Capitolo III

1
DISTRIBUZIONE CONTINUA DI CARICHE
In molti casi reali il numero di cariche puntiformi contenute in un certo volume può essere grandissimo: un corpo carico si presenta con buona approssimazione come una distribuzione continua di carica (in perfetta analogia con la
distribuzione continua di materia, già incontrata nel corso di meccanica). Se tali
cariche si considerano distribuite con continuità nello spazio, o su una superficie
o lungo una linea, possiamo utilizzare il linguaggio del continuo per esprimere
sia i campi che i potenziali.
Considerato un corpo macroscopico qualunque, si deve determinare una distribuzione infinitesima di carica, al suo interno. Questa distribuzione di carica
infinitesima diventa sorgente di un campo (o potenziale) coulombiano. Il campo
(o il potenziale) prodotto da tutto il corpo sarà la somma di tutti i campi (o
potenziali) prodotti da tutti gli elementi infinitesimi di cui è costituito il corpo
macroscopico(tale somma essendo costituita di elementi infinitesimi diventa un
integrale).
1.1
Caso a: densità di carica di volume
Si può introdurre la densità di carica ρ (r0 ) come quella funzione dei punti dello
spazio che moltiplicata per il volume infinitesimo dV = d3 r0 , rappresenta la
carica totale contenuta in esso:
dQ = ρ (r0 ) d3 r0
(1)
La carica contenuta nell’intero volume finito V sarà
Z
Q=
d3 r0 ρ (r0 )
(2)
V
Per il principio di sovrapposizione, il campo (infinitesimo)
dE (r) =
1 ρ (r0 ) d3 r0
1
dQ
0
(r
−
r
)
=
(r − r0 )
4π 0 |r − r0 |3
4π 0 |r − r0 |3
(3)
rappresenta il campo prodotto in r dalla carica dQ = ρ (r0 ) d3 r0 contenuta nel
volumetto d3 r0 . Per conoscere il campo prodotto in r da una distribuzione
continua di carica contenuta in un volume finito V ,
Z
Q=
d3 r0 ρ (r0 )
V
possiamo scrivere
1
E (r) =
4π 0
Z
V
ρ (r0 ) d3 r0
|r − r0 |3
1
(r − r0 )
(4)
1.2
Caso b: densità di carica di superficie
Mostreremo, nel prossimo capitolo, che in un conduttore all’equilibrio elettrostatico la carica in eccesso si distribuisce sulla sua superficie.
Se la carica è distribuita con continuità sulla superficie di un corpo macroscopico, possiamo introdurre la densità di carica superficiale ρa (r0a ) (il vettore
r0a ora spazia su una superficie fissa) in maniera tale che
dQa = ρa (r0a ) d2 a
(5)
2
rappresenta la carica contenuta sulla superficie infinitesima d a. Il campo,
prodotto in r, dalla tale distribuzione infinitesima di carica si scriverà
dE (r) =
dQa
1 ρa (r0a ) d2 a
1
(r − r0 ) =
(r − r0 )
3
4π 0 |r − r0 |
4π 0 |r − r0 |3
(6)
La carica totale depositata su una superficie finita sarà
Z
Qa = d2 aρa (r0a )
a
e il campo risultante avrà la seguente espressione:
Z
1
ρa (r0a ) d2 a
(r − r0a )
E (r) =
4π 0 a |r − r0a |3
1.3
(7)
Caso c: densità di carica lineare
Se di un corpo carico si vuole conoscere il campo in regioni molto lontane da
dove esso è situato, talvolta il corpo può approssimarsi con una sola dimensione.
Quando ciò accade e la distribuzione di carica è continua, allora si parla di
distribuzione lineare di carica ρl (r0l ).
La carica presente su un tratto lineare infinitesimo sarà data da
dQl = ρl (r0l ) dl
(8)
Il campo prodotto da tale distribuzione si scriverà
dE (r) =
1
1 ρl (r0l ) dl
dQl
(r − r0 ) =
(r − r0 )
3
4π 0 |r − r0 |
4π 0 |r − r0 |3
(9)
Infine, l’espressione del campo prodotto da una distribuzione lineare finita di
carica sarà,
Z
ρl (r0l ) dl
1
(r − r0l )
(10)
E (r) =
4π 0 l |r − r0l |3
Nella sezione successiva mostreremo applicazioni delle tre distribuzioni di
carica.
