A, B - Dmi Unipg

MATRICI
INTRODUZIONE.
Quando si lavora su di un sistema di equazioni lineari, soltanto i coefficienti e le rispettive
posizioni sono importanti. Inoltre, nel ridurre il sistema a gradini, è essenziale che si conservino
le equazioni accuratamente allineate. In tal modo detti coefficienti possono essere utilmente
sistemati in un insieme ordinato rettangolare che si chiama “matrice”. Inoltre alcuni particolari
concetti astratti come “cambiamento di base”, “operatore lineare” e “forma bilineare”, possono
essere rappresentati anche con questi insiemi ordinati rettangolari, o matrici.
Studieremo ora queste matrici, nonché certe operazioni algebriche ad esse applicabili. Il
materiale che qui si fornisce è per la maggior parte di tipo operativo. Comunque, come per le
operazioni lineari, la trattazione del tipo astratto che più avanti viene presentata ci fornirà una
visione più ampia della struttura di dette matrici.
Notiamo ulteriormente che gli elementi di Rn sono opportunamente rappresentati da “vettori
riga” o “vettori colonna”, i quali sono dei casi particolari di matrici.
MATRICI
Un insieme ordinato rettangolare della forma
 a11

 a21


a
 m1




a12
a22

am 2
a1n 

a2 n 


amn 
in cui gli aij sono numeri reali, si chiama matrice. La suddetta matrice viene anche indicata con
(aij), i = 1, …, m, j = 1,…,n, o più semplicemente con (aij). Le m n-p le orizzontali
(a11,a12, …,a1n), (a21,a22, …,a2n),…, (am1,a m2, …,a mn)
sono le righe della matrice, mentre le m n-p le verticali
 a11 
 
 
 a21 
 
 .. 
a 
 m1 
 a12 




 a22 


 .. 
a 
 m2 
,
…,
 a1n 




 a2 n 


 .. 
a 
 mn 
sono le sue colonne. Si noti che l’elemento aij chiamato entrata ij o componente ij, appare nella
riga i-esima nella j-esima colonna. Una matrice di m righe ed n colonne si chiama matrice m per
n, o matrice m  n; la coppia di numeri (m,n) è la sua forma o dimensione.
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Esempio: La seguente è una matrice 2

3:
1  3 4 


 0 5  2
Le sue righe sono (1, -3,4) e (0,5,-2); le sue colonne sono
1
  ,
0
  3
 
 5 
e
 4 
 
  2
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Le matrici saranno abitualmente indicate con lettere maiuscole A,B, …, gli elementi di R con
lettere minuscole a,b, …
Due matrici A e B sono uguali, e si scrive A = B, se hanno la stessa forma e se gli elementi
corrispondenti sono uguali.
Perciò l’eguaglianza di due matrici m  n equivale ad un sistema di mn uguaglianze, una per ogni
coppia di elementi.
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Esempio La relazione
x

x
y 2z  w
=
y z  w 
3 5


1 4
è equivalente al seguente sistema di equazioni
 x y3
 x  y 1


2 z  w  5
 z  w  4
La soluzione del sistema è x = 2, y = 1, w = -1, z=3
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Osservazione: Ci si può riferire ad una matrice a una riga come ad un vettore riga, e ad una
colonna come ad un vettore colonna. In particolare un elemento di R può essere considerato
come una matrice 1  1.
SOMMA DI MATRICI E MOLTIPLICAZIONE PER UNO SCALARE
Siano A e B due matrici della stessa dimensione, cioè con lo stesso numero di righe e di colonne,
m  n:
A =
 a11

 a21


a
 m1
a12

a22



am 2

a1n 

a2 n 


amn 

e
B =
 b11 b12

 b21 b22
 

b
 m1 bm 2




b1n 

b2 n 


bmn 
La somma di A e B, scritta A+B, è la matrice che si ottiene sommando gli elementi
corrispondenti:
A+B =
 a11  b11 a12  b12

