN
2
v t aN=
u N
R
dv
u t
dt
Quindi, nel problem a in esam e dalla
legge oraria si ricava:
{
v t 0 =20 cm/s
Allora:
a t t 0 =16 cm/s
{
a
ds
2
=3t 4t
dt
dv
at t = =6t4
dt
v t =
2
2
2
a N t 0 = a t 0 a t 0 = 2 16 16 cm/s 2 =16 cm/s 2
2
2
t
Infine, poiché
a N t =
v t R
v t0 2
2
, si ha:
R=
aN t 0 =25 cm
6
Esercizio n°4
Si scaglia una freccet t a orizzont alm ent e con una velocit à iniziale
di 10 m /s punt ando al cent ro P del bersaglio m ost rat o in figura. La
freccet t a dopo 0,19 s, finisce sul bordo del quadrant e nel punt o Q,
vert icalm ent e al di sot t o di P.
(a) Qual è la dist anza PQ?
(b) A che dist anza dal bersaglio si t rovava il lanciat ore?
y
DATI:
d
v 0 = 1 0 m /s
t = 0 ,1 9 s
( a ) ?R
(b)? d
P
R
O
Q
x
12
Svolgimento esercizio 4 (1)
(a) Fissiam o il riferim ent o com e in figura (osservo che avrei
pot ut o fissare l’origine degli assi anche in corrispondenza
del punt o di part enza della freccet t a) e scriviam o le equazioni del
m ot o.
Il m ot o della freccet t a è un
m ot o piano parabolico: le
x=v 0 t
equazioni
del
m ot o
della
1 2
freccet t a nelle due direzioni x
y=R gt
2
ed y saranno:
{
Dopo l’int ervallo di t em po ∆t , avrem o:
Quindi:
{
1
2
R= g t =0,18 m
2
2
1
y t =0 =R g t 2
x t =d=v 0 t
d=v0 t= 1,9m
13
Esercizio n°6
Un t ennist a serve la palla orizzont alm ent e da un’alt ezza
(riferit a al cent ro della palla) sul cam po di 2,37 m a
una velocit à di 23,6 m /s.
(a) Riuscirà la palla a passare sopra la ret e, alt a 0,90 m , che si t rova ad
una dist anza di 12,0 m ? Se sì, a che alt ezza sulla ret e (riferit a al
cent ro della palla)?
(b) Supponiam o ora che il t ennist a serva con un’inclinazione verso il
basso di 5,00° rispet t o al piano orizzont ale. La palla riuscirà ancora a
passare la ret e? Se sì, a che alt ezza?
DATI:
y
v0
H
P0
d
H = 2 ,3 7 m
v 0 = 2 3 , 6 m /s
h = 0,9 0 m
D = 12 ,0 m
(a) Pa ssa ? Ca lcola r e d
(b) Se = 5 °
Pa ssa ? Ca lcola r e d
h
x
D
17
Svolgimento esercizio 6 (1)
(a) Appare evident e (anche dalla figura), che la palla supera la ret e
se nell’ist ant e in cui x = D è y > h (linea cont inua).
Il m ot o della palla è un m ot o piano
parabolico: le equazioni del m ot o
della palla nelle due direzioni x ed y
saranno (nel sist em a di riferim ent o
fissat o in figura):
{
x t =v 0 t
1 2
y t =H gt
2
Calcoliam o l’ist ant e di t em po t 1 in cui x= D:
D=v0 t 1 D
t 1=
v0
L’alt ezza della palla sul cam po all’ist ant e t 1 è y(t1):
1 2
gD2
y t 1 =H gt1 =H 2 =1,10m
2
2v 0
y(t 1 )> h: la palla supera la ret e!
18
Svolgimento esercizio 6 (2)
La pallina supera la rete di:
d=y t 1 h=1,10 m0,90 m= 0,20 m
(b):
y
P0(0,H)
H
v0
h
D
x
Svolgimento esercizio 6 (3)
Questa volta le equazioni del moto saranno:
{
x t =v 0 cos t
D
t 1=
v0 cos
1 2
y t =H v 0 sent gt
2
E quindi:
2
1
D
D
g 2 2 y t 1 =H v0 sen
v 0 cos 2 v0 cos 2
1
D
y t 1 =H Dtg g 2 2 =0,043m
2 v 0 cos y(t 1 )< h: la palla non supera la ret e!
20
Esercizio n°2
Una cassa di massa 136 kg è appoggiata sul pavimento. Un operaio
tenta di spingerla applicando orizzontalmente una forza di 412 N. (a) dimostrate
che, se il coefficiente di attrito statico vale 0,37, la cassa non si sposta. (b) Un
secondo operaio interviene in aiuto tirando su la cassa in direzione verticale. Quale
è la minima forza verticale che consentirà lo spostamento della cassa appoggiata
sul pavimento? (c) Se la forza applicata dal secondo operaio fosse orizzontale,
concorde alla forza applicata dal primo operaio, anziché verticale, quale valore
minimo dovrebbe avere per far spostare la cassa?