2
2
Determinazione di alcuni campi
Gli esempi che presenteremo hanno una caratteristica comune: il campo viene
calcolato, per l’asta lineare carica, per l’anello carico e per il disco carico in
punto posto lungo un asse di simmetria per i corpi. Nei casi che esamineremo,
tale asse coincide con l’asse x, che risulta ortogonale al sistema di carica ed è
per esso asse di simmetria.
Esempio 1: Un’asta lineare di lunghezza 2l ha una densità di carica lineare
positiva ρl e una carica totale Q. Per una distribuzione uniforme, sarà Q =
2lρl . L’asta sia posizionata lungo l’asse y , da (−l, l) come indicata nella figura
sottostante. Si determini il valore del campo lungo l’asse x.
Calcoliamo il campo dE, generato dalla carica infinitesima dQ = ρl dy nel
punto P . Per ragioni di simmetria, la componente del campo ortogonale all’asse
x verrà eliminata dal tratto dy’, simmetrico di dy rispetto ad x. Per cui sarà
sufficiente calcolare la sola componente x del campo generato da dQ = ρl dy.
Tale componente sarà:
dEx = dE cos β
(E1)
dove, il modulo del campo è
dE =
1
ρl dy
2
4π 0 (x + y 2 )
(E2)
mentre il coseno sarà
x
cos β = p
2
x + y2
(E3)
Allora, la componente x del campo, dovuta a dQ, avrà la forma
dEx =
1
xρl dy
2
4π 0 (x + y 2 )3/2
Il campo risultante, prodotto da tutta l’asta, sarà
3
(E4)
Ex =
Z
dEx =
ρl x
4π 0
Z
l
dy
1
3/2
+ y2 )
L’integrale è mostrato in appendice e, dopo aver posto
−l
(x2
dy
y
= tan α
= sec2 αdα
x
x
si perviene al seguente risultato
¯l
¯
ρl x
ρx
ρ
y
2l
l
¯
p
√
Ex =
= l √
¯ = l
2
2
2
2
2
2
2
4π 0 x x + y ¯
4π 0 x x + l
2π 0 x x + l2
(E5)
−l
Notiamo che se l’asta lineare diventa di lunghezza infinita, il precedente risultato
si può approssimare con
ρ 1
Ex ∼
= l
2π 0 x
l >> x
(E6)
Il campo elettrostatico di un filo rettilineo indefinito cala con la distanza x dal
filo. Questo risultato sarà ritrovato anche con il teorema di Gauss. La (E5),
introducendo la carica, Q = 2lρl , diventa
1
Q
√
(E7)
4π 0 x x2 + l2
Nel limite opposto al precedente, se ci si pone a distanze molto grandi
rispetto alle dimensioni dell’asta, cioè se x À l, si può trascurare l rispetto
a x, al denominatore, e si ottiene il campo coulombiano:
Ex =
Q 1
Ex ∼
xÀl
(E8)
=
4π 0 x2
Esempio 2: Un anello di raggio R, ha una densità di carica superficiale positiva
ρa e una carica totale Q. La sua distribuzione è uniforme ed è posta nel piano
yz. Si determini il campo elettrico lungo l’asse x.
4
Calcoliamo il campo di una striscia infinitesima, di carica dQ , la cui caratteristica principale è di contenere punti equidistanti dal punto dove si deve
calcolare il campo. Il modulo del campo sarà:
dE =
1 dQ
1
dQ
=
2
2
4π 0 r
4π 0 R + x2
Per ragioni di simmetria, le componenti del campo, diverse da quelle lungo l’asse
x, hanno risultante nulla. Allora basta determinare la componente lungo l’asse
x:
x
dEx = dE cos α = dE √
R2 + x2
quindi
dEx =
1
dQ
dQ
x
x
√
=
4π 0 R2 + x2 R2 + x2
4π 0 (R2 + x2 )3/2
Poiché tutti gli elementi infinitesimi danno lo stesso contributo, il campo totale,
lungo l’asse x, sarà:
Ex =
1
xQ
4π 0 (R2 + x2 )3/2
Notiamo che il valore del campo in x = 0 è nullo: ogni parte infinitesima di
anello ha una corrispondente parte simmetrica che annulla il campo. Inoltre, se
x À R, avremo
Ex =
1 Q
4π 0 x2
in tal caso, il campo sarà pari a quello di una carica puntiforme Q, posta nel
centro dell’anello.