 a21  b21 a22  b22
 




a  b
am 2  bm 2
m1
 m1
 a1n  b1n 

 a2 n  b2 n 
 


 amn  bmn 
Il prodotto di uno scalare k per la matrice A, scritto k · A, o semplicemente kA, è la matrice
ottenuta moltiplicando ogni elemento di A per k:
kA
=
 ka11 ka12

 ka21 ka22
 


 ka
 m1 kam 2
 ka1n 

 ka2 n 
  

 kamn 
Si noti che A+B e kA sono ancora delle matrici m  n. Definiamo ancora
-A = -1 · A e
A – B = A+ (-B )
La somma di matrici con dimensioni differenti non è definita.
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Esempio : Siano
A =
1  2 3 


 4 5  6
e B =
 3 0 2


 7 1 8
A+B=
1 3  2  0 3  2 


 4  7 5  1  6  8
=
 4  2 5


  3 6 2
3A =
33 
 3  1 3  (2)


35
3  (6) 
3  4
=
 3 6 9 


12 15  18 
Allora
2A- 3B =
2  4 6 


 8 10  12 
+
6 
 9 0


 21  3  24 
=
0 
 7  4


 29 7  36 
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Esempio : La matrice m

n i cui elementi sono tutti zero,
0 0  0


0 0  0
    


0 0  0


è chiamata matrice zero, e si indica con 0. Essa è simile allo scalare 0 in quanto, per
ogni matrice
m  n, A = (aij), A + 0 = (aij + 0) = (aij) = A
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Proprietà fondamentali delle matrici per le operazioni di somma di matrici e di moltiplicazione
per uno scalare.
Teorema: Sia V l’insieme di tutte le matrici m
tutti gli scalari k1, k2,  R,
(i)
(A+B) + C = A + (B+C)
(v)

n. Allora per tutte le matrici A,B,C,
k1 (A+B)
= k1A + k1B

V e
(ii) A + 0 = A
(iii) A + (-A) = 0
(iv) A + B = B +A
(vi) (k1 + k2 )A = k1A + k2 A
(vii) (k1 k2) A = k1 (k2 A )
(viii) 1· A = A e 0A = 0
Usando le (vi) e (vii) ora viste, abbiamo anche A +A = 2A , A +A +A = 3A
Osservazione: Supponiamo che i vettori in Rn siano rappresentati da vettori riga (o vettori
colonna); diciamo
u= (a1,a2,…, an)
e
v = (b1, b2,… bn)
Allora dal punto di vista delle matrici la somma u + v ed il prodotto per uno scalare ku sono
come segue:
u + v = (a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
e
ku = (k a1, k a2 ,… ,k an )
Ma questo corrisponde esattamente alla somma e al prodotto per uno scalare, come sono stati
definiti per i vettori. In altri termini, le suddette operazioni sulle matrici si possono considerare
come una generalizzazione delle corrispondenti operazioni definite per i vettori.
PRODOTTO DI MATRICI
Il prodotto delle matrici A e B, che si scrive A B, è un po’ complicato. Perciò inseriamo le
seguenti osservazioni preliminari.
(i)
A = (ai) e B = (bi) appartengano ad Rn , ed A sia rappresentata da un vettore riga, B da un
vettore colonna. Il loro prodotto scalare A·B può essere calcolato combinando le matrici nel
modo che segue:
A·B = (a1,a2,…, an)
 b1 
 
 
 b2 
 
 .. 
b 
 n
= a1 b1
+
a2 b2
+ … +
an bn
Di conseguenza definiamo il prodotto matriciale di un vettore riga A per un vettore colonna B
nello stesso modo.
(ii)
Consideriamo le equazioni
b11 x1 + b12 x2 + b13 x3 = y1
b21 x1 + b22 x2 + b23 x3 = y2
Questo sistema equivale all’equazione matriciale
 b11 b12 b13 


 b21 b22 b23 
in cui
segue:
 x1 
 
 x2  =
x 
 3
 y1 
  o
 y2 
semplicemente BX = Y
B = (bij), X = (xi) e Y = (yi), se combiniamo la matrice B e il vettore colonna X come
BX =
 b11 b12 b13 


