2011.04.16.F1.Nalett..

Corsi di Laurea in Ingegneria Biomedica, dell’Informazione, Elettronica e Informatica
Canale 3 (Prof. G. Naletto)
Prima Prova di Accertamento di Fisica Generale 1 - Padova, 16 Aprile 2011
Cognome .............................................................. Nome ........................................... Matricola .......................
Problema 1
Due corpi puntiformi A e B sono in moto su una guida circolare orizzontale orientata priva di attrito e di raggio R = 3 m.
All’istante iniziale t = 0 essi si trovano rispettivamente alle coordinate angolari θoA = 0 e θoB, e hanno velocità tangenziali
voA = 0.5 m/s e voB = 0.3 m/s. Il corpo A si muove di moto circolare uniforme, mentre B è soggetto ad una accelerazione
angolare αB = –kt, con k = 0.001 rad/s3 e t misurato in secondi. Determinare, tenendo conto che il segno delle varie
grandezze fisiche è indicativo del verso del moto:
a) la velocità angolare ωB di B nell’istante in cui A ha percorso mezzo giro dall’istante iniziale;
b) il modulo aB dell’accelerazione di B nello stesso istante;
c) il valore θoB della coordinata angolare iniziale di B affinché i due punti si incontrino dopo un tempo t* = 20 s.
Problema 2
Un corpo di massa m = 1.5 kg è mantenuto fermo su un piano liscio inclinato di
un
angolo θ = 25° rispetto all’orizzontale tramite l’azione simultanea di una
m
forza di modulo F = 40 N parallela al piano inclinato e orientata verso l’alto e di
una molla ideale di costante elastica k = 400 N/m parallela al piano inclinato
fissata da un lato al corpo stesso e dall’altro all’estremo inferiore del piano. Il
θ
sistema è soggetto alla forza peso. Determinare:
a) se la molla è compressa o estesa e l’estensione/compressione Δx.
Ad un certo istante si toglie la forza F agente sul corpo ed il corpo si mette in movimento. Determinare:
b) l’accelerazione a (modulo, direzione e verso) del corpo quando questo passa per il punto corrispondente alla
lunghezza a riposo della molla;
c) il modulo v della velocità del corpo allo stesso istante;
d) la compressione/estensione Δx’ della molla quando il corpo si ferma per la prima volta dall’inizio del moto.
F
Problema 3
a)
b)
c)
d)
Una rampa di massa M è costituita da un tratto inclinato liscio AB seguito
da un tratto orizzontale scabro BC di lunghezza l = 0.5 m e coefficiente di
A
attrito dinamico µ = 0.15, e da un altro tratto orizzontale liscio CD; nel
tratto CD c’è una molla ideale con costante elastica k = 80 N/m parallela al
h
C
B
D piano e vincolata all’estremità D della rampa. La rampa è libera di scorrere
senza attrito su un piano orizzontale. Inizialmente un corpo di massa
m = 0.4 kg è vincolato all’estremo superiore A della rampa ad una altezza
h = 0.8 m da B e tutto il sistema è in quiete. Ad un certo istante il corpo è
lasciato libero di muoversi. Determinare:
il modulo vM della velocità della rampa nell’istante di massima compressione della molla a seguito dell’urto con il
corpo;
la massima compressione Δxmax della molla;
il numero N di volte in cui il corpo attraversa completamente il tratto BC (indipendentemente dal verso del moto);
la variazione ΔxCM della posizione del centro di massa del sistema tra l’istante in cui il corpo si ferma e l’istante
iniziale del moto.
Soluzioni
Problema 1
a)
v oA
t
R
θ A (t ) = ω oA t =
⇒
t=
Rθ A
v oA
t
⇒
t
tπ =
ω B (t ) = ω oB + ∫ α B (t )dt = ω oB + ∫ (− kt )dt =
0
0
= (αR) + (ω R)
b)
a = a +a
c)
θ B (t ) = θ oB + ∫ ω B dt = θ oB +
2
T
2
N
2
2
t
0
θ A (t*) = θ B (t*) ⇒
2
Rπ
= 18.85 s
v oA
v oB 1 2
− kt
R
2
⇒ ω B (tπ ) =
v oB 1 2
− ktπ = −0.078 rad/s
R
2
⇒ a B (tπ ) = R (−ktπ ) 2 + (ω B (tπ ) ) = 0.059 m/s 2
4
v oB
1
t − kt 3
R
6
v oA
v
1
t* = θ oB + oB t * − kt *3
R
R
6
⇒ θ oB = (v oA − v oB )
t* 1
+ kt *3 = 2.67 rad
R 6
Problema 2
Si considera un asse parallelo al piano inclinato e concorde al verso di F.
1
F − kΔx − mg sin θ = 0 ⇒ Δx = (F − mg sin θ ) = 0.084 m ; la molla è estesa.
a)
k
b)
− mg sin θ = ma ⇒ a = − g sin θ = −4.14 m/s 2 . L’accelerazione è parallela al piano inclinato e orientata
verso il basso.
c)
1
1
kΔx 2 + mgΔx sin θ = mv 2
2
2
⇒ v=
k
Δx 2 + 2 gΔx sin θ = 1.61 m/s
m
0
k
k ⎞
k
⎛
x ⇒ v 2 = v o2 − 2 ∫ ⎜ g sin θ + x ⎟dx = 2 g sin θ Δx + Δx 2
m
m
m
⎠
Δx ⎝
1
1
1
kΔx 2 + mgΔx sin θ = kΔx' 2 + mgΔx' sin θ ⇒
k Δx 2 − Δx' 2 + mg (Δx − Δx')sin θ = 0
2
2
2
2
⎡1
⎤
⇒ (Δx − Δx')⎢ k (Δx + Δx') + mg sin θ ⎥ = 0 ⇒ Δx' = − mg sin θ − Δx = −0.115 m . La molla è compressa.
k
⎣2
⎦
oppure a = − g sin θ −
d)
(
)
Δx '
k
k ⎞
⎛
oppure v 2f = 0 = v 2 − 2 ∫ ⎜ g sin θ + x ⎟dx = v 2 − 2 g sin θ Δx'+ Δx' 2
m
m ⎠
0⎝
⇒
2
Δx' 2 +
mv 2
mg
mv 2
2mg
⎛ mg
⎞
sin θ Δx'−
= 0 ⇒ Δx' = −
sin θ ± ⎜
sin θ ⎟ +
k
k
k
k
⎝ k
⎠
Problema 3
Il sistema è costituito da due corpi interagenti, e la risultante delle forze esterne applicate al sistema è nulla.
a)
Per il teorema delle velocità relative applicato nell’istante di massima compressione della molla:
v m = v' m + v M ; v' m = 0 ⇒ v m = v M ;
P = cost = 0 ⇒ Pmax compr = mv m + Mv M = ( m + M ) v M = 0 ⇒ v M = 0
b)
c)
d)
1
2mg
(h − μl) = 0.267 m
kΔx 2 − mgh ⇒ Δx =
2
k
h
mgh = n ⋅ μmgl ⇒ n =
= 10.7 ⇒ N = 10
μl
P = (m + M ) v CM = 0 = costante ⇒ v CM = 0 ⇒ xCM = costante ⇒ ΔxCM = 0
Wnc = ΔEm
⇒ − μmgl =