(1) Si consideri l’Hamiltoniana di un sistema di N bosoni in una dimensione : P
+
+
+
H=! 1
n=0 nan an + g(a0 aN + aN a0 )
• Considerando il secondo termine come una perturbazione, determinare l’energia dello stato fondamentale sino al secondo ordine in g.
• Calcolare il risultato esatto e confrontarlo con quello approssimato.
(2) La Lagrangiana di interazione tra un campo scalare di massa M
e un campo scalare di massa nulla e’ data da:
Z
L=g
(x) (x)2 d3 x
• Calcolare l’elemento di matrice della Hamiltoniana tra uno stato
iniziale di un bosone con impulso nullo e uno stato finale di
una coppia di due bosoni con impulsi p e p.
• Determinare il tempo di decadimento del bosone a riposo in
una coppia di bosoni .
1
(1) Si consideri l’Hamiltoniana di un sistema di N bosoni in una dimensione : P
+
+
+
H=! 1
n=0 nan an + g(a1 a0 + a0 a1 )
• Considerando il secondo termine come una perturbazione, determinare l’energia dello stato fondamentale sino al secondo ordine in g.
• Calcolare il valore esatto dell’energia dello stato fondamentale
e verificare che al secondo ordine perturbativo coincide con il
calcolo precedente.
• Calcolare l’energia del primo stato eccitato. Discutere il risultato in funzione di !g .
(2) Si consideri un campo scalare relativistico libero di massa m.
• Calcolare il commutatore [ (x), (y)].
• Verificare che a tempi uguali il commutatore si annulla.
• Che cosa si puo’ dire del commutatore quando (x y)2 < 0?
1
(1) Si consideri l’Hamiltoniana di un sistema di N bosoni in una dimensione : P
+
+
H=! 1
n=1 nan an + g(a1 + a1 )
• Considerando il secondo termine come una perturbazione, determinare l’energia dello stato fondamentale sino al secondo ordine in g.
(2) La Lagrangiana di interazione tra un campo scalare di massa M
e un campo spinoriale di massa m e’ data da:
Z
¯(x) (x) (x)d3 x
L= g
• Scrivere la Hamiltoniana corrispondente in termini di operatori
di creazione e distruzione.
• Calcolare l’elemento di matrice della Hamiltoniana tra uno stato
iniziale di un bosone con impulso nullo e uno stato finale di una
coppia fermione e anti-fermione con impulsi p e p.
1
(1) Si consideri l’Hamiltoniana di un sistema di N bosoni in una dimensione : P
†
†
†
2
H= 1
n=0 !nan an + g(a0 a3 + a3 a0 )
• Considerando il secondo termine come una perturbazione, determinare l’energia dello stato fondamentale sino al secondo ordine in g.
(2) La densità di Lagrangiana di un campo scalare carico è data da:
L = @µ
⇤ µ
@
m2
⇤
• Determinare la densità di corrente J µ e verificare che è conservata.
• Calcolare l’elemento di matrice di : J 0 : tra gli stati di singola
particella |p > e |p0 >.
• Determinare l’integrale sul volume della quantità ottenuta. Commentare il risultato.
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(1) Si consideri l’Hamiltoniana di un sistema di N elettroni su un reticolo
unidimensionale
di L siti:
P
H = t n (c†n cn+2 + h.c.),
gli operatori cn soddisfano condizioni al contorno periodiche cL+n =
cn .
• Determinare l’energia delle eccitazioni del sistema facendo uso
dello sviluppo in serie di Fourier degli operatori cn .
• Determinare i possibili valori del vettore d’onda k.
(2) Si consideri un campo scalare la cui densita’ di Lagrangiana e’ data
da:
1
L = (@µ @ µ
m2 2 )
2
• Determinare il tensore energia-impulso Tµ⌫ .
• Calcolare l’elemento di matrice di < p0 | : T00 : |p >.
• Calcolare il limite per p0 ! p. Perchè in questo limite l’elemento
di matrice non dipende da x.
1
Si consideri l’Hamiltoniana di un sistema di N bosoni identici di massa
m quantizzati in una scatola quadrata di area S con condizioni periodiche:
P k2 †
†
†
1 P
H = k 2m
ak ak + 2⌦
k,q,p V (q)ap+q ak q ak ap
2
dove l’interazione e’ data da V (q) = e /(q 2 + µ2 ).
• Calcolare l’energia dello stato fondamentale sino al secondo ordine
perturbativo.
• Calcolare il limite della densita’ di energia dello stato fondamentale
per S > 1, N > 1 e N
S = ⇢ costante.
1