 b21 b22 b23 
 x1 
 
 x2 
x 
 3
=
 b11x1 b12 x2 b13 x3 


 b21x1 b22 x2 b23 x3 
=
 B1  X 


 B2  X 
essendo B1 e B2 le righe di B. Si noti che il prodotto di una matrice e di un vettore colonna porta
ad un altro vettore colonna.
Dopo questa introduzione, definiamo ora formalmente il prodotto di matrici.
Definizione: Poniamo che A = (aiJ) e B = (biJ)siano delle matrici tali che il numero di colonne di
A sia uguale al numero di righe di B; sia per esempio A una matrice m x p e B una matrice p x n.
Allora il prodotto AB è la matrice m x n il cui elemento ij – esimo è ottenuto moltiplicando la
riga i – esima Ai di A per la colonna j – esima Bj di B. Cioè
in cui
cij= ai1b1j + ai2b2j +…+ aipbpj
Vogliamo far notare che il prodotto AB non è definito se A è una matrice m x p e B una matrice
q x n, con p ≠ q.
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Esempio
 1 2  1 1   1  1  2  0 1  1  2  2   1 5 


  
  

 3 4  0 2   3  1  4  0 3  1  4  2   3 11
 1 1  1 2   1  1  1  3 1  2  1  4   4 6 


  
  

 0 2  3 4   0  1  2  3 0  2  2  4   6 8 
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L’esempio precedente fa vedere che il prodotto di matrici non è commutativo, ovvero che i
prodotti AB e BA delle due matrici non sono necessariamente uguali.
Detto prodotto di matrici soddisfa comunque alle seguenti proprietà:
Teorema : (i)
(ii)
(iii)
(iv)
(AB)C
= A(BC)
A(B+C) = AB + AC
(B+C) A = BA + CA
k(AB) = (kA)B = A (kB)
(legge associativa)
(legge distributiva a sinistra)
(legge distributiva a destra)
con k scalare
Assumiamo che somme e prodotti nel suddetto teorema siano definiti.
Notiamo che 0A = 0 e B0 = 0, in cui 0 è la matrice zero.
TRASPOSTA
La trasposta di una matrice A si scrive At, ed è la matrice che si ottiene scrivendo le righe di A,
nell’ordine, come colonne:
 a11 a12

 a21 a22
 

a
 m1 am 2
t
 a1n   a11
 
 a2 n   a12

   
 
 amn   a1n
a21
a22

a2 n
 am1 

 am 2 
 

 amn 
Osservare che se A è una matrice m x n, allora At è una matrice n x m.
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Esempio
t
3  1 4
1 2

 
 4  5  6   2  5

 3  6

 





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L’operazione suddetta soddisfa le seguenti proprietà:
Teorema
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(A+ B)t = A t +B t
(A t )t
= A
t
k(A) = kA t
(A B)t
= Bt +
per k scalare
At
MATRICI E SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
Il seguente sistema di equazioni lineari
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…………………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
(1)
equivale all’equazione matriciale
 a11

 a 21


a
 m1
a12
a 22

am2
 a1n  x1   b1 
   
 a 2 n  x 2   b2 
 



  

   
 a mn  x n   bm 
o semplicemente AX = B
(2)
in cui A = (aij), X = (xi), come sopra, e B= (bi). Ovvero, ogni soluzione del sistema (1) è la
soluzione della equazione matriciale (2), e viceversa. Notare che il sistema omogeneo associato
di (1) equivale allora all’equazione matriciale AX = 0.
La suddetta matrice A si chiama matrice dei coefficienti del sistema (1), e la matrice
 a11

 a 21


a
 m1
a12
a 22

am2
 a1n b1 

 a 2 n b2 
  

 a mn bm 
si chiama matrice incrementata di (1) . Si badi che il sistema (1) è completamente determinato
dalla sua matrice incrementata.
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Esempio : La matrice dei coefficienti e la matrice incrementata del sistema
2x + 3y - 4z = 7
x - 2y - 5z = 3
sono rispettivamente le seguenti:
 2 3  4