Esempio 3: Un disco di raggio R ha una densità di carica superficiale ρa ed
una carica totale Q. Si determini il campo elettrico lungo l’asse x, se la densità
è uniforme ed il disco è posto nel piano yz.
5
Il campo dell’anello di raggio r e spessore dr è stato trovato nel precedente
esercizio; la differenza è che la carica sull’anello precedente era una carica finita
ed ora è infinitesima ed uguale a dQ = ρa 2πrdr. Il campo infinitesimo prodotto
da questa distribuzione di carica sarà:
dEx =
1
xdQ
2
4π 0 (r + x2 )3/2
(E1)
Il campo per x > 0, sarà
Ex
=
=
ovvero
xρa
4π 0
Z
R
1
dr (2πr)
3/2
xρa
π
4π 0
Z
R2 +x2
x2
(r2 + x2 )
·
¸
2
2
¯
R +x
xρa
xρa
2
−2
−1/2 ¯
√
=
+√
−2η
¯ 2
40
40
x
R2 + x2
x2
0
ρ
Ex = a
20
Per R À x si trova
Ex =
Per x À R , avremo
di conseguenza
=
µ
x
1− √
2
R + x2
¶
x´
ρa ³
1−
2 0
R
dηη −3/2
(E2)
(E3)
x
1
1 R2
√
=p
'1−
2 x2
R2 + x2
1 + R2 /x2
Ex '
Q 1
ρa 1 R2
=
2 0 2 x2
4π 0 x2
(E4)
come si poteva prevedere, il campo a grande distanza diventa un campo coulombiano.
Per R = ∞, il disco si trasforma in un piano indefinito e ritroviamo un
risultato del secondo capitolo:
Ex =
3
ρa
20
(E5)
Determinazione di alcuni potenziali
Ora useremo, per determinare alcuni potenziali, lo stesso formalismo adottato
per calcolare i campi. Questo dovrebbe confermare l’idea che i punti dello spazio
possano essere caratterizzati sia dalla conoscenza dei valori del campo che dai
valori del potenziale. Entrambe le prospettive sono possibili ed equivalenti,
perché noto il campo si può dedurre il potenziale e noto il potenziale si può
dedurre il campo.
6
3.1
Distribuzione continua di cariche
Se abbiamo una distribuzione di carica continua dQ = ρ (r0 ) d3 r0 possiamo scrivere che il suo potenziale coulombiano in r come
dV (r) =
1
1 ρ (r0 ) d3 r0
dQ
=
4π 0 |r − r0 |
4π 0 |r − r0 |
Il potenziale generato in r da tutta la carica contenuta in V , è
Z
1
ρ (r0 ) d3 r0
V (r) =
4π 0 V |r − r0 |
Se usiamo le coordinate cartesiane, possiamo scrivere:
Z
1
ρ (x0 , y 0 , z 0 ) dx0 dy 0 dz 0
q
V (r) =
4π 0 V
2
2
2
(x − x0 ) + (y − y 0 ) + (z − z 0 )
(35)
(36)
(37)
Si possono presentare casi in cui la regione ove risiede la carica possa approssimarsi con una regione lineare (p.e. il caso di un filo contenente una carica
elettrica) oppure con una regione superficiale. In tal caso, gli integrali di volume
si riducono ad integrali lineari e di superficie.