F
M
DATI:
M = 136 kg
F = 412 N
µs = 0.37
?Dimostrare che la cassa non si sposta
?F2 minima verticale tale che la cassa si sposti
?F2 minima orizzontale tale che la cassa si sposti
4
Svolgimento esercizio 2 (1)
a) Disegniamo le forze in gioco e scriviamo lequazione dinamica nelle
condizioni di equilibrio statico:
y
F F as P N =0
N
x Fas
{
F
M
P
Il corpo non si muove finché
F as F
x : F F as =0
y : N Mg=0
quindi fino a che
max
s N F
s N F s MgF
Con i valori di F, µs ed M dati si verifica sempre:
s MgF 493,15 N 412 N
Il corpo di massa M non si sposta
5
Svolgimento esercizio 2 (2)
b) Disegniamo le forze in gioco nel caso dellapplicazione di una seconda
forza F2 verticale e scriviamo lequazione dinamica nel caso delle condizioni di
equilibrio:
y
=0
F F 2 F as P N
F2
N
x
Fas
{
F
M
P
Il corpo non si muove finché
x : FF as =0
y : N F 2 Mg=0
F as F quindi fino a che s N F
max
s N F s MgF 2 F s F 2Mg F Affinché il corpo si sposti si deve avere dunque:
F
F 2Mg s
F
F 2 =Mg =219 N
min
s
6
Svolgimento esercizio 2 (3)
c) Disegniamo le forze in gioco nel caso dellapplicazione di una seconda
forza F2 parallela e concorde ad F e scriviamo lequazione dinamica nel caso delle
condizioni di equilibrio:
=0
F F 2 F as P N
y
x
Fas
N
M
F2
F
P
Il corpo non si muove finché
{
x : FF 2 F as =0
y : N Mg=0
F as F F 2
max
quindi fino a che
s N F F 2
s N FF 2 s MgFF 2 F 2 s Mg F Affinché il corpo si sposti si deve avere dunque:
F 2 s MgF F 2 = s MgF=81 N
min
7
Esercizio n°3
Nella figura, A è un blocco di massa 4,4 kg e B un blocco di massa 2,6 kg. I
coefficienti di attrito statico e dinamico fra A ed il piano sono rispettivamente 0,18 e
0,15. (a) Determinare quale è la massa minima di un blocco C da collocare al di
sopra di A per impedirgli di spostarsi. (b) Se C viene rimosso improvvisamente,
quale sarà laccelerazione di A?
DATI:
m A = 4,4 kg
m B = 2,6 kg
µs = 0,18 µd = 0,15
(a)? Cm in per im pedire ad A di m uoversi
(b)? C rim osso, a A
8
Svolgimento esercizio 3 (1)
a) La situazione equivale ad avere un blocco di massa totale (mA + mC),
dato che tra i due blocchi non cè attrito:
y
Disegniamo le forze in gioco e scriviamo le equazioni
dinamiche per i due blocchi nelle condizioni di
equilibrio:
N
x
A+C
Fas
T
BLOCCO A+C
T F as N P A P C =0
T
{
PB
Sappiamo che:
PA+PC
Quindi dalla (1) e dalla (2) si ha:
x :T F as =0
y : N P A PC =0
(1)
(2)
as s N
F
T=F as s N = s P A P C (3)
9
Svolgimento esercizio 3 (2)
BLOCCO B:
T P B =0T P B =0 T =P B
(4)
Dalla (3) e dalla (4) si ricava:
P B=T s P A P B m B g s m A mc g
mB
mC m A s
mC
min
mB
= m A =10 kg
s
10
Svolgimento esercizio 3 (3)
b) Rimuovendo il blocco C si avrà:
Disegniamo le forze in gioco e
scriviamo le equazioni dinamiche per i due
blocchi che si muoveranno con accelerazioni
aA e aB. Fissiamo il verso degli assi in base
allipotetico moto. Immaginiamo che B si
muova verso il basso e che A si muova verso
destra.
N
N
x
Fad
T
y
BLOCCO A
PA
T
BLOCCO B:
{
x :T F ad =m A a A
y : P A N =0
(1)
m B gT =m B a B
(3)
(2)
PB
Osserviamo che i due blocchi si muoveranno con la stessa
accelerazione a =a =a
A
B
11
Svolgimento esercizio 3 (4)
Quindi dalla (1) (2) e (3) e sapendo che
ad= d N , si ha:
F
T F ad m B ga d N mB ga d m A g
a=
=
=
mA
mA
mA
m B d m A
m
a=
g=2,72 2
m A m B
s
12
Esercizio n°5
Il blocco B della figura pesa 712 N. Per un coefficiente di
attrito statico fra B ed il tavolo pari a 0.25, trovare il peso massimo
di A per cui B resterà a riposo.
DATI:
PB = 712 N
µS = 0.25
α= 41°
?PA affinchè
B resti fermo
16
Svolgimento esercizio 5 (1)
y
Schema delle forze:
x
1)
Equazione dinamica del punto
materiale di massa mB nelle
condizioni di equilibrio:
-T2
N
Fas
PB
T1
T2
-T1O
-T3
T3
PB
N T 1 F as =0
La precedente equazione vettoriale
diventa in componenti:
{
PA
Quindi:
x : T 1 F as =0
y : N P B =0
T 1F as = s N = s P B (1)
max
2) Equazione dinamica del punto materiale di massa mA nelle condizioni di equilibrio:
T 3 P A =0 y : T 3P A =0
Allora:
T 3=P A
(2)
17
Svolgimento esercizio 5 (2)
1)
Consideriamo il punto O: la somma vettoriale di tutte le forze in tale
punto deve essere nulla!!
T 2 T 1 T 3 =0
La precedente equazione vettoriale diventa in componenti:
{
x : T 2cos T 1 =0
y : T 2sen T 3 =0
T3
=tg T1
Quindi:
(3)
Mettendo insieme le tre equazioni ricavate (1), (2) e (3) si ricava:
P A =T 3=T 1tg s P B tg P A = s P B tg =154 . 7N
max
18