1  2  5
e
2 3  4 7


 1  2  5 3
Osserviamo che il sistema è equivalente all’equazione matriciale
 x
2
3

4

   7 

 y    
1

2

5

 z   3 
 
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Nello studio delle equazioni lineari è generalmente più semplice usare il linguaggio e la teoria
delle matrici, come indicato dai seguenti teoremi.
Teorema : Poniamo che u1, u2,…, un siano delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni
lineari AX = 0. Allora ogni combinazione lineare delle ui nella forma k1u1 + k2u2 +… + knun,
essendo iki degli scalari, è ancora una soluzione di AX = 0. Perciò, in particolare, ogni multiplo
ku di ogni soluzione u di AX = 0 è ancora soluzione di AX = 0.
Teorema : Il sistema AX = B o non ha soluzione, o ne ha una, o ne ha infinite.
MATRICI A GRADINI
Una matrice A = (aij ) viene detta a gradini, oppure nella forma a gradini, se il numero di zeri
che precede il primo elemento non nullo di una riga va aumentando di riga in riga, finché
restano solo delle righe di zeri; se esistono cioè in essa degli elementi non nulli.
a1j1 , a2J2 ,…, arjr in cui j1 < j2 < … < jr
con la proprietà
a1j1 = 0
per i  r,
j < ji
e per i > r
Chiamiamo gli elementi, a1J1,…, arJr, elementi distinti della matrice a gradini A.
In particolare, una matrice a gradini viene definita ridotta per righe se gli elementi distinti sono:
(i) gli unici elementi non nulli nelle rispettive colonne;
(ii) ciascuno, uguale ad 1.
EQUIVALENZA PER RIGHE ED OPERAZIONI ELEMENTARI DI RIGA
Una matrice A si dice equivalente per righe ad una matrice B se B può essere ottenuto da A con
una sequenza finita delle seguenti operazioni, dette operazioni elementari di riga:
E1 : Scambio della riga i - esima con la j - esima : Ri Rj .
E2 : Moltiplicazione della riga i - esima per uno scalare k non nullo: Ri  kRj, k 0.
E3 : Sostituzione della riga i - esima con la j - esima moltiplicata per k, più la i – esima
stessa: Ri kRj + Ri .
Nella pratica corrente si applica la E2 e quindi la E3 in unica soluzione, ovvero:
E Sostituzione della riga i - esima con k’ volte la j - esima, più k’ volte (k non nullo): Ri
k’Rj + k’Ri, k 0.
Osserviamo la somiglianza delle suddette operazioni con quelle usate nella soluzione di sistemi
di equazioni lineari.
Algoritmo che riduce per righe una matrice nella forma a gradini:
Fase 1. Poniamo che la colonna j1 sia la prima con un elemento non nullo. Scambiamo le righe,
così che questo stesso elemento compaia nella prima riga, in modo cioè che sia a1j1 0.
Fase 2. Per ogni i < 1, applicare l’operazione
Ri  aij1R1 + a1j1Ri
Ripetere le fasi 1 e 2 sulla sottomatrice costituita da tutte le righe tranne la prima. Continuare il
procedimento finché la matrice non è ridotta a gradini.
Osservazione: Il termine ridurre per righe significherà trasformare con operazioni elementari
di riga.
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Esempio: La seguente matrice A viene ridotta per righe in forma a gradini applicando le
operazioni R2  -2R1 + R2 e R3  -3R1 + R3, e quindi R3  -5R2 + 4R3:
A =
1 2  3

