Numeri complessi
1. Calcolare
<z , =z se z =
i−4
,
2i − 3
|z| , z̄ , |w| , w̄ se z = (1 + i)6 , w = i17
2. Scrivere in forma algebrica i numeri i5 + i + 1 e 3 + 3 i)8 .
3. Scrivere in forma trigonometrica e esponenziale i numeri 8, 6 i, (cos(π/3) − i sin(π/3))7 .
4. Scrivere in forma algebrica i numeri e−2πi/3 , 12 eπ i/6 , e2πi/3 + e4πi/3 + e6πi/3 .
5. Calcolare le radici quadrate del numero 5 + 12 i.
6. Risolvere le equazioni |z|z̄ = 2 i , z 4 = z̄ 3 , z 3 = i z z̄.
7. Calcolare
1+i
3−i
− (1 + 2 i) (2 + 2 i) +
,
1−i
1+i
2 i (i − 1) +
√
3
3+i
+ (1 + i) (1 + i) .
8. Calcolare le radici quadrate di −1 − i e le radici cubiche di −8;
9. Determinare i numeri z ∈ C tali che
z̄ = i (z − 1) ,
z 2 z̄ = z ,
|z + 3 i| = 3 |z| ,
|z| − z = i .
√
10. Trovare il più piccolo n intero positivo per cui ( 3 + i)n è a) reale; b) immaginario puro.
11. Calcolare il complesso coniugato di
z =
a + ib
a − ib
2
+
a − ib
a + ib
2
12. Se n è un intero positivo e z è un complesso di modulo 1 tale che z 2 n 6= −1 allora
zn
1 + z2 n
è reale (facendo i conti attraverso la forma polare).
13. Dimostrare che le tre radici cubiche di 1 possono essere espresse nella forma 1, ω, ω 2 . Dal
fatto che ω 3 = 1 dedurne che 1 + ω + ω 2 = 0. Usare questi fatti per semplificare le seguenti
espressioni:
(a) (1 + ω)7
(b) (1 − ω) (1 − ω 2 )
(c)
ω5
1+ω
(d) ((1 − ω + ω 2 )4
(e) (ω − ω 2 )5
(f)
(1 + ω 2 ) (1 − ω)
1+ω
14. Trovare a ∈ R tale che P (−i) = 0, dove P (z) = z 3 − z 2 + z + 1 + a. Per questo valore di a
trovare la scomposizione di P (z) in fattori a coefficienti reali e in fattori a coefficienti inC.
15. Trovare z ∈ C per cui
1
(a) i z 2 è un numero reale positivo;
(b) < ((1 + i) z) + z z̄ = 0;
(c) <(z 2 ) + i =(z̄ (1 + 2 i)) = −3;
(d) =((2 − i) z) = 1.
16. Verificare se la successione
zn
h
n X
2i
=
3
h=0
è limitata in C (il che significa che |zn | è una successione reale limitata, o anche che lo sono le
successioni <zn e =zn ). In tale caso studiare i limiti di <zn e =zn per n → ∞.
17. Stesse domande per
zn
h
n X
1 1
=
+ i ,
2 2
h=0
zn
h
n X
3 4
=
+ i .
7 7
h=0
18. Dire per quali valori di w ∈ C la successione
zn
h
n X
w̄ − 1
=
1+w
h=0
è limitata in C . In tale caso studiare l’esistenza dei limiti di <zn e =zn per n → ∞.
19. Avendo definito la funzione esponenziale per z ∈ C come
z 7→ ez = e<z ei =z = e<z (cos(=z) + i sin(=z))
dimostrare che |ez | = e<z ; disegnare l’insieme di punti di C con <z = 2 e l’insieme dei relativi
punti ez ; dire per quali punti z si ha ez = e e per quale vale invece ez = −e;
20. Provare che se n è un intero positivo, allora (1 + i)4n − (1 − i)4n = 0.
21. Risolvere l’equazione (z + 1)4 + 4 (z − 1)4 = 0.
22. Dato il numero complesso ω = cos(2 π/5) + i sin(2 π/5) calcolare ω 5 e provare che 1 + ω +
ω 2 + ω 3 + ω 4 = 0; semplificare l’espressione (ω + ω 4 ) (ω 2 + ω 3 ). Determinare una equazione di
secondo grado a coefficienti interi che abbia per radici ω + ω 4 e ω 2 + ω 3 e provare quindi che
√
−1 + 5
2π
=
cos
5
4
23. Studiare l’insieme R = {w ∈ C | ∃n ∈ N : wn = 1}, e dimostrare che dati due numeri
complessi ei θ1 e ei θ2 con θ1 < θ2 , esiste sempre uno z = ei φ ∈ R con θ1 < φ < θ2 .
Che cosa si può dire dell’insieme Rα = {w ∈ C | ∃n ∈ N : wn = α} con α ∈ C fissato?.
2