Nel caso di una distribuzione lineare continua di carica dQ = ρl (r0l ) dr0l il
potenziale coulombiano, generato da essa, sarà
dV (r) =
1 ρl (r0l ) dr0l
4π 0 |r − r0l |
mentre il campo totale di tutta la distribuzione si scriverà
Z
ρl (r0l ) dr0l
1
V (r) =
4π 0 l |r − r0l |
Se la distribuzione lineare è lungo l’asse x, potremo scrivere
Z
ρl (x0 ) dx0
1
q
V (r) =
4π 0
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
(38)
(39)
(40)
Nel caso di una distribuzione superficiale di carica, in cui la carica infinitesima si scriverà dQ = ρa (r0a ) d2 a, il potenziale in r si scriverà
dV (r) =
1 ρa (r0a ) d2 a
4π 0 |r − r0a |
(41)
ed il potenziale totale diventerà
V (r) =
1
4π 0
Z
a
ρa (r0a ) d2 a
|r − r0a |
(42)
Nel caso specifico di una distribuzione superficiale piana continua, posta nel
piano xy, si avrà:
7
V (r) =
1
4π 0
Z
a
ρa (x0 , y 0 ) dx0 dy 0
q
2
2
2
(x − x0 ) + (y − y 0 ) + (z − z 0 )
(43)
Il vero problema di tutte le espressioni appena scritte è la possibilità reale
di effettuare le integrazioni in esse contenute. Solo se i corpi macroscopici sono
solidi regolari si può effettuare una "ragionevole" integrazione altrimenti, in
generale, diventano solo espressioni formali. Per quello che ci riguarda, esse
saranno calcolate solo in casi molto particolari. Quando saranno presenti simmetrie particolari si potrà utilizzare il teorema di Gauss, che discuteremo nel
prossimo capitolo.
3.2
Determinazione di alcuni potenziali
Esempio 1: Determiniamo il potenziale di un anello lungo la direzione radiale.
Il potenziale generato da una porzione infinitesima di anello è
dV =
1
1 dQ
ρ d2 a
√ a
=
2
4π 0 r
4π 0 R2 + x2
Il potenziale prodotto da tutto l’anello sarà
Z
1
ρ dl
√ l
V =
4π 0
R2 + x2
L’integrazione è fatta su una curva che è nel piano ortogonale ad x, quindi
durante l’integrazione non solo R, ma anche x rimane costante, per cui
Z
1
1
1
Q
√
√
ρl dl =
V =
2
2
2
4π 0 R + x
4π 0 R + x2
A grande distanza, x À R, si avrà il potenziale coulombiano
V ∼
=
1 Q
4π 0 x
Esempio 2: Determinare il potenziale di un disco, lungo l’asse di simmetria
8
Dai risultati del precedente esercizio possiamo ricavare l’espresssione del
potenziale di un anello infinitesimo del disco
dV =
1
1 ρa 2πrdr
1
dQ
ρ d2 a
√
√ a
√
=
=
2
2
2
2
4π 0 r + x
4π 0 r + x
4π 0 r2 + x2
Il potenziale di tutto il disco sarà
ρ 2π
V = a
4π 0
Z
R
0
rdr
√
r2 + x2
Posto
t = r2 + x2
dt = 2rdr
avremo
V =
4
ρa
20
Z
R2 +x2
x2
2
2
√ i
ρ √ ¯¯R +x
ρ hp 2
dt −1/2
= a t¯ 2
= a
R + x2 − x2
t
2
20
20
x
Potenziali a grande distanza da un distribuzione
continua
Abbiamo visto che nel caso di una distribuzioni puntiforme (ma localizzata) di
cariche, il potenziale a grande distanza daquesta era rappresentabile come la
somma di un termine di tipo coulombiano e di uno di tipo dipolare (il termine
successivo è quello quadripolare:
V (r) '
1 Qtot
1 dQ,tot · r
+
4π 0 r
4π 0
r3
Se si ripetono le stesse considerazioni per una distribuzione continua,
9
(44)
si riottiene la (44), con la sola differenza che la carica totale sarà
Z
ρ (r0 ) d3 r0
Qtot =
(45)
V
dove l’integrale è esteso allo spazio occupato dal corpo ed il momento di
dipolo del sistema è definito come
I
dQ,tot = d3 r0 r0 ρ (r0 )
(46)
10