2 4  2
3 6  4

0
2
3





in
1 2

0 0
0 0

3 0
4 2
5 3





in
1 2

0 0
0 0

 3 0

4 2
0 2 
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
RANGO A UNA MATRICE
Sia A una matrice m x n arbitraria. Definiamo rango riga di A il massimo numero di righe
indipendenti e rango colonna di A il massimo numero di colonne indipendenti
Teorema Rango riga e rango colonna della matrice di A sono uguali.
Il rango della matrice A, scritto rango (A), è il valore comune al suo rango riga e al suo rango colonna. Così
il rango di una matrice fornisce il massimo numero di righe indipendenti, nonché il massimo numero di
colonne indipendenti. Si può ottenere il rango di una matrice nel modo che segue.
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Esempio: poniamo A =
 1 2 0  1


 2 6  3  3
 3 10  6 5 






Riduciamo A nella forma a gradini, usando le operazioni elementari di riga:
1 2 0 1


0 2  3 1
 0 4  6  2






e ancora
 1 2 0  1


 0 2  3  1
0 0 0
0






Le righe non zero della matrice a gradini sono indipendenti. Ne deriva che il rango di A è 2.
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APPLICAZIONI AD EQUAZIONI LINEARI
Consideriamo un sistema di m equazioni lineari in n incognite x1, …, xn su di un campo K:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
…………………………………………
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
ovvero l’equivalente equazione matriciale
AX = B
in cui A = (aij) è la matrice dei coefficienti, mentre X = (xi) e B = (bi) sono i vettori colonna
consistenti rispettivamente nelle incognite e nelle costanti. Ricordare che matrice incrementata
del sistema è per definizione la matrice
 a11

 a 21

(A, B) =  
a
 m1
Nota 1.
a12
a 22

am2
 a1n b1 

 a 2 n b2 
  

 a mn bm 
Le precedenti equazioni lineari si dicono dipendenti o indipendenti a seconda che i
vettori corrispondenti, ovvero le righe della matrice incrementata, sono dipendenti o
indipendenti.
Nota 2.
Si può sempre sostituire un sistema di equazioni con un sistema di equazioni
indipendenti, magari nella forma a gradini. Il numero di equazioni indipendenti sarà sempre
uguale al rango della matrice incrementata.
Così il sistema AX = B ha una soluzione solo ed esclusivamente se il vettore colonna B è
combinazione lineare delle colonne della matrice A, cioè appartiene allo spazio colonna di
A. Da ciò deriva il seguente fondamentale teorema di esistenza.
Teorema (di Rouché-Capelli) Il sistema di equazioni lineari AX = B ha una soluzione solo
ed esclusivamente la matrice dei coefficienti A e la matrice incrementata (A, B) hanno lo
stesso rango.
MATRICI QUADRATE
Una matrice con lo stesso numero di righe e di colonne si chiama matrice quadrata. Una
matrice quadrata con n righe ed n colonne è detta di ordine n, matrice quadrata di ordine n. La
diagonale (o diagonale principale) della matrice quadrata di ordine n, A = (aij) è costituita
dagli elementi a11, a22, … , ann.
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Esempio
La seguente è una matrice quadrata di ordine 3:
 1 2 3


4
5
6


7 8 9


I suoi elementi diagonali sono 1,5,9.
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Matrice triangolare alta, o semplicemente matrice triangolare, è una matrice quadrata i cui
elementi al di sotto della diagonale principale sono tutti zero:
 a11 a12  a1n 


0
a

a

22
2n 
    


0
0 0 ann 

Similmente, matrice triangolare bassa, è una matrice quadrata i cui elementi al di sopra della
diagonale principale sono tutti zero.
Matrice diagonale è una matrice quadrata i cui elementi non diagonali sono tutti zero :
 a1 0 0 0 


 0 a2 0 0 
    


0 0 0 a 
n

In particolare, la matrice quadrata di ordine n con tanti 1 sulla diagonale e 0 in ogni altra entrata
si indica con In o semplicemente I e si chiama matrice unità, o identità.
Questa matrice I è simile allo scalare 1 in quanto, per ogni matrice quadrata A di ordine n,
AI = IA = A
La matrice kI, per ogni scalare k, si chiama matrice scalare; è una matrice diagonale i cui
elementi diagonali sono tutti k.
ALGEBRA DELLE MATRICI QUADRATE
Ricordiamo che non ogni coppia di matrici può essere sommata o moltiplicata. Tuttavia, se
consideriamo soltanto delle matrici quadrate dello stesso ordine dato n, questo inconveniente
scompare. In particolar modo le operazioni di addizione, moltiplicazione, moltiplicazione per
uno scalare e trasposizione possono essere effettuate su qualsiasi matrice n x n, ed il risultato è
ancora una matrice n x n .
In particolare, se A è una qualsiasi matrice quadrata di ordine n, possiamo sviluppare le potenze
di A:
A2 = AA , A3 = A2 A,
……
e
A0 = I
MATRICI INVERTIBILI
Una matrice quadrata A si dice invertibile se esiste una matrice B con la proprietà che
AB = BA = I
in cui I è la matrice identità. Tale matrice B è unica.
Chiameremo questa matrice inversa di A, indicandola con A-1. Notare che la precedente
relazione è simmetrica; cioè, se B è l’inversa di A, A è l’inversa di B.
Per matrici quadrate è AB = I se e solo se BA = I; quindi è necessario controllare soltanto un
prodotto per determinare se due matrici sono inverse.
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a b 
Esempio Calcoliamo l'inversa della matrice  c d  .


z Cerchiamo cioè degli scalari x, y, z,w, tali che
 a b  x y   ax  bz ay  bw   1 0 


  
  

c
d
z
w
cx

dz
cy

dw
0
1


 
 

che ci riconduce alla soluzione dei seguenti due sistemi di equazioni lineari a due incognite:
ax + bz = 1
cx + dz= 0
ay + bw= 0
cy + dw=1
Se poniamo A = ad - bc, i sistemi suddetti hanno delle soluzioni solo ed esclusivamente se
A  0; tali soluzioni sono uniche e sono come segue:
x = d/|A|,
y = -b/|A|,
z = -c/|A|,
w=a/|A|.
Di conseguenza,
d b
A = 1/|A|  c a
-1
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Determinanti
Ad ogni matrice quadrata è associato uno scalare particolare, che si chiama determinante di A;
esso viene abitualmente indicato con
det(A)
o
A
Questa funzione determinante venne trovata per la prima volta nella ricerca sui sistemi di
equazioni lineari.
Il determinante della matrice A, quadrata di ordine n, si dice di ordine n, ed è spesso indicato con
a11
a12  a1n
a21
a22  a2 n

an1
  
an 2  ann
Osserviamo che un insieme ordinato di scalari in forma quadrata e racchiuso fra rette non è
una matrice, ma piuttosto lo scalare che il determinante associa alla matrice costituita da detto
insieme ordinato.
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Esempio Il determinante di una matrice 1 x 1, A = (a11), è lo scalare a11 stesso: A= (a11)
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 a11 a12 
 vale A= a a  a a .
Esempio Il determinante di una matrice 2 x 2, A =  a
11 22
12 21
 21 a22 
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Esempio Il determinante di una matrice 3 x 3.
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
=
a33
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Esempio
2 3 4
6 7
5 7
5 6
5 6 7 2
3
4
9 1
8 1
8 9 = 2(6-63)-3(5-56)+4(45-48)=27
8 9 1
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PROPRIETÁ DEI DETERMINANTI
Elenchiamo adesso delle proprietà fondamentali del determinante.
Teorema Il determinante di una matrice A e quello della sua trasposta At sono uguali:
A =  At 
Come conseguenza di questo, qualunque altro teorema sul determinante di una matrice A che
ne riguardi le righe comporterà un teorema analogo che ne riguarderà le colonne.
Il prossimo teorema presenta dei casi in cui il determinante si può calcolare immediatamente.
Teorema Sia A una matrice quadrata.
Se A ha una riga (o colonna) di zeri, allora A = 0
(i)
(ii) Se A ha due righe (o colonne) identiche, allora A = 0
(iii) se A è triangolare, ovvero ha degli zeri al di sopra o al di sotto della diagonale, allora
A = prodotto degli elementi diagonali. Così in particolare I =1 in cui I è la matrice
identica.
Il teorema che segue mostra come il determinante sia interessato dalle operazioni “elementari”.
Teorema : Sia B la matrice che si ottiene da una matrice A:
(i) moltiplicando una riga (o colonna) di A per uno scalare k; allora B = kA ;
(ii) scambiando due righe (o colonne) di A ; allora B = -A ;
(iii) sommando un multiplo di riga (o colonna) di A ad un’altra, allora B = A.
Enunciamo adesso due dei più importanti ed utili teoremi sui determinanti.
Teorema : Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora questi enunciati sono equivalenti:
(i)
A è invertibile, cioè possiede un’inversa A –1.
(ii)
A è non singolare, ovvero AX = 0 ha solo la soluzione zero, ovvero rango A = n, ovvero
le righe (colonne) di A sono linearmente indipendenti.
(iii) Il determinante di A è non nullo: A  0.
Teorema : Il determinante è una funzione moltiplicativa. Vale a dire che il determinante del
prodotto di due matrici A e B è uguale al prodotto dei loro determinanti:
A B  = AB .
MINORI E COFATTORI
Consideriamo una matrice quadrata di ordine n, A = (aij) . Indichi Mij la sottomatrice di A,
quadrata di ordine (n –1), ottenuta da A cancellandone la riga i-esima e la colonna j-esima. Il
determinante  Mij  si chiama minore dell’elemento aij di A, si definisce cofattore di aij ,
indicato con Aij, il minore con segno:
Aij = (-1) i+j  Mij 
Notare che i “segni” (-1)i+j che accompagnano i minori costituiscono una scacchiera, con i
segni positivi sulla diagonale principale:
     


     
     


     
     


Facciamo rilevare che Mij indica una matrice , mentre Aij indica uno scalare.
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 2 3 4


5
6
7
 . Allora
Esempio sia A = 
8 9 1


e,
A23  (1) 2  3
M 23 
 2 3
= =  8 9 


2 3
 (18  24)  6 .
8 9
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Teorema: Il determinante della matrice A = (aij) è uguale alla somma dei prodotti che si
ottengono moltiplicando gli elementi di ogni riga (colonna) per i rispettivi cofattori:
|A| = ai1 Ai1  ai 2 Ai 2    ain Ain
|A|= a1 j A1 j  a2 j A2 j    anj Anj
Queste formule costituiscono lo sviluppo di Laplace del determinante di A rispettivamente per
la riga i-esima e la colonna j-esima, ed offrono un modo per semplificare il calcolo di A .
Cioè, sommando un multiplo di una riga (colonna) ad un’altra riga (colonna) possiamo ridurre
A ad una matrice che contiene una riga, o colonna, con un elemento 1, essendo tutti gli altri
zero.Lo sviluppo secondo questa riga o colonna riduce il calcolo di A al calcolo di un
determinante di ordine inferiore di uno e quello di A stesso.
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Esempio Calcolare il determinante di
A=
4
2
1 
 5


3
1  2
 2
 5  5  3 9  .


 1  2 1 4 


C’è un 1 nella seconda riga, terza colonna. In questo esempio vogliamo
sviluppare il determinante secondo la terza colonna che dovrà diventare (0,1,0,0).
Eseguiamo le seguenti operazioni su A, con Ri che indica la riga i-esima:
(i)
sommare -2R2 a R1,
(ii)
sommare 3 R2 a R3,
(iii)
sommare 1 R2 a R4.
il valore del determinante non cambia con queste operazioni, cioè:
|A|=
5
4
2
1
1 2
2
3
1 2 2 3

5 7 3 9
1 2
1  2 1 4
3 1
0 5
1 2
0 3
0 2
Ora se sviluppiamo secondo la terza colonna, possiamo trascurare tutti i termini che contengono
lo zero. Così
|A| = (1)
23
=-
1 2 5
1 2 3
3 1 2
=-{
2 3
1 3
1 2
 (2)
5
1 2
3 2
3 1
}= 38
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AGGIUNTO CLASSICO
Consideriamo una matrice quadrata di ordine n, A = (aij) .
 a11

 a 21


a
 n1
a12
a 22


 a1n 

 a2n 
 

 a nn 
La trasposta della matrice di cofattori degli elementi aij di A si indica con agg A e si chiama
aggiunto classico di A:
 A11

 A12


A
 1n
A21
A22


 An1 

 An 2 
 

 Ann 
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Esempio Sia A=
 2 3  4


0  4 2 .
1 1 5 


4 2
A11  
 18
1 5
0 2
A12  
2
1 5
A13  
0 4
4
1 1
2 3
5
1 1
3 4
 11
1 5
A22  
2 4
 14
1 5
A23  
3 4
 10
4 2
A32  
2 4
 4
0 2
A33  
A21  
A31  
I cofattori dei nove elementi di A sono
2 3
 8
0 4
Formiamo la trasposta della suddetta matrice di cofattori per ottenere l’ aggiunto classico di A:
agg A =
  18  11  10 


14  4 
 2
 4
5
 8 

▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
Teorema : Per qualsiasi matrice quadrata A, A  (agg A) = (agg A)  A = AI
in cui I è la matrice identica. Così, se A 0
A1 
1
(aggA)
| A|
Si noti che questo teorema fornisce un metodo importante per ottenere l’inversa di una matrice
data.
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Esempio Consideriamo la matrice A dell’esempio precedente, per la quale A = -46.
Abbiamo
0
0 
 2 3  4   18  11  10    46
1 0 0


 



0

4
2
2
14

4

0

46
0


46
0
1
0

 


  46 I | A | I
A (agg A) = 
 1  1 5  4
0 0 1
5
 8   0
0
 46 




Abbiamo inoltre
  18 / 46  11 / 46  10 / 46    9 / 23  11 / 46  5 / 23 
1

A 
(aggA) =  2 / 46 14 / 46  4 / 46    1 / 23
7 / 23  2 / 23 
| A|
 4 / 46
5 / 46
 8 / 46   2 / 23
5 / 46  4 / 23 

1
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APPLICAZIONI AD EQUAZIONI LINEARI
Consideriamo un sistema di n equazioni lineari a n incognite:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
…………………………………………….
an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = bn
Indichiamo con  il determinante della matrice dei coefficienti A = (aij) :  = A. Indichi
poi i il determinante della matrice che si ottiene sostituendo la colonna i-esima di A con la
colonna delle costanti. Vediamo ora la relazione fondamentale tra determinanti e soluzione
del sistema suddetto.
Teorema Il sistema ha soluzione unica solo ed esclusivamente se
  0 . In tal caso la
soluzione unica è data da
x1 
1
 ,
x2 
2
 ,
x3 
3
n
x

n
 , ……..,

Questo teorema è noto sotto il nome di “regola di Cramer” per risolvere dei sistemi di
equazioni lineari . Rileviamo che il teorema si riferisce ad un sistema che abbia lo stesso
numero di equazioni e di incognite, e che esso fornisce la soluzione solo quando   0 .
Infatti se  = 0 il teorema non dice se il sistema ha o no una soluzione. Comunque per il
caso di un sistema omogeneo abbiamo il seguente utile risultato.
Teorema Il sistema omogeneo Ax = 0 ha una soluzione non nulla solo ed unicamente se
 = A= 0
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Esempio : Risolvere con i determinanti il sistema
2x - 3y = 7
3x+ 5y = 1.
Calcoliamo prima il determinante  della matrice dei coefficienti:

2 3
 10  9  19.
3 5
Poiché   0 il sistema ha una soluzione unica. Abbiamo anche
7 3
x 
 35  3  38,
1 5
2 7
y 
 2  21  19.
3 1
E di conseguenza l’unica soluzione del sistema è
x
 x 38

 2,
 19
y
y


 19
 1 .
19
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